. Taban Aritmetiği.. Sayma Sistemleri a. 9 Etkinlik. a. gün; kaç yıl, kaç ay, kaç hafta, kaç gündür? ( yıl gün, ay 0 gün sayılacaktır.) b. 7 saniye; kaç saat, kaç dakika, kaç saniyedir? c. 7 kg fındık önce 0 kg lık çuvallara, kalanı kg lık torbalara konulacak; artanından da er kg lık paketler yapılacaktır. Kaç çuval, kaç torba, kaç paket fındık olur. b. Etkinlik. tane fındık kutulara doldurulacaktır. Aşağıdaki kutu sütunlarının üzerindeki sayılar o sütundaki her bir kutunun kaç tane fındık aldığını göstermektedir. Doldurma işlemine en sol sütundaki kutudan başlanacaktır. Dolan kutuların içine işareti konulacak, tam doldurulmayan kutuya hiç fındık konulmadan sağ sütundaki kutulara geçilecektir. Fındıklar kutulara doldurulduktan sonra her sütunun altına kaç kutunun dolu olduğu yazılacaktır. Bu kurala göre, tane fındık 0 un kuvvetleri kadar fındık alan kutulara aşağıdaki gibi doldurulmuştur. 000 00 0 ( ) 0 Sonsuz sayıdaki doğal sayıların her biri için yeni bir sembol atamak mümkün değildir. Bu yüzden, doğal sayıların belli sayıdaki sembollerle gösterildiği yazma sistemlerinin geliştirilmesi zorunlu olmuştur. Bildiğiniz onluk yazma sistemi bu zorunluluğun ürünlerinden biridir. Bu sistemde her doğal sayı 0,,,,,,, 7,, 9 sembolleri ile yazılabilmektedir. Sayıların yazılmasında on rakamın kullanılması, on sayısının diğer doğal sayılara bir üstünlüğünün sonucu değildir. On sayısına yakınlık, insanların sayma işlemine önce parmaklarıyla başlamasından kaynaklanır. Etkinlik. de keşfettiğiniz gibi doğal sayılar beş rakamla da, altı rakamla da, oniki rakamla da, yazılabilir. Bu yazma sistemlerinin her biri en az onluk yazma sistemi kadar kullanışlıdır. Bununla birlikte; burada diğer yazma sistemlerinden söz etmemizdeki amacımız, sayıların yazımı için başka seçenekler sunmak değildir. Yazma sistemlerinin genel olarak incelenmesiyle, bunların temelindeki düşünce ortaya konulacak, dolayısıyla onluk yazma sisteminin de daha iyi kavranması sağlanacaktır. Daha da önemlisi; bilgisayar biliminde bilgilerin kaydedilmesi ve taşınması, doğal sayıların 0 ve rakamları ile yazıldığı ikilik yazma sistemiyle gerçekleştirilir. Bu bakımdan, ikilik yazma sistemi bilgisayar diline başlangıç için bir temel oluşturacaktır. Siz de aşağıdaki, nın kuvvetleri kadar fındık alan kutularla, in kuvvetleri kadar fındık alan kutuları bu tane fındıkla doldurarak sonucu (.) ve (.) biçiminde gösteriniz. Bir yazma sistemi ya da sayma sistemi kurmak için taban denilen den büyük bir t doğal sayısı ile t tane işaret (rakam) seçmek gerekir. Bu t tane rakam, t den küçük doğal sayıları temsil eden işaretlerdir.
a 0, a, a,..., a n, an rakamlardan oluşan kat sayılar ve t taban olmak üzere; bir a doğal sayısı, n n n n 0 a a t a t... a t a t a olarak yazılabilir ve bu a sayısı n n 0 t a a a...a a a biçiminde gösterilir. ifadesine, t tabanında yazılmış a sayısının çözümlenmiş biçimi denir. ifadesinde, rakamların bulunduğu yerlere basamak; bir rakamın, bulunduğu basamaktaki değerine basamak değeri adı verilir. (a a...a a a ) n n 0 t 0 t lar basamağı t ler basamağı t ler basamağı n t ler basamağı n t ler basamağı Örneğin, a n rakamının basamak değeri a rakamının basamak değeri a t dir. n n a t ; Bunları, bildiğiniz onluk yazma sistemindeki bir sayı üzerinde gösterelim: Örnek. 0 0 sayısı onluk yazma sisteminde (on tabanında) yazılmıştır. ( 0 ) 0 0 0 lar basamağı 0 ler basamağı 0 ler basamağı 0 ler basamağı 0 ler basamağı 0 ler basamağı 0 0 sayısının çözümlenmiş biçimi, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ya da 0 0 0 0 0 0 tür. Sayının, örneğin 0 ler basamağındaki rakamın sayı değeri, basamak değeri 0 000 dir. Bir yazma sisteminde taban on dan küçükse, rakamlar onluk yazma sisteminden tanıdığınız işaretler olarak seçilir. Taban on dan büyükse 0,,,, için özel işaretler atanır. Biz, kolaylık sağlar düşüncesiyle 0 için A, için B, için C, işaretlerini seçeceğiz. Buna göre; örneğin, lık sistemdeki rakamların kümesi 0,,,,, ; lik sistemdeki rakamların kümesi 0,,,,,,,7,,9, A,B,C olur. Bir yazma sisteminde rakamlar belirlendikten sonra, tüm sayılar bu rakamlarla yazılmalıdır. Örneğin; on tabanında on sayısının ayrı bir işaretle değil, ve 0 rakamları ile yazıldığına dikkat ediniz. Ancak; biz, sayıları çözümlerken işlemlerde kolaylık sağlaması için, onluk yazma sistemi dışın-daki sistemlerde tabana karşılık gelen sayıları onluk sistemdeki biçimiyle göstereceğiz. Örneğin; () sekiz sayısını () biçiminde yazıp biçiminde çözümleyeceğiz. Bir doğal sayının tabanı belirtilmemişse, bu sayıyı on tabanında sayacağız. Örnek. Aşağıda verilen sayıları çözümleyiniz. a. 0 b. 00 c. BA Çözüm 0 a. ( 0 ) 0 0 0 b. ( 0 0 ) 0 0 0 0 c. BA B A A, on rakamını; B, onbir rakamını göstermektedir.
