Saf Eğilme (Pure Bending) Bu bölümde, doğrusal, prizmatik, homojen bir elemanın eğilme etkisi altındaki deformasonları incelenecek. Burada çıkarılacak formüller, en kesiti an az bir eksene göre simetrik olan ve kesite etkien eğilme momentinin bu eksene dik bir doğrultuda olması durumu için geçerli olacak.
Saf Eğilme (Pure Bending) Bir eksene göre simetrik en kesite sahip ve bu eksene dik doğrultuda etkien eğilme momentine maruz prizmatik, doğrusal eleman (örneğin kiriş), aşağıda gösterilmiştir: Simetri Ekseni Bouna Doğrultuda Eksen Tarafsız/Nötr Yüze
Saf Eğilme (Pure Bending) Doğrusal Elemanlar Yüksek derecede deforme olabilen bir malzemenden apılmış, örneğin: kauçuk, prizmatik bir elamanın uçlarına etkien eğilme momenti etkisi altındaki deformasonunu inceleelim, elemanın en kesiti dikdörtgen olsun: Yata çizgiler eğildi Deformasondan Önce Düşe çizgiler düz kaldı, ancak döndü Deformasondan Sonra
Saf Eğilme (Pure Bending) Doğrusal Elemanlar Eğilme etkisine maruz bir elemanın alt bölümleri çekme, üst bölümleri ise basınç etkisine maruz kalmakta (momentin önü bir önceki şekildeki gibise). Bu durumda bu iki bölüm arasında, şekil değiştirmeen bir üze olacaktır. Bu üzee tarafsız vea nötr üze denir. M M
Saf Eğilme (Pure Bending) Yukarıdaki gözlemlerden, gerilmelerin Doğrusal Elemanlar malzemei nasıl deforme ettiği ile ilgili şu kabulleri apmak mümkün: (i) düzlemden önce düzlem olan kesitler eğildikten sonra da düzlem kalmaktadır, (ii) tarafsız düzlemde bulunan bouna doğrultudaki x ekseninin bou değişmemektedir, sadece eğilmektedir, (iii) kirişin deformasondan önce x Z ekseni tarafsız eksenine dik olan tüm kesitleri eksen! deformason sonrasında da x eksenine dik kalmaktadır, (iv) kesitlerin kendi düzlemleri içindeki deformasonları ihmal edilecektir. Nötr üze
Bu şekil değişiminin malzemei nasıl Saf Eğilme (Pure Bending) Doğrusal Elemanlar zorladığını incelemek için, kirişin mesnetlenmiş noktasından x mesafesinde ve deforme olmamış kalınlığı x olan bir kiriş dilimi çıkarılacaktır, bu dilimin deforme olmadan önce ve sonraki durumu aşağıda gösterilmiştir: Dikkat edilirse, nötr eksen üzerinde herhangi bir şekil değişimi olmamakta! Bouna eksen Bouna eksen Deformasondan Önce Deformasondan Sonra
Saf Eğilme (Pure Bending) Doğrusal Elemanlar Nötr eksenin üstünde kalan kısımlarda bo kısalması, altında kalan kısımlarda ise bo uzaması olmaktadır. Nötr eksenin üzerinde herhangi bir mesafesindeki bir lifte oluşan normal birim şekil değiştirme aşağıdaki gibi bulunur: ε = lim s s s s 0 (1) Bouna eksen Deformasondan Sonra Şimdi bu şekil değişimini, dilimin çıkarıldığı noktadaki eğrilik arıçapı (ρ), mesafesi cinsinden ifade edelim.
Deformasondan önce s= x. Saf Eğilme (Pure Bending) Doğrusal Elemanlar Deformasondan sonra x, O merkezine sahip ρ eğrilik arıçapına sahip olacaktır. θ en kesitler arasındaki açıı tanımlamaktadır, bu durumda, x= s= ρ θ Benzer şekilde, tarafsız eksenden mesafesindeki kısalmış bo aşağıdaki gibi bulunur: ( ρ ) s = θ (2) (3) Bouna eksen
Saf Eğilme (Pure Bending) Doğrusal Elemanlar (2) ve (3) nolu ifadeler (1) nolu ifadede erine konur sadeleştirmeler apılırsa, ( ρ ) θ ρ θ ε = lim = s 0 ρ θ ρ Bu çok önemli bir sonuçtur ve şunu ifade eder: kirişin herhangi bir noktasındaki eğilmeden kanaklı bouna normal birim şekil değiştirme, o noktanın kesitteki erini tanımlaan mesafesine ve incelenen kesitin olduğu noktadaki eğrilik arıçapına bağlıdır.
