YAPI STATİĞİ Kafes Kirişler için

Transkript

1 İlk yayın: Temmuz YAPI STATİĞİ Kafes Kirişler için özüm yoluyla alıştırma çözümleri -- M. Güven KUTAY, Muhammet ERDÖ En son durum: Eylül DİKKAT: Bu çalışma iyi niyetle ve bugünün teknik imkanlarına göre yapılmıştır. Bu çalışmadaki bilgilerin yanlış kullanılmasından doğacak her türlü maddi ve manevi zarar için sorumluluk kullanana aittir. Bu çalışmadaki bilgileri kullananlara, kullandıkları yerdeki şartları iyi değerlendirip buradaki verilerin yeterli olup olmadığına karar vermeleri ve gerekirse daha detaylı hesap yapmaları önerilir. Eğer herhangi bir düzeltme, tamamlama veya bir arzunuz olursa, hiç çekinmeden bizimle temasa geçebilirsiniz. Alistirma_Cozumleri.xmcd /5

2 İ İ N D E K İ E R Alıştırma, Dik kuvvet etkisinde ideal kafes kiriş... Alıştırma, Yatay kuvvet etkisinde ideal kafes kiriş... Alıştırma, ok kuvvet etkisinde ideal kafes kiriş... 8 Alıştırma, Dikey ve yatay çok kuvvet etkisinde ideal kafes kiriş... Alıştırma 5, Ortadan mafsallı kafes kiriş... Alıştırma, Yatay kuvvet etkisinde ideal kafes kiriş... 7 Alıştırma 7, Eşkenar üçgen kafes kiriş... Alıştırma 8, Hacim kafes kiriş... 5 Alıştırma 9, Portal kafes kiriş... 8 Alıştırma, Tek yüklü ve mafsallı kafes kiriş... Alıştırma, Yarım yayılı yüklü ve mafsallı kafes kiriş... Alistirma_Cozumleri.xmcd /5

3 Kabuller := kn := m q := kn M b := knm m Dikkat; özümlerde Statik_Özet+Giriş.doc dosyasına işaretlerde bulunulmuştur. Dosyayı hazır tutarsanız çözümü anlamak çok kolaylaşır. Alıştırma.) Düğümde Denge Denklemleri metodu ile bütün çubuk kuvvetlerinin hesabı Statik belirlilik kontrolü Yatak reaksiyonlarının sayısı: a := ubuk sayısı: n ç := 5 Düğüm sayısı: n d := Kontrol K := n d - n ç - a K. Sistem statik belirli ve rijitdir. Yatak reaksiyonlarını bulmak için sistemi dolu basit kiriş olarak düşünelim: A h A V = / = /.. B V. DD ΣM A Uç yataklarda moment sıfırdır. Temel kural. M A = B V B V := B V.kN Alistirma_Cozumleri.xmcd /5

4 . DD ΣF V V yönündeki kuvvetlerin toplamı sıfırdır. Temel kural. A V + + B V A V = - B V A V := A V.7kN. DD ΣF h h yönündeki kuvvetlerin toplamı sıfırdır. Temel kural. B yatağı yatay kuvvet alamayacağından, yalnız A yatağı yatay yük alabilir. h yönünde kuvvet olmadığından: A h M max = M max := M max =.knm Dik kuvvet ve moment dağılımı V V + / / + V M + / Sistem olarak yatak ve çubuk kuvvetleri Tanımlama: sistemde kuvvetler düğüm noktasına göre gösterilir. Bası eki s t u / + V s V t V u / Alistirma_Cozumleri.xmcd /5

5 Sayısal olarak çubuk kuvvetlerinin hesabı: Genelde en fazla iki bilinmiyenli düğüm noktası seçilir. ubuk kuvvetleri düğümden çıkıyormuş gibi kabul edilir. numaralı düğüm: 9 9 / Önce hareketli yatak B yi, numaralı düğüm noktasını ele alalım: ΣF V : B V + 9 9x := -B V 9 - := 9 = -.kn ΣF h : :.kn 7 numaralı düğüm: ΣF V7 : 9 + 5x := := 5.7kN 5-5 ΣF h7 : + x := = - := - = -.kn numaralı düğüm: ΣF V : 8 + 8x := = - 8 := - 8 = -.kn 5 5 ΣF h : + - x := + + :=.kn numaralı düğüm: ΣF V : 8 + x := - 8 = - := - = -.7kN ΣF h : x := - 5 = - 5 := - 5 = -.7kN Alistirma_Cozumleri.xmcd 5/5

6 numaralı düğüm: 7 - ΣF V : = 7x := - 7 := - 7 = -.kn 7 ΣF h : + - = + = + :=.7kN 5 numaralı düğüm: ΣF V5 : 7 + = - 7 :=.7kN ΣF h5 : = 5 - = - - := - = -.kn numaralı düğüm: ΣF V : :kn. ΣF h : - = = - := - = -.kn numaralı düğüm: 9 9 ΣF V : + ΣF h : + + = - - := - = -.7kN = = := 9 =.kn Alistirma_Cozumleri.xmcd /5

