T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KUNTUM UZYLR ÜZERİNDE HOPF CEBİRLERİ VE DİFERNSİYEL HESP MUTTLİP ÖZVŞR DOKTOR TEZİ MTEMTİK NBİLİM DLI DNIŞMN DOÇ. DR. GÜRSEL YEŞİLOT İSTNBUL, 2012
T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KUNTUM UZYLR ÜZERİNDE HOPF CEBİRLERİ VE DİFERNSİYEL HESP Muttalip ÖZVŞR tarafıda hazırlaa tez çalışması 17/09/2012 tarihide aşağıdai jüri tarafıda Yıldız Tei Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matemati abilim Dalı da DOKTOR TEZİ olara abul edilmiştir. Tez Daışmaı Doç. Dr. Gürsel YEŞİLOT Yıldız Tei Üiversitesi Jüri Üyeleri Doç. Dr. Gürsel YEŞİLOT Yıldız Tei Üiversitesi Prof. Dr..Gösel ĞRGÜN Yıldız Tei Üiversitesi Prof.Dr.Mustafa BYRM Yıldız Tei Üiversitesi Doç.Dr.Fatma ÖZDEMİR İstabul Tei Üiversitesi Yrd.Doç.Dr.Mehmet li KRC İstabul Tei Üiversitesi
ÖNSÖZ Çalışmalarımda her türlü desteği bede esirgemeye değerli daışma hocam Sayı Doç.Dr. Gürsel YEŞİLOT a, tez izleme omiteside bulua Sayı Prof.Dr..Gösel ĞRGÜN ve Sayı Prof.Dr. Mustafa BYRM hocalarıma teşeürlerimi suarım. Dotora eğitimim boyuca bei maddi açıda desteleye TÜBİTK Bilim İsaı Desteleme Daire Başalığı a teşeür ederim. Tüm hayatım boyuca maddi ve maevi destelerii hep yaımda hissettiğim değerli aileme, çalışmalarım boyuca tüm alayışı ve desteği ile yaımda ola sevgili eşim Zeyeb ÖZVŞR a ve çalışma aradaşlarıma e içte duygularımla teşeür ederim. Eylül, 2012 Muttalip ÖZVŞR
İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET... VI BSTRCT Vİİİ BÖLÜM 1 GİRİŞ...1 BÖLÜM 2 1.1 Literatür Özeti...1 1.2 Tezi macı...2 1.3 Hipotez...2 TEMEL KVRMLR...4 BÖLÜM 3 POLİNOMLR CEBİRİNİN DEFORMSYONU...9 BÖLÜM 4 3.1 Üç Değişeli Poliomlar Cebirii Hopf Cebiri ve Deformasyou...12 DİFERNSİYEL CEBİR...15 BÖLÜM 5 4.1 Hopf Cebirleri Üzeride Diferasiyel Hesap...15 CRTN MURER FORMLRI...24 BÖLÜM 6 5.1 Carta-Maurer forma arşılı gele vetör alaları...27 HOMOJEN OLMYN DEĞİŞTİRME BĞINTILI UZYLR...32 6.1 Üzeride Diferasiyel Cebir...40 6.2 üzeride Carta-Maurer Formlar...47 iv
BÖLÜM 7 DUL HOPF CEBİRİ...49 BÖLÜM 8 SONUÇ VE ÖNERİLER...54 KYNKLR...55 ÖZGEÇMİŞ...58 v
ÖZET KUNTUM UZYLR ÜZERİNDE HOPF CEBİRLERİ VE DİFERNSİYEL HESP Muttalip ÖZVŞR Matemati abilim Dalı Dotora Tezi Tez Daışmaı: Doç. Dr. Gürsel YEŞİLOT So yıllarda Lie grup teorisi ve diferasiyel geometrii değişmeli olmaya geellemeleride öemli ölçüde başarılar elde edildi ve matematisel fiziği birço öemli yei dalları, değişmeli olmaya yapıları e somut öreleri ola uatum uzaylar ve uatum grupları çatısı altıda şeilledi. Kuatum grup avramı bir Lie grubua arşılı gele Hopf cebirii deformasyou olara bilimetedir. Diğer tarafta bir cebiri Hopf cebiride faydalama o cebir üzeride diferasiyel hesap oluşturmaı e etili yötemleride biridir. Biz bu çalışmada öce poliomları değişmeli cebirleri içi verile Hopf cebirleri yardımıyla deformasyolu cebirleri asıl elde edilebileceğii tartıştı. Elde edile bulgular yardımıyla Hopf cebirie sahip ii parametreli, homoje değiştirme bağıtılı bir uatum uzay oluşturdu. Bu uatum uzayı Hopf cebirii ullaara bir diferasiyel hesap elde edildi. Bu diferasiyel hesaba arşılı gele bazı deformasyolu türev operatörleri ve ilgili Weyl cebiri verildi. yrıca bu uatum uzay üzeride Carta- Maurer formlar ve bu formlara arşılı gele vetör alaları çalışıldı. Bu tez çalışmasıda ayrıca, homoje değiştirme bağıtılı bir uatum uzayda homoje olmaya değiştirme bağıtılı yei bir deformasyolu uzayı asıl elde edilebileceği çalışıldı. Yapıla değerledirmeler ışığıda elde ettiğimiz ii parametreli, homoje değiştirme bağıtılı uatum uzayda homoje olmaya değiştirme bağıtılı yei bir uzay elde edildi ve elde edile bu uzay üzeride diferasiyel hesap ve ilgili souçlar verildi. So olara da ii parametreli, homoje değiştirme bağıtılı uatum uzay içi bir dual Hopf cebiri elde edildi. vi
ahtar Kelimeler: Kuatum uzay, Kuatum grup, Hopf cebiri, Diferasiyel Hesap, Weyl cebiri, Dual Hopf cebiri. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ vii
BSTRCT HOPF LGEBRS ON QUNTUM SPCES ND DIFFERENTIL CLCULUS Muttalip ÖZVŞR Departmet of Mathematics PhD. Thesis dvisor: ssoc. Prof. Dr. Gürsel YEŞİLOT Durig the last decades a spectacular developmet of ocommutative geeralizatios of differetial geometry ad Lie group theory has bee achieved, ad the respective ew chapters of mathematical physics are ow uder the frames of quatum spaces ad quatum groups which are the most cocrete examples of ocommutative structures. The cocept of quatum group is ow as a deformatio of Hopf algebra correspodig to a Lie group. O the other had, costructig Hopf algebra for a algebra has recetly bee a effective method to obtai differetial calculus over the algebra. I this thesis we first ivestigate costructio of some ocommutative algebra of polyomial fuctios by usig structures of Hopf algebra o the usual commutative algebra of polyomials. Usig the mai result of this ivestigatio, we obtai a quatum space with two deformatio parameters. differetial calculus is obtaied for this quatum space due to its Hopf algebra structure. Thus some deformed derivatios ad the correspodig Weyl algebra are give. Morever, the Carta Maurer forms ad the relevat vector fields are obtaied for the quatum space. I this wor we also study how to derive quatum spaces with ohomogeeous relatios from a quatum space with homogeeous relatios. Based o our discussios a quatum space with ohomogeeous relatios is obtaied from the two-parameter quatum space with homogeeous relatios, ad a differetial calculus ad some related results o this space are give. viii
Fially a dual Hopf algebra is give for the two-parameter quatum space with homogeeous relatios. Key words: Quatum space, Quatum group, Hopf algebra, Differetial calculus, Weyl algebra, Dual Hopf algebra. YILDIZ TECHNICL UNIVERSITY GRDUTE SCHOOL OF NTURL ND PPLIED SCIENCES ix
