2013 AKDENĐZ MATEMATĐK OLĐMPĐYATI 1. AŞAMA SINAVININ ÇÖZÜMLERĐ

Transkript

1 0 KENĐZ MTEMTĐK OLĐMPĐYTI. ŞM SINVININ ÇÖZÜMLERĐ 8. kdeiz Mtemtik Olimpiytı birici şm srulrıı çözümlerii rcılığıyl mtemtikseverleri hizmetie suuyruz. Đyi çlışmlr dileriz L. Gökçe. [ ] ifdesi, d büyük lmy e büyük tmsyıyı göstermek üzere, deklemii tüm çözümlerii tplmı kçtır? + = [ ] 0 ) 0 b) c) d) e) 4 Çözüm: < 0 içi [ ] 0 + > lduğud egtif syılrd deklemi çözümü yktur. = 0 deklemi sğlmdığıd > 0 lduğuu vrsybiliriz. = [ ] + bir tmsyı lduğud, bir pzitif tmsyı lmk üzere = şeklidedir. Tm değer fksiyuu tımıd dlyı < [ ] eşitsizliği vrdır. lyısıyl = [ ] + > lup < dir. =, =, = değerleri deklemde deeirse bu syılrı birer çözüm lduğu görülür. Tplm + + = elde edilir. evp. 0 kişilik bir sııft bir mtemtik testi ypılıyr. Herkesi e z bir sru çözdüğü bu sıvd, testteki her bir prblem tm öğreci trfıd çözülüyr. 0 öğrecii iki tesi dışıd her biri 5 er sru çözüyr. Bu göre frklı syıd sru çöze iki öğreci rsıd z syıd sru çöze öğreci, e z kç sru çözmüş lbilir? ) b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 Çözüm: Sıvd te sru srulmuş lsu. < y lmk üzere s iki öğreci ve y te sru çözmüş lsulr., y dir y = dir. = 7 içi + y = lup = 0, y = dir. ve y pzitif lduğud burd bir değer bulmyız. = 8 içi + y = 4 lur., y 8 lduğud y = 8 içi = 6 buluur. evp. 6! Syısıı böldüğüde 6 klı elde edile kç syı vrdır? ) b) c) 6 d) e)

2 Çözüm: > 6 bir tmsyı lmk üzere 6! 6(md ) lmlıdır. Burd 74 0(md ) yzılır. 74 Z lduğud 74 syısıı pzitif böle syısıı bullım = lup pzitif böle syısı ( + )( + )( + )( + ) = 6 dır. Fkt, {,,, 6} değerlerii lmycğıd 6 4 = te değeri vrdır. evp E 4. Terimlerii tmmı tmsyı l bir ritmetik dizide, = tür. = terimi ile 0 terimi rsıd e z 00 te terim lmsı kşuluyl, 0 syısı bu dizii e z kçıcı terimi lbilir? ) 5 b) 0 c) 6 d) e) 08 Çözüm: =, = 0 ve ritmetik dizii rtk frkı d lsu. =, = 0 rsıd e z 00 terim vrs 0 lmsı gerekir. Bir ritmetik dizide = ( ) d + lduğud ( ) d = 0 = 000 dir. 000 lduğud = 00 y d = 5 gibi değerleri iceleriz. Burd = 0, = 6 değerleri buluur. 0 syısı seçeeklerde ls d 0 kşulud dlyı = 6 e küçük değer lur. evp b + = 0 deklemii,, köklerii üçü de egtif reel syılrdır = 8 lduğu göre, + ifdesi şğıdkilerde hgisie eşittir? ) 79 6 b) + 4 c) + d) 7 4 e) Çözüm: Viet teremie göre kökler çrpımı = dir. Köklerii üçü de egtif reel syılr lduğud,, pzitif syılr lup ( ) + 9( ) + 4( ) = 8 dir. ritmetik gemetrik rtlm eşitsizliğide ( ) + 9( ) + 4( ) ( )9( )4( ) lup 8 8 elde edilir. Ortlm eşitsizlikleride, eşitlik durumu ck ve ck 8 ( ) = 9( ) = 4( ) = ike sğlcktır. Burd =, =, = lup 79 + = ( ) + = elde edilir. evp 6 NOT: Pekiştirici lmsı çısıd, bu prblemi kdeiz dy srusu lrk hzırldığım rijil versiyuu d sulım. 4 kdeiz dy Srusu: + + b + c + = 0 deklemii kökleri,,, 4 şeklideki egtif syılrdır = 4 lduğu göre 4 edir? ) 0 b) 9 c) 8 d) 6 e) 5

