İçindekiler 1. Küme Kavramı...6-7 2. Kümelerin Gösterimi...8-15 3. Sonlu ve Sonsuz Kümeler... 16-17 4. lt Küme Kavramı... 18-27 5. Denk ve şit Kümeler... 28-29 6. Kümelerde irleşim ve Kesişim... 31-41 7. vrensel Küme ve ir Kümenin Tümleyeni... 42-49 8. İki Kümenin Farkı... 50-59 9. Küme Problemleri... 62-71
KÜMLR Kümeler Küme matematikteki tanımsız terimlerden biridir. Genel olarak küme için iyi tanımlanmış nesneler topluluğu denebilir. Küme o- luşturulabilmesi için verilen ifadenin net ve anlaşılır olması gerekir. Kümenin tanımı ile ilgili aşağıda verdiğimiz kavrama sorularını lütfen dikkatle inceleyiniz. "ir yıl içindeki yaz ayları" ifadesinin küme belirtip belirtmediğini bulunuz. "ir yıl içindeki yaz ayları" anlaşılır ve net bir ifade olduğu için küme belirtir. Kümenin elemanları Haziran, Temmuz ve ğustostur. evap: Kümedir "Son zamanlardaki önemli günler" ifadesinin küme belirtip belirtmediğini bulunuz. "Son zamanlardaki önemli günler" ifadesindeki son zamanlar netlik içermemektedir. undan dolayı ifade küme değildir. evap: Küme değil "2 den küçük asal sayılar" ifadesinin küme belirtip belirtmediğini bulunuz. "2 den küçük asal sayılar" ifadesi, 2 den küçük bir asal sayı olmamasına rağmen net ve anlaşılır olduğu için kümedir. ncak bu kümenin elemanı yoktur. evap: Kümedir 6
soru 1 şağıdaki ifadelerden hangisi küme belirtir? ) "Sınıfımızdaki akıllı öğrenciler" ) "azı futbolcular" ) "20 den küçük doğal sayılar" D) "Sınavdaki zor sorular" ) "Mağazadaki büyük tişörtler" soru 5 şağıdaki ifadelerden hangisi küme belirtmez? ) "Matematikten yüksek not alanlar" ) "Kimyadan 60 alan sınıftaki öğrenciler" ) "Fizikten 70 in üzerinde alan okuldaki öğrenciler" D) "Tarihten YGS sınavında 10 net yapan kişiler" ) "Türkiye birincisi 1. lig futbol takımı" soru 2 şağıdaki ifadelerden hangisi küme belirtir? soru 6 şağıdaki ifadelerden hangisi küme belirtmez? ) "Okuldaki gözlüklü öğrenciler" ) "Türkiye'nin bazı yöreleri" ) "Güzel Mobilyalar" D) "azı günler" ) "Lezzetli meyveler" soru 3 şağıdaki ifadelerden hangisi küme belirtir? ) "Yüksek dağlar" ) "Derin göller" ) "Yüksekliği 45 kattan fazla olan binalar" D) "Soğuk ülkeler" ) "Saçları uzun kız öğrenciler" soru 4 şağıdaki ifadelerden hangisi küme belirtir? ) "Kalın kitaplar" ) "Yeşile benzer kazaklar" ) "Televizyondaki güzel programlar" D) "İnce defterler" ) "Sınıfımızdaki erkek öğrenciler" 7KRTZYN ĞİTİM YYINLRI ) "2 ye tam bölünebilen tek doğal sayılar" ) "100 den küçük 3 basamaklı doğal sayılar" ) "0 dan küçük pozitif rasyonel sayılar" D) "2 den küçük asal sayılar" ) "50 den büyük, bazı sayılar" soru 7 şağıdaki ifadelerden hangisi küme belirtmez? ) "8 ile 10 arasındaki çift doğal sayılar" ) "Matematik" kelimesindeki "z" harfleri ) "Negatif doğal sayılar" D) "üyük ağaçlar" ) "Karesi 4 olan tam sayılar" soru 8 şağıdaki ifadelerden hangisi küme belirtmez? ) "Karekökü 3 olan tam sayılar" ) "50 den büyük bazı doğal sayılar" ) "1 ile 100 arasındaki çift doğal sayılar" D) "100 ile 200 arasındaki asal sayılar" ) "Küpü 27 olan tam sayılar" 1 2 3 4 5 6 7 D 8
