T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

ÖZET YÜKSEK LĠSANS TEZĠ SĠRKÜLANT MATRĠSLERĠN SAYISAL ĠġARET ĠġLEMEDE KULLANIMI Ahmet ÖTELEġ Selçuk Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matematik Aabilim Dalı DaıĢma: Prof. Dr. DurmuĢ BOZKURT 0, 50 Sayfa Jüri Prof. Dr. AĢır GENÇ Prof. Dr. DurmuĢ BOZKURT Yrd. Doç. Dr. Yıldıray KESKĠN Sirkülat matrisler so yıllarda ümerik hesaplamalarda, işaret işlemede, kodlama teoriside ve petrol araştırmalarıda sıklıkla kullaılmaktadır. Bu çalışmada, sayısal işaret işlemei öemli alalarıda ola ayrık Fourier döüşümüü (AFD) ve dairesel kovolüsyou sirkülat matrislerle ilişkisi ele alıdı. Öcelikle; ayrık Fourier döüşümü (AFD), ou özellikleri ve AFD tabalı elde edile hızlı Fourier döüşümü (HFD) verildi. Daha sora sirkülat matrisleri AFD matrisiyle köşegeleştirilmesi, sirkülat matrisleri öz değerlerii HFD yardımıyla hesaplaması, yie bu matrisi öz vektörlerii AFD matrisii satır veya sütu vektörleri olduğu ve sirkülat matris katsayılı lieer deklem sistemlerii HFD ile hızlı bir şekilde çözüldüğü gösterildi. So olarak; dairesel kovolüsyo ve ou sirkülat matrislerle ilişkisi verildikte sora bu defa sirkülatlı matris katsayılı lieer deklem sistemlerii dairesel kovolüsyo metoduyla çözüm yötemi verildi. Bütü bu yapılaları somutlaştırmak içi çalışmamız öreklerle zegileştirildi. Aahtar Kelimeler: Ayrık Fourier Döüşümü (AFD), Dairesel Kovolüsyo, Hızlı Fourier Döüşümü (HFD), Sayısal İşaret İşleme, Sirkülat matrisler IV

ABSTRACT MS THESIS ON USING OF CIRCULANT MATRICES IN DIGITAL SIGNAL PROCESSING Ahmet ÖTELEġ THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE IN MATHEMATICS Advisor: Prof. Dr. DurmuĢ Bozkurt 0, 50 Pages Jury Prof. Dr. AĢır GENÇ Prof. Dr. DurmuĢ BOZKURT Asst. Prof. Dr. Yıldıray KESKĠN The circulat matrices have applied i umerical computatio, sigal processig, codig theory ad oil ivestigatio i recet years, ad so o. I this study; we have discussed relatioship with the circulat matrices of Discrete Fourier Trasform (DFT) ad the circular covolutio. Firstly, we have preseted DFT, its properties ad Fast Fourier Trasform (FFT) obtaied from DFT-based. The, we have showed the diagoalizatio of the circulat matrices with DFT matrix, the calculatio of the eigevalues of the circulat matrices with FFT. We have also showed that the eigevectors of these matrices correspod to the row or the colum vectors of DFT matrix ad the liear equatios system havig the circulat matrices could easily be solved with FFT. Fially, after the discussig the circular covolutio ad its relatioship with the circulat matrices, we have give the solutio method the liear equatios system havig the cirrculat matrices with the circular covolutio method. To embody all the work that we have doe, we have tried to erich them with the examples. Keywords: Circulat matrices, Digital Sigal Processig, Discrete Fourier Trasform (DFT), Fast Fourier Trasform (FFT), Circular Covolutio V

ÖNSÖZ Bu tez çalışması Selçuk Üiversitesi Fe Fakültesi Matematik Bölümü öğretim üyesi, Prof. Dr. Durmuş BOZKURT daışmalığıda yapılarak, Selçuk Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü e yüksek lisas tezi olarak suulmuştur. Bu tez;. Bölüm Giriş bölümü,. Bölüm Kayak Araştırması, 3. Bölüm Temel Kavramlar, 4. Bölüm Sayısal İşaret İşlemede Sirkülat Matrisleri Kullaımı, 5. Bölüm Souç ve Öeriler, 6. Bölüm Kayaklar olmak üzere toplam altı bölümde oluşmaktadır. Çalışmalarım boyuca bei yöledire ve yardımlarıı esirgemeye daışmaım Prof. Dr. Durmuş Bozkurt a teşekkürü bir borç bilirim. Ahmet ÖTELEŞ VI

ĠÇĠNDEKĠLER ÖZET... IV ABSTRACT... V ÖNSÖZ... VI ĠÇĠNDEKĠLER... VII. GĠRĠġ..... Tezi Yapısı.... KAYNAK ARAġTIRMASI... 4 3. TEMEL KAVRAMLAR... 5 3.. Bazı Özel Matrisler... 5 3.. Öz değerler ve Öz vektörler... 6 3.3. Bir Matrisi Köşegeleştirilmesi... 7 3.4. Lieer Deklem Sistemleri ve Çözümleri... 9 3.5. Sirkülat Matrisler ve Özellikleri... 4. SAYISAL ĠġARET ĠġLEMEDE SĠRKÜLANT MATRĠSLER... 7 4.. Sayısal İşaret İşleme... 7 4.. Sirkülat Matrisleri Ayrık Fourier Döüşüm (AFD) ile İlişkisi... 9 4... Ayrık Fourier döüşüm (AFD) matrisi... 9 4... Ayrık Fourier döüşümü (AFD)... 4..3. Matris formuda AFD ve ters AFD gösterilimi... 4..4. Hızlı Fourier döüşümü... 3 4..5. Matris gösterimi yardımıyla HFD... 4 4..6. AFD ile HFD i karşılaştırılması... 5 4..7. AFD matrisi ile sirkülat matrisleri köşegeleştirilmesi... 6 4..8. Sirkülat matrisi öz değerlerii HFD yardımıyla hesaplaması... 8 4..9. Sirkülat matrisi öz vektörlerii AFD matrisiyle ilişkisi... 3 4..0. Sirkülat matris katsayılı lieer deklem sistemlerii HFD yardımıyla çözümü... 3 4.3. Lieer ve Dairesel Kovolüsyoda Sirkülat Matrisler... 35 4.3.. Lieer kovolüsyo... 35 4.3.. Dairesel kovolüsyo... 37 4.3.3. Dairesel kovolüsyou matris gösterimi... 37 4.3.4. Dairesel kovolüsyou hesaplamasıda AFD ve ters AFD metodu... 4 4.3.5. Sirkülat matris katsayılı lieer deklem sistemlerii çözümü içi dairesel kovülasyo metodu... 43 5. SONUÇLAR VE ÖNERĠLER... 47 5.. Souçlar... 47 VII

5.. Öeriler... 47 6. KAYNAKLAR... 48 ÖZGEÇMĠġ... 50 VIII

. GĠRĠġ Sayısal İşaret İşleme (Digital Sigal Processig) DSP, sayısal işaretler ve bu işaretleri işleme yötemlerii iceler. Amacı geellikle aalog siyalleri ölçmek ya da filtrelemek ola DSP bu işlemi yapabilmek içi öcelikle bir aalog-sayısal döüştürücü (A/D) kullaır ve siyalleri işleyebileceği bir hale getirir. Yapılmak istee işlemler yapıldıkta sora da sayısal-aalog döüştürücü (D/A) kullaarak tekrar aalog siyal elde edilir (Karaboğa, 995). Bir Sayısal işaret İşlemei Blok Diyagramı İşaretleri işlemesi, elektrik mühedisliğii e öemli koularıda biridir. Çeşitli edelerde dolayı işaretler işlemektedir. Haberleşmede işareti gürültüde ayırmak, radar ve soar sistemleride hedefi belirlemek içi işaretler işleir. Ayrıca işaretler çeşitli uygulamalarda kullaılmak amacıyla da işleebilir. Televizyoda görütüleme, haberleşmede trasmisyo ve sayısal sistemleri kotrolüde kullamak içi işaretler işleir. Ayrık Fourier Döüşümü (AFD), ayrık zamalı işaret işleme algoritma ve sistemleri aalizi, tasarımı, gerçekleştirilmesi ile doğrusal filtreleme, korelasyo aalizi ve spektrum aalizi gibi işaret işleme uygulamalarıda öemli bir rol oyar. AFD i bu öeme sahip olmasıı ardıdaki temel ede AFD yi hesaplamakta kullaıla verimli algoritmaları varlığıdır. C c ij kare bir matris olmak üzere elemaları c c ; j i k(mod ) ( i, j,,, ) ij ji şeklide taımlaa mertebeli C matrisie sirkülat matris deir ve matris formu

