İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ KONU ANLATIMI MODÜL - 1 ANALİZ

Transkript

1 İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ KONU ANLATIMI MODÜL - ANALİZ

2 ÖABT YAYINLARI Genel Yaın Yönetmeni Savaş DOĞAN Genel Yaın Yönetmen Yardımcısı Arzu ALAN Yazar Ahmet YILDIRIM Orhan Gökhan GÖKDAŞ ISBN Safa Düzeni AYMİR Yaınevi Dizgi Birimi Baskı Tarihi Ankara 07 BASKI Sistem Ofset Basım Yaım Tic. Ltd. Şti. Strazburg Caddesi No: /7 Sıhhie / Çankaa / ANKARA Tel: İletişim Adresi Serhat Mah. Mehmet Akif Erso Cad. No: Yenimahalle / ANKARA Cep: (0549) kurumsal@liderain.com COPYRIGHT AYMİR YAYINEVİ Yaım Hakkı Bu kitabın her türlü aım hakkı Amir Yaın Basım Dağıtım Ltd. Şti. e aittir. Bu kitabın baskısından 5846 ve 96 saılı Fikir ve Sanat Eserleri Yasası hükümleri gereğince kanak gösterilerek bile olsa alıntı apılamaz, herhangi bir şekilde çoğaltılamaz, genel ağ ve diğer elektronik ortamlarda aımlanamaz. BU KİTAP T.C. KÜLTÜR BAKANLIĞI BANDROLÜ İLE SATILMAKTADIR.

3 Değerli Öğretmen Adaları; Milli Eğitim Bakanlığı her ıl öğretmen ihtiacını, adaların KPSS sonuçlarına göre aptığı atamalarla sağlamaktadır. Atamalarda referans alınan başarı puanları üç farklı testin sonuçlarına göre elde edilmekte ve adaların KPSS- puanı hesaplanmaktadır. KPSS puanı aşağıdaki bölümler ve ağırlıklandırmalardan oluşmaktadır: Genel Yetenek Testi % 5 Genel Kültür Testi % 5 Eğitim Bilimleri Testi % 0 Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi % 50 Atama puanlarında en büük etkie sahip olan Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi nin genel apısını Eğitim Fakültelerinde verilmekte olan akademik müfredat, ilgili alanının öğretim programı ve öğretim öntemleri oluşturmaktadır. Bu doğrultuda aınımız, alanında uzman azar kadromuz tarafından sınavın kapsamı, akademik apısı ve soru tarzları dikkate alınarak titiz bir çalışma sonucu hazırlanmıştır. Kitabın hazırlanmasında ve aımlanmasında desteğini esirgemeen, Dizgi Bölümü Sorumlusu Zeliha DEMİRKAYA a, Lider Yaınevi redaksion ekibine ve Kurumsallaşma Koordinatörümüz Engin POLAT a teşekkür ederim. Tüm adaların aşamında ve eğitim sürecinde başarı dileklerimle... Genel Yaın Yönetmeni Savaş DOĞAN

4 İÇİNDEKİLER BAĞINTI FONKSİYON... Bağıntı... Fonksion... 5 Özel Tanımlı Fonksionlar Tek ve Çift Fonksionlar Mutlak Değer Fonksionu İşaret (Signum) Fonksionu Tam Değer Fonksionu... LİMİT Sağ ve Sol Limitler Sandviç Teoremi Trigonometrik Fonksionların Limitleri Genişletilmiş Gerçel Saılar Kümesinde Limit... 0 SÜREKLILIK... Süreksizlik Çeşitleri... Aradeğer Teoremi... 4 Bolzano Teoremi... 5 TÜREV Türev ve Süreklilik İlişkisi Türev Almada Genel Kurallar Ters Fonksionun Türevi Trigonometrik Fonksionların Türevi Ters Trigonometrik Fonksionların Türevleri Logaritmik Fonksionların Türevi Üstel Fonksionun Türevi Logaritma Yardımıla Türev Hiperbolik Fonksionların Türevi Ters Hiperbolik Fonksionların Türevi Parametrik Fonksionların Türevleri Kapalı Fonksionların Türevleri Yüksek Mertebeden Türevler Polinom-Türev İlişkisi Türevin Geometrik Anlamı Türevle İlgili Teoremler Türevin Limite Ugulanması Diferansiel ardımıla aklaşık değer hesabı... 47

5 9 - Artan-Azalan Fonksionlar Fonksionların Maksimum ve Minimum Noktaları Maksimum-Minimum Problemleri Konkavite ve Büküm Noktası Eğri Grafikleri İNTEGRAL Belirsiz İntegral İntegral Alma Yöntemleri Belirli İntegral İntegral Ugulamaları Genelleştirilmiş İntegraller Birinci Çeşit Genelleştirilmiş İntegraller İçin Yakınsaklık Testleri...94 KUTUPSAL KOORDINATLAR Genel Kavramlar Kutupsal Koordinatlarda Eğri Çizimi Kutupsal Koordinatlarda Alan Hesabı Kutupsal Koordinatlarda Ya Uzunluğu Hesabı... 0 DIZILER VE SERILER... - Diziler... - Seriler... 5 Pozitif Terimler İçin Yakınsak Testleri Karşılaştırma Testleri Limit Karşılaştırma Testi... - İntegral Testi Oran Testi Kök Testi... Alterne Seriler ve Bu Serilerin Yakınsağı...4 Kuvvet Serileri...5 TAYLOR VE MACLAURIN SERILERI... 9

6 ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR Tanım ve Görüntü Kümeleri Limit ve Süreklilik Kısmi Türevler Zincir Kuralı Yönlü Türevler Maksimum ve Minimumlar Lagrange Çarpanları...45 ÇOK KATLI İNTEGRALLER İki Katlı İntegraller İki Katlı İntegrallerin Ugulamaları Üç Katlı İntegraller KUADRATIK YÜZEYLER BÖLÜM TESTLERİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ -... ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ ANALİZ / TESTİ

7 ANALİZ ANALİZ. BÖLÜM

8

9 . ÜNİTE BAĞINTI - FONKSİYON MATEMATİK BAĞINTI ada ve bdb, (a,b) ifadesine sıralı ikili denir. a'a birinci bileşen b'e ikinci bileşen denir. (a, b) ile (c, d) sıralı ikililerinin eşit olması için a = c ve b = d olmalıdır. ada ve b d B için tüm (a, b) sıralı ikililerin kümesi AB ile gösterilir. AB'nin herhangi bir alt kümesine A'dan B'e bağıntı denir. A = B ise A'dan A'a bir bağıntı denir. Bağıntılar b, c,... gibi sembollerle gösterilir. (, ) db ise b ile gösterilebilir. A dan B e tanımlı bağıntı saısı S(A).S(B) = S(AB) kadardır. Bağıntının tersi: b bağıntısı A'dan B'e bağıntı olsun Bf AB b = {(, ) (, ) db} bağıntısına b'nın tersi denir. b = {(,,), (, ), (, )} ise b = {(, ), (, ), (, )}. Ters Simetri Özelliği için (, ) d b için (, ) "b oluorsa b ters simetriktir denir. (, ) db olması ters simetrii bozmaz, arıca en az bir (, ) db için (, ) db oluorsa ters simetri değildir. 4. Geçişme Özelliği (, ), (, z) d b için (, z) db oluorsa b geçişkendir. b = (, ) l + = 6} olarak verilior. bkb aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) 0 D) E) (, ) db iken (, ) d b ise kesişim kümesi iki bağlantııda sağlamalıdır. b için + = 6 - b için + = 6 ortak çözülürse =, = bulunur. CEVAP: E A = {a, b, c, d} olmak üzere aşağıdaki b bağıntısının hangi özellikleri sağladığını belirleiniz. b = {(a, a), (b, b), (d, d), (a, c), (c, d), (c, a)} (c, c) "b olduğundan ansıan değildir. (c, d) db iken (d, c) " b olduğu için simetrik değildir. (a, c) db ve (c, a) db olduğundan ters simetrik değildir. (a, c), (c, d) d b ancak (a, d) "b olduğundan geçişken değildir. BAĞINTININ ÖZELLİKLERİ. Yansıma özelliği b, A'da tanımlı bir bağıntı olsun. da için (, ) db ise b'a ansıan denir. b ansıan değil + 7 d Aiç in^, hdb s(a) = n ise A üzerinde n n tane ansıan bağıntı azılabilir.. Simetrik bağıntı (, ) d b için (, ) db oluorsa simetriktir. (, ) db için (, ) " b ise simetrik değildir. A = {,,, 4} olmak üzere A'dan A'a azılabilecek boş olmaan bir bağıntının ansıan, geçişli, simetrik ve ters simetrik özelliğini sağlaması için en az kaç elemanlı olmalıdır? A) 4 B) 6 C) 8 D) 0 E) b = {(, ), (, ), (, ), (4, 4) olmalıdır ansıandır. Her eleman tersi vardır. Simetriktir. Ters simetriktir. (, ) db ters simetrii bozmaz. En az 4 elemanlı olmalıdır. CEVAP: A

