2 İLE BÖLÜNEBİLME: Birler basamağındaki rakamı : {0, 2, 4, 6, 8} rakamlarından herhangi biri olan her sayı 2 ile tam bölünür. Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir Dört basamaklı 729x sayısı 2 ile tam bölünebildiğine göre, x in alabileceği değerlerin toplamı A) 20 B) 14 C) 13 D) 12 E) 11 Beş basamaklı rakamları farklı 3056x sayısı 2 ile tam bölünebildiğine göre, x in alabileceği değerler toplamı A) 20 B) 14 C) 13 D) 12 E) 11 62
3 İLE BÖLÜNEBİLME: Rakamları toplamı 3 veya 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür. Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir. Dört basamaklı 5C42 sayısının 3 ile bölünebilmesini sağlayan C rakamının alabileceği değerlerin toplamı A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 4. Örnek: 5 < A < B koşulunu sağlayan ve 3 ile kalansız bölünebilen kaç tane üç basamaklı AB5 sayısı vardır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 (2003 DGS) Üç basamaklı 37K sayısı 3 ile kalansız bölünebildiğine göre, K nın alabileceği değerlerin toplamı A) 21 B) 20 C)18 D) 17 E) 15 (2001 DGS) 5. Örnek: Rakamları birbirinden farklı, üç basamaklı KLM sayısı 3 e kalansız olarak bölünebildiğine göre, iki basamaklı LM sayısının alabileceği en büyük değer A) 94 B) 95 C) 96 D) 97 E) 98 (2001 DGS) 3. Örnek: 27x24 beş basamaklı sayısı 3 ile tam bölünebildiğine göre, x kaç farklı değer alabilir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 6. Örnek: Rakamları birbirinden farklı dört basamaklı (5a3b) sayısı 3 e tam bölünebilmektedir. Buna göre, a + b toplamı en çok kaç olabilir? A) 18 B)17 C)16 D) 15 E) 12 (2002 LES) 63
7. Örnek: a, b, c rakamlarından oluşan abc biçiminde, üç basamaklı ve 3 ile kalansız bölünebilen bir sayı vardır. Bu sayı için b = 2a olduğuna göre, mümkün olan farklı c lerin toplamı nedir? A) 9 B)12 C) 5 D) 18 E) 21 (1982 ÖSS) 10. Örnek: İki basamaklı XY doğal sayısının 3 e bölünmesinden elde edilen kalan 2 dir. Buna göre, X + Y toplamının alabileceği en büyük değer A) 14 B) 15 C)16 D) 17 E) 18 8. Örnek: Birler basamağı 0 olan, 3 ile bölünebilen iki basamaklı en büyük pozitif doğal sayının, birler basamağı 0 olan, 3 ile bölünebilen iki basamaklı en küçük doğal sayıya oranı A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 1 Altı basamaklı 9x15y8 sayısının 3 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre, x + y toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı A) 12 B) 18 C) 50 D) 63 E) 70 (1994 ÖYS) 1 9. Örnek: Rakamları farklı, beş basamaklı 5x436 sayısının 3 ile bölümünden kalan 1 olduğuna göre, x yerine yazılabilecek rakamlar toplamı A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8 a b c d ve a, b, c, d tek sayılar olmak üzere, abcd dört basamaklı en büyük sayıdır. Bu sayı aşağıdakilerden hangisiyle kalansız bölünebilir? A) 3 B) 6 C) 9 D) 11 E) 13 (1995 ÖYS) 64
4 İLE BÖLÜNEBİLME: Son iki basamağı 00 veya 4 ün katı olan sayılar 4 ile bölünür. Bir sayının 4 ile bölümünden kalan, son iki basamağının oluşturduğu sayının 4 ile bölümünden kalana eşittir. Beş basamaklı 739x2 sayısının 4 e tam bölünebilmesi için x in alacağı değerler kaç tanedir? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 4. Örnek: A < B olmak üzere, üç basamaklı 7AB sayısı 4 ile tam bölünebilmektedir. Buna göre kaç farklı (A,B) ikilisi yazılabilir? A) 11 B) 10 C) 9 D) 8 E) 7 Üç basamaklı 3A6 sayısı 4'e kalansız bölünebildiğine göre, A kaç farklı değer alabilir? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 (2010 PMYO) 5. Örnek: Can'ın üç basamaklı 25A sayısı kadar bilyesi vardır. Can bilyelerini 3 ya da 4 arkadaşına eşit olarak paylaştırabiliyor. Buna göre A A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 (2010 ALS) 3. Örnek: Dört basamaklı 182L sayısı 4'e kalansız bölünebildiğine göre, L rakamının alabileceği değerler toplamı A) 4 B) 6 C)8 D) 10 E) 12 6. Örnek: Rakamları farklı, altı basamaklı a2813b sayısı 3 ve 4 ile tam bölünebilmektedir. Buna göre a+b nin en küçük değeri A) 3 B) 7 C) 10 D) 12 E) 13 (2002 DGS) 65
7. Örnek: Rakamları birbirinden farklı, 4 e kalansız bölünebilen, altı basamaklı en küçük sayının rakamları toplamı A) 18 B)19 C)20 D) 21 E) 22 (2004 ÖSS) 8. Örnek: Dört basamaklı AAAA sayısının 4 ile bölümünden elde edilen kalan 2 dir. Buna göre, A nın en küçük değeri A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 (2008 ALES ) 9. Örnek: Rakamları farklı, beş basamaklı a257b sayısının 4 ile bölümünden kalan 3 tür. Bu sayının, 3 ile tam bölünebilmesi için kaç farklı a değeri vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 66
5 İLE BÖLÜNEBİLME: Birler basamağı 0 veya 5 olan her sayı 5 ile tam bölünür. Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, birler basamağının 5 ile bölümünden kalana eşittir. 472xy beş basamaklı tek sayı olup 3 ve 5 ile tam bölünebilmektedir. Buna göre, x in kaç farklı değeri vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 4. Örnek: Üç basamaklı A6B sayısının 5 ile bölümünden kalan 2'dir. Bu sayı 3 ile tam olarak bölündüğüne göre, A + B toplamı en fazla kaç olabilir? A) 9 B)12 C)14 D) 15 E) 16 (2011 PMYO) Rakamları birbirinden farklı üç basamaklı 3KM sayısı 3 ve 5 ile kalansız bölünebilmektedir. Buna göre, K kaç farklı değer alabilir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 (2000 ÖSS) 5. Örnek: Üç basamaklı 3AB sayısının 5 ile bölümünden elde edilen kalan 2 dir. Bu sayının 3 ile bölümünden elde edilen kalansa 1 dir. Buna göre, A + B toplamının en büyük değeri A) 9 B) 11 C)13 D) 15 E) 16 (2008 KPSS) 6. Örnek: 3. Örnek: 163x sayısı 5 ile bölündüğünde 2 kalanını veren çift sayıdır. Bu sayının 4 ile bölümünden kalan A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 İki basamaklı AB doğal sayısının 3 e bölünmesinden elde edilen kalan 2 ve 5 e bölünmesinden elde edilen kalan 4 tür. Buna göre, A + B toplamının alabileceği en büyük değer A) 12 B) 14 C)15 D) 17 E) 18 (2009 JANU) 67
7. Örnek: Rakamları farklı, beş basamaklı 5x43y sayısının 5 ile bölümünden kalan 3'tür. Bu sayının 3 ile bölümünden kalan 1 olduğuna göre, x yerine yazılabilecek rakamlar toplamı A) 2 B) 10 C) 15 D) 20 E) 27 (2005 PMYO) 8. Örnek: 5 e tam olarak bölünemeyen pozitif tamsayılar küçükten büyüğe doğru sıralanıyor. Bu sıralamadaki 100. sayı aşağıdakilerden hangisidir? A) 120 B) 124 C)130 D) 134 E) 140 (2006 ÖSS) 68
8 İLE BÖLÜNEBİLME: 9 İLE BÖLÜNEBİLME: Son üç basamağı 000 veya 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür. Bir sayının 8 ile bölümünden kalan, o sayının son üç basamağının oluşturduğu sayının 8 ile bölümünden kalana eşittir. Rakamları toplamı 9 veya 9 un katı olan her sayı 9 ile tam bölünür. Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir. Altı basamaklı 5x31y2 sayısı rakamları farklı 8 ile tam bölünebilen bir sayıdır. x + y toplamı en çok 13 basamaklı 444 4 sayısının 9 İle bölümünden elde edilen kalan sayı A) 0 B) 3 C) 5 D) 6 E) 7 A) 1 B) 10 C) 13 D) 17 E) 18 252525 sayısının 9 a bölümünden kalan A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 7 ( 2004 JOK Uzm. J.) 7312xyz sayısı yedi basamaklı rakamları farklı, 8 ile tam bölünebilen bir sayı olduğuna göre, x + y + z toplamının en küçük değeri A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 3. Örnek: 25 basamaklı 2222222222222222222222222 sayısının 9 İle bölümünden elde edilen kalan sayı A) 0 B) 2 C) 4 D) 5 E) 7 (1988 ÖSS) 69
