T.C. NİĞDE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLER ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

Transkript

1 NİĞDE ÜNİVERSİTESİ YÜKSEK LİSANS TEZİ G. SAĞLAR, 03 FEN BİLİMLER ENSTİTÜSÜ T.C. NİĞDE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLER ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI ZAMAN SKALASI ÜZERİNDE DİAMOND α GRÜSS TİPİ EŞİTSİZLİKLER GAMZE SAĞLAR EYLÜL 03

2

3 T.C. NĐĞDE ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ MATEMATĐK ANABĐLĐM DALI ZAMAN SKALASI ÜZERĐNDE DĐAMOND α GRÜSS TĐPĐ EŞĐTSĐZLĐKLER GAMZE SAĞLAR Yüksek Lisns Tezi Dnışmn Yrd. Doç. Dr. Adnn TUNA Eylül 03

4

5 TEZ BİLDİRİMİ Tez içindeki ütün ilgilerin ilimsel ve kdemik kurllr çerçevesinde elde edilerek sunulduğunu, yrıc tez yzım kurllrın uygun olrk hzırlnn u çlışmd n it olmyn her türlü ifde ve ilginin kynğın eksiksiz tıf ypıldığını ildiririm. Gmze SAĞLAR

6 ÖZET ZAMAN SKALASINDA DİAMOND α GRÜSS TİPİ EŞİTSİZLİKLER SAĞLAR, Gmze Niğde Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Mtemtik Anilim Dlı Dnışmn : Yrd. Doç. Dr. Adnn TUNA Eylül 03, 5 Syf Bu tezde, zmn sklsı nlizi ile ğlntılı genel tnımlr ve teoremler, dimond α dinmik türevinin, dimond α integrlinin tnımı ve unlrın önemli temel özellikleri, yrıc zmn sklsı üzerinde dimond α Grüss tipi eşitsizlikler çlışıldı. Bun ilveten zmn sklsının özel durumlrı, u elde edilen eşitsizliklere uygulndığınd orty çıkn sonuçlr ve u sonuçlrın litertürde oln zı eşitsizlikler ile krşılştırılmlrı incelendi. Anhtr Sözcükler: Zmn Sklsı, Dimond α Dinmik Türev, Dimond α İntegrl, Dimond α Grüss Tipi Eşitsizlikler iv

7 SUMMARY DİAMOND α GRÜSS TYPE INEQUALITIES ON TIME SCALES SAĞLAR,Gmze Niğde University Grdute School of Nturl nd Applied Science Deprtment of Mthemtics Supervisor : Assistnt Professor Dr Adnn TUNA Septemer 03, 5 Pges In this thesis we study generl definitions nd theorems relted to time scles, definitions nd fundmentl properties of dimond α dynmic derivtes, dimond α integrtion, lso dimond α Grüss type inequlities. In ddition, we exmine the comprisons with some inequlities on the literture nd other results pplying the otined these inequlities for the specil cses of time scles. Keywords: Time Scles, Dimond α Dynmic Derivtes, Dimond α Integrtion, Dimond α Grüss Type inequlities. v

8 ÖN SÖZ Ağırlık fonksiyonlu integrl, yklşım teorisi ve spectrl nliz, isttiksel nliz ve dğılım teorileri gii syısız mtemtik proleminde kullnıldı. 935 de Grüss ir integrl eşitsizliği geliştirdi. Ostrowski, nümerik integrl, olsılık ve optimizsyon teorisi, olsılıksl, isttistik, ilgi ve integrl opertör teorilerinde güçlü uygulmlr ship diferensiyelleneilir fonksiyonlr ile ilgili ilginç ir integrl eşitsizliği oluşturdu. Son yıllrd irçok rştırmcı yukrıdki iki eşitsizliğin genellemelerini ve çlışmlrını u konulr üzerine odklnlndırdılr (Hussin ve Qyyum, 03). Ayrıc rştırıln sonuçlr dh önceki ğırlıklı olmyn eşitsizlikler yerine dh çok ğırlıklı olnlr üzerine ypılmıştır. Bu yklşımlr sdece sonuçlr üzerinde genelleştirmemiş, undn şk özel durumlr gii zı değişik eşitsizlikler hkkınd d ilgi verir (Hussin ve Qyyum, 03). Zmn sklsı teorisi 988 trihinde Stefn Hilger trfındn sürekli ve yrık nlizi irleştirme metodlrı üzerine odklnmıştır. Zmn sklsı üzerinde dinmik denklemlerin çlışılmsı, difernsiyel ve frk denklemlerinden iki yrı sonuç elde edilmesini engeller. Bu ğlmd u tezde, zmn sklsının tnımı ve önemli temel özellikleri, Dimond α dinmik türevinin, Dimond α integrlinin tnımı ve unlrın temel özellikleri, yrıc zmn sklsı üzerinde ğırlıklı Dimond-α Grüss tipi eşitsizlikler çlışıldı. Bun ek olrk zmn sklsının özel durumlrı göz önüne lınrk, elde edilen eşitsizliklere uygulnmlrı sonucund ulunn eşitsizliklerin litertürle krşılştırılmlrı ve şk diğer sonuçlr incelenmiştir. Tez çlışmlrım, seminerim ve okul hytım oyunc n her zmn yrdımcı oln ve eni tecrüeleri ve ilgileriyle yönlendiren dnışmn hocm, Syın Adnn TUNA y teşekkür ederim. Ayrıc, enim ugünlere gelmemde desteklerini hiçir zmn esirgemeyen ve enimle irlikte sır gösteren çok kıymetli ileme özellikle lm Arzu SAĞLAR, sevgili rkdşlrım minnet ve şükrmlrımı sunrım. vi

9 İÇİNDEKİLER ÖZET... iv SUMMARY... v ÖN SÖZ... vi İÇİNDEKİLER...vii ÇİZELGELER DİZİNİ... viii ŞEKİLLER DİZİNİ... ix SİMGE VE KISALTMALAR... x BÖLÜM I GİRİŞ... BÖLÜM II ZAMAN SKALASI.... Zmn Sklsınd Temel Kvrmlr.... Zmn Sklsınd Delt Türev Zmn Sklsınd İntegrl Zmn Sklsınd Nl Türev....5 Zmn Sklsınd Nl Anti Türevin Vrlığı... 4 BÖLÜM III ZAMAN SKALASI ÜZERİNDE DİAMOND α DİNAMİK EŞİTSİZLİKLERİ Dimond α Dinmik Türevi Dimond α İntegrli... 7 BÖLÜM IV ZAMAN SKALASI ÜZERİNDE DİAMOND α GRÜSS TİPİ EŞİTSİZLİKLERİ Ağırlıklı Dimond α Grüss Eşitsizlikleri Her İki Fonksiyonun Lipschitzn Şrtını Sğlmsı Durumu f Fonksiyonun M g Lipschitzin Şrtını Sğlmsı Durumu... 4 BÖLÜM V SONUÇLAR KAYNAKLAR ÖZ GEÇMİŞ... 5 vii

10 ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge.. Noktlrın sınıflndırılmsı... 3 Çizelge.. Grininess fonksiyonu ve sıçrm opertörlerinin özel hlleri... 8 viii

11 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil.. Noktlrın gösterimi..3 ix

12 SİMGE VE KISALTMALAR Simgeler 0 Açıklm Reel Syılr Tm Syılr Zmn Sklsı Doğl Syılr Kompleks Syılr Rsyonel Syılr / İrrsyonel Syılr f f f f C rd C ld k k k k f İleri sıçrm opertörü Geri sıçrm opertörü İleri sıçrm fonksiyonu Geri sıçrm fonksiyonu Hilger (Delt) türev Nl türev İleri frk opertörü Geri Frk Opertörü Sğd yoğun sürekli fonksiyonlrın kümesi Sold yoğun sürekli fonksiyonlrın kümesi Zmn Sklsındn türetilmiş ir küme Zmn Sklsındn türetilmiş ir küme Zmn Sklsındn türetilmiş ir küme Dimond α türev x

