Pro.Dr.Asln Dlver hocmız t notlrdn lınmıştır. 5. TEK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARI SIFIR YAPAN KÖK DEĞERLERİNİN HESABI Eğer g r onkson; g r ğımsız değşkenn rklı dereceden term ve onksonlrını rlkte çerecek şeklde r pı shp se; öle onksonlr tek değşkenl onksonlr denmektedr. Tek değşkenl r onksonun ütün termler; sdece ğımsız değşkenn rklı tm sı dereceden kuvvetlern çerecek özellkte r pı shp se, öle onksonlr polnom denmektedr. Bu durumul polnomlr; tek ğımsız değşkenl onksonlrın özel r hl olmktdır. Bu pıdk onksonlrd; ğımlı değşkenn değern sıır pn, u şeklne denklem denmektedr, ğımsız değşkenn değerlern hesplm, tek değşkenl onksonlrı sıır pn değerlern hesı ve kısc; köklernn hesplnmsı denr. Tek değşkenl onksonlrın köklern hesplmd rçok çözüm öntemler ulunmktdır. Bu tert çözüm öntemler genel pıdk onksonlrın köklern hesplmd kullnılleceğ g, nı zmnd polnomlrın d köklern hesplmd kullnıllen genel öntemler olmktdır. Polnomlr, özel pıdk onksonlr olduklrındn, sdece unlrın köklern hesplm kullnıln çeştl öntemler mevcuttur. Bun göre; her k duruml lgl öntemler özellkler gereğ k rı şlık ltınd ele lınmışlrdır. Brnc grupt ele lınnlr; stenen sonuçlr tert çözüm olul klşn, tert çözüm öntemler d dğer dıl Doğrusl olmn denklemlern köklernn hesplnmsı öntemler, r dğerlernde se; tert olmn drekt çözüm veren öntemler d Polnomlrın köklernn hesplnmsı şeklndedr. 5.. DOĞRUSAL OLMAYAN TEK DEĞİŞKENLİ NON-LİNEER FONKSİYONLARIN KÖKLERİNİN HESAPLANMASI Mtemtkte r değşkenn rklı derecen termlernden oluşn; rnc, knc, üçüncü ve dördüncü dereceden, polnomlrını sıır pn değerler, d dğer r de le köklern, doğrudn özel hesplm öntemler kullnılrk kolc hesplnlmesne rğmen, her r term r değşken, üstel, logrtmk d trgonometrk onksonlr g rklı delerden oluşn genel pıdk onksonlrın kökler u g ollrl hesplmk olnksızdır. Bu g onksonlr çn çoğu zmn özel çözüm öntemler kullnılrk rnn gerçek kök değerlerne tert r şeklde kdemel olrk ulşılır. Fonksonlrı sıır pn, ve denklemlern herhng r lnd köklern hesplm rn u özel çözüm öntemler genel özellkler trle zı rklılıklr gösterrler. Bu rklılıklrın şınd, rnn gerçek kök değerne klşım ollrı ve hızlrı gelmektedr. Bu mçl kullnıln çözüm öntemlernden r ve rkçı; gerçek kök değerne, kökün tnımlı olduğu lnd, pss eksen üzernde ulunduğu rlığın her seernde ke ölünmes şeklnde tertı olrk klşırken, r çoğu u lnd tnımlnn herhng r konumdk rdımcı r 9
doğru d knc derece g düşük dereceden r polnomu kullnrk rnn kök değerne unlr rdımıl kdemel olrk klşılmsı prensne dnmktdır. Arlığı ke ölme d rdımcı doğrulrı kullnrk pıln çözümlerden r onksonun dm reel kök değerler hesplnmsın krşılık, knc ve düşük dereceden polnomlrı kullnrk pılck çözümlerden; reel kök değerler nınd, snl kök değerler de hesplnlmektedr. Çözüm öntemlernn u g rklı esslr göre gelştrlmş olmsı, nı zmnd her rnn rklı özellklere shp olmsın neden olmktdır. Bu durum, herhng rn kullnrk r onksonu sıır pn gerçek kök değerlern hesplmdk terson sısını d rklı şekllerde etklemektedr. Benzer şeklde; terson sısını etkleen r şk neden de onksonun çözüm ölgesndek eğrlğ ve genel krkter olmktdır. Bu etkenlern, denklemlern gerçek kök değerlern hesplm şlemler üzerndek olumsuz nsımlrı, terson sılrını rtırdığı g zı durumlrd kınsmıp, ırksk olmlrın d neden olmktdır. Bzı öntemler çn kınsmnın dh hızlı olmsı, değşk ek önlerler lınrk sğlnlmesne rğmen, r öntemn ırksklığı değşk seçenekler kullnılrk gderlelr. Irksklık sorununu gdermedek seçeneklerden r; şlngıçt çözüm rlığını küçük seçmek olleceğ g, sorunun u oll ortdn kldırılmmsı hlnde; r şk çözüm öntemnn denenmes olun gdlr. Bu şeklde; herhng r onksonunu sıır