GENELLEŞTİRİLMİŞ CAPUTO KESİRLİ TÜREVİ VE UYGULAMALARI

Transkript

1 T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ GENELLEŞTİRİLMİŞ CAPUTO KESİRLİ TÜREVİ VE UYGULAMALARI Yusuf SÖKMEN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIRŞEHİR AĞUSTOS - 212

2 T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ GENELLEŞTİRİLMİŞ CAPUTO KESİRLİ TÜREVİ VE UYGULAMALARI Yusuf SÖKMEN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI DANIŞMAN: YRD. DOÇ. DR. İ. ONUR KIYMAZ KIRŞEHİR AĞUSTOS - 212

3 Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürlüğü ne Bu çlışm jürimi trfındn MATEMATİK Anbilim Dlınd YÜKSEK LİSANS TEZİ olrk kbul edilmiştir. Bşkn: Prof. Dr. Mhir KADAKAL Akdemik Ünvnı, Adı-Soydı Üye: Yrd. Doç. Dr. İ. Onur KIYMAZ Akdemik Ünvnı, Adı-Soydı Üye: Yrd. Doç. Dr. Ysemin KIYMAZ Akdemik Ünvnı, Adı-Soydı Ony Yukrıdki imlrın, dı geçen öğretim üyelerine it olduğunu onylrım..../.../2.. Doç. Dr. Mhmut YILMAZ Enstitü Müdürü

4 ÖZET Örsln ve Öergin 21 yılınd yyınldıklrı bir mklelerinde [1], orijinl Riemnn-Liouville kesirli türev opertörüne ekstr bir prmetre ekleyerek opertörü genişletmişlerdir. Bi bu te çlışmsınd, ynı fikirden etkilenerek, Cputo kesirli türev opertörünün bir genelleştirilmesini tnımlycğı. Ayrıc bu opertörün bı öelliklerini verecek ve elementer fonksiyonlrın bir sınıfının genelleştirilmiş türevlerini elde edeceği. Anhtr Kelimeler: Kesirli türev opertörü, Hipergeometrik fonksiyonlr, Cputo kesirli türevi, Mellin Dönüşümü. i

5 ABSTRACT In 21, Örsln nd Öergin give n extension of Riemnn-Liouville frctionl derivtive opertor with including n extr prmeter to the originl opertor [1]. In this thesis, inspired by the sme ide, we introduce n extension of Cputo frctionl derivtive opertor. The extended Cputo frctionl derivtives of some elementry functions nd some properties of the extended frctionl derivtive opertor re lso presented. Keywords: Frctionl derivtive opertor, Hypergeometric functions, Cputo frctionl derivtive, Mellin trnsform. ii

6 TEŞEKKÜR Yüksek Lisns eğitimim süresince değerli ve derin bilgileriyle bn yol gösteren, çlışmmın her şmsınd ykın ilgi ve yrdımlrını esirgemeyerek destek oln dnışmn hocm Syın Yrd. Doç. Dr. İ. Onur KIYMAZ, titi çlışm prensibiyle bn örnek oln büyük yrdımlrını gördüğüm, bilgi ve deneyimlerinden yrrlndığım Syın Yrd. Doç. Dr. Ayşegül ÇETİNKAYA y, eğitim-öğretim hytım boyunc mddi ve mnevi desteklerini benden hiçbir mn esirgemeyen sevgili ileme sonsu teşekkürlerimi sunrım. Yusuf SÖKMEN iii

7 İÇİNDEKİLER DİZİNİ ÖZET i ABSTRACT ii TEŞEKKÜR iii İÇİNDEKİLER DİZİNİ iv SİMGELER VE KISALTMALAR vi 1 GİRİŞ TEMEL KAVRAMLAR GAMA FONKSİYONU BETA FONKSİYONU GENELLEŞTİRİLMİŞ FONKSİYONLAR HİPERGEOMETRİK FONKSİYONLAR KESİRLİ TÜREV ve İNTEGRALLER R-L KESİRLİ TÜREV VE İNTEGRALİ ORTAK GÖSTERİM GENELLEŞTİRİLMİŞ R-L KESİRLİ TÜREVİ CAPUTO KESİRLİ TÜREVİ iv

8 4 GENELLEŞTİRİLMİŞ CAPUTO KESİRLİ TÜREVİ TÜREVİN BAZI UYGULAMALARI MELLİN DÖNÜŞÜMÜ KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ v

9 SİMGELER VE KISALTMALAR Γ(x) Γ p (x) : Gm fonksiyonu : Genelleştirilmiş Gm fonksiyonu B(x, y) : Bet fonksiyonu B p (x, y) : Genelleştirilmiş Bet fonksiyonu 2F 1 F p (α) n I α D α D α D α,p D α D α,p M Re(x) : (Guss) Hipergeometrik fonksiyon : Genelleştirilmiş hipergeometrik fonksiyon : Pochhmmer sembolü : Riemnn-Liouville kesirli integrli : Riemnn-Liouville kesirli integrli : Riemnn-Liouville kesirli türevi : Genelleştirilmiş Riemnn-Liouville kesirli türevi : Cputo kesirli türevi : Genelleştirilmiş Cputo kesirli türevi : Mellin dönüşümü : x kompleks değişkeninin reel kısmı vi

10 1 GİRİŞ Kesirli mertebeden türev ve integrl, Leibni ve Newton trfındn yrıntılı olrk incelenen klsik türev ve integrl kvrmlrının genelleştirilmesidir. Kesirli mertebeden türev ile ifde edilmek istenen slınd herhngi bir mertebeden türevdir. Kesirli mertebeden türev ve integrl kvrmlrı tmsyı mertebeden türev ve integrl kvrmlrı kdr eski olup, kesirli türev ifdesi birçok kynkt d belirtildiği gibi ilk def 1695 yılınd Leibni in L Hospitl ydığı mektupt geçmektedir [2]. Leibni in mektubund L Hospitl yönelttiği Tmsyı bsmktn türevler kesirli bsmktn türevlere genişletilebilir mi? sorusu kesirli diferensiyel kvrmının ilk orty çıkışı olrk gösterilebilir. Leibni in ynı sır Liouville, Riemnn, Weyl, Lgrnge, Lplce, Fourier, Euler ve Abel gibi birçok mtemtikçi de ynı konu üerine çlışmışlrdır [3]. Kesirli türev için litertürde çeşitli tnımlr verilmiştir. Bunlrdn bılrı Riemnn-Liouville (R-L), Cputo, Grünwld-Letnikov, Wely, Ries kesirli türevleridir [4-7]. Anck, kesirli mertebeden türev nsıl tnımlnırs tnımlnsın türev, mertebesi tmsyıy eşit olck şekilde seçildiğinde orty çıkn ifde tm syı mertebeden türev ifdesi ile ynı olmktdır. Ypıln bı çlışmlrd belirli şrtlr ltınd bu tnımlrın eşdeğer olduğu gösterilmiştir [4-7]. Birbirleri rsınd geçişler olmsın rğmen, tnımlrı ve tnımlrının fiiksel yorumlrı frklılık gösterir [4-7]. Kesirli nlide birden fl türev tnımının olmsı, problemin türüne göre en uygun olnının kullnıl- 1

11 msını ve böylece problemin en iyi çöümünün elde edilmesini sğlr. Cputo kesirli türev tnımı, Riemnn-Liouville tnımının Lplce dönüşümü uygulmlrınd orty çıkn bşlngıç değerlerinin hesplnmsı vey deneysel yoll ölçülmesi problemini ortdn kldırmk için 196 lı yıllrd İtlyn mtemtikçi M. Cputo trfındn önerilmiştir. Cputo yklşımının temel vntjı, Cputo türevli kesirli difernsiyel denklemler için tnımlnn bşlngıç koşullrı ile tmsyı mertebeli difernsiyel denklemler için tnımlnn bşlngıç koşullrının ynı olmsıdır. Bu yüden litertürde yer ln son çlışmlrd, kesirli diferensiyel denklemlerin nlitik ve nümerik çöümlerinde Riemnn-Liouville kesirli türev opertörü yerine Cputo kesirli türev opertörü dh çok tercih edilmektedir. Son yıllrd kesirli di ve kısmi diferensiyel denklemler ile kesirli integrl denklemlerinin çöümlerinin elde edilmesine yönelik çlışmlr rtmıştır. Kesirli diferensiyel denklemlerin bir çoğunun nlitik çöümü bulunmdığındn yklşık y d syısl çöümlerinin bulunmsı için çeşitli yöntemler geliştirilmiştir. Bu yöntemlerin kesirli diferensiyel denklemlere uygulmlrınd, kesirli integrl ve türev opertörleri etkili bir şekilde kullnılmktdır [8-12]. Litertürde, Riemnn-Liouville kesirli türevi ile kstedilen sol türevdir. Keyfi bir [, b] rlığınd tnımlnn ve fiiksel sistem sürecini ifde eden f(t) fonksiyonunu ele llım. Sol ve sğ kesirli türevler için kullnıln gösterimler sırsıyl D α t, t D α b olmk üere, sğ türev f fonksiyonunun gelecekteki durumunu ifde eder. Anck, f sürecinin şimdiki durumu gelecekteki durumun bğlı değildir. Bu 2

12 yüden fiiksel bir problemin tnımlnmsınd sğ türev genellikle ihml edilir [4]. Bu çlışmd kesirli türev tnımı olrk sol türev ve D α t gösterimi kullnılcktır. Bu çlışmd genel olrk Riemnn-Liouville kesirli türev ve integrl tnımlrı ile Cputo kesirli türev tnımı ele lınmış ve genelleştirilmiş Riemnn-Liouville kesirli türevinden yol çıkılrk genelleştirilmiş Cputo kesirli türev tnımı verilmiştir. Te dört n bölümden oluşmktdır. Birinci bölüm giriş kısmın yrılmıştır. İkinci bölümde, önbilgiler ve diğer bölümlerde kullnılck bı tnım, lemm ve teoremler verilmiştir. Üçüncü bölümde Riemnn-Liouville kesirli türev ve integrl tnımlrının elde edilmesi, bunlrın ortk gösterimi, genelleştirilmiş Riemnn-Liouville kesirli türevi ve Cputo kesirli türev tnımı ele lınmıştır. Dördüncü bölümde ise genelleştirilmiş Cputo kesirli türevi tnımlnıp, bı hipergeometrik fonksiyonlr hem klsik hem de genelleştirilmiş Cputo türevi uygulnrk elde edilen sonuçlr kıyslnmıştır. 3

