B Ý R E Y D E R S H A N E L E R Ý S I N I F Ý Ç Ý D E R S A N L A T I M F Ö Y Ü DERSHANELERÝ Konu Bölüm DAF No. FONKSÝYONLAR - I MF-TM 53 MATEMATÝK - I 53 Bu yayýnýn her hakký saklýdýr. Tüm haklarý bry Birey Eðitim Yayýncýlýk Pazarlama Ltd. Þti. e aittir. Kýsmen de olsa alýntý yapýlamaz. Metin ve sorular, bu yayýný yayýmlayan þirketin önceden izni olmaksýzýn elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayýt sistemiyle çoðaltýlamaz, yayýmlanamaz.
FONKSÝYON A ve B boþ olmayan iki küme olsun. A daki her bir elemaný, B de yalnýz bir elemanla eþleyen baðýntýya A dan B ye bir fonksiyon denir. Fonksiyonlar genel olarak f, g,... gibi küçük harflerle gösterilir. A a b c A dan B ye f fonksiyonu f : A B veya A B f þeklinde gösterilir. f B f(a) 1 2 3 4 Örnek1 A={a, b, c, d} B={c, d, e, f, g} kümeleri veriliyor. Buna göre, aþaðýda verilen A dan B ye tanýmlý baðýntýlardan hangisi fonksiyondur? A) 1 ={(a, c), (c, f), (b, e)} B) 2 ={(a, d), (b, e), (c, f), (a, g)} C) 3 ={(c, a), (d, b), (a, c)} D) 4 ={(d, c), (b, f), (c, e), (a, d)} E) 5 ={(a, e), (b, d), (c, b), (d, g)} f : A B fonksiyonunda A kümesine f nin taným kümesi, B kümesine f nin deðer kümesi, A daki elemanlarýn B deki görüntülerinin oluþturduðu kümeye ise görüntü kümesi denir ve f(a) ile gösterilir. 2 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
1 A dan B ye tanımlanan bir bağıntının fonksiyon olması için aşağıdaki iki şartın sağlanması gerekir. A daki her bir elemanın görüntüsü olmalıdır. Yani, A da açıkta eleman kalmamalıdır. (B de açıkta eleman kalabilir.) A daki her elemanın yalnız bir tane görüntüsü olmalıdır. Yani, A daki bir eleman B de birden fazla elemanla eşleşemez. (Ancak, A daki birkaç eleman B deki bir elemanla eşleşebilir.) Örnek2 I. f: N N, f(x) x 4 II. f: Z N, f(x) 2x 3 III. f: R Z, f(x) 3x 1 IV. f: R R, 2 x 1 f(x) x 3 Yukarýda verilen baðýntýlardan hangileri fonksiyondur? 2 A dan B ye tanımlanabilecek fonksiyonu sayısı s(b) s(a) dır. 3 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
Örnek3 f : A={ 3, 1, 2} B f(x)=2x+4 olduðuna göre, f(a) görüntü kümesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) { 2, 4, 6} B) { 8, 0, 2} C) { 2, 2, 8} D){ 2,0,2} E){2,8,10} 4 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
Örnek4 A={x 2<x 4, x tam sayý} B={y y <3, y doðal sayý} olduðuna göre, A dan B ye kaç farklý fonksiyon tanýmlanabilir? 5 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
Örnek5 f : R R olmak üzere, 2 x +1, x 4 f(x)= 2 x 1, x<4 olduðuna göre, f(5)+f(3) ifadesinin deðeri kaçtýr? 6 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
Örnek6 f(x)=x 2 3x a) f(x 1)=... b) f(3 x )=... 7 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
Uyarı Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, tanım aralığından y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular grafiği yalnız bir noktada kesiyor ise bağıntı bir fonksiyondur, kesmiyor veya birden fazla noktada kesiyor ise fonksiyon değildir. Taným ve deðer kümeleri grafikte verilen y=f(x) biçiminde tanýmlý aþaðýdaki baðýntýlardan hangisi fonksiyon deðildir? A) Örnek7 y y= 2x B) y y=x² 4 C) O f:r R y y=x 3 x D) O 4 f:r R y x y 2 =x O x O x f:r R E) y y=x 2 +3 f:r R O f:r R x 8 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
