3.ALT GRUPLAR HG, Tanım 3.. (G, ) bir grup ve nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. Eğer (H, ) bir grup ise H ye G nin bir alt grubu denir ve H G ile gösterilir. Not 3.. a)(h, ), (G, ) grubunun alt grubu olsun. e H, H nin birimi ve e, G nin birimi olsun. Şu halde e H e H = e H = e H e olduğundan e H = e dir. Böylece G ve H gruplarının birimi aynıdır. b)h H olsun. h, h nin H deki tersi ve h, h nin G deki tersi olsun. Şu halde h =h e = h (h h ) = (h h) h = e h = h olur. Yani h H nin H deki ve G deki tersleri aynıdır. c)(g, )bir grup ise G ve {e G } her zaman (G, ) grubunun alt gruplarıdır. Bu alt gruplara aşikar alt gruplar denir.(g, ) grubunun diğer alt gruplarına da öz alt gruplar denir. Önerme 3.3. G bir grup ve H G olsun. H nin bir alt grup olması gerek ve yeter koşul i) ab H ve ii) a H a H olmasıdır. İspat : : H G olsun. H kendi başına bir grup olduğundan grup aksiyomlarının hepsini sağlar. Bundan dolayı i) ve ii) sağlanır. : Verilen H kümesi i) ve ii) koşulları sağlansın. Bu halde birleşme özelliğini ve birim elemanın varlığını göstermek yeterlidir. deki tüm elemanlar birleşme özelliği sağlandığından, H alt kümesindeki elemanlar de sağlanır. Bir a H alalım. ii) koşuluna göre a H dır. Şu halde a H olmasından i) koşuluna göre aa e H elde edilir. a, G Önerme 3.4. G grubun boş olmayan bir H alt kümesinin alt grup olması gerek ve yeter koşul ab H (veya a b H ) olmasıdır. İspat : : H G ise b H b H ve ab H dır. : ab H olsun. H olduğundan a H var ve a b kabul edilen koşul gereği aa e H bulunur. Varsayımdan b H eb b H olur. Şu halde önceki önermenin ii) koşulu sağlanır. b H ve ( b ) b göz önünde tutularak, a( b ) ab H bulunur. Şu halde önceki önermenin i) koşulu da sağlanır ve H G bulunur.
Önerme 3.3 ve Önerme 3.4 den aşağıdaki iki önermeyi ispatlayabiliriz. Önerme 3.5. G ve yeter koşul i) ii) ah bir toplamsal grup ve H G olsun. H a + b H ve a H olmasıdır. nin bir alt grup olması gerek Önerme 3.6. G toplamsal grubunun boş olmayan bir H alt kümesinin alt grup olması gerek ve yeter koşul a b H (veya b a H) olmasıdır. Örnekler 3.7 ) G bir değişmeli grup ve H x G x e { : } Çözüm: Gerçekten e = e olduğundan H olur. ( ab ) ( ab) a b e olduğundan dır. ab H olsun. Bu halde H G dir. a b e ve böylece n ) G { : n Z} adi çarpma işlemine göre bir değişmeli gruptur. Çözüm: Gerçekten, G R{0} ve adi çarpma işlemine göre gruptur. Buradan m n m n m n mn m, n Z olmak üzere, G ( ) G dir. R {0} 3) G grubunun tüm elemanları ile değişmeli olan elemanların kümesi bir alt gruptur. Çözüm: Bu elemanların kümesini M(G)ile gösterelim. Yani M(G) = {a G: g G ag = ga} olsun. a, b M(G) alalım. Şu halde her g G (ab)g = a(bg) = a(gb) = (ag)b = (ga)b = g(ab) olduğundan ab M(G) olur. Ayrıca her g G bg = gb eşitliğinde her iki tarafı soldan ve sağdan b ile çarpalım. Bu durumda b g = gb olduğundan b M(G) dir. Böylece M(G) < G dir. M ye G nin merkezi denir. 4) G bir grup ve a G olsun. M ( a) { g G : ag ga } kümesi G ( Bu alt gruba a nın merkezleştiricisi denir). Çözüm: Gerçekten, x, y M ( a) ax xa ve ay ya nin bir alt grubudur dır. ay = ya eşitliğinin her iki tarafını sağdan ve soldan y ile çarpalım böylece y a = ay elde ederiz. Bu durumda (xy )a = x(y a) = x(ay ) = (xa)y = (ax)y = a(xy ) olur böylece xy M(a) dir. 5) S 4 de a=(3) nın M(a) merkezleştiricisini bulalım. Çözüm: x M(a) xax = (x()x()x(3)) = a = (3) = (3) = (3) x() = x() = { x() = { x() = 3 x(3) = 3 x(3) = { x() = 3 x() = x(3) =
