MATEMATİKSEL İSTATİSTİK DERS NOTLARI

MATEMATİKSEL İSTATİSTİK DERS NOTLARI Hazırlaya: Prof. Dr. İsmail ERDEM Yrd. Doç. Dr. İlkur Özme Başket Üiversitesi İstatistik ve Bilgisayar Bilimleri Bölümü

İST 5 MATEMATİKSEL İSTATİSTİK VE OLASILIK I BÖLÜM I Permütasyo (Sıradüze), Kombiasyo ve Uygulama.. Permütasyo (Sıradüze): İsalar, eseleri değişik düzelerde sıralama sayısıı bulumasıa ilişki sorularla ilgilemişlerdir. Öreği; kişi bir sıraya kaç farklı düzede oturabilir, 8 kişi bir siema gişesi öüde kaç farklı düzede sıralaabilir gibi. Olasılıkları icelemeside de bua bezer soruları yaıtlamasıa gerek olacağıda, öcelikle permütasyo kousuu iceleyelim. tae eseyi sıralama, belirli bir sırada düzeleme ilgi alaımıza giriyorsa, olası düzelemeleri tümüe sıradüze (permütasyo) adı verilir. Öreği; A, B ve C harfleri ile adladırıla üç kitabı bir rafa kaç farklı düzede sıralaabileceğii belirlemek isteyelim. Bu soruya cevap iki farklı şekilde verilebilir. I. yol; Ağaç diyagramıda yararlamaktır. Ağaç diyagramıda değişik düzeleri sayısı, yai sıra düzeleri sayısı şu şekilde elde edilir..gözdeki.gözdeki 3.gözdeki Olası kitap kitap kitap düzeler B C ABC A C B ACB A C BAC O B C A BCA A B CAB C B A CBA Bu diyagramda A, B, C ile adladırıla kitapları altı farklı düzede sıralaabileceği görülmektedir. II.yol, Biçimideki gözeleri doldurulmasıa dayamaktadır. Birici göze; A, B ve C kitaplarıda biri ile, yai 3 değişik yolla doldurulabilir. 3 Birici Gözeye koabilecek kitabı her biri içi ikici göze; geriye kala iki kitapta biri ya da öteki ile doldurulabilir. 3

Üçücü göze de geriye kala bir kitap ile doldurulabilir. 3 Böylece üç kitabı değişik düze sayısı 3.. 6 olarak buluur. ÇARPMA İLKESİ: yolda ortaya çıka bir olay düşüelim. Buu izleye ikici olay, yolu her biri içi yolda ortaya çıksı. Bu durumda tüm olayı değişik biçimde ortaya çıkma sayısı. olur. Bu durumu birbirii izleye k olay içi geelleyecek olursak: i olayı i yolda yapılabilsi. k olayı tümü birlikte.... k değişik yolda meydaa gelebilir. Örek:,, 3, 4, 5 rakamları ile hiçbir rakamı tekrarlamada üç rakamlı kaç farklı sayı yazılabilir? Doldurulacak 3 göze vardır. İlk göze, beş rakamı herhagi biri (,, 3, 4, 5) ile yai beş farklı şekilde doldurulabilir. İkici göze, geriye kala dört rakamı herhagi biri ile yai dört farklı şekilde doldurulabilir. So göze yai üçücü göze, geriye kala üç rakamda bir ile yai üç farklı şekilde doldurulabilir. Çarpma ilkesie göre, oluşturulabilecek üç basamaklı sayıları toplam sayısı; 5. 4.3 60 olur. TOPLAMA İLKESİ: Biricisi farklı şekilde, ikicisi farklı şekilde yapılabile iki işlemi göz öüe alalım. İki işlemde acak biride biri yapılabilirse, bu işlemlerde bir ya da öteki ( + ) yolda yapılabilir. Toplama ilkesi, solu sayıda işlemi içie ala durumlar içi de geelleebilir. Öreği bir öğrecii sabah dersleri içi Üiversiteye ulaşımda kullaacağı seçeekler: 3 farklı servis aracı, iki farklı arkadaşı otomobili, Babasıı veya bir komşuu otomobili olsu. Bu öğreci o sabah Üiversiteye kaç farklı yolla ulaşabilir? Cevap: 3++7 olur. FAKTORİYEL (): de ye kadar tüm tamsayıları çarpımıa faktoriyel deir ve ile gösterilir.... (-)... 0! ve! dir. büyüdükçe, li bulmak güçleşir. Bu durumda Stirlig formülü kullaılarak yaklaşık olarak buluur. büyüdükçe π. e ile yaklaşık değeri hesaplaabilir. Öreği : 5 içi 5!.55*0 5 tir ve ayı değeri yaklaşık olarak hesaplayacak olursak; 5! π 5.5 5.e -5.5459594*0 5 buluur ki bu da gerçek değere çok yakıdır. Teorem: tae birbiride farklı esei taesi sıraladığıda elde edilecek değişik düze sayısı dır. tae farklı esei sıralamasıda elde edile düzeleri sayısı P ile gösterilir. Bua göre, P olur.

