DERS 8 Artan ve Azalan Fonksionlar, Konkavlık, Maksimum ve Minimum 8.. Artan ve Azalan Fonksionlar. Bir fonksionun vea onun grafiğinin belli bir aralık üzerinde artan vea azalan olmasının ne anlama geldiği aşağıdaki şekilden anlaşılabilir. a r t a n a f( b (,f() a z a l a n d f( a r t a n Tanım. (a, b) aralığında tanımlı bir f fonksionu verilmiş olsun. < olan her, (a, b) için f( ) < f( ) oluorsa, f fonksionu (a, b) aralığında artan fonksiondur denir. < olan her, (a, b) için f( ) > f( ) oluorsa, f fonksionu (a, b) aralığında azalan fonksiondur denir. Yukarıda grafiği verilen f fonksionu (a, b) aralığında ve (, d) aralığında artan, (b, aralığında azalandır. Türevli bir fonksionun bir aralık üzerinde artan vea azalan olduğu o fonksionun türevinin söz konusu aralıkta aldığı değerlere bakılarak belirlenebilir. Şöle ki Teorem. f, [a,b] aralığında sürekli ve (a,b) aralığında türevli bir fonksion olsun. Eğer (a, b) aralığındaki her için > 0 ise, f fonksionu (a, b) aralığında artan fonksiondur. Eğer (a, b) aralığındaki her için < 0 ise, f fonksionu (a, b) aralığında azalan fonksiondur. Eğer (a, b) aralığındaki bir için 0 ise, f fonksionunun grafiğine (,f() noktasındaki teğet atadır.
Ders 8.................................................................. 0 Teorem de ifadesini bulan durumlar aşağıdaki şekil üzerinde özetlenmiştir. 0 Eğim sıfır > 0 Eğim pozitif < 0 Eğim negatif a r t a n ata teğet a z a l a n f( Örnek. f( 6 +0 ( ) + fonksionu için 6 ( ). Aşağıdaki tabloda da gösterildiği üzere, ) 0 olup < için < 0 ve > için > 0 dır. Dolaısıla, bu fonksion (,) aralığında azalan, (, ) aralığında artandır. (0,0) 6-0 4 - - - - -6 - - 0 + + + + + a z a l a n a r t a n (,) Örnek. f ( + + 4 fonksionu (-, ) aralığında artandır. Çünkü, her reel saısı için + > 0 dır. 8.. Kritik Değerler. Türevli bir fonksionun hangi aralıklar üzerinde artan ve hangi aralıklar üzerinde azalan olduğunu araştırırken o fonksionun türevinin hangi aralıklar üzerinde pozitif ve hangi aralıklar üzerinde negatif değerler aldığını belirlemek eterlidir. Bunun için ise fonksionun türevinin sıfır olduğu vea tanımsız olduğu noktalar önem kazanmaktadır.
Artan Azalan Fonksionlar, Konkavlık, Maksimum Minimum Tanım. f ( in tanımlı olduğu; anak, in tanımsız olduğu vea 0 olan değerlerine f fonksionunun kritik değerleri denir. Örnek. f( 6 +0 un (0,0) kritik değeri tür: - 6 0. Örnek. f( + ün kritik değeri: 0 0. Örnek. f( ( - / -( - ) / ün kritik değerleri: ( ) ( ) ( ) f () tanımlı, ) tanımsız kritik. Örnek 4. f (, ( ) f () ve ) tanımsız kritik değer ok. Örnek 5. f ( 6 + 9 + fonksionunun tüm kritik değerlerini, artan ve azalan olduğu aralıkları belirleelim. f ( her için tanımlı. + 9 ( 4 + ) 0 vea ve kritik. - 0 + + + + 0 - - - 0 + + + a r t a n a z a l a n a r t a n Yukarıda andaki grafikte gösterildiği üzere, f fonksionu (-, ) ve (, ) aralıklarında artan, (, ) aralığında azalandır.
