BULANIK SAYI DİZİLERİ VE İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI

T.C. FIRAT ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BULANIK SAYI DİZİLERİ VE İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI Muammed ÇINAR TEZ YÖNETİCİSİ Pof. D. Miail ET YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI ELAZIĞ-2007

TEŞEKKÜR Bu çalışmamı azılaması süecide baa yadımcı ola bilgi ve tecübeleide e zama yaaladığım saygı değe ocam Pof. D. Miail ET e üzeimdei emeleide dolayı ço teşeü ede, saygıla suaım. Ayıca egi bilgi ve biiimide yaaladığım yüse lisas eğitimim boyuca yaımda ola, desteğii içbi zama esigemeye değeli ocalaım Yd. Doç. D. Yavuz ALTIN a ve D. Hıfsı ALTINOK a teşeü sumayı bi boç biliim. Muammed ÇINAR I

İÇİNDEKİLER TEŞEKKÜR...I İÇİNDEKİLER... II ŞEKİLLER LİSTESİ... III SİMGELER LİSTESİ...IV ÖZET... V ABSTRACT...VI. GENEL KAVRAMLAR..... Temel Taımla....2. İstatistisel Yaısalı... 5.3. Lacuay İstatistisel Yaısalı... 7 2. BULANIK KÜMELER VE BULANIK SAYI DİZİLERİ... 9 2.. Bulaı Kümele... 9 2.2. Bulaı Sayıla... 2.3. Bulaı Sayı Dizilei ve İstatistisel Yaısalığı... 6 2.4. Bulaı Sayı Dizileii Heme Heme Lacuay İstatistisel Yaısalığı... 22 KAYNAKLAR... 3 II

ŞEKİLLER LİSTESİ Şeil.. İi ümei bibiie uzalılaı... 4 Şeil 2.. (X ) bulaı sayı dizisii X 0 bulaı sayısıa yaısaması... 7 Şeil 2.2. (X ) bulaı sayı dizisii X 0 bulaı sayısıa istatistisel yaısaması... 9 Şeil 2.3. İstatistisel yaısa olmaya, aca sıılı ola bi bulaı sayı dizisi... 20 Şeil 2.4. Yaısa olmaya, aca istatistisel yaısa bi bulaı sayı dizisi... 2 III

SİMGELER LİSTESİ : Doğal sayıla ümesi : Reel sayıla ümesi : -boyutlu Ölid Uzay : Komples sayıla ümesi : Lacuay dizi L( ) : Bulaı sayıla ümesi A α : A bulaı ümesii α-esimi.. : eme eme e IV

ÖZET Yüse Lisas Tezi BULANIK SAYI DİZİLERİ VE İSTATİSTİKSEL YAKINSAKLIĞI Muammed ÇINAR Fıat Üivesitesi Fe Bilimlei Estitüsü Matemati Aabilim Dalı 2007, Sayfa: 32 İi bölümde oluşa bu çalışmaı il bölümüde, daa soai bölümde ullaılaca ola bazı taım ve teoemle veilmiş ve istatistisel yaısalığı bazı özellilei icelemişti. İici bölümde bulaı üme, bulaı sayı ve bulaı sayı dizisi avamlaı veildite soa bulaı sayı dizileii istatistisel yaısalığı ve eme eme lacuay istatistisel yaısalığı icelemişti. Aata Kelimele: Bulaı üme, Bulaı sayı, Bulaı sayı dizisi, İstatistisel yaısalı, Lacuay dizisi V

ABSTRACT Maste Tesis SEQUENCES OF FUZZY NUMBERS AND THEİR STATİSTİCAL CONVERGENCE Muammed ÇINAR Fıat Uivesity Gaduate Scool of Sciece ad Tecology Depatmet of Matematics 2007, Page: 32 I te fist capte of tis tesis tat cosists of two captes, we give some fudametal defiitios ad teoems wic will be used i te ext capte ad examie some popeties of statistical covegece. I te secod capte we give te cosepts of fuzzy set, fuzzy umbe ad te sequeces of fuzzy umbe ad ivestigate tat statistical covegece ad almost lacuay statistical covegece of te sequeces of fuzzy umbe. Key Wods: Fuzzy set, Fuzzy umbe, Sequece of fuzzy umbes, Statistical covegece, Lacuay sequece, VI

. GENEL KAVRAMLAR.. Temel Taımla Taım... X bi üme ve K omples sayıla cismi olma üzee; + :X X X,.:K X X fosiyolaı aşağıdai özellilei sağlıyosa, X ümesie K sale cismi üzeide bi vetö uzayı (liee uzay) adı veili. He x, y, z X ve e λ, µ K içi i) x+y=y+z ii) iii) iv) (x+y)+z=x+(y+z) He x X içi x+ = x olaca şeilde bi X vadı. He bi x X içi x+(-x)= olaca şeilde bi (-x) X vadı. v) x = x vi) vii) λ(x+y)=λx+λy (λ+µ).x=λx+µx viii) λ(µx)=(λµ)x [] Taım..2. X boş olmaya bi üme olsu. He x, y, z X içi i) d(x,x) 0 ii) iii) iv) d(x,y)=0 x=y d(x,y)=d(y,x) d(x,z) d(x,y)+d(y,z) özellileie saip d: X X fosiyoua meti ve (X,d) iilisie de meti uzay dei []. Taım..3. X, K cismi üzeide bi liee uzay olsu. +.:X x x

