TÜRKİYE NÜFUSU İÇİN STOKASTİK ÖLÜMLÜLÜK MODELLERİ

Nüfusbilim Dergisi\Turkish Journal of Populaion Sudies, 2012, 34, 31-50 31 TÜRKİYE NÜFUSU İÇİN STOKASTİK ÖLÜMLÜLÜK MODELLERİ Ölümlülük ahminleri, demografi ve aküerya bilimlerinde önemli bir rol oynamakadır. Önceki ölümlülük modellemesi çalışmalarında, zaman bağlı olarak ölüm oranlarındaki olası değişimler dikkae alınmamakaydı. Zaman içinde bu değişimleri dikkae alan birçok sokasik ölümlülük modelleme yönemleri gelişirilmişir. Bu çalışmanın amacı, Türkiye ölümlülüğünü incelemek ve kuşak ekisi olup olmadığını araşırmakır. Ölüm sayıları ve riske maruz kalan birim sayıları, kadın ve erkekler için ayrı ayrı modellenmişir. Karşılaşırma yapmak amacıyla, BIC değerleri, sandarlaşırılmış arıklar, yaşlara ve akvim yılına göre anımlanmış bazı arık karakerisikleri kullanılmış ve. kadın ve erkek ölüm hızlarının modellemesinde akvim yılı ve kuşak ekilerinin önemli olduğu görülmüşür. Funda KUL * Meral SUCU ** 1. GİRİŞ Ölümlülük modelleri, Demografi alanında nüfus projeksiyonlarının yapılmasında ve Aküerya Bilimleri alanında ise sosyal güvenlik kurumları, emeklilik ve haya sigorası şirkelerinin yükümlülüklerine ilişkin sermaye gereksiniminin belirlenmesi ve değerleme çalışmalarında kullanılmakadır (Biffi ve Clemene, 2012). Ayrıca ülkelerin geleceğe ilişkin planlamaları açısından da önemlidir. Ölümlülük modelleri, deerminisik ve sokasik ölümlülük modelleri olarak ikiye ayrılmakadır: Deerminisik ölümlülük modellerinde, ölüm hızları veya ölüm oranları yaşın bir fonksiyonu olarak anımlanmakadır (Tabeau ve diğerleri, 2001). Bu modellerde, gelecekeki ölüm hızlarının değişimin de aynı şekilde devam edeceği varsayımı alında ölümlülük modellenmekedir. Deerminisik ölümlülük modellerine Gomperz (1825), Makeham (1867) ve Heligman-Pollard (1980) yönemleri gibi pek çok yönem örnek olarak verilebilir. Deerminisik ölümlülük modellerinde zaman içinde ölüm hızlarındaki değişim dikkae alınmamaka ve popülasyon içindeki üm bireylerin ölümlülüklerinin aynı olduğu düşünülmekedir. Bu modellerde, ölüm hızı veya oranının zamana ve farklı yaşlara göre değişimi dikkae alınmadığından, ölümlülük projeksiyonlarında önemli ölçüde sapmalar gözlenmişir. Bu nedenle sokasik modeller gelişirilmişir (Koissi ve Shapiro, 2008). Zaman ekisini dikkae alan ilk sokasik ölümlülük modeli, 1992 yılında Ronald Lee ve Lawrance Carer arafından oluşurulmuşur. Bu modelde ek bir zaman indeksi fonksiyonu ile ölümlülükeki uzun dönem değişimleri anımlanmaya çalışılmışır. * Arş. Gör., Haceepe Üniversiesi, Aküerya Bilimleri Bölümü ** Doç.Dr., Haceepe Üniversiesi, Aküerya Bilimleri Bölümü

