DERS 5 Çok Değişkenli Fonksionlar Kısmi Türevler 5.1. Çok Değişkenli Fonksionlar. Reel saılar kümesi R ile gösterilmek üere ve her n için olarak tanımlanır. R R 3 {( ): R} = {( ) : R} = {( L ): L R} n R = 1 n 1 n Tanım 1. Tanım kümesi R n içinde olan bir onksiona n değişkenli onksion denir. Bu dersimide aşağıda gösterildiği gibi görüntü kümesi reel saılardan oluşan çok değişkenli onksionları ele alacağı. : A R ( L ) = ( A R 1 n 1 n n L ) Tanım. Yukarıdaki gösterimde değişken denir. 1 K n e bağımsı değişkenler e de bağımlı Çoğu aman eğer bağımsı değişken saısı ise bağımsı değişkenler ve bağımlı değişken ile; bağımsı değişken saısı 3 ise bağımsı değişkenler ve bağımlı değişken w ile gösterilir. Çok değişkenli onksionlar günlük aşamın pek çok alanında karşımıa çıkar ve işlerimii kolalaştırırlar.
Çok Değişkenli Fonksionlar Kısmi Türevler 68 Örnek 1. A türü ve B türü olmak üere iki tür ürün üreten bir işletmenin hatalık sabit gideri 5000 YTL ürün başına hatalık gideri A için 700 YTL B için 800 YTL ise bu işletmenin hatada adet A ve adet B üretmesi durumunda hatalık toplam gideri C( = 5000 + 700 + 800 YTL dir ki bu bir iki değişkenli onksiondur. Bu işletme hatada 10 adet A ve 15 adet B üretirse hatalık toplam gideri ukarıdaki iadede erine 10 ve erine 15 erleştirilerek C(1015) = 5000 + 700.10 + 800.15 = 4 000 YTL olarak hesaplanır. Eğer bu işletme hatada adet A ve adet B üretmekte iken ürettiği A saısını hatada h adet artırmaa karar verirse hatalık toplam giderindeki değişim olur. C(+h - C( = 5000 + 700(+h) + 800 (5000 + 700 + 800 = 700 h Örnek. Basit ai için kullandığımı ormül A(Prt) = P + Prt bir üç değişkenli onksion tanımlar. 100 YTL ıllık %5 ai oranı ile 4 ıl aide kalırsa ulaşacağı değer YTL olarak hesaplanır. A(1000.054) = 100 + 100 (0.05) 4 = 10 Örnek 3. Boutları ve olan bir dikdörtgenin alanı A = A( = bir iki değişkenli onksion; boutları olan bir dikdörtgenler primasının hacmi
Ders 5. 69 V = V() = bir üç değişkenli onksion; taban arıçapı r ve üksekliği h olan bir silindirin hacmi r h V = V(rh) = π r h bir iki değişkenli onksion verir. Örnek 4. Karton levha kullanılarak andaki şekilde görüldüğü gibi üstü açık dikdörtgenler priması biçiminde bir kutu apılmak istenior. Kutunun boutları ile gösterilirse bu kutunun apımı için gereken levhanın alanı onksionu olarak nin A = A( ) = + + biçiminde iade edilir. Örnek 5. İki tür ürün üreten bir irma hatalık talebin A ürünü için adet B ürünü için ise adet olması durumunda hatalık toplam giderinin C( = 50 + 60 + 80 olacağını ve A ürününün tanesini p = 150 + 4 YTL ve B ürününün tanesini q = 00 3 + YTL e satmasının ugun olacağını tespit edior. Bu irmanın a) Hatalık gelir onksionu R ( ve kâr onksionu P ( i bulalım. b) Bir hatada 1 adet A ve 16 adet B üretilip satılması durumunda irmanın o hatadaki gider gelir ve kârını belirleelim.
