T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ GAMMA MODÜLLERİN BULANIK ALT MODÜLLERİ FERDİ ÇELİKER DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ GAMMA MODÜLLERİN BULANIK ALT MODÜLLERİ FERDİ ÇELİKER DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI DANIŞMAN DOÇ. DR. BAYRAM ALİ ERSOY İSTANBUL, 2014

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ GAMMA MODÜLLERİN BULANIK ALT MODÜLLERİ Ferd ÇELİKER tarafından hazırlanan tez çalışması. tarhnde aşağıdak jür tarafından Yıldız Teknk Ünverstes Fen Blmler Ensttüsü Matematk Anablm Dalı nda DOKTORA TEZİ olarak kabul edlmştr. Tez Danışmanı Doç. Dr. B. Al ERSOY Yıldız Teknk Ünverstes Jür Üyeler Doç. Dr. B. Al ERSOY Yıldız Teknk Ünverstes Prof. Dr. A. Göksel AĞARGÜN Yıldız Teknk Ünverstes Doç. Dr. Ünsal TEKİR Marmara Ünverstes

ÖNSÖZ Bu tezn hazırlanmasında yardımlarını esrgemeyen danışmanım Sayın Doç. Dr. Bayram Al ERSOY a ve çalışmalarım sırasında ben madd açıdan destekleyen TÜBİTAK Blm İnsanı Destekleme Dare Başkanlığı na teşekkür ederm. Ayrıca manev desteklern eksk etmeyp her zaman yanımda olan aleme teşekkürü br borç blrm. Ocak, 2014 Ferd ÇELİKER

İÇİNDEKİLER Sayfa SİMGE LİSTESİ... v ÖZET.... v ABSTRACT... v BÖLÜM 1 GİRİŞ... 1 BÖLÜM 2 1.1 Lteratür Özet... 1 1.2 Tezn Amacı... 2 1.3 Hpotez... 2 ÖN BİLGİLER... 4 BÖLÜM 3 BULANIK ALT MODÜLLER... 9 BÖLÜM 4 3.1 Bulanık Kümeler... 9 3.2 Bulanık Alt Grup, Bulanık Alt Halka ve Bulanık İdealler... 11 3.3 Bulanık Alt Modüller... 14 3.4 Bölüm Modüllern Bulanık Alt Modüller, Rezdüel Bölümler ve Asal Alt Modüller... 21 GAMMA MODÜLLER... 27 BÖLÜM 5 GAMMA MODÜLLERİN BULANIK ALT MODÜLLERİNE AİT YAPILAR... 30 BÖLÜM 6 SONUÇ VE ÖNERİLER... 44 KAYNAKLAR... 45 ÖZGEÇMİŞ... 47 v

SİMGE LİSTESİ X Mnmum veya nfmum Maksmum veya supremum Bulanık (fuzzy) alt küme 0,1 X X n bulanık kuvvet kümes nün görüntüsü Im( ) nün görüntüsü nün destekleycs ay ( x ) y a 0,1 sngleton 0,1 sngleton 1 Y ( x ) Karakterstk fonksyon ( x ) Karakterstk fonksyon Y a 1 f f 1 LG ( ) nün sevye alt kümes nün f altındak görüntüsü nün f altındak ters görüntüsü ve nün nokta çarpımı nün ters G grubunun tüm bulanık alt gruplarının kümes xg x : 0 LI( R ) R halkasının tüm bulanık deallernn kümes R halkasının tüm asal bulanık deallernn kümes P dealnn radkal LM ( ) M nn tüm bulanık alt modüllernn kümes 0 M M nn sıfır elemanı M A Bölüm modülü [ x ] x A koset nün ye göre bölüm modülü nün a kısıtlanışı : Rezdüel bölüm v

L( M) Gamma modüllern tüm bulanık alt modüller ( xy, ) ve nın kartezyen çarpımı Zayıf homomorfk Zayıf zomorfk Homomorfk İzomorfk G G g G : ( g) (0) v

ÖZET GAMMA MODÜLLERİN BULANIK ALT MODÜLLERİ Ferd ÇELİKER Matematk Anablm Dalı Doktora Tez Tez Danışmanı: Doç. Dr. Bayram Al ERSOY Bu çalışmada bulanık cebrde geçerl olan bazı teoremlern, bulanık gamma modüller çn de var olduğu gösterlmştr. Öncelkle klask cebr ve bulanık cebre at temel tanım ve teoremler verlmştr. Ardından özellkle tezmze kaynaklık edecek bulanık alt modül ve gamma modül kavramları açıklanmıştır. Hpotezlermz çeren son bölümde se gamma modüllern (normal) bulanık alt modüllerne at yapılar ncelenmştr. Bu doğrultuda, gamma modülün (normal) bulanık alt modül olma şartı araştırılmış, gamma modülün (normal) bulanık alt modülünün görüntüsünün ve ters görüntüsünün de gamma modülün (normal) bulanık alt modüller olduğu gösterlmştr. Sonrasında klask cebrdek zomorfzma teoremlernn, gamma modüllernn (normal) bulanık alt modüllernde de benzer şeklde olduğu fade edlmştr. Son olarak bulanık asal alt modül le gamma modüllern bulanık asal alt modüller arasındak lşk analz edlmştr. Anahtar Kelmeler: Bulanık alt modül, gamma modül, gamma modülün (normal) bulanık alt modülü, bulanık asal alt modül, gamma modülün bulanık asal alt modülü YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ v

ABSTRACT FUZZY SUBMODULES OF GAMMA MODULES Ferd ÇELİKER Department of Mathematcs Ph. D. Thess Advser: Assoc. Prof. Dr. Bayram Al ERSOY In ths thess, some theorems vald n fuzzy algebra are shown to be exstng n fuzzy gamma modules. Intally, basc defntons and theorems related to classcal algebra and fuzzy algebra are gven. Afterwards, fuzzy submodule and gamma module defntons whch wll act as a source to our thess are defned. In the fnal secton, structures that belong to (normal) fuzzy submodule of gamma modules whch contan our hypothess are nvestgated. Movng from ths pont, the condtons when gamma modules belong to fuzzy submodules are studed, the mage and nverse mage of (normal) fuzzy submodules of gamma modules are also shown to be (normal) fuzzy submodules of gamma modules. After that, somorphsm theorems n classcal algebra are ponted to be smlar n (normal) fuzzy submodules of gamma modules. Fnally, the relaton between fuzzy prme submodule and fuzzy prme submodules of gamma modules s analysed. Keywords: Fuzzy submodule, gamma module, (normal) fuzzy submodule of gamma module, fuzzy prme submodule, fuzzy prme submodule of gamma module v YILDIZ TECHNICAL UNIVERSITY GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES

BÖLÜM 1 GİRİŞ 1.1 Lteratür Özet Boş olmayan br X kümesnden I=[0,1] aralığına tanımlı br fonksyonunu, bulanık alt küme kavramı olarak lk tanımlayan Zadeh [1] oldu. Bulanık Mantık ın lk kez 1965 yılında Zadeh tarafından ortaya konulmasından kısa br süre sonra, bu mantığa olan gereksnm, ona karşı olan lgnn hızla artmasıyla kendlğnden kanıtlanmıştır. Özellkle 1980 l yılların ortalarından tbaren, gerek blmde ve gerekse teknolojde kullanılmaya başlanılması le bu k alanda da farklı düzeylerde nanılmaz gelşmelern yaşanmasına neden olmuştur. Zadeh n öğrencs Chang n 1968 yılında yayınladığı Bulanık Topolojk Uzaylar adlı makalesnden sonra br cebrc olan Rosenfeld [2], Eğer Chang bunu topolojk uzaylar çn yapablyorsa, ben de bunu cebrsel yapılar çn yapablrm dyerek yola koyuldu ve 1971 yılında Bulanık Gruplar adlı makalesn yayınladı. Bu bulanık cebr alanında yayınlanan lk eserd. Daha sonra brçok blm adamı tarafından cebrn hemen hemen bütün yapılarında kullanılarak gelştrlmştr. Malk ve Mordesen [3],[4] halkalardak bulanık lşkler nceled. Bulanık alt halka kavramından sonra br halkanın bulanık dealnn tanımlanması gerekllğ doğdu. Bulanık deal kavramını lk ortaya atan Lu [5],[6] oldu. Bulanık alt modül se lk olarak Negota ve Ralescu [7] tarafından tanımlandı. Pan [8] ve Sdky [9] sonlu üretlen bulanık modüller ve bulanık bölüm modüllern ortaya koymuştur. Daha da ötesnde, Makambra ve Muralı [10], Bhambr ve Kumar [11] bulanık asal alt modüller ve radkallern ncelemştr. Gamma halka kavramını lk olarak ortaya atan Barnes [12] ve Booth [13],[14], devamında gamma halkanın deal ve gamma halkanın asal modüller le lgl 1

