İsanbul Ünverses İşleme Faküles Dergs Isanbul Unversy Journal of he School of Busness Admnsraon Cl/Vol:38, Sayı/o:, 2009, -23 ISS: 303-732 - www.fdergs.org 2009 Saklı Markov modeller kullanılarak ürkye de dolar kurundak değşmn ahmn edlmes uncay Can Ekonomer Bölümü, İksad ve İdar Blmler Faküles Marmara Ünverses, İsanbul, ürkye Öze Ersoy Öz 2 eknk Programlar Bölümü, Meslek Yüksekokulu Yıldız eknk Ünverses, İsanbul, ürkye Bu çalışmada dövz kuru olarak Amerka Brleşk Devleler dolar kuru çn geleceğe yönelk br ahmn meodu sunulmakadır. ahmn meodu olarak Markov Zncrlerne bazı ek özellkler eklenerek anımlanan Saklı Markov Modeller kullanılmışır. Modelde 992 2007 yılları arasında ürkye de gözlenen dolar kuru değerler ve bu kurları ekleyen ekonomk verler baz alınarak 2008 yılına a dolar kuru değşm çn ahmnlemeler yaılmışır. Saklı Markov Modellernde, modele a maemaksel hesalamalar çok karmaşık br yaıda olu, çözümü oldukça uzun zaman almakadır. Bu nedenle hesalamalarda, Malab2007 rogramı çersnde var olan Saklı Markov Model çözüm algormaları kullanılacakır. 2008 yılı çn lk Ocak ve Şuba aylarına dğer Ocak, Şuba ve Mar aylarına a k ahmnleme yaılmışır. ahmnlenen dolar kuru değşmler çn uarlılığın oldukça yüksek olduğu görülmüşür. Anahar Sözcükler: Markov Zncr, Saklı Markov Modeller, Saklı Markov Model Algormaları, Dolar Kuru, Dolar Kuru Değşm ahmn. Esmaon of dollar rae changes n urkey usng Hdden Markov models Absrac In hs work, a rudenal esmaon mehod for U.S. dollar rae, as he exchange rae, s resened. As he esmaon mehod, Hdden Markov Models, whch are descrbed as Markov Chans wh some addonal roeres, are used. In he model, esmaons for dollar rae change for he year 2008 are made usng dollar rae values and relaed economc daa observed n urkey beween he years 992 2007. In he Hdden Markov Models, mahemacal calculaons belongng o he model are very comlcaed, hus requre rey much me o be solved. For hs reason, n he calculaons, Hdden Markov Model soluon algorhms nsde he sofware Malab2007 wll be used. wo esmaons for he year 2008 are made, where he frs one s for January and February and he second one s for January, February and March. he accuracy of he esmaed dollar rae changes came ou o be farly hgh. Keywords: Markov Chan, Hdden Markov Models, Algorhms of Hdden Markov Model, Dollar Rae, Dollar Rae Change Esmaon.. Grş Saklı Markov SM modeller, keskl zamanlı Markov modelnn bazı ek özellkler almış haldr []. Keskl zamanlı br Markov model; durumlar, başlangıç olasılıkları vekörü ve geçş olasılıkları mars le anımlanırken SM model bu bleşenlere ek olarak gözlemler ve bu gözlemlere a gözlem olasılıkları mars le anımlanır. uncay.can@marmara.edu.r. Can 2 ersoyoz@yldz.edu.r E. Öz
. Can, E. Öz / İsanbul Ünverses İşleme Faküles Dergs 38,, 2009-23 2009 SM modellernde, Markov modellernden farklı olarak ssemn herhang br anda hang durumda olduğu blnmez. Bunun yerne her br durumda, durum arafından oluşurulan br gözlem meydana gelr. Dolayısıyla durumlar saklı olarak nelendrlr. SM Model eors lk olarak Baum ve Pere 966, Baum ve Eagon 967, Pere 969 ve Baum 972 arafından gelşrlmşr. Son yıllarda uygulamaya yönelk eor ve model kullanım yönemler Rabner ve Juang 993 arafından verlmşr. Ekonomk ve fnansal modellerde kullanımı, Bhar ve Hamor 2004 ve Mamon ve Ello 2007 arafından gelşrlmşr. Çalışmanın lk kısmında SM model anımlanarak, modeln hang sorulara ceva verebleceğ fade edlmş ve bu soruların çözümünde kullanılacak algormalar verlmşr. Dolar kurunun zaman çersndek değşm skolok, syas ve ekonomk nedenlere bağlıdır. Pskolok ve syas nedenler sayısal olarak fade edlemedğnden değşmn ahmn edlmes her zaman doğru sonuçlar vermeyeblr. Çalışmanın knc kısmında dolar kuruna ek eden ekonomk fakörler ncelenmşr. Uygulama kısmında, dolar kurunda aylık zaman dlmlernde ay sonlarında meydana gelen değşm değerler br öncek ay le oranlanarak arış, düşüş ve sab kalma olarak fade edlmşr. Bu verler SM model çn gözlem ler olarak alınmışır. Dolar kurunun belrlenmesnde ekl olan fakörlerden ödemeler denges ve faz oranları kullanılarak model çn durumlar oluşurulmuşur. 992 yılı Ocak ayından 2008 yılı Ocak ayına kadar olan süredek verler aylık olarak kullanılarak 2008 yılı lk k ayı ve lk üç ayı çn dolar kurunun zleyeceğ değşme a ahmnleme yaılmışır. ahmnleme sonucunda, ahmn edlen değerler le gerçek değerler arasındak doğruluk oranının oldukça yüksek olduğu görülmüşür. 2. Saklı Markov Model Markov modelnde zaman arameres olarak nn < 2 < < n arçalanışı çn br markov sürec aşağıdak eşlkle açıklanır ve bu eşlğe Markovyen Özellk denr [2]: P X xn X x,, n X x P X xn X x n n n n n, n, 2, 3, Br başka söylemle, ssemn gelecek durumu sadece şu ank durumuna bağlıdır. Markov zncrler, Markovyen özellğ sağlayan ayrıca durum uzayı keskl ve aramere uzayı keskl veya sürekl olablen Markov süreçlerdr. Markov zncrlernde üm durumlar ve zaman arameres olan ler çn aşağıda verlen koşullu olasılığın varlığı kabul edlr: S, durum uzayını gösermek üzere P X, S 2 X şeklndedr., 2 Bu olasılık den bağımsızdır. olasılıklarına ek adım geçş olasılıkları denr [3]. Bu fadeye göre anında durumunda olan sürecn anında durumunda olması olasılığı le göserlecekr. çn aşağıdak eşlkler geçerldr: 0,, 0 3 0, 0,,2, 4