Örek: 7 kişi bir gişe öüde kaç farklı düzede sıralaabilir? P 7! 7.6... 5040 7 kişii farklı düzede sıralama sayısı 7 7 Teorem: tae farklı esei (eseler sıralamalarda yalız bir kez kullaılabilecek) k (k ) taesi sıralaırsa, elde edilecek farklı düzeleri sayısı P k ile gösterilir ve ( k)! P k (-)(-)...(-k+) olarak buluur. ( k)! Örek: ORHAN sözcüğüü harfleride iki harfli kaç farklı sözcük yapılabilir? Beş harfte ikisii seçip iki harfli sözcükler oluşturacağız. Sözcüklerde harfleri sırası öemlidir. İki harfli sözcükleri sayısı, 5 ve k olmak üzere 5! 5! 5.4.3! P 5.4 0 (5 )! 3! 3! 5 olur Şimdiye dek birbiride farklı eseleri düzelerii sayısı iceledi. Eğer eseleri bazıları ayı ise, bu durumda düzeleri sayısıı bulmak içi değişik işlem yapmamız gerekecektir. Öreği;,, 3, 4 rakamlarıı Bir kez kullaılmak koşuluyla 4 rakamlı 4 (4!) sayı elde edebiliriz. 4, 4, 4, 4 gibi her biri ayı rakam olduğuda ise 4 rakamlı sadece bir sayı elde edebiliriz. Teorem: taesi bir türde, taesi ikici bir türde,..., k taesi k ıcı türde ola ( +..+ k ) tae ese olsu. tae esei tümü sıralaırsa, elde edilecek farklı düzeleri sayısı!!... k! oraıda buluur. Örek: İSTATİSTİK sözcüğüü harflerii her düzede kullamak koşulu altıda, kaç farklı sözcük elde edebiliriz? İSTATİSTİK sözcüğüde 5 farklı harf (i, s, t, a, k) vardır. 3(i leri sayısı), (s leri sayısı), 3 3(t leri sayısı), 4 (a ları sayısı) ve 5 (k ları sayısı). O halde elde edilecek farklı sözcük sayısı,!!! 3 4 0! 50400!! 3!!3!!! 5 olur. + + 3 + 4 + 5 3 + +3 + + 0

DAİRESEL DÜZEN: tae farklı eseyi bir daire çevreside sıralarsak elde edilecek farklı düzeleri sayısı (-)! buluur. Örek: 7 kişi yuvarlak bir masa çevreside kaç farklı düzede oturabilir? (7-)! 6! 70.. Kombiasyo (Birleşim): Permütasyoda sıra öemli ike kombiasyoda sıra öemli değil, seçim öemlidir. Dolayısıyla permütasyo (sıradüze) sayısı ile kombiasyo (birleşim) sayısı eşit değildir. Öreği; A, B ve C ile gösterile üç esede iki taesii, sırayı göz öüe almada, seçmek istersek AB, AC, BC gibi üç farklı seçim yapılabilir. Burada eseleri sırasıı dikkate almadığımız içi AB ile BA ayı seçimlerdir. Üç esei ikişerli sıralamasıda elde edilecek farklı düze sayılarıı bulmak istersek burada sıralama öemli olduğuda permütasyo yardımıyla, 3! 3 P 3! 6 olarak buluur. (3 )! Permütasyolar AB, BA AC, CA BC, CB Kombiasyolar AB AC BC Kombiasyoa ilişki bazı taımlar: - k!( k)! ( )( )... [ ( k )... k - 0 0 0 3- egatif olmaya bir tamsayı ve k, de büyük bir tamsayı ise 0 dır. <<k olduğu içi taımıda kesri payı sıfır buluur ve kesri değeri sıfır olur. Öreği! 3 3!( 3)!.( )( ) 3!(!) 0 4- + + + + dir. + + k + k + 5- + +...+ dir. 0 k k

