MİNİMAL SİSTEMLERDE DURUM GERİBESLEMESİ İLE KUTUP ATAMA PROBLEMİNİN NÜMERİK ANALİZİ Erkam Murat BOZKURT Mehmet Turan SÖYLEMEZ Kontrol ve Otomasyon Mühendslğ Bölümü, Elektrk-Elektronk Fakültes, İstanbul Teknk Ünverstes, Maslak, İstanbul e-posta: bozkurte@tu.edu.tr e-posta: soylemez@elk.tu.edu.tr ABSTRACT It s well known that pole assgnment for lnear tme nvarant, sngle nput/sngle output (SISO) systems always nvolves numercal errors when a numercal algorthm s performed wth fnte precson floatngpont arthmetc. Ths paper s manly concerned wth numercal performance of pole placement process and some mportant parameters affectng t. Anahtar sözcükler: Kutup atama, kutup renklendrme, nümerk hatalar. GİRİŞ Durum ger beslemes le kutup atama problem ve lgl çalışmalar kontrol teorsnde uzun br geçmşe ve öneml br yere sahptr. Kutup atama şlemnn başarısı kararlılık ve sstem performansı üzernde krtk rol oynar. Doğrusal, zamanla değşmeyen, tek grş ve tek çıkışlı sstemlerde kutup yerleştrme problemnn çözümü çn brçok yöntem gelştrlmş olup tüm bu yöntemlern farklı performans ölçütlerne göre başarıları, avantaj ve dezavantajları daha öncek çalışmalarda ayrıntılı olarak ncelenmştr []. Bu yöntemlern uygulanablmes çn gerek ve yeter şart se uygulanacak sstemn tümüyle kontrol edleblr durumda olmasıdır. Bütünüyle kontrol edleblr br sstem çn kutup atama şlem aşağıdak gb tanımlanacaktır. Doğrusal, zamanla değşmeyen, tek grş tek çıkışlı br sstemn durum uzayı model aşağıdak gb verlmş olsun. x = Ax + Bu () y = Cx () Burada, A, B ve C matrslernn boyutları sırası le n n, n ve n dr. Eğer sstem tümüyle kontrol edleblr durumda se durum ger beslemes üzernden uygulanacak olan kontrol kuralı aşağıdak gb tanımlanacaktır. u = r Kx (3) Burada r referans grş, K se n boyutlu durum ger besleme matrsn temsl etmektedr. Denklem (3) le verlen kontrol kuralı denklem () le verlen ssteme grş olarak uygulandığı takdrde elde edlen kapalı çevrm sstem ve bu sstemn karakterstk denklem durum ger beslemesne bağlı fadeler olarak karşımıza çıkar: ( ) x = A BK x+ Bu (4) n si A + BK = as + s = (5) = Sonuç olarak elde edlen kapalı çevrm sstemn durum matrsnn özdeğerler (kutupları), sstemn karakterstk denklemnn köklerdr ve durum ger besleme matrs kullanılarak açık çevrm sstemn kutupları hedeflenen kapalı çevrm kutuplarına taşınablr ve bu şlem kutup atama olarak adlandırılır. Yukarıda tanımlanan kutup atama şlem, blgsayar ortamında nümerk olarak gerçekleştrlmek stendğ takdrde brtakım hesaplama hatalarının meydana gelmes kaçınılmazdır ve hesaplanan durum ger beslemesnn ssteme uygulanması le elde edlen kapalı çevrm sstemn kutupları hedeflenen kutup bölgelernden uzaklaşacaktır. Bu nedenle br nümerk kutup atama şlemnn başarısının ve üzernde etkn olablecek olası br takım parametrelern analz edleblmes çn öncelkle br hata tanımlaması yapılmalıdır. Bu çalışmada hata tanımlaması, kutup renklendrme şlem kullanılarak yapılmıştır []. En genel durumda br polnomun kökler le katsayıları arasında cebrk br lşk bulunmadığından nümerk kutup atama şlemnde meydana gelen hatanın fonksyonel olarak analz edlmes mümkün değldr. Bu nedenle bu bldr süresnce kutup atama problemnn nümerk olarak analz çn statstksel br yaklaşım benmsenmştr [3]. Yapılan statstksel analzler sonucunda kutup atama şlemnn nümerk performansını etkleyen k adet parametrenn varlığı tespt edlmştr. Bunlardan lk ve en etkl olanı sstem mertebesdr (SM). Dğer se verlen br sstemn reel değerl kutup sayısının sstemn tüm kutuplarının sayısına oranı veya başka br değşle sstem mertebesne oranı olarak tanımlayableceğmz reel kutup oranı (RKO) dur.. KUTUP RENKLENDİRME Blgsayar ortamında nümerk olarak gerçekleştrlen br kutup atama şlemnn sonucunda elde edlen