Kümeler büyük harflerle isimlendirilir.,,,... kümeleri gibi. Kümeyi oluşturan nesnelere kümenin elemanları denir ve her eleman küme içerisine bir kez yazılır. a elemanı K kümesinin elemanı ise a K biçiminde gösterilir. a elemanı K kümesinin elemanı değilse a K biçiminde gösterilir. Kümelerin gösteriliş biçimleri vardır. Kümenin elemanlarının aralarına virgül konularak "{ }" parantezi içerisine yazılmasına Liste yöntemi denir. ir haftanın günleri kümesini liste biçiminde gösteriniz. ir haftanın günlerini aralarına virgül koyarak "{ }" parantezi içerisine yazarız. Kümeye H kümesi diyelim. H={Pazartesi, Salı, Çarşamba, Perşembe, uma, umartesi, Pazar} evap: {Pazartesi, Salı, Çarşamba, Perşembe, uma,umartesi, Pazar} 2 ile 10 arasındaki tek sayıların kümesini liste biçiminde gösteriniz. 2 ile 10 arasındaki tek sayıların oluşturduğu kümeye T kümesi diyelim. T={3, 5, 7, 9} evap: {3, 5, 7, 9} ={1, 2, {1, 2}, 3} olduğuna göre, I) 1 II) 2 III) {1, 2} IV) {1, 2, 3} V) {3} ifadelerinden hangisi yada hangileri doğrudur bulunuz. ={1, 2, {1, 2}, 3} I) 1, kümesinin içinde bulunduğundan 1 ifadesi doğrudur. II) 2, kümesinin içinde bulunduğundan 2 ifadesi doğrudur. III) {1, 2}, kümesinin içinde bulunduğundan {1, 2} ifadesi doğrudur. IV) {1, 2, 3}, kümesinin içinde olmadığından {1, 2, 3} ifadesi yanlıştır. V) {3}, kümesinin içinde bulunmadığından {3} ifadesi yanlıştır. Doğrusu 3 olmalıydı. ={1, 2, 3, 3, 4, 5} ifadesinin küme belirtip belirtmediğini bulunuz. 8 ={1, 2, 3, 3, 4, 5} kümesinde 3 elemanı iki defa yazıldığından küme değildir. evap: Küme değil
soru 1 13 den küçük asal sayılar kümesi olan aşağıdakilerden hangisidir? soru 5 K={a, b, {a, b, c}} olduğuna göre, I) a K II) b K III) {a, b} K ) ={1, 2, 3, 5, 7, 9, 11} IV) c K V) {a, b, c} K ) ={2, 3, 5, 7, 9, 11} ) ={2, 3, 5, 7, 9} D) ={2, 3, 5, 7, 11} ) ={3, 5, 7, 11} ifadelerinden hangisi yada hangileri yanlıştır? ) Yalnız IV ) IV ve V ) Yalnız III D) I ve II ) II ve III soru 2 3 e tam bölünebilen 10 dan küçük doğal sayılar kümesi olan aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 M={1, 2, 3, {1, 3}, {1, 2}} olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur? ) ={0, 3, 6, 9} ) ={3, 6, 9, 12} ) ={3, 6, 9} D) ={3, 6} ) ={6, 9} ) {1} M ) {2} M ) {3} M D) {1, 2} M ) {1, 2, 3} M soru 3 Türkiye'de kıyısı bulunan denizler kümesi olan D aşağıdakilerden hangisidir? ) D={Marmara} ) D={Marmara, kdeniz} ) D={Marmara, Karadeniz, kdeniz} D) D={ge, Marmara} ) D={ge, kdeniz, Karadeniz, Marmara} soru 