ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Gülesen ÜSTÜNDAĞ BAZI PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL YÖNTEMLERİN İNCELENMESİ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ADANA, 005

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL YÖNTEMLERİN İNCELENMESİ Gülesen ÜSTÜNDAĞ YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK ANABİLİMDALI Bu tez / / 005 Tarhnde Aşağıdak Jür Üyeler Tarafından Oybrlğ / Oyçokluğu İle Kabul Edlmştr İmza: İmza: İmza: Prof Dr Sadullah SAKALLIOĞLU Prof Dr Altan ÇABUK Doç Dr Selahattn KAÇIRANLAR DANIŞMAN ÜYE ÜYE Bu tez Ensttümüz İstatstk Anablm Dalında hazırlanmıştır Kod No: ProfDr Azz ERTUNÇ Ensttü Müdürü İmza ve Mühür Bu çalışma ÇÜ Blmsel Araştırma Projeler Brm Tarafından Desteklenmştr Proje No: FEF004YL5 Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bldrşlern, çzelge, şekl ve fotoğrafların kaynak gösterlmeden kullanımı, 5846 sayılı Fkr ve Sanat Eserler Kanunundak hükümlere tabdr

ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ BAZI PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL YÖNTEMLERİN İNCELENMESİ Gülesen ÜSTÜNDAĞ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İSTATİSTİK ANABİLİMDALI Danışman: Prof Dr Sadullah Sakallıoğlu Yıl: 005, Sayfa :9 Jür: Prof Dr Sadullah Sakallıoğlu Prof Dr Altan Çabuk Doç Dr Selahattn Kaçıranlar Parametrk olmayan statstksel yöntemler, parametrk br testle lgl br veya daha fazla varsayım sağlanmadığında kullanılmak üzere parametrk statstksel yöntemlere alternatf olarak gelştrlmştr Bu çalışmada bazı parametrk olmayan statstksel yöntemler ncelenmştr Bu amaçla, çalışmanın brnc bölümünde parametrk olmayan statstksel yöntemler hakkında önblg verlmş, bu yöntemlern tarhsel gelşm açıklanmış ve parametrk le parametrk olmayan statstkler arasındak lşk ele alınmıştır İknc bölümde tek örneklem ve k bağımsız örneklem çn bazı parametrk olmayan statstksel yöntemler ncelenmştrüçüncü bölümde değşmn eştlğ çn parametrk olmayan statstksel testler üzernde durulmuştur Anahtar Kelmeler: Parametrk olmayan statstk, İşaret test, Mann-Whtney U test, Segel-Tukey test, Moses test I

ABSTRACT MSc THESIS EXAMINATION OF SOME NONPARAMETRIC STATISTICAL PROCEDURES Gülesen ÜSTÜNDAĞ DEPARTMENT OF STATISTICS INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES UNIVERSITY OF ÇUKUROVA Supervsor: ProfDr Sadullah Sakallıoğlu Years: 005, Pages :9 Jury: Prof Dr Sadullah Sakallıoğlu Prof Dr Altan Çabuk Assoc Prof Dr Selahattn Kaçıranlar Nonparametrc statstcal procedures employ as an alternatve to the parametrc statstcal procedures when there s reason to beleve one or more than one assumptons have been volated In ths study, some nonparametrc statstcal procedures examned For ths purpose n the frst chapter, some nformatons and a bref hstory of nonparametrc statstcal procedures are gven and then the relatons establshed between parametrc and nonparametrc statstcs In the second chapter, some nonparametrc statstcal procedures for the sngle sample and two ndependent samples are gven In the thrd chapter, nonparametrc statstcal tests for equal varablty are examned Key Words: Nonparametrc statstcs, The sgn test, The Mann-Whtney U test, The Segel-Tukey test, The Moses test II

TEŞEKKÜR Bu tezn hazırlanmasında bana destek olan ve hçbr zaman yardımlarını esrgemeyen danışmanım sayın Prof Dr Sadullah Sakallıoğlu na, İstatstk blmne çok büyük katkılar yapmış ve yapmakta olan, Çukurova Ünverstes İstatstk Bölümü nün kurulmasında büyük emeğ geçen sayın Prof Dr Fkr AKDENİZ hocama ve İstatstk bölümü öğretm elemanlarına teşekkürlerm sunarım Ayrıca her zaman yanımda olan, madd ve manev katkılarını hç br zaman esrgemeyen, ben anlayışla karşılayan aleme teşekkürü br borç blrm III

İÇİNDEKİLER SAYFA ÖZ I ABSTRACT Π TEŞEKKÜR Ш İÇİNDEKİLER IV TABLOLAR DİZİNİ VIII GİRİŞ Parametrk Olmayan (Nonparametrk) İstatstksel Yöntemler Parametrk ve Parametrk Olmayan İstatstkler Arasında Br Köprü Olarak Rank Dönüşümler 7 Tek Örneklem Veya İkl Eşleştrme Problem 8 İk Bağımsız Örneklem Durumu 9 PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Wlcoxon İşaretlendrlmş Ranklar Test Varsayımlar Sıfır Hpotezne Karşıt Alternatf Hpotez 3 Test Hesaplamaları 4 Test Sonuçlarının Yorumlanması 4 5 Örnek 5 6 Büyük Örneklem İçn Wlcoxon T İstatstğne Normal Yaklaşım 9 7 Wlcoxon İşaretlendrlmş Ranklar Testne Normal Yaklaşım İçn Sürekllk Düzeltmes 8 Wlcoxon Test İstatstğne Normal Yaklaşım İçn Te Düzeltmes Tek Örneklem İçn Kolmogorov-Smrnov Uyum İylğ Test 4 Varsayımlar 4 Sıfır Hpotezne Karşıt Alternatf Hpotez 4 3 Test Hesaplamaları 5 4 Test Sonuçlarının Yorumlanması 8 5 Örnek 9 IV

6 Tek Örneklem İçn Kolmogorov-Smrnov Uyum İylğ Test İçn Güven Aralığının Hesaplanması 35 7 Normallk çn Lllefors Test 37 3 K-Kare Uyum İylğ Test 40 3 Varsayımlar 40 3 Sıfır Hpotezne Karşıt Alternatf Hpotez 40 33 Test Hesaplamaları 4 34 Test Sonuçlarının Yorumlanması 43 35 Örnek 44 36 k> Olduğunda Breysel Hücrelern Karşılaştırılması 46 37 K-kare Uyumun İylğ Test İçn Güven Aralığının Hesaplanması 49 38 K-kare Uyumun İylğ Test İçn Sürekllk Düzeltmes 5 39Teork Br Ktle Dağılımı İçn Uyumun İylğn Değerlendrmede K-kare Uyumun İylğ Testnn Uygulanması 5 30 K-kare Analznn Heterojenlğ 57 4 Tek Örneklem İçn Bnom İşaret Test 6 4 Varsayımlar 6 4 Sıfır Hpotezne Karşıt Alternatf Hpotez 6 43 Test Hesaplamaları 63 44 Test Sonuçlarının Yorumlanması 66 45 Örnek 67 46 Ktle Oranı İçn z Test 70 46 Ktle Oranı İçn z Test İçn Sıfır Hpotezne Karşıt Alternatf Hpotez 7 46 Ktle Oranı İçn z Test İçn Test Hesaplamaları 7 463 Ktle Oranı İçn z Test İçn Test Sonuçlarının Yorumlanması 73 464 Ktle Oranı İçn z Test İçn Örnek 73 465 Ktle Oranı İçn z Test İçn Sürekllk Düzeltmes 77 466 Ktle Oranı İçn z Test İçn Güven Aralığının Hesaplanması 78 V

467 Bnom Dağılım Değşkennde n Denemede m Nesnenn Başarısını Değerlendrmek İçn Ktle Oranı İçn z Testnn Genşlemes 79 47 Medyan İçn Tek Örneklem Test 8 48 Bnom Dağılımı İçn Uyumun İylğnn Değerlendrlmes 86 49 Tek Örneklem İçn Bnom İşaret Test nn Kullanımını Açıklamak İçn Ek Örnek 89 5 Tek Örneklem Run Test 9 5 Varsayımlar 9 5 Sıfır Hpotezne Karşıt Alternatf Hpotez 9 53 Test Hesaplamaları 93 54 Test Sonuçlarının Yorumlanması 94 55 Örnek 95 56 Büyük Örneklem Hacm İçn Tek Örneklem Run Testne Normal Yaklaşım 97 57 Tek Örneklem Run Testne Normal Yaklaşım İçn Sürekllk Düzeltmes 99 58 İkden Fazla Kategorden Oluşan Ver İçn Run Test 00 59 Sernn Rasgelelğ İçn Run Test (Yukarı-Aşağı Run Test) 0 50 Tek Örneklem Run Testnn Kullanımını Açıklayan Ek Örnekler 06 6 Mann-Whtney U Test 0 6 Varsayımlar 0 6 Sıfır Hpotezne Karşıt Alternatf Hpotez 0 63 Test Hesaplamaları 64 Test Sonuçlarının Yorumlanması 4 65 Örnek 5 66 Büyük Örneklem Hacm İçn Mann-Whtney U İstatstğne Normal Yaklaşım 67 Mann-Whtney U Testne Normal Yaklaşım İçn Sürekllk Düzeltmes 3 VI