BÖLÜM 1 GİRİŞ 1.1 Literatür Özeti Drifeld tarafıda avramlaştırıla uatum gruplar il defa uatum ala teorisi ve istatistisel fizile alaalı çalışmalarda ortaya çımıştır, [1-8 ]. Drifeld, uatum group avramıı bir Lie grubua arşılı gele Hopf cebirii bazı deformasyoları olara taımladı, [1]. So yıllarda değişmeli olmaya cebirler üzeridei diferasiyel geometri, matematisel ve fizisel açıda birço çalışmaları aa ayağı olara görülmeye başladı, [9-11]. yrıca, değişmeli olmaya cebirleri somut bir öreği ola uatum gruplar üzeride diferasiyel hesabı Woroowicz tarafıda çalışılmasıyla, değişmeli olmaya diferasiyel geometri çalışmaları büyü bir ivme azadı. Woroowicz, çalışmasıda uatum grupları Hopf cebiri olma özelliğide hareetle uatum gruplar üzeride diferasiyel hesap ve diferasiyel cebir yapılarıı oluşturdu, [12]. Diğer tarafta, uatum grupları üzerie eti ettiği uatum uzaylar ( deformasyolu oordiatları uzayı) birço araştırmacıı çalışma ousu olara ortaya çıtı [13-36]. Öreği, Wess ve Zumio bu tür deformasyolu oordiatları cebirie somut bir öre ola uatum düzlem üzeride diferasiyel hesabı oluşturdular, [13]. Wess ve Zumio oluşturduları bu diferasiyel hesabı, uatum düzlemi üzeride Hopf cebiri oluşturmada gerçeleştirdiler. slıda, bu uatum düzlemi sadece ii tae değişmeli olmaya oordiata sahip olması ile alaalı bir durum olduğuda, diferasiyel hesabı ço fazla cebirsel aletlere ihtiyaç duymada gerçeleştirdiler. 1
Faat oordiatları asıl deforme edildiği, yai değişmeli olmaya bir yapıya döüştürüldüğü de diferasiyel hesabı değiştireceğide, üzeride çalışıla oordiatlar cebirii Hopf cebiri yapıları ve deformasyoları arasıdai ilişiye ihtiyaç doğacatır. 1.2 Tezi macı Bu tez çalışmasıda öce bir cebiri deformasyo yapısı ile ayı cebiri Hopf cebiri yapıları arasıda var ola ilişiyi daha somut hale getirece şeilde iceleyeceğiz. Yai değişmeli bir cebir üzeride verile bir Hopf cebiride faydalaara, Hopf cebiri yapılarıı bozmada cebiri olası deformasyolarıı asıl elde edilebileceğii irdeleyeceğiz. Daha sora yuarıda ısaca bahsedile bu yalaşımı, ileriye döü yei çalışma alaları oluşturabileceğii gösterme içi, üç değişeli poliomlar cebirii bir deformasyou oluşturulaca ve bu deformayolu uzayı diferasiyel geometrisii çalışmaya ima taıya bir diferasiyel hesap elde edeceğiz. Elde edilece bu değişmeli olmaya diferasiyel hesaba sahip ola uzay üzerie eti ede türev operatörlerie arşılı gele Weyl cebirii işa edeceğiz. Bu Weyl cebiride ve deformasyolu uzayı Hopf cebiri yapısıda faydalaara Carta-Maurer formları ve bu formlara arşılı gele Lie cebirii işa edeceğiz. E olara bu uzayı bir dualii elde edeceğiz. Diğer tarafta, verile bir homoje deformasyolu cebiri formal serilerle geişleteceğiz ve özel olara bu geişlemede faydalaara homoje olmaya deformasyolu bir başa uzayı elde edeceğiz. yrıca bu türlü geişlemeleri üzeridei diferasiyel hesabı rahat bir şeilde urulmasıa olaa sağlaya bir yalaşımı ele alacağız. 1.3 Hipotez Değişmeli bir cebir içi verile Hopf cebiri yapısıda faydalaara, Hopf cebiri oruaca şeilde bir değişmeli olmaya cebir elde edilebileceğii açılığa avuştura bir yötemi ullaacağız. Bu yötem yardımıyla elde edile ii deformasyo parametreli uatum uzayı üzeride bazı diferasiyel yapılar oluşturacağız. 2
yrıca e az bir grubumsu(group-lie) elemaa sahip homoje değiştirme bağıtılı bir cebiri asıl homoje olmaya değiştirme bağıtılı bir cebire döüştürüleceği iceleece ve bu yalaşımı ii deformasyo parametreli uatum uzaya uygulayacağız. Elde edile souçlarla homoje olmaya deformasyo parametreli yei uzayı üzeride, mevcut yötemlere göre ço daha az işlem geretire bir yötemle diferasiyel hesabı oluşturacağız. 3
BÖLÜM 2 TEMEL KVRMLR Taım 2.1 Üzeride toplama ve çarpma taımlamış bir boşta farlı R ümesie aşağıdai özelliler sağlaırsa bir birimli hala deir: 1. ( R, ) bir değişmeli gruptur. 2. Her a, b, c R içi a ( b c) a b a c ve ( a b) c a c b c. 3. Her a R içi a 1 1 a olaca şeilde 1 4. Her a, b, c R içi a ( bc) ( a b) c dır. Eğer her a, b R R R R elemaı mevcuttur. R içi a b b a oluyorsa R halası değişmelidir deir. Taım 2.2 M, bir değişmeli grup ve R bir hala olsu. Eğer : Rx M M, a, x a x, : Mx R M, x, a x a şelide taımlaa tasvir aşağıdai şartları sağlarsa, M ye bir sol (sağ) R -modül, ısaca sol (sağ) modül, tasvirie de sol (sağ) R -modül M i yapı tasviri adı verilir: a, b R ve x, y M içi, (i), a x y a x a y x y a x a y a (ii), a b x a x bx x a b x a x b (iii) a b x a b x, x a b ( x a) b (iv) 1 x x, x 1 x R R 4
Eğer M hem sağ hem sol R -modül ise M ye ısaca modül deir. E olara R halası bir cisim ise, M modülüe vetör uzayı veya bir lieer uzay deir. Taım 2.3 R ve S ii hala ve M, bir değişmeli toplamsal grup olsu. (i) M bir sol R- modül ve sağ S- modül (ii) Her r R, s S ve m M içi ( rm) s r( ms) şartları sağlaırsa M bir R-S bimodüldür ve bir R-R bimodüle, ısaca R- bimodüldür deir. Öre 2.4 R halası, tipidei reel matrisleri halası ve S halası da m m tipidei reel matrisleri halası olsu. Bu durumda M, m tipidei bütü reel matrisleri toplamsal grubu olara düşüülürse, M bir R-S bimodüldür. Taım 2.5 V ve W bir K cismi üzeride vetör uzayları olma üzere, T : V W tasviri her v1, v2 V ve, a b K içi T ( a v bv ) a T( v ) b T( v ) 1 2 1 2 şartıı sağlarsa bir lieer tasvir adıı alır. Taım 2.6 U, V ve W bir K cismi üzeride vetör uzayları olma üzere :U V W tasviri aşağıdai ii şartı sağlıyorsa ye bir ii-lieer tasvir deir. Her u, uu; v, v V ve, K içi, (i) ( u u, v) ( u, v) ( u, v) (ii) ( u, v v) ( u, v) ( u, v) Kabul edelim i U, m -boyutlu ve V, -boyutlu birer vetör uzayı olma üzere m u 1, i i U u ve v, 1 j j V i taba elemalarıı ümesi olsu. Bu tadirde 1 i m ve 1 j olma üzere m tae ( i, j ) idisi mevcut olduğuda bu idis m çiftleri W dai bir w, ij i 1, j 1 :U V W tasvirii i x x u i tabaıı idisleme içi ullaılabilir. Böyle yapıca, ve j y y v j olma üzere 5
i j ( x, y) x y wij şelide yazabiliriz. şiâr olara, bir ii-lieer tasvirdir ve ( U V ) W uzayı, wij tabaıı ihtiva eder. Dolayısıyla, W uzayıı gerer. Souç olara, U ve V ii vetör uzayı olma üzere bir W vetör uzayı içi aşağıdai ii şart sağlaıyorsa W uzayıa, U ve V uzaylarıı tesör çarpımı deir ve semboli olara U V ile gösterilir. (i) ( U V ), W yı gerer. (ii) ' :U V W herhagi bir ii-lieer tasvir ise olaca şeilde bir ' :W W lieer tasvir mevcuttur. Taım 2.7 T1 : U1 V1, T2 : U 2 V2 lieer tasvirler olsu. Bu tadirde u1 U1 ve u U içi, 2 2 : U U V V, ( u u ) T ( u ) T ( u ) 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 şelide taımlaa bir lieer tasvir mevcuttur. Buradai ye T1 ve T2 i tesör çarpımı deir ve T1 T2 ile gösterilir. Taım 2.8 L vetör uzayı olma üzere, eğer [, ]: L L L ii-lieer tasviri aşağıdai ii şartı sağlarsa L ye bir Lie cebiri deir: (i) x, y L içi [ x, y ] [ y, x] (ii) x, y, z L içi, [ x,[ y, z] ] [ z,[ x, y] ] [ y,[ z, x] ] 0 Taım 2.9, bir K cismi üzeride vetör uzayı ve m :, a b a b ile taımlaa bir K -lieer döüşüm olsu. Eğer her a, b, c içi aşağıdai şartlar sağlaırsa vetör uzayıa cebir deir: m( a ( b c)) m( a b) m( a c) m(( a b) c)) m( a c) m( b c) 6