4. Örnek: Dört basamaklı 5A68 sayısı 9 a kalansız olarak bölünebilmektedir. Buna göre, A rakamı A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 (2009 JANA) 8. Örnek: Rakamları birbirinden farklı beş basamaklı 28A9B sayısının 9 ile bölümünden kalan 7, aynı sayının 5 ile bölümün den kalan ise 1 dir. A 0 olduğuna göre, A B farkı A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 (2001 ÖSS) 5. Örnek: Rakamları birbirinden farklı dört basamaklı (7a5b) sayısı 9 a tam bölünebilmektedir. Buna göre, a + b toplamı en çok kaç olabilir? A) 18 B)17 C)16 D) 15 E) 12 9. Örnek: Beş basamaklı 2x57y sayısı 5 ve 9 ile bölündüğünde 4 kalanını veren tek bir sayıdır. Buna göre, x A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 6. Örnek: Birler basamağı 3 olan ve 9 ile bölünebilen üç basamaklı sayılar abc biçiminde yazılacaktır. a>b>c koşulu ile böyle kaç tane sayı yazılabilir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 10. Örnek: 7. Örnek: (1981 ÖSS) Beş basamaklı x372y sayısının 5 ile bölümünden kalan 3 ve 9 ile tam bölünebildiğine göre, x kaç farklı değer alır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Üç basamaklı 82A sayısının 9 ile bölümünden elde edilen kalan 7 ve üç basamaklı 3AB sayısının 9 ile bölümünden elde edilen kalan 2 dir. Buna göre, üç basamaklı BAA sayısının 9 ile bölümünden elde edilen kalan A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 (2006 ÖSS) 70
10 İLE BÖLÜNEBİLME: Birler basamağı 0 olan her sayı 10 ile tam bölünür. Bir sayının 10 ile bölümünden kalan, birler basamağındaki rakama eşittir. Beş basamaklı 5X82Y sayısının 10 ile bölümünden kalan 6 dır. Bu sayının 3 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre, X in alabileceği değerlerin toplamı A) 9 B) 12 C) 15 D) 17 E) 18 4. Örnek: Dört basamaklı 5ABC sayısı 9 ile bölündüğünde 1, 10 ile bölündüğünde 3 kalanını vermektedir. Buna göre, A +B toplamı en az A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 (2010 DGS) 937mn beş basamaklı sayısının 10 ile bölümünden kalan 4 dır. Bu sayının 4 ile tam bölünebilmesi için m nin alabileceği kaç farklı değer vardır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 5. Örnek: abc biçiminde yazılmış üç basamaklı bir sayı 9 ile bölünebilmekte ve 10 ile bölümünden 4 kalanını vermektedir. a + b toplamının, bu koşulları sağlayan kaç değeri vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 (1983 ÖSS) 3. Örnek: İki basamaklı AB sayısı 4 ile tam olarak bölünebilmekte ve 10 ile bölündüğünde 2 kalanını vermektedir. Buna göre, A + B toplamı kaç farklı değer alabilir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 (2010 KPSS) 6. Örnek: Beş basamaklı 36... sayısı 3 ile kalansız bölünmekte, 10 ve 100 ile kalansız bölünememektedir. Bu sayının 10 ve 100 ile bölünmesinde kalan sayı aynıdır. Buna göre, 36... sayısının alabileceği en küçük değer A) 36111 B) 36006 C) 36012 D) 36003 E) 36000 (2002 LES) 71