çalışmalar yaptılar. Gamma halkaların radkaller se Coppage ve Luh [15] tarafından gelştrld. halkaların bulanık dealler Jun ve Lee [16] tarafından tanımlandı. Hong ve Jun [17], normalleştrlmş bulanık deal ve maksmal deal tanımlarını yaptılar. Dutta ve Chanda [18] se halkaların bulanık deallerne at yapıların gelştrlmesne yardımcı oldu. Modüllern çeştl karakterstkler se Dauns [19] tarafından analz edld. 1.2 Tezn Amacı Bu çalışmanın amacı gamma modüllernn alt modüllerne karşılık br bulanık gamma modülünün varlığı ve bulanık gamma modüller çn bulanık cebrde geçerl olan bazı temel teoremlern varlığını göstermektr. Bu bağlamda zomorfzma teoremlernn gamma modülern (normal) bulanık alt modüller çn de geçerl olduğunu spatlamaktır. Ayrıca gamma modüllern bulanık asal alt modüllern tanımlayıp bulanık asal alt modüller de gördüğümüz teoremler benzer bçmde gamma modüller çn de göstermektr. 1.3 Hpotez nün G M modülün (normal) bulanık alt modülü olması çn gerek ve yeter koşul t 0,1 çn t nn gamma modülün br (normal) alt modülü olmasıdır. Ayrıca ve, G M modülün k alt modülü olmak üzere şlem de, G M modülün bulanık alt modülü olur. f : G1 G2 değşmez fonksyonu G 1 den G2 M modüle tanımlı ve, G 1 n (normal) bulanık alt modülü olsun. Bu durumda f ( ), G2 modülün (normal) bulanık alt modülü olur. Buna ek olarak f : G1 G2 değşmez fonksyonu G 1 den G2 M M modüle tanımlı ve, G 2 nn (normal) bulanık alt modülü olsun. Bu durumda f 1 ( ), G1 M modülün (normal) bulanık alt modülü olur. Klask cebrdek zomorfzma teoremlerne paralel olarak, f : G G' gamma modüllern br epmorfzması ve Çekf G olmak üzere, G nn (normal) bulanık alt modülü olsun. Bu durumda (0) v(0) olmak üzere ve v G G' olur. İknc zomorfzma teorem benzer, f ( ) gamma modülün (normal) bulanık alt modüller se, 2

G G G v v olur. Nhayetnde (0) v(0) ve olmak üzere ve v G gamma modülün (normal) bulanık alt modüller se v G olur ve üçüncü G v zomorfzma teorem gerçeklenr. Son olarak M olmak üzere, G değşmel ve brml br halka [0,1] M gamma halkasının bulanık asal deal se, [0,1] M G M modülün bulanık asal alt modülü olur. 3

BÖLÜM 2 Bu bölümde çalışmamızın çnde yer alan temel tanım ve teoremler vereceğz. ÖN BİLGİLER Tanım 2.1 G boş olmayan br küme, da G üzernde tanımlı br kl şlem olmak üzere, aşağıdak aksyomları sağlayan ( G, ) cebrsel yapısına grup denr. (G1) Her a, b G çn ab G dr. (kapalılık özellğ) (G2) Her a, b, c G çn a( bc) ( ab) c dr. (brleşme özellğ) (G3) Her a G çn ae a e a olacak şeklde br e G vardır. (brm elemanın varlığı) (G4) Her a G çn ab e b a olacak şeklde br b G vardır. (ters elemanın varlığı) Tanım 2.2 ( G, ) br grup ve her a, b G çn ab b a (değşme özellğ) se bu gruba değşmel veya Abelyen grup denr. Tanım 2.3 ( G, ) br grup ve H de G nn boş olmayan br alt kümes olsun. Eğer H kümes G de tanımlanan şlemne göre br grup oluyorsa H ye G nn br alt grubu denr. Tanım 2.4 Boş kümeden farklı br R kümesnde (+) ve (.) semboller le gösterlen k şlem tanımlanmış olsun. Aşağıdak aksyomları sağlayan ( R,, ) yapıya br halka denr. (R1) Her a, b, c R çn a ( b c) ( a b) c dr. (R2) Her a, b R çn a b b a dr. k şleml cebrsel (R3) Her a R çn a0 a şartını sağlayan R nn br 0 elemanı olmalıdır. 4

(R4) Her a R çn a(- a) 0 şartını sağlayan br a R olmalıdır. (R5) Her a, b, c R çn a.( b. c) ( a. b). c dr. (R6) Her a, b, c R çn a.( b c) ( a. b) ( a. c) dr. (R7) Her a, b, c R çn ( b c). a ( b. a) ( c. a) dr. Tanım 2.5 Her a, b R çn a. b b. a se R ye değşml halka denr. Tanım 2.6 Her a R çn a. e a e. a olacak şeklde br e R eleman, R ye de brm elemanlı halka denr. var se e ye brm Tanım 2.7 R br halka ve I, R nn boş kümeden farklı br alt kümes olsun. () Her a, b I ve her r R çn a b I, ra I se I ya R nn br sol deal denr. () Her a, b I ve her r R çn a b I, ar I se I ya R nn br sağ deal denr. () I, R nn hem sağ hem de sol deal se I ya kısaca R nn br dealdr denr. Örnek 2.8 ( Z,, ) halkasında her n Z çn I nz alt halkası br dealdr. Teorem 2.9 R br halka ve I, R nn br deal olsun. Her r R çn r I { r a a I} şeklndek tüm kosetlern kümes RI le gösterlrse, r I, r I R I çn; 1 2 ( r I) ( r I) ( r r ) I, 1 2 1 2 ( r I)( r I) rr I 1 2 1 2 şeklnde tanımlanan toplama ve çarpma şlemlerne göre RI br halkadır. Tanım 2.10 R br halka ve I, R nn br deal olsun. ( RI,,.) halkasına R nn I dealne göre bölüm halkası denr. Örnek 2.11 R Z halkasında I 4Z deal çn R I { I 0, I 1, I 2, I 3} bölüm halkası elde edlr. Tanım 2.12 ( R,, ) ve ( R,, ) k halka ve f : R R br fonksyon olsun. Her a,b R çn; f ( a b) f ( a) f ( b), 5

f ( a. b) f ( a) f ( b) koşulları sağlanıyorsa f ye R den R ye br homomorfzma denr. R halkasından R halkasına br f homomorfzması () f bre-br se br monomorfzma, () f örten se br epmorfzma, () f bre-br ve örten se zomorfzma, olarak adlandırılır. R halkasından R halkasına f br zomorfzma se 1 f de R halkasından R halkasına br zomorfzmadır. R halkasından R halkasına br zomorfzmaya da otomorfzma denr. Tanım 2.13 f, R halkasından R halkasına br homomorfzma olsun. 0, R halkasının toplamsal brmn belrtmek üzere; Çekf { ar f ( a) 0} kümesne f nn çekrdeğ denr. Örnek 2.14 n poztf tamsayısı le üretlen n { qn q Z} dealn ele alalım. az olmak üzere, n nn Z kümesndek kosetler, a n { a qn q Z} ve Z n bölüm halkası, Z n { a n a Z} şeklndedr. ( Z n, + n ) halkasından ( Z n, ) halkasına f : Zn Z n, f ([ a]) a n dönüşümü br zomorfzmadır. f ([ a] [ b]) f ([ a b]) ( a b) n ( a n ) ( b n ) f ([ a]) f ([ b]) n f ([ a] [ b]) f ([ ab]) ( ab) n ( a n )( b n ) f ([ a]). f ([ b]) n eştlklernden f nn Zn den Z n üzerne br zomorfzma olduğu görülür. Teorem 2.15 (1. zomorfzma teorem) f, R halkasından R halkasına br zomorfzma olsun. Bu durumda f( R ), R halkasının br dealdr ve R Çekf f ( R) dr. 6