E olara aşağıdai şart sağlaırsa cebirie birleşmeli cebir deir: m (id m) m ( m id) (Birleşme özelliği) yrıca, m (id )= m ( id) (Birimli olma özelliği) oşuluu sağlayaca şeilde bir 1 ve bir : K, 1 döüşümü varsa cebirie birimli cebir adı verilir. Burada id birim fosiyou göstermetedir. Öre 2.10 G bir grup ve K bir cisim olsu. ile G de K ya tüm fosiyoları ümesii gösterelim. Yai, Map( G, K) { f f : G K} olsu. Bu durumda, her f, g ve x G içi aşağıda taımlaa salerle çarpma, toplama işlemi ve çarpım tasvirie göre bir K -cebiridir: (i) ( f )( x ) = f ( x) (ii) ( f g)( x) f ( x) g( x) (iii) ( f g)( x) f ( x) g( x), K Taım 2.11 bir K -cebiri olsu. Eğer e olara bu K -cebiri üzeride şelide sırasıyla eş-çarpım (coproduct) ve eş-birim :, : K (couit) olara adladırıla ve ( id) ( id) (2.1) m(( id) ( a)) id( a) m(id ) ( a)) (2.2) şartlarıı sağlaya K -lieer homomorfizmalar taımlaabilirse cebirie bir eş-cebir (coalgebra) deir, [37]. Diğer tarafta hem birimli birleşmeli, hem eş-cebir ola bir K cebirie bir ii-cebir (bialgebra) deir. Burada (1 ) 1 1, (1 ) 1 olmalıdır. E so olara bir ii-cebir üzeride, K m(( S id) ( a)) ( a)1 m((id S ) ( a)) (2.3) 7
şartıı sağlaya bir S :, K -lieer atihomomorfizma taımlaabilirse, bu iicebire bir Hopf cebiri adı verilir ve yuarıdai döüşümleri sağladığı özellilere de Hopf cebiri asiyomları deir, [37]. Kısaca bir Hopf cebirii (,,, S ) dörtlüsü ile göstereceğiz. Öre 2.12 G bir grup ve da Öre 2.10 da verile uzay olsu., G G de bir K cismie gide bütü döüşümleri ümesi olma üzere, G dei işlemi ullaara aşağıdai lieer homomorfizmaları taımlayabiliriz. Her x, y G içi :, f ( x y) f ( x y) : K, ( f ) f ( e) Burada e, G i birim elemaıdır. Bu durumda (,, ) üçlüsü bir ii-cebir yapısıa sahiptir. E olara S Sf x f x 1 :, ( ) ( ) döüşümü ile birlite (,,, S) dörtlüsü bir Hopf cebiri yapısıa sahiptir. 8
BÖLÜM 3 POLİNOMLR CEBİRİNİN DEFORMSYONU Daha öce belirttiğimiz gibi bir cebiri deformasyou ile bu cebiri Hopf cebiri yapıları arasıda dire bir bağlatı mevcuttur. Bu bağlatı Hopf cebiri asiyomlarıı sağlaya döüşümleri lieer homomorfizma olma özellileri ile alaalıdır. Biz bu bağlatıda hareet edere cebiri Hopf cebiri yapısıı bozmada, yai dire Hopf cebiri yapısıı ullaara cebir üzeride e tür deformasyoları mevcut olduğuu iceleyeceğiz. Bu yalaşımı, ileride hem fizisel açıda hem de diferasiyel geometri açısıda birço uygulaması olabileceğii düşüdüğümüz, omples sayılar cismi üzeridei üç değişeli poliomları değişmeli cebirie uygulayacağız. Komples sayılar cismi üzeridei bu değişmeli poliomlar cebirii, yai deforme edilmemiş halii [ x, y, z] x, y, z (3.1) xy yx, xz zx, yz zy şelide ifade edebiliriz. Burada x, y, z, x, y, z ile üretile bir serbest cebir ve xy yx, xz zx, yz zy de bir idealdir. Yai [ x, y, z] bildiğimiz değişmeli oordiatlar üzeride poliomlar cebiridir. Bir a içi oordiatları değişmeli olmadığıı abul edelim, yai öreği xy yx olsu. O zama bu tür değişmeli olmaya yapıları olay bir şeilde çalışılabilir ve birço alaa uygulaabilir hale getirme içi poliomlar cebiri üzeride deformasyo(deformatio) veya değiştirme(commutatio) bağıtıları avramıa ihtiyaç duyulur. Taım 3.1, herhagi bir K -cebiri olsu. Çarpımları değişmeli olmaya herhagi ii elemaı farlı sırada çarpımlarıyla elde edile elemalar arasıdai ( ab ve ba elemaları ), K ı bazı elemalarıa bağlı olara ifade edile, eşitliğe 9
değiştirme bağıtısı adı verilir, [38]. Eğer bir cebiri çarpımları değişmeli olmaya her bir üreteç çifti içi bir değiştirme bağıtısı mevcut ise bu cebire deformasyolu cebir adı verilir. Öre 3.2 [, ] x, y, {0} q x y q xy qyx ile ifade edile deformasyolu poliomlar cebiri, il defa Mai tarafıda çalışılmıştır ve uatum düzlem olara adladırılır, [4]. Burada görüldüğü, gibi x ve y arasıdai değiştirme bağıtısı xy qyx şelidedir. Eğer buradai q omples deformasyo parametresi q u, q 1 limit durumu düşüülürse bildiğimiz omples sayılar cismi üzeride poliomları değişmeli cebirii elde ederiz. Elbette x ve y arasıda eyfi olara farlı değiştirme bağıtıları taımlayara farlı deformasyolu, değişmeli olmaya poliomlar cebiri elde edilebilir. Faat elde edile deformasyolu cebiri, ileriye döü uygulamaları olabilmesi içi bazı Hopf cebiri gibi cebirsel yapılara sahip olması gereir. Bu yüzde deformasyolu cebir ile bu cebiri deforme edilmede öcei halii Hopf cebiri arasıdai ilişiyi geel alamda ifade edeceğiz. Çalışmaı devam ede ısımlarıdai taım ve teoremleri daha iyi ifade edilebilmesi ve alaşılabilmesi içi deformasyo avramıa ilişi bazı geel taımlamalar yapılmalıdır. Taım 3.3 Kx,..., 1 x, x1, x2,..., x ile üretile bir birleşmeli serbest cebir olma üzere e geel alamda deformasyolu poliomlar cebiri K x x Kx,..., x (3.2) I [ 1 1,..., ] D ile taımlaır. Burada I, x x x x B f ( x,..., x ), K {0}, B K, i j (3.3) i j ij j i 1 ij değiştirme bağıtıları ile üretile bir ideal ve f, x x de farlı moomial(te terim) i j dır. Burada ij ve B atsayılarıa deformasyo parametreleri adı verilir. Bütü B ları sıfır olduğu değiştirme bağıtısıa homoje değiştirme bağıtısı adı verilir. 10
Homoje değiştirme bağıtılı bir poliomlar cebirii K H[ x1,..., x ] ile gösterelim. Bütü ij değiştirme parametreleri özel olara 1 K alıırsa homoje değiştirme bağıtılı K H[ x1,..., x ], poliomları değişmeli cebiri 1 K[ x,..., x ] olur. Biz bu tez boyuca geellile homoje değiştirme bağıtılı deformasyolu cebirleri ele alacağız ve 6.Bölümde de homoje deformasyolu cebirler ile homoje olmaya deformasyolu cebirler arasıdai ilişiyi iceleyeceğiz. Şimdi değişmeli oordiatlar üzeridei poliomlar cebirii Hopf cebiri yapısıı yardımı ile asıl homoje deformasyolu bir poliomlar cebiri elde edilebileceğii ifade ede teoremi verelim. Teorem 3.4 Kabul edelim i K[ x1,..., x ] üzeride bir Hopf cebiri yapısı verilsi. Eğer verile bu Hopf cebiri yapısı, K H[ x1,..., x ] üzeride de mevcut ise K H[ x1,..., x ] cebirii deformasyo parametre sayısı e fazla.( 1) 2 adardır. İspat: Kabul edelim i K[ x1,..., x ] poliomları değişmeli cebiri, Hopf cebiri asiyomlarıı sağlaya (,, S) döüşümler üçlüsü ile doatılsı. Diğer tarafta K H[ x1,..., x ] ı oordiatları arasıda x x q x x, q K-{0} şelide homoje deformasyolu i j ij j i ij değiştirme bağıtıları mevcut olsu. Bu durumda ( q ) 1 ij q ji olduğu açıtır. Böylelile birici oordiat diğer oordiatlarla eşleştirildiğide ( 1) farlı parametre, iici oordiat ( 2) farlı deformasyo parametresi üretir. Böyle devam edilirse toplam farlı parametre sayısı.( 1) 2 dir. Diğer tarafta K H[ x1,..., x ] deformasyolu 2 cebiri de, yuarıda i Hopf cebiri yapısıa sahip olduğu gerçeği göz öüde buludurulur ise eşçarpım döüşümü ı deformasyolu cebir üzeride homomorfizma olma özelliğide ( x x q x x ) 0 0 0 olduğu görülür. Bu ise, bazı deformasyo i j ij j i parametrelerii diğerleri ciside yazılmasıı geretirebilir. Yai, parametre sayısı e fazla.( 1) 2 dir. Souç: Yuarıdai teoremi soucu olara, cebiri Hopf cebiri yapısıı değiştirdiğimizde farlı deformasyo parametreleri ve buu soucu olara farlı defor- 11