11 İLE BÖLÜNEBİLME: Sayının rakamları sağdan sola doğru +,, +,, +,... şeklinde işaretlenir. abcde beş basamaklı sayısı için a b c d e olmak üzere, (a+c+e) (b+d) işleminin sonucu 11 in tam katı ise, abcde sayısı 11 ile tam bölünür. + - + - + Burada yapılan işlem, (+) gruplarla, ( ) grupların farkı 0 veya 11 in katı ise sayı 11 ile tam bölünür. 25 İLE BÖLÜNEBİLME: Beş basamaklı 7D562 sayısı 11 ile tam bölünebildiğine göre, D A)5 B)6 C)7 D)8 E)9 Son iki basamağı 00, 25, 50, 75 olan sayılar 25 ile tam bölünür. Beş basamaklı 43M6N sayısı 11 ile tam bölünebildiğine göre kaç farklı (M, N) ikilisi vardır? Rakamları farklı on basamaklı en büyük sayının 25 ile bölümünden kalan A) 0 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 3. Örnek: Üç basamaklı bir sayının yanına, kendisi tekrar yazıldığında elde edilen 6 basamaklı sayı aşağıdakilerden hangisine her zaman kalansız bölünür? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 11 Beş basamaklı 451ab sayısı 25 ile bölünebilen çift sayı olduğuna göre, a yerine gelebilecek en büyük rakam A) 0 B) 2 C) 3 D) 5 E) 7 (2002 KPSS) 72
AÇIKLAMA: Aralarında asal olan iki sayının her biri ile bölünen bir sayı, bu sayıların çarpımı ile bölünür. 6 ile bölünebilme: 2 ve 3 ile bölünebilmeli 12 ile bölünebilme: 3 ve 4 ile bölünebilmeli 15 ile bölünebilme: 3 ve 5 ile bölünebilmeli 18 ile bölünebilme: 2 ve 9 ile bölünebilmeli 20 ile bölünebilme: 4 ve 5 ile bölünebilmeli 24 ile bölünebilme: 3 ve 8 ile bölünebilmeli 30 ile bölünebilme: 3 ve 10 ile bölünebilmeli 45 ile bölünebilme: 5 ve 9 ile bölünebilmeli Altı basamaklı KKKKKK sayısı 6 ya tam olarak bölünebildiğine göre, K nın alabileceği en küçük değer A) 1 B) 2 C) 3 D) 6 E) 8 (1999 KPSS) 3. Örnek: Üç basamaklı A3B sayısı 6 ile kalansız bölünebilmektedir. Aynı sayı 5 ile bölündüğünde kalan 3 olduğuna göre,a nın alabileceği değerler toplamı A) 9 B)10 C) 11 D) 12 E) 15 (2009 ALES) Üç basamaklı a2b sayısı 6 ile kalansız bölünebilmektedir. Aynı sayı 5 ile bölündüğünde kalan 4 olduğuna göre, a nın alabileceği değerler toplamı A) 12 B)15 C)16 D) 17 E) 18 (1998 ÖYS) 4. Örnek: İki basamaklı olan ve 12 ile tam bölünebilen en büyük sayı ile en küçük sayı arasındaki fark A) 84 B) 80 C) 76 D) 72 E) 60 (1992 ÖYS) 73
5. Örnek: Beş basamaklı 91M1N sayısı 12 ile tam bölünebildiğine göre, M + N toplamının en büyük değeri A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17 8. Örnek: Rakamları farklı yedi basamakla 17026mn sayısı 15 sayısı ile tam bölünebildiğine göre, m aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 9 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 (1999 ÖSS) 6. Örnek: Beş basamaklı 9A3B4 sayısı 12 ye kalansız olarak bölünebildiğine göre, A + B toplamının en küçük değeri A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 (2009 PMYO) 9. Örnek: Dört basamaklı 3A4B sayısı 15 ile kalansız olarak bölünebildiğine göre, A + B toplamının en büyük değeri A) 15 B)14 C)13 D) 12 E) 11 (2008 PMYO) 7. Örnek: Altı basamaklı 5A140B sayısının 12 ile bölümünden kalan 10 olduğuna göre, A nın alabileceği farklı değerlerin toplamı A) 9 B) 12 C)15 D) 30 E) 33 10. Örnek: Rakamları birbirinden farklı 4A3B sayısı 15 ile bölünebilen dört basamaklı bir tek tamsayıdır. Buna göre, A kaç farklı değer alabilir? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 (2001 KPSS) 74
