053/063 Yeryüzü ve Hrit Yeryüzünün şekli Küre? Pisgor felsefi olrk (MÖ 6.YY), Aristo gözlemlere dynrk (MÖ 4.YY) yerin küresel olduğu sonucun vrmışlrdır. Ertoshenes yerin çevresini ilk kez hesplmıştır (MÖ 50) Elipsoit? Newton (643-77) yerin dönmesinden kynklnn merkezkç kuvvetinin kutuplrd bsıklığ Ekvtord şişkinliğe yol çmsı gerektiğini öne sürmüştür. Frnsız Bilimler Akdemisi Ekvtor ve kuzey kutbu civrınd meridyen ölçmeleri yprk Newton un hklı olduğunu belirlemiştir. Küre? Elipsoit? Yeryüzü, : Milyon ve dh küçük ölçeklerde küre, dh büyük ölçeklerde dönel elipsoit kbul edilir.
Dtum? Kullnıln referns yüzeyinin uzydki konumu dtum olrk tnımlnır. Aynı yüzey, frklı ülkelerde frklı konumlrd kullnılbilir. Yerel Dtum? Globl Dtum Bir referns elipsoiti yeryüzünde bir noktd geoid yüzeyine çkışık lınırs, yerel dtum tnımlnmış olur. Örnek: ED50 Yeryüzünün tmmın en iyi uymk üzere tnımlnmış; nck herhngi bir noktd geoid ile çkışık olmyn dtum ise globl dtumdur. Örnek: WGS84, GRS80 Çekül Doğrultusu Elipsoit Normli y zü Fiziksel Yer ü Jeoit Referns Yüzeyi (Elipsoit/Küre)
Jeoit? Durgun deniz yüzeyinin krlrın ltınd d devm ettiği vrsyılrk oluşturuln kplı yüzey. Yeryüzünde her noktd çekül doğrultusun dik sonsuz syıd nivo yüzeyi vrdır ki bunlrdn deniz seviyesi ile çkışık olnı geoit olrk dlndırılır. Guss: Geometrik nlmd yeryüzünün şekli olrk dlndırdığımız yüzey her noktsınd çekül doğrultulrını dik çılrl kesen ve kısmen okynus yüzeyi ile çkışık oln yüzeyden bşk bir şey değildir. Guss un tnımldığı bu yüzeye Listing trfındn Jeoit dı verilmiştir. Yeryüzünün Boyutlrı Küre yrıçpı ilk kez İskenderiyede Ertosthenes trfındn hesplnmıştır (MÖ 50). http://en.wikipedi.org/wiki/ertosthenes İlk çğd benzer hesplmlr ypıldı. Ort çğd El-Biruni (973-048) trfındn d yrıçp hesplndı. http://en.wikipedi.org/wiki/ab%c5%ab_ry%e%b8%a5%c4%8n_l-b%c4%abr%c5%abn%c4%ab 3
600 lere kdr, yeryüzünün küre olduğu düşüncesi devm etti. Isc Newton 670 de yerin dönmesinden kynklnn merkezkç kuvvetinin etkisi ile yerin dengede klbilmesi için yeryüzünün ekvtordn birz şişkin, kutuplrdn birn bsık olmsı gerektiğini öne sürdü. Bu vrsyım göre yerin dönme ekseni içeren bir düzlemle rkesiti elips, dönme eksenine dik ve yerin merkezini içeren düzlemle (ekvtor düzlemi) rkesiti dire biçiminde olmlı idi. Bu yüzey bir elips tnımlnrk, bu elipsin yerin dönme ekseni etrfınd döndürülmesi ile elde edilebilir. Bu mçl yeryüzünün değişik bölgelerinde lik meridyen yy uzunluğunu belirlemek üzere ölçmeler ypıldı ve Newton un öngörüsünün doğru olduğu orty çıktı. Dönel