biçimidedir. c c c c c c c c C circ c c c c c c c 0 0 ( 0,,, ) 0 3 c c c c 3 0 C, bir sirkülat matris ve da köşege elemaları C sirkülat matrisii özdeğerleri ola köşege bir matris olmak üzere C F F şeklide AFD matrisi ile köşegeleştirilebilir. Bir sirkülat matrisi öz değerleri, bu sirkülat matrisi ilk satırıı veya sütuuu AFD side oluşur. Bu da hızlı Fourier döüşümü (HFD) ile hızlı bir şekilde hesaplaabilir. Ayrıca sirkülat matrisleri öz vektörleri AFD matrisii sütu vektörleridir. Yie sirkülat matris katsayılı lieer deklem sistemlerii çözümleri de HFD yardımıyla hızlı bir şekilde yapılabilir. Lieer ve dairesel kovolüsyo, sayısal işaret işlemede çok sık uygulaıla hesaplama metotlarıda birisidir. a ve b, bileşeli iki vektör ve Ca ( ) da a vektörüde üretilmiş bir sirkülat matris olmak üzere bu iki vektörü dairesel kovolüsyou ab C( a) b biçimidedir. Yie, sirkülat matris katsayılı lieer deklem sistemleri dairesel kovolüsyo yardımıyla çözülebilirler. Souç olarak bütü bular bize sirkülat matrisleri sayısal işaret işlemede öemli bir yerii olduğuu gösterir. Bu tez çalışmasıda sirkülat matrisler bu yöde ele alıdı ve yukarıda alatılalara tezi esas kısmıda ayrıtılı olarak değiildi... Tezi Yapısı Bu tez altı bölümde oluşmaktadır.. Bölüm: Giriş bölümü olup bu bölümde tez kousu hakkıda öcede yapıla çalışmalar ve tez kousu kısaca taıtılmıştır.. Bölüm: Tez kousu ile ilgili literatürde yer ala kayaklar araştırılıp; kayak araştırması başlığı altıda bu kayaklar hakkıda bilgi verilmiştir. 3. Bölüm: Tez boyuca faydalaılacak bazı kavramlar hakkıda ö bilgiler verilmiştir.

3 4. Bölüm: Tezi esas kısmıı oluşturmaktadır. Bu bölümde sayısal işaret işlemede çok öemli ola ayrık fourier döüşümü, hızlı fourier döüşümü ve dairesel kovolüsyou sirkülat matrislerle ola ilişkisi detaylı bir şekilde ele alımıştır. 5. Bölüm: Tezi souç ve öeriler bölümü olup bu bölümde, bu kouda ileride e tür çalışmalar yapılabileceği ifade edilmiştir. 6. Bölüm: Tez boyuca faydalaıla kayaklar belirtilmiştir.

4. KAYNAK ARAġTIRMASI X. Liu ve P. Wei (009), sirkülat matrisleri bir çeşidi ola permütasyo sirkülat matrisler, sayısal işaret işlemede uygulama alaı ola matrislerdir. Bu çalışmada hızlı Fourier döüşümü yardımıyla matrisleri çarpımı ve ici mertebede permütasyo çarpa sirkülat k ıcı kuvveti içi hızlı bir algoritma verilmiştir. G. Zhao (009), sirkülat matrisleri bir çeşidi ola r sirkülat matrisler sayısal işaret işlemede kullaılmaktadır. Bu çalışmada, tekil olmaya r sirkülat matrisleri sadece ilk satır elemaları kullaılarak sirkülat matrisleri ters problemi icelemiştir. M. Teixeira ve D. Rodriguez (994) çalışmalarıda, dairesel kovolüsyo yardımıyla, biçimsel olarak AFD matrisii bazı çarpalarıı sirkülat matrisi çarpalarıyla ilişkili olduğuu göstermiştir. H. Li, X. Liu ve P. Wag (009), hızlı Fourier döüşümü yardımıyla ici mertebede permütasyo faktör sirkülat matrisleri algoritma verilmiştir. k ıcı kökü içi hızlı bir W. Zhao (009), sayısal işaret işlemede, ters sirkülat matrisleri ters problemii ele almıştır. N. L. Tsitsas, E. G. Alivizatos ve G.H. Kalogeropoulos (007), sirkülat bloklu matrisleri sayısal işaret işlemede birçok uygulama alaı vardır. Bu tip matrisleri tersi ayrık Fourier döüşümü yardımıyla her bir sirkülat bloğu köşegeleştirilmesie dayamaktadır. Bu çalışmada sirkülat bloklu matrisleri tersi içi rekürsif (yielemeli) bir agoritma ele alımıştır. H. Karer, J. Scheid ve C. W. Ueberhuber (003) çalışmalarıda, sirkülat matrisleri sağ ve sol sirkülat matris olarak sııfladırmışlardır. Ayrıca ters sağ sirkülat ve ters sol sirkülat matrisler taımlaarak, bu matrisleri öz değer ve sigüler değer ayrışımları Fourier matrisi kullaılarak elde edilmiştir. D. S. G. Pollock (00), sirkülat matrisleri spektral ayrışımıı Fourier matrisi yardımıyla elde etmiştir. Bua ek olarak simetrik sirkülat matrisleri taımlamış ve bu matrisi Fourier döüşümlerii icelemiştir. H. Li ve X. Liu (009), sayısal işaret işlemde öemli bir yeri ola r sirkülat matrisleri sadece ilk satır elemaları kullaılarak bazı özellikler verilmiştir. C. Dog (009), sayısal işaret işlemde öemli bir yeri ola simetrik r sirkülat matrisleri sadece ilk satır elemaları kullaılarak bazı özellikler verilmiştir.

5 3. TEMEL KAVRAMLAR 3.. Bazı Özel Matrisler Taım 3.. A a bir kare matris olmak üzere eğer i j içi her zama ij a 0 oluyorsa, o takdirde A matrisie köşege matris deir ve diag( A ) şeklide ij gösterilir. Üçücü mertebede bir köşege matrise, örek olarak a 0 0 diag( A) 0 a 0 0 0 a 33 matrisii verebiliriz (Taşcı, 005). Taım 3.. Eğer verile bir kare matrisi traspozesii alarak elde edile matris, verile matrisi kedisie eşit oluyorsa bu matrise simetriktir deir. Başka bir ifade ile A kare matrisi içi ise bu matrise simetrik matris deir. T A A Üçücü mertebede bir simetrik matrise, örek olarak matrisii verebiliriz (Taşcı, 005). a b c A b a d c d a 33 Taım 3.3.,,, kümesii bir, permütasyou olsu. () () ( ) E j, j. bileşei diğer bileşeleri 0 ola E j 0,,0,,0,,0 şeklide gösterile bileşeli birim satır vektör olmak üzere. mertebede permütasyo matris

6 E () E () P P E ( ) biçimidedir. Yai, i,,..., olmak üzere P 'i i. satırıı ( i). sütuudaki elemaı, diğer elemaları 0 ola matrise permütasyo matris deir. E geel alamda bir permütasyo matris, birim matrisi satırlarıı ya da sütularıı değiştirmekle elde edile bir matristir. Üçücü mertebede permütasyo matrisie, örek olarak 0 0 P 0 0 0 0 matrisii verebiliriz (Davis, 979). Taım 3.4. U kompleks bir kare matris olmak üzere U U UU I ise bu matrise üiter matris deir. Burada matristir (Taşcı, 005). U, U 'u eşleik traspozesi ve I birim 3.. Öz değerler ve Öz vektörler Taım 3.5. A, kare bir matris olmak üzere ( ) det( I A) A poliomua A matrisii karakteristik poliomu deir. Taım 3.5 ile verile poliomu ( ) a a a a A şeklide açık bir şekilde de yazabiliriz (Bozkurt ve ark., 005). Taım 3.6. ( ) 0 A deklemie A matrisii karakteristik deklemi deir (Bozkurt ve ark., 005). Taım 3.7. ( ) 0 A deklemii köklerie A matrisii öz değerleri veya karakteristik değerleri veya ayge değerleri deir (Bozkurt ve ark., 005).