32 F. KUL, M. SUCU Lee-Carer yönemi birçok ülke için geleceğe ilişkin ölüm hızlarının ahmin edilmesinde yaygın olarak kullanılmışır. Bu çalışmalarda ileri yaşlarda ölüm sayılarının az olması nedeniyle, ileri yaşlarda ölüm hızlarının genç yaşlardakine göre daha düşük olduğu görülmüşür. Bu ve ikinci bölümde verilen sakıncalar nedeniyle, Lee-Carer yönemi kullanılarak yapılan ölümlülük projeksiyonları yeersiz kalmışır (Li ve diğerleri, 2009; Biffi ve Clemene, 2012). Lee-Carer ölümlülük modelinin bazı sakıncalarını gidermek ve/ya ölümlülük üzerindeki kuşak ekisini de incelemek amacıyla, Lee-Carer (1992) yöneminin düzenlenmesiyle yeni modeller oluşurulmuşur. Booh, Maindonald ve Smih (2002) in çalışmasında, Lee ve Carer (1992) ölümlülük modelinde, akvim yılı ekisinin doğrusal ve daha yüksek dereceden paramerelerle ifade edildiği bir model oluşurulmuşur. Currie (2006) nin çalışmasında Lee ve Carer (1992) ölümlülük modeline kuşak ekisi eklenerek yeniden modelleme yapılmışır. Renshaw ve Haberman (2006) nın çalışmasında ise, model haalarının değişen varyanslı Poisson dağılımına uyduğu dikkae alınarak Currie (2006) çalışmasında oluşurulan sokasik ölümlülük modeli genelleşirilmişir. Cairns ve diğerlerinin (2006a, 2006b) çalışmalarında kaba ölüm hızları kullanılarak, karesel yaş ekisinin dikkae alındığı üç sokasik ölümlülük modeli oluşurulmuşur. Pla (2009) in çalışmasında, Cairns ve diğerlerinin (2006a, 2006b) çalışmalarındaki modeller için kaba ölüm hızları yerine, merkezi ölüm hızları kullanılmış ve yaşa göre ölüm hızlarının zamana göre değişimi, yaşın üsen kesilmiş bir fonksiyonu şeklinde ifade edilmişir. Türkiye ölümlülüğünün sokasik modellemesi ile ilgili bilinen ilk çalışma, dırım (2010) arafından yapılmışır. Bu çalışmada Türkiye ölümlülüğü, Lee-Carer yönemi ve alernaif olarak gelişirilen Bulanıklaşırılmış Lee-Carer yönemi ile modellenmiş ve iki yöneme göre bulunan sonuçlar karşılaşırılmış, Bulanıklaşırılmış Lee-Carer yöneminin daha iyi sonuç verdiği görülmüşür. Bilinen ikinci çalışma Genç ve Gençürk (2012) arafından yapılmışır. Bu çalışmada, Türkiye ölümlülüğünün modellenmesinde Lee-Carer ve Trend yönemi kullanılmış ve her iki yönemin benzer sonuçlar verdiği görülmüşür. En son çalışma ise, Demircioğlu ve Büyükyazıcı (2013) arafından yapılmışır. Bu çalışmada Poisson Log-Bilineer yaklaşımıyla Lee-Carer yönemi kullanılarak Türkiye ölümlülüğü modellenmiş ve bu yaklaşımın Lee-Carer yönemine göre farklı sonuçlar verdiği belirilmişir. Lieraürde Türkiye verisinden elde edilen ölüm hızlarında kuşak ekisinin de dikkae alındığı bir sokasik ölümlülük modeli çalışması olmadığı görülmüşür. Bu çalışmada, Türkiye nin yaşa göre ölüm hızlarında kuşak ekisinin olup olmadığı incelenerek, kuşak ekisinin ölümlülük projeksiyonları üzerindeki ekisi göserilecek ve arışılacakır. Çalışmada, lieraürde yaygın olarak kullanılan kuşak ekisini içeren ve içermeyen 8 farklı sokasik ölümlülük modeli için, 1980-2012 yılları arasında cinsiye ayrımındaki TÜİK (Türkiye İsaisik Kurumu) isaisik yıllıklarından derlenmiş, beşerli yaş gruplarına göre ölüm sayıları ve yıl orası nüfus verisi kullanılarak, paramere ahminleri elde edilmiş, uyum iyiliği esleri ve arıklar incelenerek elde edilen sonuçlar yorumlanmışır. Çalışmanın ikinci bölümünde, giriş bölümünde verilen sokasik ölümlülük modellerinin maemaiksel göserimleri ve paramere ahmini yapılabilmesi için paramere değerlerine ilişkin bazı kısılar verilmişir. Üçüncü bölümde kadın ve erkek nüfusuna ilişkin Türkiye verisi incelenmiş, paramere ahmin yönemi verilmiş ve uyum iyiliği esleri yapılmışır. Dördüncü bölümde elde edilen sonuçlar yorumlanmışır.