10 MATEMATİK DENKLİK BAĞINTISI Boş olmaan A kümesinde tanımlı b bağıntısı ansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağlıorsa b'a denklik bağıntısı denir. Z'de tanımlı b: {(, ):4 } olsun. Denklik bağıntısı olup olmadığını inceleelim. I. Yansıma dz için (, ) db ani 4, 4 0 dır. Yansıandır. II. (, ) dz için 4 ise = 4k dır. = 4k, 4 olur simetriktir. III.,, z db için 4 ve 4 - z ise 4( ) + ( z) olduğundan 4 z dir. Geçişlidir ve denklik bağıntısıdır. b bağıntısı üzerinde 0Q, Q, Q, Q denklik bağıntıları şöledir 0Q = {..., 8, 4, 0, 4, 8...} Q = {...,,, 5, 9...} Q = {..., 6,,, 6, 0...} Q = {...,,, 7,...} A = {a, b, c} olmak üzere b = {(a, a), {b, b}, (c, c), (a, b), (b, c), (a, c)} bağıntısı sıralama bağıntısı mıdır? I. Yansıandır. (a, a), (b, b), (c, c) db II. (a, b), (b, c), (a, c) tersleri oktur. Ters simetriktir. III. (a, b), (b, c) db iken (a, c) db geçişlidir. Diagramı a b c a b c (A, ) kısmi sıralı küme olsun. I. Eğer A'nın bir elemanından sonra gelen eleman oksa o elemana büük eleman denir. (Birden fazla büük eleman olabilir.) II. Eğer A'nın bir elemanından önce gelen eleman oksa o elemana küçük eleman denir. (Birden fazla olabilir.) III. Eğer A'nın bir elemanı bütün elemanlardan önce (sonra) geliorsa o elemana en küçük (en büük) eleman denir. Denklik bağıntısı sorularında a'nın denklik bağıntısı soruluorsa = a azılır. bulunur. SIRALAMA BAĞINTISI A kümesi üzerinde tanımlı b bağıntısı ansıma, geçişme ve ters simetri özelliklerini sağlıorsa b'a sıralama bağıntısıdır denir. Sıralama bağıntısı ile gösterilir. A = {a, b, c, d, e, f, g} olmak üzere aşağıda diagramı verilen bağıntıı inceleelim. g (, ) d + ile ifade edilir. Diğer bir ifadele elemanları kıaslanabilir ( ) olan bağıntıa denir. Her eleman birbirile kıaslanamaz ise A'a kısmi (kısmen) sıralı küme denir. d e c f Tam Sıralı Küme: Tüm elemanları ile sıralanabilen kümee denir. Örneğin, Z, N... İi Sıralı Küme: Boş kümeden farklı her alt kümesinin en küçük elemanı var olan kümee ii sıralı küme denir. N, sama saıları kümeleri ii sıralıdır. Z tam sıralıdır, ancak en küçük elemanı olmadığından ii sıralı değildir. a b I. En küçük elemanı oktur, en küçük elemanları vardır a ve b dir. (a, b) a da (b, a) "b olduğundan kıaslanamazlar. II. En büük elemanı oktur, elemanları vardır, d, g, f dır. Kıaslanamazlar. III. a c e g ve b c e g dır a da b c d, a da a c f dir. Tüm elemanları kıaslanamazlar. 4

11 BAĞINTI - FONKSİYON 8 A = {,,, 4, 6, 8, 9,, 8, 4} b = {(, ) daa: } olmak üzere B = {, 4, 6} ile ilgili olarak hangileri doğrudur? I. En büük eleman 4 tür. II. En küçük eleman dir. III. inf (B) = dir. IV. sup(b) = dir. A) I, II B) II, III C) I, III D) III, IV E) II, III, IV B 9 Hasse Diagramı En büük elemanı oktur. En küçük elemanı oktur. inf (B) = dir., 4, 6'a bölünen en üçük saı ()dir doğru. sup(b) = 4 tür. Doğru, 4 ve 6 ı bölen en büük saı 4 CEVAP: D I. ansıandır. (, )db II. Her elemanın tersi var. Simetriktir, ters simetrik değildir. III. (, ) db ve (, 4) db fakat (, 4) zb, b geçişken değil o halde denklik bağıntısı değil. IV. b ters simetrik olmadığından sıralama bağıntısı değildir. CEVAP: A FONKSİYON A Ø ve B Ø olmak üzere A'nın bir ve alnız bir elemanı B'nin herhangi bir elemanına karşılık geliorsa A " B'e fonksion denir. A tanım kümesi B değer kümesi f:a " B denir. Bir = f() ifadesinin fonksion olabilmesi için eksenine dik doğrular çizilir bu doğrular eğrii en az iki noktada keserse fonksion değildir. = f() biçiminde ise 'e dik doğrular çizilir. I II = f() = f() fonksion değil fonksion fonksion A = {,,, 4} ile ilgili b bağıntısının diagramı aşağıda verilmiştir. 4 0 Buna göre, I. Yansıandır. II. Simetriktir. III. Denklik bağıntısıdır. IV. Sıralama bağıntısıdır. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) I, II B) II, III C) I, III D) I, II, III E) II, III, IV Fonksion Çeşitleri I. Örten ve İçine Fonksion f: A " B fonksionu için f(a) = B ise örten fonksiondur. Örten olmaan fonksiona içine fonksion denir. a < 0, f: R " B f() = a + b + c örten ise kolları aşağı bir parabol belirtir. T(r, k) olmak üzere Değer kümesi (, k] = B dir. b b r = - a, k = fb - ldır. a a > 0 olsadı B = [k, ) olurdu. 5

12 MATEMATİK II. Birebir Fonksion f: A " B,, d A için & f( ) f( ) sağlanırsa birebirdir denir. = f() fonksionu grafiğinin birebir olduğunu anlamak için, eksenine paralel doğrular çizilir. Grafiği birden fazla erde kesiorsa birebir değildir. f() = = f() = f() IV. SABİT FONKSİYON f: A " B bir fonksion cdb olmak üzere f() = c fonksionuna sabit fonksion denir. f(a) = c dir. f] g a + b c d ve g m n k = ] g = a + b + c a b Tanımlı oldukları aralıkta sabit fonksionsa f için c = d m n k g için a = b = c dir. = f() = f() = f() birebir değil birebir değil birebir f: A " R = f() = birebir ve artan ise A kümesi aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) [, ) B) [0, ] C) [, ] D) (, ] E) [, ) Kolları ukarı olan parabol, azalan O artan [, ) aralığında artan ve birebir CEVAP: E V. TERS FONKSİYON Bir fonksionun tersinin fonksion olabilmesi için ve örten olması gerekir. Tanımlı olduğu aralıkta birebir ve örten fonksionlarda kendisi artan ise tersi de artan kendisi azalan ise tersi de azalandır. b - 6 f:r {a} " R {} f() = + 4 birebir ve örten ise a.b =? A) 6 B) C) 0 D) 6 E) f() için olmalıdır a = 4 - b! 0 f () için f -4-6 () = - b! 0 - b b = a.b = artan ve birebir CEVAP: B III. BİRİM FONKSİYON A 0 olmak üzere f: A " A f() = fonksionuna birim fonksion denir. I n ile gösterilir. f : A " A dır. Birim fonksion birebirdir. BİLEŞKE FONKSİYON f: A " B ve g: B " C iki fonksion olsun. gof: A " C, gof() = g(f()) fonksionuna bileşke fonksion denir. Özellik fonksionların bileşkesi dir. Örten fonksionların bileşkesi örtendir. gof birebir ve örten ise f kesin birebir, g kesin örtendir. (bileşke fonksionlar birebir ve örten ise ilk işlem apılan fonksion kesin birebirdir ve son işlem apılan fonksion örtendir.) (fog()) = g of (), tir. 6