13 BÖLÜM I GİRİŞ Hilert uzy teorisi lineer opertörler, lineer olmyn nliz, kısmi difernsiyel denklemler, yklşım teorisi, optimizsyon teorisi, nümerik nliz, olsılık teorisi, isttistik ve çğdş mtemtiğin diğer lnlrı için çok syıd uygulmlrı ile ir merkezi rol oynr. Schwrz, Üçgen, Bessel, Grm ve ykın zmnlrd Grüss eşitsizlikler yukrıd hsedilen lnlrd oluşn çeşitli yklşım formülleri için htlrı thmin etmek ve sınırlrı elde etmek için kuvvetli rçlr olrk sıklıkl kullnıldı. Bzı Grüss tipi eşitsizlikler reel vey kompleks iç çrpım uzyınd vektörlerin ortonorml ilesi için kullnılır. Bzı Grüss tipi eşitsizlikler de yrık Fourier ve Mellin dönüşümleri için iç çrpım uzylrı ve doğl uygulmlrınd vektörlerin n dizileri için önemlidir (Drgomir., 003). 988 trihinde Stefn Hilger trfındn, sürekli ve yrık nlizi irleştirmek mcıyl zmn sklsı teorisi kurulmuştur. Zmn sklsı üzerinde dinmik denklemlerin çlışılmsı, difernsiyel ve frk denklemlerinden iki yrı sonuç elde edilmesini engeller (Bohner ve Peterson, 00). Tezin ikinci ölümünde zmn sklsının tnımı, zmn sklsınd delt türev, delt integrl ve unlrın temel özellikleri ile zmn sklsınd nl türev, nl integrlin tnımı ve temel özellikleri incelenmiştir. Tezin üçüncü ölümünde zmn sklsınd dimond dinmik türev ve integrlin tnımı ve özellikleri isptlı olrk detylı ir şekilde çlışılmıştır. Son olrk tezin dördüncü ölümünde zmn sklsı üzerinde, her iki fonksiyonun Lipschitzin şrtını sğlmsı durumu, fonksiyonun M g Lipschitzin şrtını sğlmsı durumu göz önüne lınrk elde edilen dimond Grüss eşitsizlikler ve ğırlıklı dimond Grüss eşitsizlik olmk üzere dimond Grüss tipi eşitsizlikler çlışılmıştır. Bun ilveten zmn sklsının özel durumlrı, u elde edilen eşitsizliklere uygulndığınd orty çıkn sonuçlr ve u sonuçlrın litertürde oln zı eşitsizlikler ile krşılştırılmlrı incelendi.

14 BÖLÜM II ZAMAN SKALASI Bu ölümde ilerideki çlışmlrd temel teşkil edecek oln zmn sklsının tnımı, delt türevi, delt integrli ve temel özellikleri ile nl türevi, nl integrli ve temel özellikleri hkkınd ilgi verilecektir. Zmn sklsı nlizi ile ğlntılı dh fzl ilgi için (Agrwl vd., 00; Agrwl vd., 00; Bohner ve Peterson, 00; Bohner ve Peterson, 003; Hilger, 988; Hilger, 990) refernslrı okuyuculr destek sğlyilir.. Zmn Sklsınd Temel Kvrmlr Tnım. Zmn sklsı, keyfi oş olmyn kplı ir gerçel syılr kümesinin ir lt kümesidir.,,, ile 0,,3 ve 0 0 0, kplı rlıklrı zmn sklsın irer örnektir. Fkt, /, ve 0, çık rlığı irer zmn sklsı değildir. Zmn sklsı olmk üzere üzerinde tnımlı ir f fonksiyonunun delt türevi f t ile gösterilir. Eğer lınırs, u durumd yrıc ise, f t f t f t f t f t f lışılmış türevi ileri frk opertörü olur. Bunlrdn şk teoride dh değişik zmn skllrı lınilir (Bohner ve Peterson, 00). Tnım. ir zmn sklsı olsun. t için : ileri sıçrm opertörü t inf s : s t ve : geri sıçrm opertörü ( t) sup s : s t içiminde tnımlnır. Bu tnımd inf sup (eğer ir mx t ye ship t t) ve sup inf (eğer ir mint ye ship t t) olur (Bohner ve Peterson, 00). Tnım.3 Grininess fonksiyonu : 0, olmk üzere tnımlnır (Bohner ve Peterson, 00). t t t şeklinde

15 Tnım.4 Eğer t t ise, t sğdn sçılımlı, t t ise, t soldn sçılımlıdır. Hem sğdn sçılımlı hem soldn sçılımlı noktlr izole nokt denir. Ayrıc, t sup ve t t ise, t sğd yoğun, inf t ve t t ise, t sold yoğun denir. Hem sold hem de sğd yoğun oln noktlr yoğundur denir. Noktlrın şemtik gösterimi Şekil. de, noktlrın sınıflndırılmsı ise Çizelge. de gösterilmiştir. t soldn yoğun ve sğdn sçılımlı t t t soldn yoğun ve sğdn yoğun t 3 sğdn yoğun ve soldn sçılımlı t 3 t 4 t 4 soldn sçılımlı ve sğdn sçılımlı Şekil. Noktlrın Gösterimi Çizelge. Noktlrın Sınıflndırılmsı t sğdn sçılımlı t () t t sğdn yoğun () t t t soldn sçılımlı () t t t soldn yoğun () t t t izole ( t) t ( t) t yoğun ( t) t ( t) t ve t, Tnım. ye göre zmn sklsının elemnıdır. zmn sklsındn türetilen ir k kümesi; eğer soldn sçılımlı ir m mksimumun ship ise k m, ksi tktirde k olrk tnımlnır. 3

16 f : ir fonksiyon olmk üzere t için f : fonksiyonu f f t şeklindedir (Bohner ve Peterson, 00). Örnek. Zmn sklsı olrk ve durumlrı için (i) Eğer lınırs, t noktsı yoğun olmk üzere ve sup : sup, t s s t t t olrk ulunur. t için grininess fonksiyonu t 0 dır. (ii) Eğer olrk lınırs t noktsı izole nokt olmk üzere t inf s : s t inf t, t, t 3,... t ve t sup s : s t sup t, t, t 3,... t elde edilir. t için grininess fonksiyonu t dir. Yukrıd verilen iki örnekte grinniness fonksiyonu sittir. Zmn sklsınd grinniness fonksiyonu nliz için önemli ir rol oynr (Bohner ve Peterson, 00).. Zmn Sklsınd Delt Türev Tnım.5 f : ir fonksiyon ve k t olsun. 0 t nin ir U komşuluğundki ( yni U t, t verildiğinde 0 için ) s U için f t f s f t t s t s eşitsizliği sğlnırs, Peterson, 00). f t ifdesine f fonksiyonunun delt türevi denir (Bohner ve Örnek. (i) olmk üzere ve t için f :, fonksiyonu f t f olur. (ii) ve t 0 dır. Zmn sklsınd türev tnımı kullnılırs s ve için 0 0 f t f s t s t s t için f : fonksiyonu f t s için t ise, f t dir. Gerçekten 0 f t f s t s t s t s t s ise 4

17 eşitsizliği sğlndığındn f t Teorem. f : ir fonksiyon ve dir (Bohner ve Peterson, 00). k t olsun. Bu durumd (i) Eğer f fonksiyonu t noktsınd türevleneilir ise, u durumd f fonksiyonu t noktsınd süreklidir. (ii) Eğer f fonksiyonu t noktsınd sürekli ve t noktsı sğdn sçılımlı ise, u tktirde f fonksiyonu t noktsınd türevleneilirdir ve f t t t f t f t şeklindedir. (iii) Eğer t noktsı sğdn yoğun ise, u durumd gerek ve yeter koşul lim st f t f s t s limiti sonlu ir değer olduğund f fonksiyonu t noktsınd türevleneilirdir ve f t f t f s lim st t s içimindedir. (iv) Eğer f fonksiyonu t noktsınd türevleneilir ise, öylece f t f t t f t şeklindedir (Bohner ve Peterson, 00). Örnek.4 Zmn sklsı ve olsun. (i) ve Teorem.(iii) göz önüne lınırs, t için, f : tnımlı ir fonksiyonun delt türevi f şeklindedir. t f t f s lim st t s f t (ii) ve Teorem.(ii) göz önüne lınırs, t için, f : tnımlı ir fonksiyonun delt türevi, f t f t f t ileri frk opertörü olmk üzere 5

18 f t lim s f t f t t t f t f t f t içimindedir (Bohner ve Peterson, 00). Teorem. f, g: tnımlı ve olsunlr. Bu tktirde k t noktsınd türevleneilir fonksiyonlr (i) f g: fonksiyonu t noktsınd türevleneilirdir ve olur. f g t f t g t (ii) Her sit için, f : fonksiyonu türevleneilirdir ve elde edilir. f t f t (iii) fg : fonksiyonu türevleneilirdir ve ulunur. fg t f t g t f t g t f t g t f t g t (iv) Eğer f t f t 0 olmk üzere f fonksiyonu türevleneilirdir ve f t t f f t f t dir. (v) Eğer g t g t 0 olmk üzere f g fonksiyonu türevleneilirdir ve f f t g t f t g t t g g t g t elde edilir (Bohner ve Peterson, 00). Tnım.6, : f t k k k f g tnımlı ir fonksiyon olsun. Eğer üzerinde fonksiyonu türevleneilir ise u tktirde f fonksiyonunun ikinci türevi 6

