Minör nedir? Genel olarak, n. mertebeden bir kare matris olan A matrisinin, a ij öğesinin minörünü şöyle gösterebiliriz:

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Minör nedir? Genel olarak, n. mertebeden bir kare matris olan A matrisinin, a ij öğesinin minörünü şöyle gösterebiliriz:"

Hakan Dink
5 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Minör nedir? A = (a ij ) nxn kare matrisinde, bir a ij (1 i, 1 j n) öğesinin bulunduğu i. Satır ile j. sütunun çıkarılmasıyla elde edilen (n-1). mertebeden alt kare matrisin determinantına, A matrisinin a ij öğesinin minörü denir ve a ij öğesinin minörü M ij ile gösterilir. Genel olarak, n. mertebeden bir kare matris olan A matrisinin, a ij öğesinin minörünü şöyle gösterebiliriz: 1

2 Minör nedir? 2

3 Minör Örneği 3

4 Kofaktör (Eşçarpan) nedir? A = (a ij ) nxn kare matrisinde, bir a ij (1 i, 1 j n) öğesinin minörü olan M ij nin (-1) i+j ile çarpılmasıyla elde edilen sayıya, a ij öğesinin kofaktörü (eşçarpanı) denir ve a ij nin kofaktörü A ij ile gösterilir. Örnek? 4

5 Determinant nedir? n 2, A = (a ij ) nxn kare matrisi için, 1 i n olmak üzere, seçildikten sonra sabit kalan olarak ifade edilir. Bu yazılışa A matrisinin determinantının i. satıra göre açılımı denir. Benzer olarak, A nın determinantı bir sütunun kofaktörlerine göre de hesaplanabilir. 1 j n olmak üzere, j. sütuna göre açılım 5

6 Determinant Örneği (3x3 matris) 6

7 Determinant Örneği (4x4 matris) 7

8 Determinant Örneği (4x4 matris) 8

9 Determinant Örneği (5x5 matris) 9

10 Determinant Örneği (5x5 matris) 10

11 Saruss Kuralı 11

12 Saruss Kuralı 12

13 Saruss Kuralı Örneği 13

14 Determinant Özellikleri A n. mertebeden bir kare matris olsun. A matrisinin herhangi iki satırı yer değiştirildiğinde elde edilen matris B ise det(b) = - det(a) dır. Örnek? Bir önceki örnekte A = det(a)=1 bulunmuştu buna göre B = için det(b)=-1 olarak elde ederiz

15 Determinant Özellikleri A n. mertebeden bir kare matris olsun. A matrisinin herhangi bir satırındaki tüm öğeler bir r sayısıyla çarpıldığında elde edilen matris B ise det(b) = r det(a) dır. Bu özelliğin bir sonucu olarak, A = (a ij ) nxn olmak üzere, det(r A) = r n det(a)dır. Örnek? Bir önceki örnekte A = det(a)=1 bulunmuştu buna göre B = için det(b)=2 olarak elde ederiz. C = için det(c)= 3 3 det(a)=27 olarak buluruz. 15

16 Determinant Özellikleri Bir A kare matrisinin herhangi iki satırı aynı ya da orantılı ise det(a) = 0 dır. Örnek? A = B = ise det(a)=0 dır. için det(b)=0 olarak elde ederiz. 16

17 Determinant Özellikleri Bir A kare matrisinin herhangi bir satırının tüm öğeleri sıfır ise det(a) = 0 dır. Örnek? A = ise det(a)=0 dır. 17

18 Determinant Özellikleri Bir A kare matrisinin herhangi bir satırı r gibi bir sayıyla çarpılıp, başka bir satırına eklendiğinde elde edilen matris B ise det(b) = det(a) dır. Örnek? Bir önceki örnekte A = det(a)=1 bulunmuştu. A matrisinin 1.satırı -1 ile çarpıp 3.satıra eklediğimizde elde ettiğimiz matris B= olmak üzere det(b)=det(a)=1 olarak buluruz. 18

19 Determinant Özellikleri Altüçgensel ya da üstüçgensel bir matrisin determinantı köşegen üzerindeki öğelerin çarpımına eşittir. Örnek? A = B = için det(a)=1*3*5=15 dir için det(b)=1*(-2)*7*(-1)=14 dır

20 Determinant Özellikleri Bir A kare matrisinin transpozesi'nin determinantı, A matrisinin determi-nantına eşittir. Yani det(a) = det(a t ) dir. Bu özellikten dolayı yukarıda verilen tüm özelliklerde satır yerine sütun yazıldığında sonuçlar yine doğru olur. Örnek? Bir önceki örnekte A = det(a)=1 bulunmuştu Buna göre A t = için det(a t ) =1 dir

21 Determinant Özellikleri A ve B n. mertebeden iki matris ise det(ab) = det(a) det(b) dir. Örnek? 21

22 Ek Matris Nedir? 22

23 Ek Matris Örneği 23

24 Regüler-Singüler Matris Nedir? A n. mertebeden bir kare matris olsun. Bu durumda AA* = A*A= det(a)i n dir. A, bir kare matris olsun. Eğer det (A) 0 ise A ya regüler matris, det (A) =0 ise A ya singüler matris denir. A, bir kare matris olsun. A nın tersinin olabilmesi için gerek ve yeter koşul regüler matris olmasıdır 24

25 Ters Matrisin Bulunması A = alt üçgensel matrisi için det(a)=12 dir Şimdi sırayla kofaktörlerini bulalım: A 11 = = 12 A 12 = = 3 A 13 = = 2 A 21 = = 0 A 22 = = 3 A 23 = = 2 A 31 = = 0 A 32 = = 0 A 33 = = 4, 25

26 Ters Matrisin Bulunması Böylece kofaktörlerinden oluşan matris : ve bu matrisin transpozesini alırsak ek matrisi: A = olarak buluruz. Böylece A 1 = olarak buluruz., 26

27 Ters Matris Özellikleri, 27

Benzer belgeler

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir.

Matrisler Satır ve sütunlar halinde düzenlenmiş tabloya matris denir. m satırı, n ise sütunu gösterir. a!! a!" a!! a!" a!! a!! a!! a!! a!" m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. [2 3 1] şeklinde,