Teorem 2.16 (2. zomorfzma teorem) I ve J br R halkasının k deal olsun. I ( I J) ( I J) J dr. Teorem 2.17 (3. zomorfzma teorem) I 1 ve I 2 br R halkasının k deal ve I1 I2 olsun. ( R I1) ( I2 I1) ( R I2) dr. Tanım 2.18 P, R nn br deal ve R nn A ve B dealler çn AB P olduğunda A P veya B P oluyorsa P dealne asal deal denr. Teorem 2.19 R nn br P dealnn asal olması çn gerek ve yeter koşul a, b R çn ab P a P veya b P olmasıdır. Örnek 2.20 Z tamsayılar halkasında P {3 k k Z} deal br asal dealdr. Tanım 2.21 R değşmel br halka ve Q, R nn br deal olsun. Her a, b R, abq ve a Q çn, n b asallanablr deal denr. Q olacak şeklde br n poztf tamsayısı varsa Q dealne br Tanım 2.22 R değşmel br halka ve I, R nn br deal olsun. I dealnn radkal, I { ar a n I, n Z } şeklnde tanımlanır. Tanım 2.23 R br halka olsun. Her r, s R ve m, m M çn RM M dönüşümü, () r.( m m) r. m r. m, () r.( s. m) ( r. s). m, () ( r s). m r. m s. m koşullarını sağlıyorsa, ( M, ) değşmel grubuna br sol R modül veya R üzernde br sol modüldür denr. R brml br halka ve her mm çn 1.m m se M grubuna brml veya brmsel br sol R modüldür denr. Sağ R modül de benzer şeklde tanımlanablr. Tanım 2.24 M br R modül ve N M nn boş kümeden farklı br alt kümes olsun. N M nn br alt grubu ve her r R, a N çn ra N oluyorsa N ye M nn br alt modülü denr. 7

Tanım 2.25 X, M nn br alt kümes ve X, M nn X tarafından üretlen alt modülü olsun. Herhang br x M çn x, M nn x tarafından üretlen alt modülüdür. M nn herhang br N alt modülü çn, m ve N : M r r R, m N öyle k r M N N : M r r R, rm N eştlklerne sahbz. Tanım 2.26 M br R modül ve K M nn br alt modülü olsun. K M olmak üzere, r R, m M ve rm K olduğunda m K veya r ( K : M) oluyorsa K alt modülüne asal alt modül denr. 8

BÖLÜM 3 BULANIK ALT MODÜLLER 3.1 Bulanık Kümeler Tanım 3.1.1 X herhang br küme olmak üzere, : X 0,1 fonksyonuna X şeklnde tanımlanan n bulanık (fuzzy) alt kümes denr. X n bütün bulanık alt kümelernn oluşturduğu kümeye X n bulanık kuvvet kümes denr ve 0,1 X şeklnde gösterlr [1]. Tanım 3.1.2 0,1 X olmak üzere görüntü kümes denr ve X ya da Im( ) Tanım 3.1.3 0,1 S olmak üzere, x : x X le tanımlanan kümeye nün şeklnde gösterlr. x: ( x) 0, x S (3.1) kümesne nün destekleycs denr. Eğer sonlu alt küme, br küme se ye sonlu bulanık sonsuz br küme se ye de sonsuz bulanık alt küme denr. Ayrıca 1 X se ye X n brml bulanık alt kümes denr. Tanım 3.1.4 Y X ve [0,1] a olmak üzere a 0,1 X aşağıdak şeklde tanımlanır: Y ay ( x) a; x Y 0; xy (3.2) Özel olarak; eğer Y {} y se ay kümes a{ y} veya y a şeklnde fade edlr, 0,1 nokta (pont) veya 0,1 sngleton le adlandırılır. 9

Eğer a 1 se, 1 ; xy 1 Y( x) Y( x) 0 ; x X\Y (3.3) fonksyonuna karakterstk fonksyon denr. Tanım 3.1.5, 0,1 X olmak üzere x X çn ( x) ( x) se v bulanık alt kümes, bulanık alt kümesn kapsar denr ve şeklnde gösterlr. Tanım 3.1.6, 0,1 X olmak üzere, tanımlanır: x X çn, 0,1 X kümeler şu şeklde ( )( x) ( x) ( x) (3.4) ( )( x) ( x) ( x) (3.5) Tanım 3.1.7 0,1 X olmak üzere 0,1 a çn, a x: x X, x a (3.6) kümesne nün sevye alt kümes denr. Teorem 3.1.8, 0,1 X olmak üzere, aşağıdak fadeler doğrudur. ) a, 0,1 a a a b, a, b 0,1 b a ) ), 0,1 a a a Tanım 3.1.9 X, Y herhang k küme ve 0,1 X, dönüşüm olsun. f 0,1 Y 1 ve f y Y çn, 0,1 Y ayrıca f : X Y br 0,1 X bulanık alt kümeler olmak üzere -1 ( x): x X, f ( x) y ; f ( y) f( )( y) -1 0 ; f ( y) (3.7) 10

x X çn, f x [ f x ] (3.8) 1 şeklndek fonksyonlara sırasıyla f nn altındak görüntüsü ve f ters görüntüsü denr [3]. nn v altındak 3.2 Bulanık Alt Grup, Bulanık Alt Halka ve Bulanık İdealler Bu bölümde G dama brm e olan ve çarpımsal kl şleme sahp keyf br grubu, R se değşmel br halkayı temsl edecek. Grup ve halkanın bulanık alt kümelernde bazı şlemler tanımlayıp ardından sırasıyla bulanık alt grup, bulanık alt halka ve bulanık deal tanımlarını vereceğz. Daha sonra se bulanık asal deal, bulanık dealn radkal ve bulanık asallanablr deal kavramları verlecek. Tanım 3.2.1 G br grup ve, 0,1 G bulanık kümeler olmak üzere, x G çn x y z : y, z G, yz x, (3.9) x x. (3.10) 1 1 şlemne ve v nün nokta çarpımı, 1 fadesne bulanık alt kümesnn ters denr. Tanım 3.2.2 G br grup ve 0,1 G olsun. Eğer aşağıdak koşulları sağlıyorsa ye G nn bulanık (fuzzy) alt grubu denr [2]. (G1) x, y G çn, xy x y, 1 çn, x x (G2) x G G nn tüm bulanık alt gruplarının kümesn LG ( ) le gösterelm. Tanım 3.2.3 LG ( ) olmak üzere, : xg x e (3.11) şeklnde tanımlanır. Ayrıca n N olmak üzere x G n çn (G1) koşulundan x x 11 elde edlr.

Teorem 3.2.4 LG ( ) olmak üzere, x G çn; (1) ( e) ( x) (2) 1 ( x) ( x ) olur. Teorem 3.2.5 H br grup ve v L( H) olsun. f : G H dönüşümü br homomorfzma se f 1 ( v) L( G) olur. R değşmel halkasının bulanık alt kümelernde bazı şlemler tanımlayalım. Tanım 3.2.6 R br halka, ve R halkasının bulanık alt kümeler olsun.,,, bulanık alt kümeler aşağıdak gb tanımlanır. x R çn, ( )( x) y z y, z R, y z x, (3.12) ( )( x) ( x), (3.13) ( )( x) ( y) ( z) y, z R, y z x, (3.14) ( )( x) ( y) ( z) y, z R, yz x. (3.15), ve sırasıyla ve nün toplamı, farkı ve nokta çarpımı olarak adlandırılır., nün negatf olarak tanımlanır. Tanımdan ve ( ) olur. R halkası değşmel olduğundan, v [0,1] R çn dür. Tanım 3.2.7, [0,1] R olsun. x R çn v [0,1] R, n ( )( x) { ( ( y ) ( z )) y, z R,1 n, n, yz x} (3.16) 1 n 1 şeklnde tanımlanır. R değşmel olduğundan, v [0,1] R çn olur. Tanım 3.2.8 R br halka ve, R halkasının bulanık alt kümes olsun. Bu durumda eğer, 12

(R1) x y x y x, y R (R2) xy x y x, y R şartları sağlanırsa ye R halkasının bulanık alt halkası denr. R nn tüm bulanık alt halkalarının kümesn LR ( ) le gösterelm. Tanım 3.2.9, (R1) şartını sağlasın. Eğer, (R3) xy x y x, y R şartını da sağlıyorsa R halkasının bulanık deal olarak adlandırılır [5]. R nn tüm bulanık deallernn kümesn LI( R ) le göstereceğz. R br halka,, R nn bulanık deal se, bu durumda, x R x 0 (3.17) şeklnde alablrz. [0,1] R olsun. R halkası değşmel olduğundan nün (R3) koşulunu sağlaması çn gerek ve yeter koşul, xy x x, y R (3.18) olmasıdır. Teorem 3.2.10, LI( R) olsun. Bu durumda; (1) 0 x x R (2) R halkası brml se, 1 x (3) x, y R olsun. x y 0 (4) R nn br dealdr. (5) R nn br dealdr. xr se x y olur. ( ) (6) 13