Ders 8.................................................................. Örnek 6. f ( fonksionunun tüm kritik değerlerini, artan ve azalan olduğu aralıkları belirleelim. ( ) ( ( ) ) 4 + ( )( ) ( ) ( ) Bu ifadeden f nin kritik değerlerinin, ve olduğu, aşağıdaki tablodan da - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + (-) + + + + + + + + + 0 + + + + + + + f ( + + + + + 0 - - - - - - - - - - + + + + artan azalan azalan artan fonksionun (-,) ve (, ) aralıkları üzerinde artan, (,) ve (,) aralıkları üzerinde azalan olduğu görülür. 4 Örnek 7. f ( 0 + 4 6 + 5 fonksionunun tüm kritik değerlerini, artan ve azalan olduğu aralıkları belirleelim. 60 + 84 6 ( 5 + 7 ) Sağ tarafta parantez içindeki ifade (örneğin için bu ifadenin sıfır olduğuna dikkat edilerek) çarpanlara arılırsa, ( ) ( ) ve bölee, ve ün f nin kritik noktaları olduğu görülür. in işareti inelenine - - - - - - - - - - - - 0 - - - - - 0 + + + + f nin (-, ) aralığında azalan, (, ) aralığında artan olduğu görülür.
Artan Azalan Fonksionlar, Konkavlık, Maksimum Minimum 8.. Konkavlık, İkini Türev. Bir fonksionun grafiğini çizerken fonksionun grafiğinin herhangi bir aralık üzerinde artan mı oksa azalan mı olduğunu bilmek kuşkusuz önemlidir. Bununla beraber, grafiğin eğriliğinin a da bükeliğinin ne önde olduğunu bilmek de önemlidir. Eğrilik vea bükelik ile ne sölemek istediğimizi biraz daha açalım. Tanım. (a,b) aralığında tanımlı bir f fonksionu ve (a, b) verilmiş olsun. Eğer f nin grafiği, (, f () noktasındaki teğet doğrusunun üstünde kalıorsa, bu takdirde, (, f () noktasında f nin grafiği ukarıa doğru konkavdır denir. Eğer f nin grafiği, (, f () noktasındaki teğet doğrusunun altında kalıorsa, bu takdirde, (, f () noktasında f nin grafiği aşağıa doğru konkavdır denir. Eğer (a, b) aralığındaki her için (,f () noktasında f nin grafiği ukarıa doğru konkav ise, f nin grafiği (a, b) aralığında ukarıa doğru konkavdır denir. Eğer (a, b) aralığındaki her için (,f () noktasında f nin grafiği aşağıa doğru konkav ise, f nin grafiği (a, b) aralığında aşağıa doğru konkavdır denir. f( f( a b a b (a, b) aralığında ukarıa doğru konkav (a, b) aralığında aşağıa doğru konkav Yukarıdaki şekillere baktığımız zaman, soldaki şekilde, (a, b) aralığında büüdükçe in de büüdüğü; sağdaki şekilde ise büüdükçe in küçüldüğünü görüoruz. Demek ki, bir fonksionun grafiğinin bir aralık üzerinde ukarıa vea aşağıa doğru konkav oması o fonksionun türevinin söz konusu aralıkta artan vea azalan olmasıla ilişkilidir. Şöle ki Eğer f ' fonksionu (a, b) aralığında artan ise, f nin grafiği (a, b) aralığında ukarıa doğru konkavdır. Eğer f ' fonksionu (a, b) aralığında azalan ise, aşağıa doğru konkavdır. f nin grafiği (a, b) aralığında Bir fonksionun bir aralık üzerinde artan vea azalan olması o fonksionun türevi ile ilişkili olduğundan, bir fonksionun grafiğinin konkavlığı belirlenirken o fonksionun türevinin türevine bakmak gerekeeği açıktır. Bu düşüne, ikini türev kavramının tanımına ol açar. Tanım. f fonksionunun birini türevi mevutsa ve in de türevi mevutsa, in türevine f nin ikini türevi denir ve f ''( ile gösterilir.
