Matematik. Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Diziler 1. FASİKÜL

Transkript

1 Mtemtik. FASİKÜL Üstel ve Logritmik Foksiyolr Diziler 74 8 soru Kvrm Yılgılrı Müfredt Dışı Kou Uyrılrı Bilgi Tekolojileri Uyrlmlrı PISA Trzı Sorulr ÖSYM Çıkmış Sıv Sorulrı Video Çözümler Tmmı Çözümlü Öğretme Seti Koly Erişilebilir Dijitl İçerikler Ücretsiz Öğretme Üyeliği Yei Müfredt Uygu f Diğer mizi setleri.com sikül itht kill.cp w de w w dresi iz. ilirsi si teyeb

2 Teşekkürler Değerli öğretmelerimiz Burk KIRKDEVELİ, Zfer AĞBULUT ve Bhri GÜÇLÜER'e ktkılrıd dolyı teşekkür ederiz. Bu kitp MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI TALİM VE TERBİYE KURULU BAŞKANLIĞI ı trih ve syılı krrı ile belirlee ORTAÖĞRETİM MATEMATİK DERS PROGRAMINA GÖRE HAZIRLANMIŞTIR. Bu kitbı her hkkı Çp Yyılrı ittir. 846 ve 96 syılı Fikir ve St Eserleri Yssı göre Çp Yyılrı ı yzılı izi olmksızı, kitbı tmmı vey bir kısmı herhgi bir yötemle bsılmz, yyılmz, bilgisyrd depolmz, çoğltılmz ve dğıtım ypılmz. GENEL YAYIN YÖNETMENİ Oğuz GÜMÜŞ EDİTÖR Hzl ÖZNAR DIZGI ÇAP Dizgi Birimi SAYFA TASARIM - KAPAK F. Özgür OFLAZ. BASKI Ağustos 08 İLETİŞİM ÇAP YAYINLARI«Ostim Mh. 07 Sokk No: /C D Ostim / Akr Tel: Fx: bilgi@cpyyilri.com.tr twitter.com/cpyyilri fcebook.com/cpyyilri istgrm.com/cpyyilri

3 Gelecek içi hzırl vt evlâtlrı, hiçbir güçlük krşısıd yılmyrk tm bir sbır ve metetle çlışmlrıı ve öğreim göre çocuklrımızı ve bblrı d yvrulrıı öğreimii tmmlmsı içi hiçbir fedkârlıkt çekimemelerii tvsiye ederim.

4 Ö Söz Değerli Meslektşlrımız, Çp Yyılrı olrk 9, 0, ve. sııf fsikül setlerimizi "Tmmı Çözümlü" öğretme seti (her soruu heme ltıd çözümü olck şekilde) ve öğreci seti (soru çözümleri çıkrılrk) olmk üzere iki frklı şekilde hzırldık. Çok yoğu ol müfredtı yetiştirebilmeiz ve bu rd dersleri verimli bir şekilde geçirebilmeizi sğlmk içi fsiküllerimizi şu şekilde oluşturduk: Kzım Syfsı: Bir kouu müfredt uygu sıryl ve toplm kç kzımd ltılcğı belirtildi. Ahtr kelimeler ile semboller ve okuuşlrı gösterildi. Bilgi ve iletişim tekolojileri kullımı bşlığı ltıd derslerde kullılbilecek iteret siteleri tvsiye edilmiştir. Özellikle iteret sitesii, kullım kolylığı çısıd öermekteyiz. Bilgi Syfsı: Her lt kou ile ilgili gerekli bilgileri, kıs örekleri verildiği ve öğrecileri kedi otlrıı yzbileceği sütuu yer ldığı syflrd oluşturuldu. Kvrm yılgılrı ve yei müfredtt yer lmy koulr belirtildi. Kou Kvrm Syflrı: İlgili lt kouyu ilgiledire bütü soru türleri "kzım" bşlığı ltıd verildi. Her kzımı ltıd kolyd zor doğru, öğreciyi her sorud bir bsmk yukrıy tşıyck şekilde Bloom u tksoomisi dikkte lırk titizlikle oluşturuldu. Bu sorulr durum göre çık uçlu y d çokt seçmeli olrk plldı. Pekiştirme Testleri: Altıl koulrı öğreci trfıd iyice pekiştirilmesii sğlmk içi öğrecilere ödev olrk düşüüldü. PISA: Üite bitimide öğrecileri okuld öğredikleri bilgi ve becerileri gülük yşmd kullm, okuduğuu lm ve yorumlm becerisii ölçmek içi hzırldı. Tm Tur: Krm testlere geçmede öce öğrecileri üitede öğredikleri tüm bilgileri toplu hâlde bulbilmeleri ve kou tekrrı ypbilmeleri mcıyl ekledi. Acemi, Amtör, Uzm ve Şmpiyo Testleri: Üite bitimide dört yrı zorluk seviyesie göre oluşturul TAMAMI VİDEO ÇÖZÜMLÜ krm sorulrd hzırldı. ÖSYM Sorulrı: Üiversite giriş sıvlrıd sorulmuş sorulr, e so ypıl sıvd geriye doğru ve yie TAMAMI VİDEO ÇÖZÜMLÜ bir şekilde suuldu. Bu videolr yyıevimize it ol kıllı telefo uygulmsı ile (capp) ulşılbilmektedir. Hepimizi ortk mcı ol eğitimli ve vicdlı bir toplum içi dh verimli eğitim mteryllerii oluşturulmsıd görüş ve öerileriizi pylşcğıızı düşüerek sğlıklı ve bşrılı bir öğretim yılı dileriz. Oğuz GÜMÜŞ Devrim ÖZATA Ertuğrul BAŞ ogumus@cpyyilri.com.tr dozt@cpyyilri.com.tr ebs@cpyyilri.com.tr

