KATI CİSİMLER ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT

Transkript

1 TI İSİMR ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT 1. znım : tı cisimleri ve kplı yüzeyleri sınıflndırır.. znım : Çokyüzeyli ktı cisimlerin temel elemnlrını çıklr.. znım : Verilen çokyüzlülerin çınımlrını ypr ve çınımlrı verilen çokyüzlüleri oluşturur.. znım : Çokyüzeyli ktı cisimlerin yüzey lnı ile ilgili uygulmlr ypr. 5. znım : Çokyüzeyli ktı cisimlerin hcimleri rsındki ilişkiyi çıklr ve uygulmlr ypr.

2 T V ÇYÜZYİ PI YÜZYR Çokyüzeyli tı isim Yüzey prçlrı ile sınırlnn kplı uzy prçsın çokyüzeyli ktı cisim; çokyüzeyli ktı cisimin sınırın d çokyüzeyli denir. ir çokyüzeyliyi oluşturn her bir yüzey prçsın çokyüzeylinin yüzü ir çokyüzeylinin herhngi iki yüzünün kesişimine çokyüzeylinin yrıtı ir çokyüzeylinin ikiden fzl yüzünün kesişimine çokyüzeylinin tepe noktsı denir. Çokyüzlü: ütün yüzey prçlrı düzlemsel ve çokgensel bölge oln çokyüzeylilere çokyüzlü denir. Tekyüzeyli: Tek yüzey prçsı ile sınırlnn kplı uzy prçsın tekyüzeyli ktı cisim; tekyüzeyli ktı cismin sınırın d tekyüzeyli denir. TI S MR Çokyüzeyli t isimler Tekyüzeyli t isimler Çokyüzlü t isimler Çokyüzlü lmyn t isimler 108

3 tı isimler PRİZMR Prizmtik Yüzey Uzyd düzlemsel bir çokgen ve çokgen düzlemine prlel olmyn bir d doğrusu verildiğinde, d doğrusun prlel olrk çokgenin çevresinde hreket eden d doğrusunun oluşturduğu yüzeye prizmtik yüzey denir. Yndki şekilde bir prizmtik yüzey ifde edilmiştir. d doğrusu prizmtik yüzeyin n doğrusudur. Tbnd bulunn çokgenin kenr syısı kdr yn yüzü vrdır. (,,, ) d d rdışık iki yn yüzün r kesiti prizmtik yüzeyin yn yrıtıdır. ([ ], [ ], [ ], [ ]) Prizmtik yüzeyin bir düzlemle r kesitine prizmtik yüzeyin bir kesiti denir. esit düzlemi yn yrıtlr dikse, r kesite prizmtik yüzeyin dik kesiti denir. ir prizmtik yüzeyin prlel iki kesiti eştir. ir prizmtik yüzeyin dik kesitleri eştir. Prizm ir prizmtik yüzey prlel iki düzlemle kesildiğinde bu düzlemler rsınd kln kplı cisme prizm denir. u düzlem prçlrı prizmnın tbnlrıdır. Ynd, tbnlrı ve oln bir prizm çizilmiştir. u prizmd, [ ], [ ], [ ] ve [ ] yn yrıtlr [], [], [ ], [ ],... tbn yrıtlrı,,, yn yüzleridir. Prizmlr tbnlrını oluşturn çokgenlere ve yn yrıtlrının tbn düzlemi ile konumlrın göre dlndırılırlr. ik Prizm: Yn yrıtlrı tbn düzlemine dik oln prizmy dik prizm denir. ğik Prizm: Yn yrıtlrı tbn düzlemine dik olmyn prizmy eğik prizm denir. üzgün Prizm: Tbnı düzgün çokgen oln dik prizmy düzgün prizm denir. Üçgen dik prizm Üçgen e ik prizm üzgün beflgen prizm 109

4 ÖZ PRİZMR İÖRTGNR PRİZMSI Tbnı dikdörtgen oln dik prizmy dikdörtgenler prizmsı denir. ÖRN c b Şekildeki dikdörtgenler prizmsınd = 9 br, = 15 br ise kç birimdir? Şekilde görüldüğü gibi yn yüzleri krşılıklı ikişer ikişer eş oln ltı tne dikdörtgenden oluşmuştur. ikdörtgenler prizmsının en uzk iki noktsını birleştiren doğru prçsın cisim köşegeni denir. isim köşegenleri eş olup birbirini ortlr. Şekildeki prizmnın cisim köşegenlerinden biri [] dir. dik üçgeninde = + = b + dik üçgeninde = + = c + b + = + b+ c bulunur. ÖRN 1 z Şekildeki uzyd çizilmiş oln dikdörtgenler prizmsınd (, 6, ) ise prizmnın cisim köşegen uzunluğu kç br dir? y SN YYINRI ÖRN M 6 Şekildeki dikdörtgenler prizmsınd = br M = M = br ve = 6 br ise M kç br dir? 110

5 tı isimler ÖRN 8 ÖRN 6 M Şekildeki dikdörtgenler prizmsınd = br 6 = br ve = 8 br ise (M) kç br dir? Şekildeki dikdörtgenler prizmsının köşesinde bulunn bir hreketli yüzeyde ilerleyerek noktsın vrcktır. Hreketlinin lbileceği en kıs yol kç br dir? ÖRN 5 SN YYINRI 1 Şekildeki dikdörtgenler prizmsının köşesinden hreket eden bir krınc yn yüzeylerde yol lrk noktsın ulşcktır. rıncnın lbileceği en kıs yol kç cm dir? 111

6 tı isimler ÖRN 7 öşe noktlrı; (0, 0, 0), (, 0, 0), (0,, 0), (,, 0) (0, 0, ), (, 0, ), (0,, ), (,, ) oln prizmnın. lt ve üst tbnlrını kpsyn düzlemlerin denklemlerini bulunuz. b. Prizmnın dikliği için ne söylenebilir. ÜP ütün yrıtlrı eşit uzunlukt oln prizmy küp denir. v Yüzey köşegeni = v dir. isim köşegenlerinden biri dir. dik üçgeninde, = + = + (v) = v olur. SN YYINRI ÖRN 8 ir yrıtı br oln küpün yüzey köşegenini ve cisim köşegenini bulunuz. ÖRN 9 isim köşegenlerinden biri ile yüzey köşegenlerinden birinin uzunluklrı toplmı ( + v6) br oln küpün bir yrıtının uzunluğu kç br dir? 11

7 tı isimler ÖRN 10 Şekildeki küpün bir yrıtı br olduğun göre, () kç br dir? ÖRN 1 öşe noktlrı (6, 0, 0), (6, 6, 0), (0, 6, 0), (0, 0, 0), (6, 0, 6), (6, 6, 6), (0, 6, 6), (0, 0, 6) oln küpün üzerinde P = br, P = br olck şekilde P noktsı veriliyor. un göre, P kç br dir? ÖRN 11 SN YYINRI M Şekildeki küpte M = M = br ise M = kç br dir? ÖRN 1 Tek sır hlinde yn yn konn birim küpün oluşturduğu dikdörtgenler prizmsının cisim köşegeni kç br olur? 11

8 tı isimler ÖRN 1 ÖRN 15 z P 1 M N 1 Şekildeki uzyd çizilmiş oln küpte M = N = 1 br, N = M = br ise MN = kç br dir? y Şekildeki küpün bir yrıtı br dir. P noktsı, üzerinde herhngi bir noktdır. un göre (P) nin en büyük ve en küçük değerini bulunuz. SN YYINRI 11

9 IŞTIRMR 1 1. şğıdki dikdörtgenler prizmlrının herbirinde. z verilenlere göre değerlerini bulunuz.. z 6 7 y 8 α 10 y Şekildeki uzyd çizilmiş oln dikdörtgenler prizmsınd verilenlere göre α kç derecedir? b dn ye yüzeyden hreketle gidecek oln bir c. z 1 9 y SN YYINRI 5. cismin lbileceği en kıs yol kç br dir? z 5 y 10 d. + nin en küçük değeri kç birimdir? isim köşegeni v br oln küpün yüzey köşegeni kç birimdir? nin en küçük değeri kç birimdir? 115

10 tı isimler 7. şğıdki dikdörtgenler prizmlrının herbirinde verilenlere göre trlı lnlrı bulunuz. 9. şğıdki küplerin herbirinde verilenlere göre değerlerini bulunuz... b. b. z M 6,, M kenr ort noktlrıdır. y c. z 5 1 y SN YYINRI c. z 1 y d. d. 8. ir yrıtı birim oln bir küpün herhngi bir köşesinin diğer tüm köşelere oln uzklıklrı toplmı kç birimdir? 116

11 tı isimler 10. şğıdki küplerin herbirinde verilenlere göre trlı bölgelerin lnlrını bulunuz.. z 11. şğıdki küplerin herbirinde verilenlere göre istenenleri bulunuz. z. α α =? y y b. z P(0, m, ) b. z y α y cosα =? c. 6 SN YYINRI c. P P noktsı yüzeyinin ğırlık merkezidir. sin =? d. M N d. cos =?,, M, N noktlrı bulunduklrı yüzeylerin ğırlık merkezleridir. 117

12 tı isimler 1. Şekildeki küpün yüzeyinden hreketle, dn y gidecek oln bir hreketlinin lbileceği en kıs yol kç br dir? 16. Şekildeki küpte P noktsı yüzeyinin ğırlık merkezi ise P kç br dir? P 1. Şekildeki küpte ile rsındki yüzeyden lınn en kıs yol 10 br ise kç br dir? 17. Şekildeki küpte verilenlere göre kç birimdir? 1. Şekildeki küpte + M ifdesinin en küçük değeri kç birimdir? M SN YYINRI 18. Şekilde, bir yrıtı 6 br oln küpten bir yrıtı br oln küp çıkrılmıştır. kç br dir? 15. Şekildeki küpte kçtır? 18. üp biçimindeki tht bloktn bir kenrı br oln küp biçiminde bir prç çıkrılmıştır. = 10 br ise büyük küpün bir kenrı kç br dir?