Elipsoit Kuzey Kutbu b Ekvtor Güney Kutbu Büyük Eksen () Küçük Eksen (b) Adı Bsıklık (f) (m) (m) Everest (830) 6,377,99.365 6,356,098.359 300.807554 Everest 830 Modified (967) 6,377,304.063 6,356,03.0390 300.807 Everest 830 (967 Definition) 6,377,98.556 6,356,097.550 300.807 Airy (830) 6,377,563.396 6,356,56.909 99.349646 Bessel (84) 6,377,397.55 6,356,078.963 99.588 Clrke (866) 6,378,06.4 6,356,583.8 94.978698 Clrke (878) 6,378,90 6,356,456 93.4659980 Clrke (880) 6,378,49.45 6,356,54.870 93.465 Helmert (906) 6,378,00 6,356,88.7 98.3 Hyford (90) 6,378,388 6,356,9.946 97 Interntionl (94) 6,378,388 6,356,9.946 97 NAD 7 (97) 6,378,06.4 6,356,583.800 94.97869808 Krssovsky (940) 6,378,45 6,356,863.09 98.3 WGS66 (966) 6,378,45 6,356,759.769 98.5 Austrlin Ntionl (966) 6,378,60 6,356,774.79 98.5 New Interntionl (967) 6,378,57.5 6,356,77. 98.496539 GRS-67 (967) 6,378,60 6,356,774.56 98.476747 South Americn (969) 6,378,60 6,356,774.79 98.5 WGS-7 (97) 6,378,35 6,356,750.5 98.6 GRS-80 (979) 6,378,37 6,356,75.34 98.570 WGS-84 (984) 6,378,37 6,356,75.34 98.573563 IERS (989) 6,378,36 6,356,75.30 98.57 IERS (003) [4] 6,378,36.6 6,356,75.9 98.564 4
Yer Elipsoiti Elipsoitin ekvtor ve kutup yrıçplrı ( ve b) birbirine çok ykın değerlerdir. Frk genel olrk 0 km civrınd olup biri diğerinden ~%3 dh büyüktür. Bu nedenle yeryüzünü tnımlyn elipsoitlere küreye oldukç ykındır. Hesplmlrd Küre Yeryüzünün elipsoit yerine küre kbul edilebildiği hesplmlrd gerekli küre yrıçpı olrk yüzeyi elipsoit yüzeyine eşit oln küre yrıçpı kullnılır. Bu şekilde tnımlnn küre Otlik Küre olrk d dlndırılır. Her elipsoit için bir otlik küre yrıçpı hesplnbilir. Yygın kullnıln elipsoitler için, Bessel Elipsoiti> 6370 km WGS84 y d GRS80 > 637 km Ayrıc jeodezide bölgesel olrk o bölgeye en iyi uyn küre yrıçpı hesplnbilir. Bu küre Guss KüresiK resi olrk dlndırılır. Yeryüzünde Referns Sistemleri Yeryüzünün şekli ve boyutlrı belirlendikten sonr yeryüzü üzerindeki noktlrı tnımlyck koordint y d referns sistemlerine ihtiyç vrdır. Bu şekilde yeryüzü üzerinde tnımlnn noktlr hrit projeksiyonlrı yrdımı ile hrit düzlemine ktrılır. Dh sonr hrit düzleminde krtogrfik tsrım sonucu hrit oluşur. En çok krşılşıln koordint sistemleri: Coğrfi Koordint Sistemi Krtezyen Koordint Sistemi (Jeodezik Dik Koordint Sistemi) 5
Coğrfi Koordintlr (Küre) Yerin Dönme Ekseni B l ş ngıç Meridiyeni M Kuzey Kutbu ϕ P Prlel Dire Meridyen Ekvtor λ GüneyKutbu ϕ:enlem λ:boylm δ: Kutup uzklığı Bşlngıç Meridyeni X Krtezyen Koordintlr (Küre) Bþlngýç Meridiyeni Z Yp P Zp Xp Ekvtor Y X = R cosϕ cos λ Y = R cosϕ sin λ Z = R sinϕ ϕ = rctn Z X + Y Y λ = rctn X X h = R cosϕ cosλ 6