Ders 8.................................................................. 4 f ( ise, f nin ikini türevi tir ve bu türev f ''( d d ( ) d f ''( '' d sembolleri ile de gösterilir. Üçünü, dördünü ve daha üksek mertebeden türevler de benzer şekilde tanımlanabilir. Bir fonksionun üksek mertebeden türevlerinden söz ederken, o fonksionun türevi için birini türev deimi kullanılır. Örnek. f ( f ''( Örnek. ' '' d d d d 4 4 6 Örnek. ' '' ''' 4 Şimdi, ukarıda konkavlıkla ilgili olarak birini türev insinden verilen sonuç, ikini türev insinden şöle ifade edilebilir. Teorem. f, (a, b) aralığında birini ve ikini türevi mevut olan bir fonksion olsun. Eğer (a, b) aralığındaki her için f ''( > 0 ise, f nin grafiği (a, b) aralığında ukarıa doğru konkavdır. Eğer (a, b) aralığındaki her için f ''( < 0 ise, f nin grafiği (a, b) aralığında aşağıa doğru konkavdır. Örnek 4. f( 6 +0 fonksionu için 6, f ''( 6 olduğundan, her reel saısı için f ''( > 0 dır. Dolaısıla, bu fonksionun grafiği (-, ) aralığında ukarıa doğru konkavdır. Örnek 5. f( fonksionunun grafiğinin ukarı ve aşağı doğru konkav olduğu bölgeleri belirleelim., f ''( 6 tir ve f ''( in işaret değişimi aşağıdaki tablodan da anlaşılaağı üzere bu fonksionun grafiği (-, 0) aralığında aşağıa, (0, ) aralığında ukarıa doğru konkavdır. f ( - 0 - - - - - 0 + + + + +
Artan Azalan Fonksionlar, Konkavlık, Maksimum Minimum 5 Şimdie kadar apılanlardan şu sonuu çıkarabiliriz: Bir f fonksionunun artan vea azalan olduğu aralıklar f nin birini türevinin; fonksionun grafiğinin ukarıa vea aşağıa doğru konkav olduğu aralıklar da f nin ikini türevinin işaretinin değişimine bakılarak belirlenebilir. Şu kuralları elde ettik: (a, b) aralığında > 0 f artan < 0 f azalan 0 (, f () de ata teğet f ''( >0 f ( in grafiği ukarı doğru konkav f ''( < 0 f ( in grafiği aşağı doğru konkav Tanım. Bir f fonksionunun grafiğinde konkavlığın değiştiği noktaa f nin dönüm noktası denir. dönüm noktası Dönüm noktası ile ikini türev arasında şu ilişki vardır: Teorem. f fonksionu (a, b) de sürekli ve a < < b olmak üzere, f nin de dönüm noktası varsa, a f ''( 0 a da f ''( tanımsızdır. Örnek 6. f ( 6 + 9 + fonksionunun tüm kritik değerlerini, artan vea azalan, f nin grafiğinin ukarı doğru vea aşağı doğru konkav olduğu aralıkları, ve varsa dönüm noktalarını belirleelim. Fonksionun birini ve ikini türevlerini bulalım. f ( - + 9 0 vea. Kritik değerler f ( 6 0. de f ( in işareti değiştiğinden, bu noktada konkavlık değişmektedir. Dolaısıla, de dönüm noktası vardır.
Ders 8.................................................................. 6 f fonksionunun artan vea azalan olduğu aralıkları ve grafiğin ukarı doğru vea aşağı doğru konkav olduğu bölgeleri, bir tablo üzerinde belirleebiliriz. - 0 f ( 5 + + + + + + + + 0 - - - - 0 + + + + f ''( - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + Tablonun ilk satırında fonksionun bazı değerleri verilmektedir; ikini satırda in işaretinden fonksionun (,) ve (, ) aralıklarında artan, (,) aralığında azalan olduğunu; üçünü satırda f ''( in işaretinden fonksionun (,) aralığında aşağı doğru, (, ) aralığında ukarı doğru konkav olduğunu görüoruz. Son satırda bu hususları açıklaıı çizgiler çizilmiştir. Bu bilgiler ışığında verilen fonksionun grafiği aşağıdaki gibi çizilebilir. dönüm noktası 8.4. Yerel Maksimum ve Yerel Minimum. Bir sürekli fonksion bir aralığın bir kısmında artan bir kısmında azalan ise, o fonksion artan olma durumundan azalan olma durumuna geçerken erel olarak en üksek değere ve azalan durumundan artan durumuna geçerken de erel olarak en küçük değere ulaşaaktır. Bu tür değerlere erel ekstremum değerleri, bunlardan erel olarak en büük olan(lar)a erel maksimum ve erel olarak en küçük olan(lar)a da erel minimum değer(ler) denir.
