İSTABUL TEKİK ÜİVERSİTESİ FE BİLİMLERİ ESTİTÜSÜ DİAMİK MATRİS KOTROL VE GEELLEŞTİRİLMİŞ ÖGÖRÜLÜ KOTROL ALGORİTMALARII KARŞILAŞTIRILMASI YÜKSEK LİSAS TEZİ Savaş OK Anablm Dalı : Makna Mühendslğ Programı : Ssem Dnamğ ve Konrol MAYIS 9
İSTABUL TEKİK ÜİVERSİTESİ FE BİLİMLERİ ESTİTÜSÜ DİAMİK MATRİS KOTROL VE GEELLEŞTİRİLMİŞ ÖGÖRÜLÜ KOTROL ALGORİTMALARII KARŞILAŞTIRILMASI YÜKSEK LİSAS TEZİ Savaş OK 53563 Ten Ensüye Verldğ Tarh : san 9 Ten Savnldğ Tarh : 9 Mayıs 9 Te Danışmanı : Prof. Dr. Can ÖZSOY İTÜ Dğer Jür Üyeler : Yrd. Doç. Dr. Ayhan Kral İTÜ Yrd. Doç. Dr. Semh Seer YTÜ MAYIS 9
ÖSÖZ Çalışmalarım boynca ben yönlendren, eşvk ve deseğn esrgemeyen e danışmanım Prof. Dr. Can ÖZSOY a eşekkürlerm snarım. Ayrıca madd ve manev desekleryle her aman yanımda olan aleme eşekkür ederm. Mayıs 9 Savaş Ok Makna Mühends
v
İÇİDEKİLER Sayfa KISALTMALAR...v ŞEKİL LİSTESİ...x SİMGE LİSTESİ...x ÖZET... x SUMMARY...xv. GİRİŞ.... Ten Amacı...5. Leraür Öe...5.. Model öngörülü konrolün arh...5.. Kararlılık...7.3 Model Öngörülü Konrol: Opmal Konrol Problem...8. MODEL ÖGÖRÜLÜ KOTROLÜ PRESİPLERİ...9. MPC Elemanları..... Öngörü modeller...... Basamak cevapı model...3... Darbe cevapı model...3...3 Transfer fonksyon model...4...4 Drm ayı model...5.. Amaç fonksyon...5..3 Konrol kannnn elde edlmes...7. Serbes ve Zorlanmış Cevap...7 3. İKİ ÖEMLİ MPC ALGORİTMASI: DMC ve GPC...9 3. Dnamk Mars Konrolü...9 3.. Ssem model kllanılarak öngörü pramerelernn blnması...9 3.. Ölçülen bocların ele alınması... 3..3 Konrol kralının elde edlmes... 3. Genelleşrlmş Öngörülü Konrol...3 3.. Zaman sers modelne dayanan genelleşrlmş öngörülü konrol...3 3... Konrol kramının elde edlmes...7 3... Genelleşrlmş öngörülü konrolün kapalı çevrm eşdeğer...9 3.. Drm ay model kllanılarak öngörücünün blnması...3 4. DMC ve GPC İ KARŞILAŞTIRILMASI...39 4. MPC nn Avanaları...39 4. MPC nn Deavanaları...39 4.3 DMC ve GPC nn Aralarındak Farklar ve Benerlkler...4 5. SİMÜLASYOLAR VE SOUÇLAR...43 5. Dnamk Ssem Modeller...43 5.. A sönümlü mnmm fa ssem...43 5.. A sönümlü mnmm fa olmayan ssem...44 5... Mnmm falı ve mnmm falı olmayan ssemler...45 5..3 Aşırı sönümlü mnmm fa ssem...47 v
5..4 Ayrık amanlı sokask ssem...48 5..4. Beya gürülü...49 5..5 Model dereces yanlış olan Ssemler...5 5..6 Zaman le değşen ssem...5 5..7 Referans yörünges ve boc model...5 5. Smülasyonlar...5 5.. A sönümlü mnmm fa ssemn smülasyon...53 5... Ssem ssem model ve boc boc model...53 5... Ssem ssem model ve boc boc model...55 5...3 Ssem ssem model ve boc boc model...56 5.. A sönümlü mnmm fa olmayan ssemn smülasyon...58 5... Ssem ssem model ve boc boc model...58 5... Ssem ssem model ve boc boc model...6 5...3 Ssem ssem model ve boc boc model...6 5..3 Aşırı sönümlü mnmm fa ssemn smülasyon...6 5..3. Ssem ssem model ve boc boc model...6 5..3. Ssem ssem model ve boc boc model...64 5..3.3 Ssem modelnn ve boc boc model...64 5..4 Ayrık amanlı sokask ssemn smülasyon...65 5..5 Model dereces yanlış olan ssemlern smülasyon...68 5..6 Zaman le değşen ssem...69 5.3 DMC ve GPC de Referansın Öngörüldüğü ve Öngörülmedğ Drm...74 5.4 Sonçlar ve Önerler...75 KAYAKLAR...79 EKLER...8 ÖZGEÇMİŞ...85 v
KISALTMALAR ARMA ARMAX ARX CARIMA DMC EHAC EPSAC GPC LS LQR MAC MIMO MPC QDMC PID SISO SSMPC : Ao Regressve Movng Average : Ao Regressve Movng Average wh Exogenos Inp : Ao Regressve wh Exogenos Inp : Conrol Ao Regressve Movng Average : Dynamc Marx Conrol : Exended Horon Adapve Conrol : Exended Predcon Self Adapve Conrol : Generaled Predcve Conrol : Leas Sqare : Lnear Qadrac Reglaor : Model Algorhmc Conrol : Ml Inp Ml Op : Model Predcve Conrol : Qadrac Dynamc Marx Conrol : Proporanal Inegraon Dervave : Sngle Inp Sngle Op : Sae Space Model Predcve Conrol v
v
ŞEKİL LİSTESİ Sayfa Şekl. : Öngörülü konrol sraes... Şekl. : Model öngörülü konrolün ana prensb... Şekl.3 : MPC ana yapısı... Şekl.4 : Darbe ve basamak cevabı...4 Şekl.5 : Referansın daha dügün çıkış çn ayarlanması...7 Şekl.6 : Serbes ve orlanmış cevap...7 Şekl 3. : GPC kann...9 Şekl 3. : Klask kp aama yapısı...9 Şekl 4. : DMC algormasının yapısı...4 Şekl 4. : GPC algormasının yapısı...4 Şekl 5. : Basamak cevabı...44 Şekl 5. : Köklern yer eğrs...44 Şekl 5.3 : Basamak cevabı...45 Şekl 5.4 : Köklern geomerk yer...45 Şekl 5.5 : Basamak cevabı...48 Şekl 5.6 : Köklern geomerk yer...48 Şekl 5.7 : Sokask ssemn basamak cevabı...5 Şekl 5.8 : Referans yörünges...5 Şekl 5.9 : Boc grş...5 Şekl 5. : A sönümlü mnmm fa ssemnn DMC le konrolü...53 Şekl 5. : A sönümlü mnmm fa ssemnn GPC le konrolü...54 Şekl 5. : A sönümlü mn. fa ssemnn DMC le konrolü boc eks...56 Şekl 5.3 : A sönümlü mn. fa ssemnn DMC le konrolü model belrslk.57 Şekl 5.4 : A sönümlü mnmm fa olmayan ssemnn DMC le konrolü...59 Şekl 5.5 : A sönümlü mnmm fa olmayan ssemnn GPC le konrolü...6 Şekl 5.6 : A sönümlü mn. fa olmayan ssemnn konrolünde boc eks...6 Şekl 5.7 : A sön. mn. fa olmayan ssemnn konrolünde model belrslk...6 Şekl 5.8 : Aşırı sönümlü mnmm fa ssemnn DMC le konrol...63 Şekl 5.9 : Aşırı sönümlü mnmm fa ssemnn GPC le konrolü...64 Şekl 5. : Aşırı sönümlü mnmm fa ssemnn konrolünde boc eks...64 Şekl 5. : Aşırı sönümlü mnmm fa ssemnn konrolünde model belrslk.65 Şekl 5. : DMC le konrol edlen ssemde beya gürülünün eks...66 Şekl 5.3 : DMC le konrol edlen ssemde beya gürülünün eks...67 Şekl 5.4 : GPC le konrol edlen ssemde beya gürülünün eks...68 Şekl 5.5 : Model dereces yanlış olan ssemn konrolü...68 Şekl 5.6 : Model dereces yanlış olan mnmm fa olmayan ssemn konrolü...69 Şekl 5.7 : T değşğndek basamak cevabı...7 Şekl 5.8 : K değşğndek basamak cevabı...7 Şekl 5.9 : Paramereler aman le değşen ssemen basamak cevabı...7 Şekl 5.3 : Paramereler aman le değşen ssemen DMC le konrolü...7 Şekl 5.3 : DMC le konrolde aman geckmesnn eks...7 Şekl 5.3 : Paramereler aman le değşen ssemen GPC le konrolü...73 x
Şekl 5.33 : GPC le konrolde aman geckmesnn eks...73 Şekl 5.34 : Referansıın öngörüldüğü ve öngörülmedğ drmn...74 x
SİMGE LİSTESİ A - e f rf A Haa değer Serbes cevap Zorlanmış cevap g Basamak cevabından elde edlen kasayılar K n Kaanç fakörü ˆ k k adım sonrak öngörülen boc değer Mnmm öngörü fk Maksmm öngörü fk Q R r û y ˆ Δ V λ δ k Konrol fk dagq,,q dagr, R k adım sonrak referans değer k Öngörülen konrol snyal k adım sonrak öngörülen çıkış değer R Q konrol snyalndek arım Graden Ağırlık kasayısı Ağırlık kasayısı T R T Q x
x