13 BAĞINTI - FONKSİYON I. f birebirdir. II. g örtendir. III. g birebirdir. fog() = f(g()) fonksionu birebir ise hangisi kesin doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I, II E) I, III fog() birebir ve g( ) = g( ) olsun. fog( ) = fog( ) ve = olur. g birebirdir. Diğerleri için orum apılamaz. CEVAP: C f: X " Y bir fonksion A, B, Y dir. I. f ] A, Bg f ] Ag, f ] Bg II. f (A) = ø ise A = ø III. f örten ise f(f A) = A hangileri kesin doğrudur? A) I, II, III B) II, III C) I, III D) Yalnız I E) Yalnız III I. Kesin doğru. Teoremden. II. f (A) = ø ise f içine fonksion olmuş olup A elemanları ile eşleşen eleman olmamış olabilir ani A boştan farklı olabilir. (Yanlıştır) III. f örten olduğu için doğrudur. CEVAP: C Özellikler: f: A " B fonksion X, X f A ve Y, Y f B için. f(x jx ) = f(x )jf(x ). f(x kx ) = f(x )kf(x ) iken. f(x ) \ f(x ) = f(x \ X ) iken 4. f (Y jy ) = f (Y )jf (Y ) 5. f (Y ky ) = f (Y )kf (Y ) 6. X fx & f(x )ff(x ) f: [a, b] " [d, c] sürekli ve kesin azalandır. f(a) = c, f(b) = d olduğuna göre I. f nin tersi vardır. II. f fonksionu [d, c] üzerinde artandır. III. f fonksionu integrallenebilir. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) I, II C) I, III D) II, III E) I, II, III Bir aralıkta sürekli ve kesin azalan fonksionlar birebir ve örtendir. Tersi vardır ve tersi de azalandır. I doğru II anlıştır. Sürekli fonksionlar integrallenebilirler. III doğru CEVAP: C I. fog ise g dir. II. gof örten ise g örtendir. III. f(akb) = f(a)kf(b) IV. gof() = g() ise f birim fonksiondur. Hangileri kesin doğrudur? A) I, II B) II, III C) I, III D) I, IV E) II, IV I. fog ise ilk işleme giren (g) birebirdir. Doğru II. gof örtense an işlem apan (g) örtendir, f hakkında orum apılamaz. III. Birebir olursa doğrudur. Aksi halde anlıştır. IV. gof() = g() ise f() = tir. f birebirdir. Doğru. CEVAP: D 7

14 MATEMATİK ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR Tek ve Çift Fonksionlar f: A"B, = f() fonksionu verilsin. 6!A için f( )= f() ise f() fonksionu TEK fonksion, 6!A için f( ) = f() ise f() fonksionu ÇİFT fonksiondur f: IR " IR, F () = cos sin + 5 fonksionu için sin " Tek " Tek fonksion olur. cos + 5 " çift f: IR " IR, f() = + fonksionunu düşünelim. f( ) = ( ) + ( ) f: IR {0} "R tan f () = fonksionu için tan " tek Çift fonksion olur. tek = = ( + ) = f() f() tek fonksiondur. f: IR "IR, f() = sin + fonksionu için f( ) = sin( ) + ( ) = sin + Ne tek ne çift fonksiondur. f: IR " IR, f() = + cos için f( ) = ( ) + cos( ) = + cos = f() f() çift fonksiondur. Özellikler İki çift fonksionun (vea iki tek fonksionun) çarpımı vea bölümü çift fonksiondur. Bir tek bir çift fonksionun çarpımı vea bölümü tek fonksiondur. Çift fonksionların tüm kuvvetleri çifttir. Tek fonksionların tek tamsaı kuvvetleri tek, çift tamsaı kuvvetleri çifttir. Aşağıdakilerden hangileri çift fonksiondur? A) f() = sin B) f() = 5 + C) f() = 5 D) f() = cos + (a) "Tek (c) " Çift (b) "Tek (d) " Çift CEVAP: C ve D şıkları 8

15 BAĞINTI - FONKSİYON Kural Çift fonksionların grafiği O eksenine göre simetriktir. f: IR "IR olmak üzere Tek fonksionların grafiği orijine göre simetriktir. f () = + - fonksionunu parçalı olarak ifade edin. = f () = + - = 0 kritik noktalar = Z-- +, < 0 ] f () = [ - +, 0 # # ] + -, > \ Z- 4+, < 0 ] f () = [- +, 0 # # ] 4-, > \ + = grafiğini çiziniz. $ 0, $ 0 + = $ 0, < 0 = < 0, $ 0 + = < 0, < 0 = Mutlak Değer Fonksionu Tanım: A IR olmak üzere, f () f: A "IR için = f (), f ( ) $ 0 ise ) -f (),() f < 0 ise şeklinde tanımlı fonksiona mutlak değer fonksionu denir. 9

16 MATEMATİK log ( + ) = denkleminin kökler toplamı kaçtır? log ( + ) = + = 9 = 8 log ( + ) = + = 9 8 = = > eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? ( + ) > ( ) > + 6 > > - & Ç. K = a-, + k + = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? < 4 < 6 eşitsizliğini sağlaan kaç tamsaı vardır? < - 4 < 6-6 < -4 < - 6 < < 0 - < < < < 5 - < < 0 0 = 4 = 0 ( ) ( + ) + ( ) ( + ) = 0 tamsaı vardır. +. ( + ) = 0 + = 0 =. + ] 0 Ç.K. = { } İşaret (Signum) Fonksionu Tanım: f: A IR "IR fonksionu için Z ] sgnf() = [ 0,, f () > 0 ise f () = 0 ise ]-, f () < 0 ise biçiminde \ tanımlı fonksiona işaret (signum) fonksionu denir. = + 8 denkleminin çözüm kümesi nedir? - =- + 8 = 9 = - = - 8 = = =- 6+ 8: 6!- 6 Ç. K = ", f: [0,r] "IR, sgn(cos) = denkleminin çözüm kümesi nedir? sgn(cos) = cos > 0 r r < < r Ç. K., r = a k 0

17 BAĞINTI - FONKSİYON sgn( ) = denkleminin çözüm kümesi nedir? f() + + < < & Ç.K = (. ) sgn( + 4) < eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? sgn( + - 4) = # 0 sgn( + - 4) =- + # 4-4 # + # 4-5 # # 5 - # # & :- 5, D sgn. sgn( ) = denkleminin çözüm kümesi nedir? sgn. sgn( ) = 0 : - & ' & ' - 0 Ç.K. = (0,) = sgn( ) grafiğini çiziniz. < 0 < = = 0 = = 0 > 0 > = sgn( + 7) = 5 denkleminin çözüm kümesi nedir? sgn( 7) ]5 Ç.K. =

18 MATEMATİK 4 Tam Değer Fonksionu Tanım:! IR olmak üzere ten büük olmaan en büük tamsaıa in tam değeri denir ve [ ] ile gösterilir. = [ f() ] ifadesine ise tam değer fonksionu denir. 4 =f() I.! Z ise II. b Zise ", = a! Z ve & a # < a +. ", = a olur. Şekildeki f() fonksionu için = sgnf() grafiği nedir? 4 olarak; " 5, = 5, "., = "- 9., =-, "- 0., =- "- r, =-4, " e, = " log, =, " log 9, =, " 499., = 4, " r, =, "- e, =-, verilebilir. f: IR + "IR Özellikler: 6,! IR ve a! Z için I. ", = a& a # < a+ II. " + a, = ", + a III. ", # < " +, IV. " + ",, = ", + ", V. " +, H ", + ", VI. " f ( ), > a & f( ) $ a+ VII. " f( ), < a& f ( ) < a = sgn(log) grafiğini çiziniz. log > 0 > = log = 0 = = 0 log < 0 0 < < = [ + [ ] ] = 6 denkleminin çözüm kümesi nedir? [ ] + [ ] = 6 [ ] = # < 4 Ç.K = [, 4)

19 BAĞINTI - FONKSİYON [ ] 4. [ ] 5 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? [ ] = a a 4a 5 = 0 ", =- ", = 5 & & (a 5) (a + ) = 0 a = a = 5 - # < 0 Ç. K. = 6-0, ), 656, h 5 # < 6 [ ( 5) ] # 4 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 5 < 5 < 0 < 5 Ç.K = (, 5) [ ] = denkleminin çözüm kümesi nedir? # < 4 # < 4 5 # < 6 4 < # < # Ç.K = (, ] j [5, 6) & 0 - = denkleminin çözüm kümesi nedir? # - < & < - # 0 7 < # 5 7 < # Ç. K = a, D 4 $ + 7. > eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? + 7 H H 9 H Ç.K = [, +)

20 MATEMATİK = [ + ] grafiğini çizelim. = [ log ] grafiğini çiziniz. =log # < 0 = 0 0 # < = # < = = [ ] fonksionunun grafiğini çiziniz. [ ] = [ ] grafiğini çiziniz. / / / =[ + ] - G 0 - G 0 0 G 0 G h h = 4

21 BAĞINTI - FONKSİYON [ + ] = grafiğini çiziniz. # + < [. ] = grafiğini çiziniz. G < # < =/ =/ =/ =/ 5

22 İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ KONU ANLATIMI MODÜL - DİFERANSİYEL DENKLEMLER İSTATİSTİK - OLASILIK LİNEER CEBİR

23 ÖABT YAYINLARI Genel Yaın Yönetmeni Savaş DOĞAN Genel Yaın Yönetmen Yardımcısı Arzu ALAN Yazar Ahmet YILDIRIM Orhan Gökhan GÖKDAŞ ISBN Safa Düzeni AYMİR Yaınevi Dizgi Birimi Baskı Tarihi Ankara 07 BASKI Sistem Ofset Basım Yaım Tic. Ltd. Şti. Strazburg Caddesi No: /7 Sıhhie / Çankaa / ANKARA Tel: İletişim Adresi Serhat Mah. Mehmet Akif Erso Cad. No: Yenimahalle / ANKARA Cep: (0549) kurumsal@liderain.com COPYRIGHT AYMİR YAYINEVİ Yaım Hakkı Bu kitabın her türlü aım hakkı Amir Yaın Basım Dağıtım Ltd. Şti. e aittir. Bu kitabın baskısından 5846 ve 96 saılı Fikir ve Sanat Eserleri Yasası hükümleri gereğince kanak gösterilerek bile olsa alıntı apılamaz, herhangi bir şekilde çoğaltılamaz, genel ağ ve diğer elektronik ortamlarda aımlanamaz. BU KİTAP T.C. KÜLTÜR BAKANLIĞI BANDROLÜ İLE SATILMAKTADIR.