13 2 TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde, te çlışmsının ilerleyen bölümlerinde kullnılck bı temel bilgiler verilecektir. 2.1 GAMA FONKSİYONU Gm fonksiyonunu ifde etmek için F (u) e ut dt 1 (2.1) u integrli ile tnımlnn fonksiyonu ele llım. Bu integrl c > olmk üere her c u d sonlu rlığınd 1 u [13]. değerine dügün ykınsktır (2.1) eşitliğinden u değişkenine göre türevler lrk F (u) F (u) F (u) devm edilirse n. mertebeden türev için ( 1) n F (n) (u) te ut dt 1 u 2 t 2 e ut dt 2! u 3 t 3 e ut dt 3! u 4 t n e ut dt n! u n+1 eşitliği elde edilir. Bu son eşitlikte u 1 lınırs; t n e t dt n! 4

14 olur. Burd n değerleri poitif tmsyılr olrk lınmıştır. Hlbuki n değerinin herhngi bir reel syı olmsı hlinde de bu genelleştirilmiş integrl tnımlıdır. x > oln herhngi bir reel syı olmk üere; Γ(x) t x 1 e t dt (2.2) genelleştirilmiş integrli yrdımıyl tnımlnn fonksiyon Gm fonksiyonu denir [13]. Gm fonksiyonun tnımındn Γ(x + 1) x! t x e t dt yılbilir. Burdn görülüyor ki, 1 değerinden büyük oln tüm reel syılrın fktöriyel değerlerini sonlu bir reel syı olrk tnımlmk mümkündür. Bundn dolyı Gm fonksiyonun genelleştirilmiş fktöriyel fonksiyonu d denir. x olduğu mn fktöriyel fonksiyonunun değeri! e t dt 1 olur. Bu sonuç! değerinin neden 1 olrk tnımlnmsı gerektiğini çıklr. Mtemtikte n fktöriyel, n! n(n 1)(n 2) , çrpımı ile verilir. Bu öellik, n! n(n 1)! eşitliğini içerdiğinden, eğer x n bir tmsyı ise Γ(n + 1) n! n(n 1)! nγ(n) 5

15 yılbilir. Eğer x bir tmsyı değilse Γ(x + 1) olcğındn Γ fonksiyonu, t x e t dt lim b b lim ( t x e t ) b b + x xγ(x) eşitliğini tüm x > değerleri için sğlr [14]. t x e t dt t x 1 e t dt Γ(x + 1) xγ(x) (2.3) (2.3) öelliği yrdımıyl Gm fonksiyonu için, rgümentin herhngi iki tmsyı rsındki değerlerine krşılık gelen sonuçlrın bilinmesi hlinde diğer rlıklrdki fonksiyon değerleri de kolyc hesplnbilir. Dh önce poitif x değerleri için tnımlnn Gm fonksiyonu negtif x değerleri içinde tnımlnbilir. Yni Γ(x) tüm reel syılr genişletilebilir. 1 x 2 için Γ(x) Γ(x + 1) x (2.4) öelliği kullnılrk Gm fonksiyonunun bilinen değerlerinden yrrlnıp her x R için Γ(x) değerleri elde edilebilir. Negtif x değerleri için; 1 < x < ise (2.4) eşitliğinde < x + 1 < 1 olcğındn ve (x + 1) (, 1) rlığındki Γ(x + 1) değerleri bilindiğinden, Γ(x) değerleri x ( 1, ) için bulunbilir. 6

16 Bener şekilde, 2 < x < 1 ise < x + 2 < 1 olup, Γ(x) değerleri yrdımıyl bulunbilir. Γ(x) Γ(x + 2) x(x + 1) Genellenerek, n < x < n + 1 ise < x + n < 1 olduğundn Γ(x) Γ(x + n) x(x + 1)(x + 2)... (x + n 1) eşitliği ile Γ(x) değerleri hesplnbilir. Burdn Gm fonksiyonunun sıfır ve negtif tmsyılr için sınırsı yni değerinin sonsu olduğu görülür. 2.2 BETA FONKSİYONU B(x, y) ile gösterilen Bet fonksiyonu, B(x, y) 1 t x 1 (1 t) y 1 dt, Re(x) >, Re(y) > (2.5) genelleştirilmiş integrli yrdımıyl tnımlnn iki değişkenli bir fonksiyon olup B(x, y) 2 B(x, y) π/2 B(x, y) Γ(x)Γ(y) Γ(x + y) (sinθ) 2x 1 (cosθ) 2y 1 dθ (2.6) u x 1 du (2.7) (1 + u) x+y (2.8) biçimlerinde de ifde edilebilir. Bet fonksiyonunun yukrıd verilen dört tnımı eş nlmlıdır [13]. Şöyle ki: (2.5) tnımınd t sin 2 θ lınırs dt 2 sin θ cos θdθ olup 7

17 1 B(x, y) 2 π 2 (2.6) tnımı elde edilir. t x 1 (1 t) y 1 dt (sin 2 θ) x 1 (1 sin 2 θ) y 1 sin 2θdθ π/2 (2.5) tnımınd t u 1+u lınırs, B(x, y) (2.7) tnımı bulunur. 1 (sinθ) 2x 1 (cosθ) 2y 1 dθ t x 1 (1 t) y 1 dt u ( 1 + u )x 1 (1 u du 1 + u )y 1 (1 + u) 2 u x 1 du (1 + u) x+y Bet fonksiyonunun Gm fonksiyonu cinsinden ifdesini veren (2.8) tnımınd, Gm fonksiyonunun tnımlndığı (2.2) integrlinde t s 2 dönüşümü ypılırs Γ(x) bulunur ve ynı şekilde yılbilir. Burdn, Γ(x)Γ(y) 4 t x 1 e t dt 2 Γ(y) 2 t 2y 1 e t2 dt s 2x 1 e s2 ds s 2x 1 t 2y 1 e (s2 +t 2) dtds 8

18 olup, s r cos θ, t r sin θ kutupsl koordintlr geçilirse, Γ(x)Γ(y) 4 [ 2 π 2 π 2 r 2(x+y) 2 (cos θ) 2x 1 (sin θ) 2y 1 e r2 rdrdθ ] [ ] (cos θ) 2x 1 (sin θ) 2y 1 dθ 2 r 2(x+y) 1 e r2 dr B(x, y)γ(x + y) (2.8) tnımı bulunur. Ayrıc Bet fonksiyonunun Gm fonksiyonu ile ilişkisini veren (2.8) eşitliğinden B(x, y) B(y, x) olduğu görülmektedir. Bu eşitlik Bet fonksiyonunun simetri öelliği olrk dlndırılır. elde edilir. Bet fonksiyonunun (2.7) tnımınd x + y 1 lınırs B(x, 1 x) u x u du Bu integrlin değeri reidü yrdımıyl hesplndığınd < x < 1 için B(x, 1 x) π sin πx olur. Bu öellikten yrrlnrk x 1 2 için, ( 1 B 2, 1 ) [ ( )] 2 1 Γ 2 2 π sin π π 2 olur ve böylece Γ( 1 2 ) değeri olrk hesplnır. Γ ( ) 1 π 2 9

19 2.3 GENELLEŞTİRİLMİŞ GAMA VE BETA FONKSİYONLARI Öel fonksiyonlrın tnım kümesi genişletilerek elde edilen fonksiyonlrdn, bu öel fonksiyonlrın önemli öelliklerini sğlmsı beklenir. Elbette orijinl öel fonksiyon ve öellikleri, genelleştirmenin bir öel durumu olrk tekrr düenlenmelidir. Euler fktöriyel fonksiyonunu, doğl syılrdn kompleks dülemin sğ yrısı üerinde Γ(α) t α 1 e t dt, Re(α) > (2.9) şeklinde tnımlı Gm fonksiyonun genellemiştir. Legendre (2.9) integrlini prçlyıp sırsıyl üst ve lt sınırlrını x lrk Gm fonksiyonunu γ(α, x) Γ(α, x) x x t α 1 e t dt t α 1 e t dt şeklinde γ(α, x), Γ(α, x) prçlyrk tm olmyn Gm fonksiyonlrını tnımlmıştır [14,15]. Chudhry ve Zubir, (2.9) integrline düenleyici bir e p t ekleyerek genelleştirilmiş Gm fonksiyonunu Γ p (α) çrpnı t α 1 e t p t dt, Re(p) > (2.1) şeklinde tnımlmış ve Gm fonksiyonunun tnım kümesini tüm kompleks düleme genişletmişlerdir [17]. Bu çrpn, Re(p) > için 1

20 t limitinden gelen tekilliği kldırır ve p için genelleştirilmiş fonksiyonu orijinl Gm fonksiyonun indirger. Bu Γ p genelleştirilmiş Gm fonksiyonunun Mcdonld fonksiyonu K α (2 p) ile Γ p (α) şeklinde bir ilişkisi vrdır [16]. t α 1 e t p t dt 2p α 2 Kα (2 p) Re(p) > (2.11) Ayrıc genelleştirilmiş Gm fonksiyonu şğıdki indirgeme bğıntısı ve ynsım formülünü sğlr: Γ p (α + 1) αγ p (α) + pγ p (α 1), Γ p ( α) p α Γ p (α). Burd dikkt edilmelidir ki genelleştirilmiş Mcdonld ve Gm fonksiyonlrı rsındki (2.11) ilişkisi orijinl Gm fonksiyonund görülme. Litertür trndığınd genelleştirilmiş Gm fonksiyonunun çeşitli mühendislik ve fiiksel problemlerde oldukç etkili olduğu görülmüştür [17-2]. Ayrıc düenleyici e p t çrpnının Riemnn ın Zet fonksiyonunun tnım kümesinin genişletilmesinde de oldukç kullnışlı olduğu sptnmıştır [2]. Gm ve Zet fonsiyonlrı için bu düenleyici e p t çrpnının geçerliliği dikkte lınrk, bşt Euler in Bet fonksiyonu olmk üere diğer öel fonksiyonlrın tnım kümelerinde de bener şekilde genişletme ypmnın fydlı olbileceği düşünülmüştür. 11

