MODÜLER ARİTMETİK LİSE KONU ANLATIMI

MODÜLER ARĐTMETĐK Z={..,-,-,0,, } kümesinde tanımlanan β ={(x,y): mi(x-y), m Z + {}} bağıntısı denklik bağıntısıdır. β denklik bağıntısı olduğuna göre, ( x, y) β için x y (mod m) ÖRNEK: Z de β ={(x,y) : I(x-y) } bağıntısını inceleyelim. β,bileşenlerinin farkı e bölünen ikililerden oluşmaktadır.mesala; (0,0),(,)(,),(-,-)(-,-) (0,),(0,),(,8),(0,0),(-0,-0), (,)(,)(,)(,0),(,0). Đkilileri β nın elemanları arasında yer alır. β nın elemanlarının göz önüne alınmasıyla da görüleceği gibi β denklik bağıntısıdır.buna göre, ( x y) β, olduğu için x y mod tür. (,0) β olduğu için 0(mod ) (7,) β olduğu için 7 (mod ) (,) β olduğu için (mod ) NOT: mod e göre 0 a denk olan ( e bölümünden kalan 0 olan) pek ok sayı vardır.bu sayıların oluşturduğu kümeye 0 ın denklik(kalan) sınıfı diyeceğiz. Ve 0 sembolüyle göstereceğiz. O={,,-,-,0,,,.} dır. Bu şekilde ve kümelerini de yazalım. Z de modülüne göre kalan sınıflarının kümesi Z/ ={ 0,, } KURAL: Z/m de x,y,u,v ( mod ) x y m u v mod m ise.x+u y + v (mod m).x-u y-v (mod m).x.u y.v (mod m) Z olmak üzere,.k.x k.y (mod m), k Z n n 5.x y (mod m) n N KURAL: Herhangi bir tamsayının 9 ile bölümünden kalan rakamları toplamına denktir. ÖRNEK: 0 x( mod 9) denkleminin çözümü kaçtır? ÇÖZÜM: (++++) (mod 9) KURAL:Herhangi bir tamsayının birler basamağındaki rakam sorulduğunda 0 modülüne göre işlem yapılır. 8 8 (mod0) (mod0) KURAL: Birler basamağındaki rakam 0,,5, olan tüm sayıların tüm kuvvetlerinin birler basamağındaki rakam yine sırasıyla 0,,5, olur.(birler basamağındaki rakamdan bahsedilince 0 modülüne göre işlem yapılmalıdır.) ÖRNEK: 0 50 rakam kaçtır? sayısının birler basamağındaki 0 0 (mod0) iki tarafın 50.kuvveti alınırsa 0 50 0 (mod 0) = {... 5,,,,7,...} = {...,,,5,8,...} www.vahitsoyturk.com MODULER ARİTMETİK LİSE KONU ANLATIMI Sayfa

ÖRNEK: kaçtır? 75 7 sayısının 5 e bölümünden kalan A) B) C) D)5 E) ÇÖZÜM: 75 7 in 5 e bölümünden kalan x ise, 75 7 x ( mod5) tir.buna göre, 7 (mod5) 7 (mod5) 7 (mod 5) 7 = mod 5 75 8 7 7.7 (mod 5) x= tür. ÖRNEK: kaçtır? 8. (mod 5). (mod 5) 99 99 ün birler basamağındaki rakam A)0 B) C) D) E)8 99 ÇÖZÜM: 99 ün birler basamağındaki rakam x olsun, 99 99 99 x (mod 0) (mod 0) (mod 0) mod 0 (mod 0) Görüldüğü gibi ün tek kuvvetleri için kalan, ün çift kuvvetleri için kalan olmaktadır.buna göre 99 çift olduğu için ÖRNEK 777 : (mod 8) olduğuna göre x kaçtır? A)0 B) C) D) E) ÇÖZÜM-: (mod 8) (mod 8) 0 mod 8 olduğuna göre nın 'e eşit ve ten büyük bütün kuvvetleri için 8 ile bölümünden kalan 0 dır. 777 0 (mod 8) x=0 dır. KURAL: x, m nin katı olmayan pozitif bir tam sayı ve m asal sayı ise (mod 5) (mod 7) 0 7 mod m x (mod m) m+ + ÖRNEK-: 5 x (mod 7) m Z olduğuna göre x kaçtır? A) B)5 C)8 D) E)5 ÇÖZÜM-: 5 (mod 7) dir.buna göre, m+ m 5 5.5 (mod 7) m 5.5(mod7) m.5 (mod 7) 5 (mod 7) x=5 NOT: x ile m aralarında asal sayılar olmak üzere, m nin asal çarpanlarına ayrılmış biçimi m=ak.br.cp ve 99 (mod 0) Demek ki ; x= dır. www.vahitsoyturk.com MODULER ARİTMETİK LİSE KONU ANLATIMI Sayfa