Teorem. Her a doğal sayısı bir t N tabanına göre, n n n n 0 a a t a t... a t a t a biçiminde ya da kısaca a a a...a a a n n 0 t biçiminde yazılabilir. Teorem. ya göre; her a doğal sayısını, istenilen her t tabanında (t, birden büyük doğal sayıdır.) yazmak mümkündür. Teorem.7 Her a doğal sayısı bir t tabanında yalnız bir biçimde yazılabilir. Teorem.7 ye göre; örneğin, a 7 7 7 ise, a sayısı 7 nin başka kuvvetlerinin başka rakamlarla çarpımının toplamı olarak yazılamaz. On Tabanında Yazılmış Bir Sayının Başka Tabanda Yazılması Bir örnek üzerinde anlatalım. On tabanındaki sayısını tabanında yazalım:. yol 0,,, dir. 0 Etkinlik. teki gibi düşünelim. tane fındık tane fındık alan kutuyu doldurmaz. Demek ki önce fındık alan kutuları dolduracağız. tane fındık alan kutulardan tanesi dolar. Geriye 9 tane fındık kalır. 9 tane fındık ile tane fındık alan kutu dolar. geriye tane fındık kalır. 9 9 tane fındık da er fındık alan kutuyu doldurur. 0 bulunur. 0 sayısı sekiz tabanında dört, üç, beş diye okunur.. yol On tabanındaki sayısının sekiz tabanındaki basamakları, sayısı art arda ile bölünerek daha kolay bulunur. İşlemi inceleyiniz. 0 Dikkat ederseniz; en sağdaki bölüm en büyük basamağı, sola doğru kalanlar, sırasıyla diğer basamakları vermektedir. Örnek. 7 0 sayısını tabanında yazalım. I. yol 0 0,,,,,, 7, dir. 7 sayısının kaç tane, kaç tane, kaç tane 0,, kaç tane ın toplamına eşit olduğunu bulacağız. 7 7 7 000 0 0 tane tane 0 tane tane 7 bulunur.???????? 7 tane 7 tane tane 0 0 0 0 tane tane 0 0
II. yol Aşağıdaki işlemi inceleyiniz. Çember içine alınmış rakamların sağdan sola doğru sıralaması soldan sağa doğru yazılırsa, 7 0 sayısının tabanındaki karşılığı elde edilir. 7 0 tane 0 7 000 Örnek. bulunur. 0 7 0 sayısını tabanında yazalım: tabanında A 0, B 0, 0 C, D, E, F, olsun. 0 0 0 0 7 B bulunur. 0 Etkinlik. Aşağıda verilen sayıları, istenilen tabanda yazınız. a. 7? b. 7? 0 7 0 c. 79? d. 7? 0 tane tane tane 0 tane tane 0 tane 0 0 tane 7 0 tane tane 0 tane tane tane 0 tane 7 tane 0 tane tane 0 Herhangi Bir Tabanda Yazılmış Sayının On Tabanında Yazılması Herhangi bir tabanda yazılmış bir sayıyı on tabanında yazmak için, sayının çözümlenmiş biçimi, verilen tabanda yazılır. Çözümlenmiş biçimdeki taban ve kat sayılar yerine onluk sistemdeki karşılıkları konulur. Bulunan değerler arasındaki işlemler onluk sistemde yapılır. Örnek. 0 7 sayısını on tabanında yazalım: 0 7 7 7 Örnek.7 0 0 0 bulunur. 0 AB sayısını on tabanında yazalım: A 0 ve B dur. 0 0 AB A B 0 7 bulunur. 0 On dan Farklı Bir Tabandaki Bir Sayının Başka Bir Tabanda Yazılması Verilen sayı once on tabanında yazılır. Sonra, on tabanındaki sayı istenilen tabana çevrilir. Örnek. 0 sayısını beş tabanında yazalım: 0 7 0 7 7 0 0 77 0 0 0 bulunur. 7
a Tabanındaki Bir Sayının a n Tabanında Yazılması Bir örnek üzerinde anlatalım. 000 sayısını tabanında yazalım: Verilen sayıyı çözümleyip, ün azalan kuvvetleri türünden yazacağız. 000 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Yukarıdaki çözümleme ve işlemler incelenirse, bundan aşağıdaki sonuç çıkarılabilir. ( 0 0 0 0 ) 0 0 0 0 0 0 a tabanında yazılmış bir sayıyı a n tabanında yazmak için, verilen sayının rakamları sağdan başlanarak n li gruplara ayrılır. Her grubun, verilen tabanda belirttiği sayı yerine bunun a n tabanında belirttiği sayı yazılır. Örnek.9 000 sayısını sekiz tabanında yazalım: olduğundan, verilen sayıyı sağdan lü gruplara ayıracağız. 