5 İÇİNDEKİLER. BÖLÜM: ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR (6 Ders Sti) Üite Kzımlrı...8 Üslü İfdeler ve Özellikleri...9 Kou Kvrm (Kzım,,, 4,, 6)...0 Pekiştirme Testi... Üstel Foksiyo... Kou Kvrm (Kzım 7, 8)...6 Pekiştirme Testi...7 Logritm Foksiyou ve E Geiş Tım Kümesi...8 Kou Kvrm (Kzım 9, 0,, )...9 Pekiştirme Testi... Oluk ve Doğl Logritm Foksiyou... Kou Kvrm (Kzım, 4,, 6)...4 Logritm Foksiyouu Özellikleri...6 Kou Kvrm (Kzım 7, 8, 9, 0,,, )...7 Pekiştirme Testi 4... Tb Değiştirme... Kou Kvrm (Kzım 4,, 6, 7, 8, 9, 0,,,, 4)... Pekiştirme Testi...9 Üstel Deklemler...4 Kou Kvrm (Kzım, 6, 7)...4 Logritmik Deklemler...4 Kou Kvrm (Kzım 8, 9, 40, 4, 4, 4, 44, 4, 46)...4 Pekiştirme Testi Üstel ve Logritmik Eşitsizlikler...0 Kou Kvrm (Kzım 47, 48, 49, 0,,, )...0 Pekiştirme Testi PISA...6 TAM TUR...60 Acemi Testleri,...6 Amtör Testleri,,...66 Uzm Testleri,...7 Şmpiyo Testleri,...76 ÖSYM Sorulrı...80 İÇİNDEKİLER

6 . BÖLÜM ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR

7 KAZANIMLAR Kzım,,, 4,, 6 : Üslü ifdeler ve özelliklerii htırlr. Kzım 7, 8 : Üstel foksiyou kvrr. Kzım 9, 0 : Logritm foksiyouu kvrr. Kzım : Logritm foksiyouu tersii bulur. Kzım : Logritm foksiyouu e geiş tım kümesii bulur. Kzım, 4,, 6 : Oluk ve doğl logritm foksiyouu kvrr. Kzım 7, 8, 9, 0,,, : Logritm foksiyouu özelliklerii kvrr ve özelliklerle ilgili uygulmlr ypr. Kzım 4,, 6, 7, 8, 9, 0,,,, 4 : Tb değiştirme kurllrıı kvrr. Kzım, 6, 7 : Üstel deklemleri çözer. Kzım 8, 9, 40, 4, 4, 4, 44, 4, 46 : Logritmik deklemleri çözer. Kzım 47, 48, 49, 0,,, : Logritmik eşitsizlikleri çözer. Ahtr Kelimeler Logritm Üstlü Foksiyolr Logritmik Foksiyolr Foksiyou Tersi Oluk Logritm Doğl Logritm Tb Değiştirme Üstel Deklem Logritmik Deklem Bilgi ve İletişim Tekolojisi Kullımı Bilgisyr, tblet, cep telefou vb. cihzlrıızd KAZANIMLAR siteleride herhgi birie girerek, öğrediğiiz koulrl ilgili dh detylı ve görsel bilgilere ulşbilirsiiz. 8

8 Üslü İfdeler ve Özellikleri BİLGİ x Œ R {0} ve m, ŒZ + olmk üzere,. x m. x = x m+. x = ; x = x x x y x y c m = ; c m = c m y x y x. x x m = x m 4. x m. y m = (xy) m. x y m m x = b l y m 6.. x + b. x c. x = ( + b c)x 7. (x m ) = (x ) m = x m 8. ( ) = ; ( ) + = ( x) = x ; ( x) + = x + 9. x Œ R {, 0, } i. x m = x ise m = ii. x = y x = y, tek ise x = y vey x = y, çift ise iii. x y = Ş x = olbilir. x = ve y çift olbilir. x 0 ve y = 0 olbilir. iv. x = y m x = y b ise m = dir. b BİLGİ 9

9 KAVRAMA KAZANIM KAZANIM Aşğıd verile üslü ifdeleri eşitlerii buluuz =. 4x + 9x ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) x B) x 0 C) 6x D) 6x 0 E) 6x 4x + 9x = (4 + 9)x = x = 4. ( + b) 4. ( + b). ( + b) 6 ( + b) 4++6 = ( + b) k = = 7 7 = 4 = 6 ( m+ ) ( m+ ) 9 9 ^m+ h = ^m+ h ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) 7 B) 4 7 C) = c4 + m = = 7 + D) E) (4 ) 8 ( ) 6 = 8. (4 x+y ) x y KAVRAMA 4 (x+y)(x y) = 4 x y 9. ( ) ( ) 0 0. = + c m + = (+b) x y ^m+ h. x x x + + x x x =.. 9 olduğu göre, x kçtır? A) B) x x x C) + +. x+ x x x x =.. x = = ^ h 9 x + = & x + = x = x = x. A. C. E D) E) 0