19 f k n n k f : olmk üzere n yinci merteeden türev f : olrk tnımlnır. Bu durumd t t ve t t için olmk üzere n 0 n n 0 0 t t nh ve t t nh içimindedir. Ayrıc t t t, f 0 f ve 0 k dir (Bohner ve Peterson, 00). Örnek.5 0 h ve h hk : k olmk üzere t için inf : inf : t s s t t nh n t h içiminde elde edilir. Benzer şekilde nokt ve fonksiyonu sittir. t için t t t t h t h t t h olrk ulunur. t noktsı izole olmk üzere t t için f : tnımlı ir fonksiyonun türevi f t t f t f t f t h f t şeklindedir (Bohner ve Peterson, 00). k Örnek.6 q ve q q : k h olmk üzere q q 0 grinniness olrk tnımlnır. Bu durumd n m m q olrk lınırs t inf q : n m, q qq qt ve t m q ise, 0 0 dır. Burdn t grinniness fonksiyonu, sğd yoğun minimum ve f, g: fonksiyonu olmk üzere t ve f t t f t f t f t qt f qt için t qt, t t ve t için q t t t q t olrk elde edilir. Böylece 0, zmn sklsı üzerinde diğer her nokt izole noktdır. \0 için 7

20 f f 0 lim s0 0 0 s f s f s f lim s0 s 0 elde edilir. Aşğıdki Çizelge. de zı frklı zmn skllrı göz önüne lınrk hesplnn grinniness fonksiyonu, ileri sıçrm opertörü ve geri sıçrm opertörüne örnekler verilmiştir (Bohner ve Peterson, 00). Çizelge. Grniness Fonksiyonu ve Sıçrm Opertörlerinin Özel Hlleri q q 0 t t t 0 t t t t t qt t q t t t Tnım.7 f : tnımlı ir fonksiyon olsun. Eğer f fonksiyonunun, üzerinde sğdn yoğun oln ütün noktlrd sğdn limitleri ve soldn yoğun oln ütün noktlrd soldn limitleri vrs, u durumd f fonksiyonun düzenli fonksiyon denir (Bohner ve Peterson, 00). Tnım.8 f : tnımlı ir fonksiyon olsun. Eğer f fonksiyonu üzerinde sğd yoğun noktlrd sürekli ve üzerinde sold yoğun oln noktlrd soldn limiti vrs, u durumd f fonksiyonun rd sürekli fonksiyon denir. f : sürekli fonksiyonlrın kümesi, C C C rd rd rd içiminde gösterilir. tnımlı rd f : tnımlı türevleneilir ve türevleri rd sürekli oln fonksiyonlrın kümesi, C C C rd rd rd 8

21 şeklinde gösterilir (Bohner ve Peterson, 00). Teorem.3 f : tnımlı ir fonksiyon olsun. Bu tktirde (i) Eğer f fonksiyonu sürekli ise, u durumd f fonksiyonu rd süreklidir. (ii) Eğer f fonksiyonu rd sürekli ise, u durumd f fonksiyonu düzenlidir. (iii) ileri sıçrm opertörü rd süreklidir. (iv) Eğer f fonksiyonu düzenli vey rd sürekli ise, u tktirde f fonksiyonu düzenli vey rd süreklidir. (v) f sürekli ir fonksiyon olsun. Eğer g : tnımlı düzenli vey rd sürekli ir fonksiyon ise, u durumd f Peterson, 00). g fonksiyonu düzenli vey rd süreklidir (Bohner ve Tnım.9 f : tnımlı sürekli ir fonksiyonu olsun. k k D ve \ D ölgesi syılilir ve nin sğdn sçılımlı elemnlrını içermeyen ve her ir t D noktsınd f fonksiyonu türevleneilir ise, u tktirde f fonksiyonu D türevleneilir ölgesinde ön türevleneilirdir denir (Bohner ve Peterson, 00). Teorem.4 Kompkt ir rlıkt her düzenli fonksiyon sınırlıdır (Bohner ve Peterson, 00). Teorem.5 f ve g fonksiyonlrı üzerinde tnımlnn reel değerli ve D türevleneilir ölgesinde ön türevleneilir iki fonksiyon olmk üzere t D için f t g t şrtı sğlnırs, u durumd r s olmk üzere rs, için f s f r g s g r elde edilir (Bohner ve Peterson, 00). Teorem.6 (Ön nti türevin vrlığı) f düzenli ir fonksiyon olsun. Böylece t D için D türevleneilir ölgesinde ön türevleneilir ve F t f t F fonksiyonu vrdır (Bohner ve Peterson, 00). olck içimde ir 9

22 .3 Zmn Sklsınd İntegrl Tnım.0 f : düzenli ir fonksiyon, f fonksiyonunun ön nti türevi F ve C keyfi ir sit olmk üzere f fonksiyonun elirsiz integrli f t t F t C içiminde tnımlnır. rs, için Cuchy integrli s r f t t F s F r k şeklindedir. Eğer t için F t f t şrtı sğlnıyors, u durumd F : fonksiyonun f : fonksiyonunun nti türevi denir (Bohner ve Peterson, 00). Teorem.7 Her rd sürekli fonksiyonun ir nti türevi vrdır. Eğer, t 0 ve t için f fonksiyonunun nti türevi F fonksiyonu olmk üzere t t0 F t f olrk tnımlnır (Bohner ve Peterson, 00). Teorem.8 f C ve rd k t ise, u durumd t t f t f t dir (Bohner ve Peterson, 00). Teorem.9 Eğer f t 0 ise, f fonksiyonu zln değildir (Bohner ve Peterson, 00). Teorem.0 Eğer c,,, olmk üzere ve f, g Crd ise, u durumd f t g t t f t t g t t, (i) f t t f t t, (ii) f t t f t t, (iii) 0

23 c (iv) (v) f t t f t t f t t, c f t g t t fg fg f t g t t, f t g t t fg fg f t g t t, (vi), (vii) f tt 0 (viii) Eğer, üzerinde f t g t ise f t t g t t, (ix) Eğer ütün t için f t 0 ise f tt 0 ifdeleri geçerlidir (Bohner ve Peterson, 00)., Teorem., ve f Crd olmk üzere (i) Eğer ise, integrldir. f t t f t dt içiminde ilinen Riemnn nlmınd (ii) Eğer, kplı rlığı sdece izole noktlrı içeriyors t f t, t, f t t 0, t f t, t, olur., h 0 ise (iii) Eğer h hk : k h f kh h, k h f t t 0, h f kh h, k h elde edilir.

24 (iv) Eğer ise f t, t f t t 0, f t, t içimindedir (Bohner ve Peterson, 00)..4 Zmn Sklsınd Nl Türev zmn sklsındn türetilmiş ir k minimumun ship ise, k m şeklinde tnımlnır. kümesi, eğer, sğdn sçılımlı ir m f : ir fonksiyon olmk üzere t için f : fonksiyonu f t f t şeklinde tnımlnır (Bohner ve Peterson, 00). Tnım. f : ir fonksiyon ve t k olsun. 0 olck şekilde 0 için t nin ir V komşuluğundki (yni V t, t f t f s f t t s t s eşitsizliği sğlnırs Peterson, 00). f t ) s V için ifdesine, f fonksiyonunun nl türevi denir (Bohner ve Teorem. f : ir fonksiyon ve t k olsun. Böylece (i) Eğer f fonksiyonu t noktsınd nl türevleneilir ise, u durumd f fonksiyonu t noktsınd süreklidir. (ii) Eğer f fonksiyonu t noktsınd sürekli ve t noktsı soldn sçılımlı ise, u tktirde f fonksiyonu t noktsınd nl türevleneilirdir ve f t t f t f t içimindedir. (iii) Eğer t noktsı soldn yoğun ise f fonksiyonu t noktsınd nl türevleneilirdir ve

25 f şeklindedir. t lim st f t f s t s (iv) Eğer f fonksiyonu t noktsınd nl türevleneilir ise, u durumd f ( t) f ( t) t f t dır (Bohner ve Peterson, 00). Örnek.7 Eğer ise, f ( t) f ( t) lışılmış türev ve ise, f ( t) f ( t) f t f t geri frk opertörü olrk yzılır (Bohner ve Peterson, 00). Teorem.3 f, g: tnımlı ve t k noktsınd nl türevleneilir olsun. Böylece (i) f g: toplm fonksiyonu d t noktsınd nl türevleneilirdir ve olur. f g t f t g t (ii) Her sit için, f : fonksiyonu d nl türevleneilirdir ve içimindedir. f t f t (iii) fg : fonksiyonu d nl türevleneilirdir ve elde edilir. fg t f t g t f t g t f t g t f t g t (iv) Eğer f t f t 0 ise, f fonksiyonu d nl türevleneilirdir ve f t t f f t f t olur. (v) Eğer g t g t 0 ise, f g fonksiyonu d nl türevleneilirdir ve 3