00 00 0 7 () () (7) () bulunur. Örnek.0 7 9 sayısını üç tabanında yazalım: 9 olduğundan, Örnek-.9 da yaptığımızın tersini yapacağız. Her rakamın yerine, o rakamın tabanındaki karşılığını yazacağız. 7 0 () (0) () bulunur. 9 Etkinlik.7 Aşağıda verilen sayıları, istenilen tabanda yazınız. ( A 0, B, C, D, 0 0 0 0 E, F alınacaktır.) 0 0 a. 00? b. AB? 0 0 c. 7? d. 7? 0 0 e. 0? f. 7? 7 g. 00? h. 00? i.? j. 7? k. 0? l. 7? Herhangi Bir Tabandaki Sayının Tekliği; Çiftliği n n ana n...a a a0 a t nt an t... 9 9 0 a t a t a sayısında t çift ise; a 0 dışındaki toplam çift olacağından, sayının tek ya da çift olması a 0 değerine bağlıdır. Taban çift iken, a 0 tek ise sayı tektir; a 0 çift ise sayı çifttir. n n ana n...a a a0 a t nt an t... 0 a t a t a sayısında t tek ise toplamdaki her terimin tek ya da çift olması a n, a n,... kat sayılarının tek ya da çift olmasına bağlıdır.
Kat sayı tek ise terim tek; çift ise terim çift olur. Taban tek iken, a a... a a a n n 0 toplamı tek ise sayı tektir; çift ise sayı çifttir. Örneğin, 0 sayısı tektir. 0 7 sayısı çifttir. ( çift olduğundan).. Bir Sayma Sisteminde İşlemler 0 ye kadar olan doğal sayıların değişik tabanlarda nasıl yazıldığını bilmeniz, -ya da zihinden kolayca bulabilmeniz- işlemleri yaparken kolaylık sağlayacaktır. Aşağıdaki tabloyu incelerseniz, bu konuda önemli ipuçları elde edebilirsiniz. 0 luk lik lik lik sistem sistem sistem sistem 0 0 0 0.0 00 0 0 0 7 7 0. 000 9. 00 0 0. 00. 0. 00. 0. 0 7 0. 0 0000 7 000 000 9 00 0 0 000 Toplama İşlemi Etkinlik. Bir çiftçi A tarlasından aldığı buğdayla 0 kg lık, kg lık 7, kg lık teneke kabı; B tarlasından aldığı buğdayla 0 kg lık, kg lık, kg lık teneke kabı doldurmuştur. Her kap tam doldurulacağına göre, bu çiftçi toplam ürününü en az kaç kaba yerleştirebilir? Toplama işleminin nasıl yapıldığını örneklerle anlatalım: Örnek. 9 0 0 işlemini, sayıları çözümleyerek yapalım: 9 0 0 + 0 0 0 0 9 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 7 0 0 0 7 0 0 7 0 Sayıları çözümlemeden, toplama işlemi şöyle yapılır: Sayılar, aynı adlı basamaklar alt alta gelecek biçimde yazılır. Birlikler toplanır. Birliklerin oluşturduğu 0 lukların sayısı 0 luklara eklenir; kalan liklerin sayısı birler basamağına yazılır. 0 luklar toplanır. 0 lukların oluşturduğu 00 lüklerin sayısı 00 lüklere eklenir; kalan 0 lukların sayısı 0 lar basamağına yazılır. 00 lükler toplanır. 00 lüklerin oluşturduğu 000 liklerin sayısı 000 liklere eklenir; kalan yüzlüklerin sayısı 00 ler basamağına yazılır. 000 likler toplanır 0 0 0 9 0 0 7 0 0 7 0 0 0 9 + 7
Örnek. işlemini yapalım: Birliklerin toplamı altı dır. Altı sayısı beş tabanında olarak yazılır. Yani altı tane birlik, tane lik ve tane lik eder. ler basamağına yazılır, tane lik ele alınır. liklerin toplamı sekiz dir. Sekiz sayısı tabanında olarak yazılır. Yani, sekiz tane lik, tane ve tane lik eder. ler basamağına yazılır; tane lik ele alınır. liklerin toplamı altı dır. Altı sayısı beş tabanında olarak yazılır. Yani altı tane lik, tane lük ve tane lik eder. ler basamağına, ler basamağına yazılır. Örnek. Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz. a. 0 7 7 7 7 7 0 + 7 00 7 0 7 7 7 7 b. 0 0 0 + 0 Etkinlik.9 Aşağıdaki işlemleri yapınız. a. 0 b. 00 0 + + c. 7 d. AB BB + + ( ) + ( ) ( ) Çıkarma İşlemi Etkinlik.0 Bir çiftçi 0 kg lık 7, kg lık, kg lık kap dolusu buğdayının; 0 kg lık, kg lık, kg lık kap dolusu kısmını satacaktır. Her kap tam doldurulacağına göre; kalan buğdayını en az kaç kaba yerleştirebilir? Çıkarma işlemini örneklerle anlatalım: Örnek. 