pn kök değerlernn tert oll çözümü çn, her zmn rnn kök değernn ulunduğu ölgede r, rlığın; d özellğne shp, g r lk klşık kök ve şlngıç değerne htç vrdır. Bu değerler; çoğu zmn prolemle rlkte verlmelerne rğmen, verlmemş olduklrı zmn; doğrudn onksonlrın d çözüm lgortmsınd kullnıln terson onksonlrının grk göstermlernden çzmsel olrk geometrk r şeklde elrlenelrler. Kesn kök değerler, lk terson dımınd u klşık kök değerler kullnılrk pıln şlemlerden elde edlen en sonuçlrın, r sonrk terson dımınd klşık değerler kul edlerek, pıln rdı sır çözüm şlemlernden tert olrk hesplnır. İtersonun sonuçlrının kınsdığı dımd r öncek dım sonucund elde edlen değerlern r sonrk dımdn elde edlen değerlerden rkı sıır d dh önceden elrlenmş; kul edlelr r sınır değernden küçük olduğund hesplm şlemler durdurulrk en son dımdn elde edlen değer rnn kök değerler olrk lınır. 5... Grk Çözüm Yöntem Bu öntemde; g r onksonun köklern ulmk çn, smnden de nlşıldığı g grk çözümden dlnılmktdır. Bu mçl; kl lk gelen çözüm olu; onksonun, ğımsız değşkene ell değerler vererek, onksonun lcğı değerler hespldıktn sonr, u değerlere göre r krtezen sstemde grğn çzmektr. Sonr; eğrsn, -eksennn kestğ noktnın pss değerler rnn çözüm olrk, u grkten elde edlmektedr. Bu çözümde,
eğrsnn pss eksenn kestğ noktı ulmk oldukç zor r şlemdr. Bunun erne r dğer ol, onksonu şeklnde ve g k leşen onkson şeklnde düşünülerek, lt leşen onksonlrın rılır. Sonr, unlrın her rnn seçlen r krtezen koordnt sstemnde grkler çzlr. Grk. Y= O Grk : Fonksonun Kök Değer Burdn, ve eğrlernn kesşn noktsının pss rnn çözüm olmktdır.ypıln şlemlerden de nlşılcğı g, u çözüm olu grk olduğundn, klşık değer vermektedr. Bu hlle, grk öntem nck, dh çok dğer tert öntemler çn gerekl oln şlngıç ve klşık kök değerlernn hesplnmsınd kullnılır r öntem olmktdır. 5... Çözüm Arlığını İke Bölme Yöntem Çözüm rlığını ke ölme Bsecton method öntemnde; g r, rlığınd her zmn = pn r değer onksonu ulunlmektedr. Bunu çn gerekl koşul; d ve değerlernn zıt şretl olm özellğnn dm gerçekleşmesdr. Anck, u öntemde ne vr k; her seernde klşık kök değerlernn tnımlndığı rlığı ke ölmenn eşt rlıkt olmsı hlnde öntem onksonun eğrlğne ğlı olrk kınsmktdır. Eğrnn eğrlğ zl se geç, ksı hlde erken kınsmktdır. = O
Grk : Kök Değerne Yklşm Burd görüldüğü g; çözüm rlığını ke ölme öntem doğrusl olmn denklemlern köklern hesplmd kullnıln dğer öntemler g tert r çözüm öntem olup dım, dım ugulnır. Bu mçl, lk şlem dımınd; çözüm rlığının sınır değerler çn ve onkson değerler hesplnrk koşulunun sğlnıp sğlnmdığın kılır. Eğer u koşul sğlnmış se, o zmn rlığınd pck g r kök uluncktır. Brnc terson dımınd kök çn klşık r değer; kökün ulunduğu rlığı ke ölmek suretle; sıır olrk hesplnır. Burdn hesplnn değer onksonund n erne zılrk onkson değer hesplnır. Dh sonr gerçek kökün hng sınırlr rsınd ulunduğunu elrlemek çn,, ve değerlernden şretçe zıt oln rrne kın ks seçlr. Eğer; se; gerçek kök sınırlrının elrledğ rlıkt, se; gerçek kökün sınırlrının elrledğ rlıkt olduğun krr verlr. Yukrıdk onkson grğnn çzmnden de görüldüğü g; olduğundn, undn sonrk terson dımınd gerçek kökün rlığınd rnmsı gerekmektedr. Brnc dımdk şlemlere enzer şeklde; knc terson dımınd d rlığı, önce şeklnde ke ölünerek gerçek köke r dım dh klşılır. Yne, gerçek kökün hng sınırlrın elrledğ rlıkt olduğun krr verelmek çn, onkson değer hesplnrk,, ve zıt şretl ve rrne kın değerde oln ks seçlerek, gerçek kök u rlıkt rnır. Benzer şeklde eğer; se; gerçek kök sınırlrının elrledğ rlıkt, se; gerçek kökün sınırlrının elrledğ rlıkt olduğun krr verlr. Bunlrdn stenen koşulu sğlnı seçlerek dh sonr mçlnn sonuc ulşınc kdr terson şlemlerne enzer dımlrd devm edlr. Bu öntemle r netcee ulşmd tert r çözüm gerektğnden, lk dımdk şlngıç değerlernn seçmne ve eğrnn eğrlğnn durumun ğlı olrk, rdı sır pılck şlemler de zl sıd olcktır. Bu g durumlrd ugun olnı, çözüm çn lgsrlrı kullnmktır. Blgsrlrın kullnılmsı le stenen