4 Sonbahar aylarının kümesi S aşağıdakilerden hangisidir? ) S={ralık, Ocak, Şubat} ) S={kim, ylül, Kasım} ) S={Temmuz, ğustos, ylül} D) S={ğustos, ylül, kim} ) S={kim, Kasım, ralık} 9KRTZYN ĞİTİM YYINLRI soru 7 şağıdakilerden hangisi küme belirtmez? ) K={y, i, g, i, t} ) L={a, l, i} ) M={m, e, h, t} D) N={1, 2, 3, 4} ) P={1, {1}, 2, {1, 2}} soru 8 şağıdakilerden hangisi küme belirtmez? ) ={s, n, H,l} ) ={a, {a}, {b}, {b}} ) ={1, 3, {1, 3}} D) D={k, a, h, i, n} ) ={5, 7, 9, {7, 9}} 1 D 2 3 4 5 6 D 7 8
Herhangi bir kümesini oluşturan nesnelerin sayısına kümenin eleman sayısı denir ve s() ile gösterilir. ={a, b, c, d, e} kümesinin eleman sayısını bulunuz. kümesinin elemanları a, b, c, d ve e olduğundan, s()=5 dir. evap: s()=5 M={1, 2, 3, {1, 2}, {1, 2, 3}} kümesinin eleman sayısını bulunuz. M kümesinin elemanları 1, 2, 3, {1, 2} ve {1, 2, 3} olduğundan s(m)=5 dir. evap: s(m)=5 MTMTİK kelimesinin harflerinden oluşan kümesinin ve eleman sayısını bulunuz. MTMTİK kelimesinde, M harfi 2 defa, harfi 2 defa, T harfi 2 defa olmasına rağmen küme içerisine bir eleman bir defa yazılabileceğinden, ={M,, T,, İ, K} biçimindedir. s()=6 dır. evap: s()=6 MRMR kelimesinin harflerinden oluşan kümesinin eleman sayısını bulunuz. MRMR kelimesinde, M harfi 2 defa, harfi 3 defa, R harfi 2 defa olmasına rağmen küme içerisine bir eleman bir defa yazılabileceğinden, ={M,, R} ve s()=3 dir. evap: s()=3 10
soru 1 ={a, s, b, n, c, H} olduğuna göre, s() kaçtır? soru 5 K={a, b, {a}, {a, b}, c} olduğuna göre, s(k) kaçtır? ) 3 ) 4 ) 5 D) 6 ) 7 ) 3 ) 4 ) 5 D) 6 ) 7 soru 2 s(m)=4 olduğuna göre, M kümesi aşağıdakilerden hangisi olabilir? soru 6 KRMN kelimesinin harflerinden oluşan küme aşağıdakilerden hangisidir? ) M={1, 3, {1, 3}, {1, 2, 3}} ) M={1, 2, {1, 2}} ) M={{1, 2, 3,4}} D) M={a, b, c} ) M={a, b, {a, b}} ) {KRMN} ) {K,, R,, M, N} ) {K,, R, M, } D) {K, R, M, N} ) {K, R, M, N, } soru 3 KRTZYN ĞİTİM YYINLRI soru 7 ={3, 5, {3, 5}, {3, 4, 5}} olduğuna göre, s() kaçtır? ) 3 ) 4 ) 5 D) 6 ) 7 PPTY kelimesinin harflerinden oluşan küme aşağıdakilerden hangisidir? ) {P,, P, T, Y} ) {P,, T, Y} ) {P,, T, } D) {PTY} ) {PPTY} soru 4 ={ümran} olduğuna göre, s() kaçtır? ) 1 ) 2 ) 3 D) 4 ) 5 soru 8 11223334 sayısının rakamlarından oluşan kümenin eleman sayısı kaçtır? ) 1 ) 2 ) 3 D) 4 ) 5 1 D 2 3 4 5 6 7 8 D 11
