DERS Fonksionlar - I.1. Fonksion Kavramı. Her bilim dalının önemli bir işlevi, çeşitli nesneler vea büüklükler arasında eşlemeler kurmaktır. Böle bir eşleme kurulması belli büüklükleri belirleme vea tahmin etme olanağı verir. Örneğin, bir maliet analizcisi, üretim sürecinde çeşitli üretim sevielerde üretilen ürünlerin malietini belirlemek vea tahmin etmek ister; bir tıp araştırmacısı, kalp rahatsızlıkları ile şişmanlık arasındaki ilişkii ; bir ziraatçı, anı topraktan değişik tür buğda tohumlarının ne kadar verim verdiğini belirlemek vea tahmin etmek ister. Fonksion denince aklımıza bir tür eşleme gelmelidir. Günlük haatımızda ukarıda sözü edilenlere benzer pek çok eşleme örneğile karşılaşırız. Birkaç örnek daha verelim: Her öğrencinin bir numarası vardır. Başka bir deimle, her öğrenci bir saı ile eşlenir. Burcu Işık 06 93 045, Ali Demir 05 94 005 Her insanın doğum ılı da o insan ile eşlenen bir saı olarak düşünülebilir. Mustafa Kemal Atatürk 1881, Cahit Arf 1910 Bir marketteki her malın bir fiatı vardır. Makarna 75 YKr, Sabun 85 YKr. Her saının iki katı vardır. 1, 4, 3 6, Her saının bir kare si vardır. 1 1, 4, 3 9, Yukarıda zikredilen tüm örneklerde ortak olan husus şudur: Her bir örnekte belli bir kümenin elemanları ile ikinci bir kümenin elemanlarını eşleen bir kural vardır. Son örneğimiz, saılar kümesinin her elemanını ine saılar kümesinde o elemanın karesi ile eşlemektedir. Bütün bunlar bizi fonksion kavramının tanımına götürür: Tanım 1. İki küme verilmiş olsun : A ve B. A kümesinin her elemanına B kümesinin bir ve alnız bir elemanını karşılık getiren bir kurala A dan B e bir fonksion denir. A kümesine bu fonksionun tanım kümesi, B kümesine de görüntü kümesi denir. A kümesinden B kümesine bir f fonksionu f : A B ile gösterilir.
Ders.. 0 Tanım. f : A B fonksionunun a A ile eşlediği eleman b B ise, b = f(a) azılır ve b = f(a) a a nın f altındaki görüntüsü vea f nin a daki değeri denir. f nin tüm değerlerinin kümesine, ani {f(a) : a A} kümesine f nin değer kümesi denir. Değer kümesi, görüntü kümesinin altkümesidir. Fonksionlar, aşağıdaki gibi, çizelgelerle de gösterilebilir: A B a f : A B b=f(a) =f() Tanıma göre A dan B e f fonksionunun A nın her a elemanına B den bir ve alnız bir, ani tek türlü belirli bir eleman karşılık getirmesi gerektiğini unutmamak gerekir. Bu bağlamda, aşağıda görülen çizelge, A = {1,, 3} kümesinden B={a, b, c} kümesine bir fonksion tanımlar. Burada, f (1) = a, f () = f (3) = c dir. B kümesinin b elemanı A nın hiçbir elemanının görüntüsü değildir. f nin değer kümesi, {a, c} dir. A 1 a b 3 c B Diğer andan, aşağıdaki çizelge, A = {1,, 3} kümesinden B={a, b, c } kümesine bir fonksion tanımlamaz(neden?) A 1 a b 3 c B
