Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında ılmaarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören çocuklarımızın ana ve babalarına da avrularının öğreniminin tamamlanması için hiçbir fedakârlıktan çekinmemelerini tavsie ederim.
Bu kitabın her hakkı Çap Yaınları na aittir. 86 ve 96 saılı Fikir ve Sanat Eserleri Yasası na göre Çap Yaınları nın azılı izni olmaksızın, kitabın tamamı vea bir kısmı herhangi bir öntemle basılamaz, aınlanamaz, bilgisaarda depolanamaz, çoğaltılamaz ve dağıtım apılamaz. BU KİTAP, MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI TALİM VE TERBİYE KURULU BAŞKANLIĞI NIN.8. TARİH VE SAYILI KARARI İLE BELİRLENEN ORTAÖĞRETİM MATEMATİK DERSİ PROGRAMINA GÖRE HAZIRLANMIŞTIR. Dizgi Kapak Tasarım Emine İNCE Baskı Tarihi Ağustos Teşekkür Tevfik GÖRGÜN e katkılarından dolaı teşekkür ederiz. ISBN 978 6 İLETİŞİM ÇAP YAYINLARI Akpınar Mahallesi 8. Cadde 87. Sokak / 9 Çankaa / Ankara Tel: - 76 9 www.capainlari.com.tr ii
ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, Matematikteki birçok tanımı ve kuralı eniden keşfetmioruz, sadece öğrenme aşamasında ilk kez biz bu olları, kuralları buluormuşuz gibi hareket edip öğrenmenin kalıcı olmasını sağlamaa çalışıoruz. Bu kanağı sizlere sunmamızdaki asıl hedefimiz, en çok zorlandığınız vea başarmakta problem aşadığınız kendi kendinize öğrenme becerisini geliştirmektir. Matematikte bir problemi kısa zamanda ve doğru olarak çözmek, ilgili konuların kavranmasına bağlıdır. Bir konuu iice öğrendikten sonra ardından gelen konua geçmek sizin için daha kola olacağı gibi çalışmanızı da daha verimli kılacaktır. Bilgilerinizin kalıcı olması için çok tekrar apmalı, bilgileri kullanabilmek için de çok soru çözmelisiniz. Matematikteki birçok kuralın günlük haatta kullanımı oktur ancak bu kuralları öğrenirken ve ugularken gösterdiğiniz çaba, aşamınızda çeşitli problemlere farklı açılardan bakabilme becerisini kazandıracaktır. Sevgili Öğrenciler, Tekrara daalı ve planlı bir çalışmanın, ezber erine konunun özünü kavramanın ve bu olla kazanılan özgüvenin sizleri başarıa ulaştıracağına inanıor ve sizlere başarılar dilioruz. YAZARLAR iii
İÇİNDEKİLER Üstel Fonksion... Artan - Azalan Fonksionlar... 6 Bire Bir ve Örten Fonksion... 6 a = + = log a Hesaplaması I... 7 a = + = log a Hesaplaması II... 8 Denklem Çözümleri... 9 Test : Üstel Fonksion, Artan Azalan Fonksionlar, Denklem Çözümleri... Logaritma Fonksionunun En Geniş Tanım Aralığı - I... Test : Logaritma Fonksionunun En Geniş Tanım Aralığı... 6 Onluk Logaritma Fonksionu... 7 Doğal Logaritma Fonksionu... 8 Logaritma Fonksionunun Özellikleri... 9 Test : Onluk ve Doğal Logaritma, Logaritma Fonksionunun Özellikleri... Taban Değiştirme... Test : Taban Değiştirme ve Cinsinden Yazma... Bir Saının Logaritmasının Tam ve Ondalık Kısmı... Arada Olma ve Basamak Saısı... Onluk Logaritma Hesapları... 6 Logaritmada Sıralama... 7 Test : İki Tam saı Arasında Olma Basamak Saısı ve Sıralama... 8 Logaritma Fonksionunun Tersi... 9 Test 6 : Logaritma Fonksionunun Tersi... Logaritma ve Bileşke Fonksion... Denklem Çözümleri... Denklem Sistemleri... Test 7 : Bileşke Fonksion, Logaritmalı Denklemler, Denklem Sistemleri... Eşitsizlik Çözümleri... Logaritmik Eşitsizlikler... Test 8 : Logaritmik Eşitsizlikler... 9 Logaritma Fonksionunun En Geniş Tanım Aralığı - II... 6 Üslü ve Logaritmik Fonksionların Grafikleri... 6 Öteleme Yöntemi... 6 Grafikten Fonksion Yazma... 6 Test 9 : Tanım Kümesi, Logaritma ve Üstel Fonksionlarının Grafikleri... 6 Günlük Haatta Logaritma Ugulamaları... 66 Karma Testler -... 68 Cevaplar... 96 iv
ÜSTEL FONKSİYON h h h /8 / / 8 h Yandaki tabloda bulunan noktalar koordinat düzleminde işaretlenir ve bu noktalardan geçen eğri çizilirse aşağıdaki grafik elde edilir. 8 = 7 6 e o h h 8 / / /8 h h Yandaki tabloda bulunan noktalar koordinat düzleminde işaretlenir ve bu noktalardan geçen eğri çizilirse aşağıdaki grafik elde edilir. = b l 8 7 6 TANIM f : R R +, a R + {} olmak üzere f() = a fonksionuna üstel fonksion denir. a > ise f() = a fonksionunun grafiği aşağıdaki gibidir. f() = a = a = b = c Şekilde grafikleri verilen fonksionlar için a, b, c saılarını sıralaınız. = a = b = c a bc < a < ise f() = a fonksionunun grafiği aşağıdaki gibidir. f() = a = doğrusunu çizelim. a, b, c saıları sıralandığında a>b>c olduğu görülür. = a = b = c Yukarıda grafikleri verilen fonksionlar için a, b, c saılarını sıralaınız. c > b > a
ARTAN AZALAN FONKSİYONLAR BİRE BİR VE ÖRTEN FONKSİYON BİLGİ f: A " B,, A için a) < + f( ) < f( ) ise f artan fonksiondur. b) < + f( ) > f( ) ise f azalan fonksiondur. c) f( ) = f( ) ise f sabit fonksiondur. BİLGİ f: A " B olmak üzere = f() fonksionu verilsin. ), A için & f( ) f( ) ise f bire bir fonksiondur. ) B, A kümesindeki en az bir elemanının görüntüsü oluorsa f fonksionu örten fonksiondur. ÖZELLİK: TANIM a R + {} olmak üzere f: R " R +, f() = a fonksionu i) a > için artan fonksiondur. ii) < a < için azalan fonksiondur. a R + {} olmak üzere f: R " R +, f() = a fonksionu bire bir ve örtendir. NOT Grafiği verilen bir fonksionun bire bir olduğunu anlamak için eksenine paralel doğrular çizilir. Çizilen bu doğrular grafiği en çok bir noktada kesior ise fonksion bire bir fonksiondur. = a f fonksionu artan bir üstel fonksiondur. a > f() = 6 ise f() aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 7 B) C) 9 D) 8 E) 7 = a f artan fonksiondur. < & f() < f() olmalıdır. 6 < f() dir. O halde f() değeri 7 olabilir. < a < f fonksionu azalan bir üstel fonksiondur. f( ) = 6 ise f() aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) B) 7 C) D) E) 7 E BİLGİ Üslü Saıların Özellikleri ) a m a n = a m+n ) a o = (a ) m ) a = a m ) m a a n = a m n ) (a m ) n = a mn 6) a R {,, } ve a = a & = dir. 6