durum ger besleme matrs hatalı olarak hesaplanmış olacağından; elde edlen kapalı çevrm sstemn karakterstk denklem, stenen kapalı çevrm karakterstk denklemnden farkı olacaktır. Eğer nümerk olarak hesaplanan br durum ger besleme matrsn aşağıdak denklem (6) le verlen şeklde gösterlecek olursak, bu matrsn ssteme ger besleme olarak uygulanması le elde edlecek olan kapalı çevrm karakterstk denklem aşağıdak denklem (7) le gösterldğ gb olacaktır. K = K + K (6) (7) n si A+ B( K + K) = ( a + a) s + s = Burada K durum ger besleme matrsnn nümerk hesaplanmasında meydana geleblecek olası hataları çeren matrs, a katsayıları se hesaplanan durum ger besleme matrsnn ssteme uygulanması le elde edlen kapalı çevrm karakterstk denklemnn katsayılarında meydana gelen bozulmaları temsl etmektedr. Bu nedenle hatasız gerçekleştrlmş br kutup atama şlemnde a katsayılarının değer (Nomnal değer) sıfırdır ve yapılan hataya göre farklı değerler alacaktır. Karakterstk denklemnn katsayılarında meydana gelen bozulmalar kapalı çevrm sstemn kutuplarının stenen konumlardan uzaklaşmasına neden olur. Aşağıdak denklem (8), k. katsayıda meydana gelen bozulmanın. kutup üzerndek etksn vermektedr. n k λ λ = a j ( λj λ ) k (8) Bu noktadan hareketle, sstemn hedeflenen kapalı çevrm kutuplarına deal kutuplar, durum ger besleme matrsnn ssteme uygulanması le elde edlen kapalı çevrm kutuplarına se gerçek kutuplar dyelm. Bu tanımlamalardan yola çıkarak dyeblrz k, deal kutuplar le bu kutuplara karşılık gelen gerçek kutuplar arasındak mesafe yapılan br nümerk kutup atama şlemnn performansını belrleyecektr. Bu bakımdan deal kutuplar le gerçek kutuplar arasındak olası en büyük uzaklık kutup atama şlemnn hatası olarak tanımlanablr. Fakat aradak mesafe ölçülmeden önce sstemn hang deal kutbuna hang gerçek kutbun karşılık geldğ blnmeldr. Bu nedenle, deal kutuplar le gerçek kutuplar arasında karşılıklı mantıksal br eşleşme yapılması gerekldr. Bu şlem lteratürde kutup renklendrme olarak adlandırılır []. Bu şlem br örnek le daha açık hale getrmek mümkündür. Üçüncü mertebeden br sstem çn gerçekleştrlen br nümerk kutup atama şlemnn sonucunda, hedeflenen kutuplar le gerçek kutupların aşağıdak Şekl..(a) le verlen şeklde olduğunu kabul edelm. Şekl ncelendğnde kutuplar arasında yapılacak olası eşleşmeler çn 6 adet farklı permutasyonun olduğu görülecektr. Şekl..(b), Şekl..(c) ve Şekl..(d), de deal kutuplar le gerçek kutuplar arasındak bazı eşleşmeler verlmştr. Verlen eşleşmelerde, her br deal kutup le bu kutba İdeal kutuplar Gerçek kutuplar Şekl.: (a) Üçüncü mertebeden br sstem çn yapılan br nümerk kutup atama şlemn çn deal kutuplar le elde edlen gerçek kutuplar çn olası br dağılım. (b), (c), (d) İdeal kutuplar le gerçek kutuplar arasında yapılablecek olası eşleşmelerden bazıları. karşılık gelen gerçek kutup arasındak uzaklıkların sayısal değerlernn oluşturduğu kümeler sırası le {db,db,db 3 }, {dc,dc,dc 3 }, ve {dd,dd,dd 3 } olarak gösterelm. Daha sonra bu uzaklıkların en yüksek değerlern se sırası le q b, q c ve q d le gösterelm. qb = max( db ), qc = max( dc ), =, n =, n (9) q = max dd, =, n d ( ) Şekller ncelendğnde takdrde bu değerlern sırası le.69,.55 ve. olduğu kolaylıkla görüleblr. Bu noktadan hareketle her br şekl çn yapılan eşleşmelerde karşılıklı kutuplar arasındak en yüksek uzaklığın en az olduğu, başka br değşle karşılıklı eşlenmş olan kutupların brbrne en yakın olduğu Şekl..