21 Euler in Bet fonksiyonu B(x, y) 1 t x 1 (1 t) y 1 dt, Re(x) >, Re(y) > şeklinde integrl gösterimine shiptir ve Gm fonksiyonu ile rsınd kplı bir ilişki vrdır [14,15]. B(x, y) B(y, x) Γ(x)Γ(y) Γ(x + y) Bet fonksiyonu için de ynı şekilde genelleme düşünülürse, Gm fonksiyonu için kullnıln e p t düenleyicisinin Bet fonksiyonu için çok önemli oln simetri öelliğini bocğı görülür. Bu simetrinin korunmsı için t ve 1 t integrndı simetrik olmlıdır. Bu yüden genelleştirilmiş Bet fonksiyonu, Bet fonksiyon e p t(1 t) çrpnı eklenmesiyle B p (x, y) 1 şeklinde tnımlnmıştır [16]. t x 1 (1 t) y 1 e p t(1 t) dt, Re(x) >, Re(y) > (2.12) Genelleştirilmiş Bet fonksiyonu, Bet fonksiyonunun birçok öelliğini tşır. Ht ve Whittker fonksiyonlrı ile oln ilişkilerini gerçekler. Açıkç görülebilir ki genelleştirilmiş Bet fonksiyonu p durumund orijinl Bet fonksiyonun dönüşür [16]. 2.4 HİPERGEOMETRİK FONKSİYONLAR α, β ve γ reel y d kompleks sbitler olmk üere 1 + αβ γ x 1! α(α + 1)β(β + 1) x 2 + γ(γ + 1) 2! +... (2.13) 12

22 olrk ifde edilen seri mtemtikte büyük bir öneme shiptir. Bu seri 1 + x + x geometrik serisinin bir genelleştirmesi olduğundn hipergeometrik seri dını lır. (2.13) ifdesinden görülmektedir ki, γ değeri sıfır y d negtif bir tmsyı olmmlıdır. (2.13) hipergeometrik serisi x < 1 için ykınsk, x > 1 için ise ırksktır. x 1 için eğer γ > α + β ise seri mutlk ykınsk olur. Ayrıc x 1 iken γ > α + β 1 ise seri ykınsktır [13,14]. α reel y d kompleks bir syı, n sıfır y d poitif bir tmsyı olmk üere (α) n ifdesi n (α) n α(α + 1)(α + 2)... (α + n 1) (2.14) (α) 1, α olrk tnımlnır. Bu ifde Pochhmmer sembolü olrk bilinir ve şğıdki öelliklere shiptir [13]: (α) n Γ(α + n) Γ(α) (α) n+1 α(α + 1) n x n (2.15) Pochhmmer sembolünün (2.14) gösterimi dikkte lınrk, (2.13) hipergeometrik serisi 2F 1 (α, β, γ; x) n (α) n (β) n (γ) n x n n! (2.16) şeklinde yılbilir. (2.16) eşitliğinde görülen F fonksiyonunun her iki ynındki 2 ve 1 lt indisleri ypısınd biri α ve β diğeri γ olmk 13

23 üere iki tip prmetre bulunduğunu ifde eder. genelleştirilmiş ifdesi pf q (α 1, α 2,..., α p, γ 1, γ 2,..., γ q ; x) n (2.16) eşitliğinin (α 1 ) n (α 2 ) n... (α p ) n x n (γ 1 ) n (γ 2 ) n... (γ q ) n n! şeklindedir. Hipergeometrik fonksiyonu ifde eden 2 F 1 gösterimi yerine genellikle sdece F kullnılır. Yni, 2F 1 (α, β, γ; x) F (α, β, γ; x) olup, bu fonksiyon Guss hipergeometrik fonksiyonu olrk tnımlnır. (2.15) eşitliğinden hipergeometrik fonksiyonun α ve β değişkenlerine göre simetrik olduğu görülür. Hipergeometrik fonksiyonun birinci mertebeden türevi d dx F (α, β, γ; x) olup, bener şekilde m. türevi n1 n (α) n (β) n (γ) n (α) n+1 (β) n+1 (γ) n+1 n x n 1 (n 1)! x n n! α(α + 1) n β(β + 1) n x n γ(γ + 1) n n n! αβ (α + 1) n (β + 1) n x n γ (γ + 1) n n! αβ F (α + 1, β + 1, γ + 1; x) γ d m dx mf (α, β, γ; x) (α) m(β) m (γ) m F (α + m, β + m, γ + m; x) (2.17) şeklinde bulunur [13,14]. 14

24 ile ilgilidir. Aşğıdki teorem integrl ve toplm sembollerinin yer değiştirmesi Teorem 2.1 f n [,b] üerinde sınırlı, reel değerli ve integrllenebilir fonksiyonlrın bir serisi olsun. f n serisi dügün ykınsk ise ( b ) ( b ) f n (x) dx f n (x)dx olur [24]. n1 Lemm 2.2 F (α, β, γ; x) fonksiyonu F (α, β, γ; x) 1 B(β, γ β) 1 n1 şeklinde bir integrl gösterimine shiptir [13,14]. t β 1 (1 t) γ β 1 (1 xt) α dt (2.18) İspt. Bet fonksiyonunun B(x, y) 1 t x 1 (1 t) y 1 dt tnımındn ve Pochhmmer sembolünün öelliklerinden (β) n (γ) n B(β + n, γ β) B(β, γ β) 1 1 B(β, γ β) (t) β+n 1 (1 t) γ β 1 dt (2.19) yılbilir. Burdn (2.19) ifdesi (2.16) ifdesinde yerine yılırs 1 (α) 1 n F (α, β, γ; x) x n (t) β+n 1 (1 t) γ β 1 dt B(β, γ β) n! n olur. Seri dügün ykınsk olduğundn toplm ile integrsyon işleminin sırsı değiştirilirse F (α, β, γ; x) 1 B(β, γ β) 1 (t) β 1 (1 t) γ β 1 n (α) n (xt) n dt n! 15

25 elde edilir. Diğer trftn (1 xt) α ifdesinin binom çılımındn dolyı n (α) n (xt) n (1 xt) α n! olduğu dikkte lınırs istenilen sonuç 1 1 F (α, β, γ; x) t β 1 (1 t) γ β 1 (1 xt) α dt B(β, γ β) şeklinde elde edilir. Hipergeometrik fonksiyonun bir integrl gösterimini veren bu formül x < 1 ve < β < γ için geçerlidir. Tnım 2.3 Re(p) >, Re(γ) > Re(β) > ve < 1 olmk üere (α) n B p (β + n, γ β) F p (α, β; γ; ) n n! B(β, γ β) n şeklinde tnımlnn fonksiyon Genelleştirilmiş hipergeometrik fonksiyon denir [21]. Tnım 2.4 Hipergeometrik serilerin prmetre syısı rtırılrk elde edilen F 1 (α 1, β 1, β 2 ; γ 1 ; x, y) F 2 (α 1, β 1, β 2 ; γ 1, γ 2 ; x, y) F 3 (α 1, α 2, β 1, β 2 ; γ 1 ; x, y) F 4 (α 1, β 1 ; γ 1, γ 2 ; x, y) m n m n m n m n (α 1 ) m+n (β 1 ) m (β 2 ) n x m y n (γ 1 ) m+n m! n! (α 1 ) m+n (β 1 ) m (β 2 ) n x m y n (γ 1 ) m (γ 2 ) n m! n! (α 1 ) m (α 2 ) n (β 1 ) m (β 2 ) n x m y n (γ 1 ) m+n m! n! (α 1 ) m+n (β 1 ) m+n x m y n (γ 1 ) m (γ 2 ) n m! n! iki değişkenli hipergeometrik serilere Appell hipergeometrik fonksiyonu denir [22]. Burd F 1, F 2, F 3 ve F 4 sırsıyl birici, ikinci, üçüncü ve dördüncü çeşit Appell hipergeometrik fonksiyonlrdır. 16

26 3 KESİRLİ TÜREV ve İNTEGRALLER Keyfi mertebeden diferensiyel ve integrl kvrmlrı, tmsyı mertebeli türev ve integrlin tm olmyn (keyfi) mertebelere genişletilmiş şeklidir. Bu kvrmlr 17. yüyıldn itibren Liouville, Leibni, Euler, Abel, Cputo ve diğer birçok mtemtikçi trfındn çlışılmıştır. Son yıllrd mtemtik, fiik, biyoloji ve mühendislik lnlrınd oldukç geniş uygulm lnı bulmuştur [25-28]. Litertürde kesirli türevin birçok tnımı mevcuttur. Birden fl tnımının olmsı, problemin türüne göre en uygun olnının kullnılmsı ve böylece problemin en iyi çöümünün elde edilmesini sğlr. Bu tnımlrın bılrı Grünwld-Letnikov, Wely, Ries, Riemnn- Liouville (R-L) ve Cputo kesirli türevleridir [4-7]. Bu bölümde ilk olrk Riemnn-Liouville kesirli türev ve integrl tnımı, kesirli türev ve integrlin ortk gösterimi, genelleştirilmiş Riemnn-Liouville kesirli türevini ele lcğı. Dh sonr klsik Cputo kesirli türev tnımı inceleyerek, Riemnn-Liouville kesirli türevi rsındki frklr değineceği. 3.1 RIEMANN-LIOUVILLE KESİRLİ TÜREV VE İNTEGRALİ Kesirli integrl tnımının ve bun bğlı olrk d kesirli türev tnımının orty çıkısın neden oln frklı yklşımlr mevcuttur. Bunlrın bşlıclrı diferensiyel denklem yklşımı, kompleks değişken 17

