Diferansiel Denklemler I /8 Çalışma Soruları 9.0.04 A. Aşağıda istenilenleri elde ediniz!. ( e +. d + ( e + k. d 0 denkleminin tam diferansiel denklem olabilmesi için ugun k saısını belirleiniz. Bu k saısı için tam diferansiel denklemin genel çözümünü bulunuz.. a nın hangi değeri için ( m + a : d ( + +. d 0 denkleminin (tam diferansiel hale getiren bir integrason çarpanı olur? belirleiniz, bu çarpanı kullanarak denklemin çözümünü bulunuz. B. Aşağıda verilen denklemlerin; hangi tip denklem olduklarını (nedenleri ile belirterek belirleiniz! tüm çözümlerini (genel çözüm ve varsa tekil çözümlerini çözümün geçerli olduğu değişkenlerin tanım aralıklarını da vererek bulunuz... ( + d + ( n. d 0. + cot sin 3. d + ( sin cos. d 0 4. ( cos sin. d sin d. 0 5. 6.. + n ( 5 d + ( 5. d 0 7. 8. 9.. 0. tan cos + cos ( +. d + ( +. d 0 n( n( (. d + (. d 0 + + Çalışma Soruları
/8 Not: ÇözümlerYol göstermeler kontrol amaçlıdır, azım hatası eksiklikler vs.. olabilir.. kendi çözümlerinizle mutlaka karşılaştırınız.. Çözümler (son güncelleme : 9.0.04 Önbilgi. (Bazı Diferansieller Tablo u u du. d +. d, u u(,. d( d +. d d( (. d. d 3 d. d. d( 4. d d. d( arctan + Çalışma Soruları
3/8 Önbilgi. (İntegrason Çarpan Araştırması Tablo M. d+ N. d Denk. için m İntegrason Çarpanı Araştırması 0 Koşullar integrason çarpanı Açıklamalar (. j( m m( e j N d j ( (alnızca e bağlı bir fonksion j( M m m( (. d e j j ( (alnızca e bağlı bir fonksion 3 ( w w N M w j m m( w ( w. dw e j w w(, (hem e hem e bağlı, j ( w (alnızca wa bağlı bir fonksion Not..durum: alnızca e bağlı;.durum: alnızca e bağlı; 3.durum: hem e hem e bağlı ü : integrason çarpanı araştırmalarında kullanılacaktır! Çalışma Soruları
A.. e + + e + için. ( d ( k. d 0 Md+ Nd. azımından: 0 4/8 M e + k N e + ü M e + k N, e + Denklemin Tam Dif.Denk. olabilmesi için e + k e + k bulunur. şartı sağlanmalıdır: Şimdi. e ( + d+ ( +. d 0 Tam Dif. Denk. in çözümünü bulalım: e u u du. d +. d u.. M. d + f (.. e +. d + ( f ( e + + f ( (Ai u.. N. d + g ( e + +... ( d g ( e + + g( (Aii (Ai ve (Aii den: g ( 0, f( 0 bulunur. u c idi. u e + olur. Genel Çözüm e + c [ Genel Çözüm ] I : < < Çalışma Soruları
A. a ı belirlemek için iki ol izleebiliriz: I.ol: ( m + a ani m m ( + formunda bir integrason çarpanı araştırması ile. 5/8 II.ol: Denklemin her iki tarafını ( m + a ile çarpıp eşitliğinden. I.oldan apalım! (İntegrason Çarpanı ile Tam Diferansiel hale getirilebilen denklem d d. ( + +. 0 için Md+ Nd. azımından: 0 M N ü M N ¹ Denklem: Tam Dif. DEĞİL! w + ì í î w w Hem e hem e bağlı integrason çarpanı, genel formda w w(, için aşağıdaki şekilde araştırılıor idi:.. w w N M ( + ( + + ( ( + + ( +. ( + (+ ( + w ( ¹ ukarıdaki eşitlik sonucu, alnızca wa bağlı bir fonksion elde edildi. O halde ÖnbilgiTablo: 3 den Çalışma Soruları
. dw w w N M. dw w ( w n m w e e e w + 6/8 intergrason çarpanı: m. +..,,. II.ol: Denklemin a ( ( + d + + + d (. 0 ( ( a M +, N ( + a a ì í î a a M + + + ( ( a ( ( a a ( a ( N + + + M N den her iki tarafı ( ( ( a ( + a e bölelim + + + + a ( a a ( a a + + + + + + 0 + a+ a+ 0 a..,,. Şimdi denklemin her iki tarafını m ( ¹ ile çarpalım ve denklemin Tam Dif. + Denk. haline geldiğini kontrol edip, çözelim. d ( + d 0 + +. Bu son denklem için Md. + Nd. azımından: 0 Çalışma Soruları