. Can, E. Öz / İsanbul Ünverses İşleme Faküles Dergs 38,, 2009-23 2009 Yukarıdak bçmde anımlanan geçş olasılıklarının oluşurdukları mars Markov zncrnn geçş olasılıkları marsdr [4] ve P ] le göserlr. Durum uzayı S { 0,, 2,, } şeklnde sonlu olduğunda Markov zncr çn ek adım geçş olasılıkları mars aşağıdak gb olacakır: P [ 0 ] 2 0 00 0 20 0 0 2 2 02 2 22 2 0 2 Markov zncrlernde ssem br durumdan dğerne geçer ve bu durumlar gözlemleneblr. SM modelnde se markov zncrnn br durumundan dğer durumuna geçldğnde sab ve zamandan bağımsız br olay meydana gelmekedr. Dolayısıyla durumlar doğrudan gözlemlenemez. Bunun yerne her br durumdan meydana gelen gözlem çıkıları oluşur [5]. Gözlem çıkılarının br araya gelmes le gözlem dzs meydana gelr. SM Modelnde gözlem dzsnn alında yaan durum dzsnn blnmemes modele Saklı anlamını yükler. Ayrıca meydana gelen gözlemlerden her br zamandan bağımsızdır ve mevcu durumun her br olaya lşkn olasılığı, dağılım değerne bağlıdır. Br SM Model aşağıdak bçmde anımlanır:. S S, S, 2, S [ keskl durumlar kümesn ve q, anındak durumu göserr [6]. Genel olarak durumlar kend çlernde herhang br durumdan dğer durumlara ulaşablecek şeklde bağlanılıdır. Yan durumlar ergodk model şeklndedr.. Her br duruma a gözlem kümes V v, v, 2, şeklnde keskl br küme le fade v M edlr. Gözlemler br öncek gözlemden bağımsızdır [7].. Durum geçş olasılık dağılımı A a şeklnde göserlr ve A, nde br mars le fade edlr. a P q S q S ],, 5 [ olmak üzere 3 ve 4 le verlen k koşul a çn geçerldr. Durum geçş olasılıkları zaman çersnde değşmez ve bu olasılıklar gözlemlerden bağımsızdır [8]. v. Gözlem olasılık dağılımı B b k ken v k gözlemnn olasılığını verr. le göserlr. Bu fade, anında durumunda b k veya b k P[ anınında v q S ],, k M 6 k k P[ O v q S ],, k M 7 3
. Can, E. Öz / İsanbul Ünverses İşleme Faküles Dergs 38,, 2009-23 2009 olmak üzere, b k çn aşağıda verlen k koşul geçerldr: b k 0,, k M 8 k 4 M B, b k, 9 M nde br mars le fade edlr. v. Başlangıç durum dağılımı olasılığıdır ve aşağıdak bçmde göserlr [9]. P q S dr. Başlangıç anında ssemn S durumunda olma, 0, M, A, B ve nn uygun değerler çn SM model br gözlem dzs ürer., gözlem sayısı olmak üzere her br gözlem v, v, 2, v M kümesndek gözlemlerden brdr [0]. Böylece O O O O bçmnde br gözlem dzs oluşur. 2 SM modelnn aramereler kümes A, B, le göserlecekr. SM modeller gözlemlere bağlı olarak ya keskl ya da sürekl olarak sınıflandırılablr []. Modelde meydana gelen gözlemler keskl olduğunda, keskl SM model oluşur ve bu model genel olarak Saklı Markov Model adı le fade edlr. Gözlem dzsnn keskl olmadığı durumlarda se sürekl gözlem yoğunluklu SM model veya kısaca Sürekl Saklı Markov Model oluşur. 2.. Saklı Markov Modelnn Üç emel Problem ve Çözümler SM modelnn gerçek uygulamalarda kullanılablmes çn üç emel roblemn çözülmes gerekmekedr. Bu roblemler; gözlem olasılığının ne olacağı, saklı durum dzsnn ahmn ve model aramerelernn yenden yaılandırılmasının nasıl yaılacağı üzerne kuruludur. aramereler ve O O O 2 O gözlem dzs çn, bu modele a P O gözlem dzs olasılığının ekn br bçmde nasıl. Problem: Br SM modelnde verlen A, B, hesalanacağıdır. Bu olasılığın hesalanmasında İler-Yön Forward ve Ger-Yön Backward algormaları kullanılır. İler-Yön Algorması İler-Yön değşken aşağıdak bçmde anımlanır: P O O O, q S 2 Verlen model çn İler-Yön değşken, anında O O 2 O kısm gözlem dzsnn olasılığıdır. ümevarımsal br yönemle çözülür [2].. Başlangıç lk değern verlmes P O, q S P O q S, P q S S durumundak ssemn değşken aşağıda verldğ gb b,, 2 O. Yneleme
. Can, E. Öz / İsanbul Ünverses İşleme Faküles Dergs 38,, 2009-23 2009 [ a ] b O,, 3. Sonlandırma P O P O, q S 4 Bu adım senlen O olarak verr. 2 P hesabını, sonuncu İler-Yön değşkenlernn olamı P O O O, q S 5 Ger-Yön Algorması Ger-Yön değşken, verlen model ve anında S durumunda olan ssemn anından baren son ana kadar olan kısm gözlem dzlernn olasılığı olarak anımlanır [3]. Başlangıç anında üm ler çn ye keyf olarak değer verlmşr. aşağıda verldğ gb ümevarımsal br yönemle çözülür [4]:. Başlangıç, 6. Yneleme a b O,, 2,,, 7 O O O O gözlem dzs ve model çn, bu gözlemler en 2. Problem: Verlen 2 uygun bçmde açıklayan Q q q q durum dzsnn nasıl seçleceğdr. 2. Problem, 2 modeln saklı kısmının açığa çıkarılması yan doğru durum dzsnn bulunmasıdır. Bu durum dzsn bulmak çn dnamk rogramlama meoduna bağlı bçmsel br eknk olan Verb Algorması gelşrlmşr [5]. Verb Algorması Verb Algorması, keskl zamanlı sonlu durumlu Markov süreçlernn durum dzs ahmn roblem çn br ekrarlamalı omal çözümdür [6]. Verlen O O O O } gözlem dzs düşünüldüğünde en y ekl durum dzs Q { 2 { qq2 q } y bulmak çn max P[ qq2 q, OO 2 O q, q2,, q ] fades anımlanır., anına kadar ek br yol boyunca en yüksek olasılığı göserr ve anında S durumuna ulaşılır. ümevarım yoluyla 9 fades elde edlr. 8 [max a ]. b O 9 Gerçek durum dzsne varmak çn 9 fadesn her ve çn maksmze hale germş olan argümanın bağımsız değşkenn zlenmes gerekr. Bu şlem dzs le yaılır. 5
. Can, E. Öz / İsanbul Ünverses İşleme Faküles Dergs 38,, 2009-23 2009 Verb Algormasının adımları aşağıda verlmşr:. Başlangıç b, 20a O 0 20b. Yneleme max [ a ] b O, 2, 2a arg max [ a ], 2, 2b. Sonlandırma P * max [ ] 22a q * arg max [ ] 22b v. Yol Durum Dzs Ger İzleme * q * q,, 2,, 23 3. Problem: O P olasılığını maksmum yaablmek çn A, B, model aramerelernn nasıl değşrleceğdr. P O olasılığını yerel olarak maksmum yamak çn A, B, gelşrlmşr. Baum-Welch Algorması aramere ahmnlemesnde, Baum-Welch Algorması SM modelnn eğm olarak adlandırılan Baum-Welch Algorması ler-yön ve ger-yön değşkenlerne a olasılıklar üzerne kurulu br ynelemel benzerlk maksmzasyon meodudur [7]. Verlen br model ve gözlem dzs çn, anında S durumunda olma olasılığını göserr., P q S, q S O, değşken, anında S durumunda ve 24 24 fadesne göre gerekl olan koşullara yol açan olaylar dzs Şekl de göserlmşr. 6
