YILLAR 00 00 00 00 00 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 1 - - - - - - - TABAN ARĐTMETĐĞĐ Genel olarak 10 luk sayı sistemini kullanırız fakat başka sayı sistemlerine de ihtiyaç duyarız Örneğin bilgisayarın temeli lik sayı sistemine dayanır Değişik sayı sistemleriyle de her işlem yapılabilir ( a b, c, d) x, sayısı x lik sayı sistemine göre yazılmıştır Burada; 1) x > 1 olmak zorundadır ) a,b,c,d sayıları da x ten küçük olmalı örneğin ( ) 1 veya () gibi sayılar yazılamaz 10 luk sistemdeki 91 sayısını inceleyelim 9 1 - Birler basamağı 10 0 ---- Onlar basamağı 10 1 1 10 ------- Yüzler basamağı 10 9 900 ---------- Binler basamağı 10 000 + 91 abc sayısının çözümlenmiş şekli; abc 10 a + 10 1 b + c 100a + 10 b + c,8 10 + 10 1 + 10 0 + 10-1 + 10 - +810 - (,7) 8 8 + 8 1 + 8 0 + 8-1 + 78 - Herhangi Bir Tabandaki Bir Sayının 10 Tabanında Yazılması: ( 1011011) 1 0 +1 1 +0 1 +1 +0 +1 1++8+1+ 91 ( 101) 1 0 + 1 + +0 +1 1+1++0+ 01 Örnek( 1 ) ( 10 ) a+ a ise a? ( 10 ) a+ a 1a + 0 + a + a a a veya a0 bulunur a0 olamayacağından a tür Örnek( ) ( ) 7 sayısı 10 tabanında kaçtır? 88) ( ) 7 7 +7+ 9++ 1 (ÖSS- Örnek( ) 10 ve m sayı tabanını göstermek üzere ( 97) 10 (1) m ise m? (C: ) (ÖSS-97) ( 97) 10 (1) m 97 m +m+1 m +m-90 m +m-80 (bu aşamadan sonra ya çarpanlara ayırma yolu ile m bulunur, yada değer vererek bulunur Tercih size kalmış biz çarpanlara ayırmadan yapalım m +m-8(m-)(m+8)0 buradan m-0 m m+8 0 m-8 taban negatif olamayacağından cevap dır wwwglobalderscom 1
Tek ve Çift Sayılar: ( abcd) x için x tek iken; a+b+c+d toplamı tek ise tek, çift ise sayı da çifttir x çift iken; d tek ise sayı tek, d çift ise sayı da çifttir ( 10010),(1) çift ( 1010) 1+1++ çift ( 1011) ) 1++1+1+7 tek 10 Tabanındaki Bir Sayının Herhangi Bir tabanda Yazılması: Çevrilecek sayı sürekli tabana bölünür ( 000 ) - 18-18 - - 0 0 0 en sağdan başlamak kaydıyla değerler yazılır Sonuç : ( 000 ) Sizde aşağıda değerleri verilmiş çevrimleri yaparak sonuçlarla karşılaştırınız 1( 1000 ) 8( 00 ) Örnek( ) sayısını 11 tabanında yazınız 11-11 - 10 - wwwglobalderscom Burada farklı bir durumla karşı karşıyayız Zira 10 iki rakamdan oluşuyor Olduğu gibi yazarsak iki basamak görevi görür Buna şöyle bir çözüm bulacağız 9 dan sonraki iki basamaklı her rakam için bir harf atayacağız (10A, 11B, 1C gibi) A olur o halde cevabımız ( ) 11 Örnek( ) + + () Bu tür sorularda en büyük taban kuvvetini baz alarak bir şablon hazırlayıp yanlardaki değerleri altlara yazacağız 1 0 1 0 ( ) ( ) o halde sonuç ( ) olur Örnek( ) + 7 + 1 () Bu soruda tabanın yanındaki değerler tabandan büyük O yüzden önce ifadeyi düzenlemeliyiz + 7 + 1 (+ ) + (+ 1) + ( + ) + + + + + + + + bir düzenleme daha gerekli + (+ 1) + + + + + + + + + şimdi en büyük taban kuvveti olduğundan; 1 0 1 0 ( ) ( 1 0) Örnek( 7 ) tabanında yazılabilecek rakamları farklı en büyük sayı, en küçük sayıdan kaç fazladır?