0 7 işlemini, sayıları çözümleyerek yapalım: 0 0 0 0 0 0 0 7 0 Birliklerden birlikleri, onluklardan onlukları, yüzlüklerden yüzlükleri, çıkaracağız. tane 0 luktan 7 tane 0 luk; 0 tane 00 lükten tane 00 lük çıkarılamaz. Bu durumda, 000 liklerin birini 00 lüklere ve 0 luklara çevireceğiz. 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 olduğundan 0 9 0 0 0 0 9 0 0 olur. Bu yeni kat sayılarla, işlem aşağıdaki gibi yapılır: 0 9 0 0 0 7 0 0 0 9 0 9 0 Aynı yöntemi, sayıları çözümlemeden de uygulayabiliriz. birlikten birlik çıkarılırsa birlik kalır. sayısı ler basamağına yazılır. tane 0 luktan 7 tane 0 luk çıkarılamaz. 0 likler 0 tane olduğundan, tane 0 ün tanesi 9 tane 0 ve 0 tane 0 e çevrilir. 0 tane 0 luktan 7 tane 0 luk çıkarılırsa 9 tane 0 luk kalır. 0 lar basamağına 9 yazılır. 9 (0) 0 7 9 7
9 tane 0 den tane 0 çıkarılırsa tane 0 kalır. 0 ler basamağına yazılır. tane 0 ler basamağından çıkarılan olmadığı için 0 ler basamağına yazılır. c. 0 d. 9A0 7 BB7 Örnek. 0 işlemini yapalım: tane den tane çıkmaz. eksilenin tane liğini liklere çeviririz. beş yedi tane birlik olur. Yedi tane den, tane çıkarılırsa tane lik kalır. Birler basamağına yazılır. 0 tane ten tane çıkarılamaz. tane ten birini lere çevirirsek, tane olur. Bunun da ini lere çevirirsek; ler basamağı, ler basamağı, ler basamağı beş olur. Beş tane likten tane lik çıkarılırsa tane lik kalır. ler basamağına yazılır. tane likten tane lik çıkarılırsa 0 kalır. ler basamağına 0 yazılır. tane ten tane çıkarılırsa, tane kalır. ler basamağına yazılır. 0 ( 0 ) ( ) ( 0 ) Çarpma İşlemi Bir Doğal Sayının, Tabanın Kuvveti ile Çarpımı Teorem. t tabanına göre yazılmış bir doğal sayının p t p N ile çarpımı olan doğal sayı, verilen sayının sağına p tane sıfır konularak elde edilen sayıdır. Teorem. e göre; örneğin; Dört 000 Dört ya da 0 000 Dört dır. Etkinlik. Teorem-. i ispatlayınız. Örnek. Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz. (7) 0 0 (7) 0 0 a. ( ) 7 b. ( 0 0) ( ) 7 ( 0 ) ( ) 7 (0 0 ) 9 (7) () 7 () () c. (A B) d. ( 0 ) (9 C C) ( ) (0 9 D) ( ) Etkinlik. Aşağıdaki işlemleri yapınız. a. 0 b. Bir Doğal Sayının Bir Rakam ile Çarpımı Örnek.7 0 0 işlemini, 0 sayısını çözümleyerek yapalım: 0 0 0 0 0 0 (D) 0 0 0 0 (Toplama ve çarpma t.) 0 0 0 (TB) 0 0 0 0 Yukarıdaki yöntemi, çözümleme yapmadan uygulayalım: dir. Birler basamağına yazılır. () 0 () 0 tane 0 luk, 0 tane (0) 0
0 luk eder. Bu da tane 00 lük, sıfır tane 0 luktur. 0 lar basamağına 0 yazılır; tane 00 lük ele alınır. 0 tane 00 lük eder. Eldeki tane 00 lük eklenirse 0 tane 00 lük olur. Bu da tane 000 lik, tane 00 lük demektir. tane 00 lük, 00 ler basamağına ; 000 ler basamağına yazılır. Örnek.0 00 işlemini yapalım: 00 00 00 0 00 0 0 000 bulunur. 00 çarpımını bulmak için, çarpılır, çarpımın sağına iki tane 0 konulur. ile Örnek. işlemini yapalım: dir. () Birler basamağına () yazılır. 0 tane lük lik tane tane lük eder. Bu da, tane ve tane tür. ler basamağına yazılır; tane ele alınır. tane eder. Eldeki tane da tane eklenirse 0 tane basamağına 0 ve (0) ve sıfır tane elde edilir. Bu demektir. ler basamağına yazılır. ler İki Doğal Sayının Çarpımı Örnek. 7 çarpımını yapalım: 0 0 7 0 0 7 0 0 0 0 7 0 7 0 0 0 0 0 0 0 bulunur. 0 Örnek.9 Yukarıdaki işlemi, çarpanları alt alta yazarak yapabiliriz. Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz. a. 0 0 b. 07 7 0 Önce 7 yi ile, sonra 7 yi 0 ile çarparak, çarpımları alt alta yazıp toplarız. 7 yi 0 ile çarpmak yerine ile çarpıp sonucu diğer çarpanın altına, bir basamak sola kaydırarak yazmak daha pratik olur. (7) 0 () 0 () 0 (0) 0 () 0 (7) 0 () 0 () 0 () 0 () 0 9