. Can, E. Öz / İsanbul Ünverses İşleme Faküles Dergs 38,, 2009-23 2009 7 Şekl : Ssemn Anında S ve Anında S Durumunda Bulunması Brleşk Olasılığının Hesalanmasında Gerekl İşlemler Dzs [0] İler-Yön ve Ger-Yön değşkenlernn anımlarından 25 fades yazılır:,,, O S q S q P O b a O b a O P O b a, 25 Paydak erm sadece,, O S q S q P olacak ve O P le bölüm yaıldıkan sonra senlen olasılık ölçüsü elde edlecekr. Ayrıca verlen model ve O gözlem dzs çn değşken, anında S durumunda olma olasılığı, O S q P 26 şeklnde anımlanır. 26 nolu fade İler-Yön, Ger-Yön değşkenler le basçe fade edleblr. O P 27 O P normalzasyon fakörü, y br olasılık ölçüü halne gerr: 28 Bu bağlamda le, arasında aşağıdak şeklde br lşk kurulablr:, 29
. Can, E. Öz / İsanbul Ünverses İşleme Faküles Dergs 38,, 2009-23 2009, S den geçşlern beklenen sayısı. S den S ye geçşlern beklenen sayısı. 30a 30b 30a ve 30b formüller kullanılarak br SM modelnn aramerelernn yenden ahmn çn br yönem anımlanablr. a anında b k, O v k S durumunda beklenen sıklık zamanların sayısı = 3a - 3b ve 3c formüller çn A, B, model hesalanır 3a 3b 3c model kullanılarak A, B, Yenden ahmn rosedürünün öneml br nokası da aşağıda fade edlen SM model aramerelernn sokask kısılarının her erasyonda ssemak br bçmde elde edlmesdr. 32a a, 32b M k b k, 32c 3. Dövz Kurları Dövz, yabancı aralar cnsnden ülkelerde ödeneblr kayılı ara olarak anımlanmakadır. Dövzn br başka dövz le değşrlmesnde esas alınan orana dövz kuru denlmekedr. Bu da söz konusu yabancı aranın arz ve alebne bağlıdır [8]. Dövz yasalarında kurlar, dövz alış ve dövz saış kurları şeklnde lan edlmekedr. Dövz alış ve saış kurları, örneğn bankalar açısından değerlendrldğnde, br bankanın br brm yabancı arayı saın aldığında veya saığında ödeyeceğ veya ahsl edeceğ mll arayı gösermekedr. Br ülkenn arasının geleceke hang yönde değşklğe uğrayableceğ brçok ekonomk gösergelerden anlaşılablmekedr. Ancak söz konusu değşm eğlmnn kesn zamanının ve ölçüsünün ahmn edleblmes son derece zor olablmekedr. Çünkü br arafan dövz arz ve alebn ekleyen hal ve keyfyelern kesn olarak blnmemes ve bunların eklernn kanaf olarak hesa edlememes, dğer arafan resm kurumların 8
. Can, E. Öz / İsanbul Ünverses İşleme Faküles Dergs 38,, 2009-23 2009 syas nedenlerden dolayı dövz yasasına müdahale ederek, ekonomk gerçekler manığına ers yönde dövz kurlarının değşmes sağlanablmekedr [9]. ürkye 980 l yıllardan sonra dışa açık olkalar zlemşr. Dışa açık ekonomlerde ülke çnde alınan kararlar ve uygulanan olkalardan başka, dğer ülkelern olkaları, yaşanan krzler veya savaş gb dış fakörler ülke ekonomsn eklemekedr. Ülkenn dış fakörlerden eklenme dereces, daha çok dğer ülkelerle olan ekonomk, syas ve olk bağlanılara göre değşmekedr [20]. Dövz kurlarını açıklayan başlıca k yaklaşım bulunmakadır. Brnc yaklaşım, uluslar arası şlemlere kaılan arafların davranışlarının eğlmlernn analz edlerek, dövz çn arz ve ale gücünün anlaşılmasıdır. Bu şlemler ödemeler denges le ölçüldüğünden dövz kurlarının ahmn ödemeler dengesndek hesaların ahmnn gerekrr. Dğer yaklaşım se, faz ve enflasyon oranı beklensdr. Bu yaklaşımlara göre dövz kurlarını ekleyen fakörler şu şeklde sıralanablr [2]: Ödemeler Denges: Ülkelern belrl br zaman dlm çnde brbrler le gerçekleşrdkler ekonomk şlern ssemak br kaydı olarak anımlanan ödemeler denges, dövz kurunu belrlemede ve dövz kuruna lşkn beklenler yönlendrmede büyük br öneme sahr [2]. Br ülkenn ödemeler denges belrl br zaman aralığında sözü geçen ülke le dğer ülkeler arasında gerçekleşen her ür ekonomk şlemn kayılarını çerr [8]. Dövz dengesnde oluşan açık ve ne düzeyde sürdürüleblr olduğu ulusal araya olan aleb ekleyecek ve de kurları değşrecekr [22]. Enflasyon Oranları Saın Alma Gücü Pares: Enflasyon oranları da kur değşmelernn muhemel gösergeler olarak dkkae alınması gereken dğer öneml gösergedr [9]. Br ülkedek enflasyon oranı dğer ülkelere göre daha hızlı se, bu ülkenn arasının dğer aralar karşısında değer kaybedeceğ kabul edlr [2]. Ülkeler arasındak enflasyon farklılıkları dövz kurlarını ekler. Enflasyon ulusal aranın saın alma gücünü düşürdüğü çn dövz kurunun da aynı oranda devalüe edlmes gerekr. Devalüasyon gerçekleşrse enflasyon yaşamamış yabancı br ülkenn ara brmyle enflasyon halndek ülkeden alableceğ reel mal mkarı aynı sevyede kalır. Şaye devalüasyon yaılmazsa ülkenn hraç eğ mallar ahalı hale gelr. Aynı şeklde deflasyon durumunda aranın saın alma gücünün arması-fyaların düşmes durumunda dövz kurunun revalüe edlmes gerekr. Aks akdrde reel olarak daha fazla mal hraç edldğ halde dövz cnsnden elde edlen gelr aynı düzeyde kalır. Dolayısıyla herhang k ülkenn dövz kur ve arelerndek değşmn, ülkelerdek enflasyon oranları arasındak farka eş olması gerekr. Bu anlamda ekonomk gücü yüksek olan ülkelerdek enflasyon beklenler dövz kurunu ekleyeblr [22]. Faz Oranları: Faz oranları le dövz kurları arasındak lşky bulmak çn, önce faz oranlarının enflasyon le lşksn kurmak gerekr. Bunu uluslararası Fsher Eks le açıklayablrz. Fsher Eksne göre, nomnal faz oranları, reel faz oranı le enflasyonun kombnasyonudur [2]. Ayrıca Fsher eksne göre, reel faz gerler ülkeler arasında eşr. Yan, br ara üzernden beklenen reel faz gers dğernden yüksekse, mal fonlar düşük reel fazde olan ülkeden yüksek fazde olana doğru kayar ve bu faalye k ülke arasında reel fazler eşlennceye kadar sürer [8]. Para ve Malye Polkaları: Para ve malye olkaları da dövz kurlarını ekleyc nelğe sahrler. Para arzındak arış, genelde dövz kurunu ers br bçmde ekler. Verg oranlarını değşrme, doğrudan 9