Fonksionlar - I 1.. Tanım Kümesi ve Görüntü Kümesi Reel Saı Kümeleri Olan Fonksionlar. Bu derste ele alacağımız fonksionların tanım kümeleri ve görüntü kümeleri saı kümeleri olacaktır. Böle bir fonksionun tanım kümesindeki her saısı için görüntü kümesinde bir ve alnız bir = f() saısı bulunacak ve dolaısıla (, f()) sıralı ikilisi, a da noktası, ortaa çıkacaktır. Bu şekilde ortaa çıkan noktaların Kartezen Düzlem de oluşturduğu nokta kümesine f fonksionunun grafiği denir. f() (,f()) = f() Örnek 1. Her reel saıa o saının iki katını karşılık getiren fonksionun grafiği anda görülen doğrudur. (-1,-) (-,-4) (1,) (,4) = Örnek. Her reel saıa o saının karesini karşılık getiren fonksionun grafiği anda görülen eğridir. (-,4) (-1,1) (,4) (1,1) = Yukarıdaki örneklerden ilkinde tanım kümesi R deki her saısına karşılık görüntü kümesi R de = saısı; ikinci örnekte de tanım kümesi R deki her saısına karşılık görüntü kümesi R de = saısı verilmektedir. Bu derste ele alacağımız fonksionlardan pek çoğu, bu örneklerde olduğu gibi, denklemler ardımıla tanımlanacaktır. Başka bir anlatımla, tanım kümesindeki her saısı için görüntü kümesinde karşılık gelen saısı, =f() gibi e bağlı bir ifade ile verilecektir. Bu
Ders.. ifadede tanım kümesinin herhangi bir elemanını gösteren e bağımsız değişken, görüntüsünü gösteren e de bağımlı değişken denir. in = f() Bağımlı Değişken Bağımsız Değişken Bir f fonksionu fabrikaa da benzetilebilir. O takdirde, bağımsız değişken, fabrikanın girdisi; bağımlı değişken de çıktısı olur. Çıktı = f() Girdi = f() gibi bir denklemle belirlenmiş bir fonksion verildiğinde, tanım kümesindeki her a saısı için f(a), verilen denklemden hesaplanır. Örnek 3. = f() = denklemi ile tanımlanan fonksionun tanım kümesi R dir ve f(0) = 0, f(1) = 0, f() =, f(3) = 6, f(-1) =, f(-) =6, f(-3) = 1 dir. Herhangi bir a reel saısı için f(a) = a a, f(a+1) = (a+1) (a+1) = a + a, f(a+) = (a+) (a+) = a +3 a + dir. Örnek 4. = (-1) denklemi tüm reel saılar kümesi R den R e bir fonksion tanımlar. = 1 olunca = 0, = 5 olunca = 0 ve =1/ olunca =-1/4 tür. Burada, birden büük saıları için,, kenar uzunlukları ve (-1) birim olan bir dik- -1 dörtgenin alanı olarak orumlanabilir. Çoğu zaman, denklemle tanımlanmış bir fonksionun tanım kümesi açıkça belirtilmez. Bu gibi durumlarda, tanım kümesi, bağımsız değişkenin bağımlı değişkeni tek türlü belirli bir reel saı olarak tanımlaabildiği değerlerin tümü olarak; değer kümesi de bağımlı değişken için bölece tanımlanan tüm değerler olarak alınır. Örnek 5. = 5 denklemi ile tanımlanan fonksionun tanım kümesi (,5] tir. Çünkü, 5 in tanımlı olması için olmalıdır. 5 0 5 5
Fonksionlar - I 3 Örnek 6. 1 = denklemi ile tanımlanan fonksionun tanım kümesi + dir. Çünkü, 1 + ( ) (, ), = R \ {-} kesri - dışında her reel saı için tanımlıdır. Bazen kapalı denklemler de fonksion tanımlaabilir. Örnek 7. bağımsız ve bağımlı değişkenler olmak üzere, +3 = 6 denklemi bir fonksion tanımlar. Çünkü, bu denklem her reel saısına karşılık = (-/3) + saısını verir. +3 = 6 Bununla beraber, fonksion tanımlamaan kapalı denklemler de vardır. Örnek 8. bağımsız ve bağımlı değişkenler olmak üzere = 