TÜRKİYE İÇİN STOKASTİK ÖLÜMLÜLÜK MODELLERİ 33 2. STOKASTİK ÖLÜMLÜLÜK MODELLERİ Bu çalışmada akvim yılı ve en son am yaş ile göserilmişir. ve akvim yılına göre merkezi ölüm hızları şu şekilde elde edilmişir: m, D E,, (1) Burada; D :. akvim yılında yaşında ölen kişi sayısını,, E :. akvim yılı orasında yaşındaki kişi sayısını, gösermekedir (Cairns ve diğerleri, 2007; Biffi ve Clemene, 2012 ). Ölümlülük modellemesinin daha basi olarak yapılabilmesi amacıyla kesirli yaşlar için ölümlülüğün sabi olduğu varsayılmışır. Bu durumda merkezi ölüm hızı, m k, m,, 0 k 1 olmakadır. Sokasik ölümlülük modellemesinde yaygın olarak kullanılan diğer göserim ise, q, dir. q, akvim yılında yaş için kaba ölüm oranını gösermekedir., Kesirli yaşlar için ölümlülüğün sabi olduğu varsayımı alında kaba ölüm oranı ve merkezi ölüm hızı arasındaki ilişki, q 1 ep m,, eşiliği ile yazılmakadır (Gerber, 1997). Bu bölümde, lieraürde yaygın olarak kullanılan sokasik ölümlülük modelleri ayrınılı olarak incelenmişir. 2.1. Model 1 Lee ve Carer (1992) modelinde, merkezi ölüm hızındaki akvim yılı ekisinin anımlamak için ARIMA zaman serisi modeli kullanılmakadır. Bu modelde, yaş ve akvim yılına göre merkezi ölüm hızı, (1) log m = + (4),, eşiliği ile göserilir. Burada; (1) : () yaşı için merkezi ölüm hızının doğal logarimasının oralamasını,

34 F. KUL, M. SUCU : zamana göre ölüm hızındaki değişimi, : yıllar iibariyle ölüm hızının genel düzeyindeki değişim hızını, : oralaması sıfır ve sabi varyanslı Normal dağılıma sahip haa erimini, gösermekedir. Model, iki erimin oplamından oluşmakadır. İlk erim, zamandan bağımsız sadece yaşa özel bileşeni, ikinci erim ise ölümlülüğün zamana göre genel seviyesindeki değişimi göseren bileşendir. Haaların sabi varyanslı (homoscedasic) dağıldığı varsayımı, üm yaşlarda zamana göre ölümlülük değişimlerinin ek bir fakör ile modellenmesi nedeniyle oluşan korelasyon yapısı ve ölümlülük değişiminde kuşak (cohor) ekisinin dikkae alınmaması bu yönemin sakıncalarını gösermekedir (Kul, 2014). Bu modelde paramere ahminlerinin elde edilmesi amacıyla kullanılan varsayımlar şu biçimdedir : =1 =0 (5) (6) 2.2. Model 2 Booh, Maindonald ve Smih (2002) ölümlülük modeli, Lee ve Carer (1992) modelindeki yıllar iibariyle ölüm hızının genel düzeyindeki değişimin n. dereceden ekisinin dikkae alınmasıyla oluşurulmuşur. Bu model, maemaiksel olarak, (1) (n) ( ) n log m = +... (7),, eşiliği ile yazılır. Bu modelin paramere ahminlerinin bulunmasında Lee-Carer ölümlülük modelindeki kısılar kullanılmakadır. 2.3. Model 3 Currie (2006) ölümlülük modeli, basi bir -Dönem-Kuşak (APC) modelidir (Cairns ve diğerleri, 2007). Bu model aşağıdaki eşilik ile göserilmekedir: (1) (3) log m, = +, (8) Burada; (1) (3) : () yaşı için merkezi ölüm hızının doğal logarimasının oralamasını, : zamana göre ölüm hızındaki değişimi, : yaş ve yıla göre kuşak ekisini gösermekedir. Currie (2006) modelinde paramere ahminlerinin elde edilmesinde kullanılan kısılar şu biçimdedir :

TÜRKİYE İÇİN STOKASTİK ÖLÜMLÜLÜK MODELLERİ 35 å, (3) g - =0 (9) =0 (10) 2.4. Model 4 Renshaw ve Haberman (2006) arafından kuşak ekisinin de dikkae alındığı genelleşirilmiş Lee-Carer (1992) ölümlülük modelidir (Cairns ve diğerleri, 2007). Model, (1) (3) (3) log m, = +, (11) eşiliği ile ifade edilmişir. Burada; (1) : () yaşı için merkezi ölüm hızının doğal logarimasının oralamasını, : zamana göre ölüm hızındaki değişimi, : zamana göre ölüm hızındaki değişimin yaşa ekisini, : yaş ve yıla göre kuşak ekisini, (3) (3) : kuşak ekisinin yaşa göre değişimini gösermekedir (Cairns ve diğerleri, 2007). Bu modelde, (3) 0 olması durumunda model, Lee ve Carer ölümlülük modeline dönüşmekedir. Renshaw ve Haberman (2006) modelinin paramere ahminleri,, (3) - =0 =0 1 (3) 1 kısıları alında elde edilmekedir. (12) (13) (14) (15) 2.5. Model 5 Merkezi ölüm hızı yerine kaba ölüm oranı kullanılan ve zamandan bağımsız yaşa bağımlı paramerenin kullanılmadığı yeni bir model oluşurulmuşur. Bu model, (1) (1) log i q = + (16),,