DİAMİK MATRİS KOTROL VE GEELLEŞTİRİLMİŞ ÖGÖRÜLÜ KOTROL ALGORİTMALARII KARŞILAŞTIRILMASI ÖZET Son yıllarda öngörülü konrol bakış açısının gelşmesyle Modele Dayalı Öngörülü Konrol algormaları hem akademk çalışmalarda hem de endüsryel yglamalarda sık erch edlen yönemlerdr. B çalışmada da görüleceğ üere, brbrnden farklı dnamk yapılardak br çok ssemde, b algormalar çok y sonçlar vermekedr. B çalışmada, Model Öngörülü Konrol ün al dallarından br olan Dnamk Mars Konrol le b alanda gelnen en son noka olan Genelleşrlmş Öngörülü Konrol algormaları karşılaşırılmışır. DMC endüsrde en yaygın kllanılan algorma olmasına karşın GPC, üernde akademk olarak en çok çalışılıp gelşrlen ve endüsrde DMC nn yern alması mhemel olan daha üsün br algormadır. B nedenle b k algormanın karşılaşırılması yapılmışır. Avanaları ve deavanaları oraya konmşr. İlk olarak, b algormalar hakkında leraür araşırması yapılarak, algormaların doğş ve gelşm hakkında ayrınılı blg verlmşr. Model Öngörülü Konol ün prenspler ncelenmşr. Daha sonra, algormaların maemaksel fadeler çıkarılmışır. Dnamk mars konrol ün basamak cevabı modelne dayanan, öngörücüsünün olşm adım adım ncelenmşr. Aynı şeklde, Genelleşrlmş Öngörülü Konrol ün aman sers ve drm ay modelne dayanan, öngörücülern olşm da adım adım ncelenmşr. B öngörücüler amaç fonksyon çnde kllanarak opmal konrol kann elde edlmşr. DMC ve GPC le, en çerğnde ayrınıları verlen brbrnden farklı dnamğe sahp modellern MATLAB yardımıyla konrolü gerçekleşrlmşr. Konrol sırasında, model belrslğn, bocların ve beya gürülünün eks gö önünde blndrlmşr. Elde edlen smülasyonların ncelenmes soncnda, DMC ve GPC nn, ssemlere ek eden boclara karşı dyarsı kaldığı görülmüşür. Yan boc eks yok edleblmekedr. Ayrıca b konrolcülern, mnmm fa olmayan ssemler, yanlış model derecel ssemler ve aman le değşen ssemler konrol emede çok başarılı oldğ görülmüşür. GPC nn DMC ye karşı br üsünlü olan; kararsı ssemler konrol edebldğ de görülmüşür. x
xv
COMPARISO BETWEE DYAMIC MATRIX COTROL AD GEERALIZED PREDICTIVE COTROL SUMMARY Las decades, developmen of aspec of he predcve approach n conrol, Model Predcve Conrol MPC s ofen preferred n boh ndsry and academa. As shown n hs sdy, MPC s vey sccesfll wh conrollng o several sysems. In hs sdy, Dynamc Marx Conrol DMC ha s one of he sbse of he MPC and Generaled Predcve Conrol GPC ha s he las mos developmen n MPC are compared each oher. Alhagh DMC s very popler n ndsry, GPC ha has been sded mosly by academa and wll probably replaced wh DMC n ndsry has powerfl algorhm compared o DMC. Therefore, These algorhms are compared each oher consderng advanages and dsadvanages. Frsly, a lerare revew has been done abo hese algorhms explanng deally earler mes of hem and developmen n years. Prensble of MPC was analysed. Afer ha, Maemacal represenaons of hem were explaned. Predcor of DMC, based on sep response model was explaned. In he same way, predcor of GPC, based on me seres and sae space models was also explaned. Fnally, he opmal conrol law are derved sng hese predcors. DMC and GPC were appled o models hose of dfferen dynamc deals are gven n he sdy. Model ncerany, dsrbance and whe nose were consdered drng he conrol. I s ndersood ha boh DMC and GPC can cancel he load dsrbance by analysng he resls of smlaon. They are also very sccessfl whle conrollng nonmnmm phase sysems, sysems wh wrong model order and me varyng sysems. Addonally, I s observed ha GPC can conrol nsable sysems oppse o DMC. xv
xv
. GİRİŞ Günümüde, ürün kalesn gkçe daha da öneml hale gelmes, aran vermllk alepler, yen çevre kannların yglanmaya başlanması ve paarlardak hılı ekonomk değşmler, endüsrnn şekllenmesnde öneml rol oynamakadır. Geçen yıllık süreçe, model öngörülü konrolün, eor le brlke prake de, çok başarılı br konrol sraes oldğ kanılandı. B kablün ana sebeb, MPC nn, orl ve yüksek dereceden ve çok değşkenl proseslere çok kolayca yglanablen, yüksek performanslı br konrolcü sağlamasıdır. Proses kısılamaları bas ve ssemak br yolla ele alınır. Öngörülü konrol, gelecek aman anlarındak ssem çıkışının öngörülmüş değerlern üremek çn, proses modelnn açık br şeklde kllanılmasına dayanan br konrol sraesdr. B öngörülmüş değerler, ssemn gelecekek davranışını en ygn hale gerecek br konrol değşmler dsn hesaplamak çn kllanılır. Öngörülü konrol ek br eknken yade br meodolodr. Çeşl meolar arasındak başlıca fark, maemak formülasyonnn değşk yollarla yapılmasından kaynaklanmakadır. Model öngörülü konrolde modeln açık br şeklde kllanılması, öngörülü konrol ve klask PID konrol arasındak başlıca farkı olşrmakadır. Konrolcü davranışının deaylı br şeklde nceleneblmes, smülasyon yapılablmes ve performansın değerlendrleblmes MPC nn baı avanalarıdır. Bnnla brlke, baı ksrlar da vardır. Ksrlardan br se ssemn ygn br modelne hyaç dylmasıdır. Elde edlen yararlar, gerçek ssem le model arasındak farklılıklardan oldkça eklenmekedr. Dğer br ksr se, her ne kadar konrol kann yglamak kolay ve bra hesap gerekrse de, MPC nn elde edlmes PID e göre daha karmaşıkır. Eğer ssem dnamğ değşmyor se konrolcü önceden elde edeblr ama, yarlamalı konrol drmnda büün hesaplamalar her örnekleme anında yapılmalıdır. Sınırlamalar da gö önünde blndrldğnda, hesaplamaların mkarı çok arar []. Öngörülü konrolün öncülüğü eş amanlı olarak, 978 de Rchale [] ve Cler ve Ramarker arafından da 98 de [] yapılmışır. Açık çevrm kararlı ssemlerden
kolayca elde edlen sonl darbe cevabı modeller ve sonl basamak cevabı modellernn kllanımı, proses endüsrsndek kablünü kısmen açıklar. Şekl. : Öngörülü konrol sraes Büün öngörülü konrolcülerdek meodolo, her br örnekleme anında, belrlenen y öngörü fk çn gelecek ssem çıkışlarını öngörme esasına dayanır. y... y öngörü çıkışları, ssem modelne, anına kadark geçmşek blnen ssem grşlerne ve çıkışlarına dayanır. Gelecek konrol snyaller, ssem r referans yörüngesne mümkün oldğnca yakın mak çn verlen br krern amaç fonksyon veya performans ndeks opmasyonyla hesaplanır. Referans yörünges ayar nokaları veya onn br ahmn de olablr. Değşk algormalar değşk şekllerde amaç fonksyonları snar. Amaç fonksyonları genelde öngörülen çıkış snyal le öngörülen referans yörünges arasındak haanın knc dereceden fonksyon şeklnde anımlanır. Baı algormalar ssemn çıkışı yerne ssemn drm değşkenlern kllanır. Çoğ drmda, konrol efor amaç fonksyonnn çernde yer alır. Ağırlık fakörler fonksyonn çerndek her br ermn eksn ayarlamak çn kllanılır. Problemn çöümü amaç fonksyonn en aa ndren gelecek konrol dsdr. Bnn çn gelecek çıkışları veya drm değşkenlern öngörmek çn br model kllanılır. Tek grşl ek çıkışlı br semn pk br amaç fonksyon,