BİLGİ Bir fonksion bire bir ve örten ise tersi vardır ve tersi de bir fonksiondur. f a = + = log a Hesaplaması I ) = denklemini sağlaan kaçtır? = & = log tir. f () = = f() ) log 7 = ifadesini üstel fonksion kullana- f rak azalım. A B log 7 = & = 7 dir. Yukarıdaki şemada görüldüğü gibi f: A " B ise f : B " A olarak tanımlanır. Arıca = f() ise = f () azılır. ) Aşağıdaki ifadeleri logaritma kullanarak azınız. TANIM f: R " R +, = a üstel fonksionunun tersi olan fonksiona logaritma fonksionu denir ve f() = log a şeklinde gösterilir. NOT a) = 8 b) = 7 c) a b = c d) = e) + = = log 8 = log 7 b = log a c = log 6 = log e o ) log a ifadesi "logaritma a tabanında " şeklinde okunur. ) Bir fonksion ile tersinin grafiği = doğrusuna göre simetriktir. İnceleiniz. = ) Aşağıda verilen ifadeleri üslü biçimde azınız. a) log 7 = = 7 b) log = a a = c) log = c = a d) log a b = c c = a c = b = log a e) log = z z = 7
a = + = log a Hesaplaması II ) log 7 9 değerini hesaplaalım. ) log 7 9 = & 7 = 9 = 7 & = dir. ) log 7 = değerini hesaplaalım. ) log 7 = & ( ) = 7 & b l = & = & = 6 dır. ) log = değerini hesaplaalım. ) log = & b l = & = & = tir. ) Aşağıdaki logaritmaların değerlerini bulunuz. a) log b) log 8 c) log d) log ` j e) log f) log g) log ` j h) log 7 i) log j) log 7 k) log 8 l) log ) Aşağıdaki denklemlerde değerlerini bulunuz. a) = b) = c) 7 = d) = e) + = f) = g) = i) ` j = j) h) + = 6 = m) log n) log 9 k) = l) + = o) log ` j ö) log, + m) ` j = n) c m = 8 CEVAPLAR a) b) c) d) e) CEVAPLAR a) log b) log c) log 7 d) log 6 e) log f) log f) g) h) i) j) 6 g) log e o h) log i) log k) 6 l) m) n) o) j) log e o k) log l) log e o ö) m) log 8 o o n) log e e e e o o 8
DENKLEM ÇÖZÜMLERİ YAKLAŞIM UYARI log a = b denklemi = a b log a ( + c) = b denklemi = a b c şeklinde çözülür. Denklem çözümlerinde bulunan değerleri logaritmanın içini pozitif apmalıdır. log ( ) = denkleminin çözüm kümesini bulalım. log ( ) = & = & = 9 Çözüm Kümesi Ç = {9} olur. Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. ) log = 6) log ( ) = {} {} ) log ( ) = 7) log + = {} {, } ) log ( + ) = 8) log( ) = {} {, } ) log ` j + = 9) log ( ) = {, } {} ) log ` j = {} ) log b + l = {, } 9
YAKLAŞIM İç içe logaritmaların bulunduğu denklem sorularında dıştan içe doğru logaritmalar tek tek çözülür. log [log ( ) + )] = denkleminin çözüm kümesini bulalım. log [log ( ) + )] = & log ( ) + = & log ( ) = & = & = Ç = {} olur. Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. ) log 8log( ) B = 6) log ` + log ( ) j = {} {8} ) log 8log ( + ) B = 7) log 8 log ( ) B =, {} {} ) log 8log( ) B = 8) log 8log( log) B = {} {6} ) log = log b l + G = 9) log 8log( log ) + B = {} {6} ) log ` log j = {} ) log 8log( log ) B = {}
YAKLAŞIM " = a & = "a" bilgisi logaritmik denklemlerin çözümlerinde kullanılabilir. ) log 8 ( + ) = denkleminin çözüm kümesini bulalım. ) log ( ) = denkleminin çözüm kümesini bulalım. log 8 ( + ) = & ( + ) = 8 = 6 & + = 8 vea + = 8 = 6 = = ve = 6 saıları logaritmaı tanımlı aptığından her ikiside çözüm kümesine alınır. Ç = {, 6} dir. log ( ) = & ( ) = & = vea = = 6 = = logaritmanın tabanını negatif aptığından çözüm kümesine alınmaz. Ç = {6} dir. Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. ) log ( + ) 9 = 6) log, = {6} {, } ) log 8 = 7) log 6 = {} {, } ) log ( ) 6 = 8) log ( ) 6 = {} {7} ) log 9 = 9) log ( + ) ( + 8) = {, } {} ) log ( ) = ) log ( ) ( + 8) = {} {}
Test Üstel Fonksion, Artan Azalan Fonksionlar, Denklem Çözümleri 7. f() = c m a fonksionunun artan bir fonksion olması için a hangi gerçek saılar arasında olmalıdır? A) (, 7) B) (, 9) C) (, 9) D) (, 7) E) (, 9) 6. log log 7 + log + 6 = ise kaçtır? A) B) C) D) E) 9. f: R " R +, f() = c m fonksionu verilior. Bu fonksionda görüntüleri ten küçük olan saılarının kümesi aşağıdakilerden hangisidir? 7. log ( + log ) = denklemini sağlaan değeri kaçtır? A) B) C) D) 6 E) 8 A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ). Aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi anlıştır? I. = & = log II. log 7 = & = 7 III. log 9 = & = 8. log (log ) = denklemini sağlaan kaçtır? A) B) C) D) E) 9 IV. f() = &f () = log A) B) C) D) E). = eşitliğini sağlaan değeri kaçtır? A) log B) log C) log 6 9. log ( ) 6 = eşitliğini sağlaan saısı kaçtır? A) B) C) D) 7 E) 9 D) log 6 E) log 6. log 6 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E). log : log `log jd = denklemini sağlaan kaçtır? A) B) C) D) 9 E) 7 E B B C A 6 E 7 E 8 E 9 E E
LOGARİTMA FONKSİYONUNUN EN GENİŞ TANIM ARALIĞI - I YAKLAŞIM YAKLAŞIM f() = log a fonksionunun grafiği incelendiğinde > olduğu görülür. = log a İki a da daha fazla logaritma fonksionlarının toplamı vea farkı şeklinde tanımlanan fonksionun tanım kümesi fonksionların tanım kümelerinin kesişimidir. f() = log ` j + fonksionunun en geniş tanım aralığını bulalım. f() = log ( + 7) + log ( ) fonksionunun en geniş tanım kümesini bulalım. + 7 > ve > > 7 < olmalıdır. & > & > f fonksionunun tanım kümesi T.K. = (, ) aralığıdır. 7 Tanım kümelerinin kesişimi alındığında T.K. = ( 7, ) olur. Aşağıda verilen fonksionların en geniş tanım aralıklarını bulunuz. Aşağıda verilen fonksionların en geniş tanım aralıklarını bulunuz. ) f() = log ( ) + ) f() = log + log ( ) (, ) ) f() = log ` j (, ) ) f() = log` j + log ( + ) (, ) ) f() = log ` j + (, ) ) f() = log ` j log ( + ) (, ) (, ) ) f() = 8 + log (7 ) ) f() = log ( ) + log ` j (, 7) (, ) ) f() = log ( ) 8 ) f() = log ( 7) log ( ) (, ) (7, )
YAKLAŞIM Logaritma fonksionun içinde a da tabanında ikinci dereceden ifade varsa işaret tablosu apılarak pozitif olan aralıklar alınır. Tabanın olmaacağı bilgisi unutulmamalıdır. BİLGİ ) > ise a + b + c = denkleminin iki farklı reel kökü vardır. İşaret tablosu aşağıdaki gibidir. Aşağıdaki fonksionların tanım kümelerini bulunuz. ) f() = log ( ) (, ) (, ) a + b + c + a nın işaretinin anısı a nın işaretinin tersi a nın işaretinin anısı ) = ise a + b + c = denkleminin eşit iki reel kökü vardır. İşaret tablosu aşağıdaki gibidir. ) f() = log c 9 m ) f() = log ( + ) (, ) (, ) (, ) = + a + b + c a nın işaretinin anısı a nın işaretinin anısı ) f() = log (9 ) + log ( ) ) < ise a + b + c = denkleminin reel kökü oktur. İşaret tablosu aşağıdaki gibidir. + a + b + c a nın işaretinin anısı ) f() = log c m + log ( ) (, ) (, ) f() = log ( + ) fonksionunun en geniş tanım aralığını bulalım. + = ( + 7)( ) azalım + 7 = ve = 6) f() = log ( + 9 ) 7) f() = log ( ) log ( ) (, ) (, ) (, ) (, ) = 7 = li ifadelerin katsaılarının çarpımı + = olduğundan işareti ile işaret tablosuna başlanır. 7 + + 8) f() = log ( + a) fonksionunun tanım kümesi tüm reel saılar ise a hangi aralıktadır? (, ) + > olacağından T.K. = ( 7, ) bulunur.
