GA-KONVEKS VE HARMONİK KONVEKS

Transkript

1 T.C. ORDU ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ GA-KONVEKS VE HARMONİK KONVEKS FONKSİYONLAR İÇİN YENİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ VE UYGULAMALARI Sercn TURHAN DOKTORA TEZİ ORDU 6

2

3

4 ÖZET GA-KONVEKS VE HARMONİK KONVEKS FONKSİYONLAR İÇİN YENİ İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ VE UYGULAMALARI Sercn TURHAN Ordu Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Mtemtik Anbilim Dlı, 6 Doktor Tezi, 3. Dnışmn: Doç. Dr. Selhttin MADEN II.Dnışmn: Prof. Dr. Hüseyin DEMİR Bu tezde difernsiyellenebilir konveks fonksiyonlr için yeni kesirli integrl eşitsizlikleri verildi. Çlışmnın ilk bölümünde, konveks fonksiyonlrın trihi gelişimi, kesirli integrllerin trihi gelişimi ve litertür trmsı verildi. İkinci bölümde, litertürdeki konveks fonksiyon çeşitleri, konveks fonksiyon sınıflrı rsındki hiyerrşi ve litertürde bulunn frklı ortlmlr verildi. Üçüncü bölümde, kesirli türev ve integrllerin tnımı verildikten sonr bu tezde kullnıln klsik eşitsizlikler ve dh sonrd tezin bulgulr kısmın fikir veren lemmlr ve teoremler verildi. Dördüncü bölümde ise geometrik- ritmetik konveks fonksiyonlr, hrmonik konveks fonksiyonlr ve usi-geometrik konveks fonksiyonlrl ilgili yeni lemmlr, teoremler ve sonuçlr verildi. Elde edilen bu yeni sonuçlr için çeşitli ortlmlr ve hiper geometrik fonksiyon kullnılrk frklı uygulmlr verilmiştir. Anhtr Kelimeler: Hermite-Hdmrd-Fejér İntegrl Eşitsizliği, Kesirli İntegrl, Geometrik-Aritmetik Konveks Fonksiyonlr, Hrmonik Konveks Fonksiyonlr, Qusi-Geometrik Konveks Konksiyonlr. I

5 ABSTRACT NEW INTEGRAL INEQUALITIES AND APPLICATIONS FOR GA- CONVEX AND HARMONICALLY CONVEX FUNCTIONS Sercn TURHAN University of Ordu Institute of Science nd Technology Deprtment of Mthemtics, 6 PhD. Thesis, 3. Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Selhttin MADEN II. Supervisor: Prof. Dr. Hüseyin DEMİR In this thesis, new frctionl integrl ineulities for differentible convex functions re stted. In the first prt, the historicl developments of the convex functions nd the frctionl integrls nd the literture review hve been clrified. In the second prt, types of convex functions in literture, the hierrchy of convex function clsses, nd different verges in the literture hve been explined. In the third prt, fter the descriptions of frctionl derivtives nd integrls, the identities, theorems which provide insight into the findings of the thesis nd clssicl ineulities used in this thesis hve been described. In the fourth prt, new identities, theorems nd results bout geometriclly rithmeticlly convex functions, hrmoniclly convex functions nd usi geometriclly convex functions hve been presented. For these new results obtined, different pplictions re provided by using different mens nd hyper geometric functions. Key Words: Hermite-Hdmrd-Fejér Type Ineulity, Frctionl Integrls, Geometriclly Arithmeticlly Convex Functions Hrmoniclly Convex Functions, Qusi Geometriclly Convex Functions. II

6 TEŞEKKÜR Tüm çlışmlrım boyunc her zmn bilgi ve deneyimleriyle yolumu çn değerli hoclrım Syın Doç. Dr. Selhttin MADEN ve Doç. Dr. İmdt İŞCAN' en smimi duygulrım ile teşekkürlerimi sunrım. Ayrıc, çlışmlrım boyunc desteklerini esirgemeyen Ordu Üniversitesi Fen Edebiyt Fkültesi Mtemtik Bölümü öğretim üyelerine en içten şükrnlrımı sunuyorum. Çlışmm boyunc benden mddi ve mnevi desteklerini esirgemeyen nneme, bbm, eşime ve blm teşekkürlerimi sunuyorum. III

7 İÇİNDEKİLER Syf ÖZET.... ABSTRACT... I II TEŞEKKÜR.. III İÇİNDEKİLER... IV ŞEKİLLER LİSTESİ... VI SİMGELER VE KISALTMALAR..... VII. GİRİŞ.... TEMEL KAVRAMLAR Konveks Fonksiyonlrl İlgili Temel Tnım ve Özellikler Frklı Türden Bzı Konveks Fonksiyon Sınıflrı ve Temel Tnımlr Bzı Konveks Fonksiyon Sınıflrının Hiyerrşisi MATERYAL ve YÖNTEM Kesirli Riemnn Liouville İntegrl ve Türevleri Hdmrd Kesirli İntegrller Önemli Eşitsizlikler Konvekslik İle İlgili Önemli Eşitsizlikler BULGULAR Geometrik-Aritmetik Fonksiyonlr için Hermite-Hdmrd-Fejér Tipli Kesirli İntegrl Eşitsizlikleri Hrmonik-Aritmetik Fonksiyonlr için Hermite-Hdmrd-Fejér Tipli Kesirli İntegrl Eşitsizlikleri Qusi Geometrik Konveks Fonksiyonlr için Hermite-Hdmrd-Fejér Tipli Kesirli İntegrl Eşitsizlikleri Uygulmlr IV

8 5. TARTIŞMA VE SONUÇ KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ... V

9 ŞEKİLLER LİSTESİ Şekil No Şekil.. Bir rlıktki konveks fonksiyon Syf f x x... 5 Şekil.. Konveks fonksiyon şekli... 6 Şekil.3. Qusi konveks olup konveks olmyn fonksiyon... Şekil.4. Arlıkt Qusi konveks fonksiyon 4 f x x x 9... Şekil.5. Godunov-Levin fonksiyon, P-fonksiyon, Qusi Konveks fonksiyon, Konveks fonksiyon Log-Konveks fonksiyon rsındki sınıf ilişkisi... Şekil.6. Jensen-Qusi Konveks fonksiyon, Wright-Qusi Konveks fonksiyon, Qusi konveks fonksiyon sınıflrı rsındki ilişki... Şekil.7. Jensen-konveks fonksiyon, Wright-konveks fonksiyon, Konveks fonksiyon sınıflrı rsındki ilişki... VI

10 SİMGELER VE KISALTMALAR CI) RD α HD α f : Konveks Fonksiyonlr Sınıfı : α-mertebeden Riemnn Liouville Kesirli Türev : α-mertebeden Hdmrd Kesirli Türev : f Fonksiyonun Birinci Mertebeden Türevi f f : f Fonksiyonun : f Fonksiyonun İkinci Mertebeden Türevi Üçüncü Mertebeden Türevi Γ I I o JI) : Gmm Fonksiyonu : R de Herhngi Bir Arlık : I nın içi : Jensen-Konveks Fonksiyonlr Sınıfı JQCI) : Jensen-Qusi-Konveks Fonksiyonlr Sınıfı RJ α HJ α K m b) Km αb) K n b) K s L,b] : α-mertebeden Riemnn Liouville Kesirli İntegrl : α- Mertebeden Hdmrd Kesirli İntegrl : m-konveks Fonksiyonlr Sınıfı : α,m)-konveks Fonksiyonlr Sınıfı : n-konveks Fonksiyonlr Sınıfı : İkinci Anlmd s-konveks Fonksiyonlr Sınıfı :,b] Arlığınd İntegrllenebilir Fonksiyonlr Kümesi L G t) : t G t, t,] H L H t) :, t,] th t) LI) QI) QCI) : Log Konveks Fonksiyonlr Sınıfı : Godunov-Levin Fonksiyonlr sınıfı : Qusi-Konveks Fonksiyonlr Sınıfı VII

11 PI) R R : P- Fonksiyonlr Sınıfı :, ) Arlığı :, ) Arlığı SXh, l) : h-konveks Fonksiyonlr Sınıfı U G t) : b t G t, t,] bh U H t) :, t,] th t)b WI) : Wright-Konveks Fonksiyonlr Sınıfı W QCI) : Wright-Qusi-Konveks Fonksiyonlr Sınıfı βx, y) : x, y Pozitif Reel Syılrının Bet Fonksiyonu VIII