(d), le verlen eşleşmenn verlen eşleşmeler arasında en mantıklı eşleşme olacağı açıktır. q = mn q,q,q, () d b c d Tüm bu şlemler sonucunda elde edlen q d değer aynı zamanda deal kutuplar le gerçek kutuplar arasındak mesafe olarak da tanımlanablr. Bu şlem aşağıdak denklem le n. mertebeden br ssteme uygulanmak üzere genelleştrleblr. J q = () mn ( qp) ( ( d )) = mn max () p
Burada, p olası eşleşmelern p. permutasyonunu, d se p. permutasyon çn ölçülen kutuplar arasındak. mesafey, J q se kutup renklendrme şlemnn sonucunda elde edlen kutuplar arasındak mesafey temsl etmektedr. 3. HATA TANIMLAMASI VE TESPİTİ Br öncek bölümde belrtlen kutup renklendrme şlem, yapılan br nümerk kutup atama şlem sonucunda elde edlen deal kutuplar le gerçek kutuplar arasında uygulanırsa, deal kutuplar le gerçek kutuplar arasındak en büyük mesafe nümerk kutup atama şlemnn hatası olarak tanımlanablr. Fakat. mertebeden br sstem çn yapılacak br kutup renklendrme şlemnde! adet farklı permutasyon test edlmeldr ve eğer standart br algortma kullanılırsa şlem çok yavaşlayacaktır. Bu nedenle şlemn çözümü çn hızlı ve y sonuç verecek br eşleşme algortmasına htyaç duyulacaktır. Blgsayar blmler termnolojsnde bu problem lnear bottleneck assgnment problem (BAP) olarak adlandırılır [4]. Bu bldrde yapılan statstksel analzlerde nümerk kutup atama şlemnn sonucunda ortaya çıkan hatanın tespt çn [4] da verlen BAP algortması kullanılmıştır. 4. REEL KUTUP ORANI Bu parametrenn fade ettğ kavramın aşağıda yapılacak olan açıklamalarla daha açık hale getrlmes mümkündür. Bu parametre üzernde yapılacak olan analzlern çıkış noktası, yapılan nümerk hatalar sonucunda kapalı çevrm sstemn reel kutuplarında karmaşık kutuplarına nazaran daha büyük oranlarda bozulma ve hedeflenen bölgelerden uzaklaşmaların meydana geldğ düşüncesdr. Bu nedenle reel kutup oranı üzerne yapılan analzlern amacı verlen sstemn spektral dağılımının kutup atama şlemnn başarısına etksn göstereblmektr. Reel kutup oranı olarak adlandırılan bu parametre verlen br sstem çn, reel değerl kutuplarının sayısının sstemn tüm kutuplarının sayısına oranı olarak tanımlanablr. Br sstemn tüm kutuplarının sayısı reel kutuplarının sayısına ancak eşt veya fazla olableceğ çn bu parametre le arasında br değer alacaktır ve br oran belrttğ çn yüzdelk dlm türünden de fade edlmes mümkündür. Fakat bu kavram tek başına br anlam taşımamaktadır. Çünkü verlen br sstemn kutuplarının %5 oranında reel olması şeklndek br fade pratkte her zaman mümkün olmayablr. Buna örnek olarak. mertebeden br sstemn reel kutuplarının sayısının 5 dolayısıyla da reel kutup oranının.5 olması olanaksızdır. Fakat aynı mertebeden ve rasgele türetlmş olan çok sayıda sstem çn bu oran hesaplanıp ortalama değer alınırsa, türetlen herhang br sstemn reel kutuplarının tüm kutuplarının sayısına oranının beklenen değer () statstksel olarak hesaplanmış olacaktır ve yüzdelk dlm açısından da anlamlı br fade elde edlmş olunacaktır. Yukarıda verlen örneğe dönecek olursak, değşk değerlerdek reel kutup oranlarına sahp brçok sstem türetlp, hesaplanan reel kutup oranlarının ortalama değerler hesaplanacak olursa %5 cvarında br