Örnek. a. Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz. () () () () () Etkinlik. Aşağıdaki işlemleri yapınız. a. 00 b. 000 7 0 00 7 c. 00 9 d. AB0 0 9 BA0 b. () () (0) () (0) 0 0 Bölme İşlemi Bir Doğal Sayının, Tabanın Kuvveti ile Bölümü Teorem.9 t tabanına gore yazılmış bir doğal sayının p t p N ile bölünmesinde bölüm, verilen sayının sağdan p tane rakamının atılmasıyla elde edilen sayıdır. Verilen sayının sağındaki p tane rakamın gösterdiği sayı da kalandır. Teorem.9 e göre; örneğin; 7 nın 0 ile bölünmesinde bölüm 7 ve kalan olur. Örnek. 00 000 işlemini yapalım: 00 000 00 000 0 0 0 0 00000 bulunur. Sağ basamakları sıfır olan doğal sayıların çarpımını bulmak için; sıfırlar atılarak işlem yapılır. Elde edilen çarpımın sağına, atılan sayıda sıfır konulur. Örneğin; 000 00 00000 olur. () () (0) (0) () Etkinlik. Teorem-.9 u ispatlayınız. Örnek. 0 sayısının Beş bölüm ve kalan tir. Örnek. 000 sayısının ile bölünmesindeki bölüm ve kalanı bulalım: Beş ile bölünmesinde, 0 olduğundan; sayının sağdan altı basamağını ayırırsak, 000 bölümün 00 ve kalanın 0 olduğu görülür. 0
Bölümün Basamak Sayısını Bulmak Örnek. 7 in ile bölünmesinde, bölümün basamak sayısını bulalım: Bölme özdeşliğine göre; r, kn; 7 k r ; r tür. Buna göre, k 7 k olur. ün, tabanın kuvvetleriyle çarpımları;, 0, 00, 000, olup 0 7 0 tür. Diğer taraftan, e göre, ün 7 den küçük olan en büyük katı k ; 7 den büyük olan k dir. en küçük katı da Öyleyse; 0 k ve k 0 0 k ve k 0 0 k ve k 0 0 k 0 olur. O hâlde; bölüm üç basamaklıdır. Dikkat edilirse; a 7, b ve t 0 olmak üzere, b t a b t iken bölümün basamak sayısı olmuştur. Bu sonucu, bölümün basamak sayısını bulma kuralı olarak genelleştirebiliriz : t tabanında yazılmış a ve b doğal sayıları p için a b t eşitsizliğini sağlayan en küçük p sayısı; a nın b ye bölünmesinden elde edilen bölümün basamak sayısını verir. Örnek.7 a. 7 in ile bölünmesinde; 0 7 0 olduğundan, bölüm basamaklıdır. b. 0 in ile bölünmesinde; 000 0 000 0 0 0 olduğundan, bölüm basamaklıdır. c. 00 in 0 ile bölünmesinde; 000000 00 0000000 0 0 00 0 0 olduğundan, bölüm basamaklıdır. Bölümün Soldan İlk Rakamını Bulmak Örnek. 7 in ile bölünmesinde, bölümün soldan ilk rakamını bulalım: 00<7<000 0 7 0 olduğundan, bölüm basamaklıdır. Bölüme yz dersek, 7 yz r, r 7 0 y 0 z r 7 0 0y z r olur. 0y z r ifadesinin en büyük değeri 0 9 9 olup 0 den küçüktür. O hâlde; 0 y z r r toplamı 7 in 0 ile bölünmesindeki kalandır. Bu durumda, 7 0 r eşitliğinde rakamı 7 in 00 e ya da ün ye bölünmesindeki bölüm olur. Burada, rakamı dir. Dikkat edilirse; a 7, b ve t 0 iken bölüm basamaklı olup bölümün soldan ilk rakamı a nın b t ile bölümündeki bölüm olmuştur. Bu sonucu, bölümün soldan ilk rakamını bulma kuralı olarak genelleştiriyoruz: t tabanında yazılmış a ve b doğal sayılarından, a nın b ye bölünmesindeki bölüm p basamaklı ise; bölümün soldan ilk p rakamı, a nın b t ile bölümündeki bölümdür.
