İçindekiler 1. Analiz 3 Ders Notları. Taylan Şengül. 21 Aralık Lütfen gördüğünüz hataları bildiriniz.

Transkript

1 Aliz 3 Ders Notlrı Tyl Şegül 2 Arlık 28 Lütfe gördüğüüz htlrı bildiriiz. İçidekiler İçidekiler Ö Bilgiler 3. Supremum ve İfimum Foksiyo Dizileri 5. Reel Syı Dizileri Noktsl Ykısklık Düzgü Ykısklık Düzgü Ykısklığı Özellikleri Düzgü Ykısm Örekleri Alıştırmlr Zorulu Olmy Bilgiler Foksiyo Serileri Limit İfimum - Limit Supremum Reel Seriler Foksiyo Serileride Ykısm Abel ve Dirichlet Testleri Foksiyo Serileride Ykısm Örekleri

2 2 İÇINDEKILER 2.6 Kuvvet Serileri Fourier Serileri Alıştırmlr Hs Olmy İtegrller 73 Kykç 8

3 Bölüm Ö Bilgiler Notsyo R: reel syılr kümesi Q: rsyoel syılr kümesi Z: tm syılr kümesi N={,2,3,...,}: doğl syılr kümesi. Supremum ve İfimum A R kümesi içi s x, x A koşuluu sğly bir s syısı vrs s ye A kümesii bir üst sıırı deir. Üst sıırı ol bir kümeye üstte sıırlı küme deir. Bezer bir şekilde bir kümei lt sıırı ve ltt sıırlı kümeler de tımlbilir. Tım. s syısı A kümesi içi bir üst sıırs ve s syısıd küçük hiçbir syı A kümesi içi bir üst sıır değilse yi ɛ >, x A, x > s ɛ koşulu sğlıyors, s syısı A kümesii supremumu deir ve sup A = s yzılır. Eğer A kümesi üstte sıırlı değilse kümei supremumu yoktur ve sup A = yzılır. Bir kümei ifimumu d bezer şekilde tımlır. Reel syılrı boş olmy her üstte sıırlı lt kümesii bir supremumu vrdır ve bu supremum tektir. Reel syılrı tmlık ksiyomu reel syılrı boş olmy üstte sıırlı her kümesii bir supremumu olcğıı söyler. Bu tımd, supremumu vrs tek olduğu kolyc gösterilir. Bezer olrk reel syılrı boş olmy her ltt sıırlı kümesii bir ifimumu vrdır ve bu ifimum tektir. Örek. A = (,) kümesi içi sup A = sup <x< x = olur. Bezer şekilde sup(,) = sup(,] = sup[,) = sup[,] = 3

4 4 BÖLÜM. ÖN BILGILER Yukrıdki örek kümei supremumuu kümei elemı olmybileceğii gösterir. mx(, ) syısı yokke, sup(, ) syısı vrdır. Bu supremum kvrmıı lizde mksimum kvrmıd dh çok kullılmsıı bir edeidir. sup A A = sup A = mx A Teorem. A ve B, R i boş olmy iki lt kümesi ve A B olsu. Eğer B i supremumu vrs A ı d supremumu vrdır ve sup A supb olur. Eğer B i ifimumu vrs A ı de ifimumu vrdır ve if A ifb olur. Bir foksiyou bir küme üzerideki supremumu olrk tımlır. Örek 2. sup f (x) = sup f (A) = sup { f (x) : x A } x A. 2. > ise olur. sup + x 2 = sup[,5) = 5, if + <x<2 <x<2 x2 = if[,5) = mi[,5) =. sup x = sup x = sup[,) = <x< x< 3. suprct x = π x R 2, if rct x = π x R 2 olur. Teorem 2. Eğer f, kplı [,b] rlığı üzeride sürekli bir foksiyo ise, öyle x M, x m [,b] vrdır ki olur. sup = mx { f (x) : x [,b] } = f (x M ), if = mi{ f (x) : x [,b] } = f (x m ), [,b] [,b]

5 Bölüm Foksiyo Dizileri. Reel Syı Dizileri f : N R foksiyou dizi deriz. = f () olrk tımlylım. f dizisii göstermek içi { } N vey { } = vey { } yzcğız. { } N dizisi ile { : N} kümesi frklı kvrmlrdır. Kümelerde elemlrı sırsı öemli değilke, dizilerde öemlidir. Art, zl, kesi rt, kesi zl, sıırlı, sıırsız dizi kvrmlrıı bilidiğii vrsyıyoruz. Dizilerde ykısklığı htırlylım. Tım 2. Bir L R ve her ɛ > içi N = L < ɛ, şrtıı sğly (ve geellikle ɛ bğlı olrk belirleebile) bir N N bulubiliyors, L syısı { } dizisii limiti deir. Ayrıc lim = L yzılır ve { } dizisie ykısk dizi deir. Eğer { } dizisii bir limiti vrs bu limiti tek olduğu gösterilebilir. (isptlyı) Örek 3. c R içi lim c = c ve lim / = limitlerii limit tımıı kullrk gösteri. 2+ Örek 4. lim = olduğuu limit tımıd gösterelim. ɛ > içi N > 2 şrtıı sğly herhgi bir doğl syı olsu (Öreği 2 d büyük e küçük doğl syı olbilir). ɛ ɛ N > 2 ɛ = 2 < ɛ = 2 < ɛ = 2 + < ɛ olduğud ispt tmmlmış olur. Tım 3. Eğer { } dizisii bir limiti yoks, { } dizisie ırksk dizi deir. Eğer dizii limiti yoks ve verile her M > reel syısı içi M, N olck şekilde bir N N syısı bulubiliyors, lim = yzılır. Bezer şekilde lim = tımlbilir. Örek 5. lim ( ) limit yoktur. lim 2 =. 5

6 6 BÖLÜM. FONKSIYON DIZILERI Şimdi dizilerle ilgili bir tkım özellikleri şğıd sırlylım.. lim = L ck ve ck lim L =. (.) İspt. Her iki limiti de yı olduğu tımd görülür. 2. Eğer {x } N dizisi içi öyle bir N vrs ki {x } N dizisi X özelliğii sğlıyors, {x } dizisi X özelliğii ihi olrk sğlr deir. 3. Ykısk diziler sıırlıdır (isptlyı). Tersi doğru değildir, öreği = ( ) dizisi sıırlı m ırksktır. 4. { } N dizisi ykısks, her N N içi { } N dizisi ykısktır. Ters olrk d bir N N içi { } N dizisi ykısks, { } N dizisi de ykısksktır. Yi dizii ykısklığı dizii solu syıd elemı dışıd kl elemlrı trfıd belirleir. Bir bşk deyişle ykısklık ihi bir özelliktir. 5. Eğer lim ve lim b vrs (isptlyı ki) lim ( ± b ) = lim ± lim b, lim ( b ) = lim lim b, lim c = c lim, lim ( b ) = lim lim b, eğer N,b ve lim b. Örek lim 3 3 = lim ( + (/) / 3 ) ( ) / 3 3 = + 3 = 3 6. Eğer ihi olrk b ise ve lim = L, lim b = M ve L, M [, ] ise L M olur. Öreği burd şu souç çıkr: Eğer bir dizi sosuz giderse od (ihi olrk) büyük ol her dizi de sosuz gider. 7. lim = L [, ] ve c R sbit olsu. Eğer ihi olrk c ise L c olur. Eğer ihi olrk c ise ve L c olur. 8. Sıkıştırm Lemmsı: Eğer bir L [, ] içi lim = lim c = L ise ve ihi olrk b c ise lim b = L olur. Örek 7. lim = ve b sıırlı bir dizi olsu. lim b = olduğuu gösteri. ispt: b M = b M = b M lim = lim M olduğud sıkıştırm lemmsıı kullrk souç buluur. 9. L [, ] içi lim = L ise lim = L olur. Yi { } dizisi ykısks { } dizisi de ykıskdır. Öte yd { } dizisi ± ırksıyors { } dizisi de ırksr.

7 .. REEL SAYI DIZILERI 7 İspt. L R içi ters üçge eşitsizliğii kullırsk L L olur. Şimdi sıkıştırm teoremii kullrk soucu gösteri. L = ± içi de öermeyi isptlyı. Tersi her zm doğru olmybilir. Öreği = ( ) dizisi ykısk değildir m = sbit dizisi ykısktır. Tersi geel olrk sdece L = içi doğrudur.. lim = ck ve ck lim =. İspt. (.) özelliğii soucudur.. Dizilerde L Hospitl kurlı. Eğer f : [, ) R, = f (), N ve lim y f (y) = L limiti vr ise lim = lim f () = L olur. Eğer lim y f (y) yoks, lim de yoktur. Eğer lim y f (y) = ise, lim = olur. Eğer lim y f (y) = ise, lim = olur. Yi tek değişkeli bir ifde, ifdei değişkei reel syılr üzeride sosuz giderke bir limite yklşıyors, ifdei değişkei doğl syılr üzeride sosuz giderke de yı limite yklşmlıdır. Am bu öermei tersi doğru değildir. Öreği lim si(π) =, fkt lim x si(xπ) tımsızdır. Bu kurl syeside, eğer lim y f (y) limitii belirlemek içi L hospitl kurlıı kullbiliyorsk, lim limitii belirlemek içi L hospitl kurlıı kullbiliriz. Örek 8. L hospitl kurlıd yrrlrk, olduğu gösterilebilir. l lim = lim / =, x x l x lim = lim =, x > 2. Limit ve foksiyo e zm yer değiştirebilir? lim = L ve f foksiyou L oktsıd sürekli bir reel değerli foksiyo ve f ( ) her içi tımlı ise olur. lim f ( ) = f ( lim ) = f (L). Örek 9. x ve x, N ve lim x = x ise lim x = x olduğuu gösteri. 2 Öreği lim + = 2 olduğuu gösteri. Örek. x > içi lim x = lim x / = olduğuu gösteri. Çözüm. l sürekli bir foksiyo olduğud lim ( x = expl lim ) ( x = exp lim l ) ( x = exp lim ) l x = exp() =.