7 Taım 3.8. i ( i ) içi ( I A) x 0 deklemii x i çözüm vektörüe A matrisii öz vektörü veya karakteristik vektörü veya ayge vektörü deir (Bozkurt ve ark., 005). Teorem 3... mertebede bir kare matrisi karakteristik poliomu. derecede bir poliomdur ve e yüksek dereceli terimi katsayısı, poliomdaki sabit terim a ( ) A ve 'i katsayısı - iz (A)'dır. Eğer A matrisii öz değerleri,,, ise iz(a)= i ve det( A) şeklidedir (Bozkurt ve ark., 005). i= Teorem 3.. A,. mertebede herhagi bir kare matris ise, A matrisii her öz değerie e az bir öz vektör karşılık gelir (Bozkurt ve ark., 005). 3.3. Bir Matrisi KöĢegeleĢtirilmesi Taım 3.9. A ve B herhagi iki kare matris olsu. B P AP olacak şekilde P düzgü (tersi ola) matris varsa A ve B matrislerie bezer matrisler, ve ark., 005). P 'ye döüşüm matrisi ve döüşüme de bezerlik döüşümü deir (Bozkurt Teorem 3.3. Bezer matrisleri karakteristik poliomları ve dolayısıyla öz değerleri ayıdır (Bozkurt ve ark. 005). Ġspat: A ve B bezer matrisler olsu. Bu durumda dir. B P AP det( B I) det( P AP I) det( P ( A I) P) det det( )det det( AI) olup istee elde edilmiştir. P A I P

8 Teorem 3.4. A herhagi bir kare matris olsu. A matrisi, i ( i ) öz değerlerie karşılık ( A I) x 0, x 0 i i i deklemii sağlaya x, x,, x şeklide tae lieer bağımsız öz vektöre sahip olsu. Bu durumda; olmak üzere dir (Bozkurt ve ark. 005). Ġspat: i içi P x x x ve diag(,,, ) P AP veya A P P Ax x i i i olduğuda A matrisi ile P matrisii çarparsak; AP A x x x P A x Ax Ax x x x elde edilir. P matrisii sütu vektörleri lieer bağımsız olduğuda olup P eşitliği solda sağda P elde edilir. vardır. Bu durumda elde edile P ile çarpılırsa; ile çarpılırsa da det P 0 AP P P AP A P P tamsayısı içi Teorem 3.5. A köşegeleştirilebile bir kare matris ise herhagi bir pozitif k dir (Bozkurt ve ark. 005). k k A P P Ġspat: A köşegeleştirilebilir olduğuda A P P

9 olacak şekilde P düzgü matrisi vardır. k tae yazarsak; P P matrisii çarpım şeklide k A ( PP )( PP ) ( P P ) k tae olur. Matrislerde çarpma işlemi, birleşme özelliğie sahip olduğuda; şeklide yazılabilir. olduğuda, souç olarak dir. k A P( P P) ( P P) P P P I k k A P P Souç 3.. Herhagi bir kare matrisi bezerlik döüşümü ile köşegeleştirilmesi içi gerek ve yeter şart matrisi tae lieer bağımsız öz vektöre sahip olmasıdır ( Bozkurt ve ark. 005). 3.4. Lieer Deklem Sistemleri ve Çözümleri Taım 3.0. K bir cisim olsu. b, b, b m ve aij ( i m, j ), K cismii verile elemaları; x, x, x de bilimeyeler olmak üzere ax a x a x b ax ax ax b (3.) am x amx amx b m sistemie bilimeyeli m deklemde oluşa bir lieer deklem sistemi deir (Bozkurt ve ark., 005). (3.) ile verile sistem a a a x b a a a x b a a a x b m m m şeklide matris otasyou ile gösterilebilir. Buu da; A, m matris; x, ve b de m vektörler olmak üzere, kısaca

0 Ax olarak gösterebiliriz (Bozkurt ve ark., 005). b elemaları) Taım 3.. (3.) ile verile sistemi sağlaya ( x, x, x ) ( x i 'ler lisie sistemi çözüm takımı deir. K 'ı Taım 3.. Herhagi iki lieer deklem sistemii çözüm takımı ayı ise bu sistemlere dek sistemler deir. Teorem 3.6. Bir lieer deklem sistemideki herhagi bir dekleme diğer deklemleri lieer kombiasyolarıı eklemekle veya deklemlerde birisii sıfırda farklı bir skalerle çarpmakla elde edile yei lieer deklem orijial sisteme dektir (Bozkurt ve ark., 005). (3.) sistemi verilsi ve sistemi çözümü var olsu. Eğer A katsayılar matriside a 0 ise (eğer a 0 ise uygu bir satır değişikliğiyle a pozisyoua a sıfırda farklı bir elema getirilir.) sistemi ilk satırı ile çarpılıp ikici satıra, a a3 a ile çarpılıp üçücü satıra ve bu işleme bu şekilde devam ederek m a so satıra ekleirse elde ederiz. () a 0 ise ( eğer ax a x a x b () () () a x ax b () () () amx amx b m () a 0 ise uygu bir satır değişikliğiyle ile çarpılıp a (3.) () a pozisyoua sıfırda farklı bir elema getirilir.) sistemi ikici satırı a ile çarpılıp üçücü satıra, a () 3 () a ile çarpılıp dördücü satıra ve bu işleme bu şekilde devam ederek a () 4 () çarpılıp so satıra ekleirse () a m () a ile

a x a x a x b a x a x b () () () a x a x b () () () 33 3 3 3 a x a x b () () () m3 3 m m elde edilir. k elemiasyo sayısıı göstermek üzere a a a a k m i k m j k m a a ( k) ( k ) ( k) ik ( k) (0) ij ij ;,,, ;,, ;,, ; ( k ) kj ij ij akk seçmek suretiyle işleme A katsayılar matrisii satır idirgemiş forma getiree kadar devam edilir. Elde edile sistem, verile sisteme dek bir sistem olup burada çözüme gidilir (Bozkurt ve ark., 005). 3.5. Sirkülat Matrisler ve Özellikleri Taım 3.3. C c kare ij bir matris olmak üzere elemaları cij c0, ji c ji; j i k(mod ) şartıı sağlaya mertebeli C matrisie sirkülat matris deir ve şeklide gösterilir. Ayrıca açık olarak biçimidedir. C circ( c0, c, c,, c ) c c c c c c c c C c c c c 0 0 0 3 c c c c 3 0 mertebeli sirkülat bir matris elemalı bir vektör ile temsil edilir ve bu vektör, matrisi ilk satırıı oluşturur. Böylece takip ede satırlar öceki satırı so elemaıı başa alarak devam eder. Bir sirkülat matrisi esas köşegei üzerideki elemaları ile esas köşegee paralel ola doğrultu üzerideki elemaları ayıdır. olsu ve buu açık şekilde yazalım. C circ c c c c a ( 0,,,, ) ij

Yukarıdaki eşitlikte, ij i, j c0 c c c a a a3 a c c c c a a a a 0 3 C c c c0 c 3 a3 a3 a33 a 3 c c c c a a a a i,, j 3 0 3 a a ; i, j a a ; i i a a ; j a j a dir. Buu da aşağıdaki gibi geelleştirebiliriz.,,,, uzuluğuda bir devir olmak üzere a ; ij a( i), ( j) i, j (3.3) olur (Davis, 979; Gray, 00). Souç 3.. sağlamasıdır (Davis, 979). A ı sirkülat olması içi gerek ve yeter şart (3.3) ü Sirkülat matrislere örek verecek olursak a b c d a b c a b d a b c ; c a b ; b a c d a b b c a b c d a sırasıyla, 3 3 ve 4 4 mertebeli sirkülat matrislerdir. Teorem 3.7. A a kare ij bir matris olsu. O zama A 'ı sirkülat olması içi gerek ve yeter şart olmasıdır (Davis, 979). sağda Ġspat: ) A aij A A kare bir matris ve A A olsu. Eşitliği her iki yaıı ile çarparsak ( A ) A A A I ( ) ( )

3 olup, bu so eşitlikte elde ederiz. P, permütasyo matris olmak üzere A A (3.4) PAP bir permütasyo matris olduğuda P dir. O halde dir. (3.4) ve (3.5) eşitlikleride olur ki, Souç 3. ye göre A sirkülattır. A a ( i), ( j) a ( i), ( j) olup ayrıca, de (3.5) a a ij ( i), ( j) ) A - kare matrisi sirkülat olsu.,,..., uzuluğuda bir devir olmak üzere aij a ( i), ( j) (3.6) dir. (3.5) ifadeside olduğuu biliyoruz. (3.6) ve (3.7) de (3.7) A a ( i), ( j) elde ederiz. (3.8) eşitliğii sağda ile çarparsak A A ( A ) A elde ederiz ki, bu da ispatı tamamlar. A (3.8) A ( ) ( I) Souç 3.3. A ı sirkülat olması içi gerek ve yeter şart olmasıdır (Davis, 979). Ġspat: (3.4) de A A olup, her iki tarafı eşleik traspozesii aldığımızda A A ( A ) A A ( A ) A A I A A ( ) ( ) A ı sirkülat

4 olur bu da Teorem 3.7 gereği olsu. A sirkülattır. A ve B, iki sirkülat matris olsu. Yai; A ; (mod ) ij a0k ve Bij b0 k j i k veya ( AB) ij 0r rk r0 r0 a b ab r ( AB) Ave B 'yi A circ( a0, a, a ) ve B circ( b0, b, b ) biçimide gösterip k r 0k a, a, a 0 b, b, b 0 a b, a b a b 0 0 0 0 a b, a b,, a b 0 a b, a b,, a b 0 şeklide düzelersek, her sütuu toplamı bize AB i ilk satır elamalarıı verir. Yai; dir (Davis, 979). AB circ( a b a b, a b a b,, a b a b ) 0 0 0 0 0 Teorem 3.8. A ve B aşağıdaki özellikler mevcuttur: Yai; det A 0 kare sirkülat matrisler da bir skaler olmak üzere i) A B, A ve AB de sirkülat matrislerdir. ii) Ayı mertebeli iki sirkülat matrisi çarpımıı değişme özelliği vardır. AB BA'dır. iii) Eğer bir sirkülat matris tekil değilse, tersi de sirkülat matristir. Yai; iv) ise A mevcut ve sirkülat matristir. T A sirkülat matristir. v) Sirkülat matrisler ormal matrislerdir (Davis, 979). Ġspat:

5 toplarsak i) A ve B sirkülat ise A A ve B Bdir. Bu iki eşitliği taraf tarafa olur ki, A B toplam matrisi sirkülattır. A sirkülat ise A A tarafıı ile çarparsak, A B A B ( A B) ( A B) dır. da bir skaler olmak üzere, eşitliği her iki ( A ) ( A) ( A) ( A) elde edilir. Bu da, A matrisii sirkülat olmasıdır. Şimdi de AB i sirkülat olduğuu gösterelim. O halde ( AB) ( AB) olduğuu göstermek yeterlidir. A ve B sirkülat olsu. O halde A A dir. Eşitliği her iki tarafıı sağda B ile çarparsak olur ki, isteedir. ( A) B ( A) B A( B) ( AB) matris çarpımıı birleşme özelliği A( B) ( AB) Bsirkülat olduğuda ( AB) ( AB) ii) Sirkülat matris çarpımıda açıktır. iii-iv) İspat, Souç 3.3 de açıktır. v) Sirkülat matrislerde çarpmaı değişme özelliği olduğuda, açıktır. Bir sirkülat matrisi oluşturabilmek içi öcelikle temel sirkülat matrisi taımlamak gerekir. Taım 3.4. permütasyo matrisi ilk satırı (0,,0,,0) ola sirkülat matris ise e temel sirkülat matris deir. 3 3 temel sirkülat matrisi dir (Davis, 979). 0 0 0 0 0 0

6 0,,,, ola sirkülat matrisi oluşturmak içi İlk satırı c c c c katsayıları C i ilk satır elemaları ola p () z c c z c z... c z 0 poliomu taımlası. Bu durumda C p ( ) şeklidedir. Öreği 3 3 sirkülat matris oluşturmak içi poliomuu ele alalım. O halde elde edilir (Davis, 979). C p ( ) c I c c 0 0 0 0 0 0 0 c 0 0 0 c 0 0 c 0 0 0 0 0 0 0 0 c0 c c 0 c 0 0 0 c c c c 0 0 c c 0 0 0 c c c 0 c 0 0 0 c 0 c0 c c c c0 c c c c 0 p () z c0 cz cz Souç 3.4. İlk sütuu,,,, T c0 c c c ola sirkülat matrisi oluşturmak içi katsayıları T C 'i ilk sütu elemaları ola p () z c c z c z... c z 0 T T poliomu taımlası. Bu durumda C p ( ) şeklidedir (Davis, 979).

7 4. SAYISAL ĠġARET ĠġLEMEDE SĠRKÜLANT MATRĠSLER Bu bölüm tezi esas kısmıı oluşturmakta olup üç başlık altıda toplamıştır. 4.. Sayısal ĠĢaret ĠĢleme İşaret; zamala, uzayla veya diğer bağımsız değişke veya değişkelere bağlı olarak değişe herhagi bir fiziksel büyüklük olarak tarif edilir. Kouşma, radyo dalgaları işarete örek olarak verilebilir. Bir işaret üzerie, herhagi bir işlemi uygulaya fiziksel cihaz da sistem olarak taımlaır ve işaret bir sistemde geçirildiği zama bu işlem işaret işleme olarak adladırılır. İşaretleri işlemesi, elektrik mühedisliğii e öemli koularıda biridir. Çeşitli edelerde dolayı işaretler işlemektedir. Haberleşmede işareti gürültüde ayırmak, radar ve soar sistemleride hedefi belirlemek içi işaretler işleir. Ayrıca işaretler çeşitli uygulamalarda kullaılmak amacıyla da işleebilir. Televizyoda görütüleme, haberleşmede trasmisyo ve sayısal sistemleri kotrolüde kullamak içi işaretler işleir. Bilim ve mühedislikte karşılaşıla işaretler tabii olarak aalog formda ola işaretlerdir. Yai, işaretler zama ve uzay gibi sürekli bir değişkei foksiyolarıdır. Bular sürekli ola bir sahada (domai) değer alırlar. Böyle işaretler, direkt olarak karakteristiklerii değiştirmek veya bazı arzu edile özelliklerii çıkarıp değerledirmek gayesiyle filtreler, frekas aaliz cihazları, frekas çarpaları gibi uygu aalog sistemlerde işleme tabii tutulmaktadırlar. Bu durumda işareti direkt aalog formda işlediği söyleebilir. Şekil 4. de böyle bir sistem görülmektedir. ġekil 4.. Aalog işaret işleme Sayısal işaret işleme ise aalog işaretleri işlemesi içi alteratif bir yoldur. Böyle bir sistem Şekil 4. de gösterilmektedir. İşlemeyi sayısal olarak gerçekleştirmek içi aalog işaret ile sayısal işaret işleyici arasıda aalog-sayısal (A/D) kullaılır ve

8 işaretleri işleyebileceği bir hale getirir. Yapılmak istee işlemler yapıldıkta sora da sayısal-aalog döüştürücü (D/A) kullaarak tekrar aalog işaret elde edilir. ġekil 4. Bir sayısal işaret işlemei blok diyagramı İşaretleri, zamaa göre değişimleri dikkate alıarak sürekli-zamalı ve ayrıkzamalı işaretler olarak iki gruba ayırmak mümküdür. Biz bu tezde ayrık zamalı işaretleri ele alacağız. Ayrık zamalı işaret, bir dizi sayıda oluşur ve geellikle dizi, foksiyo vektör, grafik veya tablo şeklide gösterilir. Bir ayrık zamalı işareti grafik gösterimi Şekil 4.3 de gösterilmiştir. ġekil 4.3. Bir ayrık zamalı işareti grafik gösterimi Bir ayrık zamalı işaret, dizi olarak x ( ) 0,0,,,3, 4,0 şeklide gösterildiği gibi bu işareti vektörel olarak da x 0,0,,,3, 4,0 şeklide gösterebiliriz (Tolimieri ve ark., 997; Kayra ve Ekşioğlu, 00; Karaboğa, 995).

9 4.. Sirkülat Matrisleri Ayrık Fourier DöüĢüm (AFD) ile ĠliĢkisi Ayrık Fourier Döüşümü (AFD), ayrık zamalı işaret işleme algoritma ve sistemleri aalizi, tasarımı, gerçekleştirilmesi ile doğrusal filtreleme, korelasyo aalizi ve spektrum aalizi gibi işaret işleme uygulamalarıda öemli bir rol oyar. AFD i bu öeme sahip olmasıı ardıdaki temel ede AFD yi hesaplamakta kullaıla verimli algoritmaları varlığıdır (Oppeheim, 999; Proakis ve Maolakis, 007). Ayrık Fourier döüşümü (AFD), bir sayısal işareti zama bölgesideki karşılığıı eş değer frekas bölgesideki karşılığıa döüştürür. Ters AFD ise geri işlemi gerçekleştirerek işareti frekas bölgesideki karşılığıı zama bölgesideki karşılığıa döüştürür (Oppeheim, 999). Ayrık Fourier döüşüm matrisi, AFD yi alamamızda kolaylık sağlayacağıda, bu matrisi ve ou özelliklerii bilimesi yararlı olacağı düşücesiyle AFD de öce verilmiştir. 4... Ayrık Fourier döüģüm (AFD) matrisi bir tamsayı ve olmak üzere; i w e cos isi, i a) w b) ww c) d) w w w w w k k k e) w w w 0 eşitlikleri vardır. Gerçekte i i a) w ( e ) e b) (c) yi gösterirsek eşitlik kolayca görülür. c)

0 d) e) i i w ( e ) ( e ) cos( ) isi( ) cos( ) isi( ) w i k ( ) i k k k k w ( e ) e cos( ) isi( ) k i k k ( ) i k cos( ) isi( ) e ( e ) w k w w w w 0 w w elde edilir (Davis, 979). olmak üzere Taım 4.. ici mertebede ayrık Fourier döüşüm matrisi w w w ( j)( k) 4 ( ) W w w w w ( ) ( ) ( )( ) w w w F W w ( ( j)( k) ) ola F matrisie ayrık Fourier döüşüm matrisi deir (Davis, 979). dir. Fve F matrislerii taımda simetrik oldukları açık olup T F F, F ( F ) F, F F T Ayrık Fourier döüşüm matrisii e temel özelliği üiter olmasıdır. Şimdi Davis i aşağıdaki teoremii verelim. Teorem 4.. F matrisi üiterdir. Yai, dır (Davis, 979). F F FF I veya F F (4.) -

Ġspat: elde ederiz. Burada j ( F F) jk ( F ) jr ( F) rk r k içi r r r r0 ( j)( r) ( r)( k ) ( w ) ( w ) ( j)( r) ( r)( k ) ( w )( w ) ( r)( j k ) ( w ) w r( jk ) j k içi r( jk ) 0 w w r0 r0 r0 olur. O halde olur ki, bu da jk jk r( jk ) ( w ) ( w ) w jk jk jk r0 w w w FF olduğuu da gösterilebiliriz. ( ) ( ) ( ) 0, j kise ( FF) jk 0, j kise 'ı birim matris olmasıda başka bir şey değildir. Bezer şekilde; FF I Teorem 4.. dır (Davis, 979; Kayra ve Ekşioğlu, 00). Ġspat: (4.) de FF I WW W W I olduğuda olur. Bezer şekilde WW I WW I W W I olduğu da kolayca görülebilir.