YAKLAŞIM Fonksionun tabanında li ifade var ise bu ifadenin den farklı ve pozitif olması gerekir. Fonksionun tanım kümesi eşitsizlik sisteminin çözümüle bulunur. f() = log ( ) ( + ) fonksionunun en geniş tanım aralığını bulalım. >, ve + > olmalıdır. < ( 7) ( + ) > 7 ( 7)(+) + + < ve (, ), (7, ) sisteminin çözümünden (, ), (7,) bulunur. olduğundan fonksionunun en geniş tanım aralığı, T.K. = (, ), (7, ) {} olur. Aşağıda verilen fonksionların tanım kümelerini bulunuz. ) f() = log ( ) (7 ) (, 7) {} + 6) f() = log c m (, ) ) f() = log ( ) ( 9) 7) f() = log ( ) ( ) (, ) (, ) {} ) f() = log ( ) ( + ) 8) f() = log ( ) (6 ) (, ) (, ) {, } (, ) {} ) f() = log ( ) ( + 6) 9) f() = log ( ) ( + + ) (, ) {6} (, ) (, 7) {, } ) f() = log ( ) ( + + ) (, ) {} 7 ) f() = log ( ) c m + (, 7) {}
Test. f() = log ( + ) + log (9 ) Logaritma Fonksionunun En Geniş Tanım Aralığı 6. f() = log ( + ) + log ( ) fonksionunun en geniş tanım aralığı hangisidir? A) (, ) B) (, 9) C) (, 9) D) (, 9) E) (, 9) fonksionunun en geniş tanım aralığı hangisidir? A) R B) (, ) C) R {} D) (, ) E) (, ). f() = log ( ) ( ) fonksionunun en geniş tanım aralığı hangisidir? A) (, ) B) (, ) C) (, ) 7. f() = log f p + 7 fonksionunun en geniş tanım aralığı hangisidir? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ) D) (, ) E) (, ) {} 8. f() = log ( ) (9 ) fonksionunun en geniş tanım aralığı hangisidir?. f() = log (6 ) fonksionunun en geniş tanım aralığı hangisidir? A) (, ) {} B) (, ) C) (, ) D) (, ) {} E) (, ) {} A) (, ), (, 9) #, - B) (, 9) #, - C) (9, ) D) (, ) E) (, 9) +. f() = log e o 7 fonksionunun en geniş tanım aralığı hangisidir? A) (, 7) B) (, 7) C) (, ) D) (, ), (7, ) E) (, 7) {} + 9. f() = log ( ) e o 8 fonksionunun en geniş tanım aralığı hangisidir? A) (, ) B) (, 8) {} C) (, ) D) (, 8) E) (, 8) {}. f() = log ( + + 6) fonksionunun en geniş tanım aralığı hangisidir? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) {} E) (, ). f() = log ( + + m ) fonksionunun tanım kümesi reel saılar ise m hangi aralıktadır? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ) 6 C E D D C 6 E 7 A 8 A 9 B E
ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONU TANIM f: R + " R, f() = log a fonksionunda taban a = ise bu logaritma fonksionuna onluk logaritma fonksionu (baağı logaritma a da Napier logaritma) denir. NOT Onluk logaritmada çoğu zaman taban azılmaz. log = log azılır. ) log değerini bulalım. ) log(log( ) ) = log = & = = = = dir. denkleminin çözüm kümesini bulalım. log(log( ) ) = & log( ) = & log( ) = & = = Ç = {} dir. ) Aşağıda verilen logaritmaların değerlerini hesaplaınız. ) Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a) log a) log(log) = { } b) log c) log b) log(log ) = {} c) log(log( + )) = d) log, + log, {9} d) log(log ) = e) log` j e) log( log) = {} f) log c m f) log( + log) = {} {} 7
DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONU TANIM f: R + " R, f() = log a fonksionunda taban a = e ise bu logaritma fonksionuna doğal logaritma fonksionu denir ve log e = In ile gösterilir. NOT e saısı Euler sabiti olarak bilinir ve aklaşık değeri e,,7 dir. ) Ine + Ine 7 toplamını bulalım. ) In(e + ) = Ine = log e e = & e = e & = Ine 7 = log e e 7 = & e = e 7 & = 7 değerleri bulunur. Ine + Ine 7 ise + 7 = 9 olur. denkleminin çözüm kümesini bulalım. In(e + ) = & log e (e + ) = e + = e = olur. Ç = {} dir. ) Aşağıda verilen logaritma değerlerini hesaplaınız. a) Ine + Ine ) Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a) In( ) = {} b) In( + ) = b) Ine + Ine {e } 8 c) In( + e) = {} c) In e + Ine d) In(e + ) = {} e) In(In( )) = {e + } d) In(e ) + In^ eh 8 f) In(In( ) + e) = {} 8
LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ ) a R + {} olmak üzere a) log a = b) log a a = c) log a a = ) a R + {} b, c R + olmak üzere log a) a a b = b log a c log b = a b) b c ) a R + {} ve b, c R + olmak üzere a) log a (b c) = log a b + log a c b) log ac b m = loga b log c a c ) Taban değiştirme a, c R + {}, b R + olmak üzere logc b log a b = şeklinde azılabilir. log a c ) a R + {}, b R + ve m, n R {} olmak üzere a) log a b m = m log a b m b) log n m a b = log n a b 6) Taban değiştirme özelliğinden fadalanılarak aşağıdaki sonuçlar da çıkarılabilir. a) log a b = log b a + log a b log b a = b) log a b log b c log c d log d n = log a n a) log a = b) log a a = c) log a a = ) Iog + Iog toplamının sonucunu bulalım. Iog = ve log = dir. log + log = + = dir. ) Iog 6 + Iog 8 toplamının sonucunu bulalım. Aşağıda verilen logaritma değerlerini hesaplaınız. ) log ) Iog 7 7 ) Iog Iog 6 + Iog 8 = log 6 + Iog = 6.log +..log = 6 + = 7 bulunur. ) Iog + log 7 ) Iog 6. log 9 8 6) Iog 7. log 6. log 9
YAKLAŞIM ) log a (b c) = log a b + log a c ) log a ( c b ) = loga b log a c Çarpım ve bölümün logaritma kuralları ardımıla toplam ve fark şeklinde verilen logaritmalar bir tek logaritma içinde azılabilir. log + log + log log log ifadesinin değerini hesaplaalım. Önce verilen ifadei tek logaritma altında toplaalım. log + log + log log log log + log + log ( log + log ) log ( $ $ ) log( $ ) log f p = log = dır. ) log a b + log a c log a d 6) a, b, c R + olmak üzere, ab = c ise ifadelerini tek logaritma içinde azınız. log ebc o a d log a + log b log c ifadesinin eşitini bulunuz. ) log log z log ifadelerini tek logaritma içinde azınız. log f p z. 7) a = 7 ve b = 7 8 olduğuna göre a + b kaçtır? ) log + log = log eşitliğini sağlaan değerini bulunuz. ) log 7 log c m + log = log koşulunu sağlaan saısı kaçtır? + 8) f() = log c m için + f() + f() + f() +... + f(6) toplamının sonucunu bulunuz. 9 ) log 6 9 + log 6 log 6 işleminin sonucu kaçtır? 9) f() = log (cos) olduğuna göre f( ) + f(6 ) işleminin sonucunu bulunuz.