24 Değerli Öğretmen Adaları; Milli Eğitim Bakanlığı her ıl öğretmen ihtiacını, adaların KPSS sonuçlarına göre aptığı atamalarla sağlamaktadır. Atamalarda referans alınan başarı puanları üç farklı testin sonuçlarına göre elde edilmekte ve adaların KPSS- puanı hesaplanmaktadır. KPSS puanı aşağıdaki bölümler ve ağırlıklandırmalardan oluşmaktadır: Genel Yetenek Testi % 5 Genel Kültür Testi % 5 Eğitim Bilimleri Testi % 0 Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi % 50 Atama puanlarında en büük etkie sahip olan Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi nin genel apısını Eğitim Fakültelerinde verilmekte olan akademik müfredat, ilgili alanının öğretim programı ve öğretim öntemleri oluşturmaktadır. Bu doğrultuda aınımız, alanında uzman azar kadromuz tarafından sınavın kapsamı, akademik apısı ve soru tarzları dikkate alınarak titiz bir çalışma sonucu hazırlanmıştır. Kitabın hazırlanmasında ve aımlanmasında desteğini esirgemeen Dizgi Bölümü Sorumlusu Zeliha DEMİRKAYA'a, Lider Yaınevi redaksion ekibine ve Kurumsallaşma Koordinatörümüz Engin POLAT a teşekkür ederim. Tüm adaların aşamında ve eğitim sürecinde başarı dileklerimle... Genel Yaın Yönetmeni Savaş DOĞAN

25

26 İÇİNDEKİLER. BÖLÜM DİFERANSİYEL DENKLEMLER... DİFERANSİYEL DENKLEMLER / ÜNİTE TESTİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER / ÜNİTE TESTİ -... DİFERANSİYEL DENKLEMLER / ÜNİTE TESTİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER / ÜNİTE TESTİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER / ÜNİTE TESTİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER / ÜNİTE TESTİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER / ÜNİTE TESTİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER / ÜNİTE TESTİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER / ÜNİTE TESTİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER / ÜNİTE TESTİ BÖLÜM İSTATİSTİK-OLASILIK İSTATİSTİK-OLASILIK / ÜNİTE TESTİ İSTATİSTİK-OLASILIK / ÜNİTE TESTİ İSTATİSTİK-OLASILIK / ÜNİTE TESTİ İSTATİSTİK-OLASILIK / ÜNİTE TESTİ İSTATİSTİK-OLASILIK / ÜNİTE TESTİ İSTATİSTİK-OLASILIK / ÜNİTE TESTİ İSTATİSTİK-OLASILIK / ÜNİTE TESTİ İSTATİSTİK-OLASILIK / ÜNİTE TESTİ İSTATİSTİK-OLASILIK / ÜNİTE TESTİ İSTATİSTİK-OLASILIK / ÜNİTE TESTİ BÖLÜM LİNEER CEBİR... 7 LİNEER CEBİR / ÜNİTE TESTİ LİNEER CEBİR / ÜNİTE TESTİ LİNEER CEBİR / ÜNİTE TESTİ -... LİNEER CEBİR / ÜNİTE TESTİ LİNEER CEBİR / ÜNİTE TESTİ LİNEER CEBİR / ÜNİTE TESTİ

27

28 . BÖLÜM DENKLEMLER DİFERANSİYEL DENKLEMLER DİFERANSİYEL. BÖLÜM

29

30 . BÖLÜM DİFERANSİYEL DENKLEMLER MATEMATİK DİFERANSİYEL DENKLEMLER Tanım: Bilinmeen bir fonksion ve bu fonksiona ait türleri içeren denklemlere diferansiel denklemler denir. Fonksion bir değişkene bağlı ise adi diferansiel denklem, birden fazla değişkene bağlı ise kısmi diferansiel denklem adını alır. ı + = tan, d - = e, d ( ı ) = denklemleri birer adi diferansiel denklemlerdir. u u + = u, u u u + + = 0 denklemleri ise kısmi diferansiel z denklemlere örnektirler. Adi difransiel denklemleri F(,, ı, ıı,..., (n) ) = 0 ile ifade ederiz. Biz diferansiel denklemler olarak adi diferansiel denklemleri ele alacağız. Tanım: Bir diferansiel denklemdeki en üksek mertebeden türevin mertebesine diferansiel denklemin mertebesi denir. En üksek mertebeden türevin kuvvetine ise diferansiel denklemin derecesi denir. ııı ıı + 5 = cos, ıı + sin. = 0, denklemleri lineer iken, ııı + e. ı + = 0 ( ıı ) ln. = sin denklemleri lineer değildir. Aşağıdaki diferansiel denklemlerden hangisi. mertebeden lineer diferansiel denklemdir? A) ( )d + d = 0 B) ( ı ) + ln = sin C) ıı +. ı ln = 0 D) ıı + sin. ı = 0 E) ııı ıı + = 0 a. mertebeden ve lineer değil b. mertebeden ve lineer değil c. mertebeden fakat lineer değil d. mertebeden ve lineer olduğundan doğrudur. e. mertebeden ve lineer CEVAP: D ııı ( ıı ) 5 = tan (. mertebe,. derece) ( ıı ) = sec (. mertebe,. derece). ıı + cos.( ı ) = + 9 (. mertebe,. derece) Tanım: n. mertebeden lineer diferansiel denklem a n () (n) + a n () (n ) +...a o () = F() ile gösterilir. Bu şekilde ifade edilemeen diferansiel denklemlere lineer olmaan diferansiel denklemler denir. F() = 0 olduğunda homojen diferansiel denklem, F() 0 olduğunda ise homojen olmaan diferansiel denklem adını alır. I. Denklem lineerdir. ııı + ln. ıı = sec diferansiel denklemi için kaç tanesi doğrudur? I. Lineer II. Homojen III.. mertebeden IV.. dereceden V. Kısmi diferansiel denklem A) B) C) D) 4 E) 5 II. F() = sec 0, dolaısıla homojen değildir. 7 III.. mertebedendir. IV.. derecedendir. 7 V. Adi diferansiel denklemdir. 7 CEVAP: B

31 MATEMATİK Başlangıç - Değer ve Sınır Değer Problemleri Diferansiel denklemlerin çözümü denklemin mertebesine bağlı olarak bir vea birden fazla sabit içerir. Bu sabitlerin bulunabilmesi için denklem ile beraber ek koşullar verilmelidir. Bu koşullar bağımsız değişkenin bir tek değeri için tanımlanıorsa bu probleme başlangıç - değer problemi, birden fazla değer için tanımlanıorsa sınır - değer problemi denir. Örneğin; ıı + = 0 (0) =, ı (0) = başlangıç - değer problemidir, çünkü sadece = 0 değeri var, fakat ıı + = 0 (0) =, () = ise sınır-değer problemidir. Çünkü = 0 ve = değerleri vardır. ıı + 9 = 0 (0) =, ` r j = problemi için hangisi sölenemez? A) Sınır-değer problemidir. B) Lineerdir. C) Homojendir. D). mertebedendir. E). derecedendir. ıı + 9 = 0. mertebe,. derecedir. Dolaısıla doğru anıt e) şıkkıdr. CEVAP: E Değişkenlerine Arılabilir Diferansiel Denklemler d Tanım: M(,)d + N(,)d = 0 vea d = f (,) şeklinde ifade edilen birinci mertebeden diferansiel denklem f ().g ()d + f ()g ()d = 0 formunda azılabiliorsa bu tip diferansiel denklemlere değişkenlerine arılabilir diferansiel denklemler denir. Aşağıdakilerden hangisi başlangıç - değer problemidir? A) ıı + = 0 (0) =, (r) = B) ıı = 0 (0) =, () = C) ıı + e = 0 () = e, ı () = e D) ıı sin. = 0 () = r, ı () = r E) ıı + = 0 (0) = 5, ı () = c şıkkında sadece = değeri için koşullar olduğundan başlangıç-değer problemidir. CEVAP: C Denklemin genel çözümü f () g() % f () d + % g () d = $ 0 ile hesaplanır. (cos)d ( + )sind = 0 diferansiel denkleminin genel çözümünü bulunuz. Denklem değişkenlerine arılabilir olduğundan sin # d cos d - # = # 0 ile çözümü hesaplarız. + + = u cos = v d = du sind = dv # du dv u + # v = # 0 & ln u+ ln v = ln c u $ v = c u$ v = C & ^ + h$ cos = C 4