.. ise, a b c T T=m x (mod m) dir. m asal sayı ise, (m-)!+ 0 (mod n) dir. ÖRNEK: Bugün günlerden pazardır.005 gün sonraki gün aşağıdakilerden hangisidir? A)Salı B)Çarşamba C)Perşembe D)Pazartesi E)Cumartesi ÇÖZÜM: Bir haftada 7 gün olduğuna göre,işlemleri (mod7) ye göre yapmalıyız. 005 (mod7) Bugün Pazar olduğuna göre7 gün sonra da pazardır.bunun için kalanı 0 olan günler pazara,kalanı olan günler pazartesi.. Pazar Pazartesi Salı Çarşamba Perşembe Cuma.. 0 5 Olduğuna göre 005 gün sonra çarşambadır. ÖRNEK m kaçtır? ( ) 0 : 5 m (mod 7) olduğuna göre, 0 m (mod 7) (mod 7) (mod 7) (mod 7) 0 0 0 0 + 7. 0 ÇÖZÜM: 5 = = = 5 5. m (mod 7).9 m (mod 7) m (mod 7) m= www.vahitsoyturk.com MODULER ARİTMETİK LİSE KONU ANLATIMI Sayfa

5.Tam 9 u gösteriyorken çalıştırılan bir saatin akrebi 005 saatlik süre olduğu anda kaçı gösterir? A)7 B)8 C)9 D)0 E) MODÜLER ARĐTMETĐK PT-A 995. x mod 7 olduğuna göre, x kaçtır? A) B) C) D) E)5.Bir elektronik saat şu anda.0 u gösterdiğine göre,0 saat sonra kaçı gösterir? A):00 B)5:0 C):0 D):0 E):00 x. 99 mod 5 olduğuna göre,x in en küçük değeri kaçtır? A)0 B) C) D)7 E)0 7.5 günlük bir yıldaki Cuma ve cumartesi günleri sayısının toplamı en çok kaçtır? A)0 B)0 C)0 D)05 E)0. -.x (mod 5) olduğuna göre,x in alabileceği pozitif en küçük iki değerin toplamı kaçtır? 8. Bir asker 9 günde bir nöbet tutmaktadır.đlk nöbetini pazartesi günü tuttuğuna göre,.nöbeti hangi gün tutar? A) B) C) D)0 E)9 9. Aralık 00 günü salıdır.buna göre 0 Ocak 00 günü hangi güne gelir? = a. a olmak üzere, Z/7 de kaçtır? 5 A)0 B) C) D) E)5 A)Salı B)Çarşamba C)Perşembe D)Cuma E)Cumartesi www.vahitsoyturk.com MODULER ARİTMETİK LİSE KONU ANLATIMI Sayfa