13 tı isimler SİİNİR Uzyd bir eğri ile bu eğrinin düzlemine prlel olmyn bir l doğrusu verildiğinde, eğriye dynrk hreket eden ve l doğrusun prlel oln doğrulrın oluşturduğu yüzeye silindirik yüzey, hreket eden doğruy n doğru denir. ynk eğrisi kplı bir eğri oln silindirik bir yüzeyin n doğrulrını kesen ve birbirine prlel oln iki düzlemle, silindirik yüzey rsınd kln cisme silindir denir. dynk e risi n do ru Prlel düzlemlerin silindirik yüzey içinde kln prçlrın silindirin tbnlrı denir. Tbnlrın çevrelerini birleştiren eğri yüzeyine silindirin ynl yüzeyi denir. Tbnlr rsındki uzklığ silindirin yüksekliği denir. Silindirler tbnlrın göre dlndırılırlr. iz bu bölümde sdece diresel silindiri inceleyeceğimizden silindirden söz ettiğimizde diresel silindir olduğu nlşılmlıdır. n doğrulrı tbnlrın dik oln silindirlere dik silindir vey dönel silindir, dik olmyn silindirlere eğik silindir denir. h ik silindir ik silindir h ÖRN 16 ÖRN 17 Tbn merkezleri ve oln silindirin tbnı üzerindeki bir nokt dir. Silindirin tbn 1 Şekildeki silindirde [] ve [] tbn çplrıdır. = 6 br = 15 br yrıçpı 5 br, = 1 br ise kç br dir? = 10 br ise = kç br dir? 6 119

14 tı isimler ÖRN 18 ÖRN 0 Şekildeki dik silindirde ve tbn merkezleridir. Tbn yrıçpı br yüksekliği 6π br oln [] [] silindirde, dn ye = br = br ise silindirin yrıçpını bulunuz. silindirin yüzeyinden iki kez dolnrk gidecek oln bir hreketlinin lbileceği en kıs yol kç br dir? ÖRN 19 5 Tbn yrıçpı br yüksekliği 1π br oln silindirde, dn ye silindirin yüzeyinden SN YYINRI bir kez dolnrk gidecek oln bir hre- ÖRN 1 ketlinin lbileceği en kıs yol kç br dir? 10 Soldki silindir eğilerek sğdki durum getirilmiştir. un göre = kç birimdir? 10

15 tı isimler Sİ SİİNİR ir silindirin tbnı ile tbn prlel olmyn düzlemin sınırldığı prçsın kesik silindir denir. kıs yükseklik Silindirik Tkoz: ıs yüksekliği sıfır oln kesik silindire silindirik tkoz denir. r uzun yükseklik r ÖRN = (0, 0, 1) doğrultusun prlel oln ve dynk eğrisi;. y = b. c. y + = 1 9 y 9 = oln silindir yüzeyleri çiziniz. 1 ÖRN Şekildeki kesik silindirin kesit tbnının lt tbn ile yptığı çının ölçüsü α olmk üzere, r 1 = r.secα olduğunu gösteriniz. r 1 r SN YYINRI ÖRN Şekildeki kesik silindirin tbn çevresi Ç olmk üzere, ynl yüz lnının = Ç (h 1 + h ) olduğunu h 1 h gösteriniz. 11

16 IŞTIRMR r = br h = π br Tbn merkezi oln silindirin üst tbnı üzerindeki bir not dır. = 17 cm, = 15 cm ise silindirin yrıçpı kç cm dir? Yüzeyden hreketle dn ye gidecek oln cismin lbileceği en kıs yol kç birimdir? I II I. şekildeki silindir düzeltilerek II. şekildeki hle getirilmiştir. un göre kç br dir? SN YYINRI r = br h = π br ile rsın gergin bir ip srılmıştır. İpin uzunluğu en z kç br dir?. 6. r = 9 br 6 h = π br I II I. şekildeki silindir eğilerek II. şekildeki hle getirilmiştir. un göre kç br dir? ile rsın silindirin etrfınd kez dolnn bir ip srılmıştır. İpin uzunluğu en z kç br dir? 1

17 PİRMİTR Pirmit ir çokgen ile bu çokgenin düzlemi dışınd bir nokt verildiğinde, çokgenin bütün noktlrını dışındki nokty birleştirerek elde edilen cisme pirmit denir. P Pirmitler tbnlrındki çokgenin türüne göre dlndırılırlr. Yndki pirmit, bir dörtgen pirmittir. P, pirmidin tepe noktsıdır. pirmidin tbnıdır. [P], [P], [P], [P] doğru prçlrı pirmidin yn yrıtlrıdır. H R P, P, P, P üçgensel bölgeleri pirmidin yn yüzleridir. Tepe noktsının tbn düzlemine oln uzklığı pirmidin yüksekliğidir. ( PH = h) [PR] pirmidin yn yüz yüksekliğidir. üzgün Pirmit Tbnı düzgün çokgen oln ve yükseklik yğı tbn merkezinde bulunn pirmide düzgün pirmit denir. şğıdki pirmitler düzgün pirmide birer örnektir. üzgün pirmitlerde; Yn yrıt uzunluklrı eşittir. Yn yüz yükseklikleri eşittir. Yn yüzler birbirine eş ikizkenr üçgenlerdir. ir yn yüz yüksekliğine düzgün pirmidin potemi denir. re pirmit flkenr üçgen pirmit üzgün lt gen pirmit esik Pirmit ir pirmit tbn prlel bir düzlemle kesildiğinde kesit düzlemi ile pirmidin tbnı rsınd kln cisme kesik pirmit denir. Yndki şekilde ile M rsındki cisim bir kesik pirmittir. P M T [PH], üçgensel bölgesine dik olmk üzere, M kesit düzlemi ile tbn düzlemi benzerdir. ~ M H üzgün esik Pirmit Şekilde düzgün bir pirmidin tbn prlel bir düzlemle kesilmesi sonucu oluşn düzgün kesik pirmit görülmektedir. üzgün kesik pirmitte Tbnlr birbirlerine prlel birer düzgün çokgendir. Yn yüzler eş ikizkenr ymuklrdır. Tbnlrın ğırlık merkezlerini birleştiren doğru, kesik pirmidin yüksekliğidir. 1

18 tı isimler ÖRN 5 Şekilde düzgün kre pirmidin yüksekliği 1 br, = 10 br ise pirmidin yn yüz yüksekliği kç br dir? P üzgün örtyüzlü ört yüzü de eşkenr üçgen oln pirmite düzgün dörtyüzlü denir. 10 H Şekildeki pirmit bir düzgün dörtyüzlüdür. u düzgün dörtyüzlünün,, ve yüzeyleri birer eşkenr üçgendir. Pirmidin yükseklik yğı (H) tbndki üçgeninin ğırlık merkezidir. üzgün örtyüzlünün Yüksekliği ÖRN 6 Şekildeki düzgün kre pirmidin yn yrıt uzunluğu c1 br, tbn yrıtının uzunluğu 8 br ise pirmidin yüksekliği kç br dir? 8 T c1 8 SN YYINRI H [], eşkenr üçgeninin yüksekliği olduğundn, = dir. H noktsı üçgeninin ğırlık merkezi olduğundn H = H = dir. H dik üçgeninde, = H + H = d n + h h = 6 br dir. ÖRN 7 ir yrıtının uzunluğu br oln düzgün dörtyüzlünün yüksekliği kç br dir? 1

19 tı isimler ÖRN 8 düzgün dörtyüzlüsünde = = br ise () kç br dir? SN YYINRI ÖRN 0 ir yrıtının uzunluğu br oln düzgün dörtyüzlünün yüzeyinden hreketle den y gidecek oln bir krıncnın lbileceği en kıs yol kç br dir? ÖRN 9 düzgün dörtyüzlüsünde = br = br, = ise kç br dir? 15

20 IŞTIRMR 1.. Şekildeki düzgün kre pirmidin yüksekliği cm ise = kç cm dir? Şekildeki kre pirmidin yn yüzleri eşkenr üçgen ise kç br dir? Şekildeki düzgün kre pirmitte = ise kç br dir? SN YYINRI Şekildeki kre pirmidin yn yüzleri eşkenr % üçgendir. un göre, m( ) kç derecedir? Şekildeki düzgün kre pirmitte yn yüzey tbn düzlemi ile 5 lik çı ypmktdır. () kç br dir? Şekildeki kre pirmidin yn yüzleri eşkenr üçgendir. + nin en küçük değeri kç br dir? 16

21 tı isimler 7. Tbn yrıtı 10 br, yüksekliği 1 br oln dik kre pirmidin yn yüz yüksekliği kç br dir? Yüksekliği v6 cm oln düzgün dörtyüzlünün bir yrıtı kç cm dir? düzgün dörtyüzlüsünde = = br ise () kç br dir? 9. ir kenrının uzunluğu 9 br oln düzgün dörtyüzlünün yüksekliği kç br dir? Yukrıdki düzgün dörtyüzlünün tbnını kullnmdn şekildeki gibi den y gidecek oln bir hreketlinin lbileceği en kıs yol kç br dir? SN YYINRI 6 düzgün dörtyüzlüsünde ve yüzeylerinin ğırlık merkezleri ve dir. = 6 br ise kç br dir? Şekildeki düzgün dörtyüzlüde = % = ise cos( ) kçtır? düzgün dörtyüzlüsünün bir yrıtının uzunluğu br, =, = ise = kç br dir? 17