26 f f t g t f t g t t g g t g t şeklindedir (Bohner ve Peterson, 00)..5 Zmn Sklsınd Nl Anti Türevin Vrlığı Tnım. t için F t f t şrtı sğlnırs F : fonksiyonun k f : fonksiyonunun nl nti türevi denir ve f fonksiyonunun integrli t için t f F t F içimindedir (Bohner ve Peterson, 00). Tnım.3 f : ir fonksiyon olsun. Eğer üzerinde soldn yoğun noktlrd sürekli ve üzerinde sğdn yoğun noktlrd sğdn limitleri oln fonksiyon ld - sürekli fonksiyonu denir (Bohner ve Peterson, 00). Teorem.4 Her ld -sürekli fonksiyonun, ir nl nti türevi vrdır (Bohner ve Peterson, 00). Teorem.5 Eğer f : ld -sürekli ve t k ise, öylece t t f f t t dır (Bohner ve Peterson, 00). Teorem.6 Eğer c,,, ve f, g: ld -sürekli ise, u tktirde f t g t t f t t g t t, (i) f t t f t t, (ii) f t t f t t, (iii) c (iv) f t t f t t f t t, c 4

27 (v) f t g t t fg fg f t g t t, f t g t t fg fg f t g t t, (vi) (vii) f tt 0 ifdeleri elde edilir (Bohner ve Peterson, 00). Teorem.7, ve f :, ld -sürekli olsun. Böylece (i) olsun. Bu durumd Riemnn integrlidir. f t t f t dt olmk üzere sğdki integrl (ii) dir. (iii) sdece izole noktlrı içeriyors h f t t, t, f tt 0, f t t, t,, h olrk lınırs olur. h f kh h, h k h f tt 0, h f kh, h k h (iv) olrk lınırs f t, t f tt 0, f t, t içimindedir (Bohner ve Peterson, 00). 5

28 Sonuç. k t k ve f : olsun. Bu durumd f fonksiyonunun t de delt türevinin vr olmsı nl türevinin de vr olduğu nlmın gelmez. Tersten düşünüldüğünde de geçerlidir (Rogers Jr. ve Sheng, 007). İspt, 0, zmn sklsı için f t tsin, t 0 t 0, t 0 fonksiyonunu olmk üzere u f fonksiyonu 0 noktsınd süreklidir ve 0 noktsınd sğd yoğun, soldn sçılımlıdır. Teorem.(ii) den dolyı f, 0 noktsınd nl türevleneilirdir. Fkt 0 noktsınd f t f s lim st t s değildir. sonlu ir limiti yoktur. Böylece f, 0 noktsınd delt türevleneilir Aynı f fonksiyonunun, 0 noktsınd delt türevinin vrlığınd, nl türevininin de vr olduğu nlmın gelmeyeceğini göstermek için,0, zmn sklsı lınilir. 6

29 BÖLÜM III ZAMAN SKALASINDA DİAMOND DİNAMİK TÜREVİ VE İNTEGRALİ Zmn sklsı teorisinin gelişimi sürekli ve yrık nlitik yöntemlerin irleşmesi üzerine odklnmıştır. Son trtışmlr zmn sklsı teori ve metotlrı keyfi oş olmyn reel syılrın kplı lt kümesinde lineer olmyn dinmik denklem sistemlerinin modellenmesi için frk ve difernsiyel metotlrın integrl lmnın ir yolunu sğlmsı gerekliliğinden hsetmiştir (Rogers Jr. ve Sheng, 007). Bu mçl, stndrt ve türevleri içeren çeşitli dinmik türev formülünün kullnışlılığı, (Bohner ve Peterson, 00; Bohner ve Peterson, 003; Dvis vd., 006; Eloe vd., 006) refernslrınd, lineer olmyn difernsiyel denklemlerin çözümlerine ve fonksiyonlrın yklşmd incelenmiştir. ve dinmik türevlerin lineer kominsyonu vey (Broyden, 965; Srivstv, 984) mklelerinde Broyden in formülü olrk tnımlnn türevi olrk dlndırıln ir dinmik türev formülü geleneksel türevine dh doğru ir yklşım sğldığı (Dvis vd., 006; Sheng, ön skı) d isptlnmıştır (Rogers Jr. ve Sheng, 007). Tezin u kısmınd ilerideki çlışmlr temel teşkil eden stndrt ve dinmik türevlerinden ğımsız olrk dimond türevin tnımı ve ilve olrk ve dinmik türevleri ile ğlntılı dimond türevin temel özellikleri isptlı olrk detylı ir şekilde incelendi. Bundn şk uygun ir dimond integrlin tnımı ve özellikleri de çlışılmıştır. Zmn sklsınd dimond dinmik türev ve dimond integrli, ir sonrki ölümde ypılmış oln zmn sklsı üzerinde dimond Grüss eşitsizliğinin ve u eşitsizliğin ğırlıklı versiyonu için temel ilgi oluşturduğundn dolyı urd geniş ir içimde sunulmuştur. 3. Dimond Dinmik Türevi Tnım 3. zmn sklsı, f : ir fonksiyon ve t k olsun. verildiğinde için) s U için için t nin ir U komşuluğu (yni U t, t, 7

30 f t f s f t f s f t eşitsizliği sğlnırs. ts ts ts ts ts ts ve olmk üzere f t ts t s ts t s ifdesine k k üzerinde f fonksiyonunun dimond türevi olrk tnımlnır (Rogers Jr. ve Sheng, 007). Htırltm 3. Dimond dinmik türevin tnımınd lınırs, dimond dinmik türevi, f t türeve ve lınırs, Dimond dinmik türev irçok vntjlr shiptir. Yukrıd tnımlnn fonksiyon iyi tnımlıdır. Gerçekten, ve U komşuluğundki her ir t ve f t f t türeve indirgenir. verildiğinde t nin U s U için t değerler olmk üzere f t f s f t f s t ve s U için ts ts ts ts ts ts f t f s f t f s t ts ts ts ts ts ts yzılilir. için olsun. Bu tktirde s U U U için t t ts ts t v t v ts ts ts ts f t f s f t f s t ts ts ts ts f t f s f t f s t ts ts ts ts f t f s f t f s t ts ts ts ts + f t f s f t f s t ts ts ts ts elde edilir. Böylece t t ts ts ts ts ts ts,ve 0 Dolyısıyl teorem isptlnır (Rogers Jr. ve Sheng, 007). giderken t t olur. 8

31 Teorem 3. 0 olmk üzere f fonksiyonu, t de hem hem de türevleneilirse; u durumd, f fonksiyonu t de türevleneilirdir ve f t f t f t içmindedir (Rogers Jr. ve Sheng, 007). İspt f t ve f t türevleri mevcut olsun. Böylece için U ve U komşuluklrındki s U için ts ts f t f s f t ve s U için ts ts f t f s f t yzılır. Bu tktirde s U için f t f s ts f t ts ts ts ts ve s U için f t f s f t ts ts ts ts ts elde edilir. Böylece s U U U için f t f s ts f t f s ts f t f t ts ts ulunur. Burdn f t f s ts f t ts ts f t f s f t ts ts ts f ts ts ts ts ts ts t türevi vrdır ve f t f t f t dır. Sonuç 3. t noktsı yoğun olmk üzere eğer f t f t f t f t f t şeklindedir (Rogers Jr. ve Sheng, 007). vrs 9

32 f t h f t İspt t noktsı yoğun ve ft lim sonlu ir değeri olrk limiti h0 h mevcut olsun. t nin yeterli küçük ir U komşuluğundki, s, t U için h s t lınırs f t f t h f t lim h0 h f t f s lim st t s olur. O zmn Teorem.(iii) den dolyı f t f t kullnılrk f t f t elde edilir. dır. Teorem.(iii) ulunur. Böylece Teorem 3. göz önüne lınırs f t f t f t f t f t f t Lemm 3. t sçılımlı olsun. Bu durumd f, t de süreklidir (Rogers Jr. ve Sheng, 007). İspt t sçılımlı olsun. t sçılımlı olduğund t 0 ve t 0 t t 0 min, olsun. komşuluğundki s U için, s t dır. için t nin ir U t, t ve öylece f t f s olur. Sonuç 3. t sçılımlı olsun. Bu tktirde (i) f (ii) f (iii) f t t t vrdır ve f vrdır ve f t t t f t f t, t t f t f t, t f t f t f t f t vrdır ve f t t t t t içimindedir (Rogers Jr. ve Sheng, 007)., 0

33 İspt Lemm 3. yrdımıyl f, t de süreklidir. Böylece Teorem.(ii) göz önüne lındığınd (ii) elde edilir. Teorem. (ii) kullnılrk (iii) ulunur. Bu durumd Teorem 3. yrdımıyl ulunur. f t f t f t f t f t f t f t t t t t Sonuç 3.3 t soldn sçılımlı, sğd yoğun ve olsun. Böylece lim f t h f t f t h0 h (i) f t f t (ii) f t, t f t f t, t (iii) f t f t t f t f t t ifdeleri elde edilir (Rogers Jr. ve Sheng, 007). İspt t t olmk üzere t nin tüm U t, t için st 0 dır. Böylece h s t lınırs lim h0 f t h f t f t f s lim h st t s ulunur. Teorem.(iii) yrdımıyl olur. f t f t f s f t lim f t st t s. komşuluğundki s, t U türevi olduğundn ve Teorem.(ii) den dolyı (ii) ulunur. Bu tkdirde Teorem 3. yrdımıyl f t f t f t t f t f t f t t ulunur. Aşğıdki sonuç 3.4 ün isptı yukrıdki ispt enzerdir.

