HİDROLİK ÇALIŞMALARDA İSTATİSTİKSEL YÖTEMLERİ KULLAIMI Grş İstatstksel Maddelern Önem ve Sınıflandırılması Hdrolojk büüklüklern brçoğu fzk asalarıla tam olarak açıklanamaan rastgele değşken ntelğ taşırlar. Bunların en öneml neden ağışın rastgele karakterdr; bu nedenle ağışla lşkl olan akım değşkenlernde de rastgelelk görülür. Hdrolk sstemn rastgele karakter; hdrolk verlerdek örnekleme hataları ve hdrolk süreç çn kabul edlen modeldek hatalar hdrolk değşkenlern rastgele ntelk taşımasına neden olur. Br hdrolk büüklüğüm rastgele değşkenlğ öneml değlse bu anı hmal edlp ortalama değer çalışılarak ola determnstk br aklaşımla nceleneblr. Ancak bazı büüklükler çn (taşkın debs gb) böle br aklaşım anlamlı olmaz, bu durumda olasılık teors ve statstk brmlerne daanan, olasılıkların şn çne grdğ modeller kullanmak gerekr. Hdrolk statstk modellern kullanıldığı erler şu şeklde sınıflandırılablr. ) Hdrolk verlern statstk analz: Frekans analz, parametrelern analz ve güven aralıklarının belrlenmes, dağılım fonksonunun belrlenmes. ) Taşkın debs dağılım modüller: Hdrolk tasarımda özel br önem taşıan taşkın debler çn ugun dağılım fonksonlarının belrlenmes ve bunlarla proje dönüş aralığına karşı gelen taşkın debsnn tahmn çn gelştrlen modeller. 3) Korelason ve regreson modeller: İk ada daha fazla hdrolk değşken arasında statstk lşk belrleen br model ardımıla değşkenlerden br çn eksk verlern tamamlanması ada kısa verlern uzatılması. 4) Hpotez test modeller: Hdrolk değşkenlern parametreler ve dağılıln fonksonları çn apılan kabullern ugunluğunun gözlemlerle karşılaştırılarak kontrolü. 5) Hdrolk süreç (zaman sers) modeller: Zaman çnde değşken br hdrolk büüklüğün (akımın) stokastk apısının modellenmes, kurulan maddelern smülason ve akım tahmnlernde kullanılması.
. HİDROLİK VERİLERİ İSTATİSTİK AALİZİ.) Frekans Dağılımı Br rastgele değşkenn toplumunun tümünü gözlemek mümkün olmadığından eldek örneğn analzle elde edlen frekans dağılımına eşdeğer olduğu kabul edlr. Frekans dağılımını belrlemek amacıla örneğn analz, söz konusu rastgele değşkenn tpne göre aşağıdak öntemlerle apılır. a) Keskl Değşkenlern Frekans Analz Elde keskl br değşkene at elemanlı br örnek bulunduğunu düşünelm. Bu örnekte X= olaı M defa görülüorsa bu olaın frekansı M f Eklenk frekans dağılımı se; F f Mj f fj b)sürekl Değşkenlern Frekans Analz. Büük örneklern frekans analz: Rastgele değşkenn değşme bölges ugun genşlkte sınıf aralıklarına arılır. İ nc sınıf aralığı çne düşen gözlemlern saısı n se bu sınıf aralığının frekansı; n f. Küçük örnekler frekans analz: F( X m ) M.) Parametrelern Tahmn Parametrelern tahmnnde aranması gereken lk şart tahmnn tarafsız olmasıdır. Tarafsız tahmn brden fazla şeklde apılablr. Eldek br örnekte apılacak tarafsızlığı ve etknlğ tahmn öntemne bağlıdır. Tahmn öntemlernn başlıcaları şunlardır; a) Grafk Yöntem b)en Küçük Kareler Yöntem
p( ;,,...) S ) p( ;,,...) ( c) Momentler Yöntem Söz konusu olasılık dağılın fonksonunun,,... parametreler le,,... parametreler arasındak bağıntılar elde edlr. f (,,...), f (,,...),..... () önce momentlern değerler eldek örnekten tarafsız tahmnler veren fadelerle hesaplandıktan sonra () denklemnden parametrelern a,b,... tahmnler çözülür.,,... parametrelernn a,b,... tahmnler şu denklemler çözerek bulunur; ds da 0 ds, 0 db,... d)maksmum Olablrlk Yöntem: L p ) ;,,...) Bu öntemle L erne lnl n kullanmak ugundur. l nl l n p( ;,,...) l np( ;,,...) a, b,... etkn tahmnler şu denklem takımı çözülerek bulunur. dl nl da 0 dl nl, 0 db () Bu öntem her durumda etkn tahmnler verldğnden dğer öntemlerden daha üstündür. Ancak () denklemlernn çözümünü elde etmek brçok hallerde kola olmaz. onlneer denklem takımını ardışık aklaşımlarla çözmek gerekr. Bundan dolaı maksmum olablrlk öntemnn kullanılması nspeten azdır..3) Güven Aralığı ve Güven Düze: Br rastgele değşkenn toplumunun herhang br parametresnn büüklüğü olan örneklerden hesaplanan b statstklernn örnekleme dağılımının blndğn düşünelm. Eldek br örnekten belrlenen b statstk değernn k anına öle br (b, b ) aralığı göz önüne alalım k statstğn bu aralık çnde kalma olasılığı