10 Üslü İfdeler PEKİŞTİRME TESTİ. ( ). ( ). ( ) 4 işlemii soucu kçtır? A) B) 6 C) 8 D) 6 E) = =. x+ x + x = 4 eşitliğii sğly x kçtır? A) B) 4 C) D) E) x x c + m= 4 & = 6 x = 4. ^ ^ h. 4 ^ h h ifdesii eşiti hgisidir? A) B) C) D) E) 6 8. = 6. Z olmk üzere, ( ) ( ).( ) ( ) + ^ h 99 ifdesii eşiti kçtır? A) B) C) 0 D) E) ( ).( ) = = 7. x =, x = b ve x = c. 4 8 syısı 8 syısıı kç ktıdır? A) B) C) D) 7 E) = 9 = 8 80 x ifdesii, b, c türüde eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) bc B) b c C) bc D) b c E) b c 80 x = ( ) x. ( ) x. x = b c 8. x = 4 olmk üzere, 4. m m. 8 m 6 m ifdesii eşiti hgisidir? A) B) C) D) 9 E) 7 6m+ 9 6m. 4m 4 4m = 4 =. x+ x x 9 ifdesii değeri kçtır? 7 A) B) C) = 6 D) E) 9 4 PEKİŞTİRME

11 PISA Deprem ve Logritm ABD'li sismolog (deprem bilimci) Richter (Rihter) güümüzde de kullıl "Rihter Ölçeği"i oluşturdu. Bu ölçek, çeşitli bölgelere yerleştirile sismogrflr (deprem yzr) yrdımıyl, srsıtıı merkezi, etki lı, büyüklüğü, şiddeti ve çığ çıkrdığı eerjii mtemtiksel ifdesidir. Bir depremi şiddeti 0 u kuvvetleri ile, büyüklüğü ise şiddeti oluk logritmsı ile ifde edilir. Öreği, 7 Ağustos 999 İzmit depremii şiddeti 0 7,4 tür. Büyüklüğü ise log0 7,4 = 7,4 tür. Türkiye'deki Büyük Depremler Merkez Üssü Yıl Büyüklüğü Hkkri 90 7, Erzic 99 7,9 Niksr (Tokt) 94 7,0 Ldik (Smsu) 94 7, Gerede (Bolu) 944 7, Vrto (Muş) 966 6,9 Gediz (Küthy) 970 7, Erzurum 98 6,8 Erzic 99 6,8 Gölcük (İzmit) 999 7,4 Düzce 999 7, Bigöl 00 6, Erciş (V) 0 6,7 Düy'dki E Büyük 0 Deprem Merkez Üssü Yıl Büyüklüğü Şili 960 9, Alsk (ABD) 964 9, Edoezy 004 9, Kmçtk (Rusy) 9 9 Şili Jpoy 0 9 Şili 00 8,8 Ekvdor 906 8,8 Portekiz 7 8,7 Tibet 90 8,6. 99 yılıd Erzic'd meyd gele depremi şiddeti, 00 yılıd Bigöl'de meyd gele depremi şiddetii kç ktıdır? 79, 0 79, - 6,, = 0 = , 0 ktı. 004 yılıd Edoezy'd meyd gele depremi şiddeti, 00 yılıd Bigöl'de meyd gele depremi şiddetii kç ktıdır? PISA 9, 0 9, - 6, = 0 = 0 = 000 ktı 6, 0 6

12 TAM TUR Logritm Logritm Foksiyou Üstel foksiyouu ters foksiyou logritm foksiyou deir. R + {} olmk üzere; f : R + R, f(x) = log x şeklide gösterilir. I. x > 0 II. > 0 ve içi tımlıdır. Not: Logritm foksiyouu içide ve tbıd ikici derecede ifde vrs işret tblosu ypılır. x = y y = log x i) > olmk üzere y y = x y = x 0 x y = log x Oluk Logritm Foksiyou f : R + R, f(x) = log x foksiyoud tb = 0 ise bu logritm foksiyou oluk logritm foksiyou (byğı logritm y d Npier logritm) deir. Not: Oluk logritmd çoğu zm tb yzılmz. > ise y = log x foksiyou rtdır. log 0 x = log x İİ) 0 < < olmk üzere y = x y y = x x y = log x 0 < < ise y = log x foksiyou zldır. Doğl Logritm Foksiyou f : R + R, f(x) = log x foksiyoud tb = e ise bu logritm foksiyou doğl logritm foksiyou deir. Not: Doğl logritmd log yerie l kullılır. e log x = Ix e TAM TUR Not: Üstel ve logritmik foksiyolr birbirii tersi olduğu içi, y = x ve y = log x foksiyolrıı grfikleri y = x doğrusu göre simetriktir. f(x) = log x foksiyou 60