68 Mann-Whtney U İstatstğne Normal Yaklaşım İçn Te Düzeltmes 4 7 İk Bağımsız Örneklem İçn Kolmogorov-Smrnov Test 5 7 Varsayımlar 5 7 Sıfır Hpotezne Karşıt Alternatf Hpotez 6 73 Test Hesaplamaları 8 74 Test Sonuçlarının Yorumlanması 9 75 Örnek 30 3 DEĞİŞİMİN EŞİTLİĞİ İÇİN PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER 34 3 Değşmn Eştlğ İçn Segel-Tukey Test 34 3 Varsayımlar 34 3 Sıfır Hpotezne Karşıt Alternatf Hpotez 35 33 Test Hesaplamaları 36 34 Test Sonuçlarının Yorumlanması 39 35 Örnek 39 36 Büyük Örneklemler İçn Segel-Tukey Test İstatstğne Normal Yaklaşım 45 37 Segel-Tukey Testne Normal Yaklaşım İçn Sürekllk Düzeltmes 46 38 Segel-Tukey Test İstatstğne Normal Yaklaşım İçn Te Düzeltmes 47 39 Değşmn Eştlğ İçn Segel-Tukey Test İçn θ θ Olduğunda Skorların Düzeltlmes 48 3 Değşmn Eştlğ İçn Moses Test 5 3 Varsayımlar 5 3 Sıfır Hpotezne Karşıt Alternatf Hpotez 5 33 Test Hesaplamaları 54 34 Test Sonuçlarının Yorumlanması 57 35 Örnek 57 KAYNAKLAR 64 ÖZGEÇMİŞ 67 EKLER 68 VII

TABLOLAR DİZİNİ SAYFA Tablo Wlcoxon şaretlendrlmş ranklar test çn ver tablosu hazırlama 3 Tablo Örnek çn ver tablosu 7 Tablo 3 Wlcoxon şaretlendrlmş ranklar test çn ranklandırma yöntem 7 Tablo 4 Normal yaklaşım le te ler çn düzeltme 3 Tablo 5 Tek örneklem çn Kolmogorov-Smrnov uyum ylğ test çn 7 test statstğnn hesaplanması 7 Tablo 6 Tek örneklem çn Kolmogorov-Smrnov uyum ylğ test çn 34 test statstğnn hesaplanması 34 Tablo 7 Normallk çn Lllefors test çn test statstğnn hesaplanması 39 Tablo 8 K-kare test çn genel model 4 Tablo 9 K-kare test çn ver tablosu hazırlama 4 Tablo 0 Örnek 3 çn k-kare analz özet tablosu 45 Tablo π =/6 ve π =5/6 olduğunda k-kare özet tablosu 47 Tablo Karşılaştırma çn k-kare özet tablosu 48 Tablo 3 Örnek 5 n k-kare analz çn sınıf aralıkları 56 Tablo 4 Örnek 5 çn k-kare özet tablosu 57 Tablo 5 Örnek 6 çn k-kare heterojenlk analz 6 Tablo 6 Tek örneklem çn bnom şaret test çn ver tablosu hazırlama 64 Tablo 7 Örnek 7 çn tek örneklem çn bnom şaret test çn model 68 Tablo 8 Örnek 8 çn k-kare özet tablosu 76 Tablo 9 Örnek 0 un Wlcoxon şaretlendrlmş ranklar test le analz 85 Tablo 0 Örnek çn k-kare özet tablosu 88 Tablo Runların örnekle açıklanması 93 Tablo Mann-Whtney U test çn ver tablosu hazırlama Tablo 3 Mann-Whtney U test çn ranklandırma yöntem 3 Tablo 4 Örnek 8 çn ver tablosu 6 Tablo 5 Örnek 8 çn Mann-Whtney U test çn ranklandırma 7 Tablo 6 Kolmogorov-Smrnov test statstğnn hesaplanması 8 Tablo 7 Örnek 0 çn Kolmogorov-Smrnov test statstğnn hesaplanması30 VIII

Tablo 3 Segel-Tukey test çn ver tablosu hazırlama 37 Tablo 3 Değşmn eştlğ çn Segel-Tukey test çn ranklandırma yöntem 38 Tablo 33 Örnek 3 çn ver tablosu 4 Tablo 34 Örnek 3 çn değşmn eştlğ çn Segel-Tukey test çn ranklandırma 43 Tablo 35 Düzeltlmş skorlarını kullanan örnek 3 çn ver tablosu 50 Tablo 36 Örnek 3 çn değşmn eştlğ çn Segel-Tukey test çn ranklandırma 50 Tablo 37 Örnek 34 ün analznn özet 59 Tablo 38 Mann-Whtney U test le örnek 34 ün analz 60 IX

GİRİŞ Gülesen ÜSTÜNDAĞ GİRİŞ Parametrk Olmayan (Nonparametrk) İstatstksel Yöntemler İstatstksel teknklern gelşm lk kez 733 te Abraham De Movre (667-754) sonra 809 yılında Carl Fredrch Gauss (777-855) ve Perre Smon De Laplace nn (749-87) normal dağılımı bulmasından sonra olmuştur Bu gelşmey sağlayan başlıca statstkçler Sr Frances Galton (8-9), Karl Pearson (857-936), Wllam S Gosset (876-937), Sr Ronald A Fsher (890-96), Jerzy Neyman (894-98) dır Ktle parametreler le lgl hpotezlern test edlmelernde kullanılan Z test, t test, F test gb statstksel yöntemlere parametrk yöntemler denlmektedr Parametrk testlern kullanılablmes çn varsayımlarının sağlanması ve ölçme düzeynn yeterl olması gerekmektedr Parametrk br testle lgl br veya daha fazla varsayım sağlanmadığında kullanılmak üzere parametrk statstksel yöntemlere alternatf olarak parametrk olmayan (nonparametrk) statstksel yöntemler gelştrlmştr Parametrk olmayan yöntemlern kullanılmaya başlanması parametrk yöntemler kadar eskye dayanmasına rağmen gelşm 930 lu yıllardan sonra sağlanmıştır İlk parametrk olmayan yöntem 70 yılında John Arbuttnott tarafından kullanılan şaret testdr Özellkle 945 yılında Frank Wlcoxon un, Wlcoxon şaretlendrlmş ranklar testn kullanmasından sonra parametrk olmayan testler hızla çoğalmıştır Wlcoxon şaretlendrlmş ranklar test (Wlcoxon (945,949)) br örneklemn, medyanı (θ) özel br değere eşt olan ktleden alınıp alınmadığını test etmek çn uygulanan parametrk olmayan br yöntemdr Parametrk olmayan testler savunanlar normallk varsayımı bozulduğunda tek örneklem t test yerne Wlcoxon şaretlendrlmş ranklar test nn kullanılableceğn fade etmşlerdr Wlcoxon şaretlendrlmş ranklar test nn sonucu anlamlıysa; araştırmacı, yüksek olasılıkla örneklemn medyanı θ dan başka br değer olan ktleden geldğne karar vereblr