döüşümü aşağıdai şatlaı sağlıyosa bu döüşüme bi om ve ( X,. ) iilisie de bi omlu uzay dei. x,y X içi N) x 0 N2) x = 0 x = N3) ax = α x (α sale) N4) x+ y x + y (N3) şatı p>0 olma üzee bi p-omlu uzay dei [2]. αx p = α x şatı ile değiştiilise bu tatide X e Taım..4. Bi (X,d) meti uzayıda e Caucy dizisi yaısa ise bu meti uzaya tam meti uzay dei [2]. Taım..5. Bi ( X,. ) omlu uzayı tam ise, yai bu uzayda alıa e Caucy dizisi bu uzayı bi otasıa yaısıyosa bu omlu uzaya Baac uzayı dei [2]. Taım..6. Komples teimli bütü x=(x ), (=,2,3 ) dizileii ümesii w ile gösteeceğiz. x=(x ), y=(y ) ve α bi sale olma üzee; x+y=(x )+(y ) ax=(ax ) şelide taımlaa işlemle altıda w bi liee uzaydı. w ı e alt uzayıa bi dizi uzayı dei [2]. Taım..7. Bi X vetö uzayıı bi Y alt ümesi veilsi. Eğe y, y 2 Y olduğuda oluyosa Y alt ümesi ovesti dei [2]. { λ ( λ ) λ 2 } M = y Y:y= y + y,0 Y Taım..8. Bi A ümesii e açı ötüsüü solu bi alt ötüsü vasa A ya ompat üme dei, A ümesi ompat ise e A açı ötüsüü solu sayıda, öeği 2

tae, açı ümede oluşa bi { A A : i,...,} yazılabili [3]. i = alt sııfı vadı ve A A i= i Taım..9. X bi dizi uzayı olsu. X bi Baac uzayı ve τ τ ( x ) = x ( =,2,3... ) :X, döüşümü süeli ise X e bi BK-uzayı dei [4]. Taım..0. (Miowsi Eşitsizliği) i) p ve =,2,, içi a,b 0 ise p p p p p p a + b a + b = = = eşitsizliği sağlaı []. ii) 0< p olsu. α, β K (i=,2,,) olma üzee; i i p p p α + β α + β i i i i i= i= i= Taım... (Hölde Eşitsizliği) <p,q< ve + = p q ( )( ) α, β K K =, i =,2,..., i i olma üzee olsu. p p q α. β α. β i i i i i= i= i= q eşitsizliği sağlaı []. Taım..2. (p ) esi pozitif eel sayılaı sıılı bi dizisi ve H=sup p olsu. Bu tatide D=max(,2 H- ) ve a, b olma üzee eşitsizliği sağlaı [5]. { } p p p a + b D a + b (..) 3

Taım..3. (Hausdoff Metiği) (X,d) bi tam meti uzay olsu. X i boş olmaya bütü ompat alt ümeleii sııfıı η(x) ile gösteelim. A,B η(x) ümelei içi A ümesii B ümesie uzalığı d(x,b)= if d(x,y) olma üzee y B d( A,B) = supd( x,b) şelide taımlaı. A ve B ümelei içi geellile d( A,B) d( B,A) dı (Şeil.). x A Şeil.. İi ümei bibileie uzalılaı Buada d(a,a)=0 olduğu açıtı. A, B, C η(x) ümelei içi d( A,B) d( A,C ) + d(c,b) bağıtısı sağlaı. Geçete, e z C otası içi x A y B x A y B x A y B [ ] d( A,B ) = supif d( x,y ) supif d( x,z ) + d( z,y ) sup d( x,z ) + if d( z, y ), z C yazılabili. Bu bağıtı sağ taaftai e ii teimde de C ümesii e z otasıı yeleştidiğimizde geçeli olduğua göe biici teimde d(x,z) uzalığıı miimum, iici teimde ise d(z,y) uzalığıı masimum yapa z otalaıı ullaısa; d( A,B) supif d( x,z ) + supif d( z,y ) = d( A,C ) + d(c,b ) x A z C z C y B buluuz. + Şimdi η(x)üzeide bi : η(x ) η(x ) { 0} A,B η (X) içi; { } fosiyouu e ( A,B ) = max d( A,B ),d( B, A ) (..2) 4

şelide taımlayalım. Bu fosiyo η(x) üzeide meti şatlaıı sağla. Yai bu üme fosiyou geçete bi meti olup Hausdoff metiği adıı alı [3]..2. İstatistisel Yaısalı İstatistisel yaısalı avamı Fast [6] ve Scoebeg [7] taafıda bibileide bağımsız olaa veilmişti. O zamada bei istatistisel yaısalı, falı isimle altıda Fouie aaliz, egodic teoi ve sayıla teoiside ullaılmıştı. He ii aaştımacı taafıda sıılı istatistisel yaısa bi dizii Cesao toplaabili olduğu ifade edilmişti. Daa soa istatistisel yaısalı, Fidy [8], Salat [9], Coo [0], Musalee [], Tipaty [2], Savaş [3], Fidy ve Oa [4] gibi biço matematiçi taafıda çalışılmıştı. So zamalada, uvvetli itegal toplaabilmede ve loal ompat uzayla üzeidei sıılı süeli fosiyolaı idealleii yapısıda istatistisel yaısalığı geelleştiilmesi göülmetedi. Taım.2.. K olma üzee bi K ümesii doğal yoğuluğu şelide taımlaı. Buada { } elemalaıı sayısıı göstemetedi [5]. δ(k) = lim : K { } : K ifadesi K ümesii de büyü olmaya Eğe δ (K) = 0 ise K ümesie sıfı yoğululu üme dei. Taım.2.2. Heagi bi x=(x ) dizisii teimlei bi P özelliğii sıfı yoğululu bi üme dışıda bütü la içi sağlıyosa, (x ) dizisi eme eme e içi P özelliğii sağlıyo dei... biçimide gösteili [8]. Doğal yoğulu avamıda faydalaaa istatistisel yaısalı taımı aşağıdai gibi veili. Taım.2.3. x=(x ) omples teimli bi dizi olma üzee, e ε>0 içi lim { : x L ε} = 0 veya.. içi x L < ε olaca şeilde bi L sayısı vasa x=(x ) dizisi L sayısıa istatistisel yaısatı dei ve S-limx =L veya x s L biçimide gösteili. 5