13 İyi bir bşlgıç, yrı yrıy bşrı demektir. Adre Gıde ACEMİ. log x = olduğu göre, x kçtır? A) B) C) D) 4 E) 8 = x. log( + logx) = 0 olduğu göre, x kçtır? A) B) C) 0 D) 0 E) = + logx 0 = log x = x x = x. log b l = 0 0 olduğu göre, x kçtır? A) B) C) D) 4 E) 0 6. Ie + Ie = x olduğu göre, x kçtır? A) B) C) 8 D) e E) e = x x =. Ie +. Ie = + = 8. log (x ) = olduğu göre, x kçtır? A) B) C) D) 4 E) 7. I(e + x ) = olduğu göre, x kçtır? A) 0 B) C) e D) e E) e = x x = e = e + = x = x x ACEMİ 4. log (x ) 6 = 4 olduğu göre, x kçtır? A) B) C) 4 D) 8 E) 6 (x ) 4 = 6 x = x = 4 x = x = 0 olmz. 8. I(I(x )) = 0 olduğu göre, x kçtır? A) 0 B) C) e D) e + E) e e 0 = I (x ) I = I (x ) e = x x = e + 6

14 Ypmkt ısrr ettiğimiz şey giderek kolylşır. İşi doğsı değiştiğide değil, bizim ypm yeteeğimiz geliştiğide. (Rlph Wldo Emerso) AMATÖR. log 8log ( x ) B = 0 olduğu göre, x kçtır? A) B) C) 4 D) E) 0 0 = log (x ) = log (x ) 4 = x x =. log (x ) 6 = olduğu göre, x kçtır? A) 6 B) 8 C) 7 D) 4 E) (x ) = 6 x = 4 x = 7 x = 4 x = olmz. log ( + log ( x )) = 0 olduğu göre, x kçtır? A) B) C) 4 D) 8 E) 8 0 = +. log (x ) = log (x ) = x x = 8. log 8log ( log x ) B = 0 olduğu göre, x kçtır? A) B) 4 C) 8 D) 6 E) c m 0 = log (log x ) = log (log x ) 6. log 8 $ log b l ifdesii eşiti kçtır? A) 8 B) C) D) E) 8. log. log = 8 log. log 7. x = log 6 7 y = log z = log 7 olduğu göre, şğıdkilerde hgisi doğrudur? A) z > y > x B) z > x > y C) y > x > z D) y > z > x E) x > y > z 0 < x < < y < 6 < z < 7 z > y > x olur. 4 = log x x = 8. log 0, = x AMATÖR log 0, x = olduğu göre, x i pozitif değeri kçtır? A) 00 B) 0 C) D) E) 0 00 (0, ) = x x = 0, = 0 olduğu göre, log i x türüde eşiti şğıdkilerde hgisidir? x x x A) B) C) D) E) x x x log = x & log = log = x

15 Bir şeyi gerçekte ypmk isteye bir yol bulur; istemeye mzeret bulur. (E. C. McKezie) UZMAN log log. =, = b log log log4 olmk üzere, ifdesii eşiti şğıdkilerde log hgisidir?. + = ve b log b log b olduğu göre, ve b rsıdki bğıtı şğıdkilerde hgisidir? b + b A) B) b + b b D) b + b + b b + b C) b + b + b b E) b + log+. log. log+. log =. log+ log. log + log b b. +. b = b +. log = m k olduğu göre, log ifdesii k ciside m eşiti edir? A) k B) k C) k + D) E) k k + A) = b B) = b C) = b D) = b E) = b log b +. log b = log b = t t + t = t = logb = 6. log b $ log c $ log b b l c = b ifdesii eşiti şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) E).. log b log c.. log = log. log c log b UZMAN 7 logm = k. log log log m log k m = + m + m m logm = k. log 7 08 = 4. olduğu göre, log i ciside eşiti edir? A) B) D) E) C) 4. log+. log log = & =. log log + + log + log işlemii soucu şğıdkilerde hgisidir? A) B) C) D) 4 E) + =. 6log + log 0 log =. 6log 0@ = 0 7. log (log x + ) < eşitsizliğii çözüm kümesi şğıdkilerde hgisidir? A) b0, l B) (0, ) C) b, l D) b, l E) (, ) log x + > 0 log (log x + ) < log log x > log log x + < x > log x < < x < x < 8. log ^x h + log ^x+ h $ eşitsizliğii sğly e küçük x tm syısı kçtır? A) B) C) 4 D) E) 6 log (x )(x + ) log x x 4 x =

16 Profesyoel, içideki mtör ruhu her zm muhfz ede ve od coşku ve heyec duy kişidir. ŞAMPİYON. f(x) = log (x ) (9 x) foksiyouu e geiş tım rlığı hgisidir? A) (, 9) B) ^, h C) (, ), (, 9) D) (, ), (, 9) {, } E) ^, 9h {}. log x + log x = log x log x eşitliğii sğly x değerlerii çrpımı kçtır? A) B) 4 C) 8 D) 6 E) log x+ log x =.. log x ^ h 4 4 ^log xh^log x h= 0 & x = 8 4 x =. 8 = 8 9 x > 0 x > 0 {x, x } (, ) (, 9) {, }. log b = c olduğu göre, log b ifdesii c ciside eşiti edir? A) c + B) c + C) c + D) c + E) c + + log b = c 4 + log b = c + 6. log 4 + log 4 = log 4 log 4 x+ x x+ x eşitliğii sğly x kçtır? A) 4 B) C) 6 D) 7 E) 8 + = log ( x+ ) log ^x h log ^ x 9h log ^x h + log ^x+ h = & x 9 = x =. log b = x ŞAMPİYON 76 olduğu göre, log b ifdesii x ciside eşiti edir? b x + x + x + A) B) C) x + x + x + x + x D) E) x + x + x = b log. x.x = log x+ x+ x + = x + 4. log x. y = +, log x z = b + x x olduğu göre, log (yz) ifdesii ve b ciside x eşiti edir? A) b B) b C) + b D) + b E) b log x+ log y = + x = y x x log x + log z = b + x b = z x x log x x +b = + b 7. logx = 6,47 olduğu göre, log ifdesii değeri şğıdkilerde hgisidir? x A),049 B),049 C),47 D),47 E),47.log x = ( 6,470) =, log( x + x 4) = x. ( log) olduğu göre, x kçtır? A) B) C) D) 4 E) log( x + x 4) = x( ( log)) log( x + x 4) = xlog x + x 4 = x x =