27 yklşımı ve tekrrlı integrl yklşımıdır. Bu bölümde, tekrrlı integrl yklşımının kesirli integrl tnımını nsıl orty çıkrdığı ele lınck ve dh sonr Abel integrli yrdımıyl Riemnn-Liouville kesirli türevi elde edilecektir. Önce Abel integrl denkleminin tnımını verelim. Tnım 3.1 < α < 1 olmk üere, f(x) 1 Γ(α) x φ(s)(x t) α 1 dt, x > şeklinde tnımlnn integrl denklemine Abel integrl denklemi denir [23]. Kesirli integrlin çıkışın yrdımcı oln n ktlı x σ1 σ2 σn 1 f(σ n )dσ n dσ n 1... dσ 2 dσ 1 (3.1) integrlini ele llım. (3.1) integrlinde integrsyon sırsını ve bun bğlı olrk sınırlrı < σ 1 < x < σ 2 < σ 1. < σ n 1 < σ n 2 < σ n < σ n 1 σ 2 < σ 1 < x σ 3 < σ 2 < x. σ n < σ n 1 < x < σ n < x şeklinde değiştirilirse (3.1) n ktlı integrli x σ1 σn 1 x x x x f(σ n )dσ n... dσ 1 f(σ n )dσ 1... dσ n σ n σ ( 2 x x ( x ) ) f(σ n )... dσ 1 dσ 2... dσ n 1 dσ n (3.2) σ n σ 2 σ 3 18

28 şeklinde yılbilir. (3.2) ifdesinin sğ trfı terim terim x σ 2 dσ 1 (x σ 2 ) x (x σ 2 )dσ 2 (x σ 3) 2 σ 3 2! hesplnırs x σ1 σn 1. x (x σ n 1 )dσ n 1 (x σ n) n 1 σ n (n 1)! f(σ n )dσ n... dσ 1 1 x f(σ n )(x σ n ) n 1 dσ n (n 1)! eşitliği elde edilir. Burd Γ(n) (n 1)! eşitliği kullnılırs x σ1 σn 1 f(σ n )dσ n... dσ 1 1 Γ(n) x f(σ n )(x σ n ) n 1 dσ n yılbilir. Bu eşitliğin sğ trfındki n poitif bir tmsyıdır. Gm fonksiyonu tmsyılr dışınd d ifde edilebildiğinden, n değerinin tmsyı olmmsı durumund eşitliğinin sğ trfı için şğıdki tnım verilebilir. Tnım 3.2 α ve f, [, b] R olmk üere I α f() 1 Γ(α) I f() f() f(t)( t) α 1 dt (3.3) integrllerine α. mertebeden Riemnn-Liouville kesirli integrli denir [4,29]. 19

29 Teorem 3.3 Re(α) > ve Re(λ) > 1 olmk üere f() λ fonksiyonunun α. mertebeden Riemnn-Liouville kesirli integrli şeklindedir. I α λ } Γ(λ + 1) Γ(λ + α + 1) λ+α (3.4) İspt. istenilen eşitlik I α (3.3) Riemnn-Liouville kesirli integrl tnımı kullnılrk } λ 1 Γ(α) 1 Γ(α) şeklinde elde edilir. 1 1 λ+α ( t) α 1 t λ dt t u, dt du} α 1 (1 u) α 1 u λ λ du (1 u) α 1 u λ du Γ(α) B(α, λ + 1) λ+α Γ(α) Γ(λ + 1) Γ(λ + α + 1) λ+α Örnek 3.4 f() fonksiyonunun 1 2. mertebeden integrlini llım. (3.4) eşitliğinde λ 1 ve α 1 2 lınırs Aşğıdki tnım kesirli türev kvrmının tnımı için gerekli olcktır. I 1 2 } Γ(1 + 1) Γ( 5 2 ) π 3 2 2

30 Tnım 3.5 Ω 1 [, b], Ω 2 [c, d], f(x, y), Ω 1 Ω 2 kümesinde ölçülebilir fonksiyon ve < b, c < d olsun. O mn b d b d dx f(x, y)dy dy f(x, y)dx c c eşitliğine Dirichlet formülü denir [23]. Kesirli türev için < α < 1 olmk üere, f(t) 1 Γ(α) t φ(s)(t s) α 1 ds, t > (3.5) Abel integrl denklemini gö önüne llım. (3.5) ifdesinin her iki ynı (x t) α ile çrpılrk değerinden x değişkenine kdr integrli lınırs; x dt t (x t) α φ(s) x (t s) 1 αds Γ(α) f(t) (x t) αdt (3.6) elde edilir. Burd Dirichlet formülü kullnılrk sınır değişimi ypılırs x φ(s)ds x s dt Γ(α) (x t) α (t s) 1 α x f(t) (x t) αdt (3.7) olduğu görülür. (3.7) ifdesindeki iç integrlde t s + τ(x s) değişken değiştirmesi ypılırs bu integrl x s dt (x t) α (t s) 1 α 1 τ α 1 (1 τ) α dτ B(α, 1 α) Γ(α)Γ(1 α) Γ(α + 1 α) (3.8) olrk hesplnır. Elde edilen (3.8) eşitliği (3.6) denkleminde kullnılırs 21

31 x Γ(α)Γ(1 α) x x φ(s)ds Γ(α) φ(s)ds 1 Γ(1 α) x f(t) (x t) αdt f(t) (x t) αdt (3.9) bulunur. (3.9) eşitliğinin x değişkenine göre türevini lmk için Leibni formülü kullnılırs φ(x) 1 d Γ(1 α) dx x f(t) (x t) αdt (3.1) elde edilir. Elde edilen (3.1) ifdesine α. mertebeden kesirli türev y d Riemnn-Liouville kesirli türevi denir. edilir. Bu türev formülü dh genel olrk şğıdki şekilde de ifde Tnım 3.6 f fonksiyonu her sonlu (, x) rlığınd sürekli ve integrllenebilir olsun. m Z +, m 1 α < m olmk üere x > için reel bir f fonksiyonunun α. mertebeden Riemnn-Liouville kesirli türevi D α xf(x) şeklindedir [4,29]. 1 d m Γ(m α) dx m x f(t)(x t) m α 1 dt (3.11) 3.2 KESİRLİ TÜREV ve İNTEGRALİN ORTAK GÖSTERİMİ Bu bölümde yrı gösterime ship türev ve integrl opertörleri ynı gösterim ltınd birleştirilecektir. Bu birleştirme işleminin 22

32 sebebi, 3.1. Bölümde ifde edilen kesirli mertebeden türev ve integrl tnımlrını tek bir opertör ile gösterilmesinin yımd ve hesplmd kolylık sğlmsıdır. Bu birleştirme işlemi tmsyılr için ypılcktır. Öncelikle ileride kullncğımı şğıdki teoremi verelim. Teorem 3.7 Eğer f : [, b] R sürekli bir fonksiyon ise b n ( lim f + k b ) b f(x)dx n n n olur [24]. k1 Şimdi y f(t) şeklindeki sürekli bir fonksiyonu ele llım. Türev tnımın göre f(t) fonksiyonunun birinci bsmktn türevi f (t) df dt lim f(t) f(t h) h h şeklindedir. Bu ifdenin rdışık olrk türevleri lınır (3.12) f (t) d2 f dt lim f (t) f (t h) 2 h h } 1 f(t) f(t h) f(t h) f(t 2h) lim h h h h f(t) 2f(t h) + f(t 2h) lim (3.13) h h 2 ve (3.12), (3.13) eşitlikleri kullnılırs f (t) d3 f dt lim f (t) f (t h) 3 h h 1 f(t) 2f(t h) + f(t 2h) lim h h h 2 } f(t h) 2f(t 2h) + f(t 3h) h 2 lim h f(t) 3f(t h) + 3f(t 2h) f(t 3h) h 3 (3.14) 23

33 elde edilir. Tümevrıml n poitif tmsyı olmk üere n. mertebeden türev f (n) (t) dn f dt lim 1 n h h n n ( ) n ( 1) r f(t rh) (3.15) r r şeklinde olduğu gösterilebilir. Burd, ( ) n n(n 1)(n 2)... (n r + 1) (3.16) r r! ifdesi binom sbitleri için genel gösterimdir. p herhngi bir tmsyıyı olmk üere (3.12)-(3.15) eşitliklerindeki kesirlerin genel ifdesini f (p) h (t) 1 n ( ) p ( 1) r f(t rh) (3.17) h p r r şeklinde ylım. (3.16) ifdesinde ( p p) teriminden sonrki bütün terimler sıfır olcğındn p n için lim f (p) h (t) f (p) (t) dp f(t) h dt p olur. Şimdi p değişkeninin negtif değerlerini ele llım. Ym kolylığı için [ ] p r p(p 1)(p 2)... (p r + 1) r! gösterimi kullnılırs ( ) [ ] p p( p 1)... ( p r + 1) p ( 1) r r r! r (3.18) şeklinde yılbilir. (3.17) eşitliğinde p yerine p lrk (3.18) eşitliği bu ifdede yerine konulurs; [ ] f ( p) h (t) 1 n p h r( 1) r ( 1) r f(t rh) p r [ ] n p h p f(t rh) r r 24