İstatistisel yaısa dizilei uzayı S ile gösteili. Eğe özel olaa L=0 ise x=(x ) dizisie istatistisel sıfı dizisi dei. İstatistisel yaısa sıfı dizileii ümesi S 0 ile gösteili. Bua göe; ve şelide taımlıdı. S = x= ( x ):lim { : x L ε} = 0 S = x = ( x ): lim { : x ε} = 0 0 Açıça göüleceği gibi yaısa e dizi istatistisel yaısatı. Yai limx =L ise S-limx =L di, faat buu tesi doğu değildi. Geçete, x 2, = m, m =,2,... = 0, m 2 şelide taımlamış x=(x ) dizisii göz öüe alalım. He ε>0 içi; olduğuda { ε } { } : x :x 0 lim { : x 0} lim = 0 elde edili. Bu S-limx =0 olduğu alamıa geli. Aca (x ) yaısa değildi. Diğe taafta istatistisel yaısa bi dizi sıılı olma zouda değildi. Yai ve S uzaylaı bibileii apsamazla, aca ota elemalaı vadı. Geçete x 2, = m, m =,2,... = 2, m şelide taımlaa x=(x ) dizisi içi S-limx = di, aca x di. x=(,0,,0, ) dizisi sıılıdı, aca istatistisel yaısa değildi. 6

Bi dizi istatistisel yaısa ise istatistisel limiti teti, yai S-limx =L, S-limx =L 2 ise L =L 2 di. Taım.2.4. Bi x=(x ) omples teimli dizisii göz öüe alalım. ε > 0 veilsi. Eğe.. içi x x < ε olaca şeilde bi N=N(ε) doğal sayısı vasa yai, N lim { : x x ε} = 0 N ise x=(x ) dizisie istatistisel Caucy dizisi dei [8]. Teoem.2.5. S-limx =a, S-limy =b ve c bi eel sayı olsu. Bu tatide i) S-limcx =ca ii) S-lim(x +y )=a+b di [6]. Bu teoeme göe istatistisel yaısa dizilei ümesi bi liee uzay olu. Teoem.2.6. Aşağıdai öemele deti. i) x dizisi istatistisel yaısatı, ii) x dizisi istatistisel Caucy dizisidi, iii).. içi x =y olaca şeilde yaısa bi y=(y ) dizisi vadı [8]..3. Lacuay İstatistisel Yaısalı Taım.3.. = ( ), pozitif tamsayılaı ata bi dizisi olsu. 0 =0 olma üzee içi = - - ise = ( ) dizisie lacuay dizi dei. = ( ) dizisi taafıda belilee aalıla I = (, ] ile gösteileceti. Lacuay dizileide x = i i= + i I x i olaa alıaca ve q = olacatı. Taım.3.2. Heagi bi = ( ) lacuay dizisi içi 7

lim x L = 0 I olaca şeilde bi L sayısı vasa (x ) dizisi L sayısıa uvvetli lacuay yaısatı dei ve uvvetli lacuay yaısa dizilei ümesi dı. N ile gösteili yai N = = 0 x=(x ):lim x -L I N uzayı x = sup x I omu ile bi BK-uzayıdı [6]. Lacuay istatistisel yaısalı, Fidy ve Oa [4] taafıda aşağıdai gibi taımlamıştı. Taım.3.3. = ( ) bi lacuay dizi olsu. Eğe e ε>0 içi; lim { I : x L ε} = 0 ise x=(x ) dizisi L sayısıa lacuay istatistisel yaısatı dei. Eğe x=(x ) dizisi bi L sayısıa lacuay istatistisel yaısa ise bu S - limx =L veya x L(S ) biçimide gösteili. Lacuay istatistisel yaısa dizilei uzayı S ile gösteili, yai; dı. Teoem.3.4. = ( ) S = x = ( x ): lim { I : x L ε} = 0 bi lacuay dizi olsu. Bu duumda i) x L( N ) ise x L( S ) ii) x ve x L( S ) ise x L( N ) di [4]. iii) S = N 8

2. BULANIK KÜMELER VE BULANIK SAYI DİZİLERİ Bu bölümü il ısmıda bulaı ümei taımıı ve bu ümei bi soai ısımda taımı yapılaca ola bulaı sayı taımıda ullaılaca bazı özellileii veeceğiz. İici ısımda bulaı sayıla aasıdai bazı cebisel işlemlede ve bu sayılaı oluştuduğu L( ) bulaı sayıla ümesii üzeide taımlaa metiği yapısıda basedeceğiz. Üçücü ısımda ise bulaı sayı dizileii ve bu dizilei istatistisel yaısalığı avamı aıda ısa bi bilgi suacağız. Bu ısımda ayıca, eel sayı dizileide taımlaa istatistisel yaısalı ve sıılılı avamlaıı bulaı sayı dizilei baımıda aşılılaıı ifade etme içi açılayıcı öele eleyeceğiz. Dödücü ısımda ise bulaı sayılaıı eme eme lacuay istatistisel yaısalığı avamıda basedeceğiz. 2.. Bulaı Kümele Bulaı ümeyi taımlamada öce bi ümei aateisti fosiyouu taımlama geei. Bi A ümesii aateisti fosiyo aşağıdai gibi taımlaı. Taım 2... X eagi bi üme ve A, X i bi alt ümesi olsu. Bu duumda şelide taımlaa f : X A, x A ise f(x) = A 0, x A ise fosiyoua A ümesii aateisti fosiyou dei. Bua göe X i bi A alt ümesii aateisti fosiyo yadımıyla şelide de taımlayabiliiz. { } A= x X : f (x) = Kaateisti fosiyou ullaaa X i eagi bi elemaıı A ümesii elemaı olup olmadığıı esi olaa alayabiliiz. Taım 2..2. χ, elemalaı x ile gösteilmiş bi esele ümesi olsu. χ ümeside bi A bulaı ümesi χ dei e bi otayı [0, ] aalığıdai bi eel sayıya aşılı getie bi X A (x) aateisti fosiyou ile aateize edili [7]. A 9