masyolu cebirleri elde edilebileceği görülür. Bua göre bir değişmeli poliomlar cebirii, üzeride taımlaabilece bütü Hopf cebiri yapılarıı sııfladırılması ihtiyacı doğar. Eğer bu sııfladırma verile bir cebir içi e geel alamda yapılabilirse, ileriye döü olara bu cebiri deformasyoları içi hem fizisel hem diferasiyel geometri açısıda çeşitli çalışmalara yol açılabilir. Şimdi bu yalaşımı üç oordiatlı poliomlar cebirie uygulayalım. 3.1 Üç Değişeli Poliomlar Cebirii Hopf Cebiri ve Deformasyou Teorem 3.5 Değişmeli üç adet x, y, z oordiatları üretile, omples sayılar cismi üzeridei poliomlar cebiri [ x, y, z] aşağıdai lieer- cebir homomorfizması (eşçarpım) ile birlite bir ii-cebir yapısıa sahiptir faat Hopf cebiri yapısıa sahip değildir. ( x) x x, ( y) y z 1 y y x, ( z) z x x z İspat: Bir eş-cebiri Hopf cebiri olduğuu gösterme içi, gereli ola asiyomlarda faydalaara eşbirim ve eşters döüşümlerii oordiatlar üzerie asıl eti ettiğii irdeleme yeterlidir: m(( id) ( x)) id( x) m(id ) ( x)) m(( id)( x x)) x m(id )( x x)) m(( ( x) x) x m(( x ( x)) ( x) x x x ( x) ( x) 1 m(( id) ( y)) id( y) m(id ) ( y)) m(( id)( y z 1 y x y)) y m(id )( ( y))) m(( ( y) z 1 y ( y) x) y m(id )( ( y))) ( y) z y ( y) x y ( y) 0 Bezer şeilde ( z ) 0 buluur. Böylelile cebirimiz bir ii-cebir yapısıa sahiptir. Diğer tarafta bezer bir şeilde eşters döüşümü ile alaalı asiyomda faydalaara, y oordiatıa eti ede bir eşters döüşümüü mevcut olmadığı görülebilir. Dolayısı ile yuarıdai döüşüm [ x, y, z] üzeride sadece bir ii-cebir yapısı doğuracatır. Souç olara yuarıda verile eşçarpım yardımı ile elde edilece ola deformasyolu 12
cebir de sadece ii-cebir yapısıa sahip olur ve bu deformasyolu cebir üzeride Hopf cebiri yapısıa sahip bir diferasiyel Hopf cebir elde edilemez. Bu ise cebirsel yöde zayıflığı gösterdiğide istemediğimiz bir durumdur. Teorem 3.6 Değişmeli üç adet x, y, z oordiatları ile üretile, omples sayılar cismi üzeridei, x i tersi ile geişletilmiş, poliomlar cebiri [ x, y, z] aşağıda taımlaa lieer homomorfizmalar, ve lieer atihomomorfizma S ile birlite bir Hopf cebiri yapısıa sahiptir: m m ( x) x x, ( y) x y y x, ( z) x z z x, m, (3.4) x y z 1, 0, 0 (3.5) S x x S y x yx S z x zx (3.6) 1 m m ( ), ( ), ( ) İspat:, ve S döüşümleri içi Hopf cebiri asiyomlarıı sağladığıı gösterelim: (2.1) i sağladığı aşiardır. (2.2) i sağladığıı aşağıda gösterelim: m(( id) ( x)) id( x) m(id ) ( x)) m(( id)( x x)) x m(id )( x x)) m(( ( x) x) x m(( x ( x)) ( x) x x x ( x) m(( id) ( y)) id( y) m(id ) ( y)) m m m m m(( id)( x y y x )) y m(id )( x y y x ) m m m m m(( ( x ) y ( y) x ) y m( x ( y) y ( x ) m m m m ( x ) y ( y) x y x ( y) y ( x ) (2.3) ü sağladığıı gösterelim: m(( S id) ( x)) ( x) m(id S ) ( x)) m(( S id)( x x)) 1 m(id S )( x x)) m(( S ( x) x) 1 m(( x S ( x)) S ( x) x 1 xs ( x) m(( S id) ( y)) ( y) m(id S ) ( y)) m m m m m(( S id)( x y y x )) 0 m(id )( x y y x ) m m m m m(( S ( x ) y S ( y) x ) 0 m( x S ( y) y S ( x ) m m m m S ( x ) y S ( y) x 0 x S ( y) ys ( x ) 13
Şu halde söz ousu poliomlar cebiri [ x, y, z],, ve S döüşümleri ile birlite bir Hopf cebiridir. Teorem 3.7 Kabul edelimi homoje deformasyolu poliomlar cebiri [ x, y, z ] yuarıda verile, ve S döüşümleri ile birlite bir Hopf cebiri yapısıa sahip olsu. Bu durumda her bir oordiat çifti içi sadece aşağıdai değiştirme bağıtıları mevcuttur: m xy pyx, xz qzx, yz p q zy, p, q {0} (3.7) İspat: Kabul edelim i p, q, r ler birbiride bağımsız omples parametreler ve xy pyx, xz qzx, yz rzy şelide oordiatlar arasıda değiştirme bağıtıları mevcut olsu. [ x, y, z ] cebiri yuarıda verile, ve S döüşümleri ile birlite bir Hopf h cebiri oluşturduğuda, bir cebir homomorfizmasıdır. Burada ( xy pyx) 0, ( xz qzx) 0, ( yz rzy) 0 bağıtıları mevcuttur. Böylece ( yz rzy) 0 m m m m ( x y y x )( x z z x ) r( x z z x )( x y y x ) 0 m m m m ( q rp ) zx yx yx ( q rp ) zx 0 r m q p h olup m r p q eşitliğii elde ederiz. Souç olara bu eş-çarpıma arşılı gele aşağıdai eş-birim ve eş-ters döüşümlerii Hopf cebiri asiyomlarıda elde ederiz: ( x) 1, ( y) 0, ( z) 0, (3.8) 1 m m S( x) x, S( y) x yx, S( z) x zx (3.9) Not: Yuarıda elde edile değişmeli olmaya, yai deformasyolu Hopf cebirii tez boyuca (3) ile göstereceğiz. Şimdi (3) üzeridei bazı temel diferasiyel cebir yapılarıı iceleyelim. 14
BÖLÜM 4 Taım 4.1, bir K- cebir ve, cebiri üzeride bir bimodül olsu. DİFERNSİYEL CEBİR d : (4.1) bir lieer döüşüm olma üzere eğer d d( ab) d( a) b ad( b) (4.2) Leibiz uralıı sağlarsa,,d iilisie cebiri üzeride birici derecede diferasiyel cebir veya diferasiyel hesap deir, [39]. Öre 4.2 C (, ), de ye edisi ve bütü türevleri süreli ola fosiyoları cebiri olsu. x,..., 1 x, içi bir oordiat fosiyoları olma üzere, d dx1 dx x 1 x şelide taımlaa toplam diferasiyel operatörü ile fidxi, fi C, 1 şelide diferasiyellerle üretile elemaları oluşturduğu uzay(otajat uzay), bir diferasiyel cebir oluşturur. 4.1 Hopf Cebirleri Üzeride Diferasiyel Hesap R Taım 4.3,,, S bir Hopf cebiri ve, - bimodül olsu. : döüşümü lieer olma üzere, eğer 15
R a. p a ' p ' ( a) R p ( a ') R p ', a, a ', p, p ' (4.3) id id R R R (4.4) R m id id (4.5) R oşulları sağlaıyorsa, iilisie bir sağ ovaryat(covariat) bimodül deir, [12]. L Taım 4.4,,, S bir Hopf cebiri ve, - bimodül olsu. : döüşümü lieer olma üzere, eğer L a. p a ' p ' ( a) L p ( a ') L p ', a, a ', p, p ' (4.6) id id L L L (4.7) L m id id (4.8) L oşulları sağlaıyorsa, iilisie bir sol ovaryat(covariat) bimodül deir, [12]. Şimdi Hopf cebirleri üzeride diferasiyel geometri çalışmaya olaa sağlayaca, diferasiyel hesap oluşturmayla alaalı, Woroowicz tarafıda verile temel yalaşımı bir yardımcı teorem olara ifade edelim. Yardımcı Teorem 4.5,,, S, bir Hopf cebiri ve, - bimodül olsu. Eğer, d, üzeride bir diferasiyel cebir ise, R da d id ( a), a (4.9) L da id d ( a), a (4.10) R L şelide taımlaa, döüşümleri ile birlite, sırasıyla sağ ve sol ovaryat(covariat) bimodüldür, [12]. Taım 4.6,,, S, bir Hopf cebiri ve, - bimodül olsu., d, üzeride bir diferasiyel cebir ve yuarıdai yardımcı teoremde taımlaa sağ ve sol ovaryat döüşümlerle doatılmış olsu. Eğer 16