8 8 BÖLÜM. FONKSIYON DIZILERI Örek. lim = olduğuu gösteri. Çözüm. Yukrıdki gibi çözersek: lim = lim expl / = lim exp l ( = exp lim l ) = exp = 3. Geometrik Dizi. lim x =, x <, x = +, x > yok, x İspt. x = içi öerme brizdir. < x < durumu içi isptı verelim. < x < içi α = l x < olduğud ( lim x = exp l lim x ) ( ) = exp lim l x = lim e α =. Eğer x > ise δ >, x > + δ = x > ( + δ) > δ lim δ = olduğud souç çıkr Diziler İçi Or Testi: pozitif bir dizi ve lim = L olsu. O hlde L olur ve lim = Eğer L = ise bu test souç vermez. {, eğer L < +, eğer L > İspt. L olduğu brizdir. L < olsu. O zm r := L + ɛ < olck şekilde bir ɛ > vrdır. Limit tımı gereği N, + L < ɛ, N olur. Yi N+ < r N, N olur. Dolyısıyl < N+m < r m N olur. Am < r < olduğud lim m r m = (bkz. geometrik dizi) olur. Ve lim r m N = N lim r m =, m m olduğud, sıkıştırm teoremi gereği lim m N+m = olur. Dolyısıyl lim = olur. L > durumuu siz gösteri. Şimdi L = olduğu durumd testi souç vermediğii görelim. = 3 sbit dizisi içi L = olur ve bu dizi ykısr. = dizisi içi de L = olur m bu dizi ırksr.

9 .. REEL SAYI DIZILERI 9 Örek 2. Diziler içi or testii kullrk, lim α x =, x <, α > ve olduğuu gösteri. x lim! =, x Örek 3. lim! = olduğuu gösteri. Çözüm. Birici yötem olrk diziler içi or testii kullrk gösteri. İkici yötem olrk! ( 2 3 ) olduğu dikkt ederek sıkıştırm teoremii kullbiliriz. 5. Alt Diziler k N dizisi kesi rt bir dizi olsu. Yi < 2 < olsu. Bu durumd { k } k N dizisie { } dizisii lt dizisi deir. Öreği { 3+ } N = { 4, 7,,...} dizisi, { } N dizisii bir lt dizisidir. Bir dizi içi lim = L [, ] ise o dizii her lt dizisii limiti de L dir (isptlyı). Dolyısıyl bir dizii ykısk olmy bir lt dizisi vrs, o dizi ykısk değildir. Vey bir dizii iki frklı limite ship lt dizisi vrs o dizi ykısk olmz. Örek 4. = ( ) dizisii limitii olmdığıı gösteri. Bir dizii hiçbir ykısk lt dizisi olmybilir. Öreği =. Ykısk lt dizisi olmy bir dizi sıırsız olmlıdır zir Bolzo-Weirstrss Teoremie göre sıırlı bir dizii mutlk ykısk bir lt dizisi vrdır. Zorulu Olmy Bilgiler Bu bölümdeki bilgiler öemlidir m bu derste krşıız çıkmycktır.. Cuchy Dizisi. Verili her ɛ > içi,m N = x x m < ɛ şrtıı sğly bir N N bulbiliyorsk {x } dizisie Cuchy dizisi deir. Ykısk her dizii bir Cuchy dizisi, her Cuchy dizisii de ykısk olduğu gösterilebilir. Eğer bir dizii rdışık terimleri rsıdki mesfei sıfır gitmesi o diziyi Cuchy dizisi ypmz. Öreği x = log dizisi içi m ( lim (x + x ) = lim log( + ) log() = lim log lim log = + ) = log() =

10 BÖLÜM. FONKSIYON DIZILERI yi dizii rdışık terimleri rsıdki mesfe sıfır giderke dizii kedisi sosuz ırksr. Dizii rdışık terimleri rsıdki mesfe yeterice hızlı sıfır yklşırs dizi de ykısr. x x + 2, N şrtıı sğly bir dizi ykısr. İspt içi bkz Wde [Wd4] syf Mooto ykısklık teoremi. Azlmy üstte sıırlı bir dizi ykısktır ve böyle bir dizi içi lim = sup. Bezer şekilde rtmy ve ltt sıırlı bir dizi ykısktır ve dizii limiti dizii ifimumudur. Bu teorem özellikle özyieli (recursive) dizileri ykısdığıı göstermek içi çok kullışlıdır. Örek 5. s = 2 ve s + = 2 + s ise {s } dizisii ykısdığıı gösteri. Çözüm. Dizii rt ve üstte 2 ile sıırlı olduğuu görelim. s 2 öermesi = içi doğrudur. Öermei içi doğru olduğuu kbul edip + içi doğru olduğuu görelim: N s + = 2 + s = 2. Tümevrım gereği s 2, N olur. Şimdi dizii rt olduğuu görelim. s + > s öermesi = içi doğrudur. Şimdi öermei içi doğru olduğuu kbul edip + içi doğru olduğuu görelim. Yi s + > s olduğuu kbul edip, s +2 > s + olduğuu görelim. s +2 s + = 2 + s s > 2 + s 2 + s =. Yi s +2 > s + olduğuu gösterdik. Tümevrım bize dizii rt olduğuu söyler. Mooto ykısklık teoremi dizii ykısdığıı, yi lim s = L R olduğuu söyler. {s } dizisi ykısdığıd ou bir lt dizisi ol {s + } dizisi de ykısktır (bu gerçeği birz ileride göreceğiz). s + = 2 + s ifdeside iki trfıd limitii lırsk L = 2 + L çıkr. L syısıı ümerik liz metodlrıyl yklşık olrk belirleyebiliriz: L.83 ) 3. Newto Metodu. > içi x + = 2 (x + x dizisii her hgi bir x > değeri içi ykısk olduğuu ve limitii olduğuu isptıı burd bulbilirsiiz. Bu dizii = 2 ve x = içi x 6 y kdr ol terimlerii hesply küçük bir pytho progrmıı şğıd bulbilirsiiz. x =. for k i rge ( 5 ) : x =. 5 * ( x + 2./ x ) prit ( x )

11 .. REEL SAYI DIZILERI Progrmı ürettiği çıktı şu şekildedir: Dizii beşici elemı ol x 5 = syısı 2 syılrıı ilk 2 bsmklrı yıdır. Bu dizi f (x) = deklemii bir köküü bulmy yry ve ümerik liz derside çlışılck ol Newto yötemii x + = x f (x ) f (x ) f (x) = x 2 2 foksiyou içi yzılmış hlidir. Bu metodu kullrk (bir bilgisyr yrdımıyl) t x = 2 deklemii bir çözümüü x olduğuu gösteri. 4. Eğer E R ve supe (, ] ise { } E ve supe ol bir dizi olduğuu gösteri. Bezer şekilde ife ye ykısy bir {b } N E dizisi vrdır. Çözüm. Eğer supe E ise her N içi = supe sbit dizi bu şrtı sğlr. s = supe < olsu. Her N içi s / < s ol bir E vrdır. lim = s olduğu sıkıştırm lemmsıd çıkr. Öreği E = [,) ve = /, N dizisi içi { } E, sup E = olur. Alıştırmlr. Aşğıdki dizileri limitlerii bulu ) x =. Cevp: b) x = +. Cevp: 2 c) x = +. Cevp: d) x = l. Cevp: ( e) x = + x ), x R Cevp: e x f) x = 2 Cevp: g) x = 3 2+ Cevp: 9 h) x = 2 + Cevp: /2 i) x = si Cevp: (sıkıştırm teoremii kullı) (2 + 3)! j) x = ( + )! k) x = l l2 l) x = 3 6 2! Cevp: Cevp: Cevp:

12 2 BÖLÜM. FONKSIYON DIZILERI m) x = 2 + Cevp: ) x = 2 cos( 3 2 +) Cevp: (sıkıştırm teoremii kullı) ( o) x = l + ) Cevp: le = 2. x > içi x = x dizisii hgi <! x < e içi ırksk, x > e içi ykısk olduğuu gösteri. Dizii x = e içi dvrışıı rştırı. (bkz. Stirlig formülü).2 Noktsl Ykısklık Tım 4. A R ve f : A R, N olsu. { f } N dizisie bir foksiyo dizisi deir. Foksiyo dizileri içi birçok frklı ykısm türleri vrdır. Biz bu derste bulrd sdece iki tesi ile ilgileeceğiz. Tım 5. A R, f : A R olsu. Her x A içi {f (x)} syı dizisi ykısk ise { f } dizisi f (x) = lim f (x), x A olrk tıml oktsl limit foksiyou A kümesi üzeride oktsl olrk ykısr deir. Limiti tımı gereği { } f dizisi f foksiyou A kümesi üzeride oktsl olrk ykısk ise şrtı sğlır. ɛ >, x A, N (x,ɛ) N, N f (x) f (x) < ɛ. Sürekli foksiyolrı oktsl limiti süreksiz yi olbilir. lim lim f (x) lim x x lim f (x) Örek 6. f (x) = x, x dizisii oktsl limitii {, x < f (x) = lim f (x) =, x = olduğuu gösteri. Dolyısıyl = lim = lim lim x f (x) lim x lim f (x) = lim x f (x) = 2. Sürekli sıırlı foksiyolrı oktsl limiti sürekli m sıırsız olbilir Şekil.: f (x) = x, x [,] dizisii ilk terimi.