Pc olsun. Buna göre toplumun blnmeen parametre değernn Pc olasılığı le (b, b ) aralığında kalacağı söleneblr. Burada Pc e güven düze, (b, b ) aralığına bu düzedek güven aralığı denr. Burada dkkat edlecek br nokta güven aralığının b ve b sınırlarının örnekten örneğe değşeceğdr. Zra her br örnek çn E()=b kabulü apılmaktadır..4) Dağılım Fonksonunun Belrlenmes Kullanılablecek olasık dağılım fonksonlarının saısı pek çok olup kullanılacak fonkson tecrübelere daanarak seçlr. Aşağıdak şartları sağlaan herhang br F() fonksonu o.d.f olablr. - 0 F() - < çn F( )F( ) - F(-)=0, F(+)= Eldek örneğn analzle belrlenen frekans dağılımına br o.d.f nn udurulması şu adımlarla apılır.. Denenecek o.d.f. seçlr. Bu seçmde tecrübelere daanır.. Seçlen o.d.f. nn parametreler eldek örnekten tahmn edlr. Her o.d.f. nn bell saıda parametres vardır. Parametre saısı optmum değerde olan o.d.f. kullanmak güvenlrlk sağlar. 3. bu o.d.f. nn gözlenmş frekans dağılımına ugunluk araştırılır. 4. ugunluğun stenlen düzede olmadığı görülürse başka br o.d.f. seçlerek anı adımlar tekrarlanır. Burada eldek örneğn küçüklüğü dolaısıla brçok hallerde gözlenen frekans dağılımına brden fazla o.d.f. nn anı derecede uduğunun görülebleceğdr..4..) Başlıca Olasılık Dağılım Fonksonları a) Bnom Dağılımı Br keskl rastgele değşken çn sadece ola mevcut olduğunu düşünelm. Bu olaların olasılıkları p ve q=-p le gösterlsn. Bu değşkene at brbrnden bağımsız n deneme apılsın. Bu n elemanlı örnekte olasılığı p olan olaın defa görülmes olasılığının bnon dağılıma uduğu gösterleblr. Bu dağılım kütle fonksonu:
n p( ) ( ) p q n hesaplanır. Bu fadede ( n ), n adet büüklüğün l kombnezonlarının saısı olup söle n n( n )...( n ) ni ( )...( n ) I ( n ) I E np, Var npq, b)posson Dağılımı: q p Cs, npq pq k 3 npq Rastgele değşken çn ola mevcut olsun. Ancak bunlardan brnn olasılığı çok küçük olsun. Buna karşın n deneme saısı da çok büük olsun. np çarpımının da sonlu olduğu kabul edlsn (np=) bu halde n denemede olasılığı p olan olaın defa görülmes olasılığı Posson dağılımına uar. e P( ) I Bu dağılımın özellkler: E, Var, c) Geometrk Dağılım: Cs, k 3 P( ) q. p F( ) q Dağılımın Özellkler; q E, Var p p d)ormal Dağılım Gauss dağılımı olarak da blnen dağılımın olasılık oğunluk fonksonu; () p( ) ep ( ) / Q şeklndedr. Q
Kısaca () şeklne gösterlen bu dağılımın k parametres vardır. Bunlardan rastgele değşkenn ortalaması, standart sapmasıdır. ormal dağılım smetrk olupçarpıklık katsaısı Cs=0 k=3 dür. () denklemle verlen dağılımın a.g.f. nu tablolaştırmak çn standart normal değşken kullanılır. Z şeklnde tanımlanan standart değşken boutsuz olup ortalaması Q 0, standart sapması dr. Z nn dağılımı olan (0,) dağılımının a.g.f. ve o.d.f. tablolaştırılmıştır. ormal dağılım smetrk olduğundan bu tablolar sadece Z nn poztf değerler çn hazırlanmıştır. ormal dağılımın parametreler eldek örnekten grafk öntemle ada momentler öntemle tahmn edlr. ormal dağılım smetrk olduğu çn momentler öntem etkn tahmnler verr. ormal dağılım statstk ugulamalarda en çok karşılaşılan dağılımdır. e) Lognormal Dağılım Rastgele değşkene; =ln şeklnde logartmk br dönüşüm ugulandığında dönüştürülmüş değşkennn dağılımı normal se değşkennn dağılımı lognormaldr. p( ) P( ) d d.ep (ln ) Q / Q Yukarıdak denklemde ve Q, değşkennn ortalama ve standart sapması olup n parametreler olan ve Q e şu şeklnde bağlıdır. ep Q Q Q / ( e ) Cz e Q ) / Cs Cv 3 3Cv Ek Cv 8 4 Cz 5Cv Cv Lognormal dağılımda rastgele değşken sadece poztf değerler alabldğ ve dağılımın poztf br çarpıklığı bulunduğundan bu dağılım br çok hdrolojk
değşkenlere uar. Yıllık akışkanların dağılımı çn lognormal dağılım çok kullanılır. f) Gamma Dağılımları Br çok parametrel gamma dağılımının o.g.f.; P( ) ( ) e 0 şeklndedr. Burada () tablolaştırılmış gamma fonksonu olup >0 çn tanımlanır. Dağılımın özellkler; E Var Cs Ek Yukarıdak formülde erne >0 olmak üzere / konulursa parametrel gamma dağılımının o..f. elde edlr: P( ) ) e / 0 Bu dağılımın özellkler E. Var. Cs Ek Yne lk denklemde erne (- 0 )/ konulursa 3 parametrel gamma dağılımına geçlr. (pearson Tp III dağılımı): P( ) ( ) 0 ) e ( o) / 0 Bu dağılımın özellkler E 0. Var. Cs Ek Br parametrel gamma dağılımının parametres şu şeklde bulunur. L p( ; ) ( ) e ( ) e
d(ln L d d ln ( ) d ln 0 g) Pearson Dağılımları: Br örnekten elde edlen frekans dağılımına en uan o.d.f. seçmek çn Pearson, örnekten hesaplanan Cs ve Ek katsaılarına bağlı olan Kp parametresnn kullanılmasını önermştr. Cs Kp 4(Ek 3Cs ( Ek ) )(4Ek 3Cs ) Kp<0 halnde Pearson Tp I, Kp=0 çn normal, 0<Kp< çn Pearson Tp IV, Kp> çn Pearson Tp VI, Kp çn Pearson Tp III dağılımları kullanılmaktadır. h)ektrem Değer Dağılımları: ) İk Değşkenl ormal Dağılım: Çok değşkenl dağılımlar arasında sadece normal dağılımın analtk fades mevcuttur. değşkenl normal dağılımın ortak o..f.: ep Q / ( g P8, ) QQ g ) şeklndedr. Burada; Q Q Q g Q. Q,, Q, Q sırasıla ve değşkenlernn marjnal dağılımlarının ortalama ve standart sapmaları, g se le arasındak korelason katsaısıdır. n e göre şartlı dağılımının o..f. normal olup: ep Q / P( I) g Q g Bu şartlı dağılımın parametreler: I Q g Q / Q şeklndedr. QI Q g