. Can, E. Öz / İsanbul Ünverses İşleme Faküles Dergs 38,, 2009-23 2009 ve dolaylı vergleme, dışalım vergler, verg ades vb. gb mal düzenlemeler o ülkede yaşayanların saın alma gücünü azalır, ya da arırır [2]. Kur Remler ve Müdahaleler: Ülkede uygulanan kur rem çerçevesnde merkez bankalarının kur belrleme ve/veya gerekğnde dövz kuruna müdahale eme gücü oluşmakadır. Merkez bankaları açık yasa şlemler veya dövz alım saımıyla dövz kurlarını yönlendreblr [22]. Dğer Fakörler: Yukarıda sayılanların dışında olk ve skolok fakörler de dövz kurlarını ekleyen fakörler olarak görülürler [2]. Olumsuz olk beklenler br aranın değernn düşmesne neden olablr. İsenmeyen olk değşmlern olableceğ beklens kşlerde ve ş çevrelernn ellernde varlık olarak arayı umama eğlmne neden olacağından ara arzı arar. Bu ür gelşmeler de aranın değernde düşüşe yol açar. Dğer yandan olk skrar beklens aranın değern arırır [8]. Ekonomk fakörler, özellkle uzun dönemde dövz kurlarının belrlenmesnde çok öneml rol oynarlar. Ancak ekonomk olmayan fakörler de zaman zaman dövz kurlarını eklerler. Polk ve skolok fakörler, sermaye harekelerne sebe olarak dövz kurları üzernde ek yaarlar. Bu ekleme sürecnde bazı aralar üzernde oluşan belrl malar öneml rol oynar [2]. Dövz kurunun seyrn ekleyen en sübekf ve en öneml unsur güven unsurudur. Ülke arasına ve ülke kurumlarına olan güven kurları skrarlı kılar. Bu sebele olk skrar kavramı karşımıza çıkar. Şaye bu skrar mevcu değlse, mal sseme ve merkez bankasına olan güven sarsılırsa dövz kurları yukarı lr ülke arasının barı sarsılır [22]. 4. Uygulama Dolar kurunun geleceğe yönelk değşmnn ahmnlenmes çn belrl br zaman aralığında dolar kurları ve bu kurları ekleyen fakörler ver olarak kullanılmışır. ahmnlemede kullanılacak verlern ümü.c.m.b. Elekronk Ver Dağıım Ssemnden emn edlmşr [23]. Zaman aralığı olarak, 992 yılı Ocak ayından 2008 yılı Ocak ayına kadar olan süre belrlenerek olam 92 ay çn ay sonu değerler baz alınmışır. Yukarıda verlen arh aralığında her br ay çn dolar kuru alış fyaları br öncek ayın alış fyaı le oranlanarak değşm değerler yüzde olarak fade edlmşr. Değşmn -%0,5 le %0,5 arasında olması sab olarak G0 le, %0,5 den büyük olması arış olarak G le ve - %0,5 den küçük olması se düşüş olarak G2 le göserlecek ve bu fadeler SM modelnn gözlem kümesn oluşuracakır. Gözlem kümesnn aylık verlerden oluşması nedenyle SM modelnn keskl olduğu basçe söyleneblr. Dolar kurunu ekleyen fakörler arasında yer alan ödemeler denges, ülkenn fnansal yaısını oldukça ekl br şeklde fade eğnden dolayı dolar kuru değşmnn ahmn edlmesnde en öneml unsur olarak modelde, durum" olarak kullanılmışır. Yukarıda verlen arh aralığında her br ay çn açıklanan Ödemeler Denges ablosundan Genel Denge verler alınmışır. Bu verler mlyon $ cnsnden fade edl her br ayın vers br öncek ayın vers le karşılaşırılarak, arma veya azalma durumları oluşmuşur. Arma A, azalma se D le fade edlmşr. Dolar kurunu ekleyen fakörlerden olan faz oranları da, dolar kurunun ahmn edlmesnde öneml br unsur olduğundan modelde, durum olarak kullanılmışır. Belrlenen arh aralığında açıklanan 3 aylık vadel mevdua faz oranları ver olarak kullanılmışır. Dolar kuru verlernde olduğu gb faz oranlarında da her br ay çn faz oranı br öncek ayın faz oranı le oranlanarak değşm değerler yüzde olarak fade 0
. Can, E. Öz / İsanbul Ünverses İşleme Faküles Dergs 38,, 2009-23 2009 edlmşr. Değşmn -%0,5 le %0,5 arasında olması sab olarak F0 le, %0,5 den büyük olması arış olarak F le ve -%0,5 den küçük olması se düşüş olarak F2 le göserlmşr. Dolar kurunu ekleyen dğer br fakör de Enflasyon oranlarıdır. Enflasyon oranları genel olarak faz oranları le doğru oranılı olarak değşğnden modelde kullanılmamışır. Para ve Malye Polkaları, Kur Remler ve Müdahaleler, Polk ve Pskolok fakörler her ne kadar dolar kurunu ekleyen fakörler olarak blnse de bu fakörlern sayısal olarak fade edlmes zor olduğundan dolayı ahmnlemede, durum olarak kullanılmamışır. ahmnlemede kullanılacak olan {A,D} ve {F0,F,F2} durum kümeler kend çnde ergodk olu, dğer durum kümesndek durumlar le ergodk br yaıda değldr. Yan {F0,F,F2} durum kümesnn herhang br elemanı hçbr zaman {A,D} durum kümesnn br elemanına geçş yamaz. Benzer şeklde {A,D} kümesnn herhang br elemanı hçbr zaman {F0,F,F2} kümesnn br elemanına geçş yamayacakır. Bu durumda hem geçş olasılıkları mars hem de gözlem olasılıkları mars oluşurulamaz. {A,D} ve {F0,F,F2} durumları aylık, karşılıklı olarak oluşuğundan dolayı {F0,F,F2} kümesnn her br elemanı çn {A,D} kümesnn br elemanı karşılık geleceğnden, oluşacak üm olasılıklar yen durumları oluşuracak bçmde aşağıda verldğ gb anımlanmışır: ablo : Modelde Yar Alacak Durumlar ve Gösermler Durumlar Göserm Faz Oranları F0 F0 F2 F2 F F Ödemeler Denges A D A D A D Geçş ve Gözlem Olasılıkları Mars D D2 D3 D4 D5 D6 Ek de yer alan verler yukarıda belrlen arh aralığında ncelenerek geçş olasılıkları mars oluşurulmuşur. ablo 2: Geçş Olasılıkları Mars D D2 D3 D4 D5 D6 D 0,286 0,34 0,2 0,086 0 0,4 D2 0,484 0,065 0,93 0,097 0,29 0,032 D3 0,053 0,237 0,84 0,394 0,079 0,053 D4 0,05 0,2 0,275 0,25 0,25 0, D5 0,2 0,04 0,24 0,2 0,6 0,24 D6 0,43 0 0,095 0,095 0,477 0,9 Gözlem verler olarak alınan dolar kuru değşm değerler {G0,G,G2} ye karşılık gelen durumlar kullanılarak Gözlem olasılıkları mars oluşurulmuşur.