0.HALĐMHALĐMHALĐM..HALĐM MODÜLER ARİTMETİK LİSE KONU ANLATIMI A)0 B) C) D) E) ifadesi HALĐM kelimesinin yan yana 00 defa yazılmasıyla elde edilmiştir.buna göre,baştan 9.harf hangisidir? A)H B)A C)L D)Đ E)M!! 5! 55! 5. m =! +! + 5! +... + ((n + )!) n = 7 için, m sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır? A)0 B) C)5 D)7 E)9 00 50. sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır? A)0 B) C) D)8 E)9. +! sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır? A)5 B) C)7 D)8 E)9. ababab... abab 0 basamaklı sayısının 9 ile bölümünden kalan ise 000 ab sayısının 9 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? 7.0,5 sayısının virgülden sonraki.basamağında hangi rakam vardır. A) B) C) D)5 E) A) B) C) D)7 E)8 x + x.z/5 te. aşağıdakilerden hangisidir? çarpımının sonucu 8.Üç günde bir nöbet tutan bir asker ilk nöbetini Çarşamba günü tuttuğuna göre0.nöbetini hangi gün tutar? A)Pazar B)Pazartesi C)Salı x x A x x x x x + x + D) E) ) B)x + + C)x + D)Cuma E)Perşembe. m=0!+!+!+.+n! n= için, m nın 5 ile bölünmesinden elde edilen kalan kaçtır? 7! 9. + + 5 + 7 + 9 + sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? A) B) C) D) E)5 www.vahitsoyturk.com MODULER ARİTMETİK LİSE KONU ANLATIMI Sayfa 5

Olduğuna göre 005 saatlik süre dolduğunda saat 9+=0 u gösterir..elektronik saat saatte bir aynı vakti göstereceğine göre,işlemleri (mod) e göre yapmalıyız. 0 8 (mod) :0+8:00=:0 Olduğu için saat :0 u gösterir. MODÜLER ARĐTMETĐK PT-A ÇÖZÜMLERĐ.7 asal sayı olduğu için kural gereği, (mod 7) dir.buna göre, 995 99. mod 7. (mod 7). (mod 7) (mod 7).99 mod 5 99 (mod 5) 99 (mod 5) görüldüğü gibi x'in en küçük değeri tür... x (mod 5) - x (mod 5) x (mod 5)..x (mod 5) x (mod 5) x,9,,...buradan x'in en küçük iki pozitif tamsayı değerlerin toplamı +9= tür. 5 5 + 0 5 + 7. Z / 7 de = = = = = 5 5.005 (mod ) 7. Bir hafta 7 gündür. 5=5.7+ Olduğu için 5 tane Cuma ve cumartesi sayılır. Sayma işlemine Cuma günü başlanırsa,artan gün Cuma olur.böylece 5 Cuma e 5 cumartesi günü olur. Toplam, 5+5=05 olur. Cuma ve cumartesi günü 8.Bir haftada 7 gün olduğuna göre,işlemleri (mod7) ye göre yapmalıyız. Đlk nöbet pazartesi günü tutulduğuna göre 7.gün sonra da pazartesidir.bunun için kalanı 0 olan günler pazartesiye,kalanı olan günler salıya, rastgelir..nöbet.nöbet.nöbet.nöbet. 9.gün 9.gün 9.gün.nöbetini tutulması için,.9 gün geçmelidir..9. (mod 7) (mod7) Pazartesi Salı Çarşamba 0 Pazartesi günü 0 kalanına karşılık gelirse, kalanı da salıya karşılık gelir. www.vahitsoyturk.com MODULER ARİTMETİK LİSE KONU ANLATIMI Sayfa

