. Türkye Deprem Mühendslğ ve Ssmoloj Konferansı 5-7 Eylül 0 MKÜ HATAY DİNAMİK ANALİZ PROBLEMLERİ İÇİN YENİ BİR ADIM ADIM SAYISAL ÇÖZÜMLEME YÖNTEMİ ÖZET: H. Çlsalar ve K. Aydın Yüksek Lsans Öğrencs, İnşaat Müh. Bölümü, Ercyes Ünverstes, Kayser Doçent Doktor, İnşaat Müh. Bölümü, Ercyes Ünverstes, Kayser Emal: huseynclsalar@gmal.com Dnamk br sstemn matematk modelnn oluşturulması sonucunda, sstemn davranışı temsl eden knc dereceden ad dferansyel denklem elde edlmektedr. Ancak bu denklem her sstem çn analtk olarak çözülememektedr. Bu tür sstemlern çözümü, ancak nümerk ntegrasyon yöntemler le yaklaşık olarak yapılmaktadır. Bu çalışmada, knc dereceden ad dferansyel denklem olan dnamk hareket denklemnn nümerk çözümü çn yen br yöntem sunulmuştur. Çözüm algortmasında D alembert prensb le elde edlen dferansyel denklemn yanı sıra, mpuls-momentum lkes de kullanılmıştır. Analtk çözümü bulunan sstemler çn yapılan zaman tanım alanında analzlerde, önerlen yöntemn klask yöntemlere (Newmark, Wlson vb.) göre daha az hata çerdğ, sstem davranışını gerçeğe daha çok yakın br şeklde yansıttığı gözlenmştr. Bu nedenle deprem gb zamana bağlı olarak fade edlemeyen kuvvetler altında ve/veya nonlneer olarak yapılacak analzlerde, elde edlen algortma gerçek davranışa daha yakın sonuçlar verecektr. Çalışmada, analtk çözümü bulunan sstemlerden elde edlen sonuçlar, önerlen yöntem ve kullanılan dğer brkaç yöntemden elde edlen sonuçlar le karşılaştırılmıştır. Nümerk ve analtk çözümlern farkı gösterlerek önerlen yöntemn stabltes araştırılmıştır ve ayrıca farklı zaman adımı değerlerne bağlı olarak peryot uzaması ve genlk azalması değerler dğer yöntemler le kıyaslanmıştır. ANAHTAR KELİMELER: Nümerk ntegrasyon, dnamk hareket denklem, dferansyel denklem, zaman tanım alanı..giriş Dnamk analz brçok blm (fzk, uzay blmler vs.) ve mühendslk dalının kapsamına gren br konudur. Dnamk etkenlerden kaynaklanan problemler, günlük hayatta her alanda karşımıza çıkablecek problemlerdendr. Dnamk problemlere, statk problemlere oranla daha sık karşılaşılmasına rağmen, çözümler, statk problemlernknden daha zordur. Bunun sebeb; hareket sonucu oluşan atalet kuvvetlernn dnamk hareket denklemlernde bulunmasıdır. Ayrıca ssteme etkyen yüklern tam olarak blnememes veya bu yüklern zamanla fonksyonel olmayan br şeklde değşmes, dnamk problemlerm çözümünü zorlaştırmaktadır. Yapı dnamğ ve deprem mühendslğnde karşılaşılan dnamk analz problemlern çözümünde genellkle k yöntem kullanılır; modal analz ve zaman tanım alanında hesap. Modal analz yöntemnde sstemn yer değştrmes, k parametrenn çarpımı le elde edlr. Bu parametrelerden br sadece zamana göre değşrken dğer sadece koordnat sstemne göre değşr. Bu k parametre hesap edldkten sonra yer değştrme, hız ve vme belrlenr. Zaman tanım alanında hesap yöntemnde se dnamk dferansyel denklem analtk veya nümerk olarak çözülür. Bu yöntemde stenen her br dnamk parametre doğrudan bulunablr. Lneer sstemler çn bu her k yöntem de kullanılablrken, lneer olmayan sstemlern dnamk çözümü sadece knc yöntem kullanılarak belrleneblr.