7 8 numaralı düğüm: - ΣF V8 : A V + := = -.7kN x := -A V 8 A V = / 7 7 ΣF h8 : 7 7 :kn 7.kN numaralı düğüm: 9 numaralı düğüm: ΣF V : + = - :=.9kN ΣF h : + = - = - := - = -.7kN numaralı düğüm: 8 - ΣF V9 : + = x := - := - = -.7kN ΣF h9 : = = + 8 := 8.7kN ΣF V : + = - :=.9kN ΣF h : + - = - - = - := - = -.kn Alistirma_Cozumleri.xmcd 7/5

8 numaralı düğüm: 5 ΣF V : 5 + 5x + 5 = := + 5 := - 5 = -.7kN = -.kn 5 = -.kn Daha önce hesaplanmış değerler = -.7kN numaralı düğüm: = -.7kN 8 = =.9kN.7kN Daha önce hesaplanmış değerler =.kn Bütün çubukların kuvvetlerinin tablosu: u Nr B ubuk kuvvetinin ya göre değeri u Nr B ubuk kuvvetinin ya göre değeri u Nr B ubuk kuvvetinin ya göre değeri / 9 B / 7 / / B / 8 / B / 9 / Sıfır B / 5 / / B / / / / 7 Sıfır 5 / B / 8 B / Sıfır B / 5 B / Alistirma_Cozumleri.xmcd 8/5

9 .) Ritter kesiti metodu ile çubuk kuvvetlerinin hesabı. Ritter kesiti ile üç çubuk kesilir veya yok kabul edilir. ubukların yerine kuvvetler konulur. İki kuvvetin kesiştiği düğüm noktası momentin hesaplanacağı nokta RN (Ritter noktası) kabul edilir. Yalnız reaksiyon kuvvetleri hesaplarda dikkate alınır. ubuk kuvvetleri kendi aralarında dengede olduklarından dikkate alınmazlar. Üst kuşak çubuğu ve alt kuşak çubuğu 7 nin hesaplanması: A h RN 8 A V 7 RK RK 7 9 RN Birinci nokta 9 numaralı düğüm noktası "RN" Ritter noktasıdır. ΣM 9 : A V + R R = -A V R := - R = -.7kN = -.7kN İkinci nokta numaralı düğüm noktası "RN" Ritter noktasıdır. ΣM : A h + 7R 7R = -A h Ah olduğundan 7R : 7R.kN 7.kN Alt ve üst kuşak çubukları momenti karşılarlar. Bundan ötürü değerleri momentle hesaplanabilinir. Dikmeler ve köşegenler dik kuvvetlerş taşırlar ve dolayısıyla dik çubuk ve köşegen çubukları düğüm noktasındaki denge ile hesaplanırlar. Üst kuşak çubuğu ve alt kuşak çubuğu 8 in hesaplanması: RK RN 5 8 A V RK RN Birinci nokta numaralı düğüm noktası "RN" Ritter noktasıdır. İkinci nokta numaralı düğüm noktası "RN" Ritter noktasıdır. ΣM : A V + R R = -A V R := - R = -.kn = -.kn ΣM R : A V + 8R 8R = -A V 8R := 8R.7kN 8.7kN Alistirma_Cozumleri.xmcd 9/5

10 Üst kuşak çubuğu ve alt kuşak çubuğu 9 un hesaplanması: RK RN 5 8 A V 9 RN RK Birinci nokta numaralı düğüm noktası "RN" Ritter noktasıdır. ΣM : A V + R = R = -A V + R := - R = -.kn = -.kn İkinci nokta numaralı düğüm noktası "RN" Ritter noktasıdır. ΣM R : A V + 9R 9R = -A V Üst kuşak çubuğu ve alt kuşak çubuğu un hesaplanması: Burada hesabı sol veya sağ tarafa doğru yapabiliriz. Her iki hesabın sonucu aynı çıkar. 9R := 9R =.kn 9 =.kn Sol tarafa doğru hesap RK 5 RN A V RN 9 RK Birinci nokta numaralı düğüm noktası "RN" Ritter noktasıdır. ΣM : A V + = = -A V + := - + = -.kn = -.kn İkinci nokta 5 numaralı düğüm noktası "RN" Ritter noktasıdır. ΣM 5 : -A V + + = = A V - :=.7kN.7kN Alistirma_Cozumleri.xmcd /5

11 Sağ tarafa doğru hesap RK 5 7 RN RN RK / Birinci nokta numaralı düğüm noktası "RN" Ritter noktasıdır. ΣM R : B V + R R = -B V R := - R = -.kn = -.kn İkinci nokta 5 numaralı düğüm noktası "RN" Ritter noktasıdır. ΣM 5R : -B V + R R = B V R.) Virtüel İş Prensibi metodu ile çubuk kuvvetlerinin hesabı. := R.7kN.7kN Burada herhangi bir çubuğun hesabını yapalım. Virtüel İş Prensibi dosyasında daha detaylı örnekleri ele alacağımızdan fazla iş yapmayalım. Alt kuşak çubuğu un hesaplanması: / / Burada çubuğunun düğüm noktasındaki virtüel işi: ω kuvvetinin işi: ω dir. Bu işlerin toplamı sıfır olmalıdır: - ω ω + Piv := Piv.7kN Yapılan hesaplardan görüldüğü gibi hesabı nasıl yaparsak yapalım sonuçlar hep aynı çıkıyor. Buda yaptığımız hesapların doğru olduğunun göstergesidir. Alistirma_Cozumleri.xmcd /5