χ dei bi A bulaı ümeside basedilie X : [ 0,] aateisti fosiyo daima mevcuttu. Bu fosiyo A χ şelide bi x A içi X ( x ) ( 0, ],x A içi X (x) = 0 biçimide taımlaabili. Bu şeilde taımlamış aateisti A fosiyoa buda soa üyeli fosiyou diyeceğiz. Üyeli fosiyou taımıda yaalaaa bi A bulaı ümesii { χ ( 0 A ]} A= x : X (x), şelide taımlayabiliiz. Buada X A (x) i değei A bulaı ümesidei x otasıı üyeli deecesii göstemetedi. Bua göe X A (x) i e yaı değei, A bulaı ümesidei x i e yüse üyeli deecesidi. Eğe A ümesi lasi alamda bi üme ise üyeli fosiyou sadece 0 ve değeleii alı. Buada X A (x)= veya X A (x)=0 olması x i A ya ait olması veya olmaması demeti. Bua göe X A (x), A ümesii bilie aateisti fosiyoua idigemiş olu. Taım 2..3. Bi A bulaı ümesii omal olması içi gee ve yete şat X(x 0 )= olaca şeilde e az bi x0 χ olmasıdı. Kovesli avamı, lasi ümeledei pe ço özelli ouaca şeilde bulaı ümelee geişletilebili. Bu avam, bulaı sayı taımıı yapabilme içi geeli ola öemli özellilede biisidi. Kovesliği taımıı vemede öce A α ile gösteile A ı α-esimii şelide taımlayalım [7]. { χ α} α A x : X (x) A = Bu taımı bezei ola ve bulaı ümelede sı ullaıla Deste avamıı şu şeilde taımlayabiliiz. Taım 2..4. A bi bulaı üme olsu. A ı desteği, üyeli deecesi sıfı olmaya tüm otalaı ümesidi yai dı [7]. { χ } sup p( A ) = x : X ( x ) > 0 A A 0

Taım 2..5. χ, boyutlu boyutlu Ölid uzayı olsu. Bi A bulaı ümesii oves olması içi gee ve yete şat e α ( 0, ] içi A α olmasıdı [7]. Kovesliği diğe bi taımı ise şöyle veilebili. ümesii oves Taım 2..6. Bi A bulaı ümesii oves olması içi gee ve yete şat e λ [ 0, ] ve e x,x χ içi 2 ( λ + ( λ) ) { ( ) ( )} X x x mi X x,x x A 2 A A 2 eşitsizliğii sağlamasıdı. Bu taımda X A (x) i x e bağlı bi oves fosiyo olduğu alaşılmalıdı [7]. 2.2. Bulaı Sayıla Bulaı sayı avamıı taımlamada öce eel aalı avamıı taımlayalım. Taım 2.2.. a ve b ii eel sayı olma üzee { x :a x b} şelide taımlaa eel sayı ümesie apalı bi aalı dei. A bi aalı olma üzee bu aalığı uç otalaıı A ve A ile gösteeceğiz. Yai A= A,A şelide bi gösteim ullaacağız. Ayıca bi [α, α] aalığıı a eel sayısıa aşılı getieceğiz. A ve B yuaıdai şeilde taımlamış ii aalı olma üzee eel sayıla içi taımlamış ola ve < sıalama bağıtılaıı aalıla içi aşağıdai gibi geişletebiliiz: A B A B ve A B A< B A< B ve A< B A= A,A ve B = B,B olma üzee; A,A + B,B = + + A B,A B şelide taımlaı. Bua göe ii aalığı toplamı yie bi aalıtı.

A ve B aalılaı aasıdai çıama işlemi de şelide taımlaı. A,A B,B = A B,A B Reel sayıla doğusu üzeidei bütü apalı ve sıılı A,A aalılaıı ümesii D ile gösteelim. Heagi A, B D içi d( A,B) = max( A B, A B ) şelide taımlamış bi d fosiyouu D üzeide bi meti taımladığı ve (D, d) i de bi tam uzay olduğu olayca gösteilebili [8]. Ayıca bağıtısı D üzeide ısmi sıalama bağıtısıdı. Taım 2.2.2. Bi eel bulaı sayısı aşağıdai şatlaı sağlaya bi X : [ 0,] fosiyoudu. i) X omaldi, yai X(x 0 )=olaca şeilde bi x 0 mevcuttu, ii) X bulaı ovesti, yai eagi x,y ve 0 λ içi eşitsizliği sağlaı, ( λ + ( λ) ) { } X x y mi X(x),X( y) iii) X üst-yaı-süelidi, 0 iv) X = ( x : X(x) > 0) ümesii apaışı ompattı [9]. Tüm eel bulaı sayıla ümesii L( ) ile gösteeceğiz. L( ) ümeside α-esim ümelei içi bazı aitmeti işlemle şu şeilde taımlaı. ve ( ) X,Y L bulaı sayılaıı toplamı ve faı sıasıyla ( X + Y)( x) = supmi{ X ( y ),Y( z )} x= y+ z 2

{ } ( X Y)( x) = supmi X ( y ),Y( z ) x= y z şelide taımlaı. X ve Y gibi ii bulaı sayısıı α-esim ümeleie göe toplamı ve faı ise şu şeilde taımlaı. X,Y ( ) α α α [ X ] X,X ve [ ] = α α α = L ve bulaı α-esim ümelei α [0,] içi Y Y,Y olsu. Bu tatide; [ ] α α α α α X + Y = X + Y,X + Y, [ ] α α α α α X Y = X Y,X Y, di. + Bi X bulaı sayısıı bi eel sayısıyla çapımı da [ ] α α α α α.a =,. X,X =.X,.X şelidedi. He bi eel sayı edisii aateisti fosiyouyla ifade edilebili. Ayıca bulaı sayıı taımıa göe e bi aateisti fosiyo bi bulaı sayı olu. Yai içi L( ) bulaı sayısı, x = ise ( x ) = 0, x ise şelide taımlaı. Böylece e eel sayı içi [,] = şelide bi gösteim vadı. Bu düşücede aeetle eel sayıla ümesi, L( ) bulaı sayıla ümesie gömülebili [20]. Bulaı sayıla ümesi üzeidei sıalama bağıtısı, eel aalıla aasıdai sıalama bağıtısıa bezeli göstei. X,Y L( ) içi ısmi sıalama bağıtısı şelide taımlaı [2]. [ ] α α X Y α 0, içi X Y ve X Y α α 3