34 elde edilir. Burd p poitif bir tm syıdır. Eğer n sonlu bir değer lınırs, f ( p) h (t), h için sıfır değerine ykınsr. Sıfırdn frklı bir limit değerine ulşmk için h iken n kbul etmemi gerekir. Böylece, herhngi bir reel sbit olmk üere h t ( p) n lınbilir ve f h (t) değerinin sonlu y d sonsu oln limit değeri düşünülebilir. Bunu lim h nht ile göstereceği. p 1 için f ( p) h f ( 1) h (t) h (t) D ( p) f(t) t [ ] n 1 f(t rh) r r olur. t nh olduğu gö önüne lınıp, f(t) fonksiyonunun sürekli olduğu kbul edilirse, Teorem 3.7 kullnılrk lim h nht f ( 1) h (t) D ( 1) f(t) lim t h h r t t n f(t rh) f(t )d (t τ) f(τ)dτ (3.19) elde edilir. Şimdi p 2 llım. Bu durumd [ ] (2 + r 1) r + 1 r r! olup f ( 2) h (t) h n (r + 1)hf(t rh) r 25

35 elde ederi. t + h y lınırs, f(t rh) f(y (r + 1)h) olur} ve h için f ( 2) h lim h nht n+1 (t) h rhf(y rh) f ( 2) h r1 (t) D ( 2) f(t) t t t elde edilir, çünkü h iken y t olur. f(t )d (t τ)f(τ)dτ (3.2) p 3 durumu D ( p) t için genel ifdeyi gösterecektir. [ ] (3 + r 1) 1 (r + 1)(r + 2) r r! 1.2 olduğundn f ( 3) h (t) h 1.2 n (r + 1)(r + 2)h 2 f(t rh) r bulunur. Aynı şekilde t + h y lınırs, bulunur. Bu f ( 3) h (t) h 1.2 f ( 3) h (t) h 1.2 n+1 r1 n+1 (r)(r + 1)h 2 f(y rh) r1 (rh) 2 f(y rh) + h2 1.2 n+1 (rh)f(y rh) r1 şeklinde yılbilir. Böylece, h için y t ve lim h h n+1 r1 (rh)f(y rh) lim h h t (t τ)f(τ)dτ 26

36 olduğundn lim h nht f ( 3) h (t) D ( 3) f(t) 1 2! 1 2! t t t 2 f(t )d (t τ) 2 f(τ)dτ (3.21) elde edilir. (3.19)-(3.21) eşitliklerindeki ilişkiden genel gösterim [ ] n p D ( p) t f(t) lim h p f(t rh) h nht r r 1 t (t τ) p 1 f(τ)dτ (3.22) (p 1)! şeklinde elde edilir. Şimdi (3.22) eşitliğinin p-ktlı bir integrl ifdesi olduğunu gösterelim. (3.22) ifdesinin her iki trfının türevini lınırs d dt } D ( p) t f(t) 1 (p 2)! t (t τ) p 2 f(τ)dτ D ( p+1) t f(t) (3.23) bulunur ve (3.23) ifdesinin değerinden t değişkenine integrlinin lınmsıyl t D ( p) t f(t) D ( p+1) t f(t) t elde edilir. (3.24) ve (3.25) ifdeleri birleştirilirse ( ( ) D ( p+1) t f(t) dt (3.24) ) D ( p+2) t f(t) dt (3.25) 27

37 t D ( p) t f(t) t t t dt dt t t ( dt ) dt D ( p+2) t f(t) t ( D ( p+3) t t t dt dt... f(t)dt } } p def ) f(t) dt bulunur. Böylece türev opertörü ile integrl opertörü tek bir gösterim ltınd birleştirilmiş olur ve en genel hlde D (p) t f(t) lim h p h nht n ( ) p ( 1) r f(t rh) (3.26) r r biçiminde gösterilebilir. Burd m poitif bir tmsyı olmk üere p m olduğund m. mertebeden türev elde edilir. p m olduğund ise m ktlı integrl elde edilir. p değerinin tmsyı olmmsı durumund d türev ve integrl opertörüne ilişkin ortk gösterimin geçerli olduğu [3] yyınınd gösterilmiştir. Yni (3.3) ile ifde edilen Riemnn-Liouville kesirli integrli α > ve f [, b] R olmk üere I α f() D α f() 1 Γ(α) f(t)( t) α 1 dt (3.27) ve Riemnn Liouville kesirli türevi de m 1 α < m olmk üere D α f() şeklinde ifde edilebilir. d m 1 Γ(m α) d m f(t)( t) m α 1 dt (3.28) 28

38 3.3 GENELLEŞTİRİLMİŞ RIEMANN-LIOUVILLE KESİRLİ TÜREVİ Kesirli türev ve integrlin (3.27) ve (3.28) eşitliklerindeki ortk gösteriminden yrrlnılrk Re(α) < olmk üere α. mertebeden klsik Riemnn-Liouville kesirli türevi D α f() 1 Γ( α) ( t) α 1 f(t)dt (3.29) şeklinde tnımlnmıştır [1]. Burd integrl yolu, kompleks t-düleminde değerinden değişkenine bir çigi boyuncdır. m 1 < Re(α) < m (m 1, 2, 3,...) durumund ise D α f() dm d mdα m dm d m f() 1 Γ( α + m) } ( t) α+m 1 f(t)dt olrk tnımlnır. Re(α) <, Re(p) > olmk üere (3.29) eşitliğine yeni bir prmetre eklenerek Riemnn-Liouville kesirli türevinin genelleştirilmişi D α,p f() 1 Γ( α) ve m 1 < Re(α) < m (m 1, 2, 3,...) için D α,p f() dm d mdα m dm d m f() 1 Γ( α + m) ( ) p 2 ( t) α 1 t( t) f(t)e dt (3.3) ( ) p 2 } ( t) α+m 1 t( t) f(t)e dt şeklinde tnımlnmıştır [1]. Burd integrl yolu, kompleks t-düleminde değerinden değişkenine bir çigi boyuncdır. p durumund klsik Riemnn-Liouville kesirli türev opertörü elde edilir. 29

39 Teorem 3.8 Re(λ) > 1, Re(µ) < ve Re(p) > olmk üere eşitliği sğlnır. D µ,p λ } B p(λ + 1, µ) Γ( µ) λ µ İspt. (3.3) genelleştirilmiş Riemnn-Liouville kesirli türev ve genelleştirilmiş Bet fonksiyonu tnımlrı kullnılırs, D µ,p λ } 1 Γ( µ) 1 Γ( µ) λ µ Γ( µ) 1 1 t λ ( t) µ 1 e B p(λ + 1, µ) λ µ Γ( µ) istenilen eşitlik elde edilir. ( p 2 t( t) ) dt (u) λ µ 1 (1 u) µ 1 e (u) λ (1 u) µ 1 e ( p u(1 u)) du ( p 2 u( u) ) du 3.4 CAPUTO KESİRLİ TÜREVİ Riemnn-Liouville (3.11) kesirli türev tnımı, kesirli türev ve integrl teorisinin gelişmesinde ve bunlrın mtemtikteki uygulmlrınd önemli bir rol oynr. Uygulm problemleri, bşlngıç koşullrı fiiksel olrk yorumlnbilir kesirli türev tnımlrı gerektirir. Bu çıdn bkıldığınd, Riemnn-Liouville yklşımının problemlerin yorumlnmsınd yetersi kldığı orty konmuştur [3]. Çünkü Riemnn- Liouville yklşımı t noktsınd, Riemnn- Liouville kesirli türevinin limit 3

40 değerleri biçiminde tnımlnn bşlngıç koşullrın shiptir. Örneğin; b 1, b 2,..., b m keyfi sbitler olmk üere lim t D α 1 t f() b 1 lim t D α 2 t f() b 2 lim t D α m t f() b m biçiminde tnımlnn bşlngıç koşullrı meydn gelir. Bu tipteki bşlngıç koşullrın ship bşlngıç-değer problemleri mtemtiksel olrk bşrılı bir şekilde çöülmesine rğmen, bunlrın sonuçlrı kullnışlı değildir. Çünkü bu tipteki bşlngıç koşullrının bilinen fiiksel yorumu yoktur. Kesirli diferensiyel tekniğinde bşlngıç koşullrını fiiksel yorumlr en uygun şekilde veren M. Cputo olmuştur. tnımı; m poitif tmsyı olmk üere m 1 < α < m için D α f() şeklindedir [29,3]. 1 Γ(m α) Cputo nun ( t) m α 1 f (m) dt (3.31) f() fonksiyonunun norml koşullr ltınd, α m için Cputo türevi, f() fonksiyonunun m. bsmktn klsik türevine eşittir. Vrsylım ki, m 1 < α < m ve f() fonksiyonu her T > için [, T ] rlığınd (m + 1) ke sürekli ve sınırlı türeve ship olsun. O hlde 31

41 ( f lim α m D α (m) ()(t ) m α f() lim α m Γ(m α + 1) f (m) () + f (m+1) (t)dt f (m), (m 1, 2,...) + ( t) m α f (m+1) ) (t) dt Γ(m α + 1) elde edilir. Riemnn-Liouville ve Cputo tnımlrı rsındki önemli bir frk d sbitin türevidir. Sbit bir syının Cputo türevi sıfırdır. Anck sonlu bir lt sınır değeri için Riemnn-Liouville kesirli türevi sıfır değildir. Bir problemin fiiksel olrk yorumunun ypılbilmesi için sbitin kesirli türevinin sıfır eşit olmsı gerekir. Eğer (3.31) eşitliğinde α µ ve f() λ lınırs D µ } λ 1 m µ 1 dm ( t) }dt Γ(m µ) dt mtλ 1 ( t) m µ 1 λ(λ 1)... (λ m + 1)t λ m dt Γ(m µ) 1 Γ(λ + 1) 1 Γ(m µ) Γ(λ m + 1) λ µ (1 u) m µ 1 u λ m du Γ(λ + 1)B(m µ, λ m + 1) λ µ Γ(m µ)γ(λ m + 1) Γ(λ + 1) Γ(λ µ + 1) λ µ (3.32) elde edilir. Burd m poitif tmsyı, m 1 < µ < m ve Re(λ) > 1 olur. Örnek 3.9 f() fonksiyonunun m 1 olmk üere 1 2. mertebe- 32