36 F. KUL, M. SUCU şeklindedir (Cairns, Blake ve Dowd, 2006a). Bu modelin paramereleri şu şekilde ifade edilmişir: (1) 1 (17) (18) Burada, ilgili yaş grubundaki oralama yaşı gösermekedir. 2.6. Model 6 Cairns, Blake ve Dowd (2006a) ölümlülük modeline kuşak ekisini göseren paramere eklenmişir: (1) (1) (3) (3), log i q = + (19) Bu ölümlülük modelinde paramereler şu şekildedir: (1) 1 (3) 1 (20) (21) (22) 2.7. Model 7 Cairns, Blake ve Dowd (2006b) ölümlülük modeline, yaşa göre karesel ekiyi içeren erim ve kuşak ekisi eklenmişir: (1) (1) (3) (3) (4), log i q = + (23) Bu ölümlülük modeli için paramereler şu biçimde ifade edilmişir: (1) 1 2 (3) 2 (24) (25) ˆ (26) (27) (4) 1 2 Burada, ˆ ilgili yaş grubundaki yaşların varyansını gösermekedir (Cairns, Blake ve Dowd, 2006b ). 2.8. Model 8 Pla (2009) ölümlülük modelinde; Cairns, Blake ve Dowd (2006b) ölümlülük modelinden farklı (4) olarak merkezi ölüm hızı kullanılmış ve parameresi ile yaşın üsen kesilmiş fonksiyonunun zamana göre ölüm hızlarında yapığı değişimin ekisi göserilmişir:

TÜRKİYE İÇİN STOKASTİK ÖLÜMLÜLÜK MODELLERİ 37 (1) (1) (3) (3) (4) (4) (5) (5) m, log = + (28) Ölümlülük modeli için paramere değerleri şu şekilde anımlanmışır: (1) 1 1 (3) (4) (5) 1 (29) (30) (31) (32) (33) 3. TÜRKİYE ÖLÜM VERİSİ İÇİN UYGULAMA 3.1. Türkiye İçin Ölüm Hızlarının İncelenmesi Bu bölümde, 1980-2012 yılları arasında Türkiye için cinsiye ayrımında ölüm sayıları ve riske maruz kalan birim sayılarından elde edilen yaş gruplarına göre ölüm hızları, bir önceki bölümde açıklanan sokasik ölümlülük modelleri kullanılarak modellenmişir. Sokasik ölümlülük modelleri için paramere ahmini yapılmadan önce ölüm hızına ilişkin bazı incelemelerin yapılması gerekmekedir. Şekil 1 de kadın ve erkeklerin ölüm oranları verilmişir: Şekil 1. Kadın ve erkekler için yaşa göre merkezi ölüm hızları (TÜİK)

38 F. KUL, M. SUCU Şekil 1 incelendiğinde, kadın ve erkeklerin ölüm hızlarının farklı değişim yapısına sahip olduğu, yaşa ve zamana göre ölüm hızlarının önemli biçimde değişiği görülmekedir. 0-20 ve 60-80 yaş aralıklarında kadınların ölüm hızları, erkeklerin ölüm hızlarından daha yüksekir. Ayrıca kadınların ölüm hızlarındaki değişim, erkeklerin ölüm hızlarındaki değişimden daha fazladır. Kadın ve erkek ölüm hızlarının yaşa göre değişim kasayıları (variabiliy coefficien) Şekil 2 de verilmişir: Şekil 2. Kadın ve erkek ölüm hızları için yaşa göre değişim kasayısı (TÜİK) Kadın ve erkek nüfusu için ölüm hızları değişim kasayısı, konveks bir fonksiyon olup, 20 de küçük ve 70 den büyük yaşlar için diğer yaşlara göre daha büyük değerler almakadır. lara göre erkeklerin ölüm hızlarındaki değişim kasayısının, kadınların ölüm hızlarındaki değişim kasayısına oranı Şekil 3 e verilmişir: Şekil 3. Değişim kasayısı oranı (TÜİK) 15-25 yaş aralığı ve 70 den büyük yaşlar için erkeklerin ölüm hızı değişim kasayısının kadınların ölüm hızı değişim kasayısına oranı 1 den büyükür. Şekil 1, Şekil 2 ve Şekil 3 incelendiğinde, erkek ve kadınların ölüm hızlarının ayrı ayrı modellenmesi gerekiği görülmüşür.