. Can, E. Öz / İsanbul Ünverses İşleme Faküles Dergs 38,, 2009-23 2009 ablo 3: Gözlem Olasılıkları Mars G0 G G2 D 0,086 0,77 0,43 D2 0 0,742 0,258 D3 0,079 0,447 0,474 D4 0, 0,65 0,25 D5 0,077 0,73 0,92 D6 0,048 0,857 0,095 Model çn başlangıç durumunda üm durumların meydana gelme olasılıkları aynı olduğundan, başlangıç olasılıkları eş alınmışır. P / 6, / 6, / 6, / 6, / 6, / 6, 6 ablo 4: 2008 Yılı İlk İk Ayı İçn ahmn Edlecek Gözlem Dzler Dönem Ocak Şuba Gözlem Dzler G0 G0 G0 G G G G2 G2 G2 G0 G G2 G0 G G2 G0 G G2 Bu gözlem dzlerne a olasılık değerler SM modelnn.problemnde bahsedlen İler- Yön ve Ger-Yön algormaları le hesalanmışır. Her br gözlemn meydana gelmesnde ekl olan en yüksek olasılıklı saklı durum dzler se SM modelnn 2.Problemnde bahsedlen Verb algorması le hesalanmışır. Hesalama sonuçları aşağıda verlmşr: ablo 5: 2008 Yılı İlk İk Ayı İçn ahmn Edlen Gözlem Dzs Olasılıkları ve Olası Durum Dzler Ocak G0 G0 G0 G G G G2 G2 G2 Şuba G0 G G2 G0 G G2 G0 G G2 Olasılık 0,0034 0,037 0,040 0,0472 0,48 0,684 0,07 0,689 0,0632 Durum Dzs D3,D4 D,D2 D,D3 D2,D D2,D D2,D3 D3,D4 D2,D D3,D4 Ocak ve Şuba ayları çn ahmn edlen gözlem dzs olasılıklarından en yükseğ %48, le {G,G} dr. Bu sonuca göre 2008 yılı Ocak ayında dolar kuru, 2007 yılı Aralık ayına göre %0,5 den daha fazla aracak ve 2008 yılı Şuba ayında da br öncek aya göre yne %0,5 den daha fazla br arış olacağı söyleneblr. Ek de yer alan 2008 yılı lk k ayında gözlenen dolar kuru değşmlerne bakıldığında ahmnlemenn %00 doğru sonuç verdğ görülür. 2
. Can, E. Öz / İsanbul Ünverses İşleme Faküles Dergs 38,, 2009-23 2009 ahmnlemede en yüksek olasılığı veren {G,G} gözlem dzs çn omum durum dzs yan bu olasılığın hesalanmasında en ekl olan saklı durum dzs {D2,D} olarak bulunmuşur. Bu sonuç Ocak ve Şuba aylarındak gözlem dzs çn sırası le D2 ve D durumlarının en ekl durumlar olduğunu oraya koyar. D2; F0 ve D durumları yan Faz oranının br öncek aya göre değşmnn -%0,5 le %0,5 arasında kaldığını ve Ödemeler dengesnde br öncek aya göre br azalma olduğunu göserr. D se F0 ve A durumları yan Faz oranının br öncek aya göre değşmnn -%0,5 le %0,5 arasında kaldığını ve Ödemeler dengesnde br öncek aya göre br arma olduğunu göserr. Ek de yer alan 2008 yılı lk k ayı çn gerçek verler {D2,D2} şeklnde yan F0,D ve F0,D bçmnde olu ahmnleme le elde edlen bu sonuçlar gerçek verler le karşılaşırıldığında %75 lk doğru sonuç sağlanmış olur. SM modelnn 3.Problemnde ncelenen model aramerelernn yenden belrlenmes, senen herhang br gözlem dzsnn olasılığını maksmum yamak çn başlangıç olasılıkları vekörü, geçş olasılıkları mars ve gözlem olasılıkları marslernn yenden belrlenmesne yönelk br algorma olarak verlmş. 3.Problem n çözümünde verlen Baum-Welch algorması Ocak ve Şuba aylarına a gözlem dzlernden %,40 le oldukça düşük br olasılığa sah olan {G0,G2} gözlem dzs çn uygulanırsa Burada senlen herhang br gözlem dzs seçleblr aşağıdak aramereler elde edlr. ablo 6: {G0,G0} Gözlem Dzs İçn Paramereler Değşrlen Geçş Olasılıkları Mars D D2 D3 D4 D5 D6 D 0 0 0,573 0,033 0 0,4496 D2 0 0 0 0 0 D3 0 0,802 0 0 0,988 0 D4 0 0,6825 0 0 0,375 0 D5 0 0 0 0 0 D6 0 0 0 0 0 ablo 7: {G0,G0} Gözlem Dzs İçn Paramereler Değşrlen Gözlem Olasılıkları Mars G0 G G2 D 0 0 D2 0 0 D3 0 0 D4 0 0 D5 0 0 D6 0 0 3
. Can, E. Öz / İsanbul Ünverses İşleme Faküles Dergs 38,, 2009-23 2009 Başlangıç olasılıkları se değşmemşr. Yen aramereler kullanıldığında gözlem olasılığı %00 olarak hesalanmışır. Başlangıç olasılıkları vekörü, geçş olasılıkları mars ve gözlem olasılıkları marsnn Ocak ve Şuba ayları ahmnnde kullanıldığı gb alınarak Ocak, Şuba ve Mar ayları çn ahmnleme yaıldığında elde edlen sonuçlar ablo 8 de verlmşr. ablo 8: 2008 Yılı İlk Üç Ayı İçn ahmn Edlen Gözlem Dzs Olasılıkları ve Olası Durum Dzler Ocak Şuba Mar Olasılık Durum Dzs G0 G0 G0 0,00022 D3,D4,D4 G0 G0 G 0,0023 D,D,D2 G0 G0 G2 0,00089 D3,D4,D3 G0 G G0 0,0026 D,D2,D G0 G G 0,0254 D,D2,D G0 G G2 0,0092 D3,D4,D3 G0 G2 G0 0,00097 D,D3,D4 G0 G2 G 0,0094 D,D2,D G0 G2 G2 0,0036 D,D3,D4 G G0 G0 0,0030 D2,D,D G G0 G 0,0320 D2,D,D2 G G0 G2 0,022 D2,D,D3 G G G0 0,0320 D2,D,D G G G 0,330 D2,D,D2 G G G2 0,9 D2,D,D3 G G2 G0 0,04 D2,D3,D4 G G2 G 0,36 D,D2,D G G2 G2 0,0435 D2,D3,D4 G2 G0 G0 0,00 D3,D4,D4 G2 G0 G 0,05 D2,D,D2 G2 G0 G2 0,0045 D3,D4,D3 4