Artan Azalan Fonksionlar, Konkavlık, Maksimum Minimum 7 Tanım. f, R de tanımlı bir fonksion olsun. (a,b) olan ve her (a,b) için f ( < f ( koşulunu sağlaan bir (a,b) aralığı varsa, f ( değeri f nin bir erel maksimum değeridir denir. Benzer şekilde, (a,b) olan ve her (a,b) için f ( ) > f ( ) koşulunu sağlaan bir (a,b) aralığı varsa, f ( değeri f nin bir erel minimum değeridir denir. Aşağıdaki şekiller bu tanımlar için açıklaıı olaaktır. f ( f ( a b m n a < < b f ( f ( ( f ( erel maksimum) a < < b f ( f ( ( f ( erel minimum) f ( değeri f nin erel maksimum (vea erel minmum) değeri ise, f nin de erel maksimum(vea erel minimum) değeri vardır denir. Bir fonksionun bir erel maksimum değeri belli bir aralık üzerinde fonksionun aldığı en büük değer, erel minimum değeri de belli bir aralık üzerinde aldığı en küçük değerdir. Dolaısıla, bir fonksionun birden çok erel maksimum vea erel minimum değerleri bulunabilir. f( 4 5 6 7 8 Yukarıda grafiği verilen f fonksionu için f ( ), f ( 4 ), f ( 6 ), f ( 8 ) değerleri erel maksimum, f ( ), f ( ), f ( 5 ), f ( 7 ) değerleri de erel minimum değerleridir. Bu grafikte, iki tür erel maksimum değer bulunduğuna dikkat ediniz. Örneğin, f ( 6 ) erel maksimum değerini göz önüne alırsak, fonksionun 6 ivarındaki grafiği aşağıdaki gibi olup 6 ) tanımsızdır(bu noktada, grafiğe sonsuz çoklukta teğet çizilebileeğine dikkat ediniz). f ( ) tanımsız ' 6 6
Ders 8.................................................................. 8 Diğer erel maksimum değerler, örneğin f ( 4 ) için fonksionun 4 ivarındaki grafiği aşağıdaki gibi olup, f ( )) noktasında ata teğet vardır; başka bir ifade ile, 4 ) 0 dır. ( 4 4 0 4 Grafikte erel minimum değerlere karşılık gelen noktalara bakıldığı zamanda anı durum gözlemleneektir. Gerçekten, bir fonksionun erel maksimum ve erel minimum değerleri ile ilgili olarak aşağıdaki teorem ifade edilebilir. Teorem. Bir f fonksionu (a, b) aralığında sürekli ve (a, b) için f ( erel maksimum vea erel minimum ise,, f nin bir kritik değeridir ( ani, 0 vea tanımsızdır). Bir fonksionun bazı kritik değerleri erel maksimum vee erel minmum değerlere ol açmaabilirler. Örneğin, 0 değeri f ( küp fonksionu için bir kritik değerdir fakat f ( 0) 0 değeri küp fonksionunun ne erel maksimum ne de erel minimum değeridir., f nin kritik değeri ise, f ( nin erel ekstremum olma durumu in ivarında işareti inelenerek belirlenebilir. Teorem (Birini Türev Testi). [a,b] kapalı aralığında sürekli bir f fonksionu verilmiş olsun ve (a, b), f nin bir kritik değeri olsun. Arıa, f fonksionunun (a,b) aralığının belki hariç her noktasında türevli olduğunu kabul edelim. Bu takdirde, Eğer her (a, için > 0 ve her (, b) için < 0 ise, f (, f nin bir erel maksimum değeridir. Eğer her (a, için < 0 ve her (, b) için > 0 ise, f (, f nin bir erel minimum değeridir. Eğer her (a, b) için > 0 vea her (a, b) için < 0 ise, f (, f nin bir erel maksimum vea erel minimum değeri değildir.