13 .2. NOKTASAL YAKINSAKLIK 3 Örek 7. f (x) = {, < x < / /x, / x < olsu. Arşimed presibi < x < içi N N, x, N olduğuu (öreği x =. ise N = seçilebilir) yi f (x) = /x, N olduğuu söyler. Dolyısıyl f (x) = lim f (x) = x, < x <. 3. Foksiyolrı türevii oktsl limiti ile foksiyolrı oktsl limitii türevi frklı olbilir. Yi d lim d x f (x) d d x lim f (x) olbilir. Örek 8. f (x) = six, x R, N. ve f (x) = lim f (x) =, x R. = lim cos = lim f () f () =. 4. Foksiyolrı belirli itegrlii oktsl limiti ile foksiyolrı oktsl limitii belirli itegrli fklı olbilir. Yi olbilir. ( ) lim f (x)d x lim f (x) d x A A 2 Örek 9. f (x) = 2 x( x 2 ), x, N. Öce f (x) = lim f (x) = olduğuu gösteri. Sor f (x) = Yi = lim f (x)d x ( ) lim f (x) d x = Şekil.2: f (x) = 2 x( x 2 ), x [,] dizisii ilk terimi. Foksiyo dizisi sıfır oktsl olrk yklşırke ltlrıdki l olrk sosuz gidiyor

14 4 BÖLÜM. FONKSIYON DIZILERI Alıştırmlr Örek 2. f (x) = ( + x ), x R dizisii oktsl limit foksiyouu f (x) = e x olduğuu gösteri. Çözüm. Bölüm., mdde () uyrıc, eğer lim f (x), R limiti vrs lim f (x), N limiti de vrdır ve iki limit eşittir. Birici limiti bulmk içi ifdei logritmsıı lıp L Hospitl kurlıı kullbiliriz. lim f (x) = lim expl f (x) = exp, R, R ( lim, R l ( + x )) = exp ( )( ) x + x lim 2, R 2 = e x. Örek 2. f (x) = si limit foksiyouu olduğuu gösteri. ( x f (x) = lim f (x) = ), x dizisii oktsl {, x <, x = Şekil.3: f (x) = si ( x ), x [,] dizisii ilk terimi. Çözüm. Ülü si y y, y R eşitsizliğide, f (x) = si(x /) x = x Bir öceki örek ve sıkıştırm lemmsı edeiyle, x < içi lim f (x) = olur. x = içi limite bklım. lim f si(/) () = lim = / çükü lim x si x x =. Örek 22. h (x) = siπx, x [,] dizisi (,) rlığıdki hiçbir rsyoel x içi ykısk değildir.

15 .3. DÜZGÜN YAKINSAKLIK 5 Çözüm. x = k m, < x <, k ve m rlrıd sl doğl syılr olsu. Örek olrk x = 3 5 içi h (3/5) dizisii ırksk olduğu bklım. ) ) ) ( ( ( = h 5 = h = = h ( ) ( ) ( ) ( ) 3π si = h = h 2 = = h Yi {h ( 3 5) } dizisii iki yrı limite ship ol iki frklı lt dizisi vrdır. Bu yüzde {h ( 3 5) } dizisii limiti yoktur. Yukrıdki öreği geelleştirecek olursk, < k/m < ve k, m rlrıd sl olmk üzere, {h m (k/m),h 2m (k/m),h 3m (k/m),...} sbit dizisii limiti ve {h (k/m),h 2m+ (k/m),h 4m+ (k/m),...} sbit dizisii limiti si(kπ/m) dır (çükü < kπ m < π). Dolyısıyl {h (k/m) : N} dizisii iki yrı limiti ol iki frklı lt dizisi vrdır ve dolyısıyl lim h (x) limiti yoktur. Uyrı. < x < rlığıdki her irrsyoel syı içi yukrıdki dizii ırksdığı dh zor bir problemdir ve Dirichlet Teoremi yrdımıyl gösterilebilir, bkz. [Erg5]. Dirichlet Teoremi q R\Q, < q < ise, {si(qπ)} = kümesii [,] rlığıd yoğu olduğuu söyler..3 Düzgü Ykısklık f, N dizisideki foksiyolrı süreklilik, itegrlleebilirlik ve türevleebilirlik gibi bzı öemli özellikleri oktsl ykısm ltıd limit foksiyou tşımybileceğii gördük. Bu bölümde bu özellikleri limit foksiyou tşıy dh güçlü bir ykısm türü ol düzgü ykısmyı iceleyeceğiz. Tım 6. A R olsu. f : A R, N. Eğer bir f : A R foksiyou içi ( ɛ > ) ( N N) ( N ) [ sup x A f (x) f (x) ] < ɛ koşulu gerçekleirse {f } dizisi f e A kümesi üzeride düzgü ykısr deir ve f d f yzılır.

16 6 BÖLÜM. FONKSIYON DIZILERI y f ε ε f A x Şekil.4: Düzgü ykısmd her N içi f i grfiğii f i grfiğii bir ɛ-şeridi içeriside klmsı gerekir. Supremumu tımıd, ( ɛ > ) ( N N) ( N ) ( x A) [ f (x) f (x) < ɛ ] koşuluu d düzgü ykısklık tımıdki koşul eşdeğer olduğu görülebilir. Düzgü ykısm koşuluu, oktsl ykısm koşulu ol [ f ( ɛ > ) ( x A) ( N N) ( N ) (x) f (x) ] < ɛ ile frkı dikkt edi. Noktsl ykısm içi bulumsı gereke N syısı hem x hem de ɛ bğlıyke, düzgü ykısmd N syısı sdece ɛ bğlı olrk bulumlıdır. Tım 7. f : A R ise f A = f = sup f (x) [, ] x A geişletilmiş syısı f i sup ormu deir. } f A = mx{ sup f (x), if f (x) x A x A Eğer f türevleebilir bir foksiyo ve A kümesi de bir kplı bir rlıks, sup x A f (x) ve if x A f (x) değerlerii bulmk içi foksiyou kritik oktlrı ve rlığı uç oktlrı bkmlıyız. Örek 23. f (x) = x 3 2x 5 foksiyou içi f [ 3,3] = 2 olduğuu gösteri. f (x) = = x = ±2 f foksiyou mx ve mi değerlerii sıır oktlrı ol x = ±3 ve kritik oktlrı ol x = ±2 oktlrıd lbilir.f ( 3) = 4, f (3) = 4, f ( 2) =, f (2) = 2 olduğud ve sup f (x) = mx f (x) = 4, if 3 x 3 3 x 3 f [ 3,3] = sup 3 x 3 f (x) = mi f (x) = 2, 3 x 3 3 x 3 f (x) = f (2) = 2.

17 .3. DÜZGÜN YAKINSAKLIK 7 Uyrı 2.. Tım gereği her x A içi f (x) f A. 2. M olmk üzere, her x A içi f (x) M ise f A M olur. 3. f : A R foksiyou ck ve ck sıırlıys, f A < ksi hlde f A = olur. 4. Eğer f foksiyou, kplı bir [,b] rlığı üzeride sürekli ise f foksiyou [,b] üzeride sıırlıdır ve f [,b] < olur. Htt öyle bir x [,b] vrdır ki f [,b] = f (x ). Zir f foksiyou d süreklidir ve mksimum değerii [,b] rlığı içideki bir x oktsıd lmk zoruddır. (bkz. sürekli foksiyolr içi ekstremum değer teoremi) 5. Sup orm, mutlk değer gibi üçge eşitsizliğii sğlr. Yi eğer f ve g A kümesi üzeride sıırlı ise, f + g A f A + g A olur. İspt. Her x A içi f (x) + g (x) f (x) + g (x) sup f (x) + sup g (x) = f A + g A, x A x A olduğud 6. Her sbit syısı içi f + g A = sup f (x) + g (x) f A + g A. x A f A = f A. olur. Sup orm düzgü ykısmı koly bir trifii verir. Teorem 3. A kümesi üzeride f d f ck ve ck lim f f A =. İspt. Her iki koşulu d ( ɛ > ) ( N ) ( N ) [ f f A < ɛ] şrtı eşdeğer olduğu görülebilir. Yukrıdki teoremde yer l lim f f A = koşulu dh çık olrk şöyle yzılbilir lim sup f (x) f (x) = x A Düzgü ykısm ve oktsl ykısm rsıdki ilişki şğıd verilmiştir. Teorem 4. {f } dizisi A kümesi üzeride f foksiyou düzgü ykısıyors, f foksiyou oktsl ykısr. İspt. x A olsu. f (x) f (x) f f A olduğud ve lim f f A = olduğud, lim f (x) f (x) = olur. Yi lim f (x) = f (x) olur.