17 ÇIKMIŞ SORULAR. Üzeride de 0 ye kdr ol tm syılrı yzılı olduğu bir cetvel türüde her tm syısıı e ol uzklığı log birimdir. l4. x 6. lx + 8= 0 deklemii sğly x değerlerii çrpımı kçtır? A) e 6 B) e 4 C) e e D) E) e 07 / LYS Bu özellikteki özdeş iki cetvel şekildeki gibi lt lt getirildiğide üstteki cetveldeki 4 syısı lttkide 8 syısı, üstteki cetveldeki syısı ise lttkide x syısı dek gelmektedir. Bu göre, x kçtır? 6. log 8 4 işlemii soucu kçtır? A) 8 D) 6 B) 8 7 E) 6 C) 7 8 A) 8 B) 9 C) 0 D) E). log xvelog dir. 4 8 x 08 / AYT syılrıı ritmetik ortlmsı Bu göre, log 6 x ifdesii değeri kçtır? A) B) C) D) 4 E) 4 08 / AYT 06 / LYS 7. t bir gerçel syı olmk üzere, x = e cost y = e sit eşitlikleri veriliyor. Bu göre, her t gerçel syısı içi sğl x ile y rsıdki bğıtı şğıdkileri hgiside verilmiştir? A) l x + l y = 4 B) l x + l y = 9. log 7 + log7 log 7 log7 işlemii soucu kçtır? C) 9l x + l y = 7 D) l x + 4l y = 8 E) 9l x + 4l y = 6 A) B) 4 C) 4 D) 6 E) / LYS ÖSYM 07 / LYS 4. lx + ly = 9 lx ly = olduğu göre, log y x değeri kçtır? A) B) C) D) 4 E) 07 / LYS 8. k pozitif bir gerçel syı olmk üzere, f(x) = log x (x k) foksiyou içi f(k) = olduğu göre, k kçtır? A) 8 D) 9 B) 8 9 E) 9 4 C) / LYS

18 .BÖLÜM DİZİLER

19 KAZANIMLAR Kzım,,, 4, : Dizileri ve dizii özelliklerii kvrr. Kzım 6, 7, 8 : Eşit dizi, sbit dizi ve idirgemeli dizileri kvrr. Kzım 9, 0,,,, 4,, 6 : Dizileri terimleriyle ilgili uygulmlr ypr. Kzım 7, 8, 9, 0,,,, 4 : Aritmetik dizi ve ritmetik dizii özelliklerii kvrr. Kzım, 6 : Aritmetik dizide ilk terimi toplmı ile ilgili uygulmlr ypr. Kzım 7, 8, 9, 0,, : Geometrik dizi ve geometrik dizii özelliklerii kvrr. Kzım : Toplm sembolüü ve Fibocci dizisii kvrr. Ahtr Kelimeler Dizi Geel terim Eşit diziler Sbit dizi Fibocci dizisi Aritmetik dizi Ortk frk Geometrik dizi Ortk or Toplm sembolü Bilgi ve İletişim Tekolojisi Kullımı Bilgisyr, tblet, cep telefou vb. cihzlrıızd KAZANIMLAR siteleride herhgi birie girerek, öğrediğiiz koulrl ilgili dh detylı ve görsel bilgilere ulşbilirsiiz. 84

20 Gerçek Syı Dizileri BİLGİ Diziler Pozitif doğl syılr kümeside gerçek syılr kümesie tıml her foksiyo gerçek syı dizisi vey dizi deir. f: N + R ve f() = ise f() = (. terim) f() = (. terim) f() = (. terim vey geel terim) olur. Geel terimi ol dizi, ( ) = (,,,...,, +,...) şeklide gösterilir. Dizii Özellikleri ) Her dizii mutlk geel terimi vrdır. Geel terimi olmy dizi olmz. ) Bir dizide geel terim, geel terimi ol dizi ise ( ) şeklide gösterilir. ) ( ) = (,,,...,,...) diziside,,,..., dizii terimleridir. 4) Bir dizii tımlı olbilmesi içi tüm pozitif doğl syılr içi tımlı olmlıdır. Solu Dizi Tım kümesi A = {,,,..., k}, k N + ol diziye solu dizi deir. Solu olmy dizilere sosuz dizi deir. BİLGİ 8