Taım 2.2.3. A L( ) ümesi veilsi. He X A bulaı sayısı içi X U olaca şeilde bi U bulaı sayısı vasa A ümesie üstte sıılıdı ve U bulaı sayısıa da A ümesii bi üst sııı dei. Eğe A ümesii e µ üst sııı içi U µ ise U bulaı sayısıa A ümesii e üçü üst sııı (supemumu) dei. Bi üme içi altta sıılılı ve ifimum avamlaı da beze şeilde taımlaı [22]. olma üzee L( ) üzeide Hausdoff metiği olaa bilie meti, ( L,d) şelide taımlaı. ( ) mutla değe metiğie idigei. α α α α α α ( ) = ( ) d X,Y max X Y, X Y ( ) L( ) α α ( ) = ( ) d:l d X,Y supd X,Y 0 α bi tam meti uzaydı [23]. Bu meti, üzeidei C( ), ölid uzayıı boş olmaya, ompat ve oves alt ümeleii ailesii göstesi. Bu tatide C( ) üzeide toplama ve salee çapma e A, B C( ) içi; ve e A C( ) ve λ içi A + B= { z:z = x+ y, x A ve y B } { λ } λa= z:z = x,x A şelide taımlaı. Buadai toplama ve çapma işlemlei C( ) üzeide bi liee yapı üeti. A ve B ümelei aasıdai uzalı δ ( A,B) = max{ supif a b,supif a b } b B a A a A b B 4

Hausdoff metiğiyle taımlaı. Buada. sembolü ile dei alışılmış Ölid omu (,δ ) gösteilmetedi. C ( ) uzayıı bi tam meti uzay olduğu bilimetedi [23]. Bi bulaı sayıı taımı aşağıdai biçimde geelleştiilebili. Taım 2.2.4. -boyutlu Ölid uzayı üzeidei bi bulaı sayı aşağıdai şatlaı sağlaya bi X : [ 0,] fosiyoudu: i) X omaldi, yai X(x 0 )= olaca şeilde e az bi x 0 mevcuttu, ii) X bulaı ovesti, yai eagi x,y ve 0 λ içi ( λ + ( λ) ) { ( ) ( )} X x y mi X x,x y eşitsizliği sağlaı, iii) X üst-yaı-süelidi iv) X 0 = { x : X ( x) > 0} ümesii apaışı ompattı. üzeidei bütü bulaı sayılaı ümesi ( ) 0 α L ile gösteili. içi X α esim ümesii göz öüe alalım. Taımıda, X α C( ) olduğu açıtı. L( ) dei toplama ve sale ile çapma X,Y L( ) olma üzee; şelide taımlaı. ve Şimdi, e bi q< içi α α α [ X + Y] = X + Y ve [ X ] α = X q q α α dq ( X,Y) = δ ( X,Y ) da 0 0 α α α ( ) d = supδ X,Y metileii taımlayalım. q s içi d q d s olma üzee α ve 5

( C,d ) q olduğu açıtı. ( ) edili. ( ) = ( ) d X,Y limd X,Y q meti uzayı tamdı [24]. Buda soai ısımlada d q yeie d otasyou ullaılacatı. Açıça = içi L( ) ümeside, L( ) ve üzeide taımlı meti elde 2.3. Bulaı Sayı Dizilei ve İstatistisel Yaısalığı Taım 2.3.. Bulaı sayılaıı bi X = ( X ) dizisi, doğal sayıla ümeside L( ) içie taımlı bi X fosiyoudu. Bu duumda e bi pozitif tamsayısıa bi X() bulaı sayısı aşılı geli. Buda soai bölümlede X() yeie X yazacağız [25]. Taım 2.3.2. X L 0 ( ) omşuluğu d( X,X0 ) ε q ve ε > 0 veilsi. Bua göe X 0 bulaı sayısıı ε- < olaca şeilde bütü X bulaı sayılaıı ümesidi. Bi X 0 bulaı sayısıı ε-omşuluğu K( X,ε 0 ) ile gösteili [25]. Taım 2.3.3. X = ( X ) bi bulaı sayı dizisi olsu. He ε > 0 sayısı içi > N ie d( X,X 0) < ε olaca şeilde bi N sayısı mevcut ise (X ) dizisi yaısatı ve limiti X 0 dı dei. Bu duumda lim X = X yazılı. Eğe limx 0 mevcut değilse (X ) dizisi ıasatı dei [25]. Öe 2.3.4. 2 3 3 2 x +, x,4 ise + 2 + 2 5+ 2 5+ 2 X ( x ) = x, x 4, ise + 2 2 + + 0, diğe duumlada şelidei X=(X ) bulaı sayı dizisii göz öüe alalım. Bu dizii limiti [ ] [ ] x 3, x 3,4 ise X 0 ( x) = x + 5, x 4,5 ise 0, diğe duumlada 6

di (Şeil 2.). Tüm yaısa bulaı sayı dizileii ümesii c(f) ile gösteeceğiz. Şeil 2.. (X ) bulaı sayı dizisii X 0 bulaı sayısıa yaısaması Teoem 2.3.5. Yaısa bi X= (X ) bulaı sayı dizisii limiti teti [25]. Teoem 2.3.6. X= (X ) ve Y= (Y ) bulaı sayı dizileii limitlei sıasıyla X 0 ve Y 0 olsu. Bu duumda aşağıdai özellile sağlaı [25]. i) ( ) lim X + Y = X + Y ii) ( ) 0 0 lim X Y = X Y iii) ( ) 0 0 lim X.Y = X.Y 0 0 X X 0 iv) lim = Y Y 0 (Eğe bütü la içi 0 sup py ve 0 sup py ) 0 Taım 2.3.7. He ε > 0 içi,m > N olduğuda d( X,X ) m < ε olaca şeilde pozitif bi N tamsayısı mevcutsa X= (X ) bulaı sayı dizisie bi Caucy dizisi dei [25]. Reel sayı dizileide olduğu gibi yaısa e bulaı sayı dizisi ayı zamada bulaı Caucy dizidi. Taım 2.3.8. He sayısı içi L X U olaca şeilde L ve U bulaı saılaı mevcut ise X= (X ) bulaı sayı dizie sıılıdı dei [25]. Bütü sıılı bulaı sayı dizileii ümesii ( F ) ile gösteeceğiz. Teoem 2.3.9. Yaısa e bulaı sayı dizisi sıılıdı [25]. 7