18 8 BÖLÜM. FONKSIYON DIZILERI Uyrı 3. Teorem 4 i souçlrı bklım.. {f } N dizisi ck oktsl olrk ykısdığı bir foksiyo düzgü olrk ykısybilir. { } 2. f N dizisii düzgü ykısyıp ykısmdığıı bulmk içi öcelikle bu dizii oktsl limit foksiyou ol f foksiyouu bulup dh sor lim f f A limitie bkmlıyız. Bu limit sıfırs dizi düzgü ykısr, değilse (yi yoks vey vrs m sıfır değilse) düzgü ykısmz. Teorem 4 deki öermei tersi doğru olmybilir. Yi oktsl ykısy bir dizi düzgü ykısmybilir. Buu sebebi şudur: Eğer { f } dizisi A kümeside oktsl olrk f foksiyou ykısıyors, her x A içi ykısm hızı frklı olbilir. Örek 24. f (x) = x, x [,) dizisii oktsl limiti f (x) = olur. Her N içi f f [,) = f [,) = sup x = x [,) olduğud (bkz. Bölüm.) lim f f [,) olur. Yi { f } dizisi f e oktsl olrk ykısr m düzgü olrk ykısmz. Bir A kümesi üzeride düzgü ykısk olmy bir foksiyo dizisi, A ı bir lt kümesi üzeride düzgü ykısk olbilir. Buu görmek içi yukrıdki öreği birz değiştirelim. Örek 25. f (x) = x, dizisii x [,.99] rlığıd düzgü ykısk olduğuu gösterelim. Bu durumd f = olmk üzere f f [,.99] = f [,.99] = sup x [,.99] x = (.99) olduğud lim f f [,.99] = olur. Yi { f } dizisi f = foksiyou düzgü olrk ykısr. Teorem 5. Her sbit α R + ve x < içi lim α x = olur. Yi f (x) = α x dizisi (,) rlığı üzeride oktsl olrk sıfır foksiyou ykısr. Her < < içi bu ykısm [, ] üzeride düzgü m (,) rlığıd düzgü değildir. Şekil.5: f (x) = 2 x, x [,] dizisii ilk terimi. İspt. Diziler içi or testii uygulrsk lim α x = buluruz. Yi f (x) = α x dizisii oktsl limiti f (x) olur. Bu ykısm < < içi [,) rlığıd düzgü değildir. Zir f f [,) = f [,) = sup x < α x = α sup x < x = α

19 .3. DÜZGÜN YAKINSAKLIK 9 ve lim f f [,) = lim α =. Örek olrk α = 2 durumud dizii ilk terimleri içi bkıız Şekil.5. Örek 26. h (x) = x ( x), x [,] dizisii düzgü ve oktsl ykısklığıı iceleyelim. Çözüm. Her x [,] içi lim h (x) = h(x) olduğuu gösteri. h (x) = x ( ( + )x) olduğud h (x) = = x = vey x = + + ) rlığıd rt, ( +,) rlığıd zl oldu- Türevi işretii iceleyerek h leri, (, ğuu gösteri. Yi ( mx h ) (x) = h x + ve h h [,] = h [,] = sup h (x) = sup h (x) = mx x x ( ) ( ) h = = ve + + Şekil.6: f (x) = x ( x), x [,] dizisii ilk terimi. ) ( + ( + ( lim h ) = + e = Dolyısıyl lim h h [,] = ve ykısm düzgü olur. x h (x) = h ( ) +. + Düzgü ykısklığı icelemek içi f f A syılrıı tm olrk belirlemektese, bir üst sıırlrıı sıfır gittiğii göstermek yeterlidir. Bir örekle görelim. x Örek 27. f (x) = x 2, x A = [,] dizisii düzgü ykısklığıı iceleyi. + 2 Çözüm. Dizii oktsl limit foksiyou f (x) = olur. f [,] 2 olduğud [,] üzeride f d olur. Teorem 6. f : A R R olsu.. B A ise ve { f } dizisi A kümeside f foksiyou düzgü ykısıyors B kümesi üzeride de f ye düzgü ykısr. )

20 2 BÖLÜM. FONKSIYON DIZILERI 2. Eğer { f } dizisi hem A kümeside hem B kümeside f foksiyou düzgü ykısıyors A B kümesi üzeride de f foksiyou düzgü ykısr. İspt. Bu isptlrı gösteri. Örek 28. { f } dizisi (2,) rlığıd düzgü ykısk ise [3,5] rlığıd d düzgü ykısktır. Ayrıc (6,2] üzeride de düzgü ykısks (2,) (6,2] = (2,2] üzeride de düzgü ykısk olur. Düzgü ykısklık özelliği dizileri toplmsı ve sklerle çrpılmsıd koruur (m çrpm ve bölmeleride geellikle korumz). Teorem 7. Eğer,b sbit syılrs, bir A kümesi üzeride f d f ve g d g ise f + bg d f + bg ve olur. İspt. Sup ormu özelliklerii kullırsk f + bg ( f + bg ) A f f A + b g g A olduğu görülür. x d Örek 29. Dh öce [, ] üzeride x 2 + ve x ( x) d olduğuu gördük. Ayrıc h 2 (x) = 8 + x 3 dizisi de h(x) = 8 + x 3 foksiyou düzgü ykısr. Dolyısıyl bir öceki teorem edeiyle [,] üzeride f (x) = 3x 2x ( x) x 3 dizisi f (x) = 8 + x 3 foksiyou düzgü x ykısr..4 Düzgü Ykısklığı Özellikleri Geçtiğimiz bölümde oktsl ykısklığı dizideki sürekliliği, itegrlleebilirliği ve türevleebilirliği limitte koruymdığıı gördük. Bu bölümde bu özellikleri koruy dh güçlü bir ykısm türü göreceğiz. Süreklilik Düzgü ykısklık sürekliliği korur. Yi dizideki her foksiyo (ihi olrk) sürekli ise limit foksiyou d süreklidir. Teorem 8. Her N içi, f : A R foksiyou sürekli ve A üzeride f d A üzeride süreklidir. d f ise, f foksiyou İspt. Bu teorem ɛ 3 rgümıyl isptlbilir. x A ve ɛ > olsu. koşuluu sğly bir δ > bulmk istiyoruz. x x δ = f (x) f (x ) < ɛ. f ler f e düzgü ykısdığıd öyle bir N N vrdır ki fn f A < ɛ 3, x A

21 .4. DÜZGÜN YAKINSAKLIĞIN ÖZELLIKLERI 2 2. f N x d sürekli olduğud öyle bir δ(ɛ) > vrdır ki olur. Şimdi x x < δ ise x x < δ = fn (x) f N (x ) < ɛ f (x) f (x ) f (x) fn (x) + fn (x) f N (x ) + fn (x ) f (x ) f fn A + ɛ 3 + f fn A = ɛ Yi sürekli foksiyolrd oluş bir dizii oktsl limiti süreksiz ise bu ykısm düzgü olmz. Örek 3. Öreği f (x) = x, x [,] dizisi düzgü ykısmz zir f ler süreklidir m limit foksiyo {, x < f (x) =, x = süreksizdir. Örek 3. f (x) = Çözüm. lim f () = 2. + (x ) 2, x [,]. < x = x = x = + (x ) 2 = + (x ) 2 Yi lim f (x) = f (x) = { 2, x =, < x f ler sürekli m f süreksiz olduğud ykısm düzgü olmz Şekil.7: f (x) =, x [,] dizisii ilk terimi. + (x ) 2

22 22 BÖLÜM. FONKSIYON DIZILERI Sıırlılık Düzgü ykısklık sıırlılığı korur. Yi sıırlı foksiyolrd oluş bir dizii düzgü ykısk limiti sıırlıdır. Teorem 9. Her N içi, f : A R foksiyou sıırlı ve A üzeride f A üzeride sıırlıdır. d f ise, f foksiyou d İspt. Düzgü ykısklık gereği, N N, f fn A Ayrıc f N sıırlı olduğud öyle bir M > vrdır ki, fn A M. f A f fn A + fn A + M Bu teoremi bir soucu şudur: Eğer sıırlı foksiyolr sıırlı olmy bir foksiyo oktsl olrk ykısrs bu ykısm düzgü olmz. Örek 32. f (x) = x +, x (,) dizisi f (x) = foksiyou oktsl olrk ykısr m x bu ykısm düzgü olmz. Çükü her f sıırlıdır (x (,) içi f (x) olduğuu gösteri) m limit foksiyo sıırsızdır Şekil.8: f (x) =, x (,) dizisii ilk terimi. x+ Bir öceki teoremde dizideki her foksiyou yı syıyl sıırlı olduğuu vrsymıyoruz. Eğer her N içi f A M olsydı, oktsl limit foksiyou f içi de f A M olurdu. Yi f de sıırlı olurdu. Örek 33. (,) rlığı üzeride f (x) = /x foksiyou düzgü ykısy bir poliom dizisi olmz. Gösteri.

23 .4. DÜZGÜN YAKINSAKLIĞIN ÖZELLIKLERI 23 Riem İtegrlleebilirlik d Teorem. [,b] kplı rlığı üzeride f f ve her N içi f, [,b] rlığı üzeride sürekli olsu. Bu durumd b b ( ) b lim f (x)d x = lim f (x) d x = f (x)d x olur. (Aslıd bu teorem f ler sdece Riem itegrlleebilir ise de doğrudur. Am teoremi bu versiyou dh z tekik dety içerir.) İspt. Düzgü ykısm edeiyle f foksiyou [, b] kplı rlığıd sürekli olur. Kplı bir rlık üzeride sürekli bir foksiyou itegrlleebilir olduğuu öceki liz dersleride biliyoruz. (Eğer f leri sürekli kbul etmemiş olsydık, f i itegrlleebilir olduğuu göstermemiz gerekirdi.) b b (f (x) f (x))d x f (x) f (x) b d x f f [,b] d x = (b ) f f [,b] f f [,b] olduğud b (f (x) f (x))d x olur. Örek 34. Aşğıdki limitleri öce vr olduğuu isptlyı ve sor limitleri hesplyı.. lim e x2 / d x 2 x lim x 3 + x d x Türevleebilirlik Türevleebilir foksiyolrı düzgü ykısk limiti geel olrk türevleebilir olmybilir. Zir iki foksiyou grfikleri birbirie ykı ols bile türevlerii grfikleri ykı olmybilir. Öreği foksiyolrd biri sbit diğeri od uzklşmd, etrfıd hızlı bir şekilde slııyors Şekil.9: f (x) = x, ve g (x) = x + 5 si(x) foksiyolrı birbirie ykıke ( f g [,] = /5), türevleri birbirie uzk ( f g = 2) olur.