. Türkye Deprem Mühendslğ ve Ssmoloj Konferansı 5-7 Eylül 0 MKÜ HATAY Zamana bağlı yüklere maruz sstemlern davranışı, sstemde bulunan atalet ve sönüm kuvvetlernden dolayı dferansyel denklem le fade edlr. Bu denklemn elde edlmes çn se lk önce sstemn matematksel model oluşturulur ve daha sonra denge denklem kullanılır. Şekl. Tek serbestlk derecel br sstemn matematksel model Şekl de verlen sstemde D lambert prensb kullanılarak denge denklem yazılırsa sstemn davranışını temsl eden denklem elde edlr. mu ( t) cu ( t) ku( t) p( t) () Denklem () de m, c, k sırasıyla; kütle, vskoz sönüm katsayısı ve hareket doğrultusundak toplam rjtlğ temsl etmektedr. Sstemn analz çn denklem () çözülmeldr. Tek serbestlk derecel br sstem çn analtk çözüm, dış yük vektörü veya yer vmes zamandan bağımsız se ya da sstem lneer değlse genellkle mümkün değldr (Chopra, 007). Bu tür problemler se hareket denklemnn nümerk ntegrasyonu le çözüleblr. Nümerk çözüm se yük fonksyonunun nterpolasyonu, Duhammel ntegralnn nümerk hesabı, sonlu farklar yöntem yada bell br zaman adımında vme değşm kabulünü esas alan yöntemlerden herhang br le yapılablr. İvme değşm kabulü yapılan yöntemlerde analz yapılacak süre, bell adım sayılarına bölünür ve her adımda sstem çn anlık denge denklem yazılır ve denklemde zamana bağlı olan termler bulunur. Bu şlem her adım çn tekrarlanır. Nümerk ntegrasyon yöntemlernn gösterm Şekl () de verldğ gbdr. Zaman adımı aralığı (Δt) lneer çözümde her zaman sabt alınablr. Ancak lneer olmayan analzlerde hızın değşmne bağlı olarak bu adımın, kend çersnde alt adımlara bölünerek hesap yapılması gerekeblr.
. Türkye Deprem Mühendslğ ve Ssmoloj Konferansı 5-7 Eylül 0 MKÜ HATAY Şekl. Adım adım çözümlemenn grafk olarak gösterm Nümerk ntegrasyon yöntemler Şekl () de verldğ gb her br adımdak değşken parametreler hesap ederek, her br p kuvvetne karşılık u, u, u değerlern bularak, sstem davranışını analz etmek çn kullanılır. Nümerk ntegrasyon üzernde çokça çalışılmış ve br çok yöntem önerlmş olan br konudur. Önerlen yöntemlern se br çoğu Newmark yöntemlern (Newmark, 959) esas almıştır ve bazı durumlarda önerlen yöntemlern algortması Newmark yöntemler le çakışmaktadır. Örneğn Wlson yöntem (Wlson vd., 97) Newmark lneer vme yöntemnn br türevdr. Bu yöntem nvemn genşletlmş br aralıkta ( t) lneer olarak değştğ kabulüne dayanır (Humar, 00). faktörünün alınması durumunda se Wlson yöntem Newmark lneer vme yöntemne eşt olur (Kontoe, 006). Ancak vme değşm kabulünü daha üst derecen yapıldığı çalışmalarda mevcuttur. Ravaz (Ravaz vd., 007) tarafından yapılan çalışma vme değşm knc dereceden parabol kabul edlmş ve polnom katsayıları, denge denklem, ağırlıklı kalanlar yöntem ve başlangıç koşulları le hesaplanmıştır. Bu çalışmada se vmenn bell br zaman adımına göre değşm kabulü yapılarak yöntem önerlmş ve stabltes araştırılmıştır. Önerlen yöntem çn herhang br adımdak vme değşm üçüncü dereceden parabol kabul edlmştr. Yer değştrme fonksyonu se beşnc dereceden paraboldür. Bu nedenle yer değştrme fonksyonunda altı adet blnmeyen vardır. Bu blnmeyenler se herhang br adımın başlangıç şartları, kuvvet denge denklem, mpuls-momentum prensb ve ağırlıklı kalanlar yöntem kullanılarak hesaplanmıştır.. ÖNERİLEN YÖNTEM Denklem (), tek serbestlk derecel sstemn davranışını temsl eden knc derecen ad dferansyel denklemdr ve u, u, u vme, hız ve yer değştrmey fade eder. Denklem() zamana göre ntegre edlrse denklem () elde edlr ve bu denklem sstemdek momentum değşmn gösterr. Burada herhang br adım sayısı, q yer değştrme değern, I se yük vektörünün zamana bağlı ntegraldr. mu cu kq I () q fonksyonu çn denklem () de verlen değer yazılırsa türevler le yer değştrme, hız ve vme değerler bulunur. ( 0 t ) 6 5 4 q( ) a b c d e f ()