Artan Azalan Fonksionlar, Konkavlık, Maksimum Minimum 9 Birini Türev Testinde söz konusu edilen durumlar aşağıda gösterilmiştir: a b + + + + - - - - erel maksimum a b - - - - + + + + erel minimum a b - - - - - - - - tanımsız; erel maks. vea erel min. ok a b 0 + + + + + + + + erel maks. vea erel min. ok Örnek. f ( 6 + 9 + fonksionunun kritik değerlerini daha öne bulmuştuk. f ( in işareti inelenine - + 9 0 vea. - + + + + + + 0 - - - 0 + + + + de erel maksimum ( f ( ) 5 ) ve de erel minimum ( f ( ) ) değeri bulunduğu görülür. 4 Örnek. f ( 0 + 4 6 + 5 fonksionunun kritik değerlerini bulalım. 60 + 84 6 0 ( 5 + 7 ) 0 ( ) ( ) 0,. Bu örneğimizde de kritik değerlerin ve olduğunu görüoruz. in işareti inelenine - - - - - - - - - - - - 0 - - - - - + + + + 0
Ders 8.................................................................. 40 sadee te erel minimum( f ( ) ) bulunduğu, de ne erel maksimum ne de erel minimum( f ( ) 4 ) bulunduğu görülür. 0 olan bir kritik değerin erel maksimum vee erel minmum durumu f ''( nin o değerdeki işaretile de belirlenir: Teorem (İkini Türev Testi). f, (a, b) aralığında türevli bir fonksion ve (a, b) için 0 olsun. Eğer f ''( < 0 ise, f nin de erel maksimum değeri vardır. Eğer f ''( > 0 ise, f nin de erel minimum değeri vardır. Yukarıdaki örneklerde bulunan kritk değerler için ikini türev testini ugulaarak da sonua gidebiliriz: Örnek. f ( 6 + 9 + in kritik değerlerini Örnek de bulmuştuk: ve. Şimdi bu kritik değerler için ikini türev testini ugulaalım. f ( 6 + 9 + + 9 f ''( 6 f ''() 6 ve f ''() 6 f ''() < 0 ve f ' ' () > 0 olduğundan, f ( ) 5 erel maksimum ve f ( ) erel minimumdur. 4 Örnek 4. f ( 0 + 4 6 + 5 fonksionunun kritik değerlerini Örnek de bulmuştuk: ve. Şimdi bu kritik değerler için ikini türev testini ugulaalım. 4 f ( 0 + 4 6 + 5 60 + 84 6 f ''( 6 0 + 84 f ''() 0 ve f ''() 48 f ''() 48 > 0 olduğundan, f ( ) erel minimumdur. f ''() 0 olduğundan, kritik noktası için ikini türev testi ile herhangi bir şe sölenemez. Anak, birini türev testinden bilioruz ki f ( ) 4 ne erel maksimum ne de erel minimumdur. 0 ve f ''( 0 olduğunda ikini türev testinden kritik değerinin erel maksimum vea erel minimum olup olmadığı konusunda bir şe sölenemeeeğini unutmamalıız. Bu durumda, birini türev testi vea tanımlar kullanılır.
