KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi oluştura eseleri herbirie bu kümei elemaı (öğesi) deir. Kümede her elema bir kez yazılır. ELEMAN SAYISI A kümesii elema sayısı s(a) ile gös - terilir. Bir a elemaı A kümesie ait ise a A yazılır ve a elema A diye okuur. Bir b elemaı A kümesie ait değilse b A yazılır ve b elema değil A diye ok uur. Örek...1 : A={Bazı kızlar} Küme değil ( i yi t a ım l a m a m ış ) K={Güzel rekler} Küme değil ( i y i t a ı m l a m a m ı ş ) Aşağıdakiler de küme öreğidir. B={Tek tamsayılar} C={Asal egatif tamsayılar} L={x : x Z, x>0, 2x+9<0} M={x:x, 8 sayısıı pozitif tamsayı böleidir} D = { x : x, DROGBA kelimesii harfleri } Z= { 5 te fazla harf içere hafta ı güleri} LİSTE, ORTAK ÖZELLİK VE ŞEMA YÖNTEMİ LİSTE YÖNTEMİ : A={2, 3, 5, 7} = {5, 3, 2, 7} Elemaları farklı sırada yazılması yei küme oluşturmaz. ŞEMA YÖNTEMİ (VENN ŞEMASI): A A 2 3 2 3 5 7 5 7 A 2 3 5 7 ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ : A = {x : x<8 ve x asal sayı} = {x x, rakam ola asal sayı} = {2, 3, 5, 7} Örek...2 : P = {x x, MATEMATİK kelimesii harfleri} kümesii liste biçimide yazıp şema ile gös - teriiz. P={M,A,T,E,İ,K} Örek...3 : N={ 2, 1, 1, 2} kümesii ortak özellik yö - temiyle N={x IxI=1, IxI=2 } Örek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakileri doğru mu yalış mı olduğuu... {a} A {b, d} A...... {b, c} A d A...... {b, c} A b {b, c}...... {d} A s(a) = 6...... BOŞ KÜME {{a}, b} A A ı elema sayısı 7 dir.... (D,Y,D,Y,D);(Y,D,D,D,Y) Hiç elemaı olmaya kümeye boş küme deir ve (fi) ya da { } sembolleride birisi ile gösterilir. UYARI { } gösterimi boş küme belirtmez. SONLU KÜME VE SONSUZ KÜME Bir A kümesii öğeleri sayısı (icelik sayısı) bir doğal sayı ise, A' ya solu küme deir. S = {Sesli harfler} C = {Yeryüzüdeki tüm calılar kümesi} Solu olmaya bir kümeye de sosuz küme deir. N= {0, 1, 2, 3,...} [ 2, 3) = {x : 2 x <3, x R} (a, a+1] = {x : a < x a+1, a R} 9. Sııf Matematik Kou Alatımı 2015 2016 1/8
Örek...5 : Aşağıdaki kümeleri boş, solu ve sosuz olalarıı belirtii z. A={Rakamlar ı küm esi} B={T ürkiyei C harf i ile b aşlaya il isimleri} C = { Sayı do ğrus u üzerid eki oktalar} D = {Haf taı gül eri} E={1, 2, 3,...} F = { Asal sayıl ar} B o ş S o l u S o s u z Solu,Boş,Sosuz,Solu,Sosuz,Sosuz ALT KÜME A' ı her bir elemaı B' i de bir elemaı oluyorsa A kümesie B kümesii alt kümesi deir ve A B biçimide gösterilir. A B gösterimi, A, B' i alt kümesidir diye okuur. B A gösterimi ise B, A yı kapsar diye okuur. A kümesii bir alt kümesii oluşturmak içi A' ı elemalarıda e az sıfır ve e çok A' ı elema sayısı kadar elema seçer ve yei küme oluştururuz. Örek...6 : A={1,2} kümesii tüm alt kümelerii kuruuz. 0 elemalı 1 elemalı 2 elemalı { }, {1}, {2}, A Örek...7 : B = { a, b, {c} } kümesii tüm alt kümelerii { }, {a}, {b}, {{c}}, {a, b}, {a,{c}}, {b,{c}}, { a, b, {c} } ALT KÜME ÖZELLİKLERİ 1) A A dır. ( H e r k ü m e k e d i s i i a l t k ü m e s i d i r. ) 2) A dır. (Boş küme her kümei alt kümesidir.) ÖZALT KÜME Bir kümei kediside farklı ola her alt kümesie bu kümei özalt kümesi deir. Örek...8 : A = { 1, 2, x } kümesii özalt kümelerii { }, {1}, {2}, {x}, {1, 2}, {1, x} {2, x} ALT KÜME VE ÖZALT KÜME SAYISI elemalı A kümesii alt kümelerii sayısı 2 taedir. A ı özalt kümeleri sayısı ise 2 1 taedir. Örek...9 : A = { a, b, {b,c}, (b,c), d } kümesii kaç tae alt kümesi vardır? 32 Örek...10 : Bir A kümesii 256 tae alt kümesi olduğua göre, A kümesi kaç elemalıdır? 8 Örek...11 : Bir B kümesii 511 tae özalt kümesi oldu - ğua göre, B kümesi kaç elemalıdır? 9 9. Sııf Matematik Kou Alatımı 2015 2016 2/8