34 Sonuç 3.4 t sold yoğun, sğdn sçılımlı ve lim f t h f t f t h0 h mevcut olsun. Bu durumd (i) f t t f t f t, t (ii) f t f t (iii), t f t f t f t f t t içimindedir (Rogers Jr. ve Sheng, 007)., Teorem 3. ir zmn sklsı ve 0 olmk üzere eğer f, t noktsınd türevleneilir ise, f, t noktsınd süreklidir (Rogers Jr. ve Sheng, 007). İspt f, t de türevleneilir olsun. Eğer yoğun vey sçılımlı ir nokt ise, u sonuçlr sırsıyl, Sonuç 3. ve. Sonuç 3. den ulunur. Burd t nin, sğd yoğun ve soldn sçılımlı vey sğdn sçılımlı ve sold yoğun olmsı durumlrı vrdır. t sğd yoğun ve soldn sçılımlı olduğu göz önüne lınırs, Şimdi 0, ve t t t t ve t f t f t f t t t t t olsun. Böylece 0 dir. O zmn t nin ir U komşuluğu ve s U için f t f s ts f t f s ts f t ts ts f t f t f t f s t s f t f s t t t s f t t s t t t s f t f s t t f t f t t s f t f s t s f t t s t t t s t olur.

35 f t f s t t t s f t f t f t t t t st s elde edilir. Burdn ts ts t s t t t s f t f s t t t s f t f t f t t t t s t s t s t t t s ulunur. t soldn sçılımlı, sğd yoğun olduğundn s U Böylece s U U t t için, f t f s t t elde edilir. Bu tkdirde f t f s t t t s için, f t f t f t t t t s t s t s t t t s t t s olur. f t f t f t t t t t ulunur. f t f s tt f t f t f t t t t t Teorem 3.3 ir zmn sklsı ve 0 olsun. Eğer f, t noktsınd türevleneilirse, öylece f, t noktsınd hem hem de türevleneilirdir (Rogers Jr. ve Sheng, 007). 3

36 İspt ir zmn sklsı ve 0, 0 ve 0 olsun. f, t noktsınd türevleneilir olsun. Böylece Teorem 3. göz önüne lındığınd f, t noktsınd süreklidir. Eğer t, yoğun vey sçılımlı ir nokt ise, u sonuç sırsıyl Sonuç 3. ve Sonuç 3. den ulunur. Burdn t nin, sğd yoğun ve soldn sçılımlı vey sğdn sçılımlı ve sold yoğun olmsı durumlrı vrdır. t sğdn sçılımlı ve sold yoğun olsun. Böylece t t ve t t dir. Ayrıc f, t de sürekli olduğundn, Teorem.(ii) den dolyı f, t de türevleneilirdir.böylece 0 için t nin ir U komşuluğundki s U için f t f s f t f s f t ve t nin ir U komşuluğundki s U için ts ts ts ts ts ts ts ts f t f s f t yzılır., f t f t denklemindeki gii seçilsin. O zmn t nin U U U komşuluğundki ve s U için f t f s ts f t f s ts f t ts ts f t f s f t ts ts f t f s ts ts ts ts elde edilir. Böylece f t f s ts ts ts ts f t f s f t ts vts ulunur. Bu durumd olur. Böylece şekilde isptlnır. ts ts ts ts ts ts f t f s v ts ts ts f t vrdır. t nin sğd yoğun, soldn sçılımlı durumu enzer 4

37 Htırltm 3. 0 rlığınd tm eşitsizlikler yukrıdki sonuçlr için gereklidir. durumund türevi türeve indirgenir fkt Sonuç. den dolyı türevi olduğu nlmın gelmez. Benzer düşünceler 0 durumu içinde enzerdir (Rogers Jr. ve Sheng, 007). Tnım 3. (Dimond dinmik türev) ir zmn sklsı ve f t, üzerinde ve türevleneilir olsun. t için f t fonksiyonun f t türevi 0 olmk üzere f t f t f t olrk tnımlnır. Böylece f dimond türevleneilir olmsı için gerekli yeterli koşul f fonksiyonunun ve türevleneilir olmsıdır (Dvis vd., 006). 0, için ir ğırlıklı dinmik türev temsil ederken, dimond türevini olrk stndrt türevine vey 0 olrk stndrt türevine indirgenir. Ayrıc olduğund, komine dinmik türevler, herhngi ir yrık zmn sklsı üzerinde ize merkezi ir formül önerir. Teorem 3.4 f, g:, t de dimond türevleneilir olsun. Bu durumd (i) f g:, t de dimond türevleneilirdir ve f g t f t g t dir. (ii) Herhngi ir c siti olmk üzere, cf :, t noktsınd dimond türevleneilirdir ve cf t f t elde edilir. (iii) fg :, t noktsınd dimond türevleneilirdir ve şeklindedir. fg t f t g t f t g t f t g t (iv) g t g t g t 0 için, : g, t de dimond türevleneilirdir ve t g t g t g t g t g t g g t g t g t 5

38 olur. (v) g t g t g t 0 g t g t f için, : g, t de dimond türevleneilirdir ve f t f t g t g t f t g t g t g g t g t g t f t g t g t içimindedir (Dvis vd., 006). İspt (i) Dimond türevinin tnımı ve Teorem.(i) ve Teorem 3(i) göz önüne lınırs f g t f g t f g t f t g t f t g t f t g t elde edilir. (ii) Dimond türevinin tnımı, Teorem.(ii) ve Teorem 3(ii) kullnılrk cf t c f t cf f t cf yzılır. cf t cf t c f t f t t (iii) Dimond türevinin tnımı, Teorem.(iii) ve Teorem 3(iii) göz önüne lınırs ulunur. fg t fg t fg t f t g t f t g t f t g t f t g t f t g t f t g t f t g t 6

39 (iv) (iii) den ve yrıc Teorem.(iv) ve Teorem.3(iv) den fydlnılrk g t g t t g g t g t g t g t g t g t g t g t g t g t g t g t g t g t g t g t g t g t g t g t g t g t g t g t g t g t t g t g t g t g g t g t g t g t g t g t g t g t g t g t g t g t g t g t g t g t g t elde edilir. Sonuç olrk; (iii) ve (iv) den dolyı, f t g t f t g t yzılrk (v) ulunur. gii 3. Dimond İntegrli Tnım 3.3 t, ve h : ir fonksiyon olsun. h nin integrli t ve 0 için t t t h h h şeklinde tnımlnır. integrl ve integrllerinin lineer kominsyonudur. Genelde t için t f f t sğlnmz (Dvis vd., 006). 7

40 Teorem 3.5,, t ve c olsun. Bu tktirde t t t, (i) f g f g t t, (ii) cf c f t, t (iii) f f t t, (iv) f f f, (v) f 0 içimindedir (Dvis vd., 006). İspt (i) Teorem..0(i) ve Teorem 6 (i). den fydlnılırs ulunur. t t t f g f g f g t t t f f g t g t t f g (ii) Teorem.0(ii) ve Teorem.6(ii) göz önüne lınırs olur. t t t c f c f c f t t c f f t c f (iii) Teorem.0(iii) ve Teorem.6(iii) den fydlnılırs t t t f f f 8

41 t f f f f t t t f şeklindedir. (iv) Teorem.0(iv) ve Teorem.6(iv) kullnılrk t dır. t t t f f f t t f f f f t f f (v) Teorem.0(vii) ve Teorem.6(vii) göz önüne lınırs elde edilir. f f f 0 Lemm 3. f ve g,, üzerinde sürekli fonksiyonlr olsun. Bu durumd (i) Eğer t, için 0 f t ise, öylece dır. f 0 (ii) Eğer t, için f t g t şeklindedir. f g oluyors, u tkdirde 9