Artan Azalan Fonksionlar, Konkavlık, Maksimum Minimum 4 8.6. Mutlak Maksimum ve Mutlak Minimum. Bir fonksionun tanım kümesinde aldığı değerlerden en büüğü varsa, o en büük değere fonksionun mutlak maksimum değeri denir. Eğer fonksionun tanım kümesinde aldığı değerlerden en küçüğü varsa, o en küçük değere fonksionun mutlak minimum değeri denir. Örnek. f ( fonksionunun mutlak maksimum değeri f ( 0) dir. Bu fonksionun mutlak minimum değeri oktur. Örnek. f ( + fonksionunun mutlak minimum değeri f ( 0) dir. Bu fonksionun mutlak maksimum değeri oktur. Bir fonksionun bir aralık üzerinde mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerinden söz edilebileeği açıktır. Bu bağlamda aşağıdaki sonuç önemlidir. Teorem. f fonksionu [a, b] kapalı aralığında sürekli ise, f bu aralıkta mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlere sahiptir. f ( a b Şekilden de görüldüğü üzere, teoremde ifade edilen sonuç sağduusal olarak aşikârdır. [a, b] aralığında sürekli olan f fonksionunun grafiği olan eğrinin en aşağıda ve en ukarıda noktaları vardır. [a, b] aralığında sürekli bir f fonksionunun bu aralıktaki mutlak maksimum ve mutlak minimum değerleri a f nin (a, b) aralığındaki kritik noktalarında a da [a, b] aralığının uç noktalarında ( a ve b de) ortaa çıkar. Örnek. f ( 6 + 9 + denklemi ile verilen f fonksionunun aşağıdaki aralıklardan her birinde mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini bulalım: a) [0,] b) [,] [,4] ç) [,4]
Ders 8.................................................................. 4 Çözüm. 8. te, Örnek 6 da ele almış olduğumuz bu fonksionun kritik noktaları ve tür. Her bir aralıktaki mutlak maksimum ve mutlak minimum değerleri şöle belirlenir. a) [0,] aralığında sadee kritik noktası vardır ve f ( 0), f ( ) 5, f ( ) değerlerinden f ( 0) değeri f nin bu aralıktaki mutlak minimum değeri, f ( ) 5 değeri de mutlak maksimum değeridir. b) [,] aralığında da sadee kritik noktası vardır ve f ( ), f ( ) 5, f ( ) 0 8 değerlerinden f ( ) değeri f nin bu aralıktaki mutlak minimum değeri, f ( ) 5 değeri de mutlak maksimum değeridir. [,4] aralığı ve kritik noktalarından her ikisini de içermektedir ve f ( ), f ( ) 5, f ( ), f ( 4) 5 8 değerlerinden f ( ) değeri f nin bu aralıktaki mutlak minimum değeri, f ( ) f (4) 5 değeri de mutlak maksimum değeridir. ç) [,4] aralığında sadee kritik noktası vardır ve f ( ), f ( ), f ( 4) 5 değerlerinden f ( ) değeri f nin bu aralıktaki mutlak minimum değeri, f ( 4) 5 değeri de mutlak maksimum değeridir. Örnek 4. Tenis raketi üreten bir firmanın, günde adet tenis raketi üretmesi durumunda, toplam gider fonksionu Gi( 400 + 84 ve fiat talep fonksionu p 9 0.0, 0 0 0, birim para olarak verilior. a) Maksimum geliri bulunuz. b) Maksimum kârı ve bu kârın gerçekleşmesi için her bir raketin kaça satılması gerektiğini bulunuz. Çözüm. a) Gelir fonksionu, Ge ( p( 9 0.0, 0 00 olarak elde edilir. Kritik değerlere bakalım: Ge '( 9 0.0 0 900 6400 80
