.0.013 1 JEODEZI.0.013 Referns Yüeyi Dönel Elipsidin Genel Öellikleri Dönel Elipsidin Gemetrik Prmetreleri Elips: iki nkty uklıklrı tplmı sbit ln nktlr kümesine denir. Bir elipsin küçük ekseni çevresinde döndürülmesiyle kutuplrd bstırılmış dönel bir elipsid luşur. Bu dönel elipsidin büyüklüğü ve biçimi iki gemetrik prmetre ile tek nlmlı lrk belirlenir. Bu gemetrik prmetreler; elipsin büyük ekseni, küçük ekseni b ile gösterilir. Elipsle ilgili bir çk büyüklük, b ye işlevsel lrk bğlıdır..0.013 1
.0.013 3 Referns Yüeyi Dönel Elipsidin Genel Öellikleri ve b prmetreleri ynı mnd meridyen elipsidini de belirler., elipsidin ekvtr yrıçpıdır. Dğrusl dışmerkelilik E, O merkei ile F 1 y d F dk nktsı rsındki uklıktır. E büyüklüğü yrdımıyl, 1. dışmerkelilik e,. dışmerkelilik e tnımlnbilir..0.013 4 Referns Yüeyi Dönel Elipsidin Genel Öellikleri Bsıklık f ve yrı eksen uunluk frklrının tplmlrın rnı (üçüncü bsıklık n şğıdki gibi gb verilmektedir. e ed e, e, f ve n büyüklüklerinin öel nlmı, elipsid gemetrisinin diiye çm işlemleriyle tnımlnmsındn kynklnır. Elipsidin ve b yrı eksenleri rsındki frk çk küçük lduğundn bu prmetreler de 1 den önemli ölçüde küçüktür. Bu prmetreler syesinde kuvvet diileri çk çbuk ykınsr. Yni diinin bştn birkç terimi syısl hesplnır ve beklenen duyrlılığ erişmek için tplmlrı yeterli lur..0.013
.0.013 5 Referns Yüeyi Dönel Elipsidin Genel Öellikleri Burd c kutup eğrilik yrıçpı lrk dlndırılır..0.013 6 Referns Yüeyi Dönel Elipsidin Genel Öellikleri.0.013 3
.0.013 4 Meridyen Elipsinin Prmetrik Gösterimi 7.0.013 Meridyen Elipsinin Prmetrik Gösterimi 8 Dönel Elipsidin dik-krteyen krdint sistemindeki d kl i denklemi; biçimindedir. Prlel dire yrıçpı p ile gösterilirse; 1 ( ( ( b y x.0.013 1 ( ( sin cs b p y x p p y p x
.0.013 9 Meridyen Elipsinin Prmetrik Gösterimi Bu sn eşitlikte p ve prmetreleri meridyen elipsinin mtemtik nltımı için tek bir prmetre ile de tnımlnbilir: p p( t; ( t Meridyen Elipsinin her nktsınd ϕ cğrfik enlem tek nlmlı lduğundn, eşitlikte t prmetresinin yerini lbilir. p, dik krdintlrını ϕ nin fnksiynu lrk ifde etmek için, P nktsındki meridyen elipsinin teğeti için şğıdki denklem yılır. tn( d dp.0.013 10 Meridyen Elipsinin Prmetrik Gösterimi Türev lınır ve gerekli sdeleştirmeler ypılırs; p ( ( 1 b p d dp 0 b d p b tn( dp Meridyen elipsinin cğrfik enleme bğlı prmetrik gösterimi; p cs cs b sin b sin cs b sin.0.013 5
.0.013 11 Meridyen Elipsinin Prmetrik Gösterimi Dh önceki dış merkelilik ve kutup eğrilik yrıçpı kullnılırs; cs c cs p 1 e sin 1 e cs b 1 e sin csin 1 e sin (1 e 1 e cs Burd krşılştığımı bı ifdeleri hesplmlrımıd sıklıkl kullncğı: v 1 e cs w e 1 e sin cs.0.013 1 Meridyen Elipsinin Prmetrik Gösterimi Şekilde görüldüğü gibi P nktsı ile P de luşturuln nrmlin ekseni ile kesişme nktsı rsındki uklığ çpr eğrilik yrıçpı denir (N. N c v w Ayrıc meridyen eğrilik yrıçpı (M c (1 e M 3 3 v w.0.013 6