12 . GİRİŞ Konvekslik, M. Ö. 5 yılınd Archimedes in ünlü π değerini hesplmsın kdr uznn bsit ve bilinen bir kvrmdır. Archimedes bir konveks şeklin çevre uzunluğunun onu çevreleyen diğer bir şeklin çevre uzunluğundn dh küçük olduğunu önemle ifde etmiştir. Gerçekte her zmn ve birçok yoll konvekslik kvrmıyl krşılşıyoruz ve deneyimliyoruz. Çok bsit bir örnek olrk dik pozisyond durduğumuzd ğırlık merkezimizin dik izdüşümü yğımızın kpldığı konveks lnın içinde klır. Böylece dengemizi sğlybilmekteyiz. Bununl berber günlük hytımızd konveksiliğin büyük etkileri vrdır, örneğin endüstri, iş, sğlık ve snt lnlrınd birçok uygulmsı vrdır. İşbirliğinin olmdığı oyunlrın prsl kynklrı ve dleti en uygun şekilde pylşımını ypm problemidir. Konveks fonksiyon teorisi konveksliğin genel konulrının bir prçsıdır, çünkü konveks bir fonksiyonun görüntü kümesi konveks bir kümedir. Konveks fonksiyonlr teorisi mtemti-ğin tüm lnlrın dokunn önemli bir teoridir. Konvekslik konusunu gerektiren mtemti-ğin ilk konulrındn birisi çizgisel nlizdir. İkinci türev testi konveksliğin bulunmsınd bize sonucu veren güçlü bir rçtır. Mucizevi şekilde Hessin test birkç değişken durumu için doğl genişlemeye shiptir. Optimizsyon ve kontrol teorisinde bzı krışık problemlerden hreketle konveks fonksiyon teorisi, sonsuz boyutlu Bnch uzylrının çlışm lnlrın genişletilmektedir. Konveksliğin temelini oluşturn tnım, eşiitsizlikle ifde edildiğinden konveks fonksiyonlrd eşitsizliğin çok önemli bir yeri vrdır. Klsik eşitsizlikle ve konvekslikle ilişkili oln Guss, Cuchy, Schwrtz, Bunikowsky, Hölder, Minkowski, Chebyšhev, Lypunov, Grm, Bessel, Hdmrd, Lndu, Bernstein, Hilbert, Hrdy, Littlewood, Póly, Mrkoff, Kolmogorov, Stieltjes, Beckenbch, Bellmn, Mitrinović, Pchptte, Pecric ve Fink gibi önemli isimler bu lnd çok syıd kitp yzmışlrdır. 934 yılınd Hrdy, Littlewood ve Póly trfındn çıkrıln Ineulities isimli yzdıklrı kitp bu lnd ilk çlışm olup temel kynk olrk önemli bir yere shiptir ]. Bu kitp eşitsizlik konusunu ifde

13 eden, frklı lnlr için kullnışlı bir rehber olrk kullnıln ilk kitptır. Genel eşitsizlikler üzerine görülen diğer bir kitp ise E. F. Beckenbch ve R. Bellmn trfındn 96 de yzıln Ineulities isimli kitp, 934 yılındn 96 yılın kdr eşitsizlikle ilgili ypıln mükemmel rştırmlrı içeren bir kitptır. 97 yılınd Mitrinović ise Anlytic Ineulities isimli kitpl 47] birlikte bu konuyl ilgili litertürde mihenk tşı oluşturck üçüncü kitp olmuştur. Konveks fonksiyonlr ve ilgili eşitsizlikleri için litertürde vroln diğer kitplr ve doktor tezlerinden bzılrı şunlrdır: Bkınız,4,8,4,5,38,46,48,49,6,65,67,68] Konveks fonksiyonlrın uzun bir trihi vrdır. 9. yüzyılın sonund orty çıkmy bşlmıştır ve O. Hölder 889), O. Stolz 893) ve J. Hdmrd ın 893) ktkılrıyl temelleri tılmıştır. Konveks Fonksiyonlr Teorisi ile ilgili oln Eşitsizlikler Teorisi isec. F.Guss, A.L.Cuchy vep. L. Chebyšhev ilegelişmeye bşlmıştır yy d bulunn eşitsizliklerin bir kısmı konveks fonksiyonlrl ilişkilendirilerek temel eşitsizlikler olmuşlrdır. Bunlrın en önemlileri 88 yılınd Hermite trfındn elde edilen Hermite-Hdmrd eşitsizliği ve 938 yılınd Ostrowski trfındn elde edilen Ostrowski eşitsizliğidir. Hermite-Hdmrd eşitsizliği ile ilgili çlışmlrın önemli bir kısmını S. S. Drgomir ve C. E. M. Perce trfındn yılınd yzılmış oln Selected Topics on Hermite- Hdmrd Ineulities nd Applictions isimli kitpt; Ostrowski eşitsizliği ile ilgili çlışmlrın büyük bir kısmı d S. S. Drgomir ve Themistocles M. Rssis trfındn yılınd yzılmış oln Ostrowski Type Ineulities nd Applictions in Numericl Integrtion isimli kitpt bir ry getirilmiştir. Konveks fonksiyonlr için eşitsizlikler üzerine çlışn diğer mtemtikçiler; R. Agrvl, G. Anstssiou, G. V. Milovnovic, A. M. Fink, Roberts nd Vrberg, N.S. Brnett, M. E. Özdemir, U. S. Kırmcı, H. Yıldırım, M. Z. Srıky, N. Ujević, S. Vrosnec, P. S. Bullen, P. Cerone, E. Set ve İ. İşcn şeklinde sırlybiliriz. Richrd Bellmn II. Uluslrrsı Genel Eşitsizlik Konfernsı devm ederken yptığı bir konuşmsınd eşitsizlik çlışmnın prtik, teorik ve estetik olmk üzere üç nedeni olduğundn bhsetmiştir. Bunlr içerisinde estetik neden için bkn bir kimsenin yd bir seyircinin vey bir okuyucunun gözündeki güzellik olrk ifde etmiştir. Eşitsizliğin onlrı cezbeden bir zrifliği olduğunu söylemiştir.

14 Kesirli tmsyı olmyn) difernsiyel teorisi, 3 Eylül 695 yılınd yzıln Leibniz in notlrınd yrım mertebeden türevin ifdesinin trtışılmsıyl bşlıyor. Leibniz in notu ile rsgele mertebeden türev ve integrl teorisi görünmeye bşldı ve 9. yüzyılın sonlrınd Liouville bu ypıyı tmmldı. Bundn sonr Grünwld, Letnikov ve Riemnn kesirli türev teorisi üzerine çlışmlrd bulundu. Bunun üzerine S. G. Smko ile A. A. Kilbs ve O. I. Mrichev bu lnd büyük bir boşluğu kptrk kesirli türev ve integrl kvrmlrı hkkınd nsiklopedik bir monogrfi yyınldı. Geçen birkç yıllık süreçte birçok yzr değişik reel mteryller, polimerler... gibi özelliklerini tnımlmk için kesirli türev ve integrllerin çok uygun olduğunu ifde etmektedirler. Bu ise tmsyı mertebeli türevlerle krşılştırıldığı zmn, kesirli türevlerin gerçek hyt dh uygun olduğunu göstermektedir. Kesirli türevlerin bu vntjı nesnelerin meknik ve elektriksel özelliklerinin kışknlr teorisindeki elektrik devreleri, mte-mtiksel modellemelerinde, elektro-nlitik kimy gibi diğer birçok lnd kullnılmsını sğlmktdır. Bu çlışmd, frklı türden konveks fonksiyonlr detylı olrk incelenmiştir. Bu mçl çlışmnın ikinci bölümünde mtemtikte yer ln bzı temel tnım ve teoremler, bzı konveks fonksiyon sınıflrı rsındki hiyerrşi verilmiştir. Üçüncü bölümde ise geometrik-ritmetik ve hrmonik-ritmetik konveks fonksiyonlr için Hermite-Hdmrd tipli integrl eşitsizlikleri, ğırlıklı integrl eşitsizlikleri ve kesirli integrl eşitsizlikleri için temel lemmlr ve teoremler verilmiştir. Bu çlışmnın dördüncü bölümünde ise tezin sıl konusu oln geometrik-ritmetik GA), hrmonik-ritmetik HA) ve usi-geometrik-ritmetik konveks fonksiyonlr için ğırlıklı Hermite-Hdmrd tipli kesirli integrl eşitsizlikleri ile ilgili yeni bir lemm ve bu lemmyı kullnrk yeni teoremler ve sonuçlr verilmiştir. 3

15 . TEMEL KAVRAMLAR. Konveks Fonksiyonlrl İlgili Temel Tnım ve Özellikler Bu bölümde bu çlışmd kullnılck bzı temel tnım ve teorem verilecektir. Tnım.. Konveks Küme): L bir lineer uzy ve A L olmk üzere x,y A için B = {z L : z = αx α)y, α } A ise Akümesine konveks kümedenir. Eğer z B ise z = αx α)y eşitliğindeki x ve y nin ktsyılrı için α α) = bğıntısı her zmn doğrudur. Bu sebeple konveks küme tnımındki α, α yerine α β = şrtını sğlyn ve negtif olmyn α, β reel syılrı lınbilir. Geometrik olrk B kümesi uç noktlrı x ve y oln bir doğru prçsıdır. Bu durumd sezgisel olrk konveks küme, boş olmyn ve herhngi iki noktsını birleştiren doğru prçsını ihtiv eden kümesidir 5]. Tnım.. J-Konveks Fonksiyon): I, R de bir rlık olmk üzere her x,y I için ) xy f fx)fy) şrtını sğlyn bir f fonksiyonun I üzerinde Jensen nlmınd konveks vey J-konveks fonksiyon denir 47]. Tnım..3 Kesin J-Konveks Fonksiyon): Her x,y I ve x y için, ) xy f < fx)fy) eşitsizliği sğlnıyors, f fonksiyonun I üzerinde kesin J-konveks fonksiyon denir 47]. Tnım..4 Konveks Fonksiyon): I, R de bir rlık ve f : I R bir fonksiyon olmk üzere her x,y I ve α,] için, f αx α)y) αfx) α)fy) şrtı sğlnıyors f fonksiyonun konveks fonksiyon denir Bkınız Şekil.). 4