Çok Değişkenli Fonksionlar Kısmi Türevler 70 Çöüm. a) Hatalık gelir R( = p + q = (150 + 4 + (00 3 + = + 7 + 150 + 00 ve hatalık kâr P ( = R( C( = + 7 + 90 + 10 50 olarak bulunur. b) C ( 116) = 50 + 60 1 + 80 16 = 50 YTL R(116) = (150 + 1 4 16) 1 + (00 3 1 + 16) 16 = 114 1 + 180 16 = 1368 + 880 = 448 YTL P ( 116) = R(116) C(116) = 4348 50 = 098 YTL. 5.. Uada Koordinatlar. Dülemde Karteen koordinatlar alarak dülemdeki noktalar ile R nin elemanları arasında bire-bir bir eşleme kurulduğu gibi uada da Karteen koordinatlar tanımlanabilir. Bunun için önce uada orijinlerinde kesişen ve ikişer-ikişer birbirine dik olan üç tane koordinat ekseni seçilir. Bu koordinat eksenlerinden ikisi aı adığımı dülemde daha önce seçildiği biçimde biri ata diğeri dike olarak seçilir; ata olanına -ekseni dike olanına -ekseni denir. Üçüncü koordinat ekseni ise aı aılan dülemden aı aan kişie doğru dik olarak uanan eksendir ki -ekseni olarak adlandırılır.
Ders 5. 71 Uada - ve -eksenlerini içinde bulunduran düleme -dülemi - ve -eksenlerini içinde bulunduran düleme -dülemi - ve -ekenlerini içinde bulunduran düleme de -dülemi denir. Uada bir noktanın Karteen koordinatları şöle belirlenir. Verilen noktanın -dülemine idüşümü bulunur. Elde edilen noktanın - ve -koordinatları verilen noktanın - ve -koordinatları olarak tanımlanır. Verilen noktadan -eksenine bir dik indirilerek elde edilen noktanın karşılık geldiği reel saı o noktanın -koordinatıdır. c P(abc) a (000) (ab0) b Yukarıdaki işlemler tersine çevrilerek koordinatları verilen bir noktanın erinin belirlenebileceği açıktır.
Çok Değişkenli Fonksionlar Kısmi Türevler 7 Aşağıda bir köşesi orijinde tabanı -düleminde bir üü -düleminde ve bir üü de -düleminde olan kenar uunluğu 1 birim olan kübün köşelerinin koordinatları gösterilmektedir. (001) (011) (101) (111) (000) (010) (100) (110) 5.3. İki nokta arasındaki uaklık. Dülemde olduğu gibi uada da koordinat sistemi seçimi nokta kümeleri ile ilgili soruları anıtlamamıı kolalaştırır önemli hesaplama kolalıkları sağlar. Arıca baı cebirsel kavram vea önermeleri geometrik olarak somutlaştırmamıa ve orumlamamıa imkân sağlar.
Ders 5. 73 Bu bağlamda uada iki nokta arasındaki uaklığı o noktaların koordinatları cinsinden hesaplaabiliri: ( ) d = ( a) + ( b) + ( c) d ( c) -c (a b c) ( 0) (a b0) ( a) + ( b) Yukarıdaki şekilde ( a b c) den ( c) e olan uaklık ile ( a b0) den ( 0) a olan uaklığın anı olduğuna ve köşeleri ( a b c) ( c) ve ( ) olan üçgenin bir dik üçgen olduğuna dikkat edini. Örnek 1. (1-3) ve (51-) noktaları arasındaki uaklık d = (5 1) + (1 + ) + ( 3) = 16 + 9 + 5 = 50 = 5 dir. Örnek. Orijin (000) dan ( ) noktasına olan uaklık d = + + dir. Orijinden uaklığı 1 birim olan noktaların oluşturduğu küme için bir denklem aabilir misini? Bu nokta kümesinin oluşturduğu şekle ne ad verilir?