ormal dağılmış k değşkenn ortak dağılımları her zaman değşkenl normal dağılım değldr, fakat ugulamalarda analtk fadelern bastlğ nedenle çoğu zaman bu kabulün apıldığı görülür. Değşkenlere logartmk dönüşüm ugulaarak değşkenl lognormal dağılım da benzer şeklde tanımlanablr. değşkenl normal dağılım den fazla değşkenl normal dağılımlar halne de genelleştrleblr. Örnek Problem.) Dcle nehrnn Czre akım ölçüm stasonunda 95-975 ıllarında ölçülen ıllık maksmum debler aşağıda verlmştr. Bu deblern frekans analzn apınız. YIL 95 957 958 959 90 Qma(m 3 /s) 34 300 340 080 YIL 9 97 98 99 970 Qma(m 3 /s) 880 45 48 450 50 Çözüm: 0 Elemanı olan bu küçük örneğn frekans analznde önce elemanlar büüklük sırasına göre dzlerek düzenlenrler. Düzenlenmş örneğn m nc elemanı m se ıllık maksmum deb m den küçük olması olasılığı şu denklemle hesaplanır. Ve hesaplar tabloda gösterlmştr. F m M m 3 4 5
m 93 50 080 50 M F m 0,048 0,095 0,43 0,90 0,38 M 3 4 5 m 3450 4350 45 48 5300 M F m 0,54 0,57 0,9 0,7 0,74 ) TAŞKI DEBİSİ DAĞILIM MODELLERİ Br rastgele değşkene at =n-m elemanı olan br örneğn her brnde m elemanı bulunan n adet alt örneklere arılsa, bu alt örneklerden her brndek en büük (ada en küçük) elemanı (ekstrem değer) göz önüne alalım. Bu ekstrem değerlernn dağılımının ncelenmes hdrolojde özel br önem taşır. Zra alt örnekler brer ıllık olarak düşünülüp her brndek günlük en büük akış (taşkın debs) ada en küçük günlük akış göz önüne alınırsa taşkınların ada kuraklıkların dağılımı le lgl statstk blgler elde edlmş olur. Hdrolojde gözlenmş akış serler genellkle n=30-00 ıl uzunluğunda olduklarından bunlardan ekstrem değerlere at elde edlecek örneklerdek eleman saısı da ancak 30-00 kadar olur. Bu saı bazı hallerde daha azdır. Bu örneklern frekans analzle elde edlen frekans dağılım çzgsn uzatarak gözlem süresnden daha uzun aralıklarla görülecek taşkın deblern tahmn etmek büük hatalara ol açablr. Bu durumda ekstrem değerlern örnekten elde edlen frekans dağılımına uan o.d.f. nn amprk olarak belrlenmes erne teork ekstrem değer dağılımlarını kullanmak ugundur. Bu dağılımlar şöledr;.) Gumbel Dağılımı Taşkın debler çn en çok kullanılan teork dağılımdır. Fsher-Tppet Tp I dağılımı olarak da blnr. Dağılımın o..f. ve o.d.f. şu fadelerle verlr. p( ).ep ep( ) F( ) ep ep( ) ( ) ; ölçek parametres ; er parametres
Gumbel dağılımının özellkler; 0,577,,85 Q, Cs=,4, k=4,5 0,35 M, M, F( m) e 0, 38,85 0, 450Q Q ( ) ln ln F( ) 0,3( 0,75 0,5 ).) Fsher Tppet Tp III Dağılımı (Webull Dağılımı) Dağılımın o..f. ve o.d.f. şu şeklde verlmştr. P( ) 0 ep( ) 0 F( ) ep( ) 0 0 0,, 0 0 0 ; ölçek parametres, ; er parametres, 0 ; alt sınır Dağılım özellkler; 0 0 Q 0 Bu dağılım hdrolojde en küçük debler (kuraklıklar) çn kullanılır. 0 Çoğunlukla 0 olarak alınır.
.3) Frekans Faktörü ve Dönüş Aralığı Taşkın debsnn açılması olasılığı; F () F ( ) F( ) T F ( ) Taşkın deblernn ortalaması; standart sapması Q le gösterlrse T ıllık taşkın debs çn şöle br genel fade azılablr. Q. K Bu fadedek K frekans faktörü taşkın debsnn olasılık dağılımının ve T dönüş aralığının fonksonudur. Çeştl o.d.f. ları çn K ı veren fadeler elde edleblr..4) Kısm Sürekllk Serlernn Frekans Analz Çözülen deblern arasından sadece her ılın en büük değernn değl, bell br değern üstünde kalanların heps göz önüne alınırsa bu taban değer o şeklde seçlmeldr k her ıl en az br günün debs taban değernn üzernde kalsın. Bu şeklde belrlenen sere kısm sürekllk sers denr. T E m Burada Te, kısm sürekllk sersnde m nc büük elemanın dönüş aralığı olup, ıl saısıdır. Pe P m m Pelm; Br ılda taşkınlardan brnn değern aşması olasılığı P; ıllık maksmum taşkın debler çn den büük olma olasılığı T E lnt ln( T ).5) Proje Perodu ve Rsk Proje hesaplarında göz önüne alınan T ıllık taşkın debsnn proje perodu olan n ıllık br süre çnde Pn le gösterlen br aşılma olasılığı vardır. Pn, kabul edleblecek rsk fade etmekte olup ekonomk düşüncelerle belrlenecek olan br
proje krterdr. Dönüş aralığı T ıl olan taşkın debsnn herhang br ılda aşılması olasılığı -/T se Pn T n ep n T Örnek Problem : Yıkıldığı takdrde can kabına açmaacak br barajın dolu savası 500 ıllık taşkın debsne göre projelendrlmştr. Bu barajın 50 ıllık proje perodu çnde daha büük br taşkın gelmes rskn hesaplaınız. Çözüm: n=50 ıl, T=500 ıl çn rsk, n Pn denklemne göre T 50 Pn 0,095 bulunur. 500 3.) KORELASYO VE REGRESYO MODELLERİ: İstatstkte rastgele değşkenler arasındak br bağıntıı fade eden matematk fadee regreson denklem denr. Br rastgele değşkenn değern br vea daha fazla saıda rastgele değşkenlern değerlerne bağlı olarak en şeklde tahmn etmee araan regreson denklemlernn belrlenmesne regreson analz denr. Regreson analz şu adımlar halnde apılır.. Önce ncelenecek bağıntıda göz önüne alınacak değşkenler belrlenr. Buna göre ağıntı k değşkenl ada çok değşkenl ada çok değşkenl olablr.. Göz önüne alınan değşkenler arasındak lşk gösteren regreson denklemnn tp seçlr. En bast olarak doğrusal regreson apılablr. 3. Seçlen değşkenler arasındak bağımlılığın derecesn belrlemek amacıla korelason analz apılır. Bağımlılığı ölçmek çn korelason katsaısı denen parametrelern değerler hesaplanır. 4. Bu parametrelern hesaplanan değerlernn anlamlı br bağımlılık fade edp etmedğ statstk testlerle kontrol edlr.