4 denklemi bir fonksion tanımlamaz. Çünkü, örneğin = 0 değeri için hem = hem de = - saıları bu denklemi sağlarlar. O halde bu denklem = 0 saısına birden çok saı karşılık getirmektedir ve bu nedenle bir fonksion tanımlamaz. = 4 - Bir denklemin fonksion tanımlaıp tanımlamadığını anlamanın pratik bir olu, o denklemin grafiğinin düşe doğrularla kesişimlerini düşünmektir. Eğer her düşe doğru grafiği en çok bir noktada kesiorsa, o denklem bir fonksion tanımlar ve denklemin grafiği fonksionun grafiğidir. Eğer grafiği birden çok noktada kesen düşe doğrular varsa, o denklem bir fonksion tanımlamaz. Son iki örnekte bu durumu gözlemleebilirsiniz..3. Ekonomide Fonksionlar. Ekonomide doğal olarak ortaa çıkan fonksionlar, gider, gelir, fiat ve kâr fonksionlarıdır. Bu kitapta vereceğimiz örneklerden büük çoğunluğu bu fonksionlarla ilişkili olacaktır..3.1. Maliet(Gider) Fonksionu. Üretim apan her işletme için maliet(gider) söz konusudur. Bir işletmenin giderleri, kira, personel giderleri gibi sabit giderler ile, üretilen
Ders.. 4 ürün saısına göre değişebilen değişken giderlerden oluşur. Bir işletmenin belli bir dönemdeki toplam giderini Gi ile göstereceğiz. Gi = (sabit gider) + (değişken gider). Örneğin, bir işletmenin alık sabit gideri A YTL ve ürün başına gideri işletmenin ada ürün üretmesi durumunda alık toplam gideri B YTL ise, bu YTL olur. Gi() = A + B.3.. Fiat - Talep Fonksionu. Üretilip satılan ürün miktarı ile birim ürün fiatı arasındaki bağıntı, bir fonksion tanımlar. Örneğin, bir ürün için tespit edilen fiat p YTL ve o ürünün bu fiatla satılabileceği miktar (talep) adet ise ve fiat ile talep arasında, a ve b sabitler olmak üzere, p =p()= a b. gibi bir denklem varsa, bu denkleme fiat - talep denklemi, bu denklemin tanımladığı p fonksionununa da fiat - talep fonksionu denir..3.3. Gelir Fonksionu. Bir işletmenin belli bir üründen elde ettiği gelir, satılan ürün saısı ile birim ürün fiatının çarpımıdır. Fiatın sabit olduğu varsaılırsa, gelir, satılan ürün saısına bağlı olarak değişir. Gelir fonksionunu Ge ile göstereceğiz: Ge = (satılan ürün miktarı). (birim ürün fiatı). Örneğin, bir firma bir ada her biri p YTL den tane ürün satmışsa, bu firmanın alık toplam geliri YTL olur. Ge()= p.3.4. Kâr Fonksionu. Kâr, gelir ile gider arasındaki farktır. Kâr fonksionunu K ile göstereceğiz: K()= Ge() Gi(). Örneğin, belli bir zaman aralığında ürün üretip satan bir firmanın gideri Gi() = A + B YTL ve bir ürünün satış fiatı p() = a b YTL ise, bu firmanın o zaman aralığındaki geliri Ge() = p = (a - b) = a - b YTL olur ve bölece firmanın o zaman aralığındaki kârı YTL olur. K() = Ge() Gi() =( a - b ) (A + B) = -b +(a - B) -A.3.5. Bir Problem. Bir tür çapa makinesi üreten bir firma, aptırdığı analizler sonucu, ılda adet çapa makinesi üretmesi durumunda toplam giderinin Gi( ) = 15 + 1. bin YTL; makine başına ugun satış fiatının da p( ) = 6 0. 075 bin YTL olacağını tespit edior.