(id ) ( id) R L L R şartı da sağlaırsa (, d) diferasiyel cebirie biovaryat(bicovariat) diferasiyel hesap deir, [12]. Yardımcı Teorem 4.7 F a1dxb 1 a :, (3) 2dyb2 a3dzb3 ai bi şelide taımlaa dx, dy, dz elemaları ile üretile serbest (3) -bimodülü ele alalım. x, y, z ve dx, dy, dz elemaları arasıda xdx dxx, xdy Bdyx Cdxy, xdz Ddzx Edxz (4.11) ydx Fdxy Gdyx, ydy Hdyy, ydz Idzy Jdyz (4.12) zdx Kdxz Ldzx, zdy Mdyz Ndzy, zdz Odzz (4.13),büyü harflerle verile değiştirme atsayıları omples sayılar olaca şeilde, değiştirme bağıtıları mevcut olsu ve N de, x, y, z ile yuarıda verile değiştirme bağıtılarıa sahip ola dx, dy, dz ile üretile F i bir alt bimodülü olsu. Bu durumda, sırasıyla x, y, z üreteçlerii dx, dy, dz şelide elemalara götüre ve Leibiz oşuluu sağlaya d : (3) 1 F N bir lieer döüşümü içi, d 1 iilisi, deformasyolu (3) cebiri üzeride birici derecede diferasiyel cebirdir. İspat: F serbest modül, 1 bölüm uzayı ve d i taımlarıda, d 1 i (3) üzeride birici derecede diferasiyel hesap olduğu aşiardır. Not: Eğer (3) deformasyolu cebiri deformasyo parametreleri ola p ve q yu özel olara 1 seçerse; yai deformasyo ortada aldırılırsa, bildiğimiz üç değişeli poliomlar cebirii elde ederiz. Dolayısıyla deformasyolu cebir üzeridei diferasiyel hesabı vere yuarıdai bağıtılardai atsayıları p ve q parametrelerie bağlı olduğuu rahatlıla söyleyebiliriz. Teorem 4.8 (3) içi yuarıda verile birici derecede diferasiyel hesap üzeride aşağıdai bağıtılarla birlite biovaryat diferasiyel hesap oluşturulur: xdx dxx, xdy pdyx, xdz qdzx (4.14) 1, d 17
1 m ydx p dxy, ydy dyy, ydz p q dzy (4.15) 1, m zdx q dxz zdy p q dyz, zdz dzz (4.16) İspat: Biovaryat diferasiyel hesabı taımıda ve (3) ü Hopf cebiri olması gerçeğide, sağ ve sol ovaryat bimodüllere arşılı gele dx, dy, dz üreteçlerie etisii R dx d id ( x x) dx x R L ve döüşümlerii dy d id ( x y y x ) dxx y dy x 0 m1 R m m m1 m dz d id ( x z z x ) dxx z dz x l0 1 R l 1 L ( dx) id d ( x x) x dx m1 L m m m m1 dy id d ( x y y x ) x dy y dxx 0 1 L 1 dz id d ( x z z x ) x dz z dxx 0 R L şelide elde ederiz. Bua göre, döüşümlerii 1 üzeridei etisi, geel olara f dx f dy f dz ( f ) dx ( f ) dy ( f ) dz R R R R 1 2 3 1 2 3 f dx f dy f dz ( f ) dx ( f ) dy ( f ) dz L L L L 1 2 3 1 2 3 şelidedir. Dolayısıyla, R L ve i bu şeilde verile etisi ve,d 1 diferasiyel hesabıdai değiştirme bağıtıları düşüülürse, xdx dxx xdy Bdyx Cdxy xdz Ddzx Edxz R R R 0, 0, 0 ydx Fdxy Gdyx ydy Hdyy ydz Idzy Jdyz R R R 0, 0, 0 zdx Kdxz Ldzx zdy Mdyz Ndzy zdz Odzz R R R 0, 0, 0 xdx dxx xdy Bdyx Cdxy xdz Ddzx Edxz L L L 0, 0, 0 18
ydx Fdxy Gdyx ydy Hdyy ydz Idzy Jdyz L L L 0, 0, 0 zdx Kdxz Ldzx zdy Mdyz Ndzy zdz Odzz L L L 0, 0, 0 soucuu elde ederiz. Elde ettiğimiz bu soucu, R ve L i taımlarıda faydalaara daha sade bir şeilde yazarsa, büyü harflerle verile değiştirme atsayıları arasıda bazı bağıtılar elde edilir. Diğer tarafta, x, y, z arasıdai değiştirme bağıtılarıda faydalaara m d xy pyx 0, d xz qzx 0, d yz p q zy 0 m xy pyx dx 0, d xz qzx dx 0, yz p q zy dx 0 m xy pyx dy 0, d xz qzx dy 0, yz p q zy dy 0 m xy pyx dz 0, d xz qzx dz 0, yz p q zy dz 0 soucuu rahatlıla görebiliriz. Yuarıdai ifadeler, d i Leibiz uralıı sağladığı gerçeği ve (4.11-4.13) ullaılara açı bir şeilde yazılırsa, (4.11-4.13) dei değiştirme R atsayılarıda oluşa bazı bağıtılar elde edilir. Bu bağıtılar yuarıda ve yardımıyla elde edile bağıtılarla birlite çözülürse, aradığımız değiştirme atsayıları, (4.14-4.16) de verile şeilde olur. Yuarıda bahsedile yollarla elde edile değiştirme atsayılarıı doğruluğuu teyit etme içi verile bağıtıları oruduğuu gösterme yeterlidir. R L ve döüşümlerii (4.14-4.16) ile Şimdi (4.14-4.16) bağıtıları ile verile, birici derecede diferasiyel cebir( diferasiyel 1-formları uzayı),, d 1 yi yüse mertebede diferasiyel cebire( diferasiyel - formları uzayı) geelleştirebiliriz. Buu içi d yi dış diferasiyel operatörüe geelleştirmemiz lazım, yai; L (3)...... d d d d 0 1 şelide, d bir diferasiyel - formu, diferasiyel ( 1)- forma döüştürsü ve aşağıdai dereceli Leibiz ve ilpotetli şartlarıı sağlası: d( u v) d( u) v ( 1) u d( v), u d d d 2 : 0 19
Burada, diferasiyel - formları uzayı, aşağıdai şeilde taımlaır: aedxe(1) dxe(2)... dxe( ) ae 0 em M e e :{1,2,..., } {1, 2,3},bir fosiyo Burada x1 : x, x2 : y, x3 : z olara taımlaıyor. Şimdi, çarpma işlemi i ii elemaı çarpımı arasıda asıl bir değiştirme bağıtısı getirdiğii açılığa avuşturaca teoremi verelim. Teorem 4.9 dx, dy, dz elemaları arasıda aşağıdai deformasyolu ati-simetri bağıtılar mevcuttur: m dx dy pdy dx, dx dz qdz dx, dy dz p q dz dy (4.17) dx dx 0, dy dy 0, dz dz 0 (4.18) İspat: Dış diferasiyel operatörü d i taımıı göz öüde buludurara, d yi birici derecede diferasiyel hesaptai x, y, z ve dx, dy, dz arasıdai değiştirme bağıtılarıa uygularsa isteile souç çıar. Öreği, xdy pdyx d( xdy) d( pdyx) 2 2 dx dy xd y pd yx pdy dx dx dy pdy dx Diat ederse bu bağıtılarda, deformasyo parametreleri p ve q u özel olara 1 olması durumuda, diferasiyeller arasıdai bildiğimiz ati-simetri bağıtıları elde ederiz. Elde ettiğimiz bu bağıtılara göre 0, 4 soucuu rahatlıla görebiliriz. Bua göre, sağ ve sol biovaryat döüşümlerde faydalaara diferasiyel cebir üzeride bir Hopf cebiri oluşturulabilir, [40]. Bu durum aşağıdai teoremde açılamatadır. Teorem 4.10 0 1 2 3 0... derse, aşağıdai şeilde taımlaa bir döüşüm : ile birlite -dereceli bir Hopf cebiri oluşturur. dx dx x x dx (4.19) 20
