DİFERANSİYEL DENKLEMLER Güz Bahar Dönemi Diferansiyel Denklemlerin Sınıflandırılması

DİFERANSİYEL DENKLEMLER Güz Bahar Dönemi Diferansiel Denklemlerin Sınıflandırılması Birçok mühendislik, fizik ve sosal kökenli problemler maemaik erimleri ile ifade edildiği zaman bu problemler, bilinmeen fonksionun bir vea daha üksek merebeden ürevlerini içeren bir denklemi sağlaan fonksionun bulunması problemine dönüşür Bu manıkla oluşurulmuş denklemlere Diferansiel Denklemler denir Buna örnek olarak F ma newon kanunu verilebilir Eğer u(), F kuvvei alında m küleli bir parçacığın anındaki konumu veren bir fonksion ise d u m d F, u, du d Burada F kuvvei,u,du/d hızının bir fonksionudur Adi ve Kısmi Diferansiel Denklemler bağımsız değişkeni, bilinmeen f() fonksionu ve bu fonksionun, (n) ürevleri arasındaki bir bağınıa diferansiel denklem denir Bu denklem şeklinde göserilir F(,,, (n) ) f() fonksionu ek değişkenli bir fonksion ise denkleme adi diferansiel denklem ismi verilir Bilinmeen f() fonksionu birden fazla değişkene bağlı ise ürevlerine kısmi ürev, denkleme ise kısmi diferansiel denklem a da kısmi ürevli denklem denir d sin d z z P(, ) Q(, ) () ve () denklemlerden nolu denklem adi dif Denklem, nolu denklem ise kısmi dif Denkleme örnek olarak verilebilir Adi diferansiel denklemlere kısaca diferansiel denklem denir DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN -

Diferansiel denklemin merebesi ve derecesi Bir diferansiel denklemin merebesi, denklemde var olan üksek merebeli ürevin merebesidir En üksek merebeli ürevin üssü denklemin derecesidir 4 6 6 ikinci merebeden birinci merebeden diferansiel denklemlerdir Genel halde F[,u(), u (),u (),u n ()] denklemi n merebeden adi diferansiel denklemdir u() erine koarsak olur F(,,, (n) ) Örneğin +e + 4 () diferansiel denklemi u() için 3 merebeden bir diferansiel denklemdir Verilen bir adi diferansiel denklemi çözmek için en üksek merebeli ürevden ararlanılır n f(,,,, (n ) ) () Çözüm: () nolu adi diferansiel denklemin α<<β aralığındaki çözümü φ dir ve ürevleri φ, φ, φ (n) vardır φ (n) () f [, φ(), φ (), φ (n ) ()] (3) (3) ün α<<β aralığındaki her için sağlandığı kabul edilmekedir Doğrudan erine koma meodu ile ()cos ve ()sin fonksionları + diferansiel denkleminin çözümleridir(çözümlerin ürevleri alınıp diferansiel denklemde erlerine konduğunda diferansiel denklemi sağlamaları gerekir) (Cos) sin (sin) cos cos cos (sin) cos cos sin sin+sin Diferansiel denklemlerin çözümleri Bir diferansiel denklemi özdeş olarak sağlaan her f() fonksionuna diferansiel denklemin çözümü vea inegrali denir Bir diferansiel denklemi çözmek demek, ürevleri ile birlike verilen diferansiel denklemde erlerine konulduğu zaman, denklemi özdeş olarak sağlaan büün fonksionları bulmak demekir Diferansiel denklemlerin çözümü genel, özel ve ekil olmak üzere üç ürdür n merebeden bir diferansiel denklemin genel çözümü, saıca daha aşağı düşürülemeen n ane kefi sabii içerir Özel çözümler, genel çözümlerden sözü edilen sabilere özel değerler vermek sureile elde edilir Bunlardan başka bazı diferansiel denklemlerin, bu denklemi sağlaan, faka genel çözümlerden bulunamaan bir vea birkaç çözümü olabilir ki bu çözümlere ekil çözümler denir DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN -

Doğrusal ve doğrusal olmaan Denklemler (Lineer ve Non Lineer Denklemler) Diferansiel denklemlerin bir diğer sınıflandırması lineer ve non lineer olmalarına göre apılabilir Eğer F(,,, (n) ) adi diferansiel denkleminde F fonksionu,, (n) değişkenlerinin lineer bir fonksionu ise F(,,, (n) ) denklemine lineerdir denir Bölece n merebeden en genel lineer adi diferansiel denklem a () (n) +a () (n ) ++a n ()g() 4 dir (4) formunda olmaan denkleme ise non lineerdir denir () nolu denklem non lineerdir () de non lineerliliği erimi apar a ()( (n) ) 5 5 varsa non lineer alnızca varsa lineerdir Doğrulu Alanı Diferansiel denklemlerin çözümlerinin geomerik olarak orumlanmasına d/d f(,) 5 şeklindeki merebeden diferansiel denklem ardımcı olur Bu denklemin çözümü φ() şeklinde olduğundan, çözümün geomerik orumu,bu fonksionun grafiği ile olur Geomerik olarak (5) denklemi, kefi bir (,) nokasında,çözümün d/d eğimi f(,) ile verildiğini ifade eder Bunu (,) nokasından geçen eğimi f(,) olacak şekilde kısa bir doğru parçası çizerek göserebiliriz Bu şekilde çizilmiş üm doğru parçalarına (5) denkleminin doğrulu alanı denir Doğrulu alanı kısaca düzleminde ele alınan nokalarda çizilen doğru parçalarının opluluğundan oluşur Örnek : d/d(3 )/ denkleminin doğrulu alanını göseriniz Burada f(,) sadece e bağlıdır f(,)f() () <3 için d/d> d/d (+) eğim arar, ürev ukarı doğru >3 için d/d< d/d ( ) eğim azalır, ürev aşağı doğrudur 3 için, d/d 3 (,) ( DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 3

BÖLÜM Merebeden Lineer Diferansiel Denklemler Birinci merebeden her diferansiel denklem F(,, ) vea M(,)d + N(,)d şeklindedir Bu denklem ürevine göre çözülebilirse d/d f(,) şekline girer Burada f fonksionu iki değişkene bağlıdır Eğer () deki fonksionun değişkeni lineer olarak bulunabiliorsa verilen denklem d + p( ) g( ) d şeklinde azılabilir Bu denkleme merebeden lineer diferansiel denklem denir Diferansiel denklemi sağlaan ve c kefi sabiine bağlı ϕ(,c) şeklindeki bir fonksiona birinci merebeden diferansiel denklemin genel çözümü denir ϕ(,c) genel çözümünde cc konursa elde edilecek her fonksionuna özel çözüm denir Örnek ϕ(,c ) d/d ( 3)/ denkleminin çözümünü bulunuz Arıca bu çözümlerden (,) nokasından geçenini grafikle beliriniz d/( 3) /d (u 3 dud du/uln u ln 3 ) d/( 3) /d Ln( 3) (/)+lnc ( 3)/ce (/) 3+ ce (/) (,) nokasından geçen çözüm eksenini bulmak için ve (3+ ce (/) ) de erine konursa c bulunur 3 e / çözümü (,) nokasından geçen eğridir ( için ; için 4 ; için 4 için 3) c için 3+e / ( için 4; için 36 ; için 46 için 3) DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 4