4... Ayrık Fourier döüģümü (AFD) Taım 4.. x, bileşeli bir vektör olmak üzere (AFD) ve ters AFD eşitlikleri şu şekilde yazılır. ve j0 ijk x'i ayrık Fourier döüşümü X k x je, k 0,,, (4.) ijk x j X ke, j 0,,, (4.3) k0 şeklide yazılır. i w e olduğu dikkate alıırsa (4.) ve (4.3) döüşüm ikilisi, jk X k x jw, k 0,,, (4.4) j0 ve jk x j X kw, j 0,,, (4.5) k0 olarak da yazılabilir. Burada hesaplaa tae X k değeri, x j vektörüü oktalı AFD si olarak adladırılır. adladırılır. x j ise X k vektörüü oktalı ters AFD si olarak AFD yardımıyla sıırlı ve ayrık işaret içi sıırlı ve ayrık bir frekas gösterimi elde edilmektedir (Kayra ve Ekşioğlu, 00). Not 4.. Literatürde baze X k 'ı egatif üstel foksiyo ve bua karşılık gele x 'i de pozitif üstel foksiyo yardımıyla taımladığı görülmektedir. j terimi yie deklemlerde herhagi biriyle kullaılabilir (Kayra ve Ekşioğlu, 00). 4..3. Matris formuda AFD ve ters AFD gösterilimi bileşeli x vektörüü AFD sii (4.4) de jk X x w, k 0,,, k j0 bağıtısıyla buluabileceğii biliyoruz. Yukarıdaki eşitliği matris formu j

3 X0 x0 ( ) X w x w w 4 ( ) X w w w x ( ) ( ) X ( ) w w w x biçimidedir. (4.6) ifadesi, AFD i matris gösterimi olup Taım 4. de X (4.6) W x (4.7) şeklide sembolize edebiliriz. (4.7) ve Teorem 4. de ters AFD i matris gösterimi biçimidedir. W ve W matrisii elemaları, sayıda oluşa x W X, w, w,, w ' i özellikleride faydalaarak farklı w k kümesi yardımıyla basitleştirilebilir. Burada w, ( k 0,,, ) dizisii elemaları, z 0 deklemii kökleridir. Öreği, 4 içi W matrisii elemaları,, i, i kümesii elemalarıda oluşur. Gerçekte W 4 z 0 deklemii kökleri ola 3 3 w w w w w w 4 4 6 0 w w w w w w 3 6 9 3 w w w w w w i i i i olup bu kolayca görülebilir (Kayra ve Ekşioğlu, 00). 4..4. Hızlı Fourier döüģümü Ayrık Fourier döüşümüü (AFD) doğruda hesaplamasıda her bir X k değeri içi karmaşık çarpma ve karmaşık toplama işlemi kullaılmaktadır. Bu

4 edele adet AFD değeri buluurke, çarpma ve ( ) toplama işlemi gereklidir. Ayrıca, her karmaşık çarpma işlemi dört gerçel çarpma ve iki gerçel toplama işlemi ve her bir karmaşık toplama, iki gerçel toplama işlemi ile gerçekleşmektedir. Souç olarak, işareti boyutu ola ' i büyük olması durumuda AFD i doğruda hesaplaması çok fazla miktarda işlem gerektirmektedir. Yai, sayısı artarke gereke işlem sayısı yüksek hızla artmaktadır. AFD hesaplamasıda etki ve bugü kullaıla yaklaşım, hızlı Fourier döüşümü (HFD) algoritmalarıdır. HFD terimi baze karışıklıklara ede olmaktadır. Her e kadar döüşüm olarak adladırılsa da, hızlı Fourier döüşümü (HFD) ayrık Fourier döüşümü (AFD) de farklı değildir. HFD, AFD hesaplaması içi etkili, ekoomik bir algoritmadır (Kayra ve Ekşioğlu, 00; Cooley ve Tukey, 965; Kut, 987). AFD i sayısal işaret işleme alaıda spektrum aalizi, kovolüsyo ve korelasyo gibi işlemleri gerçekleşmeside öemli rol oyamasıı öemli bir sebebi HFD algoritmalarıdır. Geel olarak HFD ile ilgili birçok algoritma olmasıa karşı koumuzu bütülüğü açısıda biz burada HFD yi matris formuda iceleyeceğiz. 4..5. Matris gösterimi yardımıyla HFD AFD içi matris gösterimi, (4.6) ve (4.7) ifadeleriyle verilmişti. Hızlı Fourier döüşümü ile sağlamak istee, bu matris çarpımıı daha az sayıda işlem uygulayarak gerçekleştirebilmektir. Buu yapmaı yolu ise, (4.7) deki içere matrisleri çarpımı şeklide ayrıştırılması olacaktır. terimlerii özelliği sayeside bu mümkü olmaktadır. W matrisii, bol sıfırlar W 'ı oluştura m 'i 'i bir kuvveti olduğu ( ) varsayımı altıda, tabalı bir HFD algoritması geliştirilecektir. HFD yi gerçekleyecek matris ayrıştırması içi izleecek yol, W matrisii W / matrisiyle ilişkiledirilmesi olacaktır. Örek olarak 4 durumuu ele alalım. 4 içi olmaktadır. W 0 0 w w w 0 w 0 0 W 0 0 w w w 0 0 w 3 4 ve 4 6 w w w 0 W 3 6 9 W 4 matrisii jk w

5 W 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 w w 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 w 0 0 w 0 0 0 şeklide ayrıştırmak mümküdür. E sağdaki matris bir permütasyo matrisidir. Çift ve tek idisli vektör elemalarıı birbiride ayırmaktadır. Ortadaki matris iki tae oktalı AFD işlemi gerçekleştirmektedir. W 4 içi sağlaa bu ayrıştırma, çarpımda yer ala matrisleri bol sıfırlı olmasıda dolayı matris çarpımıda işlem sayısıda bir azalma getirmektedir. 4 içi geliştirile bu ayrıştırma geel bir içi W I W 0 çift-tek idis ayrıştırması / / / I/ / 0 W / şeklide yapılabilir. Burada ( k 0,,,, ) olmak üzere I k birim matrisi, köşege elemaları k (,,,, ) Ekşioğlu, 00; Strag, 998). k ise w w w ola köşege matrisi göstermektedir (Kayra ve Tablo 4.. AFD içi Doğruda Hesaplama ve HFD Algoritmasıı Gerektirdiği Çarpma İşlemleri Adım Sayısı Nokta Sayısı HFD Çarpma Sayısı AFD i Doğruda Hesaplamasıdaki Çarpma Sayısı Ora l l log 4 8 0 6 56 04 64 048 040 4 56 65536 048576 l 4 3 0,4 4..6. AFD ile HFD i karģılaģtırılması (4.4) bağıtısı ile verile AFD i hesaplamasıda karmaşık çarpım ve ( ) karmaşık toplama gereklidir. Oysa HFD yardımıyla l oktada oluşa bir dizii ayrık Fourier döüşümüü hesabıda l / karmaşık çarpma ve l karmaşık toplama işlemi yeterlidir. Adım sayısı l log yazılırsa, işlem yoğuluğu açısıda

6 AFD ile HFD i karşılaştırılması Tablo 4. de gösterildiği gibidir. Tablo icelediğide 0 04 oktalı AFD içi yüz katı üzeride bir kazaç sağlamaktadır. Başka bir deyişle, 04 içi HFD döüşüm algoritmasıı gerektirdiği çarpım sayısı doğruda yötemi yüzde biride daha azdır (Kayra ve Ekşioğlu, 00). Bir vektörü AFD si HFD yardımıyla MATLAB da fft komutuyla hesaplaır. Öreği x (,0,,) vektörüü AFD si X olmak üzere MATLAB da Şekil 4.4 deki gibi hesaplaır. ġekil 4.4. Bir vektörü AFD sii MATLAB da hesaplaması 4..7. AFD matrisi ile sirkülat matrisleri köģegeleģtirilmesi Sirkülat matrisleri AFD matrisi ile köşegeleştirmede, temel sirkülat matrisi köşegeleştirmeside yararlaacağız. Taım 4.3. bir tamsayı, i/ w e i cos( / ) si( / ), i