Taım 2.3.0. Bi X= (X ) bulaı sayı dizisii ve doğal sayılaı ata bi { } dizisii göz öüe alalım. Bu duumda ( ) X dizisie ( ) X dizisii bi alt dizisi dei [25]. Teoem 2.3.. Yaısa bi X= (X ) bulaı sayı dizisii e alt dizisi de yaısatı ve alt dizii limiti X= (X ) dizii limiti ile ayıdı [25]. Reel sayı dizileii istatistisel ve uvvetli Cesáo yaısalığı avamlaı bibileide bağımsız olaa taımlamış ve il otaya çıtığı zamalada güümüze ada bibileide bağımsız bi şeilde ayı ayı olaa geliştiilmeleie devam edilmişti. Buula bilite bu ii taım geel yapı itibaiyle bibileie bezemete olup sıılı dizile içi detile. Reel sayı dizileide istatistisel yaısalı avamı pe ço matematiçi taafıda çalışılmıştı. Bulaı sayı dizileii istatistisel yaısalığı avamı Nuay ve Savaş [26] taafıda taımlamıştı. Daa soa Kwo [27] bulaı sayı dizileii istatistisel yaısalığı ile bulaı sayı dizileii uvvetli Cesáo yaısalığı aasıdai ilişiyi icelemişti. Taım 2.3.2. X=(X ) bi bulaı sayısı olsu. He ε > 0 içi, lim { : d ( X,X 0) ε} = 0 olaca şeilde bi X 0 bulaı sayısı mevcut ise, yai.. içi d( X,X 0) eşitsizliğii sağlaya bi X 0 bulaı sayısı vasa X= (X ) bulaı sayı dizisi X 0 bulaı sayısıa istatistisel yaısatı dei. (X ) dizisi X 0 bulaı sayısıa istatistisel yaısa ise X X ( S 0 ( F) ) yazılı [26]. S( F) ile istatistisel yaısa bulaı sayı dizileii ümesii gösteeceğiz. Özel olaa X = 0 alıısa S 0 ( F ) yeie S0 ( ) F yazacağız. Bilidiği gibi solu bi ümei doğal yoğuluğu sıfıdı. Buda dolayı ( ) S( F) c F göebiliiz. apsaması açıtı. Bu apsamaı esi olduğuu da aşağıdai öete < ε 8

Öe 2.3.3: X= (X ) bulaı sayı dizisii X ( x) [ ] [ ] x, x, + x + + 2, x +,+ 2 = 0, diğe duumlada X 0 ( x) = 3 ise =,2. 3 ise olaca biçimde taımlayalım. Buada olup, e ε 0 içi [ ] [ ] x, x,2 ise X 0 ( x) = x + 3, x 2,3 ise 0, diğe duumlada { : d ( X,X ) ε} 0 { 8,27,64... } ({ ε 0 }) olduğuda δ ( ) istatistisel yaısatı. Aca { :d( X,X 0) ε} :d X,X = 0dı. Bu edele X= (X ) dizisi X 0 a dizisi X 0 a yaısa değildi (Şeil 2.2). ümesi solu olduğu içi (X ) Şeil 2.2. (X ) bulaı sayı dizisii X 0 bulaı sayısıa istatistisel yaısaması S(F) ve ( F ) uzaylaı bibileii apsamazla. Yuaıdai öete veile X=(X ) bulaı sayı dizisii göz öüe alalım. Bu dizi istatistisel yaısatı faat sıılı değildi. Şimdi de sıılı olup istatistisel yaısa olmaya bi dizi öeğii veelim. 9

Öe 2.3.4: [ ] [ ] x, x,2 x + 3, x 2,3 te ise 0, diğe duumlada X(x) = x 8, x [ 8,9] x + 0, x [ 9,0] çift ise 0, diğe duumlada şelide taımlaa (X ) bulaı sayı dizisi sıılıdı, aca istatistisel yaısa değildi (Şeil 2.3). Şeil 2.3. İstatistisel yaısa olmaya, aca sıılı ola bi bulaı sayı dizisi Yaısa e bulaı sayı dizisi ayı zamada em istatistisel yaısa em de sıılı olduğuda S( F) ( F) di. Hatta c( F) S( F) ( F) esidi. Buula ilgili bi öe aşağıda veilmişti: apsaması 20

Öe 2.3.5: X= (X ) bulaı sayı dizisii 2 3 3 2 x +, x,4 ise 2 2 + + 5+ 2 5+ 2 x +, x 4, ise X(x) = 2 2 + + 0, diğe duumlada X (x), 0 = 3 ise =, 2 3 şelide taımlayalım. Buada [ ] [ ] x 8, x 8,9 ise X 0 ( x) = x + 0, x 9,0 ise 0, diğe duumlada olup X= (X ) dizisi em sıılıdı, em de X 0 bulaı sayısıa istatistisel yaısatı. Aca bu dizi yaısa değildi (Şeil 2.4.) Şeil 2.4. Yaısa olmaya, aca istatistisel yaısa bi bulaı sayı dizisi Taım 2.3.6. X= (X ) bi bulaı sayı dizisi olsu. Eğe lim d ( X,X 0) = 0 = olaca şeilde bi X 0 bulaı sayısı vasa X= (X ) bulaı dizisi X 0 bulaı sayısıa uvvetli Cesáo yaısatı dei. Kuvvetli Cesáo yaısa bulaı dizileii ümesii w(f) ile gösteeceğiz. Bi başa ifadeyle 2