(,) ( için üm çözümler 3 e aklaşır İnegral Çarpanı Burada amaç +p()g() diferansiel denklemini ugun bir inegrason çarpanı µ() ile çarpmak surei ile inegrali alınabilir duruma geirmekir µ() belli değil, µ() ile denklemin her iki arafı çarpılırsa; µ() +µ()p()µ()g() 3 (3) nolu denklemin sol anını bir fonksionun ürevi olarak anımlamak isersek, µ() µ ()p() µ() 4 koşulunu sağlamak zorundadır µ() nin (+) olduğunu kabul edersek (4) en µ d ()/ µ()p() vea Lnµ ( ) p( ) d olur Her iki arafın inegrali alınarak kefi sabi k seçilirse İnegrason çarpanı lnµ() p()d+k µ() e P()d 5 ardımıla hesaplanır Bulunan µ(), µ ()p() µ() koşulunu sağladığından (3) denklemi [µ() ] µ()g() 6 olur (6) nolu eşiliğin her iki arafının inegrali alınırsa Genel çözüm ise µ() µ()g()d+c genel µ ( ) g( ) d + c µ ( ) 7 DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 5

eşiliği ardımıla bulunur (7) denkleminde c kefi bir sabi olduğundan bu ifade eğrilerin sonsuz bir ailesine karşı gelir Bunlara genelde inegral eğrileri olarak isimlendirilir Diferansiel denklemin çözümü olan ve İnegral eğrileri olarak isimlendirilen eğriler doğrulu alanının doğrularına eğeir( Kısaca, f(,) denkleminin F(,)c formunda ifade edebileceğimiz inegral eğrileri, doğrulu alanının doğrularına eğe olacakır) Eğer bu eğrilerden birini ani bir (, ) nokasından geçenini ararsak, ( ) başlangıç koşulu verilmelidir +p()g() şeklinde verilmiş Merebeden diferansiel denklemle ( ) başlangıç koşulu da verilirse bu probleme başlangıç değer problemi denir Örnek / e () başlangıç değer probleminin çözümünü bulunuz +p()g() şeklinde p() / q() e inegrason çarpanı µ() e P()d den µ()e ( /)d e / [µ() ] µ()g() (e / ) e / e (e / ) e 3/ inegral alınarak e / /3 e 3/ +c genel /3 e +c e / c ise /3 e, ( /3; /4; için ) c ise /3 e +e / ( /3; 4; için ) c ise /3 e e / ( 5/3; için ) ile inegral eğrileri çizilir Diferansiel denklemin çözümü olan ve İnegral eğrileri olarak isimlendirilen eğriler doğrulu alanının doğrularına eğeir (), için /3+c probleminin çözümü c /3 bulunur verilen başlangıç değer /3 e /3 e / olur /e nin çözümü şekilde kalın çizgi ile çizilmişir DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 6

/3 /3 (, ) Ödev: 5/3 /e nin çözümü ) +, () başlangıç değer probleminin çözümünü bulunuz ) + e () başlangıç değer probleminin çözümünü bulunuz Lineer Denklemler Teorem +p()g() diferansiel denkleminde p() ve g() fonksionları nokasını içeren içeren bir I: α<<β açık aralığı üzerinde sürekli ise bu akdirde bir ε I için ( ) başlangıç koşulunu ve +p()g() diferansiel denklemini sağlaan bir φ() fonksionu vardır Örnek: +4 () başlangıç değer problemini çözünüz( µ(), +c/ ) () için c +/ > 3 DEĞİŞKENLERE AYRILABİLİR TİPTE DİFERANSİYEL DENKLEMLER M(,)d+N(,)d ( değişkeni için M(,)d+N(,)d) şeklindeki bir diferansiel denklem f()d +ϕ() d şekline dönüşürülebiliorsa değişkenlere arılabilir ipe diferansiel denklem adını alır f()d +ϕ() d denkleminin her erimi alnız bir değişken ve bu değişkenin diferansielini içerdiğinden erim erim inegral alınabilir Bu durumda f ( ) d ϕ ( ) d + c çözümü elde edilir F() + φ()c DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 7

ÖRNEK : /3 diferansiel denkleminin genel çözümünü bulunuz c için özel çözümü bulunuz ÇÖZÜM: d/d /3 d/ /3 d d/ /3 d /3+ /( /3+) 3 /3 +c Bölece genel çözüm /3 /3(+c ) olarak elde edilir Özel çözüm c konularak /3 /3 olur ÖRNEK : ) +cos diferansiel denklemini çözünüz Çözüm: Verilen diferansiel denklemin her iki arafını d ile çarpıp e bölersek d/ +cos d denklemi elde edilir Bu denklemin inegrali alınarak isenen genel çözüme ulaşılır Ln +sin lnc Ln(/c) sin Ln Lnc sin /c e sin c e sin elde edilir Ödev: d/d ( )/ + c d+and c cos 4 HOMOJEN TİPTE DİFERANSİYEL DENKLEMLER M(,) için a skaler olmak üzere M(a,a)a r M(,) bu fonksiona r inci dereceden homojen bir fonksiondur denir Eğer M(,) ile N(,) anı merebeden homojen fonksionlarsa buna homojen merebeden diferansiel denklem denir v dönüşümü bu denklemi değişkenlere arılabilir hale geirir Eğer d/d f(,) şeklindeki bir diferansiel denklemde f fonksionu sadece e vea sadece e değil de, onların / vea / oranlarına bağlı ise bu diferansiel denklem homojendir denir ve DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 8

d F( ) () d şeklinde anımlanır Aşağıdaki örnekleri incelersek: d + ) ( ) + homojen d ) d d + + ( / ) ln ln + ln + homojen ( / ) 3 d + 3) ( ) + homojen değil d NOT: Verilen diferansiel denklemin homojen olup olmadığı aşağıdaki gibi bir olla da araşırılabilir ( azılarak) Bunu d f (, ) f (, ) f (, ) d d + diferansiel denklemine ugularsak ani ( azalım) d ( ) + ( ) + ( + ) + f (, ) f (, ) olduğundan homojendir d + + ( / ) ln ln + ln + ln(/)+(+)/( )f(,) d ( / ) DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 9

Örnek: ( 3 )d + d diferansiel denklemini çözünüz Çözüm: v dvd+dv verilen denklemde erlerine konularak ( 3v )d+ v( vd+dv) ( 3v )d+v d+ 3 vdv / ile çarp d[( 3v )+v ]+dvv d( v )+vdv d( v ) vdv d v dv v lnln( v )+c v/ konursa lnln( ( / ))+c u v du vdv dv du/v ln ln( ( / ))c cln( 3 /( )) e c 3 /( ) Örnek : + 3 + d d () için özel çözümü bulunuz ( cln( 3 /(+ )), e c 3 /(+ ) cln(/)) DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN -

MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER (Homojen çözüm, ikinci araflı denklemin çözümü) +p()g() şeklindeki denkleme birinci merebeden lineer diferansiel denklem denir g() ise lineer merebeden homojen denklem denir Bu akdirde denklem değişkenlere arılabilir ipe olur Önce d/d+p() homojen çözüm bulunur d/ p()d ln p()d+lnc ce p()d bulunur Bu ifadenin ikinci araflı denklemin çözümü olabilmesi için, c nin nasıl bir c() fonksionu olması gerekiğini araşıralım Bunun için de cc() olduğuna göre c() e p()d in ikinci araflı denklemi sağlama şarını azalım Buradan p() c() e p()d + e p()d dc/d elde edilir +p()g() de ve erlerine konularak genel çözüm elde edilir p() c()e p()d + e p()d dc/d+p() c()e p()d g() dc/d g() e p()d c g() e p()d d+c c nin bu değeri çözümü olarak ce p()d de erine konursa ikinci araflı denklemin genel e p()d [ g() e p()d d+c ] elde edilir (Bkz: Bölüm (7) no lu eşilikle anıdır) DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN -

ÖRNEK +3 diferansiel denklemini çözünüz Çözüm: Önce + ile homojen çözüm elde edilir, ani + eşilenerek d/d d/ d ln +c ln lnc ln(/c) /c e c e ile homojen çözüm elde edilir Özel çözüm için cc() ile verilen denkleme bağlı olarak ürev alınarak erlerine konur, ani c () e c()e ve c() e ifadeleri verilen +3 eşiliğinde erlerine konularak c () e c()e + c() e 3 c () e 3 elde edilir c ()dc/d ile dc/d e 3 azılarak dc/d 3 e dc3 e d c3 e +c elde edilir, bulunan bu değer (c) homojen çözüm sonucu bulunan c e eşiliğinde erine konularak ikinci araflı denklemin genel çözümü elde edilir genel çözüm: (3 e +c )* e 3+c e olur ödev: ds/dθ3s+7 s()5 özel çözümü bulunuz sonuç s[c e 3θ 7/3] DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN -

ln + diferansiel denklemini çözünüz çözüm: Denklem d + () d ln ln şeklinde azılırsa lineer ve ikinci araflı bir denklem haline gelir Önce homojen çözüm apılır, ani d d + ln d + d ln d haırlama: ln(ln a) ln a ln+ln(ln)lnc ln(ln)lnc lnc c/ln homojen çözüm bulunur İkinci araflı denklemin çözümü için c()/ln den c ve e göre ürev alınarak ve nün karşılıkları c/ln c ()/ln c()/(ln ) () de erlerine konulursa, c ()/ln c()/(ln )+c()/(ln )/ ln elde edilir c ()/ln/ ln c ()/ dc/d/ ile dc(/ )d dc (/ )d c /+c elde edilir c nin bu değeri homojen çözüm sonunda bulunan( c/ln) de erine konularak ikinci araflı denklemin çözümüne ulaşılır ( /+c )ln vea (İnegral çarpanı µ()e ln(ln)d ln ardımıla da çözülür) DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 3