3 Çözüm: Viet teremide plimu kökler çrpımıı 4 = lrk hesplrız.,,, 4 syılrı pzitiftir. 6( ) + 7( ) + ( ) + 4( 4) = 4 lup ritmetik gemetrik rtlm eşitsizliğide 6( ) + 7( ) + ( ) + 4( 4) 4 6( ) 7( ) ( ) 4( 4) 4 yzılır. Burd 6 6 elde edilir. Eşitlik durumuu sğlmsı ck ve ck 6 = 7 = = 44 = 6 ike mümküdür. Burd 4 = ( 6) = 9 buluur. 6. B eşker üçgeide [] kerı üzeride E ktsı ve [B] kerı üzeride ktsı, E = lck şekilde lımıştır. [] üzeride, [ BF] [ ] lck şekilde de bir F ktsı lııyr. [BE] ile [] i kesiştiği kt N lmk üzere, NE i ve b ciside eşiti şğıdkilerde hgisidir? =, NF = b ise, ) + b b) + b c) + b d) ( + b) e) + b Çözüm: E =, = B ve m( ) = m( BE) = 60 lduğud BE ker çı ker eşliği vrdır. lyısıyl = BE ve m( ) = m( BE) lup m( FNB ) = 60 elde edilir. NFB dik üçgeide NB = NF = b lduğud BE = + b dir. evp B F E N b 60 b 0 B 7. pzitif reel syı lmk üzere, ifdesii lbileceği e büyük değer kçtır? ) 6 b) c) 9 d) 7 e)

4 + + Çözüm: = = şeklide yzlım. + = deirse + = lup = = elde edilir. ritmetik gemetrik rtlm eşitsizliğide + (9 / ) (9 / ) = 6 lup elde edilir. Eşitlik duru (9 / ) mu lizii de yplım: = içi = lur. + = içi + = 0 lup = ( ± 5 ) / değerleri içi = lur. evp 9 8. B üçgeii ker uzuluklrı, b, c ve kerı krşısıdki köşe çısı 60 lsu. + b + c = 4 ve b = ise, rı şğıdkilerde hgisidir? + b + c ) 4 b) 6 c) 8 d) 0 e) 5 Çözüm: Ksiüs teremide 6 = 9 + c c cs 60 lup c = c + 7 dir. Eşitliği her iki trfıı c ile çrprsk c = c + 7c = (c + 7) + 7c = 6c + lur. Bu göre buluur. evp B NOT: Bu prblemde c b c c c c ( + 7) = = = = 6 + b + c c c + 7 c + 7 c 7 = 0 deklemii pzitif bir köke ship lduğu gösterilmeli- + 7 dir. Đkici derecede deklem çözülürse, c = şeklide pzitif bir değer vrdır. 9. m( ) m( ) = 80 l B üçgeide B =, = b, B = c ise, b i ve c türüde eşiti şğıdkilerde hgisidir? ) c b) c c) ( c ) d) + c c e) ( + c) c Çözüm: m( ) = α diyelim. ( ) 90 m = + α lur. [B] üzeride m( B ) = α lck şekilde bir ktsı llım. Bu durumd m( ) = m( ) = 90 α lduğud üçgei ikizker lup = = b dir. B = b dir. B ~ B ( bezerli-

5 ği) lduğud B = B edilir. evp B B b c = yzılır. Burd c b = c lup c b = elde c α b B b b α 0. Bir trbd üç frklı rekte bilye vrdır. Mvi bilyeleri syısı, srı bilyeleri syısıı ktı, beyz bilyeleri syısı d srı bilyeleri syısıı ktıı fzlsı kdrdır. Trbd, her lışt trbd bulu bilyeleri syısıı tsıı fzlsıı te biri bilye lırk, 7 def bilye lııyr. 7. lışt sr trbd bilye klmdığı göre, trbd ilk bşt kç te srı bilye vrdı? ) 5 b) 4 c) 76 d) 67 e) 8 Çözüm: Mvi, Beyz, Srı bilyeleri syısıı sırsıyl M, B, S ile gösterelim. M = S, B = S + lur. Trbd bşlgıçt bulu bilye syısıı 0 ile gösterirsek 0 = 6S + dir. Trbd ici def bilye lıdığıd kl bilye syısıı d ile gösterelim. iğer trft = + + lduğud + = elde edilir. 7 = 0 lduğud 6 = dir. Bu şekilde 5, 4,,,, 0 değerleri sırsıyl 4,, 40,, 64, 09 lrk elde edilir. 6S + = 09 eşitliğide S = 8 buluur. evp E. B = B = l B dörtgeide ( ) 08 m B =, ( ) 5 m = ise m( ) kç derecedir? ) 45 b) 54 c) 60 d) 7 e) 75 Çözüm: Geelliği bzmd B = B = ve = lbiliriz. Bu durumd ker uzuluğu birim l BEF düzgü beşgeii iş edebiliriz. E = ve ( m E ) = 5 08 = 45 lduğud E = lup E ikizker dik üçge lur. lyısıyl [], BEF ltıgeii simetri eksei lup ( ) ( ) 08 m B = m F = = 54 elde edilir. evp B