1 Beş basamaklı 5M28N sayısının 15 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre, M nin alabileceği değerlerin toplamı A) 15 B)18 C)24 D) 27 E) 30 14. Örnek: Bir sayının 18 ile bölümünden kalan 7 dir. Aynı sayının 6 ile bölümünden kalan A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 (2006 KPSS) 15. Örnek: 1 2x41y beş basamaklı sayısının 15 e bölümünden kalan 7 olduğuna göre, x yerine kaç farklı değer yazılabilir? Beş basamaklı 561ab sayısı 30 ile bölünebildiğine göre, a yerine gelebilecek en büyük rakam A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 (1994 ÖSS) A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 16. Örnek: 13. Örnek: A, B, C birbirinden farklı rakamlar olmak üzere, 18 ile kalansız bölünebilen üç basamaklı en büyük ABC sayısında C 3A7B dört basamaklı, sayısının 30 ile bölümünden kalan 18 olduğuna göre, A + B nin alabileceği en büyük değer A) 17 B) 16 C) 14 D) 11 E) 8 A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 (2006 DGS) 75
17. Örnek: x pozitif bir tamsayı ve y = 5z + 7 z = 6x + 5 olduğuna göre, y nin 30 a bölümünden kalan A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 (2004 DGS) 18. Örnek: Dört basamaklı 6A2B sayısı 45 sayısının tam katıdır. Buna göre, A nın alabileceği değerler toplamı A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 (2008 ÖSS ) 76
A sayısının C ye bölümünden kalan m, B sayısının C ye bölümünden kalan n olsun, Bu durumda, 1) A B nin C ile bölümünden kalan m n, 2) A ± B nin C ile bölümünden kalan m ± n, 3) k A nın C ile bölümünden kalan k m dir, 4) A k nın C ile bölümünden kalan m k dır. Bölünebilme Kuralları Ayrıca, m n, m ± n, k m, m k sayıları C den büyük ise bu değer tekrar C ye bölünerek kalan belirlenir. 7k + 4 biçimindeki bir sayı 3 ile kalansız bölüne bildiğine göre, 21'den küçük k pozitif tam sayıları kaç tanedir? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 (2011 YGS) 3. Örnek: Bir x doğal sayısının 5 e bölümünden kalan 3 olduğuna göre, 7x + 6 sayısının 5 e bölümünden kalan A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 (2006 KPSS) Beş basamaklı abcd4 sayısıyla altı basamaklı abcde7 sayısı toplanıyor. Bu toplamın 5 e bölümünden elde edilen kalan 4. Örnek: (3432) 3. (637643) 2 sayısının 5 ile bölümünden kalan A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 (2005 LES) 77
5. Örnek: x sayısı 8 ile bölündüğünde kalan 3 olduğuna göre, x 2 + x + 1 sayısı 8 e bölündüğünde kalan A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 (2003 LES) 8. Örnek: A sayısı 101 tane 1923 sayısının toplamıdır. Buna göre, A nın 9 ile bölümünden elde edilen kalan A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 (2007 ALES) 6. Örnek: 181 2. 364 3 sayısının 9 ile bölümünden elde edilen kalan A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5 (2007 ALES) 9. Örnek: x sayısının 11 ile bölümünden elde edilen kalan 6, y sayısının 11 ile bölümünden elde edilen kalan ise 9 dur. Buna göre, x y çarpımının 11 ile bölümünden elde edilen kalan A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 (2008 DGS) 7. Örnek: Bir x sayısının rakamlarının sayı değerlerinin toplamı 25 tir. Buna göre, x 2 sayısının 9 ile bölümünden kalan A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 (1999 ÖSS İPTAL) 10. Örnek: a3bc ve a4bc dört basamaklı birer doğal sayıdır. a3bc sayısı 15 e bölündüğünde kalan 6 olduğuna göre, a4bc sayısı 15 e bölündüğünde kalan kaç olur? A) 1 B) 3 C) 5 D) 6 E) 7 (2003 ÖSS) 78
1 (25.24.23.22) + (15.14.13.12) ifadesi aşağıdakilerden hangisine kalansız olarak bölünemez? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 (2001 LES) 1 9! +10! sayısı aşağıdakilerden hangisine tam olarak bölünemez? A) 15 B) 14 C) 26 D) 44 E) 72 (2000 ÖSS) 79