Fonksionlar - I 5 Bu firma ılda en çok 80 adet makine üretecektir. Firmanın ürettiği ürünün tamamını satacağını varsaarak a) Yılda 50 adet makine üretilmesi durumunda toplam gider ve bir makinenin satış fiatı ne olacaktır? b) Gelir fonksionunu veren denklemi ve bu fonksionun tanım kümesini azınız. 50 adet makine üretilmesi durumunda firmanın gelirini belirleiniz. c) Kâr fonksionunu veren denklemi azınız. Yılda 50 adet makine üretilmesi durumunda firmanın kârını bulunuz. Çözüm. a) Yıllık toplam gider Gi ( 50) = 15 + (1.) 50 = 75 bin YTL, bir makinenin satış fiatı p = p( 50) = 6 (0.075) 50 =. 5 bin, ani 50 YTL. b) Ge ( ) = p = 6 0.075, 0 80. Ge ( 50) = 300 187.5 = 11. 5 bin YTL, ani 11 500 YTL. c) Kâr fonksionunun denklemi K ( ) = Ge( ) Gi( ) = 6 0.075 (15 + 1.) = 15 + 4.8 0.075 olup 50 adet makine üretilmesi durumunda firmanın kârı K ( 50) = 11.5 75 = 37. 5 bin, ani 37 500 YTL dir..4. Elemanter Fonksionlar. Ugulamalarda en çok karşılaşacağınız fonksionlar, elemanter fonksionlar olarak bilinen fonksionlar vea bu fonksionlar cinsinden ifade edilebilen fonksionlardır. Aşağıda, elemanter fonksionları, grafiklerile birlikte listelioruz:.4.1. Birim Fonksion: Her reel saıa kendisini karşılık getiren fonksion: f ( ) =. Yanda grafiği görülen birim fonksionun tanım kümesi ve değer kümesi R dir. =
Ders.. 6.4.. Mutlak Değer Fonksionu: Her reel saıa o saının mutlak değerini karşılık getiren fonksion, 0 f ( ) = =., < 0 Yanda grafiği görülen bu fonksionun tanım kümesi R, değer kümesi [0, ) dur. =.4.3. Kare Fonksionu: Her reel saıa o saının karesini karşılık getiren fonksion: f ( ) =. Yanda grafiği görülen kare fonksionunun tanım kümesi R, değer kümesi [0, ) dur. =.4.4. Küp Fonksionu: Her reel saıa o saının küpünü karşılık getiren fonksion: 3 f ( ) =. Yanda grafiği görülen küp fonksionunun tanım kümesi ve değer kümesi R dir. = 3.4.5. Karekök Fonksionu: Her reel saıa o saının karekökünü karşılık getiren fonksion: f ( ) = Yanda grafiği görülen karekök fonksionunun tanım kümesi ve değer kümesi [0, ) dur. =.4.6. Küpkök Fonksionu: Her reel saıa o saının küpkökünü karşılık getiren fonksion: f = 3 ( ) Yanda grafiği görülen küpkök fonksionunun tanım kümesi ve değer kümesi R dir. = 3
Fonksionlar - I 7.5. Elemanter Dönüşümler. Ugulamalarda, ukarıda listelediğimiz elemanter fonksionlar listede verildikleri biçimlerile karşımıza çıkmasalar da, karşımıza çıkan fonksionların pek çoğu onlarla ilişkili olacaktır. Örneğin, aşağıdaki denklemlerle tanımlanan g, h, k ve m fonksionlarını ele alalım: g( ) =, h( ) = 1, k( ) = 3. Bu fonksionların her biri f ( ) = fonksionu cinsinden ifade edilebilir: g() = f(-), h() = f() 1, k() = 3f(). Aşağıda göreceğimiz üzere, g, h, k ve m fonksionlarının grafikleri de fonksionunun grafiği cinsinden elde edilebilir. f ( ) = g, h, k ve m fonksionlarının f fonksionu cinsinden tanımı en genel biçimile şöle verilebilir: a, b ve c reel saılar olmak üzere g() = f(+a), h() = f() + b, k() = c f(), m()=f(-). Bu fonksionlardan her birinin grafiği f nin grafiğinin belli bir biçimde dönüştürülmesile elde edildiğinden ukarıdaki ifadelerden her birine bir elemanter dönüşüm denir..5.1. Yata Kama. f den g() = f(+) ile elde edilen g fonksionu için (, g ()) noktası ile (+, f (+) nin konumları karşılaştırılınca, =g() in grafiği üzerinde bulunan (, g ()) = (, f (+)) noktasının =f() in grafiği üzerinde bulunan (+, f (+)) nin ata doğrultuda birim solunda bulunduğu görülür. Arıca, =f() in grafiği üzerinde bulunan bir (, f ()) noktası birim sola kadırılırsa, =g() in grafiği üzerinde bulunan (-, f()) = (-, g (-)) noktasının elde edileceği görülebilir. = g() i sağlar = f() i sağlar g()=f(+ (,g()) (+,f(+)) + Sonuç olarak, g() = f(+) denklemi ile tanımlanan g fonksionunun grafiği, f nin grafiğinin ata doğrultuda birim sola kadırılmasıla elde edilir. için gözlemlemiş olduğumuz bu hususun herhangi bir pozitif reel saı için de doğru olduğu açıktır. a R, a>0 ise, g() = f(+a) denklemi ile tanımlanan g fonksionunun grafiği, f nin grafiğinin ata doğrultuda a birim sola kadırılmasıla elde edilir.