FONKSÝYON TÜRLERÝ 1) ÝÇÝNE FONKSÝYON f : A B fonksiyonu için f(a) B ise, yani B kümesinde en az bir eleman açýkta kalýyor ise, f ye içine fonksiyon denir. 2) ÖRTEN FONKSÝYON f : A B fonksiyonu için f(a)=b ise, f fonksiyonuna örten fonksiyon denir. f : A B fonksiyonunun örten fonksiyon olmasý için, B kümesinde (deðer kümesinde) açýkta eleman kalmamalýdýr. 3) BÝRE BÝR FONKSÝYON f : A B fonksiyonu için, A kümesindeki farklý elemanlarýn görüntüleri de farklý elemanlar ise bu fonksiyona bire bir fonksiyon denir. 9 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
Örnek8 Gerçel sayýlar kümesinde tanýmlý I. f(x)=2x 1 II. g(x)=x 2 +2 III. h(x)=x 3 fonksiyonlarýndan hangileri bire birdir? A) I ve II B) Yalnýz I C) I, II ve III D) I ve III E) Yalnýz II (2011/YGS) 10 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
Örnek9 A={1, 2, 3, 4, 5, 6} olmak üzere, f : A A fonksiyonu bire birdir. Buna göre, f(1)+f(2)+f(3)+f(4) toplamýnýn alabileceði en büyük deðer ile en küçük deðer arasýndaki fark kaçtýr? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 (2013/YGS) 11 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
4) SABÝT FONKSÝYON A kümesindeki tüm elemanlarý B kümesinde yalnýz bir elemanla eþleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir. Her x A için f(x)=c ve c B ise f, A dan B ye tanýmlý sabit bir fonksiyondur. Örnek10 f : R R olmak üzere, f(x)=(8+4b)x 2 +(a 3)x+2a 5b fonksiyonu sabit fonksiyon olduðuna göre, f(4) kaçtýr? 12 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
Uyarı d a, b, c ve d sıfırdan farklı gerçek sayılar ve x olmak üzere, c ax + b f(x) = cx + d a b ifadesinin sabit fonksiyon olması için = olmalıdır. c d Örnek11 f : R { 4} R olmak üzere, (a 3)x bx 2 f(x) x 4 sabit fonksiyon olduðuna göre, a+b toplamý kaçtýr? 2 13 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
5) BÝRÝM (ÖZDEÞ) FONKSÝYON f : A A bir fonksiyon olsun. Her x A için f(x)=x ise f fonksiyonuna birim (özdeþ) fonksiyon denir. Birim fonksiyon (x) = x þeklinde yazýlýr. Birim fonksiyon bire bir ve örtendir. Örnek12 f : R R olmak üzere, f(x)=(a+2)x 2 +bx+3x+a+b+c birim fonksiyon olduðuna göre, a.b.c çarpýmý kaçtýr? 14 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
6) DOÐRUSAL FONKSÝYON f:r R ye tanýmlý f(x)=ax+b fonksiyonuna doðrusal fonksiyon denir. Örnek13 f doðrusal fonksiyondur. f(2)=7 f( 1)= 5 olduðuna göre, f(4) kaçtýr? 15 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
Örnek14 f doðrusal fonksiyondur. f(x 4)+f(2x+1)=6x olduðuna göre, f(x) fonksiyonu aþaðýdakilerden hangisidir? A) 2x 3 B) 3x 2 C) 2x+3 D) 2x 1 E) 3x+2 16 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
Örnek15 f(x)=f(x+1)+2 f(3)=5 olduðuna göre, f(23) kaçtýr? 17 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
Örnek16 R gerçel sayýlar kümesi üzerinde tanýmlý bir f fonksiyonu Her x [ 10, 10] için f(x)= x Her x R için f(x)=f(x+20) özelliklerini saðladýðýna göre, f(117) deðeri kaçtýr? A) 3 B) 4 C) 6 D) 7 E) 9 (2012/YGS) 18 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
Örnek17 Aþaðýda A={a 1, a 2, a 3 } ve B={b 1, b 2, b 3, b 4, b 5 } kümeleri verilmiþtir. A f b 1 B a 1 a 2 a 3 b 2 b 3 b 4 b 5 A dan B ye f(a 2 )=b 4 olacak biçimde kaç tane birebir f fonksiyonu tanýmlanabilir? A) 24 B) 20 C) 16 D) 12 E) 10 (2008/ÖSS) 19 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