değern elde edlmes beklenr. Elde edlen bu değer reel kutup oranının beklenen değernn yüzdelk olarak göstermdr. Reel kutup oranının beklenen değer olarak tanımladığımız bu term çn aşağıdak gb br matematksel gösterm yapılablr. E reel kutup oranı E reel kutup sayısı = (3) Tüm kutupların sayısı Bu noktadan hareketle, bu parametrenn kutup yerleştrme şlem üzerndek etksn analz edeblmek çn lk olarak durum uzayı formunda ve elemanları rasgele olarak atanmış çok sayıda sstemn türetldğn ve bu sstemlern reel kutuplarının oranının beklenen değernn se programcı tarafından önceden belrlenebldğn düşünelm. Daha sonra, bu şeklde türetmş olduğumuz her br ssteme kutup yerleştrme şlemn uygulayarak sstemlern açık çevrm kutuplarını yne rasgele seçlmş olan kutup bölgelerne taşıdığımızı kabul edelm. Daha sonra her şlem sonucunda yapılablecek olası hatayı br öncek bölümde açıklamış olduğumuz kutup renklendrme yöntemn de kullanarak tespt ettğmz ve son olarak da tespt edlen bu hataların ortalama değerlern hesapladığımızı düşünelm. Bu durumda, reel kutup oranının beklenen değer le kutup atama şlemnde yapılan hataların beklenen değer arasında statstksel br lşk kurmak mümkün olacaktır. Fakat bu noktada akla gelecek lk soru, yukarıda belrtldğ gb hedeflenen reel kutup oranlarına sahp rasgele sstemler türetmek veya başka br değşle rasgele türetlen sstemlern reel kutup oranının ve bunun br sonucu olarak da sstemlern bütünü çn reel kutup oranının beklenen değern önceden belrleyeblmek mümkün müdür? Bu bldr boyunca lk olarak [5] no lu referansta kullanılmış olan br yöntem problemn çözümü çn önerlecektr. Bu yöntem şu şeklde açıklamak mümkündür; öncelkle verlen uzunlukta br karmaşık sayı dzs türetmek stedğmz düşünelm. Fakat bu dz türetlmeden önce dznn reel değerl elemanlarının beklenen değern önceden belrleyebldğmz düşünelm. Bu durumda, bu dznn elemanları rasgele türetlecek olan br kare matrsn öz değerler olarak rahatlıkla yerleştrleblr ve bu şeklde daha önceden belrleneblen rasgele sstemler türetmek mümkün olacaktır. Bu özellğe sahp br karmaşık sayı dzsn türetmek çn kullanılablecek yöntemlerden br de sayı dzsn hücrelere bölmek ve her br hücre çn br olasılık deney yapmaktır. Bu deney gerçekleştrmek çn zlenecek prosedür se şöyle olacaktır. Eğer deney başarılı se hücre karmaşık sayı ve br sonrak hücre se bu sayının eşlenğ olsun ve bu olasılığı p olarak tanımlayalım. Buna karşılık eğer başarısız se hücre reel sayı olsun. Bu şeklde son hücreye kadar dz elemanlarının atandığını düşünelm. Br karmaşık 3
sayının dzye eşlenğ le brlkte yerleştrlmes gerektğnden dznn son elemanının karmaşık sayı çftnn lk elemanı olma htmal sıfır olarak alınmalıdır. Fakat bu noktada hedeflenen br reel kutup oranının beklenen değer çn seçlen hücrenn reel olma olasılığını veren br olasılık fonksyonuna htyaç duyulacaktır. Bu şlem çn aşağıdak denklem (4) de verlen olasılık fonksyonu kullanılablr. n + ψ = ( ) ( n ) p (4) n = Fonksyonun türetlmes le lgl daha detaylı blg Bozkurt tarafından verlmştr [6]. Bu denklemde ψ dznn karmaşık değerl elemanlarının oranının beklenen değern temsl etmektedr. Bu noktada dznn reel değerl elemanlarının oranının beklenen değer se ψ nn tümleyen yan -ψ olacaktır. Verlen br ψ değer çn bu denklem çözüldüğü takdrde elde edlen p değer herhang br hücrenn karmaşık sayı olma olasılığını verecektr. Bu değer elde edldkten sonra bast br prosedür uygulanarak hedeflenen karmaşık sayı dzsn