12 Alıştırma Kabuller: H := kn Alıştırma değerlerinde karışıklık olmaması için, alıştırma nin indislerin arkasına "a" harfi eklenmiştir. H Statik belirlilik kontrolü Yatak reaksiyonlarının sayısı: a a := ubuk sayısı: n ça := 5 Düğüm sayısı: n da := Kontrol K a := n da - n ça - a a K a. Sistem statik belirli ve rijitdir. Yatak reaksiyonlarını bulmak için sistemi dolu basit kiriş olarak düşünelim: SCD H A h = H "Dolu kiriş" A V = H/ B V = H/ Yatay kuvvet dağılımı V : H/ Moment dağılımı M : V V H. + Alistirma_Cozumleri.xmcd /5

13 . DD ΣM Aa Uç yataklarda moment sıfırdır. Temel kural. H M Aa = H B Va B Va := B Va.7kN. DD ΣF V V yönündeki kuvvetlerin toplamı sıfırdır. Temel kural. A Va H + B Va A Va = -B Va A Va := - A Va = -.7kN. DD ΣF h h yönündeki kuvvetlerin toplamı sıfırdır. Temel kural. B yatağı yatay kuvvet alamayacağından, yalnız A yatağı yatay yük alabilir. A ha + H A ha := H A ha =.kn H M maxa = M maxa := H M maxa =.knm Sistem olarak yatak ve çubuk kuvvetleri Tanımlama: sistemde kuvvetler düğüm noktasına göre gösterilir. Bası eki H A = H h 8 5 V s 5 7 A s u V = H/ B V= H/ V u Sayısal olarak çubuk kuvvetlerinin hesabı: Genelde en fazla iki bilinmiyenli düğüm noktası seçilir. ubuk kuvvetleri düğümden çıkıyormuş gibi kabul edilir. numaralı düğüm: 9 9 Önce hareketli yatak B yi, numaralı düğüm noktasını ele alalım: ΣF Va : B V + 9a 9a = -B Va H 9a := - 9a = -.7kN H/ ΣF ha : a : a.kn Alistirma_Cozumleri.xmcd /5

14 7 numaralı düğüm: 5a ΣF V7a : 9a + 5a = - 9a H 5a := 5a.kN 5a - 5a H ΣF h7a : a + a = a = - H a := - a = -.7kN numaralı düğüm: a 5a H ΣF Va : 8a + 8a = - 8a = - H 8a := - 8a = -.7kN 5a 5a ΣF ha : a + - a a = a + H H a + a := a.7kn numaralı düğüm: a ΣF Va : 8a + a = - 8a H a := a.kn a a ΣF ha : a - - 5a 5a = a - H H H 5a = - 5a := - 5a = -.kn numaralı düğüm: 7 7 a - a H ΣF Va : 7a + 7a = 7a = - H 7a := - 7a = -.7kN a a ΣF ha : a + - a a = a + H H H a = + a := a.kn Alistirma_Cozumleri.xmcd /5

15 5 numaralı düğüm: a ΣF V5a : 7a + a = - 7a H a := a.kn a a ΣF h5a : 5a - - a a = 5a - H H H a = - - a := - a = -.5kN numaralı düğüm: ΣF Va : a a :kn a. ΣF ha : a - a a = a H a := - a = -.5kN numaralı düğüm: 9 9 a ΣF Va : a + a ΣF ha : a + a + a = - a - H a := - a = -.kn a a - - 9a 9a = a + - a a H H H H 9a = + + 9a := 9a.7kN 8 numaralı düğüm: A = H h 8 7 A V = H/ 7 ΣF V8a : A Va - a a = -A Va H a := a.7kn ΣF h8a : 7a - H 7a := H 7a =.kn Alistirma_Cozumleri.xmcd 5/5

16 numaralı düğüm: H a ΣF Va : a + a = - a H a := - a = -.kn a a ΣF ha : a + - H a = - + H 9 numaralı düğüm: numaralı düğüm: 8 H 5H a = - + H a := - a = -.8kN a a H ΣF V9a : a + a = - a = H a := a.7kn a a ΣF h9a : 7a + - 8a 8a = 7a + H 5H 8a = H - 8a := 8a.8kN a ΣF Va : a + a = - a H a := - a = -.kn a a ΣF ha : a + - a a = a - 5H H H a = - + a := - a = -.7kN numaralı düğüm: 5 5 a a ΣF Va : 5a + 5a = - H H 5a = 5a := 5a.7kN a = -.7kN a = -.5kN Daha önce hesaplanmış değerler a = -.kn Alistirma_Cozumleri.xmcd /5