22 tı isimler Nİ Uzyd kplı bir eğrisi ile sbit bir P noktsı verilsin. P noktsı ile eğrisinin her noktsındn geçen doğrulrın oluşturduğu yüzeye konik yüzey denir. Yndki bir konik yüzey olup, P P noktsın, tepe noktsı eğrisine tbn eğrisi vey dynk eğrisi P noktsındn geçen ve konik yüzeyi oluşturn doğrulr, konik yüzeyin n doğrusu denir. onik yüzeyin tüm n doğrulrını kesen bir düz- P lemle tepe noktsı rsınd kln cisme koni denir. n do ru oninin tepe noktsı ve eksenini içine ln her düzlem ile Yükseklik kesişimi bir üçgensel bölgedir. Şekildeki P bu üçgenlerden biridir. H Tbn e risi Yükseklik yğı tbn merkezinde oln koniye, dik koni; tbnı dire oln dik koniye dik diresel koni denir. P P P α h h H r r ik diresel koni ğik diresel koni ik koninin çılımınd; = dir., 60 (İsptı ileride ypılcktır.) ik diresel konide; n doğrulrın uzunluklrı eşittir. Yükseklik, simetri eksenidir. Simetri ekseninden geçen düzlemlerle koninin rkesitleri eş ikizkenr P üçgensel bölgelerdir. ir diresel koninin tbnın prlel bir düzlemle kesiti yine bir diredir. P = h 1 ve PH = h ise r r h = dir. h 1 1 r 1 esik koninin üst ve lt kesit lnlrı sırsıyl 1 ve ise r h = c m = c m dir. r h H r 18

23 tı isimler ÖRN 1 Tbn merkezi oln dik konide P = 9 br = br dir. oninin ön yüzünden hre- P 9 ket ederek dn ye gidecek oln bir hreketlinin lbileceği en kıs yol kç br dir? ÖRN Tbn merkezi P SN YYINRI oln dik konide = br R = RP = br dir. dn hrekete bşl- R yn bir hreketli yüzeyden dolnrk R ye geliyor. Hreketlinin ldığı en kıs yol kç br dir? ÖRN Şekildeki dik koninin tbn yrıçpı 1 br P = br dir. dn hrekete bşlyıp koni yüzeyi üzerinden bir kez dönerek y gelen bir hreketlinin lbileceği en kıs yol kç br dir? P 19

24 tı isimler ÜR Uzyd sbit bir noktdn eşit uzklıkt bulunn noktlr kümesine küre yüzeyi, küre yüzeyi ile sınırlnn cisme ise küre denir. Sbit nokt kürenin merkezi, sbit uzklık kürenin yrıçpıdır. r Şekildeki kürede, merkez, [] çp olup kürenin yrıçpı = r dir. ir üre İle ir üzlemin urumlrı r yrıçplı bir küre ile bu kürenin merkezine d br uzklıkt bir düzlemi verilsin. r d = r d r d d > r ise düzlem küreyi kesmez. d > r d = r ise düzlem küreye teğettir. üre ile düzlemin rkesiti bir noktdır. (eğme noktsı) d = r d < r ise düzlem küreyi keser. üre ile düzlemin rkesiti bir diredir. d < r üresel do ru üresel do ru prçsı üresel üçgen ÖRN ÖRN 5 Yrıçpı 1 br oln bir küre merkezden 5 br uzklıkt bir düzlem ile kesiliyor. luşn kesitin lnı kç br dir? ir kenrı br oln küpün içine çizilebilecek en büyük hcimli kürenin yrıçpı kç br dir? 10

25 tı isimler ÖRN 6 ÖRN 7 merkezli kürenin merkezli kesitinin lnı 7π dir. [P] [], P = 1 br ise kürenin yrıçpını bulunuz. P Merkezi M(,, 1) oln P(1, 1, ) noktsındn geçen kürenin denklemi nedir? + y + z + + y + z + = 0 denklemi ile verilen küre için Mc,, m ürenin nlitik İncelenmesi z 1 r = + + r M(,b,c) P(,y,z) y SN YYINRI ÖRN 8 Uzyd sbit bir noktdn eşit uzklıkt bulunn noktlrın geometrik yerine küre denir. Sbit nokty kürenin merkezi, eşit uzklığ ise kürenin yrıçpı denir. enklemi + y + z + y + 6z + 1 = 0 oln kürenin merkez ve yrıçpını bulunuz. Merkezi M(, b, c), yrıçpı r ve küre üzerinde herhngi bir nokt P(, y, z) olsun. MP = r ( ) + ( y b) + ( z c) = r ( ) + (y b) + (z c) = r küre denklemidir. ( 1, y 1, z 1 ) noktlrı için, ( 1 ) + (y 1 b) + (z 1 c) = r ise noktsı kürenin üzerindedir. ( 1 ) + (y 1 b) + (z 1 c) < r ise noktsı kürenin içindedir. ( 1 ) + (y 1 b) + (z 1 c) > r ise noktsı kürenin dışınddır. 11

26 IŞTIRMR 1. Şekildeki konilerin yn yüzeyleri çılrk dire dilimleri elde edilmiştir. Verilenlere göre istenenleri bulunuz α 1 Şekildeki merkezli dire dilimi kıvrılrk koni oluşturulurs yüksekliği kç br olur? α =? b.. 10 v =? SN YYINRI Tbn yrıçpı br, yüksekliği br oln dik konide dn ye gidip ye dönecek oln bir hreketlinin gidebileceği en kıs yol kç br dir? c. α α =?. r d. r r α α =? r Şekildeki dik konide dn hrekete bşlyıp koni yüzeyi üzerinden bir kez dönerek y gelen bir hreketlinin lbileceği en kıs yol kç br dir? 1

27 tı isimler r r r Şekildeki dik konide dn hrekete bşlyn bir hreketli yüzeyden dolnrk ye geliyor. u hreketlinin ldığı yol en z kç br dir? merkezli kürenin, merkezli kesitinin lnı 1π br, = br ise kürenin yrıçpı kç br dir? SN YYINRI merkezli kürenin merkezli kesitinin lnı 900π cm dir. [] [], = ise kürenin yrıçpı kç cm dir? Tbn yrıçpı 1 br oln konide m( % % ) = m( ) dir. noktsındn yol çıkn bir hreketli yüzeyden dolnrk ye gidecektir. u hreketlinin lbileceği en kıs yol kç br dir? Yrıçpı 10 br oln bir küre merkezinden 6 br uzklıkt bir düzlemle kesiliyor. luşn kesitin lnını bulunuz. Şekildeki merkezli r = br yrıçplı küre koninin tbnın ve yn yüzüne teğettir. oninin yüksekliği 8 br ise tbn yrıçpı kç br dir? 1

28 tı isimler Merkezi orijin ve yrıçpı br oln kürenin denklemi nedir? Şekildeki eş küreler birbirlerine ve silindir yüzeyine teğettir. Silindirin yüksekliği, tbn yrıçpının kç ktıdır? 16. enklemi + y + z + 6y + z = 0 oln kürenin yrıçpı kç br dir? 1. ( ) + (y 1) + z = 11 küresi ile (1,, ), (0, 1, ) ve (, 0, ) noktlrı verilmiştir. noktsının kürenin üzerinde noktsının kürenin içinde noktsının kürenin dışınd olduğunu gösteriniz. SN YYINRI 17. M(1,, ) merkezli z düzlemine teğet oln kürenin yrıçpı kç br dir? 1. (1, 0, ) noktsı + (y ) + (z + 1) = küresinin içinde ise nın en küçük tm syı değeri kçtır? (y ) + (z + ) = 9 küresinin, P(0, 5, ) noktsın oln en kıs uzklığı kç br dir? 1. enklemi + y + z 6 + y 1 = 0 oln kürenin merkezinin koordintlrı nedir? y + z + y + 6z + k = 0 denklemi bir küre belirtiyors, k nın lbileceği en büyük tm syı değeri kçtır? 1

29 ÇYÜZÜRİN ÇINIMRI Çokyüzlülerin çınımlrı ypılrk bu cisimlerin ypısın dh çok hkim olunbilir. olyısı ile çınım ypmk, ktı cisimlerin ln ve hcimlerinin hesbınd bize kolylık sğlr. ÖRN 9 irim küpü izometrik kğıd ve çınımını d kreli kğıd çizelim. ÖRN 1 SN YYINRI Yukrıd görünümü verilen çokyüzlünün çınımını kreli kğıt üzerinde gösteriniz. ÖRN 0 Yukrıd çınımı verilen çokyüzlünün görünümünü izometrik kğıd çizelim. 15

30 tı isimler ÖRN Yukrıd görünümü verilen çokyüzlünün çınımını kreli kğıd ypınız. ÖRN SN YYINRI ÖRN Yukrıd görünümü verilen çokyüzlünün çınımını kreli kğıd ypınız. Yukrıd çınımı verilen çokyüzlünün kplı şeklini izometrik kğıd çiziniz. 16