tabanında kullanılabilecek rakamlar {01,,} tür En büyük sayı : (1) ²++17 En küçük sayı : (10) 1²+0+18 7-189 olur Herhangi Bir Tabandaki Bir Sayının Başka Bir tabanda Yazılışı: Sayı önce 10 luk sisteme sonrada istenen tabana çevrilir Örnek( 8 ) (1) ()7 (1) ²+1+ 8 8 7-7 1 7 1-7 -1 1 0 Herhangi Bir Tabana Göre Đşlemler: 10 sayı sisteminde işlemler nasıl yapılıyorsa,,sayı sistemlerinde de aynı mantık kullanılır Örneğin 10 luk sistemde toplam yapılırken 1 elde edildiyse, 1 sayısı 10 a bölünür kalan yazılıp, bölümden elde edilen 1 sonraki basmağa aktarılır 1 ü tabanında elde ettiysek 1 ün e bölümünden kalan yazılır, bölüm ise sonraki basamağa aktarılır Toplama: () Çıkarma: (0) + () _ (1) ------------ ----------- Çarpma: () x (1) --------- (11) +() --------- () (1) (100) Bölme: (en iyisi 10 luğa çevirip bölmektir) cevap: (1) (10)7 Örnek( 9 ) (10) () (10) 1²++0 8 8-9 - 1 cevap : (10) (1) wwwglobalderscom Örnek( 10 ) ( ) sayısının fazlası aynı tabanda kaçtı? Eklenen sayı tabandan küçük ise direk, değilse tabana çevrilerek toplama işlemi gerçekleştirilir Sorumuzda eklenen sayı < olduğundan direk ekleriz () + () ()
Örnek( 11 ) ( ) sayısının 1 fazlası aynı tabanda kaçtır? Örnek( 1 ) kaçtır? 17 sayısı tabanına göre Sayı önce tabanına çevrilir 1 () dır () + () (0) Örnek( 1 ) ( 1 ) sayısının katı aynı tabanda kaçtır? 17 sayısının pay ve paydasını tabanına (1) çevirirse elde edilir (100) Konunun başında bir açıklama yapmış ve demiştik ki : 10 luk sayı sistemindeki mantık neyse,,sayı sisteminde de aynıdır Buradan hareketle şunu deriz: bu bölüm işlemi 10 luk sistemde pay dan iki virgül sola kaydırarak çözülürse lik sistemde de aynıdır 1, olur O halde cevap ( ) sayısı tabandan büyük olduğundan önce tabanına çeviririz (11) şimdi çarpma işlemi gerçekleştirebiliriz (1) x (11) Örnek( 1 ) (,)? (10 luk sistemde bu sorunun çözüm mantığını hatırlayalım10 luk sistemde paydaya devreden kadar 9 yazılırdı Burada yazdığımıza dikkat edinsebebi; 9 un 10 luk sistemdeki en büyük rakam olmasına karşın ün de lik sistemde en büyük rakam olmasıdır) (1) + (1) (10) Örnek( 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) a+b+c? abc ise ( 1 ) ( abc ) ( ) ( 1) ( ) ( abc) (,) () () (0) (0) (0) + 0+ + 0 0 7 10,7 olur (1) (abc) a+b+c ++1 bulunur wwwglobalderscom
Örnek( 1 ) (,1)? (,1) (1) () () (11) () + 1+ 1 + 11 olur ab sayısının ( ) En büyük değeri (1) En küçük değeri (01) Fark : (1) - (01) (00) bulunur Örnek( 0 ) tabanında yazılabilecek rakamları farklı üç basamaklı kaç sayı vardır? Örnek( 17 ) (,)? (,) () + olur (10 luk sistemde devreden 9 ise önceki basamak 1 arttırılır ve 9 atılır kuralının tabanına uyarlanışı) Bunu permütasyon konusunu hatırlayarak çözebiliriz Kullanabileceğimiz rakamlar 0,1,,,, olduğundan, 100 olur Örnek( 1 ) 1781 sayısı 9 tabanında yazıldığında birler basamağında hangi sayı bulunur? Örnek( 18 ) + + sayısı tabanında kaç basamaklıdır? Tabana ait en büyük kuvvet olduğundan 1 0 ( 0 ) o halde sayı basamaklıdır Örnek( 19 ) ( ab ) sayısı rakamları farklı bir sayı olmak üzere bu sayının alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark aynı tabanda kaçtır? wwwglobalderscom 1781 sayısını sürekli 9 a bölerek 9 tabanına çevireceğimizi öğrenmiştik Đlk 9 a bölümden kalan en son yazıldığı için birler basamağı olur Dolayısıyla sayının 9 bölümünden kalanı bulmak aslında birler basamağını bulmak demektir Kural: bir sayının 9 bölümünden kalan, rakamları toplamının 9 a bölümünden kalana eşittir ++1++7+8++11 ve 1 in 9 bölümünden kalan da olduğundan sayımızın 9 tabanındaki yazılışında birler basamağı tür deriz Örnek( ) ( 101111 ) sayısı 8 tabanında yazılırsa kaça eşit olur?