(a +b +c )d+(a +b +c )d diferansiel denklemi c c ise denklem homogen ipde bir denklem olur c ve c nin her ikisinin de sıfır olmadıklarını kabul edelim Bu durumda denklemde dönüşürmelerini apalım Bu halde +h, +k dd dd olarak denklem (a +b + a h+b k+c )d +(a +b + a h+b k +c )d şeklini alır Şimdi de h ve k ı seçersek,denklem a h+b k+c a h+b k+c (a +b )d +(a +b )d şeklini alır ki bu da homogen ipe bir denklemdir No: Eğer a b a b ise +h, +k dönüşürmesini apamaız Bu durumda a b a b a /a b /b m ve a m a, b mb olarak diferansiel denklem [(a +b )+c ]d+[m(a +b )+c ]d şeklini alır Burada a +b u dönüşümü apılırsa denklem, değişkenlere arılabilen ipe bir denklem haline gelir ÖRNEK ) d/d ( +)/ (+ 3) denklemini çözünüz +h dd (a b a b, * ( ) ) +k dd ( +h k+)d ( +h+ +k 3)d h k+ h k+3 k 4, k, h, h + k + ( )d ( + )d homojen ipe diferansiel denklem DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 4

v d vd + dv ( v )d ( +v )(vd + dv) d [( v v v )]+dv[( v )] d [( v v v )]+ dv[( v)] // ile çarpalım d dv( v) + ( v v + ) u v v+ dv du/( v) du v dv ln + ln( v v + ) c ln c v / idi v( )/( ) idi ( ) ( ) ( ( ) ( ) + ) c ( ) ) ( )d +(+4 )d denklemini çözünüz 3) denklemini çözünüz idi DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 5

5 BERNOULLİ DİFERANSİYEL DENKLEMİ p(), g() in sürekli fonksionları ve n, n olarak + p() g() n şeklindeki denkleme Bernoulli diferansiel denklemi denir Bu denklemi çözmek için u n değişken dönüşürmesi apılarak u u bilinmeen kabul eden bir lineer diferansiel denkleme ulaşılır Örnek: + e bernoulli diferansiel denklemini çözünüz u n değişken dönüşürmesi ile u / olur olarak d/d çekilerek du d d d d du verilen diferansiel denklemde erlerine konursa d d du + d e olur Burada eşiliğin her iki arafını ( / ) ile çarparsak ani / du ( + e ) d du d e u/ idi du d u e lineer diferansiel denklem elde edilir önce u u homojen çözüm elde edilir, du du u d d u lnu+lnc, lnu lnc u/ce ln(u/c) uce DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 6

homojen çözüm elde edilir (uc()e ) ile verilen denkleme bağlı olarak ( ürev alınarak erlerine konur u c()e u c()e +c ()e c()e +c ()e c()e e c () dc/d dc d du d u e ) c +c bulunan sabiin (c nin) değeri homojen çözüm sonucunda elde edilen eşilike (uce ) erine konularak ikinci araflı denklemin genel çözümü (u/ konularak ) e bağlı olarak elde edilir u( +c )e u e +c e / e +c e ÖDEV Aşağıda verilen bernoulli dif denklemlerini çözünüz (/ +c e ) d+d 3 6 d (/ 5 5 3 /+c 5 ) 3 + ( +c e ) 4 ( 5 )d+d (3 (4 3 +c ) 4 ) 5 4 +sin 3 sin (+c e cos ) /4 d/d 3 e diferansiel denklemini çözünüz +p()g() n bernoulli ( n,n ) Çözüm: u n değişken dönüşümü ile u olur du d d du 3 3 çekilerek verilen dif denklemde erine d d d d konur + 3 du 3 e 3 ile çarpalım d DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 7

du e d u du u + e () merebeden lineer dif denklem elde edilir d Önce du u + ile homojen çözüm bulunur d du d u ddu/u d du/u +lnclnu lnu lnc ln(u/c) u/c e uc e () bulunur İkinci araflı denklemin çözümü için c nin nasıl bir c() fonksionu olması gerekiğini araşıralım( ani cc() koalım) Bu durumda homojen çözüm sonucu bulunan ifadede ( uc() uc() e e ) ürevler alınarak () de erlerine konur du/d dc u e d c( ) e dc e d c( ) e + c( ) e e dc e d e dcd c+c (3) (3) nolu ifade () de erine konulursa DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 8

u(+c ) e elde edilir e bağlı çözüm için u idi / (+c ) e elde edilir RİCCATİ DİFERANSİYEL DENKLEMİ p(), r() ve g() inegre edilebilir fonksionlar ve r() olmak üzere p()+r() +g() ipindeki diferansiel denkleme Riccai Diferansiel Denklemi denir Eğer r() ise lineer diferansiel denklem, g() ise bernoulli diferansiel denklemi şeklini alır Bu iki halin dışında denklemin genel halde çözülemeeceği Bernoulli arafından göserilmişir Ancak denklemin bir özel çözümü biliniorsa denklemin genel çözümüne ulaşılır Denklemin bir özel çözümü olsun Bu halde Riccai Diferansiel Denkleminin genel çözümü olarak +/u dönüşümü apılır ve sonucuna ulaşılır Örnek : u +[p()+ r()]u r() () + + 4 diferansiel denkleminin bir özel çözümü dir genel çözümü bulunuz p()+r() +g() ipinde +/u dönüşümü kullanılarak ürevler alınıp verilen diferansiel denkleminde erlerine konursa, ani; +(/u) u /u u /u ( +/u) + ( +/u) + 4 u /u ( 4 + /u+/u )+ 4 + /u+ 4 u /u 4 /u /u + 4 + /u + 4 u /u /u u u+c u nun değeri ( +(/u) ) de erine konarak genel çözüm: DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 9

genel + /(+c) olur () de P(), R() konularak da u ulaşılabilir Örnek : + diferansiel denkleminin bir özel çözümü dir genel çözümü bulunuz Denklemi formunda azalım g(), r(), p() olmak üzere denklem Riccai ipi diferansiel denklemdir Çözüm için : +/u dönüşümü kullanılarak ürevler alınıp verilen diferansiel denkleminde ( ) erlerine konursa, ani; +/u u /u ile u /u (+/u) u /u /u /u denklemi u ile çarpalım u u+ merebeden lineer diferansiel denklem u u ( u + p( ) u g( ) ipi) µ ( ) e e e [ u] p( ) d d µ ( ) µ ( ) g( ) e u e () e her iki arafın inegrali alınarak e u e + c u + ce + idi Genel çözüm; u + + ce ( ) Örnek 3: ansec sin diferansiel denkleminin bir özel çözümü sec dir genel çözümü bulunuz q() ansec, r() sin p() olmak üzere riccai ipi diferansiel denklemdir ( p()+r() +q() ipi) DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN -

+/u dönüşümü kullanılarak ürevler alınıp verilen diferansiel denkleminde ( ansec sin)erlerine konursa, ani; sec+/u sin/cos u /u ansec u /u ansec u /u ansec (sec+/u) sin ansec u /u ansec sec sin sec(/u)sin /u sin ansec u /u ansec ansec sec(/u)sin (/u )sin u /u ( /u ) an (/u )sin u uan+sin u uansin merrebeden lineer dif denklem haline gelir uc/cos c cos sin c cos 3 /3 +c u( cos 3 /3 +c )/cos ( /3)cos+c /cos u ( cos 3 +c ) / 3cos bulunur sec+/u de erine konarak genel çözüm genel sec+/( cos 3 +c ) / 3cos vea elde edilir genel sec+3cos /( cos 3 +c ) Ödev 3 + diferansiel denkleminin bir özel çözümü dir Genel çözümünü bulunuz ( genel e + ) e + c 6 + p() g()e n (n ) TİPİNDEKİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER Diferansiel denklemin her iki arafı e n çarpılır, denklem e n + e n p() g() ** formunu alır Burada u e n değişken dönüşümü apılır ve DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN -

u n ne olduğu gözönüne alınıp (**) da erine konursa u + n p( ) u g( ) vea u np( ) u ng( ) bulunur u a göre merebeden diferansiel denklem elde edilir Örnek: e diferansiel denklemini çözünüz + P() Q()e n ipi (n ) verilen diferansiel denklemi e ( ) e ile çarpalım e e olur Burada u e değişken dönüşümü apılarak ürev alınır * u e ve (*)da erine konursa u u vea u u bulunur *** (u +p()ug()) ipi merebeden lineer diferansiel denklem İnegrason çarpanı µ() e p()d d e e ln / bulunur [µ()u ] µ()g() de erine konur ve inegral alınarak [ u ] u ln+c u ln+c u e idi genel çözüm e ln+c DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN -

7 TAM DİFERANSİYEL DENKLEMLER denklemindeki M(,), N(,) fonksionları M(,)d+N(,)d M N bağınısını sağlıorsa bu denkleme am diferansiel denklem denir M(,) nin e göre inegrali alınır N(,) nin e göre inegrali alınır ve F e eşilenir ani F M (, ) F N(, ) F F df d + d Y df Fc ile bulunan sonuçlar,orak ifadeler bir kez ve orak olmaanlar alınarak c e eşilenir Örnek : 3 d +d+ d diferansiel denkleminin genel çözümünü bulunuz (3 +)d+ d M(,) (3 +) N(,) M N Tam Diferansiel F M (, ) 3 + F 3 + +g() e göre inegral F N(, ) F +m() e göre inegral m() 3 e eşi olmalıdır F 3 + df Genel çözüm: c 3 + Ödev: DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 3

) ( + +)d+d diferansiel denklemi çözünüz Sonuç: c +( /)+( 3 /3) ) (+e θ )dρ+ρ e θ dθ diferansiel denklemini çözünüz genel çözüm cρ e θ +ρ 8 TAM DİFERANSİYEL VE İNTEGRASYON ÇARPANLARI denklemindeki M(,), N(,) fonksionları M(,)d+N(,)d M N ise verilen diferansiel denklem am diferansiel denklem değildir Tam diferansiel olmaan bir denklemi inegrason çarpanı µ(,) kullanarak çözebiliriz(belirlenen inegrason çarpanı ile verilen diferansiel denklem çarpılarak am diferansiel denklem biçimine geirilir ve denklem çözülür) µ(,) M(,)d+µ(,) N(,)d ( µ, M ) ( µ, N ) e bağlı inegrason çarpanı (µ()): lnµ/ ( M N ) / N(,) vea µ ( ) e MN ( ) d N(, ) e bağlı inegrason çarpanı(µ()): lnµ/ ( N M ) / M(,) vea µ ( ) e NM ( ) d M(, ) eşilikleri ardımıla bulunabilir ( N M)/( M (, ) N (, )) R ( M N )/( N(, ) M(, )) R e bağlı inegrason çarpanları(µ(,)) DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 4

ÖRNEK : (+ )d d denklemini çözünüz M(,) (+ ) N (,) olup M +, N M N am difdeğil e bağlı inegrason çarpanı: lnµ/ ( N M ) / M ardımıla lnµ/ / (+) / elde edilir ile inegral alınarak dlnµ / d lnµ ln µ inegrason çarpanı µ / elde edilir, verilen dif denklemle çarpılarak am diferansiel denklem şekline dönüşür + d d µ M(,)d+µ N(,)d ( µ, M ) ( µ, N ) / F M (, ) + F/ + /+g() e göre inegral F N(, ) / F /+m() e göre inegral m() / olmalıdır F / + / df Genel çözüm: c / + / DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 5

Örnek : 6 (3 ) ( + d+ + 3 ) d e bağlı inegrason çarpanı kullanarak çözünüz M(,) N (,) 6 (3 + ) ( + 3 ) olup M 6 N 3 M N am difdeğil e bağlı inegrason çarpanı: ( M N)/( N (, ) M (, )) R ile u ile MN ( ) du N (, ) M (, ) u lnu e e e µ (, ) 6 ( (3 ) ( + d+ + 3 ) d ) Tam diferansiel denklem ( 3 3 ) 3 3 + 3 + c M(, ) d+ N(, ) d denklem homojen ise μ şeklinde bir inegrason çarpanı olup olmadığına bakalım ve M(, ) + N(, ) denklemi µ ile çarpalım M N d + d M + N M + N am diferansiel olma şarı DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 6

M N ( ) ( ) M + N M + N dır gerekli düzenlemeler apılarsa M M N N N( + ) M( + ) olur Öe andan homojenliken Euler eoremine göre M + M mm(, ) N + N mn(, ) olacağından ukarıdaki eşilik kendiliğinden gerçekleşir Dolaısıla homojen denklemler için M(, ) + N(, ) daima bir inegrason çarpanıdır d ( )d homojen olduğundan μ M(, ) + N(, ) ile μ + + ( ) d ( ) d ( ) ( ) F ( ) ( ), F ( ) F ln + + g( ) c ln + DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 7

3 ( ) d+ d denklemini µ µ ( ) şeklinde bir inegrason çarpanı bularak çözünüz 3 M(,) ( ) N(,) M N 3, u dielim u u µ µ µ µ, µ µ µ µ u u Tam diferansiel olma şarı: ( µ M (, )) ( µ N (, )) µ M (, ) + µ M µ N (, ) + µ N µ + µ µ + µ 3 ( ) ( 3 ) () µ 3µ 3 µ 3 3 µ 3µ lnµ 3lnu µ u µ µ u Bulunan inegrason çarpanı ile verilen dif denklem çarpılır 3 3 [ 3 ( ) d+ d ] 3 3 ( ) d + d 3 3 M N am diferansiel 3 3 c + ile de direk olarak inegral çarpanı bulunabilir DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 8

ŞEKLİNDE BİR İNTEGRASYON ÇARPANI : u denirse Tam diferansiel olma şarı: ( µ M (, )) ( µ N (, )) µ M (, ) + µ M µ N (, ) + µ N 3) ( )d d şeklinde bir inegrason çarpanı bularak çözünüz M(,) N(,) u denirse Tam diferansiel olma şarı: ( µ M (, )) ( µ N (, )) µ M (, ) + µ M µ N (, ) + µ N DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 9

( )d d ) M(,) TAM DİF N(,) M(,) M (, ) d ln( ) + ( ) N(, ) d + m( ) ( ) + g( ) + ln( ) c ( ) ŞEKLİNDE BİR İNTEGRASYON ÇARPANI : u+ denirse Tam diferansiel olma şarı: ( µ M (, )) ( µ N (, )) µ M (, ) + µ M µ N (, ) + µ N DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 3

ŞEKLİNDE BİR İNTEGRASYON ÇARPANI : u + denirse Tam diferansiel olma şarı: ( µ M (, )) ( µ N (, )) µ M (, ) + µ M µ N (, ) + µ N CLAIRAUT DİFERANSİYEL DENKLEMİ d d + ϕ d d şeklindeki denkleme clairau denklemi denir Clairau denkleminin genel çözümü bu denklemdeki d/d ler erine bir c kefi sabii komak sureile elde edilir Yani genel çözüm: genel c+ϕ(c) dir ÖRNEK + clairau dif denklemini çözünüz çözüm:genel çözüm genel c+c c dir Tekil çözüm ise, genel çözümün c e göre ürevini almak sureile elde edilecek denklemde c i çekip genel de erine konmasıla elde edilir c e göre ürev: + c ile c/(+) (/(+))+ /(+) ( /(+)) /4 (+) elde edilir DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 3

9 Varlık ve Teklik Teoremi Ardışık Yaklaşımlar Yönemi (Picard Yönemi) d/df(,) ( ) () diferansiel denkleminin için, bir başka deişle ( ) başlangıç koşulunu gerçekleen çözümünü bulmak için başlangıç koşulunu da dikkae alarak() i dan e inegre edelim: d f, ) d + ( f (, ) d () Amacımız: için başlangıç koşulunu ve () gerçekleen fonksionunu bulmakır ı oluşurmaa çalışığımız çözüm için başlangıç nokası olarak ele alalım ve bunu () de erine koarak aklaşımın birinci adımını oluşuralım: + f (, ) d (3) Buradan elde edilen değerini () de erine koarak aklaşımın ikinci adımını oluşuralım + f (, ) d devam ederek 3 + f (, ) d n + f (, n ) d elde edilir ve Picard Yönemi olarak bilinir(cevde Ceri 997) Varlık ve eklik Teoremi: f(,) ve f (,) fonksionları f df/d I: a + a, b + b 4 İle belirlenen kapalı bir I bölgesinde sürekli, dolaısıla sınırlı olsunlar, bir başka deişle f (, ) M 5 DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 3

f (, ) N 6 eşisizliklerini gerçekleen poziif M ve N saıları var olsun b l min a, 7 M olmak üzere l + l 8 ile belirlenen bir aralıka d f (, ) 9 d diferansiel denkleminin ( ) başlangıç koşulunu gerçekleen bir ve alnız bir çözümü vardır Bu çözüm Picard ierasonu(aklaşımı) ile bulunur n + f (, n ) d,, n fonksionlar dizisi oluşurulur Bu dizinin her erimi başlangıç koşulunu sağlar Faka bunlar diferansiel denklemi sağlamazlar Belli bir ierasondan sonra örneğin nk n+ n oluorsa + f (, ) d a denklemin bir çözümüdür denir Örnek n f(,) (+)/(+ + ) ve I:, 4 olmak üzere n f(,), () başlangıç değer probleminin bir ek çözüme sahip olduğunu göseriniz Arıca çözümün anımlı olduğu merkezli bir aralık bulunuz Çözüm Varlık ve eklik eoreminden I bölgesi içindeki her için f (, ) M ve f (, ) N f vea ( N ) olduğu göserilirse diferansiel denklemin < l aralığında ek d çözümü vardır f ( + + + + 4 5, ) M + + + + + + + + DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 33