Ders.. 8 Şimdi, a R, a < 0 durumunu ele alalım. = f() i sağlar g()=f(+a) (+a,g()) = (+a,f(+a)) (,g()) = g() i sağlar +a Yukarıdaki şekilden de görüldüğü üzere, a < 0 ise, bir noktanın = f(+a)=g() in grafiği üzerinde olması için gerek ve eter koşul, o nuktanın ata doğrultuda -a birim sola kadırılmasıla elde edilen noktanın = f() in grafiği üzerinde bulunmasıdır. Başka bir deimle, = f(+a) nın grafiği, = f() in grafiğinin ata doğrultuda -a birim sağa kadırılmasıla elde edilir. g() = f(+a) denklemi ile tanımlanan g fonksionunun grafiği ve f nin grafiği arasında ukarıda açıklanan ilişkiden dolaı bu dönüşüme ata kama denir. Örnek 1. = in ata kamaları. = = + = Örnek. = f() = nin ata kamaları. = =(-) =(+)
Fonksionlar - I 9 Örnek 3. = f() = in ata kamaları. = = + = -.5.. Düşe Kama. h() = f()+b denklemi ile tanımlanan h fonksionunun grafiği, f nin grafiğinin düşe doğrultuda kadırılmasıla elde edilir. Gerçekten, (, h( )) = (, f ( ) + b) noktası ile (, f ( )) noktasının düzlemdeki konumlarına bakılırsa, (, h( )) in, b nin pozitif vea negatif oluşuna göre, (, f ( )) in b birim ukarıa vea aşağıa kadırılmasıla elde edilebileceği görülür. Başka bir deimle, bir noktanın = f() + b=h() in grafiği üzerinde olması için gerek ve eter koşul, o nuktanın düşe doğrultuda, b > 0 ise b birim aşağıa, b < 0 ise b birim ukarıa kadırılmasıla elde edilen noktanın = f() in grafiği üzerinde bulunmasıdır. b > 0 olması durumu aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. h()=f() + b (,h()) =h() i sağlar f() (,f()) = f() i sağlar Bölece, b > 0 olması durumunda = f() + b nin grafiği, = f() in grafiğinin b birim ukarı kadırılmasıla elde edilir.
Ders.. 30 b<0 durumu da aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. f() (,f()) = f() i sağlar h()=f() + b (,h()) =h() i sağlar Sonuç olarak b<0 olması durumunda = f() + b nin grafiği, = f() in grafiğinin -b birim aşağı kadırılmasıla elde edilir. Örnek 1. = in düşe kamaları. = = + = Örnek. = f() = nin düşe kamaları. = = + = -
Fonksionlar - I 31 Örnek 3. = f() = in düşe kamaları. = = + = -.5.3. Yansıma. k() = - f() denklemi ile tanımlanan k fonksionunun grafiği, f nin grafiğinin -eksenine göre ansıtılmasıla elde edilir. Gerçekten, (, f ( )) ve (, f ( )) noktaları birbirinin -ekseni etrafında ansımaları olduğundan, = - f() in grafiği, = f() in grafiğinin ekseni etrafında ansıtılmasıla elde edilir. Bu durum aşağıdaki şekilde açıklanmıştır. f() (,f()) = f() i sağlar - f() (,- f()) = -f() i sağlar Örnek 1. = nin ve = in -ekseni etrafında ansımaları. = = = - =
Ders.. 3.5.4. Germe ve Büzme. k() = c f(), c > 0 olsun. k fonksionunun grafiği ile f nin grafiği arasındaki ilişki, c > 1 vea 0 < c < 1 oluşuna göre farklılık gösterir. Önce, c > 1 durumunu ele alalım. Aşağıdaki şekilden de anlaşılacağı üzere, eğer c > 1 ise, = c f() in grafiği, = f() in grafiğinin düşe doğrultuda gerilmiş bir biçimi olur. = c f() i sağlar c f() f() (,c f()) (,f()) = f() i sağlar Şimdi, 0<c<1 durumunu ele alalım. Aşağıdaki şekilden de anlaşılacağı üzere, eğer 0 < c < 1 ise, = c f() in grafiği, = f() in grafiğinin düşe doğrultuda büzülmüş bir biçimi olur. = f() i sağlar f() (,f()) = c f() i sağlar c f() (,c f()) Aşağıdaki örneklerde, grafik üzerrinde gösterilen noktalara da dikkat ederek düşe doğrultuda gerilme ve büzülme deimlerinin anlamı üzerinde düşününüz.