32 DİFERANSİYEL DENKLEMLER d d = $ sec diferansiel denkleminin genel çözümü hangisidir? A) sec + cos = c B) cos + = c C).sec = c D) sin = c E) cos + sin = c d d = cos & # cos d = # d sin = + c CEVAP: D d d = sin ( + ) - diferansiel denkleminin çözümü aşağıdakilerden hangisidir? A) cos( + ) = c B) sin ( + ) = c C) sin( + ) = c D) cot ( + ) = c E) + cot( + ) = c + = u dönüşümü aparız d du d du + d = d & d = d - du du d - = sin u - & cot sin = d &- u = + c u + cot( + ) = c CEVAP: E d d + cot = 0 ( ) = 0 4 başlangıç değer probleminin çözümü hangisidir? A) ln( + ) cos = 4 e d + e + d = 0 diferansiel denkleminin genel çözümü hangisidir? A) e + e = c B) e e = c C) e = c D) e + e = c E) e = c e d + e.e d = 0 # ed+ # e d = # 0 e + e = c CEVAP: A B) ln(cos) + = 4 C) cos ln(sin) = 4 D) ln sin = ln E) - ln( cos ) = d cot + d = 0 sin d # cos + # d = # 0 &- lncos + = c () = 0 & ln + = c c = - ln( cos ) = CEVAP: E 5

33 MATEMATİK Homojen Diferansiel Denklemler Tanım: M(,)d + N(,)d = 0 şeklindeki birinci mertebeden diferansiel denklem d d = f` j olacak şekilde in bir fonksionu olarak ifade edilebiliorsa bu tip denklemlere homojen diferansiel denklemler denir. Homojen Diferansiel Denklemlerin Çözümü Homojen diferansiel denklemler sahiptirler. Bu tip denklemleri çözmek için v = d d d d = f` j formuna _ b ` dv = v+ d b a dönüşümü kullanılır, bu saede denklem değişkenlerine arılabilir hale getirilir. ( )d + d = 0 denklemi için ( + )d d = 0 diferansiel denklemini çözünüz. d d - + d = 0 & d = Çözüm $ a - k = f` j olduğundan denklem homojendir. ` sin j d + ( + ) d = 0 denklemi için d sin d sin d + + = 0 & d =- = f` j + olduğundan denklem homojendir. Aşağıdaki diferansiel denklemlerden hangisi homojendir? d + d = homojendir. & d d = v dönüşümü aparak; dv dv v + d = v + v & d = v # d vdv = # = + olduğundan denklem v = ln + c & - ln = c elde edilir. A) ( )d + d = 0 B) sin` j d + ^ - h d = 0 C) _ - id + ( - ) d = 0 D) `ln j d + ( - ) d = 0 c) şıkkı için d d =- E) ( + )d + ( )d = $ =- - - olduğundan denklem homojendir. = f` j CEVAP: C ` + cos j d - cos d = 0 diferansiel denkleminin çözümü hangisidir? A) cos + ln = c B) sin - ln = c C) cosec - ln = c D) tan + e = c E) cot - ln = c 6

34 DİFERANSİYEL DENKLEMLER d cos d = + = + olduğundan denklem cos cos homojendir. dv v + d = cos v + v & # cosvdv = # sinv = ln + c sin - ln = c d CEVAP: B ( + 4)d + ( )d = 0 diferansiel denklemini homojen diferansiel denklem haline getirmek için hangi dönüşüm kullanılır? A) = X + = Y B) = X = Y C) = X + = Y + D) = X = Y + E) = X = Y + 5 İki doğru paralel olmadığından = X + h = Y + k dönüşümü kullanılır. h ve k değerleri ise _ - - id- d = 0 4 ( ) = Başlangıç-değer probleminin çözümü hangisidir? r A) arcsin + ln = r B) arccos - ln = 4 r C) arctan + ln = 4 D) sin - ln = sin E) cos e r - = d d = - - d d = - - dv v+ d = v- -v arcsinv + ln = c arcsin + ln = c & () = & arcsin + ln = c & # # # dv - v d + = r = c 0 CEVAP: A / h k + 4= 0 h k = 0 denkleminin çözümünden elde edilir. h k + 4 = 0 9h + k + = 0 7h + 7 = 0 & h = k = = X + = Y + elde edilir. CEVAP: C Tam Diferansiel Denklemler M(,)d + N(,)d = 0 diferansiel denklemi için M N = eşitliği gerçekleniorsa denkleme tam diferansiel denklem denir. ( + sin)d + ( )d = 0 diferansiel denklemi M _ = b M N ` = olduğundan N = b a tam diferansiel denklemdir. Fakat ( + ln)d + ()d = 0 diferansiel denklemi M N M N =, = &! olduğundan tam diferansiel denklem değildir. 7

35 MATEMATİK Aşağıdaki diferansiel denklemlerden hangisi TAM diferansiel denklemdir? A) ( + )d + ( ln)d = 0 B) ( + tan)d + (sin )d = 0 C) (sin + cos)d + (ln)d = 0 D) (5 + 6)d + (8 tan)d = 0 E) ( + 5)d ( + 8)d = 0 d) şıkkı için M N = 6 = olduğundan denklem TAM dır. CEVAP: D Tam Diferansiel Denklemin Çözümü M(,)d + N(,)d = 0 denklemi TAM diferansiel denklem ise; _ F(,) = # Md (,) +,( ) b sisteminden F(,) =c F (,) ` = N (,) b a çözümü elde edilir. (e + e )d + c m d = 0 denkleminin diferansiel denkleminin çözümü hangisidir? A) e + = c B) e - = c e C) + = c D) e + e = c E) ln +. = c M N e denklemi TAM diferansiel denklemdir. = = F ( e ) d () e = # + +, = + +,() F N e = & e +, l () = l() = c e + = c CEVAP: A _ a + d k - d = 0b ` ( ) = b a Başlangıç-değer probleminin çözümü hangisidir? A) ln + = 0 B) + = 4 C) + = ( + cos)d + ( sin + )d = 0 diferansiel denklemini çözünüz. M N =- sin = olduğundan denklem TAM diferansiel denklemdir. F = # Md +, () = # ( + cos ) d +,() = + cos + l() F = N & sin + l ı () = sin + l() = + c + cos + = c elde edilir. M = N = D) + = E) = denklem TAM diferansiel denklemdir. F d () = # a + k +, = + +,() F =- +, l () =- & l() = c + = c & () = & + = c & c = CEVAP: C 8

36 DİFERANSİYEL DENKLEMLER Lineer Diferansiel Denklemler d Tanım: d + p () $ = q() şeklindeki denkleme birinci mertebeden lineer diferansiel denklem denir. Bu tip denklemleri çözmek için öncelikle n () = e # pd () formundaki integral çarpanı bulunur. Çözüm ise = # n() qd () ile elde edilir. n() d d 5 + = diferansiel denklemini çözünüz. # d ln ln n () = e = e = e = d.( + e )d = 0 diferansielinin denkleminin çözümü hangisidir? A) =. 7 e + ca B) = e.[ + c] C) = e + c D) = e.[ + c] E) e = c d d - = e lineer denklem # -d n () = e - = e # - = $ e $ e d e - e = $ 6 + c@ bulunur. d $ d + = 5 ( ) = 4 4 CEVAP: D 5 = $ # $ d & = c 8 + elde edilir. 8 Başlangıç-değer probleminin çözümü hangisidir? A) + 7 = 5 B) 5 = C) = 5 D) = 4 ı = e diferansiel denklemin çözümü aşağıdakilerden hangisidir? l = e d n() = e = e A) = e.[ + c] B) = e.[ + c] C) = e + + c D) = [e + c] E) = e.ln + c 4 - # = $ # $ = e $ 6 + c@ elde edilir. e e e d CEVAP: B E) = d d + = 5 # ln () e d e n = = = = $ # 5 $ d 7 5 = 7 + c & ( ) = = c c = = = c CEVAP: E 9