Saf Eğilme (Pure Bending) Doğrusal Elemanlar Bir başka deişle, bouna doğrultudaki normal birim şekil değiştirme, nötr eksenden ölçülen mesafesi ile lineer olarak değişmektedir. + mesafesinde kısalma şekil değiştirmeleri (negatif işaret), - mesafesinde ise uzama birim şekil değişimleri oluşacaktır (pozitif işaret) ε ε max = / ρ c / ρ ε = ε c max Kesitteki Normal şekil değişimi dağılımı
Saf Eğilme (Pure Bending) Doğrusal Elemanlar Bu sonuçlar aptığımız kabuller altında geçerlidir ve kiriş sadece moment etkisi altındadır. Bu durumda kirişte sadece eksenel doğrultuda normal birim şekil değişimi oluşmaktadır. Bu durumda şunu kabul etmek de ugun olacaktır: kirişte sadece bouna eksen doğrultusunda normal gerilmeler oluşmaktadır (σ x = Eε x ). Poisson oranı gereği, diğer iki önde de şekil değişimler oluşacaktır: ε =-ϑ ε x ve ε z =-ϑ ε x bu değerler, kesiti kendi içinde deforme edeceklerdir. Bu tip bir deformason, nötr eksenin üstünde kalan kısımların en kesit alanını büütecek, altında kalanlarının ise küçültecektir. Bu deformasonlar, bu derste ihmal edilecektir.
Saf Eğilme (Pure Bending) Eğilme Formülü Şimdi bouna doğrultuda oluşan gerilmeler ile kirişte oluşan moment arasında bir ilişki geliştirelim. Bu ilişki için, malzemenin lineer elastik davrandığı kabulü apılacaktır, ani Hooke asası geçerlidir. Bu durumda, kesitte oluşan lineer normal şekil değiştirme, lineer normal gerilmelerin bir sonucu olarak oluşacaktır: Üçgenlerin benzerliğinden: ε = ε c max σ = σ c max Normal birim şekil değişimi (andan görünüş) Normal gerilme değişimi (andan görünüş)
Buradaki pozitif işaret kabulü önemlidir: pozitif moment (+z önünde), + önünde negatif gerilmeler (basınç), benzer şekilde önündeki gerilmeler ise pozitif (çekme) gerilmeleri oluşturmaktadır. Aşağıdaki eğilme durumunu düşünelim: Saf Eğilme (Pure Bending) Eğilme Formülü Örneğin mesafesindeki bir noktada, basınç gerilmesi oluşacaktır. Tek bir noktada, tek bir gerilme durumu söz konusudur. Eğilme gerilmesi değişimi
Saf Eğilme (Pure Bending) Eğilme Formülü Nötr eksenin erini bulmak için kesite etkien kuvvetler düşünülmelidir. Bu durumda, kesitteki normal gerilmelerden dolaı oluşan bileşke kuvvet sıfır olmak zorundadır. Aşağıdaki şekle referansla: Eğilme gerilmesi dağılımı 0 = df = σda σ A = A A maxda c σ max = c da A Bu ifadenin sıfır olabilmesi için integrantın sıfır olması gerekmektedir, ani: A= A da=0 Alanın nötr eksene göre birinci momentinin sıfır olması gerekmekte. Bu durum ancak nötr eksenin kesitin merkezinden geçmesi durumunda mümkündür. Bir başka deişle, kesitin merkezi biliniorsa, nötr eksenin eri de bilinmektedir.
Saf Eğilme (Pure Bending) Eğilme Formülü Kesitte oluşan gerilmelerin şiddeti ise denge şartını dikkate alarak bulunabilir: kesit momenti (iç kuvvet) = gerilme dağılımının oluşturduğu moment değerine. ( M ) R = M ; M = dm = df z z A A = ( σ da ) A = A σ c σ max M= c A ( ) ; 0 R max = = A 2 da Dikkate edilirse, kesit -eksenine göre simetrik olduğunda aşağıdaki koşul otomatik olarak sağlanmakta: M M z σ da
Saf Eğilme (Pure Bending) Eğilme Formülü σ M= c max 2 da A Yukarıdaki denklemde, integrand nötr eksene (kesit merkezinden geçen z-eksenine) göre kesitin atalet momentidir ve I harfi ile gösterilir. Bu durumda σ max aşağıdaki gibi azılabilir: σ max M = c I σ max /c = - σ/ ifadesi kullanılarak, kesitin herhangi bir erindeki gerilme değeri formülü azılabilir. Bu ifadee eğilme formülü denir ve çok önemli bir bağıntıdır: M σ =- I (-) işareti önemlidir, çünkü şağ el kuralına göre belirlenen pozitif moment, nötr eksenin üstünde basınç, altında ise çekme gerilmeleri oluşturacaktır!