42 den Cputo türevini llım. (3.31) eşitliğinden D } Γ(1 1 2 ) ( t) d dt t}dt 1 Γ( 1 2 ) ( t) 1 2 dt t u, dt du} 1 2 Γ( 1 2 ) 1 B(1 2, 1) Γ( 1 2 ) 1 2 (1 u) 1 2 du 2 π 1 2 (3.33) elde edilir. Şimdi elde edilen fonksiyonun tekrr 1 2. mertebeden Cputo türevini lırsk } D π π 1 Γ(1 1 2 ) 2 1 π Γ( 1 2 ) 1 πγ( 1 2 ) 1 ( t) d dt t 1 2 }dt ( t) t 1 2 dt (1 u) 1 2 u 1 2 du B(1 2, 1 2 ) πγ( 1 2 ) 1 (3.34) elde ederi. Burdn d görüldüğü gibi f() fonksiyonunun iki def 1 2. mertebeden Cputo kesirli türevi, bu fonksiyonun birinci mertebeden klsik türevini verir. 33

43 4 GENELLEŞTİRİLMİŞ CAPUTO KESİRLİ TÜREVİ m poitif bir tmsyı ve m 1 < Re(µ) < m olmk üere f(x) fonksiyonunun µ. mertebeden klsik Cputo kesirli türevi D µ f() 1 Γ(m µ) ( t) m µ 1 dm dtmf(t)dt (4.1) şeklinde tnımlnmıştır [29,3]. (4.1) klsik Cputo türev tnımın yeni bir prmetre ekleyerek Genelleştirilmiş Cputo kesirli türevi Re(p) > için D µ,p f() 1 Γ(m µ) ( ) ( t) m µ 1 p 2 t( t) d m f(t) e dt (4.2) dtm şeklinde tnımlnbilir. Burd m 1 < Re(µ) < m (m 1, 2, 3,...) ve integrl yolu kompleks t-düleminde değerinden değişkenine bir çigi boyuncdır. Burd p durumund klsik Cputo kesirli türev opertörünü elde ederi. Teorem 4.1 m poitif bir tmsyı, m 1 < Re(µ) < m, Re(p) > ve Re(λ) > m 1 olmk üere D µ,p eşitliği sğlnır. λ } Γ(λ + 1)B p(m µ, λ m + 1) Γ(λ µ + 1)B(m µ, λ m + 1) λ µ (4.3) İspt. f() λ fonksiyonun (4.2) genelleştirilmiş Cputo kesirli türev tnımı uygulnırs D µ,p λ } 1 Γ(m µ) ( ) ( t) m µ 1 p 2 t( t) d m t λ e dt dt m 34

44 1 Γ(λ + 1) Γ(m µ) Γ(λ m + 1) λ µ Γ(λ + 1) Γ(m µ) Γ(λ m + 1) 1 ( ) ( t) m µ 1 t λ m p 2 t( t) e dt (1 u) m µ 1 u λ m e ( p u(1 u)) du Γ(λ + 1)B p(m µ, λ m + 1) λ µ Γ(m µ)γ(λ m + 1) Γ(λ + 1)B p(m µ, λ m + 1) Γ(λ µ + 1)B(m µ, λ m + 1) λ µ (4.4) istenilen eşitlik elde edilir. (4.4) eşitliğinde p lınırs genelleştirilmiş Bet fonksiyonunun B (x, y) B(x, y) öelliğinden dolyı (3.32) eşitliğinin ynısı elde edilir. D µ, λ } Γ(λ + 1) Γ(λ µ + 1) λ µ Örnek 4.2 f() fonksiyonunun m 1 olmk üere 1 2. mertebeden genelleştirilmiş Cputo türevini llım. (4.3) eşitliğinde m 1, µ 1 2 ve λ 1 lırsk D 1 2,p } Γ(2)B p( 1 2, 1) Γ( 3 2 )B(1 2, 1) π B p ( 1 2, 1) B( 1 2, 1) 1 2 (4.5) elde ederi. p durumund B (x, y) B(x, y) olduğundn D 1 2 } 2 π 1 2 bulunur. Bu sonuç klsik Cputo türevi ile elde edilen (3.33) eşitliğinin ynısıdır. 35

45 (4.5) eşitliğinin de 1 2. mertebeden genelleştirilmiş Cputo türevini llım. (4.3) eşitliğini tekrr kullnırsk D 1 2,p 2 B p ( 1 π 2, 1) } B( 1 2, 1) B p ( 1 2, 1) π B( 1 2, 1) D 1 elde ederi. 2,p } B p ( 1 2, 1) Γ( 3 2 )B p( 1 2, 1 2 ) π B( 1 2, 1) Γ(1)B( 1 2, 1 2 ) B p( 1 2, 1)B p( 1 2, 1 2 ) B( 1 2, 1)B(1 2, 1 2 ) p durumund klsik Cputo türevi ile elde edilen (3.34) eşitliğinin ynısını elde ederi. 4.1 KLASİK ve GENELLEŞTİRİLMİŞ CAPUTO TÜREVİNİN BAZI FONKSİYONLARA UYGULANMASI Bu bölümde bı hipergeometrik fonksiyonlr klsik ve genelleştirilmiş Cputo türevleri yrı yrı uygulnmıştır. Genelleştirilmiş Cputo türeviyle elde edilen sonuçlrın p öel durumund, klsik Cputo türevi ile elde edilen sonuçlrın ynısını verdiği gösterilmiştir. Teorem 4.3 Eğer f() fonksiyonu < ρ diskinde nlitik ise f() n n, < ρ n şeklinde bir kuvvet serisine çılbilir. O hlde Re(p) >, m poitif 36

46 tmsyı, m 1 < Re(µ) < m olmk üere D µ,p λ 1 f() } n n D µ,p Γ(λ)λ µ 1 Γ(λ µ) λ+n 1 } n (λ) n B p (m µ, λ + n m) n n (λ µ) n B(m µ, λ + n m) yılbilir. Burd Re(λ) > Re(µ) > ve Re(λ) > m n dir. İspt. D µ,p } λ 1 f() D µ,p λ 1 n n n n D µ,p λ+n 1 } n n n } n Γ(λ + n)b p (m µ, λ + n m) Γ(λ + n µ)b(m µ, λ + n m) λ+n µ 1 n Γ(λ)(λ) n B p (m µ, λ + n m) Γ(λ µ)(λ µ) n B(m µ, λ + n m) λ+n µ 1 Γ(λ) Γ(λ µ) λ µ 1 n elde edilir. Böylece ispt tmmlnmış olur. n (λ) n B p (m µ, λ + n m) (λ µ) n B(m µ, λ + n m) n Teorem 4.4 Re(α) >, Re(λ) > Re(µ) >, m bir poitif tmsyı ve m 1 < Re(λ µ) < m olmk üere D λ µ eşitliği sğlnır. λ 1 (1 ) α} Γ(λ) Γ(µ) µ 1 F (α, λ; µ; ) (4.6) 37

47 İspt. (4.6) eşitliğinin sol trfındki (1 ) α ifdesinin seri çılımı kullnılır ve (4.1) klsik Cputo kesirli türev opertörü uygulnırs } D λ µ λ 1 (1 ) α} D λ µ λ 1 n (α) n n! istenilen eşitlik elde edilir. n n n (α) n D λ µ n! (α) n n! Γ(λ) Γ(µ) µ 1 n λ+n 1 } Γ(λ + n) Γ(µ + n) µ+n 1 (α) n (λ) n n n! (µ) n Γ(λ) Γ(µ) µ 1 F (α, λ; µ; ) Teorem 4.5 Re(p) >, m poitif tmsyı, m 1 < Re(λ µ) < m ve Re(α) > olmk üere D λ µ,p } λ 1 (1 ) α Γ(λ) Γ(µ) µ 1 biçiminde elde edilir. n D λ µ,p λ 1 n } n (α) n n! (λ) n B p (λ m + n, m λ + µ) (µ) n B(λ m + n, m λ + µ) (α) n [Re(λ) > Re(µ) >, Re(λ) > m n] (4.7) n n! İspt. (4.7) eşitliğinin sol trfındki (1 ) α ifdesinin seri çılımı kullnılır ve (4.2) genelleştirilmiş Cputo kesirli türev opertörü uygulnırs 38

48 D λ µ,p λ 1 (1 ) α } D λ µ,p elde edilir. n n (α) n D λ µ,p n! (α) n n! Γ(λ) Γ(µ) µ 1 λ 1 n λ+n 1 } } n (α) n n! Γ(λ + n) B p (λ m + n, m λ + µ) Γ(µ + n) B(λ m + n, m λ + µ) µ+n 1 (λ) n B p (λ m + n, m λ + µ) (α) n n (µ) n B(λ m + n, m λ + µ) n! n [Re(λ) > Re(µ) >, Re(λ) > m n] (4.7) eşitliğinde p lınırs, genelleştirilmiş Bet fonksiyonunun B (x, y) B(x, y) öelliği kullnılrk gerekli sdeleştirmeler ypıldıktn sonr klsik Cputo türevi ile elde edilen (4.6) eşitliğinin ynısı bulunur. Teorem 4.6 Re(α) >, Re(β) >, Re(λ) > Re(µ) >, m poitif bir tmsyı ve m 1 < Re(λ µ) < m olmk üere D λ µ λ 1 (1 ) α (1 b) β} Γ(λ)µ 1 F 1 (λ, α, β; µ;, b) (4.8) Γ(µ) eşitliği yılbilir. Burd F 1 birinci çeşit Appell hipergeometrik fonksiyondur. İspt. (4.8) eşitliğinin sol trfındki (1 ) α ve (1 b) β ifdelerinin seri çılımı kullnılır ve (4.1) klsik Cputo kesirli türev opertörü uygulnırs 39