37 MATEMATİK Bernoulli Diferansiel Denklemleri Tanım: ı + p() = q(). n apısındaki diferansiel denklemlere Bernoulli diferansiel denklemleri denir. v = n dönüşümü ile denklem lineer diferansiel denkleme dönüşür. (n!ir) 4 l - = Bernoulli diferansiel denklemini ugun dönüşümle lineer denkleme indirgein. n = 4 v = 4 & v = v ı = 4. ı l - = / $ l + =- vl 6 v + =- lineer denklem RİCCATİ DENKLEMİ d d = P() + Q() + R() formundaki denklemlerdir. P() = 0 ise lineer, Q() = 0 ise Bernoulli; R(), P(), Q(), sabit ise değişkenlerine arılabilir olur. Bu denklemin çözülebilmesi için bir özel çözümünün bilinmesi gerekir. = () denklemin bir özel çözümü olsun. = () + u] g dönüşümüle denklem lineer diferansiel denkleme dönüşür. CLAIRAUT DENKLEMİ =. ı + f( ı d d ) a da = d + fc m şeklindeki denklemlerdir. d Bu denklemler çözülürken ı = p dönüşümü apılır ve çözüm için 'e göre türev alınıp çözülür. ı = + + diferansiel denkleminin bir özel çözümü = olduğuna göre genel çözümünü bulunuz. l + = Bernoulli diferansiel denklemi hangi lineer denkleme indirgenir? A) vl - v = B) vl + 4v = C) vl + v = D) vl - 6v = E) vl + 9v = Denklem Riccati diferansiel denklemidir. u = + u & = - u u - = a + u u k - a + u k+ + du d =- u =- + cg^h = + u & u = - () de erine azalım. - =- + c n = v = ( ) ı + = /. ı + 9 = v ı + 9v = v = v l = $ lineer denklem CEVAP: E LAGRANGE DENKLEMİ = f( ı ) + g( ı ) şeklindeki denklemlerdir. Örneğin; = ı + ( ı ) Lagrange denklemidir. Yüksek Mertebeden Sabit Katsaılı Homojen Denklemler n. mertebeden sabit katsaılı homojen denklemler a n (n) + a n (n-) a ı + a 0 = 0 şeklindedir. 0

38 DİFERANSİYEL DENKLEMLER Karakteristik denklem a n.m n + a n.m n a m + a 0 = 0 biçimindedir. Karakteristik denklemin köklerine bağlı olarak durum mevcuttur. I. Durum: Kökler reel ve farklı d d d d d d - 6 = 0 diferansiel denkleminin genel çözümü hangisidir? A) = c e + c e + c e B) = c +c e + c e C) = c e + c e + c e ıı 7 ı + = 0 diferansiel denkleminin genel çözümünü bulunuz. D) = c e + c e + c e E) = c e + c e 4 + c e m 7m + = 0 şeklinde karakteristik denklem bulunur. (m )(m 4) = 0 m = & = e m = 4 & = e 4 = c e + c e 4 ll l = 0 diferansiel denkleminin genel çözümünü bulunuz. m m = 0 şeklinde karakteristik denklem bulunur. (m ) (m + ) = 0 m = = e m = = e = c e + c e m 6m + m 6 = 0 & m = & = 0 sağlar m 6m + m 6 m + m ± m m 5m + 6 5m + m 6 ± 5m + 5m 6 6m 6 + 6m ± 6 0 m = m = m = = c e + c e + c e CEVAP: C ll l = 0 m m = 0 m(m ) = 0 m = 0 = m = = e = c + c e diferansiel denkleminin genel çözümü hangisidir? A) = c + c e B) = c + c e C) = c e + c e 4 D) = c + c e E) = c e + c e CEVAP: B d d -7 d d - 6 = 0 diferansiel denkleminin genel çözümü hangisidir? A) = c e + c e + c e B) = c + c e + c e C) = c e + c e + c e D) = c e + c e + c e 4 E) = c e + c e + c e

39 MATEMATİK m = = 0 sağlar. m 7m 6 m + "m " m m m 6 = (m - ) (m + ) m 7m - 6!m! m 6m 6! 6m! 6 0 m = m = m = = c e + c e + c e CEVAP: E m + m 4 = 0 (m + 4)(m ) = 0 m = 4 m = ıı + ı 4 = 0 (0) = ı (0) = 7 başlangıç-değer probleminin çözümü hangisidir? A) = e + e B) = e 4 + e C) = e e D) = e 4 + e E) = e e = c e 4 + c e (0) = c + c = / ı (0) = 4c + c = 7 5c = 0 c = c = = e 4 + e elde edilir. CEVAP: D ll - l + = 0 (0) = 5 I (0) = 8 m + 4m = 0 m(m + 4) = 0 m = 0 = m = 4 = e 4 ıı + 4 ı = 0 diferansiel denkleminin genel çözümü hangisidir? A) = c + c e 4 B) = c e + c e C) = c e + c e 4 D) = c e + c e 4 E) = c e + c e = c + c e 4 CEVAP: A m m + = 0 (m ) (m ) = 0 m = m = = c e + c e (0) = c + c = 5 / başlangıç - değer probleminin çözümü hangisidir? A) = 7e e B) = e + e C) = 5e e D) = e + e E) = e + 4e I (0) = c + c = 8 c = c = = e + e elde edilir. CEVAP: B

40 DİFERANSİYEL DENKLEMLER II. Durum: Kökler reel ve katlı ıı 8 ı + 6 = 0 diferansiel denkleminin genel çözümünü bulunuz. m 8m + 6 = 0 m = 4 = e 4 = c m = 4 = e 4 e 4 + c e 4 (m 4) = 0 m, = m,4 = = e = e = e 4 = e Hangisi (lv) 8 ll + 6 = 0 diferansiel denkleminin çözümlerinden biri değildir? A) e B) e C) e D) e E) e CEVAP: C III. Durum: Kökler kompleks ise ll + 0 l + 5 = 0 diferansiel denkleminin genel çözümünü bulunuz. m + 0m + 5 = 0 m = 5 = e 5 m = 5 = e 5 = c e 5 + c e 5 elde edilir. ıı + 4 ı + = 0 diferansiel denkleminin genel çözümünü bulunuz. m + 4m + = 0 (m + ) = 9 & m, = " i Hangisi (IV) ıı + = 0 diferansiel denkleminin çözümlerinden biri değildir? A) e B) e C) = e.cos = e.sin = c e.cos + c e.sin D) e E) e m 4 m + = 0 ll + 6 l + = 0 diferansiel denkleminin genel çözümünü bulunuz. m + 6m + = 0 (m + ) = 4 m, = " i (m ) = 0 m, = m,4 = = e, = e = e, 4 = e CEVAP: C = e. cos = e. sin = c e. cos + c e. sin

41 MATEMATİK ıı + 4 = 0 diferansiel denkleminin genel çözümü hangisidir? A) = c e + c e B) = c cos + c sin C) = c cos + c sin - D) = c e + c e E) = c cos + c sin m + 4 = 0 & m, = "i = cos = c cos + c sin = sin CEVAP: E 4 d Hangisi 4-6 = 0 diferansiel d denkleminin çözümlerinden biri değildir? A) e B) e 4 C) e D) cos E) sin m 4 6 = 0 (m 4) (m + 4) = 0 m = m = = c e + c e + c cos + c 4 sin m,4 = "i CEVAP:B 4 d Hangisi 4 - = 0 diferansiel d denkleminin çözümlerinden biri değildir? A) e B) cos C) e D) e E) sin ll + 9 = 0 diferansiel denkleminin genel çözümü hangsidir? A) = c e + c e B) = c e + c e C) = c cos + c sin D) = c cos + c sin E) = c cos + c sin m 4 = 0 (m ). (m + ) = 0 m = m = m,4 = " i = c e + c e + c cos + c 4 sin CEVAP: C Yüksek Mertebeden Sabit Katsaılı Homojen Olmaan Diferansiel Denklemler n. mertebeden sabit katsaılı diferansiel denklemler a n (n) + a n (n ) a ı + a 0 = F() şeklindedir. m + 9 = 0 m, = " i = cos = sin = c cos + c sin CEVAP: D F() 0 durumunda homojen olmaan diferansiel denklem olur. Bu tip denklemlerin çözümü = homojen + özel şeklindedir. özel çözümü F() fonksionunun durumuna göre farklılık gösterir. 4