Örnek.9 a. 7 nin ile bölünmesinde; 000 7 0000 0 olduğundan, bölüm basamaklıdır. Bölümün soldan ilk basamağı, 7 nin 0 000 e ya da nın ya bölümündeki bölüm olup dır. b. 0 in ile bölünmesinde; 000 0 0000 0 olduğundan, bölüm basamaklıdır. Bölümün soldan ilk basamağı, 0 in 0 000 in ile bölümündeki bölümdür. 9 ve 9 0 ile ya da olduğundan, 0 bölümün ilk basamağı olur. c. 70 9 ün 9 ile bölünmesinde; 0000 70 00000 9 9 9 olduğundan bölüm basamaklıdır. Bölümün soldan ilk basamağı, 0 9 9 70 9 ün 0 9 9 0000 ile 9 ya da 7 nin 9 ile bölümündeki bö- 9 lümdür. 7 79 ve 9 0 olduğundan, 9 0 bölümün ilk basamağı olur. Bölümün ve Kalanın Bulunması Bölme işlemi üzerine yukarıda verdiğimiz bilgilerle, artık; yıllardır yaptığınız bölme işleminin neden öyle yapıldığını açıklayabilecek durumdayız. Örnek.0 7 ün ile bölünmesindeki bölüm ve kalanı bulalım: 00 7 000 0 olduğundan bölüm basamaklıdır. 7 ün 0 ile ya da nin ile bölümündeki bölüm, bölümün soldan ilk basamağı olup dir. Bölünen, bölen ve bölümü yandaki çizelgede gösterildiği gibi yerleştirelim. 7 ü ile bölme nin, 7 ün içinde kaç tane bulunduğunu bulma demek olduğunu biliyorsunuz. Bölüm basamaklı ve yüzler basamağı olduğuna göre, 7 ün içinde en az 00 tane vardır. Bu 00 tane i 7 ten çıkarırsak geriye 77 kalır. Aynı yöntemle, 77 ün içinde en az 0 tane olduğu bulunur. Bu 0 tane i de 77 ten çıkarırsak geriye 7 kalır. 7 ün içinde de tane vardır. tane i 7 ten çıkarırsak, geriye kalır O hâlde; 07 ün ile bölümündeki bölüm 00 0, kalan tür. Bölünen Bölen 7 7 00.. 77 77. 77 700. Bölüm 7 ün ile bölünmesinde; bölümün 00 ler, 0 lar ve ler basamaklarını bulduğumuz işlemleri, 7 00 yandaki gibi 77 aynı çizelgede 770 gösterebiliriz. 7 70 7 7 70 Yukarıdaki çizelgedeki, üstü çizili sayılara dikkat ediniz! de aranmış, yüzler basamağına yazılmış; 77 de aranmış, onlar basamağına yazılmış; 7 te aranmış, birler basamağına yazılmıştır. 7 Buna göre; işlemler 77 yandaki gibi 70 daha kısa 7 70 yapılabilir.