Örek...12 : A = { a, b, c, d, e, f } kümesii alt kümele - rii kaç taeside, i ) a buluur? 32 Örek...13 : A={x:x 2 = 1, x Z},B={x : x 2 4 = 0, x Z} C={x: x <2, x 0, x Z} D={x: 2 x =3 } k ümelerii eşit ve dek olmalar ıa göre kar - ş ılaştırıız. A=C, A B C D Örek...14 : ii) a buluur, f bulumaz? 16 "Bir A kümesii tüm alt kümelerii oluştur - duğu kümeye A kümesii kuvvet kümesi deir ve geellik le P( A) ile gösterilir." Yukarıda verile bilgiye göre, A = { a, b, c } k ümesii kuvvet küm esii ya zıız. P(A)={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}, {a,b,c}} iii) c ve d birlikte buluur? iv) c ve ya d buluur? v) c ya da d buluur 16 48 32 Örek...15 : A = { a, b, c } kümesii kuvvet kümesi ola kümei alt küme sayısı kaçtır? 256 ELEMANLI BİR KÜMENİN r ELEMANLI ALT KÜMELERİ SAYISI elemalı bir kümei r elemalı alt kümelerii ( esei r taesii seçimi) sayısı da i r li kombiasyo - udur. C(,r) veya ( ile gösterilir. r) v) E az bir sesli harf buluur? 48 ( r) =! ( r)!.r! (r ) vi) E çok bir sesli harf buluur? EŞİT VE DENK KÜME EŞİT KÜME: Elemalarıı tümü ayı ola kümelere deir ve = sembolü ile gösterilir. (A B ve B A) ise A = B dir. DENK KÜME: Elema sayıları eşit ola kümelere deir ve sembolü ile gös - terilir. s(a)=s(b) ise A B dir. 48 1) ( 0) + ( 1) + ( 2) + + ( ) =2 2) ( a) = ( b) 3) ( r) = ( r) 4) ( ) = ( 0) =1 5) ( 1) = ( 1) = ise a=b ya da a+b= dir.! = ( 1) ( 2)... 2 1 = ( 1)! = ( 1) ( 2)! Faktöriyel taımı gereği, 0!= 1 dir. 9. Sııf Matematik Kou Alatımı 2015 2016 3/8
Örek...16 : A = { a, b, c, d, e } kümesii 2 elemalı kaç alt kümesi vardır? 10 d) A kümesii e az 3 elemalı kaç alt kümesi vardır? 219 Örek...17 : A = { a, b, {b,c}, {b,c,d} } kümesii 3 ele - malı alt küme sayısı ile 1 elemalı alt küme sayısıı toplamı kaçtır? 8 Örek...21 : A = { a, b, c, d, e } kümesii 3 elemalı alt kümelerii kaç taeside e buluur, b bulum az? 3 Örek...18 : Özalt küme sayısı 127 ola bir kümei 4 elemalı kaç alt kümesi vardır? 35 Örek...19 : ( r) + ( r +1) = ( +1 r +1) olmak üzere, 11 elemalı bir kümei 5 elemalı ve 6 elemalı alt kümeleri sayısı toplamı kaçtır? 924 Örek...22 : A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } kümesii 3 ele - malı alt kümelerii kaç taeside 3 veya 7 buluur? 25 Örek...23 : A={ 1, 2, 3,..., } kümesii 4 elemalı alt kümelerii 66' sıda 1 ve 2 var; ama 4 yoksa kaçtır? 15 Örek...20 : Bir A kümesii 3 elemalı alt kümelerii sayısı 5 elemalı alt kümelerii sayısıa eşit olduğua göre, a) A kümesi kaç elemalıdır? b) A kümesii 4 elemalı kaç alt kümesi vardır? 70 8 Örek...24 : Doğal sayıları bir K alt kümesii e büyük elemaı 100' dür. K kümesii herhagi bir alt kümesi L olsu. L herhagi iki elemaıı toplamıı içermediğie göre, L kümesi e çok kaç elemalıdır? 51 c) A kümesii e çok 2 elemalı kaç alt küm esi vardır? 37 9. Sııf Matematik Kou Alatımı 2015 2016 4/8