. Can, E. Öz / İsanbul Ünverses İşleme Faküles Dergs 38,, 2009-23 2009 G2 G G0 0,03 D2,D,D G2 G G 0,52 D2,D,D2 G2 G G2 0,0425 D3,D4,D3 G2 G2 G0 0,0043 D3,D3,D4 G2 G2 G 0,0424 D3,D2,D G2 G2 G2 0,065 D3,D4,D3 ablo 8 ncelendğnde en yüksek olasılığa sah gözlem dzs %33,0 le {G,G,G} dr. 2008 yılı Ocak, Şuba ve Mar aylarında gözlenen verler Ek de verldğ gb {G,G,G} şeklnde olu lk üç ay çn ahmnlemenn %00 doğru sonuç verdğ görülür. İlk üç aylık ahmnlemede en yüksek olasılığı veren {G,G,G} gözlem dzs çn omum durum dzs {D2,D,D2} olarak bulunmuşur. Omum durum dzs açık olarak {F0-D,F0-A,F0-D} şeklnde yazılablr. Gerçek verler se Ek de verldğ gb {D2,D2,D} şeklnde yan {F0-D,F0-D,F0-A} bçmnde olu elde edlen bu sonuçlar gerçek verler le karşılaşırıldığında yaklaşık olarak %66,6 lk doğru sonuç sağlanmış olur. 5. Sonuç ve Önerler SM modeller kullanılarak yaılan ahmnlemelern, gözlem olasılığını hesalamada çok y sonuçlar verdğ ayrıca gözlem olasılığının hesalanmasında ekl olan saklı durumların bulunmasında se y sonuçlar verdğ görülmüşür. Herhang br gözlem dzs olasılığının maksmum yaılması çn model aramerelernn yenden belrlenmes sonucunda da gözlem olasılığı çn yne çok y sonuçlar alınmışır. Dolar kurunun belrlenmesnde ekl olan ekonomk fakörlerden faz oranları ve ödemeler denges verler kullanılarak, kurdak değşmn ahmnlenmes ve bu değşm oluşuran en ekl fakörün belrlenmesnde, SM modellernn ekl br ahmn yönem olduğu görülmüşür. Bu çalışmada faz oranları üç, ödemeler denges k ve dolar kuru değşm üç kaegorye ayrılmışır. Bu kullanım, herhang br durumda veya gözlemde meydana geleblecek çok küçük mkarda br değşm le aynı yönlü büyük br değşmn model çn aynı anlamda olacağını göserr. Örneğn, dolar kurunun % arması le %5 arması gözlemlernn her ksde arış olarak fade edl G le sembolze edlmşr. Deaylı br çalışma olarak, arma ve azalma oranları daha fazla sayıda kaegorye ayrılarak daha ekl br model kurulmuş olacağı düşünülmekedr. Faka geçş olasılıkları marsnde ve gözlem olasılıkları marsnde kullanılacak durumların çok fazla sayıda olması model çn kullanışlı olmayablr. ahmnlemelerde dolar kurunu ekleyen fakör sayısı yan kullanılacak durumların sayısı arırıldığında daha hassas sonuçlar elde edleceğ beklenmekedr. 5
. Can, E. Öz / İsanbul Ünverses İşleme Faküles Dergs 38,, 2009-23 2009 Kaynakça [] Warren Ewens ve Gregory Gran, Sascal Mehods n Bonforacs: An Inroducon, Second Edon, Srnger Scence+Busness Meda Inc, 409, 2005. [2] alan Cnemre, Yöneylem Araşırması, İknc Baskı, Bea Basım Yay. Da., 485, 2003. [3] Henk C. ms, A Frs Course n Sochasc Models, John Wley&Sons. Inc, 83, 2003. [4] Ka La Chung ve John B. Walsh, Markov Processes, Brownan Moon, and me Symmery, Second Edon, Srnger Scence+Busness Meda Inc, 29, 2005. [5] Wll-Hans Seeb, Yorck Hardy ve Rued Soo, he onlnear Workbook, 3rd Edon, World Scenfc Publshng Co. Pe. Ld., 472, 2005. [6] Hors Bunke ve erry Caell, Hdden Markov Models Alcaons In Comuer Vson, World Scenfc Publshng Co. Pe. Ld.,, 200. [7] Alexander Schle, Benamn Georg, Wasnee Rungsaryon, Ivan G. Cosa, ve Alexander Schönhuh, Forschung und wssenschaflches Rechnen: Berage zum Henz-Bllng Pres, Seres GWDG-Berch, 2-35, 2004. [8] Ramarasad Bhar ve Shgeyuk Hamor, Hdden Markov Models Alcaons o Fnancal Economcs, Kluwer Academc Publshers, 7, 2004. [9] Manuele Bcego ve Voro Murno, Invesgang Hdden Markov Models Caables n 2D Shae Classfcaon, IEEE ransacons On Paern Analyss And Machne Inellgence, Vol.26, o.2, 28-286, 2004. [0] Lawrence R. Rabner, A uoral on Hdden Markov Models and Seleced Alcaons n Seech Recognon, Proceedngs Of he IEEE, Vol. 77, o. 2, 257-286, 989. [] Hanhong Xue ve Venu Govndarau, Hdden Markov Models Combnng Dscree Symbols and Connuous Arbues n Handwrng Recognon, IEEE ransacons On Paern Analyss And Machne Inellgence, Vol.28, o.3, 458-462, 2006. [2] Lawrence Rabner, Bng Hwang Juang, Fudamenals of Seech Recognon, Prence Hall Inernaonal Inc., 335, 993. [3] Claudo Becche ve Luco Prna Rca, Seech Recognon heory and C++ Imlemenaon, Jhon-Wley & Sons Inc., 79, 2004. [4] Enza Messna ve Danele oscan, Hdden Markov models for scenaro generaon, IMA Journal of Managemene Mahemacs Advance ublshed, -23, 2007. [5] Wkeda he Free Encycloeda, Verb Algorhm, h://en.wkeda.org/wk/verb_ algorhm, 8 san, 2008. [6] G. Davd Forney, he Verb Algorhm, Proceedngs Of he IEEE, Vol.6, o.3, 268-278, 973. [7] Saeed V. Vasegh, Mulmeda Sgnal Processng heory and Alcaons n Seech, Musc and Communcaons, John-Wley & Sons Ld., 364, 2007. [8] Hall Söyler, Dövz Kurları Üzerne İşlemler, h://www.alomalye.com/hall_soyler _dovz_kur_slemler.hm, 9 Kasım, 2008. [9] Rıfa Yıldız, Bankacılıka ve Dış caree Dövz Pozsyonlarının Kur Rskne Karşı Korunması, ürkye İş Bankası Külür Yayınları, 57-58, 988. 6