TÜRKİYE İÇİN STOKASTİK ÖLÜMLÜLÜK MODELLERİ 39 3.2. Paramere Tahmini Her bir akvim yılı ve yaş aralığı için, lieraürde yaygın olarak kullanılan ölüm sayılarının Poisson dağılımına uyduğu varsayımı alında, ikinci bölümde açıklanan sokasik ölümlülük modelleri için paramere ahmini şu şekilde elde edilmişir (Brouhns ve diğerleri, 2002): Burada; D,, m, :. akvim yılında yaşında ölen kişi sayısını, E :. akvim yılı orasında yaşındaki kişi sayısını, :. akvim yılında yaş için merkezi ölüm hızını gösermekedir (Cairns ve diğerleri, 2007; Biffi ve Clemene, 2012 ). Tüm modeller için paramere ahminleri En Çok Olabilirlik Yönemi (MLE) kullanılarak elde edilmişir. Sokasik bir ölümlülük modeli için paramereler kümesini gösermek üzere log-olabilirlik fonksiyonu, l ; D, E D, log E, m, E, m, log D,!, biçimindedir (Cairns ve diğerleri, 2007). Bu eşilik kullanılarak paramere ahminleri, R programlama dilinde yazılmış Lifemerics pakei kullanılarak elde edilmişir. 3.3. Uyum İyiliği Tesleri ve Duyarlılık Analizi Modellerin paramere ahminleri bulundukan sonra, oluşurulan modelin uyum iyiliği esi ve duyarlılık analizinin de yapılması gerekir. Çalışmalarda yaygın olarak kullanılan uyum iyiliği esi logolabilirlik değeridir. Log-olabilirlik değeri, modeldeki paramere sayısına bağlı olarak armakadır (Biffi ve Clemene, 2012), bu nedenle başka uyum iyiliği eslerine de ihiyaç duyulmakadır. Bu bölümde sokasik ölümlülük modellerine ilişkin paramere ahmini yapıldıkan sonra, opimal sokasik ölümlülük modelinin seçilmesi amacıyla bazı analizler yapılacakır. 3.3.1. Uyum iyiliği esi Sokasik ölümlülük modellerinde paramere sayısı arıkça log-olabilirlik değeri de aracakır. Bu nedenle, opimal sokasik ölümlülük modelinin belirlenmesinde BIC (Bayesian Informaion Crieria) değeri kullanılmışır. Tablo 1 de, ikinci bölümde anlaılan sokasik ölümlülük modelleri için BIC değerleri verilmişir. Ayrıca, sokasik ölümlülük modelleri BIC değerleri kullanılarak opimallik durumuna göre sıralanmışır: (34)

40 F. KUL, M. SUCU Tablo 1. BIC Değerleri ve Sıralama MODEL Kadın Erkek BIC Değeri Sıralama BIC Değeri Sıralama Model 1-8..458,30 7-6.996,13 8 Model 2-8.275,65 5-6.524,46 2 Model 3-8.379,20 6-6.865,53 6 Model 4-8.563,37 8-6.458,10 1 Model 5-8.126,40 4-6.721,44 4 Model 6-8.006,23 3-6.813,75 5 Model 7-7.902,10 2-6.924,42 7 Model 8-7.864,70 1-6.586,72 3 Tablo 1 incelendiğinde, kadınlar için Model 8 ve erkekler için Model 4 ün opimal model olarak seçilebileceği görülmüşür. Opimal modelin seçiminde sadece BIC değerlerinin karşılaşırılması yeerli değildir. Paramere ahmini yapıldıkan sonra arık değerleri de incelenmelidir. Sandarlaşırılmış arık değerleri,, ˆ D E m E mˆ,,,,, (35) eşiliğinden bulunmakadır (Cairns ve diğerleri, 2007). Şekil 4 e kadın ölüm hızları ve Şekil 5 e erkek ölüm hızları için sandarlaşırılmış arık değerleri verilmişir. Burada;, >2 :Koyu 1 2 : Ora koyu,, <1 : Açık koyu ile göserilmişir.

TÜRKİYE İÇİN STOKASTİK ÖLÜMLÜLÜK MODELLERİ 41 Şekil 4. Kadın ölüm hızları için sandarlaşırılmış arık değerleri Model 1 Model 2 Model 3 Model 4 Model 5 Model 6 Model 7 Model 8

42 F. KUL, M. SUCU Şekil 5. Erkek ölüm hızları için sandarlaşırılmış arık değerleri Model 1 Model 2 Model 3 Model 4 Model 5 Model 6 Model 7 Model 8