türetmek mümkün olacaktır. Bu denklem kullanılarak, karmaşık değerl eleman oranı hedeflenen br değerde sabtlenmş br karmaşık sayı dzs türetmek çn zlenmes gereken adımlar se aşağıdak gb olacaktır. Verlen br ψ değer çn p değern denklem.49 le verlen olasılık fonksyonunu çözerek hesapla. Değer sıfırla br arasında değşen rasgele br reel sayı türet Türetlen reel sayı elde edlen p değernden küçük se hücreye br karmaşık sayı, br sonrak hücreye se bu karmaşık sayının eşlenğn yerleştr. Eğer türetlen sayı elde edlen p değernden büyükse hücreye br reel sayı yerleştr. Aynı prosedürü son hücreye kadar uygula. Eğer son hücreden br öncek hücrede yen br karmaşık sayı çftne başlanmış se doğal olarak son hücreye de br öncek hücrenn eşlenğ yerleştrlecektr. Aks halde son hücreye de yne br reel sayı yerleştr ve şlem sonlandır. Yukarıda verlen prosedür takp edlerek reel değerl elemanlarının sayının beklenen değer programcı tarafından belrlenen karmaşık sayı dzler türetleblecektr. Bu özellğe sahp karmaşık sayı dzler türetldkten sonra, reel kutup oranının beklenen değer sabt olacak şeklde rasgele sstemler türetmek mümkün olacaktır. Bu şlem gerçekleştren algortma çn [6] no lu referansa bakınız. 5. DEĞERİ BELİRLENEBİLEN SİSTEMLER TÜRETME Br öncek bölümde açıklanan yöntem kullanılarak reel değerl eleman sayısının beklenen değer önceden belrleneblen sabt br değerde olacak şeklde karmaşık sayı dzler türetleblr. Bu noktadan hareketle, bu dzlern elemanları kullanılarak reel öz değerlernn sayısının beklenen değerler daha önceden belrleneblen rasgele matrsler türetmek mümkündür. Bu dzlern elamanları, dyagonal elementlern oluşturacak şeklde rasgele dyagonal matrsler türetmek mümkündür. Eğer türetlen bu dyagonal matrsler koordnat dönüşümü yaparak rasgele seçlmş koordnat düzlemlerne taşırsak, öz değerler belrtlen özellğ taşıyan rasgele kare matrsler türetleblr. Bu durumu aşağıda verlen denklemlerle göstermek mümkündür. Bunun çn öncelkle türetlen dznn aşağıdak gb olduğunu düşünelm. σ = { λ, λ,, λn} (5) Daha sonra bu dznn elemanlarından aşağıdak denklem (6) de verldğ gb br dyagonal matrs türettğmz düşünelm. Son olarak aynı denklemde gösterldğ gb bu dyagonal matrsn koordnatlarını standart koordnatlardan rasgele seçlmş olan koordnatlara taşıdığımız takdrde, öz değer kümesn verlen br karmaşık sayı dzsnn elemanlarının oluşturduğu br rasgele kare matrs türetmş oluruz. λ λ Λ = A = T ΛT (6) λ3 Denklem (6) le gösterlen A matrsnn elemanlarının reel değerl olablmes çn koordnat dönüşümü çn kullanılan T matrsnn sütunlarının özel olarak seçlmes gerekr. Şöyle k; öncelkle dyagonal matrsn her hang br karmaşık değerl elemanına karşılık karmaşık değerl elemanlar çeren br sütün vektörü rasgele olarak türetlr. Seçlen matrs elemanının karmaşık eşlenğ çn se türetlen sütun vektörünün karmaşık eşlenğ kullanılır. Dyagonal matrsn reel değerl elemanları çn se tüm elemanları reel değerl olacak şeklde rasgele sütun vektörler türetlr. Durum matrsler yukarıda verlen yöntem kullanılarak türetldkten sonra rasgele grş ve çıkış matrsler türetldğ takdrde durum uzayı modelnde ve reel kutup oranının beklenen değer daha önceden belrleneblen rasgele sstemler türetlmş olunacaktır. Sstem boyutu çok arttığında T matrsnn tersnn hesaplanmasında büyük nümerk hesaplama hataları yapılablr. Bu hataların br sonucu olarak türetlen A matrsnn beklenen RKO su stenen değerden farklı br değere sapablr. Bu durum çok yüksek mertebeden sstemler çn göz önünde bulundurulmalıdır. 6. ANALİZ SONUÇLARI Br öncek bölümde bahsedlen araçlar kullanılarak açık çevrm ve kapalı çevrm değerler sabt kalacak şeklde rasgele sstemler türetlerek kutup atama şlemnn performansı doğrudan sstem 4