7 ve olsu. Bu durumda dır (Davis, 979). diag w w w (,,,, ) k k k ( ) k diag(, w, w,, w ) Teorem 4.3. dir (Davis, 979). Teorem 4.3 de F C circ p p F F ( ) ( ) F p ( ) F ( (), ( ),, ( F diag p p w p w )) F olup, biz sirkülat matrisler içi aşağıdaki temel teoreme ulaşmış oluruz. F Teorem 4.4. C bir sirkülat matris ise, bu matris bir AFD matrisi ile köşegeleştirilebilir. Daha açık olarak, C diag( p (), p ( w),, p ( w )) olmak üzere dir (Davis, 979). C F F (4.8) Souç 4.. dir (Davis, 979). Ġspat: Teorem 4.3 de açıktır. T F F (4.9) Souç 4.. C bir sirkülat matris olmak üzere dir (Davis 979). Ġspat: (4.9) da C Fdiag p p w p w F T ( (), ( ),, ( )) (4.0)

8 T T C circ p( ) p( FF ) Fp ( ) F Fdiag( p (), p ( w),, p ( w )) F olur ki, isteedir. 4..8. Sirkülat matrisi öz değerlerii HFD yardımıyla hesaplaması Bu kısımda, C sirkülat matrisii öz değerlerii, bu sirkülat matrisi sadece ilk satır elemalarıı kullaarak, HFD yardımıyla buluabileceği gösterilecektir. (4.8) de C I = F F I F F F F = F ( ) I F F I F I F F I F F I I I elde ederiz ki, C ve ayı karakteristik polioma sahiptir. O halde bu iki matrisi öz değerleri de ayıdır., esas köşege üzerideki elemaları köşege bir matris olduğuda bu değerler ayı zamada halde p p w p w p w (), ( ), ( ),, ( ) p (), p ( w), 3 p ( w ),, p ( w ) ola 'ı öz değerleridir. O dir. Buu da geelleştirecek olursak C sirkülat matrisii öz değerleri j,,, olmak üzere dir. olmak üzere j j p ( w ) (4.) diag(,,, )

9 olsu. (4.) de c0 c T L ; c p () c c c 0 p ( w) c c w c w 0 p ( w ) c c w c w yazabiliriz. Bu deklem sistemii matris formu ( )( ) 0 şeklidedir. Burada c0 w w c w w c ( )( ) L T F elde ederiz. Ayrıca yukarıdaki eşitlikte dir. AFD matrisii taımıda eşitliklerde ve T F L FL W eşitliğii kullaarak yukarıdaki T W (4.) T WL elde edilir. Sirkülat matrisi ilk sütuu içi de bezer şeyler yapılabilir (Davis, 979). Böylece bir sirkülat matrisi öz değerleri, bu sirkülat matrisi ilk satırıı veya sütuuu AFD side oluşur. Souç olarak bir sirkülat matrisi ilk satırı veya sütuu da bu sirkülat matrisi öz değerlerii ters AFD side oluşur. Bu da HFD ile hızlı bir şekilde hesaplaır. Örek 4..

30 3 3 C 3 3 4 4 sirkülat matrisii öz değerlerii AFD yardımıyla MATLAB da hesaplayalım. Çözüm: c vektörü, C matrisii ilk satırı ve L vektörü de, bu matrisi öz değerleri olsu. (4.) eşitliğide faydalaarak işlem MATLAB da Şekil 4.5 deki gibi yapılır. ġekil 4.5. Örek 4. i MATLAB da çözümü Teorem 4.5. A, bir sirkülat matris olsu. Eğer ise A'ı tersi olmak üzere dir (Davis, 979). A F F diag, (,,, ) diag(,,, ) A F F (4.3)

3 4..9. Sirkülat matrisi öz vektörlerii AFD matrisiyle iliģkisi C, bir sirkülat matris olsu. Bu matrisi öz vektörleri F veya F 'ı sütu vektörleridir. Yai X j, C sirkülat matrisii öz vektörleri olmak üzere dir. Öreği C, (, j, ( j), ( )( j) ) T X j w w w c0 c c C= c c0 c c c c 0 şeklide bir sirkülat matris olsu ve 3 3 tipide bir kümesi olup X, X w, X 3 w 3 3 3 w w CX c0 c c c0 c c c c c c c c 3 3 c c c c c c 0 0 0 0 (c c c ) p () X X 3 0 olur ki X, C 'i öz bir vektörüdür. c0 c c c0 cwcw CX c c0 c w c c0w cw 3 3 c c c 0 w c cw c0w dir. X vektörü de (c c w c w ) w p ( w) X X 0 3 w C 'i bir öz vektörüdür. Bezer şekilde, F matrisii sütu vektörler

3 olup, bu da c0 c c c0 cw cw CX 3 c c0 c w c c0 c 3 3 w w c c c 0 w c cw c0w (c0 cw c w) w p ( w ) X 3 3 X 3 3 w X 'ü 3 de C 'i öz vektörü olduğu görülmüş olur (Easto, 00). Souç 4.3. Ayı mertebeli bütü sirkülat matrisleri öz vektörleri ayıdır.(easto, 00). 4..0. Sirkülat matris katsayılı lieer deklem sistemlerii HFD yardımıyla çözümü C, bir sirkülat matris olmak üzere lieer deklem sistemi verilmiş olsu. Teorem 4.4 de C bir sirkülat matris ise Cx b C F diag(,,, ) F dir. C ayı zamada tekil de değilse Teorem 4.5 de dir. O halde Cx ifadeside olur (Che, 985). C F diag(,,, ) F b lieer deklem sistemii çözümü C 'i eşitii yazarsak Bir vektörü x C b x F diag(,,, ) Fb (4.4) F veya F matrisi ile çarpmak, o vektörü AFD si ile ilişkili olduğuda bu da HFD yardımıyla hızlı bir şekilde hesaplaabilir. C ' i öz değerleri C 'i ilk satırıı veya sütuuu AFD si olduğuda HFD yardımıyla hesaplarız. Bu algoritmayı aşağıdaki gibi verebiliriz: Algoritma 4.. CIRS(CIRculat Solver) 985 yılıda Che tarafıda öerile bu algoritma sirkülat matris katsayılı lieer deklem sistemlerii çözer.

33. Adım b Fb, HFD ile hesaplaır.. Adım C 'i öz değerleri HFD ile hesaplaır. 3. Adım 4. Adım b diag(,,, ) b hesaplaır. x F b HFD yardımıyla buluur. Örek 4.. x x x 3x 5 3 4 3x x x x 0 3 4 x 3x x x 0 3 4 x x 3x x 5 3 4 sirkülat matris katsayılı lieer deklem sistemii yukarıdaki algoritmayı kullaarak çözüüz. Çözüm: Bu lieer deklem sistemii matris formu şeklide olup c, 3 x 5 3 x 0 3 x 3 0 3 x4 5 C 'i birici satırıı traspozesi olmak üzere 5 0 c ve b 0 3 5 dir. (4.4) de lieer deklem sistemii çözümü x F diag(,,, ) Fb olup, şimdi algoritmayı uygulayalım.. Adım b Fb Wb ( Wb) eşitliğideki so ifade b vektörüü ters AFD sii yardımıyla hızlı bir şekilde hesaplaabilir. O zama ile çarpımı olduğuda HFD

34 buluur.. Adım L, 3. Adım 5,5,5i b 0,5,5i C 'i öz değerleri olmak üzere L 5 i 5 i W c 4. Adım b diag(,,, ) b 0, 0 0 0 5 0 0, 4 0, i 0 0,5,5i 0 0 0, 0 0 0 0 0 0, 4 0, i,5,5i 0,5,5i 0 0,5,5i ( ) x F b W b W b eşitliğideki so ifade b vektörüü AFD sii yardımıyla hızlı bir şekilde hesaplayabiliriz. O halde x 0 ile çarpımı olduğuda HFD buluur. Şimdi çözümü doğruluğuu görmek içi MATLAB da matris yötemii kullaalım. Lieer deklem sistemimizi matris formu şeklide olup, çözüm Cx x b C b

35 olacağıda, buu MATLAB da x iv( C) b komutuyla hesaplarız. Gerçekte C 0, 0, 0, 0 0 0, 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0 0, dir. O halde x C b 0 şeklide yie ayı souca ulaşırız. 4.3. Lieer ve Dairesel Kovolüsyoda Sirkülat Matrisler Lieer ve dairesel kovolüsyo sayısal işaret işlemede çok sık kullaıla hesaplamalarda biridir. Bir lieer kovolüsyou hesaplarke verile işaret vektörlerii soua gerektiği kadar sıfır ekleyerek dairesel kovolüsyoa döüştürülür ve kovolüsyo teoremide kullaılır. 4.3.. Lieer kovolüsyo Taım 4.4. h ve g sırasıyla m ve bileşeli vektörler olsu. h ve g 'i lieer kovolüsyou s, l m k k kr r r0 bileşeli bir vektör olmak üzere s h g, 0 k l dir. Burada p m ise h 0 ve r ise g 0 dır (Tolimieri ve ark., 997). p r olmak üzere Örek 4.3. bileşeli h ve 3 bileşeli g vektörüü lieer kovolüsyou s

36 dir. s s s s hg 0 0 0 h g 0 0 h g 0 hg 3 h g h g Örek 4.4. 3 bileşeli h ve 4 bileşeli g vektörüü lieer kovolüsyou s olsu. O zama s s s s s s hg 0 0 0 h g 0 0 0 0 3 0 3 4 3 5 3 h g h g h g h g h g h g h g h g hg h g dir. Bu lieer kovolüsyou matris gösterimi h0 0 0 0 h h0 0 0 h h h0 0 s g 0 h h h0 0 0 h h 0 0 0 h şeklidedir. h ve g vektörlerii bileşeleri sırasıyla m ve olmak üzere buları lieer kovolüsyoua s dersek, geel olarak s Hg yazabiliriz. Burada H matrisi h0 0 0 0 h h0 0 0 h 0 H hm h0 0 hm h 0 0 0 0 0 h m şeklidedir (Tolimieri ve ark., 997).