Çok Değişkenli Fonksionlar Kısmi Türevler 74 5.4. Uada nokta kümeleri. değişkenlerine göre verilen her denklem üç boutlu uada bir nokta kümesi verir. Bu nokta kümesine sö konusu denklemin graiği denir. Bu bağlamda değişkenli bir onksionu = ( gibi bir denklemle belirleneceğinden bu tür onksionların da üç boutlu uada graiği düşünülebilir. Nokta kümelerine birkaç örnek verelim. Örnek 1. Her bir koordinat dülemi bir denklemin graiğidir. -dülemi ( 0) : R} = 0 denkleminin; -dülemi {( 0 ) : R} = 0 denkleminin; -dülemi {(0 ) : R} = 0 denkleminin graiğidir. Örnek. = 3 denkleminin graiği -dülemine paralel ve onun 3 birim üstündeki dülemdir. Bu dülem {( 3) : R} nokta kümesi olarak da tanımlanabilir. Bener şekilde = -3 denkleminin graiği -dülemine paralel ve onun 3 birim altındaki dülemdir. Bu dülem {( -3) : R} nokta kümesi olarak da tanımlanabilir. Üç değişken içeren bir denklemin graiğini çimek için graiğin koordinat dülemleri vea koordinat dülemlerine paralel dülemler ile kesişimini düşünmek çok ararlı olur. Örnek 3. + + =1 denklemi için - dülemi ile kesişim : = 0 + = 1. Merkei orijinde olan 1 arıçaplı çember. - dülemi ile kesişim : = 0 + = 1. Merkei orijinde olan 1 arıçaplı çember. - dülemi ile kesişim : = 0 + = 1. Merkei orijinde olan 1 arıçaplı çember. Bu gölemler ardımıla apılan aşağıdaki çiim + + =1 denkleminin graiğinin ne olduğunu ihnimide canlandırmamıı sağlar: (001) (-100) (0-10) (100) (010) (00-1)
Ders 5. 75 5.5. İki Değişkenli bir Fonksionunun Graiği. = ( ) denklemi ile verilen iki değişkenli onksionun graiği üç boutlu uada ( ( )) noktalarından oluşan kümedir ve bu bir üe olarak ortaa çıkar. Burada ( ) onksionun tanım kümesinde değişmektedir. ( ( ) = ( ( 0) İki değişkenli onksionların graiğini çierken de graiğin koordinat dülemleri vea koordinat dülemlerine paralel dülemlerle kesişiminden aralanılır. Örnek 1. = + nin graiği. (0-4) (-04) - dülemi ile kesişim : = 0 + = 0. - dülemi ile kesişim : = 0 =. - dülemi ile kesişim : = 0 =. =4 dülemi ile kesişim : + = 4. (04) (04) (000) = +
Çok Değişkenli Fonksionlar Kısmi Türevler 76 Örnek. = 4 - nin graiği. - dülemi ile kesişim : = 0 + = 4. - dülemi ile kesişim : = 0 = 4. - dülemi ile kesişim : = 0 = 4. = 4 - - (004) (-00) (0-0) (000) (00) (00) Örnek 3. = 1 nin graiği. - dülemi ile kesişim : = 0 + = 1. - dülemi ile kesişim : = 0 = 1 ; + = 1 0 - dülemi ile kesişim : = 0 = 1 ; + = 1 0 (001) (-100) = 1 Yarım Küre (0-10) (100) (000) (010)
Ders 5. 77 5.6. Kısmi Türevler. = ( denklemi ile tanımlanan iki değişkenli bir onksionu ve onun tanım kümesinde bir ( a b) noktası verilmiş olsun. nin ( a b) noktasındaki iki adet kısmi türevi şöle tanımlanır. Tanım 1. onksionunun (ab) de e göre kısmi türevi ( a b) = lim h 0 ve e göre kısmi türevi ( a b) lim = k 0 ( a + h b) h ( a b + k) k ( a b) ( a b) olarak tanımlanır. Kısmi türevler için aşağıdaki değişik gösterimler kullanılır: ( = ( ( = = ( = ( ( = =. (ab) türevi (ab) noktası - ekseni doğrultusunda değişirken (ab) nin nasıl değiştiğini gösterir. Bener şekilde (ab) türevi (ab) noktası - ekseni doğrultusunda değişirken (ab) nin nasıl değiştiğini gösterir. Bu hususları aşağıdaki şekillerden geometrik olarak görmee çalışını. = ( Eğim : ( a b ) (ab (a b)) (a+hb (a+h b)) = ( b) (a+h b 0) (a b 0) = b