5. Kontrol sonucunda göz önüne alınan değşkenler arasında anlamlı br bağımlılık bulunduğu sonucuna varılırsa önceden tp seçlmş olan regreson denklemnn parametreler hesaplanır.. Bu şeklde regreson denklem belrlendkten sonra bu denklem kullanarak apılacak tahmnlern güven aralıkları belrlenr. 3.) İk Değşkenl Doğrusal Korelason ve Regreson 3..) Regreson Çzgs X ve Y rastgele değşkenlern brbrne karşı gelen, değerlern - düzlemnde noktalansın. X le Y arasında fonksonel br bağıntı söz konusu değlse = değerne karşı Y değşken çeştl değerler alablr. Bu değerlern ortalaması olan 0 =E(Y/X=X İ ) değer hesaplansın. Bu şeklde belrlenen o noktalarıla elde edlen çzge nn e göre regreson çzgs denr. Anı şeklde n e göre regreson çzgs de çzleblr. Bunlar genelde brbrnden farklı çzglerdr. Ancak aradak bağıntı fonksonelse bu k çzg çakışır. 3..) Korelason Katsaısı: İk rastgele değşken arasındak doğrusal bağımlılığın derecesn ölçen parametre korelason katsaısıdır. CoV p Bu katsaı boutsuz olup 0 le arasında değşr. Q X Q Y g toplum parametresnn eldek örnekten tahmn şu denklemle apılır. r ( _ )(. S. S _ )... S. S () r; korelason katsaısının eldek elemanlı örnekten hesaplanan statstk değer,, ; örnekdek gözlem çftler, ve. ; sırasıla ve nn ortalamaları, S, S; ve nn standart sapmalarıdır. () denklemle hesaplanan korelason katsaısının değşkenler arasında anlamlı br bağımlılık fade edp etmedğn anlamak çn korelason katsaısına at
statstk hpotezlern kontrolü bazı aklaşık testlerle apılır. Değşkenlern ortak dağılımının normal olması hal çn geçerl olan bu testler şöledr;. g değernn 0 a akın olması halnde r nn örnekleme dağılımı, asmptotk olarak, standart sapması: r Sr olan normal dağılımdır. Sr değer hesaplandıktan sonra 0 değer (r-3sr, r+3sr) aralığının dışında kalıorsa g=0 hpotez reddedlr. Daha kuvvetl br test olarak 0 değernn (r-4sr, r+4sr) aralığının dışında kalıp kalmaışı kontrol edleblr.. Aşağıdak şeklde tanımlanan Z değşkennn örnekleme dağılımının aklaşık olarak normal olduğu blnmektedr. Z ln r r Z nn örnekleme dağılımının parametreler: g z ln, g Q z 3 Buna göre toplumun korelason katsaısının herhang br g değerne eşt olduğu hpotez apılarak bu hpotez kontrol edleblr. 3. Korelason katsaısı çn en kuvvetl test aşağıdak şeklde tanımlanan t değşken le apılır. r t r Toplumun korelason katsaısının g=0 olması halnde t nn örnekleme dağılımı s.d.=- olan standart t dağılımıdır. Buna göre g=0 hpotez kolaca kontrol edleblr. Çeştl anlamlılık düzelernde r nn güven aralığının sınırları çn Tablolar oluşturulmuştur. Buna göre seçlen düzende eldek örnekte hesaplanan r nn mutlak değer tablodak değerden küçükse hpotez kabul, aks halde reddedlr.
3..3) Regreson Doğrusu Korelason katsaısı çn hesaplanan r değer rastgele değşkenler arasında anlamlı br doğrusal bağımlılık bulunduğunu gösterorsa n verlen br değer çn nn en tahmnn veren nn e göre regreson doğrusunun denklem olan: b a fadesndek a ve b regreson katsaıları A gözlenmş noktalarının regreson doğrusuna düşe uzaklıkların karelernn toplamını mnmum apacak şeklde belrlenr. Mnmum apılacak fade: b a e ve 0 0, db e d da e d denklemlernn çözümüle regreson katsaıları çn şu fadeler bulunur. _, b a r S S b 3..4) Regresonda Güven Aralığı Verlen denklemlerde hesaplanan a ve b regreson katsaıları toplumun ve parametrelernn tahmnlerdr. Bu tahmnler, rastgele değşkenlern ortak dağılımı normal se tarafsız tahmnlerdr. a ve b nn örnekleme dağılımları doğrudan doğrua blnmemekle beraber normal dağılmış değşkenler halnde + değşkenlernn s.d = - olan Studentt dağılımına udukları blnmektedr. _ ) ( S r b a r ta r b b r tb
Büük örnekler halnde b nn dağılımı (,Se /.S ) normal dağılımına, nın dağılımı da n(,se (+ /S )/) normal dağılımına aklaşır. Bu dağılımları kullanarak regreson katsaılarının güven aralıkları belrleneblr, a nın vea b nn 0 olup olmadıklarına at hpotezler kontrol edleblr. Öte andan verlen br değer regreson denklemle tahmn edlen değernn dağılımı normal olup varansı: S _ S e S şeklnde verlr. S e nn tahmnndek standart hata denr. Yukarıdak denklemde görüleceğ gb bu hata Se le brlkte azalır, azaldıkça artar, - nın artışıla da artar. Buna göre nn tahmnndek standart hata - değerndek en küçük tür, değer den uzaklaştıkça tahmnlern güvenrlğ azalır. 3.) Dogrusal Olmaan Korelason ve Regreson X ve Y rastgele değşkenler arasındak regreson çzgs çn herhang br: f () fades seçleblr. Bu denklemdek parametrelern değerler e f ) ( mnmum apacak şeklde belrlenr. Elde edlen denklemler genellkle lneer olmadıklarından ardaşık aklaşımlarla çözülmeldr. Seçlen regreson fonksonunu ugun br dönüşümle doğrusal regresona çevrmek mümkünse hesaplarda büük br kolalık sağlanmış olur. Örneğn; c.c fades logartmk dönüşümle doğrusal regresona dönüştürüleblr; log log c c log, v a b. u Doğrusal olmaan regresondak bağımlılığın dereces korelason ndslerle ölçülür. nn e göre doğrusal olmaan bağımlılığı çn; S e r S korelason nds kullanılır.
r r ve V f e e S.. ) ( 3.3) Çok Değşkenl Korelason ve Regreson Y rastgele değşkenn k ada daha fazla saıda,,... m, rastgele değşkenlerne göre çok değşkenl regresonu genel olarak: Y=f(,,... m,) fades le verlr. Çok değşkenl regresonun en bast ve en çok kullanılan şekl doğrusal regresonudur. = b 0,+ b + b +...+ b m m Bu fadedek m değşken saısı örnektek eleman saısına göre eter derecede küçük seçlmeldr. Pratkte m değer e mnmum apacak şeklde grafk olarak vea deneme olula belrlenr. 3 değşkenl doğrusal regreson çzgsnn denklem: = b 0,+ b + b şeklndedr. Bu denklemdek regreson katsaıları b b b e 0 mnmum apacak şeklde belrlendğnde şu denklemlere varılır. b b b b 0 b b b b 0, b, b katsaıları ukarıdak denklem takımı çözülerek bulunur. 3 den fazla değşkenl doğrusal regresonlarda da benzer denklemlere varılır. Çok değşkenl doğrusal regresonlarda değşkenler arasındak bağımlılığın derecesn ölçmek çn çeştl parametreler kullanılablr.