Kümenin elemanlarının kapalı bir eğri içerisinde her birinin yanına nokta konularak gösterilmesine venn şeması yöntemi denir. Kapalı eğrinin daire olması şart değildir, herhangi bir kapalı şekil ile küme gösterilebilir. ={a, b, c, d} şeklinde liste biçiminde verilmiş kümesini venn şeması ile gösteriniz. ={a, b, c, d} olduğundan,.a.b.c.d biçiminde venn şeması ile gösterilebilir. 9 ile 17 arasındaki çift sayıların kümesi olan N kümesini venn şeması ile gösteriniz. 9 ile 17 arasındaki çift sayılar, 10, 12, 14 ve 16 olduğundan, N.10.12.14.16 biçiminde venn şeması ile gösterilebilir..1 kümesinin elemanları 1, 2, 3, 4 ve 5 dir. ={1, 2, 3, 4, 5} olarak liste biçiminde ifade edilir..4.2.3.5 olduğuna göre, kümesinin elemanlarını liste biçiminde yazınız. K.a.b.c.e.d Yukarıda verilen K kümesine göre, K kümesinin elemanları a, b, c, d ve e dir. I) a K doğru II) f K doğru III) K={a, b, c, d, e} doğru IV) s(k)=5 doğru I) a K II) f K III) K={a, b, c, d, e} IV) s(k)=5 ifadelerinden hangileri doğrudur, bulunuz. 12
soru 1 soru 4 ={1, 2, 3, 4} olduğuna göre, kümesinin venn şeması ile gösterilişi aşağıdakilerden hangisidir? N.1.a ).1.2, 3.4 ).1, 2.3.4.b.c.2.e ).1.2.4.3 D).1.2.3, 4 Yukarıda venn şeması ile verilen N kümesi için aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? ) 1 N ) 2 N ) {1, 2} N ).1, 2.3, 4 D) c N ) s(n)=6 soru 2 10 dan büyük negatif tam sayıların kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru 5 s(m)=4 ve {a} M olduğuna göre, M kümesi aşağıdakilerden hangisi olabilir? ) ). 11. 12. 13. 14. 15. 3. 1. 2. 5. 9 ). 9. 6. 8. 5. 7. 4. 3. 2. 1. 5. 1. 3 D). 7. 9 KRTZYN ĞİTİM YYINLRI M.a.b ).c.d M.{a}.b ).c.7 ) M.{a, b, c, d} ) D) M.a.b.1.1 M.{a}.{c, d}.{b} ). 6. 2. 8. 4 soru 3 soru 6 N.a.b.c.d.e.f.1.11.a.b.111 Yukarıda venn şeması ile verilen kümesinin liste biçiminde gösterilişi aşağıdakilerden hangisidir? ) ={a, b, c} ) ={a, b, c, d, f} ) ={abcdef} D) ={a, b, c, d, e, f} Yukarıda venn şeması ile verilen kümesi için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur? ) s()=5 ) s()=3 ) s()=2 D) 11 ) 111 ) ={ab, c, d, e, f} 1 2 3 D 4 5 6 13
Nesnelerin ortak özelliklerini belirterek kümenin elemanlarını belirlemeye ortak özellik yöntemi denir. Örneğin; ={değişken ismi değişkenin özelliği} öyleki işareti Şunuda belirtelim ki bazen " " işareti yerine ":" da kullanılabilir. Haftanın p harfi ile başlayan günlerinin kümesini ortak özellik yöntemi ile ifade ediniz. ={x : x haftanın p harfi ile başlayan günleri} veya ={x x haftanın p harfi ile başlayan günleri} Yukarıdaki ifadenin açılımı "x öyleki x haftanın p harfi ile başlayan günleridir." 3 ile 3 arasındaki tam sayılar kümesini ortak özellik yöntemi ve liste yöntemi ile yazınız. Ortak özellik yöntemi ile; ={x : 3 < x < 3, x Z} 14243 123 istenen şart değişkenin hangi değişken sayı kümesine öyleki ait olduğu işareti Liste yöntemi ile; ={ 2, 1, 0, 1, 2} ={1, 3, 5, 7, 9} kümesini ortak özellik yöntemi ile gösteriniz. 1, 3, 5, 7 ve 9 sayıları 0 ile 10 arasındaki tek sayılardır. ={x 0 < x < 10, x=2n 1, n N + } 14243 123 123 değişken değişkenin değişkenin hangi sayı aralığı sağladığı kümesine şart ait olduğu M={x : 1 < x < 20, x=4k, k Z} ortak özellik yöntemi ile verilen M kümesinin elemanlarını liste yöntemi ile yazınız. M={x : 1 < x < 20, x=4k, k Z} ifadesinin açılımı 1 ile 20 arasındaki 4 ün katı olan tam sayılardır. M={4, 8, 12, 16} 14