6. k dır. k ( k)!( ( k)! ( k)! k! Teorem: Birbiride farklı esei k mertebeli (dereceli) kombiasyo sayısı Pk C k olarak buluur. k k!( k)! ( k)!. k! k! Örek: 4 kız ve 7 erkek öğrecide arasıda 5 kişilik bir kurulda kız ve 3 erkek öğreci olması isteirse ve kızlar ve erkekler içide yapılacak seçimler tesadüfi olarak yapılacaksa kaç farklı seçim yapılabilir? 4 Kurula girecek kız öğreci içi farklı seçim 7 3 erkek öğreci içi farklı seçim 3 yapılabilir. Bua göre, 5 kişilik değişik kurul sayısı, 4 7 4! 7!. 0 buluur. 3!! 3!4! Teorem: farklı esede oluşa bir küme, biricisi, ikicisi,...r icisi r ese içere r alt kümeye,,... r!.!... r! farklı yolla bölüebilir. ( +... r ) Taıt(İspat): İlk alt kümeye gire ese yolla, ikici alt kümeye gire ese yolla üçücü alt kümeye gire 3 ese yolla, r ici alt kümeye gire 3... r r ese yolla seçilebilir. r Bua göre,,..., r... r.... r ( )! (... r )!... olur!( )! ( )!( )!!0!!!...! r r

Örek: 8 değişik kitap 3 çocuğa dağıtılacaktır. Birici çocuğa kitap, ikici çocuğa 3 kitap ve üçücü çocuğa 3 kitap verileceğie göre, 8 kitap 3 çocuğa kaç değişik yolla dağıtılabilir? 8 8,, 3, 3 3?,3,3 8 8! 560 değişik yolla dağıtılabilir.,3,3!3!3! İKİ TERİMLİ (BİNOM) KATSAYILAR! artı değerli bir tamsayı ike (x+y) gibi iki terimli bir ifadei açılımları: (x+y) x + xy+ y (x+y) 3 x 3 + 3x y +3xy +y 3 (x+y) 4 x 4 + 4x 3 y + 6x y + 4xy 3 +y 4 tür. Her açılımda (üs+) sayıda terim vardır. Öreği (x+y)4 açılımıda terim sayısı 4+5 tir. Acak üs büyüdükçe açılımı bulmak güçleşir. Bu durumda Biom teoremide yararlaılır. r r Teorem: pozitif değerli bir tamsayı olmak üzere ( x + y) x y dir. Burada r 0 r (x+y) açılırsa, x -r y r terimii katsayısı, y leri vere r tae çarpaı seçilebileceği yol sayısı ola dir. ye iki terimli katsayısı deir. r r Örek: (x+y) 3 x 3 + 3x y + 3xy +y 3 açılımı, x 3, x y, xy ve y 3 terimlerii içerir. Buları katsayıları,3,3, dir. xy terimie karşılık gele katsayı bulumak isteirse, y leri vere iki 3 çarpaı seçilebileceği yol sayısı ola 3 olarak buluur. [(x.y.y), (y.x.y), (y.y.x)] x 3 ve y 3 3 3 ü katsayıları ola ve olarak buluur. (x.x.x).y 0 leri vere çarpaı 0 3 3 seçilebileceği yol sayısı, 0 (y.y.y).x 0 3 leri vere çarpaı seçilebileceği yol sayısı dir. 3 Örek: (3 + x) 5 ifadesii açılımıı yazıız. a3 bx 5 (3+x) 5 5 5 3 k 0 5 k.(x) k

5 3 0 5 (x) 0 5 4 + 3 (x) 5 3 + 3 (x) 5 + 3.(x) 3 3 5 + 3 (x) 4 3 5 +(5)(3 4 )(x)+(0)(3 3 )(x) +(0)(3 )(x) 3 +(5)(3)(x) 4 +(x) 5 3x 5 +40x 4 +70x 3 +080x +80x+43 buluur. 4 5 0 + 3.(x) 5 İki terimli katsayıları bulumasıda Pascal üçgeide yararlaılabilir. Pascal üçgeide, her sıradaki ilk ve so terimler ve öteki terimler bir üst sıradaki ardışık iki katsayıı toplamasıyla elde edilir. (x+y)0 (x+y) x +y (x+y) x + xy +y 3 3 (x+y) 3 x 3 + 3x y + 3xy + y 3 4 6 4 (x+y) 4 x 4 + 4x 3 y + 6x y + 4xy 3 + y 4 ÇOK TERİMLİ (MULTINOMIAL) KATSAYILAR:,,... r oraıda yararlaarak (x +x +...x r ) terimii açılımıdaki!!...! r x x r r terimii çok terimli katsayısı, x...!!...! r 5 olur. Örek: (x +x +x 3 ) 6 ı açılımıdaki x 3 x x 3 terimii katsayısı kaçtır? 6, 3 3 olduğua göre 6! 6.5.4.3! 60 buluur. 3!!!! 3!.. Örek: (x+y+z) 8 i açılımıdaki x y 3 z 3 terimii katsayısıı buluuz? 8 3 3 3 8!!.3!.3! 8.7.6.5.4.3!.6.3! 560 buluur.