J,, δ [ y w ] λ [ ]. gbdr. B fonksyon, gelecek grşlern ve r referansın gelecek değerler le y öngörülmüş çıkışların arasındak haaların knc dereceden fonksyondr. δ ve λ ağırlık fakörler sırasıyla haa ve grşlern eklern ayarlamak çn kllanılır. Öngörülen çıkışların ve gelecek grşlern ds sırasıyla ve fkları le sınırlanır. grş dsndek sınırlama konrol harekenn adım lers sonra sab oldğ kablünden gelr. Dğer arafan öngörü fk, amaç fonksyon çernde gö önünde blndrlan, öngörülen çıkış dsn sınırlar. Konrol fk öngörü fkndan daha küçük olmalıdır. Ağırlık fakörler ve fklar konrolcünün ayar kasayılarıdır. Amaç fonksyonn opmasyon gelecek çıkışların öngörülmesn gerekrr. Öngörülen çıkışlar k snyaln oplamıdır: y y G. İlk erm serbes cevap knc erm se orlanmış cevapır. y serbes cevabı prosesn, gelecek grşlernn sab oldğ gö önüne alınarak değerlendrlmesyle lgldr. G orlanmış cevap, G ssemn dnamk mars se, konrol dsnn, amaç fonksyonnn mnme edldğ çöüme eş oldğ aman, çıkışın öngörülmesyle lgldr. Öngörülen çıkışlar çn olan fade amaç fonksyon çnde yerne konlablr ve en küçük kareler problemnn çöümü ar edlen konrol dsne yol göserr. Elde edlen konrol dsnn sadece brnc konrol hareke sseme yglanır. Daha sonra, fk br adım ler kaydırılır ve büün değerler güncellenr ve opmasyon problem ekrar çöülür. Bna kayan fk prensb denr ve büün öngörülü konrol sraeler arafından benmsenr. ya kadark büün dnn sseme yglanması avsye edlme çünkü, gerçek çıkışın öngörülenden farklı olmasına sebep olan önlenemeyen bocların mükemmel br şeklde kesrlmes mümkün değldr. Dahası boynca ayar nokaların değşrlmesne de karar verleblr. 3
Çeşl öngörülü konrol algormaları brbrlernden sadece, ssem emsl emeke kllanılan modeller, gürülü ve amaç fonksyon modeller yönünden farklılık göserr. Kllanılan b modeller darbe/basamak cevabı modeller, ransfer fonksyon modeller veya drm ay modeller olablr. Darbe/basamak cevabı modeller: Deaylı dnamk modellern nadr kllanıldığı proses endüsrsnde darbe/basamak cevabı modelnn, öngörülü konrolün kaynağındak payı büyükür. Fksel kannlara dayalı proseslern güvenlr dnamk modellernn elde edlmes ordr b nedenle darbe/basamak cevabı model kllanılır. B modeln bas deneyler le elde edlmes oldkça kolaydır. Deavanaı se çok mkarda paramereye hyaç dymasıdır. Transfer fonksyon modeller: Baı prosesler çn, fksel kannlara veya paramerk ssem anılamaya dayalı y modeller elde edleblr. B drmda br ransfer fonksyon model erch edlr. Darbe/basamak cevabı modelne göre daha a paramere kllanılır. Drm ay model: B model amanla değşmeyen doğrsal ssemlern fade edlmesnde en geneldr ve en ayrınılı ve olşrlması en or olanıdır. Genelleşrlmş öngörülü konrol GPC, 987 de Clarke [3] arafından önerlen, öngörülü konrolün br sınıfıdır. Analk br çöüm sağlar sınırlama oldğnda da ve kararsı ve mnmm olmayan fa ssemler le başa çıkablr. Aalılmış dereceden olan asarımlara öncülük eden ssemler çn ransfer fonksyon model kllanır. Konrolcü öbağlanımlı ümlemel yürüyen oralama CARIMA, Konrolcü öbağlanımlı yürüyen oralama CARMA gb ransfer fonksyon modeller GPC arafından kllanılır. Çoğ endüsryel ssemler ve prosesler br çok çıkış ve ayarlanmış değşkene grş sahpr. Kesn drmda, br ayarlanmış değşken başlıca lgl konrol edlen değşken ekler ve her br grş çıkış çf ek grşl ek çıkışlı SISO ssem olarak ele alınablr ve bağımsı çevrmler le konrol edleblr. Farklı değşkenler arasındak ekleşm hmal edlemedğ drmlarda ssem çok grşl çok çıkışlı MIMO ssem olarak ele alınmalıdır. Eğer MIMO br ssem SISO olarak ele alınırsa, b ekleşm belk düşük performans ve haa kararsılık le sonçlanır. 4
Prake büün ssemler kısılamalara mar kalır ve b, amaç fonksyon çersnde, grş ve çıkış üerndek kısılamalar şeklnde ele alınablr. Br çok endüsryel ssemde, konrol ssem çalışma şarları yüünden kısılara çok yakın yerlerde çalışacakır. B, opmasyon çöümünün kısılar cvarında oldğ şeklnde çok yaygın br nanışa öncülük emekedr. Dğer arafan çok değşkenl öngörülü konrolcü asarımında, üm grşler ve çıkışlar çn ağırlık fakörlernn ve öngörü fkların belrlmes gerekmekedr. Bndan dolayı, çok sayıda paramere seçlmeldr. Köü ayarlanmış öngörülü konrolcü, valf açıklığı, maksmm deb gb fksel kısıamaların sıklıkla göe çarpmamasından dolayı ssem ç nokalara baen de kararsı şarlara almaya eğlmldr.. Ten Amacı Model öngörülü konrolün al dallarından br olan dnamk mars konrol, en çok blnen ve en yaygın kllanılan br konrol çeşdr. Bnnla brlke, genelleşrlmş öngörülü konrol se akademk olarak üernde yoğn br şeklde çalışılan ve b konda gelnen en son noka olan ve endüsrde DMC kadar yaygın kllanılmamasına karşın, DMC nn yern alması mhamel olan daha üsün br konrol çeşdr. B e le brlke, dnamk mars konrol le genelleşrlmş öngörülü konrol algormaları karşılaşırılmışır. DMC ve GPC nn aralarındak benerlkler ve farklar ncelenmşr. B k konrolcü ek grşl ek çıkışlı ve farklı dnamk karakersklere sahp çeşl modellere yglanmışır. B modeller, endüsrde sıklıkla karşımıa çıkablmekedr. Uyglamalarda, kısılaması DMC ve GPC kllanılmışır.. Leraür Öe Model öngörülü konrolün MPC, son yıl boynca endüsrye maam eks olmşr. MPC nn çok değşkenl sınırlamalı konrol problemlern üsesnden gelmes bnda ekl olmşr. Ayrıca br çok olml rapor MPC nn popülaresn ey emekedr... Model öngörülü konrolün arh Model öngörülü konrolün gelşm kavramı, Kalman nın 96 ların başlarındak, sınırlaması drm değşken ve grşler amaç fonksyonnn mnme edlmes çn asarlanmış doğrsal knc dereceden regülaör LQR le çalışmalarına 5
dayandırılablr. Sons fk LQR algormasına güçlü ve dayanıklı br öellk bahşemekedr. Faka, b, endüsrdek konrol eknolos gelşmn çok a ek eklemşr. Bnn sebeb formülün çersnde sınırlamanın olmaması, gerçek ssemlern doğrsal olmaması ve ykarıdak opmal konrol kavramının eknk yeerslkler ve konrol mühendsler arafından yglanama olarak görülmes verleblr. Bndan dolayı, MPC y lk savnanlar endüsrdek hyaçları belrleyerek bağımsı br şeklde devam eler []. 