Çok Değişkenli Fonksionlar Kısmi Türevler 78 e göre kısmi türev için de bener bir resim çiilebilir. = ( Eğim : ( a b ) (ab (a b)) (ab+k (a b+k)) = (a (a b 0) (a b+k 0) = ( ile verilen onksionunun kısmi türevleri de ine iki değişkenli onksionlar olarak düşünülebilir: ( = lim h 0 ( + h h ( ( + k) ( ( = lim. k 0 k in tanım kümesi nin e göre kısmi türevinin bulunduğu ( noktalarından nin tanım kümesi de nin e göre kısmi türevinin bulunduğu ( noktalarından oluşur. Şimdie kadar verilen tanımlardan ve onların geometrik orumlarından görülebileceği üere nin e göre kısmi türevi hesaplanırken sabit kabul edilerek sadece değişkenine göre türev alınır; hesaplanırken de sabit kabul edilerek e göre türev alınır. Bu hesaplar apılırken daha önce bir değişkenli onksionlar için elde edilmiş olan tüm türev alma kuralları geçerlidir.
Ders 5. 79 Örnek 1. = (= 3 +5+1 için = 4 6 = 3 + 5 = 4 6 = 3 + 5 ( 3) = 4 6 3 = 8 ( 3) = 3 + 5 = 7. Örnek. = (=e - + 3 + 5+4 için = e.( ) + 3 + 5 = e.( ) + 6 0 ( 00) = e (0 ) + 3 0+ 5 = 3 0 ( 00) = e 0+ 6 0 0 = 0. Örnek 3. + = ( = e için = e + + = e 6 (1) = 4e (1) = e 6. Örnek 4. + = ( = ( ) 3 için = 3 ( + ) ( + 4) = 3( + ) (1) = 3( + ) ( + 4) = 88 (1) = 3( + ) 1 = 48. Örnek 5. Bu dersin başlangıç kesiminde Örnek 5 te kâr onksionu P ( = + 7 + 90 + 10 50 idi. P (1416) ve P (1416) ı bulalım ve orumlaalım.
Çok Değişkenli Fonksionlar Kısmi Türevler 80 Çöüm. P ( = 7 + 90 P ( = 7 + 10 dir. P ( 1416) = 8 11 + 90 = 6 olup bu saı hatada 14 adet A ve 16 adet B üretilirken A ürününün hatalık üretimi 1 birim artırılıp B ürününün üretimi sabit bırakılırsa kârın 6 YTL artacağını gösterir. Bener şekilde P ( 1416) = 3 98 + 10 = 54 olup bu saı B ürününün hatalık üretimi 1 birim artırılıp A ürününün üretimi sabit bırakılırsa kârın 54 YTL artacağını gösterir. Örnek 6(Verimlilik). Bilgisaar üreten bir irmanın verimliliği birim iş gücü ve birim sermae kullanılması durumunda aklaşık olarak Cobb-Douglas Verimlilik onksionu die bilinen = 0.6 0.4 ( 0 onksionula iade edilmektedir. nin e göre kısmi türevi ( verimliliğin kullanılan iş gücüne göre değişim oranını vermektedir ve marjinal iş gücü verimliliği olarak adlandırılır. ( kısmi türevi de verimliliğin kullanılan sermaee göre değişim oranını vermektedir ve marjinal sermae verimliliği olarak adlandırılır. a) Firma şu anda 3 000 birimlik iş gücü ve 500 birimlik sermae kullandığına göre marjinal iş gücü verimliliğini ve marjinal sermae verimliliğini bulunu. b) 3 000 birimlik iş gücü ve 500 birimlik sermae kullanılırken iş gücü artırılarak mı oksa sermae artırılırak mı verimlilikte daha çok artış sağlanacağını belirleini. Çöüm. a) ( 0.6 0.6 = 8 ve 0.4 0.4 ( = 1 olup 0.6 0. 6 (3000500) = 8 3000 500 35.56 0.4 04 (3000500) = 1 3000 500 1.91 dir. Dolaısıla 3 000 birimlik iş gücü ve 500 birimlik sermae kullanılması durumunda marjinal iş gücü verimliliği 35.56 birimlik ve marjinal sermae verimliliği de 1.91 birimliktir. b) 3 000 birimlik iş gücü ve 500 birimlik sermae kullanılırken sermae sabit tutulmak kadıla iş gücündeki her 1 birimlik artış verimlilikte 35.56 birimlik artış sağlaacak; iş gücü sabit tutulmak kadıla sermaedeki her 1 birimlik artış ise verimlilikte 1.91 birimlik artış sağlaacaktır. Bu nedenle iş gücü artırılarak verimlilikte daha çok artış sağlanacağı görülmektedir.