sonuc kıs zmnd ulşıllr. Böle r çözümdek şlem lgortmsı şğıdk g verlelr. Bşl,, = Bu rlıkt kökü ok, Köktür Köktür = E H Dur Dgrm : Algortm Çözümü 3
3 onksonunu Örnek ; rlığınd sıır pn köklernden rn, çözüm rlığını ke ölme öntemle, mutlk ht le hesplınız. Sonucu şu şeklde rpor ednz: onksonunun [ ] rlığındk köklernden r Çözüm Arlığını İke Bölme Yöntem İle ε =.5 mutlk ht le 5. terson sonund =.34375 olrk hesplnmıştır. Çözüm : önce u onksonun,.5 lt sınırı çn değer; =- ve üst sınırı çn değer de; =5 olrk hesplnır. Brnc dım çn ; ve onkson değer de,.5 olrk hesplnır..5.5 3.5.875 Burdn; olduğundn rnn gerçek kök,.5 sınırlrı rsınddır denr. İkc dım d gerçek kök, enzer şeklde şlemler pılrk, u rlıkt rnır. Bunu çn;.5.5 ve 3.5.5.5.97 hesplnır. Bun göre de; gerçek kökün.5,5 sınırlrının elrledğ rlıkt olur. Üçüncü dımd;.5.5 3.375 hesplnrk;. 5 olunc kdr terson şlemlerne devm edlr. Bu şlemler; sstemtk olrk topluc r rd gösterlmek stenrse; şğıdk tlo düzenlenelr..5-5.875.5.5 -.875 -.97.5.5.375 -.97.875.5.5.375.35 -.97.5 -.5.35.375.34375 -.5.5.83.35.34375.385 -.5.83.5.35.385.33 -.5.5 -.9 Tlo : İtert Çözüm 4
Tlodn görüldüğü g; her terson dımınd çözüm rlığını ke ölerek elde edlen klşık kök değerler dğer kök değerler le rlkte verlen onksond erne zılrk her rle lgl onkson değerler hesplnır. Bu onkson değerlernden koşulunu sğln mutlk değerce en küçük olnlrın krşılık gelen pss değerler seçlerek gerçek kök değernn u sınırlr rsınd olduğu dkkte lınrk, r sonrk dımd sınır değerler olrk ele lınırlr. Br sonrk terson dımınd r öncek tersond olduğu g nı şlemler pılır. Sonuçt; verlen. 5 ht sınırın ugun değer 5. terson dımındn =.34375 olrk elde edlr. Örnek : hesplınız.? kök değern, çözüm rlığını ke ölme öntemle Çözüm : Bu sını se; her k trın kres lındığınd, onksonu elde edlr. klşık kök değerler oln, rlığının sınır değerler çn onksonun değerler; ve olur. Bun göre; lk dımd;.5 ve.5.5. 5 olrk hesplnır ve.5 olur. İknc dımd; kök,.5 sınır değerler rsınd rnır. Bu dımd.5.5 ve.5.5. 4375.5.5 hesplmlrındn, rnn kökün.5,.5 rlığınd olduğu hesplnır. İterson şlemlerne, enzer şeklde, şğıdk tlodk g devm edlerek,.5 -.5.5.5 -.5 -.4375.5.5.375 -.4375.5 -.94.375.5.4375 -.94.5.664.375.4375.465 -.94.664 -.5.465.4375.4875 -.5.664.7.465.4875.446 -.5.7 -.43 Tlo : İtert Çözüm 5
rnn kök değer;. 7 mutlk ht le 7. terson dımı sonucund.446 olrk elde edlr. 5...3 Bst İterson Yöntem Bst terson öntemnde g r onksonu sıır pn herhng r ğımsız değşkenn değern kökünün hesplmk çn; önce u onkson = şeklnde r denklem olrk düşünülerek; koşulun ugun g k leşen onkson rılır. F onksonunun u şeklde k leşen onkson rılmsınd, : koordnt sstemnn orjnnden geçen ve eğm r oln r doğru, g : rd kln termlerden oluşn onksonu göstermek üzere, = g şeklnde pılırs; tüm şlemler dh st ve kol hlde olmktdır. Bu nedenle, st terson öntemne göre doğrusl olmn denklemler önce u özellkdek k st leşen onkson rılır. Sonr, u k onksonun kesşm noktsının pss değer, denklemn rnn r kökü d onksonu sıır pn r değer olcğındn u terson onksonlrındn hesplnır. F = denklemnn u öntemle r köküne ulşlmek çn, cvrındk gerçek kökü klşık r kök değer dh önce verlmş d elrlenmş olduğundn, lk terson dımınd u terson eştlğne göre ; = klşık kök değer kullnılrk; = g g O Grk 3: Kök Değerne Yklşm : 3 g g g g 6