. Türkye Deprem Mühendslğ ve Ssmoloj Konferansı 5-7 Eylül 0 MKÜ HATAY 5 4 u( ) 6a 5b 4c d e f (4) 4 u ( ) 0a 0b c 6d e (5) u ( ) 0a 60b 4c 6d (6) Denklem (), (4) ve (5) de 0 olduğu anda elde edlen değer o adımdak başlangıç değerne eşt olur. u( 0) f u (7) u ( 0) e u (8) u ( 0) 6d u (9) Genel hareket denklemnden hız ve yer değştrme yerne yazılarak d katsayısı bulunur. d m6 d cu ku p (0) ( p cu ku )/(6m) () Dğer katsayılar çn se hareket denklem, mpuls-momentum prensb ve ağırlıklı kalanlar yöntem kullanılarak blnmeyen üç katsayı hesaplanır. Ağırlıklı kalan se mpuls-momentum denklem kullanılarak bulunur. R I mu cu kq () t 0 R 0 () Katsayıların hesabı denklem (4) le yapılır. a b c (4) ve matrslernn elemanları aşağıda verlmştr. 4 5 0m 0c 6k (5) 4 60m 0c 5k (6) 4
. Türkye Deprem Mühendslğ ve Ssmoloj Konferansı 5-7 Eylül 0 MKÜ HATAY 4m c 4k (7) 4 5 6 0m 6c k (8) 4 5 0m 5c k (9) 4 m 4c k (0) 5 6 7 6m c (/ 7) k () 4 5 6 5m c (/ 6) k () 4 5 4m c (/ 5) k () kp (4) p d(6m 6c k ) e (c k ) I d(6m c k ) e (c k ) kp (5) ( k p (6) 4 Z d m c (/ 4) k ) e ( c (/ ) k ) 0. 5 Denklem (6) da Z yük vektörünün zamana göre knc ntegraldr.. YÖNTEMİN DOĞRULUK VE STABİLİTE ANALİZİ Nümerk br çözüm yöntemnn geçerl olablmes çn aşağıda verlen üç şarta sahp olması gerekr (Chopra, 007). ) Stablte: Çözüm yöntem nümerk hataları olsa dah stabl olmalıdır. Elde edlen sonuçlar gerçek davranıştan uzak olmamalıdır. ) Yakınsama: Zaman adımı aralığı azaldıkça elde edlen sonuçlar analtk çözüme yaklaşmalıdır. ) Doğruluk: Yöntemden elde edlen sonuçlar analtk çözüme olabldğnce yakın olmalıdır. Yukarıda verlmş olan üç şart nümerk çözüm yöntemnn geçerllğn belrler. İknc şart genellkle tüm nümerk çözüm yöntemlernde sağlanır. Üçüncü şart se yapılan kabuller veya sonlu farklar yöntem kullanılan termlern sayısı le yakından alakalıdır. Şekl (), sönümsüz serbest ttreşm yapan br sstemn yer değştrme zaman grafğn göstermektedr. Önerlen yöntem dğer yöntemlere göre analtk çözüme daha yakındır. Wlson yöntemnde se hareket genlğ zamanla azalmıştır. Sstemde fzksel sönüm olmadığı halde Wlson yöntemnden elde edlen sonuçlar zamanla genlk kaybetmştr. Bu duruma nümerk sönüm adı verlr. Stablte se çözüm yöntemnn yaklaşım operatörü olarak tanımlanan A matrsnn en büyük özdeğer le lşkldr. 5
Yer değştrme. Türkye Deprem Mühendslğ ve Ssmoloj Konferansı 5-7 Eylül 0 MKÜ HATAY 0.8 0.6 u()=, v()=0; t/tn=0.05 0.4 0. 0-0. -0.4-0.6-0.8-0 0.5.5.5.5 4 Zaman (s) Önerlen yöntem Analtk Newmark ortalama vme Newmark lneer vme Wlson =.4 Şekl. Analtk çözümü cos( t) olan br sstemn farklı yöntemlere göre elde edlen yer değştrme grafğ Nümerk ntegrasyonun doğruluğu genellkle, yükleme, sstemn fzksel parametreler ve zaman adımına bağlıdır (Wlson ve Bathe, 97). Zaman aralığı küçüldükçe çoğu yöntem analtk çözüme yaklaşır. Ancak büyük zaman adımı aralıklarında se ıraksama meydana geleblr. Sönümsüz serbest ttreşm yapan br sstem düşünüldüğünde her br peryot değernde elde edlen yer değştrme değer hareketn genlk değerne eşt olmalıdır. Ancak zaman aralığı büyürse bu genlk değernden farklı br değer elde edlr. Bu durum se genlk azalması olarak adlandırılır. Şekl 4. Farklı yöntemlern genlk azalması değerler Sönümsüz serbest ttreşm yapan br sstemde yer değştrme değerler her br peryot anında maksmum değerne ulaşır. Örneğn; analtk çözümü cos( t ) olan br sstemde her sanye ve katlarında yer değştrme 6