Ders 5. 81 5.7. İkinci Mertebeden Kısmi Türevler. İki değişkenli bir onksionunun ve e göre kısmi türevleri de iki değişkenli onksionlar olarak düşünülüp onların da ve e göre kısmi türevleri sö konusu edilebilir. Bölece üksek mertebeden kısmi türevler ortaa çıkar. Bu nedenle ( ve ( e nin birinci mertebeden kısmi türevleri denir. nin birinci mertebeden kısmi türevlerinin birinci mertebeden kısmi türevlerine nin ikinci mertebeden kısmi türevleri denir. nin ikinci mertebeden kısmi türevleri aşağıda verilmiştir. = = = ( = = = ( = = = ( = = = (. Daha üksek mertebeden kısmi türevlerin de bener biçimde tanımlanabileceği açıktır. Örneğin iadesi nin sırasıla e göre türevi sonra onun e göre türevi sonra elde edilenin ine e göre türevi sonra elde edilenin tekrar e göre türevi ve nihaet sonda elde edilenin e göre türevi alınacağını gösterir. Örnek. = (= 3 +5+1 için = 4 6 3 = + 5. = 4 6 = 6 = 6 = 0. ( 3) 4 6 3 = 14 (3) = 6 = 1. = Örnek. = (=e - + 3 + 5+4 için =.( ) + 3 e + 5 = e.( ) + 6. = e ( )( ) = e ( ) + e 1+ 6. = e + 6 (00) = 4 (00) = 1 (00) = 0 Örnek. = (= 4 7 için 3 7 = 4 = 7 7 3 6 = 1 = 8 = 4 6. 4 ( 1) 48 (1) = 4 (11) = 67. = 4 5.
Çok Değişkenli Fonksionlar Kısmi Türevler 8 5.8. Üç vea Daha Çok Değişkenli Fonksionlarda Kısmi Türevler. Değişken saısı ikiden çok olan onksionlar için de kısmi türevler bener biçimde tanımlanır. Bir değişkene göre kısmi türev hesaplanırken diğer değişkenler sabit kabul edilerek bilinen türev alma kuralları kullanılır. Örneğin w = () denklemi ile tanımlanan üç değişkenli onksionunun üç tane birinci mertebeden kısmi türevi ( + h ) ( ) ( ) = lim h 0 h ( + k ) ( ) ( ) = lim k 0 k ( ) lim = t 0 ( + t) t ( ) dir. Bu durumda da daha önce olduğu gibi değişik gösterimler kullanılır: w w = = w w ( ) w = = ( ) w = ( ). = Örnek. w = () = w e + 3 için 3 3 = e + w = e + w = e + 3 Yüksek mertebeden türevler de iki değişkenli durumda tanımlandığı gibi tanımlanır ve bener şekilde hesaplanır. Örnek. w = () = w e + 3 için 3 = e ( )( ) + e + = e + e + 3 w = e ( ) + e + 6 = e ) + e + ( 6. w 3 = e ( )( ) + e + w 3 = e ( ) ( ) + e + w = e ( + 6 w 3 = e ( + 6