YAKLAŞIM Tek logaritma içinde azılmış bir ifade çarpım ve bölümün kuralları ardımıla parçalanabilir. log e o ifadesini açarak azalım. log f p = log z + log + log log z z = + log + log log z. Aşağıda tek logaritma içinde verilen ifadeleri toplam ve fark şeklinde azınız. f) log e o z a) log a $ ca b m c + log log z +log a b log a c b) log e o z log + log log z g) log e o z + log log z c). a log c m b + log a log b ) log c a $ b m 7 ise a kaçtır? 9 log 7 a log 7 b d) log ` 8 $ j + log log ) log = + log a ise a kaçtır? e) log a 7 e a o 9 b ) log ` $ j = a log ise a kaçtır? log a + b a 6
m a n = ) log a b m = m log a b ) log b m n log b a YAKLAŞIM m log n m b a = logab özelliği ve logaritmanın diğer özellikleri kullanılarak hesaplamalar apılabilir. n ) log 9 + log işleminin sonucunu bulalım. ) log = a olduğuna göre log + 7 log ifadesinin a cinsinden değerini bulalım. log 9 = log / = log = tür. log log log = = = tür. log 9 + log = + = bulunur. log + 7 log = log + 7log log 7. + log = log + log a + a = a bulunur.. Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını bulunuz. a) log 9 7 b) log / ) log = log 9 + 6 log ` j eşitliğini sağlaan 8 değeri kaçtır? 6 ) log c) log 8 $ log c m 8 işleminin sonucu kaçtır? d) log ` j + log 9 e) log a log a a a 7 8 6) log7, işleminin sonucu kaçtır? 7) log = a ise log 9 ) log 7 = a ise log 9 + log 7 ifadesinin a cinsinden değeri nedir? ifadesinin a cinsinden değeri nedir? a 6 ) log = log ise kaçtır? 7 7 a 8 8) log = z ise log ifadesinin z cinsinden değeri nedir? 6z
) a log a b = b ) b log a c = c log a b YAKLAŞIM a log a b = b ve a log b c = c log b a özellikleri ve diğer logaritma bilgileri kullanarak hesaplamalar apılabilir. log ) 9 işleminin sonucunu bulalım.. log log log ( ) 9 = = = ( ) = tir. ) log log işleminin sonucunu bulalım.. log = log olduğundan log log = olur. + ) log işleminin sonucunu bulalım.. log + log log (. ) = log = = = bulunur. Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını bulunuz. ) log 8) ` r sin j 6 log /9 ) log + log 9) c m log log ` j ) 7 log 7 log + log 6 ) 9 + 8 ) 7 log ) e + In 8 e ) log ) a log b c c log b a 6) + log ) + log = ise kaçtır? 6 7) c In 6 m e ) 9 log 7 ( + ) = ise kaçtır? /
Test Onluk ve Doğal Logaritma, Logaritma Fonksionunun Özellikleri. log 7 9 9 log 7 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 7 D) 9 E) log r 7. bsin l $ 6 log işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E). log + log = eşitliğini sağlaan değeri kaçtır? A) B) C) D) E) 7 8. log a =,7, log a =,7 olduğuna göre log a 6 kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) In. e + log işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E) 9. a = ve b = 8 olduğuna göre, a b çarpımının sonucu kaçtır? A) B) C) D) 6 E) 8. log(cot ) + log(cot ) +... + log(cot89 ) işlemini sonucu kaçtır? A) B) C) D) E). log (log ( + log )) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E). loga + logb = logc ise ab + c ifadesinin değeri kaçtır? c + ab A) B) C) D) E). f() = logb + l olduğuna göre f() + f() + f() +... + f(99) toplamının sonucu kaçtır? A) B) C) D) E) 6. log + log +... + log b l = n ise n kaçtır?. + log işleminin sonucu kaçtır? A) 98 B) 99 C) D) E) A) B) C) D) E) A C C C D 6 C 7 C 8 E 9 B D C -E
TABAN DEĞİŞTİRME YAKLAŞIM = log c b taban değiştirme kuralları ardımıla hesaplamalar ve logaritmik denklemler çözü- Ina logab = logb a vea Inb log ac lebilir. ) In işleminin sonucunu bulalım. In. In loge = = log In log = olur. e In8 ) log ( ) = eşitliğini sağlaan kaçtır? In. log ( ) = log 8 = & = & = 6 dır. Aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulunuz. ) ) ) In7 In ln In log log log ) log ) 6) 7) 8) log log log log 9 7, log log log log 7, In 9) In ) 8 In $ In In In log7 In $ $ log In 7 In + In $ In In /6 / Aşağıdaki denklemleri sağlaan değerlerini bulunuz. log8 ) log ( + ) = log In In ) log ( ) = $ In In ) log ( + ) = ) log In In ) = log 9 = log + log log 6) log ( log ) = 7) In9 log (log + ) = In 8) log ( ) log6 = c m log 7 8 /9 log log 6 7
YAKLAŞIM tabanında verilen bir logaritmanın değeri üslü saılar ve logaritma kuralları ardımıla açılan ifadede erine azılır. ) log = ise log saısının cinsinden değerini bulalım. ) log = a, log = b olduğuna göre log ifadesinin eşitini a ve b türünden bulalım. log deki 'nin erine azalım. log = loge o = log log = bulunur. log() = log(.9) azalım. log(.9) = log + log = loge o +log = log log + log = b + a bulunur. ) log = m ise log in m cinsinden değeri nedir? m 6) log = a, log = b ise log in a ve b cinsinden eşiti nedir? a + b ) log = ise log'nin cinsinden değeri nedir? 7) log =, log = ise log in ve cinsinden değeri nedir? + ) log = a, log = b ise log ifadesinin eşiti nedir? a + b 8) log = a, log = b ise log saısının a ve b cinsinden değeri nedir? +b a ) log7 =, log = ise log98 in ve cinsinden eşiti nedir? + 9) log =, log c m = ise log saısının ve cinsinden eşiti nedir? ) log =, log = ise log(,) saısının ve cinsinden değeri nedir? ) log( 6 ) = ve log( ) = ise log ` j saısının ve cinsinden eşiti nedir? + 6
YAKLAŞIM Farklı tabanlarda verilen eşitliklerde ortak olan saı bulunur. Logaritması verilen saı bu tabana dönüştürülür. ) log = a, log = b olmak üzere log ifadesinin eşitini bulalm. log = a eşitliklerinde saısı ortaktır. log = b O halde log ifadesi tabanında azılarak çözüme başlanmalıdır. log log( $ ) log = = log log ( $ ) log + log + a b + = = ab olur. log + log a + ab + b log log ) a, b log = log = olmak üzere log ifadesinin eşitini bulalım. log _ log = log = a log b İfadelerde saısı ortak olduğundan ` log log = log = b log b = log ifadesi tabanında log a azılır. log log( $ ) log = = log log ( $ ) log + log + a b + = = ab olur. log log = b + $ + + b ) log = a, log = b ise log saısının a ve b cinsinden eşiti nedir? + ab ab + a ) In In, In In In ifadesinin In ve cinsinden eşiti nedir? + + ) log = b, log = a ise log 6 ifadesinin a ve b cinsinden eşiti nedir? b a + a + b 6) log a b =, log b c = ise log a c nin ve cinsinden eşiti nedir? ) =, = ise log saısının ve cinsinden eşiti nedir? ( + ) + 7) loga logb = ve ab = ise b kaçtır? 9 ) log a =, log b = ise log a b ifadesinin değeri kaçtır? 8) log = a, log = b ise log 6 in a ve b cinsinden değeri nedir? a + b + a 7
YAKLAŞIM Tabanında ve içinde değişken bulunan ifadelerde tabanın tek bir değişkenden oluşması sağlanır. Logaritma ardımı ile bulunan değer sorunun çözümünde kullanılır. log = + m bulalım. ise log ifadesinin eşitini log = & log + m = m + dir. (Taban tek değişken olmalı) log = log + log = m + + log = m + log = m bulunur. log = log + log = log + log = + m olur. ) log = m ise log nin m cinsinden eşiti nedir? m ) log abc a =, log ab a = ise log a c nin ve cinsinden eşiti nedir? ) log ab a = c ise log a a b ifadesinin c cinsinden eşiti nedir? c+ 6) log = a +, log z = b + ise log (z) ifadesinin a ve b cinsinden eşiti nedir? a + b ) log a b = ise log a b ab ifadesinin cinsinden eşiti nedir? + + 7) log mn n = k ise logm n ifadesinin k cinsinden eşiti nedir? k - ) log ab b = + ise log b a ifadesinin cinsinden değeri nedir? + 8) z = ise log ifadesinin z cinsinden eşiti nedir? 6z 8
YAKLAŞIM Logaritmanın tabanı ve içindeki saı asal çarpanlarına arılır. log a nb m = n m loga b özelliği kullanılarak çözüme devam edilir. ) log saısının tabanındaki eşitini bulalım. ) log 8 = a olduğuna göre, log 'ün a cinsinden değerini bulalım. log = log şeklinde azılır ve tabanına çevrilirse log log log log = = = = log log( $ ) log + log + log ifadesi elde edilir. log 8 saısı tabanına çevirelim. log8 log( $ ) log + log = = = a log log ( $ ) log + log log = t olsun. + t & = a & + t = a + at + t & t at = a & t( a) = a a & t = a a & log = a olur. ) log saısının tabanındaki eşitini bulunuz. + log ) + log saısını tabanında azınız. log ) log saısının tabanındaki eşitini bulunuz. log 6) log, = ise log ifadesinin cinsinden değeri nedir? ) log 6 = ise log saısının cinsinden eşiti nedir? 7) log 7 8 = a ise log nin a cinsinden eşiti nedir? a ) log =, log 9 7 = ise log log 7 ifadesinin ve cinsinden eşiti nedir? 8) log = m ise log c m saısının m cinsinden eşiti nedir? m 9
log a b = log b a YAKLAŞIM = logab özelliği kullanılarak tabanları anı logaritmalar elde edilir. Logaritma özellikleri ardımıla hesaplamalar logb a apılabilir. ) + + log 7 log 7 log 7 7 işleminin sonucunu bulalım.. log 7 + log 7 7 + log 7 & log 7 ( 7 ) & log 7 7 = dir. ) + + log + log işleminin sonucunu bulalım.. log = t dönüşümü apalım. Bu durumda log = olur. t & t t ( t) + + t + + t + + t = + + = = = bulunur. + t + t t. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz. a) + log log 7 g) + 6 + log log log 6 b) + + log log log h) + + log log log b) + + log7 + log7 ) log + log 6 = log log 6 eşitliğini sağlaan değerlerinin çarpımı kaçtır? 8 d) + log log 6 ) + = ise log b log a a b a ve b arasındaki ilişkileri bulunuz. a=b vea a = b log e) log 8 $ ) log (ab) b = c ise logb a nın c cinsinden eşiti nedir? c f) + + log ( abc) log ( abc) log ( abc) a c b ) log + + log = log + log eşitliğini sağlaan kaçtır?