21 KAVRAMA 8) log ( + ) Her içi tımlı olduğu içi dizidir. KAZANIM Aşğıd verile ifdelerde hgileri bir gerçek syı dizisii geel terimi olbilir? + ) + Her içi tımlı olduğu içi dizidir. 9) log ( ) = ve = tımsız olduğud dizi değildir. 0) cos(. π) Her içi tımlı olduğu içi dizidir. ) + = ve = içi tımsız olduğud dizi değildir. ) + +4 Her içi tımlı olduğu içi dizidir. ) + Her içi tımlı olduğu içi dizidir. 9 ) Her içi tımlı olduğu içi dizidir. 4) = içi tımsız olduğud dizi değildir. ) = içi tımsız olduğud dizi değildir. ) + + Her içi tımlı olduğu içi dizidir. 4) log ( + ) ( + ) Her içi tımlı olduğu içi dizidir. 6) si( ) Her içi tımlı olduğu içi dizidir., tek ) *, çift Her içi tımlı olduğu içi dizidir. KAVRAMA 7) t( ) = 90 içi tımsız olduğud dizi değildir.,,, 6, 8, 0,,, 4, dizii geel terimidir, diğerleri geel terimi değildir. 86

22 Gerçek Syı Dizileri PEKİŞTİRME TESTİ. ( ) = (( ) ) ve r (b ) = bsi( ) l dizileri içi 4 b kçtır? A) B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 4 b =. si r = 8 +. ^ ve b h = b l = 4 ^ b h l dizilerii kçıcı terimleri birbirlerie eşittir? A) 9 B) 0 C) D) E) + = & + 9 = =. ( ) = (( ). ( 9)) ve (b ) = dizileri içi b kçtır? c m + A) B) C) 0 D) E) ^ h. ^ 9h b = = = 8 8. I. (b ) = () II. (c ) = III. (d ) = cos [( + ) π] ( ) = ( ) + dizisi yukrıdki dizilerde hgisi vey hgilerie eşittir? A) Ylız I B) Ylız II C) Ylız III D) I ve II E) I ve III ( ) = (,,,,...) (b ) = (,,,...), (c ) = (,,,...) (d ) = (,,,,...) ( ) = (d ) dir ( ) = b l dizisii kç terimi 'te büyüktür? A) B) C) D) 4 E) 9 9 > & > ve ( terim) b + 7. ( ) = c m + dizisi sbit dizi olduğu göre, + b toplmı kçtır? A) B) C) D) E) b = 0, = & b = 4 4. ( ) = ( ) dizisii kç terimi egtiftir? A) B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 7 > 0 ( N + ) ise dizisii + + ilk 6 terimi egtiftir. 8. ( ) = ((x + y 7) + (x y ) + xy) dizisi sbit dizi olduğu göre, 90 kçtır? A) 90 B) 9 C) 7 D) E) 7 x + y = 7 x y = x =, y = 4 = 90 = PEKİŞTİRME 9

23 PISA Özlem Öğretme, thty üç te reel syı dizisi yzmış ve rdışık terimler rsıdki frklrı öğrecilerie sormuştur. Ardışık terimler rsıdki frklr sbit çıkmzs, bulu dizii bir kez dh rdışık terimleri rsıdki frklrı, sbit frkı bul kdr devm ettirmelerii istemiştir.. Dizi. Dizi. Dizi (7,,,, 9,...) (, 0,, 6,,...) (4, 4, 40, 88, 64,...) frklr frklr 6 6. frklr. dizide. frklr,. dizide. frklr ve. dizide. frklrı sbit olduğuu görmüşlerdir. Özlem Öğretme, thty üç te reel syı dizisii geel terimlerii yzmış ve yukrıdki şekilde tbloyu doldurmlrıı söylemiştir.. Dizi = + b = = = = 4 Terimler + b + b + b 4 + b. Frklr. Dizi = + b + c = = = = 4 Terimler + b + c 4 + b + c 9 + b + c 6 + 4b + c. Frklr + b + b 7 + b. Frklr. Dizi = + b + c + d = = = = 4 Terimler + b + c + d 8 + 4b + c + d 7 + 9b + c + d b + 4c + d. Frklr 7 + b + c 9 + b + c 7 + 7b + c. Frklr + b 8 + b PISA. Frklr 6

24 TAM TUR Diziler Diziler Pozitif doğl syılr kümeside gerçek syılr kümesie tıml her foksiyo gerçek syı dizisi vey dizi deir. Geel terim ol dizi, ( ) = (,,,...,, +,...) şeklide gösterilir. Solu Dizi Tım kümesi A = {,,,..., k}, k N + ol diziye solu dizi deir. Solu olmy dizilere sosuz dizi deir. Eşit Diziler N + içi = b ise ( ) ve (b ) dizileri eşit dizilerdir. (( ) = (b )). Sbit Dizi Bütü terimleri birbirie eşit ol diziye sbit dizi deir. ( = = =... = =...) = + b b ^ h b l dizisi sbit dizi ise = dir. c + d c d Aritmetik Dizi Ardışık herhgi iki terimi rsıdki frkı sbit ol dizilere ritmetik dizi deir. N + içi + = d, d R d syısı ortk frk deir. = + ( ) d (Geel Terim) Aritmetik Dizii Özellikleri ) Birici terimi, ortk frkı d ol ritmetik dizii geel terimi = + ( ) d dir. ) Bir ritmetik dizide bir terim kediside eşit uzklıkt bulu iki terimi toplmıı yrısı eşittir =, = ) Bir ritmetik dizide ile terimi toplmı S ise; S = vey S ( ) d dir. ^ + h = + _ i Geometrik Dizi Ardışık herhgi iki terimii orı sbit ol diziye geometrik dizi deir. r syısı ortk çrp vey ortk or deir. =. r (Geel Terim) Geometrik Dizii Özellikleri ) İlk terimi, ortk çrpı r ol geometrik dizii geel terimi =. r dir. ) Bir geometrik dizide bir terimi kresi kediside eşit uzklıkt bulu iki terimi çrpımı eşittir. ( ) =. + ) Bir geometrik dizide ilk terimi toplmı S ise;. r S = ( r ) dir. r TAM TUR Fibocci Dizisi Her terimi kediside öce gele iki terimi toplmı şeklide yzılbile dizilere Fibocci dizisi deir.,,,, 8,,,... Fibocci dizisii terimleri Toplm Sembolü (S) m, Z ve k R olmk üzere m / = şeklide yzılır. k= k + + m 4