16 Örneğin, f : I R R, fx) = x fonksiyonu I üzerinde bir konveks fonksiyondur. y x Şekil.: Bir rlıkt konveks fonksiyon fx) = x ) Sonuç.. Her konveks fonksiyon ynı zmnd bir J-konveks fonksiyondur. Sonuç.. I R olmk üzere, bir f fonksiyonunun I d konveks olmsı için gerek ve yeter şrt, her x,y I için p > oln p, için ) pxy f pfx)fy) p p olmsıdır 56]. I üzerinde tnımlı bir f fonksiyonunun kesin konveksliğinin geometrik nlmı x,fx)) ve y,fy)) noktlrını içeren I üzerindeki doğru prçsının f nin grfiğinin üst kısmınd yer lmsıdır. Bunu Şekil. de görmekteyiz. Eğer f fonksiyonu, b] rlığınd tnımlı,, b] rlığınd konveks konkv) ve x noktsınd diferensiyellenebilen bir fonksiyon ise x,b) için, f x) f x ) )f x )x x ) eşitsizliği yzılır 59]. Tnım..5 Eşlenik Konveks Fonksiyonlr): g :, ), ) fonksiyonu rtn ve sürekli bir fonksiyon olsun yrıc g) = ve x iken g 5

17 fy) tfx) t)fy) ftx t)y) fx) x tx t)y y Şekil.: Konveks fonksiyon şekli şrtlrını sğlsın. Bu durumd g vrdır ve g ile ynı şrtlrı sğlr. Eğer f ve f fonksiyonlrı x y fx) = gt)dt ve f y) = g s)ds şeklinde tnımlnırs bu iki fonksiyon d konveks olup f ve f fonksiyonlrın birbirinin konveks eşleniği denir 59]. Aşğıdki teorem konveks eşlenik çiftlerle ilgili önemli bir sonuçtur. Teorem.. Young Eşitsizliği): f,, c], c > ), rlığı üzerinde reel değerli, rtn ve sürekli bir fonksiyon olsun. Eğer f) =,,c] ve b,fc)] ise, b fx)dx f x)dx b eşitsizliği sğlnır 69]. Tnım..6 Süreklilik): f : S R R, x S ve ǫ > verilmiş olsun. Eğer x x < δ oln x S için fx) fx ) < ǫ olck şekilde bir δ > syısı vrs f, x d süreklidir denir 6]. 6

18 Tnım..7 Lipschitz Şrtı): f : S R R fonksiyonu için fx) fy) M x y olck şekilde bir M > syısı vrs f, S de Lipschitz şrtını sğlıyor denir 6]. Sonuç..3 f, S de Lipschitz şrtını sğlıyors f, S de düzgün süreklidir 6]. Tnım..8 Düzgün Süreklilik): f : S R R, x S ve ǫ > verilmiş olsun. x S ve x x < δ şrtını sğlyn x,x S için fx ) fx ) < ǫ olck şekilde bir δ > syısı vrs f, S de düzgün süreklidir denir 6]. Tnım..9 Mutlk Süreklilik): I, R nin boştn frklı bir lt kümesi ve f : I R bir fonksiyon olsun. I nın { i,b i )} n i= yrık çık lt rklıklrının bir birleşimini göz önüne llım. Eğer ǫ > için n i= b i i < δ olduğund n i= fb i) f i ) < ǫ olck şekilde bir δ = δǫ) > syısı vrs, f fonksiyonu I kümesinde mutlk süreklidir denir 9]. Konvekslik, Lipschitz şrtı, süreklilik ve mutlk süreklilik rsındki ilişki şğdki teorem ile verilmektedir. Teorem.. L lineer uzy, U L bir çık küme ve f : U R fonksiyon olsun.. f,u çıkkümesindekonveksolsun. Eğerf,U dbirnoktnınkomşuluğund üstten sınırlı bir fonksiyon ise f, U d yerel Lipschitz dir ve bu nedenle U nun kompkt lt kümesinde Lipschitz şrtını sğlr ve U d süreklidir. b. f, U R n çık kümesi üzerinde konveks ise f, U nun her kompkt ltkümesinde Lipschitz şrtını sğlr ve U d süreklidir 56]. Teorem..3 f fonksiyonu, b] rlığınd konveks ise, bu tktirde. f,, b) rlığınd süreklidir, 7

19 b. f,, b] rlığınd sınırlıdır 3]. Tnım.. Artn ve Azln Fonksiyonlr): f, I rlığınd tnımlı bir fonksiyon olsun. x < x oln x,x I için i. fx ) > fx ) ise f fonksiyonu I üzerinde rtndır, ii. fx ) < fx ) ise f fonksiyonu I üzerinde zlndır, iii. fx ) fx ) ise f fonksiyonu I üzerinde zlmyndır, iv. fx ) fx ) ise f fonksiyonu I üzerinde rtmyndır, denir ]. Teorem..4 I, R de bir rlık, f, I üzerinde sürekli ve I o üzerinde difernsiyellenebilir bir fonksiyon olsun. Bu durumd, i. x I o için f x) > ise f fonksiyonu I üzerinde rtndır. ii. x I o için f x) < ise f fonksiyonu I üzerinde zlndır. iii. x I o için f x) ise f fonksiyonu I üzerinde zlmyndır. iv. x I o için f x) ise f fonksiyonu I üzerinde rtmyndır ]. Sonuç..4 f ve g konveks fonksiyonlr ve g ynı zmnd rtn ise g f fonksiyonu d konvekstir 59]. Teorem..5 Eğer f : I R tnımlı konveks kesin konveks) bir fonksiyon ise f x) ve f x) vr ve bu fonksiyonlr I o de rtndır kesin rtndır) 56]. Teorem..6 f fonksiyonu, b) rlığınd diferensiyellenebilir bir fonksiyon olsun. Bu durumd f fonksiyonunun konveks kesin konveks) olmsı için gerek ve yeter şrt f nin rtn kesin rtn) olmsıdır 56]. 8

20 Teorem..7 f fonksiyonunun I çık rlığınd ikinci türevi mevcuts, f fonksiyonunun bu rlık üzerinde konveks olmsı için gerek ve yeter şrt x I için, olmsıdır 47]. f x) Tnım.. p Normu): X, R n de bir küme, µ, X in lt kümelerinin σ- cebiri üzerinde bir ölçü ve f, X üzerinde tnımlnmış ölçülebilir bir fonksiyon olsun. Bu durumd { f p dµ} /p, p < f p = sup f,p = şeklinde tnımlnn ifdeye p-normu denir. Tnım.. Gmm Fonksiyonu): n > için, Γn) = x n e x dx ile tnımlnn fonksiyon gmm fonksiyonu olrk tnımlnır. Bu integrl n > için ykınsktır. Gmm fonksiyonunun bzı önemli özelliklerini şğıdki şekilde sırlybiliriz: i. Γn) = nγn) = n!, ii Γ ) = π, x iii. p π dx = Γp)Γ p) =, < p <, x sinpπ) iv. n Γn)Γn ) = πγn). Tnım..3 Bet Fonksiyonu): Rex), Rey) > için βx,y) = t x t) y dt şeklinde tnımlnn fonksiyon bet fonksiyonu olrk tnımlnır. Bu integrl x > ve y > için ykınsktır 4]. Bet fonksiyonunun şğıdki özellikleri sğldığı kolyc görülebilir: 9

21 i. βx,y) = x βx,y), x,y, ) xy ii. β,y) = y iii. βx, y) = t x t) y dt = t x t) xy, x,y > iv. βx,y) = Γx)Γy) Γxy), x,y > v. βx,y) = βy,x) özellikleri vrdır 37]. Tnım..4 Hipergeometrik Fonksiyon): c > b >, z < için, F,b;c;z) = t b t) c b zt) dt βb,c b) şeklinde tnımlnn fonksiyon Hipergeometrik fonksiyon denir 4].. Frklı Türden Bzı Konveks Fonksiyon Sınıflrı ve Temel Tnımlr Tnım.. Qusi-Konveks Fonksiyon): f : S R bir fonksiyon ve S R boştn frklı konveks küme olsun. x,y S ve λ,] için, f λx λ)y) mx{fx),fy)} ise f ye usi-konveks fonksiyon denir ]. Eğer, f λx λ)y) < mx{fx),fy)} ise f ye kesin usi-konveks fonksiyon denir. Aynı şrtlr ltınd, eğer f λx λ)y) mx{fx),fy)}

22 ise f ye usi-konkv fonksiyon ve eğer f λx λ)y) > mx{fx),fy)} ise f ye kesin usi-konkv fonksiyon denir ]. Tnım.. f hem usi-konveks hem de usi-konkv ise f ye usi-monotonik fonksiyon denir 9]. Sonuç.. Herhngi bir konveks fonksiyon ynı zmnd bir usi-konveks fonksiyondur. Fkt tersi her zmn doğru değildir. Yni usi-konveks olup konveks olmyn fonksiyonlr d vrdır. Örneğin, t,t, ] gt) = t,t,] ile tnımlnn g :, ] R fonksiyonu, ] rlığınd konveks değildir. fkt g fonksiyonu, ] rlığınd usi-konveks fonksiyondur 5]. y x Şekil.3: Qusi konveks olup konveks olmyn fonksiyon Aşğıdki grfikte, klın çizgi ile gösterilen rlıklrd fonksiyon usi-konvekstir. Am eğrinin tmmı düşünülürse bu fonksiyon usi-konveks değildir 5]. Tnım..3 Wright-Konveks Fonksiyon): f : I R bir fonksiyon ve y > x,δ > şrtlrı ltınd her bir y δ, x I için f xδ) fx) f y δ) fy) eşitsizliği sğlnıyors f ye I R de Wright-konveks fonksiyon denir ].