bulunur. Bunlar ise sırasıyla x = ( 3 3 ) = e, x = ( 3 3 ), x 3 = ( 3 3 ) permütasyonlarını verir. Sonuç olarak M(a)= {e, (3), (3)} bulunur. 6) n 3 olmak üzere M(S n ) = {e} olduğunu gösteriniz. Çözüm: e σ S n olsun. İspatı yapmak τσ στ olacak şekilde τ S n bulmalıyız. σ e olduğundan σ(k) = m k olacak şekilde k, m I n vardır. n 3 olduğundan birbirinden farklı k, l, m I n vardır. τ = (kl) transpozisyonunu göz önüne alalım. Şu halde (τσ)(k) = τ(m) = m dir. Şimdi (στ)(k) = σ(l) m olduğunu gösterelim. Eğer σ(l) = m ise σ(l) = σ(k) olduğu görülür. Fakat σ birebir olduğundan l = k çelişkisi elde edilir. Böylece n 3 olmak üzere M(S n ) = {e} elde ederiz. H {0} k Z 8) Tam sayıların toplamsal grubunun tüm alt grupları olmak üzere şeklindedir, gösteriniz. Çözüm: H Z olsun. Eğer ise H 0Z dir. Eğer ise H da sıfır olmayan bir tamsayı vardır. H yi bir alt grup kabul ettiğimiz, bu tamsayının ters işaretlisi de H de olur. Buradan H de pozitif bir tamsayı var ve pozitif tamsayılar iyi sıralı olduğundan H deki pozitif tamsayıların en küçüğü vardır. Bu tamsayı k olsun. H kz { km : m Z} olduğunu gösterelim. k H olduğundan kz H bulunur. Tersine herhangi bir h H alalım. h yi k ile kalanlı olarak bölersek ; h qk r, 0 r k olacak şekilde q, r Z bulabiliriz. r h qk H olduğundan, nın seçiminden dolayı r 0, yani h kq kz elde edilir. Sonuçta Z nin bütün alt grupları H kz { km : m Z} şeklindedir. H {0} k kz 9) G { a b 5 i : a, b Q, a 0 veya b 0} ise G Ȼ-{0} dır. Çünkü, a b 5i ( a b 5 i)( c d 5 i) c d 5i ( c 0 veya d 0) = ( a b 5 i)( c d 5 i) c a b 5 i, c d 5i G 5d ( c 5d 0) = ac+5bd + (bc ad) 5 c +5d c +5d i olur. Şimdi ac+5bd (bc ad) 5 0 veya 0 olduğunu gösterirsek a+b 5i G olur. Varsayalım ki c +5d c +5d c+d 5i ac+5bd = 0 = (bc ad) 5 c +5d c +5d olsun. O halde ac + 5bd = 0 = bc ad bulunur. Eğer a = 0 ise bu durumda b 0 olacağından c = d = 0 çelişkisi elde edilir. Böylece a 0 elde edilir. Benzer biçimde b 0 dir. O halde ac = 5bd ve bc = ad eşitliklerini taraf tarafa çarpıp ab yi sadeleştirelim. Böylece c = 5d yani c + 5d = 0 çelişkisi elde edilir. Şimdi analizden birkaç alt grup örneği verelim. 3
0) i) Yakınsak reel dizilerin kümesinin C = {(a n ) n= : lim a n var} bi toplamsal grup n olduğunu göstermiştik. Sıfıra yakınsayan dizilerin kümesi C 0 = {(a n ) n= : lim a n = 0} C n alt kümesi olduğu açıktır. Şimdi C 0 ın C nin alt grubu olduğunu gösterelim. Sıfır dizisinin limiti sıfır olduğundan sıfır dizisi C 0 ın elemanı olup C 0 kümesi boştan farklıdır. (a n ), (b n ) C 0 alalım. O halde lim a n = 0 = lim b n olur. Böylece lim ( a n b n ) = lim a n lim b n = 0 n n n n n olduğundan (a n ) (b n ) C 0 olur. ii) [,] kapalı aralığı üzerinde sürekli reel değerli fonksiyonlarının kümesinin yani C[,] in toplamsal bir grup