24 24 BÖLÜM. FONKSIYON DIZILERI Örek 35. f (x) = si2 x, x [,], N dizisi f (x) = foksiyou düzgü ykısr m f (x) = cos(2 x) foksiyou [,] üzerideoktsl olrk ykısmz. Öreği, f () = olur. Yi düzgü ykısk ve türetilebilir bir foksiyo dizisii, türev dizisi oktsl olrk bile ykısmybilir. Yi { f (x)} dizisi x Örek 36. f (x) = + x 2, x R dizisi f (x) = foksiyou düzgü ykısr. 2b 2 + b 2 eşitsizliğide yrrlrk f (x) x = + 2 x 2 = 2 x 2( + 2 x 2 ) (2 + 2 x 2 ) 2( + 2 x 2 ) = 2 olduğuu gösterebiliriz. Yi f R 2 ve f d olur. f x2 (x) = türev dizisi oktsl olrk (+x 2 ) 2 {, x g (x) =, x = foksiyou ykısr. Dolyısıyl f g ykısmsı (sürekli foksiyolrı düzgü limitii sürekli olmsı gerektiği içi) düzgü olmz. = d d x lim f (x) d lim x= d x f (x) = x= Yi düzgü ykısk ve türetilebilir bir foksiyo dizisii, türev dizisi oktsl olrk ykıss bile türev dizisii limiti (g foksiyou) ile dizii limitii türevi (f foksiyou) yı olmybilir. Bşk bir deyişle olbilir. d d x lim f d (x) lim d x f (x) Teorem. Her N içi f : [,b] R türetilebilir ve f sürekli olsu. Eğer [,b] rlığıdki bir x oktsı içi {f (x )} dizisi ykısk ve {f } dizisi [,b] üzeride düzgü ykısk ise d f lim d x (x) = d d x lim f (x) olur. (Aslıd bu teorem f sürekli olms d geçerlidir. Am teoremi bu versiyou dh z tekik dety içerir. Teoremi bu şeklii isptı içi bkz. [Erg5].) İspt. lim f (x ) = c R ve [,b] üzeride f içi x f (x) = f (x ) + f (t)d t x d g ve f foksiyolrı sürekli olsu. Her N

25 .4. DÜZGÜN YAKINSAKLIĞIN ÖZELLIKLERI 25 yzbiliriz. olrk tımlylım. f olduğuu biliyoruz. Dolyısıyl ( x ) f (x) = lim f (x) = lim f (x ) + f (t)d t x d g olduğud x x x lim f (t)d t = lim f x (t)d t = g (t)d t x x x f (x) = c + g (t)d t x olur. Ayrıc {f } dizisi sürekli foksiyolrd oluştuğud düzgü ykısk limiti g de süreklidir. g sürekli olduğud lizi temel teoremi bize x x g (t)d t foksiyouu türetilebilir olduğuu ve d x g (t)d t = g (x) d x x olduğuu söyler. Yi lmı gelir. d d x lim f (x) = f (x) = d x d g (t)d t = g (x) = lim d x x d x f (x) Uyrı 4. Yukrıdki isptt {f } dizisii f foksiyou düzgü ykısdığı gösterilebilir. Buu içi F (x) = x x f (t)d t olrk tıml foksiyo dizisii G(x) = x x g (t)d t foksiyou düzgü ykısdığı gösterilmelidir. Bu durumd {f } = {f (x ) + F } dizisi de f = c + G foksiyou düzgü ykısr. Düzgü ykısklıkl ilgili bir test Teorem 2. A üzeride f d f olsu. Eğer f ler sürekli ise ve {x } A, lim x = x A ise lim f (x ) = f (x ) = f ( lim x ) İspt. f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) + f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) + f f A f Dh sor göreceğimiz gibi sürekli f foksiyolrı, f e düzgü ykısrs f de süreklidir. f sürekli olduğud lim x x f (x) = f (x ) ve dolyısıysl lim f (x ) f (x ) = olur. Ayrıc d f olduğud lim f f A = olur. Dolyısıyl yukrıdki bğıtıd limit lıp, sıkıştırm teoremii kullırsk lim f (x ) f (x ) = çıkr. Bu teoremi kotrpozitifi, bir foksiyo dizisii oktsl limitie düzgü ykısmdığıı göstermekte çok kullışlı bir koşul sur. Bir örekle görelim.

26 26 BÖLÜM. FONKSIYON DIZILERI Örek 37. g (x) = x 2 x 2 + (x ) 2, x [,]. Çözüm. Her x [,] içi lim g (x) = g (x) olduğuu gösteri. lim g (/) = g () = olduğud yukrıdki teoreme göre ykısm düzgü olmz. Dii Teoremi Teorem 3. Eğer. f dizisi kplı ve sıırlı [,b] rlığı üzeride sürekli, { f } dizisi mooto yi f f 2 vey f f 2, { f } dizisi [,b] üzeride oktsl ykısk, yi lim f (x) = f (x), x A, ve 4. oktsl limit foksiyou f [,b] üzeride sürekli ise [,b] rlığı üzeride { f } dizisi f foksiyou düzgü ykısr. İspt. İspt içi bkz [Erg5]. Örek 38. f (x) = si x cos x, x A = [,π] dizisii düzgü ykısklığıı iceleyi. Çözüm. x [,π] ve x π/2 ise si x <, lim si x =. Ayrıc f (π/2) = olduğud lim f (x) = olur. Dolyısıyl lim f (x) = f (x), x [,π]. Şimdi { f } dizisii Dii teoremii şrtlrıı sğldığıı göstermek yerie, dh koly ol { f } dizisii bu şrtlrı sğldığıı gösterelim. Mootoluk şrtı f+ (x) = si x f (x) f (x) kolyc sğlır. Sürekli { f } foksiyolrıd oluş dizi kplı ve sıırlı [,π] rlığı üzeride oktsl olrk sürekli ol f (x) = sbit foksiyou ykısr. Dii teoremi uyrıc { f } dizisi f (x) = foksiyou düzgü ykısr yi lim f = olur. Dolyısıyl lim f = olur. Yi { f } dizisi de f (x) = sıfır sbit foksiyou [,π] üzeride düzgü ykısr. Örek 39. M > bir sbit olmk üzere, f (x) = ( + x ), x [, M] dizisii e x foksiyou düzgü ykısk olduğuu Dii Teoremi yrdımıyl iceleyi. Çözüm. Örek 49 de f dizisii f (x) = e x foksiyou R üzeride oktsl olrk ykısdığıı m R üzeride bu ykısmı düzgü olmdığıı göstermiştik. Beroulli eşitsizliğii htırlylım: Her reel x ve reel r içi ( + x) r + r x

27 .5. DÜZGÜN YAKINSAMA ÖRNEKLERI 27 Beroulli eşitsizliği syeside her x içi ( + x ) x + = + x, yi iki trfıd. köküü lrk ( + x ) + ( + x ), + x, N. x [, M] rlığı üzeride, Dii teoremi ykısmı düzgü olduğuu gösterir. Uyrı 5. Eğer Dii teoremideki şrtlrd bir tesi bile doğru değilse souç doğru olmybilir.. f (x) = x, x [,) dizisi tım kümesii kplı olmsı dışıd Dii teoremideki tüm şrtlrı sğlr m bu dizi düzgü ykısk değildir. 2. f (x) = x/, x [, ) dizisi tım kümesii sıırlı olmsı dışıd Dii teoremideki tüm şrtlrı sğlr m bu dizi düzgü ykısk değildir. 3. f (x) = { x, x [,/], x [/,] dizisi oktsl limit foksiyouu süreksiz olmsı dışıd Dii teoremideki tüm şrtlrı sğlr m bu dizi düzgü ykısk değildir. (ede?) 4. Örek 42 de icelediğimiz f (x) = x ( x), x [,] dizisi mootoluk dışıd Dii teoremii tüm şrtlrıı sğlr m ykısk değildir. Örek 4. Aşğıdki dizileri düzgü ykısklığıı Dii Teoremi yrdımıyl iceleyi. x. f (x) = x 2 + 2, x [,]. x 2. f (x) = 2 x 2 + x + e, x [,].5 Düzgü Ykısm Örekleri Aşğıdki foksiyolrı verile rlık üzerideki oktsl ve düzgü ykısklıklrıı rştırıız. Örek 4. g (x) = x 2 x 2 + (x ) 2, x [,]. Şekil.: f (x) = x 2 x 2 + (x ) 2, x [,] dizisii ilk terimi.