GİRİŞ Gülesen ÜSTÜNDAĞ Wlcoxon şaretlendrlmş ranklar test nde nesnelern rankı orjnal aralık / oran skorları değldr, çünkü rank skorların farkı yerne özel olarak her br nesnenn skoru ve ktle medyanının varsayılan değer arasındak gözlemlenen fark kullanılır Bu nedenle bazı kaynaklar Wlcoxon şaretlendrlmş ranklar test n aralık / oran ver test olarak kategorze eder Buna karşın çoğu kaynak ranklandırma yöntemnn test şlemnn br parçası olması nedenyle ordnal ver çeren br test olarak kategorze eder Tek örneklem çn Kolmogorov-Smrnov uyumun ylğ test, Kolmogorov (933) tarafından nşa edld Danel (990), Kolmogorov un test le Smrnov tarafından gelştrlen k bağımsız örneklem çn uyumun ylğ test arasındak benzerlk fark edlerek test, tek örneklem çn Kolmogorov-Smrnov uyumun ylğ test olarak fade edlmştr Tek örneklem çn Kolmogorov-Smrnov uyumun ylğ test bahsedlecek uyumun ylğ testlernden brdr Uyumun ylğ testler, örneklemdek skorların dağılımının, özel teork ya da deneysel br ktle (veya olasılık) dağılımına uyup uymadığını değerlendrmekte kullanılır Uyumun ylğn test eden araştırmacı örneklemn özel tpte br dağılımdan (örneğn normal dağılım) gelp gelmedğn kanıtlamak ster Dğer taraftan, dğer statstksel testlern çoğunda araştırmacı sıfır hpotezn reddetmey umar, yan br ya da daha çok örneklemn özel br ktleden ya da aynı ktleden gelmedğn kanıtlamak ster Şuna da dkkat edlmeldr k sıfır hpotez reddedlrse, uyumun ylğ çn alternatf hpotez ver çn daha uygun olacak br dağılım öngörmez Tek örneklem çn Kolmogorov-Smrnov uyumun ylğ test, k-kare uyumun ylğ testnden farklı olarak sürekl değşkenler çn kullanılmak üzere tasarlanmıştır Dğer taraftan k-kare uyumun ylğ test nomnal / kategork ver çeren keskl br değşken le kullanılmak üzere tasarlanmıştır Tek örneklem çn Kolmogorov-Smrnov uyumun ylğ test, ordnal ver çn br test olarak kategorze edlr, çünkü kümülatf olasılık dağılımının kurulmasını gerektrr K-kare uyumun ylğ test le değerlendrlen hpotez k hücrenn gözlenen frekansları le onların beklenen frekansları

GİRİŞ Gülesen ÜSTÜNDAĞ arasında fark olup olmadığıdır Br hücrenn beklenen frekansı olasılık teorsnn kullanılmasıyla ya da çalışılan değşken hakkındak önceden var olan deneysel blglere dayanarak hesaplanır K-kare uyumun ylğ testnn sonucu anlamlıysa, araştırmacı örneklem tarafından temsl edlen ktlede yüksek olasılıkla k hücreden en azından brnn gözlenen frekansının beklenen frekansına eşt olmadığı sonucuna varablr Dkkat edlmeldr k; aslında k-kare uyumun ylğ test çn test statstğ k = olduğunda bnom dağılım değşkenne, k> olduğunda çok terml dağılım değşkenne yaklaşım sağlar n n değer büyüdükçe k-kare, bnom dağılımı ve çok terml dağılıma daha y yaklaşır Tek örneklem çn bnom şaret test, örneklem tarafından belrlenen k kategorden oluşan br ktlede k kategorden brndek gözlemlern oranının belrl br değere eşt olup olmadığını test etmekte kullanılır Tek örneklem çn bnom şaret test bnom dağılımı üzerne kurulmuştur Bnom dağılımındak temel varsayım n bağımsız gözlemn her brnn br ktleden rasgele seçldğ ve her gözlemn k = ayrık bağımsız kategornn brnde sınıflandırılableceğdr Bnom dağılımına sahp br ktlede br gözlemn brnc kategorye düşmes olasılığı π ve knc kategorye düşmes olasılığı π olacaktır π + π = olması gerektğnden π =-π dr Bnom dağılımı değşkennn örnekleme dağılımı normal dağılıma çok benzemektedr π n değer 0,5 e daha yakın olduğunda ve n n değerler daha büyük olduğunda normal yaklaşım daha ydr Merkez lmt teorem nedenyle n n küçük π n 0 ya da e yakın değerler çn ble normal dağılım hala bnom dağılımı değşkennn örnekleme dağılımına y br yaklaşım sağlar Tek örneklem çn bnom şaret test temel ktlede kategordek gözlemlern gerçek oranı π e eştse br örneklem oluşturan n gözlemn x ya da daha çoğunun (veya x ya da daha azının) k kategorden brne düşmes olasılığını hesaplamak çn bnom dağılımını kullanır k = kategor varsa tek örneklem çn bnom şaret test le değerlendrlen hpotez k-kare uyumun ylğ test le değerlendrlen hpotez le aynıdır İk testte aynı hpotez değerlendrldğnden tek örneklem çn bnom şaret test çn kurulan hpotez şöyle de fade edleblr: Örneklem tarafından tanımlanan ktlede k kategor çn gözlenen frekanslar beklenen frekanslardan farklı mıdır? K- 3

GİRİŞ Gülesen ÜSTÜNDAĞ kare uyumun ylğ test gb tek örneklem çn bnom şaret test de genel olarak küçük örneklemler çn kullanılır, çünkü n n büyük değerler çn bnom olasılıklarının hesabı zordur Tek örneklem run (dzlş) test N elemanlı br sernn dağılımının rasgele olup olmadığını değerlendrmek çn kurulan statstksel yöntemlerden brdr Test her br denemede k = alternatften brnn gerçekleşmes gerektğ br serdek runların sayısını değerlendrr Ser çersnde alternatflerden br n denemede, dğer n denemede gerçekleşr Böylece n + n = N dr Br run; ser çersndek k alternatften brnn gerçekleştğ ardışık denemelern br dzsdr Mnmum run uzunluğu br deneme ve maksmum run uzunluğu serdek denemelern toplam sayısı olan N e eşttr Mann-Whtney U test k ktley tanımlayan k bağımsız örneklemn farklı medyan değerlerne sahp olup olmadığını (ya da k ktledek skorların rank sıralamasına göre dağılımlarının farklı olup olmadığını) test etmekte kullanılır Hpotez testnde ordnal ver le kullanılan bu test k bağımsız örneklem olması durumunda kullanılır Mann-Whtney U test nn sonucu anlamlıysa k örneklemn medyanları arasında anlamlı br fark vardır ve bunun sonucu olarak araştırmacı örneklemlern yüksek olasılıkla farklı medyan değerlerne sahp ktlelerden alındığı kararına varır Mann-Whtney U test adı altında tanımlanan testn k şekl bağımsız olarak Mann ve Whtney (947) ve Wlcoxon (949) tarafından nşa edlmştr Burada anlatılan şekl yaygın olarak Mann-Whtney U test olarak smlendrlr Wlcoxon (949) tarafından nşa edlen şekl genellkle Wlcoxon-Mann-Whtney U test olarak adlandırılır Farklı eştlkler ve farklı tablolar kullanılmasına rağmen testn k şekl de benzer sonuçlar verr Temel ktle dağılımı çn varyansların homojenlğ varsayımı genel olarak Mann-Whtney U test çn kabul edlmedğnden, k bağımsız örneklem t test yerne varyansın homojenlğ varsayımını bozan Mann-Whtney U testnn kullanımı uygundur Mann-Whtney U test nn kullanılmasının önerlmesne br sebep de aralık / oran vernn ranklandırılmasından dolayıdır, araştırmacı sapan değerlern 4

GİRİŞ Gülesen ÜSTÜNDAĞ etksn azaltablr veya yok edeblr Sapan değerler değşkenlğ aşırı derecede etkledğnden k ya da daha çok örneklem arasında varyansların heterojenlğnden sorumlu olablr İk bağımsız örneklem çn Kolmogorov-Smrnov test Smrnov (939) tarafından nşa edlmştr Danel (990) Smrnov un test ve Kolmogorov (933) tarafından gelştrlen tek örneklem çn uyumun ylğ test arasındak benzerlk fark edlerek test k bağımsız örneklem çn Kolmogorov-Smrnov test olarak fade edlmştr Marasculo ve McSweeney (977), Segel ve Castellan (988) ve Danel (990), drekt olmayan (k yanlı) alternatf hpotez değerlendrldğnde k bağımsız örneklem çn Kolmogorov-Smrnov test nn dağılımsal farklara (yan yerel / merkez eğlm, yayılım / değşeblrlk, çarpıklık, svrlğe göre farka) duyarlı olduğuna dkkat çekt Drekt / tek yanlı alternatf hpotez değerlendrldğnde test k dağılımdak skorların relatf büyüklüğünü değerlendrr Tek örneklem çn Kolmogorov-Smrnov uyumun ylğ test nde olduğu gb k bağımsız örneklem çn Kolmogorov-Smrnov test çn test statstğnn hesaplanması k kümülatf frekans dağılımının oluşturulmasını gerektrr Tek örneklem çn Kolmogorov-Smrnov uyumun ylğ test örneklemn kümülatf frekans dağılımı le varsayılan teork ya da deneysel kümülatf frekans dağılımını karşılaştırırken k bağımsız örneklem çn Kolmogorov-Smrnov test k bağımsız örneklemn kümülatf frekans dağılımlarını karşılaştırır Eğer, k örneklem aynı ktleden alınmışsa k kümülatf frekans dağılımının aynı ya da brbryle benzer olması beklenr İk bağımsız örneklem çn Kolmogorov-Smrnov test çn test şlem k kümülatf frekans dağılımı boyunca herhang br noktada öneml br fark varsa örneklemler yüksek olasılıkla farklı ktlelerden alınmıştır kararına varılablr, prensbne dayanır İk bağımsız örneklem çn Kolmogorov-Smrnov test ordnal ver çn br test olarak kategorze edleblr, çünkü kümülatf olasılık dağılımlarının kurulmasını gerektrr İk bağımsız örneklem çn Kolmogorov-Smrnov test, k bağımsız örneklem çn t testne parametrk olmayan br alternatf olarak tanımlandığından t testnn normallk ve / veya varyansın homojenlğ varsayımlarının bozulduğuna 5