17 numaralı düğüm: 5 5 5a =.7kN a = -.kn 8a =.8kN Daha önce hesaplanmış değerler a =.7kN Bütün çubukların kuvvetlerinin tablosu: H A = H h 8 5 V s 5 7 A s u V = H/ B V = H/ V u eki Ön işareti "+" Artı Bası Ön işareti "" Eksi u Nr B ubuk kuvvetinin H ya göre değeri u Nr B ubuk kuvvetinin H ya göre değeri u Nr B ubuk kuvvetinin H ya göre değeri B 5H / 9 H/ 7 B H / B H/ H/ 8 B H / B H / H / 9 B H / B H / Sıfır B H / 5 B H / H / B H / B H / H / B H / 7 H 5 H / H / 8 B 5H / Sıfır H / 5 H / Alistirma_Cozumleri.xmcd 7/5

18 Alıştırma Alıştırma değerlerinde karışıklık olmaması için, alıştırma ün indislerin arkasına "b" harfi eklenmiştir. 5 7 / ' ' ' ' / Statik belirlilik kontrolü Yatak reaksiyonlarının sayısı: a b := ubuk sayısı: n çb := 7 Düğüm sayısı: n db := Kontrol K b := n db - n çb - a b K b. Sistem statik belirli ve rijitdir. Yatak reaksiyonlarını bulmak için sistemi dolu basit kiriş olarak düşünelim: SCD / "Dolu kiriş" Ah / A V = B = V Dik kuvvet dağılımı V : + + V V V Moment dağılımı M : + Alistirma_Cozumleri.xmcd 8/5

19 . DD ΣM A Uç yataklarda moment sıfırdır. Temel kural. M A = B V B V := B V =.kn. DD ΣF V V yönündeki kuvvetlerin toplamı sıfırdır. Temel kural. A V + B V - A V = -B V + A V := A V =.kn. DD ΣF h h yönündeki kuvvetlerin toplamı sıfırdır. Temel kural. Momentler: M B V h yönünde kuvvet yoktur. A h :kn A h.kn := M =.knm M := B V M =.knm M := B V - M =.knm M := B V - M =.knm M 5 := A V M 5 =.knm Sistem olarak yatak ve çubuk kuvvetleri Tanımlama: sistemde kuvvetler düğüm noktasına göre gösterilir. Bası eki V 7 5 V s t u a a a s a V t u / / Sayısal olarak çubuk kuvvetlerinin hesabı: Kafes kirişin geometrisi Alistirma_Cozumleri.xmcd 9/5

20 Genelde en fazla iki bilinmiyenli düğüm noktası seçilir. ubuk kuvvetleri düğümden çıkıyormuş gibi kabul edilir. numaralı düğümde denge: Önce numaralı düğüm noktasını ele alalım: ΣF hb : b + ab b = - ab a s-s kesitinde denge durumu s ΣF Vb : + db - ab d + b + ab b = - ab olduğundan ad s a b ab = - b := - b = -.9kN := - b ab.9kn numaralı düğümde denge: ΣF Vb : + db - b b + b = b = - b b = - b := b.5kn Alistirma_Cozumleri.xmcd /5

21 7 numaralı düğümde denge: ΣF h7b : b + ab b = - ab 7 a a numaralı düğümde denge: ΣF Vb : a a a ab ab ab = - + ab ab = - ab ab = - := - ab = -.5kN t-t kesitinde denge durumu t ΣF Vtt : + ( b - ab ) b = - ab 5 7 b := - b = -.9kN 8 9 a a t a a ab := - b ab.9kn Alistirma_Cozumleri.xmcd /5

22 ( ) ΣF htt : b + ab + b + ab hb + ahb b = - ab ΣM 7tt : + ( b - ab ) numaralı düğümde denge: b ab + b := b =.5kN := - b ab = -.5kN ΣF Vb : b + 5b 5b = - b 5b = 5 5b := 5b.5kN Bütün çubukların kuvvetlerini hesapladığımızda şu değerleri buluruz: 9 eki Ön işareti "+" Artı Bası Ön işareti "" Eksi u Nr B ubuk kuvvetinin ya göre değeri u Nr B ubuk kuvvetinin ya göre değeri u Nr B ubuk kuvvetinin ya göre değeri B / / a B / / a / a / / a B / 5 / Alistirma_Cozumleri.xmcd /5

23 Alıştırma Alıştırma değerlerinde karışıklık olmaması için, alıştırma ün indislerin arkasına "c" harfi eklenmiştir Statik belirlilik kontrolü Yatak reaksiyonlarının sayısı: a c := ubuk sayısı: n çc := 7 Düğüm sayısı: n dc := 5 Kontrol K c := n dc - n çc - a c K c. Sistem statik belirli ve rijitdir. Yatak reaksiyonlarını bulmadan 9 u yok sayıp hesabımızı yaparız. (, ) 9 9c ( -ω +ω) + ( -ω ω +ω +ω) 9c ω + ω 9c := 9c =.kn Alistirma_Cozumleri.xmcd /5