TÜRKİYE İÇİN STOKASTİK ÖLÜMLÜLÜK MODELLERİ 43 Opimal sokasik ölümlülük modeli belirlenirken, poziif ve negaif arık değerlerinin rasgele dağılması gerekmekedir (Biffi ve Clemene, 2012). Kadın ve erkek ölüm hızları için arık değerleri incelendiğinde, negaif ve poziif değerlerde bazı gruplaşmalar olduğu görülmekedir. Bu nedenle sandarlaşırılmış arık değerlerinin yanı sıra yıllara ve yaşlara göre arık değerlerine ilişkin bazı karakerisikler de incelenmişir. lara göre arık değeri karakerisikleri R programında Demography pakei içinde anımlanmışır. Bunlar; oralama haa (ME), oralama karesel haa (MSE), oralama yüzdesel haa (MPE), oralama mulak yüzdesel haa (MAPE) ve arıkların varyansıdır. lara göre arık karakerisik değerleri kadın ölüm hızları için Tablo 2 de ve erkek ölüm hızları için Tablo 3 e verilmişir. lara göre arık değeri karakerisikleri R programında Demography pakei içinde anımlanmışır. Bunlar; büünleşik haa (IE), büünleşik karesel haa (ISE), büünleşik yüzdesel haa (IPE) ve büünleşik mulak yüzdesel haa (IAPE) dır. lara göre arık karakerisik değerleri, kadın ölüm hızları için Tablo 4 e erkek ölüm hızları için Tablo 5 e verilmişir: Tablo 2. Kadın ölüm hızları için yıllara göre arık karakerisikleri MODEL ME MSE MPE MAPE Varyans Model 1 0,0124 0,0696 0,1029 0,1278 13,42 Model 2 0,0095 0,0787 0,0922 0,1472 11,60 Model 3 0,0128 0,0811 0,0824 0,1622 9,21 Model 4 0,0196 0,0920 0,0865 0,1567 12,15 Model 5 0,0082 0,0257 0,0275 0,1146 8,42 Model 6 0,0079 0,0468 0,0326 0,1048 8,96 Model 7 0,0098 0,0326 0,0872 0,1124 9,73 Model 8 0,0052 0,0657 0,0156 0,1737 7,42 Tablo 2 de verilen değerler incelendiğinde kadın ölüm hızları için Model 8 in beş es isaisiğinden üçü için en küçük değerleri aldığı görülmüşür. Sonuç olarak, yıllara göre arık karakerisikleri dikkae alındığında da kadın ölüm hızları için Model 8 in en uygun model olduğu söylenebilir. Tablo 3. Erkek ölüm hızları için yıllara göre arık karakerisikleri MODEL ME MSE MPE MAPE Varyans Model 1 0,0098 0,0192 0,0231 0,0942 6,58 Model 2 0,0193 0,0412 0,0396 0,1397 8,88 Model 3 0,0056 0,0152 0,0342 0,1138 6,10 Model 4 0,0034 0,0168 0,0161 0,1035 5,43 Model 5 0,0061 0,0399 0,0492 0,1121 8,73 Model 6 0,0179 0,0215 0,0513 0,1342 8,37 Model 7 0,0138 0,0298 0,4141 0,1402 9,12 Model 8 0,0152 0,0342 0,4320 0,1572 7,12

44 F. KUL, M. SUCU Tablo 3 e verilen değerler incelendiğinde, erkek ölüm hızları için Model 4 ün beş es isaisiğinden üçü için en küçük değerleri aldığı görülmüşür. Sonuç olarak, yıllara göre arık karakerisikleri dikkae alındığında da erkek ölüm hızları için Model 4, en uygun modeldir. Tablo 4. Kadın ölüm hızları için yaşlara göre arık karakerisikleri MODEL IE ISE IPE IAPE Model 1 0,0184 0,0789 0,0417 0,1042 Model 2 0,0135 0,0735 0,0311 0,1183 Model 3 0,0146 0,0634 0,0459 0,1087 Model 4 0,0178 0,0696 0,0296 0,1244 Model 5 0,0199 0,0899 0,0398 0,1139 Model 6 0,0159 0,0849 0,0373 0,1275 Model 7 0,0167 0,0815 0,0272 0,1102 Model 8 0,0126 0,0862 0,0235 0,1201 Tablo 4 incelendiğinde, farklı sokasik ölümlülük modellerinde, kadın ölüm hızlarının yaşlara göre arık değerlerinin birbirlerine yakın olduğu görülmekedir. Sonuç olarak, üm modellerin, kadın ölüm hızlarının yaşa göre değişimini, birbirine yakın derecede anımladığı görülmüşür. Tablo 5. Erkek ölüm hızları için yaşlara göre arık karakerisikleri MODEL IE ISE IPE IAPE Model 1 0,0169 0,0618 0,0237 0,0901 Model 2 0,0196 0,0649 0,0197 0,0896 Model 3 0,0157 0,0572 0,0312 0,0922 Model 4 0,0112 0,0465 0,0205 0,0835 Model 5 0,0189 0,0602 0,0396 0,0987 Model 6 0,0172 0,0596 0,0296 0,1003 Model 7 0,0135 0,0366 0,0347 0,0899 Model 8 0,0175 0,0511 0,0259 0,0965 Tablo 5 e verilen sonuçlar incelendiğinde, kadın ölüm hızları için bulunan sonuçlara benzer sonuçların erkek ölüm hızları için de geçerli olduğu görülmüşür. BIC değerleri ve arıklar incelendiğinde, kadın ölüm hızları için opimal sokasik modeline (Model 8) ilişkin paramere ahminleri Şekil 6 ve erkek ölüm hızlarına için opimal sokasik modeline (Model 4) ilişkin paramere ahminleri de Şekil 7 de verilmişir:

TÜRKİYE İÇİN STOKASTİK ÖLÜMLÜLÜK MODELLERİ 45 Şekil 6. Kadın ölüm hızları için paramere ahmini

46 F. KUL, M. SUCU Şekil 7. Erkek ölüm hızları için paramere ahmini 4. SONUÇLAR VE YORUM Çalışmanın amacı, Türkiye için yaşa göre ölüm hızlarında kuşak ekisinin araşırılarak bunun ölümlülük projeksiyonlarına ekisini incelemek ve arışmakır. Çalışmanın ikinci bölümünde lieraürde yaygın olarak kullanılan sokasik ölümlülük modelleri anıılmışır. Üçüncü bölümde ise Türkiye kadın-erkek nüfus ve ölüm sayılarından elde edilen merkezi ölüm hızları incelenmiş, kadın ile erkek ölüm hızlarının farklı yapıya sahip olmaları nedeniyle ayrı ayrı modellenmeleri gerekiği sonucuna ulaşılmışır. Opimal sokasik ölümlülük modelini seçmek için uyum iyiliği esleri yapılmışır. Uyum iyiliği eslerine göre erkek ölüm hızları için Model 4 ve kadın ölüm hızları için Model 8 opimal model olarak bulunmuşur. Sonuç olarak, kadın ve erkek ölüm hızları için kuşak ve akvim yılı ekisinin önemli olduğu görülmüşür. Kadın ölüm hızları için akvim yılı ekisinin, erkek ölüm hızlarına göre daha önemli olduğu sonucuna varılmışır.

TÜRKİYE İÇİN STOKASTİK ÖLÜMLÜLÜK MODELLERİ 47 Çalışmada bazı yıllar için, kullanılan veriden elde edilen (gözlenen) ve kadın ölüm hızları kullanılarak Lee-Carer (1992) ve Pla (2009) modellerine göre ahmin edilen doğuşa beklenen yaşam süreleri Tablo 8 de verilmişir. Tablo 8. Kadın Doğumda Beklenen am Süresi KADIN Gözlenen Lee-Carer (1992) Pla (2009) 1980 68,16 66,95 68,05 1985 69,82 68,58 70,08 1990 71,36 70,20 71,71 1995 72,80 71,83 72,93 2000 74,15 73,45 74,85 2005 75,71 75,08 76,78 2010 79,10 77,03 78,71 2015 79,66 80,64 2020 81,28 81,56 2025 82,91 82,49 2030 83,53 84,41 Erkek ölüm hızları kullanılarak bazı yıllara göre doğumda beklenen yaşam sürelerinin gözlenen, Lee-Carer (1992) ve Renshaw-Haberman (2006) modellerine göre ahmin edilen değerler Tablo 9 da verilmişir. Tablo 9. Erkek Doğumda Beklenen am Süresi ERKEK Gözlenen Lee-Carer (1992) Haberman (2006) 1980 63,08 62,41 63,05 1985 64,31 63,14 64,58 1990 65,47 64,87 65,90 1995 66,56 65,60 67,33 2000 67,58 66,33 68,75 2005 68,01 67,06 70,08 2010 73,90 69,82 72,69 2015 71,15 73,62 2020 72,88 74,54 2025 73,61 75,47 2030 74,34 76,39 Tablo 8 ve Tablo 9 birlike incelendiğinde, kadın ve erkekler için opimal olarak belirlenen modellerden elde edilen beklenen yaşam sürelerinin, gözlenen yaşam sürelerine Lee-Carer (1992) modelinden bulunan yaşam süresi ahminlerine göre daha iyi sonuç verdiği görülmüşür. Gözlenen ve modellerden elde edilen beklenen yaşam süreleri arasındaki farkın dikkae alınmayan