23 y x Şekil.4: Arlıkt Qusi konveks fonksiyon fx) = x 4 x 9 Tnım..4 Wright-Qusi-Konveks Fonksiyon): f : I R bir fonksiyon olsun. y > x, δ > şrtlrı ltınd x,y,yδ I ve t,] için f tx t)y)f t)xty)] mx{fx),fy)} vey fy)fxδ)] mx{fx),fy δ)} eşitsizliklerinden biri sğlnıyors f ye I R de Wright-usi-konveks fonksiyon denir ]. Tnım..5 J-Qusi-Konveks Fonksiyon): f : I R fonksiyonu her x,y I için ) xy f mx{fx),fy)} şrtını sğlıyors f fonksiyonun J-usi-konveks fonksiyon denir 4]. Tnım..6 Log-Konveks Fonksiyon): I, R de bir rlık f : I R bir fonksiyon olsun. Her x,y I ve α,] için f αx α)y) f α x)f α y) şrtını sğlyn f fonksiyonun Log-konveks fonksiyon denir 56]. Tnım..7 Godunov-Levin Fonksiyonu): f : I R negtif olmyn fonksi-yonu x,y I, λ,) için f λx λ)y) fx) λ fy) λ

24 eşitsizliğini sğlıyors f ye Godunov-Levin fonksiyonu vey QI) sınıfın ittir denir. Bu tnım denk olrk; eğer f QI) ve x,y,z I ise bu tkdirde fx)x y)x z)fy)y x)y z)fz)z x)z y) eşitsizliği sğlnır 8]. Tnım..8 P- fonksiyonu): f : I R negtif olmyn bir fonksiyon olmk üzere eğer x,y I, λ,) için f λx λ)y) fx)fy) eşitsizliği sğlnıyors f fonksiyonun bir P-fonksiyonu vey PI) sınıfın ittir denir ]. Tnım..9 Birinci Anlmd s-konveks Fonksiyon): f : R R ve < s olsun. α s β s = olmk üzere her u,v R ve her α,β için f αuβv) α s fu)β s fv) eşitsizliği sğlnıyors f fonksiyonun birinci nlmd s-konveks fonksiyon denir 53]. Tnım.. İkinci Anlmd s-konveks Fonksiyon): f : R R ve < s olsun. αβ = olmk üzere her u,v R ve her α,β için f αuβv) α s fu)β s fv) eşitsizliği sğlnıyors f fonksiyonun ikinci nlmd s-konveks fonksiyon denir 7,]. Tnım..9 ve Tnım.. d s = lındığınd konveks fonksiyon tnımı elde edilir. 3

25 Tnım.. h-konveks Fonksiyon): h veh : J Rnegtif olmyn bir fonksiyon olsun. Her x,y I, α,) için, f αx α)y) hα)fx)h α)fy) şrtını sğlyn negtif olmyn f : I R fonksiyonun bir h-konveks fonksiyon denir. Burd I ve J, R de iki rlık,,) J dir 66]. Eğer i. hα) = α seçilirse h-konveks fonksiyonu negtif olmyn konveks fonksiyon dönüşür. ii. s,) için hα) = α s seçilirse h- konveks fonksiyonu s-konveks fonksiyon dönüşür. Tnım.. m-konveks Fonksiyon): f :,b] R ve b > olsun. Her x,y,b], m,t,] için f txm t)y) tfx)m t)fy) eşitsizliği sğlnıyors f fonksiyonun bir m-konveks fonksiyon denir. f) şrtını sğlyn, b] rlığınd tnımlı oln bütün m-konveks fonksiyonlrın sınıfı K m b) ile gösterilir 64]. Eğer m = seçilirse, b] rlığınd m-konveks fonksiyon bilinen konveks fonksiyon dönüşür. Tnım..3 α,m)-konveks Fonksiyon): f :,b] R bir fonksiyon ve b > olsun. Her x,y,b], t,] ve α,m),] için f txm t)y) t α fx)m t α )fy) eşitsizliği sğlnıyors f-fonksiyonun α, m)-konveks fonksiyon denir 46]. Burd α ve m den en z biri dn frklı olmlıdır. α,m) {,),,m),,)}içinsırsıylrtn,m-konveksvekonveksfonksiyon sınıflrı-nın elde edildiği kolyc görülebilir. 4

26 Tnım..4 h,m)-konveks Fonksiyon): h : J R R negtif olmyn bir fonksiyon olsun. x,y,b], m,] ve α,] için f :,b] R negtif olmyn f fonksiyonu f αxm α)y) hα)fx)mh α)fy) şrtını sğlıyors f fonksiyonun h, m)-konveks fonksiyon denir 55]. Tnım..5 Geometrik Konveks Fonksiyon): f : I R R fonksiyonu verilsin. Eğer f fonksiyonu, her x,y I ve t,] için f x t y t) fx)] t fy)] t eşitsizliğini sğlıyors f fonksiyonun geometrik konveks fonksiyon denir 7]. Tnım..6 s-geometrik Konveks Fonksiyon): f : I R R fonksiyonu verilsin. Eğer f fonksiyonu, her x,y I, s,] ve t,] için, f x t y t) fx)] ts fy)] t)s eşitsizliğini sğlıyors f fonksiyonun s-geometrik konveks fonksiyon denir 7]. s = için, s-geometrik konveks fonksiyon tnımı geometrik konveks fonksiyon tnımın indirgenir. Tnım..7 Qusi Geometrik Konveks Fonksiyonu): f : I R R fonksi-yonu verilsin. Eğer f fonksiyonu, x,y I ve t,] için f x t y t) sup{fx),fy)} eşitsizliğini sğlıyors f fonksiyonun usi geometrik konveks fonksiyon denir 6]. Tnım..8 Geometrik-Aritmetik GA) Konveks Fonksiyon): f : I R R fonksiyonu verilsin. Eğer f fonksiyonu x,y I, λ,] için f x λ y λ) λfx) λ)fy) eşitsizliğinisğlıyorsf fonksiyonunga-konveksfonksiyondenir. Burdx λ y λ ifdesi x ve y pozitif syılrının ğırlıklı geometrik ortlmsı ve λfx) λ)fy) ifdesi ise fx) ve fy) nin ğırlıklı ritmetik ortlmsıdır 5]. 5

27 Tnım..9 Birinci nlmd Geometrik-Aritmetik-s GA-s) Konveks Fonksiyon): f : I R Rfonksiyonuverilsin. Eğerf fonksiyonu, x,y I, s,] ve λ,] için, f x λ y λ) )λ s fx) λ s )fy) eşitsizliğini sğlyors f fonksiyonun birinci nlmd GA s-konveks konkv) fonksiyon denir 8]. Tnım.. İkinci nlmd Geometrik-Aritmetik-s GA-s) Konveks Fonksiyon): f : I R R fonksiyonu verilsin. Eğer f fonksiyonu x,y I, s,] ve λ,] için f x λ y λ) )λ s fx) λ) s fy) eşitsizliğini sğlıyors f fonksiyonun ikinci nlmd GA s-konveks konkv) fonksiyon denir 8]. Özel olrk Tnım..9 ve Tnım.. d s = lındığınd Tnım..8 deki GA- konveks fonksiyon tnımı elde edilir. Tnım.. Geometrik Simetrik Fonksiyon): g :,b] R R fonksiyonu x,b] için g ) b = gx) x eşitliğini sğlıyors, g fonksiyonun b ye göre geometrik simetrik fonksiyon denir 43]. Tnım.. Hrmonik Konveks Fonksiyon): I R\{} bir rlık olsun. Eğer f : I R fonksiyonu x,y I ve t,] için, ) xy f tfy) t)fx) tx t)y eşitsizliğini sğlıyors f fonksiyonun hrmonik konveks fonksiyondur denir 9]. Tnım..3 Hrmonik Simetrik): g :,b] R \ {} R fonksiyonu x,b] için ) gx) = g b x 6

28 eşitliği sğlnıyors g fonksiyonun b ye göre hrmonik simetrik fonksiyon b denir 44]. Önerme.. I R\{} bir reel rlık olsun. f : I R fonksiyonu için, Eğer f fonksiyonu, I R rlığınd konveks ve zlmyn bir fonksiyon ise f fonksiyonun hrmonik konveks fonksiyon denir. Eğer f fonksiyonu, I R rlığınd hrmonik konveks ve rtmyn bir fonksiyon ise f fonksiyonun konveks fonksiyon denir. Eğer f fonksiyonu, I, ) rlığınd hrmonik konveks ve zlmyn bir fonksiyon ise f fonksiyonun konveks fonksiyon denir. Eğer f fonksiyonu, I, ) rlığınd konveks ve rtmyn bir fonksiyon ise f fonksiyonun hrmonik konveks fonksiyon denir 9]. Tnım..4 Hrmonik s-konveks Fonksiyon): I R\{} bir reel rlık olsun. Eğer f : I R R fonksiyonu, x,y I, s,] ve t,] için ) xy f t s fy) t) s fx) tx t)y eşitsizliğini sğlıyors f fonksiyonun bir hrmonik-s-konveks fonksiyon denir 33]. Özel olrk, Tnım.. de s = lınırs Tnım.. tnımındki hrmonik konveks fonksiyon tnımın indirgenir. Önerme.. I R\{} bir reel rlık olsun. f : I R fonksiyonu için, Eğer f fonksiyonu s-konveks ve zlmyn bir fonksiyon ise f fonksiyonu hrmonik-s konveks fonksiyondur. Eğer f fonksiyonu hrmonik s-konveks ve rtmyn bir fonksiyon ise f fonksiyonu s-konveks fonksiyondur 33]. 7