24 Alıştırma 5 Alıştırma değerlerinde karışıklık olmaması için, alıştırma 5 in indislerin arkasına "d" harfi eklenmiştir Statik belirlilik kontrolü Yatak reaksiyonlarının sayısı: a d := ubuk sayısı: n çd := 8 Düğüm sayısı: n dd := Kontrol K d := n dd - n çd - a d K d. Sistem statik belirli ve rijitdir. Sistemi dolu kiriş olarak kabul edip yatak kuvvetlerini (reaksiyonlarını) bulalım. C A h B h AV B V Alistirma_Cozumleri.xmcd /5

25 ΣM A : Uç yataklarda moment sıfırdır. Temel kural B V - B V B Vd := B Vd =.5kN ΣM C : Mafsallarda moment sıfırdır. Temel kural. Sağ tarafa göre. - B V + B h - + B h Simetriden dolayı: A V B V B hd := B hd =.kn = A Vd := A Vd =.5kN Veya: A h = -B h A hd := - A hd = -.kn ΣF V : A V - + B V A V = - A V = ΣF h : A h + B h A h = -B h A h = - Burada simetriden ötürü yalnız sistemin sol tarafını ele alıp Ritter kesitiyle hesabımızı yapalım. 5 RK 5 / 5 A h = 9 A V = / RN RK Ritter kesitini "RK" ve 5 çubuklarında alıp, düğüm noktası i Ritter noktası "RN" seçelim ve moment denge denklemini yazıp hesabımızı yapalım. ΣM d : - d d := - d = -.5kN Kafes kirişin geometrisi Alistirma_Cozumleri.xmcd 5/5

26 5 numaralı düğüm: 5 = / 5 = / ΣF V5d : 5d + 5d := - 5d = -.77kN 5 / 5 RK RN RK A h = / = V h A V = / ΣF M5d : d + d := - d = -.5kN ΣF Vd : A Vd - d + Vd - + Vd Vd := - ΣF hd : A hd + hd + Vd hd := - numaralı düğüm: d = + d := - d = -.kn numaralı çubuk kuvvetini simetriden dolayı numaralı çubuk kuvvetine eşit olduğu için u hesaplarız: n 9 = t t 5 n= / n / ΣF nd : nd - nd nd := d nd nd = nd nd := = d := d.5kn ubuklardaki kuvvetlerin tablosu: Alistirma_Cozumleri.xmcd /5

27 Alıştırma Alıştırma değerlerinde karışıklık olmaması için, alıştırma nın indislerin arkasına "e" harfi eklenmiştir Statik belirlilik kontrolü Yatak reaksiyonlarının sayısı: a e := ubuk sayısı: n çe := 7 Düğüm sayısı: n de := Kontrol K e := n de - n çe - a e K e. Sistem statik belirli ve rijitdir. Yatak reaksiyonlarını bulmak için sistemi dolu basit kiriş olarak düşünelim: SCD A h = "Dolu kiriş" A V = / B V = / Yatay kuvvet dağılımı V : / Moment dağılımı M : V V. +. DD ΣM A Uç yataklarda moment sıfırdır. Temel kural. M A = B V B Ve := B Ve.5kN. DD ΣF V V yönündeki kuvvetlerin toplamı sıfırdır. Temel kural. A V + B V A V = -B V A Ve := - A Ve = -.5kN Alistirma_Cozumleri.xmcd 7/5

28 . DD ΣF h h yönündeki kuvvetlerin toplamı sıfırdır. Temel kural. B yatağı yatay kuvvet alamayacağından, yalnız A yatağı yatay yük alabilir. A h M max + A he := A he =.kn Sistem olarak yatak ve çubuk kuvvetleri = M maxe := M maxe =.knm Tanımlama: sistemde kuvvetler düğüm noktasına göre gösterilir. Bası eki H A = h V s V A s t V = / B = / V t 9 Sayısal olarak çubuk kuvvetlerinin hesabı: Burada çubuk kuvvetlerini hesaplamak için en kolay yolu seçeceğiz. Buda gereken yerde Ritter kesiti veya düğümde denge metodu ile hesapları yapacağız. Ritter kesiti, "RK ": ΣM RKe : + 5e = 5e := RK RN 5e =.75kN 9 ΣM RKe : e e := - 5 numaralı düğümde kuvvetler: e = -.kn RN / RK 7 ΣF he : + e e = - 9 ΣF Ve : 9e : 9e.kN Alistirma_Cozumleri.xmcd 8/5