dımlr hlnde terson şlemler pılrk, her dımın sonucund r kök değer hesplnır. Bu şeklde tersonl pılck çözümün kınsk olmsı hlnde; rnn kesn d gerçek kök değer, sıır d kul edlelr çok küçük r değer olmk üzere; olduğu durumd, terson şlem durdurulrk son dımdn elde edlmş oln kök olrk lınır. değer, u onksonu sıır pn r değer; nı Bu şekldek r terson hesınd; pılck şlemler ve hesplmnın lgsrl pılmsınd zılck çözüm progrmının lgortmsı teknğ önünden dh ugun olcğı düşünces le; Bşl,, g E H Dgrm : Algortm Çözümü şeklnde r hesp lgortmsı verlelr. Böle r hesp lgortmsın göre pıln şlemler grk olrk; = = g = = g O O Grk 4: Köklere İtert Yklşm 7
görsel olrk rklı çmlerde gösterlelr. Netcede; Bst terson öntemne göre r onksonun kökünü ulmd koşul, doğrusu le g onksonlrının en z r noktd rrn kesmeler gerekmektedr. Bu özellk st terson öntemnn kınsmsı olrk lnr. g Blndğ g, ortlm değer teoremne göre; r onksonu, rlığınd sürekl ve u rlığın herhng r noktsınd türev mevcut se; rlığındk herhng r c değer çn, c g g g c eştlğn sğln en z r nokt ulunmktdır. Bu ğıntı nı zmnd, ve noktlrındn geçen r doğrunun eğm olmktdır. A, g B, g Y g B A C O c Grk 5: c Arlığınd Krş ve Eğm İlşks Burdn, g g g c şeklnde elde edlecek r kurl; st terson öntemne göre pılck tert çözüme ugulnrk, g, g,..., g olcğı göz önüne lınrk, herhng r. İterson dımı sonucund elde edlen, g r rlık çn en sınır değerler ve olcktır. Bun göre de c olck ve u noktlrdn geçecek doğrunun eğm ğıntısı de enzer şeklde, g g g c olcktır. Sonuçt; g g g c 8
olduğu zıllecektr. Dğer trtn, g ve g olduğundn. g g g c eştlğ de mevcut olcktır. Sol trtk değerlern erne terson değerler zıldığınd u ğıntı, ve g c g c şeklnde de de edlelecektr. Sonuçt, u durumun her r terson dımı çn geçerl olcğı rhtlıkl sölenelr. Bu oll gerçek kök değern ullmek çn sıır kınsmsı ne netcede sıır olmsı gerekr. Bunu öle olmsı çn, her terson dımı sunucund elde edlen u rkın, r öncek dımdn elde edlmş oln rktn dm küçük olmsı gerekr. Böle r koşulun gerçekleşmes çn de olmsı gerekmektedr. g c Ugulmd u koşul; çözüme şlmdn önce; lk terson dımının şınd, c lınrk g koşulun kılrk krr verlr. Eğer u koşul, = denklemnn kökü cvrınd sğlnıor se, u öntemle en z r köke ulşılleceğ sölenr. Sonuçt u özellk; st terson öntemle kök ulmd eterl r koşul olmsın rğmen, gerekl r koşul d olmmktdır. Br onksonunu pn gerçek kökünü st terson öntemle tert olrk hesplmd, ;. İterson dımınd hesplnn kök değer ;. Adımd kökün hesplnn kök değernn htsı olmk üzere; gerçek kök değer le. İşlem dımındn hesplnn herhng r kök değer rsınd; genel ht tnımındn dlnrk, şeklnde r lşk zıllr. Bu lşk, terson onksonund dkkte lınrk;pıln Tlor ser çılımındn; g g g g g!... ser değer elde edlr. Bu Tlor desnde; değerler küçük mktrlr olduklrındn, üksek derecel termlern sonuçlr üzerndek etkler de küçük olcğındn hml edlelrler. Bu durumd ht hesı çn, 9
g g g! g şeklnde elde edlmş oln knc dereceden r Tlor des le etnlmektedr. Burd; g ve olduğu dkkte lınırs; g g g elde edlr. Bu ğıntısın sol trındk rkı, nı; +. terson dımındk, g g terson htsı olmktdır. Burdn görüldüğü g u değer, r öncek terson dımınd pıln ht mktrın ğlı olmktdır. Özetle; st terson öntemne göre kök hesplmdk ht; r öncek ht ğlı olduğu görülür.. 5 3 Örnek ; 4e onksonun cvrındk r kökünü st terson öntem kullnılrk mutlk ht le hesplınız..5 Çözüm ; Bst terson öntemle u onksonun r kökünü ullmek çn önce,.5 4e şeklnde r denklem hlnde zılrk; 4e.5 g k st onkson rılır. Bu durumd; g değern ulmk çn, logrtmsı lınrk,.5 g 4e olur. Burdn; Ln g Ln 4.5 Ln e ve urd Ln e olduğundn, Ln g Ln 4.5 değşkenne göre türev lınırs, Ln g g g.5 g.5 g.5.54e.5.5 e e