m 1 m m m 1 dy dxmx y dy x x dy y dxmx (4.20) 1 1 dz dxx z dz x x dz z dxx (4.21) İspat: Öce ı -dereceli bir cebir olduğuu göstermeliyiz. Gerçete, i j i j, i, j olduğu Teorem 4.9 ile verile bağıtılarda rahatlıla görülmetedir. Diğer tarafta, ı taımıa baarsa R L olduğuu görebiliriz. Bua göre R L ve ı özellileride ve Hopf cebiri olma asiyomlarıda ı, bir Hopf cebiri oluşturma içi gereli ola eş-çarpım olduğu görülür. Eş-birim ve eş-ters döüşümlerii diferasiyeller üzeridei etileri Hopf cebiri asiyomlarıda rahatlıla gösterilebilir. Şimdi (3) üzeride oluşturduğumuz deformasyolu diferasiyel hesaba arşılı gele (3) üzerie eti ede ısmi türev operatörlerii ( deformasyolu tajat vetörleri) belirleyelim. Teorem 4.11 : (3) (3) x : (3) (3) y : (3) (3) z olma üzere d dx x dy y dz z şelide yazılabile x, y, z lieer döüşümleri her zama mevcuttur. İspat: d i Leibiz uralıı sağladığı gerçeği ve Teorem 4.8 dei değiştirme bağıtılarıda, her f (3) içi d( f ) dxf x dyf y dzfz 1 olaca şeilde f, f, f (3) elemaları mevcuttur. Bua göre döüşümleri x y z ( f ) : f, ( f ) : f, ( f ) : f x x y y z z i j şelide düşüebiliriz. Souç olara bu döüşümler bir x y z (3) elemaıa aşağıdai şeilde eti ederler: 21
1 i j i j (4.22) x x y z ix y z 1 i j i i j (4.23) y x y z jp x y z i j j mj i i j 1 z x y z p q x y z (4.24) Not: Bu döüşümler bildiğimiz ısmi türev operatörlerii deformasyolu halidir, yai; p, q 1 durumuda,, döüşümleri lasi ısmi türev operatörleri halii alır. x y z Yuarıda elde ettiğimiz deformasyolu ısmi türev operatörlerie arşılı gele Weyl cebirii oluşturabiliriz. Buu yapma içi öcelile x, y, z operatörlerii x, y, z elemalarıyla ve edi aralarıdai değiştirme bağıtılarıa ihtiyaç duyulacatır. Mesela, bir f (3) elemaı içi Leibiz uralıda, x y z x y z dx. dy dz ( xf ) dxf xd( f ) dxf x dx dy dz ( f ) dx 1 x x dy px y dz qx z ( f ) elde edilir. Bu eşitli ise x ile ısmi türev operatörleri arasıdai değiştirme bağıtılarıı aşağıdai gibi verir: x 1 x, x px, x qx (4.25) x x y y z z Bezer şeilde y ve z elemalarıı ısmi türev operatörleri ile değiştirme bağıtıları y p y, y 1 y, y p q y (4.26) 1 m x x y y z z z q z, z p q z, z 1 z (4.27) 1 m x x y y z z biçimidedir. Şimdi de e so olara ısmi türev operatörlerii edi aralarıdai değiştirme bağıtılarıı araştıralım. Buu içi dış diferasiyel operatörüü, d d d 2 0 şelide verile ilpotetli özelliğide, d dx x dy y dz z aşağıdai gibi ullamamız gereir: 2 x y z x xx y x z x 2 d y y dy dx x y dy y y dzz y 2 d z z dz dx xz dy y z dz z z d dx dy dz d x dx dx dy dz 0 22 eşitliğii
Teorem 4.9 ile verile diferasiyeller arasıdai değiştirme bağıtılarıı yuarıda elde ettiğimiz eşitlite uygu bir şeilde ullaırsa m y x x y z x x z z y y z 0 dy dx p dz dx q dy dz p q şelide diferasiyelleri iişer iişer dış çarpımlarıı lieer ombiasyouu elde ederiz. Yuarıdai dış çarpımları lieer bağımsız olmaları gerçeğide faydalaara m p, q, p q (4.28) x y y x x z z x y z z y soucua ulaşırız. Souç olara (3) uatum uzayıa arşılı gele Weyl cebiri W x, y, z,,, x y z I biçimide taımlaır. Burada I, (3.7) ve (4.25-4.28) ile verile bağıtılarla oluşturula bir ideal olara taımlaıyor. 23
BÖLÜM 5 CRTN MURER FORMLRI Klasi diferasiyel geometride herhagi bir Lie grubu G içi sağ ivaryat 1-form veya Carta-Maurer form 1 d( g) g, g G (5.1) olara taımlaır. Daha öce belirttiğimiz gibi Kuatum gruplar üzeridei diferasiyel hesap, uatum grupları Hopf cebiri yapısıda faydalaılara oluşturulabilmetedir. yrıca bilie tüm uatum grup öreleri, lasi diferasiyel geometride diferasiyelleebilir maifold olara taımlaa Lie grupları deformasyou olara adladırılmatadır. Kuatum gruplar ve Lie gruplar arasıdai bu ilişiyi göz öüde buludura Woroowicz, herhagi bir Hopf cebiri H içi sağ ivaryat Carta-Maurer formuu w( h) : w m ( d S) ( h) (5.2) h olara formüle etmiştir, [12]. (5.2) formülü, lasi diferasiyel geometride yapıla çalışmaları değişmeli olmaya uzaylara uyarlama içi aahtar bir rol oyamatadır. Faat formülde görüldüğü gibi, bu geçişi sağlaması içi, verile değişmeli olmaya uzaylar üzeride Hopf cebir yapısı oluşturma hayati bir öeme sahiptir. Bua göre 3 ü Hopf cebiri yapısı düşüülürse oordiatlara arşılı gele Carta-Maurer form elemaları x 1 ( ) ( ) ( )( ( ( ) ( ) w m d S x m d S x x m d x S x dxx (5.3) 1 ( ) ( ) ( )( m m w m d S x m d S x y y x dyx m mdxx yx m (5.4) y 24
1 ( ) ( ) ( )( w m d S z m d S x z z x dzx dxx zx (5.5) z biçimidedir. 3 dei tüm elemalara arşılı gele Carta Maurer formları ümesi W w : f 3 (5.6) f şelidedir. yrıca her bir w f elemaıı, w f w f w f w, f, f, f 3 f x x y y z z x y z olara yazılabileceği olaylıla gösterilebilir. Bua göre W, üreteçleri w, w, w ola, 3 x y z üzeride bir modül yapısıa sahiptir. Carta-Maurer formlarıı cebirii açı bir şeilde görme içi bazı değiştirme bağıtılarıa ihtiyaç duyarız. Yardımcı Teorem 5.1 W ı üreteçleri wx, wy, w z ile x, y, z arasıdai değiştirme bağıtıları xw w x, xw pw x, xw qw x (5.7) x x y y z z m m yw w y, yw p w y, yw q w y (5.8) x x y y z z zw w z, zw p w z, zw q zw (5.9) x x y y z z şelidedir. İspat: (3.7), (4.14-4.16) değiştirme bağıtıları ve (5.3-5.5) birlite ele alıırsa, öreği y ile wy arasıdai değiştirme bağıtısı m 1 m m m m 1 yw m m y y dyx mdxx yx p dyx y p mdxx yx y p wyy şelide buluur. Diğer bağıtılar da bezer şeilde otrol edilebilir. Yardımcı Teorem 5.2 W ı üreteçleri w, w, w ler arasıdai değiştirme bağıtıları x y z w w w w, w w w w, w w w w (5.10) x y y x x z x z y z z y şelidedir. İspat: Gerçete (3.7), (4.14-4.18) değiştirme bağıtıları düşüülürse, 25
1 m 1 m wx wy dxx dyx mdxx yx dyx dxx mdxx yx dxx w y m 1 1 m 1 w x şelide buluur. Diğer bağıtılarda bezer biçimde otrol edilebilir. Teorem 5.3 Yuarıda elde edile değiştirme bağıtılarıa sahip ola Carta-Maurer formları cebiri W ı üreteçlerii sahip olduğu değiştirme bağıtıları, aşağıdai şeilde taımlaa döüşüm altıda ivaryat alır: W : W W W 1 1 w w w (5.11) W x x x 1 1 w w w (5.12) W y y y w w 1 1 w. (5.13) W z z z İspat: W döüşümüü (5.10) da verile ati-simetri değiştirme bağıtılarıı oruduğu aşiardır. Teorem 5.4 yapısıa sahiptir. W ile doatıla W, aşağıda taımlaa döüşüm ile birlite bir ii-cebir W : W w w w 0, 0, 0 (5.14) W x W y W z İspat: Eş-cebir olma asiyomu göz öüe alıırsa bu döüşüm ile birlite W ı bir eşcebir yapısıa sahip olduğu görülür. yrıca bu cebir birleşmeli ve birimli olduğuda ayı zama da bir ii-cebirdir. Teorem 5.5 İi-cebir W ı aşağıda taımlaa döüşüm ile birlite bir Hopf cebiri olduğu görülür. S : W W W,, S w w S w w S w w (5.15) W x x W y y W z z 26