29 Örnek.. s,] ve f :,],], fx) = x s olrk tnımlnsın. f fonksiyonu s-konveks ve zlmyn fonksiyon ise f hrmonik s-konveks fonksiyon olur 33]. Tnım..5 Bzı Özel Ortlmlr): Bu bşlık ltınd, b gibi iki pozitif reel syı için bzı ortlmlr verilecektir 4, 8].. Aritmetik ortlm:. Geometrik ortlm: 3. Hrmonik ortlm: A = A,b) := b, G = G,b) := b, H = H,b) := b b, 4. Logritmik ortlm: L = L,b) :=, = b b, b lnb ln 5. Identrik ortlm: I = I,b) := e ) b b b, = b, b 6. p-logritmik ortlm: L p = L p,b) := b p p p)b ) ] p, = b, b 7. Seiffert ortlm: 8. Bencze ortlm: S = S,b) := b rcsin b b B = B,b) := b rctg b b 8

30 ortlmlrı vrdır. Ayrıc, p R olmk üzere L p nin monoton rtn olduğu bilinir ve L = I, L = L ile gösterilir. Bu ortlmlr rsındki ilişki litertürde, şğıdki gibi yer lmktdır: H G L I A. Son olrk x, y pozitif syılrının r-inci kuvvetlerinin genelleştirilmiş logritmik ortlmsı L r x,y) = r x r y r r x r y r x y lnx lny xy lnx lny x y x,r,,x y,r =,x y,r =,x y,x = y biçiminde tnımlnır. Tnım..6 Ağırlıklı Aritmetik Ortlm): x i,b], p i > ve P n := n i= p i >, i =,,...,n) olmk üzere A n x,p) := n p i x i P n şeklindeki ifdeye x i,i =,,...n) syılrının p i i =,,...n) ğırlıklı ritmetik ortlmsı denir 4]. i= Tnım..7 r-ortlm): x, y pozitif syılrının r-inci kuvvetlerine göre kuvvet ortlmsı x λ y λ,r = M r x,y;λ) = λx r λ)y r ) r,r olrk tnımlnır 4]. Tnım..8 r-konveks fonksiyon): f pozitif bir fonksiyon olmk üzere her x,y,b] ve λ,] için f λx λ)y) M r fx),fy);λ) eşitsizliği sğlnıyors f fonksiyonun, b] rlığınd bir r-konveks fonksiyon denir 7]. 9

31 Bu tnımdn -konveks fonksiyonlrın log-konveks fonksiyonlr ve -konveks fonksiyonlrın bilinen konveks fonksiyonlr olduğu sonucun kolylıkl ulşılbilir. Ayrıc r-konvekslik tnımı, λf r x) λ)f r y)) f r r,r λx λ)y) = fx)] λ fy)] λ,r = biçiminde genişletilmiştir ]. Tnım..9 Strshped Fonksiyon): b > olmk üzere f :,b] R fonksi-yonu, her x,b] ve t,] için f tx) tf x) şrtını sğlıyors bu fonksiyon bir strshped fonksiyon denir 64]..3 Bzı Konveks Fonksiyon Sınıflrının Hiyerrşisi Fonksiyonlr teorisi çlışmlrınd yeni sonuçlr ve genelleştirmeler elde etmek için kimi zmn fonksiyonun şrtlrınd bzı kısıtlmlr ypmk gerekirken kimi zmnd fonksi-yon ek özellikler ktmk gerekir. Çünkü fonksiyonlr ynı nd birçok özelliği sğlybilir vey bir fonksiyon sınıfı bşk bir fonksiyon sınıfıyl bzı özellikleri itibriyle benzerlik gösterebilir. Çlışmlrımızd frklı türden konveks fonksiyonlr için çeşitli integ-rl eşitsizliklerini isptlrken, bu eşitsizliklerin belli özel durumlr için bşk konvekslik sınıflrı içinde sğlndığını çıkç görebiliriz. Dolyısıyl burdn konveks fonksiyonlr rsınd özellikleri çısındn bir hiyerrşi olduğu gerçeğine ulşılır. Fkt bu hiyerrşide tüm konvekslik sınıflrını berber değerlendirmek oldukç güç olduğu için rlrındki ilişki, tnımlrı ve özellikleri yrdımıyl şğıdki şekilde oluşturulbilir: Teorem.3. I R olmk üzere, Log Konveks fonksiyonlr sınıfı, Konveks fonksi-yonlr sınıfı, Qusi-konveks fonksiyonlr sınıfı, P-fonksiyonlr sınıfı ve Godunov-Levin fonksiyonlr sınıfı sırsıyl LI), CI), QCI), PI), QI) ile gösterilirse, bu tkdirde LI) CI) QCI) PI) QI)

32 olduğu görülür Bkınız Şekil.5)38]. Teorem.3. I R olmk üzere, Qusi Konveks fonksiyonlr sınıfı, Wright- Qusi-Konveks fonksiyonlr sınıfı ve Jensen-Qusi-Konveks fonksi-yonlr sınıfı sırsıyl QCI), W QCI), JQCI) ile gösterilirse, bu tkdirde QCI) WQCI) JQCI) olduğu görülür Bkınız Şekil.6) ]. Teorem.3.3 I R olmk üzere, konveks fonksiyonlr sınıfı, Wright-Konveks fonksi-yonlr sınıfı ve Jensen Konveks fonksiyonlr sınıfı sırsıyl CI), WI), JI) ile gösterilirse; CI) WI) JI) olur Bkınız Şekil.7) 67]. Lemm.3. Eğer f fonksiyonu m-konveks fonksiyonlr sınıfın it ise bu tkdirde f fonksi-yonu bir strshped fonksiyondur 64]. Lemm.3. Eğer f fonksiyonu m-konveks fonksiyon ve n < m ise f fonksiyonu bir n-konveks fonksiyondur 64]. h-konveks fonksiyon tnımındn çıkç görülebileceği gibi eğer ht) = t seçilirse negtif olmyn konveks fonksiyonlr vey eşitsizliğin yön değiştirmesinde negtif olmyn konkv fonksiyonlr, ht) = seçilirse fonksiyonun QI) sınıfındn, t eğer s,) olmk üzere ht) = t s seçilirse fonksiyonun Ks sınıfındn bir konveks fonksiyon olcğı şikrdır. Bu bilgiler ışığınd ht) fonksiyonun bzı özel değerleri için CI) SXh,I), PI) SXh,I), Ks SXh,I) yzılbilir. Burd h fonksiyonu negtif olmyn fonksiyon olduğu için negtif olmyn konveks fonksiyonlr SXh, I) sınıfının lt kümesidir.

33 Godunov-Levin Fonksiyonu P-Fonksiyonu Qusi-Konveks Fonksiyonu Konveks Fonksiyonu Log-Konveks Fonksiyonu Şekil.5: Godunov-Levin fonksiyon, P-fonksiyon, Qusi Konveks fonksiyon, Konveks fonksiyon, Log-Konveks fonksiyon rsındki sınıf ilişkisi Jensen-Qusi Konveks Wright-Qusi Konveks Qusi Konveks Şekil.6: Jensen-Qusi Konveks fonksiyon, Wright-Qusi Konveks fonksiyon, Qusi Konveks fonksiyon sınıflrı rsındki ilişki Jensen-Konveks Fonksiyonu Wright-Konveks Fonksiyonu Konveks Fonksiyon Şekil.7: Jensen-konveks fonksiyon, Wright-konveks fonksiyon, Konveks fonksiyon sınıflrı rsındki ilişki

34 3. MATERYAL VE YÖNTEM Bu bölümün birinci kısmınd kesirli Riemnn-Liouville integrl ve kesirli türev opertörle-riyle ilgili temel tnım ve özellikler verilecektir. İkinci kısmınd ise Hermite-Hdmrd eşitsizliği, Hermite-Hdmrd-Fejér eşitsizliği ve kesirli Hermite- Hdmrd-Fejér integrl eşitsizlikleri ile ilgili temel teoremler verilecektir. 3. Kesirli Riemnn-Liouville İntegrl ve Türevleri Liouville nin kesirli integrl opertörününün Riemnn ın değiştirdiği şekli, n-ktlı integrl için Cuchy nün formülünün direk genellemesi olrk x dx x dx x n fx n )dx n = x n )! ft) x t) ndt 3..) şeklinde ifde edilir. Bu integrlin sol trfınd integrsyon sırsını ve bun bğlı olrk sınırlrı < x < x < x < x x < x < x x < x < x,,,, < x n < x n < x n < x n x n < x n < x < x n < x şeklinde değiştirdiğimizde 3..) ifdesi x x dx dx x n fx n )dx n = x fx n ) x x n x x n x x 3 x dx dx dx n dx n 3..) x 3