31 IŞTIRMR 5 1. Sol sütünd izometrik kğıttki görünümü verilen çokyüzlülerin kreli kğıttki çınımlrını sğ sütundn bulrk eşleştiriniz.. 1. b.. c.. 17

32 tı isimler. Sol sütünd kreli kğıttki çınımlrı verilen çokyüzlülerin izometrik kğıttki görünümlerini sğ sütundn bulrk eşleştiriniz.. 1. b.. c.. 18

33 ÇYÜZYİ TI İSİMRİN NRI İ PRİZMRIN NI d c b h h b c d Yukrıd bir dik prizm ile bu prizmnın çınımı verilmiştir. Şekilde de görüldüğü gibi tbndki şekil ne olurs olsun ynl yüzey bir dikdörtgendir ve bu dikdörtgenin bir kenrı prizmnın yüksekliği kdr, diğeri ise tbn çevresi kdrdır. olyısıyl, Ynl ln = Tbn Çevresi Yükseklik Tüm ln = Ynl ln +.Tbn lnı ÖRN 5 6 Şekildeki üçgen dik prizmnın lnını bulunuz. SN YYINRI ÖRN 7 ir dik prizmnın tbnı kenr uzunluğu 6 br oln bir eşkenr üçgendir. u prizmnın yüksekliği 8 br ise ynl lnını bulunuz. ÖRN 6 Şekildeki kre dik prizmd = 8 br 8 = br ise prizmnın lnını bulunuz. 19

34 tı isimler İÖRTGNR PRİZMSININ NI c b Ynl ln = Tbn çevresi yükseklik = ( + b).c ÖRN 9 öşe noktlrı; (0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0) (0, 0, ), (1, 0, ), (1, 1, ), (0, 1, ) oln prizmyı çizip lnını hesplyınız. ütün ln = Ynl ln +.Tbn lnı = ( + b).c +..b = (b + c + bc) ÖRN M N P 5 yrıtlrı 5 br, 6 br ve 8 br oln dikdörtgenler prizmsı biçimindeki bir mermerden şekilde görüldüğü gibi dikdörtgenler prizmsı biçimindeki bir prçsı kesilerek SN YYINRI ÖRN 50 çıkrılmıştır. MN = br, NP = br ise prizmnın lnının ne kdr değiştiğini bulunuz. Tbn yrıt uzunluklrı 0 m 0 m, yüksekliği 75 m oln dikdörtgenler prizmsı biçiminde bir iş merkezi inş edilmek isteniyor. u iş merkezinin dış yüzeyi cml kplncktır. un göre, kç m cm kullnılcğını bulunuz. 10

35 tı isimler ÜPÜN NI ÖRN 5 z üpün yüzeyi 6 eş kreden oluştuğundn bu krelerin lnlrı toplmı küpün yüzey lnıdır. ln = 6. = 6 y Şekildeki küpün lnı 5 br olduğun göre, küpün köşelerinin koordintlrını bulunuz. ÖRN 51 Yüzey köşegeni ile cisim köşegeninin uzunluklrı toplmı 1 br oln küpün lnı kç br dir? SN YYINRI ÖRN 5 ÖRN 5 H N Şekildeki cisim üst üste ve yn yn konmuş 6 tne birim küpten oluşmuştur. ismin lnını bulunuz. R P 5 ir yrıtı 5 br oln küpün köşesinden bir yrıtı br oln küp biçiminde bir prç kesilip tılmıştır. ln prçnın lnını bulunuz. 11

36 tı isimler SİİNİRİN NI ÖRN 56 r 5 πr r h Yndki dik silindirde tbn merkezidir. = br, = 5 br ise silindirin lnı kç br dir? ir dik silindirin çık biçimi şekilde ifde edilmiştir. Silindirin yn yüzeyi bir dikdörtgen olup bu dikdörtgenin kenrlrındn birinin uzunluğu tbn çevresine diğeri ise yüksekliğe eşittir. hlde silindirin ynl lnı ( y ) y = Tbn çevresi Yükseklik = πrh bulunur. ÖRN 57 Ynl lnı π br oln dik silindirin tbn yrıçpı br ise yüksekliği kç birimdir? Tbn lnı: πr olduğundn silindirin tüm lnı () = Ynl ln +.Tbn lnı = πrh +.πr = πr(h + r) olur. SN YYINRI ÖRN 58 Tbn yrıçpı ile yüksekliğinin toplmı 8 cm ve lnı π cm oln dik silindirin yrıçpı kç cm dir? ÖRN 55 7 Yukrıdki dik silindirde tbn merkezidir. = 6 br, = 7 br ise silindirin ynl lnı kç br dir? ÖRN 59 ir dik silindirin ynl lnını ktın çıkrmk için tbn yrıçpını kç ktın çıkrmk gerekir? 1

37 tı isimler ÖRN 60 ÖRN 61 8 Şekildeki demir borunun iç çpı br, dış çpı 10 br dir. orunun lnını bulunuz. sflt düzgünleştirmede kullnıln bir silindir resmi yukrıd verilmiştir.. Silindirin uzunluğu m ve yükseklik uzunluğu 1 m ise yüzey lnını bulunuz. b. 1 km uzunluğund ve 6 m genişliğinde bir yolun sfltının düzgünleştirilmesi için silindirin kç devir dönmesi gerektiğini bulunuz. SN YYINRI 1

38 tı isimler ÜZGÜN PİRMİİN NI P P h 1 h1 Yukrıdki şekilde bir kre pirmit ve çınımı verilmiştir. u düzgün pirmidin ynl lnı, tbn çevresi ile yn yüz yüksekliğinin çrpımın eşit olcğındn h. Ynl lnı =. 1 = h. 1 = Tbn çevresi Yn yüz yüksekli i ir düzgün pirmidin lnı ynl lnı ile tbn lnının toplmın eşittir. ÖRN 6 P ÖRN 6 Ynl lnı 7 br oln düzgün kre pirmidin tbn yrıtı 6 br ise yüksekliği kç br dir? 6 Şekilde düzgün kre pirmidin yüksekliği br, = 6 br ise pirmidin yüzey lnı kç br dir? SN YYINRI 1

39 tı isimler üzgün esik Pirmidin lnı b P b b M M b P b M H h 1 H h 1 Yukrıdki şekilde bir düzgün kesik pirmidin yn yüzünün çınımı verilmiştir. () = ^ + h. PH ( + b). h = 1 ( ). ( ). Ynl ln =.() =. + b h + = b h 1 1 bulunur. üzgün kesik pirmidin ynl lnı, lt ve üst tbn çevreleri toplmı ile yn yüz yüksekliğinin çrpımının yrısın eşittir. ÖRN 6 ÖRN 65 N M ir düzgün kesik kre pirmidin lt tbnı 9 br, üst tbnı br ve ynl yrıtlrının uzunluğu 5 br ise lnını bulunuz. 6 Şekildeki düzgün kesik pirmidin lt ve üst tbnlrı birer kredir. = 6 br, NM = br dir. esik pirmidin yn yüz yüksekliği 8 br ise ynl lnını bulunuz. 15

40 tı isimler TİNİ üzgün örtyüzlünün lnı Şekilde kenr uzunluğu oln düzgün dörtyüzlü ile bu dörtyüzlünün çınımı verilmiştir. Şekildeki yükseklik uzunluğu yklşık 17 metre oln eops Pirmidinin tbn çevresi yklşık 860 metredir. un göre, eops Pirmidinin. Tbn lnını u durumd bir kenrı oln eşkenr üçgenin oluşturduğu bölgenin lnı. = br dir. b. Ynl lnını c. Yüzey lnını bulunuz. SN YYINRI ÖRN 66 ir yrıtının uzunluğu br oln düzgün dörtyüzlünün lnını bulunuz. ÖRN 67 lnı 6v br oln düzgün dörtyüzlünün bir yrıtının uzunluğunu bulunuz. ÖRN 68 İki frklı düzgün dörtyüzlünün birer yrıtlrının uzunluklrı toplmı 5 birim, lnlrı toplmı 0 br ise birer yrıtlrının çrpımını bulunuz. 16

41 tı isimler İ İRS NİNİN NI Yndki şekilde bir koni ile bu koninin çınımı verilmiştir. P P α. r, = 60 olduğunu gösterelim. b. oninin lnının: πrl + πr olduğunu gösterelim. r r ÖRN 69 Yrıçpı br, n doğrusunun uzunluğu 6 br oln dik diresel koninin ynl lnını bulunuz. ÖRN 71 Yrıçpı 6 br ve merkez çısının ölçüsü 60 oln dire dilimi kıvrlrk bir dik koni elde ediliyor. oninin tbn yrıçpı kç br dir? ÖRN 70 Yrıçpı br, yüksekliği br oln dik diresel koninin tüm lnını bulunuz. SN YYINRI ÖRN 7 Ynl lnı tbn lnının ktın eşit oln dik koninin yüksekliği br ise yrıçpı kç br dir? 17

42 tı isimler ÖRN 7 Ynl lnı tbn lnının ktı oln dik koninin yüksekliği v cm ise n doğrusu kç cm dir? ik esik oninin lnı P P P r 1 r 1 πr 1 h r πr r Yukrıd bir kesik koni ile kesik koninin çınımı verilmiştir. esik koninin ynl lnı, büyük koninin ynl lnı ile küçük koninin ynl lnlrı frkın ÖRN 7 eşit olcğındn y = πr l πr 1 l 1 dir. dik üçgeni [] etrfınd 60 döndürülüyor. luşn cismin lnını bulunuz. SN YYINRI P ~ P olduğundn P P =, r =, 1 r1,, = 1 r r1,, 1,, 1, = = = olur. r r1 r r1 r r1 u eşitlikten l = r., ve l r r 1 = 1 r1., bulunur. u değerler r r1 y = πr l πr 1 l 1 eşitliğinde yerine yzılırs, r. y = πr, r1. πr, r r 1 = 1 r r1 r., r r1 (r r 1 ) y = π.l.(r + r 1 ) bulunur. lde ettiğimiz bu ln kesik koninin lt ve üst tbn lnlrını d ilve edersek kesik koninin tüm lnını buluruz. = πr + 1 πr + π.l.(r 1 + r ) 18