soru 1 20 den küçük çift doğal sayılar kümesinin ortak özellik yöntemi ile gösterilişi aşağıdakilerden hangisidir? ) ={x : x < 20} ) ={x : x < 20, x N} ) ={x : x < 20, x=2k} D) ={x : 0 x < 20, x=2k} ) ={x : 0 x < 20, x =2k, k N} soru 5 K={1, 2, 3, 4} kümesinin ortak özellik yöntemi ile gösterilişi aşağıdakilerden hangisi olabilir? ) K={x : 1 < x < 4, x N} ) K={x : x < 4, x N} ) K={x : 1 x 4, x=2k, k N} D) K={x : x 2 < 17, x N + } ) K={x : 1 < x < 5, x =3k, k N} soru 2 soru 6 1 ile 36 arasındaki 5 in katı olan doğal sayılar kümesinin ortak özellik yöntemi ile gösterilişi aşağıdakilerden hangisidir? ) ={x 1 < x < 36, x N} ) ={x 1 < x < 36, x=5n, n N} ) ={x 1 < x < 36, x=5n} D) ={x 1 x < 36} ) ={x 1 < x 36} soru 3 Karesi 20 den küçük tam sayılar kümesinin ortak özellik yöntemi ile gösterilişi aşağıdakilerden hangisidir? KRTZYN ĞİTİM YYINLRI ={x : 3 x 10, x=2n, n N} kümesinin elemanlarının liste biçiminde gösterilişi aşağıdakilerden hangisidir? ) ={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ) ={3, 5, 7, 9} ) ={4, 6, 8} D) ={4, 5, 6, 8, 10} ) ={4, 6, 8, 10} soru 7 ={x : 1 < x 2 < 10, x N} kümesinin elemanlarının liste biçiminde gösterilişi aşağıdakilerden hangisidir? ) ={x x < 20, x 2 Z} ) ={x x 2 < 20 2, x Z} ) ={x x 2 < 20, x Z} D) ={x 20 < x 2, x Z} ) ={x 20 < x, x Z} ) ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ) ={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ) ={2, 3} D) ={4, 5, 6} ) ={9, 10} soru 4 ={3, 6, 9, 12} kümesinin ortak özellik yöntemi ile gösterilişi aşağıdakilerden hangisi olabilir? ) ={x x, 1 ile 13 arasındaki 3 ün katı tam sayılar} ) ={x x, 13 den küçük tek sayılar} ) ={x x, 13 den küçük çift sayılar} D) ={x x, 13 den küçük tam sayılar} ) ={x x, 1 ile 13 arasındaki tam sayılar} soru 8 M={x : x < 5, x Z} kümesinin elemanlarının liste biçiminde gösterilişi aşağıdakilerden hangisidir? ) M={ 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4} ) M={ 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4} ) M={ 4, 3, 2, 1, 0} D) M={0, 1, 2, 3, 4} ) M={ 2, 1, 0, 1, 2} 1 2 3 4 5 D 6 7 8 15