olduğu gösterilmişti. Şimdi S = {f C[,]: f ( π ) = 0} kümesinin bir 4 alt grup olduğunu gösterelim. f(x) = cosx S olduğundan S dir. Şimdi f, g S alalım. f, g C[,] ve f ( π 4 ) = 0 = g(π 4 ) olur. O halde f g C[,] ve (f g) (π 4 ) = f ( π ) g 4 (π ) = 0 olduğundan f g S olur. O halde S < C[,] dir. 4 Önerme 3.8. H bir G kapalı ise H G dır. grubunun boş olmayan sonlu bir alt kümesi ve G deki işlemlere göre İspat: Önerme 3.3 ün i) kapalılık koşulu sağlandığından ii) koşulunun sağlandığını da gösterirsek, ispat tamamlanmış olur. Bir a H alalım. Eğer a e ise a e H dir. a e olsun. H de işlem kapalı olduğundan a nın tüm pozitif kuvvetleri de H de bulunur. Fakat H m sonlu bir küme olduğundan a, a,..., a,... elemanlarının hepsi farklı olamazlar. Şu halde r s rs r s 0 tamsayıları a a olur. Buradan a e ve a e kabul ettiğimizden rs rs olmalıdır. Böylece r s 0 dır. Şu halde a a H elde edilir. Önerme 3.9. Bir grubun bir takım alt gruplarının ara kesiti de bir alt grubudur. İspat : { H } i i I ailesi, G grubunun bir takım alt grupları ve H = i I H i olsun. ab H olduğunu ispatlayalım. a, b H i I a, b H i i I ab H i (Çünkü Hi alt grup) ab H = olduğundan H < G dir. i I H i Not 3.0. Bir grubun iki alt grubunun birleşimi alt grup olması gerekmez. Gerçekten, toplamsal grubunun Z ve 3Z alt grupların göz önüne alırsak,3z 3Z olduğu halde 3 Z 3Z dır. Z 4
Tanım 3.. G bir grup ve AB, ile B kümelerinin çarpımı denir. Özel olarak, A {} a ise bu grubun iki alt kümesi olsun. {} a B ab AB { ab : a A, b B} ye A ile gösterilir. Benzer tanım toplamsal gruplar de yapılır. H, K kümeleri G nin iki farklı alt grubu olmak üzere HK = KH eşitliği her zaman doğru değildir. Şimdi aşağıda bu duruma bir örnek verelim. G S3 Örnek 3.. grubunun A {(3),()} alalım. AB {(3)(3),()(3),(3)(3),()(3)} ={(3),(3),(),(3)} ve B {(3),(3)} alt kümelerini göz önüne BA={(3)(3),(3)(3),(3)(),(3)()}={(),(3),(3),(3)} Böylece AB BA. Ayrıca B = C ise AB = AC eşitliği her zaman sağlanırken, tersi her zaman doğru değildir. Şimdi de buna bir örnek verelim. S 3 Örnek 3.3. ün üç alt kümesi A {(3),(3)}, B {(3),(3)} ve AB {(3),(),(3)} AC fakat B C.( B C AB AC) C {(),(3)} olsun. Bir G grubunun iki alt grubunun çarpımı alt grup olmak zorunda değildir. Şimdi bir örnek verelim. Örnek 3.4.G = GL(, Q) olmak üzere G bir gruptur. (GL(, Q) = Q rasyonel sayılar olmak üzere elemanları Q dan alınmış determinantları sıfırdan farklı x lik matrisler) b H : b Q 0 ve 0 K : a Q a olsun. H ve K, G nin alt grubudur. ab b HK : a, b Q a HK, G nin bir alt grubu değildir. Gerçekten, HK 0 fakat 3 HK 0 dır. Önerme 3.5. G bir grup ve H, K G olsun. HK G HK KH olmasıdır. İspat : : HK tutularak h k G olsun. HK ve h H, k K kh ( h k ) HK h H, k K olduğunu göz önünde bulunur. Bu halde KH HK olur. 5