.0.013 13 Meridyen Elipsinin Prmetrik Gösterimi İndirgenmiş Enlem İle meridyen elipsinin prmetreleri belirlenmek istenirse: p cs bsin.0.013 14 Meridyen Elipsinin Prmetrik Gösterimi Merke Enlem İle meridyen elipsinin prmetreleri belirlenmek istenirse: r merke yrıçp lmk üere p cs bsin cs r wcs r 1 e sin 1 e b cs.0.013 7
.0.013 15 İndirgenmiş Enlem ile Cğrfik Enlem Arsındki Bğıntılr tn 1 e tn p cs cs cs w w sin b (1 e sin wb b 1 e (1 e sin wb 1 e sin w.0.013 16 Merke Enlem ile Cğrfik Enlem Arsındki Bğıntılr tn (1 e tn (1 e sin tn w p cs w.0.013 8
.0.013 17 İndirgenmiş Enlem ile Merke Enlem Arsındki Bğıntılr tn 1 e tn tn p bsin cs 1 e tn.0.013 Örnekler 18 Cğrfik Enlemi 35 0 40 ln nktnın elips dik krdintlrını hesplyını. =6378388 m b=6356911.94613 94613 m c=6399936.608 m e =0.00676817 e =0.006767 Hyfrd Elipsidi cs c cs p w v (1 e sin csin w (1 e v w v 1 e sin 0.9988744915 1 e cs 1.0049067 6378388x cs(35 0 40 p 508643.936m 0.9988744915 6378388x(1 0.006767 xsin(35 040 3669161.169 m 0.9988744915.0.013 9
.0.013 19 Örnekler İndirgenmiş Enlemi 35 50 37.9500 ln nktnın cğrfik enlemini bulunu. Ayrıc elips dik krdintlrını indirgenmiş enlem türünden bulunu. tn tn(35 5037.9500 tn 1 e 1 0.006767 35 568.346 p cs 6378388x cs(35 bsin 6356911.9461394613xsin(35 i(35 5037.9500 517041.085m 50 37.9500 37471.431431m.0.013 0 Örnekler Cğrfik Enlemi 35 56 8.3400 ln nktd merke enlemi ve merke yrıçpı hesplyını. tn (1 e tn (1 0.006767 x tn(35 35 45 7.9046 w 1 e sin 1 0.006767xsin (35 cs 6378388x cs(35 568.3400 r 6371031.968m wcs 0.9988416055x cs(35 45 7.9046 568.3400 568.3400 0.9988416055.0.013 10
.0.013 Örnekler 1 Merke enlemi 35 45 7.9000 ln nktdki indirgenmiş enlemi bulunu. tn tn(35 45 7.9000 tn 1 e 1 0.006767 35 5037.947.0.013 Jedeik Ortk Dik Krdintlrın Cğrfik Krdintlr, İndirgenmiş Enlem ve Merkesel Enlem İle İlişkisi Elipsid üerinde P nktsının krdintlrı Jedeik Enlem ϕ, Jedeik Bylm λ ile gösterilir. λ bylmı P den elipsid nrmlinin (dış dğru pitif elipsid ekvtru üerindeki idüşümünün x ekseni ile rsındki çıdır ve dğuy dğru pitif syılır (0 λ Π. ϕ enlemi elipsid nrmli ile xy ekvtr dülemi rsındki çıdır ve kueye dğru pitif güneye dğru negtiftir (-Π / λ Π/. ϕ = sbit eğrileri prlel direyi tnımlr, λ=sbit jedeik meridyeni tnımlr..0.013 11
.0.013 Jedeik Ortk Dik Krdintlrın Cğrfik Krdintlr, İndirgenmiş Enlem ve Merkesel Enlem İle İlişkisi 3 Meridyen Elipsinin denklemi şğıdki şekilde yılbilir: p 1 b r 1 b r x y yerine yılırs x y 1 şeklinde dönel b elipsidin denklemi bulunmuş ş lur. OTQ dik üçgeninde; y sin r y rsin r cs sin x cs x rcs r cs cs r r sin r r cs.0.013 Jedeik Ortk Dik Krdintlrın Cğrfik Krdintlr, İndirgenmiş Enlem ve Merkesel Enlem İle İlişkisi 4 r değeri yerine yılırs bener şekilde; x cs cs 1 e sin y 1 e sin cs sin 1 e sin sin Ayrıc İndirgenmiş enlem türünden elde edilmek istenirse; cs r cs x cs cs y cs sin cs bsin ( sin cs tn cs tn cs 1 e Cğrfik Bylm ve Enleme bğlı lrk; x N cs cs y N cs sin N sin 1 e.0.013 1