Tanım 3.2.11,, LI( R) olsun. sabt olmamak üzere, ken veya oluyorsa dealne R nn bulanık asal deal denr. Teorem 3.2.12,, LI( R) olsun. sabt olmamak üzere, dealnn R nn bulanık asal deal olması çn gerek ve yeter koşul ken veya olmasıdır. Tanım 3.2.13 c [0,1] ve 1 c olsun. ab, [0,1] çn a b c ken a c veya b c oluyorsa c elemanına [0,1] n br asal elemanıdır denr. LI( R), ve olacak şeklde R nn tüm bulanık asal deallernn kümesn P le göstereceğz. Tanım 3.2.14 LI( R) olmak üzere, : P ; P 1 R ; P (3.19) şeklnde tanımlanan fadesne bulanık dealnn radkal denr. Teorem 3.2.15, R nn sabt br bulanık deal olsun. Bu durumda 1 R olur. Tanım 3.2.16,, LI( R) olsun. sabt olmamak üzere, ken veya oluyorsa dealne R nn bulanık asallanablr deal denr. 3.3 Bulanık Alt Modüller Bu bölümde lk olarak br modülün bulanık alt kümelernde toplama ve skalerle çarpma le lgl brkaç şlem ele alacağız, ardından bulanık alt modül tanımını vereceğz. Bu bölümde aks belrtlmedkçe R brm 1 olan değşmel br halka, M br R modül ve 0 M, M nn sıfır elemanı olarak alınacaktır. I kümes de boş kümeden farklı br ndeks kümes olsun. Tanım 3.3.1, [0,1] M olsun., [0,1] M bulanık alt kümelern x M çn, ( x) ( y) ( z) y, z M, y z x, 14

( x) ( x). şeklnde tanımlamıştık. v, ve v nn toplamı, de nün negatf olarak adlandırıldı. [0,1] M, 1 n ve n olsun. + şlemnde brleşme ve değşme özellğ olduğundan, 1 2... n toplamını düşüneblrz ve bu toplamı yazarız. n 1 olarak I 1 olmak üzere, her I çn [0,1] M olsun. O zaman [0,1] M toplamı her x M çn, I ( x) I ( x ) x M, I, x x I (3.20) şeklnde tanımlansın öyle k x x olmasın. I, ve en fazla sonlu tane I lern zayıf toplamı olarak adlandırılır. x, 0 M e eşt Açıktır k, I 1,2,..., n ve n 2 çn n I 1 dr. Tanım 3.3.2 r R ve [0,1] M olsun. r [0,1] M şu şeklde tanımlansın. xm çn, r( x) ( y) y M, ry x. (3.21) r, r le nün çarpımı olarak adlandırılır. M Teorem 3.3.3 r, s R ve,,, [0,1], I olsun. Bu durumda aşağıdakler sağlanır: (1) 1, ( 1) r1 1 (2) 0 0 M (3) r r M (4) r s rs 15

r r r (5) (6) r I I r (7) ( ) r rx x x M rx x x M r (8) ( ) (9) ( ) ( ), r s rx sy x y x y M rx sy x y x ym r s (10) ( ) ( ), İspat (1) den (6) ya kadar aşkârdır. (7) r rx ( y) y M, ry rx ( x) x M (8) Eğer ( ) rx x x M se, r ( x) ( y) y M, ry x ry ym, ry x ( x) x M, r dr. Eğer r se, (7) den rx r rx ( x) x M olur. (9) (7) ve + şlemnn tanımından, ( ) ( ), r s rx sy r rx s sy x y x y M olur. (10) Farz edelm k, ( ) ( ), rx sy x y x y M olsun. O zaman z M çn, r s ( z) r ( u) s ( v) u, vm, u v z ( x) xm, rx u ( y) y M, sy v u, vm, u v z ( x) ( y) x, y M, rx sy z () z olur. Buradan r s elde edlr. Tersne r s olduğunu varsayalım. O zaman x, y M çn, 16

rx sy r s rx sy rrx s sy ( x) ( y) ((7) den) olur. Teorem 3.3.4 r, s R ve [0,1] M olsun. Bu durumda, (1) ( ) r rx x x M, (2) ( ) ( ), r s rx sy x y x y M. İspat Br öncek teoremn (8), (9) ve (10). maddelernden elde edlr. Teorem 3.3.5 Varsayalım k, N br R modül ve f, f : M N şeklnde tanımlı br homomorfzma olsun. r, s R ve, [0,1]M çn, (1) f f ( ) f ( ), (2) f r r f ( ), (3) f r s r f ( ) s f ( ). İspat (1) Kolaylıkla gösterleblr. (2) y N çn, f r ( y) r ( x) xm, f ( x) y ( u) u M, ru x xm, f ( x) y ( u) u M, f ( ru) y ( u) u M, r f ( u) y r f ( )( y). Buradan da f r r f ( ) elde edlr. 17

(3) Bu fade (1) ve (2) nn sonucu olarak hemen çıkar. Tanım 3.3.6 [0,1] R ve [0,1] M olsun., [0,1] M şlemlern x M çn aşağıdak şeklde tanımlayalım: ( x) ( r) ( y) r R, y M, ry x, (3.22) n ( x) ( r ) ( x ) r R, x M, 1 n, n, r x x. (3.23) n 1 1 Teorem 3.3.7 [0,1] M olsun. O zaman (1) Tüm r R çn, 1 r r, (2) Tüm r R ve x M çn, n r 1 n 1 ( x) ( x ) x M, 1 n, n, r x x. 1 Tanım 3.3.8 [0,1] M çn; 0 1, (M1) M (M2) ( ) rx x r R ve x M, (M3) ( ) ( ), x y x y x y M koşullarını sağlayan ye M nn br bulanık alt modülü denr [7]. M nn tüm bulanık alt modüllernn kümesn LM ( ) le göstereceğz. R kend üzernde br modül olduğundan, br öncek tanımdan nün R modülünün br bulanık alt modülü olması çn gerek ve yeter koşul nün R halkasının br bulanık deal olmasıdır. x M çn 1x x olduğundan (M2) koşulu x M çn ( x) ( x) sağlar. Buradan da LM ( ) olması çn gerek ve yeter koşul nün M toplamsal grubunun br bulanık alt grubu ve (M2) şartını sağlamasıdır. Teorem 3.3.9 [0,1] M olsun. O zaman LM ( ) olması çn gerek ve yeter koşul nün (M1) ve aşağıdak şartı sağlamasıdır: 18

(M4) ( ) ( ),, rx sy x y r sr ve x y M. İspat Farzedelm LM ( ) olsun. Tanımdan dolayı (M1) koşulunu sağlar. aynı zamanda (M2) ve (M3) şartlarını da sağlar. Buradan da r, sr ve x, y M çn, rx sy rx sy ( x) ( y) olur. Böylece (M4) koşulunu da sağlamış olur. Tersne, (M1) ve (M4) şartlarını sağlasın. Bu durumda r R ve x M çn, rx rx r0 ( x) (0 ) ( x) ve x, y M çn, M x y 1x 1 y ( x) ( y) olur. M Böylece (M2) ve (M3) koşullarını sağlar. Buradan da LM ( ) elde edlr. Teorem 3.3.10 [0,1] M olsun. LM ( ) olması çn gerek ve yeter koşul nün M toplamsal grubunun br bulanık alt grubu ve aşağıdak şartı sağlamasıdır: M2 r r R. Teorem 3.3.11 aşağıdak şartları sağlamasıdır: 1 0M M1, M2 r r R, M3. [0,1] M olsun. LM ( ) olması çn gerek ve yeter koşul nün Teorem 3.3.12 aşağıdak şartları sağlamasıdır: 1 0M M1, [0,1] M olsun. LM ( ) olması çn gerek ve yeter koşul nün M4 r s r, s R. 19

Örnek 3.3.13 R ve M 6 olmak üzere, 1 x 0 se, 1 ( x) x 2,4 se, 3 1 x 1,3,5 se, 4 şeklnde tanımlanan, M nn br bulanık alt modülüdür. Bz şmd bulanık alt modüller le lgl bazı temel özellklerden bahsedeceğz. Eğer, [0,1] M se,, x M çn ( x) ( y) ( z) y, z M, x y z şeklnde tanımlanmıştı. Teorem 3.3.14, v [0,1] M olsun. O zaman LM ( ) dr. İspat r R çn Teorem 3.3.3(5) ve Teorem 3.3.10 dan r r r olur. Buradan LM ( ) elde edlr. Teorem 3.3.15 LI( R) ve LM ( ) olsun. Bu durumda LM ( ) olur. İspat 0 1 olduğu açıktır. r R, x M çn, M n rx s z s R, z M, 1 n, n, s z rx 1 1 n,, 1,, rr x r R x M n n rr x rx n 1 1 n n 1,, 1,, 1 r x r R x M n n r x rx n x olur. şlemnn şlem üzerne dağılma özellğnden, x, y M çn, x y x y olur. Buradan da LM ( ) bulunur. M R alınırsa br öncek teoremden, eğer, LI( R) se LI( R) olur. 20