w( F ) = X = ( X ): lim d ( X,X ) = 0, 0 = e az bi X 0 içi di. X=(X ) bulaı dizi X 0 bulaı sayısıa uvvetli Cesáo yaısa ise 0 ( ( )) X X w F yazacağız [27]. Nuay [28], = ( ) lacuay dizisii ullaaa istatistisel yaısalı avamıı aşağıdai şeilde bulaı sayı dizileie geişletti. Taım 2.3.7. Eğe e ε > 0 içi lim { I : d ( X,X 0) ε} = 0 olaca şeilde bi X 0 bulaı sayısı vasa, X=(X ) bulaı dizisi X 0 bulaı sayısıa lacuay istatistisel yaısatı dei. Bu duumda S lim X = X yazılı. Lacuay 0 istatistisel yaısa dizilei ümesi S ( ) 0 dizilei ümesi ise S ( F) ile gösteili. F ile sıfıa Lacuay istatistisel yaısa 2.4. Bulaı Sayı Dizileii Heme Heme Lacuay İstatistisel Yaısalığı Bu ısımda bulaı sayı dizileii eme eme lacuay istatistisel yaısalığı ve uvvetli eme eme yaısalığı avamlaıı taımlayaca ve bula aasıdai ilişiyi iceleyeceğiz. Bulaı sayı dizileii beze özellilei Altıo [29] ve Altı [30] taafıda veildi. Taım 2.4.. = ( ) bi lacuay dizisi ve X=(X ) bulaı sayılaıı bi dizisi olsu. He ε > 0 içi lim { I : d ( X,X 0) ε} = 0 olaca şeilde bi X 0 bulaı sayısı vasa X= (X ) bulaı sayı dizisi X 0 bulaı sayısıa lacuay eme eme istatistisel yaısa dei. Bu duumda X ˆ X0( S ) veya S ˆ lim x = X yazılı. 0 Bulaı sayılaıı bütü lacuay eme eme istatistisel yaısa dizileii ümesi Ŝ ile gösteili. Özel olaa = (2 ) alıısa Ŝ yeie Ŝ yazılı. 22

Taım 2.4.2. = ( ) bi lacuay dizisi ve p=(p ) pozitif eel sayılaı eagi bi dizisi olsu. Eğe p ( ) lim d X,X = 0 + 0 I olaca şeilde bi X 0 bulaı sayısı vasa X= (X ) bulaı sayı dizisi X 0 bulaı sayısıa eme eme uvvetli lacuay yaısatı dei. Bu duumda X [, ] X0 M p yazılı. [ M, p] bulaı sayılaıı eme eme uvveti lacuay yaısa dizileii ümesii gösteme içi ullaılı. Özel olaa =(2 ) ve p = bütü içi [ M, p] yeie sıasıyla [ AC, p ] ve [ AC] yazılı. Teoem 2.4.3. (X ) ve (Y ) ii bulaı sayı dizisi olsu. Bu tatide İspat: i) Ŝ limx = X ve c ise Ŝ limcx = cx dı. 0 0 ii) Ŝ limx = X ve Ŝ limy Y 0 0 dı [3]. Ŝ lim X + Y = X + Y = ise ( ) 0 0 i) α [0,] ve c olsu. X +i, Y +i, X 0 ve Y 0 ı α seviye ümelei sıasıyla α α α X,Y,X ve Y α olsu. + i + i 0 0 olduğuda elde edili. Buada ( cx α,cx α i 0 ) c ( X α,x α i 0 ) δ = δ + + ( ) = ( ) d cx,cx c d X,X + i 0 + i 0 ε { I : d ( cx,cx i 0) ε} I : d ( cx,cx + + i 0) c yazabiliiz. Böylece Ŝ limcx = cx dı. 0 ii) Kabul edelim i S limx = X 0 taımıda ve S limy = Y 0 olsu. δ metiğii 23

yazılabili. buluu. α α α α α α α α α α α α ( X Y,X Y i i 0 0 ) ( X Y,X Y i i i 0 ) ( X Y,X Y i i 0 0 ) α α α α =δ ( X,X i 0 ) +δ ( Y + Y + + 0 ) δ + + δ + + +δ + + + + + + + + + Miowsi eşitsizliğide Bu edele dı. Böylece ( ) ( + ) ( ) + ( ) d X,Y,X Y d X,X d Y,Y + i + i 0 0 + i 0 + i 0 { I :d ( X + i Y i,x + 0 Y 0) ε + + } { I :d ( X i,x 0) + d ( Y i,y 0) ε + + } ε ε I :d( X,X ) + I :d( Y,Y ) 2 2 + i 0 + i 0 S lim X + Y = X + Y du. 0 0 Aşağıdai souç, Teoem 2.4.3 ü bi soucudu. Souç 2.4.4. X ve Y ii bulaı sayı dizisi olsu. i) Eğe Ŝ limx = X ve c ise bu tatide Ŝ limcx = cx dı. 0 0 ii) Eğe Ŝ limx = X ve S limy = Y 0 0 ise ( ) Ŝ lim X + Y = X + Y dı 0 0 [3]. Teoem 2.4.5. = ( ) bi lacuay dizi ve X= (X ) bi bulaı sayı dizisi olsu. Bu tatide i) limif q > içi [ AC,p] [ M,p] ii) limif q < içi [ M ] [ AC,p] iii) Eğe limif q limsup q < < ise [ M,P] [ AC,P] = di. İspat: i) X [ AC,p] ve limifq > olsu. 24