GİRİŞ Gülesen ÜSTÜNDAĞ nanıldığında k bağımsız örneklem hakkında br hpotez değerlendrmek çn yaygın olarak kullanılır Segel ve Tukey (960) tarafından nşa edlen değşmn eştlğ çn Segel- Tukey test k bağımsız örneklem çeren hpotez test etme durumunda ordnal (ranksıra) ver le kullanılır Değşmn eştlğ çn Segel-Tukey testnn sonucu anlamlıysa örneklem varyansları arasında öneml br fark vardır ve bunun sonucu olarak araştırmacı ktlelern tanımladığı örneklemlern yüksek olasılıkla farklı varyanslı olduğu sonucuna varır İk bağımsız örneklemn varyanslarını karşılaştırmak çn kullanılan parametrk olmayan testler; değşmn eştlğ çn Segel-Tukey ve Moses testdr Bazı kaynaklar aynı hpotez değerlendrmede uygun parametrk testn normallk varsayımının bozulduğuna nanıldığında varyansın homojenlğ hpotezn değerlendrmek çn parametrk olmayan testlernn kullanımını önermşlerdr Parametrk testlern normallk varsayımının bozulduğunu şaret eden kanıt olmadığında; kaynaklar, genel olarak alternatf hpotezn daha güçlü test edlmesn sağladığından Segel-Tukey test ve Moses test ne (ya da dağılımın alternatf br parametrk olmayan test) karşı parametrk test terch ederler Değşmn eştlğ çn Moses test ve değşmn eştlğ çn Segel-Tukey test arasındak fark önemldr Değşmn eştlğ çn Moses test k ktleden alınan örneklemlern eşt medyanlı olduğunu varsaymaz Değşmn eştlğ çn Moses test nde ranklar orjnal aralık / oran skorlar değldr Bunun yerne ranklar skorların sapmalarının / farklarının kareler toplamıdır Bu sebepten dolayı bazı kaynaklar (örneğn Segel ve Castellan (988)) değşmn eştlğ çn Moses testn aralık / oran vernn br test olarak kategorze ederler Fakat çoğu kaynakta değşmn eştlğ çn Moses test test şlemnn krtk kısmını ranklandırma yöntem oluşturduğundan br ordnal ver test olarak kategorze edlmştr 6

GİRİŞ Gülesen ÜSTÜNDAĞ Parametrk ve Parametrk Olmayan İstatstkler Arasında Br Köprü Olarak Rank Dönüşümler Parametrk statstğn başlangıcından bu yana ver normal olmadığı zamanlarda problemler normal statstk teors çerçevesne uyarlamak uygulamalı statstkçlern karşı karşıya geldğ br problemdr Bu problemden ötürü k farklı yaklaşım ortaya çıkmıştır Bunlardan lk very normal dağılıma yakın br forma dönüştürmek ve kncs dağılımsız br yöntem kullanmaktır İlk yaklaşım logartma, karekök, arcsn ve böyle dönüşümler ve hatta sapan değerlern etklern azaltan robust yöntemn kapsar İknc yaklaşım ver ranklarını temel alan yöntemlern büyük kısmını kapsar Bu k yaklaşımı brleştrmenn br yolu bazı parametrk olmayan yöntemler dönüştürülmüş verye parametrk yöntem olarak uygulamaktır Kısaca bu yol ver yerne vernn ranklarını kullanmak ardından ranklara parametrk olan t, F ve böyle testler uygulamaktır Bu yaklaşım rank dönüşümler yaklaşımı olarak adlandırılır Bu yaklaşım Wlcoxon şaretlendrlmş ranklar test, Wlcoxon-Mann-Whtney test, Kruskal-Walls test, Fredman test, Spearman ın rho test ve bunun gb br grup parametrk olmayan yöntemde sonuç verr Gözlemlern ranklarını tayn etmek çn brkaç yol vardır Genel olarak kullanılan yöntem şöyledr: gözlemlern tamamı en küçüğünden en büyüğüne doğru sıralanır Gözlemlern en küçüğüne, knc en küçük gözlem değerne sıra sayısı verlr ve bu şeklde devam edlerek en büyük gözlem değerne en yüksek sıra sayısı verlr Aynı değerl gözlemler varsa (te) bu gözlemler çn verlmes gereken sıra sayılarının ortalaması alınır ve bunların her brne bu ortalama sıra sayısı atanır Sonuç olarak bu yaklaşım yeterl parametrk yöntemlern olmadığı durumlarda yen parametrk olmayan yöntemler gelştrmede faydalı br araç olarak görüleblr 7

GİRİŞ Gülesen ÜSTÜNDAĞ Tek Örneklem Veya İkl Eşleştrme Problem D, D,, D n ; ( X, Y ) eşleştrlmş kller çn D = X - Y olan bağımsız rasgele değşkenler olsunlar E(D) = 0 hpotezn test etmek çn tek örneklem t statstğ t = D n D n n ( D) () dr D ler normal dağıldığında parametrk test olarak n- serbestlk derecel t dağılımı le karşılaştırılır Wlcoxon şaretlendrlmş ranklar test çn D ler yerne R şaretlendrlmş rankları kullanılır Wlcoxon şaretlendrlmş ranklar test çn R şaretlendrlmş rankları şöyle fade edleblr: R = (D nn şaret)*( D,, Dn arasında D nn rankı) () T le fade edlen test statstğ se ( ) ( ) T R R = (3) le bulunur Hpotez, test statstğ normal dağılıma göre çok büyük ya da çok küçük olduğunda reddedlr n küçük ve te yoksa tablo kullanılablr Alternatf olarak tek örneklem t statstğ şaretlendrlmş ranklar üzernden hesaplanablr Bunun çn (4) le verlen t R değer kullanılır 8

GİRİŞ Gülesen ÜSTÜNDAĞ t R = R n R n n ( R) (4) t R değer n- serbestlk derecel t dağılımı le karşılaştırılır Dkkat edlrse; t R = T n T n n (5) dr t R, T nn monoton fonksyonudur Böylece t R çn kullanılan test T çn kullanılan teste denktr İk Bağımsız Örneklem Durumu X, X,, X n ve Y, Y,, Ym k bağımsız rasgele örneklem olsun E(X) = E(Y) hpotezn test etmek çn parametrk yöntem kullanılır İk örneklem t statstğ t = X Y n n ( X X) + ( Y Y) = = N nm N ( ) (6) le verlr Burada N = n+ m'dr ve t, N serbestlk derecel t dağılımının değerler le karşılaştırılır Parametrk olmayan Wlcoxon-Mann-Whtney k örneklem test; ver le den N ye kadar olan R ranklarını yer değştrmey önerr ve teları dahl etmek çn düzeltme le standartlaştırılmış formu kullanır Bu durum çn test statstğ 9

GİRİŞ Gülesen ÜSTÜNDAĞ T = S n( N + ) n nm nm( N + ) R N( N ) = 4( N ) (7) n dr Burada S = R değer X 'lern ranklarının toplamıdır Test statstğ T = standart normal dağılım ya da te yoksa ve örneklem büyüklüğü 0 den küçükse Wlcoxon-Mann-Whtney krtk değerler tablosu le karşılaştırılır Aşağıdak rank dönüşüm yöntem R ranklarına bağlı t-y hesaplama ve eştlk 6 çn kullanılan t tablosunu kullanma üzerne kuruludur t R = N N S n m ( + ) S n N( N + ) N R S S = n m nm( N ) (8) t R le T arasında t R = T N T N N (9) şeklnde br lşk olduğu gösterleblr t R, T nn monoton fonksyonudur, böylece tam olarak krtk değerler kullanılırsa k test denktr 0

PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Gülesen ÜSTÜNDAĞ PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Wlcoxon İşaretlendrlmş Ranklar Test (Ordnal Ver İle Kullanılan Parametrk Olmayan Test) Varsayımlar Wlcoxon şaretlendrlmş ranklar test aşağıdak varsayımlar üzerne kurulur: a) Örneklem br ktleden rasgele seçlmştr b) Nesnelern her br çn elde edlen orjnal skorlar aralık / oran ver formatındadır c) Ktlenn dağılımı smetrktr Son varsayım bozulduğunda Wlcoxon şaretlendrlmş ranklar test yerne tek örneklem çn bnom şaret test uygulanır Sıfır Hpotezne Karşıt Alternatf Hpotez Sıfır hpotez H 0 : θ = θ Örneklemn alındığı ktlenn medyanı özel br değer olan θ e eşttr Poztf fark skorlarının rankları toplamı, negatf fark skorlarının rankları toplamına eşttr Yan R + = R dır Sıfır hpotezne karşıt olarak düşünüleblecek hpotezler ; ) H : θ θ Örneklemn alındığı ktlenn medyanı özel br değer olan θ e eşt değldr Poztf fark skorlarının rankları toplamı, negatf fark skorlarının rankları toplamına eşt değldr Yan R + R dır Bu drekt olmayan alternatf hpotezdr ve k yanlı test le değerlendrlr ) H : θ > θ Örneklemn alındığı ktlenn medyanı özel br değer olan θ den daha büyük br değerdr Poztf fark skorlarının rankları toplamı, negatf fark skorlarının rankları

PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Gülesen ÜSTÜNDAĞ toplamından daha büyüktür Yan R + > R dır Bu drekt alternatf hpotezdr ve tek yanlı test le değerlendrlr ) H : θ < θ Örneklemn alındığı ktlenn medyanı özel br değer olan θ den daha küçük br değerdr Poztf fark skorlarının rankları toplamı, negatf fark skorlarının rankları toplamından daha küçüktür Yan R + < R dır Bu drekt alternatf hpotezdr ve tek yanlı test le değerlendrlr Yukarıdak alternatf hpotezlerden sadece br kullanılır Araştırmacının seçtğ alternatf hpotez desteklenrse sıfır hpotez reddedlr 3 Test Hesaplamaları Ver çn tablo hazırlanır kolonda nesne numaraları ve kolonda nesnelern skorları kaydedlr 3 kolonda her br nesne çn fark skoru olarak adlandırılan D skoru hesaplanır D, nesnenn skoru le ktle medyanının varsayılan değer θ = θ arasındak farktır Yan D = X - θ dır 4 kolonda fark skorlarının mutlak değerlernn rankları gösterlr 5 kolonda se fark skorlarının mutlak değerlernn şaretlendrlmş rankları kaydedlr Wlcoxon şaretlendrlmş ranklar test nde fark skorlarını ranklandırmada aşağıdak yöntem kullanılır: a) Fark skorlarının mutlak değerler ( D ) sıralanır b) Herhang br fark skoru sıfıra eştse sıralanmaz Sıfır olan fark skorlarını gösteren brmler analzden çıkarılır c) Fark skorlarının mutlak değerlern sıralamada aşağıdak şlem yapılır: Fark skorlarının mutlak değerce en küçüğüne, mutlak değerce knc en küçük fark skoruna sıra sayısı değer verlr ve bu şeklde devam edlerek mutlak değerce en yüksek fark skoruna en yüksek sıra sayısı verlr Aynı değerl fark skorları (te) varsa bu skorlar çn verlmes gereken sıra sayılarının ortalaması alınır ve bunların her brne bu ortalama sıra sayısı atanır

PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Gülesen ÜSTÜNDAĞ d) Fark skorlarının mutlak değerlernn ranklandırılmasından sonra her br fark skorunun şaret, rankının önüne getrlr Fark skorlarının şaretlendrlmş rankları hazırlanan tablonun 5 kolonunda lstelenr Tablo Wlcoxon şaretlendrlmş ranklar test çn ver tablosu hazırlama Nesne numarası X D = X - θ D nn rankı D nn şaretlendrlmş rankı R + R Bu şlemlern ardından poztf şaretl rankların toplamı ( R + şaretl rankların toplamı ( R ) ve negatf ) hazırlanan tablonun 5 kolonunun altında kaydedlr () eştlğ bu değerlern kontrol edlmesn sağlar Burada n şaretlendrlmş rankların sayısını göstermektedr + nn ( + ) R + R = () Br ya da daha fazla nesnenn fark skorunun sıfır olması durumunda bu skorların analzde kullanılmadığına ve böyle br durumda () dek n değernn sadece şaretlendrlen rank skorlarının sayısı olarak tanımlandığına dkkat edlmeldr 3

PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Gülesen ÜSTÜNDAĞ 4 Test Sonuçlarının Yorumlanması Örneklem, medyan değer varsayılan ktle medyanına eşt olan ktleden alınmışsa (yan sıfır hpotez doğruysa) R + ve R değerler brbrne eşt olacaktır R + ve R değerler brbrne eşt olduğunda, bu değerlern ks de [n(n+)/4] e eşt olacaktır [n(n+)/4] değer yaygın olarak Wlcoxon T statstğnn beklenen değer olarak blnr R + değer, R değernden öneml derecede büyükse, bu örneklemn yüksek olasılıkla ktle medyanının varsayılan değernden daha büyük medyan değerne sahp br ktleden alındığını gösterr Dğer taraftan R değer R + değernden öneml derecede büyükse, bu örneklemn yüksek olasılıkla ktle medyanının varsayılan değernden daha küçük medyan değerne sahp br ktleden alındığını gösterr R + ve R değerlernden daha küçük olanı Wlcoxon T test statstğ olarak belrlenr T değer ekler kısmındak Tablo 4 ün (Wlcoxon şaretlendrlmş ranklar testler çn krtk T değerler tablosu) kullanılmasıyla yorumlanır Tablo 4 k yanlı ve tek yanlı 0,05 ve 0,0 krtk T değerlern verdek şaretlendrlmş rankların sayısına göre lsteler Sonucun anlamlı olablmes çn; T nn gözlemlenen değer belrlenen önem düzeynde krtk T tablo değerne eşt ya da daha küçük olmalıdır H : θ θ drekt olmayan alternatf hpoteznn desteklenmes sadece R + > R ya da R + < R olmasıyla lgl değldr Sonucun anlamlı olablmes çn T nn hesaplanan değer belrlenen önem düzeynde k yanlı krtk tablo değerne eşt ya da daha küçük olmalıdır H : θ > θ drekt alternatf hpoteznn desteklenmes çn R + değer R değernden daha büyük olmalıdır Sonucun anlamlı olablmes çn T nn hesaplanan değer belrlenen önem düzeynde tek yanlı krtk tablo değerne eşt ya da daha küçük olmalıdır 4

PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Gülesen ÜSTÜNDAĞ H : θ < θ drekt alternatf hpoteznn desteklenmes çn R değer R + değernden daha büyük olmalıdır Sonucun anlamlı olablmes çn T nn hesaplanan değer belrlenen önem düzeynde tek yanlı krtk tablo değerne eşt ya da daha küçük olmalıdır 5 Örnek Örnek (Conover, W J ; 999 Practcal Nonparametrc Statstcs) Br market yönetcs her br satışta müşterlern satın aldığı ürün sayısının medyanının 0 olduğunu düşünüyor Bunun doğruluğunu test etmek çn rasgele seçtğ müşternn kaç parça ürün aldığını gözlemlyor Müşterlern satın aldığı ürün sayısı şöyledr: Müşter Ürün sayısı Müşter Ürün sayısı 7 5 9 8 6 3 4 9 47 4 5 0 8 5 3 6 6 7 Ver müşterlern satın aldığı ürün sayısının medyanının 0 olduğunu destekler m? ) Sıfır Hpotezne Karşıt Alternatf Hpotez H 0 : θ = 0 Örneklemn alındığı ktlenn medyanı 0 a eşttr Yan H : θ 0 R + = R dır Örneklemn alındığı ktlenn medyanı 0 a eşt değldr Yan R + R dır H : θ > 0 5

PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Gülesen ÜSTÜNDAĞ Örneklemn alındığı ktlenn medyanı 0 dan daha büyük br değerdr Yan R + > R dır H : θ < 0 Örneklemn alındığı ktlenn medyanı 0 dan daha küçük br değerdr Yan R + < R dır Yukarıdak alternatf hpotezlerden sadece br kullanılır Drekt alternatf hpotezlerden ver le uyumlu olan kullanılır ) Test Hesaplamaları Örnek dek ver çn Tablo hazırlanmıştır nesnenn skorları Tablo nn kolonuna kaydedld 3 kolonda her br nesne çn fark skoru yan nesnenn skoru le ktle medyanının varsayılan değer θ = 0 arasındak fark hesaplandı 4 kolon se fark skorlarının mutlak değerlernn ranklarını göstermektedr nesnenn fark skoru mutlak değerce en küçük olduğundan rankı verlr Mutlak değerce knc en küçük fark skoru 0 nesneye at olup rankı ve mutlak değerce üçüncü en küçük fark skoru nesneye at olup 3 rankı verlr Mutlak değerce dördüncü en küçük fark skoruna sahp k nesne (4 ve 7) olduğundan bunların brne 4 brne 5 rankını vermek yerne bu k rankın ortalaması ( 4+ 5) = 4,5 verlr Br sonrak rank sırası 6 dır Sıralamadak 6 yer çn yne k nesne (3 ve 6) olup 6 ve 7 ranklarını kullanmak yerne bu k rankın ortalaması ( 6+ 7) = 6,5 rankı atanır Mutlak değerce küçük olan fark skorundan büyük olan fark skoruna doğru bu şeklde devam edlerek, 5 nesneye 8 rankı, nesneye 9 rankı, 8 nesneye 0 rankı, nesneye rankı verlr En yüksek fark skoruna sahp olan 9 nesneye en yüksek rank atanır Bu ranklandırma yöntem Tablo 3 kullanılarak daha kolay görüleblr 6

PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Gülesen ÜSTÜNDAĞ Tablo Örnek çn ver tablosu Nesne X D = X - θ D nn rankı D nn şaretlendrlmş rankı 9 9 9 - - 3 4-6 6,5-6,5 4 5-5 4,5-4,5 5-9 8-8 6 6 6 6,5 6,5 7 5 5 4,5 4,5 8 6 6 0 0 9 47 37 0 8 - - 3 7-3 3-3 R + = 53 R = 5 Tablo 3 Wlcoxon şaretlendrlmş ranklar test çn ranklandırma yöntem Nesne 0 4 7 3 6 5 8 9 D = X - θ - - -3-5 5-6 6-9 6 0 37 D 3 5 5 6 6 8 9 0 D nn rankı 3 4,5 4,5 5,5 5,5 8 9 0 Fark skorlarının mutlak değerce ranklandırılmasının ardından her br fark skorunun şaret rankının önüne getrlr Fark skorlarının şaretlendrlmş rankları Tablo nn 5 kolonunda kaydedlmştr 7

PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Gülesen ÜSTÜNDAĞ Poztf şaretl rankların toplamı R + = 53 ve negatf şaretl rankların toplamı R = 5 Tablo nn 5 kolonun altında kaydedlmştr Bu değerler kontrol etmek amacıyla () eştlğ kullanılırsa + nn ( + ) R + R = ( )( 3) 53 + 5 = = 78 tanımlanan lşknn doğruluğu görülür ) Test Sonuçlarının Yorumlanması R + ve R değerlernden daha küçük olanı Wlcoxon T test statstğ R = 5 değer R + = 53 değernden daha küçük olduğundan olarak belrlenr T = 5 tr T değer ekler kısmındak Tablo 4 ün kullanılmasıyla yorumlanır Sonucun anlamlı olablmes çn; T nn gözlemlenen değer belrlenen önem düzeynde krtk T tablo değerne eşt ya da daha küçük olmalıdır n = şaretlendrlmş rank çn k yanlı 0,05 ve 0,0 Wlcoxon T krtk tablo değerler T 0,05 = 3 ve T 0,0 = 7 ve tek yanlı 0,05 ve 0,0 Wlcoxon T krtk tablo değerler T 0,05 = 7 ve T 0,0 = 9 dur Sıfır hpotez sadece, T = 5 değer belrlenen önem düzeynde krtk tablo değerne eşt ya da daha küçük se reddedlebleceğnden aşağıdak kararı vereblrz H : θ 0 drekt olmayan alternatf hpoteznn desteklenmes çn T nn hesaplanan değer belrlenen önem düzeynde k yanlı krtk tablo değerne eşt ya da daha küçük olmalıdır Hesaplanan T = 5 değer k yanlı 0,05 krtk tablo değer T 0,05 = 3 ten daha büyük olduğundan H : θ 0 drek olmayan alternatf hpotez 0,05 düzeynde desteklenmez T = 5 değer k yanlı 0,0 krtk tablo değer T 0,0 = 7 den daha büyük olduğundan H : θ 0 drekt olmayan alternatf hpotez 0,0 düzeynde de desteklenmez 8

PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Gülesen ÜSTÜNDAĞ H : θ > 0 drekt alternatf hpoteznn desteklenmes çn R + > R olmalıdır R + > R olduğundan ver H : θ > 0 drekt alternatf hpotez le uyumludur Sonucun anlamlı olablmes çn T nn hesaplanan değer belrlenen önem düzeynde tek yanlı krtk tablo değerne eşt daha küçük olmalıdır Hesaplanan T = 5 değer tek yanlı 0,05 krtk tablo değer T 0,05 = 7 den daha büyük olduğundan H : θ > 0 drekt olmayan alternatf hpotez 0,05 düzeynde desteklenmez T = 5 değer tek yanlı 0,0 krtk tablo değer T 0,0 = 9 dan daha büyük olduğundan H : θ > 0 drek alternatf hpotez 0,0 düzeynde de desteklenmez H : θ < 5 drekt alternatf hpoteznn desteklenmes çn R + < R koşulu sağlanmalıdır Bu koşul şağlanmadığından H : θ < 5 drek alternatf hpotez desteklenmez v) Sonuç Müşterlern satın aldığı ürün sayısı, medyan değer 0 dan farklı br ktleden gelmemştr 6 Büyük Örneklem İçn Wlcoxon T İstatstğne Normal Yaklaşım Yapılan çalışmada örneklem hacm çok büyükse Wlcoxon T statstğne normal yaklaşım kullanılablr () eştlğ Wlcoxon T statstğne normal yaklaşım sağlar Eştlktek T, Wlcoxon T nn hesaplanan değerdr Örnek çn bu değer T = 5 tr n, daha önce bahsedldğ gb şaretlendrlmş rankların sayısıdır Böylece örneğmzde n = dr Eştlğn payındak [n(n+)/4] değer T nn beklenen değer olarak tanımlanır Eştlğn paydası T statstğnn örnekleme dağılımının standart sapmasıdır z = nn ( + ) T 4 nn ( + )(n+ ) 4 () 9

PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Gülesen ÜSTÜNDAĞ Örnek sadece şaretlendrlmş rank çermesne rağmen (çoğu kaynakta normal yaklaşım kullanmak çn çok küçük br değer olarak görülür) eştlğ açıklamak çn kullanılacaktır () küçük örneklem le kullanılmasına rağmen Wlcoxon dağılımının tablosu kullanıldığında gözlemlenenle aynı sonucu verecektr T = 5 ve n = değerler () de yerne yazılırsa; ()( + ) 5 z = 4 =,098 ()( + )( + ) 4 z = -,098 değer hesaplanır Gözlemlenen z = -,098 değer ekler kısmındak Tablo (Normal Dağılım Tablosu) le değerlendrlr Tablo de k yanlı 0,05 ve 0,0 krtk tablo değerler z 0,05 =,96 ve z 0,0 =,58 ve tek yanlı 0,05 ve 0,0 krtk tablo değerler z 0,05 =,65 ve z 0,0 =,33 tür R + ve R değerlernden daha küçük olanı T olarak seçldğnden () le hesaplanan z değer dama negatf olacaktır ( R + = R olması durumunda z = 0 olacaktır) Bunun sonucu olarak sıfır hpotezn değerlendrme aşağıdak şeklde yapılır: a) Drekt olmayan alternatf hpotez kullanılırsa; z nn gözlemlenen mutlak değer belrlenen önem düzeynde k yanlı krtk tablo değerne eşt ya da daha büyük se sıfır hpotez reddedleblr b) Drekt alternatf hpotez kullanılırsa; z nn gözlemlenen mutlak değer belrlenen önem düzeynde tek yanlı krtk tablo değerne eşt ya da daha büyük se olası drekt alternatf hpotezlerden br desteklenecektr Hang drekt alternatf hpotezn destekleneceğ R + ve R değerlernden daha büyük olana göre tahmn edlr Ver le uyumlu drekt alternatf hpotez desteklenrse, sıfır hpotez reddedlr Örnek çn normal yaklaşım kullanıldığında aşağıdak sonuçlar elde edlr: H : θ 0 drekt olmayan alternatf hpotez desteklenmez Çünkü z nn hesaplanan mutlak değer z =,098 k yanlı 0,05 krtk tablo değer z 0,05 =,96 dan 0

PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Gülesen ÜSTÜNDAĞ daha küçüktür Bu karar H : θ 0 drekt olmayan alternatf hpotezn değerlendrmek çn Wlcoxon dağılımının tablosu kullanıldığında verlen kararla uyumludur H : θ > 0 drekt alternatf hpotez ver bu alternatf hpotezle uyumlu ( R + > R ) olmasına rağmen z nn hesaplanan mutlak değer z =,098 tek yanlı 0,05 krtk tablo değer z 0,05 =,65 ten daha küçük olduğundan desteklenmez H : θ > 0 drekt alternatf hpotez 0,0 düzeynde desteklenmez Çünkü z nn hesaplanan mutlak değer z =,098 tek yanlı 0,0 krtk tablo değer z 0,0 =,33 ten daha küçüktür Wlcoxon dağılımının tablosu kullanıldığında, H : θ > 0 drekt alternatf hpotez 0,05 düzeynde de desteklenmez H : θ < 0 drekt alternatf hpotez desteklenmez Çünkü ver bu alternatf hpotezle uyumlu değldr ( R + < R olmasını gerektrr) 7 Wlcoxon İşaretlendrlmş Ranklar Testne Normal Yaklaşım İçn Sürekllk Düzeltmes Çoğu kaynakta tanımlanmamasına rağmen Marasculo ve McSweeney (977) Wlcoxon test statstğne normal yaklaşım çn sürekllk düzeltmes olarak blnen br düzeltme faktörü kullanmışlardır Wlcoxon test statstğne normal yaklaşım çn sürekllk düzeltmes () nn payının mutlak değernden 0,5 çıkarılmasını gerektrr Böylece (3) Wlcoxon test statstğne normal yaklaşım çn sürekllk düzeltmes eştlğ olarak tanımlanır z = nn ( + ) T 4 0,5 nn ( + )(n+ ) 4 (3) Örnek çn sürekllk düzeltmes kullanılırsa z =,06 değer hesaplanır

PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Gülesen ÜSTÜNDAĞ ()(3) 5 0,5 4 z = =, 06 ()(3)(5) 4 z =, 06 tek yanlı 0,05 krtk tablo değer z 0,05 =,65 ten daha küçük olduğundan H : θ > 0 drekt alternatf hpotez desteklenmez z =,06 le bulunan sonuç Wlcoxon dağılımının tablosu kullanıldığında bulunan sonuçla uyumludur 8 Wlcoxon Test İstatstğne Normal Yaklaşım İçn Te Düzeltmes (4) verde te olan fark skorları bulunduğunda bazı kaynaklarda (Danel (990), Marasculo ve McSweeney (977)) kullanılan, () nn düzeltlmş şekldr Te düzeltmes z nn mutlak değernde önemsenmeyecek kadar küçük br artışla sonuçlanır z = nn ( + ) T 4 + + 4 48 3 nn ( )(n ) t t (4) Tablo 4, örnek çn te düzeltmes uygulamasını açıklamaktadır Örnek çn verde te ranklarının kümes vardır: Brnc küme 4 ve 7 nesney ve knc küme 3 le 6 nesney çermektedr Te ranklarının her br kümesnde çerlen rankların sayısı Tablo 4 ün üçüncü kolonundak t değerlern tanımlar Tablonun son kolonunda k t değernn küpü alınır Sonra İlgl değerler (4) te yerne yazılırsa; t ve 3 t hesaplanır

PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Gülesen ÜSTÜNDAĞ ()( + ) 5 z = 4 =,099 ()( + )( + ) 6 4 4 48 elde edlr z =,099 değer te düzeltmes yapılmadan elde edlen z =,098 den önemsenmeyecek kadar büyüktür İk metod arasındak fark açıktır ve bu örnekte hang alternatf hpotez kullanılırsa kullanılsın, sıfır hpotezne göre karar değşmez Tablo 4 Normal yaklaşım le te ler çn düzeltme Nesne Rank t t 3 0 3 4 4,5 8 7 4,5 3 5,5 8 6 5,5 5 8 9 8 0 9 t = 4 3 t = 6 3

PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Gülesen ÜSTÜNDAĞ Tek Örneklem İçn Kolmogorov-Smrnov Uyum İylğ Test (Ordnal Ver İle Kullanılan Parametrk Olmayan Test) Varsayımlar Kolmogorov-Smrnov uyum ylğ test şu varsayım üzerne kurulmuştur: Örneklem rasgele br örneklemdr Sıfır Hpotezne Karşıt Alternatf Hpotez Sıfır hpotez ve alternatf hpotez tanımlanırken şunlara dkkat edlmeldr: a) Kolmogorov-Smrnov uyum ylğ test çn yöntem, örneklem dağılımı ve varsayılan ktle dağılımı çn kümülatf olasılık dağılımının kurulmasını gerektrr Test statstğ herhang br noktada k kümülatf olasılık dağılımı arasındak en büyük dk uzaklık olarak tanımlanır b) Sıfır hpotez ve alternatf hpotez çerçevesnde, F ( ) 0 X notasyonu uyumun ylğn değerlendrmek çn örnekleme dağılımı çn varsayılan teork ya da deneysel ktle dağılımını gösterrken, F ( X ) notasyonu örneklemn alındığı ktle çn kümülatf olasılık dağılımını göstermektedr Sıfır hpotez H 0 : F ( X ) = F ( ) 0 X, X n her değer çn Örneklemdek vernn dağılımı varsayılan teork ktle dağılımı le uyumludur Sıfır hpotezn fade etmenn dğer yolu şudur: örneklem varsayılan dağılımdan alınmışsa, hç br noktada örneklem kümülatf olasılık dağılımı ve varsayılan kümülatf olasılık dağılımı arasındak en büyük dk uzaklık beklenenden daha büyük değldr Alternatf hpotez çn aşağıdaklerden br düşünülmeldr Seçlen alternatf hpotez desteklenrse H 0 reddedlr Sıfır hpotezne karşıt olarak düşünüleblecek hpotezler; ) H : F ( X ) F ( ) 0 X, X n en az br değer çn 4

PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Gülesen ÜSTÜNDAĞ Örneklemdek vernn dağılımı varsayılan teork ktle dağılımı le uyumlu değldr Bu alternatf hpotez fade etmenn dğer yolu şudur: örneklem varsayılan dağılımdan alınmışsa, en az br noktada örneklem kümülatf olasılık dağılımı ve varsayılan kümülatf olasılık dağılımı arasındak en büyük dk uzaklık beklenenden daha büyüktür İk dağılımın ayrıldığı maksmum sapma noktasında örneklem çn kümülatf olasılık dağılımı varsayılan kümülatf olasılık dağılımından öneml derecede büyük ya da öneml derecede küçüktür Bu drekt olmayan alternatf hpotezdr ve k yanlı test le değerlendrlr ) H : F ( X ) > F ( ) 0 X, X n en az br değer çn Örneklemdek vernn dağılımı varsayılan teork ktle dağılımı le uyumlu değldr Bu alternatf hpotez fade etmenn dğer yolu şudur: örneklem varsayılan dağılımdan alınmışsa, en az br noktada örneklem kümülatf olasılık dağılımı ve varsayılan kümülatf olasılık dağılımı arasındak en büyük dk uzaklık beklenenden daha büyüktür İk dağılımın ayrıldığı maksmum sapma noktasında örneklem çn kümülatf olasılık dağılımı varsayılan kümülatf olasılık dağılımından öneml derecede büyüktür Bu drekt alternatf hpotezdr ve tek yanlı test le değerlendrlr ) H : F ( X ) < F 0 ( X ), X n en az br değer çn Örneklemdek vernn dağılımı varsayılan teork ktle dağılımı le uyumlu değldr Bu alternatf hpotez fade etmenn dğer yolu şudur: örneklem varsayılan dağılımdan alınmışsa, en az br noktada örneklem kümülatf olasılık dağılımı ve varsayılan kümülatf olasılık dağılımı arasındak en büyük dk uzaklık beklenenden daha büyüktür İk dağılımın ayrıldığı maksmum sapma noktasında örneklem çn kümülatf olasılık dağılımı varsayılan kümülatf olasılık dağılımından öneml derecede küçüktür Bu drekt alternatf hpotezdr ve tek yanlı test le değerlendrlr Yukarıdak alternatf hpotezlerden sadece br kullanılır Araştırmacının seçtğ alternatf hpotez desteklenrse sıfır hpotez reddedlr 3 Test Hesaplamaları Kolmogorov-Smrnov uyum ylğ test çn yöntem, varsayılan ktle çn kümülatf olasılık dağılımı le karşılaştırmak çn, örneklem vers çn kümülatf 5

PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Gülesen ÜSTÜNDAĞ olasılık dağılımının kurulmasını gerektrr Bu amaçla hazırlanan Tablo 5 analz oluşturan adımları özetlemektedr Tablo 5 n kolonlarındak değerler aşağıdak gb oluşturulur: A kolonuna orjnal skor değerler sıralı olarak (yan X skorları) kaydedlr Herhang br skor brden çok kez gözlenmşse tabloda br kez kaydedlr B kolonundak her br satırda belrlenen µ ve σ değerlerne göre her br X X µ skoru çn z = eştlğ le hesaplanan z skorları kaydedlr σ C kolonundak her br değer, normal dağılımda 0 le z arasındak olasılıkları gösterr D kolonunda varsayılan teork dağılım çn z değerne kadar olan kümülatf olasılıklar (oranlar) kaydedlr D kolonundak değerler yaygın olarak F 0 ( X ) notasyonu le gösterlr, burada alt nds Tablo 5 tek -nc skoru (satırı) göstermektedr E kolonunda örneklem dağılımındak her br X skoru çn kümülatf oran kaydedlr E kolonundak değerler yaygın olarak S( X ) notasyonu le gösterlr, burada alt nds Tablo 5 tek -nc skoru (satırı) göstermektedr F kolonunda örneklem ve teork kümülatf oranlar farkının mutlak değerler, başka br deyşle E kolonu ve D kolonundak oranlar arasındak farkın mutlak değer kaydedlr Böylece F = E D veya F = S( X) F0 ( X) dr Tek örneklem çn Kolmogorov-Smrnov uyum ylğ test çn test statstğ, herhang br noktadak örneklem kümülatf olasılık dağılımı ve varsayılan kümülatf olasılık dağılımı arasındak en büyük dk uzaklık olarak tanımlandığından F kolonunda gözlemlenen mutlak değerce en büyük değer test statstğ olacaktır G kolonunda se teork kümülatf oran le br öncek satır çn örneklem kümülatf oranı arasındak farkın mutlak değerler, başka br deyşle D kolonundak oran le br öncek satır çn E kolonundak oran arasındak farkın mutlak değerler kaydedlr Böylece G = E D veya G = S( X ) F0( X) dr 6

PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Gülesen ÜSTÜNDAĞ Tablo 5 Tek örneklem çn Kolmogorov-Smrnov uyum ylğ test çn test statstğnn hesaplanması A B C D E F G (X) (z) (p) FX=p±0,50 ( ) 0 ( ) S X S( X ) F ( X ) 0 SX ( ) F( X) 0 Önceden de bahsedldğ gb tek örneklem çn Kolmogorov-Smrnov uyum ylğ test çn test statstğ, herhang br noktadak örneklem kümülatf olasılık dağılımı ve varsayılan kümülatf olasılık dağılımı arasındak en büyük dk uzaklık olarak tanımlanır Bununla brlkte matematksel olarak; F kolonundak değer kullanıldığında hala örneklem dağılımındak skorların br çn kümülatf olasılık dağılımları arasında daha büyük dk uzaklık bulmak mümkündür Değerlendrlen değşken sürekl varsayıldığından, örneklemdek bazı skorlar çn dğernden daha büyük br dk uzaklık varsa, bu değer F kolonunda kaydedlen M değer yerne test statstğ olarak tanımlanablr F kolonunda kaydedlen maksmum değerden daha büyük dk uzaklık olup olmadığını hesaplamanın yolu Tablo 5 n G kolonundak değerler hesaplamaktır G kolonunda hesaplanan en büyük değer (M' le gösterlr) F kolonunda hesaplanan M değernden daha büyükse test statstğ olarak M' kullanılır Kolmogorov-Smrnov test statstğn hesaplamanın alternatf br yolu şekl dek gb br grafk çzmektr Kolmogorov-Smrnov analz çn şekl gb br grafk kullanıldığında bu grafk k dağılımı çermeldr: a) Varsayılan kümülatf olasılık dağılımı (yan D kolonunda hesaplanan değerlere dayanan eğr) b) Kümülatf deneysel dağılım (örneklem dağılımı çn kümülatf olasılıklara dayanan eğr (yan E kolonunda hesaplanan değerler) İk dağılım çn eğrler arasında bulunan en büyük dk uzaklık Kolmogorov- Smrnov test statstğ olarak kullanılır Böyle br grafk M ve M' nün değerlernn her ksn belrlemede kullanılır 7

PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Gülesen ÜSTÜNDAĞ Kümülatf oran varsayılan kümülatf olasılık dağılımı kümülatf deneysel dağılım varsayılan ve deneysel dağılım arasındak en büyük dk uzaklık 0 X skorları Şekl Kolmogorov-Smrnov analz çn kullanılan grafk 4 Test Sonuçlarının Yorumlanması Tek örneklem çn Kolmogorov-Smrnov uyum ylğ test çn test statstğ, M ve M' değerlernden büyük olanıdır Test statstğ ekler kısmındak Tablo 5 (tek örneklem çn Kolmogorov-Smrnov uyum ylğ test çn krtk değerler tablosu) le değerlendrlr Herhang br noktada k kümülatf olasılık dağılımı arasındak en büyük dk uzaklık (yan M ve M' değerlernden büyük olanı) Tablo 5 te kaydedlen krtk tablo değerne eşt ya da bu değerden daha büyük se sıfır hpotez reddedlr Tablo 5 de krtk değerler örneklem büyüklüğüne göre verlmştr Tek örneklem çn Kolmogorov-Smrnov uyum ylğ test çn sıfır hpotezn değerlendrme şlem aşağıdak şeklde yapılır: a) H : F ( X ) F ( ) 0 X drekt olmayan alternatf hpotez kullanılırsa; hesaplanan test statstğ belrlenen önem düzeynde k yanlı krtk tablo değerne eşt ya da daha büyük se sıfır hpotez reddedlr b) H : F ( X ) > F ( ) 0 X drekt alternatf hpotez kullanılırsa; hesaplanan test statstğ belrlenen önem düzeynde tek yanlı krtk tablo değerne eşt ya da daha 8

PARAMETRİK OLMAYAN TESTLER Gülesen ÜSTÜNDAĞ büyük se sıfır hpotez reddedlr Ayrıca k kümülatf olasılık dağılımı arasındak fark öyle olmalı k, test statstğn tanımlayan noktaya göre; örneklem dağılımı le lşklendrlmş kümülatf olasılık, varsayılan ktle dağılımı le lşklendrlmş kümülatf olasılıktan daha büyük olmalıdır Başka br deyşle hazırlanan tablonun F ve G kolonlarında mutlak değer hesaplama yerne farkların şaret tespt edlrse, H : F ( X ) > F 0 ( X ) drekt alternatf hpoteznn desteklenmes çn poztf şaret gerekldr Böylece M en büyük dk uzaklıksa S( X ) > F 0 ( X ) ve M' en büyük dk uzaklıksa S( X ) > F ( ) 0 X olmalıdır c) H : F ( X ) < F ( ) 0 X drekt alternatf hpotez kullanılırsa; hesaplanan test statstğ belrlenen önem düzeynde tek yanlı krtk tablo değerne eşt ya da daha büyük se sıfır hpotez reddedlr Ayrıca k kümülatf olasılık dağılımı arasındak fark öyle olmalı k, test statstğn tanımlayan noktaya göre; örnekleme dağılımı le lşklendrlmş kümülatf olasılık, varsayılan ktle dağılımı le lşklendrlmş kümülatf olasılıktan daha küçük olmalıdır Başka br deyşle hazırlanan tablonun F ve G kolonlarında mutlak değer hesaplama yerne farkların şaret tespt edlrse, H : F ( X ) < F 0 ( X ) drekt alternatf hpoteznn desteklenmes çn negatf şaret gerekldr Böylece M en büyük dk uzaklıksa S( X ) < F 0 ( X ) ve M' en büyük dk uzaklıksa S( X ) < F ( ) 0 X olmalıdır 5 Örnek Örnek (Sheskn, DJ; 003 Handbook of Parametrc and Nonparametrc Statstcal Procedures) Br araştırmacı mgren hastalarının damardan verlen 00 mg dozundak br laca yanıt süresnn 90 sn ortalamalı ve 35 sn standart sapmalı (yan µ=90 ve σ=35) normal dağılıma sahp olup olmadığını değerlendrmek çn br çalışma yapar 30 mgren hastası çn lacın alınmasıyla baş ağrısının keslmes arasında geçen süre kaydedlyor 30 skor sırasıyla en küçükten en büyüğe doğru dzlerek 9