(paa ve nin alabileceği en büük değerler, padaa ise alabilecekleri en küçük değerler konursa kesir en büük değerini alır) Burada a, b4 ür l min a, f b M (, ) N min(,4/5) Arıca ( + ) ( + + ) ( + ) ( + + ) + ( + ) 6 N + + ( + + ) ( + + ) ( + + ) f olduğundan I içindeki her nokada sınırlıdır Başlangıç değer problemi 4/5 aralığı içindeki her için bir ek () çözümüne sahipir Örnek: ) diferansiel denkleminin çözümünü ( )() başlangıç koşulu alında Picard önemi ile ikinci aklaşıma kadar çözünüz f(,), f(, ) dir 3 ( ) + f (, ) d + ( ) d + 3 3 bulunan ifade verilen dif denklemde (f(, ) ) olarak erine konularak; 3 3 4 ( ) + f [(, ( ) ] d + ( + ) d + + 3 3 3 3 53 Örnek ) ++ diferansiel denkleminin çözümünü ( )() başlangıç koşulu alında Picard önemi ile çözünüz f(,) ++, f(, ) ++ dir ( ) + f (, ) d + d + f(, ) ++ [(, ( ) ] ( ) + f d + ( + + ) d + 3 6 f(, ) ++ DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 34

3 3 ( ) + f [(, ( ) ] d + ( + + + ) d + 6 3 6 4 + 4 n ( ) + f n 3 [(, ( ) ] d + ( + + + ) d 6 n ( ) + f n [(, ( ) ] d + 3 6 4 + + + ( ) 4 n n n! olduğunu varsaalım ve 3 4 n () + + + + ( ) 6 4 n+ + n () ( n + )! olduğunu göserelim 3 n n ) + f [(, n ( ) ] d + - (+ + + ( ) ) + + d n 6! n ( 3 /6+ 4 /4++( ) n+ n+ /(n+)!+ /+ + 3 6 4 + + + ( ) 4 n+ + n ( n + )! [ + 4 3 + + + ( ) 6 4 n+ + n ]+ () ( n + )! bulunur ve nolu ifade gerçeklenmiş olur () nolu ifadeden n için limi alınırsa köşeli paranez içindeki sonlu ifade her için e e akınsaacağından lim n n e + olur DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 35

Örnek 3 () ve 4+ dir Picard önemi ile (/) i bulunuz f(,) 4+, f(, ) 4+ 4+ dir ( ) + f (, ) d + (4 + ) d 4 + 3 3 4 + 3 3 3 [(, ( ) ] ( ) + f d + (/) 9965 4 + (4 + 3 3 ) d 4 + 3 4 6 + 8 9 3 53 8 Ödev ) diferansiel denkleminin çözümünü () başlangıç koşulu alında Picard önemi ile çözünüz f(,), f(, ) () dir ( ) + f (, ) d + (() - ) d + [(, ( ) ] ( ) + f d + (( + 4 ) - ) d + + [(, ( ) ] 3 ( ) + f d + (( + 4 + ) ) d + 4 + + 6 4 6 ( n) n + + + + + () 6 ( n )! olduğunu kabul edelim 4 6 n n + + + + + () 6 n! olduğunu gösereceğiz 6 DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 36

+ f [(, n ( ) ] d + [ ( n ] d n ( ) n () 4 6 ( + n ) (( + + + + + ) d 6 ( n )! 4 6 n + ( + + + + + ) 6 n! 4 6 n + + + + + 6 n! bulunur ve nolu ifade gerçeklenmiş olur () nolu ifadeden n için limi alınırsa köşeli paranez içindeki ifade her için e e akınsaacağından lim n n + e olur Eğer belli bir adımdan sonra n n n+ olursa bu durumda n e () denkleminin çözümüdür denir Anı zamanda n () başlangıç değer probleminin de çözümüdür ve dizi bu nokada bier DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 37

DEĞİŞKENLERDEN BİRİNİ İÇERMEYEN İKİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER d d f ( ) f() Bu ipeki diferansiel denklemi çözmek için ard arda iki inegral almak eerlidir d d d d d ( ) d f ( ) in her iki arafını d ile çarpalım d d ( ) f ( ) d d d d ( ) f ( ) d d d d f ( ) d + c + c F( ) d (F()+c )d d (F()+c )d F()d+c +c elde edilir Sonuç c ve c gibi kefi sabii içerdiğinden genel çözümdür ÖRNEK: 6 diferansiel denklemini çözünüz Çözüm: d d d d 6 ( ) 6 d d d d( ) 6d d d d( ) 6d d d d 3 + c d (3 +c )d d (3 +c )d 3 +c +c DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 38

Bu kural, daha üksek merebeden ürevler bulunması durumunda da, ani n d n d f () şeklindeki denklemlere de ugulanır d d f (, ) Tipindeki diferansiel denklemler d/d p dönüşürmesi apılırsa d dp olarak, denklem d d dp f (, p) merebeden bir diferansiel denkleme dönüşürülmüş olur d Örnek (+) d d d ( + ) diferansiel denklemini çözünüz d d d ( + ) d d f (, ) ipinde ( + ) d d d/d p dönüşürmesi apılırsa d dp denklemde erlerine konursa d d dp d dp p ( + ) p merebeden değişkenlere arılabilir ipe dif denklem ( + ) ( + ) dp ( + ) d ( + ) d p ( + ) dp p ( + ) d + lnp+ln(+)+lnc lnp lnc ln(+) p c( + ) e p c(+)e pd/d idi d c(+)e d d c (+)e d DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 39

c (e +e ) d in inegrali u ddu dve d ve uv vdu e e d e e c[ e e ]+c c e +c d d f (, ) Tipindeki diferansiel denklemler d p dönüşürmesi apılır ve d d d dp d dp d d d dp p d olduğu göz önüne alınırsa denklem dp p f (, p) merebeden diferansiel denklem şekline dönüşür d ÖRNEK: ) d d diferansiel denklemini çözünüz d p dönüşürmesi apılır ve d d d dp d dp d d d dp p d dp p d p lnpln+lnc dp d p dp p d ln(p/c)ln pc pd/d idi d/d c d/ c d ln c+ lnc ln lnc c ln(/c ) c c e c DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 4

d d f ( ) Tipindeki diferansiel denklemler Bu ip diferansiel denklemin çözümünü bulmak için denklemin her iki arafı ile çarpılır Bu durumda d d d d d d d d f ( ) d d d elde edilir Bu bağınının birinci arafı d d d d d dd( ) d olup d d( ) f()d d ve d d( ) f()d d d ( ) f()d+c F()+c d d F()+c d d F( ) + c d olarak ϕ(,c,k) çözümü bulunur Örnek: d + a d diferansiel denklemini çözünüz d d a d d d ile denklemin her iki arafını çarpalım DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 4

d d d d a d a d d d d( ) a d inegral alınırsa d d d( ) a d+k d d ( ) K a d d K a d K d a d +c K d a olup arcsin a a K + c a/ksin(a+ac) arcsin(a/k)a+ac K/a (sin(a+ac)) Ödev: d d diferansiel denklemini çözünüz d d d d d d d d( ) d d inegral alınırsa d ( ) / d d d ( ) d c + c seçilerek dd +c 3 ( ) 3/ DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 4