. İk değşkenl doğrusal regresondak korelason katsaısına benzer şeklde çok değşkenl korelason katsaısı tanımlanablr. S e R S Burada Se gözlenen değerle regreson denklemnden hesaplanan değerler arasındak farkların varansıdır: S e e ( m ) denklemle tanımlanan R korelason katsaısı gözlenen değerlerle regreson denklemnden hesaplanan değerler arasındak bağımlılığı fade eden boutsuz br saıdır. R nn değer e aklaştıkça regreson denklemnden hesaplanan değerlern güven aralığı küçülür.. Y bağımlı değşkennn X İ bağımsız değşkenlernden brle bağımlılığı, kısm korelason katsaıları le ölçülür. r kısm korelason katsaısını hesaplamak çn önce Y nn bütün X değşkenlerle R İ korelason katsaısı hesaplanır. r şu formülle bulunur. () r R R Ancak () denklemle verlen r lern hesabı vakt alıcıdır. Bunların erne hesabı daha bast olan beta katsaıları kullanılablr. b S S Bu katsaılar kısm korelason katsaılarına akın değerler verrler. Çok değşkenl doğrusal regresonda b regreson katsaılarının örnekleme dağılımlarının standart sapması: Se Sb. fadesle verlr. S ( m )( ) R Burada R, X değşkennn dğer bütün X değşkenlerle çok değşkenl korelason katsaısıdır. Eğer X değşkenler aralarında bağımsız seler R =0 olur. R
büüdükçe S b nn büüdüğüne, an hesaplanan b katsaısının değerne daha az güvenlebleceğne dkkat edlmeldr. Örnek Problem 3): Dcle nehrndek Rezuk akım ölçme stasonu le Snan stasonunda ölçülen ıllık akış hacmler aşağıda verlmştr. Yıl 95 957 958 959 90 R(0 m 3 ) 077 487 70 935 0537 S(0 m 3 ) 49 455 507 5 Yıl 94 95 9 97 98 R(0 m 3 ) 439 309 779 038 748 S(0 m 3 ) - 404 59 538 543 a) İk stasondak akışlar arasındak korelason katsaısını hesaplaınız. b) Hesaplanan korelason katsaısının sıfırdan anlamlı derecede farklı olup olmadığını çeştl testlerle kontrol ednz. c) Hesaplanan korelason katsaısı çn 0,05 anlamlık düzendek güven aralığını belrlenz. d) Snan dak akışların Rezuk dak akışlara göre regreson doğrusunun denklemn elde ednz. Bu denklem Snan dak akışların varansının üzde kaçını zah eder? e) 94 ılında ölçülmemş olan Snan stasonundak ıllık akış hacmn tahmn ednz. Bu değer çn % 90 güven düzendek güven aralığını belrlenz. Çözüm: a) Bu k değşken arasındak doğrusal korelason katsaısının tahmn: r... S. S
Rezuk dak akışlar çn; 370 S 790 Snan dak akışlar çn; 43970 S 780 Rezuk da ve Snan da anı ılda ölçülen akışların çarpımlar toplamı; 3470 8 Yukarıdak denklemde erlerne koarak : 8 3470 5330 43970 r 5790 780 0,88 b) Hesaplanan r değernn anlamlı olup olmadığı çeştl testlerle kontrol edleblr. I-r nn örnekleme dağılımının standart sapması, r Sr 0,88 5 0,037 r 4Sr 0,88 40,037 0,3 0 ve r 4Sr 0,88 40,037,3 0 se korelason katsaısı sıfırdan anlamlı derecede farklıdır. II Hesaplanan r=0,88 değerne karşı gelen Z değer lgl tabloda Z=,35 olarak okunur. 0, Z Z,35 Q Z, 4, 585 5 3 0,89 0,89 Q Z Tablodan normal dağılmış standart değşkenn 4,585 değern aşması olasılığı ~ 0 olarak okunur. Buna göre toplumun korelason katsaısının 0 olduğu hpotez büük br güvenrlkle reddedlr. r 0,88 5 III. t, 30 r 0,88 Serbestlk dereces -=3 çn lgl tablodan 0,0 anlamlılık düzende r nn krtk değer 0,4 olarak okunur. Ya da t=,3 çn t dağılımı tablosunda aşılma olasılığının 0,005 den küçük olduğu görülür.
Bölece bütün testler toplumun korelason katsaısının sıfırdan anlamlı derecede farklı olduğu sonucunu verrler. Buna göre Rezuk akışları le Snan akışları arasında anlamlı br lşk olduğu kabul edleblr. c) g=0,88 çn z =,35 Q z =0,89 0,05 düzendek güven aralığının sınırları: Z,35,9 0,89 0,7 Z,35,9 0,89,89 Tabloda bunlara karşı gelen r değerler: 0,4 0,95 S 780 d) b. r.0,88 0, 33 S 790 a b 43970 0,3333 0 84 0 Buna göre Snan akışlarının () Rezuk akışlarına () göre regreson doğrusu: 840 0, 33 Bu denklem Snan dak akışların varansının 0,88 = %75 n zah eder. e) 94 ılında ölçülmemş olan Snan dak akışın tahmn: 3 480 0,33439 0 440 m Bu tahmnlern varansı se; r S ( ) S S ( 0,88 )(780 ) 5 S 3570 (439 0 330 ) (790 ) Akış tahmn çn %90 güven düzendek güven aralığı: 3 440,5 3570 3870 m
3 440,5 3570 50500 m 4) HİPOTEZ TEST MODELLERİ VE HİPOTEZLERİ KOTROLÜ 4.) Parametrelerle İlgl Hpotezler Br rastgele değşkenn toplumunun tümü gözlenemedğnden bu toplumun olasılık dağılım fonksonu ve bu dağılımın parametrelernn değerler hçbr zaman kesn olarak belrlenemez. Ancak pratkte parametrelern değerler le lgl bazı kararlar vermek gerekr. Bu durumda parametrelern doğruluğu eldek örnekten elde edlen blglerle karşılaştırılarak kontrol edleblr. Söz konusu statstğn örnekleme dağılımı blnorsa değşme bölges kabul bölges ve red bölges olmak üzere ke arılır. Hesaplanan statstk değer kabul bölgesne düşüorsa hpotez kabul edlr, krtk bölgee düşüorsa reddedlr. Kabul ve red bölgelernn belrlemek çn k büüklüğün seçlmes gerekr. Bunların brs hpotezn kontrolünde kullanılacak anlamlılık düzedr. anlamlılık düze =-Pc şeklnde tanımlanır. Yapılan hpotezn (H 0 =sıfır hpotez) dğer br hpoteze (H =karşıt hpotez) göre kontrolünde kullanılacak anlamlılık düze seçldkten sonra bu hpotez şu şeklde kontrol edlr: a) H 0 hpoteznn karşıt hpotez olan H hpotez parametrenn değernn 0 değerne eşt olmadığı şeklnde söz konusu statstğn örnekleme dağılımında aşılması olasılığı / ve -/ olan değerler belrlenr. 0 örnekleme dağılımın ortalaması olarak alınır. Şeklen krtk bölgeler şaretlenr. Eldek örnekten hesaplanan statstk değer krtk bölgeden brne düşüorsa hpotez red, aks halde kabul edlr. Buna k uçlu test denr. b) H hpotez parametrenn değernn 0 dan büük (ada küçük) olduğu şeklnde se söz konusu statstğn örnekleme dağılımında aşılması olasılığı olan değer belrlenr. 0 değer ne örnekleme dağılımının ortalaması olarak alınarak şekl çzlerek bölge şaretlenr. Örnektek hesaplanan statsk krtk bölgee düşüorsa hpotez red, aks halde kabul edlr. Buna br uçlu test denr. İstatstk hpotezlern kontrolü sonunda verlen kararların hatalı olablmesnn kaçınılmaz olduğuna dkkat edlmeldr. Br statstk hpotezn kontrolünde verlen kararla gerçek durum arasındak lşk 4 farklı şeklde alınablr.