UYGULAMA I (Permütasyo-Kombiasyo) )5 soruda oluşa bir sıavda 7 soruyu yaıtlamak zoruda ola bir öğreci, a) hiçbir koşul olmada 7 soruyu kaç değişik şekilde seçer? b) ilk 3 soru zorulu ise 7 soruyu kaç değişik yolla seçer? c) ilk 4 soruu e az 3 ü yaıtlamak zoruda ise 7 soruyu kaç değişik yolla seçer? Çözüm: 5 5! a)5 soruda 7 soruyu 6435 yolla seçer. 7 7!.8! b) 5 soruda ilk 3 soru zorulu ise, seçim yapılabilecek soru sayısı (5-3) olur. 7 soru yaıtlayacak ilk 3 soruda sora! 7-34 soru daha yaıtlaması gerekir. Geriye kala soruda 4 soruyu 495 4 4!8! değişik yolla seçer. 4 4 4!! 4!! c) * + * * + * 30 + 65 485 değişik yolla seçer. 3 4 4 3 3!! 4!7! 4!0! 3!8! ) İki katlı bir otobüsle 0 yolcu, si üst katta ve 8 i alt katta olmak üzere seyahat edeceklerdir. Yolcularda 4 ü üst katta, 5 i alt katta seyahat etmek istememektedir. Yolcular, sıralamaları göz öüe almaksızı kaç değişik şekilde oturtulabilir? Çözüm: 0 yolcu üst ve 8 Alt Yolcular 4 ü alt katta, 5 i üst katta gideceğie göre 9 yolcu yerleştirilir. Geriye 0-9 kalır. Otobüsü üst katıda -57 boş yer, alt katıda 8-44 boş yer kalır. Bu durumda yolcuu 7si üst kattaki ve 4ü alt kattaki boş yerlere edilir.! 7,4 7!.4! 4 330 farklı biçimde yerleştirilir, veya 7 4! ayı souç elde 7!.4! 3) OTURMAK sözcüğüü harfleride, si sessiz ve 3 ü sesli ola 5 harfli kaç farklı sözcük oluşturulabilir? Çözüm: OTURMAK sözcüğüde 3 sesli (O, U, A) ve 4 sessiz (T, R, M, K) harf vardır. 4 3 Bular arasıda si sessiz, 3 ü sesli harf yolla seçilir. Her seçim içi sözcük sayısı 3 4 3 5! olduğua göre, isteile biçimdeki farklı sözcük sayısı 5! 70 olur. 3 4) sadalyeye, kişi kaç farklı yolla oturtulabilir? Çözüm: yerde sii seçeceğiz. Ayrıca bu kişii kedi aralarıda bir sıradüzei (permütasyou) vardır. Bua göre farklı düzeleri sayısı

!!.! 3 olarak buluur.!.0! 5) 9 farklı oyucağı 4 çocuk arasıda,. ye 3, kala çocuklara şer oyucak verecek şekilde kaç türlü dağıtabiliriz? 9 9! Çözüm: 7560 farklı şekilde dağıtabiliriz. 3,,, 3!!!! 6) 4 üyeli bir kulüp üyeleri arasıda bir başka, bir başka yardımcısı, bir sayma ve bir de yazma seçilecektir. Seçimler tesadüfi olarak yapılacak ve ilk seçile başka, ikicisi başka yardımcısı, üçücüsü sayma ve dördücüsü de yazma olacak ise, bu dört pozisyo kaç farklı şekilde doldurulabilir? Çözüm : 4 üyede bir defada 4 ü alımasıı permütasyo sayısı, 4! (4 4)! 4! 0! 4.3...0! 0! P 55, 04 4 4 7 ) Bir para 6 kez atıldığıda yazı (Y) ve 4 tura (T) kaç değişik biçimde gelebilir? Çözüm: 6 6 4 6!!.4! 6!!.4! 5 5 kez Y gelmesi 4 kez T gelmesi