3 İKİNCİ MERTEBEDEN SABİT KATSAYILI HOMOJEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER Merebeden adi diferansiel denklem, f verilen bir fonksion olmak üzere d d d f (,, ) () d formundadır Eğer () deki f fonksionunda ve lineer olarak bulunuorsa () denklemi lineerdir denir Yani f(,, )g() p() q() () şeklinde azılabiliorsa Burada g,p ve q fonksionları, bağımsız değişkenine bağlı fonksionlardır Bu durumda () denklemi +p() +q()g() (3) şeklinde azılabilir (3) denklemi erine P() +Q() +R()G() (4) şeklinde bir denklem ele alınmakadır Eğer P() ise, (4) denklemi P() ile bölünürse, (3) denklemi Q( ) R( ) G( ) p ( ), q( ), g( ) (5) P( ) P( ) P( ) olduğu göz önüne alınarak elde edilir Eğer () denklemi (3) vea (4) formunda değilse, non lineerdir (),(3) vea (4) formunda verilen bir diferansiel denklemin başlangıç değer problemi ve verilen saılar olmak üzere, ( ), ( ) (6) formunda başlangıç koşulları ile verilir Dolaısıla(, ) nokası ile birlike, bu nokanın eğimi de verilmelidir Bu başlangıç koşulları merebeden diferansiel denklemin çözümünde oraa çıkan iki kasaının belirlenmesinde kullanılır Eğer (3) denklemindeki g() vea (4) denkleminde G() fonksionu her için sıfır ise verilen diferansiel denklem homojendir denir +p() +q() (7) aksi akdirde denkleme homojen değildir denir DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 43

Kısaca, P() +Q() +R() (8) (8) formundaki denklemler homojendir Dolaısıla A,B ve C sabiler olmak üzere (8)denklemi a +b +c (9) formunda azılırsa sabi kasaılı homojen denklem olur (9) denkleminin çözümü r belirlenmesi gereken bir paramere olmak üzere, e r şeklinde aranırsa ve re r, r e r ler (9) denkleminde erlerine konursa a r e r +b re r +c e r (ar +br+c) e r elde edilir ar +br+c () Eğer r () denkleminin kökü ise e r denklemin çözümüdür ar +br+c denklemine ikinci arafsız denklemin karakerisik denklemi denir Bu denklem diferansiel denklemde a +b +c denkleminde: r r ar +br+c ikinci merebeden karakerisik denklem azılmak sureile doğrudan doğrua elde edilebilir IDurum b 4ac> ise r ve r gibi farklı iki reel kök vardır ( r b ± b 4ac ) a IIDurum Genel çözüm: c ()+c ()c e r +c e r dır b 4ac< ise kompleks iki kök vardır α( b/a) β 4ac b / a r α+iβ ; r α iβ genel çözüm: e α (c Cosβ+c Sinβ) DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 44 dır

IIIDurum Kökler reel ve birbirine eşi ise b 4ac r r r( b/a) kalı kök vardır Genel çözüm (c +c )e r 3LİNEER HOMOJEN DENKLEMLERİN TEMEL ÇÖZÜMLERİ Teorem 3: p,q ve g fonksionları I açık aralığında sürekli fonksionlar olmak üzere +p() +q()g(), ( ), ( ) başlangıç değer problemi gözönüne alınsın: Bu durumda, I aralığında kalmak sureile çözümü vardır ve bu problemin ek bir () çözümü bulunur Örnek : +5 +6 (), ()3 başlangıç değer problemini çözünüz r r r +5r+6 r, r 3 farklı reel kök Genel çözüm: c ()+c ()c e r +c e r dır c e +c e 3 dır () () için c +c ()3 için c e 3 c e 3 c 3c 3 c 9 c 7 () erlerine konursa başlangıç değer probleminin çözümü bulunur 9e 7e 3 9e 7e 3 DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 45

Örnek 4 8 + 3 (), () / başlangıç değer problemini çözünüz r r 4r 8r+3 r 3/, r / farklı reel kök r r Genel çözüm: c ()+c () ce + ce dır c e 3/ +c e / dır () Başlangıç koşulları ile c + c 3 c+ c c /, c 5/ Başlangıç değer probleminin çözümü; Örnek 3 5 e + e 3 ( 3) + (+3) (), () başlangıç değer probleminin çözümünün varolduğu en geniş aralığı bulunuz P() +Q() +R()G() şeklinde bir denklem ele alınmakadır P() olduğundan denklemi P() e bölersek, (3) denklemi Q( ) R( ) G( ) p ( ), q( ), g( ) P( ) P( ) P( ) şekline gelir +p() +q()g() p()/( 3) q() (+3)/( 3) g() kasaıların süreksizlik nokaları ve 3 ür (padaı apan değerler) Bu nedenle kasaıların sürekli olduğu ve başlangıç nokasını içeren aralık <<3 aralığıdır Bu aralıka eoremin şarları sağlanır ve bu aralık en geniş aralıkır (Şarları sağlaan) (), DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 46

Teorem 3(Süperposison) Eğer ve L[] +p() +q() diferansiel denkleminin çözümleri iseler, c ve c sabilerinin kefi değerleri için, c +c lineer kombinasonu da diferansiel denklemin çözümüdür İspa için denklemde c ()+c () komak eerlidir L[ c +c ] (c +c ) +p(c +c ) +q(c +c ) c +c +p(c +c )+q(c +c ) c ( +p +q )+c ( +p +q ) c L[ ]+ c L[ ] c * + c * L[ c +c ] c +c de bir çözümdür Özel durumda eorem c vea c nin sıfır olması durumunda da geçerlidir Bu kısımda ise c ()+c () ifadesindeki c ve c kasaılarının hangi değerleri için( ( ), ( ) )başlangıç koşullarının sağlandığı ile ilgileneceğiz ( ), ( ) başlangıç koşulları c ( )+c ( ) c ( )+c ( ) denklemlerini sağlar Bu denklemlerden c ve c çözülürse ( ) ( ) c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) c ( ) ( ) ( ) ( ) vea bunları deerminanlardan oluşan erimler olarak azarsak c ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) c ( ( ( ( ) ) ) ) ( ) ( ) olur c ve c nin bu değerleri ile c ()+c () ifadesi ( ( ), ( ) )başlangıç koşullarını ve (L[] +p() +q() ) diferansiel denklemini sağlar Diğer andan c ve c nin bulunabilmesi için padalar sıfırdan farklı olmalıdır DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 47

W ( ( ) ) ( ) ( ) olmalıdır W deerminanına wronskion deerminanı vea kısaca ve çözümlerinin wronskioni denir Teorem 33 ve nin L[] +p() +q() denkleminin iki çözümü olduğu kabul edilsin Arıca ( ), ( ) başlangıç koşullarının anımlandığı nokasında W olsun Bu akdirde c ve c sabileri c ()+c () fonksionu için diferansiel denklemi( L[] +p() +q() ) ve başlangıç koşullarını (( ), ( ) ) sağlaacak şekilde seçilebilir Örnek 3: ) +5 +6 diferansiel denkleminin iki çözümü ()e, ()e 3 idi Bu ve nin wronskionini bulunuz ve sıfırdan farklı olduğunu göseriniz 3 e e W 3 e 3e 3e 5 ( e 5 ) e 5 c ()+c ()c e +c e 3 dir Teorem 34 Eğer ve L[] +p() +q() denkleminin iki çözümü ise ve öle bir nokası varsa ve bu nokada ve nin W ise, bu akdirde ve, c ve c kasaıları ile c ()+c () çözümleri (L[] +p() +q()) denkleminin her çözümünü içerir Dolaısıla c ()+c () ifadesi (L[] +p() +q()) denkleminin genel çözümüdür Bununla birlike sıfırdan farklı wronskione sahip ve çözümlerine (L[] +p() +q()) denkleminin çözümlerininin emel cümlesi denir Örnek 4 () / () olarak verilmekedir +3 > için () ve () nin diferansiel denkleminin çözümlerinin emel cümlesi olduğunu göseriniz Öncelikle ve nin verilen diferansiel denkleminin çözümleri olup olmadığını erine koma meodu ile bakarsak () /, ()/ /, () /4 3/ DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 48