25 Atremlrı her dkiksıd efret ediyordum. Fkt kedi kedime "vzgeçme" dedim. Şimdi sıkıtı çek ve hytıı geri klıı bir şmpiyo olrk yş. (Muhmmed Ali) ACEMİ. Geel terimi = ol dizii ilk üç terimii toplmı kçtır? A) B) C) D) 4 E) =, =, = + + =. ^ h = b l + dizisii kçıcı terimi tir? A) B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 = & 4 = = =. ( ) ritmetik diziside, S = 7 ve S = 8 olduğu göre, 4 kçtır? 6. ^ h = c^ h m dizisii 4. terimi kçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 S = = 7 = S S = = 4 = 9 A) 6 B) = ^ h. = 4 6 C) 4 D) E) 4 6. Aşğıd verile dizilerde hgisi vey hgileri geometrik dizidir? I. (,,,,,...) II. 9 7 b,,,,... l III. (0,9, 0,87, 0,8, 0,8,...) A) Ylız I B) Ylız II C) Ylız III D) I ve II E) I, II ve III 7. + ;, ile tmböü l ürse ^h = ), ' i ile böü l müde klise dizisi içi + 6 toplmı kçtır? A) 7 B) 8 C) D) 7 E) 9 = = = 6 = 6 + = 7 9,, I. II ! = III.! 09, 087, 4 Ylız II 4., +, 7 ritmetik bir dizii rdışık üç terimi olduğu göre, kçtır? 8. ^... h = c m dizisii. terimi kçtır? A) B) 0 C) D) E) = & = 0 A) 4 B) 7 = = 4 C) 4 7 D) E) 4 9 ACEMİ

26 Y rüylrıızı değiştirmeli y d yeteekleriizi rtırmlısıız. Jim Roh AMATÖR. İlk terimi 8 ortk frkı 8 ol ritmetik dizii ilk terimii toplmı kçtır? A) 000 B) 00 C) 00 D) 0 E) 00 S = $ ^ d + ^ h h S = $ ^ + $ h =. ( ) = (,, 8,,...) ritmetik dizisi içi = olduğu göre, kçtır? A) B) C) D) 4 E) =, d = = + ( ) d = + ( ) 0 = =.. terimi ve. terimi 8 ol ritmetik dizii ilk 0 terimii toplmı kçtır? A) 80 B) 90 C) 600 D) 60 E) 60 =, = 8 =, d = 0 S0 = $ ^ $ + 9 $ h = Üçücü terimi 8 ve sekizici terimi 7 ol ritmetik dizii geel terimi şğıdkilerde hgisidir? A) 8 B) C) 8 D) E) + = 8, 8 = 7 + 7d = 7 + d = 8 d = d =, = 8 = 8 + ( )( ) =. ( ) ritmetik diziside 7 = 6, ortk frk ve = 6 olduğu göre, kçtır? A) 0 B) C) D) E) 4 7 = + 6d 6 = + 6 = = +( ) = 6 = 49 = 0 7. ^c h = b l dizisi içi c + = c olduğu göre, kçtır? 0 0 A) B) C) 0 D) 4 0 = = 0 0 = 9 0 = 0 E) 0 4. İlk üç terimi,6 ve 8 ol geometrik dizii 6. terimi kçtır? A) B) C) D) E) 4 8 =, r = 6 = r = = 8. Geel terimleri = 4k ve b = t + 6 ol diziler eşit olduğu göre, k t çrpımı kçtır? A) 0 B) 8 C) D) 0 E) = t ve 4k = 6 t = k = 4 k t = 0 AMATÖR 7

27 Çlışmk demek, boşu yorulmk, terlemek değildir. Zmı gereklerie göre bilim ve tekik ve her türlü uygr buluşlrd zmi derecede istifde etmek zoruludur. (Mustf Keml Attürk) UZMAN. Bir ritmetik dizii ilk 6 terimii toplmı 8, ilk terimii toplmı dir. Bu göre, dizii ortk frkı kçtır? A) B) 4 C) D) 6 E) 7 S 6 =. ( + d) = 8 S = ( + 0d) = + d = 7 d = d= + 0d = 4. ile rsı ritmetik dizi oluşturrk şekilde 4 syı yerleştirildiğide oluş dizii ortk frkı kçtır? A) B) C) D) E),,, 4,, = + d & 9 = d & d = 6. ( ) geometrik dizisi içi. ( ) ritmetik diziside 4 = ve = 7 olduğu göre, S 0 kçtır? A) 4 B) 48 C) 0 D) 4 E) 60 4 = + d = = + 0d = 7 7d = 4 d =, = S.. 0 =. + = ve = olduğu göre, kçtır? A) 9 B) C) 7 D) E) = = = 7 = = = = 4 = = 9 = 4 = 4 = 4., 4 x, 6 geometrik bir dizii ilk üç terimi olduğu göre, x kçtır? = 6 ve = 6 olduğu göre, dizii geel terimi şğıdkilerde hgisidir? A). B). C). ( ) D). ( ) E). ( ) =. r 4 6 & = r & r = 6 =. r = =. ^ h + 7. ^h = c m + dizisii kç terimi egtiftir? A) B) C) D) 4 E) ^+ h^ h & ^h = c m + ve terimi egtiftir. A) B) C) D) 6 E) 7 4 x = ^ h^6 h 4 x = x = 96 4 x = 4 6 x = 6 dizisii egtif terimleri toplmı kçtır? A) 47 B) ^+ h^ h & + 4 C) 4 D) 8 E) = ve = & 4 + = 7 UZMAN