Teorem 3.3.16 LI( R) ve LM ( ) olsun. Eğer (0 ) 1 se. LM ( ) olur. Örnek 3.3.17 R ve M 6 olmak üzere, nün M nn br bulanık alt modülü olduğunu Örnek 3.3.13 de söylemştk. 21 LI( R) ve LM ( ) çn, 2 (2. )(0) {2 (2) (3),2 (3) (4),...} 1 1 1 2 2 2 1 1 1 {,0,...} 2 4 3 1 2 (2. )(1) (2. )(3) (2. )(5) 0 1 1 1 2 2 2 (2. )(2) {2 (1) (2),2 (2) (4),2 (4) (5)...} 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 {0,,0,...} 3 2 3 4 1 (2. )(4) 3 1 2 1 x 0 se, 2 1 (21. )( x) x 2,4 se, 2 3 0 x 1,3,5 se, elde edlr. Sonuç olarak (21. )(0) 1 olduğundan 21. LM ( ) olur. 2 2 R 3.4 Bölüm Modüllernn Bulanık Alt Modüller, Rezdüel Bölümler ve Asal Alt Modüller Bu bölümde öncelkle br bölüm modülünün bulanık alt modüllernn yapısının oluşumundan ve modül homomorfzmalarından bahsedlecektr. Sonrasında rezdüel bölümler kavramı ve asal bulanık alt modül tanımı verlecektr. 21

Teorem 3.4.1 A, M nn br alt modülü ve LM ( ) olsun. x M çn, [0,1] M A yı aşağıdak şeklde tanımlayalım: x ( u) u x (3.24) Burada M A, M nn bölüm modülünü, [ x] se x A kosetn fade etmektedr. Bu durumda LM A olur. İspat, M A bölüm modülünün toplamsal grubunun br bulanık alt grubudur. Şmd r R ve x M çn, rx rx a a rx rx y y A rx rz z A r x z z A x z z A u u x x olur. Buradan da LM A elde edlr. Şmd Teorem 3.4.1 n özel br durumunu ele alalım. LM ( ), a [0,1] ve A a olsun. Bu durumda A, M nn br alt modülüdür. Böylece Teorem 3.4.1 den (3.24) eştlğ le tanımlanan, LM A olur. xm olsun ve x Eğer [ x] A se, x olur. Böylece herhang br 1 dr. Eğer x x y x z ( x) ( z) ( x) 22 göz önüne alalım. A se, o zaman x A ve buradan ( x) a y çn z A vardır öyle k y x z dr. Buradan,

olur. Benzer bçmde x x y x y z y z y dr. Sonuç olarak elde edlr. O halde x M 1 ( x) a ( x) dğer durumlarda çn x, şeklnde verleblr. A a olması durumu benzer şeklde elde edleblr. Bz şmd Teorem 3.4.1 de tanımlanan bulanık alt modülünün özellklern nceleyelm. olacak şeklde, LM ( ) alalım. ve ın her ksnn de M nn alt modülü olduğu blnyor. olduğu açıktır. Böylece, ın br alt modülüdür. Dahası açıktır k L x çn, x z z x şeklnde tanımlarsak [ x ], koset x dr. Buradan Teorem 3.4.1 den eğer, [0,1] ı ı fade eder ve bu durumda L olur. Bulanık alt modül, nün ye göre bölüm modülü olarak adlandırılır. le gösterlr. LM ( ), N br R modül ve f : M N olur. br homomorfzma alırsak f L( N) Tanım 3.4.2 M, N br R modül, LM ( ) ve LN ( ) olsun. (1) Br f : M N homomorfzması; eğer f se den ye zayıf homomorfzma olarak adlandırılır. den ye f homomorfzması zayıf f homomorfzma se, ye zayıfça homomorfktr denr ve ya da bastçe şeklnde yazılır. 23

(2) Br f : M N zomorfzması; eğer f se den ye zayıf zomorfzma olarak adlandırılır. den ye f zomorfzması zayıf zomorfzma se o zaman, f ye zayıfça zomorfktr denr ve ya da bastçe (3) Br f : M N homomorfzması; eğer f şeklnde yazılır. se den ye br homomorfzma olarak adlandırılır. Eğer f, den ye br homomorfzma se o zaman, ye homomorfktr denr ve (4) Br f : M N zomorfzması; eğer f f ya da bastçe şeklnde yazılır. se den ye br zomorfzma olarak adlandırılır. Eğer f, den ye br zomorfzma se o zaman, ye zomorfktr denr ve f ya da bastçe şeklnde yazılır. Teorem 3.4.3 olmak üzere, LM ( ) olsun. Bu durumda olur. Teorem 3.4.4 LM ( ) olsun. N br R modül ve LN ( ) olmak üzere olduğunu varsayalım. Bu durumda, LM ( ) vardır öyle k ve olur. Teorem 3.4.5, LM ( ) olur. olsun. Bu durumda Teorem 3.4.6 olmak üzere,, LM ( ) olsun. Bu durumda olur. Tanım 3.4.7, [0,1] M ve [0,1] R çn rezdüel bölümler : [0,1] R ve : [0,1] M çn aşağıdak şeklde tanımlanır: R : [0,1], M : [0,1], (3.25) Teorem 3.4.8, [0,1] M ve [0,1] R olsun. Bu durumda, (1) : ra r R, a[0,1], ra (2) : xa xm, a[0,1], xa 24

olur. İspat (1) Tanım 3.4.7 den, r r R, a[0,1], r : a a olduğu açıktır. [0,1] R,, r R ve () r a olsun. Bu durumda x M çn, r x r s y s R, y M, sy x a a r y y M, ry x x x Böylece r a ve bundan dolayı, : r r R, a L, r a a olur. Sonuçta, : r r R, a L, r a a elde edlr. (2) (1) e benzer şeklde yapılır. Teorem 3.4.9, [0,1] M ve [0,1] R olsun. Bu durumda, (1) :, (2) :, (3) : : olur. Teorem 3.4.10, [0,1] M ve [0,1] R olsun. (1) Eğer LM ( ) se, : LI( R), olur. 25

(2) Eğer LI( R) se, : LM ( ), olur. Teorem 3.4.11 LM ( ), [0,1] M ve LI( R) olsun. Bu durumda : LI( R) ve : LM ( ) olur., LM ( ) ve LI( R) olsun. :, ve nn rezdüel bölüm bulanık alt modülü, : de ve nün rezdüel bölüm bulanık deal olarak adlandırılır. Tanım 3.4.12, LM ( ) ve, nün bulanık alt modülü olsun. r [0,1] R t ve x [0,1] M olmak üzere, rx t s s bulanık asal alt modülü denr [10]. ken xs Eğer özellkle aldığımızda, rx t s M nn br bulanık asal alt modülü denr. M Teorem 3.4.13 Eğer M veya t ken xs R alırsak, [0,1] R r oluyorsa, ye nün br veya r t M oluyorsa, ye nün M nn br bulanık asal alt modülü olması çn gerek ve yeter koşul, nün M nn br bulanık asal deal olmasıdır. Teorem 3.4.14, LM ( ) ve, nün bulanık alt modülü olsun. Eğer t t se, t, t nn br asal alt modülü olur. Teorem 3.4.15, M nn br bulanık asal alt modülü olsun. Bu durumda, { xm ( x) (0 M )} M nn br asal alt modülü olur. 26

BÖLÜM 4 GAMMA MODÜLLER Bu bölümde öncelkle gamma halka ve gamma deal tanımlarını vereceğz ve ardından tezmzn temel unsurlarından br olan gamma modül kavramından bahsedeceğz. Tanım 4.1 M ve toplamsal değşmel gruplar a, b, c M,,, ve M M M şeklnde br dönüşüm verlsn. () ab M, () ( a b) c a c b c a( ) c a c ac a ( b c) ab a c, () a ( bc) ( ab) c. şartlarını sağlayan M ye halka denr [12]. Örnek 4.2 ( R, ) ve ( S, ) halkaları çn, (( r, s ),,( r, s )) ( r r, s s ) 1 1 2 2 1 2 1 2 dönüşümü le tanımlanan R S çarpımı br halka olur. Tanım 4.3 M br halka, A M nn br alt kümes ve AA { aa a A, } kümes çn A M nn br toplamsal alt grubu ve AA A oluyorsa A ya M nn br alt halkasıdır denr. Tanım 4.4 M br halka, I, M nn br alt kümes ve IM { am ai,, mm} kümes çn I M nn br toplamsal alt grubu ve IM I oluyorsa I ya M nn br sağ deal denr [13]. 27