Artan Azalan Fonksionlar, Konkavlık, Maksimum Minimum 4 ve Ge ( 0) 760, Ge ( 80) 4840, Ge ( 00) 900 olduğundan maksimum gelir 80 raket üretildiği zaman Ge ( 80) 4840 olarak gerçekleşir. b) Kâr fonksionu, K ( Ge( Gi( 400 + 08 0.0, 0 00 olarak elde edilir. Kritik değerlere bakıoruz: K '( 08 0.0 0800 600 60 ve K ( 0) 80, K ( 60) 50, K ( 00) 0 olduğundan maksimum kâr 60 raket üretildiği zaman K ( 80) 50 olarak gerçekleşir. Örnek 5. Bir firma, en az 0 bin en çok 0 bin YTL haramaı planladığı bir reklam kampanası düzenlemek istior. Firma, geçmiş satış bilgilerini de kullanarak, bu kampana için bin YTL hararsa, günde satabileeği ürün saısının N( 9 000-600+ 45 - olaağını tahmin edior. a) Reklam haramaları arttıkça satışın da artaağını gösteriniz. b) Satışın reklam haramalarına göre değişim oranını analiz ediniz. Bu oran hangi aralıklarda artmakta, hangi aralıklarda azalmaktadır? En üksek değişim oranı nedir? N ve onun türevi N ' nün grafiğini anı koordinat düzleminde çizerek bulduğunuz sonuçları grafik üzerinde orumlaınız. Çözüm. a) Satış saısını veren N fonksionunun türevi N '( -600 + 90 - -( - 0 +00) -(-0)(-0) dir ve 0 < < 0 için N '( > 0 dır. Dolaısıla, N fonksionu (0,0) aralığında artan bir fonksiondur. Başka bir ifadele, reklam haramaları arttıkça satış saısı N ( de artar. b) Değişim oranı türeve karşılık geldiğinden, satışın reklam haramalarına göre değişim oranı N '( tir. Bu oranın hangi aralıklarda artan hangi aralıklarda azalan olduğunu anlamak için N ' nün türevine ani N nin ikini türevine bakmalıız: N ''( -6 +90-6(-5). N '( ve N ''( in işaretlerini anı tablo üzerinde ineleelim. 0 5 0 N ( 6 500 6 750 7 000 N '( 0 + + + + + + + + 75 + + + + + + + 0 N ''( + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - - - Satışın reklam haramalarına göre değişim oranını veren N fonksionu, (0, 5) aralığında artan, (5, 0) aralığında azalandır. Başka bir deimle, satış, reklam haramalarına göre 0 bin YTL den 5 bin YTL e kadar olan haramalar için artan bir oranda, 5 bin YTL den 0 bin YTL e kadar olan haramalar için azalan bir oranda artar. Satışın reklam haramalarına göre en üksek artış oranı 5 bin YTL lik haramada gerçekleşir. Bu noktadan sonra satışın reklam haramalarına göre artış oranı azalmaa başlar.
Ders 8.................................................................. 44 Tablodan ararlanarak N ve N ' nün grafiğini anı düzlemde çizioruz. 7 000 N( 6 750 6 500 N' ( 0 5 0 Grafikten görüldüğü üzere, N fonksionu (0, 0) aralığında artan olup, (0, 5) aralığında ukarıa doğru, (5, 0) aralığında aşağıa doğru konkavdır, 5 te dönüm noktası vardır. N ' nün de (0, 5) aralığında artan, (5, 0) aralığında azalan olduğu ve en üksek değerini 5 te aldığı görülmektedir.
Artan Azalan Fonksionlar, Konkavlık, Maksimum Minimum 45 Problemler 8. f ( in grafiği aşağıda verilmiştir. Grafikten ararlanarak izleen soruları anıtlaınız. u a b d h k m n r s t f( a) Koordinat kesişimlerini bulunuz. b) f ( in grafiği hangi aralıklar üzerinde artan, hangi aralıklar üzerinde azalandır? Hangi aralıklar üzerinde < 0 dır? Hangi aralıklar üzerinde > 0 dır? ç) f ( in grafiği hangi aralıklar üzerinde ukarı doğru, hangi aralıklar üzerinde aşağı doğru konkavdır? d) Hangi aralıklar üzerinde f ''( < 0 dır? Hangi aralıklar üzerinde f ''( > 0 dır? e) f nin dönüm noktalarının koordinatlarını bulunuz. f) f nin erel maksimum ve erel minimumlarının apsislerini bulunuz.. in işaret tablosu aşağıdaki gibi ise, f nin artan ve azalan olduğu