28 28 BÖLÜM. FONKSIYON DIZILERI Çözüm. Her x [,] içi lim g (x) = g (x) olduğuu gösteri. Her N içi g g = g g (/) = Dolyısıyl lim g g olduğud ykısm düzgü değildir. Örek 42. f (x) = x ( x), x [,] dizisii düzgü ve oktsl ykısklığıı iceleyelim. Şekil.: f (x) = x ( x), x [,] dizisii ilk terimi. Çözüm. lim f () =. Ayrıc x < içi Teorem 5 sebebiyle lim f (x) =. Dolyısıyl lim f (x) = f (x), x [,] olur. f (x) = x ( ( + )x) = ck ve ck x =, x =.. türev lizi + f f [,] = sup f (x) = mx f (x) ( = mx f ) (x) = f = x x x + + ( + ) olduğuu gösterir. Yi ykısm düzgü değildir. lim f f [,] = e Örek 43. Sbit bir < < içi f (x) = x ( x), x [, ] dizisii düzgü ve oktsl ykısklığıı iceleyelim. Çözüm. f i [, + ] rlığıd rt bir foksiyo olduğuu gördük. { + } dizisi rt bir dizidir ve limiti birdir. Yi öyle bir N N vrdır ki her N içi > ve dolyısıyl her N + içi f [,] = f () = ( ) olur. ( ) olduğud f d. Örek 44. g (x) = 2 x ( x) 3, x [,] dizisii oktsl ve düzgü ykısklığıı iceleyelim. Şekil.2: g (x) = 2 x ( x) 3, x [,] dizisii ilk terimi.

29 .5. DÜZGÜN YAKINSAMA ÖRNEKLERI 29 Çözüm. Öcelikle lim g (x) = g (x) olduğuu gösteri. Dh sor g g ( ) ( = g = 3 3 ) ( + 3) ( ) e 3 = olduğuu gösteri. Yi ykısm düzgüdür. Örek 45. f (x) = x ( x), x [,] olsu. {f } ve {f } dizilerii ykısklığıı iceleyi. Örek 46. h (x) = x2 + x, x [,]. Çözüm. lim h (x) = h(x) = x, x [,] olduğuu gösteri. h h = sup x 2 x + x x = sup x x + x = sup x x + = + Yi h h olur ve ykısm düzgüdür. Şekil.3: h (x) = x2 + x, x [,] dizisii ilk terimleri. Örek 47. f (x) = si2 x, x (,). x Çözüm. f (x) x olduğud lim f (x) = f (x), x (,) olur. f f f (/ 2 ) si = = si Dolyısıyl lim f f = olur ve ykısm düzgü olmz. Şekil.4: f (x) = si2 x, x x [,] dizisii ilk terimleri. x Örek 48. g (x) = 2 x 2, x [,] dizisii düzgü ykısklığıı iceleyi. + x + e

30 3 BÖLÜM. FONKSIYON DIZILERI Çözüm. g (x) = g (x) x e, x [,], e olduğud g [,] e yi g d olur. Örek 49. f (x) = ( + x ), x R dizisii düzgü ykısklığıı iceleyi. Çözüm. Örek 2 de lim f (x) = f (x) = e x olduğuu görmüştük. f f R f () f () = 2 e = 2 ( e 2) Yi ykısm düzgü değildir. Ayı dizii bir M > içi [ M, M] rlığı üzeride ykısklığıı iceleyi. ( ) Örek 5. f (x) = l + x2, x R dizisii düzgü ykısklığıı iceleyi. Çözüm. lim f (x) = f (x) = x 2 olduğuu gösteri. Bu ykısm R üzeride düzgü değildir. Çükü f f R f ( ) f ( ) = l2 = l(2 ) x Örek 5. f (x) = x 2, x R dizisii düzgü ykısklığıı iceleyi. + 2 Çözüm. f (x) x x = x (x ) 2 + x 2 2( 2 + x 2 ) = 2 olduğu gösterilebilir. Yi f R d ve R üzeride f olur. ( ) Örek 52. f (x) = rct 2x, x R dizisii düzgü ykısklığıı iceleyi. x Çözüm. Öce Ortlm Değer Teoremi yrdımıyl her x R içi rct x x olduğuu gösterelim. Herhgi bir x içi, öyle bir c R vrdır ki rct x rct = d x d x x=c rct x olur. /( + c 2 ) olduğud rct x x olur. Şimdi Örek 5 yrdımıyl f R olduğuu bulu. Örek 53. f (x) = limitii hesplyı. +x 2 + x4 dizisi içi lim f (x)d x = rct x = + c 2 x

31 .6. ALIŞTIRMALAR 3 Çözüm. Noktsl limit foksiyouu f (x) = +x 2 olduğuu görmek koly md f f [,] ormuu hesplmk zor. Bu ormu hesplmk yerie her x [,] içi f (x) f (x) olduğu dikkt edersek x 4 ( + x 2 )( + x 2 + x 4 /) ( + )( + + ) = f f [,] buluruz. Bu d { f } dizisii f foksiyou [,] üzeride düzgü ykısdığıı gösterir. Artık itegrli limitii lbiliriz. lim f (x)d x = lim f (x)d x =.6 Alıştırmlr. Mustf Blcı, Kou., Sorulr: Mustf Blcı, Kou.2, Sorulr: Mustf Blcı, Kou.3, Sorulr: x 2 d x = rct() rct() = π 4..7 Zorulu Olmy Bilgiler Bu koulr sıvd dhil olmyck. Düzgü ykısm ve düzgü süreklilik Bir f : A R foksiyou, ( ɛ > ) ( δ > ) ( x A) ( y A) [ x y < δ = f (x) f (y) < ɛ ] koşuluu sğlıyors, A kümesi üzeride düzgü süreklidir deir. Buu süreklilik şrtı ol [ ] x ( x A) ( ɛ > ) ( δ > ) ( y A) y < δ = f (x) f (y) < ɛ şrtı ile krşılştırırsk, foksiyou bir x A oktsıd sürekli olmsı içi seçile δ syısı hem x, hem de ɛ bğlı ike, foksiyou A üzeride düzgü sürekli olmsı içi seçile δ syısı sdece verile ɛ bğlıdır.. f (x) = x, x R foksiyou düzgü süreklidir. gösteri. 2. Her > içi f (x) = l x, x > foksiyou düzgü süreklidir. Ortlm değer teorimi yrdımıyl gösteri. 3. Kplı ve sıırlı bir [,b] rlığı üzeride sürekli bir foksiyo, [,b] rlığı üzeride düzgü süreklidir.

32 32 BÖLÜM. FONKSIYON DIZILERI 4. f (x) = x 2, foksiyou R üzeride sürekli m düzgü sürekli değildir. gösteri. Teorem 4. Düzgü sürekli foksiyolrı düzgü ykısk limiti düzgü süreklidir. İspt. İsptı Teorem 8 i isptı ile heme heme yıdır. Bkz [Erg5]. Örek 54. f : R R, d f /d x foksiyou R de düzgü sürekli ve ( ( g (x) = f x + ) ) f (x), x R, N olsu. g d f olduğuu gösteri. Çözüm. ɛ > verilsi. Öyle bir N ɛ N olduğuu göstereceğiz ki g f < ɛ, Nɛ. Ortlm değer teoremie göre ξ,x, x < ξ,x < x +, g (x) = f (x + ) f (x) = f (ξ,x ) f düzgü sürekli olduğud, δ >, x y < δ = f (x) f (y) < ɛ Yeterice büyük N > seçersek < δ, N ypbiliriz. olduğud x ξ,x < < δ, N, x R f (x) g (x) = f (x) f (ξ,x ) < ɛ, N, x R Bşk bir deyişle f g < ɛ, N. Weirstrss Yklştırım Teoremi Bu bölümdeki teoremleri isptlrı içi bkz [Erg5]. Teorem 5. f : [, ] R sürekli bir foksiyo olsu. ( )! k B,f = k!( k)! f x k ( x) k, k= olrk tıml Berstei poliomlrı f e düzgü ykısr. Berstei poliomlrıı kullrk şğıdki teoremi isptlybiliriz. Teorem 6 (Weirstrss Yklştırım Teoremi). f : [,b] R sürekli bir foksiyo olsu. Her ɛ > içi öyle bir p ɛ poliomu vrdır ki pɛ f [,b] ɛ. Yi sürekli bir f foksiyou lırsk, kplı bir rlık üzeride grfiği bu foksiyou grfiğie istediğimiz kdr ykı bir poliom vrdır.