X Bu duumda e içi q +δ olaca şeilde δ > 0 mevcuttu. Bu tatide [ AC,p] yazılabili. içi p p p d ( X,X ) d( X,X i 0 i 0) d( X,X + = + i 0) + I = = p p d ( X,X i 0) d ( X,X + + i 0) = = = + δ = olduğuda, ve elde edili. δ δ = p ( + i 0) ve d( X,X ) + i 0 d X,X içi sıfıa düzgü yaısa (i ye göe düzgü). Böylece X [ M,p] ii) Kabul edelim i şeilde B > 0 vadı. X [ M,p] Bu tatide; A = d X,X <ε = p teimleii e iisi de di. limsupq < olsu. Bua göe e içi q < B olaca ve ε > 0 veilsi. p ( + ) e j R içi olaca şeilde R > 0 sayısı vadı. j i 0 j Ij He j=,2, içi A j < K olaca şeilde K > 0 buluabili. sayısı > R olma üzee < şatıı sağlayaca şeilde alısı. Bu tatide + + + p p p d( X,X ) d( X,X ) d( X,X + i 0 + i 0 = ) + i 0 = = I p p d( X,X i 0)... d( X,X + i 0) + I2 I p d ( X + i,x 0) I = 25

2 2 d X i,x 0 + I2 ( ) ( ) + + + ( ) ( ) R R... d X,X R R i 0 + IR + + ( ) ( ) p... d X,X i 0 + I = A + A +... + A 2 R R 2 R R+ R + A +... + A R+ R R R supa supa K B j + j < +ε j j R p p elde edili. = ie - olduğuda i ye düzgü olaa ( ) p d X,X 0 + i 0 buluu. Teoem 2.4.6. = ( ) lacuay dizisi ve X = (X ) bi bulaı sayı dizisi olsu. Bu tatide 0 < =fp p sup p = H olma üzee X X M,p x x S i) 0[ ] 0( ) ii) X ( F) ve X X ( S ) X [ M,P] 0 iii) X ( F) ise S = [ M,p] [3] dı. İspat: i) ε > 0 ve X X [ M,p] olsu. Bua göe i ye göe düzgü olaa 0 26

d( X,X ) = d( X,X ) + d( X,X ) p p p + i 0 + i 0 + i 0 I I I dx ( + i,x0) ε dx ( + i,x0) <ε p d ( X, X i 0) + I dx ( + i,x0) ε yazılabili. Böylece X X 0( Sˆ ) ( ) I dx ( + i,x0) ε ε p mi ε, ε H ( ) I dx ( + i,x0) ε I : d X,X mi, { ( + i 0) } ε ε ε dı. ii) Kabul edelim i X ( F) ve X X 0( S ) H dı. X ( F) d X,X T olaca şeilde sabit bi T > 0 vadı. Veile ε > 0 içi + i 0 p d( X,X ) = d( X,X ) I olu. Böylece X [ M,p] 0 + i 0 + i 0 I dx ( + i,x0) ε di. iii) i ve ii de elde edili. I dx ( + i,x0) ε ( ) p + d( X,X + i 0) p max T,T + ε olduğuda H İ I I dx ( + i,x0) ε dx ( + i,x 0 ) ε max T,T I : d X,X ε H ( ) { ( + i 0) } H ( ) + max ε, ε Teoem 2.4.7. = ( ) bi lacuay dizi ve X = (X ) bi bulaı sayı dizisi olsu. bu tatide limsup q < ise S ˆ S ˆ, i) 27

ii) limif q > ise S ˆ ˆ S iii) < limif q limsup q < ise S ˆ = S ˆ [3] dı. İspat: i) Eğe limsup q < ise e içi q < T olaca şeilde bi T > 0 vadı. Kabul edelim i X X 0( Sˆ ) ve e bi i içi { ( + ) } N = I :d X,X ε olsu. Bu tatide i i 0 N 0 <ε () olaca şeilde bi 0 vadı. { } = olsu ve i 0 M max N tadide e bi i içi; < olaca şeilde seçelim. Bu { :d( X,X i 0) ε} { :d ( X,X + + i 0) ε} { N N... N N... N i 2i 0i ( ) } 0 + i i = + + + + + + M N( 0 ) i N + + 0 + +... + 0 + 0 + M N i + sup 0 { +... + } 0 + > 0 M 0 + ε 0 M +ε 0 q M +ε 0 K elde edili. Bu da ispatı tamamla. 28

ii) Kabul edelim i limif q > olsu. Bu duumda yeteice büyü le içi δ q +δ olaca şeilde bi δ>0 vadı. = - - olduğuda elde edili. +δ 0 ( ˆ ) X X S olsu. Bu tatide e i ve ε > 0 içi dı. Böylece S ˆ ˆ buluu. S iii) (i) ve (ii) de elde edili. Teoem 2.4.8. 0 p q dı. { :d ( X i,x 0) ε + } { I :d ( X i,x 0) ε + } δ I :d X,X ε +δ { ( + i 0) } < ve ( q /p ) sıılı olsu. Bu tatide [ M,q] [ M,p] İspat: X= ( X ) [ M,q] olsu. He içi w d i ( X,X + + i 0) diyelim. Bu tatide e içi olaca şeilde seçilsi ( u,i) ve (,i) [3] q p = ve λ = q 0< λ olu. λ sayısı e içi 0<λ λ v dizileii aşağıdai gibi taımlayalım: w içi u = w ve v = 0 i,,i,i i, w < içi u = 0 ve v = w,i i, i, i, He içi w = u + w,i,i,i w = u + v λ λ λ,i,i,i olu. Buada da λ λ u u w ve v v buluu. Bu edele λ,i,i,i,i,i 29

λ ( ) ( ) λ λ =,i,i I I v U λ λ λ ( (,v,i) ) ( ) λ ( ) λ λ I I v =,i I v v +,i,i v,i I I I λ böylece ( ) Bua göe X [ M,p] elde edili. Teoem 2.4.9. [ ] ( ) olma üzee [ AC, p] = ( m, p) [3]. λ p AC, p = X (X ) : sup d X,0, = < + i,i,0 p { ( ) } (m,p) = X = (X ):sup d X,0 < i+ p İspat: t = d( X,0) = d( X,0) alalım. Bu duumda ve elde edili. i + i = = i+ ( ) p sup d X,0 i+ sup t sup sup i d X,0,i =+ i λ p p ( ) (2) = = ( ) i,i i+,i i p+ i sup t sup t = sup d X,0 (3) (2) ve (3) de [ AC, p] = ( m, p) elde edili. 30