M nn br sol deal de benzer şeklde tanımlanablr. Tanım 4.5 M br halka, S ve T M nn dealler olmak üzere ST P ken S P veya T P oluyorsa M nn P dealne asal deal denr. Tanım 4.6 G toplamsal değşmel grup ve M halka olsun. g, g G,,, x, y M ve GM G dönüşümü verlsn. ) g x G, ) g( x y) ( g x) y, ) ( g g) x g x g x g( x y) g x g y. şartlarını sağlayan G ye br sol M modül denr [14]. Örnek 4.7 I, M halka nın br deal olsun. M M I M I, ( m,, mi ) ( mm) I dönüşümü le tanımlanan M I br M modüldür. Tanım 4.8 N, toplamsal değşmel G grubunun br alt grubu olmak üzere; g N,, x M çn g x N oluyorsa N M modülüne, G M modülün br alt modülü denr. Tanım 4.9 N, toplamsal değşmel G grubunun br alt grubu olmak üzere; g N,, x M çn g x N olduğunda x N veya gx N oluyorsa N M modülüne, G M modülün br asal alt modülü denr. Tanım 4.10 G ve G, M modüller olsun. x, y G, çn, () f ( x y) f ( x) f ( y), () f ( xy) f ( x) f ( y) koşullarını sağlayan f : G G fonksyonuna M modül homomorfzması denr. f 1-1 se monomorfzma, örten se epmorfzma, hem 1-1 hem de örten se zomorfzmadır. 28

Teorem 4.11 f : M N fonksyonu br R homomorfzması se Çekf { xm f ( x) 0} ve Im f { y N x M; y f ( x)}, M nn R alt modüllerdr. Teorem 4.12 B ve C, M nn R alt modüller olsun. B ( B C) ( B C) C olur. 29

BÖLÜM 5 GAMMA MODÜLLERİN BULANIK ALT MODÜLLERİNE AİT YAPILAR Bu bölümde tezmzn dğer br temel unsuru olan gamma modüllern (normal) bulanık alt modüllern araştıracağız ve bulanık gamma modüllern bazı özellklern vereceğz. Klask cebrdek zomorfzma teoremlernn, gamma modüllern (normal) bulanık alt modüllernde de geçerl olduğunu gösterdk. Sonrasında se gamma modülün bulanık asal alt modülünü tanımladık ve aradak lşkler analz ettk. Tanım 5.1 [0,1] M ve M br halka olmak üzere, x, y M ve çn, () ( x y) { ( x), ( y)}, () ( x y) ( y) ( ( x y) ( x) ), şartlarını sağlayan ye M halkanın br bulanık sol(sağ) deal denr [17]. Tanım 5.2, M halkanın br bulanık deal ve M nn herhang k ve dealler çn, ken veya oluyorsa ye M halkanın br bulanık asal deal denr [18]. Tanım 5.3, [0,1] G olsun. O halde toplam, ( ( ( u ), ( v ))) 1 n, x u v, u, v G ( x) 0 dğer (5.1) şeklnde tanımlanır. Tanım 5.4 [0,1] G ve [0,1] M olsun. O halde çarpım, 30

n ( ( ( u ), ( v ))) 1 n, x u v, u G, v M, ( x) 0 dğer (5.2) şeklnde tanımlanır. Tanım 5.5, [0,1] M olsun. O halde ve nn çarpımları, ( ) x ( u, v ) u, v M ve xu v 0 dğer (5.3) şeklnde tanımlanır. Tanım 5.6 f, G1 M modülünden G2 M modül üzerne tanımlı br fonksyon ve LM ( ) olsun. Eğer x, y G1 M modül çn f ( x) f ( y) olduğunda ( x) ( y) oluyorsa, ye f değşmez denr. Şmd, modüllern bulanık alt modüller hakkındak benzer argümanı kullanarak G, M modülün bulanık alt modülünü tanımlayalım. Tanım 5.7 G toplamsal değşmel grup,,, m, m M ve GM G dönüşümü; ) (0 G) 1, ) ( gm) ( g), ) ( gm gm) ( g) ( g) [0,1] G ve M halka olsun. g, g G, şartlarını sağlıyorsa, G M modülün bulanık alt modülü şeklnde adlandırılır. Bundan sonra gamma modüllern tüm bulanık alt modüllernn kümesn L( M) le gösterelm. A, G nn br alt grubu olmak üzere x, y A çn xyx A oluyor se A ya G nn br normal gamma alt modülü denr. Tanım 5.8, G M modülün bulanık alt modülü olmak üzere x, y G çn ( x y x) ( y) se, G M modülün normal bulanık alt modülü şeklnde adlandırılır. 31

Örnek 5.9, G nn bulanık alt kümes M c 0 c2z olmak üzere, x G a 0 a 2 Z, x, y Z y ve 1 x 0 0 0 ( x) 1 x G 0 0 2 0 xg nün G M modülün bulanık alt modülü olduğu kolayca görüleblr. Br sonrak teorem de gamma modüllern (normal) bulanık alt modüller le gamma modüllern (normal) alt modüller arasında doğrudan br lşk olduğu kolayca görüleblr. O halde bulanık modül yapılarıyla lgl temel teoremler spatlayablrz. Teorem 5.10 nün G koşul t 0,1 M modülün bulanık alt modülü olması çn gerek ve yeter çn t nn gamma modülün br alt modülü olmasıdır. İspat Her g, x, y M ve, olduğunda ( g) t ve, G M t modülün bulanık alt modülü olduğundan ( g x) ( g) t eştszlğnden gx t elde edlr. Bundan dolayı t, gamma modülün br alt modülüdür. Benzer şeklde g( x y) ( g x) y, ( g g) x g x g x ve g( x y) g x g y şartları da sağlanmış olur. t gamma modülün br alt modülü olduğundan 0 G ve (0 ) 1 olur. t G ( g) t aldığımızda g t olur ve x, y M çn gx t olduğundan ( g x) t ( g) sağlanır. ( g) t1, ( g) t2 ve t1 t2 olsun. Bu durumda elde edlr. t t2 t1 gamma modülün br alt modülü olduğundan g x g y t 1 olur. Bu se ( g x g y) t1 t1 t2 ( g) ( g) fadesn gerçekler. Böylece nün G M modülün bulanık alt modülü olduğu görülür, bu se spatı tamamlar. Teorem 5.11 nün G yeter koşul t 0,1 M modülün normal bulanık alt modülü olması çn gerek ve çn t nn gamma modülün br normal alt modülü olmasıdır. 32

İspat xy, t olsun. Buradan ( y) t ve ( x y x) ( y) t olduğundan x y x t dr. Şu halde t gamma modülün br normal alt modülüdür. t gamma modülün br normal alt modülü, x, y G çn ( x) t1, ( y) t2 ve t t olsun. Buradan 2 1 x y x, ( x y x) t2 ( y) fadesn gerçekler. Böylece t 2 nün G M modülün normal bulanık alt modülü olduğu görülür, bu se spatı tamamlar. Teorem 5.12, G M modülün bulanık alt modülü se ve da gamma modülün brer alt modülüdür. İspat g G g : ( ) (0), her g1, ve m M çn, G M modülün bulanık alt modülü olduğundan ( g1 m) ( g1) (0) fadesnden gm olur. Benzer şeklde, g G : ( g) 0, her 1 g, ve m M çn, G M modülün bulanık alt modülü olduğundan, ( gm) ( g) 0 fadesnden modülüdür. gm olur. Sonuç olarak, ve da gamma modülün brer alt Teorem 5.13, G M modülün normal bulanık alt modülü se ve da gamma modülün brer normal alt modülüdür. İspat g G g : ( ) (0), her xy, çn, G M modülün normal bulanık alt modülü olduğundan, ( x y x) ( y) (0) fadesnden x y x olur. Benzer şeklde g G : ( g) 0, her xy, çn, G M modülün normal bulanık alt modülü olduğundan, ( x y x) ( y) 0 fadesnden x y x olur. Sonuç olarak, ve Teorem 5.14 ler, G de G M modülün bulanık alt modülüdür. İspat Her g, g G, m, m M ve, çn da gamma modülün brer normal alt modülüdür. M modülün bulanık alt modüller olsun. Bu durumda (0) (0) (0)... ) 1 2 33

11... 1 ) ( gm) 1( gm) 2( gm)... ( g) ( g)... 1 2 ( g). ) ( gm gm) 1( gm gm) 2( gm gm)... ( g) ( g) ( g) ( g)... 1 1 2 2 ( g) ( g)... ( g) ( g)... 1 2 1 2 ( g) ( g). Böylece, G M modülün bulanık alt modülüdür. Teorem 5.15 ler, G M modülün normal bulanık alt modüller olsun. Bu durumda de G M modülün normal bulanık alt modülüdür. İspat Her x, y G çn, ( x y x) ( x y x) ( x y x)... 1 2 ( y) ( y)... 1 2 ( y). Böylece G, M modülün normal bulanık alt modülüdür. 34