log a b log b c log c d log d e = log a e YAKLAŞIM Soruda verilen ifadeler tabanında azılır. Logaritmaların tabanındaki ve içindeki saılar üslü şekilde azılır ve log a nb m m = loga b özelliği kullanılır. Gerekli n sadeleştirmeler apılarak işlemlerin sonucu bulunur. ) log $ log $ log 8 7 ) log $ log $ log 9 ) log (log ) + log (log ) I. Yol: log 8 $ log $ log 7 6 işleminin sonucunu bulalım. İfadeleri tabanına çevirelim ( tabanı azılmaacaktır) log 8 log log 7 $ $ log log 6 log log log log 7 $ $ = 6 $ $ = log log log II. Yol: Özellik kullanıldığında log 8 $ log $ log 7 = 6 log $ log $ log = = 6 $ $.log = $ $ log $ log $ log 7 olur. 6) (log log ) log 7 7) : log ` 7j + log ` + 7jD $ log 8 8) log 7 $ log 7 $ log 9 9) log a b $ log b c $ log a c m ) log 9 $ log $ log c 6 8 Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını bulunuz. ) log log log 6 6 a b c d ) log b $ log c $ log d $ log a ) log ` r sin j + log ` r cos j = log9 $ log ) log 7 $ log $ log $ log 7 ise kaçtır?
Test Taban Değiştirme ve Cinsinden Yazma. log = ise log ifadesinin cinsinden eşiti nedir? A) B) C) + D) E) + log log 6. m, n log = log = ise log ifadesinin m ve n log cinsinden eşiti nedir? A) mn + n + mn B) mn + mn m + n C) m n mn D) m + n E) mn m + + n. log = a ise log 9 ifadesinin a cin- sinden eşiti nedir? A) a 8 B) a C) a 7. log = a ise log 8 ün a cinsinden değeri nedir? D) a 9 E) a A) a B) a + C) a D) a E) a. log = m, log = n ise log (, 8) ifadesinin m ve n cinsinden değeri nedir? A) m + n B) m + n C) m + n D) m + n + E) n + m 8. a c = b, a b = c ise log a b + log a c ifadesinin b ve c cinsinden eşiti nedir? A) b B) c C) bc D) b + c E) b c. log = m, log = n ise log 8 saısının m ve n cinsinden değeri nedir? + m A) m + n mn D) m + n mn B) m + n C) mn mn + n E) mn + log log e 9. 8 e $ e işleminin sonucu kaçtır? A) e B) e C) e D) e E) e +. log = z ise log ifadesinin eşiti nedir? A) + z D) + 6z B) + z C) E) 6z + + 9z In In. a, b In = In = ise In ifadesinin a ve b cinsin- In 6 den eşiti nedir? A) a b + D) a + ab a + B) a ab + a + ab E) a + b C) ab b + E A E E C 6 A 7 C 8 D 9 D D
BİR SAYININ LOGARİTMASININ TAM VE ONDALIK KISMI ÖZET Hesap makinesi, bilgisaar a da logaritma tablosu ar- k Z, < m < olmak üzere dımıla aşağıdaki logaritmaların değerlerini bulalım. log = k + m saısında k saısına tam kısım (elle log,, hesaplanabilir) m saısına ondalık kısım (makine ile log = hesaplanır) denir. log =,... Hesap makinesi, bilgisaar a da logaritma tablosu ar- log = dımıla aşağıdaki logaritmaların değerlerini bulalım. log999 =,... log, = log = log, =,... log9999 =,... log, = Görüldüğü gibi bir saının logaritması iki kısımdan log, =,... oluşmaktadır. log, = ETKİNLİK log ETKİNLİK 7 6 76, log,9, Yukarıdaki tabloda boş bırakılan kutulara logaritma Yukarıdaki tabloda boş bırakılan kutulara logaritma değerlerini hesap makinesi ile hesaplaıp azınız. değerlerini hesap makinesi ile hesaplaıp azınız. Yukarıdaki tabloda bulunan 6 saısının onluk Yukarıdaki tabloda bulunan,9 saısının onluk logaritmasının tam kısmını birlikte hesaplaalım. logaritmasının tam kısmını birlikte hesaplaalım. Önce 6 saısı un iki kuvveti arasında azalım. Önce,9 saısını un iki negatif kuvveti arasında azalım. & < 6 < & <,9 < Şimdi saıların logaritmasını alalım. Şimdi saıların logaritmasını alalım. log log < log,9 < log < log6 < log < log 6 < < log,9 <,...,... log6 =,... şeklinde ( ile tam saıları arasında) azılır. O halde log,9 =,... şeklinde ( ve tam saılar arasında) O halde log6 saısının tam kısmı dir. azılır. log,9 saısının tam kısmı dir. Aşağıdaki saıların logaritma değerlerinin tam kısımlarını bulunuz. ) ) 7,7 ) 6 ),7
ARADA OLMA VE BASAMAK SAYISI ÖZET TABLO I Saı un iki kuvveti arasına sıkıştırma ( n < < n+ ) log alınmış şekli (n < log < n + ) log in değeri (log = n,...) in basamak saısı (n + ) 78 79 < < < log < log =,... 76 TABLO II Saı un iki kuvveti arasına sıkıştırma ( n < < n+ ) log alınmış şekli (n < log < n + ) log in değeri (log = n,...) in virgülden önceki ve sonraki ardışık sıfır saısı,,,6 <,6 < < log(, 6) < log(,6) =,...,,8 İKİ TAM SAYI ARASINDA OLMA SONUÇLAR: ) saısı un tam kuvvetine eşit ise log bir tam saıdır. ) saısı un tam kuvvetine eşit değilse ve a) > ise log, in basamak saısının bir eksiği ile bu saının ardışığı olan iki doğal saı arasında olur. b) < < ise log, in ondalık azılımında virgülden önce ve sonra gelen ardışık sıfırların saısının negatifi ile bu saının ardışığı olan iki tam saı arasında olur. BASAMAK SAYISI SONUÇLAR: ) n N olmak üzere log = n,... ise saısı (n + ) basamaklıdır. (Birden büük bir saının basamak saısı logaritmasının tam kısmının bir fazlasıdır.) ) m Z olmak üzere log = m,... ise in ondalık azımında virgülden önce ve sonra gelen ardışık sıfırların saısı m + dir.