lemanları sonlu sayıda olup sayılabilen kümelere sonlu kümeler, elemanları sonsuz sayıda olan kümelere sonsuz kümeler denir. Örneğin; ={1, 2, 3, 4} kümesi sonlu kümedir ve s()=4 dir. ={1, 2, 3, 4,...} kümesi sonsuz kümedir. Doğal sayılar, Tam sayılar, Rasyonel sayılar kümeleri sonsuz kümelere birer örnektir. Hiç bir elemanı olmayan kümeye ise boş küme denir ve "{ }" veya sembolü ile gösterilir. Uyarı ={ } kümesi boş küme değildir. lemanı sembolü olan bir kümedir ve s()=1 dir. ={x : x, 8 den küçük doğal sayılar} kümesinin sonlu veya sonsuz küme olup olmadığını bulunuz. ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ve s()=8 olduğundan, kümesi sonlu kümedir. evap: Sonlu küme ={x : x, 5 den büyük çift doğal sayılar} kümesinin sonlu veya sonsuz küme olup olmadığını bulunuz. ={6, 8, 10, 12,...} olduğundan eleman sayısı sonsuzdur. kümesi sonsuz kümedir. evap: Sonsuz küme ={x : karesi negatif olan tam sayılar} kümesinin elemanlarını bulunuz. Karesi negatif olan bir tam sayı olmadığından kümesinin elemanı yoktur. evap: oş küme ={x : x > 10} kümesinin elemanlarını bulunuz. bir küme değildir. Çünkü x in hangi sayı kümesine ait olduğu verilmediğinden belirsizlik vardır. Uyarı oş küme, küme olma şartlarını sağlamaktadır. 16
soru 1 şağıdaki kümelerden hangisi sonlu kümedir? ) M={10'dan küçük tam sayılar} ) M={Karesi pozitif olan tam sayılar} ) M={Tek basamaklı doğal sayılar} D) M={Tek doğal sayılar} ) M={Çift doğal sayılar} soru 5 şağıdaki kümelerden hangisi boş kümedir? ) ={x : x, 1 den büyük doğal sayılar} ) ={x : x, 5 in katı asal sayılar} ) ={x : x, asal çift sayılar} D) ={x : x, tek basamaklı negatif tam sayılar} ) ={x : x, Karesi 100 den büyük tek basamaklı doğal sayılar} soru 2 şağıdaki kümelerden hangisi sonlu kümedir? ) K={x : x > 5, x N} ) K={x : x < 7, x Z} ) K={x : x 2 > 5, x Z} soru 6 şağıdaki kümelerden hangisi boş kümedir? ) ={0} ) = ) ={ } D) ={1} ) ={2} D) K={x : 1 < x 2 < 100, x Z} ) K={x : x 2 > 1, x Z} soru 3 şağıdaki kümelerden hangisi sonsuz kümedir? KRTZYN ĞİTİM YYINLRI soru 7 şağıdaki kümelerden hangisi boş kümedir? ) L={0 dan küçük tam sayılar} ) L={Karesi 25 den küçük doğal sayılar} ) L={50 den küçük çift doğal sayılar} D) L={100 den küçük 3 basamaklı sayılar} ) L={Küpü 8 den küçük doğal sayılar} ) ={0, 1, 2,...} ) ={ } ) ={..., 1, 0} D) ={..., 1, 0, 1,...} ) ={ } soru 4 şağıdaki kümelerden hangisi sonsuz kümedir? ) N={x : x < 10, x N} ) N={x : 1 < x < 100, x N} ) N={x : x 50, x=3k, k N} D) N={x : x > 20, x N} ) N={x : 10 < x < 20, x Z} soru 8 şağıdaki kümelerden hangisi boş kümedir? ) ={x x 2 > 20, x N} ) ={x x 2 < 1, x N} ) ={x x 2 +1=0, x N} D) ={x x 2 +1=1, x N} ) ={x x 2 =0, x N} 1 2 D 3 4 D 5 6 7 8 17
lt Küme kümesine ait her eleman kümesininde elemanı ise " kümesi kümesinin alt kümesidir" veya " kümesi kümesini kapsar" denir. kümesi kümesini kapsar ise veya biçiminde gösterilir. kümesi kümesini kapsamaz ise veya biçiminde gösterilir. " alt küme " veya " " ={1, 2, 3} ve ={4, 5, 6, 7} olduğuna göre, ifadesi doğrumudur araştırınız. kümesinin eleman sayısı kümesinin eleman sayısından büyük olmasına rağmen, kümesinin