33 Bölüm 2 Foksiyo Serileri 2. Limit İfimum - Limit Supremum R = R {± } kümesie geişletilmiş reel syı kümesi diyeceğiz. Herhgi bir (x ) reel syı dizisi içi lim if x = lim (if{x, x +, }) lim sup x = lim (sup{x, x +, }) geişletilmiş reel syılrı, bu dizii lt limiti ve üst limiti deilir. c = if{x, x +, } dizisii rt bir dizi olduğu, C = sup{x, x +, } dizisii ise zl bir dizi olduğu ve bu yüzde R içide bir limitleri olduğu ve tımlı olduklrı dikkt edi. Art bir supremum, zl bir dizide ifimum değerie ykısycğı içi, yukrıdki tımlrı lim if x = sup(if{x, x +, }) şeklide de yzbiliriz. lim sup x = if(sup{x, x +, }) Şekil 2.: Kyk: Wikipedi. 33

34 34 BÖLÜM 2. FONKSIYON SERILERI. Her (x ) dizisi içi olur. limif x limsup x İspt. Her içi if{x, x +, } sup{x, x +, } olduğu dikkt edersek iki trfı limitii lırsk souç çıkr. 2. lim x = L R limif x = limsup x = L 3. x dizisii herhgi bir lt dizisii R içide bir limiti vrs, bu limite (x ) dizisii bir yığılm oktsı deir. lim if x = (x ) dizisii yığılm oktlrıı e küçüğüdür lim sup x = (x ) dizisii yığılm oktlrıı e büyüğüdür Özel olrk (x ) dizisii limif x ve limsup x değerlerie ykısy lt dizileri olduğu dikkt edelim. 4. Herhgi bir (x m ) lt dizisi içi lim if x limif x m limsup x m limsup x 5. limif x = olmsı içi gerek ve yeter koşul (x ) dizisii ltt sıırsız olmsıdır. limsup x = olmsı içi gerek ve yeter koşul (x ) dizisii üstte sıırsız olmsıdır. 6. limsup x = L ise her M > L içi, dizii M de büyük e fzl solu syıd terimi vrdır (vey hiç yoktur). Bezer şekilde limif x = L ise her M < L içi, dizii M de küçük e fzl solu syıd terimi vrdır (vey hiç yoktur). 7. Her (x ) dizisi içi ve lim sup x = mx{limsup x 2,limsup x 2+ } lim if x = mi{limif x 2,limif x 2+ } olur. Dh geel olrk (x ) = (x m ()) (x m2 ()) (x mk ()) olrk yzılırs ve lim sup lim if x = mx{limsup x = mi{limif 8. Her (x ) dizisi içi ve c > ise x m (),limsup x m (),limif x m2 (),,limsup x mk ()} x m2 (),,limif x mk ()} ve c < ise olur. limsupcx = c limsup x, limsupcx = c limif x, limifcx = c limif x limifcx = c limsup x

35 2.2. REEL SERILER Her (x ) ve (y ) dizisi içi olur. lim sup (x + y ) limsup x + limsup y, limif (x + y ) limif x + limif y Örek 55. x = ( ) ( + ) olsu. x2 = + 2 ve x 2+ = 2+ olur. Yi dizii iki yığılm oktsı vrdır ve limif x =, limsup x = olur, lim x ise yoktur. Örek 56. x = si(π/2) olsu. x 2 =, x 4 = 4 ve x 4 3 = 4 3 olduğud dizii üç yığılm oktsı vrdır. limif x =, limsup x = olur. Dizii limiti yoktur. Örek 57. p,. sl syı olsu. Syılr kurmıdki bir sı (heüz isptlmmış öerme) limif (p + p ) = 2 olduğuu söyler. Bir bşk deyişle rlrıdki frk 2 ol sosuz te sl syı vrdır. Öte yd limsup (p + p ) = olduğu bilimektedir. Örek 58. Ülü Dirichlet teoremi, eğer x (, ) bir irrsyoel syı ise, [, ] rlığıdki her syıı x = si(x) dizisii bir yığılm oktsı olduğuu söyler. Bu dizi içi limsup x =, limif x = ve lim x yoktur. Alıştırmlr Aşğıdki dizileri üst ve lt limitlerii belirleyi.. x =, x 2m = x 2m 2, x 2m+ = 2 + x 2m { x =, tek, çift, 3. x = 2 cos( ) 2π 3 4. x = ) ( + ( ) 2.2 Reel Seriler Aşğıdki bilgileri dh öceki liz dersleride bilidiğii vrsyıyoruz.. Eğer s = k= k kısmi toplmlr dizisi ykısks k= k serisie ykısk deir ve k= k = lim s = lim k k= yzılır. Eğer kısmi toplmlr dizisi ırks, seriye de ırksk deir. Örek 59. = ( ) serisi ırksktır, çükü kısmi toplm dizisi {, +, +, } = {,,, } iki frklı limite ship iki lt diziye shiptir. 2. = serisi ykısk ise her N içi r = k=+ k serisi de ykısktır ve lim r = olur. Çükü r = s + ve k= k k= lim r = lim s + k = k + k = k= k=

36 36 BÖLÜM 2. FONKSIYON SERILERI 3. = ve = b serileri ykısk ise = ( + b ) serisi de ykısk olur ve 4. ( + b ) = = = = b = olur. Ayrıc her c R içi = c serisi de ykısk olur ve olur. c = c = = = + serisie teleskopik seri deir. Teleskopik seriler eğer ykısk bir dizi ise lim syısı ykısr. Eğer dizisi ykısk değilse seri de ırksr. Örek 6. ( + ), = ( ) ( + 2) l ( + ) 2 =2 serilerii teleskopik seri formu getirerek toplmlrıı bulu. Örek 6. = 3(x k x k )(x k + x k ) serisii ykısk yp x değerlerii bulu. 5. = x k serisie geometrik seri deir. x k = k= { x, eğer x < ırksk, eğer x Buu görmek içi + x + + x = x k = x, x R, x. x olduğu dikkt edi ve geometrik diziler ile ilgili soucu uygulyı. Örek 62. = ( ) + π, = k= ( ) + 4 5, 3 = 7, = serilerii ykısk olduğuu gösteri ve değerlerii bulu. 2 e 6.. terim testi = ykısrs lim =. Yi lim ise seri ırksktır. Am bu öermei tersi doğru değildir. İspt. = = L ise olur. lim = lim s s = lim s lim s = L L =.

37 2.2. REEL SERILER 37 Örek 63. Aşğıdki serileri ırksk olduğuu gösteri. = ( ) cos 2, = ( cos ), = ise s N = N = kısmi toplm dizisi rt bir dizi olur. Art bir dizi y üstte sıırlıdır ve bir limite shiptir y d üstte sıırlı değildir sosuz gider. Eğer = serisi ırksk ise = =. 8. Krşılştırm Ölçütü. Eğer b ise = b ykısk ise = serisi de ykısk olur. Eğer = ırksk ise = b ırksk olur. İspt. Eğer = b serisi ykısk ise s = k= k dizisi s = b olduğüd üstte sıırlı rt bir dizi olcğıd ykısmk zoruddır. İkici öerme birici öermei bir soucudur. 9. Cuchy Sıklştırm Teoremi. ve zl bir dizi yi 2 3 ise = ck ve ck = 2 2 ykısrs ykısr. İspt yi = = 2 2 olur. Yi = 2 2 ykısk ise = serisi de ykısk olur. Öte yd ( / ) 2( ) yi = = olur. Yi = ykısk ise = 2 2 serisi de ykısk olur.. = serisie hrmoik seri deir. p serisie p-serisi deir. p = durumu, yi = { ykısk, eğer p > p = ırksk, eğer p = Özel olrk hrmoik serii ırksdığı dikkt edi. Hrmoik seri terimleri sıfır yklş ırksk serileri belki de e ülüsüdür. İspt. Eğer p ise lim p olduğud (iye?). terim testi uyrıc = serisi ırksk olur. p > ise = p zl pozitif bir dizi olur. 2 2 = 2 (2 ) p = (2 p ) = = So seri geometrik seridir ve p ise ırksk p < ise ırksktır. Cuchy sıklştırm ölçütüü kullırsk souç çıkr.. dımd / metre gide birisi her mesfeyi kt edebilir. = p

38 38 BÖLÜM 2. FONKSIYON SERILERI Örek 64. serisii p > içi ykısk, p içi ırksk olduğuu gösteri. =2 (l) p İpucu: Cuchy Sıklştırm Teoremii kullbilirsiiz. Örek 65. serisii ırksk, =3 l l(l) olduğuu gösteri. =3 l (l(l)) 2 serisii ise ykısk. Limit Krşılştırm Ölçütü., b > ve L = lim /b olsu. Eğer < L < ise = b ck ve ck = ykısrs ykısr. İspt. Limiti tımı gereği öyle bir N N vrdır ki L 2 b 3L 2 b, N. Limit krşılştırm teoremide =N ve =N b serileri y yı d ykısktır y d yı d ırksktır. Örek 66. Aşğıdki serileri ykısklıklrıı iceleyi. k 2 k 4 + k + 4, k= k= k k2 k, lk,(p > ) k p k= k= k 2 + 2k + 3 k Not: > ise lim x l x x = olduğuu kullı serisie serisi ykısks mutlk ykısk deir. Eğer = serisi ykısk m mutlk ykısk değilse = serisii şrtlı ykısk deir. = serisi mutlk ykısk ise ykısktır ve = = olur. İspt. = ykısk olsu. + 2 olduğud limit krşılştırm teoremi uyrıc = ( + ) serisi de ykısk olur. Am = ( + ) = ( + ) = = ve e sğdki iki seri de ykısk olduğud e soldki seri de ykısktır. So olrk her N içi N N = olduğud her iki trfı limitii lırsk souç buluur. 4. Kök Testi. R, r = limsup / olsu. = serisi = = = =