mertebesne bağlı olarak elde edlmştr. Açık çevrm ve hedeflenen kapalı çevrm kutuplarının değerler.5 değernde sabt kalacak şeklde, sstem mertebes dan ye kadar artırılarak yapılan deneyler sonucunda elde edlmş olunan statstksel verler aşağıdak Şekl le verlmştr. Şeklde dkey eksen nümerk kutup atama şlem sonucunda elde edlen hatanın onluk tabanda logartmasını, yatay eksen se sstem mertebesn temsl etmektedr. Keskl çzgler se standart sapma alt ve üst değerlern temsl etmektedr. Şekl den de görüldüğü gb sstem mertebes le elde edlen hatanın logartması arasında lneer br lşk mevcuttur. Standart sapmalar se yne sstem mertebesne bağlı olarak artmaktadır. - - 4 6 8 Şekl : Sstem mertebes le hataların değşm arasındak lşky veren br grafk. Dkey eksen nümerk kutup atama şlem sonucunda elde edlen hatanın onluk tabanda logartmasını, yatay eksen se sstem mertebesn temsl etmektedr. Keskl çzgler se standart sapma alt ve üst değerlern temsl etmektedr.(=.5) Eğer sstem mertebes sabt tutulup, açık çevrm sstemn ve hedeflenen kapalı çevrm sstemn kutupları çn değer değştrldğ takdrde elde edlecek olan grafk se aşağıdak Şekl 3 le verlmştr. Şekl elde edlrken sstem mertebes da sabtlenerek değer dan e kadar artırlmıştır. Şeklden de kolaylıkla görülebleceğ gb nn artışı le elde edlen hataların logartması arasında lneere yakın br lşk mevcuttur. Standart sapmalar se yne değerne bağlı olarak artmaktadır. Şekl 4 de se. ve 5. mertebeden sstemler çn hataların ortalama değer le arasındak lşk aynı grafk üzernde verlmştr. -7-8..4.6.8.5.5.5.5 n= n=5..4.6.8 Şekl 4:. ve 5. mertebeden sstemler çn nn değşm le hataların ortalama değer arasındak lşk veren grafk. 7.SONUÇ Artan sstem mertebesnn ve reel kutup sayısının kutup atama şlemnde ortaya çıkan nümerk hataları artırdığı eskden ber blnen br gerçektr. Bu çalışmada lk olarak nümerk hatalardak bu artışın ne ölçüde olduğu blmsel olarak ortaya konmuştur. Buna göre açık ve kapalı çevrm sstem reel kutuplarının tüm kutup sayısına oranı arttıkça hata üstel olarak artmaktadır. Bundan sonrak çalışmalar kutup atama şlemndekümerk hataların dğer olası kaynaklarının saptanması yönünde lerleyecektr. KAYNAKLAR [] M.T Söylemez, 999. Pole Assgnment for uncertan systems, UMIST Control Systems Centre Research Studes. ISBN 8638 46 X [] M.T Söylemez, and N.Munro, Robust pole assgnment n uncertan systems IEE Proc-Control Theory Appl., Vol. 44, No 3, May 997 [3] N.J. Hgham, 996. Accuracy and Stablty of Numercal Algorthms SIAM Socety for Industral an Appled Mathematcs, p,47. [4] Burkard, R.E., Dergs, U. : Assgnment and matchng problems (Sprnger-Verlag, 98) [5] M.T Söylemez, Munro, N., 998 Pole assgnment and symbolc algebra: a new way of thnkng, UKACC Internatonal Conference on CONTROL 98, September 998, Conference Publcaton No.455, IEE [6] Bozkurt, E.Murat, Nümerk kutup yerleştrme şlemnde hata analz. İstanbul Teknk Ünverstes Yüksek Lsans Tez (6) Şekl 3: le hataların değşm arasındak lşky veren br grafk. Dkey eksen nümerk kutup atama şlem sonucunda elde edlen hatanın onluk tabanda logartmasını, yatay eksen se değern temsl etmektedr. Keskl çzgler se standart sapma alt ve üst değerlern temsl etmektedr.(n= sabt) 5