olur. Bun göre de; g - e.5 -.446 koşulu sğlndığındn u onkson 3 olduğu sölenelr. Sonuçt; Bst terson öntemle cvrdk gerçek r kökü şğıdk g ulunlr. Bu kök; klşık kökü cvrınd kınsk 3 klşık kökü.5 g 4e. 5 3.89..89.56.67.56. : : : : : :.7.7. 5 Tlo 3: İtert Çözüm olmsı koşulu 5. terson dımınd sğlnrk, u onksonun r kökü mutlk ht le. 7 olrk hesplnlr..5 Örnek ; = 4 Ln - onksonunu 3 şlngıç d dğer dıl klşık kökü cvrındk gerçek r kökünü st terson öntem kullnılrk.5 mutlk ht le hesplınız. Çözüm ; Bu onkson = 4 Ln - = şeklnde sıır eştlenp r denklem olrk zıldıktn sonr; = 4 Ln çmnde k leşene rıllr. Burdn; onksonun st terson öntemne göre; u klşık kökü cvrındk r gerçek kökünü ulmd kınsıp, kınsmcğını önceden görelmek çn; g= 4 Ln ve elde edlerek; 3 çn değer, g 4 3 g 4 ırksk olduğu ulunur. Burdn; onkson 3 klşık kökü cvrınd kınsmdığı, n ırksdığı sölenelr. Bunun öle olduğu,
g=4ln. 5 3 4.39.39 4.39 5.9.53 5.9 7..9 : : : : : : Tlo 4: İtert Çözüm şeklnde pıln sısl terson çözüm şlemlerden d çıkç görülelr. Örnek 3; 44 onksonunu. 5 cvrındk r kökünü st terson öntemne göre mutlk ht le hesplınız..5 Çözüm 3; Bu onkson önce, 4 4 şeklnde zılır ve sonr st terson öntemnn =g şeklnde verlmş oln temel lkesne göre k leşene rılır. Bu mçl; onksonun k leşenne rılmsınd rrnden rklı şeklde ırm şlemler pıllr. Bunlr; 4 4 ;.5 urdn g.5 g.5.5.75 çözüm kınsmktdır. Burdn çözüm pıldığınd; g.5. 5.5.56.6.56.6.5.6.65.4 Tlo 5: İtert Çözüm.5 mutlk ht le 3. terson dımı sonucund kök değer. 65 olrk ulunur. 4 4 ; 4 4 g 4 4 g 4 4.4
ve çözüm ırksktır. Burdn; terson hesı pıldığınd;.5.44.87.7.533 g 4 4. 5.44.87.7.533 kök ç negt -.86 -.7 -.6 Irksmktdır Tlo 6: İtert Çözüm tersonun kınsmdığı tekrr görülür. c 4 4 ; 4 4 4 g 4 g 4 4 4 6.5.64 çözüm kınsmktdır. Burdn çözüm pıldığınd; 4 g 4. 5.5.6.6.667..667.75.67.75.75.48 Tlo 7: İtert Çözüm rnn kök değer. 5 mutlk ht le 4. terson dımı sonucund. 75 olrk hesplnmktdır. Burdn görüldüğü g; çözüm çn unlrdn hngs kınsk se, st terson çözümü on göre pılır. Ykınsk olnlrındn g türev değer kıs sürede kınsmktdır. 5...4 Newton- Rphson Yöntem Newton-Rphson öntemnde r onksonun ell r değere göre Tlor ser çılımındn dlnılmktdır. Bu mçl, g r onkson h klşık değerne göre Tlor sersne çılrk, 3
" " 3 h! h! h 3!... ser des elde edlr. Bu serde h değernn küçük şlngıç değernn ugun şeklde, n r değer seçlmş olmsı durumund; ser rnc dereceden termde kınscğındn, urd k d dh üksek dereceden termler göz rdı edlelr. Bu durumd rnc derecee kdr termlerden oluşn Tlor sers, h! olrk elde edlr. Burdn; onksonunu = pn r değer d kökü; h! prk, h elde edlen h değernn h de dkkte lınmsı le eştlğnden ulunlr. Anı zmnd u eştlk Newton-Rphson öntemnn de temel ğıntısı olmktdır. Anck, u ğıntının elde edlmesnde, Tlor ser çılımınd; erne şlngıç değer olrk g r klşık değern kullnılmış olmsı nınd rnc derecee kdr oln termlernn dkkte lınmış olmsı unun lk dımd = pn r değer çnde tm r çözüm olmcğını göstermektedr. Bu durumd, tm çözüm; nck u ğıntının tert r şeklde ugulnmsı le ulunlr. = h O Grk 6: Köke İtert Yklşm 4
Böle r çözümde; şlngıç d lk klşık kök olmk üzere; : şeklnde verlmş oln, r sonrk dımdn elde edlen değerle r öncek dımdn ulunn değern öngörülen, ht sınırındn küçük olunc kdr terson şlemlerne devm edlerek ulunur. Burdn görüldüğü g; u öntemde gerçek kök değerne, onksonun çzdğ eğre g lk şlngıç değernden şlrk, eşt rlıkt pss değerne krşılık gelen noktlrd, eğre teğet doğrulrl tert olrk klşılmktdır. değer r öncek tersondn r sonrk terson geçşte gttkçe küçülüor se, çözüm kınsk olmktdır. Aksı hlde ırksk olur ve çözüm vermez. Bu durum, n kınsmnın olup, olmdığı; terson şlemlerne şlmdn önce rştırılır. Böle r şlem çn, Newton-Rphson öntemnde kullnıln; terson onksonu, st terson öntemnde olduğu g r onksonunun r trı r doğru denklemn gösterecek şeklde k leşen onksonun rılmış şekl g düşünülelr. Sğ trındk de de; değer çn değşken gösterm kullnıldığınd, g g olrk zıllr. Bst terson öntemnde, r onksonun kınsk ollmes çn, g koşulu ulunmktdır. Bu özellk, Newton-Rphson öntemnde çözüme ess oln terson onksonunun nı pıd olmsı nedenle, urd d geçerlğn korumktdır. Bun göre; g lınrk, g koşulud göz önünde ulundurulrk pıln şlemlerden r onksonun, =, sıır pn r kök değerlern hesplrken, pılck 5