28 Rstgele bir doğruy ulşmkts, yötemli bir çbyl ylış ulşmyı yeğlerim. Descrtes ŞAMPİYON. İlk terimi x, ortk frkı y ol bir ritmetik dizii., 4. ve 7. terimleri bir geometrik dizii ilk üç terimi olduğu göre x ile y rsıdki bğıtı şğıdkilerde hgisidir? A) x = y B) x = y C) x = y D) x = y E) x = y = x, = x + y, 4 = x + y 7 = x + 6y (x + y) = (x + y) (x + 6y) x + 6xy + 9y = x + 8xy + y y = xy y = x. Bir ritmetik dizii ilk 0 terimii ritmetik ortlmsı 6, ilk 0 terimii ritmetik ortlmsı 6'dır. Bu göre, dizii. terimi kçtır? A) 0 B) C) 0 D) E) = 60 = S = 0 = S 0 ( + 9d) = 60 0( + 9d) = 0 =, d = = + 8 =. Pozitif terimli bir geometrik dizii ilk iki terimii toplmı ve ilk dört terimii toplmı olduğu göre, dizii ortk orı kçtır? A) B) C) D) E) r = + r + r + r =. b, j, k ritmetik bir dizii rdışık terimleri ise şğıdkilerde hgisi vey hgileri bir ritmetik dizii rdışık üç terimidir? I. k, j, b II. j + k, b + k, b + j III.,, j + k b + k b + j A) Ylız I B) Ylız II C) Ylız III D) I ve II E) I, II ve III b =, j = + d, k = + d I. k, j, b Aritmetik II. j + k = + d, b + k = + d b + j = + d Aritmetik III. + d + d + d + d,, d d d Aritmetik terimleride + = olduğud ritmetiktir. k + 6. ^ h = / ^ h (k + ) dizisi içi 0 kçtır? k = A) B) 8 C) D) 8 E) 0 0 / k + k = = ^ h. ^k+ h 0 = te = ( + r) ( + r ) = ( + r) = + r = r = 4. İlk üç terimii toplmı ve çrpımı 80 ol ritmetik dizii üçücü terimi kç olbilir? A) 4 B) 6 C) 0 D) E) = = = 4 (4 d). 4. (4 + d) = 80 d = 6 = = 0 7. N + içi = ve = + ise ( ) dizisii geel terimi şğıdkilerde hgisidir? A) + B) + C) + D) + + E) + + = & = + _ = = & = + b ` ^ + h + h = = = & = + b ŞAMPİYON

29 ÇIKMIŞ SORULAR. Terimleri birbiride frklı ve ortk frkı r ol bir ( ) ritmetik dizisi içi =.r 6 =. 4 eşitlikleri veriliyor. Bu göre, 0 kçtır? A) 0 B) 8 C) 6 D) 4 E). ( ) bir ritmetik dizi olmk üzere, = = eşitlikleri veriliyor. Bu göre, kçtır? A) 7 B) C) 4. Her x gerçel syısı içi A syısı 4 cos(kx) = A k= şeklide tımlıyor. D) 6 08 / AYT E) 07 / LYS Bu göre, 4 cos (kx) k= ifdesii A türüde eşiti edir? A) A + B) A + 4 C) A + D) A + E) A + 07 / LYS., de büyük bir tm syı olmk üzere, i e büyük sl bölei ile gösteriliyor. ( ) dizisii terimleri içi, = * < 0, > 0 biçimide tımlıyor. 0 Bu göre, / toplmı kçtır? = A) B) C) 4 D) E) 6 0 / LYS 6. Gerçel syılr kümesi üzeride f foksiyou her x gerçel syısı içi x+, x < 0 f( x) = ) x, x 0 biçimide tımlıyor. 4 Bu göre, / f( k) toplmıı değeri kçtır? k= A) 8 B) 0 C) D) 4 E) 6 0 / LYS 7. Bir geometrik dizii ilk üç terimi sırsıyl +, ve olduğu göre, dördücü terimi kçtır? 8 9 A) B) C) D) E) / LYS 4. ( ) bir geometrik dizi olmk üzere, 4 = ( ) ( ) 9 eşitliği veriliyor. = olduğu göre, 4 kçtır? A) B) C) 6 D) 7 8 E) / LYS 8., gerçel syılr olmk üzere, ( ) dizisii terimleri rsıd + = + + ( =,, ) bğıtısı vrdır. 8 = 6 olduğu göre, toplmı kçtır? A) 9 B) 0 C) D) E) 6 0 / LYS ÖSYM 7