9.Aralık 00 günü Salı ise, 0 Ocak 00 günü kadar geçecek gün sayısını bulalım. -=8 gün aralık ayından gün de ocak ayından olmak üzere, 8+=9 gün vardır. 9 (mod 7) dir. Kalan 0 olan günler salıya kalanı olan günler çarşambayı rastegeledir. Salı Çarşamba Perşembe. 0 olduğuna göre 0 Ocak 00 günü perşembedir. 0.HALĐMHALĐM HALĐM Đfadesi 5 harfli olan HALĐM kelimesinin tekrarlanmasıyla oluşturulduğuna göre,herhangi bir harfin 5 harf sonrası yine aynı harftir..harf H.harf A.harf L.harf Đ 5.harf M 9 (mod 5) Olduğuna göre baştan 9 harf Đ dir.. Birler basamağından bahsedildiğine göre 0 modülüne göre işlem yapmalıyız. 00 x (mod 0) 50 y (mod 0) ise x-y isteniyor. (mod 0).kuvvetini alalım. (mod 0) 50.kuvvetini 00 50 (mod 0) x= (mod 0).kuvvetini alalım. (mod 0) 5.kuvvetine alalım. 50 (mod 0) y= 00 (mod 0) 50 - (mod 0) 00 50 0 (mod 0) birler basamağı 0 dır. alalım.. Sayının rakamları toplamına bakılmalıdır. 0(a+b)=9k+ 0 9 (Çarpanlar 0 ve 9 olduğuna göre eşitliği sağlayan ilk a+b ve k sayılarını bulduktan sonra artmalar çarpanlarla orantılı olur.) Her sayı 9 modülüne göre rakamları toplamına denktir özelliğine göre ab a+b (mod 9 ) (a+b) =, 0,9, (ab) (mod 9) 000.kuvvet alınır. (ab) 000 (mod 9) veya a+b=0 yada a+b=9 ise aynı sonuçlar bulunur.. Normal çarpmayı yapıp daha sonra Z/5'e x x x + x + çevirelim. = pay ve payda 'nin çarpmaya göre tersi ile çarpılır. ( x + x + ) www.vahitsoyturk.com MODULER ARİTMETİK LİSE KONU ANLATIMI Sayfa 7. = x + x +

.0! =!=!= 5!=70! den sonraki terimler 5 in katıdır.yani 5 ile bölümünden kalan 0 dır. O halde m nin 5 ile bölümünden kalan 0!+!+! 'in 5 ile bölümünden kalandır.bu da dir. Demek ki istenen nın 5 ile bölümünden kalandır. (mod 5) (mod 5) (mod 5) (mod 5) (mod 5) (mod 5).. (mod 5) ( mod 5) 5.5!, 0 ile tam olarak bölünür.bu sebeple (5!) de 5! 0 ile bölünür. (5!) den büyük olan diğer terimler de 0 ile bölünür.o halde m nin 0 ile bölümünden kalan(birler basamağındaki rakam)!! (!) + (!) in 0 ile bölümünden kalandır.!! (!) + (!)? (mod 0) (mod 0) (mod 0)... (mod 0)!! (!) + (!) = + + = 7 (mod 0) 5!. (mod 0) (mod 0) 8 (mod 0) (mod 0) 5 (mod 0) Kalanlar tekrar etmeye başladığı için işlemi durduruyoruz.bu işlemin periyodu tür. 0 =..8 (mod 0) 8 (mod 0)! 0 (mod 0) Buna göre rakam 8+0=8 dir. 7.0,55... 5-0 +! sayısının birler basamağındaki 8.Đlk nöbeti tutulduğu için,geriye 9 nöbet kalmıştır.0.nöbet.9=7 gün sonra tutulacaktır. - 7 7 Çarşamba Perşembe..Pazartesi Salı 0 5 Salıdır. 'lü döngü grubunun ilk rakamı olacak yani www.vahitsoyturk.com MODULER ARİTMETİK LİSE KONU ANLATIMI Sayfa 8

7! 9. + + 5 + 7 + 9 + x(mod 9) 7! (+0+7+0+) x(mod 9) 7! 7 x (mod 9) 7 7 (mod 9) 7 (mod 9) 7 (mod 9) 7! 0 7 7 (mod 9) x= dir. MODÜLER ARİTMETİK LİSE KONU ANLATIMI www.vahitsoyturk.com MODULER ARİTMETİK LİSE KONU ANLATIMI Sayfa 9