. Türkye Deprem Mühendslğ ve Ssmoloj Konferansı 5-7 Eylül 0 MKÜ HATAY değer br olmalıdır. Eğer bu maksmum yer değştrmeye peryot anından daha farklı br anda ulaşılırsa bu durum peryot uzaması olarak adlandırılır. Şekl 5. Farklı yöntemlern perod uzaması değerler Şekl 4 ve 5 te peryot uzaması ve genlk azalması şematk olarak gösterlmştr. PE peryot uzaması ve AD genlk azalmasını temsl eder. Yöntemn stabltesnn araştırılması çn tek serbestlk derecel sönümsüz serbest ttreşm yapan sstem düşünülmüştür ve yaklaşım operatörü elde edlmştr. u u A u u (7) Denklem (7) de A matrs (yaklaşım operatörü) le. adımdak yer değştrme ve hız değerler çarpılırsa br sonrak adımdak değerler doğrudan bulunablr. Burada A matrsnn her br elemanı zamandan bağımsız, sabt br değerdedr. Stablte analz çn A matrsnn öz değerlernden yararlanılır. Eğer A matrsnn en büyük öz değer den büyük se elde edlen sonuçlar gderek artacak ve kontrol edlemez değerlere ulaşılır. Eğer A ) max(, ) olarak fade edlrse, stabl değerler elde etmek çn ( A) olmalıdır. Bunun ( sağlanmadığı durumlarda se elde edlen sonuçlar her br döngüde artarak büyür. Eğer herhang br nümerk çözüm yöntem lm, ( A) şartını sağlarsa yöntem her koşulda dengel olarak adlandırılır. Bu şart sağlanmaz se yöntem koşullu dengel olarak adlandırılır. 7
Spektral yarıçap. Türkye Deprem Mühendslğ ve Ssmoloj Konferansı 5-7 Eylül 0 MKÜ HATAY 4 =0.5.5.5 0.5 0 0.5.5.5 t/t n Önerlen yöntem Newmark lneer vme Newmark ortalama vme Ravaz vd. (007) Şekl 6. Farklı yöntemlern spektral yarıçap değerlernn zaman aralığına bağlı gösterm Şekl 6 da Newmark yöntemler ve önerlen yöntemn spektral yarıçap değerler ( (A) ) gösterlmştr. Şeklde gösterldğ gb Newmark lneer vme yöntem t /Tn oranının 0.55 den büyük olduğu durumlarda ıraksama gösterecek ve anlamsız sonuçlar verecektr. Newmark lneer vme yöntem, ortalama vme yöntemnden daha doğru sonuçlar vermesne karşın bu özellğnden dolayı bazı analzlerde terch edlmez. Önerlen yöntemde se.0 t / Tn. aralığında yerel stablte bozukluğu vardır. t / Tn. 07 olduğu durumlarda se stablte tamamen bozulmuştur. Ancak bu oran lneer vme yöntemne göre çok daha büyüktür. 4. SONUÇLAR Önerlen yöntem özellkle genş zaman aralıklarında klask yöntemlere üstünlüğü mevcuttur. Yöntemn peryot uzaması ve genlk azalması değer 0 t / Tn 0. 5 aralığında karşılaştırılan yöntemlere göre çok çok azdır. Yöntem tek adımda hesap yapmaktadır. Yerel stablte bozukluğu mevcut olmasına rağmen stabl olduğu aralıklar dğer yöntemlere göre çok genştr. 8
. Türkye Deprem Mühendslğ ve Ssmoloj Konferansı 5-7 Eylül 0 MKÜ HATAY KAYNAKLAR Chopra, A. (007). Dynamcs of Structures: Theory and Applcatons to Earthquake Engneerng, rd ed., Prentce-Hall, Upper Saddle Rver, New Jersey. Newmark, N. M..(959) A method of computaton for structural dynamcs, Journal of the Engneerng Mechancs Dvson, 85:, 67 94. Wlson E.L., Farhoomand I., Bathe K.J. (97), Non-lnear Dynamcs analyss of complex structures, Earthquake Engneerng and Structural Dynamcs, :, 4-5. Kontoe, S., (006) Development of tme ntegraton schemes and advenced boundary condtons for dynamc geotechncal analyss,(ph.d.), Imperal college of scence, technology and medcne,london Razav, S. H., Abolmaal, A., Ghassemeh, M., A. (007). Weghted resdual parabolc acceleraton tmentegraton method for problems n structural dynamcs, Computatonal Methods n Appled Mathematcs,7:, 7 8. Bathe, K. J.,Wlson, E.L. (97). Stablty and Accuracy Analyss of Drect Integraton Methods, Internatonal Journal of Earthquake Engneerng and Structural Dynamcs, :, 8 9. Humar, J. L.(00). Dynamcs of Structures, nd edn, A, A. Balkema Publshers n Lsse, Exton, PA. 9