6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay olarak adladırılır ve ile gösterilir. {( a1, a2,, a ) :1 i içi ai } = K VEKTÖR I Taım: V boş olmaya bir küme ve -boyutlu uzay (cisim) olsu. Aşağıdaki öermeler doğru ise V kümesi uzayı üstüde bir vektör uzayıdır. VEKTÖR I 1. V kümeside + ile gösterile ve adıa toplama deile bir işlem taımlamıştır. Bu işlemi aşağıdaki özellikleri vardır. a. Her u,v V içi u+v taımlıdır ve u+v V. V kümesi toplama işlemie göre kapalıdır. b. Her u,v,w V içi (u+v)+w=u+(v+w) V kümeside toplama işlemii birleşme özelliği vardır. c. 0 V ve her u V içi u+0=0+u V kümeside toplama işlemii birim elemaı vardır 0 ile gösterilir. d. her u V içi V kümeside u ile gösterile ve u+(-u)=0 ve (-u)+u=0 eşitliklerii sağlaya bir u elemaı vardır ve V kümeside toplamaya göre ters elemaı temsil eder. e. Her u,v V içi u+v=v+u özelliği vardır. V kümeside toplama işlemii değişme özelliği vardır. 1
VEKTÖR I V V, (a,u) au biçimide, adıa skalerle çarpma işlemi deile bir foksiyo taımlamıştır ve bu foksiyo aşağıdaki öermeleri doğrular: a. Her a ve her u,v V içi a(u+v)=au+av. b. Her a, b ve her u V içi (a+b)u=au+bu. c. Her a, b ve her u V içi (ab)u=a(bu). d. i çarpmaya göre birim elemaı 1 olduğua göre V i her elemaı içi 1u=u. VEKTÖR I Not: Verile taımda 1a-1d öermeleri (V,+) ikilisii bir grup olduğuu gösterir. 1e öermesi ise (V,+) grubuu değişmeli grup olduğuu gösterir. Taım: Bir vektör uzayıı her bir elemaıa vektör deir. ALT VEKTÖR I Taım: V kümesi, uzayı üstüde bir vektör uzayı ve H kümesi ise, V i boş olmaya bir alt kümesi olsu. Aşağıdaki iki öerme doğru ise H kümesi V kümesii bir alt vektör uzayıdır deir. 1. Her u,v H içi u+v H H kümesi toplama işlemie göre kapalıdır. 2. Her a ve her u H içi au H H kümesi skalerle çarpma işlemie göre kapalıdır. VEKTÖRLERİN DOĞRUSAL KOMBİNASYONU Taım: V kümesi, uzayı üstüde bir vektör uzayı ve E kümesi, E = { v1, v2, K, v} ise, V i boş olmaya solu bir alt kümesi olsu. uzayıda (cismide) herhagi c 1, c 2, K, c elemaları alıarak elde edile, w = c1v 1 + c2v2 + K + cv vektörüe v1, v2, K, v vektörlerii doğrusal kombiasyou deir. Bkz. Soru 1 2
DOĞURAN VEKTÖRLER DOĞRULMUŞ Taım: V vektör uzayıı her v vektörü, yie bu uzayı v1, v2, K, v gibi tae vektörüü doğrusal kombiasyou olarak; v = c1v1 + c2v2 + K + cv = civ i şeklide ifade edilebiliyorsa, bu vektörler kümesie, v1, v2, K, v vektörleri tarafıda türetilmiş (gerilmiş) bir vektör uzayı deir. v1, v2, K, v vektörlerie uzayı türete (gergi) vektörleri deir. Taım: S = { v v v } vektörler kümesi ile türetilmiş bir W doğrusal uzayı, li ( S ) ya da li { v1, v2, K, v} ile gösterilir. Bkz. Soru 2 DOĞRULMUŞ Teorem: { α α K α } ve { β β β } 1, 2,, k kümeleri bir V vektör uzayıı alt kümeleri olsu. 1 j olacak şekilde her j doğal sayısı içi α vektörü, { β β β } k kümesii bir doğrusal kombiasyou, ise α = c β + c β + K + c β = cβ j 1 j 1 2 j 2 kj k ij j i= 1 { α α Kα } { β β K β } li,,, li,,, 1 2 1 2 k k j EN KÜÇÜK ALT Teorem: v1, v2, K, v, V vektör uzayıdaki vektörler olsu. a. v1, v2, K, v vektörlerii tüm doğrusal kombiasyolarıı oluşturduğu W kümesi V vektör uzayıı bir alt kümesidir. b.eğer v1, v2, K, v vektörlerii içere V vektör uzayıı e küçük alt uzayı W ise v1, v2, K, v vektörlerii içere V vektör uzayıı tüm diğer alt uzayları W kümesii içerir. 3
DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIK Taım: Eğer S = { v v v } boş olmaya bir vektörler kümesi ise, c1v 1 + c2v2 + K + cv = 0 vektör deklemii, c1 = c2 = K = c = 0 ile taımlaa e az bir çözümü vardır. Tek çözüm bu sıfır çözümü ise vektörler doğrusal bağımsızdırlar. E az bir ci 0 olacak şekilde çözüm var ise vektörler doğrusal bağımlıdır. Bkz. Soru 3 DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIK m Teorem: uzayıda, v1 = ( v11, v21, K, vm 1), v2 = ( v12, v22, K, vm2 ),, v = v, v K, v vektörleri verilmiş olsu. m ( 1m 2 m, mm ) { v v },, 1 K m vektör kümesii doğrusal bağımsız olması içi, v v L v 11 12 1m v v L v 21 22 2m M M M M 0 vm 1 vm 2 L vmm olması gerekli ve yeterlidir. Bkz. Soru 3 DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIK Teorem: İki ya da daha fazla vektör içere bir S kümesi, a. acak ve acak S kümesideki vektörlerde e az biri bu kümedeki diğer vektörleri doğrusal kombiasyou olarak ifade edilebiliyor ise doğrusal bağımlıdır. b. acak ve acak S kümesideki vektörleri hiç biri bu kümedeki diğer vektörleri doğrusal kombiasyou olarak ifade edilemiyor ise doğrusal bağımsızdır. DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIĞIN GEOMETRİK YORUMU 2 ya da 3 boyutlu uzayda başlagıç oktaları orijie yerleştirilmiş iki vektör acak ve acak, ayı doğru üzeride yer almıyor ise bağımsızdırlar. Doğrusal Bağımlı Doğrusal Bağımlı Doğrusal Bağımsız 4
DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIĞIN GEOMETRİK YORUMU 3 boyutlu uzayda başlagıç oktaları orijie yerleştirilmiş üç vektör acak ve acak, ayı düzlem üzeride yer almıyor ise bağımsızdırlar. DOĞRUSAL BAĞIMSIZLIK m Teorem: uzayıda, v,, 1 K v vektörleri verilsi. m< ise { v,, 1 K v} kümesi doğrusal bağımlıdır. Doğrusal Bağımlı Doğrusal Bağımlı Doğrusal Bağımsız BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT SİSTEMİ Düzlemsel aalitik geometride, düzlemdeki bir P oktasıa ait (a,b) koordiatları, birbirie dik iki koordiat eksei üzerie P oktasıı izdüşüm değerlerii belirtir. Her bir koordiat çifti bu düzlemdeki bir ve yalız bir oktaya karşılık gelir. BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT SİSTEMİ Birbirie dik ekselerde oluşa koordiat sistemi e çok kullaıla sistemdir. Buula birlikte bu düzlemde birbirie paralel olmaya her hagi iki doğru da bir koordiat sistemi taımlamak içi kullaılabilir. Koordiat sistemi düzlemdeki oktalar ile sıralı reel sayı çiftleri arasıda bire bir bir ilişki taımlar. 5
BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT SİSTEMİ Amaç; bir koordiat sistemi kavramıı vektör uzayları üzeride geellemektir. Başlagıç aşaması, bu koordiat sistemii oluştura ekseler yerie vektörleri kullaılmasıa imka taıya bir formülasyo taımlamaktır. Her bir koordiat eksei uzuluğu 1 birim ola bir vektör ile değiştirilir. Öreği v 1 ve v 2 gibi. BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT SİSTEMİ P düzlemdeki bir okta ise OP vektörü, v 1 ve v 2 vektörlerii doğrusal kombiasyou; OP=av 1 +bv 2 olarak yazılabilir. Vektör formülüde yer ala a ve b sayıları P oktasıı bu koordiat sistemideki koordiat değerleridir. BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT SİSTEMİ BAZ ve BOYUT:KOORDİNAT SİSTEMİ Taım: Bir koordiat sistemii belirleye vektörlere baz vektörler deir. Birim uzulukta olmaları şart değildir. Bir koordiat sistemi baz vektörler kümesi ile taımladığıda, baz vektörleri uzulukları koordiat ekseleri üzerideki ardışık tam sayılar arasıdaki mesafeyi belirler. 6