. Can, E. Öz / İsanbul Ünverses İşleme Faküles Dergs 38,, 2009-23 2009 [20] Aydan Kansu, Dövz Kuru Ssemler ve Dövz Krzler ürkye 994 ve 200 Krzler, Güncel Yayıncılık Ld. Ş., 57, 2006 [2] Sanye Gümüşel, Dövz Kuru ve Faz Oranı Rsklernden Korunma eknkler, ürkye Bankalar Brlğ, Yayın o:79, 83, 994. [22] Prvae Sözlük, Dövz Kurunu Ekleyen Fakörler, h://www.rvaesozluk.com/ show.as?m=dovz+kurunu+ekleyen+fakorler, 9 Kasım, 2008. [23] CMB Elekronk Ver Dağıım Ssem, h://evds.cmb.gov.r, 06 Aralık, 2008. Ek : Modelde kullanılan verler. ABD Doları Alış Fyaları Mevdua Faz Oranları 3 Ay Vadel Ödemeler Denges Mlyon $ Yıl Ay Fya L, YL* Değşm % İfade Oran Değşm % Durum Değer Durum 992 5,486 68,67-85 2 5,8493 6,62 G 68,05-0,90 F2-360 D 3 6,245 6,7 G 67,98-0,0 F0-486 D 4 6,5938 5,64 G 69,23,84 F -279 A 5 6,8543 3,95 G 69,43 0,29 F0 05 A 6 6,8682 0,20 G0 69,69 0,37 F0 6 A 7 7,0589 2,78 G 69,40-0,42 F0 706 A 8 7,0509-0, G0 68,42 -,4 F2 568 D 9 7,373 3,78 G 68, -0,45 F0-3 D 0 7,8383 7,2 G 68,02-0,3 F0 232 A 8,284 5,65 G 68,79,3 F 7 D 2 8,5559 3,3 G 69,05 0,38 F0 532 A 993 8,785,90 G 69,06 0,0 F0 98 D 2 9,347 4,77 G 66,44-3,79 F2 89 A 3 9,45 3,46 G 63,66-4,8 F2-39 D 4 9,6497 2,0 G 63,79 0,20 F0-489 D 5 0,23 4,90 G 63,99 0,3 F0 35 A 6 0,86 7,28 G 63,97-0,03 F0-20 D 7,445 5,39 G 63,98 0,02 F0 327 A 8,746 2,63 G 64,00 0,03 F0-57 D 9 2,08 2,85 G 63,99-0,02 F0-24 D 7
. Can, E. Öz / İsanbul Ünverses İşleme Faküles Dergs 38,, 2009-23 2009 0 2,967 7,33 G 63,98-0,02 F0 84 A 3,723 5,83 G 64,02 0,06 F0 459 A 2 4,458 5,36 G 64,0-0,02 F0-942 D 994 7,203 8,99 G 67,7 5,78 F -707 A 2 8,206 5,83 G 85,4 26,4 F -087 D 3 22,37 2,59 G 87,05,92 F -86 D 4 33,408 50,9 G 3,40 50,95 F 23 A 5 3,73-5,02 G2 3,80 0,30 F0 8 A 6 3,63 -,79 G2 2,68-7,68 F2 669 A 7 30,955-0,67 G2 79,28-34,85 F2 995 A 8 32,95 6,44 G 67,54-4,8 F2 762 D 9 34,038 3,30 G 67,29-0,37 F0 423 D 0 35,823 5,24 G 62,52-7,09 F2-76 D 36,323,40 G 74,50 9,6 F 506 A 2 38,48 5,77 G 77,3 3,77 F -55 D 995 40,393 5,4 G 86,98 2,5 F 2073 A 2 4,226 2,06 G 87,43 0,52 F 349 D 3 4,864,55 G 78,68-0,0 F2 245 D 4 42,346,5 G 73,72-6,30 F2 797 A 5 42,526 0,43 G0 73,07-0,88 F2 8 D 6 43,888 3,20 G 73,3 0,08 F0 937 A 7 44,889 2,28 G 69, -5,50 F2 92 A 8 47,747 6,37 G 68,83-0,4 F0 250 A 9 48,664,92 G 69, 0,4 F0 452 D 0 50,803 4,40 G 69,42 0,45 F0 474 A 54,248 6,78 G 78,2 2,66 F -864 D 2 6,054 2,55 G 83,92 7,30 F -230 D 996 62,387 2,8 G 85,48,86 F 609 A 2 65,54 5,0 G 84,83-0,76 F2 573 D 3 70,523 7,65 G 82,7-2,50 F2-434 D 4 74,235 5,26 G 79,74-3,59 F2 77 A 5 77,77 4,76 G 79,44-0,38 F0-230 D 6 8,224 4,44 G 79, -0,42 F0 667 A 8
. Can, E. Öz / İsanbul Ünverses İşleme Faküles Dergs 38,, 2009-23 2009 7 83,00 2,9 G 79,62 0,64 F -689 D 8 85,784 3,35 G 79,69 0,09 F0 83 A 9 90,927 6,00 G 79,63-0,08 F0 278 A 0 95,35 4,83 G 79,45-0,23 F0 5 D 0,347 6,33 G 79,64 0,24 F0 329 A 2 07,505 6,08 G 79,68 0,05 F0-57 D 997 5,33 7,28 G 77,6-3,6 F2 84 A 2 2,49 5,34 G 76,62-0,70 F2-207 D 3 26,27 3,93 G 76,54-0,0 F0-675 D 4 34,63 6,62 G 76,63 0,2 F0-89 A 5 39,58 3,68 G 76,84 0,27 F0 472 A 6 46,67 5,08 G 77,4 0,74 F 304 D 7 58,8 8,27 G 79,23 2,35 F 73 A 8 65,66 4,32 G 82,60 4,25 F 286 A 9 72,8 4,32 G 82,8-0,5 F2 2236 A 0 80,24 4,30 G 82,57 0,47 F0 478 D 93,54 7,38 G 82,92 0,42 F0-40 D 2 204,75 5,79 G 83,20 0,34 F0-893 A 998 24,9 4,6 G 82,49-0,85 F2 398 A 2 228,46 6,66 G 82,79 0,36 F0-64 D 3 240,7 5,36 G 82,73-0,07 F0 2003 A 4 248,42 3,20 G 8,88 -,03 F2 3000 A 5 255,8 2,97 G 8,9-0,84 F2 055 D 6 265,05 3,6 G 77,60-4,42 F2 878 D 7 268,27,2 G 7,29-8,3 F2-003 D 8 276,56 3,09 G 73,00 2,40 F -3623 D 9 275,89-0,24 G0 8,68,89 F -290 A 0 284,48 3, G 82,24 0,69 F -676 A 30,2 5,88 G 8,80-0,54 F2-767 D 2 32,72 3,82 G 82,56 0,93 F -364 A 999 329,894 5,49 G 83,62,28 F 969 A 2 350,034 6,0 G 82,24 -,65 F2 482 D 3 365,579 4,44 G 8, -,37 F2 492 A 9