Küre Geometrisi Büyük Dire: Küre yüzeyinde merkezleri küre merkezi ile çkışık direler Küre yüzeyinde iki nokt rsındki en kıs yol Üzerindeki her noktd eğrinin sl normli ve yüzey normli çkışık Kenrlrı büyük dire yylrı oln küre yüzeyinde tnımlı üçgenlere küresel üçgen denir. Küresel üçgenlerin iç çılrı toplmı 80 +ε kdrdır. Bu frk küresel ekses olrk dlndırılır. Küresel Üçgen c α b. Küresel Üçgenin kenrlrı bu yylrı merkezden gören çılr olrk tnımlnır.. Metrik uzunluklr için çıdn küre yrıçpı kullnılrk yy uzunluğun geçilmelidir. β γ Küresel Trigonometri c β α b γ Kenr kosinüs teoremi cos = cos c cosb + sin csin b cosα cosb = cos cos c + sin sin c cos β cos c = cos cosb + sin sin b cosγ Açı kosinüs teoremi cosα = cos β cosγ + sin β sinγ cos cos β = cosα cosγ + sinα sinγ cosb cosγ = cosα cos β + sinα sin β cos c Sinüs teoremi sin sin b sin c = = sinα sin β sin γ 7
Kürede Temel Ödevler.Temel Ödev ϕ, λ, α, δ ϕ, λ, α sinϕ = sinϕ cosδ + cosϕ sinδ cosα sinα tn( λ λ ) = cosϕ sinϕ cosα tnδ cosα = cosα cos α = π α ( λ λ ) + sinα sin( λ λ ) sinϕ K.Temel Ödev α λ δ α P ϕ, λ, ϕ, λ α, δ, α cosδ = sinϕ sinϕ + cosϕ cosϕ cos( λ λ ) sin( λ λ ) tnα = cosϕ tnϕ sinϕ cos( λ λ ) P cosα = cosα cos α = π α ( λ λ ) + sinα sin( λ λ ) sinϕ Kürede Aln Aln-küresel ekses ilişkisi F ε = F = ε R R Küre yüzeyinin lnı F k = 4πR Küre kpğı F = πrh = πr Küre kuşğı F = R ( sinϕ) ( sinϕ sin ) π ϕ Kpk Kuşk 8
Trpez bölge/pft lnı F = R ( sinϕ sin ϕ )( λ λ ) Rdyn! PAFTA Yerin Dönme Ekseni Elipsoit Yüzeyinde Coğrfi Koordintlr Ekvtor B l þ ngýç Meridiyeni M Kuzey Kutbu P b λ ϕ h P' GüneyKutbu Prlel Dire Meridyen ϕ:enlem Jeodezik Enlem λ:boylm h: Yükseklik Elipsoidl Yükseklik Elipsoit Geometrisi Bsıklık b f = Birinci Eksntrisite b e = İkinci Eksntrisite b e = b Kutup eğrilik yrıçpı c = b Meridyen yönünde eğrilik yrıçpı M, meridyene dik yönde eğrilik yrıçpı N ( e ) N = M = e sin ϕ e sin ϕ ( ) 3 Elipsoit yüzeyi Jeodeziye Giriş derslerinde yrıntılı olrk ele lıncktır! 9
Krtezyen Koordintlr (Elipsoit) X Bþlngýç Meridiyeni Z P Zp Xp Yp Ekvtor X = Y = Z = N = Y ( N + h) ( N + h) cosϕ cos λ cosϕ sin λ ( e ) N + h) sinϕ e sin ϕ Z + e N sinϕ ϕ = rctn X + Y Y λ = rctn X X h = N cosϕ cosλ Hrit Ypımınd Referns Yüzeyi Bilindiği gibi yeryüzü için referns yüzeyi olrk küre y d dönel elipsoit kullnılır. Eğer rzi ölçmelerinden temel hrit olrk üretim ypılcks y d hrit ölçeği :000000 dn büyük ise referns elipsoidi kullnılır. Dh küçük ölçeklerde yeryüzünün