M + N + ü M +... N ( + Denklem: Tam Dif. 7/8 u u du. d +. d u.. M. d + f ( + +.. d f. I ( arctan + f( (Ai u.. N. d + g (... d + +. I g( arctan + g ( (Aii I için.. I d d arctan + k, + ( +.. p I için benzer şekilde I arctan + k bulunur, arctan k + arctan özelliğinden k p I ( arctan + + k ( arctan + k k 3 dielim 3 azılabilir. (Ai ve (Aii den: g (, f( 0 bulunur. u arctan olur. Genel Çözüm u c idi. 0, ¹ için çözüm araştırması: + arctan c [ Genel Çözüm ] I : ¹ 0, ¹ Çalışma Soruları
0 denklemi sağlamaz dolaısıla çözüm değildir. ¹ denklemin çözümleridir. Genel çözüme dikkat edilirse, bu çözümler denklemin birer TekilÇözümü olduğu görülür (gözlemleiniz!. 8/8 B. (Tam Diferansiel denklem ( +. d + ( n. d 0 için. Md+ Nd. azımından: 0 M + N n ü Denklem: Tam Dif. u u du. d +. d u.. M. d + f ( + +... ( d f( + n... + f( (Bi u.. N. d + g ( +... ( n d g( n d + +.... I g( n + + g( (Bii I için kısmi integrason ile: I n + k bulunur (inceleiniz!. ( (Ai ve (Aii den:. g ( n.., ( f n bulunur.. + + olur. Genel Çözüm u c idi. u n.. n. + n.. + n c [ Genel Çözüm ] I : ¹ 0, > 0 Çalışma Soruları
B. (Lineer Diferansiel denklem + cot sin, + p( q( p ( cot, q( sin 9/8 I.ol: uv dönüşümü aparak: uv, u u(, v v( + cot sin u v+ uv ü u v+ uv + cot u. v v( u + ( cot. u + uv sin 0 u + cot u. 0 u e e e p(. d cot. d n(sin (dikkat, integral sabiti 0 seçilior sin uv sin v sin sin. v sin sin d.. I I integralini hesaplaalım: I... sin cos d sin t dönüşümü ugulanırsa. ç æ d dt ö çè cos ø :.. I + 3 s n + 3 t t dt c i c 3. 3 sin 3 v + c ( v nin tespitinde: c integral sabitini eklemei UNUTMAYINIZ! 3 genel çözüm: uv den. æ 3 ö ç si sin 3. çè n + c ø uv idi c sin + [ Genel Çözüm ] 3 sin I : ¹ np, n 0,,... Çalışma Soruları
II.ol: pd (. v e şeklinde integrason çarpanı bularak: 0/8 p(. d cot. d n(sin v e e e sin bulunur. Şimdi denklemin her iki tarafını v sin ile çarpalım: sin. + cos. sin sn i ( v ( sin. oldugu görülür! (. sin sin sin Şimdi son denklemin her iki tarafının integralini alalım:. sin. sin sin d., I den sin 3 sin. + c 3. æ sin 3 ö c. ç + sin çè 3 ø uv idi c sin + [ Genel Çözüm ] 3 sin I : ¹ np, n 0,,... B3. (İntegrason Çarpanı ile Tam Diferansiel hale getirilebilen denklem d + ( sin cos. d 0 için. Md+ Nd. 0 azımından: Çalışma Soruları
M cos sin cos N ü M cos 0 N ¹ Denklem: Tam Dif. DEĞİL! /8 Ancak denklem, integrason çarpanı ile Tam Dif. denklem haline getirilebilir mi? inceleelim! cos 0 cos N alnızca e bağlı bir fonksion elde edildi. O halde ÖnbilgiTablo: den. d N cos. d m( e e e sin intergrason çarpanı: sin m ( e. Şimdi denklemin her iki tarafını sin m ( e ile çarpalım ve denklemin Tam Dif. Denk. haline geldiğini kontrol edip, çözelim. sin sin e d+ ( sin cos e. d 0. Bu son denklem için. Md+ Nd. 0 azımından: M ( sin c os e. N e sin sin ü M sin cos e. N Denklem: Tam Dif. Çalışma Soruları
.. u u du. d +. d /8 u.. M. d + f (.... + sin. I sin ( sin cos e d f( sin e + ( + sin e + f( (B3i u.. N. d + g (. sin.. + e d g( sin e + g( (B3ii I için sin t dönüşünü apılarak; ( t t t kısmi int egrason...... I tedt.. edt+.. te dt ( şeklinde bulunur (inceleiniz!. sin (B3i ve (B3ii den: g ( + ( sin e., f( 0 bulunur.. sin sin sin. u e + ( + sin e ( + sin e olur. Genel Çözüm u c idi. ( sin. sin + e c [ Genel Çözüm ] I : < < B4. (İntegrason Çarpanı ile Tam Diferansiel hale getirilebilen denklem ( cos sin d sin d. 0 için. Md+ Nd. 0 azımından: M sin N cos sin ü M cos N ¹ cos Denklem: Tam Dif. DEĞİL! Ancak denklem, integrason çarpanı ile Tam Dif. denklem haline getirilebilir mi? inceleelim! Çalışma Soruları