43 tı isimler ÖRN 75 1 ÜRNİN NI 5 r Yukrıdki dik kesik konide ve tbn merkezleridir. Verilenlere göre, kesik koninin ynl lnını bulunuz. Yrıçpının uzunluğu r br oln kürenin lnı = πr dir. ÖRN 76 Yüksekliği 1 br oln şğıdki koni şeklindeki grfikte bir şirketin yıllık ytırım yptığı lnlr belirtilmiştir. ÖRN 77 Yrıçpı br oln kürenin lnı kç br dir? ırmızı : Nkit Pr Srı : Hisse senetleri Mvi : Thviller ÖRN 78 Şirketin ytırım shlrını ifde eden bölgelerin yükseklikleri sırsıyl, nkit pr için h = br, hisse senetleri için h = br, thviller için h = 6 br dir. SN YYINRI lnı 100π br oln kürenin çpı kç br dir? Şirketin yıllık toplm geliri ise her bir ytırım miktrını bulunuz. ÖRN 79 Şekildeki merkezli küre- P nin lnı 6π br dir. Tepesi P oln koninin ynl lnı kç br dir? 19

44 tı isimler ÖRN 80 üre iliminin lnı merkezli = br yrıçplı yrım dire [] etrfınd 60 döndürülüyor. luşn cismin lnını bulunuz. ir kürenin herhngi bir çpındn geçen iki yrım düzlemle küre yüzeyi rsınd kln cisme küre dilimi denir. ÖRN 81 br yrıçplı eş iki kürenin biri srıy boynıyor. iğeri ise tm ortsındn iki eş prçy yrılıp yeşile boynıyor. ullnıln yeşil boy, srı boydn kç br fzldır? SN YYINRI üre diliminin yüzeyi, küre yüzeyinin bir prçsı ile (kırmızı boylı kısım) iki yrım direden (gri boylı kısım) oluştuğundn, küre diliminin lnı. rr. = + rr = rr 60 α r rr. + bulunur. 90 ÖRN 8 Yrıçpı cm oln bir küreden merkez çının ölçüsü 0 oln bir küre dilimi kesiliyor. u dilimin lnını bulunuz. 150

45 tı isimler üre pğının lnı üre uşğının lnı ir küre yüzeyinin prlel iki düzlem rsınd kln prçsın küre kuşğı denir. Yukrıdki şekilde prlel iki düzlem, ve mer- h kezli iki kesit oluşturmuştur. u iki kesit rsındki boylı kısım küre kuşğıdır. ürenin yrıçpı : r, = h olmk üzere, üre kuşğının lnı: = πrh dir. r ÖRN 8 ir küre yüzeyi bir düzlemle kesildiğinde elde edilen prçlrın her birine küre kpğı denir. merkezli kesitin üst trfı ve lt trfı birer küre kpğıdır. üre kpğının lnı : = πrh SN YYINRI merkezli ve 5 br yrıçplı küre prlel iki düzlemle kesilerek oluşn iki kpk tılıyor. ln şekildeki üst kesitin lnı 9π br, lt kesitin lnı 16π br ise küre kuşğının lnı kç br dir? ÖRN 8 Yrıçpı 5 br oln bir küre merkezinden br uzklıkt bir düzlemle kesiliyor. luşn küçük küre kpğının lnını bulunuz. 151

46 IŞTIRMR 6 1. z 5. Yüzey köşegen uzunluklrı c1 br, c10 br v5 br oln dik prizmnın lnı kç br dir? y 6. z Yukrıdki uzy yerleştirilmiş dik prizmd (, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, 6) olduğun göre, prizmnın lnını bulunuz y Şekildeki uzy yerleştirilmiş dik prizmd (, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, ) olduğun göre, pirzmnın lnını bulunuz. 8 ikdörtgenler prizmsı biçimindeki tht bloktn dikdörtgenler prizmsı biçiminde bir prç çıkrılmıştır. ln cismin lnını bulunuz. SN YYINRI Tbnı düzgün beşgen oln dik prizmnın ynl lnını bulunuz. 5 ikdörtgenler prizmsı biçimindeki tht prçsının bir köşesinden dikdörtgen prizm biçiminde bir prç çıkrılmıştır. ln cismin lnını bulunuz. 8.. Şekildeki üçgen dik prizmnın lnını bulunuz v6 ikdörtgenler prizmsı biçimindeki tht bloktn şekildeki gibi küp biçiminde bir prç çıkrtılınc oluşn cismin lnı 18 br rtıyor. üpün bir yrıtı kç br dir? 15

47 9. R 8 tı isimler 1. ir dik silindirin ynl lnını ktın çıkrmk için tbn yrıçpını kç ktın çıkrmk gerekir? M P N M, N, P ve R noktlrı sırsıyl,,, ve yüzeylerinin ğırlık merkezidir. (MNPR) kç br dir? Şekildeki yrım silindirin lnı kç br dir? 10. ir yrıtının uzunluğu br oln küpün lnı kç br dir? lnı 5 br oln küpün yüzey köşegeni kç birimdir? SN YYINRI 5 v Şekildeki düzgün kre pirmidin ynl lnı kç br dir? 1. Tbn yrıçpı br, yüksekliği br oln silindirin ynl lnı kç br dir? Ynl lnı 0π br oln silindirin tbn yrıçpı br ise yüksekliği kç br dir? Şekildeki düzgün kre pirmidin tüm lnını bulunuz. 15

48 tı isimler Şekildeki düzgün ltıgen pirmidin ynl lnı kç br dir? Yukrıdki dik koninin tbn merkezi dur. = cm, = cm ise koninin lnını bulunuz. 19. Ynl lnı 6 br, tbn çevresi br oln düzgün kre pirmidin yn yrıtı kç br dir?. Tbn yrıçpı br, ynl lnı 0π br oln dik koninin yüksekliği kç br dir? 0. Tbn yrıtı 10 br, bütün lnı 60 br oln düzgün kre pirmidinin yüksekliği kç br dir? SN YYINRI 5. Ynl lnı tbn lnının ktın eşit oln dik koninin yüksekliğinin n doğrusun ornı kçtır? 1. Tbn yrıtı 8 br, yüksekliği br oln dik kre pirmidin lnı kç br dir? 6. Ynl lnı 15π br, yüksekliği br oln dik koninin n doğrusunun uzunluğu kç br dir?. 7. ir kenr uzunluğu br oln eşkenr üçgen bir kenrı etrfınd tm döndürülüyor. luşn cismin lnı kç π br dir? Yukrıdki dik koninin tbn merkezi dur. = 1 br, = 10 br ise koninin ynl lnını bulunuz. 8. Yrıçpı 0 br oln küre merkezinden 1 br uzklıkt bir düzlemle kesiliyor. esit lnının, kürenin lnın ornı kçtır? 15

49 ÇYÜZYİ TI İSİMRİN HİMRİ İ PRİZMRIN HMİ ÖRN 87 h ik prizmnın hcmi ( V ) Tbn lnı ile yüksekliğin çrpımı kdrdır. V = Tbn lnı Yükseklik Şekildeki prizmnın tbnı eşkenr dörtgen, ynl yüzleri birer kredir. Tbn köşegenleri 6 br ve 8 br ise prizmnın hcmini bulunuz. ÖRN 85 şkenr üçgen dik prizmnın tbn yrıtı br, yüksekliği 5 br ise hcmini bulunuz. SN YYINRI ÖRN 86 Tbn lnı 0 br oln bir dik prizmnın hcmi 10 br tür. u prizmnın yüksekliği kç br dir? 155

50 tı isimler İÖRTGNR PRİZMSININ HMİ ÖRN 90 c b V = Tbn lnı.yükseklik =.b.c dir. ir dikdörtgenler prizmsının tüm yrıtlrı 1 er br uztılırs hcmi 60 br rtıyor. yrıtlrı uztılmdn önce prizmnın lnı 5 br olduğun göre frklı yrıtlrı toplmı kç br dir? ÖRN 88 ir dikdörtgenler prizmsının üç frklı yüzünün lnlrı 8 br, 10 br ve 0 br olduğun göre hcmini bulunuz. ÖRN 89 yrıtlrı, ve ile orntılı oln dikdörtgenler prizmsının hcmi 19 br ise lnı kç br dir? SN YYINRI ÖRN 91 enrlrı br ve 6 br oln dikdörtgen biçimindeki bir scın köşesinden kenrlrı 1 er br oln kreler kesiliyor. ln kısım ktlnrk üstü çık bir dikdörtgenler prizmsı elde ediliyor. u prizmnın hcmi kç br tür? 156