29 numaralı düğümde kuvvetler: A h = R 9 A V 5 = / = / R e := e = R e e := e.5kn Ritter kesiti, "RK ": RK RN 7 / RN RK 5 8 Ritter noktası de moment dengesi Düğüm noktası için ΣM RKe : e e = - e + := e.5kn Ritter noktası de moment dengesi Düğüm noktası 7 için ΣM RKe : e + e = - e := - e = -.75kN numaralı düğümde kuvvetler: = = / = / 7 numaralı düğümde kuvvetler: 5 = / = / 5 7 = / 5e = 5h + 5V ΣF he : e - e - he he = - he - := he.5kn ΣF Ve : e + Ve e = - Ve e := - e = -.5kN ΣF 7Ve : e + 5Ve 5Ve = - e 5Ve := 5Ve.5kN ΣF 7he : 5e - e + 5he 5he = - 5e + e 5he := 5he.5kN 5e := 5e.5kN Alistirma_Cozumleri.xmcd 9/5

30 Ritter kesiti, "RK ": RN RK 5 Ritter noktası de moment dengesi Düğüm noktası için ΣM RKe : 7-8e + 8e := 8e.5kN Ritter noktası de moment dengesi 9 8 RK RN BV= / Düğüm noktası için ΣM RKe : e e : e.kn 5 numaralı düğümde kuvvetler: 5 ΣF 5Ve : e e : e.kn numaralı düğümde kuvvetler: 8 7 = / B h F B V = / = / ΣF he : 8e + 7he 7he = - 8e 7he := - 7he = -.5kN ΣF Ve : B Ve + 7Ve + e 7Ve = -B Ve 7Ve := - 7Ve = -.5kN 7e = 7Ve + 7he 7e = e := - 7e = -.5kN Alistirma_Cozumleri.xmcd /5

31 Ritter kesiti, "RK ": RN 7 RK RK 8 9 RN 5 B V = / Ritter noktası de moment dengesi Düğüm noktası için ΣM RKe : 7e + B Ve 7e + 7e := 7e.5kN Ritter noktası de moment dengesi Düğüm noktası 9 için ΣM RK : e + B V e numaralı düğümde kuvvetler: = / + e := - e = -.5kN = = / 7 ΣF Ve : e + 7Ve e = - 7Ve e ΣF he : e - e - 7he := e.5kn e = -.5kN e =.kn 7he = -.5kN Kontrol K e := e - e - 7he K e.kn 9 numaralı düğümde kuvvetler: = / = numaralı düğümde kuvvetler: = / = / 5 = / = / ΣF V9e : e + Ve Ve = e e e + e e = e := e.5kn ΣF Ve : 5Ve + Ve + e e e = - 5Ve - Ve := - + e.kn ΣF he : e - e - 5he - he e e = -.75kN e = -.5kN 5he.5kN he := - he = -.5kN Kontrol K e := e - e + 5he - he K e.kn Alistirma_Cozumleri.xmcd /5

32 Genel görünüş H 5 A = h A V = / B V = / 9 Alistirma_Cozumleri.xmcd /5

33 Alıştırma 7 Alıştırma değerlerinde karışıklık olmaması için, alıştırma 7 nin indislerin arkasına "f" harfi eklenmiştir Statik belirlilik kontrolü Yatak reaksiyonlarının sayısı: a f := ubuk sayısı: n çf := 8 Düğüm sayısı: n df := Kontrol K f := n df - n çf - a f K f. Sistem statik belirli ve rijitdir. Burada işlem PİV ile yapılır ve yataklar hareketsiz yak olduğu için reaksiyonlarını bulmak gerekmez. / / / C C II E I 5 / / / / I II / D.. III / A A / B B / 5/ Alistirma_Cozumleri.xmcd /5

34 Burada kafes kiriş eşkenar üçgenlerden oluşmuştur ve Kafes kirişin geometrisi ve boyutları yanda görülmektedir. yı yok kabul edersek sistem yukarıda görüldüğü gibi iç mekanizmadan oluşur. Bu üç mekanizmada A,B ve C rotasyon merkezleri etrafında döner. / Sistemin boyutları şekilde görüldüğü gibi hesaplanmıştır. Rotasyon hızlarını ω A ya göre hesaplayalım: / E noktası hem A hemde C noktaları etrafında döndüğü için iki noktanın rotasyon hızlarına göre yolu eşittir. δ = ω A = ω C yazılır ve buradanda ω C = ω A bulunur. D noktası hem B hemde C noktaları etrafında döndüğü için iki noktanın rotasyon hızlarına göre yolu eşittir. δ ω C = = ω B yazılır ve buradanda ω B = ω C ve ω B = ω A bulunur. Virtüel İş Prensibine göre denklemlerimizi yazarsak: A ya göre I. mekanizmanın virtüel işi P I = ω A + ω A P I = ω A C ye göre II. mekanizmanın virtüel işi P II = ω C P II = ω A - II ω C - II ω A 5 5 B ye göre III. mekanizmanın virtüel işi P III = -ω B 5 ω B P III = -8ω A Bütün rotasyon hızları ω A ile gösterilir ve P I + P II + P III ω A ve kısaltılarak yazılırsa. 5 + II 7 5 II II = 7 II := ( 5 ) f := -.95 f = -.95kN ubuk basmaya zorlanır. Alistirma_Cozumleri.xmcd /5