. Can, E. Öz / İsanbul Ünverses İşleme Faküles Dergs 38,, 2009-23 2009 4 387,75 6,06 G 80,92-0,23 F0 736 D 5 402,55 3,82 G 8,35 0,53 F 28 D 6 48,89 3,88 G 85,30 4,86 F -90 D 7 425,88,84 G 8,20-4,8 F2 390 A 8 443,20 4,07 G 8,26 0,07 F0-6 D 9 459,78 3,74 G 76,44-5,93 F2 24 A 0 477,3 3,8 G 76,04-0,52 F2 27 D 52,738 7,42 G 72,3-4,9 F2-820 D 2 540,098 5,34 G 59,48-7,74 F2 477 A 2000 557,882 3,29 G 38,0-35,94 F2-55 D 2 572,057 2,54 G 38,7,60 F 38 A 3 588,06 2,80 G 39,95 3,20 F 229 D 4 609,305 3,6 G 42,5 6,4 F -77 D 5 64,742 0,89 G 39,00-8,26 F2 3 A 6 68,098 0,55 G 40,98 5,08 F 345 A 7 635,54 2,82 G 37,77-7,83 F2 59 D 8 653,448 2,82 G 33,84-0,4 F2 436 A 9 665,885,90 G 50,47 49,4 F -52 D 0 682,686 2,52 G 47,55-5,79 F2-73 D 682,0-0,09 G0 5,45 8,20 F -5003 D 2 67,765 -,52 G2 05,56 05,7 F -38 A 200 676,43 0,69 G 60,42-42,76 F2 2658 A 2 920,678 36, G 8,4 34,74 F -4703 D 3 020,56 0,85 G 20,26 47,72 F -2508 A 4 37,693,48 G 02,29-4,94 F2-392 A 5 206,47 6,02 G 72,86-28,77 F2-632 D 6 252,773 3,87 G 67,99-6,68 F2-334 D 7 323,08 5,6 G 67,87-0,8 F0-36 A 8 358,232 2,65 G 67,77-0,5 F0-32 A 9 58,666,8 G 67,6-0,24 F0 A 0 587,404 4,53 G 65, -3,70 F2-236 D 473,969-7,5 G2 6,65-5,3 F2-040 D 2 446,638 -,85 G2 6,5-0,8 F2-384 A 20
. Can, E. Öz / İsanbul Ünverses İşleme Faküles Dergs 38,, 2009-23 2009 2002 305,34-9,77 G2 59,23-3,4 F2 404 A 2 386,05 6,8 G 58,94-0,49 F0-505 D 3 337,794-3,48 G2 54,2-8,8 F2-78 A 4 33,884-0,44 G0 49,63-8,30 F2 620 A 5 438,0 7,97 G 47,33-4,63 F2-763 D 6 569,43 9,2 G 49,6 3,87 F -260 A 7 688,94 7,59 G 49,9,53 F -25 A 8 62,347-3,96 G2 49,2 -,40 F2 680 A 9 650,456,80 G 49,3 0,20 F0-35 D 0 662,5 0,73 G 49,37 0,2 F0 547 A 535,339-7,65 G2 44,90-9,05 F2 295 D 2 639,745 6,80 G 44,79-0,24 F0 08 D 2003 635,53-0,26 G0 45,46,50 F 207 A 2 588,579-2,87 G2 45,48 0,04 F0-606 D 3 700,073 7,02 G 46,87 3,06 F -95 A 4 567,279-7,8 G2 45,32-3,3 F2-559 A 5 49,76-9,4 G2 4,75-7,88 F2 672 A 6 407,647-0,85 G2 39,7-6,8 F2 598 D 7 4,87 0,30 G0 37,24-4,93 F2 546 D 8 392,79 -,35 G2 35,25-5,34 F2 30 A 9 384,378-0,60 G2 3,74-9,96 F2 3505 A 0 478,9 6,83 G 27,74-2,60 F2-05 D 455,285 -,60 G2 28,2,37 F -42 D 2 393,278-4,26 G2 28,00-0,43 F0 037 A 2004 337,00-4,04 G2 26,22-6,36 F2 47 D 2 32,306 -,7 G2 24,93-4,92 F2 95 D 3 30,29-0,84 G2 23,9-6,98 F2 35 A 4 47,299 8,7 G 23,4 0,95 F 6 A 5 492,07 5,27 G 24,27 3,67 F -675 D 6 480,9-0,74 G2 24,6,40 F 224 A 7 462,654 -,23 G2 24,88,0 F -084 D 8 502,22 2,70 G 25,4,05 F 044 A 9 497,349-0,32 G0 24,02-4,46 F2 56 A 2
. Can, E. Öz / İsanbul Ünverses İşleme Faküles Dergs 38,, 2009-23 2009 0 470,53 -,82 G2 23,90-0,50 F0 795 D 426,03-3,00 G2 23,73-0,7 F2-886 D 2,3363-6,29 G2 22,8-3,88 F2 644 A 2005,3295-0,5 G2 2,50-5,74 F2 2252 A 2,2785-3,84 G2 20,53-4,5 F2-88 D 3,3462 5,30 G 9,99-2,63 F2 29 A 4,3844 2,84 G 9,85-0,70 F2-607 D 5,355-2,2 G2 9,54 -,56 F2 257 A 6,3337 -,57 G2 20,67 5,78 F 523 A 7,322-0,94 G2 20,52-0,73 F2 3329 D 8,3473,98 G 20,47-0,24 F0-799 D 9,3422-0,38 G0 20,44-0,5 F0 637 A 0,347-0,04 G0 20,42-0,0 F0 342 A,35 0,62 G 20,4-0,05 F0 5342 A 2,348-0,6 G2 20,42 0,05 F0 385 D 2006,399 -,63 G2 9,96-2,25 F2 205 A 2,306 -,05 G2 9,50-2,30 F2 5488 A 3,347 2,73 G 9,30 -,03 F2 305 D 4,355 -,95 G2 8,3-5,3 F2 548 D 5,56 8,59 G 8,20-0,60 F2 83 D 6,5697 0,62 G 2,74 9,45 F -885 D 7,48-5,64 G2 23,77 9,34 F 6 A 8,4478-2,25 G2 23,8 0,7 F0 37 A 9,497 3,4 G 23,8 0,00 F0 682 A 0,454-2,88 G2 23,9 0,42 F0-642 D,4458-0,56 G2 23,9 0,00 F0 094 A 2,4056-2,78 G2 23,55 -,5 F2 704 A 2007,435 0,56 G 23,53-0,08 F0 2999 A 2,43-0,04 G0 23,30-0,98 F2 3304 A 3,380-2,33 G2 23,30 0,00 F0 2395 D 4,3607 -,4 G2 22,65-2,79 F2-28 D 5,366-3,24 G2 22,64-0,04 F0-203 D 6,3046-0,9 G2 22,69 0,22 F0 924 A 22
. Can, E. Öz / İsanbul Ünverses İşleme Faküles Dergs 38,, 2009-23 2009 7,2746-2,30 G2 22,67-0,09 F0 366 D 8,294,32 G 22,64-0,3 F0 2276 A 9,2048-6,7 G2 22,63-0,04 F0-583 D 0,76-2,76 G2 22,33 -,33 F2 08 A,75-0,0 G0 2, -5,46 F2-676 D 2,593 -,04 G2 2,22 0,52 F 386 A 2008,68 0,75 G 2,9-0,4 F0 674 D 2,906,93 G 2,22 0,4 F0-7 D 3,3064 9,73 G 2,2-0,05 F0 49 A 23