51 tı isimler ÖRN 9 ÖRN 9 5 M N 1 P Şekildeki dikdörtgenler prizmsının ü su ile doludur. = 10 br, = br, = 6 br olmk üzere, prizm yüzeyi üzerine ytırılırs içindeki suyun yüksekliği kç br olur? yrıtlrı br, br ve 5 br oln dikdörtgenler prizmsı biçimindeki bir mermerden şekilde görüldüğü gibi dikdörtgenler prizmsı biçimindeki bir prçsı kesilerek çıkrılmıştır. MN = br, NP = 1 br ise kln kısmın hcmini bulunuz. SN YYINRI TİNİ VİRİ (vliye) İSİ Tbn lnlrı ile yükseklikleri eşit oln iki cismin, tbnlrın prlel ve tbndn ynı uzklıktki düzlemsel kesitlerinin lnlrı eşit ise bu iki cismin hcmi eşittir. h h h Yukrıdki şekilde eşit syıd kğıt üst üste konup herhngi bir trf doğru eğilerek yeni cisimler elde edilmiştir. ğıt syısı değişmediğinden oluşn cisimlerin yüzey şekilleri frklı fkt hcimleri eşittir. h h h 1 1 = = V 1 = V = V 157

52 tı isimler ÖRN 9 z Şekilde köşelerinin koordintlrı y ÖRN 95 V = det(,, ) z (0, 0, 0), (, 0, 0), (,, 0), (0,, 0), (0, 0, ), (, 0, ), (,, ), (0,, ) oln dikdörtgenler prizmsı verilmiştir. un göre;. u prizmnın hcmini b. lt tbnı üçgeni oln prizmnın hcmini c. lt tbnı üçgeni oln prizmnın hcmini bulunuz. SN YYINRI y Şekilde köşelerinin koordintlrı (0, 0, 0), (, 0, 0), (,, 0), (0,, 0) (0, 1, ), (, 1, ), (,, ), (0,, ) oln eğik prizm verilmiştir. u prizmnın hcmini determinnt yrdımıyl bulunuz. V 1 + V = V olduğun dikkt ediniz. Örnek 9 deki tbnlı dik prizm ile Örnek 95 teki tbnlı eğik prizmnın hcimlerinin eşit olduğun dikkt ediniz. 158

53 tı isimler ÜPÜN HMİ ÖRN 98 V = Tbn lnı Yükseklik V =. = tür. Şekildeki küpte () = 16v br ise küpün hcmi kç br tür? ÖRN 96 lnının syısl değeri hcminin syısl değerine eşit oln küpün cisim köşegeni kç birimdir? SN YYINRI ÖRN 97 R H P N ÖRN 99 z y 5 ir yrıtı 5 br oln küpün köşesinden bir yrıtı br oln küp biçiminde bir prç kesilip tılmıştır. ln prçnın hcmini bulunuz. Şekildeki küpün bir yrıtı br dir. üpün hcmini determinnt yrdımıyl bulunuz. 159

54 tı isimler SİİNİRİN HMİ ÖRN iresel silindir, tbn yrıtlrının syısı sonsuz yklşn bir prizm olrk düşünülebileceğinden Hcmi = Tbn lnı Yükseklik V = πr h olur. Tbn yrıçpı cm, yüksekliği 8 cm oln dik silindir su ile doludur. Silindirdeki su, bir kenrının uzunluğu 8 cm oln küpe boşltılırs suyun yüksekliği oln kç cm dir? ÖRN 100 Tbn yrıçpı cm, yüksekliği cm oln silindirin hcmini bulunuz. ÖRN 101 Ynl lnı π br, hcmi 6π br oln dik silindirin yüksekliği kç br dir? SN YYINRI ÖRN 10 Şekildeki mumun tbn yrıçpı 1 cm, yüksekliği cm dir. un göre, 1. Mumun lnını ve hcmini bulunuz. b. Mum yklşık olrk 0 dkikd tmmen yndığın göre, 18 dkik yndıktn sonr kln kısmın lnını ve hcmini bulunuz. ÖRN 10 Yüksekliği tbn yrıçpının ktı oln dik silindirin hcmi 5π br ise tbn yrıçpı kç br dir? 160

55 tı isimler ÖRN 105 ÖRN dikdörtgeni [] etrfınd 60 döndürülürse oluşn cismin hcmi kç br olur? 1 dikdörtgeni l doğrusu etrfınd 180 döndürülüyor. luşn cismin hcmi kç br tür? SN YYINRI ÖRN dikdörtgeni [] etrfınd 60 döndürülürse oluşn cismin hcmi kç br tür? 161

56 tı isimler ÖRN 108 ÖRN dikdörtgeni l doğrusu etrfınd 60 döndürülüyor. luşn cismin hcmi kç br tür? çokgeni [] etrfınd 60 döndürülüyor. luşn cismin hcmi kç br tür? SN YYINRI ÖRN 111 ÖRN 109 ir yrıtı br oln küpün içine en büyük hcimli bir silindir yerleştirilmiştir. Silindirin hcmini bulunuz. ir dik silindirin içine en büyük hcimli kre prizm yerleştirilmiştir. Silindirin hcminin prizmnın hcmine ornı kçtır? 16

57 tı isimler ÖRN 11 ÖRN 11 5 Tbn çpı 6 br oln soldki silindir su ile doludur. u silindir tbn düzlemi ile 5 lik çı ypck şekilde eğilerek sğdki durum getirilirse içindeki suyun ne kdrı dökülür? 16 Şekilde tbn merkezleri ynı oln iki silindirden içteki su ile doludur. İçteki silindirin tbnın ykın noktsınd bir delik çılırs silindirin içindeki su seviyesi kç br olur? SN YYINRI ÖRN 11 Şekilde tbn yrıçpı br yüksekliği 6 br oln dik silindirin üst kısmındn bir prç kesilerek lınmıştır. ln kısmın hcmini bulunuz. 6 16

58 IŞTIRMR 7 1. z 6. yrıtlrı, b, c oln dikdörtgenler prizmsınd,.b = 6, b.c = 18,.c = 1 ise prizmnın hcmi kç br tür? y Şekildeki uzy yerleştirilmiş dik prizmd (, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, ) olduğun göre, pirzmnın hcmini bulunuz. 7., b, c yrıtlrı rsınd = bğıntısı bulunn dikdörtgenler b c 6 prizmsının lnı 60 br ise hcmi kç br tür?. 8. ir dikdörtgenler prizmsının hcmini 8 ktın çıkrmk için yrıtlrını kç ktın çıkrmlıyız?. Yukrıdki düzgün ltıgen dik prizmnın hcimini bulunuz. SN YYINRI 9. yrıtlrı br, br ve 5 br oln dikdörtgenler prizmsı biçimindeki kutucuklrdn en z kç tnesi ile bir küp elde edilir? 10. Yüksekliği tbn yrıtının ktın eşit oln kre prizmnın lnı 90 br ise hcmi kç br tür? Şekildeki üçgen dik prizmnın bütün yrıtlrı ynı uzunluktdır. Prizmnın lnı 1 + v br hcmi kç br tür? ise 11.,, ve ile,. yrıtlrı, ve 5 ile orntılı oln dikdörtgenler prizmsının hcmi 80 cm ise lnı kç cm dir? 5. yrıtlrı, b, c oln dikdörtgenler prizmsınd, + b = 5, b + c = 7, + c = 6 ise prizmnın hcmi kç br tür?, M ve N noktlrı lt ve üst tbn ort noktlrıdır. ıştki prizmnın hcmi V 1, içerdeki trlı prizmnın hcmi V ise V 1 kçtır? V N M 16

59 tı isimler 1. z 16. Tbn çevresi 8π br, yüksekliği 5 br oln silindirin hcmi kç br tür? y ve kenr ort noktlrıdır. ıştki prizmnın hcmi V 1, içteki prizmnın hcmi V ise V V kçtır? Hcmi 6π br oln silindirin yüksekliği br ise tbn yrıçpı kç birimdir? 18. Yüksekliği tbn çpının ktı oln silindirin hcmi π br ise tbn lnı kç br dir? 1. z 1 y 6 Şekildeki dikdörtgen prizmsının bir kısmı su ile doludur. u prizm en küçük lnlı tbnı üzerine ytırılırs suyun yüksekliği kç br olur? SN YYINRI 19. ir dik silindirin içine en büyük hcimli kre prizm yerleştiriliyor. re prizmnın tbn yrıtı br, yüksekliği 6 br ise silindirin ynl lnı kç br dir? 0. ir yrıtı 6 br oln küpün içine yerleştirilebilecek en büyük hcimli silindirin hcmi kç br tür? Şekildeki dikdörtgenler prizmsının hcmi 16v br ise kç birimdir? 15. Hcmi 6 br oln küpün cisim köşegeni kç birimdir? Hcmi 16 br oln küpün içine şekilde görüldüğü gibi birbirine ve küpün yüzeylerine teğet oln eş silindir yerleştirilmiştir. Silindirlerden birinin hcmi kç br tür? 165

60 tı isimler Şekildeki silindirin kesit lnı 16 br oln bir kredir. Silindirin hcmi kç br tür? dikdörtgeni [] etrfınd 60 döndürülüyor. luşn cismin hcmini bulunuz. 7.. Şekildeki silindir dik konum getirilirse içindeki suyun yüksekliği cinsinden neye eşit olur? dikdörtgeni [] etrfınd 180 döndürülüyor. luşn cismin hcmini bulunuz. 8.. SN YYINRI 5 II I İçi su dolu oln I. şekildeki silindirin tbn yrıçpı br dir. u silindir, II. şekildeki gibi 5 lik çıyl eğilirse içindeki suyun kç br ü dökülür? dikdörtgeni [] etrfınd 60 döndürülüyor. luşn cismin hcmini bulunuz Yukrıdki çokgen [] etrfınd 60 döndürülüyor. luşn cismin hcmini bulunuz. 0 II I Yüksekliği br tbn yrıçpı v br oln I. şekildeki silindir su ile doludur. u silindir II. şekildeki gibi 0 lik çı ile eğiliyor. ökülen suyun hcminin kln suyun hcmine ornı kçtır? 166