BAZ: TABAN Taım:Eğer V her hagi bir vektör uzayı ise ve S = { v1, v2, K, v}, V vektör uzayıdaki bir vektörler kümesi ise, aşağıdaki iki şartı sağlaması durumuda S kümesi baz olarak adladırılır. a. S kümesi doğrusal bağımsızdır. b.s kümesi V vektör uzayıı türetir. BAZ: TABAN Teorem 6.1: Eğer S = { v v v } Bkz. Soru 4 Bkz. Soru 5 kümesi bir V vektör uzayıı bazı ise, V vektör uzayıdaki her v vektörü v = c1v 1 + c2v 2 + L + cv olacak şekilde tek bir doğrusal kombiasyola ifade edilebilir. BİR BAZA GÖRE KOORDİNATLAR Taım: Eğer S = { v v v } kümesi bir V vektör uzayıı bazı ise ve her hagi bir v vektörü v = c1v1 + c2v2 + L + cv ile taımlamış ise c 1, c 2, K, c skalerleri S bazıa göre v vektörüü koordiatlarıdır ve ( v) = ( c1, c2, K, c ) S ile gösterilir. Bkz. Soru 6 STANDART BAZ Bir uzayıdaki birim vektörler e1 = ( 1,0, K,0), e2 = ( 0,1, K,0),, e = ( 0,0, K,1) ise bu vektörleri oluşturduğu küme, S = { e1, e2, K, e} uzayıda doğrusal bağımsız bir kümedir. uzayıdaki her hagi bir v = ( v1, v2, K, v ) vektörü v = v1e 1 + v2e2 + L + ve şeklide yazılabileceği içi S kümesi ayı zamada vektör uzayıı türetir. Taım: S = { v1, v2, K, v} kümesi vektör uzayı içi bir bazdır ve stadart baz olarak adladırılır: ( v) = ( v1, v2, K, v ) S 7
BAZ ve BOYUT Taım: Sıfırda farklı bir vektör uzayı V, eğer baz vektörler kümesi { v1, v2, K, v} solu sayıda vektörü içeriyor ise solu boyutlu olarak adladırılır. Aksi halde sosuz boyutlu vektör uzayı deir. BAZ ve BOYUT Teorem: Eğer S = { v v v } kümesi bir V vektör uzayıı bazı ise V vektör uzayıdaki adette fazla vektör içere her küme doğrusal bağımlıdır. Teorem: Solu boyutlu bir vektör uzayı içi her hagi iki baz küme ayı sayıda vektöre sahiptir. Taım: Solu boyutlu bir V vektör uzayıı boyutu baz vektör kümesideki vektör sayıdır. dim(v) Bkz. Soru 7 BAZ ve BOYUT Teorem: a. Eğer S = { v v v } kümesi -boyutlu bir V vektör uzayıdaki adet doğrusal bağımsız vektörleri kümesi ise S kümesi V vektör uzayı içi bir bazdır. b. Eğer S = { v v v } kümesi -boyutlu bir V vektör uzayıı türetiyor ise S kümesi V vektör uzayı içi bir bazdır. BAZ ve BOYUT Teorem: V boyutu ola bir vektör uzayı olsu. a. S = { v1, v2, K, vr} kümesi V vektör uzayıdaki doğrusal bağımsız vektörleri oluşturduğu bir küme ise ve eğer r< ise, S kümesi V vektör uzayıı bir bazı olacak şekilde vr+ 1, vr+ 2, K, v vektörleri dahil edilerek geişletilebilir. Burada V vektör uzayıı baz kümesi; S = { v1, v2, K, vr, vr + 1, vr+ 2, K, v} b. Eğer W, V vektör uzayıı bir alt uzayı ise; dim W dim V. ( ) ( ) Acak ve acak W=V ise dim( W ) = dim( V ) 8