Saf Eğilme (Pure Bending) Eğilme Formülü σ max M = c I Eğilme formülü, (i) kesitin nötr eksene göre dik olan bir eksene göre simetrik olması durumunda, ve (ii) momentin bu dik eksen doğrultusunda etkimesi durumunda kullanılabilir.
Örnek - 1 Şekilde gösterilen kiriş dikdörtgen en kesit alanına sahiptir ve kesit üzerinde gösterilen gerilme dağılımına sahiptir, kesitte oluşan M eğilme momentini: (a) eğilme formülünü kullanarak ve (b) gerilme dağılımının bileşkesini kullanarak bulunuz. 1 lb = 4.448 N 1 in = 2.54 cm 1 ft = 12 in 1 ft = 0.3048 m
Örnek 1 (devam) (a) Şekle referansla maksimum gerilmenin c = 6 in değerinde oluşacağını görebiliriz: Eğilme formülünü hatırlarsak σ max M = c I Bu durumda
Örnek 1 (devam) (b) Aşağıdaki gerilme dağılımlarının altında kalan hacimler birbirine eşittir ve bir kuvvet çifti sistemi oluştururlar, bileşke kuvvet F aşağıdaki gibi bulunur: = Kuvvet çifti arasındaki mesafesinin 8 in olduğu görülürse, kesitte oluşan moment değeri rahatlıkla bulunabilir:
Örnek - 2 Şekilde gösterilen basit mesnetli kirişin en kesit geometrisi aşağıda gösterilmiştir. Kirişte oluşan mutlak maksimum gerilme değerini bulunuz ve gerilme dağılımını kesit üzerinde çiziniz.
Örnek 2 (devam) Maksimum gerilme değeri, maksimum momentin oluştuğu noktada oluşacaktır (gerilme formülünü hatırlaınız). Bu nedenle önce kirişin moment diagramı çizilecektir: Maksimum moment, kirişin tam ortasında 22.5 knm şiddetindedir.
Örnek 2 (devam) Simetriden dolaı, en kesitin alan merkezinin simetri ekseninden geçtiği ve dolaısıla tarafsız eksenin de buradan geçtiği görülecektir. Bir başka deişle ağırlık merkezini arıca hesaplamaa gerek oktur. Tarafsız (nötr) eksen, toplam üksekliğin arısından geçmekte! Bu eksene göre, atalet momenti paralel eksenler teoremi kullanılarak hesaplanabilir:
Örnek 2 (devam) Eğilmeden dolaı oluşan gerilmeler gerilme formülü ugulanarak hesaplanır, c = 170 mm için en dış lifte mutlak maksimum gerilmeler oluşacaktır: Gerilme diagramını çizmek için, kesitin B noktasında oluşan gerilme değerini de hesaplamak gerekmektedir:
Kesitteki gerilme dağılımının üç boutlu görünümü aşağıda gösterilmiştir: Örnek 2 (devam) Sınavda iki boutlu görünümü çizmek eterli olacaktır!
Örnek - 3 Şekilde gösterilen ankastre mesnetli kirişin en kesit geometrisi aşağıdaki gibidir. a-a kesitinde eğilmeden dolaı oluşan maksimum gerilmei bulunuz.
Örnek 3 (devam) Bileşke iç kuvvetlerin kesitte etkidiği nokta kesitin alan merkezidir, arıca nötr (tarafsız) eksen ine kesitin merkezinden geçmektedir. Bu nedenle, ilk önce kesitin merkezi bulunmalıdır, bu işlem için hatırlanırsa ağırlıklı ortalama formülü kullanılır: Nötr eksen z
Örnek 3 (devam) a-a kesitinde oluşan moment değerini bulalım. Bunun için, kiriş a-a kesitinden kesilir ve sol parçanın dengesi incelenir: Dikkat edilirse, iç kuvvetlerin bileşkesi kesitin merkezinden geçmekte! Bu moment değeri, eğilmeden kanaklı oluşan normal gerilmelerin hesabında kullanılacak. Normal kuvvet ise kesitte ekstra gerilmeler oluşturacaktır, ileride bu gerilmelerle momentten kanaklı gerilmelerin süperpozisonu apılacaktır. Burada sadece momentten kanaklı gerilmeler dikkate alınacaktır.