35 Alıştırma 8 Alıştırma değerlerinde karışıklık olmaması için, alıştırma 8 in indislerin arkasına "g" harfi eklenmiştir. E H 7 5 F G 9 5 A D 8 7 B 8 C Statik belirlilik kontrolü Yatak reaksiyonlarının sayısı: a g := ubuk sayısı: n çg := 8 Düğüm sayısı: n dg := 8 Kontrol K g := n dg - n çg - a g K g. Sistem statik belirli ve rijitdir. E x E H 7 F z G y x xg := yg := zg := Burada denge denklemlerini yazarak yatak kuvvetlerini hesaplayalım: ΣF zg : - zg + B zg E y x y z 8 B zg := B zg.577kn A D x D 8 B y Bz B x C ΣF BCzg : xg E xg E xg = xg E xg := E xg.577kn ΣF ABxg : - yg + ΣF BFxg : xg zg E yg + E yg D xg = E yg = yg - zg E yg := - E yg.kn = D xg = xg - D xg := D xg.577kn Alistirma_Cozumleri.xmcd 5/5

36 ΣF xg : xg - D xg - E xg + B xg B xg = B xg := B xg.577kn ΣF yg : - yg + B yg + E yg B yg = - B yg := B yg.577kn Düğümlerdeki kuvvetler: A 5 9 C F 7 H 5 G düğümündeki kuvvetler: z 7 = / y 8 G z = / y x = / bu değeri ΣF Gx de yerleştirirsek; x Kuvvetlerin koordinat sistemlerindeki bileşenleri "a" indisi ile gösterelim. ag = xg = yg = zg oo ag = oo xyzg ΣF Gxg : ag - 7 ag - ag ΣF Gyg : - ag + 7 ag + 8 ag ΣF Gzg : - ag + ag + 8 ag 8 ag = ag - ag bu değeri ΣF Gy de yerleştirirsek; - ag + 7 ag + ag - ag 7 ag = ag ag ag - 7 ag 7 ag = = 7g = 7 ag 7g := 7g.8kN 8 ve çubuklarınıda benzer şekilde hesaplarsak aynı büyüklükte olduklarını buluruz. 8g := 8g.8kN g := g.8kn B düğümündeki kuvvetler: B düğümündeki kuvvetler G düğümündeki hesaba benzer şekilde yapılır: y 8 By= / 8 B z B= / x = / x g := g.8kn 8g := 8g.8kN z Alistirma_Cozumleri.xmcd /5

37 D düğümündeki kuvvetler: D x = / D y z x 8 ΣF Dyg : 8 ag + ag 8g g + g = -8g g := - g = -.8kN E düğümündeki kuvvetlerin kontrolü yapıldığında sistemde denge olduğu görülür. Toparlama: E x E y E A H 7 x y z 8 D x D 8 B y F Bz B x z y x G C eki Ön işareti "+" Artı Bası Ön işareti "" Eksi ubuklar Kuvvetleri Alistirma_Cozumleri.xmcd 7/5

38 Alıştırma 9 Alıştırma değerlerinde karışıklık olmaması için, alıştırma 9 un indislerin arkasına "i" harfi eklenmiştir. Statik belirlilik kontrolü Yatak reaksiyonlarının sayısı: a i := ubuk sayısı: n çi := Düğüm sayısı: n di := Kontrol K i := n di - n çi - a i K i. Sistem statik belirli ve rijitdir. Sol taraf G Sağ taraf x x x A A h B B h A V B V Alistirma_Cozumleri.xmcd 8/5

39 ΣM GSağ : B V - B h B V = B h ΣM GSol ( ) + ( + + ) - A h - A V A h - A V A V = - ΣF h -A h - B h + 8 ΣF V -A V - B V + 5 B V = B h Yerleştirirsek -A V - B h + 5 A h ΣF h -ΣF V hesaplarsak -A h - B h A V + B h - 5 A h = + A V A h + A = - h A h = + A 7 hi := A hi =.5kN A V A = - h A V = 7 A 5 Vi := A Vi =.5kN -A h - B h + 8 B h = 8 - A h B h = 8 7 B hi B V := 5 B hi =.75kN 5 = B h B Vi := B Vi =.75kN 5 Kontrol: ΣF Vi := ΣF Vi.kN numaralı alt kirişin RKM ile hesabı ΣM RNi : i RK RN i / RK G i + 9 i = i := i =.5kN in ön işareti + dır ve çubuk ekme ile zorlanır. A Alistirma_Cozumleri.xmcd 9/5

40 Alıştırma α :=5deg Alıştırma değerlerinde karışıklık olmaması için, alıştırma un indislerin arkasına "k" harfi eklenmiştir. F E A C G D B Statik belirlilik kontrolü Yatak reaksiyonlarının sayısı: a k := ubuk sayısı: n çk := 7 Düğüm sayısı: n dk := 5 C ve D bağlantıları düğüm sayılmazlar. Kontrol K k := n dk - n çk - a k K k. Sistem statik belirli ve rijitdir. Yatak reaksiyonlarını bulmak için sistemi dolu basit kiriş olarak düşünelim: A h A V = / B V = / ΣM Ayk + B vk B vk := B vk.5kn ΣF Vk -A vk + - B vk A vk = - + B vk A vk := - A vk = -.5kN ΣF h A hk : A hk : G mafsalında durum: ΣM Gyk F EF = E A vk N EFk FC = N EFk := A vk N EFk := - N EFk = -.kn A A V =/ AC = C G ΣF hk N EFk N ACk - N ACk := N ACk := - N ACk = -.kn N EFk Alistirma_Cozumleri.xmcd /5