SATIR I SÜTUN I BOŞ I Taım: Boyutu m ola bir A matrisi a11 a12 K a1 a21 a22 K a 2 A = M M M M am1 am2 K am olsu. A matrisii satır vektörleri; r1 = ( a11, a12, K a1 ) r2 = ( a21, a22, K a2 ) M M rm = ( am 1, am2, K am ) ve sütu vektörleri: a11 a12 a1 a = 21 a c 22 1, M = a 2 c 2,K, c M = M am1 am2 am SATIR I SÜTUN I BOŞ I Boyutu m ola bir A matrisi sütu vektörlerie göre, A = [ c1 c2 K c ] ya da satır vektörlerie göre, r1 r 2 A = M rm yazılabilir. SATIR I SÜTUN I BOŞ I Souç olarak bir Ax doğrusal deklem sistemi; a11x 1 + a12 x2 + K + a1 x a21x1 + a22x2 + K + a2x Ax = M M M M K M M am1x1 + am2x2 + L + amx a11 a12 a1 a 21 a 22 a 2 = x 1 + x 2 + K+ x M M M am1 am2 am ya da eşdeğer olarak: Ax = x c + x c + K + x c 1 1 2 2 SATIR I SÜTUN I BOŞ Taım: A matrisi boyutu m ola bir matris olsu. A matrisii satır vektörlerii türettiği alt uzayı A matrisii satır uzayıdır. m A matrisii sütu vektörlerii türettiği alt uzayı A matrisii sütu uzayıdır. Ax=b homoje deklem sistemii çözüm uzayı, ki uzayıı bir alt uzayıdır, A matrisii boş uzayı olarak adladırılır. 9
CEVABI ARAŞTIRILACAK SORULAR 1. Bir matrisi, satır uzayı, sütu uzayı ve boş uzayı arasıdaki ilişki edir? 2. Bir A katsayı matrisii satır uzayı ve boş uzayı ile Ax=b doğrusal deklem sistemii çözümleri arasıdaki ilişki edir? SORULARA YANIT BULABİLMEK İÇİN İlk aşamada bir matrisi satır uzayı, sütu uzayı ve boş uzayı her biri içi bazı (birbiride bağımsız türete vektörleri) buluması gereklidir. SATIR I SÜTUN I BOŞ Teorem: Elemater satır işlemleri bir matrisi satır uzayıı ya da boş uzayıı değiştirmez. Alamı: Bir matris ve ou bütü satır echelo yapıları (matrisleri) ayı satır uzayıa sahiptirler. Teorem: Bir A matrisii her hagi bir satır echelo yapısıdaki sıfırda farklı satır vektörleri A matrisii satır uzayı içi bir baz oluşturur. Alamı: Satır echelo yapısıdaki bir matrisi sıfırda farklı satır vektörleri doğrusal bağımsızdır. Bu edele satır uzayı içi bir baz oluştururlar. Bkz. Soru 8 SATIR I SÜTUN I BOŞ Teorem: Elemater satır işlemleri bir matrisi satır uzayıı ve boş uzayıı değiştirmez. Fakat sütu uzayıı değiştirebilir. Değişikliği alamı: Elde edilecek baz vektörler değişebilir. Buula birlikte sütu vektörleri arasıdaki doğrusal bağımlılık ya da doğrusal bağımsızlık ilişkiside bir farklılık oluşmaz. 10
SATIR I SÜTUN I BOŞ Boyutu m ola bir A matriside elemater satır işlemleri ile elde edile matris B olsu. Bu matrisleri sütu vektörleri sırası ile, c1, c2, K, c c 1, c 2, K, c olsu. İki matris içi homoje doğrusal deklem sistemleri Ax=0 Bx=0 ya da x c + x c + + x c x c + x c + K + x c 1 1 2 2 K 1 1 2 2 SATIR I SÜTUN I BOŞ Teorem: Eğer A ve B satır dek matrisler ise a. A matrisii verile bir sütu vektörü kümesi acak ve acak B matrisii karşılık gele sütu vektörü kümesi doğrusal bağımsız ise doğrusal bağımsızdır. b. A matrisii verile bir sütu vektörü kümesi acak ve acak B matrisii karşılık gele sütu vektörü kümesi B matrisii sütu uzayı içi bir baz oluşturuyor ise A matrisii sütu uzayı içi bir baz oluşturur. Bkz. Soru 9 SATIR I SÜTUN I BOŞ Teorem: Eğer bir matris satır echelo yapısıda ise satırda ilk 1 (pivot) elemaa sahip sütu vektörleri bu matrisi sütu uzayı içi bir baz oluşturur. Bkz. Soru 10 Sütu uzayı içi bulua vektörler orijial matrisi vektörleridir. Buula birlikte satır uzayı içi yapıla çalışmada bulua baz vektörler orijial matrisi vektörleri değildir. SATIR I SÜTUN I BOŞ Satır uzayıı orijial matris vektörleri olarak elde edilmesi: a. Orjial matrisi traspozuu al. Bu işlem orijial A matrisii satır uzayıı A T matrisii sütu uzayıa döüştürür. b. A T matrisi içi satır echelo matrisi elde et. Bu işlem A T matrisii sütu uzayı içi baz vektörleri bulacaktır. c. Bulua baz sütu vektörlerii traspozuu al. Bu işlem A matrisii satır uzayıı orijial vektörler ciside elde eder. Bkz. Soru 11 11