İspat: Hopf cebiri asiyomlarıda eş-ters döüşümü ile alaalı olaı düşüülürse, yuarıda verildiği gibi taımlaa S W ı W ya bir Hopf cebiri yapısı sağladığı görülür. 5.1 Carta-Maurer forma arşılı gele vetör alaları Teorem 4.11 de dış türev operatörü d i d dx x dy y dz z şelide yazılabileceğii görmüştü. Şimdi abul edelim i ayı dış türev operatörü d wxtx wyty wztz (5.16) şelide Carta-Maurer form üreteçleri ve bazı Tx, Ty, T z vetör alaları ciside yazılsı. slıda rahatlıla, Tx, Ty, T z vetör alalarıı x, y ve z ciside yazılabileceğii görebiliriz. Gerçete, (5.3-5.5) dei eşitlileri, dx, dy ve alaca şeilde yeide düzeleyelim: dz yalız m m dx w x, dy w x mw y, dz w x w z (5.17) x y x z x d dx x dy y dz z de ullaılaca olursa, m m dx dy dz w x w x mw y w x w z x y z x x y x y z x z w x my z w x w x x x y z y y z z görülür ve burada d wxtx wyty wztz olduğu da düşüülürse m T x my z, T x, T x (5.18) x x y z y y z z biçimide elde edilir. Bu elde ettiğimiz vetör alalarıı oluşturduğu cebiri iceleyelim. Öcelile bular arasıdai değiştirme bağıtılarıı oluşturalım. T x ve T arasıdai değiştirme bağıtısıı (3.7), (4.25-4-28) dei değiştirme bağıtılarıı y ullaara bulabiliriz: 27
m T T x my z x x y x y z y x x my x z x m m m x y y y z y x mx x p p mx y q q x z m1 m m m m m m m x y y y z y mx x x mx y x z m m m m y x y y y z y m m m m m mx px x mx y 1 p q x z m mx y y x y y y z y 1 m m m m m m y x y y y y z m x y x x my y z z T T y x pp x x mx y mx p q p q x z T x ve T arasıdai değiştirme bağıtısıı z T T x my z x x z x y z z x x my x z x x z y z z z x x x p p mx y q q x z 1 x z y z z z x x x mx y x z z x z y z z z m x qx x p q mx y x z 1 x z z x z y z z z 1 m m z x z y z z z x z x x my y z z T T z x qq x x p q p q mx y x x z eşitliğide değişmeli olduğu görülür. T y ve T içi değiştirme bağıtısı z T T x x p x x p p q x x p p q q x x T T m m m m m m m y z y z y z z y z y z y olara elde edilir. Souç olara T T T T 0, T T T T 0, T T T T 0 (5.19) x y y x x z z x y z z y eşitlileride değişmeli bir yapı bulumuş oldu. Şimdi, ve x y z T T T vetör alalarıı 3 üzerie asıl eti ettiğii bulalım. Buu içi (4.22-4.24) dei x, y ve z i i j x y z te terimlisi üzeridei etiside faydalaara 28
i j i j i j i j i j x x x y z my y x y z z z x y z i1 j i i j1 j mj i i j 1 xix y z my jp x y z z p q x y z i j i j i j i x y z mj x y z x y z i j i mj x y z T x y z x my z x y z x x y z buluur. Diat edece olursa T x, te terimlii uvvetleride herhagi bir değişiliğe ede olmuyor, sadece atsayıyı yeide ölçelediriyor. Bu durumu, bu vetör alaları içi eş-çarpım, eş-birim ve eş-ters döüşümleri taımlamamıza yeterli derecede bir olaylı sağladığıı biraç adım sora göreceğiz. Şimdi bezer şeilde diğer vetör alalarıı te terimli üzeridei etisie baalım y 1 1 y T x y z x x y z x jp x y z jp x y z i j m i j m i i j i i m j şelidedir. T z i etisi z i j i j j mji i j 1 j mji i j 1 z T x y z x x y z x p q x y z p q x y z olur. Souç olara, x y z i j i j i j i im j1 i j j mji i j 1 T x y z i mj x y z T x y z jp x y z T x y z p q x y z (5.20) biçimide buluur. Teorem 5.6 (5.19) ile verile aralarıda değişmeli bağıtılara sahip ola T, T ve T ler 29 x y z ile üretile cebiri ile gösterelim., aşağıda taımlaa eş-çarpım döüşümü ile birlite bir eş-cebir yapısıa sahiptir: : 1 1 T T T x x x Tx 1 T T p T y y y Tx 1 T T q T z z z
İspat: Öce, yuarıda taımlaa ı, T, T ve T vetör alalarıı (5.20) de x y z verile etileriyle uyumlu olduğuu göstermeliyiz. Buu içi, bir f bir te terimli ile herhagi bir (5.16) dai temsili göz öüe alıırsa 3 i j x y z şelide g düşüelim. Dış diferasiyel operatörü d i d fg d f g fd g wxtx wyty wztz f g f wxtx wyty wztz g (5.21) Şimdi bu so eşitlitei ifadeleri wx, wy ve w z ye göre düzeleme içi f ile bu Carta-Maurer formlar arasıdai değiştirme bağıtılarıı bulmamız gereir: w x ile bütü oordiatlar değişmeli olduğuda ( (5.7-5.9) dai bağıtılarda) fw x w f x (5.22) buluur. f ile wy arasıdai değiştirme bağıtısı x y z w p x y w z p p x w y z p w x y z (5.23) i j i j mj i j mji i j y y y y şelidedir. Bezer şeilde f ile wz arasıdai değiştirme bağıtısı mji fwz q wz f (5.24) buluur. Şimdi bu elde ettiğimiz değiştirme bağıtılarıı (5.21) de ullaara gereli düzelemeleri yaparsa x x y y z z x x y y z z mji mji wxtx wyty wztz f g wx ftx p wy fty q wz ftz g mj i wx Tx f g ftx g wy Ty f g p fty g mji wz Tz f g q ftz g d fg w T w T w T f g f w T w T w T g olur. Bu so elde ettiğimiz eşitlite, Tx, Ty ve T z vetör alalarıı fg üzeridei etileri deformasyolu Leibiz uralı olara T fg T f g ft g x x x mj i T fg T f g p ft g (5.25) y y y 30
mji T fg T f g q ft g z z z buluur. Diğer tarafta, T, a x, y, z 3 3 dei bir f g ye etisii T f g : T fg a a şelidei bir elemaı a (5.26) şelide olduğu, döüşümleri tesör çarpımı ve yuarıdai deformasyolu Leibiz uralı birlite düşüülürse ispat görülür. 31
BÖLÜM 6 HOMOJEN OLMYN DEĞİŞTİRME BĞINTILI UZYLR Değişmeli olmaya uzayları bazı özel öreleri, uzayı değiştirme bağıtısıı çeşidie göre birço yazar tarafıda icelemiştir, [41-44]. Özetle, değişmeli olmaya bu uzaylar aşağıdai gibi sııfladırılır: ij [ x, x ], Kaoi (6.1) i j ij [ x, x ] x, Lie Cebir (6.2) i j ij [ x, x ] x x, Kuatum (6.3) i j l l Burada, [ x, x ] x. x x. x ve ij, ij, ij i j i j j i l olara veriliyor. Bu tezi üçücü bölümüde e geel alamda deformasyolu bir cebiri taımıda ısaca bahsetmişti. Diğer bir söylemle; (3.3) ile verile ifade, (6.1), (6.2) ve (6.3) ile yapıla sııfladırmayı e geel alamda te çatı altıda ifade eder. yrıca, iici bölümde değişmeli bir cebir üzerie urula bir Hopf cebiri yardımı ile homoje değiştirme atsayılı bir cebir elde edebileceğimizi belirtmişti. Şimdi bu bölümde homoje değiştirme bağıtılarıda homoje olmaya başa bağıtıları asıl elde edilebileceğide bahsedeceğiz. Buu içi gereli bazı temel taımları ve öermeleri verelim. Taım 6.1 H,, üçlüsü bir eş-cebir olsu. Bu durumda bir h H içi h h h (6.4) 32
ise h elemaıa grubumsu(group-lie) elema deir, [37]. Taım 6.2: U,, üçlüsü bir eş-cebir olsu. Bu durumda bir u U içi u u 11 u (6.5) ise u elemaıa ilel elema deir, [37]. Öerme 6.3 H,, cebirlerii ve U,, a x, a, x H veya x U üçlüleri sırasıyla eş-cebir olsular. yrıca, H ve U şelide sosuz toplam olara verilebile serilerle geelleştirilmiş durumlarıı düşüelim. Şimdi u f : U H, u f ( u) e! 0 u şelidei üstel döüşümü ele alalım. Böylece literatürde ço iyi bilie aşağıdai öermeye sahip oluruz, [45]. grubumsu elemadır u ilel elemadır f u İspat: u bir ilel elema olsu. Bu durumda, u u u 11 u f u e e e f u u u11 u 0 u 11 u i i f u u 1 1 u 33! 1 0! i0 i i i u u f u 0 i0 i! i! m u u f u m!! m0 0 u u f u e e f u f u f u