35 şeklinde yzılır. 3..) ifdesinde sırsıyl integrl lınırs ve x n = t dönüşümü ypılırs x dx x dx x n fx n )dx n = x n )! ft) x t) ndt 3..3) eşitliği elde edilir. Gmm fonksiyonunun özelliğinden n )! = Γn) lındığınd 3..) eşitliği elde edilir. 3..) eşitliğinde, n tmsyı değerleri lınmmış olbilir. Riemnn bu durum için şğıdki şekilde kesirli integrl tnımını vermiştir: Tnım 3.. fx) L,b] ve < x < b olsun. Bu durumd α > için ve R J α f)x) = x ft)x t) α dt, x > 3..4) Γα) R J α b f)x) = b ft)t x) α dt, x < b 3..5) Γα) x integrllerine α-yıncı mertebeden Riemnn-Liouville kesirli integrlleri dı verilir. Burd J f ) x) = J b f ) x) = fx) olcktır. Teorem 3.. f L,b] fonksiyonu ve α >, β > için eşitliği sğlnır. ) R J α RJ f)x) β f x) = R J αβ fx) 3..6) Tnım 3.. f fonksiyonu, b) rlığınd sürekli ve integrllenebilir olsun. α,) olmk üzere RD α fx) := d Γ α) dx x ft) x t) α 3..7) ifdesine α-yıncı mertebeden Riemnn-Liouville kesirli türevi denir. Özel olrk, kesirli türevde α = lındığınd ifdeye yrı türev dı verilir. Şimdi ise yrı kesirli türevler ile ilgili bir kç örnek verelim. Bunun için, fx) = x k 4

36 şeklindeki fonksiyonu ele llım. Burd k pozitif bir tmsyıdır. Ele ldığımız fonksiyonun -yıncı mertebeden türevini lırsk fx) = x k f x) = kx k f x) = kk )x k f x) = kk )k )x k 3 f ) x) = kk )k ) k )x k k! = k )! xk yzılır. Yine burd Γn) = n )! olduğundn f ) x) = Γk ) Γk ) xk eşitliğini yzrız. Burdki syısını herhngi bir pozitif syı olrk seçerek fonksiyonun kesirli türevlerini hesplybiliriz. Kbuledelimki = vek = olsun. Budurumdfonksiyonun -ncimertebeden türevini hesplylım. Bunun için fx) = x ve = ise, eşitliğinden yrrlnrk, f ) x) = Γk ) Γk ) xk d dx f x) = d x = ) Γ )x 3 5 5,Γ dx x Γ3) = Γ )x = Γ 3 ) = 3 Γ ) = 3 ) 4 Γ = 3 π 4 d dx x = 8 3 π x3, elde edilir. Şimdi elde edilen yrım türevin tekrr yrım türevi lınırs ) ) d d x = d 8 dx dx dx 3 π x3 = x 5

37 olduğu kolyc görülür. Riemnn-Liouville kesirli integrl ve türevi rsındki bğlntıyı çözmek için Abel integrl eşitliği oln, < α < için x Γα) ϕt)dt = fx), x >, 3..8) x t) α eşitliğinden yrrlnılır. Son eşitlikte x i; t ye ve t yi; s ye dönüştürüp her iki trfını x t) α ile çrpıp dn x e integrlini lırsk x dt t x t) α ϕs) x t s) αds = Γα) ft) x t) αdt elde edilir. Elde edilen eşitliğin sol trfınd Dirichlet formulü gereğince sınırlrın yer değişimini uygulrsk, x x ϕs)ds s dt x = Γα) x t) α t s) α ft) x t) α 3..9) olduğu görülür. 3..9) ifdesindeki iç trftki integrlde t = sτx s) değişken değiştirmesi ypılırs, x s dt x t) α t s) = α τ α τ) α dτ = βα, α) = Γα)Γ α) elde edilir. Son integrli Bet fonksiyonu ile ifde ettik. Bu ifde 3..9) de kullnılırs x Γα)Γ α) x x ϕs)ds = Γα) ϕs)ds = Γ α) ft) x t) α x ft) x t) αdt elde edilir. Burdki son eşitliğin her iki trfının x e göre türevi lınırs, ϕx) = d Γ α) dx elde edilir. Bu ise bize Tnım 3.. yi vermektedir. x ft) x t) αdt, < α < 3..) Bu türev formülünü dh genel olrk şğıdki şekilde ifde edebiliriz: 6

38 Tnım 3..3 f fonksiyonu her sonlu, x) rlığınd sürekli ve integrllenebilir olsun. m N, m α < m olmk üzere x > için reel bir f fonksiyonunun α-yıncı mertebeden Riemnn-Liouville kesirli türevi R D α f)x) = d m Γm α) dx m şeklindedir. x ft)x t) m α dt 3..) Diğer trftn Riemnn-Liouville kesirli integrli ile Bet ve Gmm fonksiyonlrı rsındki ilişkiyi kurlım. Bunun için R J α f)x) = x ft)x t) α dt, x > Γα) Riemnn-Liouville kesirli integrlinde ft) = t ) ve α = tkdirde lınırs, bu ) RJ f x) = Γ ) x t ) x t) dt, x > elde edilir. Burdn t = x )τ değişken değişimi ypılırs, τ p τ) dτ = βp,) şeklinde Bet fonksiyonu elde edilir. Bet fonksiyonu yrdımıyl ) RJ f x) = Γ ) x t ) x t) dt, x > = x ) x ) τ τ) dt π 7

39 = x ) π τ τ) dt eşitliği elde edilir. = π x )β 3, ) = x ) Γ 3 ) Γ ) π Γ 3 ) = π x ) Yukrıd yptığımız uygulmy benzer olrk, fx) = 8 3 π x3 fonksiyonunu gözönüne llım ve bu fonksiyonun α = -inci mertebeden kesirli integrlinin fx) = x olduğunu gösterelim. = olmk üzere Riemnn-Liouville kesirli integrli R J α f)x) = x ft)x t) α dt, x > Γα) olrk yzılır. Kbuller ltınd fx) = 8 3 π x3 fonksiyonunun α = -nci mertebeden kesirli integrlinin RJ f ) x) = = = Γ ) 8 3 π x 8 3 π x = 8 π x β = 8 3 π x 8 = 3 π x = x 8 3 π t3 x t) dt, x > ux) 3 x ux) xdu, t = ux u 3 u) du 5, 3 Γ ) ) Γ ) Γ 5 ) ) Γ ) Γ3) 3 Γ olduğu görülür. Bkınız 4, 5, 6, 68]) Hem uygulm lnlrınd hem de teoride kullnıln ve klsik kesirli integrllerin frklı değişimleri ve genellemeleri 8

40 olduğu bilinir. Bunlrdn bir tneside Hdmrd kesirli integrlleridir. Şimdi bu integrlleri tnımlylım. 3. Hdmrd Kesirli İntegrller d Riemnn-Liouville kesirli integro-difernsiyeli, difernsiyel opertörünün ) d α dx dx kesirli kuvveti şeklindedir ve tüm eksenleri düşünürsek öteleme ile ilişkisi sbittir. Hdmrd ise x d dx) α şeklinde kesirli bir kuvvete ship kesirli integro-difernsiyel ypısını orty çıkrdı. Bu ypı yrı eksen durumun uygun ve genişleme ile ilişkisi sbittir. İlk olrk Hdmrd x >, α > için ve HJφ ) α x) = x Γα) HJ α φ) x) = Γα) x φt)dt t ) ln x α 3..) t φt)dt t ) ln x α 3..) t integrlleriyle tnıştırdı. α >, < b ve g sürekli türevlere ship monoton bir fonksiyon ve φ L,b) için H J ;gφ)x) = x Γα) φt) gx) gt)] αg t)dt 3..3) olrk tnımlnn kesirli integrlinde gt) = lnt lınrk elde edildiği için 3..) integrline gt) = t ye göre φ fonksiyonunun kesirli integrli denir. Bununl berber g t) nin sürekli türevlerinin vrlığının durumu bu durumd sğlmz. Eğer yerine > integrlinin soldn limitini lırsk g t) nin sürekliliği sğlnır 6].) Tnım 3.. φ :,b] R R fonksiyonu,b] rlığınd integrllenebilir bir fonksiyon, α > ve < < b için H J α φ)x) = x Γα) φt) dt ) α t, x > 3..4) ln x t 9

41 ve H J α b φ)x) = b Γα) x φt) dt ) ln t α t, x < b 3..5) x integrllerine α-yıncı mertebeden Hdmrd kesirli integrli denir ve burd HJ α φ = H J α φ ve HJ α φ = H J α φ dır. Hdmrd kesirli integrl tnımındn direk x d dx H J α φ = H J α d φ, x dx H J α b φ = H Jb α φ, Reα) > 3..6) özelliklerinin sğlndığı görülür. Hdmrd kesirli türev, Riemnn-Liouville kesirli türevine benzer bir ypıy shiptir 6]. Tnım 3.. f fonksiyonu, b) rlığınd sürekli ve integrllenebilir olsun. α > için α], α nın tm kısmı ve {α} = α α] olmk üzere 3..6) özelliğinden yrrlnrk HD α fx) := x d ) α] HJ {α} f dx = H J {α} x d ) α] f 3..7) dx ifdesineα-yıncımertebedenhdmrdkesirlitürevdenir. Burd H D α f, H D α f, HD α b f benzer şekilde ifde edilir. Özellikle < α < için HD fx) = Γ α) x d x dx φt) dt ) ln x α t t 3..8) dir 6]. 3.3 Önemli Eşitsizlikler Teorem 3.3. Hölder Eşitsizliği): =,,, n ) ve b = b,b,,b n ) iki pozitif n-liler ve p,, p = eşitliğini sğlyn sıfırdn frklı iki syı olsun. 3