terson şlemlernn r şlem dımındn r sonrk şlem dımın geçerken kınsk olmsı çn tersonun pıldığı her şlem dımınd; " koşulunu sğlnmış olmsı gerekmektedr. Anı şeklde; şlngıçt verlmş oln; lk klşık kök değer çn de u koşulu; sğlmsı gerekmektedr. " Ugulmd; u oll r onksonun kök değerlern hesplm şlemlerne şlmdn önce u koşulun vrlığının rştırılmsı gerekr. Koşulun geçerl olmsınd nck en z r köke ulşılır. Aks hlde; Koşulun geçerl olmdığı durumd çözüm rnmmlıdır. Bu durum örnek olrk; = O Grk 7: İtersond Irksm d dğer r çok örneklerden r olrk; = O Grk 7: İtersond Irksm 6
özellklerne shp onksonlr verlelr. Burdn görüldüğü g zı durumlrd, kökü ulunck denklemn özellğ gereğ; Newton-Rphson öntemne göre kök hesplm şlemler kınsmz. Sonuçt, kök değer de hesplnmz. Çözümün kınsk olduğu zı durumlrd, şlngıç değernn seçlememes ve onksonun nltk özellğ gereğ kök ulm şleme kol kınsmz. Böle durumlrd, r çözüme ulşlmek çn zl terson şlemler pmk gerekr. Bu g durumlrd, hesplm şlemlerndek zorluklrın rtık sorun olmktn çıkrmk çn, hızlı hesplıcılrın nınd ugun r şlem lgortmsın d kullnılmsı kçınılmz olur. Böle r lgortm şğıdk g düşünülelr. Newton-Rphson öntemnde g sürekl ve lk k türev oln r onksonun pn gerçek kökünü hesplmk çn, terson ğıntısındn dlnrk, çözüm tert olrk pılmktdır. Bşl ; " H E H E Dur Dgrm 3: Algortm Çözümü 7
Herhng r terson dımı sonucund hesplnn klşık kök değer de olmktdır. ;. dımd hesplnn klşık kök değernn mutlk htsı olmk üzere; gerçek kök değer çn zıllr. Bu lşk, onksonund dkkte lınrk;pıln Tlor ser çılımındn;!... ser değer elde edlr. Tlor desnde; değerler küçük mktrlr olduklrındn, üksek derecel termlern sonuçlr üzerndek etkler de küçük olcğındn hml edlelrler. Bu durumd ht hesı çn,! şeklnde elde edlmş oln knc dereceden r desnn kullnılmsı eterl olur. Burd; olduğu dkkte lınırs;! zılır. Her trın değerne ölünmesnden elde edlr. Burd; terson onksonundn; ve hesplnn değerler erlerne zıldığınd r sonrk hesp dımının mutlk htsı olrk de edlr. Sonuçt; Newton-Rphson öntemne göre kök hesplmdk mutlk ht; r öncek dımdk mutlk ht kresel olrk ğımlı olmktdır. Örnek :? kök değern, şlngıç değern kullnrk,.5 mutlk ht le Newton-Rphson öntemle hesplınız. 8
Çözüm : Bu sını se; her k trın kres lındığınd, onksonu elde edlr. klşık kök değerlern Newto-Rphson öntemne göre hesplmk çn; onksonunun rnc ve knc türevler lınrk; ve elde edlr. Bu çözümün kınsıp kınsmcğını önceden kestrelmek çn, koşulundn dlnrk, " ".5 Olduğu görülür. Sonuçt terson çözümü kınscktır denr. Burdn tlodk g hesplmlr pılrk, h h.5.5.5.5 -.83.467 -.83.467 -.5.44 -.5 Tlo 8: İtert Çözüm rnn kök değer.5 mutlk ht le 3. terson dımı sonucund =.44 olrk hesplnır. Örnek : 3 7 onksonunu sıır pn r kök değern,. 5 şlngıç değern kullnrk,.5 mutlk ht le Newton-Rphson öntemle hesplınız. Çözüm : Bunun çn onksonunun rnc ve knc türev lınrk; 3 ve 6 olrk elde edlr. Burdn;. 5 şlngıç değer çn, 9