x HK Diğer kapsama alalım. HK alt grup olduğundan x hk HK dır. Şu halde x ( hk) k h KH, yani HK KH. olsun. x, y HK h, h H, ve olacak şekilde ve k, k K xy vardır. ( hk )( hk ) hk k h dir. ve olduğundan ( kk ) h KH ( k bulunur. Kabulümüzden HK = KH olduğundan ve k ) h hk olacak xy şekilde ve bulunur. Şu halde h ( kk ) h ( hh) k HK elde edilir. Buradan HK G olduğu anlaşılır. : HK KH hh kk x h k y h k k k K h H Önerme 3.6. S n nin (n ) bütün çift permütasyonlarının kümesi A n, S n nin n!/ elemanlı alt grubudur. ( A n ye Alterne grup denir ) İspat :e A n olduğundan A n S n dir. f, g A n f ve g çift sayıda linin çarpımı olduğundan fg de çift sayıda linin çarpımı olur yani fg A n dir. A n sonlu Önerme 3.8 den A n < S n dir. S n grubunun eleman sayısı n! dir. S n de tek ve çift permütasyonların sayısının aynı olduğunu gösterirsek A n grubunun eleman sayısı n! elde edilir. A n = { f, f,, f k } olsun. A n nin elemanlarını bir (ab) ikilisi ile çarpalım. {(ab)f, (ab)f,, (ab)f k } permütasyonları da tek olur ve bunların dışında tek permütasyon yoktur. Gerçekten bir g tek permütasyonunu alalım (ab)g A n ve (ab)g = f i g = (ab)f i ( i k) olur. 6
SORULAR ) Tek tamsayılar kümesi T, çift tamsayılar kümesi C olsun T ve C, Z nin birer alt grubu mudur? Neden? ) r, s Z + olmak üzere H = {nr + ms n, m Z} kümesinin Z nin alt grubu olduğunu gösteriniz. 3) C kompleks sayılar grubunun Z[i] = {a + bi a, b Z} alt kümesinin C nin alt grubu olduğunu gösteriniz. 4) G = GL(, R) ve H = {[ a 0 ] : a ve b sıfırdan farklı reel sayılar} ise H < G olduğunu 0 b gösteriniz. 5) G değişmeli bir grup ve H, G nin bir alt grubu olsun. K = {a G a H} kümesinin de G nin bir alt grubu olduğunu gösteriniz. 6) K, bir H grubunun alt grubu ve H de bir G grubunun alt grubu ise K, G nin bir alt grubu mudur? Neden? 7) H = {f S 5 : f() = ve f(3) = 3} < S 5 olduğunu gösteriniz. 8) H = {x Z 0 : x (mod 3)} kümesinin Z 0 grubunun alt grubu mudur? Neden? 9) G = {(a, b): a, b R, b 0} ve G üzerinde tanımlanan ikili işlem (a, b) (c, d) = (a + bc, bd) olsun. (a)(g, ) bir gruptur, gösteriniz. (b)g değişmeli midir? (c)h = {(a, b) G a = 0}, G nin alt grubu mudur? (d)k = {(a, b) G b > 0}, G nin alt grubu mudur? (e)l = {(a, b) G b = }, G nin alt grubu mudur? (f)g nin birim elemanı e = (e, e ) olmak üzere, (a, b) = e denklemini sağlayan tüm (a, b) elemanlarını belirleyiniz. 0) G G, G G bir toplamsal grup ve, 3 G bu grubun alt grupları olsunlar. G G3 G G G G3 veya olduğunu gösteriniz. ise ) A {,,3} S ( A) S3 olmak üzere olmayacak şekilde bulunuz. grubunun iki H ve K alt grubunu H K bir alt grup 7
) G bir grup ve H G olsun. Her a G a H ise H, G nin bir alt grubu mudur? Neden? 3) Klein 4-lü grubunun tüm alt gruplarını bulunuz. 4) G bir grup ve H < G olsun. (i) ghg = {ghg : h H} < G olduğunu gösteriniz. (ii) ghg = H olduğunu gösteriniz. 5) M(S ) grubunu belirleyiniz. 6) G değişmeli grup ise M(G) yi belirleyiniz. 7) [ 0 ] GL(, R) M ([0 ]) yi bulunuz. 0 0 8) G bir grup ve a G olsun. a = 5 ise M(a) = M(a 3 ) olduğunu gösteriniz. 9) G bir grup ve a G ise M(a) = M(a ) olduğunu gösteriniz. 0) Q = Q {0} ve H, Q ın bir alt grubu olmak üzere Z {0} H ise H = Q dir, ispatlayınız. ) G bir grup, H G olsun. Aşağıdakileri ispatlayınız. (a) H, G nin alt grubu ise HH = H dır. (b) H sonlu ve HH H ise H, G nin alt grubudur. (c) Ancak (b) deki ifadenin gerektirmenin H sonlu değil ise doğru değildir. HH H iken G nin alt grubu olmayan bir H G kümesi bulunuz. 8