97 lern sonna doğr, model öngörülü konrolün endüsrdek başarılarını anlaan çeşl makaleler yayımlandı. B MPC prensp olarak 978 derchale n [] model öngörülü deneye dayalı konrol daha sonra model algormk konrol olarak blnen ve 98 de Cler ve Ramarker ın [] dnamk mars konrol algormalarını snmakaydı. Onların sraesnn genel eması, hareke sınırlamasına mar kalan öngörülen haanın mnme edlmes le belrlenen gelecek konrol harekelernn gelecekek eksn öngörmek çn prosesn dnamk marsn öncek mpls cevap sonrak basamak cevabı kllanmakı. Ssemden güncellenen blglerle brlke her br örnekleme anında opmasyon ekrarlanmakadır. B formüller algormk olmak le brlke aynı amanda deneye de dayalıdır hersc ve dal blgsayarların gkçe aran poansyel avanaına da sahpr. Kararlılık eork olarak konşlmadı ve MPC nn lk versyonları oomak olarak dengede amıyord. Faka, kararlı ssemlere odaklanarak ve fk ssemn orma amanıyla karşılaşırıldığında daha genş arak ve amaç fonksyonnn ağırlık fakörler le oynayarak kararlılık elde edld [3]. Daha sonra knc dereceden dnamk mars konrol gb knc nesl MPC ler ssemn doğrsal oldğ bölgede sınırlamalı açık çevrm opmal konrol problemn çömek çn knc dereceden programlar kllandı [4]. Konrol ve drm değşkenlern sınırlamaları doğrsal eşslkler le anımlanır. Başka br çalışma yarlamalı konrol fkr erafında bağımsı olarak doğd. Esasında, ransfer fonksyon modelleryle model anılama çn daha a paramere gerekrenler formüle edlen ek değşkenl prosesler çn br srae gelşrd ve gelecekek np hesaplamak çn Dafonn Dophanne eşlğ kllanıldı. İlk adım 97 de Asron [5] arafından mnmm varyans konrol le geld. Algormanın mnme edlen performans ndeks en son çıkışlar le referans öngörü fk y arasındak haanın knc dereceden fonksyonyd. Mnmm olmayan fa ssemler 6
le başa çıkmak çn cealandırılmış br çıkış, amaç fonksyon çnde yer aldı ve genelleşrlmş mnmm varyans GVM konrol olarak adlandırıldı. Ufkn lm koymasının üsesnden gelmek çn, 984 e Peerka [5] öngörüye dayalı kend kendn ayarlayan konrolü gelşrd. 985 e De Keyser [5] arafından snlan genşlelmş öngörülü ö yarlamalı konrol EPSAC dofonn denklem çömek yerne br sbopmal öngörme kllanarak şmdk amandan başlayan sab br konrol snyal snar. Daha sonra grş sıfır sürekl drm haasını garan emek çn konrol snyalndek arış le yerdeğşrd. GVM e dayanarak 987 de Clarke [3] bgünde en popüler meodlardan br olan Genelleşrlmş öngörülü konrolü GPC gelşrd. GPC çn kapalı br form Soeerboek arafından verld. Sınırlamalı GPC n drm ay versyonları ayrıca gelşrld... Kararlılık Öngörülü konrol le lgl çalışmalarda kararlılık her aman öneml br mesele olmşr. Sonl fkan dolayı kararlılık garan edlememekedr ve ağırlık fakörlern ve fklar ayarlanarak kararlılık ancak başarılablmekedr. Mohad, drm ay lşksn kllanarak GPC çn öel kararlılık eoremlern kanıladı ve gürbülük yleşrmes üerne flre polnomlarının eksn çalışı. Faka, öngörülü konrol çn genel br kararlılık öellğ sonl br fk çn hala blnamamışır. B, 99 lı yıllarda araşırmacıları kararlılığı garan edlmş, yen br konrol meodnn peşnden koşmaya. B amaçla, ermnal sınırlamaların kllanımı, çf modn dal mode anıılması ve sons öngörü fklarının kllanılması ve dğerler gb çok sayıda asarım değşklkler önerld [5]. 99 de Clarke ve Scaoln ve 99 da Mosca brbrlernden bağımsı olarak, sonl br fkan sonra çıkış üernde son noka eşlk sınırlamalarını ekleyerek kararlı br öngörülü konrolcü gelşrdler [5]. 99 de Kovaraks GPC çn, amaç fonksyonnn mnmasyonndan önce proses dengeleyerek kararlı br formül snd [5]. B eknklern çoğ konrol edlen ssemn drm ay göserm çn öelleşrld ve ek sınırlamalar ve asarımın yapısı değşrlerek kararlılık büyük ölçüde başarıldı. Faka, mühendsler, problemn yapısını değşrmey önledler ve konrolcüyü ayarlayarak kararlılığın üsesnden gelmey seçler. Bnn çn deneye dayalı yönem kllanıldı. 7
.3 Model Öngörülü Konrol: Opmal Konrol Problem Son amanlarda, MPC çn eork esaslar oraya çıkmaya başladı. Araşırmacılar LQR ye ger dönerek model öngörülü konrolün aslında kayar fkl sandar opmal konrol problemn çödüğünü arışmaya başladılar. B fkr a 96 kadar gmekeyd. MPC, yavaş dnamkl endüsr proseslernn açık çevrml problemler çn onlne çöüme n vermesnden ber maemaksel programlama problem olarak anımlanıyord. B drmda başlangıç drmları konrol edlen ssemn şmdk drmları d. Dğer arafan, ger besleme çöümünü belrleme, çöümü or olan Hamlon Jacob Bellman dnamk programlama problem dferansyelnn çöümünü gerekrmekedr. Rcca denklem baı opmal konrol problemler çn öel br drm gösermekedr. Onnla göserlen MPC yaklaşımı le dnamk programlamanın kllanımı arasındak fark yalnıca br yglama oldğyd. B çgdek araşırmalar 983 e Kwon ve Pearson n ve 988 de Keerh ve Glber n çalışmalarıyla lk örneklerne kavş ve son amanlarda 993 e Mske ve Rawlngs n çalışmaları popülare kaandı [5]. Çok yakın geçmşe, konrol problemlerne k ana yaklaşım çok popülerdr. İlk olanı, Lyapnov fonksyon gb sab br fk çn opmal amaç fonksyon kllanmakadır. İknc yaklaşım se çeşl fklar çn opmal amaç fonksyon dsnn monoon öellklernden yararlanmakadır. Dkka edlmeldr k doğrsal ssemler çn sıkı sınırlamaların olması konrolcünün asarımını doğrsal olmayan br problem yapmakadır. Böylece kararlılığı krmak çn doğal araç Lyapnov eorsdr. MPC nn paramerelern kararlılık ve performans çn ayarlamakla lgl formüllern blnması b çgdek çalışmaların ana amacıdır ve son lerlemeler gelecek vaa emekedr. Faka, dnamk problemn çöümü prak değldr ve b da, endüsrde b yen meoları kabl emede br drenç olarak sayılablr. 8
. MODEL ÖGÖRÜLÜ KOTROLÜ PRESİPLERİ Leraürde MPC ; belrgn yada olası ssem çıkışlarının gölemler soncnda, br ssemn gelecekek çıkışlarını önceden kesreblme olarak anımlanmışır. Model öngörülü konrolün prenspler aşağıdak gb arf edleblr: Ardışık her örnekleme anında T p sürekl amanda, T p örnekleme peryod ve,,, oldğnda: Varsayılan br boc modelyle konrol edlemeyen proses grş brlke dnamk br proses ve model kısılamaları. Geçmşek konrol grşlernn ayarlanmış değşkenler değerler le brlke şmdk ve geçmşek proses çıkışlarının ölçümler. Kabl edlen br öngörü fk çn blnen veya varsayılan yörüngeler. p k faredlerek ve konrol fk olmak üere,,,, konrol grşler hesaplanır. p, U şmdk örnekleme anında belrlenen p gelecek örnekleme anı çn konrol öngörüsü anlamındadır. Konrol grşler, öngörülen ve konrol edlen y p çıkışları le referans değerler arasındak farkı mnme eme yolyla hesaplanır. Bradak referans değerler öngörü fk boynca olan gelecek sp y p ayar nokalarıdır. Mnme emeden kası seçlen br konrol krernn mnme edlmesdr. Ondan sonra, sadece hesaplanan konrol grşler dsnn lk elemanı prosese yglanır. Gelecek örnekleme anında, yen br proses çıkışı ölçümü yapılır ve büün aynı nlkak öngörü fkyla brlke, prosedür ekrarlanır Faka öngörü fk br adım ler kaydırılır. Bna kayan fk prensb denr. SISO br ssemn öngörülü konrol prensb Şekl. de göserlmekedr. Yaay eksen ayrık amanı gösermekedr. Resmde k ade konrol edlen çıkış ve k ade de konrol grş ve br referans görülmekedr [6]. 9