BASAMAK SAYISI YAKLAŞIM Önce saının tam kısmı hesaplanır. Basamak saısı bulunurken saının onluk logaritmasının tam kısmının bir fazlası alınır. ) log,, log,,77 olduğuna göre, saısı kaç basamaklıdır? ) log,, olduğuna göre, saısı kaç basamaklıdır? A = olsun ve A saısının logaritmasını alalım. loga = log = log( ) = (log + log) = (, +,77) = 69, olduğundan A = saısı 69 + = 7 basamaklıdır. A = olsun. Şimdi A saısının logaritmasını alalım. loga = log = log 8 = 8log = 8(log ) = 8(log log) = 8(,) =,9 olduğundan A = saısı + = 6 basamaklıdır. ) log,, ise saısı kaç basamaklıdır? 6) log,,, log,,77 ise 8 saısı kaç basamaklıdır? 6 ) log,,77 ise 9 saısı kaç basamaklıdır? 7) log,,, log,,77 ise 6 saısı kaç basamaklıdır? 78 ) log,,, log,,77 ise saısı kaç basamaklıdır? 8) log7 =, ise saısı kaç basamaklıdır? 6 ) log,,, log7,,8 ise 7 saısı kaç basamaklıdır? 9) log,,77, log7,,8 ve log,, ise 8 saısı kaç basamaklıdır? 9 ) log,,86 ise saısı kaç basamaklıdır? ) log =,8 ise 7 saısı kaç basamaklıdır?
ONLUK LOGARİTMA HESAPLARI YAKLAŞIM Logaritma içindeki ifadeler üslü saı olarak azılır ve logaritma özellikleri kullanılarak arılır. Saısal değerler erlerine azılarak hesaplama apılır. ) log,,77 olduğuna göre, a) log7 b) log c) log(,) saılarının aklaşık değerlerini hesaplaalım. a. log7 = log = log = (,77) =, b. log = log(. ) = log + log =,77 + ) log,, ve log,,77 olduğuna göre, log7 saısının aklaşık değerlerini hesaplaalım. ) log = 6,7 olduğuna göre, =,77 c. log(,) = log( ) = log + log =,77 log7 = log( ) = log + log = (,) + (,77) =,9 +,9 =,87 bulunur. =,9 log ifadesinin değerini hesaplaalım. log = log = log = ( 6,7) = ( 6,7) = +,9 =,9 bulunur. ) log,, log,,77 olduğuna göre, aşağıda verilen saıların değerlerini hesaplaınız. a) log b) log,699,8 c) log9 d) log,8,7 e) log f) log(,),,99 h) log(,) g) log c m,77, i) log ) loga =, logb =,7 j) logc m,,6 logc =, a b olduğuna göre, loge $ o ifadesinin değeri kaçtır? c 8,66 ) loga =,, logb =,8 olduğuna göre, logcb m ifadesinin değeri kaçtır? a ) loga =,8 ise log a ifadesinin değerini hesaplaınız.,9 b log e o = log b log a a = log b log a = (,8) (,) =, 788 bulunur. ) log =,6 ise logc m ifadesinin değerini hesaplaınız? 6,8 6
LOGARİTMADA SIRALAMA YAKLAŞIM Logaritması verilen saılar tek tek ardışık iki tam saı arasında azılır. Daha sonra saılar arasında sıralama apılır. ) log = olduğuna göre, in hangi ardışık iki tam saı arasında olduğunu bulalım. log = & = = 6 ) Aşağıdaki denklemleri sağlaan saılarının hangi ardışık iki tam saı arasında olduğunu bulunuz. a) log = b) log + = < < < < = 6 & < = 6 < azılır. & < < bulunur. ) a = log b = log 7 c = log olduğuna göre, a, b ve c saılarını sıralaalım. ) Aşağıda verilen saıları sıralaınız. a) = log 7 = log 6 z = log 7 b) a = log b = log c c = log c m m log 9 < log < log 7 & < a < log < log 7 < log & < b < log 8 < log < log 6 & < c < O halde sıralama c > a > b şeklindedir. c) a = log b = log 7 c = log 8 z > > d) a = log b = log 7 c = log c > a > b c < b < a c < a < b ) = log ` j = log 9 ` j z = log olduğuna göre,, ve z saılarını sıralaalım. ) log < log < log z olduğuna göre,, z saılarını sıralaınız. = log b l = log = log > > z = log 9 e o = log 9 = log 9 z = log = log log, log 9 ve log saılarını sıraladıktan sonra ile çarparak eşitsizliklerin önlerini çevirelim. log 8 < log < log 6 & < log < & < log < log < log 9 < log 6 & < log 9 < & < log 9 < log < log < log & < log < & < log < O halde sıralama c > b > a şeklindedir. ) a = log b = log 8 c = log 8 olduğuna göre, a, b, c saılarını sıralaınız. c > b > a 7
Test İki Tam saı Arasında Olma Basamak Saısı ve Sıralama. log 78 = ise aşağıdaki aralıkların hangisindedir? A) < < B) < < C) < < D) < < E) < < 6 6. log < log < log z olduğuna göre,, ve z saıları için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) < < z B) < z < C) z < < D) z < < E) < < z. log,7 = ise aşağıdaki aralıkların hangisindedir? A) < < B) < < C) < < D) < < E) < < 7. a = log 9 8, b = log ve c = log 7 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) a < b < c B) a < c < b C) b < a < c D) b < c < a E) c < a < b. loga =,... ise A saısı kaç basamaklıdır? A) B) C) D) E) 8. log,, ve log,,77 olduğuna göre, saısı kaç basamaklıdır? A) B) C) D) E). log = olduğuna göre, in değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) 7 < < 8 B) < < 6 C) < < D) 6 < < 7 E) < < 9. log =,6 ise saısı kaç basamaklıdır? A) 6 B) C) D) E). = log ( ), = log ( ), z = log ( ) olduğuna 9 göre,, ve z saıları için aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) < < z B) < z < C) < < z D) < z < E) z < <. = log 9, = log 6 9 ve log 8 9 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) < < z B) z < < C) z < < D) < z < E) < < z 8 B A C D A 6 C 7 A 8 C 9 E C
LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TERSİ YAKLAŞIM Üstel a da logaritma fonksionunun tersi bulunurken önce ve değişkenlerinin erleri değiştirilir. Daha sonra gerekli cebirsel işlemler apılarak alnız bırakılır ve fonksionun tersi bulunur. ) f( ) = fonksionun tersi olan fonksionu bulalım. ) f( ) In = c m + fonksionunun tersini bulalım. = & = + = & log( + ) = log ( + ) = & = log ( + ) + & = log( + ) + olur. O halde f ( ) = log( + ) + tir. In In = e o + & = e o + In In = e o & = e o = e & = $ e + olur. O halde f ( ) =. e + dir. Aşağıdaki fonksionların tersleri olan fonksionları bulunuz. ) f() = 7 6) f() = log` j f () = log 7 f () =. + ) f() = 7) f() = log( ) + f () = b + l f () = log 8) f() = In() + e ) f() = + f () = log b l e f () = ( e ) ) f( ) = + e f () = ln 9) f() = In c m + f () = $ e + ) f() = log f () = + ) f() = log f () = 9
YAKLAŞIM BİLGİ = f() + = f () bilgisini kullanarak fonksionun f f () = tersini bulmadan işlem apabiliriz. = f() = f() ise = f () dir. f A B + mj olmak üzere f ( ) = ise m değerini bulalım. f() = log ` ) ) f () = e + f ( ) = & f () = dir. f + m l = & log b +m l= & log b + m l = & log b + m = & 9 & m = bulunur. + e +7 = 8 + e = = e + 7 olmak üzere f (8) kaçtır? (8) = ise f() = 8 dir. + = = tür. ) f() = log( + m) ve f () = ise m kaçtır? ) f() = + mj log ` ve f () = ise m kaçtır? ) 6) f() = log( + ) ise f () kaçtır? f() = em + In + n ve f (e + ) = e ise m n çarpımının sonucu kaçtır? ) f() = m + log ve f (6) = 7 ise m kaçtır? ) f() = e + In(m) ve f (e) = e ise m kaçtır? 7) 8) 9 f() = loga + ve f ` j = ise a kaçtır? r f() = log `cos j + m için f (7) = ise m kaçtır? 8