42 (iii) Eğer t, için f t 0 oluyors, u durumd 0 olmsıdır (Ferreir vd., 008). yeter koşul f 0 f t olmsı için gerek ve Teorem 3.6 Eğer f, dn ye Riemnn integrlleneilir ve Riemnn integrlleneilir ise u tktirde f, dn ye Riemnn integrlleneilirdir ve I f t t f t t içimindedir (Mlinowsk ve Torres, 008). Teorem 3.7, rlığı üzerinde sınırlı ir f fonksiyonu Riemnn integrlleneilir olmsı için gerek ve yeter şrt integrllerin eşit değerde olduğu durumlrd Droux integrlleneilir olmsıdır. Teorem 3.6, Teorem 3.7 ve Riemnn delt (nl) integrlin özellikleri göz önüne lınrk şğıdki sonuçlr yzılır. (i), ve olsun. f : her sit fonksiyonu dn ye integrlleneilirdir ve. f c (ii), üzerinde f : her monoton fonksiyon, dn ye integrlleneilirdir. (iii), üzerinde f : her sürekli fonksiyon, dn ye integrlleneilirdir. (iv), üzerinde f : sdece sonlu syıd ir çok süreksiz noktlrd her sınırlı fonksiyon, dn ye integrlleneilirdir. (v), üzerinde f : her düzenli fonksiyon, dn ye integrlleneilirdir. (vi), üzerinde f : ir sınırlı fonksiyon, dn ye integrlleneilir olsun. Bu durumd f,, nin her cd, lt rlığınd integrlleneilirdir. 30

43 (vii) f, dn ye integrlleneilirdir. Ayrıc integrlleneilir fonksiyon ise f fonksiyonu d f t f t t şeklindedir (Mlinowsk ve Torres, 008). 3

44 BÖLÜM IV ZAMAN SKALASI ÜZERİNDE DİAMOND GRÜSS TİPİ EŞİTSİZLİKLER Sidi Ammi ve Torres 00 d şğıdki gii zmn sklsı üzerinde dimond Grüss eşitsizlikleri kurmuştur. Teorem 4. ir zmn sklsı ve olmk üzere, için f, g C,, f x ve g x ise olsun. x, f x g x x f x x g x x 4 eşitsizliği elde edilir (Sidi Ammi ve Torres, 00). Drgomir, 000 yılınd Grüss tipinin zı klsik ve yeni integrl eşitsizlikleri için şğıdki iki sonuçlrı vermiştir. Teorem 4. f, g :, olmk üzere iki Lipschitzin şrtını sğlyn fonksiyonlrı ve Lipschitzin sitleri sırsıyl L 0, 0 L olmk üzere g x g y L x y ve x, y, için :, 0, integrlleneilirse p x dx p x f x g x dx p x f x dx p x g x dx LL p x dx p x x dx p x xdx eşitsizliği ulunur (Drgomir, 000). f x f y L x y p fonksiyonu 3

45 Teorem 4.3 f, g :,,, kplı rlığı üzerinde iki integrlleneilir fonksiyon olsun. f x f y M g x g y ve x, y, p :, 0, fonksiyonu integrlleneilirse p x dx p x f x g x dx p x f x dx p x g x dx şeklindedir (Drgomir, 000). M pxdx px g xdx px g xdx için Sheng vd. (006) zmn sklsı üzerindeki ve dinmik türevlerinin lineer kominsyonu olrk komine dinmik dimond-lph türevini çlıştı. Dimond türev, için stndrt türevine, 0 için stndrt türevine indirgenir. Bu ölümde dimond dinmik türev ve dimond integrl tnımlrı ve özellikleri kullnılrk dimond Grüss tipi eşitsizlikler incelenmiştir. Burd özel olrk lınırs, zmn sklsı üzerinde delt integrl Grüss tipi eşitsizliklere, lınırs, nl integrl Grüss tipi eşitsizlikler elde edilir. Bundn şk teorik sonuçlrı göstermek için zmn sklsının özel durumlrı göz önüne lınrk örnekler çlışılmıştır. 4. Ağırlıklı Dimond Grüss Eşitsizliği Teorem 4.4 ir zmn sklsı ve olmk üzere, için olsun. x, f x ve g x olmk üzere f, g C,, p C, 0, x 0 p x ise ve p x x p x f x g x x p x f x x p x g x x p x x 4 eşitsizliği elde edilir (Bohner vd., 0)

46 İspt p x x p x f x g x x p x f x x p x g x x p x x p x x p x p y f x f y g x g y xy p x x (4.) eşitliği yzılilir. (Sidi Ammi ve Torres, 00) d verilen iki oyutlu dimond Cuchy-Schwrtz s eşitşizliği kullnılırs p x x p x p y f x f y g x g yxy p x p y f x f y xy px x p x p y g x g y xy p x x p x x p x x p x f x x p x f x x p x x p x x p x g x x p x g x x 4.3 ulunur. Ayrıc 34

47 p x f x x p x f x x p x x p x x p x f x x p x f x x p x x p x x p x f x f x x p x x p x f x x p x f x x p x x p x x 4.4 ve enzer şekilde p x g x x p x g x x p x x p x x p x g x x p x g xx p x x p x x 4.5 elde edilir. (4.4) ve (4.5) eşitsizlikleri (4.3) eşitsizliğinde kullnılırs, (4.) ifdesi p x f x g x x p x f x x p x g x x p x x p x x p x x 35

48 p x f x x p x f x x p x x p x x p x g x x p x g x x p x x p x x 4.6 olur., için 4 elemnter eşitsizliğinden yrrlnılırs p x f x x p x f x x 4 p x x p x x 4.7 ve p x g x x p x g x x 4 p x x p x x 4.8 eşitsizlikleri yzılır. (4.6), (4.7) ve (4.8) ifdeleri düşünüldüğünde (4.) eşitsizliği ulunur. Örnek 4. Teorem 4.4 de, zmn sklsı üzerinde p x olrk lınırs f x g x x f x x g x x 4 ulunur. Teorem 4.4, Teorem 4. in ğırlıklı durumu için ir genişletilmesidir (Bohner vd., 0). 36

49 Örnek 4. Teorem 4.4 de olmsı durumund p x dx p x f x g x dx p x f x dx p x g x dx p x dx 4 eşitsizliği elde edilir ve u sonuç (Drgomir, 000) trfındn elde edilen sonuç ile ynıdır (Bohner vd., 0). Örnek 4.3 Örnek 4. de olrk lınırs f x g xdx f x dx g x dx 4 elde edilir (Bohner vd., 0). Örnek 4.4 Teorem 4.4 de ve olduğund pi pi figi pi fi pi gi pi 4 n n n n n im im im im im eşitsizliği ulunur (Bohner vd., 0). Örnek 4.5 Örnek 4. de olrk düşünülürse n n i i i i m im f g f g n n fi fi gi gi n m im im 4 eşitsizliği yzılır. Ayrıc u eşitsizlikte yzılırs n n n figi fi gi im im im 4 n m n m elde edilir (Bohner vd., 0). 37

50 0 Örnek 4.6 Teorem 4.4 de ve q olrk lınırs n n n n i i i i i i i i i i i i q p q q p q f q g q q p q f q q p q g q im im im im eşitsizliği geçerlidir (Bohner vd., 0). 4 im n i i q p q 0 Örnek 4.7 Örnek 4. de q düşünülürse q n q q n m im q f q g q f q g q i i i i i q n n i i i i i i q f q f q q g q n m g q q q im im 4 ulunur. Ayrıc u eşitsizlikte lındığınd q q q q q q n n i i i i i n i i q f q g q q f q q g q n m n m im im im elde edilir (Bohner vd., 0) Her İki Fonksiyonun Lipschitzin Şrtını Sğlmsı Durumu Teorem 4.5 ir zmn sklsı ve olmk üzere, için f, g C, ve x, y, fonksiyonlrı, L 0, L 0 sırsıyl iki Lipschitzin sitleri olmk üzere sırsıyl f x f y L x y ve g x g y L x y 4.9 iki Lipschitzin dönüşümü olsunlr. Eğer p C, 0, ise p x x p x f x g x x p x f x x p x g x x 38