Şekl. : Model öngörülü konrolün ana prensb y p, p,,, öngörülen çıkışı, öngörü fk boynca sab lan ve öncek örnekleme anında hesaplanan - proses grş drmyla lgldr ör. p- -. B drmdak grş ve çıkış yörüngeler, keskl çg le belrlmşr. y p yörüngeler, gelecek çıkışların sadece öncek grşlere bağlı drmdak gb anımlanır. Şmdk anında b yörünge üernde hçbr ekm yokr. Bndan dolayı, b, sıklıkla öngörülen çıkış yörüngesnn serbes bleşen olarak anımlanır. yp öngörülen çıkış yörünges geçmş ve gelecek konrol grşlernn ksne de bağlıdır - e kadar olan geçmş grşler ve örnekleme anında hesaplanan p, p,,..., gelecek grşler. konrol fk, konrol fkndan daha kısa alınır. Sürekl çgler proses yörüngelern belrmekedr. İnce olanlar grş ve çıkış yörüngelernn
öngörülmüş parçaları, kalın olanlar se ölçülmüş çıkış değerler ve prosese yglana geçmş grşler le şmdk amanda prosese yglanan grş emsl emekedr. y sp y sp p, p,,..., ayar nokalarını gösermekedr. örnekleme anında br basamak değşklğ vardır. Gelecekek konrol grşlernn hesaplanması çn kllanılan proses model genellkle gerçeğn br ahmndr. Dahası, konrol edlemeyen grşlern bnlar haalı ölçümler veya hçbr bçmde ölçülemeyen grşlerdr. çnde br belrslk vardır. Bndan dolayı, çıkış öngörüler genellkle sonra ölçülen değerlerden farklı olr. B gerçek, resm de proses çıkışındak örnekleme anında, d yy,şeklnde ölçülemeyen boc olarak göserlmşr. y, k örnekleme anı çn - anında öngörülen proses çıkışıdır. Gelecek konrol snyal, proses w referans yörüngesne mümkün oldğnca yakın mak çn belrl br krern opmasyon le hesaplanır. B krer, genellkle öngörülü referans yörünge ve öngörülü çıkış snyal arasındak haaların karesel br fonksyon şeklndedr. Grş snyalnn eks br çok drmda amaç fonksyon çersnde yer alır. Kesn br çöüm ancak, model doğrsal se, kısılar yoksa ve krer haaların karesnden olşan knc dereceden br fonksyonsa elde edleblr. B drmn aksnde eraf opmasyon yönem kllanılmalıdır. Konrol snyal, hesaplanan gelecek konrol snyaller alınmadığı halde, prosese gönderlr; çünkü gelecek örnekleme anında y aen blnmekedr ve.adım b yen değerle ekrarlanır ve üm dler yenlenerek alınır. Böylece kayan fk sraes kllanılarak hesaplanablr prenspe mevc yen blgden dolayı den farklı olacakır. B kavram aşağıdak şekl. de göserlmşr [7].
Şekl.3 : MPC ana yapısı. MPC Elemanları Öngörü Model : Belrl br aman aralığında ssem çıkışı öngörülür. Amaç Fonksyon: Gelecekek senen ssem çıkışının blndğ varsayımıyla, b çıkışla öngörülen gelecek çıkışı arasındak farkı mnmm yapacak şeklde br gelecek grş ds seçlr. Konrol Snyal : Seçlen grş dsnn lk sseme yglanır ve b adımlar br sonrak örnekleme anında ekrarlanır... Öngörü modeller MPC nn emel aşıdır. Öngörülen çıkışları hesaplamak çn kllanılır. B yüden eksks br dayna sahp, süreç dnamklern am olarak yakalayablen en y olası modeln kllanılması ornldr. Ssemn doğrsal olp olmamasına, kısılara, boc ekye göre farklı pe öngörü modeller mevcr [7]. Doğrsal modeller Basamak Cevapı Model, Darbe Cevapı Model, Transfer fonksyon Model, Drm ayı Model, Polnom modeller ARX,ARMAX
Doğrsal olmayan modeller: Yapay Snr Ağları Blanık Modeller, Ykarıda lselenen baı modellern maemaksel fadeler aşağıda kısaca açıklanmakadır.... Basamak cevapı model Modele Dayalı Öngörülü Konrol algormalarında yaygın olarak kllanılan modellerden br basamak cevapı modeldr. Dnamk Mars Konrol yönem b model kllanmakadır. Grş çıkış lşks. le verlr. Bradak g ler sseme basamak grş yglandığında elde edlen çıkısın örneklenmş değerlerdr. Görüldüğü gb ssem çıkısına lşkn değer gö önüne alınmış, sons oplam yapılmamışır. B nedenle b model negraor çermeyen ve kararlı doğrsal ssemler çn ygndr. G - ssemn ayrık ransfer fonksyon ve - geckrme operaörüdür. g y G y y. B model kllanılarak öngörü fades. seklnde yaılablr Camacho ve Bordons, 4. y k g k.... Darbe cevapı model B model, Model Algormk Konrol algorması kllanmakadır. Grş çıkış lşks.3 le verlr. h ler sseme darbe grş yglandığında elde edlen çıkısın örneklenmş değerlerdr [7]. y y h H.3 Darbe cevapının kasayıları le basamak cevapının kasayıları arasında.4 ve.5 de verlen lşkler blnmakadır. 3
h.4 g g g h.5 B model kllanılarak öngörü fades.6 seklnde yaılablr. y k h k H k.6 Şekl.4 : Darbe ve basamak cevabı...3 Transfer fonksyon model Paramere sayısı a olması ve her ürlü lneer sseme ygnlk avanaları sebebyle yaygın olarak kllanılan br modeldr. Genelleşrlmş Öngörülü Konrol algorması b model kllanmakadır [7]. Ssem çıkısı y ve ssem grş ve A B a a... a na b b b... b nb na nb.7.8 olmak üere grş çıkış lşks.9 le verlr. - - A y B.9 B modeln öngörü fades se. olarak yaılablr [7]. 4
B y k k A....4 Drm ayı model Drm ayı model, çok değşkenl ssemlern anımlanmasında kolaylık sağladığından dolayı Öngörüsel Fonksyonel Konrol Predcve Fncon Conrol gb baı Modele Dayalı Öngörülü Konrol algormalarında kllanılmakadır. Göserm. de fade edldğ şeklde yapılmakadır. [7]. x Ax B y C x. B denklemlerde x drm değşken, A, B ve C sırasıyla ssem mars, grş mars ve çıkış mars olarak fade edlmekedr. Öngörü model. de göserldğ şeklde fade edlmekedr [7]. k k y k C x k CA x A B k... Amaç fonksyon Çeşl MPC algormaları konrol kralını geçerl kılmak çn farklı malye fonksyonları cos fcon kllanır. Genel amaç, lgl fkak gelecek çıkışın y br referans snyaln w akp ederken, aynı amanda konrol eks prakek kısılamalar ve malye açısından öneml oldğ çn ener erm olarak fade edleblr olmasıdır. Amaç fonksyon, genel olarak aşağıdak eşlk le anımlamak mümkündür: J,, δ [ y w ] λ [ ].3 Malye fonksyonnda fade edlen ve sırasıyla mnmm ve maksmm öngörü fklarına karşılık gelmeke olp, se konrol fk olarak adlandırılmakadır. δ ve λ kasayıları se malye fonksyonnda gelecekek ssem davranışını belrleyen ağırlık kasayılardır. B kasayılar genellkle sab değerler veya üsel fadeler olarak seçleblrler. Örnek olarak,.4 de göserldğ şeklde δ seçldğnde b drmda üsel br ağırlık kasayısı seçlmş olr. 5
δ a.4 Eğer < a < seçlrse b drmda anından en akak haalar, anına daha yakın haalara göre daha fala cealandırılırken ssem cevabının senlen referans değerne yükselmesne daha dü br sekl verr ve daha a br konrol snyal yglanmasını sağlar. Öe yandan, eğer a > seçlrse b drmda lk haalar daha fala cealandırılıp daha sıkı br konrol snyal yglanmış olr. Anlaılan kasayıların amamı, sandar br konrol snyalnden öel prosesler çn ölçüm yapılarak hesaplanan üm konrol snyallerne kadar endüsrde kllanılan üm model öngörülü konrol algormaları çn ayar paramereler olarak kllanılablrler [7]. Tüm prosesler, prake belrl kısılamalar çerr. B bakımdan baı drmlarda opmal konrol problemn kısılamalı opmasyon problem olarak ele almamı gerekmekedr. Öngörü konrolün algormalarının avanalarından br de eğer gelecekek referans değerler blnyorsa, referans değşklğ ssemn cevabını eklemeden ssem b değşklğe kendn adape ederek ssem cevabında olablecek geckmelern önüne geçlecekr. Robo çalışmaları, servolar ve keskl prosesler gb pek çok yglamada referansın gelecekek drm olan rk daha önceden blnmekedr. Model öngörülü konrol algormalarının büyük bölümünde, ssemn o andak çıkış değernden senlen referansa doğr dügün yaklaşım olan wk kllanılır. w y w k αw k α r k k.5 < a < değer ayarlanablen br değer olp, ssemn dnamk cevabını eklemekedr. Şeklde görüldüğü üere rk referans değer sab seçlmş olp a parameresnn k farklı değer çn drm ncelenmşr. Şekl.4 de göserldğ gb a parameresnn küçük değerler çn referansı hılı akp edeblme yeeneğ w ön plandayken, daha büyük a değerlernde referans yörüngesne daha dügün br yükselme cevabı w sağlamakadır [7]. 6