DEĞERLENDİRME 1 1) Aşağıda verile cümlelerdeki oktalı yerleri doğru bir şekilde dolduruuz. a) Küme matematiği... bir kavramıdır. b) Kümeyi oluştura eseleri her birie... deir. c) Kümede her elema... yazılır. d) x elemaı K kümesie ait ise... biçimide yazılır. e) x elemaı K kümesie ait değilse... biçimide yazılır. f) Kümeler... farklı şekilde gösterilir. Buları isimleri... yötemi,...... yötemi ve...... yötemidir. g) A kümesii elema sayısı... biçimide gösterilir. h) Hiç elemaı olmaya kümeye... küme deir,... ya da... şeklide gösterilir. ı) Bir A kümesii elema sayısı doğal sayı ise, A ya... küme deir. i) Nicelik sayısı doğal sayı olmaya bir kümeye...küme deir. j) Yalızca elema sayıları birbirie eşit ola kümelere...küme deir. A ve B kümeleri...ise A... B şeklide yazılır. k) Tüm elemaları ayı ola kümelere... küme deir. A ve B kümeleri... ise A... B şeklide yazılır. l) A kümesii her elemaı B kümesii de bir elemaı ise... kümesie... kümesii alt kümesi deir ve...... şeklide yazılır. m) A kümesii her elemaı B kümesii de bir elemaı ise... kümesi... kümesii kapsar deir ve B... A şeklide yazılır. ) A kümesii tüm alt kümelerii oluşturduğu kümeye A kümesii... kümesi deir ve... şeklide gösterilir. o) Bir kümei kediside farklı ola her alt kümesie bu kümei... kümesi deir. Kullaacağıız kelime listesi solu sosuz eşit B A eşit elema liste boş dek P(A) { } 3 kuvvet özalt = bir defa B x K A x K dek A ortak özellik Ø taımsız s(a) Ve şeması A B 2) Aşağıdaki tabloda verile ifadeleri küme belirtelerii, belirtmeyelerii ile işaretleyiiz. Küme Ada yı İf ade Doğal sayılar. Güzel filmler. Yeryüzüde yaşaya tüm cal ılar. Akara Milli Kütüphaedeki bazı kitaplar. Uzaydaki tüm yıldızlar yığ ıı. Bir çiftlikteki gagalı cal ılar topluluğu. İki rakamlı egatif tam sa yılar topluluğu. Akara Milli Kütüphaedeki tüm k itaplar. Küme 3) Aşağıda verile bilgilerde oktalı yerlere, doğru ise D, yalış ise Y Bir kümede elem alar ı yerleri d eğişti ğid e kümei ismi de ğişmez...... B oş küm ei öz alt kümesi yoktur...... elemalı bir kümei alt küme sayıs ı C(, 2) tae dir...... Alt küme ve öz alt küme ad etleri top - l am ı daima asal dır...... B oş küm ei alt kümesi yok tur...... K a atlı i sal ar topluluğu küme b elir tir...... A={3, 7, 11, 15,......, 91 } ise s(a)= 2 3 t ür...... Yaıtlar 1: 1) a)taımsız b)elema c)bir defa d) x K e)x K f)3,liste,ortak özellik, ve şeması g)s(a) h)boş, Ø, { } ı)solu i)sosuz j) dek, dek, k)eşit, eşit, = l)a, B, A, B m)b, A, A, B )kuvvet, P(A) o)özalt 2),,,,, 3) D, D, Y, Y, Y, D, D 9. Sııf Matematik Kou Alatımı 2015 2016 5/8
4) A = {1, 2, {1,2}, 3, 4, {3,4}, 5} kümesie göre, aşağıda verile bilgilerde oktalı yerlere, doğru ise D, yalış ise Y..... { 1} A { 1, 2} A.......... 5 A s(a) = 9.......... { 3, 4} A { 1, 2} A..... 7) Aşağıdaki kümeleri elema sayılarıı hesaplayıız. a) A = { x : 13 x 94, x=2k, k Z } b) B = { x : -4 x 105, x=3k, k Z }..... { 1,2,5} A 2,3,4 A.......... { 1,2} A { 3, 4} A..... c) C = { x : -40<x 85, x=5k, k Z }..... { 2,{3, 4}} A { { 1, 2,5}} A.......... A ı elema sayıs ı 7 dir. 5) Aşağıda ortak özellik yötemiyle verile kümeleri elemalarıı liste yötemiyle a) A = {a : (a-2) (a-1) a (2a+1) (a+2)=0, a Z} b) B = {b : b, 10 u katı ola iki basamaklı doğal sayılar } c) C = { c : c-3 =9, c Z } d) D = { x : x<127, x=5k+2, k Z + } e) E = { x : x=4k-1, 5<k 33, k Z + } 8) Aşağıdaki şekilde Ve şeması verile A ve B kümeleri içi; d) D = { d : (d 2-16) (d 2 +9)=0, d Z } 6) Aşağıdaki kümeleri elema sayıları kaçtır? a) A ve B kümelerii liste yötemiyle a) A = { x : 2 x+3 128, x N } b) B = { x : x 2 3, x N } c) C = { x : x-3 3, x Z } b) s(a) x s(b) çarpımı kaçtır? Yaıtlar 1: 4) Satırları solda sağa yaıtları: YY, DY, DD, YD, DD, DY, D 5)a) { 2,0,1,2} b){10,20,..., 90} c){ 6, 2} d){ 4, 4} 6)a)5 b)10 c)11 7)a)41 b)37 c)25 d)24 e)28 8)a)A={g,ö,k,h,a,} B={b,a,r,ı,ş} b)30 9. Sııf Matematik Kou Alatımı 2015 2016 6/8
DEĞERLENDİRME 2 1) Aşağıdaki kümeleri elemalarıı liste yötemiyle a) A = { x : x, 12 de küçük 12 i pozitif böleleri } b) B = { x : x < 30 ve x asal sayı } 2) Aşağıda verile kümeleri ortak özellik yötemiyle a) A = { 2, 4, 6, 8,... } b) B = {...-5, -3, -1, 1, 3, 5,... } 5) Aşağıdaki kümeleri hagilerii solu ya da sosuz olduklarıı Küme A = {Bir yıl içi deki haf tal ar kümesi} B={x : x, 20 12 yılıd a doğ a çocukl ar} C = { x : 3 < x<4, x R } D o ğ r u p a r ç a s ı ü z e r i d e k i o k t a l a r k ü m e s i. D = { } D ü ya da ki tüm cal ıl ar kümesi. N = { 0, 1, 2, 3,... } K= { a, b, c, d, e, f } M = {x x tamsayı v e 0 x 500} Sol u / Sosu z N= { x x, 5 ile bölüe bile do ğal sayı} c) C = { 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36 } d) D = { 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34 } 3) Aşağıdaki tabloda verile kümeleri boş küme belirtelerii, belirtmeyelerii ile işaretleyiiz. K üme A= {x : x, e gatif as al sayıl ar} B= { x : x 2 + 4 = 0, x Z } C = { x : x+6=0, x Z } D = {x : x+6=0, x N } K= { Ø } B oş K üme 4) A = { GEORG CANTOR ismii harfleri } kümesii Ve şeması ile gösteriiz. 6) A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesii 2' yi elema kabul ede kaç alt kümesi vardır? 7) A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesii 2 elemalı kaç alt kümesi vardır? 8) A={x: x bir rakamdır} kümesii kaç alt kümeside e az bir asal sayı buluur? Yaıtlar 2: 1)a){1,2,3,4,6} b){2,3,5,7,11,13,17,19,23,29} 2)a){x : x çift pozitif tamsayı} b){x : x tek tamsayı} c){x : x=k 2, kîn, k<7} d){x : x=5k 1, k 7, kîz + } A 3) ü, ü, û, ü, û 4) G E O R C A N T 5) ü,ü,û,û,ü,ü,û,ü,ü,û 6)256 7)36 8)960 9. Sııf Matematik Kou Alatımı 2015 2016 7/8
DEĞERLENDİRME 3 1) B = {x : x < 4, x Z} kümesii alt kümelerii kaçıda 0 veya 1 vardır? 5) Alt kümelerii ve özalt kümelerii sayıları toplamı 2047 ola A kümesii e çok 2 elemalı kaç alt kümesi vardır? 2) Asal rakamlar kümesii, alt kümelerii kaçıda e 2 e de 3 vardır? 6) 3 elemalı alt kümelerii sayısı ile 5 elemalı alt kümelerii sayısı birbirie eşit ola bir kümei özalt küme sayısı kaçtır? 3) Alt kümelerii sayısı 512 ola A kümesii iki elemaı 1 ve 2 dir. A kümesii kaç alt kümeside 1 elema olarak buluurke, 2 bulumaz? 7) 5 elemalı bir kümei birbirii kapsamayacak şekilde e çok kaç alt kümesi vardır? 4) Bir kümei elemalarıı 2 arttırıca alt küme sayısı yüzde kaç artar? 8) A={1,2,3,4,5,6,7} ve B={1,2,3} veriliyor. B K A koşuluu sağlaya, A ve B de farklı kaç K kümesi yazılabilir? Yaıtlar 3: 1)96 2)4 3)128 4)300 5)10 6)255 7)10 8)14 9. Sııf Matematik Kou Alatımı 2015 2016 8/8