SATIR I SÜTUN I BOŞ Baz vektörler, vektör uzayıdaki doğrusal bağımlılık (ya da bağımsızlık) yapısıı ortaya komasıda kullaılabilirler. Bkz. Soru 12 RANK VE BOŞLUK (NULLİTY) Teorem: A her hagi bir matris olmak üzere, A matrisii satır uzayı ve sütu uzayı ayı boyuta sahiptir. Taım: Bir A matrisii satır uzayı ve sütu uzayıı boyutu A matrisii rakı olarak adladırılır. A matrisii boş uzayı A matrisii boşluğu olarak adladırılır (A) ile gösterilir. A matrisii boş uzayı Ax=0 homoje deklem sistemii çözüm uzayıı boyutua eşittir. Bkz. Soru 13 RANK VE BOŞLUK (NULLİTY) Teorem (Matrisler içi boyut teoremi): A matrisii sütu sayısı ise; r(a)+(a)= A matrisii rakı r(a), Ax=0 homoje doğrusal deklem sistemideki asal değişke sayısı, A matrisii boş uzayı (A), Ax=0 homoje doğrusal deklem sistemideki yapay değişke sayısıdır. RANK VE BOŞLUK (NULLİTY) Ax=b deklem sistemi ile A matrisii rakı arasıdaki ilişki aşağıdaki teorem ile verilmiştir: Teorem: Eğer A boyutu ola bir matris ise aşağıdaki ifadeleri hepsi eşdeğerdir: 1. A matrisi tersi alıabilirdir. 2. Ax=0 sadece sıfır çözüme sahiptir. 3. A matrisi I matrisie satır dektir. 4. A 0 5. Ax=b sistemi her 1 boyutlu b vektörü içi tutarlıdır. 6. Boş uzayı boyutu sıfırdır, (A)=0. 7. A matrisi tam raklıdır, r(a)=. 8. A matrisii satır vektörleri doğrusal bağımsızdır. 9. A matrisii sütu vektörleri doğrusal bağımsızdır. 12
TUTARLI DENKLEM SİSTEMİ Eğer Ax=b, m deklemli bilimeyeli (x 1,,x ) bir doğrusal deklem sistemi ise ve c 1,,c A matrisii sütu vektörleri ise sistem: x1c 1 + x2c2 + L + xc = b Deklemi sol tarafı A matrisii sütu vektörlerii doğrusal kombiasyoudur. Bu edele Ax=b sistemi acak ve acak b vektörü A matrisii sütu vektörlerii doğrusal bir kombiasyou ise tutarlıdır. TUTARLI DENKLEM SİSTEMİ Teorem: Bir Ax=b doğrusal deklem sistemi acak ve acak b vektörü A matrisii sütu uzayıda ise tutarlıdır. Bkz. Soru 14 Teorem: Bir Ax=b doğrusal deklem sistemi acak ve acak A matrisii rakı geişletilmiş [A:b] matrisi rakıa eşit ise tutarlıdır. GENEL VE ÖZEL ÇÖZÜMLER Ax=b ve Ax=0 sistemlerii çözümleri arasıdaki ilişki Teorem 6.2: Eğer x 0 homoje olmaya doğrusal deklem sistemii bir çözümü ise ve eğer v 1,,v k vektörleri Ax=0 homoje deklem sistemi çözüm uzayıı bir bazı ise Ax=b içi her çözüm: x = x0 + c1v 1 + L + ckv k şeklide ifade edilebilir. Bu ifadei tersi de doğrudur. c 1,,c k ı her değeri içi bu formüldeki x vektörü Ax=b sistemii bir çözümüü verir. Bkz. Soru 15 GENEL VE ÖZEL ÇÖZÜMLER Not: Burada x 0, Ax=b sistemii özel çözümüdür. x0 + c1v 1 + L + ck vk ise Ax=b sistemii geel çözümüdür. c1v1 + L + ck vk ise Ax=0 sistemii geel çözümüdür. Bkz. Soru 16 Teorem: Eğer Ax=b, m deklem ve bilimeye içere bir tutarlı doğrusal sistem ise ve A matrisii rakı r ise sistemi geel çözümü -r adet parametre (yapay değişke) içerir. 13