Şekl.5 : Referansın daha dügün çıkış çn ayarlanması..3 Konrol kannnn elde edlmes k değerlern elde edeblmek çn J malye fonksyonn mnme edlr. Bnn çn öngörülü model çıkışlarına, referans snyal ve konrol snyalnn geçmş değerlerne hyaç vardır. Analk br çöüm, eğer model doğrsal se ve kısılama yoksa elde edleblr, dğer drmlarda eraf opmasyon algormaları kllanılır. Belrl br aralıkan sonra < önerlen konrol snyaller çnde değşm yokr: >.6. Serbes ve Zorlanmış Cevap Şekl.6 : Serbes ve orlanmış cevap 7
Şekl.5 de fade edlen serbes ve orlanmış cevap, pek çok Model Öngörülü Konrol yönemnde kllanılan paramerelerdr. B paramerelern kllanılmasındak asıl amaç, konrol snyaln.3 de oldğ gb k farklı snyaln oplamı olarak fade emekr..7 f c snyal geçmşek grş snyallerne karşılık gelmekedr. Gelecek amanlarda ayarlanan değşkennn son değerne eş olr ve b değerde sab lr. f,.8a f,,.8b c snyalnn se geçmş amanlardak değer sıfırdır, gelecek amanlarda se br sonrak konrol snyalnn değşm değern alır. c,,.9a c,,,.9b Ssemn çıkış snyalnn öngörüsü de şeklden görüleceğ üere kye ayrılmışır. Serbes cevabı olan y f ; ssemn ayarlanan değşken, f ye eş oldğ aman elde edlen çıkış öngörüsüdür. Zorlanmış cevap olan y c se konrol ds c ye eş oldğ aman elde edlen proses çıkış öngörüsüdür. Serbes cevap, prosesn o andak drmna göre değşmne karşılık gelrken orlanmış cevap, prosesn gelecekek konrol harekeleryle brebr lgldr [7]. 8
9 3. İKİ ÖEMLİ MPC ALGORİTMASI: DMC ve GPC B bölümde, ede ele alınan, Model Öngörülü konrolün k öneml farklı algorması ncelend. İlk, Ssem basamak cevabı modelne dayanan ve endüsrde yaygın br bçmde kllanılan, yapısı ve yglanması oldkça kolay olan dnamk mars konrolüdür Dynamc Marx Conrol. İkncs se, DMC den sonra oraya konlan ve daha genş yelpaedek ssem ve prosesler konrol edeblen, ransfer fonksyon modelne dayanan Genelleşrlmş Öngörülü konroldür Generaled Predcve Conrol. GPC nn aynı kapıya çıkan k farklı maemaksel yaklaşımı ncelend. İlk olarak Dophanne yaklaşımı knc olarak mars yaklaşımı ncelend. 3. Dnamk Mars Konrolü Dnamk Mars Konrolü, Shell Perol şrkenn gereksnmler üerne Cler ve Ramaker arafından yemsl yılların sonna dogr gelsrlmsr. lerleyen yıllarda perokmya endüsrs başa olmak üere endüsr dünyasında kabl görmüşür [7]. 3.. Ssem model kllanılarak öngörü pramerelernn blnması Ssem model 3. da fade edldğ gb olşrlr. g y 3. Öngörü değerler se 3. de fade edldğ şeklde elde edlr. k k k n k g k g k n k g k y 3. Boc;. de göserldğ üere ssem çıkısı le model çıkısı arasındak fark olarak modellenr ve fk boynca sab kabl edlr. y y n k n m 3.3
3.3 de kllanılan y m, ölçülen ssem çıkışıdır. Brada görülüyor k, bocnn sab olarak kabl edlmes, ssem çıkışına eklenen beya gürülünün whe nose opmal öngörüsüne karşılık gelr. Yan, n bocsna, enegre edlmş beya gürülü gb mamele edlr Wener Process. k f k g g y k g k g k y k k m k 3.4 Serbes ssem yanıı; 3.5 fades le hesaplanablr. k m g g y k f 3.5 Eğer ssem asmpok olarak kararlı se, basamak cevabının g kasayıları, örnekleme peryod sonnda, sab br sayıya yakınsayacakır. Böylece k g g > düşünüleblr. Bndan dolayı serbes cevap aşağıdak gb hesaplanablr: k m g g y k f 3.6 Ufk boynca öngörü değerler, 3.7 de fade edldğ üere m konrol şare kllanılarak hesaplanır. m p f p g p y f g g y f g y 3.7 Ssemn dnamk mars G; 3.8 dek bçmnde anımlanır.
g g G g g m p g g g m p g g pm 3.8 y G f 3.9 4.9 kllanılarak öngörü denklem elde edlr. G mars m konrol fk boy sündan, p öngörü fk boy saırdan olşmakadır. Her süna ssemn basamak cevabı aşağıya brer kaydırılarak yerleşrlmşr. y, ssemn öngörü değerlernden olşan p boyl vekör;, m boyl konrol arımları vekörü ve f serbes yanı vekörüdür. 3.9 fades konrol arımları le gelecekek ssem yanılarını lşklendrmekedr. B nedenle senlen ssem davranışını olşrmak çn gerekl konrol davranışını elde emeke kllanılablr. 3.. Ölçülen bocların ele alınması Ölçüleblen boclar kolayca öngörü denklemlerne ekleneblmekedrler. Ölçüleblen boclar ssem grşler olarak düşünüleblrler ve boc öngörüsü fades 3. kllanılarak hesaplanablr [7]. y Dd d f d 3. y 3. fadesnde d ölçüleblr bocnn ssem çıkısına eks, D bocdak basamak p br değşme lşkn ssem cevabının kasayılarını çeren G marsne bener br mars, d boc arımları vekörü ve fd cevabın bocya bağlı olmayan kısmıdır. Ölçüleblr ve ölçülemeyen bocların blndğ en genel drmda ssemn serbes cevabının ssem cevabının gelecekek konrol grşlerne bağlı olmayan kısmı dör eknn oplamından olşğ düşünüleblr. O andak grş,
ölçüleblen boc d, ölçülemeyen boc ve ssemn gerçek drmdr. B drmda öngörü 3. le göserleblr. f f Dd f f 3. d n 3..3 Konrol kralının elde edlmes Dnamk Mars Konrol algorması kısılamalar çeren yüksek boyl çok değşkenl ssemlerdek yglamalardan gelmekedr. B çalışmada se ek değşkenl ve kısılamaları değerlendrmeyen konrol algorması ncelenmşr. Dnamk Mars Konrolünde amaç ölçüü en küçük kareler yönemn kllanarak ssem çıkısı le referans değer arasındak farkı mümkün oldğnca aalmakır. B nedenle konrol değşkenler; 3. kllanılarak gelecekek haaların karesel oplamı olan br amaç ölçüünü ya da 3. kllanılarak haaya ek olarak konrol gücünü de çeren br amaç ölçüünü mnme edecek bçmde seçlr. J p y w 3.a J p m y w λ [ ] 3.b T T Eğer kısılama yok se, J ee λ amaç fonksyonnn mnme edlmes çn çöüm J nn ürev alınarak a eşlenmesyle analk olarak sağlanablr. Brada e, öngörü fk boynca gelecek haaların vekörü ve se gelecek konrol arımlarıdır,..., m. B genel br sonç sağlar: T T G G λι G w f 3.3 Tüm öngörü sraelernde vekörünün sadece lk elemanı sseme yglanır. Konrol fk boynca hesaplanan üm d sseme yglanma çünkü boc vekörünü haası olarak elde emek ve ssem çıkısını model çıkısından farklı kılacak kaçınılma bocları engellemek olanaklı değldr. Ayrıca leyen m örnekleme aralığı çnde referans değşeblr [].