42 DİFERANSİYEL DENKLEMLER ıı ı + = + 5 denkleminin genel çözümünü bulunuz. m m + = 0 m = m = h = c e + c e ö = A + B + C formundadır. ö = A + B + C ö ı = A + B ö ıı = A (A).(A + B) + (A + B + C) = + 5 (A) + ( 6A + B) + (A B + C)= + 5 A = 6A + B = 0 A B + C = 5 ö = = c e +c e elde edilir. A = B = 9 + C = C = 5 c = 6 m m = 0 (m + )(m ) = 0 h = c e + c e ö = A + B ı ö = A Y ıı ö = 0 ıı ı = 6 + denkleminin özel çözümü hangisidir? A) ö = + / B) ö = + C) ö = + / D) ö = + / E) ö = + 0.(A).(A + B) = 6 + ( A) + ( A B) = 6 + A = 6 A B = Y ö = + / A = B = / CEVAP:A ll 5 l + 6 = + 7 denkleminin özel çözümü hangisidir? A) ö = 8 7 B) ö = 5 7 C) ö = D) ö = + 7 ll 8 l + 5 = 5 diferansiel denkleminin genel çözümünü bulunuz. m 8m + 5 = 0 m = m = 5 h = c e + c e 5 ö = A + B + C ö I = A + B ö II = A (A) 8(A + B) + 5(A + B + C) = 5 (5A) + ( 6A + 5B) + (A 8B + 5C) = 5 5A = 5 A = 6A + 5B = B = A 8B + 5C = 0 C = 5 ö = = c e + c e elde edilir. E) ö = + 6 m 5m + 6 = 0 m = m = h = c e + c e ö = A + B ö l = A ö ll = A + 6. (A + ) = + 7 (6A) + ( 5A + 6B) = + 7 6A = A = 5A + 6B = B = 7 7 B = 6 7 ö = + 6 CEVAP: C 5

43 MATEMATİK d 4 4e - = d denkleminin özel çözümü hangisidir? A) ö = 5 e B) ö = - 4 e C) ö = - e 5 D) ö = 4 e E) ö = 4 e m 4 = 0 m = h = c e + c e m = ö = Ae Ae 4.Ae = 4e ö ı = Ae Ae = 4e ö ıı = Ae A = 4/ m 9 = 0 m = m = h = c e + c e ö = Ae ö l = Ae ö ll = 4Ae 4Ae 9. Ae = 7e 5A = A = 5 ö = 5 e CEVAP: E ö = - 4 e CEVAP: B ıı = cos denkleminin özel çözümü hangisidir? A) cos + sin B) cos + sin C) cos d 9 7e - = d denkleminin özel çözümü hangisidir? A) ö = 7 e B) ö = 5 e C) ö = 4 e D) ö = 7. e 7 E) ö = 5 e D) cos sin E) cos + sin m = 0 m = h = c e + c e m = ö = Acos + Bsin ı ö = Asin + Bcos ıı ö = Acos Bsin A = B = 0 Y ö = cos ( Acos Bsin) (Acos + Bsin) = cos ( A)cos + ( B)sin = cos A = B = 0 CEVAP: C 6

44 İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ KONU ANLATIMI MODÜL - ANALİTİK GEOMETRİ SAYILAR TEORİSİ VE SOYUT CEBİR ALAN EĞİTİMİ

45 ÖABT YAYINLARI Genel Yaın Yönetmeni Savaş DOĞAN Genel Yaın Yönetmen Yardımcısı Arzu ALAN Yazarlar Ahmet YILDIRIM Orhan Gökhan GÖKDAŞ Alan Eğitimi Gülsev GÜRSOY ISBN Safa Düzeni AYMİR Yaınevi Dizgi Birimi Baskı Tarihi Ankara 07 BASKI Sistem Ofset Basım Yaım Tic. Ltd. Şti. Strazburg Caddesi No: /7 Sıhhie / Çankaa / ANKARA Tel: İletişim Adresi Serhat Mah. Mehmet Akif Erso Cad. No: Yenimahalle / ANKARA Cep: (0549) kurumsal@liderain.com COPYRIGHT AYMİR YAYINEVİ Yaım Hakkı Bu kitabın her türlü aım hakkı Amir Yaın Basım Dağıtım Ltd. Şti. e aittir. Bu kitabın baskısından 5846 ve 96 saılı Fikir ve Sanat Eserleri Yasası hükümleri gereğince kanak gösterilerek bile olsa alıntı apılamaz, herhangi bir şekilde çoğaltılamaz, genel ağ ve diğer elektronik ortamlarda aımlanamaz. BU KİTAP T.C. KÜLTÜR BAKANLIĞI BANDROLÜ İLE SATILMAKTADIR.

46 Değerli Öğretmen Adaları; Milli Eğitim Bakanlığı her ıl öğretmen ihtiacını, adaların KPSS sonuçlarına göre aptığı atamalarla sağlamaktadır. Atamalarda referans alınan başarı puanları üç farklı testin sonuçlarına göre elde edilmekte ve adaların KPSS- puanı hesaplanmaktadır. KPSS puanı aşağıdaki bölümler ve ağırlıklandırmalardan oluşmaktadır: Genel Yetenek Testi % 5 Genel Kültür Testi % 5 Eğitim Bilimleri Testi % 0 Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi % 50 Atama puanlarında en büük etkie sahip olan Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi nin genel apısını Eğitim Fakültelerinde verilmekte olan akademik müfredat, ilgili alanının öğretim programı ve öğretim öntemleri oluşturmaktadır. Bu doğrultuda aınımız, alanında uzman azar kadromuz tarafından sınavın kapsamı, akademik apısı ve soru tarzları dikkate alınarak titiz bir çalışma sonucu hazırlanmıştır. Kitabın hazırlanmasında ve aımlanmasında desteğini esirgemeen Dizgi Bölümü Sorumlusu Zeliha DEMİRKAYA a, Lider Yaınevi redaksion ekibine ve Kurumsallaşma Koordinatörümüz Engin POLAT a teşekkür ederim. Tüm adaların aşamında ve eğitim sürecinde başarı dileklerimle... Genel Yaın Yönetmeni Savaş DOĞAN

47

48 İÇİNDEKİLER. BÖLÜM ANALİTİK GEOMETRİ... ANALİTİK GEOMETRİ / ÜNİTE TESTİ ANALİTİK GEOMETRİ / ÜNİTE TESTİ ANALİTİK GEOMETRİ / ÜNİTE TESTİ ANALİTİK GEOMETRİ / ÜNİTE TESTİ ANALİTİK GEOMETRİ / ÜNİTE TESTİ ANALİTİK GEOMETRİ / ÜNİTE TESTİ ANALİTİK GEOMETRİ / ÜNİTE TESTİ ANALİTİK GEOMETRİ / ÜNİTE TESTİ ANALİTİK GEOMETRİ / ÜNİTE TESTİ ANALİTİK GEOMETRİ / ÜNİTE TESTİ ANALİTİK GEOMETRİ / ÜNİTE TESTİ ANALİTİK GEOMETRİ / ÜNİTE TESTİ -... ANALİTİK GEOMETRİ / ÜNİTE TESTİ ANALİTİK GEOMETRİ / ÜNİTE TESTİ ANALİTİK GEOMETRİ / ÜNİTE TESTİ ANALİTİK GEOMETRİ / ÜNİTE TESTİ ANALİTİK GEOMETRİ / ÜNİTE TESTİ ANALİTİK GEOMETRİ / ÜNİTE TESTİ BÖLÜM SAYILAR TEORİSİ VE SOYUT CEBİR... 5 SAYILAR TEORİSİ VE SOYUT CEBİR / ÜNİTE TESTİ SAYILAR TEORİSİ VE SOYUT CEBİR / ÜNİTE TESTİ SAYILAR TEORİSİ VE SOYUT CEBİR / ÜNİTE TESTİ SAYILAR TEORİSİ VE SOYUT CEBİR / ÜNİTE TESTİ SAYILAR TEORİSİ VE SOYUT CEBİR / ÜNİTE TESTİ SAYILAR TEORİSİ VE SOYUT CEBİR / ÜNİTE TESTİ ÜNİTE ALAN EĞİTİMİ ALAN EĞİTİMİ / KONU TESTİ ALAN EĞİTİMİ / KONU TESTİ ALAN EĞİTİMİ / KONU TESTİ ALAN EĞİTİMİ / ÜNİTE TESTİ ALAN EĞİTİMİ / ÜNİTE TESTİ ALAN EĞİTİMİ / ÜNİTE TESTİ