Ders 5. 83 Problemler 5 1. Aşağıda verilen soru işaretlerinin erine gelmesi gereken değerleri vea iadeleri aını. a) Q( = 100 / Q(1 8) =? b) V(hr) = π r h V(4) =? c) A(prt) = p + prt A(1000.063) =? ç) A(prt) = pe rt A(1000.0810)=? d) R ( = 5 + 6 4 + + 3 R(1) =? R(+h+k) =? e) ( + h ( ( = =? h ( + h) ( h =?. Ambalaj işi apan bir şirkette şekilde gösterilen biçimde iki bölmeli üstü açık bir kutu üretilmek istenmektedir. Kutunun boutları ve ile gösterilirse bu kutunun apılması için gereken malemenin toplam alanını ve nin onksionu olarak M ( ) biçiminde iade edini ve bu onksion için M (1016) değerini bulunu. 3. Bir şirket 10-vitesli ve 3-vitesli bisikletler üretmektedir. Bir 10-vitesli bisikletin satış iatı p birim para(bp) bir 3-vitesli bisikletin satış iatı q bp ; 10-vitesli bisikletler için hatalık talep adet 3-vitesli bisikletler için hatalık talep adet ve arıca hatalık gider C = C( olmak üere iat talep ve gider onksionları p = 30 9 + q = 130 + - 4 C = C( = 00 + 80 + 30 olarak verilior. Hatalık gelir onksionu R = R( hatalık kâr onksionu P = P( i ; R(1015) ve P(1015) i bulunu. 4. = + nin graiğinin a) =0 =1 = dülemlerinden herbiri ile kesişimini belirleini ve graikle gösterini b) =0 =1 = dülemlerinden herbiri ile kesişimini belirleini ve graikle gösterini c) =0 =1 = dülemlerinden herbiri ile kesişimini belirleini ve graikle gösterini. Bu graiği çiini. 5. Aşağıda verilen iki değişkenli onksionların graiğini çiini.
Çok Değişkenli Fonksionlar Kısmi Türevler 84 a) = + 3 b) = 1 + + 3 c) =1 - - 3 6. Aşağıda verilen onksionlardan her biri için i bulunu. (1) (1) a) = ( = 3 + 1 b) = ( = + + 6 9 + 5 c) + = ( = e ç) = 3 ( = ( ) d) = ( = + e) = ( = ln ( + ) 3 7. ( = + + onksionu için aşağıdaki türevleri hesaplaını: a) ( b) ( c) ( ç) ( d) ( 8. P ( = + 4 + 1 5 onksionu için sağlaan ve i bulunu. P ( = 0 P ( = 0 sistemini 9. Üçüncü alıştırmada bulduğunu kâr onksionu P ( için P (1015) ve P (1015) değerlerini bulunu; bu değerleri orumlaını. 10. Br irmanın verimliliği birim iş gücü ve birim sermae kullanılması durumunda 0.65 0.35 aklaşık olarak ( = 10 denklemi ile iade edilmektedir. c) Firma şu anda 300 birimlik iş gücü ve 50 birimlik sermae kullandığına göre marjinal iş gücü verimliliğini ve marjinal sermae verimliliğini bulunu. d) 300 birimlik iş gücü ve 50 birimlik sermae kullanılırken iş gücü artırılarak mı oksa sermae artırılırak mı verimlilikte daha çok artış sağlanacağını belirleini. 11. Bir irma her hata gaete reklamları için YTL televion reklamları için YTL 0.8 0.4 harcamaktadır. Firmanın hatalık satış miktarı S ( = 10 denklemi ile verilmektedir. S (0001500) ve S (0001500) değerlerini bulunu ve orumlaını. 3 1. w = ( ) = + 5 için aşağıdakileri bulunu. a) w b) w c) w ç) w d) w e) w ) w