51 LL p x x p x x x p x x x (4.0) eşitsizliği elde edilir ve u eşitsizlik kesindir (Bohner vd., 0). İspt Teorem 4.5 de ulunn (4.9) şrtı kullnılrk x, y, f x f y g x g y L L x y için yzılilir. Bu eşitsizliğin her iki trfı p x p y 0 ile çrpılır ve,, üzerinde integrllenirse p x p y f x f y g x g y x y p x p y f x f y g x g y x y eşitsizliği ulunur. Ayrıc L L p x p y x y xy (4.) p x p y f x f y g x g y x y ve (4.) p x x p x f x g x x p x f x x p x g x x p x p y x y x y p x x p x x x p x x x (4.3) eşitlikleri vrdır. (4.) ve (4.3), (4.) de kullnılırs, (4.0) eşitsizliği elde edilir. Ayrıc x için, 0 L L f x L x ve g x L x olrk seçilirse f ve g fonksiyonlrı L 0 ve L 0 Lipschitzin sitleri için Lipschitzin şrtını sğlyn fonkiyonlrdır ve herhngi ir p C, 0, fonksiyonu için (4.0) eşitliği sğlnır. Örnek 4.8 Teorem 4.5 de zmn sklsı üzerinde p x lınırs 39

52 f x g x x f x x g x x eşitsizliği yzılır (Bohner vd., 0). LL x x x x Örnek 4.9 Teorem 4.5 de olrk göz önüne lınırs, u durumd Teorem 4. tekrr elde edilir (Bohner vd., 0). Örnek 4.0 Örnek 4.8 de olrk seçilirse Drgomir, (000) trfındn ulunn f x g x dx f x dx g x dx L L eşitsizliği elde edilir (Bohner vd., 0). Örnek 4. Teorem 4.5 de ve olrk düşünülürse p p f g p f p g L L p p i p i n n n n n n n i i i i i i i i i i i im im im im im im im şeklinde olur (Bohner vd., 0). Örnek 4. Örnek 4.8 de olrk seçilirse n n i i i i m im f g f g n n fi fi gi gi n m im im nm LL eşitsizliği sğlnır. Bu eşitsizlikte olrk lınırs n n n figi fi gi L L n m im n m im im yzılır (Bohner vd., 0). 40 nm

53 0 Örnek 4.3 Teorem 4.5 de q ve olrk göz önüne lınırs n n n n i i i i i i i i i i i i q p q q p q f q g q q p q f q q p q g q im im im im LL q p q q p q q p q i m im im eşitsizlikleri elde edilir (Bohner vd., 0). n n n i i 3i i i i 0 Örnek 4.4 Örnek 4.8 de q olrk düşünülürse q n q q n m im q f q g q f q g q i i i i i q n n i i i i i i q f q f q q g q n m g q q q im im n n m m n m q q q q q q LL q q q q q içimindedir. Bu eşitsizlikte lınırs q q q q q q n n i i i i i n i i q f q g q q f q q g q n m n m im im im LL n m n m q q q q q q q şeklindedir (Bohner vd., 0). 4.3 f Fonksiyonunun M g Lipschitzin Şrtını Sğlmsı Durumu Teorem 4.6 ir zmn sklsı ve için, olsun. M 0 olmk üzere f fonksiyonu x, y, için f x f y M g x g y 4.4 4

54 M glipschitzin şrtını sğlyn fonksiyon ve f, g C, olsun. Eğer pc, 0, ise p x x p x f x g x x p x f x x p x g x x M p x x p x g x x p x g x x eşitsizliği sğlnır (Bohner vd., 0). 4.5 İspt Teorem de ulunn (4.4) şrtı göz önüne lınırs x, y, f x f yg x g y M g x g y için yzılır. Bu eşitsizliğin her iki trfı p x p y 0 ile çrpılır ve,, integrllenirse p x p y f x f y g x g y x y px p y f x f yg x g yxy M p x p y g x g y x y M px x px g x x p x g x x üzerinde eşitsizliği elde edilir. Bu sonuç (4.5) eşitsizliğinin isptıdır. Ayrıc M 0 olmk üzere f x Mx ve g x şrtını sğlyn fonksiyondur ve p C, 0, x olrk seçilirse, u tktirde f, M glipschitzin için (4.5) eşitliği sğlnır. Örnek 4.5 Teorem 4.6 d p x olrk lınırs f x g x x f x x g x x 4

55 dır (Bohner vd., 0). M g x x g x x Örnek 4.6 Teorem 4.6 d olrk düşünülürse, u durumd Teorem 4.3 tekrr elde edilir (Bohner vd., 0). Örnek 4.7 Örnek 4.5 de olrk göz önüne lınırs (Drgomir, 000) trfındn ulunn f x g x dx f x dx g x dx M g xdx g xdx eşitsizliği ulunur (Bohner vd., 0). Örnek 4.7 Teorem 4.6 d ve lınırs n n n n n n n pi pi figi pi fi pi gi M pi pigi pigi im im im im im im im eşitsizliği elde edilir (Bohner vd., 0). Örnek 4.8 Örnek 4.5 de olrk lınırs n n i i i i m im f g f g n n fi fi gi gi n m im im n n M gi gi gi g n m im n m im içimindedir. Ayrıc u eşitsizlikte lınırs 43 i n n n n n figi fi gi M gi gi n m im n m im im n m im n m im

56 dır (Bohner vd., 0). 0 Örnek 4.9 Teorem 4.6 d q ve olrk göz önüne lınırs n n n n i i i i i i i i i i i i q p q q p q f q g q q p q f q q p q g q im im im im M q p q q p q q q q p q g q i m im im eşitsizliği elde edilir (Bohner vd., 0). n n n i i i i i i i i 0 Örnek 4.0 Örnek 4.5 de q olrk seçilirse q n q q n m im q f q g q f q g q i i i i i q n n i i i i i i q f q f q q g q n m g q q q im im n q i i i M q g q n m g q q q im n q i i i q g q n m g q q q im eşitsizliğini vrdır. Ayrıc u eşitsizlikte lınırs q q q q q q n n i i i i i n i i q f q g q q f q q g q n m n m im im im ulunur (Bohner vd., 0). q M q g q q g q n m n m q q im q q im n n i i q i i 44

57 BÖLÜM V SONUÇLAR Bu tezde öncelikli olrk temel ilgilere dynk olrk zmn sklsı tnımı, zmn sklsınd delt türev, zmn sklsınd delt integrl ve unlrın temel özellikleri ile zmn sklsınd nl türev, zmn sklsınd nl integrlin tnımı ve temel özellikleri, zmn sklsınd dimond α dinmik türevin ve dimond α integrlin tnımı ve özellikleri isptlı olrk detylı ir şekilde çlışılmıştır. Yukrıdki temel ilgiler ışığınd zmn sklsı üzerinde, her iki fonksiyonun Lipschitzin şrtını sğlmsı durumund, fonksiyonun M g Lipschitzin şrtını sğlmsı durumund elde edilen dimond α Grüss eşitsizlikler ve ğırlıklı dimond α Grüss eşitsizlik olmk üzere dimond α Grüss tipi eşitsizlikler çlışılmıştır. Bun ilveten zmn sklsının özel durumlrı olrk sürekli, yrık ve quntum nliz durumlrı düşünüldüğünde ve u elde edilen sonuçlr, dimond α Grüss tipi eşitsizliklere uygulndığınd, litertürde oln Grüss tipi eşitsizlikler ile krşılştırılmlrı ve diğer şk sonuçlrı incelenmiştir. 45

58 KAYNAKLAR Alowitz, M.J., Herst, B.M. nd Schoer, C., On the numericl solution of the sine Gordon eqution, J.Comput. Phys., 6, 99 34, 996. Agrwl, R., Bohner, M. nd Peterson, A., Inequlities on time scles: survey, Mth. Inequl. Appl., 4(4), , 00. Agrwl, R., Bohner, M., O Regn, D. nd Peterson, A., Dynmic equtions on time scles: survey, J. Comput. Appl. Mth., 4(/), 6, 00. Ahlrndt, C.D., Bohner, M. nd Ridenhour, J., Hmiltonin systems on time scles, Appl. Mth. Comput., 50, , 000. Anderson, D., Bullock, J., Ere, L., Peterson, A. nd Trn, H., Nl dynmic equtions, in: M. Bohner, A. Peterson (Eds), Advnces in dynmic equtions on time scles, Birkhäuser, Boston nd Berlin, 003. Atsever, N., Kymkçln, B., Lešj, G. nd Tş, K., Generlized dimond dynmic opil inequlities, Advnces in Difference Equtions, Turkey, 0. Atıcı, F.M. nd Guseinov, G.Sh., On Green s functions nd positive solutions for oundry vlue prolems on time scles, J. Comput. Appl. Mth., 8, 75 99, 00. Bstos, N.R.O nd Torres, D.F.M., Comined delt-nl sum opertor in discrete frctionl clculus, Commun. Frc. Clc.,, 4 47, 00. Bohner, M. nd Dumn, O., Opil-Type inequlities for dimond lph derivtives nd integrls on time scles, Differ. Equ. nd Dyn. Syst., 8(/), 9 37, 00. Bohner, M., Ferreir, R.A.C. nd Torres D. F. M., Integrl Inequlities nd their pplictions to the clculus of vritions on time scles, Mthemticl Inequlities & Appliction, 3(3), 5 5,