41 AF AFh = AFV F EF FC = = N FAxk N EFk := N FAk := N FAk = -.kn cosα ( ) Normal, Dik kuvvet ve Momentdağılımı N [] : V [] :,5 +,5 +,5 +,5 + M [.] :,5,5 Sistemin özeti ve çubuk kuvvetleri F / E A / / / C +/ G +/ D / / B / Alistirma_Cozumleri.xmcd /5

42 Alıştırma Alıştırma değerlerinde karışıklık olmaması için, alıştırma in indislerin arkasına "m" harfi eklenmiştir. A F B G q C D E Statik belirlilik kontrolü Yatak reaksiyonlarının sayısı: a m := ubuk sayısı: n çm := 7 Düğüm sayısı: n dm := 5 C ve D bağlantıları düğüm sayılmazlar. Kontrol K m := n dm - n çm - a m K m. Sistem statik belirli ve rijitdir. Yatak reaksiyonlarını bulmak için sistemi dolu basit kiriş olarak düşünelim: A = h q A = q./ V C =.q./ V. DD ΣM A Uç yataklarda moment sıfırdır. Temel kural. M A = -q + C V C V := q C V =.5kN. DD ΣF V V yönündeki kuvvetlerin toplamı sıfırdır. Temel kural. A V q + C V A V := q A V.5kN. DD ΣF h h yönündeki kuvvetlerin toplamı sıfırdır. Temel kural. A h := A h.kn C yatağı yatay kuvvet alamayacağından yalnız A yatağı yatay yük alabilir. h yönünde kuvvet olmadığından: Alistirma_Cozumleri.xmcd /5

43 ubuk ve düğümlerin analizini yaparsak: DE ubuğu: A A = q./ z D Düğümü: F D M B B N BG V BG M N V BE DE G E Kafes kirişler konusunda göreceğimiz gibi, çubuklar ve düğüm noktalarında moment etkisi yoktur. Üst ve alt kuşak çubukları momentten oluşan yatay kuvvetlerini (çeki veya bası), dik çubuklarda dik kuvvetleri karşılarlar. M B A z N DE N DE = A z = q N DE := q N DE =.kn B noktasında ne düğüm nede dikme olmadığı için V ve M sıfırdır. ΣF h N DA N DF N DA = N DE - N DA = N DE N DA := q N DA =.kn D N DE N DA N DA ΣF v N DF + N DF = - N DF := -q N DF = -.kn A Düğümü: A A z N AF V AF N AD N AD N AD ΣF h N AF + N AF = - N AF := -q N AF = -.kn N AD N AD q q ΣF v A z - - V AF V AF = A z - = - q V AF := - V AF = -.5kN AF ubuğu: A z A x M V AF N AD N AF F D ΣM X M X = A z x M X N AD N AD x N AD = x x M X : q x := için moment M = M F M F = q q M F := - M F = -.5kNm Alistirma_Cozumleri.xmcd /5

44 FB ubuğu: M A F N BG B A z V BG N AD N AD N AD ΣF h N FB + N FB = - N FB q = - N FB := -q N FB = -.kn x N FD D N AD ΣF v A z - - N FD - V BG N AD q q V BG = A z - - N FD V BG = - + q q V BG := V BG.5kN N AD ΣM M B A z x x N q = FD( x - ) M B = x qx q( x - ) x q := için moment M B = M F M F = q M q F = - x q := için moment M B = M B M B = q + q M B Bu sonuç mafsalda momentin sıfır olduğunun ispatıdır. ED ubuğu: F N BF V BF B G C z C D N ED E M B Mafsallarda moment sıfırdır. Temel kural. -q + C z N ED q N ED = -q + N ED := q N ED =.kn Alistirma_Cozumleri.xmcd /5

45 E Düğümü: N ED N EC N ΣF EG N h N ED - EC E = N EC = N DE N EC := q N EC =.kn N EC N EC q ΣF v N EG + N EG = - N FG := - N FG = -.5kN CG ubuğu: G N CG M V CG q C C z ΣM M = C z x N EC x qx x M qx qx qx x x = M = qx qx x için M = M C M C M = M max eğer V ise E x N EC V için x V V CG = C z - qx x.5 ise M = M max olur. M max. qx q - qx x.5 q = q q M max. = 8 Moment çizgisi ikinci derecedendir (parabol, özel hal) ve G düğümü mafsal olduğundan moment sıfırdır. N: q. q.. + q. q. + q.. V: q./ + q. q./ q./ + q./ + + q./ M: q. / + + q. /8 q. /8 Son ========================================================================================== Alistirma_Cozumleri.xmcd 5/5