.0.013 Jedeik Ortk Dik Krdintlr ile Jedeik Eğri Krdintlrı Arsındki Dönüşüm 5 Bşlngıcı Elipsidin şekil merkeinde ln ekseni elipsidin küçük ekseni ile çkışn x ekseni Greenwich meridyeninin ekvtrl r kesitinden geçen sğ sisteme denir. P yeryüü nktsının x,y, jedeik dik krdintlrı ile ϕ, λ, h jedeik eğri krdintlrı rsındki ilişkiyi kurlım. Elipsid yüksekliği elipsid yüeyi ile P nktsı rsındki elipsid nrmlinin uunluğudur ve h ile gösterilir. P nktsının yer vektörü; r r hn E Burd n KP dğrultusund bir birim vektördür ve bileşenleri; nx cs cs ny cs sin n sin.0.013 6 Jedeik Ortk Dik Krdintlr ile Jedeik Eğri Krdintlrı Arsındki Dönüşüm Dh önce cğrfik enlem, bylm ile x, y, krdintlrı rsınd yıln bğıntıdn yl r çıkrk Q vektörünün bileşenleri; x ( N hcs cs y ( N hcs sin N ( 1 e h sin vey x ( N hcs cs y ( N hcs sin ((1 e hsin.0.013 13
.0.013 7 Jedeik Ortk Dik Krdintlr ile Jedeik Eğri Krdintlrı Arsındki Dönüşüm Jedeik Eğri krdintlrı (ϕ, λ, h verilmişken, Jedeik dik krdintlrın (x,y, belirlenmesi ldukç krmşık bir prblemdir. İtertif çöüm vey 4. dereceden cebirsel denklemlerin çöümünü gerektirir. İtertif çöüm ypılırken; x y ( N hcs yılbilir. Cğrfik enlem biliniyrs burdn h elipsidl yüksekliği bulunbilir; h x y N cs.0.013 8 Jedeik Ortk Dik Krdintlr ile Jedeik Eğri Krdintlrı Arsındki Dönüşüm Enlem değeri bilinmediği için; x y tn (1 e 1 e (1 e tn (1 e x y Bu eşitlikte h değeri N değeri ynınd çk küçük kldığı ğ için; hesplnbilir. tn (0 h N h h N h (1 e x y 1.0.013 14
.0.013 Jedeik Ortk Dik Krdintlr ile Jedeik Eğri Krdintlrı Arsındki Dönüşüm 9 ϕ (0 hesplndıktn snr;.0.013 Jedeik Ortk Dik Krdintlr ile Jedeik Eğri Krdintlrı Arsındki Dönüşüm 30 Eğer nkt kutup nktsın ykıns; cs (0 x y c.0.013 15
.0.013 31 Jedeik Ortk Dik Krdintlr ile Jedeik Eğri Krdintlrı Arsındki Dönüşüm İtersyn sürecinde, eğer birbirini ileyen dım frklrı yeterince küçük ise itersyn drdrlr durdurulur. Seçilen bir ε (örneğin 1 mm ht düeyi ile sn erer. h ( i ( i h ( i1 Cğrfik bylm değeri; ( i1 tn y x.0.013 Örnek 3 Cğrfik Enlemi 36 5 3.1000, Bylmı 7 6 56.9880 ve elipsidl yüksekliği ğ 150 m ln nktnın jedeik rtk dik krdintlrını hesplyını. N 6378388 6385841.193m 1 e sin 1 0.006767xsin (36 5'3.1000'' x ( N hcs cs (6385841.193150 x cs(36 5'3.1000'' x cs(7 6'56.9880'' 459399.069 m y ( N hcs sin (6385841.193150 x cs(36 5'3.1000'' xsin(7 6'56.9880'' 35434.103m [(1 e N h]sin [(1 0.006767 x6385841.193150] xsin(36 5'3.1000'' 373763.38m.0.013 16
.0.013 Örnek 33 Önceki örnekte elde edilen jedeik rtk dik krdintlrındn ndn jedeik eğri krdintlrını n hesplyını..0.013 17