KARAR H 0 kabul et H 0 ı reddet H kabul et Gerçek Durum H 0 doğru Doğru karar Yanlış karar (I. tp hata) H 0 anlış Yanlış karar (II. tp hata) Doğru karar Görüldüğü gb br testte verlen kararın anlışlığı şeklde olablmektedr.. I. Tp Hata: Yapılmış olan H 0 hpotez gerçekte doğru olduğu halde testte reddedlmektedr.. II.Tp Hata: Yapılmış olan H 0 hpotez gerçekte anlış olduğu halde testte kabul edlmektedr. Testte seçlen anlamlılık düze anı zamanda I.Tp hata apablmes olasılığını göstermektedr. Hdrolojk ugulamalarda anlamlılık düze genellkle 0,05 ada 0,0 seçlr. II. Tp hata apmak olasılığını azalttıkça (an ı küçülmekte) II. Tp hata apmak olasılığı arttırılmış olacağından stenldğ kadar küçültülemez. 4.) İk Örneğn Homojenlğnn Kontrolü Eldek k arı örnekten hesaplanan anı statğn değerler arasında statstk bakımından anlamlı br fark bulunup bulunmadığı araştırılablr. Bölece bu k örneğn anı toplumdan gelp gelmedkler kontrol edlmş olur. Bu öntem hdrolojde özellkle eldek verlern homojen olup olmadıklarını ve verlerde sstematk hatalar bulunup bulunmadığını kontrolde kullanılır. herhang br nedenle br ölçümler dzsndek verlern homojenlğnn br noktadan başlaarak bozulduğundan şüphe edlorsa bu noktadan önce ve sonrak ölçümlern oluşturduğu k örnek bu şeklde kontrol edlr. Sstematk hataların varlığını araştırmak çn de ölçümler dzs herhang br şeklde k örneğe arılarak kontrol edlr. İk komşu stasonda ölçülen değerlern anı toplumdan geldklernn kabul edlp edlmeeceğ de anı şeklde araştırılır.
4.3) Olasılık Dağılım Fonksonula İlgl Testler Gözlenen br örnekten elde edlen frekans dağılım fonksonunun seçlen br teork o.d.f. e ugunluğunu kontrol etmek çn en çok kullanılan test vardır: a) test: elemanı örneğn m sınıf aralığına arılarak analz sonunda elde edlen sınıf frekansları f (=,,...,m) olsun. Seçlen o.d.f. dan anı sınıf aralıkları çn hesaplanan olasılıklar p; (=,,...m) le gösterlsn. m ( f * = p ) p statstğnn örnekleme dağılımı asmptotk olarak s.d.=m- olan dağılımdır. Buna göre gözlenen frekans dağılımının seçlen teork dağılıma ugun olduğu hpotezn kontrol etmek çn seçlen anlamlılık düzene göre lgl tablodan aşılması olasılığı olan değer okunur. * formulüle hesaplanan değer değer okunur. * formulüle hesaplanan değer den küçükse hpotez kabul edlr. testn ugularken sınıf aralığı saısı ms ve herbr sınıf çn.p5 olmalıdır. Sınıf aralıklarının anı genşlkte seçlmes şart değldr. Bunları p olasılıkları eşt olacak şeklde (p=/m) seçmek ugun olur. X test le br frekans dağılımı çeştl teork dağılımlarla da karşılaştırılablr, en küçük değern veren dağılımın gözleme en ugun dağılım olduğu kabul edlr. b) Smrnov-Kalmogorov test: Eldek örneğn düzenlendğn ve düzenlenmş örnekten frekans dağılımının: Fa( )= şeklnde hesaplandığını düşünel. Seçlen dağılım fonksonu F() le gösterlrse: - D = ma F( )-Fa( ) statstğnn örnekleme dağılımı blnmektedr, bu dağılım göz önüne alınan o.d.f. den bağımsızdır. Bu dağılım blndğne göre seçlen olan değer lgl tablodan okunur. ( örnektek,, eleamn saısına bağlıdır. Formül den hesaplanan değer dan küçükse hpotez kabul, aks halde reddedlr. Bu test küçük örnekler halnde testne göre daha ugundur.
4.4. İk Değşkenn Bağımlılığının Kontrolü testn başka br kullanılış er de k rastgele değşkenn bağımsız olup olmadıklarının araştırılmasıdır. Bu k değşkene at elemanlı br örneğ değşkenlerden brn m, dğern n adet sınıf aralığına aırarak ncelendğmz ve fğ ortak frekans değerlern hesapladığımızı düşünelm. Değşkenlern marjnal dağılımlarının frekansları da f ve fj olarak bulunmuş olsun. Bu durumda: m n ( fj f. fj) * = f fj j. statstğnn dağılımı s.d.= (m-) (n-) olan dağılımıdır. Buna göre eldek örnekten * denklemle hesaplanan statstğnn değer, seçlen olan değernden küçükse bu k değşkenn bağımsız olduğu hpotez kabul, aks halde reddedlr. (probleme geçş...) (. safa) 5. HİDROLOJİK SÜREÇLER VE AKIŞ SERİLERİİ MODELLERİ Brçok hdrolojk değşkenlerde ardışık gözlemlern brbrnden bağımsız olmadıkları görülür. Örneğn, br akarsudak ardışık günlern akışları arasında havanın depolama özellklerne daanan kuvvetl br bağımlılık bulunur. Akışın fazla olduğu br günü ne akışı fazla olan günlern takp ettğ, benzer şeklde akışın az olduğu günlern de br araa kümelendğ görülür. Böle br ç bağımlılığa stokastk bağımlılık denr. Aralarında stokastk bağımlılık bulunan gözlemlerden oluşan br zaman sersne de stokastk süreç denr. Stokastk süreler ncelerken sadece rastgele değşkenn olasılık dağılımını blmek eterl olmaz, arıca değşkenn ç bağımlılığını fade eden br model de kurmak gerekr. Stokastk süreçlern modellern kurulmasındak amaç bu modeller ardımıla söz konusu değşken çn sentetk serler üretlmesdr. Bu serlern ardımıla su kanaklarının planlanması ve şletlmesle lgl çalışmalarda akışlar çn sadece gözlenmş olan örneğ değl, anı toplumdan geldğ kabul edleblecek başka örnekler de göz önüne almak mümkün olablr. Örnek Problem 4) Göta nehrnde 50 ıl bounca apılan ölçmeler sonunda ıllık akışların ortalaması 530 m 3 /s, standart sapması 97 m 3 /s olmak üzere normal dağıldığı
görülmüştür. Yıllık akışlarda sersel bağımlılık mevcut olup r = 0,43 olarak hesaplanmıştır. Bu akışlara at 30 ıllık örneklerden hesaplanacak ortalama ve varans statstkler çn %90 güven düzende güven aralıklarını belrlenz. Çözüm: Sersel bağımlılığın Markov sürec şeklnde olduğunu kabul ederek; Ortalama çn: r e= = 30 r 0,43 = 0,43 Varans çn; r 0,43 e = 30 9 r 0,43 Ortalamanın örnekleme dağılımının varansı: Q 97 e 855 Standart sapması: (855) / = 9 %90 güven düzendek güven aralığı: (530-,59=48, 530+,59=578) Varansın örnekleme dağılımının varansı 4 4 Q 97 = 93887 e 9 Br stokastk sürecn Tam olarak belrleneblmes çn şu özellklern blnmes gerekldr.. Sürecn rastgele değşkennn olasılık: Bu dağılım genel olarak zaman çnde değşeblr, fakat lerde görüleceğ gb dağılımın zamanla değşmemes an sürecn bütün elemanlarının anı toplumdan gelmes halnde nceleme çok daha kola olur.. Sürecn stokastk bağımlılığı: rastgele değşkenn ardışık gözlemlerde alacağı değerlern arasındak lşknn de blnmes gerekr.