Teorem 5.16 ler, G M modülün (normal) bulanık alt modüller olsun. Bu durumda nn, G M modülün (normal) bulanık alt modülü olması çn gerek ve yeter koşul 1 2... olmasıdır. Teorem 5.17 ve, G M modülün bulanık k alt modülü olsun. Bu durumda toplamı da G M modülün bulanık alt modülüdür. İspat ( x) ( ( ( u), ( v))) : x u v, x, u, v G (0) ( ( (0), (0))) : x u v, x, u, vg 1. ( gm) ( ( ( g m ), ( g m ))) : gm g m g m, g, g G,,, m, m M 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 ( ( ( g ), ( g ))) : g g g, g, g G = ( g). 1 2 1 2 1 2 Benzer şeklde ( gm gm) ( g) ( g) olur. Böylece toplamı G, M modülün bulanık alt modülü olur. Teorem 5.18 ve, G M modülün bulanık k alt modülü olsun. Bu durumda, G M modülün bulanık alt modülüdür. İspat n ( ( ( u ), ( v ))) 1 n, x u v, u G, v M, ( x) 0 dğer n ( ( ( u ), ( v ))) 1 n, 0 u v, u G, v M, (0) 1. 0 dğer ( ( ( g1 1m1 ), ( g2 2m2 ))) :1 n, ( gm) n gm g1 1m1 g22m2 : g1, g2 G, 1, 2, m1, m1 M n ( ( ( g1), ( g2)) : g g g j, g, g j G 35

= ( g). Benzer şeklde ( gm gm) ( g) ( g) olduğu da gösterleblr. Böylece, G M modülün bulanık alt modülü olur. Tanım 5.19 ve, G nn brer bulanık alt kümes olsun. x, y G çn ve nn kartezyen çarpımı, ( x, y) ( ( x), ( y)) (5.4) şeklnde tanımlanır. Teorem 5.20 ve, G çarpımı da G G nn br bulanık alt modülüdür. M modülün bulanık alt modüller se kartezyen İspat g, g1, g, g 1 G, m, m1, m, m 1 M ve,, 1, 1 olmak üzere, (0) 1 (0) eştlğnden, (0,0) ( (0), (0)) 1 ( gm, gm) ( ( gm), ( gm)) ( ( g), ( g)) ( gg, ). (( gm, gm) ( g m, g m)) ( gm g m, gm g m) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ( gm g m ), ( g m g m)) 1 1 1 1 1 1 ( ( ( g), ( g )), ( ( g), ( g ))) 1 1 ( ( ( g), ( g)), ( ( g ), ( g ))) 1 1 ( ( g, g), ( g, g )). 1 1 Böylece, G G nn bulanık alt modülüdür. Bu teoremn ters her zaman doğru değldr. Benzer teoremlern geçerllğn değşmel cebrde de göreblrz. 36

Tezmzn bu kısmında [20] de k çalışmalara benzer olarak normal bulanık alt modüller çn zomorfzma teoremler ncelenecektr. Teorem 5.21 f : G1 G2 değşmez fonksyonu G 1 den G2 M modüle tanımlı ve, G 1 n normal bulanık alt modülü olsun. Bu durumda f ( ), G2 bulanık alt modülü olur. M modülün normal İspat g1, g 1, x, y G1, g2, g 2, x, y G2, m1, m 1, m2, m2 M ve, olmak üzere,, G 1 n bulanık alt modülü olduğundan, f ( )(0 ) (0 ) : f ( x) f (0 ) 0 G2 G1 G1 G2 1. f ( )( g m ) { ( g m ) : f ( g m ) g m } 2 2 1 1 1 1 2 2 ( g ) : f ( g ) g f( )( g ) 1 1 2 2 f ( )( g m g m ) { ( g m g m) : f ( g m g m) g m g m } 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 { ( g ) ( g ) : f ( g ) g, f ( g ) g } 1 1 1 2 1 2 ( { ( g ) : f ( g ) g }) ( { ( g ) : f ( g ) g }) 1 1 2 1 1 2 f ( )( g ) f ( )( g ). 2 2 f ( )( x y x) { ( x y x): f ( x yx) x y x} ( y) : f ( y) y f( )( y) Böylece f ( ), G 2 M modülün normal bulanık alt modülü olur. Teorem 5.22 f : G1 G2 değşmez fonksyonu G 1 den G2 M modüle tanımlı ve, G 2 nn normal bulanık alt modülü olsun. Bu durumda normal bulanık alt modülü olur. 37 f 1 ( ), G1 M modülün

İspat g1, g 1, x, y G1, m1, m 1 M ve, olmak üzere,, G 2 nn bulanık alt modülü olduğundan, f 1 ( )(0 ) ( f(0 )) G1 G1 (0 ) G2 1. 1 f g1 m1 f g1 m1 ( )( ) ( ( )) ( f ( g ) f ( m )) ( f( g ) 1 1 1 f 1 ( )( g ) 1 1 f g1 m1 g1 m1 f g1 m1 g1 m1 ( )( ) ( ( )) ( f ( g m ) f ( g m)) 1 1 1 1 ( f ( g ) f ( m ) f ( g ) f ( m)) 1 1 1 1 ( f ( g )) ( f ( g )) 1 1 f ( )( g ) f ( )( g ). 1 1 1 1 f 1 ( )( x y x) ( f ( x y x)) ( f ( x) f ( y) f ( x)) ( f( y)) f 1 ( )( y) Böylece f 1 ( ), G1 M modülün normal bulanık alt modülü olur. Bundan sonrak kısımda bulanık değşmel cebrn bulanık halka zomorfzmalarındak benzer teoremlern gamma modüllerndek varlığını nceleyeceğz. Bunun çn benzer çalışmalarda yapılan br denklk bağıntısı ve sonrasında denklk sınıfı tanımlaması yapılacaktır. 38

Tanım 5.23, G nn br bulanık alt modülü olsun. G kümes üzernde x y(mod ) ( x y) (0) şeklnde br bağıntı tanımlayalım. Bu bağıntıyı x y şeklnde fade edelm. Teorem 5.24 bağıntısı br denklk bağıntısıdır. Sonuç 5.25 x y olduğunda ( x) ( y) olur. [ x], x elemanını çeren denklk sınıfı, G [ x ] x G kümes de tüm denklk sınıflarının kümes olsun. ve r G çn ve şlemlern, [ x] [ y] [ z] z [ x] [ y] ve r x r x [ ] [ ] şeklnde tanımlayalım. Bu şlemlern ardından takp eden teorem vereblrz. Sonuç 5.26 ( G,, ) br gamma modüldür. Teorem 5.27 f : G G' gamma modüllern br epmorfzması, ve v sırasıyla G ve G ' modüllernn bulanık alt modüller olsun. Bu durumda aşağıdak fadeler sağlanır: () f br epmorfzma se, 1 f ( f ( v)) v olur. () Çekf üzernde sabt se, f 1 ( f( )) olur. Yukarıdak teoremlern yardımıyla, gamma modüllern bulanık alt modüller çn zomorfzma teoremlern oluşturablrz. Bundan sonra G g G : ( g) (0) olsun. Teorem 5.28 (1. İzomorfzma teorem) f : G G' gamma modüllern br epmorfzması ve Çekf G olmak üzere, G nn normal bulanık alt modülü olsun. Bu durumda G G' olur. f ( ) 39

İspat Öncelkle G ve G ' gamma modüllerdr. Her x G çn f ( ) h : G G' f ( ), h( x) f ( ) f ( x) olsun. h y tanımlıdır; x Çekf y eştlğnden ( xy) (0) elde edlr. Dolayısıyla ( x) ( y) olur. G ve, Çekf üzernde sabt olduğundan f ( x y) 0 f ( x) f ( y) f ( )( f ( x)) f ( )( f ( y)) elde edlr. Sonuçta f ( ) ( f ( x)) f ( ) ( f ( y)) sonucuna varırız. h br homomorfzmadır; h x y h z z x y ( ) ( ) f ( ) ( f ( z a)) z x y f ( ) ( f (( x y) a)) z x y h g x h gx ( ) ( ) f ( ) ( f ( x a) f ( y a)) x x, y y f ( ) ( f ( x a)) f ( ) f ( y a)) x x, y y h x h y ( ) ( ). f ( ) [ f ( gxa)] f ( ) [ gf ( xa)] gf ( ) [ f ( xa)] g h( x ) Böylece h gamma homomorfzmasıdır. Ayrıca açıktır k h örtendr. f 1-1 olduğundan f f x f f y ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) spatı tamamlar. 40 aldığımızda, x y elde edlr. Bu da