49 D λ µ λ 1 (1 ) α (1 b) β} D λ µ n,k n,k n (α) n n! (α) n n! µ 1 n,k Γ(λ) Γ(µ) µ 1 k (α) n n! (β) k n b k D λ µ k! } (β) k n b k λ+n+k 1 k! λ+n+k 1 } (β) k n k Γ(λ + n + k) b k! Γ(n + k + µ) n+k+µ 1 (α) n n! n,k (β) k n b k Γ(λ)(λ) n+k n+k k! Γ(µ)(µ) n+k (λ) n+k () n (b) k (α) n (β) k (µ) n+k n! k! Γ(λ) Γ(µ) µ 1 F 1 (λ, α, β; µ;, b) elde edilir. Burd Re(α) >, Re(µ) > dır. Teorem 4.7 Re(p) >, m poitif tmsyı, m 1<Re(λ µ)<m, Re(α) > ve Re(β) > olmk üere D λ µ,p λ 1 (1 ) α (1 b) β} Γ(λ) Γ(µ) µ 1 (4.9) (λ) n+k B p (λ m + n + k, m λ + µ) (λ m) n+k B(λ m, m λ + µ) n,k () n (b) k (α) n (β) k n! k! eşitliği sğlnır. Burd Re(λ) > Re(µ) > ve Re(λ) > m olur. İspt. (4.9) eşitliğinin sol trfındki (1 ) α ve (1 b) β ifdelerinin seri çılımı kullnılır ve (4.2) genelleştirilmiş Cputo ke- 4

50 sirli türev opertörü uygulnırs D λ µ,p λ 1 (1 ) α (1 b) β } } D λ µ,p (α) n (β) k n b k λ+n+k 1 n! k! n k n,k n,k (α) n n! Γ(λ) Γ(µ) µ 1 (β) k n b k D λ µ,p k! λ+n+k 1 } A (α) n n! (β) k k! A n b k Γ(λ + n + k)b p(λ m + n + k, m λ + µ) µ+n+k 1 Γ(λ m + n + k)γ(m λ + µ) n,k (λ) n+k A() n (b) k B p (λ m + n + k, m λ + µ) (λ m) n+k B(λ m, m λ + µ) bulunur. Elde edilen son eşitlikte p lınıp, (λ m) n+k Γ(λ m + n + k) Γ(λ m) eşitliği kullnılır ve B (x, y) B(x, y) olduğundn Bet fonksiyonu Gm fonksiyonu cinsinden yılrk gerekli sdeleştirmeler ypılırs D λ µ, λ 1 (1 ) α (1 b) β } Γ(λ) (λ) n+k () n (b) k Γ(µ) µ 1 (α) n (β) k (µ) n+k n! k! n,k Γ(λ) Γ(µ) µ 1 F 1 (λ, α, β; µ;, b) (4.1) elde edilir. Böylece klsik Cputo türevi ile elde edilen (4.8) eşitliği elde edilmiş olur. Teorem 4.8 m poitif bir tmsyı, m 1 < Re(µ) < m olmk üere F (, b; c; ) hipergeometrik fonksiyonunun µ. mertebeden klsik 41

51 Cputo kesirli türevi C () m(b) m (c) m olmk üere D µ F (, b; c; )} C m µ şeklindedir. n ( + m) n (b + m) n n (c + m) n Γ(n + m µ + 1) (4.11) İspt. F (, b; c; ) hipergeometrik fonksiyonun (4.1) klsik Cputo türev opertörü uygulnırs D µ F (, b; c; )} D µ elde edilir. n n n m n () n (b) n (c) n } n n! () n (b) n (c) n n! Dµ n } () n (b) n (c) n n! C m µ Γ(n + 1) Γ(n µ + 1) n µ () n+m (b) n+m Γ(n + m + 1) (c) n+m (n + m)! Γ(n + m µ + 1) n+m µ n ( + m) n (b + m) n (c + m) n n Γ(n + m µ + 1) Burd m µ lınırs F (, b; c; ) hipergeometrik fonksiyonunun (2.17) eşitliği ile verilen klsik türevi elde edilir. Teorem 4.9 Re(p) >, m poitif bir tmsyı, m 1 < Re(µ) < m olmk üere F (, b; c; ) hipergeometrik fonksiyonunun µ. mertebeden genelleştirilmiş Cputo kesirli türevi 42

52 D µ,p } F (, b; c; ) n şeklindedir. () m(b) m m µ (c) m ( + m) n (b + m) n (c + m) n B p (m µ, n + 1) n Γ(n + m µ + 1)B(m µ, n + 1) İspt. F (, b; c; ) hipergeometrik fonksiyonun genelleştirilmiş Cputo türev opertörü uygulnırs D µ,p F (, b; c; )} D µ,p n n n m () n (b) n (c) n n! Dµ n } () n (b) n (c) n n! C m µ n () n (b) n (c) n } n n! Γ(n + 1)B p (m µ, n m + 1) Γ(n µ + 1)B(m µ, n m + 1) n µ () n+m (b) n+m Γ(n + m + 1)B p (m µ, n + 1) (c) n+m (n + m)! Γ(n + m µ + 1)B(m µ, n + 1) n+m µ n ( + m) n (b + m) n (c + m) n B p (m µ, n + 1) n Γ(n + m µ + 1)B(m µ, n + 1) bulunur. Burd p lınırs (4.11) eşitliğindeki F (, b; c; ) hipergeometrik fonksiyonunun klsik Cputo türevi ve p, m µ lınırs (2.17) eşitliği ile verilen klsik türevi elde edilir. Teorem 4.1 m bir poitif tmsyı, m 1 < Re(λ µ) < m, Re(λ) > Re(µ) >, Re(α) >, Re(γ) > Re(β) ve x + < 1 olmk üere 43

53 olur. } D λ µ λ 1 (1 ) α x F p (α, β; γ; 1 ) Γ(λ) Γ(µ) µ 1 n,k (λ) k B p (β + n, γ β) x n k (α) n+k (µ) k B(β, γ β) n! k! (4.12) İspt. (4.12) eşitliğinde F p genelleştirilmiş hipergeometrik fonksiyonunun ve (1 ) α ifdesinin seri çılımı kullnılıp, gerekli düenlemeler ypılrk klsik Cputo kesirli türev opertörü uygulnırs D λ µ } λ 1 (1 ) α x F p (α, β; γ; 1 ) D λ µ λ 1 (1 ) α (α) n B p (β + n, γ β) n! B(β, γ β) D λ µ n n,k k Γ(λ) Γ(µ) µ 1 λ 1 n n (α) n B p (β + n, γ β) B(β, γ β) B p (β + n, γ β) x n B(β, γ β) n! x n (1 ) α n n! ( x ) } n 1 } (α) n (α + n) k D } λ µ λ+k 1 k! B p (β + n, γ β) x n (α) n+k Γ(λ + k) B(β, γ β) n! k! Γ(µ + k) µ+k 1 n,k (λ) k B p (β + n, γ β) x n k (α) n+k (µ) k B(β, γ β) n! k! (Re(λ) > Re(µ) >, Re(γ) > Re(β), x + < 1) elde edilir. p durumund Bet fonksiyonunun Gm fonksiyonu cinsinden ifdesi ve Pochhmmer sembolünün (2.15) öelliği kullnılrk 44

54 gerekli işlemler ypıldığınd λ 1 (1 ) α F (α, β; γ; D λ µ eşitliği bulunur. Γ(λ) Γ(µ) µ 1 hipergeometrik fonksiyondur. n,k } x 1 ) (λ) k (β) n x n k (α) n+k (µ) k (γ) n n! k! Γ(λ) Γ(µ) µ 1 F 2 (α, λ, β; µ, γ; x, ) (4.13) Burdki F 2 (α, λ, β; µ, γ; x, ) ikinci çeşit Appell Teorem 4.11 Re(p) >, m poitif tmsyı, m 1 < Re(λ µ) < m, Re(α) >, Re(γ) > Re(β) ve x + < 1 olmk üere } D λ µ,p λ 1 (1 ) α x F p (α, β; γ; 1 ) Γ(λ) Γ(µ) µ 1 (4.14) n,k (λ) k B p (β + n, γ β) (µ) k B(β, γ β) B p (λ m + k, m λ + µ) B(λ m + k, m λ + µ) (α) x n k n+k n! k! eşitliği sğlnır. Burd Re(λ) > Re(µ) > ve Re(λ) > m k olur. İspt. (4.14) eşitliğinde F p genelleştirilmiş hipergeometrik fonksiyonunun ve (1 ) α ifdesinin seri çılımı yerine yılıp gerekli düenlemeler ypılrk genelleştirilmiş Cputo kesirli türev opertörü uygulnırs D λ µ,p D λ µ,p D λ µ,p λ 1 (1 ) α F p (α, β; γ; λ 1 (1 ) α (α) n n! λ 1 n n } x 1 ) (α) n B p (β + n, γ β) B(β, γ β) B p (β + n, γ β) B(β, γ β) x n (1 ) α n n! } x ( 1 )n } 45

55 B p (β + n, γ β) x n B(β, γ β) n! n k [ Bp (β + n, γ β) x n (α) n+k B(β, γ β) n! k! n,k Γ(λ + k)b ] p(λ m + k, m λ + µ) Γ(m + k)b(λ m + k, m λ + µ) µ+k 1 Γ(λ) [ (λ)k B p (β + n, γ β) Γ(µ) µ 1 (µ) k B(β, γ β) n,k B p(λ m + k, m λ + µ) B(λ m + k, m λ + µ) (α) x n n+k n! elde edilir. (α) n (α + n) k D } λ µ,p λ+k 1 k! k ] k! p durumund gerekli işlemler ypıldığınd D λ µ, λ 1 (1 ) α F (α, β; γ; x 1 )} Γ(λ)µ 1 F 2 (α, λ, β; µ, γ; x, ) Γ(µ) şeklinde (4.13) eşitliğinin ynısı elde edilmiş olur. Burd F 2 ikinci çeşit Appell hipergeometrik fonksiyondur. Teorem 4.12 Re(p) >, m poitif bir tmsyı ve m 1<Re(µ)<m olmk üere f() e fonksiyonunun genelleştirilmiş Cputo kesirli türevi ifdesine eşittir. D µ,p e } m µ Γ(m µ) n n n! B p(m µ, n + 1) İspt. f() e fonksiyonun genelleştirilmiş Cputo kesirli türev opertörü uygulnırs D µ,p e } 1 Γ(m µ) ( ) ( t) m µ 1 p 2 t( t) d m e t e dt dt m 46