3 3. Genelleşrlmş Öngörülü Konrol Genelleşrlmş Öngörülü Konrol algorması, 987 de D. W. Clarke arafından önerlmşr. Brçok endüsryel prosese yglanmış olp, y br basarım ve bell ölçülerde dayanıklılık elde edlmşr [3]. 3.. Zaman sers modelne dayanan genelleşrlmş öngörülü konrol Tek grşl ek çıkışlı ssemler br denge nokası erafında doğrsallaşırarak 3.3 bçmnde fade edleblr. B denklemde e beklenen değer sıfır olan beya gürülü, d se ssemn ölü amanıdır. e C B y A d 3.3 A, B ve C polnomları se 4.4a, 4.4b ve 4.4c olarak verlmşr. na a na a a A... 3.4a nb b nb b b b B... 3.4b nc c nc c c C... 3.4c B model öbağlanımlı ümlemel yürüyen oralama Conroller Ao-Regressve Movng-Average CARMA olarak blnmekedr. Endüsrde kllanılan ssemlern çoğ drağan olmadığından dolayı enegre edlmş CARMACARIMA modelnn daha ygn olacağı düşünülmüşür. CARIMA model, 3.5 da fade edldğ şeklde olşrlmşr., e C B y A d 3.5 Baslk amacıyla bocya lskn modelde C- farklı seçleblr. B drm renkl gürülü drm olarak adlandırılmakadır. Genelleşrlmş Öngörülü Konrol algorması, verlen amaç ölçüünü mnme edecek konrol şare dsn sapamaya çalışır [3]. w y J ] [ ] [,, λ δ 3.6
4 4.6 da y, anındak blglerden ve modellerden yararlanarak elde edlen adım lerdek opmm ssem çıkısı öngörüsü, mnmm ölçü fk, maksmm ölçü fk, δ ve λ ağırlık paramereler, w se gelecekek referans yörüngesdr [4]. Opmm y öngörü değerler elde edlrken ve aralığı kllanılır. Ykarıdak amaç fonksyonn çömeye yardımcı olan Dophanne eşlğ; 3.7 de verlmşr. ~ F A E ~ A A 3.7 E ve F polnomları sırası le - ve na derecel polnomlardır ve ek olarak belrleneblrler. B polnomlar sayısının, kalan F olana dek ~ A e bölünmesyle elde edleblrler. B bölmenn bölümü E polnomdr. Eğer 3.5 E le çarpışırsa C : ~ e E d B E y E A 3.8 3.8; 3.9 olarak yaılablr. e E d B E y F 3.9 3.9 ekrar düenlendğnde 3. elde edleblr. e E d B E y F y 3. E polnomnn dereces - oldğndan ykarıdak eşlkek gürülü erm geleceğe lşkndr. y çn en y öngörü fades 3. olacakır. y F d G y 3. 3. fadesnde
G E B 3. olarak seçlmşr. E ve F polnomlarını elde emek çn öynelemel recrsve yönemler vardır. Brada se bas br yönem ele alınacakır. E ve F polnomları, sayısı F kalanın çarpanı olana kadar A e ~ bölünerek elde edlr. B polnomları 3.3 ve 3.4 seklnde anımlanablr. F na f, f,... f, na 3.3 E e, e,... e, 3.4 Aynı E ve F elde emek çn de kllanılır. B drmda se sayısı F ~ kalanın çarpanı olana dek A e bölünsün. B drmda F 3.5 de göserldğ şeklde elde edlr. F na f, f,... f, na 3.5 B drmda E ve F elde edlp E ve F nn elde edlmes çn bölmenn br adım daha yapılması yeerl olacakır. E polnom se 3.6 de fade edlen şeklde olacakır. E E e, 3.6 e f olacağından dolayı F polnomnn kasayıları 3.7 de belrlen,, fade gb elde edlecekr. ~ f, f, f, a,... na 3.7 B denklemler kllanılarak 3.8 ve 3.9 le fade edlen eşlkler elde edlr. G, E B E f B 3.8 G G f, B 3.9 5
6 B yönem kllanılarak br Malab algorması yaılarak Dophanne denklem çöümü yapılablr. nb b f g g,...,,,,, 3.3 Genelleşrlmş Öngörülü Konrol problemnn çöüleblmes çn 3.3 fadesnde göserlen ölçüü mnme edecek konrol şare dsnn blnması gerekmekedr. Eğer ssemn ölü amanı d örnekleme amanına eş se ssem çıkısı ssem grşnden d örnekleme amanı sonra eklenecekr. B nedenle mnmm öngörü fkn d den küçük seçmek anlamlı olmayacakır. B şarlar alında d, d ve seçleblr [3]. w y J ] [ ] [,, λ δ 3.3 Öngörü fk boynca öngörü değerlern 3.3 dek şeklde elde edelm. y F G d y y F G d y y F G d y d d d d d d 3.3 B değerler opl br fade olarak 3.33 de göserldğ şeklde yaılablr. ' G y F G y 3.33 B opl fadedek elemanlar se 3.34, 3.35, 3.36 ve 3.37 de göserlen açık fadeleryle verlmşr. d y d y d y y 3.34 g g g G g g g 3.35
7 d d d g g g G g g G g G G... ' 3.36 F F F F d d d 3.37 Brada, 3.33 ün son k erm sadece geçmşe dayanmakadır ve aşağıdak gb f le grplandırılablr. f G y 3.38 Dkka edlmeldr k, eğer üm lk başlangıç şarları sıfır se, serbes cevap f de sıfırdır. Eğer amanında brm basamak grş yglanırsa;...,,, çıkısın beklenen değerler T y y y...,,,, G marsnn brnc sünna eş olacakır. Yan, ayarlanmış değşkene br brm basamak yglandığı aman, G marsnn brnc sün, ssemn basamak cevabı şeklnde hesaplanablr. Serbes cevap erm öynelemel br şeklde aşağıdak gb hesaplanablr: ~ d B f A f, y f ve y 3... Konrol kramının elde edlmes f G y genel fades kllanılarak amaç ölçüü 3.39 gb yaılablr. w f G w f G J T T λ 3.39 3.39 daha sade br fade le yamak sersek aşağıdak 4.4 denklem elde edlr. f b H J T T 3.4
3.4 da, 3.4 dek fadelere yer verlmşr. T H G G λι b T T f w G T f f w f w 3.4 J ölçüünü mnmm yapmak çn gereken konrol kralı, kısılamaların blnmadığı drmlarda J nn ürev alınıp sıfıra eşlenerek 3.4 fades olarak blnablr. H b G T T G λ Ι G w f 3.4 B drmda, 3.4 elde edlen vekörünün sadece lk elemanı sseme yglanır. G T G T λ Ι G fadesnde elde edlen marsn lke elemanı K olmak üere aşağıdak 3.43 şeklnde fade edlr., K w f 3.43 3.43 den anlaşılacağı üere, eğer geleceke ssemn serbes cevabı le referans arasında öngörü haası yoksa wf b drmda ssemn serbes cevabıyla senlen drm sağlandığından dolayı sseme konrol snyal yglanmayacakır. Aks akdrde, yan ssemde öngörülen br haa varsa b drmda gelecekek b haaya bağlı olarak konrol snyalnde K vekörüne bağlı olarak br arım olacakır. Brada dkka edlmes gereken noka; sseme yglanan konrol harekenn geçmşek ssem haalarından değl, gelecekek öngörülen ssem haalarından eklenmesdr. B drm se model öngörülü konrol algormalarını dğer algormalardan ayıran en öneml öellklerden brdr. 8
Şekl 3. : GPC kann 3... Genelleşrlmş öngörülü konrolün kapalı çevrm eşdeğer Kısılaması Genelleşrlmş Öngörülü Konrolün kapalı çevrm eşdeğer şekldek gb elde edleblr [4]. Şekl 3. : Klask kp aama yapısı Konrol kralı yenden yaılırsa 3.44 de belrlen şeklde yaılablr. B denklemde R, T ve S polnomlardır. B konrol kralı br ger besleme bleşen S/T ve br ler yol bleşennden T/R olşmşr. T S w y 3.44 R R B drmda, konrol kralı düenlenerek 3.45 dek şeklde ekrar yaılablmekedr. 9