Örnek18 I. f(x)=2x II. f(x)=2 x III. f(x)=x 2 fonksiyonlarýndan hangileri, her a ve b gerçel sayýsý için f(a+b)=f(a).f(b) eþitliðini saðlar? A) Yalnýz I B) Yalnýz II C) I ve II D) I ve III E) II ve III (2013/YGS) 20 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
1. A={0, 1, 2, 3} kümesinden, B={a, b, c, d} kümesine tanýmlanan aþaðýdaki baðýntýlardan hangisi bir fonksiyon deðildir? A) {(0, a), (1, b), (2, c), (3, d)} B) {(0, a), (1, a), (2, c), (3, c)} C) {(0, a), (1, c), (2, b), (3, d)} D) {(0, a), (1, a), (2, a), (3, a)} E) {(0, a), (0, b), (1, c), (2, d), (3, c)} 21 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
2. f : { 2, 1, 1, 2} R olmak üzere, f={( 1, 2), ( 2, 3), (1, 4), (2, 5)} olduðuna göre, f( 2)+f(2)+f( 1) toplamý kaçtýr? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 22 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
3. f : {1, 2, 3, 4} R olmak üzere, x f(x)=2x 1 olduðuna göre, f(x) fonksiyonunun görüntü kümesindeki elemanlarýn toplamý kaçtýr? A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 16 23 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
4. A={a, b, c} B={a, b, c, d, e} olduðuna göre, B den A ya kaç farklý fonksiyon tanýmlanabilir? A) 15 B) 81 C) 125 D) 243 E) 625 24 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
5. Bir f fonksiyonu, Her bir pozitif tam sayýyý kendisinin üç katýnýn 5 fazlasýna götürüyor. þeklinde tanýmlanmýþtýr. Bu fonksiyon aþaðýdakilerden hangisi ile gösterilebilir? A) f(x)=3x 5 B) f(x)=x+5 C) f(x)=3x+5 D) f(x)=6x 5 E) f(x)=3x 10 25 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
6. f(x)= x 2 x olduðuna göre, f( 1)+f(0)+f(1) toplamý kaçtýr? A) 4 B) 2 C) 0 D) 2 E) 4 (2003/ÖSS) 26 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
7. 3x 2, x 3 2 f(x) x 1, 3 x 3 x 2, x 3 olduðuna göre, f( 4)+ f(0) f(3) ifadesinin deðeri kaçtýr? A) 3 B) 1 C) 0 D) 2 E) 3 27 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
8. f : R R olmak üzere, f(x 3)=2x 5 olduðuna göre, f( 5) kaçtýr? A) 5 B) 7 C) 9 D) 11 E) 15 28 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
9. Aþaðýda grafikleri çizilen baðýntýlarýndan hangisi R R bir fonksiyondur? A) y B) y O x O x C) y D) y O x O x E) y O x 29 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
10. A={a, b, c, d} kümesi üzerinde tanýmlý aþaðýdaki fonksiyonlarýn hangisi bire birdir? A) {(a, b), (b, c), (c, d), (d, b)} B) {(a, c), (b, d), (c, d), (d, a)} C) {(a, b), (b, c), (c, d), (d, a)} D) {(a, d), (b, c), (c, a), (d, a)} E) {(a, b), (b, c), (c, d), (d, d)} 30 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
11. A={1, 2, 3, 4} kümesi üzerinde tanýmlý aþaðýdaki fonksiyonlarýn hangisi bire bir ve örtendir? A) {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)} B) {(1, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 4)} C) {(1, 3), (2, 4), (3, 1), (4, 2)} D) {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} E) {(1, 2), (2, 3), (3, 3), (4, 3)} 31 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
12. f(x+2)=f(x)+6 f(1)=2 olduðuna göre, f(5) kaçtýr? A) 7 B) 8 C) 10 D) 11 E) 14 32 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
13. f : R R olmak üzere, f(5)=10 f(x 1)=f(x+3) 12 olduðuna göre, f(13) kaçtýr? A) 26 B) 28 C) 30 D) 32 E) 34 33 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
14. f : A B olmak üzere, 2x 1 f(x) 3 f(a) { 1, 1, 3} olduðuna göre, A kümesindeki elemanlarýn çarpýmý kaçtýr? A) 10 B) 5 C) 2 D) 7 E) 10 34 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