37 4.3.. Dairesel kovolüsyo Taım 4.5. a ve b, bileşeli iki vektör olsu. a ve b ' i dairesel kovolüsyou a b şeklide gösterilir. Taım 4.6. c, a ve b 'i dairesel kovolüsyou olmak üzere c a b 0 r k kr r r0 dir. Burada alt idisler mod 'e göre yazılır. Formülde alaşılacağı üzere bileşeli iki vektörü dairesel kovolüsyou yie bileşelidir. üzere Örek 4.5. 3 bileşeli a ve b vektörlerii dairesel kovolüsyoları c olmak c a b a b a b 0 0 0 c a b a b a b 0 0 c a b a b a b 0 0 olup a a ve a aolduğua dikkat çekilmelidir. Yukarıdaki öreği matris formda şeklide yazabiliriz. Burada C matrisi c Cb a0 a a C a a0 a a a a 0 biçimide olup 3 3 tipide bir sirkülat matristir (Tolimieri ve ark., 997). 4.3.3. Dairesel kovolüsyou matris gösterimi a ve b, bileşeli iki vektör olsu ( a ( a0, a,, a ) ). a0 a a a a a0 a a C( a) a a a0 a 3 a a a3 a 0

38 olmak üzere a ve b vektörlerii dairesel kovülasyou şeklidedir. Burada (Tolimieri ve ark., 997). ab C( a) b (4.5) Ca ( )'ı bir sirkülat matris olduğua dikkat çekilmelidir Örek 4.6. a (,3,5,7) ve b (,4,6,8) vektörleri verilsi. a ve b vektörlerii dairesel kovolüsyou a b C( a) b 7 5 3 3 7 5 4 5 3 7 6 7 5 3 8 7 4 56 38 84 3 4 76 58 9 5 34 6 78 84 7 5 4 36 8 60 olarak elde edilir (Poorachadra ve Sasikala, 00). Şimdi bileşe sayıları ayı olmaya iki vektörü lieer ve dairesel kovolüsyouu asıl hesaplaacağıı gösterelim. a ve b bileşe sayıları farklı (bir a içi sırasıyla 3 ve 4 bileşeli olsu) iki vektör olsu. Bu iki vektörü lieer kovolüsyou 3 4 6 bileşeli olup a vektörüü soua 3 ve b vektörüü soua tae sıfır bileşei ekleerek bileşe sayıları eşitleir ve daha sora dairesel kovolüsyoları alıarak bu iki vektörü lieer kovolüsyolarıı hesaplayabiliriz. Örek 4.7. h ( h0, h, h ) ve g ( g0, g, g, g3) vektörleri sırasıyla 3 ve 4 bileşeli iki vektör olsu.. Bu iki vektörü lieer kovolüsyou 3 4 6 bileşeli olup h vektörüü soua 3 ve g vektörüü soua tae sıfır bileşei ekleyip daha sora vektörleri dairesel kovolüsyolarıı alalım. O halde h ve kovolüsyou s olmak üzere g 'i lieer

39 s0 h0 0 0 0 h h g0 s h h0 0 0 0 h g s 3 h h h0 0 0 0g s s4 0 h h h0 0 0 g3 s 0 0 h h h 0 0 5 0 s5 0 0 0 h h h0 0 hg 0 0 h g0 h0 g h g0 h g h0 g h g h g h0 g3 h g h g 3 hg 3 dir. Dikkat edilecek olursa yukarıdaki 6 6 matris bir sirkülat matristir. verelim. Şimdi verile iki işareti farklı boyuttaki dairesel kovolüsyouu bir örekle Örek 4.8. a,,, ve,, b sırasıyla 4 ve 3 bileşeli iki vektör olsu. Bu iki vektörü 8 bileşeli dairesel kovolüsyouu hesaplayıız. Çözüm: İki vektörü 8 bileşeli dairesel kovolüsyou istediğide a vektörüe 4 ve b ' ye 5 tae sıfır bileşei ekleir. Yai, ve a b,,,,0,0,0,0,,,0,0,0,0,0 olur. Bu iki vektörü dairesel kovolüsyoua c dersek c0 0 0 0 0 0 c 0 0 0 0 0 c 0 0 0 0 0 c3 0 0 0 0 0 c c 4 0 0 0 0 0 0 c5 0 0 0 0 0 0 c 0 0 0 0 0 0 6 c7 0 0 0 0 0 0

40 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00000000 0 00000000 0 buluur. Böylece a ve b vektörlerii 8 oktalı dairesel kovolüsyou vektörüdür. Bu vektör c c biçimide de yazılabilir (Chitode, 009).,,3,3,,,0,0,,3,3,, Teorem 4.6. (Kovolüsyo Teoremi) İki vektörü zama bölgesideki dairesel kovolüsyou, frekas bölgeside çarpıma döüşmektedir. Yai; a ve b, bileşeli iki vektör ve ( a ) ile sırasıyla a ve b i Fourier döüşümleri olmak üzere dır (Hut, 97). Ġspat: (4.5) ve (4.7) de ( b ) de ( ab) ( a) ( b) (4.6) ( ab) ( C( a) b) W ( C( a) b) dir. (4.0) da C( a) Fdiag ( p (), p ( w),, p ( w )) F olup ( )'ı Ca bu değerii yukarıda yerie yazarsak elde edilir. ( ) ( ( (), ( ),, ( )) ) a b W Fdiag p p w p w F b ( F F)( diag( p (), p ( w),, p ( w )) W ) b diag( p (), p ( w),, p ( w ) W b

4 b0 ( ) w b w w 4 ( ) W b w w w b ( ) ( ) ( ) w w w b b b b b b b w b w b w b b w b w b w 0 ( ) b0 b w bw b w 4 ( ) 0 ( ) ( ) ( )( ) 0 j0 j0 j0 j0 j j b j j bw bw bw j j j( ) olup, Wb'ibu değerii yukarıdaki so eşitlikte yerie yazarsak bj p () bj j0 j0 j bjw p ( w) bjw j0 j0 ( a b) diag( p (), p ( w),, p ( w ) elde edilir. Burada yazabiliriz. olup j0 j j bjw p ( w ) bjw j0 j0 j( ) j( ) bjw p ( w ) bjw j0 j0 k jk ( a b) p ( w ) b w k 0,,, j p ( w ) a a w a w a w k k k ( ) k 0 aw j j0 jk jk j j0 j0 ( a b) a w b w ( a) ( b) j jk j

4 olur ki, isteedir. 4.3.4. Dairesel kovolüsyou hesaplamasıda AFD ve ters AFD metodu Biz iki vektörü dairesel kovolüsyouu hesaplamak içi AFD ve ters AFD metoduu kullaabiliriz. Teorem 4.6 da zama bölgesideki dairesel kovolüsyo frekas bölgeside şeklideki direkt çarpıma dektir. AFD ab ( a) ( b) Frekas bölgeside herbir sayısal işaret çarpılır ve çıka soucu ters AFD si alıır. Bu da verile dizileri dairesel kovolüsyoudur. Bu işlem, MATLAB da 4 adımda aşağıdaki gibi yapılır. a ve b i dairesel kovolüsyou c olsu. ( a) ve ( b ), sırasıyla a ve b i AFD leri olsu. c aşağıdaki gibi hesaplaabilir.. Adım a'ı AFD si ( a ) hesaplaır.. Adım b'i AFD si () b hesaplaır. 3. Adım ( c) ( a) ( b) hesaplaır. 4. Adım ( c)'i ters AFD si c buluur (Poorachadra ve Sasikala, 00). Örek 4.9. Örek 4.8 i AFD-ters AFD metoduyla çözüüz. Çözüm:. Adım a'ı AFD si. Adım b'i AFD si 4, 44i 0 0, 44i ( a) 0 0, 44i 0, 44i

43 3. Adım 4. Adım ( c)'i ters AFD si buluur (Chitode, 009). 3, 707.707i i 0, 93 0, 93i ( b) 0, 93 0, 93i i,707,707i, 44 5,88i 0 0, 44 0,76i ( c) ( a) ( b) 0 0, 44 0,76i 0, 44 5,88i c ab,,3,3,,,0,0 4.3.5. Sirkülat matris katsayılı lieer deklem sistemlerii çözümü içi dairesel kovülasyo metodu Sirkülat matris katsayılı lieer deklem sistemleri ayrık Fourier döüşümü kullaılarak hızlı bir şekilde çözülebilir. Biz burada dairesel kovolüsyoda yararlaacağız. C, kare bir sirkülat matris olmak üzere Cx b matris deklemi verilsi. c, C sirkülat matrisii birici sütuu olmak üzere, biz yukarıdaki matris deklemii dairesel kovolüsyo olarak cx b şeklide yazabiliriz. Ayrık Fourier döüşümü kullaılarak zama bölgesideki iki vektörü dairesel kovolüsyou, frekas bölgeside direkt çarpıma döüşmekteydi. O halde kovolüsyo teoremide