Örnek 3 (devam) Kesitin nötr eksene göre atalet momentine ihtiaç var:
Örnek 3 (devam) Maksimum gerilme nötr eksenden en uzak mesafede oluşacaktır, burası kesitin en alt noktasıdır ve c = 0.2 0.05909 = 0.1409 m dir. 59.09 mm 0.1409 mm Bu örnekte momentin etkime önünden dolaı, nötr eksenin üst tarafında çekme, alt tarafında ise basınç gerilmeleri oluşmaktadır.
Eksentrik Eksenel Yükleme c P c D Yandaki şekilde, ekseni üzerinde belli bir mesafeden etkien P ükünün, kesit üzerinde oluşturduğu etki incelenecektir. Dikkat edilirse, P ükünden dolaı, kesitte hem eksenel normal gerilmeler hem de, eksentirisitesinden dolaı moment oluşacak ve bu moment etkisi, ine kesitte normal gerilmeler oluşturacaktır.
Eksentrik Eksenel Yükleme Bu gözlemler doğrultusunda, ukarıdaki üklemenin etkisine eş değer aşağıdaki üklemei oluşturabiliriz: c P c D M = P* Bu üklemenin oluşturduğu x ekseni doğrultusundaki normal gerilmeler ise aşağıdaki gibi hesaplanır: P M σ x = A I z z Dikkat edilirse, her iki ükleme de, x ekseni doğrultusunda normal gerilmeler oluşturmaktadır. Moment ekseni ise z ekseni doğrultusundadır.
Eksentrik Eksenel Yükleme Bu durumda, normal kuvvet kesitte uniform basınç gerilmeleri, moment ise önü dikkate alındığında nötr eksenin üstünde basınç altında ise çekme gerilmeleri oluşturmaktadır. x P P σ x = M Mz A σ x = c I x z max P M σ x = A I z z c x min P M σ x = + A I z z c M x + σ = Mz c I z = P Kuvvetinin Etkisi Yandan Görünüş Momentin Etkisi Yandan Görünüş P + M nin Etkisi Yandan Görünüş
Örnek - 5 Y ekseni üzerinde eksantrik olarak etki eden 4.80 kn luk basınç kuvvetinin A ve D ve B ve C hatlarında medana getirdikleri gerilmeleri hesaplaınız. 4.80 kn 35 mm B x A D C
Örnek 5 (devam) Dikkat edilirse, 4.80 kn luk kuvvet z ekseni doğrultusunda bir moment oluşturacaktır: M z x 4.80 kn ( ) M = 4.80kN 60mm 35mm = 120kNm z En kesit alanına ve z eksenine göre atalet momentine ihtiacımız olacaktır: ( )( ) A= 0.080m 0.120m = 9.60 10 m 3 2 1 Iz = ( 0.080 m)( 0.120 m) = 11.52 10 m 12 3 6 4
Örnek 5 (devam) Gerilmelerin hesabına geçilebilir: x 4.80 kn Eksenel kuvvetten kanaklı normal gerilme tüm kesite Saint Venant prensibi gereği üniform olarak etki etmektedir: P 4.80kN = = = 0.5MPa A 9.60 10 m x 3 2 M z σ Eğilmeden kanaklı olarak (Mz), AD hattında basınç, BC hattında ise çekme gerilmeleri oluşacaktır: σ σ AD x BC x M 120Nm = = 6 4( 0.06m) = 0.625MPa I 11.52 10 m z M 120Nm = = 6 4( 0.06m) = 0.625MPa I 11.52 10 m z
Örnek 5 (devam) Süperpozison prensibi kullanılarak, AD ve CB hatlarındaki toplam gerilmeler hesaplanabilir: 35 mm 4.80 kn x AD σx TOP = 0.5MPa 0.625MPa= 1.125 MPa (B) σ BC x = 0.5MPa+ 0.625MPa= 0.125 MPa (Ç) M z Olarak bulunur. Dikkat edilirse, AD hattındaki malzeme lifleri CB hattındakilere göre daha çok zorlanmaktadır.
Simetrik Olmaan Eğilme Gelişigüzel bir eksen doğrultusunda etkien moment: = + σ M = z + I z M I z
Simetrik Olmaan Eğilme Nötr eksenin eri: + Nötr eksen üzerinde gerilmeler sıfırdır! 0 M z = + I z M z I = Iz tanα = tanθ I
Soru: Aşağıdaki en kesite etkien M momentinin P noktasında medana getirdiği normal gerilme değeri nasıl hesaplanabilir?