İşlemlerin yukarıdaki son biçimi bizi sizin de bildiğiniz bölmenin pratik tekniğine götürür. Artık; bölümün kaç basamaklı olduğunu ve soldan ilk rakamının ne olduğunu ayrıca araştırmamıza gerek yoktur. Bu tekniği, 7 ü e bölerek hatırlatalım: Bölünenin, soldan en az kaç basamağının oluşturduğu sayının bölenden büyük olduğu aranır., ten büyüktür. de, kere vardır. Bölümün soldan ilk basamağına yazılır. sayısı den çıkarılır. Kalan 7 nin yanına, bölünenin soldan. basamağındaki 7 getirilir. 77 de, kere vardır. Bölümün soldan. basamağına yazılır. 70 sayısı 77 den çıkarılır. Kalan 7 nin yanına, bölünenin soldan. basamağındaki getirilir. 7 te, kere vardır. Bölümün soldan. basamağına yazılır. 70 sayısı 7 ten çıkarılır. Kalan ve < olduğundan bölme işlemi tamamlanmıştır. Bölüm ; kalan tür. 7 77 70 7 70 Örnek. Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz. a. 0 b. 000 000 0000 c. d. (00) 7 () 7 (0) 7 0 0 () 7 () () (00) 000 0 () 000 00 00 00 7 7 Örnek. 0 nin ile bölünmesindeki bölüm ve kalanı bulalım: 0 ve olduğundan 0 da aranır. 0 ve 0 olduğundan; 0 0 da, kere vardır. Bölümün soldan ilk basamağına yazılır. sayısı 0 dan çıkarılır. Kalan in yanına bölünenin. basamağındaki getirilir. de, kere vardır. Bölümün soldan. basamağına yazılır. sayısı Bölüm ve kalan olur. (0) () () () () () den çıkarılır. Etkinlik. Aşağıdaki işlemleri yapınız. a. 00 b. 0 c. 70 d. 09 B Taban aritmetiği üzerine örnekler ve etkinliklerle devam edelim: Etkinlik. Aşağıda verilen toplamları onluk yazma sisteminde yazınız. a. 7 0 0 0 b. 7 0 0 0 7 0 9
Etkinlik.7 On tabanında, A 0,,,,7, kümesinin elemanları ile yazılabilecek, beş basamaklı ve rakamları farklı a. en büyük sayı kaçtır? b. en küçük sayı kaçtır? Etkinlik. On tabanında rakamlarının sayı değerlerinin toplamı 9 olan, beş basamaklı a. en büyük sayı kaçtır? b. en küçük sayı kaçtır? c. rakamları farklı en büyük sayı kaçtır? d. rakamları farklı en küçük sayı kaçtır? Örnek. On tabanında, rakamlarının sayı değerlerinin toplamının katının fazlasına eşit olan iki basamaklı sayıları bulunuz. Çözüm abc ab ab c 0 ab c 00 ab 0 ab c 00 ab Bu son eşitlik, ün ile bölünmesinde bölümün (ab), kalanın c olduğunu gösterir. Buna göre, ab ve c olup abc dır. Etkinlik.9 Aşağıdaki eşitliklerde harflerle verilen sayılar on tabanında doğal sayılardır. Bilinmeyen sayıları bulunuz. a. yz y 0 b. abc bc Çözüm On tabanında, iki basamaklı (ab) sayısı 0 a b ye eşittir. ab a b 0 a b a b a a b a b b a b a b olur. b 0 ise a b ise a b ise a b ise a b ise a olup istenen sayılar; 0,,,, dir. Örnek. (abc) ve (ab), on tabanında üçer basamaklı iki doğal sayıdır. abc ab olduğuna göre abc 0 sayısı kaçtır? Etkinlik.0 On tabanında (abc) üç basamaklı, (bc) iki basamaklı doğal sayılardır. abc ab 7 olduğuna göre, (abc) kaçtır? Etkinlik. Aşağıdaki işlemlerde harfler birer rakamı göstermektedir. Sayılar on tabanında yazıldığına göre, harflerin karşılık geldiği rakamları bulunuz. a. a b. aa + 7b a c. a d. b cd + efk mnp7 aba ac abc ac
Etkinlik. Aşağıdaki işlemlerde harflere karşılık gelen rakamları bulunuz. a. (a) b. (aa) + (b) (0a) c. (a) d. (b) (cde) + (fghk) (mnp) (aba) (ac) () (abc) (ac) (7) (0) Alıştırmalar ve Problemler.. kg buğday; 0 kg lık, kg lık ve kg lık teneke kutulara konulacaktır. Her kutu tam olarak doldurulacağına göre, en az kaç teneke kutuya gereksinim vardır?. 0 gün; kaç yıl, kaç ay, kaç gündür? ( yıl gün, ay 0 gündür.). 70 saniye; kaç saat, kaç dakika, kaç saniyedir? Etkinlik. Yandaki bölme işleminde, bölünenin alabileceği değerleri bulunuz. (a, bn) Etkinlik. Yandaki işlemde bölüm ve kalanın alabileceği değerleri bulunuz. a b b (ab) r. Bir koşucu koşacağı mesafenin ilk yarısını dak. sn de koşmuştur. İkinci yarıyı da aynı sürede koştuğuna göre, koşucu koşusunu kaç sa, kaç dak, kaç sn de tamamlamıştır?. Aşağıdaki işlemlerde verilenlere göre, istenenleri bulunuz. a. ab b. aaa c. a + ba bb + 7b 7c + cd cdc baa a b c? a b c d? a,b, c? Etkinlik., y, z N olmak üzere, y z ve y z koşullarını sağlayan, y, z için; a. in en büyük değeri kaçtır? b. y nin en büyük değeri kaçtır? c. z nin en büyük değeri kaçtır? Etkinlik., y, z ikişer basamaklı doğal sayılardır. y z olduğuna göre, in en küçük değeri kaçtır? d. ab e. aa f. a7c - ab + bc bb 0 a,b, c? a,b, c? a,b? g. a h. ab i. b b c0 + 9 + 0 a,b,c,d? a,b? a,b, c? a7a - a9 bcd9 ab a,b, c? a,b,c, d,e,m,n? c j. ab k. abcde l. a b c de 9 mn a,b?