49

50

51 . BÖLÜM GEOMETRİ ANALİTİK GEOMETRİ ANALİTİK. BÖLÜM

52

53 . BÖLÜM ANALİTİK GEOMETRİ MATEMATİK ANALİTİK GEOMETRİ ) DÜZLEMDE VEKTÖRLER A. İki nokta arasındaki uzaklık A(X, Y ) ve B(X, Y ) verilen iki nokta olmak üzere AB = ^ - h + ^ - h ile iki nokta arasındaki uzaklık bulunur. P(,5) ve Q(,) noktaları arasındaki uzaklık kaçtır? PQ = ^+ h + ^5- h = 9+ 6 = 5 O - ekseni üzerinde P(,7) ve Q(,) noktalarından eşit uzaklıkta bulunan noktaı bulunuz. R(O,) şeklindedir. PR = QR + (7 ) = + ( ) & = + 48 = & = 4 & R(0,4) noktası B. Vektörler Yönlü doğru parçalarına vektör adı verilir. Başlangıç noktası A, bitiş noktası B olan bir vektör AB ile gösterilir. Vektörün bou (normu) AB ile gösterilir. C. Düzlemde Vektörler Başlangıç noktası orijin olan OP vektörüne konum vektörü denir. = A A(5,4) ve B(, ) noktaları arasındaki uzaklık kaçtır? AB = ^5+ h + ( 4- ) = 0 B = vektörleri için I. A = B & = / = dir. II. A = + (bou, normu) III. AB = B- A = 6 -, IV. A+ B = 6 +, V. // A B & = = k & A = kb Köşeleri P(0,), Q(, ), R(6,) olan PQR üçgeninin çeşiti nedir? A = ( k +, ) ve B4 (, m - ) için PQ = + 4 = 0 QR = 4 + = 0 PR = 6 + = 40 PQ + QR = PR üçgendir. oldğundan üçgen ikizkenar dik A = B olduğuna göre k + m kaçtır? A = B k + = 4 & k = k +m = 7 m = & m = 5

54 MATEMATİK PR = (,4) ve Q(, + ) için PR = QR olduğuna göre + kaçtır? PR = QR - = & = + = 6 + = 4 & = A(, ) ve B( +, + ) noktaları için AB konum vektörü AB = (-, ) ise ve değerleri nelerdir? AB = B- A = ( + -, - + ) -(, - ) = ( +, + ) = (,) + = & + = + = & = 0 = & = & = A(, ), B(, ), C(0, ), D(, 4) olduğuna göre AB $ CD değeri nedir? AB = B- A = (-, )-(, ) = (-, ) CD = D- C = ( 4, )-( 0, ) = (, ) AB CD = + = 5 = + = 5 $ = 0 A(, ), B(, ), C(, ) verilior. ^AB + BCh vektörünün uzunluğu 0 ise değeri ne olabilir? AB + BC = B- A+ C- B = C- A = (,) (,) = (,) (,) = ^- h + = 0 & = & = = & = 5 A(0,), B(,), C(,4), D(,5) olduğuna göre AB $ CD değeri nedir? AB = B- A = ^-, h- ^0, h= ^-, h CD = D- C = ^-5, h - ^4, h = ^-, h AB $ CD = + $ + = $ 0 = 0 = 5 A = 6, B = olmak üzere A- C = B olduğuna göre C vektörü nedir? A- B = C (, ).(, ) = C (4 +, 9) = (7, ) = C 4

55 ANALİTİK GEOMETRİ AR = [,], BR = [,] ve CR = [,9] vektörleri verilior. CR vektörünü AR ve BR cinsinden ifade ediniz. D. Birim Vektör Uzunluğu birim olan vektöre birim vektör denir. A = (, ) birim vektör ise A = + = olmalı. A = (,) vektörü için CR = m.ar + n.br (,9) = m(,) + n(,) / m + n = 4m n = m + n = 9 m + n = 9 7m = 7 & m = CR = AR + BR n = I. Temel birim vektörler e = i = ^0, h / e = j = ^0, h şeklindedir. A = ^, h= ^, 0h+ ^0, h= ^, 0h+ $ ^0, h = $ e+ $ e = $ i+ $ j ile ifade edilir. A(, -) ve B( -, m + ) vektörleri verilior. II. Anı önlü birim vektör A ^, h u = = = d, n A A// B ise m değeri kaçtır? - = - & m + = 6 m + m = 4 III. Zıt önlü birim vektör A, - u = - -^ h - = = d-, n A AR = (, ), BR = (,) ve CR = (k +,) vektörleri verilior. AB// C olduğuna göre k değeri kaçtır? AB// C & AB = B- A = (,) (, ) = (,4) 4 k+ = & = 4k + 4 4k = k = - 4 A^50, h ve B^, - 4h olmak üzere AB vektörü ile anı önlü ve zıt önlü birim vektörler nelerdir? AB = B- A = ^, -4h - ^50, h = ^-, -4h AB ^, 4 u = = - - h, AB 5 = a k & anı önlü birim ^ h vektör - u =a 5, 4 k 5 & zıt önlü birim vektör 5

56 MATEMATİK PR(4,) ve QR(,) olmak üzere PQ vektörü ile anı önlü ve zıt önlü birim vektörler nelerdir? PQ = Q- P = (,) (4,) = ( 5, ) PQ ^ 5, 5 u = = - - h = a-, - k PQ & anı önlü birim vektör jr = (k, ) ve jr = (, ) vektörleri için {jr, jr }, R de taban oluşturuorsa, k kaç olamaz? k -! & k -! 6 k! 9 & k! 5 u, - =a k & zıt önlü birim vektör E. Doğrusal (Lineer) Bileşim m, ndr olmak üzere; ^ma+ nbh vektör toplamına A ve B vektörlerinin doğrusal bileşimi denir. A ve B vektörleri sıfırdan farklı ve birbirine paralel olmaan vektörler iseler, arıca düzlemdeki her vektör A ve B nin doğrusal bileşimi şeklinde azılabiliorsa # AB, - kümesine düzlemin tabanı denir. e = ^0, h vee = ( 0, ) olmak üzere # e, e- kümesine ise temel taban denir. A = e - e, B = 4e + e ve C = e + 5e vektörleri için C vektörünü A bileşimi olarak azın. ve B vektörlerinin lineer C = m$ A+ nb & ^, 5h = m$ ^, - h + n$ ^4, h m + 4n = 6m + 8n = m + n = 5 6m + 9n = 5 7n = 7 & n = m = C =- A+ B A = ^, h = e+ e şeklinde azılabilir. Düzlemde sıfırdan farklı A^, h ve B^, h vektörleri verilior. İki vektör paralel ise lineer (doğrusal) bağımlıdır. A// B & = AR = (,), BR = (0,) ve CR = (,) vektörleri verilior. CR vektörünü AR ve BR vektörlerinin lineer bileşimi olarak azın. A = ^k, h ve B = ^-, h vektörleri lineer bağımlı olduğuna göre k değeri kaçtır? k - = & k =- & k =- CR = mar + nbr (,) = m(,) + n(0,) & m = m + n = CR = AR + 5BR m = n = 5 6

57 ANALİTİK GEOMETRİ F. İki Vektörün Skaler (İç) Çarpımı Sıfırdan farklı A = ^, h ve B = ^, h vektörleri arasındaki açı i olmak üzere iç çarpım iki şekilde hesaplanır. I. A$ B = < AB, > = $ + $ II. A$ B = < AB, > = A $ B $ cos i A ABC bir üçgen, G ağırlık merkezi olmak üzere; F G E AD + BE + CF değeri nedir? B D C İç Çarpımın Özellikleri. A A A $ =. A$ B = B$ A + AD = ^ AB + ACh BE = ^ BA + BCh CF = ^ CB + CAh = 0 AB + BA = 0 AC + CA = 0 BC + CB = 0. A$ A = 0& A = 0 4. A$ ^B+ Ch= A$ B+ A$ C 5. A = B & A$ B = 0 6. A// B & A$ B = A. B 7. A$ B G A $ B 0 a b = a+ AB b c + b = c+ CB b = a+ c+ 0 & b = a+ c A B C AB = BC olmak üzere b i a vec türünden bulunuz. B B A G A a G a D C C ABC bir üçgen, G ağırlık merkezi olmak üzere; GA + GB + GC değeri nedir? GD = ^ GB + GCh GB + GC = GD =-GA GA + GB + GC = 0 7

58 MATEMATİK B D A C ABC bir üçgen, DC = BD AD = $ AB + $ AC ise ve değerleri nedir? ABC üçgeni içerisinde herhangi bir P noktası alınıor. G ağırlık merkezi olmak üzere PA + PB + PC toplamı nedir? G A P PA = PG + GA PB = PG + GB = 0 + PC = PG + GC PA + PB + PC = PG AD = AB + BD / AD = AC + CD AD = AB + BD AD = AC + CD = 0 B C 4AD = AB + AC AD = 4 AB + 4 AC X XY = YZ 0 R zr R Y olmak üzere R vektörünü R ve zr vektörünün lineer bileşimi olarak ifade ediniz. ABC üçgeni dışında herhangi bir P noktası alınıor. G ağırlık merkezi olmak üzere PA + PB + PC toplamı nedir? R = + XY / R = z+ ZY / Z R = + XY R = z+ ZY 5R = R + zr = z = 0 B A PA = PG + GA PB = PG + GB = 0 PC = PG + GC + G P C PA + PB + PC = PG 8