YAKLAŞIM ve 'nin erlerini değiştirip, i alnız bırakmak suretile tersi alınamaan sorularda ikinci derece denklem çözümlerinden fadalanılır. ) f() = e e fonksionunun tersini bulalım. ) f() = ln( + + ) fonksionunun tersini bulalım. e e e e = & = dir. e = t değişken değiştirmesi apalım. e = t & e = t olur. t & = t & = t t & t = t & t t = b " T & t, = a " $ ( ) = = In( + + ) & = In( + + ) dir. & e = + + & e = + Her iki tarafın karesini alalım. & (e ) = ( + ) & e e + = + & e = e & = f e e e () = = olarak bulunur. e e = " + = " + olur. R için e > olacağından e = + + olacaktır. Ine = In( + + ) olarak bulunur. Buradan = ln( + + ) olur. Aşağıdaki fonksionların terslerini bulunuz. ) f() = f () = log b + + l ) f() = f () = log b + + l ) f() = In` + + j f e () = e ) f() = log ( + f () = +
. f() = log + ise f () hangisidir? A) f () = B) f () = C) f () = D) f () = E) f () = Test 6 Logaritma Fonksionunun Tersi 6. f() = + fonksionu için, f (6) + f (8) kaçtır? A) B) C) D) E) 6. f() = + ise f () hangisidir? A) f () = log ( + ) B) f () = log ( + ) C) f () = log () D) f () = log ( ) E) f () = log () 7. f() = ise f () aşağıdakilerden hangisidir? A) f () = log ( + ) B) f () = log ( ) C) f () = log D) f () = log E) f () = log ( ). f() = log ise f () hangisidir? A) f () = + B) f () = + C) f () = + D) f () = + E) f () = + 8. f() = log ( + ) + m ve f () = 6 ise m kaçtır? A) B) C) D) E). f() = In( ) + ise f () hangisidir? A) f () = e + C) f () = e B) f () = e D) f () = e 9. f() = + log ( + p) ve f () = ise p kaçtır? E) f () = e + A) B) C) D) E). f() = + e 7 ise f () hangisidir? A) f () = In(7 + ) B) f () = In(7 + ) C) f 7 () = In + d n D) f () = In(7 ) E) f () = Ind 7 n. f() = + 9 fonksionu için, f (7) kaçtır? A) B) C) D) E) C B C A C 6 D 7 D 8 B 9 A D
LOGARİTMA VE BİLEŞKE FONKSİYON YAKLAŞIM Bileşke fonksion bilgisi logaritmik fonksionlarda ugulanabilir. (fog)() = f(g()) dir. ) f() = sin + cos g() = log olduğuna göre (gof) ` r j değerini bulalım. ) g() = log ( + m) f() = In` j + fonksionları verilior. (gof )() = ise m kaçtır? (gof) b r l = g e r fb lo fb r l = r sin + r cos = + = dir. g ( ) = log = log / = log bulunur. = f() = In b l + & f () = e dir. (gof )() = g(f ()) = g() & log ( + m) = & m = 6 bulunur. ) f() = log ( + ) ve g() = log + ise (gof )() değerini bulunuz. ) f() = + ve g() = log ise (gof )() değerini bulunuz. 9 ) f() = log ve g() = log ( + ) ise (fog)() = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. {8} ) f() =, g () = log ( + m) ve (gof)() = ise m kaçtır? 6 ) f() = log ve g() = log ( + ) ise (fog)() = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 6) f() = In(sin) In(cos), g() = log (n ) ve (g of) ( r ) = ise n kaçtır? 6 &,
DENKLEM ÇÖZÜMLERİ YAKLAŞIM Tabanları eşitlenen denklemler üslü saıların kuralları ardımıla kolaca çözülebilir. Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. ) 8 + = ) BİLGİ ) + = {} ) a R {,, } olmak üzere a = a ise = dir. ) (a m ) n = a mn ) a m + n = a m a n ) 7 + = ` j 9 ) = 6 {/} {,} ) a m = a m ) + + + = 6 {} ) 9 = olduğuna göre, 'in değerini bulalım. 9 = & ( ) = & 6 = 7 & 6 = & = bulunur. 6 6) (,) = 6 7) e = e + 8) e In( + ) = log 6 {} {,} {} ) e = e + 9) ` j = ` j {, } denkleminin çözüm kümesini bulalım. log = ) ^, h e = e + & = + & = & ( 7)( + ) = & = 7, = O halde Ç = {, 7} dir. ) log log = ) ( + ) = { } {9} {,,,}
YAKLAŞIM Üslü ifadelerde değişken değiştirerek denklemin çözümü kolalaştırılabilir. ) 9 + + = denkleminin çözüm kümesini bulalım. ) + + 6 = denkleminin kökler çarpımını bulalım. 9 + + = & ( ) + = & ( ) + = = t değişken değiştirmesi apıldığında t + t = (t + )(t ) = t = vea t = olur. değerlerini bulmak için t değerleri = t de erine azılır. & = vea = bulunamaz = log bulunur. O halde Ç = {log } dir. + + 6 = & ( ) + = + = & ( ) ( ) = Bir kez daha ortak parantezine alınır ve ( )( ) = bulunur. = vea = = log = log Kökler çarpımı ise log log = log dir. Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. ) = 6) e e + = {log } {} ) + + 9 = {log } 7) 6 + 7 = {log } ) e e = {ln} 8) In + In 6 = {e, } ) + + = {,log } 9) e In( ) log = {} ) = {log } ) log = log ( log ) ) log
YAKLAŞIM log a nb m = n m loga b özelliğini kullanarak ortak logaritmaa dönüştürülebilen denklemlerde, ifadeler toplanabilir ve elde edilen basit denklem çözülebilir. 7 ) log + log + log 8 = denklemini sağlaan değerini bulalım. ) log ^log + log h = denklemini sağlaan değerini bulalım. log + log + log = 7 7 log + log + log = e + + o 7 log = 7 7 log = & log = 6 & = bulunur. log (log + log ) = log + log = log + log = / log log = log = log = = = 7 bulunur. Aşağıdaki denklemleri sağlaan değerlerini bulunuz. ) log + log + log = ) log [ + log + log 9] = {6} ) log + log + log = 6 6) log + = log ) log + log + log = 9 8 7) log + log 9 + log 8 = 7 ) log `log + log j = 7 8) log + + log = log 6
YAKLAŞIM Toplam ve fark durumunda verilen logaritmalar çarpım ve bölüm şeklinde birleştirilir. ) log ( + ) + log = log denkleminin çözüm kümesini bulalım. log ( + ) + log = log log [( + ) ] = log ( + ) = + = ( + )( ) = =, = bulunur. = değeri logaritmanın içini negatif aptığından alınmaz. ) log 9 ( + 7) log 9 ( 7) = log denkleminin çözüm kümesini bulalım. log 9 ( + 7) log 9 ( 7) = log + log 9 e 7 o = 7 + 7 = 9 7 8 6 = + 7 = 7 = bulunur. Ç = {} dir. O halde Ç = {} dir. Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. ) log + log ( + ) = log 6 {} 6) log (In) + log (In + ) = & e, e ) log + log ( ) = log 7) log 7 ( ) + log ( + ) = ^ h {} {} 8) In( ) + In( + ) = In8 ) log + log( + ) = log {} {} 9) log ( ) + log ( + ) = log ) log( + ) log() = log {} {} ) log ( + sin) + log ( sin) + log (tan) = ) log ( ) + log = log 7 olduğuna göre, sin kaçtır? 7
YAKLAŞIM Logaritmik denklemde ortak olan ifadee t dönüşümü ugulanarak denklem birleştirilir ve çarpanlara arılarak çözüm kümesine ulaşılabilir. ) (log ) + log = denkleminin çözüm kümesini bulalım. ) > olmak üzere log + log = denkleminin çözüm kümesini bulalım. log = t değişken değiştirmesi apalım. t + t = & (t )(t + ) = & t = vea t = log = t de t değerlerini erine azalım. t = & log = & = = = t = & log = & = = bulunur. Denklemin çözüm kümesi Ç = &, log = t değişken değiştirmesi apalım. log = t & log = t olur. & t + t = (t + )(t ) = t = vea t = bulunur. log = log = & log = & = = 8 dir. olamaz Denklemin çözüm kümesi Ç = {8} olur. Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. ) (log ) log = {,6} 6) log 6 + log = {, 6} ) log log + = 7) (In) In = {, } 7 ), e e ) log + log = {} 8) log( + ) = ( log) {} ) log log = {, } 9) log log = {} ) (log ) = log { 9,} ) log log + = {,,, } 8