42 i Eğer p ve pozitif ise bu tkdirde n n k b k k= k= k)/p n k= b k ) / 3.3.) eşitsizliği sğlnır. ii. Eğer p < vey < ise bu tkdirde n n k b k k= k= k)/p n k= b k ) / 3.3.) eşitsizliği sğlnır 47]. Teorem 3.3. İntegrllenebilir Fonksiyonlr için Hölder Eşitsizliği): f ve g fonksiyonlrı,b] rlığınd tnımlı reel fonksiyonlr ve p > ve = p olsun. Eğer f p ve g fonksiyonlrı,b] rlığınd integrllenebilir fonksiyonlr ise bu tkdirde b fx)gx) dx b fx) p dx /p b / gx) dx 3.3.3) eşitsizliği sğlnır 49]. Sonuç 3.3. f ve g fonksiyonlrı, b] rlığınd tnımlı ve integrllenebilir iki fonksiyon olsun. Eğer için f ve g fonksiyonlrı,b] rlığınd integrllenebilir fonksiyonlr ise bu tkdirde b fx)gx) dx b fx) dx b fx) gx) dx 3.3.4) eşitsizliği sğlnır 49]. Teorem Üçgen Eşitsizliği): Her x,y reel syılrı için i. xy x x, ii. x y xy, iii. x x n x x n 3

43 eşitsizlikleri sğlnır 49]. Teorem İntegrl için Üçgen Eşitsizliği): f,, b] rlığınd sürekli reel değerli bir fonksiyon ve < b olmk üzere b b fx)dx fx) dx 3.3.5) eşitsizliği sğlnır. Lemm 3.3. < α ve < b için α b α b ) α 3.3.6) ifdesi sğlnır57]. 3.4 Konvekslik İle İlgili Önemli Eşitsizlikler Teorem 3.4. Jensen Eşitsizliği): f, I R rlığınd tnımlı bir konveks fonksiyon, x = x,,x n ) I n n ) ve p, P k = ) k i= p i şeklinde tnımlnn pozitif sırlı n-li ise ) n f p i x i n p i fx i ) 3.4.) P n eşitsizliği sğlnır49]. P n i= Teorem 3.4. Hermite-Hdmrd Eşitsizliği): I =, b] ve f : I R bir konveks fonksiyon ise bu tkdirde i= ) b f b fx)dx f)fb) b 3.4.) eşitsizliği sğlnır ],58]. Yukrıdki teoremde konveks fonksiyonlr için Hermite-Hdmrd eşitsizliği verildi. Bir sonrki teoremde ise Konveks fonksiyonlr için Hermite-Hdmrd-Fejér 3

44 eşitsizliği verilecektir ve rdındn bu eşitsizliklerin dh genel hli oln kesirli Hermite-Hdmrd ve kesirli Hermite-Hdmrd-Fejér integrl eşitsizlikleri verilecektir: Teorem f :,b] R bir konveks fonksiyon ve g :,b] R pozitif, integrllenebilir ve x = b ye göre simetrik bir fonksiyon olmk üzere ) b b f eşitsizliği sğlnır 6]. gx)dx b fx)gx)dx f)fb) b gx)dx 3.4.3) b Teorem < b, f :,b] R pozitif fonksiyon ve f L,b] olsun. Eğer f fonksiyonu,b] rlığınd konveks ise α > için ) b f Γα) f)fb) b ) α Jα fb)jα b f)] eşitsizliği sğlnır 6] ) Teorem f :,b] R konveks fonksiyon, < b ve f L,b] olsun. g :,b] R negtif olmyn, integrllenebilir ve b ye göre simetrik bir fonksiyon ise bu tkdirde α > için ) b f J α gb)jα b g)] Jα fg)b)jα b fg))] f)fb) J α gb)jα b g)]3.4.5) eşitsizliği sğlnır 7]. Hermite-Hdmrd ve Hermite-Hdmrd-Fejér kesirli integrl eşitsizliklerinin geometrik-ritmetik ve hrmonik ritmetik ve usi-geometrik konveks fonksiyonlr için ifdelerini şğıdki teoremlerde görebiliriz. Teorem f : I R R geometrik-ritmetik GA) konveks fonksiyon,,b I, < bolsun. g :,b], )sürekli, pozitifve b yegöregeometrik 33

45 simetrik bir fonksiyon ise bu tkdirde f ) b b gx) x dx b fx)gx) dx x f)fb) b gx) dx 3.4.6) x eşitsizliği gerçeklenir 43]. Teorem 3.4.7,b I, < b, f : I R R bir fonksiyon ve f L,b] olsun. Bu tkdirde eğer f,,b] rlığınd GA-konveks fonksiyon ise α > için ) f b eşitsizliği sğlnır 8]. Γα) lnb/)) α J α f)fb) fb)jα b f)] 3.4.7) Teorem f :,b] R R fonksiyonu,b] rlığınd GA-konveks, < b,,b I ve f L,b] olsun. Eğer g :,b] R negtif olmyn, integrllenebilir, ve b ye göre geometrik simetrik bir fonksiyon ise bu tkdirde α > için f b ) J α gb)jα b g)] Jα fg)b)jα b fg))] kesirli integrl eşitsizliği elde edilir 4]. f)fb) J α gb)jα b g)] 3.4.8) Teorem f : I R \ {} R hrmonik konveks fonksiyon ve f L,b]),,b I, < b olsun. g :,b] R negtif olmyn, integrllenebilir ve x = b ye göre hrmonik simetrik bir fonksiyon ise bu tkdirde b f ) b b b eşitsizliği gerçeklenir 3]. gx) b x dx fx)gx) dx f)fb) b x gx) dx 3.4.9) x Teorem 3.4. f : I R R, f L,b], bir fonksiyon,,b I ve < b olsun. f fonksiyonu,,b] rlığınd hrmonik konveks ve g :,b] R negtif 34

46 olmyn integrllenebilir ve gx) = şeklinde tnımlnn fonksiyon olmk üzere x α > için ) b f b Γα) f)fb) eşitsizliği sğlnır 3]. ) b α{j α/f } b g)/b)jα/b f g)/) 3.4.) b Lemm 3.4. g :,b] R\{} R integrllenebilir ve < b, ye göre b hrmonik simetrik olsun. x, ] b, hx) = ve α > ise x J α /b g h)/) = Jα / g h)/b) = ifdesi sğlnır 3]. Jα /b g h)/) J α / g h)/b) 3.4.) Teorem 3.4. f :,b] R hrmonik konveks fonksiyon, < b, f L,b] olsun. g :,b] R negtif olmyn, integrllenebilir ve b ye göre hrmonik b simetrik fonksiyon olsun. Bu tkdirde x, ] b için hx) = ve α > için x ) b ] f J α /b b g h)/)jα / g h)/b) ] J α/b fg h)/)jα/ fg h)/b) f)fb) ] J α/b g h)/)jα/ g h)/b) 3.4.) kesirli integrl eşitsizliği gerçeklenir 3]. Teorem 3.4. f : I R R, I o d differnsiyelenebilir ve < b, f L,b] olsun. f,,b] de usi-geometrik konveks, g :,b] R sürekli ve x = b ye göre geometrik simetrik bir fonksiyon ise α > için ) f)fb) J α gb)jα b g)] Jα fg)b)jα b fg))] g lnα b/) C α)sup{ f ), f b) } 3.4.3) Γα) eşitsizliği sğlnır, burd C α) = / u) α u α ] u b u u b u] du dır 4]. 35

47 Lemm 3.4. f : I R R, I o d difernsiyellenebilir bir fonksiyon, < b,,b I ve h :,b], ) difernsiyellenebilir olsun. Eğer f L,b] ise bu tkdirde hb) h))f)hb)fb)] fx)h x)dx = b ) ) ] t t h 4 b hb) h eşitliği vrdır 3]. t ) ] t b hb) b ) b t f t ) t f t b dt Lemm f : I R R, I o d difernsiyellenebilir bir fonksiyon, < b,,b I ve h :,b], ) difernsiyellenebilir olsun. Eğer f L,b] ise bu tkdirde ) h) b f)fb)) hb)f b ) t t f 4 b t t f )]h b t t )h b t )] t b dt = b ) h t ) ) ] t t 4 b t h b hb) ) )] } t f t t b f t b dt 3.4.4) eşitliği sğlnır 4]. dt 36

48 4. BULGULAR Bu bölümde ilk olrk geometrik-ritmetik GA) konveks, HA) hrmonik konveks fonksiyonlr için Hermite-Hdmrd-Fejér tipli integrl eşitsizliğinin sol ve sğ trfı için yeni lemmlr ve teoremler elde edildi. Dh sonr ise yeni fonksiyonlr tnımlyrk Riemnn Liouville ve Hdmrd kesirli integrllere uygulnıp yeni sonuçlr elde edildi. Bunlr ek olrk GA-konveks fonksiyonlr için orty çıkrıln lemmlrı usi-geometrik-ritmetik konveks fonksiyonlr için uygulyıp eşitsizliğin sğ ve sol trfı için yeni teorem ve sonuçlr elde edildi. Son olrk bulunn bzı sonuçlr çeşitli ortlmlr ve hiper geometrik fonksiyonlr uygulndı. Bu bölümdeki elde edilen bulgulr uluslrrsı ln indeksli dergilerde mkle olrk yyınlnmıştır. Bkınız 35, 36, 45]. 4. Geometrik-Aritmetik Fonksiyonlr için Hermite-Hdmrd-Fejér Tipli Kesirli İntegrl Eşitsizlikleri Bu bölümde,b R, t,] için G := G,b) = b, L G t) = t G t ve U G t) = b t G t notsyonlrı kullnılcktır. Lemm 4.. f : I R R fonksiyonu I o d difernsiyellenebilir bir fonksiyon ve,,b I o, < b olsun. h :,b], ) difernsiyellenebilir fonksiyonu ve f L,b] için hb) h)] f) hb) fb) b fx)h x)dx = lnb ln h t G t) hb) ] f t G t) t G t dt 4 h b t G t) hb) ] f b t G t) b t G t dt 4..) eşitliği sğlnır. 37