".5.5 ".5 3.659 6.75 -.7 koşulu hesplnrk, tersonun kınscğın krr verlr. h 7 3 3 h.5.537.37.537.37 -.7.9 -.7.9 -.7.93 -.7 Tlo 9: İtert Çözüm Burdn, rnn kök değernn.5 mutlk ht le 3. terson dımı sonucund =.93 olrk hesplnır. 5...5 Krşler Yöntem Bzı knklrd Regul Flsı d Değşk şretl çözüm öntem lrk d dlndırıln Krşler öntemne göre g r onksonun rlığınd = pn r kök değern hesplmk çn, önce ve sınır değerlerne krşılık gelen ve onkson değerler, dğer r de le u değerlere krşılık gelen noktlrın koordntlrı hesplnır. Fonkson değerlernn; rlığınd, koşulunu sğlnmış olmsı; u rlıkt onksonu sıır pn en z r kökünün ulunmsını gösterr. A O P c C B Grk 8: Köke İtert Yklşm Çözüm çn; u sınır noktlrındn A ve B noktlrındn geçen doğrunun, dğer dıl krşn denklem, 3
ğıntısındn dlnrk, olrk zıllr. Burdn, AB krşnn eksenn kestğ noktnın koordntlrı, krş denklemnde lınrk un krşılık gelen pss değer, olrk elde edlr. Burd vurgulmk gerekr k; sıır ölme g r şlem elrszlğ kuşkusu rtlecek oln rkı; ve değerlern sürekl zıt şretl olmsı nedenle hçr zmn söz konusu olmmktdır. Netcede; u şeklde krşn eksenn kestğ nokt çn hesplnmış oln pss değer; A ve B noktlrının tnımldığı krşn lneer r onkson özellğnde olmsın krşın; rklı özellkte herhng r eğr temsl eden r onkson olmktdır. Netcede; onksonunun eksenn kestğ noktnın pss le krşn eksenn kestğ noktnın pss nı olmmktdır. Bu k noktnın pssler rklı değerler olur. Böle durumlrd; onksonun eksenn kestğ noktnın pss, d dğer r de le = sıır pn r değer, A ve B noktlrının tnımldığı krşn = lınrk elde edlmş oln; eksenn kestğ noktnın pss değer c lınrk hesplnn C noktsının pss onksonund erne zılrk ordntı hesplnır. c c Bölece onksonu üzernde, onksonun eksenn kestğ nokt r derece dh kın C g en r nokt koordntlrı le rlkte tnımlnmış olur. Sonr, ukrıd pıln şlemler; C ve B noktlrının tnımldığı krş çn enden pılrk, her seernde = noktsın r dım dh klşılır. Bu şlemler, tert r şeklde ugulnrk, r öncek dınd hesplnn değern r sonrk dımdn hesplnn değerden rkı sıır olunc kdr, şk r de le çözüm sonucund hesplnn değern = pn değerne ulşınc kdr ütün şlemlere devm edlr. Ön görülen koşullr gerçekleştğ nd terson şlemler durdurulrk rnn sonuc, şlem kış dgrmındn görüldüğü g, sstemtk r şeklde rdışık çözüm şlemler prk tert olrk ulşılmış olunur. Bu öntemle kök hesplmd onksonun eğrlğ ne kdr z se; r dğer de le doğru ne kdr kın se; kınsmsı o kdr kıs zmnd olmktdır. Brkç dımd hemen sonuc ulşılmktdır. 3
3 Bşl,, =, Bu rlıkt kökü ok Köktür = Köktür E H Dur Dgrm 4: Algortm Çözümü Bu durum; mtemtk olrk; r eğrnn krtezen koordnt sstemnde de edlmş oln, 3 r
33 ğıntısı le çıklnlr. Burd; üük, küçük değerler olmsı hlnde, çözüm o kdr kıs zmnd uluncğındn, ukrd sölenenlere enzer şeklde, eğrlğ z olduğundn çuk kınscğı sölenelr. Bu öntemle tert olrk hesplnn kökün, herhng r tersondn hesplnn klşık değernn mutlk htsını hesplmd, Gregor_Newton enterpolson ğıntısının lk üç termnden dlnılrk. terson dımı çn, c des zıllr. onksonunun kök değer se; olur. Bu durumd; ukrıdk ğıntıd; lınrk, c elde edlr. Bu denn son term, dğer termler nınd çok küçük olcğındn hml edlelr. O zmn; krş denklem elde edlmş olur. sonuçt, krşn pss eksenn kestğ değer oln de u denklemn üzernde r değer olcğındn, olrk u ğıntıı de sğlcktır. Bu değern dh önce verlmş oln c ğıntıd dkkte lınmsı le; c ve gerekl kısltmlr pılrk d c
ğıntısı ulunur. Bu denklemn rnc term çn;, rlığınd ortlm değer teorem dkkte lınrk, c c koşulunu sğln r c değer çn elde edlen değer, nı ğıntının rnc termnde erne zılrk, c c şeklnde de edlr. Her r dındk klşık kök değerler çn; ; ve değerler kullnılırs, ulunmuş olur. c c Sonuçt; İterson sısı rtıkç, c ve c eşt olcğındn en son dımd mutlk ht, olcktır. Burdn; krşler öntemle pıln çözümde; r dımın sonucund pılck mutlk htnın; r ve k dım önce pıln mutlk htlrl orntılı olduğu sölenelr. Bu şeklle, krşler öntem çok esk ınlrd le er lmktdır. Yöntemn olumlu nı; u öntemle pılck çözümlerde her zmn r kök değer ulunlmektedr. Bun rğmen unun tenkt edlelr dğer r nı se, terson şlemlernm çok vş kınsmış olmsıdır. Bu nedenle, çoğu zmn zı knklrd u önteme çn poor method des de kullnılmktdır. u şeklle lnen krşler öntemnde zı değşklkler pılrk dh hızlı kınsmsı sğlnmış ve netcede u öntemn değşk ugulmlrı olrk en öntemler gelştrlmştr. 34