Bu öerme homoje değiştirme atsayılı bir cebirde homoje olmaya değiştirme atsayılı bir cebir oluşturma içi ilit rol oyar, [45,46]. Bua göre homoje değiştirme atsayılı 3 de homoje olmaya değiştirme atsayılı bir cebir elde edelim. Buu içi, grubumsu elema x içi a a : l x veya x : e (6.6) taımlamasıı ele alalım. y ve z elemaları içi 1 1 b : x y ve c : x z (6.7) eşitlilerii düşüelim. Şimdi taımladığımız bu a, b, c elemaları arasıdai değiştirme bağıtılarıı araştıralım. Öce bulalım: a ile b arasıdai değiştirme bağıtısıı 1 1 1 1 1 i i l 1 1 x x y x x y x x y 1 1 i0 i 1 1 x y px 1 i0 i 1 1 1 x y px 1 1 x y l px i i 1 Böylece a ile b arasıdai değiştirme bağıtısı ab ba b l p şelide homoje olmayaca biçimde buluur. a ile c arasıdai değiştirme atsayısı 1 1 1 1 1 i i l 1 1. x x y x x z x x z 1 1 i0 i olup, burada 1 x z 1 x z 1 x z 1 i 1 i0 1 l 1 qx 1 qx i qx 1 i 34
ac ca c l q soucuu elde ederiz. b ile c arasıdai değiştirme bağıtısı ise 1 1 1 1 m 1 1 m 1 1 1 x yx z px x yz pp q x x zy pp q q x zx y eşitliğide 1 m1 bc p q cb şelidei homoje değiştirme bağıtısıdır. Böylelile a, b 1 a, c 2 h 3 h b (6.8) h c (6.9) b, c 0 (6.10) elde ederiz. Burada a, b ab ba (6.11), h 3 b c bc h cb (6.12) 3 1 m1 ve h l p, h l q, h p q dir. 1 2 3 (6.8), (6.9) ve (6.10) değiştirme bağıtılarıı yapılarıa baaca olursa il ii bağıtı Lie cebiri alamıda bir bağıtı, soucu bağıtı ise uatum uzayı alamıda bir bağıtıdır. Souç olara, bir uatum uzayda hem Lie cebiri alamıda değiştirme bağıtılı hem de uatum uzayı alamıda değiştirme bağıtılı bir başa uzay elde edilebileceğii göstermiş oldu. Yardımcı Teorem 6.4, l içi aşağıdai bağıtılar mevcuttur. l l a b b a lh1 (6.13) l l a c c a lh2 (6.14) b c h c b (6.15) l l l 3 35
İspat: Öce a b ba h 1 olduğuu gösterelim. İspat içi tümevarım yötemii ullaalım. 1içi doğruluğuu biliyoruz. 1 içi doğru olduğuu abul edelim: 1 1 a b b a h 1 (6.16) olsu. içi doğru olduğuu gösterelim: Buu içi (6.16) eşitliğii her ii tarafıı a ile sol tarafta çarpılır ve gereli düzelemeler yapılırsa: 1 1 1 aa b ab a h1 ba h1 b a h1 b a h a h b a h 1 1 1 1 buluur. Böylece içi doğruluğu gösterilmiş oldu. Şimdi l üzeride tümevarımla (6.13) ü doğruluğuu gösterelim. l 1 içi (6.13) ü doğruluğuu heme yuarıda gösterdi. l 1 içi doğru olsu: l1 l1 a b b a l 1 h1 (6.17) Şimdi l içi doğru olduğuu gösterelim: Buu içi (6.17) sağ tarafta b ile çarpılırsa l1 l1 a b b b a l 1 h1 b l l1 i i a b b a l 1 h1 b i 0 i l l1 i i a b b a bl 1 h1 i0 i l l a b b a h l 1 h l l1 i i a b b ba h1 l 1 h1 i0 i l l a b b a lh1 1 1 soucu elde edilir. (6.14) de ayı şeilde gösterilebilir. (6.15) i doğruluğu aşiardır. Şimdi, bu elemalarla üretile cebiri : a, b, c I (6.18) 36
(burada I, (6.8), (6.9) ve (6.10) bağıtıları ile üretile bir ideal olma üzere ) şelide taımlayalım. Şimdi 3 üzeride verile eş-çarpımı üzeride asıl bir etiye sahip olacağıı irdeleyelim. Öce a içi elema olduğuu biliyoruz. Böylece Öerme 6.3 de olaylıla a yı belirleyelim: x i bir grubumsu a a 11 a (6.19) olduğuu görebiliriz. Diğer tarafta x x x olduğuda olaylıla 1 1 1 x x x (6.20) gerçeğie sahip olduğumuzu görürüz. Dolayısıyla, b ve c içi, 1 1 1 1 m m b x y x y x x x y y x x x y x y x 1 1 1 1 m1 1 1 m1 e b b e ( m1) a ( m1) a c x z x z x x x z z olup, souç olara ( 1) ( 1) b e b b e x x z x z x 1 1 1 1 e b b e ( 1) a ( 1) a m a m a (6.21) ( 1) ( 1) c e c c e a a (6.22) elde ederiz. Böylece burada aşağıdai teoremi ifade edebiliriz Teorem 6.5, (6.19), (6.21) ve (6.22) şelide taımlaa bir döüşüm ile birlite bir eş-cebir yapısıa sahiptir. x İspat: Yuarıda bahsedile döüşüm 3 üzeridei eş-çarpım döüşümüde türetildiği içi ou sağladığı tüm özellileri sağlar: Gerçete öce (6.19), (6.21) ve (6.22) ile verile ı (6.8), (6.9) ve (6.10) ile verile değiştirme bağıtılarıı oruduğuu gösterelim. Buu içi a, b h b 1 (6.23) 37
a, c h c 2 (6.24) b c, 0 (6.25) h3 olduğuu göstermeliyiz: (6.23) içi 1 1 m a m a a, b a 11 a, e b b e 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m a m a 1 1 m a m a m a m a a 11 a e b b e e b b e a 11 a ae b ab e e ab b ae m a m a m a m a m a m a m a m a e a b e ba ba e b e a m a m a ab ba e e ab ba h b e e h b h 1 b buluur. (6.24) de bezer şeilde gösterilebilir. (6.25) içi 1 1 1 1 b, c e b b e, e c c e h3 h3 1 1 1 1 e b b e e c c e 3 m a m a a a m a m a a a 1a 1 a m1a m1a h e c c e e b b e 1 1 1 1 1 1 1 1 e c be be e c h e b ce h ce e b m a a a m a a m a m a a 3 3 (6.26) buluur. Diğer tarafta bu so eşitlitei ifadeleri daha sade hale getirebilme içi m 1 a e ile c ve içi (6.13) ve (6.14) ullaılara e 1 1 m a c 0 0 0 ce q 1 a b ile e arasıdai değiştirme bağıtılarıa ihtiyaç duyarız. Buu 1 1 m1 ah m1 2! m1 a!! m a c c m a h c m a h ce 2 2 38
ve be 1 1 a 0 0 0 e b a 1 1 1 ah 1 1 a p e b 1! a h b!! 1 1 a h b b buluur. Bu elde ettiğimiz bağıtıları (6.26) da ullaılırsa, b c ( m1) a ( m1) ( m1) a ( 1) a 1 ( 1) a e c q ce ve be p e b değiştirme, 0 olduğu olayca görülür. Souç olara : döüşümü bir cebir homomorfizmasıdır. Bua göre bu döüşüme arşılı gele eş-birim, Hopf cebiri asiyomlarıda (2.2) ve (6.19), (6.21) ve (6.22) birlite düşüülürse a 0 b 0 c 0 olara buluur. Teorem 6.6 aşağıdai döüşüm ile birlite bir Hopf cebiri yapısıa sahiptir. S a a 1 1 m a S b e be 1 1 a S c e ce m a a İspat: Hopf cebiri asiyomlarıda eş-ters ile alaalı ola asiyom ele alıırsa ispat olaylıla görülebilir. h3 39
6.1 Üzeride Diferasiyel Cebir Klasi diferasiyel geometride biliyoruz i bir diferasiyel form bir fosiyola sağda ve solda çarpılabilir. Değişmeli olmaya cebirlerde bu durum farlı olabilir; değişmeli bir cebiri f, g fg gf 0, f, g üzerie eti ede dış diferasiyel operatörü d : 1 içi d f, g 0, f, g şartı sağlaır. yrıca dış türev operatörü d i çeirdeği sadece cebirii üzerie urulduğu K cismidir. Eğer değişmeli değil ise (mesela bizim oluşturduğumuz gibi) meydaa gelebilece farlılı d f, g 0, f, g şelide olup, dolayısıyla bir diferasiyel formu sağda ve solda bir fosiyola çarpma ile elde edile souçlar ayı olmayabilir. Bir değişmeli olmaya uzayda d i çeirdeğii yie değişmeli durumda olduğu gibi K cismi olara ele almalıyız. Buu değişmeli uzaydai bağlatılılı şartıı değişmeli olmaya uzaya taşıyabilme içi yaparız, [47]. Yardımcı Teorem 6.7 a, b ve c elemalarıı diferasiyelleri x, y ve z oordiatları ciside da dxx db p dyx p dxx yx dc q dzx q dxx zx 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1,, (6.27) şelidedir. İspat: (4.22-4.24) ile verile ısmi türev operatörleri göz öüe alıırsa 1 1 1 ( ) 1 a x da dx x dy y dz z x 1 1 1 1 da dx x x 1 da dx( 1) x 1 1 1 40