Stokastk süreçler ncelenrken ardışık gözlemler arasındak zaman aralığı sonlu alınableceğ gb sonsuz küçük de alınablr, buna göre sırasıla keskl ada sürekl serler söz konusu olur. Hdrolojde daha çok keskl serlerle çalışır. Bunun neden ölçümlern sürekl apılanmadığı hallerde ble hesap kolalığı bakımından çoğunlukla sonlu br zaman aralığı bounca alınan ortalamalarla çalışarak keskl serler kullanılır. 5.) Başlıca Akış Sers Modeller: Hdrolojde stokastk süreçler ncelemenn amacı bu süreçlern apısını fade eden matematk modellern kurulmasıdır. Kurulacak matematk modeln kullanılacağı amaca göre söz konusu sürecn statstk özellklern eterl br şeklde fade edeblmes gerekr.model bu şartı sağlaacak en bast, an parametre saısı en az olan model seçmek ugun olur. Zra parametre saısı arttıkça bunların değerlernn eldek örnekten hesabındak güvenlrlk azalır. Akış serlernn modellernn kurulmasında sırasıla şu çalışmalar apılır.. Model tanımlaması: Eldek verlere en uan model tpnn belrlenmes. Parametrelern tahmn: Seçlen modeln parametrelernn değerlernn eldek verler kullanarak hesaplanması (modeln kalbrasonu) 3. Modeln kontrolü: Bölece tam olarak belrlenmş olan modeln gözlenmş sere ugunluğunu statstk testlerle kontrol ederek modeln kabul edlp edlmeeceğne karar verlr. Hdrolojk süreç modellerne genel olarak bakıldığında bunların k bleşenn toplamı şeklnde olduğu görülür. =d +, Burada d modeln determnstk bleşenn göstermektedr. Bu bleşen sürecn daha öncek onlardan almış olduğu -, - değerlernn br fonksonudur. Bu fonksonun şekl ve modeln parametreler modelden modele değşr. Modeln karmaşıklığına göre ortalama, standart sapma, oto korelason katsaıları gb parametreler modelde görülürler. bleşen se modeln rastgele bleşen olup bağımsız br süreç oluşturur. 5.) Yıllık Akışların Modeller Yıllık akış serlernn bazılarında ç bağımlılık çok küçük olduğundan bunların bağımsız süreç oldukları kabul edleblr. Buna karşılık brçok ıllık akış
sersnde hmal edlmeecek stokastk bağımlılıklar bulunduğu görülmüştür. Bunun neden er altı brktrme haznesnn akışlara katsaısıdır. Bu gb serler çn en çok kullanılan modeller aşağıda ele alınmaktadır. 5..) Lneer otoregresf modeller: m aj. j j Burada İ nc ılda görülen akış, a; modeln parametreler olan otoregresf katsaılar, bağımsız br süreç oluşturan normal dağılmış br değşkendr, m modeln mertebesn göstermektedr. m nc mertebe Markov modelne herhang br ılın akışının ondan öncek m ılın akışlarına bağlı olarak fade edldğ görülür. Morkov modellernn en bast tp. mertebe Markov modeldr. Bu modelde herhang br ılın akışı sadece ondan öncek ılın akışına bağlı olarak; a değşken çn kurulursa. fadesne varılır. Bu model ( ) / Q standart g fadesne varılır. Bu modelde parametre akış sersnn. * mertebe otokorelason katsaısı (g ) olmaktadır. normal dağılmış bağımsız değşken ortalaması =, varansı -g dr. * denklemle verlen Markov sürecnn korelogramı belrlenrse; k g k g Hdrolojde en çok. ve. mertebe Markov modellern kullandığı görülür.. mertebe modeln katsaıları şu denklemlerle hesaplanır. a g g. g g g, a g g 5..) Hareketl ortalama modeller: Bu modellerde, bell saıda bağımsız değşkenlernn ağırlıklı br ortalaması olarak fade edlr. m b j. j0 j
Bu modelde m modeln mertebesn gösterr b j katsaıları le sernn otokorelason katsaıları arasındak bağıntılar belrlenp b j değer burada bulunur. Hareketl ortalama modeln korelogramı: () g k m j0 b. b m j j0 b j j k fades le verlr, bu fadede j+k>m çn b j+k =0 alınacaktır. (k>m çn g k =0) b j =/(m+) olan bast hareketl ortalama modelnde () denklemne göre; g k k km olduğu görülür. m 5..3) ARMA modeller: Lneer otoregresf süreçlerle hareketl ortalamaların karışımı olan bu modellern denklemlern kısa br şeklde azablmek çn önce bazı operatörler tanımlamak gerekr. Ger kadırma operatörü: B m Z Z şeklnde tanımlanır. Bu operatörü kullanarak Z m değşken cnsnden modeln denklem şu şeklde azılablr. () Z Q Q... Qq q olduğuna göre Q(B) operatörü aşağıdak şeklde tanımlanırsa: Q( B) Q B Q B... q Q q B () denklem kısaca Z Q( B) denklem şeklnde azılablr. Lneer otoregresf model çn de benzer şeklde: Z Z Z... Z q q denklem, (B) operatörünü: p ( b) B B... p B şeklnde tanımlaarak kısaca ( B) Z ve ( B) Q( B) () Z () denklem açık şeklde azılacak olursa; Z Z... Z Q...... Q p p q q ()denklemle fade edlen modele ARMA (p, q) model denr. Bu modeln parametrelernn saısı p+q+ dr bunlardan p aded, katsaıları, q aded Q
katsaıları, brs ve brs Mardov (AR) modeller elde edlr. Q dr. p=0 çn hareketl ortalama (A), q=0 çn Yıllık akışlar çn en çok kullanılan ARMA (.) modelnn denklem Z Z Q şeklndedr. Bu modeln korelogramı şu şekldedr. g ( Q )( Q Q Q ), g k g k (k) Eldek örnekten hesaplanan r ve r değerlern ukarıdak denklemde g ve g erne koarak ve Q parametreler hesaplanablr. Br sürecn kısm korelason katsaıları se şu şeklde tanımlanırlar: r, r l l j l j l l, j. r l j l, j. r j Gerek otokorelason fonksonu, gerekse kısm otokorelason fonksonu büük k değerler çn de sıfıra aklaşmıorsa süreç hem hareketl ortalama, hem otoregresf bleşenler olan br ARMA (p, q) model le temsl edleblr. 5.3) Alık Akışların Modeller 5.3.) Korelogramın perodklğn korumaan modeller: Sürecn otokorelason katsaılarının perodklğ hmal edleblrse, Yan bu katsaıların ıl bounca adan aa değşmep sabt br değerde kaldıkları kabul edlrse, sürec stasoner hale getrmek çn (*) denklemle verlen dönüşümü ugulamak eterl olur. (*) T T T,, T=,,..., S T Burada T ve s T alık akışların Fovrer açılımıla belrlenen perodk ortalama ve standart sapmalarını göstermektedr.