59 Bohner, M. nd Mtthews, T., The Grüss inequlity on time scles, Commun. Mth Anl., 3(), 8 (electronic), 007. Bohner, M. nd Mtthews, T., Ostrowski inequlities on time scles, JIPAM. J. Inequl. Pure Appl. Mth. 9,no., Article 6, 8 pp, 008. Bohner, M.,Mtthews,T. nd Tun A., Dimond lph Grüss type inequlities on time scles, Int. J. Dyn Syst Differ Equ.,3(/), 34 47, 0. Bohner, M. nd Peterson, A., Dynmic equtions on time scles, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 00. Bohner, M. nd Peterson, A., First nd second order liner dynmic equtions on time scles, J. Difference Eqns. Appl.,7,767 79, 00. Bohner, M. nd Peterson, A., Advnces in dynmic equtions on time scles, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 003. Brito d Cruz, A.M.C., Mrtins, N. nd Torres D. F. M., The dimond integrl on time scles, rxiv: v [mth.ca], 03. Broyden, C.G., A clss of methods for solving nonliner simultneous equtions, Mth. Comput. 9, , 965. Chen, G. nd Chen, Z., A functionl generliztion of the reverse Hölder integrl inequlity on time scles, Mthemticl nd Computer Modelling, 54, , 0. Cheng, H. nd Sheng, Q., An dptive grid method for degenerte semiliner quenching prolems, Computers Mth. Appl., 39, 57 7, 000. Dvis, J.M., Fdg M., Henderson, J. nd Sheng, Q., An explortion of comined dynmic derivtives on time scles nd their pplictions, Nonliner Anl. Rel World Appl., 7(3), , 006. Drgomir, S.S., Some integrl inequlities of Grüss type, Indin J. Pure Appl. Mth., 3(4), ,

60 Drgomir, S.S, Advnces in inequlities of the Schwrz, Grüss nd Bessel type in inner product spces, Victori University, Austrli, 003. Eloe, P.W., Henderson, J. nd Sheng, Q., Notes on crossed symmetric solutions of the two points oundry vlue prolems on time scles, J. Difference Eqns. Appl., 9, 9 48, 003. Eloe, P.W. nd Hilger, S., A continution on cross symmetric of the solutions of two point oundry vlue prolems, J. Dyn. Sys. Appl., 99 4, 003. Eloe, P.W., Hilger, S. nd Sheng, Q., A qulittive nlysis on nonconstnt grininess of the dptive grid vi time scles, Rocky Mountin J. Mth., 36, 5 33, 006. Eloe, P.W. nd Sheng, Q., Approximting crossed symmetric solutions of nonliner dynmic equtions vi qusilineriztion, Nonliner Anl., 56, 53 7, 004. Ferreir, R.A.C., Sidi Ammi, M.R. nd Torres, D.F.M., Dimond integrl inequlities on time scles, rxiv: v [Mth.CA], 008. Ferreir, R.A.C., Sidi Ammi, M.R. nd Torres, D.F.M., Dimond Jensen s inequlity on time scles, J. Inequl Appl., Art. ID , pp.3, 008. Henderson, J. nd Thompson, H.B., Multiple symmetric positive solutions for second order oundry vlue prolems, Proc. Amer. Mth. Soc.,8, , 009. Hilger, S., Anlysis on mesure chin unified pproch to continuous nd discrete clculus, Results Mth., 8, 8 56, 990. Hilger, S., Ein Mkettenklkül mit Auwendung ouf Zentrumsmnnigfltigkeiten, Ph.D thesis, Univrsi. Würzurg, 988. Hilscher, R., A time scles version of Wirtinger type inequlity nd pplictions, J. Comput. Appl. Mth, 4(/):9 6, 00. Humphries, A.R., Spurious solutions of numericl methods for initil vlue prolems, IMA J. Numer. Anl., 3, 63 90,

61 Hussin, S. nd Qyyum, A., A generlized Ostrowski Grüss type inequlity for ounded differentile mppings nd its pplictions, Journl of Inequlities nd Appl., 03. Iserles, A., Peplow, A.T. nd Sturt, A.M., A unified pproch to spurious solutions introduced y time discretistion. Prt I : sic theory, SIAM. J. Numer. Anl. 8, 75 75, 99. Iserles, A., nd Sturt, A.M., A unified pproch to spurious solutions introduced y time discretistion, Prrt II: BDF like method, IMA J. Numer. Anl.,, , 99. Kymkçln, B. nd Özkn, U. M. Bsic of dimond prtil dynmic clculus on time scles, Mth. Comput. Modelling, 50(9/0), 53 6, 009. Khliq, A. nd Sheng, Q., Modified rc lenght dptive lgorithms for degenerte rection diffusion equtions, Appl. Mth. Comput., 6, 79 97, 00. Khliq, A., Sheng, Q. nd Voss, D., Numericl simultion of two dimensionl sine Gordon solitons vi split cosine scheme, Mth. Comput. Simultions, 68, , 005. Liu, W. nd Ngô, Q. A., An Ostrowski Grüss type inequlity on time scles, Comput. Mth. Appl., 58(6), 07-0, 009. Liu, W. nd Ngô, Q. A., A shrp Grüss type inequlity on time scles nd ppliction to the shrp Ostrowski Grüss inequlity, Commun Mth. Anl. 6():33-4, 009. Mlinowsk, A.B. nd Torres, D.F.M., The dimond lph Riemnn integrl nd men vlue theorems on time scles, rxiv: v [mth.ca], 008. Mlinowsk, A.B. nd Torres, D.F.M., On dimond lph Riemnn integrl nd men vlue theorems on time scles, Dyn. Sys. Appl., 8(3/4), , 009. Mtthews, T., Proility theory on time scles nd pplictions to finnce nd inequlities, PhD Thesis, Missouri University of Science nd Technology, -74, 0. 49

62 Messer, K., Second order self djoint equtions with mixed derivtives, in: M. Bohner, A. Peterson (Eds), Advnces in dynmic equtions on time scles, Birkhäuser, Boston nd Berlin, 00. Mozyrsk D. nd Torres, D. F. M., Dimond-lph polynomil series on time scles, Mth.CA, 008. Mozyrsk D. nd Torres, D.F.M., Dimond Int. J. Mth. Stt., 5(9), 9 0, 009. lph polynomil series on time scles, Rogers Jr., J. W. nd Sheng, Qin., Notes on the dimond dynmic derivtive on time scles, J. Mth. Anl. Appl., 36(), 8 4,007. Sheng, Q., A view of dynmic derivtives on time scles from pproximtions, J. Difference Equ. Appl.,, 63 8, 005. Sheng, Q., A second view of dynmic derivtives on time scles from pproximtions, Journl of Difference Equtions nd Applictions, Volume, Issue, 005. Sheng, Q., Hyrid pproximtions vi second order comined dynmic derivtes on time scles, Electronic Journl of Qulittive Theory of Differentil Equtions, 7, - 3, 007. Sheng, Q. Hyrid pproximtions vi second order crossed dynmic derivtes with the derivtive, Nonliner Anl. Rel World Appl., 9(), , 008. Sidi Ammi, M.R. nd Torres, D.F.M., Hölder s nd hrdy s two dimensionl dimond lph inequlities on time scles, Journl Annls of the University of Criov, Mthemtics nd Computer Science Series, 00. Sidi Ammi, M.R. nd Torres, D.F.M., Comined dynmic Grüss inequlities on time scles, Journl of Mthemticl Sciences, Volume 6, Issue 6, 79-80, 009. Srivstv, G.P., Broyden s method for self J. Phys. A, 7, L37 L3, 984. consistent field convergence ccelertion, 50

63 Wong, F. H., Yeh, C. C. nd Yu, S. L., Anderson s inequlity on time scles, Appl. Mth. Lett., 9(9), ,

64 ÖZ GEÇMİŞ Gmze SAĞLAR, trihinde Seyhn/Adn d doğdu. İlk, ort ve lise öğretimini Adn d tmmldı. 006 yılınd girdiği Bozok Üniversitesi Fen Edeiyt Fkültesi Mtemtik Bölümü nden Temmuz 00 d mezun oldu ve ynı yıl Niğde Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Mtemtik Bölümü nde yüksek lisns öğrenimine şldı. Bilim dlındki ilgi lnı zmn sklsı üzerinde dimond α dinmik eşitsizliklerdir. 5