Fonksionlar - I 33 Örnek 1. = f() = nin gerilme ve büzülmeleri. gerilme = = büzülme (1, ) = (1/) (1,1) (1,1/) Örnek. = f() = in büzülme ve gerilmeleri. gerilme = büzülme = = (1/) (1, ) (1,1) (1,1/)
Ders.. 34.5.5. Kama, Yansıma, Gerilme ve Büzülmelerin Art Arda Ugulanması. Pratikte karşılaştığımız fonksionlardan pek çoğu, elemanter fonksionlara daha önce gördüğümüz transformasonların art arda ugulanmasıla elde edilir. Örnek 1. = -3-1 + nin grafiği, = in grafiğinden elde edilebilir. = = - 1 = 3-1 = -(3-1 ) = -(3-1 ) + = 3-1 = = - 1 (1,3) =-3-1 =-3-1 + Örnek. = in grafiği, = nin grafiğinden elde edilebilir. = = (-1) = +1 = (-1) 1 = = = (-1) (1,0) (1,-1) =
Fonksionlar - I 35 Örnek 3. = 1 + in grafiği, = in grafiğinden elde edilebilir. = = = ( 1) = 1 = 1 + = 1 + = 1 (1,) = = (1,0) Örnek 4. Daha önce.3.5 te ele alınan problem için gelir fonksionunun grafiğini çizelim. Sözü edilen problemdeki gelir fonksionu Ge ( ) = p = 6 0.075, 0 80 olarak belirlenmişti. Biraz aritmetik işlemle, gelir fonksionu için Ge ( ) = 6 0.075 = 0.075( 800) = 0.075(( 40) Ge ( ) = 0.075( 40) + 10 1600), ifadesi elde edilir. Dolaısıla, aşağıdaki elemanter dönüşümler izlenerek, gelir fonksionunun grafiği = kare fonksionunun grafiğinden elde edilir:
Ders.. 36 = = ( 400) = ( 40) = 0.075( 40) = 0.075( 40) + 10 = 6 0.075 (40,10) (40,0) (80,0) = 6 0.075, 0 80 Benzer şekilde, kâr fonksionu K ( ) = 15 + 4.8 0.075, 0 80 in grafiği K ( ) = 0.075( 3) ifadesinden ararlanılarak aşağıdaki gibi elde edilebilir. + 61.8 = = ( 3) = ( 3) = 0.075( 3) = 0.075( 3) + 61.8 = 15 + 4.8 0.075 (3,61.8) (3,0) (80,0) = 15 + 4.8 0.075, 0 80
Fonksionlar - I 37 Problemler 1. f () = + 3 ve g () = + 3 denklemleri ile tanımlanan f ve g fonksionları için a) f (-1), f (0), f (1), f (), f ( 1 ), f ( ), f ( 1 ), f (-1), f (3) değerlerini bulunuz. b) g (-1), g (0), f (1), g (), g ( 1 ), g ( ), g ( 1 ), g(-1), g(3) değerlerini bulunuz. c) f ve g nin grafiklerini çiziniz.. Kenar uzunlukları metre ve metre olan bir dikdörtgenin alanı A ve çevre uzunluğu Ç ile gösterilsin. a) Dikdörtgenin alanı 5 metrekare ise, çevre uzunluğu Ç i in fonksionu olarak ifade ediniz ve bu fonksionun tanım kümesini belirleiniz. b) Dikdörtgenin alanı 81 metrekare ise, çevre uzunluğu Ç i nin fonksionu olarak ifade ediniz ve bu fonksionun tanım kümesini belirleiniz. c) Dikdörtgenin çevre uzunluğu 100 metre ise, alan A ı in fonksionu olarak ifade ediniz ve bu fonksionun tanım kümesini belirleiniz. ç) Dikdörtgenin çevre uzunluğu 160 metre ise, alan A ı nin fonksionu olarak ifade ediniz ve bu fonksionun tanım kümesini belirleiniz. 