Teorem 5.29 f : G G' gamma modüllern br epmorfzması ve Çekf G olmak üzere, G nün normal bulanık alt modülü olsun. Bu durumda G G' 1 f ( ) olur. İspat Br öncek teoreme benzer şeklde kolaylıkla gösterleblr. Teorem 5.30 (2. İzomorfzma teorem) (0) v(0) olmak üzere ve v gamma modülün normal bulanık alt modüller se, G G G v v olur. İspat v ve v sırasıyla G ve G G nün normal bulanık alt modüller, ayrıca G ve v G G v gamma modüllerdr. Her x çn h: G olsun. h x y v x y v x v y h( x) v ( x ) G G G, v ( ) ( ) ( ) ( ) ve h( gx) v ( gx ) gv ( x ) olduğundan h homomorfzmadır ve açıktır k h örtendr. Çekh xg h x v ( ) 0 xg v x v 0 xg v( x a) v(0) (0) ( xb) xg xg v G G Sonuçta G G G v v olur. Teorem 5.31 (3. İzomorfzma teorem) (0) v(0) ve olmak üzere ve v G gamma modülün normal bulanık alt modüller se v G olur. G v İspat G nün v G v h( v x ) x nün gamma alt modülü olduğu kolayca görüleblr. h :G G v dönüşümünü tanımlayalım. v x v y 41 eştlğnden ( x y) v( x y) v(0) (0) x y olur. Dolayısıyla h y tanımlıdır. Ayrıca,

h v x v y h v z z v x v y ( ) ( ) z z v x v y v x v y x y h v x h v y ( ) ( ) h gv x h v gx gx g x gh v x ( ) ( ) ( ) h örten olduğundan ayrıca epmorfzmadır. G ( ) 0 Çekh v x h v x v G v x x v 0 v x x y G ( ) (0) v v x G x v G v G Sonuçta v G olur. G v Bu bölümde gamma modüllern bulanık asal alt modüllern tanımlayacağız. Bulanık asal alt modüller de gördüğümüz teoremler benzer bçmde, Acar [21] n de yardımı le gamma modüller çn de göstereceğz. Tanım 5.32 ve G, M modülün bulanık alt modüller olsun. Eğer se ye nün bulanık alt modülü denr. Tanım 5.33, v nün bulanık alt modülü olsun. Eğer g [0,1] G, x [0,1] M ve t s 42

çn, gtxs ken xs veya gt oluyorsa, v nün bulanık asal alt modülüdür denr. Eğer burada alırsak ye G M modülün bulanık asal alt modülü denr. Teorem 5.34 M M G değşmel ve brml br halka olmak üzere, [0,1] M gamma halkasının bulanık asal deal se, [0,1] M G M modülün bulanık asal alt modülü olur. İspat M gamma halkasının bulanık asal deal olsun. Bu durumda M ve G, M modülün bulanık alt modülü olur. g, x [0,1] G çn gtxs olsun. Eğer xs se, G M modülün bulanık asal alt modülü olur. Dğer durumda, gamma halkasının bulanık asal deal olduğu çn gt t s fadesnden g ( g) g ( g m) ( g) ( g m) elde edlr. Böylece, G M modülün t t M bulanık asal alt modülü olur. Şmd bulanık asal alt modüllerle gamma modüllern asal alt modüller arasındak lşky araştıralım. Teorem 5.35, nün bulanık asal alt modülü olsun. 0,1 nn br asal alt modülüdür. t çn t vt se t, İspat g G, m M ve çn t vt ve gm t olsun. Buradan ( gm) çn ( g m) t g t m t elde edlr., nün bulanık asal alt modülü olduğundan mt gtv veya gtv olur. mt se ( m) t den m t bulunur. Dğer durumda olsun. Her w g t çn m t olacak şeklde w g m alablrz. Bu durumda v( m) t elde edlr. t t v( m) sup{ t v( x)} g v( w) ( w) wg x t v t t eştlğnden modülüdür. w gv t ve dolayısıyla t t olur. Sonuç olarak t, v t nn br asal alt Teorem 5.36, G M modülün bulanık asal alt modülü olsun. Bu durumda g G g G ve g G ( g) 0 ( ) (0 ) modüllerdr. İspat Teorem 5.35 e benzer şeklde gösterlr. sırasıyla gamma modülün asal alt 43

SONUÇ VE ÖNERİLER Bu çalışmada bulanık cebrde geçerl olan bazı teoremlern, bulanık gamma modüller çn de geçerl olduğu gösterlmştr. Gamma modüllern (normal) bulanık alt modüllerne at yapılar ncelenmştr. Gamma modülün (normal) bulanık alt modül olma koşulu araştırılmış, gamma modülün (normal) bulanık alt modülünün görüntüsünün ve ters görüntüsünün de gamma modülün (normal) bulanık alt modüller olduğu gösterlmştr. Klask cebrdek zomorfzma teoremlernn, gamma modüllernn (normal) bulanık alt modüllernde de var olduğu gösterlmştr. Ayrıca bulanık asal alt modül le gamma modüllern bulanık asal alt modüller arasındak lşk analz edlmştr. Gamma modüllern bulanık alt modüllerne at br topolojk yapının da kurulableceğ düşünülmektedr. 44

KAYNAKLAR [1] Zadeh, L. A., (1965). Fuzzy sets, Inform. Control, 8:353-383. [2] Rosenfeld, A., (1971). Fuzzy groups, J. Math. Anal. Appl., 35:512-517. [3] Malk, D.S. ve Morderson, J., (1998). Fuzzy Commutatve Algebra, World Scentfc Co. Pte. Ltd, Sngapore. [4] Malk, D.S. ve Mordeson, J. N., (1991). Fuzzy relatons on rngs and groups, Fuzzy sets and systems, 43:117-123. [5] Lu, W., (1982). Fuzzy Invarant subgroups and fuzzy deals, Fuzzy sets and systems, 8:133-139. [6] Lu, W., (1983). Operatons on fuzzy deals, Fuzzy sets and systems, 11: 31-41. [7] Negota, C.V. ve Ralescu, D.A., (1975). Applcaton of fuzzy systems analyss, Brkhauser, Basel. [8] Pan, F.Z., (1987). Fuzzy fntely generated modules, Fuzzy Sets and Systems, 21:105-113. [9] Sdky, F.I., (2001). On radcal of fuzzy submodules and prmary fuzzy submodules, Fuzzy Sets and Systems, 119:419-425. [10] Makambra, B.B. ve Muralı, V., (2000). On Fuzzy Prme Submodules and radcals, J. Fuzzy math., 8(4):831-843. [11] Bhambr, S.K., ve Kumar, R., (1995). Fuzzy Prme Submodules and radcal of a fuzzy submodule, Bull. Cal. Math. Soc., 87:163-168. [12] Barnes, W. E., (1966). On the Γ -rngs of Nobusawa, Pacfc J. Math., 18: 411 422. [13] Booth, G. L. ve Groenewald, N. J., (1992). On prme one-sded deals, b-deals and quas-deals of a gamma rng, J. Austral. Math. Soc. Ser. A 53(1):55 63. [14] Booth, G. L. ve Groenewald, N. J., (1992). Prme modules of a gamma rng, Perodca Mathematca Hungarca, 24(1): 55 62. [15] Coppage, W. E. ve Luh, J., (1971). Radcals of gamma rngs, J. Math. Soc. Japan 23:40 52. 45

[16] Jun, B. ve Lee, C. Y., (1992). Fuzzy -rngs, Pusan Kyongnam Math. J. 8(2): 163 170. [17] Hong, S. M. ve Jun, Y. B., (1995). A note on fuzzy deals n gamma-rngs, Bull. Homam Math. Soc., 12:39 48. [18] Dutta, T. K. ve Chanda, T., (2005). Structures of fuzzy deals of Γ-rng, Bull. Malays. Math. Sc. Soc.(2), 28(1):9 18. [19] Dauns, J., (1978). Prme modules, J. Ren Angew. Math., 298:156-181. [20] Ersoy, B.A., (2011). Isomorphsm theorems for fuzzy submodules of gamma modules, Internatonal Journal of the Physcal Scences, (4):6,1834-1840. [21] Acar, U., (2005). On L-Fuzzy Prme Submodules, Hacettepe Journal of Mathematcs and Statstcs, (34):17-25. 46

ÖZGEÇMİŞ KİŞİSEL BİLGİLER Adı Soyadı Doğum Tarh ve Yer Yabancı Dl E-posta : Ferd ÇELİKER : 23.10.1979 Bolu : İnglzce : ylfermat@hotmal.com ÖĞRENİM DURUMU Derece Alan Okul/Ünverste Mezunyet Yılı Y. Lsans Matematk YTÜ 2007 Lsans Matematk YTÜ 2001 Lse Fen - Matematk Bolu İzzet Baysal Anadolu Lses 1997 47

İŞ TECRÜBESİ Yıl Frma/Kurum Görev 2001-Devam edyor Mll Eğtm Bakanlığı Matematk Öğretmen YAYINLARI Bldr 1. ICAAMM2013 Internatonal Conference on Appled Analyss and mathematcal modellng, 2-5 june 2013 page 94. 48