49 İspt. Eşitliğin sğ trfındki integrlleri iki prç hlinde isptlycğız. İlk integrl kısmi integrsyon ve sonrsınd x = t G t, dx = t G t ln G) dt değişken değişimi ypılırs I = h t G t) hb) ] f t G t) t G t dt ln = ln ) G ln G { h t G t) hb) ] f t G t) ) f t G t) h t G t) t G t dt ) G I = hb) h)]f)hg) hb)]fg) G fx)h x)dx elde edilir. Son integrlde Diğer trftn ikinci integrle de kısmi integrsyon ve sonrsınd x = b t G t, dx = b t G t ln b G) dt değişken değişimi ypılırs I = h b t G t) hb) ] f b t G t) b t G t dt = ln ) b G b ln G { h b t G t) hb) ] f b t G t) ) f b t G t) h b t G t) b t G t dt ) b ln I = hb)fb) hg) hb)]fg) G b G fx)h x)dx eldeedilir. SonolrklnG/)I velnb/g)i trftrftoplnıpikiyebölündüğünde lnb ln I I ] = hb) h)] f) hb) fb) b 4 fx)h x)dx4..) olduğu görülür. Böylece ispt tmmlnır. Şimdi verdiğimiz özdeşliği temel ln teorem ve sonuçlrımızı verelim. 38

50 Teorem 4.. f : I R R fonksiyonu I o d bir difernsiyellenebilir fonksiyon ve h :,b], ) difernsiyellenebilir fonksiyon,,b I o, < b olsun. Eğer f,,b] rlığınd geometrik-ritmetik konveks fonksiyon ise hb) h)] f) hb) fb) b fx)h x)dx lnb ln 4 eşitsizliği sğlnır. Burd ktsyılr ζ,b) f ) ζ,b) f G) ζ 3,b) f b) ] 4..3) ζ,b) = ζ,b) = ζ 3,b) = t t G t h t G t) hb) dt 4..4) t) t G t h t G t) hb) dt t)b t G t h b t G t) hb) dt 4..5) tb t G t h b t G t) hb) dt 4..6) şeklindedir. İspt. Lemm 4.. deki 4..) eşitliğinin her iki trfının mutlk değeri lınırs hb) h)] f) hb) fb) b fx)h x)dx lnb ln h t G t) hb) f t G t) t G t dt 4 h b t G t) hb) f b t G t) b t G t dt 4..7) elde edilir. 4..7) eşitsizliğinde f fonksiyonunun geometrik-ritmetik fonksiyon olduğunu kullnırsk 39

51 hb) h)] f) lnb ln 4 hb) fb) b fx)h x)dx h t G t) hb) t f ) t) f G) ] t G t dt h b t G t) hb) t f b) t) f G) ]b t G t dt 4..8) eşitsizliğini buluruz. Son eşitsizlikte prntezi dğıttımızd 4..4)-4..6) ktsyılrını elde ederiz ve böylece ispt tmmlnmış olur. Sonuç 4.. g :,b], ) sürekli, pozitif fonksiyon; b e göre simetrik ve g = sup x,b] gx) olsun. Bu durumd Teorem 4.. in koşullrı ltınd x ln ) b α ) ] h :,b], ), x,b] ve α > için hx) = t ln t α gt) dt t şeklinde tnımlnırs ) f)fb) H J α gb) H J α b g)] HJ α fg)b) H J α b fg))] lnb ln)α α Γα) g C α) f ) C α) f G) C 3 α) f b) ]4..9) eşitsizliği gerçeklenir, burd ktsyılr C α) = C α) = C 3 α) = t) α t) α ]t t G t dt, t)t) α t) α ] t G t b t G t] dt, t) α t) α ]tb t G t dt şeklindedir. < α için 4..9) eşitsizliğinde Lemm 3.3. i kullnırsk ) f)fb) H J α gb) H Jb α g)] HJ α fg)b) H Jb α fg))] lnb ln)α Γα) g E α) f ) E α) f G) E 3 α) f b) ] 4..) 4

52 eşitsizliğini ve E α) = E α) = E 3 α) = t α t G t dt t)t α t G t t)t α b t G t] dt t α b t G t dt ktsyılrını elde ederiz. İspt. Teorem 4.. e göre, 4..8) eşitsizliğinde x, b] için hx) = x ln b ) α ln t ) ] α t gt) dt t lınırs ) f)fb) Γα) H J α gb) H Jb α g)] Γα) HJ α fg)b) H Jb α fg))] 4..) ve diğer trftn 4..8) eşitsizliğinin sğ trfınd d x, b] için hx) = x ln b ) α ln t ) ] α t gt) dt t lınırs lnb ln 4 t G t b ln b x ln b x ) α ) ] ln x α gx) dx x ) α ) ] ln x α gx) dx x t f ) t) f G) ] t G t dt b t G t b ln b x ln b x ) α ) ] ln x α gx) dx x ) α ) ] ln x α gx) dx x t f b) t) f G) ]b t G t dt 4..) 4

53 olduğu görülür. Son ifdede gx) fonksiyonunun b ye göre geometrik simetrik olduğunu kullnırsk her t,] için t G t ln b x b gx) x dx = t G t ln b x ve t G t b t G t ln b x gx) x dx = ) ] α ln x ) α gx) b x dx ) ] α ln x ) α gx) ) ] α ln x ) α gx) b x dx b t G t t G t ln b x ) ] α ln x ) α gx) ln b x x dx ln b x x dx ) ] α ln x ) α 4..3) ) ] α ln x ) α 4..4) olduğunu görürüz. Bu durumd 4..)-4..4) ifdelerini kullnırsk ) f)fb) H J α gb) HJb α g)] HJ α fg)b) HJ α b fg))] lnb ln b t G t ln ) b α ) ] x ln x α gx) dx x 4Γα) t G t t f ) t) f G) ] t G t dt b t G t ln ) b α ) ] x ln x α gx) dx x t G t 4..5) t f b) t) f G) ]b t G t dt lnb ln 4Γα) b t G t t G t g ln b x b t G t t G t ln b x ] ) α ) ] ln x α dx x t f ) t) f G) ] t G t dt ] ) α ) ] ln x α dx x t f b) t) f G) ]b t G t dt eşitsizliğini elde ederiz. Son eşitsizlikte içerideki integrli b t G t ln b ) ] α ln x ) α x x dx t G t )

54 = b t G t t G t ln b ) α x x dx b t G t t G t ln x ) α x dx =.lnb ln)α α.α şeklinde hesplr ve son eşitlikte Lemm 3.3. i kullnırsk b t G t ln b ) ] α ln x ) α x x dx = t G t b t G t t G t ln b ) α x x dx t) α t) α ] 4..7) b t G t t G t ln x ) α x dx.lnb ln)α t α 4..8) α yzılır. 4..6) ) ifdelerinin kombinsyonunu kullnırsk 4..9) ve 4..) eşitsizliğini elde ederiz. Böylece ispt tmmlnmış olur. Sonuç 4.. i. Eğer Sonuç 4.. deki 4..) eşitsizliğinde, α = lınırs, ] b f)fb) gx) b x dx fx) gx) x dx lnb ln) g 4 E ) f ) E ) f G) E 3 ) f b) ] 4..9) eşitsizliği elde edilir, burd,b > için, E ) = E ) = t t G t dt, t t) t G t dt t t)b t G t dt E 3 ) = t t G t dt dır. ii. Eğer Sonuç 4.. deki 4..9) eşitsizliğinde, gx) = lınırs ) f)fb) Γα) lnb ln) HJ α α f b) HJb α f )] lnb ln) α C α) f ) C α) f G) C 3 α) f b) ]4..) 43

55 eşitsizliği elde edilir. iii. Eğer Sonuç 4.. deki 4..) eşitsizliğinde, gx) = ve α = lınırs ) f)fb) b fx) lnb ln) x dx lnb ln) E ) f ) E ) f G) E 3 ) f b) ]4..) 4 eşitsizliği elde edilir. Teorem 4.. f : I R R, I o d difernsiyellenebilir bir fonksiyon,,b I o, < b, ve g :,b], ) sürekli, pozitif bir fonksiyon ve x = b ye göre geometrik simetrik olsun. Eğer f,,b] rlığınd geometrik-ritmetik konveks bir fonksiyon ise hb) h)] f) hb) fb) b fx)h x)dx lnb ln 4 ) h t G t ) hb) dt h t G t ) hb) ) t t G t) f ) t) t G t) f G) ) dt ) hb t G t ) hb) dt hb t G t ) hb) ) tb t G t) f b) t)b t G t) f G) ) dt 4..) olur. İspt. 4..7) eşitsizliğinde f fonksiyonunun geometrik ritmetik konveks fonksiyon olduğunu ve Sonuç 3.3. i kullnırsk ispt tmmlnır. 44