6 B E F. 5 6 ( ) + + = 0 deklemii reel çözümlerii syısı kçtır? ) b) c) d) 4 e) 6 Çözüm: 5 4 = ( )( ) lduğud = 0 elde edilir. Her iki trfı d ile bölersek = lur. + = değişke değiştirmesi ypılırs + =, + = lup deklem + = 0şeklie döüşür. Burd ( + )( ) = 0 deklemi elde edilir. = içi + = eşitliğide ( + ) = 0 lup = reel kökü buluur. = ± içi + = ± deklemlerii reel kökleri yktur. evp 0. ( + + y + 4 z) çılımıdki terimlerde biri rstgele seçiliyr. Seçile terimde çrpı bulum lsılığı kçtır? 7 ) b) c) 5 d) 5 e) Çözüm: Verile çılımd + b + c + d = 0 deklemii egtif lmy tmsyılrdki çözüm syısı kdr terim luşur. ğılım presibide = 86 te çözüm buluur. Şimdi + b = 7, + b + c + d = 0 deklem sistemii çözüm syısıı bullım. = 0, b = 7 içi c + d = lup 4 çözüm vrdır. =, b = 5 içi c + d = 4 lup 5 çözüm vrdır. =, b = içi c + d = 5 lup 6 çözüm vrdır. =, b = içi c + d = 6 lup 7 çözüm vrdır. Đstee durumlrı syısı = dir. Olsılık p ise, p = / 86 = / dür. evp B

7 0 syılrıd 00 e bölüele , 00 +, 00 +,, 0, ri tplmıı kç pzitif çift bölei vrdır? 0, ) 0 b) c) 4 d) 8 e) 7 Çözüm: 00 < k 0 eşitsizliğii sğly k tmsyılrıı belirleyelim. 0 < 00k 404 lup k 4 lur. Bu değerler içi elde edile k syılrıı tplrsk ( ) = 4 0 lup 4 5 syısıı pzitif bölei kdr 4 0 syısıı pzitif çift bölei vrdır. (Nede?) Bu syı ( + )( + )( + ) = 4 tür. evp + syısı tm bö- 5. Kç te m [ 00,00] tmsyısı içi lüür? m + m + syısı, m m ) 0 b) 7 c) 5 d) e) m + m + m + m m + m + 9 m + 9 Çözüm: = = + + lup = m + + m m + m m + m m + m m + m m + yzılbilir. m = 9 içi = 7 tmsyısı elde edilir. m > 9 durumuu iceleyelim. Z lmsı içi m + 9 m m + lmlıdır. Burd m m 8 0 lup m 4 elde edilir. Bu rlıktki değerler deeirse m {, 0,, 4} içi Z lur. m < 9 durumuu iceleyelim. Z lmsı içi m + 9 m m + lmlıdır. Burd m + 9 = m 9 ve m 9 m m + lup Tüm değerler m { 9,, 0,, 4} lup 5 tedir. evp m 0 elde edilir. Bu hlde çözüm yktur P( ) = plimuu kökleri,,, 4 lsu. Bu kökleri reel lduğu biliiyrs, S = ( )( )( )( ) ifdesii değeri kçtır? 4 ) 9 b) c) d) 4 9 e) 5 6 Çözüm: S 4 4 = ( )( )( )( )( + )( + )( + )( + ) yzlım. i =,,, 4 içi i syılrı P( ) plimuu kökleri ve + i syılrı d P( ) plimuu kökleridir. P( ) ve P( ) i kökler çrpımı sırsıyl M ve N ise S = M N dir. 4 4 P( ) = 6( ) 6( ) + 5( ) + 4( ) = c 4 4 P( ) = 6( ) 6( ) + 5( ) + 4( ) = c Viet teremide 8 M = =, 6 9 dersek c = 8 lur. dersek c = 7 lur. 7 4 N = = lup S = = buluur. evp 6 9 9