3. Aşağıdaki fonksionların tanım kümelerini bulunuz a) ç) f) 3 f ( ) = 1 f ( ) = 7 1 f ( ) = 5 5 + 3 b) f ( ) = c) f ( ) = 7 + 4 3 7 d) f ( ) = + 3 e) f ( ) = + 6 1 7 g) f ( ) = ğ) f ( ) = 3 1 + 6 4. Aşağıdaki denklemlerin hangisi, bağımsız değişken ve bağımlı değişken olmak üzere, bir fonksion tanımlar? a) 3 7 = 15 b) = 1 c) + = 10 ç) + = 5 d) + = 9 e) = 16 f ( a + h) f ( a) 5. Aşağıda verilen f() için ifadesini hesaplaınız. h 3 a) f ( ) = 3 4 b) f ( ) = 4 5 + 1 c) f ( ) = ç) f ( ) = 1 d) f ( ) = f = 3 3 1 e) ( ) f) f ( ) = g) f ( ) = + 1
Ders.. 38 6. Bilgisaarlar için hafıza çipi üreten bir firma, aptırdığı analizler sonucu, milon adet çip üretmesi durumunda toplam giderini Gi( ) = 85 + 14 milon YTL; çip başına satış fiatını da p( ) = 60. 5 YTL olarak belirlior. Bu firma en az bir milon en çok irmi milon çip üretecektir. Firmanın ürettiği ürünün tamamını satacağını varsaarak a) 6 milon çip üretilmesi durumunda bir çipin satış fiatını bulunuz. 10 milon çip üretilmesi durumunda bir çipin satış fiatını bulunuz. b) Gelir fonksionunu veren denklemi ve bu fonksionun tanım kümesini azınız. 6 milon ve 10 milon çip üretilmesi durumunda firmanın gelirini arı arı belirleiniz. c) Kâr fonksionunu veren denklemi ve bu fonksionun tanım kümesini azınız. 6 milon ve 10 milon çip üretilmesi durumunda firmanın kâr durumunu arı arı belirleiniz. 7. Aşağıdaki fonksionların grafiklerini elemanter fonksionların grafikleri üzerinde elemanter dönüşümler ugulaarak çiziniz. a) g( ) = + 3 b) h( ) = ( 4) k( ) = c) ç) f ( ) = ( + 4) + 4 d) m( ) = + 5 e) v( ) = 0. 5 f) u( ) = 5 g) f ( ) = 3 1 8. Aşağıdaki fonksionların grafiklerini elemanter fonksionların grafikleri üzerinde elemanter dönüşümler ugulaarak çiziniz. a) f ( ) = + 3 b) h( ) = ( 4) 3 c) k( ) = + 3 ç) m( ) = ( + 3) + 4 d) g( ) = 4( ) 6 e ) h( ) = 3 3 3 9. Bir tür fotoğraf makinesi üretip satan bir firmanın malie bölümü, aptığı araştırmalar sonucunda, bin adet fotograf makinesi üretilmesi durumunda toplam giderinin Gi( ) = 500 + 45 bin YTL ve makine başına satış fiatının p ( ) = 100 0.01( 10) YTL olacağını belirlior. Bu firma enaz 10 bin en çok 1000 bin fotoğraf makinesi üretecektir. a) 50 bin fotoğraf makinesi üretilip satılması durumunda bir makinenin satış fiatı ne olacaktır? b) Fiat talep fonksionu p () in grafiğini çiziniz. c) Gelir fonksionu Ge () i ifade ediniz ve 30 bin makine üretilip satılması durumunda ne kadar gelir elde edileceğini bulunuz. ç) Kâr fonksionu K () i ifade ediniz ve 30 bin makine üretilip satılması durumunda ne kadar kâr elde edileceğini bulunuz. 10. Altıncı problemde bulduğunuz gelir ve kâr fonksionlarının grafiklerini çiziniz.