YAKLAŞIM a log c log a b b = c özelliği ugulanarak eşitliğin her iki tarafının tabanları eşitlenir. log + log = denkleminin çözüm kümesini bulalım. Eşitliğin bir tarafında verilen saısının bir çarpanı olduğundan ifadelerin tabanını apalım. Bu durumda log = log azılır. log log + = log log. = & = = & log = & = & = " bulunur. Logaritmanın tabanı negatif olamaacağından denklemin çözüm kümesi Ç = $. olur. Aşağıdaki denklemleri sağlaan değerlerini bulunuz. ) 7( log )+ log = 6) log + log = 6 ) log + log = 8 7) log + log = 9 ) log + log = 8) e log + log e = e ) log + log = 8 9) ln + ln = e ) 7 log + log 7 = ) log + log = 9
YAKLAŞIM log f( ) a = g( ) şeklindeki denklemleri çözmek için önce eşitliğin her iki tarafının a tabanına göre logaritması alınır. Elde edilen denklemde ortak olan ifadee t değişken değiştirmesi apılır. Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. ) log =, ) ln = e. ) ), e e log. = 8 denkleminin çözüm kümesini bulalım. log ) 7 = ), 7 Denklemin her iki tarafındaki ifadelerin tabanına göre logaritmalarını alalım. log log = 8 & log ` j = log `8 j & log. log = log 8 + log & `log j = + log log = t değişken değiştirmesi apalım. t = + t t t = (t )(t + ) = t = vea t = log = log = = 8 = O halde Ç = {, 8} bulunur. log log6 = ) log ) log log = + log 6) = 8 ), ), ), log log7. = denklemini sağlaan değerini bulalım. 7) ln( ln ) = ) e, e Denklemin her iki tarafındaki ifadelerin tabanına göre logaritmalarını alalım. log log7 log( ) = log( ) log.log = log7.log 8) log = 8 ), 8 log7.log log = log log.log log = log log = log = log 9) log = log7 log7. log & log = bulunur. log ) 8 7 = ), 8
YAKLAŞIM Logaritmik denklemde farklı tabanlar var ise taban değiştirme vea logaritma kuralları ugulanarak tabanlar anı apılır. Daha sonra dönüşüm ugulanabilir.. Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a. log log 9 log6 = log {, }. log.log 6 = kaçtır? ln 6 denklemini sağlaan ln Denklemin sol tarafında verilen logaritmaların tabanlarını anı apalım. log6 = log = log olur. Denklemin sağ tarafında verilen ln 6 loge6 = ifadesi log ln log 6 saısının e tabanında azılmış e şeklidir. Bu durumda, log $ log = log6 `log j = & `log j = 6 & log = vea log = & = = 6 = = 6 Denklemin çözüm kümesi Ç = ), 6 6 ln 8 b. ^logh. log = ln c. log $ log + log = 8 ), ) 9, 9. log + 6 log = denklemininin kökler 8 çarpımını bulalım. Denklemin sol tarafında bulunan logaritmaların tabanları anı değildir. Anı apmak için logab = özelliğini kullanalım. log a. + 6 = log8 log b l log8 = log8 + log = + log log b l = log log = log şeklinde azalım ve log = t dönüşümü apalım. 6 + t + = (Pada eşitleelim) t (t ) + 6 (t + ) = (t + )(t ) 9t + = t + t t 7t 8 = (t 9)(t + ) = t = 9 vea t = log = 9 log = = 9 = Kökler çarpımı ise 9. = 7 = 8 bulunur. b d. log = log $. a b a ab b. log a + log b = log b + log a ise b nin a türünden eşiti nedir?. log a + log = log a 8a denkleminin kökler çarpımını bulunuz. a b = a vea b = a
DENKLEM SİSTEMLERİ YAKLAŞIM a m Logaritma içeren denklem sistemleri çözülürken log(ab) = loga + logb, log` j = log a log b ve logab = m logab özellikleri kullanılır. Değişkenlerden biri ok edilerek öteki değişken b bulunur.. log + log = ve log = koşullarını sağlaan (,) ikililerini bulalım.. log e + log e = ve ln(. ) = 7 denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım. log + log = log + log = log = log log = ikinci denklemi ile çarpalım ve alt alta toplaalım log + log = log log = 6 + log = log = = 6 dır. değerini denklemlerden birinde erine azalım. = 6 log log = log 6 log = log = log = = tür. O halde (,) = (6, ) bulunur.. log + log = ve + = olduğuna göre, + kaçtır? log + log = log () = = = 8 dir. ( + ) = + + özdeşliğini kullanalım. ( + ) = +.8 = 6 log e = = bilgisini kullanalım ve birinci denklemi loge ln log e + log e = + = şeklinde azalım. ln ln ln(.) = ln + ln = 7 olarak azalım. _ + = a = ln ve b = ln değişken değiştirmelerini apalım. ln ln b ` 7 ln + ln = b a a + b + = & = a b ab 7 7 a + b a + b = = = & ab = dir. ab ab 8 a + b = 7 denkleminden değişkenlerden birini çekelim ve ab = denkleminde erine azalım. 8 7 7 a + b = b = a olur. 7 7 b = a & ab al = 8 a 7 a + = 8 & ( a )( a ) = a = & b = a = & b = Denklem sisteminin çözüm kümesi Ç = * e, o, e, o bulunur. + = 6 bulunur. Aşağıda verilen denklem sistemlerinin çözüm kümelerini bulunuz. ) ) ln(. ) = lne o = log + log = 7 log log = {(e, e )} & `, j ) + = 89 & + =? log + log = ) ln`. j = lne o = 7 ) be, e el
Test 7 Bileşke Fonksion, Logaritmalı Denklemler, Denklem Sistemleri. log + log ( ) = log denkleminin çözüm kümesi hangisidir? A) { } B) {} C) {, } D) {, } E) {} 6. log 7 + 7 log = denkleminin çözüm kümesi hangisidir? A) { } B) {} C) {} D) {} E) {}. log ( + ) log ( ) = denkleminin çözüm kümesi hangisidir? A) {} B) {} C) {} D) {} E) {9} 7. (In) In = log denkleminin çözüm kümesi hangisidir? A) & e, B){e, } C) &, e e D) {e, e } E) &, e e. f() = 9 ve g() = log olduğuna göre, (fog )() = ise kaçtır? A) B) 8 C) 6 D) E) 8. log log = denkleminin köklerinin çarpımı kaçtır? A) B) C) D) 8 E) 6. log 7 = denkleminin çözüm kümesi hangisidir? A) {, 7} B) & 7, C) &, 7 7 7 D) &, E) {7, 7 7 } 9. log ( + + ) = denkleminin çözüm kümesi hangisidir? A) {, } B) {, } C) {, } D) {, } E) {, }. 7 In + 7 In = 8 denkleminin çözüm kümesi hangisidir? A) {, e} B) {7, e} C) {e, e 7 } D) {, e } E) {e, 7e}. In( ) = e + ve In( ) = denklem sistemini sağlaan kaçtır? A) e B) e C) e D) e E) e e E B B C A 6 E 7 E 8 B 9 A E
EŞİTSİZLİK ÇÖZÜMLERİ ÖZET Logaritmik eşitsizliklerin çözümlerine geçmeden önce Reel(gerçek) saılarda eşitsizlik çözümlerinin nasıl apıldığını hatırlaalım. a,, R olmak üzere ) a > ve a < a < dir. ) < a < ve a < a > dir. YAKLAŞIM Gerçek (Reel) saılarda üslü eşitsizlikleri çözerken her iki taraftaki tabanın anı olmasına dikkat edilir. Daha sonra özet bölümünde verilen bilgiler kullanılarak çözüm apılır.. c m 6 < ` j eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.. ( + ).( 7) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım. e o e o e o 6 < eb l o 6 < fe o p 6 6 + < e o (Tabanları anı apalım.) < < olduğundan 6 > 6 + 8 > 8 > O halde Ç = (, ) olur. = = olur. 7 = = 7 = = tir. İşaret tablosunda sonuçlarımızı birleştirelim. - + (+)( 7) + + Eşitsizliğin çözüm kümesi [, ] dir. Aşağıda verilen eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz. ) e o < b l 9 b 7, l ) (, 7) 6 > b l 9 e, o ) b l 7 7 9 < b l 7 e, o ) (, ) > e o e, o