aralıkları belirleiniz. a b + + 0 - - - - - - - - 0 + + +. Aşağıdaki fonksionlardan her birinin kritik noktalarını, artan vea azalan olduğu aralıkları belirleiniz. a) f ( 4 + 5 b) f ( 4 6 f ( 4 ç) f ( d) + f ( e) e f ( f) 4 f ( g) f ( + + 4. Aşağıdaki fonksionların ikini türevlerini bulunuz. a) f ( 5 + 4 b) f ( 6 + 5 7 f ( + 4 ç) f ( 6 d) / / f ( 6 + 5 e) f ( ( + 4 ) 5. f ''( in işaret tablosu aşağıdaki gibi ise, f nin ukarıa ve aşağıa doğru konkav olduğu aralıkları belirleiniz. a b f ''( - - 0 + + + + 0 - - - - 0 + + + +
Ders 8.................................................................. 46 6. Aşağıdaki fonksionlardan her birinin ukarıa vea aşağıa doğru konkav olduğu aralıkları ve varsa dönüm noktalarını belirleiniz. a) f ( 4 + 5 b) f ( 6 d) + f ( e) e f ( f) f ( 4 ç) f ( g) + f ( 4 4 f ( + 7. Öneki alıştırmadaki fonksionlardan her birinin erel maksimum, erel minimum, mutlak maksimum, mutlak minimum değerlerini (varsa) belirleiniz. 8. Aşağıdaki fonksionlardan her birinin sırasıla, [-4,-], [-,], [,4] ve [-,0] aralıklarında mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini bulunuz. a) f ( 4 + 5 b) f ( 6 f ( 4 ç) f ( 9. Kar gözlüğü üreten bir firmanın, günde adet kar gözlüğü üretmesi durumunda, toplam gider fonksionu Gi( 500 + ve fiat talep fonksionu p 0 0. 00, 0 0000, birim para olarak verilior. a) Maksimum geliri bulunuz. b) Maksimum kârı ve bu kârın gerçekleşmesi için her bir gözlüğün kaça satılması gerektiğini bulunuz. 0. Bir tür üründen en çok 00 adet üretip satan bir firma bu üründen adet üretip piasaa sürmesi durumunda fiat fonksionunun p( 00 0.0 ve gider fonksionunun da Gi( 0000 + 55 YTL olaağını belirlior. a) Tanım kümesini de belirterek gelir fonksionunu, bu fonksionun artan vea azalan olduğu, ukarıa vea aşağıa doğru konkav olduğu aralıkları, mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini bulunuz. b) Tanım kümesini de belirterek kâr fonksionunu, bu fonksionun artan vea azalan olduğu, ukarıa vea aşağıa doğru konkav olduğu aralıkları, mutlak maksimum değerini bulunuz.. Bir firma, en az 0 bin en çok 40 bin YTL haramaı planladığı bir reklam kampanası düzenlemek istior. Geçmiş satış bilgilerini de kullanarak, bu kampana için bin YTL hararsa, günde satabileeği ürün saısının N( 6 000 00+ 75 - olaağını tahmin edior. a) N fonksionunun sözü edilen harama aralığında artan olduğunu gösteriniz. b) Satışın reklam haramalarına göre değişim oranını olan N '( in ne zaman artan ne zaman azalan olduğunu belirleiniz.en üksek değişim oranı nedir? N fonksionunun dönüm noktasını bulunuz. ç) N ve onun türevi N ' nün grafiğini anı koordinat düzleminde çizerek bulduğunuz sonuçları grafik üzerinde orumlaınız.. Ateşi olan bir hastaa bir ateş düşürüü ilaçtan en çok 6 miligram verilerek hastanın ateşi düşürülmeğe çalışılıor. Hastaa miligram ilaç verildikten saat sonra, hastanın vüut sıaklığı T ( deree düşüor.. 7 a) T fonksionunun, [0,6] tanım aralığında, artan olduğunu gösteriniz. b) T '( in ne zaman artan ne zaman azalan olduğunu belirleiniz. T ( in en üksek değeri nedir? T fonksionunun dönüm noktasını bulunuz. ç) T ve onun türevi T ' nün grafiğini anı koordinat düzleminde çizerek bulduğunuz sonuçları grafik üzerinde orumlaınız. 4