44 yazabiliriz. Burada ( c x) ( c) ( x) ( b) () b v x () c v v (4.7) şeklide buluur. Bu algoritma, hızlı Fourier döüşümü kullaıldığıda lieer deklem sistemii çözmede Gauss elemiasyo metoduda çok daha hızlıdır (MobileReferece, 007). dir. Burada Örek 4.0. Örek 4. yi dairesel kovolüsyo metoduyla çözüüz. Çözüm: (4.7) de lieer deklem sistemii çözümü () b v x () c v v 5 x 3 0 x c, b, x 0 x3 5 x 4 dir. O zama b ve c vektörlerii AFD sii HFD ile hızlı bir şekilde hesaplayabiliriz. 0 5 5i ( b) 0 5 5i ve 5 i () c 5 i dir. ( ( b)) v ( ) ( ( c)) v v 3i 0 3i olup so ifadei ters AFD sii HFD ile hesaplarsak

45 buluur. x ( b) v () c 0 v v Örek 4.. x x x 3 x x x 3 3 x x x 3 lieer deklem sistemii dairesel kovolüsyo metodu ile çözüüz. Çözüm: Bu lieer deklem sistemii matris formu x x 3 x 3 şeklide olup lieer deklem sistemii çözümü (4.7) de () b v x () c v dir. Burada c, b 3 olup b ve c vektörlerii AFD sii HFD yardımıyla hesaplayalım. v ve dir. 0 ( b) 3 3,464i 3 3, 464i ( c) 0,5,598i 0,5,598i

46 0 ( ( b)) v ( ) v,5 0,8660 ( ( c)) v,5 0,8660 olur. O halde so ifadei ters AFD si yie HFD ile hesaplaırsa buluur. x ( ( b)) v 0 ( ( c)) v v Şimdi çözümü doğruluğuu görmek içi MATLAB da matris yötemii kullaalım. Lieer deklem sistemimizi matris formu şeklide olup dir. olup C Cx x b C b 0, 43 0, 074 0,357 0,357 0, 43 0, 074 0, 074 0,357 0, 43 şeklide yie ayı soucu buluruz. x C b 0

47 5. SONUÇLAR VE ÖNERĠLER 5.. Souçlar Yüksek lisas tezi olarak yapıla bu çalışma, derleme bir çalışmadır. Bu çalışmada Ayrık Fourier döüşüm (AFD) matrisi ve dairesel kovolüsyou sirkülat matrislerle ola ilişkisi icelemiştir. Daha sora sirkülat matris katsayılı lieer deklem sistemleri çözümü içi HFD metodu ile dairesel kovolüsyo metodu verilmiştir. Ayrıca bir sirkülat matrisi öz değerleri sadece bu sirkülat matrisi bir satır veya sütuu HFD si olduğu ve ayı mertebeli bütü sirkülat matrisleri öz vektörleri AFD matisii satır veya sütu vektörleri olduğu gösterilmiştir. Souç olarak sirkülat matrisleri AFD matrisi yardımıyla köşegeleştirilmesi, öz değerleri ve öz vektörlerii buluması, ayrıca HFD i hesaplaması AFD matrisiyle olması sebebiyle sirkülat matrisli sayısal işaret işleme uygulamalarıda zamada tasarruf sağlamaktadır. 5.. Öeriler Sirkülat matrisler, sayısal işaret işlemede uygulama alaı ola özel bir matris çeşididir. Matrisleri çarpımı, kuvveti, kökü, tersleri gibi işlemler bu uygulamaları kaçıılmaz işlemleridir. Yukarıda bahsi geçe işlemler, matrisleri köşegeleştirilmesie dayamaktadır ve hesaplamalarda oldukça kolaylık sağlamaktadır. Sirkülat matrisleri köşegeleştirilmesi işlemii AFD matrisi yardımıyla olduğu bu çalışmada görüldü. HFD, AFD matris tabalı bir algoritma olduğuda bütü bu alattıklarımızı sirkülat matrislere uyarlayacak olursak tae farklı sirkülat matrisi çarpımı Bir sirkülat matrisi Bir sirkülat matrisi Sirkülat matrisleri tersleri k ıcı kuvveti k ıcı kökü HFD yardımıyla hızlı bir şekilde hesaplaabilir.

48 6. KAYNAKLAR Bozkurt, D., Türe, B., ve Solak, S., 005, Lieer Cebir, Dizgi Ofset Matbaacılık, Koya Che, M., 985, O the Solutio of Circulat Liear Systems, Research Report YALEU, New Have, -3 Chitode, J. S., 009, Digital Sigal Processig, Third revised editio, Techiica Publicatios Pue, Cheai, 58-64 Cooley, J. W. ad Tukey, J. W., 965, A Algorithm for the machie calculatio of complex Fourier series, Math. Comput., 97-30 Davis, P. J., 979, Circulat Matrices, Wiley-Itersciece, New York Dog, C., 009, The Nosigularity o the Symetric r-circulat Matrices, It. Cof. o Comp. ad Commu. Security-ICCCS 009, Hok Kog, 40-43 Easto, R. L., 00, Fourier Methods i Imagig, Joh Wiley&Sos, Rochester NY, USA Gray, R. M.,00, Toeplitz ad circulat matrices,staford uiversity, Now, Staford, Califoria Hut, B. R., 97, A Matrix Proof of the Discrete Covolutio Theorem, IEEE Trasactios o Audio ad Electroacoustics, Vol. AU-9, No. 4, 85-88 Karaboğa N., 995, Sayısal Filtre Katsayılarıı Geetik Algoritma Kullaılarak Yuvarlatılması, Doktora Tezi, Erciyes Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü, Kayseri, -7 Karer, H., Scheid, J., ad Ueberhuber, C., W., 003, Spectral Decompositio of Real Circulat Matrices, Liear Algebra ad Its Applicatios, 367, 30-3 Kayra, A. H. ve Ekşioğlu, E. M., 00, Bilgisayar Uygulamalarıyla Sayısal İşaret İşleme, Birse Yayıevi, İstabul Kut, M., 987, Digital Sigal Processig, Artech Hous Li, H., Liu, X. ad Wag, P., 009, A Improved Fast Algorithm for the K-th Root of Permutatio Factor Circulat Matrices, ISECS It. Colloquium o Comp. Commu. Cot. Maagemet-CCCM 009, Saya, 36-39 Liu, H., ad Liu, X., 009, The Nosigularity o the r-circulat Matrices, ISECS It. Colloquium o Comp. Commu. Cot. Maagemet-CCCM 009, 34-37 Liu, X., ad Wei, P., 009, A Fast algorithm fort he productio of Permutatio Factor Circulat Matrices, Asia-Pacific Cof. O Iformatio Processig-APCIP 009, Shezhe, 367-37

49 MobileReferece, 007, Liear Algebra Study Guide, MobileReferece.com, Bosto Oppeheim A. V., Schafer, R.W., 999, Discrete-Time Sigal Processig, d Ed., Pretice-Hall, Ic., Upper Saddle River, NJ Pollock, D., S., G., 00, Circulat Matrices ad Time-SeriesvAalysis, It. J. Math. Educ. Sci. Techol., 33(), 3-30 Poorachadra, S. ad Sasikala, B., 00, Digital Sigal Processig, 3e, Tata Mcraw Hill, Cheai Strag, G., Itroductio to Liear Algebra, Wellesley-Cambridge Press, Wellesley, 495-500 Taşcı, D., 005, Lieer Cebir, Gazi Kitapevi, Akara Teixeira, M., ad Rodriguez, D., 994, A ew method mathematically liks fast Fourier trasform algorithms with fast cyclic covolutio algorithms, Proceedigs of the 37th Midwest Symposium o Circuits ad Systems, Lafayette-LA, USA,, 89-833 Tolimieri, R., A, M. ad Lu, C., 997, Algorithms for Discrete Fourier Trasform ad Covulatio, secod editio, Spriger- Verlag, New York, 00-0 Tsitsas, N. L., Alivizatos, E. G., Kalogeropoulos, G.H., 007, A recursive algorithm for the iversio of matrices with circulat blocks, Applied Math. Ad Comp., 88, 877-894 Zhao, G., 009, The Improved Nosigularity o the r-circulat Matrices i sigal processig, Iter. Cof. O Computer Techo. ad Developmet-ICCTD 009, Kota Kiabalu, 564-567 Zhao, W., 009, The Iverse Problem of Ati-circulat Matrices i Sigal Processig, Pacific-Asia Cof. o Kowledge Egieerig ad Software Egieerig-KESE 009, Shezhe, 47-50