küre olrk kbul edilmesinden kynklnn htlr, projeksiyon deformsyonlrındn ve çizim htlrındn küçük olduğundn yeryüzünün küre olrk kbul edilmesinde kesinlikle bir skınc yoktur. Yükseklikler ise ortlm deniz düzeyi y d jeoit referns lınrk gösterilir. Bu bğlmd küre y d elipsoit yüzeyleri yty dtum, jeoit ise düşey dtum olmktdır. Hrit Projeksiyonlrı Hrit projeksiyonlrının mcı, yeryüzü için tnımlnmış bir referns yüzeyi üzerinde belli bir koordint sistemine göre tnımlı noktlrı düzlem üzerine y d düzleme çılbilen yüzeylere belirli mtemtiksel bğıntılr göre ktrmktır. Yeryüzü için referns yüzeyi olrk hritnın mcın ve ölçeğine göre küre y d dönel elipsoit kullnılır. Her iki yklşımd d orijinl yüzey, düzlem yüzeye değişime uğrmdn çılbilir değildir. 0
Bu nedenle orijinl yüzey üzerindeki noktlr deformsyonsuz olrk hrit düzlemine izdüşürülemez. Anck orijinl yüzeydeki bzı büyüklüklerin (uzunluk, ln ve doğrultu) korunrk düzleme ktrılmsı mümkündür. Öte yndn projeksiyonu ypıln yüzeyin değişik elemnlrının deformsyonlrının bilinmesi, hritdn lınn büyüklüklerin orijinl değerlerinden frklılığının bilinmesi bkımındn önemlidir. Projeksiyonlrın Ayrımı Projeksiyon yüzeyinin türüne göre Azimutl Silindirik Konik Projeksiyon yüzeyinin konumun göre Norml Trnsversl Eğik Projeksiyonlrın Ayrımı Projeksiyon yüzeyinin geometrik nlmın göre Gerçek nlmlı projeksiyonlr Gerçek nlmd olmyn projeksiyonlr Deformsyonlr göre Aln koruyn Açı koruyn (konform) Uzunluk koruyn (meridyen uzunluğu)
Gerçek Anlmd Projeksiyon Yüzeyleri Konik Projeksiyonlr
Azimutl Projeksiyon Silindirik Projeksiyonlr 3
Gerçek Anlmd Olmyn Projeksiyonlr Gerçek nlmd olmyn silindirik projeksiyonlr Gerçek nlmd olmyn zimutl projeksiyonlr Polikonik projeksiyonlr Kesikli projeksiyonlr 4
Ortodrom Küre üzerinde iki nokt rsındki en kıs yol, iki noktdn geçen büyük direnin kıs oln prçsıdır. Bu eğri ortodrom olrk dlndırılır. O hlde ortodrom, küre üzerinde iki nokt rsındki en kıs yol olrk tnımlnır. Ortodrom boyu kürede temel ödev çözümü ile hesplnbilir. Loksodrom Loksodrom küre üzerinde tüm meridyenleri sbit çı ltınd kesen eğridir. Deniz ve hv ulşımınd önemlidir. İki nokt rsınd ( ve ) loksodrom eğrisinin zimutu ve boyu şğıdki formüllerle hesplnır: tn α = ln tn l = R cosα ϕ π ϕ ( ) ln tn( ) π + + 4 λ ( ϕ ϕ ) λ Loksodrom uzklığı ığı,, iki nokt rsındki en kıs k uzklık k değildir! 4 λ = λ + tn α ϕ π ϕ [ ln tn( ) ln tn( )] π + + 4 4 Bir noktdn geçen ve zimutu bilinen loksodrom eğrisinin genel ifdesi Küreyi srn Helis Eğrisi E olup, kutuplr sonsuzd ulşı şır. 5
. Bölümün sonu 6