5.3.) Korelason perodklğn koruan modeller: Otokorelason katsaılarının ıl bounca değşmnn de modelde korunması stenorsa şu k oldan brne gdleblr. a) (*) denklemle tanımlanan değşken çn kurulan modeldek katsaılar ıl bounca perodk olarak değştrlr.. mertebe Markov model bu durumda: g, T, T., T şekln alır. G,T ılın T ve T- nc alarındak akışlar arasındak. mertebeden otokorelason katsaısının Fovrer açılımıla belrlenen perodk bleşendr. b) Alık akışlar çn çok kullanılan br model tp de parametreler ıl bounca değşen. mertebe Markov modeldr., j j b j (, j j ) s j ( j j ) Bu denklemde nds adan aa sürekl olarak değşr. j ve s j ılın j nc akışlarının ortalaması ve standart sapmasıdır. b j ve r j ılın j ve j- nc alarındak akışlar arsındak regreson ve korelason katsaıları olup b j şu şeklde hesaplanır. b j s s j j r j Burada r j nn j nc mertebeden otokorelason katsaısını değl, ılın j ve j- nc alarındak akışlar arasındak. mertebeden korelason katsaısını gösterdğne dkkat edlmeldr. Alık akışlar türetlrken br andan ıllık akışların statstk özellklernn de korunması stenlrse şu şeklde hareket edleblr. Önce ıllık akışlar çn br model kurulup parametreler belrlenerek ıllık akışlar sers türetlr. Sonra alık akışlar çn kurulan modele göre her br ılın alık akışları türetlr, ancak türetlen bu alık akışlar toplamları o ılın türetlen ıllık akışına eşt olacak şeklde bell br oranda arttırılır vea azaltılır. Bölece gerek ıllık gerekse alık akışların statstk değerler korunmuş olur. Takvm ılı erne su ılıla çalışmak ugundur.
5.3.3) ARIMA modeller: ARMA modeller ve bunların stasoner olmaan süreçler çn genelleştrlmş şekller olan ARIMA modeller de alık akışlar çn kullanılablr. a) ARMA modellern alık akışlar çn kullanırken önce; T, T:,,..., denklemle verlen dönüşüm apılır. T T, st Bölece elde edlen ve stasoner olduğu kabul edlen sürec çn br ARMA model kullanılır. b) Önce ardışık ıllarda anı aların akışlarının farkı alınarak en br değşken tanımlanır. W s Alık akışlar çn s= dr W sürec ortalaması bakımından stasoner hale getrlmş olup şöle br denklemle fade edleblr. s ( B ) W ( B s ) çn benzer denklem azılırsa ( B) Q( B) Yukarıdak denklem br araa getrlerek; s ( B) ( B ) W Q( B) ( B ) ARIMA model olarak model olarak blnen bu süreçlern alık akışlar çn kullanılablecek en bast şekl ve Q ı. mertebeden alıp dğer operatörler kullanmadan elde edlr. ( B) W ( B ) Bu denklem açık şeklde azılırsa; W W Bu modeln, ve Q E olmak üzere sadece 3 parametres vardır. Modeln korelogramı: g g k n k k
g k Q g k k n şeklndedr. Qw Modeln parametreler şu denklemlerden elde edlrler. g g Q Qw 3 Q Q Qw
Örnek Problem 5) (m 3 /sn) Br akarsuun 5 ıl bounca ölçülen ıllık debler aşağıda gösterlmştr. 398 49 90 437 57 40 88 50 53 490 437 38 5 548 94 7 79 73 5 575 45 50 480 44 437 35 40 444 590 489 533 753 57 9 737 Bu akışların matematk modeln kurunuz. Çözüm: Verlen değerlerden şu statstkler hesaplanır. 544m 3 / sn S 30m 3 / sn r 0,535 r 0,43 Değşkenn standart şekl; 544 şeklnde tanımlanarak. mertebeden Markov model; S 30 0,535 şeklnde kurulur., varansı -0,535 =0,74 olan normal değşkendr.. mertebe Markov modelnn katsaıları hesaplanır. a a 0,535 0,5350,43 0,535 0,43 0,535 0,535 0,48 0,403
0,403 0, 48 nn varansı: 0,535 0,43 0,5350,43 0,7 0,535. ve. mertebe Markov modellernden brnn seçm hakkında karar verrken lk olarak kurulan modeln determnstk kısmının değşken varansının ne kadarını açıkladığına bakılablr.. mertebe model çn bu r =0,535 =0,8,. mertebe model çn -0,7=0,39 Bu bakımdan. mertebe modelnn üstün olduğu görülür. ARMA (.) model Z 544 değşken çn Z Z Q şeklnde azılablr. ve Q parametrelernn tahmn r r Q Q Q r Q denklemlernden r =0,535 ve r =0,43 koarak =0,85 Q =0,40 olarak bulunur. Sonuç olarak; Z 0,85Z 0, 40