8 7. f ( ) fksiyu, syısıı bsmk syısıı göstermek üzere, f + f + f + + f 0 ( ) ( ) ( ) ( ) tplmı e fzl 70 lbiliyrs, syısı kç bsmklıdır? ) 0 b) 4 c) d) e) Çözüm: pzitif tmsyısı içi f ( ) = lg + dir. + bsmklı e küçük syı = 0 içi bu tplmı bullım. 0 f ( ) + f ( ) + f ( ) + + f ( ) = ( + ) + ( + ) + ( + ) + + (0 + ) 70 lup yzılır. Burd elde edilir. = içi syısıı bsmklı lduğuu lrız. Bu hlde f (0 ) + f (0 ) + f (0 ) + + f (0 ) = 540 elde edilir. Bu tplmı 70 lduğu durum örek vermek istersek bsmklı e büyük syı l 0 lg 0 =, 99 lcğıı = syısıı fksiyd yzbiliriz. Yklşık lrk ( ) 0 thmi edersek f ( ) + f ( ) + f ( ) + + f ( ) = = 70 e büyük değerie de ulşbiliriz. evp E if- 8., y ve z pzitif reel syılr lmk üzere, 7 y + 4z = 7 ise, desii lbileceği e küçük değeri buluuz. z y 07 ) 069 b) 070 c) 07 d) 07 e) 068 Çözüm: = + + z y + 07 dersek ritmetik gemetrik rtlm eşitsizliğide = yrılbilir. z z = 7 lup yzılır. z 4 z = ( z ) 4 4 yzılır. Bu göre ( 4) + ( 4) + 07 = 070 elde edilir. Bu değere =, y = 8, z = içi ulşılır. evp B 9. {,,,,0} kümesii, e büyük ve e küçük elemlrıı tplmı 0 l ltkümelerii syısıı 7 ye bölümüde kl kçtır? ) 0 b) 5 c) d) 6 e) Çözüm: ltkümeleri e küçük ve e büyük elemlrıı kümesii yzlım 006,007 lur. Bu elemlrı kullıldığı lt kümeleri syısı {,0 }, {,0 },, { } tplm lur. k (md 7), k + (md 7), k + 4(md 7)

9 lduğud T = ( + + 4) + ( + + 4) + + (md 7) elde edilir. evp E 0. Kç te m [ 00,00] tmsyısı içi, i her reel değeride, ve Q( ) = m syılrıı e z biri pzitif lur? P( ) = m ) 00 b) 000 c) d) 0 e) Çözüm: m 0 içi P(0) = Q(0) = m 0 lduğud plimlrı pzitif değer lmdığı bir reel syısı bulumuş lur. O hlde m > 0 durumuu iceleyelim. Prbller y eksei üzerideki (0, m) ktsıd kesişirler. 0 reel syılrı içi Q( ) > 0 lurke 0 reel syılrı içi P( ) > 0 lmktdır. lyısıyl her m > 0 syısı istee özelliğe shiptir. Verile rlıkt 00 te m değeri vrdır. evp. ( ) 70 m B =, ( ) 5 m B =, ( ) 55 m B =, ( ) 9 m = l dışbükey B dörtgeide köşegeleri kesim ktsı E ise, m( E ) kç derecedir? ) 9 b) 95 c) 97 d) 00 e) 0 m( B ) = = 58 ve ( ) m B = = dir. B çısıı Çözüm: ( ) çırtyıı çizelim ve bu çırty ile [E], bir I ktsıd kesişsi. ( ) 58 m IB = = 9 ve m( I ) = 9 lduğud BI bir kirişler dörtgeidir. yı yyı göre çevre çılrı eşitliğide m( IB ) = m( IB ) = 6 dir. ( ) ( m IB = m I) = 5 6 = 6 lduğud m( BI ) = m( I ) elde edilir. lyısıyl [I, B çısıı çırtyı lur. Bir üçgede iç çırtylr yı ktd geçtiğide [I, B üçgeide bir iç çırty lmlıdır. Böylelikle ( ) ( ) 70 m BE = m E = = 5 lup E üçgeii iç çılr tplmıd ( ) 9 m E = elde edilir. evp