56 elde edilir. 1 Γ(m µ) m µ Γ(m µ) m µ Γ(m µ) p için, n n D µ, e } ( t) m µ 1 n n! 1 n t n ( ) n! e p 2 t( t) dt (1 u) m µ 1 u n e ( p n n! B p(m µ, n + 1) n klsik Cputo türevi elde edilir. f() e fonksiyonunun klsik türevi elde edilmiş olur. u(1 u)) du n Γ(n + 1) n! Γ(m + n µ + 1) m µ f() p ve m µ durumund ise n n n! 4.2 MELLİN DÖNÜŞÜMÜ Bu bölümde genelleştirilmiş Cputo türevlerini elde ettiğimi iki fonksiyon sınıfının Mellin dönüşümlerini hesplycğı. Öncelikle Mellin dönüşümünün tnımını verelim. Tnım 4.13 (, ) rlığınd tnımlı reel değerli bir f(x) fonksiyonu verilsin. M [f(x) : s] F (s) x s 1 f(x)dx (4.15) 47

57 ifdesine f(x) in Mellin dönüşümü denir ve M [f(x) : s] ile gösterilir [29]. Örnek 4.14 n > olmk üere f(x) e nx fonksiyonunun Mellin dönüşümünü bullım. (4.15) eşitliğinden M [f(x) : s] M [ e nx : s ] yılbilir. Burdn nx t lınırs (x t n, x s 1 e nx dx dt dx n ) elde edilir. M [ e nx : s ] ( ) s 1 t e t n n dt 1 t s 1 e t dt n s Γ(s) n s Teorem 4.15 (4.3) eşitliğinin Mellin dönüşümü m poitif tmsyı, m 1 < Re(α) < m, ve Re(λ) > m 1 olmk üere M [ D α,p λ } : s ] Γ(λ + 1)Γ(s)B(m α + s, λ m + s + 1)λ α Γ(λ m + 1)Γ(m α) şeklindedir. Burd Re(p) > ve Re(s) > olur. İspt. (4.15) Mellin dönüşümü tnımı kullnılrk [ M D } ] α,p λ : s p s 1 D } α,p λ dp 1 Γ(m α) p s 1 ( t) m α 1 e ( p 2 t( t) ) d m t λ dt m dtdp 48

58 Γ(λ + 1) Γ(λ m + 1)Γ(m α) Γ(λ + 1) λ α Γ(λ m + 1)Γ(m α) elde edilir. Burd ve 1 p s 1 ( ) ( t) m α 1 t λ m p 2 t( t) e dtdp 1 p s 1 (1 u) m α 1 u λ m e ( p (1 u) m α 1 u λ m e ( p p s 1 e ( u(1 u)) p dp u(1 u)) du u(1 u)) dudp integrlleri dügün ykınsk olduğundn integrsyon sırsı yer değiştirilerek M [ D α,p } λ : s ] Γ(λ + 1) λ α Γ(λ m + 1)Γ(m α) 1 (1 u) m α 1 u λ m bulunbilir. Bu integrlde r M [ D α,p 1 λ } : s ] p u(1 u) Γ(λ + 1) λ α Γ(λ m + 1)Γ(m α) p s 1 e ( u(1 u)) p dpdu değişken değiştirmesi ypılırs (1 u) m α 1 u λ m u s (1 u) s r s 1 e r drdu Γ(λ + 1) λ α Γ(λ m + 1)Γ(m α) 1 (1 u) m α+s 1 u λ m+s r s 1 e r drdu Γ(λ + 1) λ α B(m α + s, λ m + s + 1)Γ(s) Γ(λ m + 1)Γ(m α) Γ(λ + 1)Γ(s) B(m α + s, λ m + s + 1)λ α Γ(λ m + 1)Γ(m α) elde edilir. 49

59 Teorem 4.16 m poitif bir tmsyı, m 1 < Re(α) < m, Re(s) >, Re(p) > ve < 1 olmk üere M [ D α,p eşitliği sğlnır. } (1 ) :s ] Γ(s) m α Γ(m α) n B(m α + s, n + s + 1) (α) n n Γ(n + 1) İspt. (1 ) ifdesinin seri çılımı kullnılır ve Teoremde λ n lınırs [ M } ] [ (1 ) : s M D α,p ifdesi elde edilir. n D α,p () n n! M [Dα,p n } : s] Γ(s) α Γ(m α) Γ(s) m α Γ(m α) n n n () n n! n } : s B(m α + s, n m + s + 1) (α) n n Γ(n m + 1) B(m α + s, n + s + 1) (α) n n Γ(n + 1) ] 5

60 KAYNAKLAR [1] Örsln, M. A.; Öergin, E. Some generting reltions for extended hypergeometric functions vi generlied frctionl derivtive opertor, J. Comput. Appl. Mth. 21, 52, [2] Dlir M.; Bshour M. Applictions of Frctionl Clculus, Applied Mthemticl Sciences, 21, 21, [3] Loverro A. Frctionl Clculus. History, Defintion nd Applictions for the Engineer, USA, 24. [4] Podlubny, I. Frctionl differentil equtions, Acdemic Pres, New York, [5] Oldhm, K.B.; Spnier, J. The frctionl clculus, Acdemic Pres, New York, [6] Miller, K.S.; Ross, B. An introduction to the frctionl clculus nd frctionl differentil equtions, Wiley, New York, [7] Hilfer, R. Applictions of frctionl clculus in physics, World Scientific, Singpore, 2. [8] Momni, S.; Odibt, Z. Numericl pproch to differentil equtions of frctionl order, J. Comput. Appl. Mth. 27, 27, [9] Momni S.; Noor M. A. Numericl methods for fourth-order frctionl integro- differentil equtions, Appl. Mth. Comput. 26, 182,

61 [1] Odibt Z.; Momni S. Appliction of vritionl itertion method to nonliner differentil equtions of frctionl order, Interntionl Journl of Nonliner Sciences nd Numericl Simultion, 26, 1, [11] Momni, S. Explicit nd numericl solutions of the frctionl KdV eqution, Mth. Comput. Sim. 25, 7, [12] Kumr P.; Agrwl O. P. An pproximte method for numericl solution of frctionl differentil equtions, Signl Processing, 26, 86, [13] Altın, A. Uygulmlı Mtemtik, Gi Kitpevi, Ankr, 211. [14] Andrews, L.C. Specil Functions for Engineers nd Applied Mthemticins, Mcmilln, New York, [15] Chudhry, M. A.; Zubir, S.M. Generlied incomplete gmm functions with pplictions, J. Comput. Appl. Mth. 1994, 55, [16] Örsln, M. A.; Öergin, E.; Altın, A. Extension of gmm, bet nd hypergeometric functions, J. Comput. Appl. Mth. 21, 235, [17] Qdir, A. The generlition of specil functions, Appl. Mth. Comput. 27, 187, [18] Chudhry, M. A.; Zubir, S.M. On the decomposition of generlied incomplete gmm functions with pplictions to Fourier trnsforms, J. Comput. Appl. Mth. 1995, 59,

62 [19] Chudhry, M. A.; Zubir, S.M. Anlytic study of temperture solution due to gmm type moving point-het sources lnternt J. Het Mss TrnsJer 1993, 36, [2] Chudhry, M. A.; Qdir, A.; Boudjelkh, M.T.; Rfique, M.; Zubir, S.M. Extended Riemnn et function, Rocky Mountin J. Mth. 21, 31, [21] Chudhry, M. A.; Qdir, A.; Srivstv, H. M.; Pris, R.B. Extended hypergeometric nd confluent hypergeometric function, Appl. Mth. Comput. 24, 159, [22] Biley, W.N. Generlied hpergeometric series, Cmbridge University Press, [23] Smko, S.G.; Kilbs, A.A.; Mrichev, O.I. Frctionl Integrls nd Derivtives Theory nd Applictions, Gordon nd Brech, Longhorne, [24] Blcı, M. Anli, Blcı Yyıncılık, Ankr, 25. [25] Mgin, R.L. Frctionl Clculus in Bioengineering, Criticl Reviews in Biomedicl Engineering, 24, 32, 11. [26] Minrdi, F. Frctionl Clculus: Some bsic problems in continuum nd sttisticl mechnics, Frctls nd Frctionl Clculus in Continum Mechnics, 291, [27] Distefno, J.J.; Stubberud, A.R.; Willims, I.J. Schum s outline of theory nd problems of feedbck nd control systems, McGrw- Hill,

63 [28] Gion, M.; Cerbelli, S.; Romn, H.E. Frctionl diffusion eqution nd relxtion in complex viscoelstic mterils, Physic A, 1992, 191, 449. [29] Kılbs, A.A.; Srivstiv H.M.; Trujillo, J.J. Theory nd Applictions of Frctionl Differentil Eqution, Elsevier B.V., Amsterdm, 26. [3] Podlubny I. Frctionl Order Systems nd PID Controllers IEEE Trnsctions on Automtic Control 1999, 44,

64 ÖZGEÇMİŞ Kişisel Bilgiler Adı ve Soydı : Yusuf SÖKMEN Doğum Yeri : Denili Doğum Trihi : Ünvnı Ybncı Dili : Yüksek Lisns Öğrencisi : İngilice Eğitim Ort Öğrenim : Acıpym Andolu Lisesi, Lisns : Ahi Evrn Üniversitesi, Fen-Edebiyt Fkültesi, Mtemtik Bölümü, Yüksek Lisns : Ahi Evrn Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Mtemtik Anbilim Dlı,