39 2.2. REEL SERILER 39 r < ise mutlk ykısk, r > ise ırksktır. Not: Eğer lim x vrs limsup x = lim x olur. Yi kök testii uygulrke, öcelikle lim / limitie bkılmlıdır. Bu limit vrs r syısı bulumuş olur. Not 2: r olmsı gerektiğie dikkt edi. İspt. r < ise r < R < olck bir R vrdır. limsup tımıd öyle bir N vrdır ki her N içi / < R olur. R =N < R < olduğud so seri ykısk bir geometrik seridir. O zm =N ykısr. Yi = serisi mutlk ykısktır. r > ise limsup tımıd =N / yi şrtıı sğly sosuz vrdır. Dolyısıyl lim = olmz ve. terim testi sebebiyle seri ırksr. 5. D Almbert Or Testi. R, ( yeterice büyükse), R = limsup +, r = limif + olsu. = serisi R < ise mutlk ykısktır. r > ise ırksktır. Eğer L = lim + limiti vrs. = serisi L < ise mutlk ykısk, L > ise ırksktır. İspt. İspt içi herhgi bir { }, > dizisi içi lim if + limif limsup limsup + (2.) bilgiside fydlılbilir. İspt içi bkz. Rudi, Priciples of Mthemticl Alysis Teorem Or testi geellikle kök testie göre uygulmsı dh koly bir testtir. Ack (2.) sebebiyle, kök testi dh geiş bir uygulmy shiptir. Zir or testi bir serii ykısk olduğuu belirlerse (limsup + < ise), kök testi de o serii ykısk olduğuu belirler (limsup < ). Öte yd or testii souç vermediği bzı durumlrd, kök testi souç verebilir. Örek

40 4 BÖLÜM 2. FONKSIYON SERILERI serisi içi lim if + lim if 2 = lim lim sup = lim + lim sup = lim 2 ( ) 2 = lim =, 3 3 =, =, 2 ( ) 3 = +. 2 Yi bu örek içi kök testi, serii ykısk olduğuu belirler. Am or testi souç vermez. Örek serisi içide lim if + = 8, limsup = 2 ve lim = 2 olduğuu gösteri. Yi seri kök testie göre ykısktır. Or testi ise bize serii ykısmsı ile ilgili bilgi vermez. + Örek 69. = x l serisi hgi x değerleri içi ykısr. Çözüm. x = e l x olrk tımlrız. Bu ifde sdece x > ve R içi tımlıdır. Dolyısıyl seri x > içi tımlıdır. x l = e l xl = e l x l = e ll x = l x = l x = l x olduğud ve l x < x < e içi ykısr, x e içi ırksr. serisi p = l x > içi ykısk ve p = l x içi ırksk olur. Yi seri Örek 7. = x 2 ( x 2 ) serisi hgi x değerleri içi ykısr. Çözüm. Seri x = içi ykısr. x içi seriyi x 2 = ( x 2 ) olrk yzlım. Seri bir geometrik seridir ve x 2 < içi ykısr. Burd serii x < 2 içi ykısk, x 2 içi ırksk olduğuu görürüz. Örek 7. = x 2 e 2 x serisi hgi x değerleri içi ykısr. Çözüm. Seri x = içi ykısr. x içi. = verir. Yi seri her x içi ykısr. e 2 x yzlım. Or testi + + lim = lim e x (2+) = Alıştırmlr

41 2.3. FONKSIYON SERILERINDE YAKINSAMA 4. Aşğıdki serileri ykısklıklrıı iceleyi. ) b) c) d) e) f) g) h)!,, 2!, ( = = = = = + ) 2, 2 π, ( ) +, (π ), = = +, = i) j) k) l) m) ) o) p) +, ( ), = = = = l 2 Cevp: Ykısk. (l) l( + ) =! = + Cevp: Ykısk. Cevp: Irksk. Cevp: Ykısk (or testi). = 2 Cevp: Irksk (limit + krşılştırm testi). si = Cevp: Irksk (. terim testi). 2.3 Foksiyo Serileride Ykısm Foksiyo serileri, çık trifii bilmediğimiz bir foksiyou yzmı yei bir yoludur. Foksiyolrı, seriler trfıd yzmı öreği difersiyel deklem çözümleride (doğyı lmd) müthiş fydsı vrdır. f k : A R olsu. Her N içi s (x) = f k (x) kısmi toplm dizisi olsu. k=. Eğer s dizisi A kümesi üzeride bir s foksiyou oktsl olrk ykısıyors, s(x) = lim s (x) = lim f k (x) = f k (x), k= k= x A yzrız ve = f serisie A üzeride s foksiyou oktsl ykısr deriz. Bir serii A kümesi üzeride oktsl ykısmsı, her x A içi, = f (x) syı serisii ykısmsı lmı gelir. 2. Eğer s dizisi A kümesi üzeride s foksiyou düzgü ykısks, = f serisie A üzeride s foksiyou düzgü ykısr deir.

42 42 BÖLÜM 2. FONKSIYON SERILERI k= f k foksiyo serisi A üzeride bir s foksiyou oktsl olrk ykıssı. R (x) = s (x) s(x) = f k (x), k=+ x A olrk tımlylım. O hlde lim R (x) =, x A olur. k= f k foksiyo serisii A üzeride düzgü ykısmsıı tımı s d s yi lim s s A = vey bşk bir deyişle olmsıdır. lim R A = Örek 72. = x geometrik serisii ) R, b) (,), c) < < içi [,), d) < <, içi (, ], e) < < içi [, ], kümeleri üzeride oktsl ve düzgü ykısklığıı iceleyi. Çözüm. Biliyoruz ki x k x, eğer x < =, eğer x ırksk, eğer x k= ) Seri R üzeride oktsl ve dolyısıyl oktsl olrk ykısmz. b) Seri (,) rlığıd oktsl ykısr. Htt mutlk oktsl ykısr. Bu ykısmı düzgü olmdığıı üç frklı yold görelim. Birici yol. Kısmi toplm dizisi s N = + +x N, (,) üzeride sürekli ve sıırlıdır ( s N < N ) m limit foksiyou ol, (,) rlığıd sıırlı değildir. Dolyısıyl ykısm düzgü x olmz. İkici yol. x (, ) içi İki trfıd limitii lırsk R (x) = k=+ x k = x + k= x k = x+ x lim x R (x) = lim x x + x =

43 2.3. FONKSIYON SERILERINDE YAKINSAMA 43 olduğud R foksiyou (,) rlığıd sıırsız yi R (,) = olur. lim R (,) olduğud geometrik seri (,) rlığıd düzgü ykısmz. Üçücü yol. R R ( + ) ve lim R R lim ( + ) = lim ( ) + = olduğuu göstererek de görebilirdik. c) Yukrıdki liz, her < < içi [,) rlığıd R = olduğuu ve bu yüzde geometrik serii düzgü ykısmdığıı gösterir. d) ve her içi R (,] 2 olur. lim R (x) = x + lim x + x + lim R (,] x = ( )+ 2 olduğud ykısm düzgü olmz. e) < < içi [, ] kümeside ykısmı düzgü olduğuu şğıd verile Weirstrss- M testii kullrk görebiliriz. Geometrik serii (, ) rlığıd mutlk oktsl ykısdığı m düzgü ykısmdığı dikkt edelim. Weirstrss-M Testi Teorem 7 (Weirstrss-M Testi). Eğer her N ve her x A içi f (x) M ve = M serisi ykısk ise = f (x) serisi A üzeride düzgü ykısr. İspt. x A ise R (x) = k=+ f k (x) fk (x) M k = r k=+ k=+ Yi R A r olur. = M serisi ykısdığı göre r yi R A olur. Örek 73. = x serisii (,) rlığıd düzgü ykısk olmdığıı görmüştük. Şimdi sbit < < içi yı serii A = [, ] rlığı üzeride düzgü ykısdığıı gösterelim. f (x) = x olsu. f = ve < olduğud Weirstrss-M testie göre seri A üzeride düzgü ykısktır. Örek 74. = cosx (+) ve = 2 e x serilerii R üzeride düzgü ykısk olduğuu gösteri.

44 44 BÖLÜM 2. FONKSIYON SERILERI Foksiyo Serilerii Sürekliliği Teorem 8. f : A R olsu. Eğer her N içi f sürekli ise ve s(x) = = f (x) serisi düzgü ykısks, s(x) foksiyou A üzeride süreklidir. İspt. İspt iki sürekli foksiyou toplmıı sürekli olmsı ve sürekli foksiyolr dizisii düzgü ykısk limitii sürekli olmsıı soucudur. Örek 75. s(x) = cos 2 x şeklide tıml f foksiyouu (, ) rlığıd sürekli olduğuu isptlyı. = Çözüm. x = içi seri ırksr. Dolyısıyl (, ) rlığıd serii düzgü ykısk olmsıı beklemiyoruz. Am sürekliliği göstermek içi bu gerek yok. Serii (, ) rlığıd sürekli olduğuu göstermek içi, herhgi bir x = x > oktsıd sürekli olduğuu göstermek yeterlidir. < < x olck bir vrdır. [, ) rlığıd serii düzgü ykısk olduğuu gösterebilirsek, serii [, ) rlığıd sürekli ve bu yüzde x = x d sürekli olduğuu göstermiş oluruz. Şimdi buu görelim. ve 2 x cosx 2 x, x 2 ( 2 = 2 = ve 2 < olduğud = 2 serisi ykısk bir geometrik seridir. Weirstrss-M testi uyrıc = cosx 2 x serisi [, ) üzeride düzgü ykısk olur. Teorem 8 soucu olrk eğer seri [,b] üzeride düzgü ykısk ve x [,b] ise lim x x = = ) f (x) = lim f (x) x x olur. Burd x = ise lim x x ifdesii lim x + ve x = b ise lim x x ifdesii lim x b ile değiştirmek gerekir. Örek 76. lim x = olduğuu gösteri. Nede eşitlik yoktur? Çözüm. lim x = = (x x + ) lim x (x x + ) = (x x + ) = lim ( x) x x = lim ( x) x x x = = = lim x (x x + ) = Eşitlik olmmsıı sebebi serii hiçbir < içi (, ) rlığıd düzgü ykısk olmmsıdır. =