( /4 3/ )+3(/ / ) / ( /+(3/) ) / benzer şekilde (), (), () 3 ( 3 )+3( ) (4 3 ) olur Dolaısıla ve verilen diferansiel denklemin çözümleridir Bunların Wronskionuna bakılırsa W(, ) / / 3 3/ W(, ) > olduğundan () () diferansiel denklemin emel cümlesini oluşurur Teorem 35 Bir I açık aralığında sürekli olan p ve q kasaıları ile anımlanmış L[] +p() +q() diferansiel denklemini gözönüne alalım I aralığında bir nokası seçilsin diferansiel denklemin bir çözümü olsun ve ( ), ( ) başlangıç koşulları sağlansın de diferansiel denklemin bir çözümü olsun ve ( ), ( ) başlangıç koşulları sağlansın Bu akdirde ve gözönüne alınan diferansiel denklemin çözümlerinin emel cümlesini oluşurur Ödev: Yukarıdaki eorem 35 e anımlanan çözümlerin emel cümlesini başlangıç koşulu için diferansiel denklemi için bulunuz( ( ), ( ), ( ), ( )) r r r r, r farklı reel kök r r Genel çözüm: c ()+c () ce + ce dır c e +c e dır ( W(, ) () (), () koşulları ile c /, c / Bölece 3() e + e cosh Benzer şekilde () 4 (), () koşullarını sağlıorsa 4() e e sinh DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 49

3, 4 ün Wronskianı cosh sinh W sinh cosh ( 3, 4)( ) cosh sinh Bu fonksionlar, Teorem 35 ile çözümlerin emel cümlesidir Bu üzden verilen diferansiel denklemin genel çözümü; k cosh + k sinh 33 LİNEER BAĞIMSIZLIK VE WRONSKİAN Bu bölümde lineer bağımlılık ve lineer bağımsızlık ile wronskian arasındaki ilişki verilecekir Bir I aralığının içindeki için, k ve k her ikisi birden sıfır olmaan sabiler olmak üzere, k f()+k g() () ise f ve g fonksionları lineer bağımlı dır () denklemi I aralığının içindeki her için eğer sadece k k durumunda geçerli ise f ve g e lineer bağımsızdır denir Örnek 5: Kefi bir aralıka e ve e fonksionlarının lineer bağımsız olduğunu göseriniz Lineer bağımsızlık için k e +k e () nin ele alınan aralık içindeki her için k k durumunda sağlandığı göserilmelidir Ele alınan aralıka olmak üzere ve nokaları seçilsin Bu nokalarda () denklemi gözönüne alınırsa k e +k e (3) k e +k e denklemleri elde edilir Kasaılar deerminanı e e e e e e (e e ) olur Bu deerminan sıfırdan farklı olduğundan (3) denkleminin ek çözümü k k dir Dolaısıla verilen fonksionlar lineer bağımsızdır Teorem 33 f ve g fonksionları bir I açık aralığı üzerinde diferansieli alınabilinen fonksionlar ve bir nokası için W(f,g)( ) ise f ve g lineer bağımsızdır Her nokası için W(f,g)() ise lineer bağımlıdır Teoremin ispaı için k f ()+k g() ifadesini ele alalım nokasında ürevleri alınırsa k f ( )+k g( ) (4) k f ( )+k g ( ) olur 4 deki kasaılar deerminanı W(f,g)( ) olduğundan ek çözüm k k dir Bu nedenle f ve g lineer bağımsızdır Yukarıdaki örnek için;(örnek5) herhangi bir nokası için DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 5

e e 3 W(f,g)( ) e e e (5) dır Dolaısıla e ve e fonksionlarını lineer bağımsızdır Teorem 33(Abel eoremi) ve L[] +p() +q() (6) diferansiel denkleminin çözümleri ise, p ve q I açık aralığı üzerinde sürekli fonksionlar olmak üzere wronskianw(, ) W(, ) c ep[ p ( ) d ] (7) Burada c ve bağlı belli bir sabiir Bu üzden üm ler için W(, ) a sıfırdır(eğer c ise) a da asla sfır değildir( eğer c ) Teoremin ispaı:, çözümleri denklemi sağladıklarından + p() + q() + p() + q() (8) Birinci denklemi, ikinci denklemi çarpıp oplarsak ( ) + p ( )( ) (9) W () W (, )() W () (9) formunda azarsak W + p() W () () merebeden lineer diferansiel denklemdir ve değişkenlere arılabiliripedir Bölece c sabi W() c ep[ p ( ) d ] () Üsel fonksion sıfır olmaacağından c durumunda W() dır Bu durumda üm ler için W() dır ve eorem sağlanmış olur DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 5

Örnek 4 için; () / () +3 dif denkleminin çözümleridir Abel eoremi ardımıla özel çözümü bulunuz Örnek 4 en W(, )() 3/ 3/ olduğunu bilioruz (7) nolu eşiliği kullanabilmek için verilen diferansiel denklemi (6) formunda azmamız gerekir 3 + 3 W(, ) c ep[ p ( ) d ]cep( d )cep( 3/ln)c 3/ C 3/ seçilmelidir özel çözüm için merebeden diferansiel denklemlerin çözümlerinin lineer bağımsızlığı ve wronskian arasındaki ilişki eorem 333 ile verilmekedir 3 SORU) + + e diferansiel denkleminin Wronskian deerminanını bulunuz W(, )()3 ise, W(, )(6) değerini bulunuz 3 + + e denklemi e bölünürse 3 + + e, 3 + + e Abel Teoreminden ( ) ln c W(, ) ce p d ce d ce W(, )()3 den c3 bulunur Teorem 333 c 3 W(, )(6) bulunur 36 p ve q fonksionları bir I açık aralığı üzerinde sürekli fonksionlar olmak üzere L[] +p() +q() diferansiel denkleminin çözümleri ve olsun, bu akdirde ancak ve ancak I içindeki her için W(, ) ise ve I üzerinde lineer bağımlıdır W(, ) ise ve I üzerinde lineer bağımsızdır DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 5

Kısaca çözümlerin emel cümlesi wronskian ile lineer bağımsızlık kavramları arasındaki ilişki aşağıdaki gibidir ve, L[] +p() +q() diferansiel denkleminin çözümleri, p ve q fonksionları bir I açık aralığı üzerinde sürekli fonksionlar olsun, bu akdirde aşağıdaki kavramlar denkir ve her biri diğer üçünü gerekirir ve fonksionları I üzerinde çözümlerin emel cümlesidir ve fonksionları I üzerinde lineer bağımsızdır 3 I daki bir nokasında W(, ) dır 4 I daki her için W(, ) dır 34 KARAKTERİSTİK DENKLEMİN KOMPLEKS KÖKLERİ a +b +c denkleminde: r r ar +br+c ikinci merebeden karakerisik denklem azılmak sureile doğrudan doğrua elde edilebilir b 4ac< ise kompleks iki kök vardır r α+iβ ; r α iβ α( b/a) β 4ac b / a genel çözüm: e α (c Cosβ+c Sinβ) dır c ve c kefi sabilerdir Euler Formülü: e fonksionu nokasında Talor serisine açılırsa n e << n n! elde edilir Yukarıdaki denklemde erine i konursa e i n n n n ( i) ( ) ( ) + i )! n n! n (n)! n (n n DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 53

elde edilir Bu eşilike ilk ifade nokası civarında cos fonksionunun alor serisine ifade ise nokası civarında sin fonksionunun alor serisine karşılık gelir Dolaısıla e i cos+isin şeklinde azılabilir ve bu denklem Euler formülü olarak bilinmekedir Euler formülünden aralanılarak e (α+iβ) e α (cosβ+isinβ) e α cosβ+ie α sinβ) şeklinde azılabilir Sonuç olarak Karakerisik denklemin kökleri r α+iβ ; r α iβ ise α( b/a) β 4ac b / a olmak üzere genel çözüm: e α (c Cosβ+c Sinβ) Örnek : + + ikinci derece denklemi çözünüz r +r+ (karakerisik denklem) b 4ac 3< kompleks iki kök vardır b± b 4ac ± α a 3i i ± 3 α+iβ genel çözüm: e α (c Cosβ+c Sinβ) dır α ve β değerleri erine konulursa genel çözüm Örnek : e ( /) 3 3 (c Cos +c Sin ) elde edilir +9 ikinci derece denklemini çözünüz Çözüm: b 4ac 36< kompleks iki kök vardır b ± b 4ac ± α 36 i i6 ± 3i a ± α+iβ genel çözüm: e α (c Cosβ+c Sinβ) idi buradan genel çözüm c Cos3+c Sin3 elde edilir DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 54