61 PİRMİİN HMİ ÖRN 117 Şekildeki pirmitte P h [P] tbn düzlemine diktir. [] [] = br = 5 br 5 Pirmidin hcmi % m(p ) = 5 ise 5 V = 1.Tbn lnı Yükseklik pirmidin hcmini bulunuz. ÖRN 115 Tbn lnı 0 cm, yüksekliği 6 cm oln pirmidin hcmi kç cm tür? ÖRN 116 Şekildeki düzgün kre pirmidin yn yrıt uzunluğu c br, tbn yrıtının T c SN YYINRI uzunluğu 6 br ise pirmidin hcmi kç br tür? 6 6 ÖRN 118 ir düzgün kre pirmidin yn yüzeyi tbn düzlemi ile 5 lik çı ypmktdır. Pirmidin hcmi 88 br ise tbn yrıtı kç birimdir? 167

62 tı isimler ÖRN 119 P Şekildeki dikdörtgen pirmitte [P] tbn düzlemine diktir. = br, = br, P = br ise P = kç br dir? P ÖRN 11 Şekildeki pirmitte P (M) = br SN YYINRI () = 9 br dir. Pirmit, tbn prlel bir düzlemle iki prçy yrılmıştır. M Üstteki prçnın hcminin, lttki prçnın hcmine ornı kçtır? ÖRN 10 P Şekildeki düzgün ltıgen pirmitte, = 5 br P = 1 br ise pirmidin 1 hcmi kç br tür? 5 168

63 tı isimler ÖRN 1 üzgün örtyüzlünün Hcmi ir pirmit tbn prlel iki düzlemle, yüksekliği üç eşit prçy yırck şekilde kesilmiştir. n üstteki prçnın hcminin en lttki prçnın hcmine ornı kçtır? H ir yrıtının uzunluğu br oln düzgün dörtyüzlünün yüksekliğinin h = br olduğunu biliyoruz. 6 üzgün dörtyüzlü bir pirmit olup hcmi 1 V =.Tbn lnı Yükseklik V = 1 6 V = bulunur. 1 lt ve üst tbnlrının lnlrı ve, yük- h SN YYINRI ÖRN 1 Yüksekliği v6 br oln düzgün dörtyüzlünün hcmi kç br tür? sekliği h oln düzgün kesik pirmidin hcmi 1 V =.h( + + l. ) dür. ÖRN 1 ir düzgün kesik kre pirmidin lt ve üst tbnlrının lnlrı sırsıyl 9 br ve br, yüksekliği 6 br ise hcmini bulunuz. ÖRN 15 Hcmi 9 br oln düzgün dörtyüzlünün yüksekliğini ve lnını bulunuz. 169

64 IŞTIRMR Tbn yrıtı 1 br, tüm lnı 8 br oln dik kre pirmidin hcmi kç br tür? 1v 6. Şekildeki düzgün kre pirmidin hcmini bulunuz. v. 6 c1 Şekildeki eşkenr üçgen dik pirmidin hcmi kç br tür? 6 8 Şekildeki dikdörtgen dik pirmidin hcmini bulunuz SN YYINRI Şekildeki eşkenr üçgen dik pirmidin hcmi v br ise yüksekliği kç br dir? 6 8 Şekildeki dikdörtgen dik pirmidin hcmini bulunuz. 8. M. T N Şekildeki küpte, N = N, T = T 8 Şekildeki dik kre pirmidin yn yüz yüksekliği 5 br ise hcmi kç br tür? = br dir. noktsı M yüzeyinin herhngi bir noktsı ise trlı pirmidin hcmi kç br tür? 170

65 tı isimler Şekildeki dikdörtgenler prizmsı içindeki trlı pirmidin hcmi kç br tür? Şekildeki üçgen pirmitte, ve kenr ort noktlrıdır. üyük pirmidin hcmi, trlı pirmidin hcminin kç ktıdır? Şekildeki dikdörtgenler prizmsı içindeki trlı pirmidin hcmi kç br tür? SN YYINRI Şekildeki pirmitte tbn düzlemine prlel iki düzlem yn yrıtlrı üç eşit prçy yırck şekilde kesmiştir. n üstteki prçnın hcminin en lttki prçnın hcmine ornı kçtır? N 5 Şekilde, N = N dir. Verilenlere göre trlı pirmidin hcminin dikdörtgenler prizmsının hcmine ornı kçtır? Şekildeki kre pirmitte yn yrıtlrın uzunluklrı br, br, 5 br ve br ise kçtır? 171

66 tı isimler Yüksekliği 6 cm oln düzgün dörtyüzlünün hcmi kç cm tür? RS = 6 br M = 8 br = 6 br P N T 6 R 6 S M 8 0. z Şekildeki kesik dik kre pirmidin tbnlrının ğırlık merkezleri ve dir. esik pirmidin hcmi kç br tür? y Şekildeki pirmidin tbn lnı br dir. Pirmidin 16. tepe noktsı (1, 1, ) olduğun göre, hcmi kç br tür? Şekildeki kesik kre pirmitte () = 6 br SN YYINRI 1. lnının syısl değeri hcminin syısl değerine eşit oln düzgün dörtyüzlünün lnı kç br dir? () = 16 br lt ve üst tbnlr rsındki uzklık br ise kesik pirmidin hcmi kç br tür?. 17. ir yrıtının uzunluğu v6 br oln düzgün dört- yüzlünün hcmi kç br tür? 18. lnı 6v br oln bir düzgün dörtyüzlünün hcmi kç br tür? Şekildeki dik pirmit 1 = olck şekilde tbn prlel bir düzlemle kesiliyor. lttki kesik pirmidin hcmi 78 br ise üstteki küçük pirmidin hcmi kç br tür? 17

67 NİNİN ve ÜRNİN HMİ İRS NİNİN HMİ P ÖRN 18 P h r iresel koni tbn kenr syısı sonsuz yklşn bir pirmit olrk düşünülebilir. u durumd Şekildeki P merkezli dire dilimi kıvrılrk koni oluşturuluyor. oninin hcmini bulunuz. V = 1 Tbn lnı Yükseklik V = 1 πr h bulunur. ÖRN 16 Tbn yrıçpı 9 br, n doğrusunun uzunluğu 15 br oln dik koninin hcmini bulunuz. SN YYINRI ÖRN 19 Yrıçpı br, hcmi 1π br oln koninin n doğrusunun uzunluğunu bulunuz. ÖRN 17 Hcminin syısl değeri tbn lnının syısl değerine eşit oln koninin yüksekliği kç br dir? 17

68 tı isimler ÖRN 10 ÖRN 1 v5 v5 5 dik ymuğu [] etrfınd 60 döndürülüyor. luşn cismin hcmi kç br tür? dik üçgeni [] etrfınd 60 döndürülüyor. luşn cismin hcmini bulunuz. SN YYINRI ÖRN 11 Tbn yrıçpı br, yüksekliği br oln koni su ile doludur. u su tbn yrıçpı br oln yeteri kdr yüksek bir silindirin içine boşltılırs suyun yüksekliği kç br olur? 17

69 tı isimler ÖRN 1 şğıd trlı lnlrın l doğrusu etrfınd döndürülmesi ile oluşmuş cisimler ynlrın çizilmiştir. İnceleyiniz. İ Sİ NİNİN HMİ P. r h öndürme 60 R b. Şekildeki büyük koninin hcmi V, küçük koninin hcmi V 1 ve kesik koninin hcmi V olsun. P & + P & olduğundn α öndürme 60 α SN YYINRI P P = + = h r R + h R = r = hr. R r olur. V = V V 1 = 1 πr.( + h) 1 πr. eşitliğinde c. hr. = yzrsk R r r hr. hr. V = R h r ; c + m. R r R r r Rh. hr. = R. r ;. R h R r öndürme 180 r h =. [ R r] R r r h =. ( R r)( R+ R. r+ r) R r d. V = r h.(r + R.r + r ) bulunur. öndürme

70 tı isimler ÖRN 1 1 ÖRN 15 dik konisi [] etrfınd 60 döndürülüyor. luşn cismin Şekildeki kesik koninin tbn merkezleri ve dır. = 1 br, = br ve = br ise kesik hcmini bulunuz. koninin hcmi kç br tür? SN YYINRI ÖRN 16 Şekildeki koni P yüksekliğini eşit iki prçy bölecek şekilde tbn R prlel bir düzlemle kesiliyor. oninin hcmi br ise oluşck kesik koninin hcmi kç br olur? 176

71 tı isimler ÜRNİN HMİ ÖRN 10 Tbnı küre yüzeyinde, ucu kürenin merkezinde olck şekilde koni biçiminde demir cisimler kürenin tüm yüzeyini kplyck şekilde çkılmıştır. u konilerden bir tnesinin tbn lnı olsun. oninin yüksekliği kürenin yrıçpın ( r) eşit olduğundn kürenin hcmi; Şekildeki yrım kürenin lnı 7π br ise hcmi kç br tür? V = 1 r.konilerin tbn lnlrı toplmı V = 1 r.πr V = πr bulunur. ÖRN 17 Yrıçpı br oln kürenin hcmi kç br tür? SN YYINRI ÖRN 11 = br olmk üzere uzyd [] ye uzklığı br oln noktlrın oluşturduğu yüzey ile sınırlnmış cismin hcmini bulunuz. ÖRN 18 lnı 6π br oln kürenin hcmi kç br tür? ÖRN 19 Yrıçpı 1 cm rttırıldığınd lnı 0π rtn kürenin hcmi kç cm tür? 177