. Aşağıdaki işlemlerde verilenlere göre, istenenleri bulunuz. a. A b. 9 A nın en büyük a b nin en büyük değeri ile en küçük değeri kaçtır? değeri kaçtır? c. A B 7 d.?? A B nin en küçük A nın en küçük değeri kaçtır? değeri kaçtır? 7. Aşağıdaki işlemlerde bölüm ve kalanları bulunuz. a. 0 b. yz0yz yz c. ababab ab0 d. abab0ab0 ab0. Aşağıda verilen toplamları onluk yazma sisteminde yazınız. a. b. c. 7 0 0 0 0 0 0 7 7 0 0 0 0 9 0 d. 0 7 7 0 0 0 0 7 9. A 0,,,,,, kümesinin elemanları ile yazılabilecek, altı basamaklı ve rakamları farklı, a. en büyük sayı kaçtır? b. en küçük sayı kaçtır? 0. Rakamlarının sayı değerlerinin toplamı olan, dört basamaklı a. en büyük sayı kaçtır? b. en küçük sayı kaçtır? c. rakamları farklı en büyük sayı kaçtır? d. rakamları farklı en küçük sayı kaçtır?. 0. alıştırmada istenilen dört basamaklı sayılar yerine, aynı koşullardaki, a. altı basamaklı sayıları yazınız. b. yedi basamaklı sayıları yazınız. A ab? B 7 B C. Aşağıdaki eşitliklerde, harflere karşılık gelen rakamları bulunuz. a. abc bc (a b c) b. abc ac (b a c) c. ab ab 90 d. a7b 90 cd e. abcd abc 7 f. abc abab. Rakamlarının sayı değerlerinin toplamının katının fazlasına eşit olan iki basamaklı sayıları bulunuz.. İki basamaklı (ab) sayısı, rakamlarının toplamının katına; (ba) sayısı rakamlarının toplamının y katına eşittir. y kaçtır?. İki basamaklı bir sayının rakamlarının yer değiştirilmesiyle elde edilen iki basamaklı sayı ilkinden eksiktir. Bu koşula uyan kaç değişik sayı vardır?. (abc), (cba) ve (9d) sayıları üçer basamaklıdır. abc cba 9d eşitliğini sağlayan kaç (abc) sayısı vardır? 7. Yandaki bölme işleminde abc üç basamaklı bir doğal sayıdır. İşlemde verilen koşullara uyan tüm (abc, r) ikililerini yazınız.. (ab), (cd), (ba), (dc) iki basamaklı ve rakamları farklı doğal sayılardır. ab cd dc dir. ab cd ba dc eşitliği sağlandığına göre a, b, c, d rakamları arasındaki bağıntıyı bulunuz. Eşitliğe örnekler veriniz. 9. (abcd) ve (cdab) dört basamaklı sayılardır. 7 abcd cdab eşitliğini sağlayan rakamları farklı en büyük (abcd) sayısını bulunuz. 0. Aşağıda verilen sayıları istenilen tabanda yazınız. a.? b. 00? 0 0 c. AB? d. 9? 0 0 abc 9 r 0
e. 7? f.? 0 0 g. 0? h. 0? 7 i. 0000? j.? k.? l.?. Aşağıdaki işlemleri yapınız. a. () b. + () c. (7) d. 9 + () 9. Aşağıdaki işlemleri yapınız. a. (0000) b. (0) c. (07) 9 d. (7) 9. Aşağıdaki işlemleri yapınız. a. (00) b. (0) c. (700) d. (0). Aşağıdaki işlemleri yapınız. (0) + () (AB) + (BCB) (0) () (A) (BC) (00) (0) a. (0) b. () (0) () c. (700) d. 9 () 9 (0) (AB) (AB0) (B0) 7. 7 7 koşulunu sağlayan kaç tane doğal sayısı vardır?. Aşağıdaki toplamları istenilen tabanlarda yazınız. a.? b. 7? 9. Aşağıdaki ifadeleri, istenilen tabanlarda yazınız. a. a? a b. a? a c. a? a 0. t olduğuna göre, 0 t sayısını t tabanında yazınız.. 000 t sayısını t tabanında yazınız.. basamaklı. aa yz 9 olduğuna göre, üç yz sayısı kaçtır? a b c d + e f g b e f c b h işleminde her harf farklı bir rakamı göstermektedir. Bu rakamları bulunuz..! sayısı! tabanında yazıldığında kaç basamaklı olur.. aaa aa olduğuna göre, t kaçtır? t. Aşağıdaki eşitliklerde bilinmeyenleri bulunuz. a. 0 0 t b. a bcd a c. a a0 7 d. 0 0 t 7