Örnek 3: 6 8 + 45 (), () başlangıç değer problemini çözünüz 6r 8r 45 + karakerisik denklem r α+iβ ; r α iβ α( b/a)/4 β 4ac b / a 3 ( ± 3i ) 4 α 4 genel çözüm: e ( ccosβ + csin β) e ( c cos3+ c sin3 ) () için c () için c / 4 4 e ( ccos3+ csin 3 ) + e ( 3csin 3+ 3ccos3 ) 4 c 4 + 3c e 4 ( cos3+ /sin3 ) 35 KATLI KÖKLER VE MERTEBE DÜŞÜRME a +b +c denkleminde: r r ar +br+c ikinci merebeden karakerisik denklem azılmak sureile doğrudan doğrua elde edilebilir Kökler reel ve birbirine eşi ise b 4ac r r r( b/a) kalı kök vardır Genel çözüm (c +c )e r Örnek + +/4 () ve ()/3 denklemini çözünüz r +r+/4 b 4ac r b /r ( kalı kök) a DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 55

Genel çözüm (c +c )e r idi buradan (c +c )e ( /) elde edilir () için (,) c olur ()/3 için () /(c +c ) e ( /) +c e ( /) /3 erine, c erine konularak +c /3 c 4/3 elde edilir ( + /3 ) e MERTEBE DÜŞÜRME, +p() +q() şeklindeki bir diferansiel denklemin bir () çözümü biliniorsa, diğer çözümünün bulunmasında kullanılır Bu durumda v() () seçilerek ve ifadeleri +p() +q() denkleminde erlerine konur ve düzenlenirse, ani; v() () v () ()+v() () v () ()+v () ()+ v () ()+v() () v +( +p )v +( +p +q )v v +( +p )v bulunur Bulunan denklem v ne göre merebeden diferansiel denklemdir Dolaısıla merebeden lineer diferansiel denklem vea değişkenlere arılabilir ipe diferansiel denklem haline geirilerek çözülür Burada v, v inegre edilerek bulunur Bu meoda orjinal diferansiel denklem e göre Merebeden olduğu halde v() () ile v ne göre Merebeden diferansiel denkleme geçilmekedir, bu nedenle bu meoda Merebe Düşürme Meodu denir DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 56

Örnek: ) +3 diferansiel denklemin bir çözümü () olduğuna göre lineer bağımsız ikinci bir çözüm bulunuz v v v v v +v 3 v() () ile v () +3 erlerine konarak (v v +v 3 )+3(v v ) v v 4v +4v +3v 3v v v v +(4 3 ) v v elde edilir v v v v v v inegral alınarak v v d lnv ½ ln +lnc lnv lnc ½ ln ln(v /c)ln / v c / v dv/d idi inegral alınarak v bulunur, ani dv/dc / dvc / d v/3 c 3/ +k () () () de erine konursa v ile çözüm /3 c / +k (3) elde edilir Burada c ve k kefi sabilerdir (3) de erim () nin kaı, osa ilk erim nin lineer bağımsız çözümünü verir İlk erimin kasaısını (/3 c) göz önüne almazsak () / olur 36 HOMOJEN OLMAYAN DENKLEMLER VE BELİRSİZ KATSAYILAR METODU L[] +p() +q()g() () ipindeki denklemlerin çözümleri incelenecekir Teorem 36 Eğer Y ve Y homojen olmaan (sağ anlı) denklemin iki çözümü ise, bunların farkı da (Y Y ), L[] +p() +q() homojen diferansiel denklemin çözümüdür Eğer ve () denkleminin çözümlerinin emel cümlesi ise c ve c kefi sabiler olmak üzere Y () Y () c ()+c () sağlanır DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 57

Teorem 36 Homojen olmaan () diferansiel denkleminin çözümü, ve homojen diferansiel denklemin çözümlerinin emel cümlesi, c ve c kefi sabiler ve Y() homojen olmaan diferansiel denklemin özel çözümü olmak üzere genel çözüm; φ() c ()+c ()+Y() () dir BELİRSİZ KATSAYILAR METODU genel homojen + özel Bu önem homojen olmaan sağ anlı diferansiel denklemin polinom,üsel fonksion rigonomerik fonksion vea bu fonksionların çarpımı şeklinde olması durumunda ugulanır ÖZEL ÇÖZÜMLERİN BULUNMASI: A +B +C f() de ) f() in k Dereceden in bir am çok erimlisi olması durumu (polinom ise) özel çözümü C ise( li ifade var ise) f() ile anı dereceden bir am çok erimli ani; ( karakerisik denklemin kökü değilse) özel A +B+C C, B ise f() ile anı dereceden bir am çok erimlinin ile çarpımı ( karakerisik denklemin basi kökü ise) özel (A +B+C) şeklindedir C, B ise ( karakerisik denklemin kalı kökü ise) özel (A +B+C) DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 58

ÖRNEK: 3 5+3 diferansiel denklemini çözünüz Çözüm önce homojen çözüm apılır ( 3 ) r r ile r 3r (karakerisik denklem) ardımıla kökler belirlenir r(r 3) r r 3 iki reel kök Özel çözüm için, homojen c e r +c e r c + c e 3 karakerisik denklemin basi kökü olduğundan özel ( A +B+C) seçilir, buradan verilen dif denkleme bağlı olarak ürevler alınarak 3 5+3 de erine konularak (A,B,C) kasaıları belirlenir özel ( A +B+C)A 3 +B +C özel3a +B+C özel 6A+B 6A+B 3(3A +B+C) 5+3 6A+B 9A 6 B 3C 5+3 9A A /9 (6A 6B) 5 B/8 özel /9 3 +/8 6/7 b 3c3 c 6/7 genel özel + homojen genel c + c e 3 /9 3 +/8 6/7 ) + 7 + diferansiel denklemi çözünüz r r azılarak r + 7r karakerisik denklemden r 7 r farklı reel kök hom ojen c + c e 7 DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 59

( +) için özel çözüm; karakerisik denklemin basi bir kökü olduğundan 3 özel ( A + B + C) A + B + C özel 3A + B + C özel 6A + B A A / 6A+4B B+7C den B /49, C5/343 özel ( + 49 5 ) 343 + genel h özel genel c 49 5 343 7 + ce + ( + ) bulunur A +B +C f() diferansiel denkleminde f() in Ae α şeklinde üsel fonksion olması durumu özel özel çözüm: α karakerisik denklemin bir kökü değilse özel Ae α α karakerisik denklemin basi bir kökü ise özel Ae α α karakerisik denklemin iki kalı bir kökü ise şeklindedir özel A e α örnekler ) +4 +8e diferansiel denklemini çözünüz ) +4 +4 e diferansiel denklemini çözünüz 3) 5 +65e diferansiel denklemini çözünüz DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 6

Örnek in çözümü +4 +4 e diferansiel denklemini çözünüz r +4r+4 karakerisik denklemden (r+) r iki kalı homogen (c +c ) e e α α karakerisik denklemin kalı kökü olduğundan özel A e seçilir A e A e A e 4A e 4A e +4A e A e 8A e +4A e +8A e 8A e +4 A e e A e e özel çözüm A/ özel /( e ) olur genel çözüm genel homogen + özel ile genel (c +c ) e +/( e ) olur 3 ) + 7 + e diferansiel denklemini çözünüz Çözüm: + 7 + ile homojen çözüm apılarak r r azılarak r + 7r + karakerisik denklemden r + 7r + r 3 r 4 farklı reel kök hom ojen c e 3 + c e 4 bulunur e 3 için özel çözüm üsel fonksionda in kasaısı ( 3), karakerisik denklemin kökü olduğundan Ae 3 seçilerek DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 6

özel Ae özel Ae 3 3 3Ae 3 3 3 özel 6Ae + 9Ae diferansiel denklemde erlerine konularak Ae 3 e 3 bulunur den A ve özel e 3 + genel h özel genel c e 3 4 + ce + e 3 elde edilir 3 f() TRİGONOMETRİK FONKSİYON İSE özel özel çözüm: a +b +c M cos(β), Nsin(β) iβ karakerisik denklemin kökü değilse özel Acosβ+Bsinβ iβ karakerisik denklemin kökü ise vea caβ, b ise Örnek özel ( Acosp+Bsinp) + 3 8sin4 diferansiel denklemini çözünüz r +r 3 (karakerisik denklem) b 4ac> farklı iki kök r r 3 farklı iki kök homojen c e r +c e r c + c e 3 özel çözüm için 8sin4 de( i4) karakerisik denklemin kökü olmadığından özel Acos4+Bsin4 seçilerek ürevler alınır ve ( + 3 8sin4) de erlerine konularak A ve B kasaıları belirlenir DİFERANSİYEL DENKLEMLER UFUK ÖZERMAN - 6