72 tı isimler ÖRN 1 Tbn yrıçpı br, n doğrusu 5 br oln koninin içine yerleştirilebilecek en büyük hcimli kürenin hcmi kç br tür? ÖRN 1 Hcmi 6π br oln bir küreyi içine lbilecek en küçük hcimli silindirin yüksekliğini bulunuz. SN YYINRI ÖRN 15 ÖRN 1 Metl bir küre eritilip eş küre oluşturuluyor. şlngıçtki kürenin lnının, elde edilen kürenin lnlrı toplmın ornı kçtır? Yrıçpı 5 br oln kürenin içine yüksekliği 8 br oln en büyük hcimli koni yerleştiriliyor. oninin hcmini bulunuz. 178

73 tı isimler üre iliminin Hcmi ir kürenin herhngi bir çpındn geçen iki yrım düzlemle küre yüzeyi rsınd kln cisme küre dilimi olduğunu biliyoruz. üre diliminin hcmi, kürenin hcminin kdrı olcğındn, V rr rr =. V = bulunur r α 60 üre pğının Hcmi h r ir küre yüzeyi bir düzlemle kesildiğinde elde edilen prçlrın her birine küre kpğı dendiğini biliyoruz. ÖRN 16 üre kpğının hcmi: Yrıçpı cm oln bir küreden merkez çının ölçüsü 0 oln bir küre dilimi kesiliyor. u dilimin hcmini bulunuz. SN YYINRI 1 V = πh (r h) tır. ÖRN 18 Yrıçpı 5 cm oln bir küre merkezinden br uzklıkt bir düzlemle kesiliyor. luşn küçük küre kpğının hcmini bulunuz. ÖRN 17 Şekildeki yrım kürenin yrıçpı 6 br dir. u cisimden çıkrıln 60 lik dilimin hcmi kç br tür?

74 tı isimler üre Tbksının Hcmi r r 1 ir küre yüzeyinin prlel iki düzlem rsınd kln prçsın küre kuşğı dendiğini biliyoruz. üre kuşğı ile prlel düzlemler rsınd kln ÖRN 19 Şekildeki küre tbksının hcmini bulunuz. cisme küre tbksı denir. Tbn yrıçplrı r 1, r oln ve yüksekliği oln küre tbksının hcmi; 1 1 V = r( r + r ) + r tür. 1 6 PTNİ ÇYÜZÜR PR ÇYÜZÜR RŞİM ÇYÜZÜR 180

75 IŞTIRMR 9 1. Yrıçpı v br oln dik koninin n doğrusu tbn düzlemi ile 60 lik çı ypmktdır. u koninin hcmi kç br tür? 6. Yrıçpı cm, hcmi 8π cm oln dik koninin n doğrusunun uzunluğunu bulunuz. 7. Hcmi br oln dik koni yüksekliğinin ort-. Yndki dik konide kesiti eşkenr üçgendir. = 6 br ise koninin hcmi kç br tür? 6 sındn tbn prlel bir düzlemle kesiliyor. luşn kesik koninin hcmi kç br tür? Yrıçpı br, yüksekliği 6 br oln silindirin içine yerleştirilen iki koninin hcimleri toplmı kç br tür? 6 SN YYINRI Şekildeki küre tbksının hcmi kç π br tür? 9. = olmk üzere. Şekildeki merkezli dire dilimi kıvrılrk koni oluşturuluyor. oninin hcmini bulunuz. 8 8 silindirin hcmi V 1 koninin hcmi V V ise 1 kçtır? V Trlı koninin hcmi V 1 6 Şekildeki merkezli yrım dire kıvrılrk koni oluşturuluyor. oninin hcmini bulunuz. büyük koninin hcmi V V ise 1 kçtır? V 181

76 tı isimler 11. şğıdki trlı bölgeler l doğrusu etrfınd 60 döndürülüyor. luşn cisimlerin hcimlerini bulunuz.. e. 60 f. b. 5 SN YYINRI c. g h. d. v5 v5 18

77 tı isimler 1. üçgeni l doğrusu 16. etrfınd 180 döndü- 5 rülüyor. luşn cismin hcmi kç br tür? 6 Yrıçpı 6 cm oln bir küreden merkez çısının ölçüsü 5 oln bir küre dilimi kesilmiştir. u dilimin hcmi kç π br tür? 1. Tbn merkezleri ve oln kesik koninin hcmini bulunuz r r 1 esik koni biçimindeki tht prçsının içinden koni biçiminde bir prç çıkrılmıştır. r 1 = r ise kln kısmın hcmi, çıkrıln kısmının hcminin kç ktıdır? 1. Şekildeki koninin hcmi V 1 içine çizilen silindirin V hcmi V ise kç- V tır? 1 SN YYINRI 18. Çpı 6 cm oln küre içine çizilebilecek oln en büyük hcimli küpün hcmi kç cm tür? Çpı 15 cm oln bir kürenin içine yüksekliği 9 cm oln en büyük hcimli dik silindir yerleştiriliyor. Silindirin hcmi kç cm tür? 1. şekildeki koni ters çevrilerek. şekildeki durum getirilirse içindeki suyun yüksekliği kç br olur? 0. Yrıçpı cm oln yrım kürenin içine yerleştirilen en büyük hcimli dik koninin n doğrusu kç cm dir? 18

78 tı isimler Yrıçpı cm oln bir silindirin içinde bir miktr su vrdır. u kb, yrıçpı cm oln bir metl bilye tılırs su kç cm yükselir? r r Şekildeki dik silindir ile kürenin yrıçplrı r dir. u iki cismin lnlrı eşit ise hcimleri ornını bulunuz. 6. Şekildeki dik koni ile, yrım kürenin hcimleri eşit oldu- ğun göre. kçtır? Şekildeki koninin tbnı, kürenin merkezinden geçen bir kesitidir. oninin hcmi π cm ise kürenin hcmi kç cm tür? SN YYINRI 7. ir kenr uzunluğu br oln demir küp eritilerek küre ypılıyor. luşn kürenin yrıçpı kç br dir? (π = lınız.) Şekildeki iç içe çizilmiş ve merkezli yrım kürelerin hcimleri ornı kçtır? Şekildeki merkezli küre diliminin hcmi kç br tür?. ir dik silindirin içine, silindirin yüzeyine ve lt ile üst tbnlrın teğet olck biçimde bir küre çiziliyor. Silindirin hcmi, kürenin hcminin kç ktıdır? 9. üp biçimindeki bir kbın içinde cm yüksekliğinde su vrdır. üpün içine yrıçpı 6 cm oln küre tıldığınd suyun yüksekliği kürenin merkezine gelmektedir. üpün bir yrıtı kç cm dir? 18

79 TST 1 t isimlerin Temel lemenlr M Şekildeki küpte = 6 br, = br ise kç birimdir? ) c1 ) 9v ) c ) 10v ) c1 Şekildeki küpün bir kenrı br ise (M) kç br dir? ) v ) ) v ) v ) z Şekildeki eşkenr üçgen dik prizmd = = br, = c7 br ise kç birimdir? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 10 SN YYINRI y Şekildeki küpte () = 8v br ise küpün cisim köşegeni kç br dir? ) v ) 5v ) 6v ) 7v ) 8v. z 6. y 8 Şekildeki uzyd çizilmiş oln küpte (, 0, 0) ise noktsının koordintlrı şğıdkilerden hngisidir? ) (,, 0) ) (, 0, ) ) (,, ) ) (,, ) ) (,, 0) Şekildeki dikdörtgenler prizmsınd = 8 cm = cm, = cm dir. ile rsınd yüzeyden hreket edecek bir cismin lbileceği en kıs yol kç cm dir? ) v7 ) c9 ) 10 ) 8 ) v5 189

80 tı isimler 7. Şekildeki dikdörtgenler prizmsınd = 8 br = 6 br = 10v br ise % m( ) = α kç derecedir? α 8 10v Yüzey köşegen uzunluklrı v7 br, 6 br ve 8 br oln dikdörtgenler prizmsının cisim köşegeni kç br uzunluktdır? ) 7 ) 8 ) 9 ) 10 ) 11 ) 0 ) 5 ) 60 ) 75 ) ir yrıtının uzunluğu br oln düzgün dörtyüzlünün yüksekliği kç br dir? 8. Tbn merkezleri ve oln silindirin tbnı üzerindeki bir nokt P dir. Silindirin tbn yrıçpı br, ) 6 ) ) 6 ) ) 6 = br ise P kç br dir? ) ) 9 P ) 5 ) 11 ) 6 SN YYINRI 1. Tüm yrıtlrının uzunluğu br oln kre pirmitte yn yüzeylerin tbn düzlemi ile yptığı çı ise tn kçtır? 9. ) 1 ) v ) v ) v ) v irim krelerden oluşn kâğıttki trlı bölgeye,,,, hrfleri ile gösterilen bölgelerden biri dh ktılırs bir küp çınımı oluşcktır. un göre, trnck bölge şğıdkilerden hngisi olmz? ) ) ) ) ) 1. Yrıçpı br oln çeyrek dire dilimi kıvrılrk bir dik koni oluşturulurs bu koninin yüksekliği kç br olur? ) c1 ) c1 ) c15 ) c17 ) c