10 5 5 I B 9 E NOT: ikkte değer bir özellik de şudur: ktsı B üçgeii ktsı göre dış teğet çemberii merkezi lmktdır.. =,,,,0 içi syısı, 0 = şeklide tımlsı. te sıfır = syısıı rkmlrı tplmı kçtır? ) 9 b) 0 c) d) e) Çözüm: = 0 + şeklide yzılbilir. Geel bir ifdeyle = diyelim. ( ) ( ) ( = ) ( 0 + ) + kre frkı özdeşliğii peş peşe kullılmsıyl ( ) lup her iki trfı 0 ile çrprsk iki = 0 / 9 elde edilir. Bu ifdei de + te rkmıı y y yzılmsıyl elde edile syısı eşit lur. Çükü gemetrik tplm yrdımıyl ( + = = ) vrdır. lyısıyl / 9 eşitliği i rkmlrıı tplmı + dir. 0 = buluur. evp. Bir krei her kerı üzeride, köşe ktlrı üzeride lmy 4 er kt işretlemiştir. yı ker üzeride bulumy herhgi iki işretlemiş kt lııyr ve bu ktlr bir dğru prçsı ile birleştiriliyr. Bu prçlrı herhgi üçüü rtk ktsı lmsı. Bu prçlrı kesişimide rty çık ktlrı tplm syısı kçtır? ) 500 b) 564 c) 600 d) 64 e) Hiçbiri

11 Çözüm : Bir B kresi çizelim. Prblemi üç lt durum yırıp çözelim. urum: Kerlrd ikisi seçilip bu iki ker üzeride ikişer kt seçebiliriz. (Şekil ) Bu durumlrı syısı (4, ) (4, ) (4, ) = 6 lur.. urum: Kerlrd biride iki kt, iki kerd d birer kt seçebiliriz. (Şekil ) Bu durumlrı syısı 4 (4, ) (4,) (4,) = 5 lur.. urum: Her bir ker üzeride bir kt seçebiliriz. (Şekil ) 4 Bu durumlrı syısı 4 = 56 lur. Bu üç durumd tplm = 64 elde edilir. evp B B B Şekil Şekil Şekil Çözüm : Tümleme presibii kullrk prblemi çözelim. Tplm 6 ktd 4 tesii seçelim. Tüm durumlrı syısı (6, 4) = 80 dir. Kerlrd birii üstüde y d dört kt lımsı durumlrı istemeye durumlrdır. Bir ker üzeride kt lıırs 4 (4, ) (,) = 9 istemeye durum lur. Bir ker üzeride 4 kt lıırs 4 istemeye durum lur. Đstee durumlrı syısı 80 (9 + 4) = 64 lur. evp lg00 4. = 0 deklemii tüm çözümlerii çrpımıı bir tmsyı lduğu biliiyrs, bu syıı rkmlrı tplmıı buluuz. ) b) c) d) 5 e) 8 00 Çözüm: Lgritm fksiyuu tımlı lbilmesi içi > 0 lmlıdır. (/)lg eşitliğide her iki trfı luk tbd lgritmsıı lırsk lg ( ) lg ( 0) lg = 0 = lup lg lg lg = + yzılır. lg = y değişke değiştirmesi ypılırs y y = 0 lup kökler tplmı y + y = dir. = 0 y y y y + y lduğud = 0 0 = 0 = 0 = 00 sucu ulşılır. Rkmlr tplmı lur. evp

12 5. üzgü geii merkezi O ktsı lmk üzere, [ O ] üzeride B, [ O ] üzeride B,, [ O ] üzeride B ktlrı, OB O k k =, ( k =,,..., ) k sğlck şekilde lımıştır. çkgeii lı ve BB B B çkgeii lı d B deilirse, B rı şğıdkilerde hgisidir? + B ) 4 b) 4 5 c) 5 6 d) 6 7 e) 7 8 Çözüm: üzgü çkgei çevrel çemberii yrıçpıı lduğuu kbul etmek geelliği bzmz. Yi O k = llım. OB k = lur. yrıc düzgü çkgei bir kerıı göre k merkez çıı ölçüsü de θ lsu. B4 = B lmk üzere k =,,..., değerleri içi Sk = l( OBk B k + ) lsu. k < içi S k = OBk OBk + si θ = (/ )siθ ve k( k + ) k = içi S = (/ )siθ lur. B = S + S + + S = (/ )siθ + k = k( k + ) lup teleskpik tplmd B = (/ ) siθ elde edilir. = (/ ) siθ lduğud B 6 = B yzılbilir. = = buluur. evp + B + 7