5...8 TEĞET-KİRİŞ YÖNTEMİ A D O P c C B Grk : Teğet-Krş öntem Bu öntemde g r denklemn rlığındk r kökü, rlığın sınır noktlrındn şlrk krş ve teğet klşımlrını tert olrk rlkte kullnrk, dh kıs sürede hesplnmktdır., Bu mçl; rnn kök değerne onksonunun çzdğ eğrnn ç üke konveks trındn krşlerle, dış üke konkv olduğu trındn d teğetlerle klşrk rdı sır pıln terson şlemler sonucund dh kıs sürede ve dh hızlı r şeklde sğlnmktdır. Bu tür terson şlemler pılırken; krşlerle klşmd, krşler öntemne göre kök hesplm öntemnden, teğetlerle klşmd se; Newton-Rphson öntemnden dlnılır. Bu nedenle, çoğu zmn, Teğet- krş öntem rı olrk ele lınmıp, snk u k çözüm öntemnn rlkte r ugulmsı olduğu d düşünülmektedr. Netcede; rklı k öntem kullnılrk, her k önden nı nd köke klşıldığındn kınsm d dh çuk olmktdır. Ugulmd; u şekldek r çözüme hng noktdn şlrk klşılcğın; onksonun tnımldığı eğrnn şeklne ve r dğer de le onksonun ve knc türevnn şretne kılrk krr verlr. Bu durum d onksonun tnımldığı eğrnn konkv ve konvekslğn temsl eden değerler, A noktsındn, se; se; B noktsındn şlnrk tert olrk klşılmlıdır. 35
Kesn kök değerne A noktsındn Teğet-krş öntemle klşırken AB krşnn eksenn kestğ noktnın koordntlrı, u noktlrdn geçen krş denklemnde lınrk elde edlen, ğıntısındn ve dış üke trındn teğetle klşırken eğr üzerndek her en noktd; Newton-Rphson terson ğıntısının temsl ettğ teğetn denklem oln, ğıntılrındn dlnılır. B noktsındn klşmd; enzer şeklde, krş çn ve teğet çn de ğıntılrı kullnılır. Bu durumlr dkkte lınrk kesn çözüme ulşmk çn pılck terson hesplmlrınd; lk terson dımı çn; ve şlngıç klşık kök değerler kullnılrk pıln enzer hesplmlrdn krş çn c ve teğet çn de değerler hesplnrk her r elde edlr. İknc dım u değerler klşık kök değerler kul edlerek nı şlemler enzer şeklde pılrk knc terson çn en kök değerler hesplnır. Bölece; enzer şlemler rdı sır tekrrlnrk, terson dımlrın devm edlerek,.terson dımınd olduğu zmn çözüme klşılmış olduğundn rnn kesn kök değer ulunmuş olur. Örnek : 6 7,4 rlığınd sıır pn r kökünü,5 mutlk ht le Teğet-krş öntemne göre hesplınız. onksonunu 6 Çözüm: Bu rlıkt 7 denklemnn Teğet-krş öntemne göre 5 4 pılck çözüm çn; rnc türev 6 ve knc türev de 3 olmktdır. Arıc; rn çözüme krşlerle klşımdk şlngıç değerler ; 4 ve teğetlerle klşım çn de, Newton-Rphson terson ğıntısındk, o 4 olmktdır. Bu prolemde; olduğu çn rnn çözüme teğetle klşım çn pss 4 oln şlngıç noktsı seçlerek; 36
olmk üzere o h h d kısc, o o o o o ğıntısındn dlnılrk klşılmktdır. Krşle klşım çn de pss oln n okt şlngıç noktsı seçlerek, ğıntılrındn dlnılrk klşılmktdır. Burd; ve göstermektedr. Brnc dımd krş çözümü çn klşık kök değerler şlngıç değer ; lınrk g en r kök değer hesplnırken, teğetle klşım çn pıln Newton- Rphson çözümünden ulunduğu rlık her k trtn drltılrk, d.5, 3.34 g knc terson dımı çn en şlngıç değerler elde edlmş olmktdır. Dh sonrk terson dımlrı çn nı şlemler tekrrlnrk, 4,5 3,34 g r değer ulunmktdır. Bölece kökün,.5.6.39.73.98 4 3.34.8.4.5.5-69 -68.66-67.56-6.79-43.9-9.75 46 38.9 4.3 5.93 8.77 4..5.6.39.73.98.3-68.66-67.56-6.79-43.9-9.75 4 3.34.8.5.5 h 3.34.8.4.5.3 Tlo 3: İtert Çözüm Sonuçt mutlk htsının. 5 oln. 3 kök değerne 6. terson dımınd ulşılmktdır. Bölece ; Newton-Rphson öntem kullnılrk kınsmsı vş oln krşler öntemne kök hesplmnın kınsm hızı rtırılrk, kesn köke dh kıs zmnd ulşılmsı sğlnmktdır. 37