3 [ ] f w k f w K 3.45 Genel drmda serbes cevabı elde emek çn kllanılan C polnom sıfırdan farklı seçlr. Ancak genellkle b polnom br ssem anıma yönem le elde edlme. Bocların amanla değşen karakersklern modellemek kolay olmadığından dolayı b drm çn b polnoma sab göleyc ya da ön flre olarak nelendrlen T polnom aanacakır. Genelleşrlmş Öngörülü Konrol çn CARIMA modeln ekrar yaılırsa 3.46 elde edlr. e T B y A d 3.46 T polnomn çeren 4.47 dek Dophanne denklem le 3.48 dek Dophanne denklem çöülüp f serbes cevap olan I, F ve T polnomları cnsnden elde edlr. F A E T 3.47 I T H B E 3.48 Eşlğ yenden yamak gerekrse 3.49 fades yaılablr. [ ] y T F k T I k w k f w k f w K 3.49 3.49 da erm çıkarılıp, denklem aşağıdak gb fade edleblr: F y k w k T I k T 3.5 brada gelecek referans yörünges fk boynca sab oldğ gö önünde blndrlmş veya w blnmedğnde w alınmışır. R ve S polnomları se eşlkek konrol kralı ssem model fadesnde yerne konlrsa referansın ve bocnn fonksyon olarak çıkış fades elde edlr. B
çıkış fadesnden karakersk polnom elde edlerek blnen yönemlerle kararlılık ncelemes yapılablr []. R ve S polnomlarının değerler aşağıdak gb elde edleblr. T k I R 3.5a k S 3.5b k F k R T w S y 3.5 Kapalı çevrm karakersk denklem, ssem çnde 3.5 arafından verlen konrol harekenden gelmekedr. Ssem model 3.53 gb fade edlr. A y B Te 3.53 Bndan dolayı 3.54 konrol hareke ssem model le yer değşrlr ve 3.55 denklem elde edlr. T S w y 3.54 R R T S A y B w y Te R R 3.55 B denklemden y y çekmek, referans ve bocların br fonksyon olan br çıkışı veren kapalı çevrm sağlar. BT TR y w e 3.56 RA BS RA BS ve sonç olarak karakersk denklem aşağıdak gbdr: RA BS 3
Küçük değşklklerle, karakersk denklem, ~ RA BS T A T k ~ B AH TP c 3.57 k Bndan dolayı denklem 3.56 aşağıdak gb fade edlr. B y P c w R P c e 3.58 Gölemleyclerdek drm gb, T polnom çıkış ve grş arasındak kapalı çevrm ransfer fonksyonnda yok olmakadır. Yan, kararlılık ve performans P c nn kökler le koşlmakadır. Faka, brada öneml br noka se karakersk polnomn kökler le konrol paramereler olan,, ve λ arasında doğrdan lşk krmak ordr [7]. B nokada T polnomnn seçm önemldr. B polnomn kapalı çevrm ssemn dayanıklılığına eks üerne çeşl çalışmalar yapılmışır []. 3.. Drm ay model kllanılarak öngörücünün blnması Herhang br sseme a drm ay gösermn en kapsamlı olarak aşağıdak gb gösereblr []; x A x B P v y C x w 3.59 Brada x, drm vekörü,, grş vekörü, y, ölçülen çıkışların vekörü, v, bocların vekörü ve w, ölçüleblr gürülünün vekörüdür. ndeks se aman adımlarını gösermekedr. Öngörü modeln kllanarak gelecekek anında çıkış aşağıdak gb anımlanır: y C x w C A x C B C P v w 3.6 B öngörülen çıkış bağınısından 4.6,,,, anlarındak çıkışlar drm gölemleycs arafından aşağıdak bçmde anımlanır [4]: 3
x A x B P v 3.6 Gelecek çn öngörülen drmlar; x A x B P v x A x B P v A x A B B A P v P v x 3 A x B P v 3 A x A B A B B A P v A P v P v x A x B P v A x A B B A P v A P v P v... 3.6 Ykarıdak bağınıda, grşn,,, - anında değşğ bndan sonrak adımlarda sab oldğ varsayılmışır. B yüden, - çn - eşlğ sağlanacakır. anındak - grş blndğnden dolayı öngörülecek konrol snyal dsnn amanla değşm aşağıdak gb anımlanır: Bradan öngörülen konrol snyal ds; olarak blnr. Br sonrak adım olaraka b konrol snyal ds öngörülen drm dsnn çne yerleşrlr. 33
[ ] x A x B P v [ ] [ ] x A x A B B A P v P v A x A I B B A I B A P v P v x A x A... A I B... B A... A I B A P v P v x A x A... A I B... A I B A... A I B A P v A P v... P v x A x A A I B...... A... A I B p A... A I B... A P v A P v P v Ykarıda elde eğm drm öngörüsü aşağıdak gb mars vekör bçmnde yaılablr: 34
B A B x A x A A B x A x x A A B x A A B GEÇMİŞ B A B B A B B A B A B B A B A B GELECEK P v A P P v A P A P v A P A P v A P A P P v 3.63 Bradan,,,- anındak öngörülen çıkış değerler kolaylıkla blnablr: y C x w y C x w y C x w 3.64 35
Bradan çıkışın öngörüsü aşağıdak gb mars vekör bçmnde yaılablr: B A B B y A y A A B y C A x C y A A B y A A B GEÇMİŞ B A B B A B B C A B A B B A B A B GELECEK P v w A P P v w C A P A P v w A P A P v w A P A P P v w 3.65 3.65 ek fade daha kısa şeklde yaılacak olrsa; 36
37,, p n A A F C A A A B A B B A B H C A B A B B A B B A B B H C A B A B B A B A B, d P A P P H C A P A P A P A P A P A P P
[ T ] [ T ] [ ] [ T ] [ T ] Y y,, y X x,, x U,, V v,, v W w,, w Ssemn çıkışının öngörüsü en genel halde aşağıdak gb yaılır: Y F x H H U H V W p n d T 3.66 * Y F x H p H n U ε H V W d * Y Y ε 3.67 Amaç fonksyonnn yapısı [5], J, E δ Y Yr λ 3.68 Amaç fonksyon mnme edldğnde opmal konrol kralı aşağıdak bağınıda göserldğ gb elde edlr [4]: T T n n λ n r p U H q H H Y F x H 3.69 38
4. DMC ve GPC İ KARŞILAŞTIRILMASI GPC ve DMC günümüde en çok erch edlen MPC ürlerdr. İksnn brbrne karşı üsünlükler olmakla brlke, konrol edlecek ssemn yapısına göre, ygn olanının seçlmes doğr br yaklaşım olacakır. 4. MPC nn Avanaları MPC ler br konrolcüdür. Klask konrolcülere göre çeşl avanaları vardır: MPC öellkle, çok a br blg le çok ekleyc br yönemdr çünkü, MPC kavramı segye dayalıdır ve ayrıca ayarlaması çok kolaydır. Çok çeşl ssemlern konrolünde kllanılablr. Örnek olarak; bas dnamkl olanlardan karmaşık dnamkl olanlara kadar, n aman geckmes olan prosesler veya kararsı ssemler verleblr. Çok değşkenl drmlar kolaylıkla üsesnden gelneblr. MPC nn doğasında, ssemlern ölü amanını yok eme öellğ vardır. Ölçüleblen bocları kompane edeblen doğal br ler beslemel konrol snar. Sonça olşan konrolcünün doğrsal konrol kannna yglanması kolaydır. Kısılamalı ssemlere yglanan genşlelmş olanı kavramsal olarak basr ve proses asarımı esnasında ssemak olarak yer alır. Gelecekek referans blndğ akrde oldkça kllanışlıdır Robolar. Gelşrlmeye açık, kesn, bas br prensbe dayanan amamen yalın br meodolodr [6]. 4. MPC nn Deavanaları Konrol kannn yglanması kolay ve a hesaplama gerekrmesne rağmen, MPC nn elde edlmes klask PID konrole göre daha karmaşıkır. 39