cos cos cos cot M sin sin 3/8 alnızca e bağlı bir fonksion elde edildi. O halde ÖnbilgiTablo: den. d M cot. d n(sin m( e e e sin intergrason çarpanı: m (. sin Şimdi denklemin her iki tarafını m ( ile çarpalım ve denklemin Tam Dif. Denk. haline geldiğini kontrol edip, çözelim: cos ( d. d 0 sn i sin (sin ¹ 0. Bu son denklem için. Md+ Nd. 0 azımından: M sin cos N sin ü M cos N sin Denklem: Tam Dif. u u du. d +. d Çalışma Soruları
u.. M. d + f ( sin... d + f ( ( sin + f (B4i u.. N. d + g ( cos..(. d + sin g( cos + + sin... d g. I ( + g ( (B4ii sin 4/8 ( I için sin t dönüşünü apılarak; sonuçta I + k bulunur (inceleiniz!. sin (B4i ve (B4ii den: g ( 0, f ( bulunur. u olur. Genel Çözüm u c idi. sin + c [ Genel Çözüm ] sin I : ¹ np, n 0,,... np için çözüm araştırması: Denklemi sağlar (gözlemleiniz! dolaısıla denklemin bir çözümüdür. Genel çözüme dikkat edilirse, TekilÇözümü olduğu görülür (gözlemleiniz!. B5. ( e göre Lineer Diferansiel denklem + n d n d p ( q ( d d + ( p, q ( n integrason çarpanı bulma metodu ile çözelim: Çalışma Soruları
. d p(. d n v e e e bulunur. 5/8 Şimdi lineer denklemin her iki tarafını d v ile çarpalım: ( d n æ ö ( v ç ç oldugu görülür! çè ø ( ¹ 0 æ ö n ç çè ø Şimdi son denklemin her iki tarafının integralini alalım:. n. d. I I hesaplanırsa: I n + c bulunur (inceleip, ara işlemleri apınız!. n + c... æ ö ç [ Genel Çözüm ] ç n + c çè ø I : > 0 B6. I. ol : Homojen denklemden çözüm bulunabilir! II.ol : B deki apılanlara benzer şekilde Tam Dif. denklemden çözüm bulunabilir! III.ol : Gruplandırma: ÖnbilgiTablo: ve den ararlanarak Çalışma Soruları
.. ( 5 d ( 5 d 0 + d+ d 5( d+ d 0 d( d ( + 6/8 5 d( d( + 0 5 ( 0 d( + 5 ( + c [ Genel Çözüm ] I : < < B7. (Özel formda Lineer Denklem haline getirilebilen Bu denklem, aşağıdaki dönüşüm ile lineer hale daha getirilebilir: cos tan tan z, z z( ( tan + z cos z z (lineer denklem elde edilir. + p( q( p (, q ( Şimdi lineer denklemi, z uv dönüşümü ile çözelim : z uv, u u(, v v( z z z u v+ uv ü u v+ uv. uv v( u. u + uv 0 u. u 0 (. d p. d n u e e e (dikkat, integral sabiti 0 seçilior Çalışma Soruları
uv v. v. d 7/8 v n.. + c ( v nin tespitinde: c integral sabitini eklemei UNUTMAYINIZ! genel çözüm: z uv den z ( n + c.. tan. ( n.. c z tan idi + [ ] I : ¹ 0, ¹ (n p /, n 0,,... Genel Çözüm (n p / için çözüm araştırması: diferansiel denklemi sağlamadığı için çözüm değildir. B8. Gruplandırma: ÖnbilgiTablo: den ararlanarak d d cos d. + cos d( + + 5 0. d(.. cosd. sin + c [ ] Genel Çözüm I : ¹ arcco s( B9. I. ol : B deki apılanlara benzer şekilde Tam Dif. denklemden çözüm bulunabilir! II.ol : Gruplandırma: ÖnbilgiTablo: ve den ararlanarak + d + + d... ( ( 0 d+ d + ( d+ d + d 0 d( d ( d ( n... Çalışma Soruları
d( d( + d( n 0. æ ö d ç + n çè ø (.. 0 8/8. ( + [ Genel Çözüm ] n.. c I : ¹ 0 B0. Gruplandırma: n( n( (. d + (. d 0 + + n ( d + d d + d + [ ] n ( d d d d + [ + ] [ + ] d( d( + n ( d ( ( + d ( + şimdi her iki tarafın integrali alınırsa, apınız! ve w. wdw. + k bilgilerinden; nu n u.. du + k (inceleip, ara işlemleri u n ( ( + c + bulunur. n ( ( + + c [ Genel Çözüm ] I : ¹, > 0 Çalışma Soruları