15. f(x)=x 2 +x+1 olduðuna göre, f(a+1) f(a 1) ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? A) 0 B) 2a+1 C) 2a+3 D) 4a E) 4a+2 35 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
16. f(2 n )=4 f(2 n 1 ) f(1)=3 olduðuna göre, f(4) kaçtýr? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 36 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
17. f(x)=x.f(x 1) f(1)=1 olduðuna göre, f(9) kaçtýr? A) 5! B) 6! C) 7! D) 8! E) 9! 37 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
18. f(x)=2 x 1 olduðuna göre, f(x+2) nin f(x) cinsinden eþiti aþaðýdakilerden hangisidir? A) 2.f(x) B) [f(x)] 2 C) 8.f(x) D) 4.f(x) E) 4.[f(x)] 2 38 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
19. f : Z + R olmak üzere, f(x)=3 x.(x 1)! f(x +1) olduðuna göre, ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden f(x 1) hangisidir? A) 9x.(x+1) B) 9x.(x+2) C) 9x.(x+1).(x+2) D) 9x.(x 2) E) 9x.(x 1) 39 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
20. f(x)=2 3x 1 olduðuna göre, f(2x) in f(x) cinsinden ifadesi aþaðýdakilerden hangisidir? A) 3f(x) B) 3[f(x)] 2 C) 2f(x) D) 2[f(x)] 2 E) 2[f(x)] 3 (1990/ÖYS) 40 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
21. f : R R olmak üzere, f(x)=2x+1 olduðuna göre, f(3a+b) ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? A) f(6a+2b) 1 B) f(3a b)+1 C) f(3a) f(b) 2 D) f(3a) f(b) 1 E) f(3a)+f(b) 1 41 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
22. 2f(x 2) 1 f(x) 2 f(0) 3 olduðuna göre, f(20) kaçtýr? A) 5 B) 2 C) 0 D) 3 E) 10 42 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
23. f(x)=2ax 4x+2a 1 fonksiyonu sabit bir fonksiyon olduðuna göre, f(10)+f(44) ifadesinin deðeri kaçtýr? A) 1 B) 2 C) 3 D) 6 E) 9 43 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
24. f : R R ve g : R R f(x)=x+a+3b g(x)=(b+1)x+5 fonksiyonlarý veriliyor. f fonksiyonu birim fonksiyon, g fonksiyonu sabit fonksiyon olduðuna göre, a+b toplamý kaçtýr? A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8 44 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
25. f : R R olmak üzere, f(x)=(a 2 x)a+(b+2+x)b sabit fonksiyon olduðuna göre, f(x) aþaðýdakilerden hangisine eþittir? A) 0 B) a 2 C) 2a 2 D) a 2 a E) a 2 +a 45 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
26. f(x) birim fonksiyondur. f(x)=(m 3)x+2n+m+6 olduðuna göre, m+n toplamý kaçtýr? A) 4 B) 2 C) 1 D) 1 E) 2 46 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
27. f(x) doðrusal fonksiyondur. f(2)=10 f(5)=19 olduðuna göre, f(3) kaçtýr? A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 17 47 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
28. f(x) doðrusal fonksiyondur. f( 2x)+f(x+3)=3x 5 olduðuna göre, f(1) kaçtýr? A) 5 B) 3 C) 1 D) 1 E) 3 48 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
29. Aþaðýda A={1, 2, 3, 4} ve B={a, b, c, d, e} kümeleri verilmiþtir. A 1 2 3 4 a b c d e B A dan B ye f(1)=a ve f(2)=c olacak biçimde kaç tane bire bir f fonksiyonu tanýmlanabilir? A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) 12 49 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53
30. Gerçek sayýlar kümesi üzerinde tanýmlý, I. f(x)=3x+1 II. g(x)=x 2 +13 III. h(x)=2x 3 fonksiyonlarýndan hangileri örtendir? A) I ve II B) Yalnýz I C) II ve III D) I ve III E) I, II ve III 50 2013-2014 - DAF - MATEMATÝK - I (MF-TM) - 53