Bu soruların iki yolu vardır 1yol: sayıyı bildiğimiz yolla 8 tabanına çevirmek yol: (pratik) sayı sağdan itibaren (8³) er er ayırarak her bir ayrımdan elde edilen çevrim sayısı bir hane yazılır ve işlem tamamlanır ( 101111) (101) (111) ( ) a ( ) b ifadesinin her iki tarafını çözümlersek a+ b+ b-a 1 burada a ve b nin alabileceği minimum değerler vardır (temel tabanaritmetiği kuralları) bunları da dikkate alarak; b ve a 7 alınırsa 7 1 eşitliğinin sağlandığı görülür O halde cevap a+b +7 1 olur 1²+0+1 1²+1+1 7 Örnek( ) ( ) ( 7) 18 sayısı tabanında yazıldığında kaç basamaklı bir sayı elde edilir? ( 7) Örnek( ) ( ) 8 sayısı tabanında yazıldığında kaça eşit olur? Bu sefer işlemi tersten uygularız () 8 ( ) ( 7) 18 ( ) ( ) 9 1 sayısı elde edilir 1, sondan 1 tane sıfır demektir (11) olduğundan sayımız (11000) 1 tan e o halde 1 basamaklı bir sayı elde edilir (- - -) 8 (- - -) 8 (- - -) 8, ve yi tabanına çevirir, üçer hane olarak yazarız (100), (101) (010) ( 100101010 ) Örnek( ) ( ) a ( ) b eşitliğini sağlayan en küçük a+b? (C: 1) wwwglobalderscom Örnek( ) ( ) + ( b) ( 11) a+b? a ise ( a ) + ( b) ( 11) (²++a)+(b²++) (1³+²++1 a+b+11 191 a + b 77 buradan a ve b bulunur a+b eder
Örnek( 7 ) ( ) ( a) ( 1) a+b? b ise ( b ) ( a) ( 1) (²+b+)-(²++a) 1²++ b-a + 9 b-a 7 buradan a ve b bulunur a+b 7 olur Örnek( 8 ) ( abc ) x ifadesinde a ve c 1 arttırılır ve b azaltılırsa on tabanında sayı artıyor buna göre x? Örnek( 0 ) (,1) ( ab, cd) 10 a+b+c+d? (,1) ++ 1 +1 ise 17 + + 1 (payda 100 de eşitlenirse 1700+ 0+ 17, bulunur 100 buradan 1+7++ 1 elde edilir a x² ler basamağı b x ler basamağı c 1 ler basamağıdır a daki 1 artış sayıya +1x² olarak yansır b deki azalış sayıya -x olarak yansır c deki 1 artış sayıya +11 olarak yansır x²-x+1 x²-x-0 denklemi çözülürse x²-x-0 (x-9)(x+7)0 ve buradan x 9 ve x -7 bulunur taban negatif olamayacağından cevap 9 dur Örnek( 1 ) ( 1a ) 8 sayısı çift, ( 1b ) 9 sayısı ise tek olduğuna göre a+b en çok kaçtır? ( 1a ) 8 sayısı çift ise a çift olmalı a nın en büyük değeri dır (C: 1) 1b sayısı tek ise rakamları toplamı tek ( ) 9 olmalı buradan b en fazla 7 olur O halde cevap +7 1 tür Örnek( ) ( 01 ) a + sayısı a tabanında kaça eşittir? Örnek( 9 ) ( 1) + ( 1 a ) 7? a <a<7 olacağından a bulunur buradan ( 01 ) a + (a+)²+0+1 (a²+a+)+1 a²+8a+9 ( 89 ) a elde edilir ( ) ( ) 1 + 1 + 1+ + 17 + 7+ 7 17 Örnek () 8 doğal sayısı tabanına göre yazıldığında, kaç basamaklı bir sayı elde edilir? (ÖSS-001) wwwglobalderscom 7
Önce 8 etmeliyiz sayısını ün kuvveti şeklinde ifade 1 (1000000) buradan sayının 7 basamaklı olduğu görülür 8 ( ) ( ) Örnek () ( 97) (1 ise m? 10 ) m (ÖSS-97) ( 97) 10 97 demek olduğundan m² + m + 1 97 m² + m +-9 0 m² + m - 8 0 (m-)(m+8)0 m-0 m ve m+80 m-8 taban negatif olamayacağından cevap dır Örnek () 1) ()? ( (ÖSS-9) (1) x () (111) +(10) (11) HAZIRLAYAN ĐBRAHĐM HALĐL BABAOĞLU Matematik Öğretmeni wwwglobalderscom Örnek () ( 110) (11) () (ÖSS-9) (110) - (11) (11) wwwglobalderscom 8