48 F. KUL, M. SUCU (gözlemlenemeyen) açıklayıcı değişkenlerden kaynaklandığı düşünülmekedir. Daha sonraki çalışmalarda bu değişkenlerin ekisini de dikkae alan modeller incelenebilir. Tekli yaşlar için ölüm sayıları ve riske maruz değerleri içeren veri kullanılması durumunda ölümlülük ahminleri daha sağlıklı biçimde yapılabilecekir. KAYNAKÇA Biffi P., Clemene G.P., (2012), Selecing sochasic moraliy models for he Ialian populaion, Decisions Economics and Finance, DOI 10.1007/s10203-012-0131-9. Booh, H., Maindonald, J. and Smih, L., (2002), Age-Time Ineracions in Moraliy Projecion:Applying Lee-Carer o Ausralia, ANU, Demography and Sociology Program, Research School of Social Sciences, Working Papers No. 85. Cairns, A.J.G., Blake, D., and Dowd, K., (2006a), Pricing deah: Frameworks for he valuaion and securiizaion of moraliy risk", ASTIN Bullein, 36: 79-120. Cairns, A.J.G., Blake, D., and Dowd, K., (2006b), A Two-Facor Model for Sochasic Moraliy wih Parameer Uncerainy: Theory and Calibraion", Journal of Risk and Insurance, 73: 687-718. Cairns, A.J.G., Blake, D., Dowd, K., Coughlan, G.D., Epsein, D., Ong, A., Balevich, I., (2007), A quaniaive comparison of sochasic moraliy models using daa from England & Wales and he Unied Saes, The Pensions Insiue, 13(1):1 35. Currie, I.D., (2006), Smoohing and forecasing moraliy raes wih P-splines", Talk given a he Insiue of Acuaries, June 2006. Demircioğlu, S., Büyükyazıcı, M., (2013), Poisson log-bilineer yaklaşımıyla Lee-Carer modellemesi ve Türkiye Uygulaması, İsaisikçiler Dergisi, Vol. 6, 14-40. Gençürk Y., Genç T., (2012), Türkiye il-ilçe merkezlerindeki ölüm oranlarının rend ve Lee-carer yönemleri ile ahmini, Anadolu Üniversiesi Bilim ve Teknoloji Dergisi B, 2 (1), 63-74. Gerber H.U., 1997, Life Insurance Mahemaics, Springer, Berlin. Gomperz B., (1825), On he naure of he funcion epressive of he law of human moraliy, Phil. Trans. Roy. Soc., 115, 513-585. Heligman L., Pollard J.H., (1980), The age paern of moraliy, Journal of he Insiue of Acuaries, 107, 49-80. Koissi, M.C., Shapiro, A.F., (2008), The Lee-Carer Model Under The Condiion of Variables Age- Specific Parameers, Acuarial Research Conference, Regina, Canada, 2.

TÜRKİYE İÇİN STOKASTİK ÖLÜMLÜLÜK MODELLERİ 49 Kul, F., 2014, Ölümlülük Yapısındaki Değişimin Modellenmesi ve Projeksiyonu, Haceepe Üniversiesi, Fen Bilimleri Ensiüsü, Aküerya Bilimleri AnaBilim Dalı, Dokora Tezi (Devam ediyor). Lee, R.D., Carer, L., (1992), Modeling and Forecasing U.S. Moraliy, Journal of he American Saisical Associaion, 87, 419. Li J.S., Hardy M.R., Tan K.S., (2009), Uncerainy in Moraliy Forecasing: An eension o he classical Lee-Carer approach, ASTIN Bullein, 39 (1), 137-164. Makeham, W.M., (1867), On he law of moraliy, Journal of he Insiue of Acuaries, 8, 325-358. Pla, R., (2009), On sochasic moraliy modeling, Insurance: Mahemaics and Economics, 45 (3), 393 404. Renshaw, A.E., Haberman, S.A., (2006), Cohor based eension o he Lee Carer model for moraliy reducion facors, Insurance: Mahemaics and Economics, 38 (3), 556 570. Tabeau, E., Van Den Berg Jehs, A., Heahcoe, C., (2001), Forecasing Moraliy in Developed Counries Insighs From A Saisical, Demographic, and Epidemiological Perspecive, Demographic and Epidemiological Perspecive, Kluwer Academic Publishers, London, 3,5,7. dırım F., (2010), Türkiye Ölümlülük Yapısının Lee-Carer ve Bulanık Lee-Carer İle Modellenmesi, Haceepe Üniversiesi, Fen Bilimleri Ensiüsü Yüksek Lisans Tezi. hp://www.urksa.gov.r/

50 F. KUL, M. SUCU SUMMARY STOCHASTIC MORTALITY MODELS FOR THE POPULATION OF TURKEY Moraliy forecass are playing an imporan role for demography and acuarial science. Early aemps o model moraliy did no ake accoun of poenial fuure improvemens in moraliy raes. Many sochasic moraliy modelling mehodologies are developed in ime. The aim of his paper is o have a close look a Turkish moraliy and see wheher here are any paerns suggesive of cohor effecs. Deahs and eposures o risk of male and female populaion are modelled seperaely. For he sake of comparison, BIC values, sandardized residuals and some residual characerisics, which are defined by ages and years are used. As a resul, i is found ha calendar year and cohor effec are imporan for male and female moraliy rae modelling.