hiçbir elemanı kümesine ait olmadığından kümesi kümesini kapsamaz ifade yanlıştır. evap: Yanlış K={a, b, c}, M={a, b, d, e} olduğuna göre, M K ifadesi doğrumudur araştırınız. K={a, b, c}, M={a, b, d, e} a K ve a M b K ve b M c K ve c M olduğundan M K dır. evap: Yanlış P={x : x, 10 dan küçük doğal sayılar} S={x : x, 1 basamaklı tek doğal sayılar} olduğuna göre, P ve S kümeleri arasındaki ilişkiyi bulunuz. P={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ve S={1, 3, 5, 7, 9} dir. S kümesine ait tüm elemanlar P kümesinede ait olduğundan P S dir. evap: P S ={1, 2, {3}, {4, 5}} olduğuna göre, I) 1 II) 1 III) {2} IV) {3} V) {{4, 5}} ifadelerinden hangisi yada hangileri doğrudur bulunuz. kümesinin elemanları 1, 2, {3}, {4, 5} dir. I) 1 ifadesi doğrudur. II) 1 ifadesi yanlıştır. Kümeler ancak kümeleri kapsar. III) {2} ifadesi doğrudur. kümesinin "2" elemanı vardır. IV) {3} ifadesi doğrudur. V) {{4, 5}} ifadesi doğrudur. kümesinin "{4, 5}" elemanı vardır. 18
soru 1 ={a, b, c, d} olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kümesini kapsar? ) K={a, b, c, e} ) K={a, c, d, f} ) K={a, b, d, f} D) { } ) K={a, b, c, d, e} soru 5 ={x 1 < x < 15, x N} olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kümesini kapsar? ) ={x 5 < x < 20, x N} ) ={x x < 14, x N} ) ={x x < 20, x N} D) ={x 10 < x < 100, x N} ) ={x 50 < x < 75, x N} soru 2 T={1, 2, 3, 7, 9} ve M={1, 2, 3, 9} olduğuna göre, M T olabilmesi için M kümesine aşağıdaki elemanlardan hangisi eklenmelidir? ) 5 ) 6 ) 7 D) 8 ) 9 soru 6 ={x : 2 < x < 15, k N} olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kümesinin bir alt kümesidir? ) K={x : 5 < x < 10, x=2k, k N} ) K={x : 2 < x < 20, x=2k, k N} ) K={x : 10 < x < 16, x N} soru 3 KRTZYN ĞİTİM YYINLRI D) K={x : 0 < x < 14, x N} ) K={x : 1 < x < 15, x N} soru 7 K={1, 3, 5, 7, 9} kümesi aşağıdakilerden hangisinin bir alt kümesidir? ={a, b, c, d, e} olduğuna göre, I) a II) {a, b} III) {a, b} ) F={1, 3, 5, 7, 10, 11} ) F={1, 3, 7, 9, 11, 13} ) F={1, 5, 7, 9, 10, 12} D) F={1, 2, 3, 5, 7, 9} IV) {d, e} ifadelerinden hangisi yanlıştır? V) {a, b, c, d} ) F={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ) I ) II ) III D) IV ) V soru 4 R={a, e, f} olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi R kümesinin bir alt kümesidir? ) H={a, f} ) H={a, c} ) H={e, g} D) H={f, n} ) H={a, e, h} soru 8 M={1, {1, 2, 3}, 3, {4}} olduğuna göre, I) 1 M II) {1, 2, 3} M III) 3 M IV) {4} M V) {3, {4}} ifadelerinden hangisi doğrudur? ) I ) II ) III D) IV ) V 1 2 3 D 4 5 6 7 8 19
={1, 2, 3, 4, 5} ve ={3, 4} olduğuna göre, ve kümelerini aynı venn şeması üzerinde gösteriniz..1.2.3.4.5 ={a, b, c, d, e}, ={a, b, c} ve ={a, b} olduğuna göre,, ve kümelerini aynı venn şeması üzerinde gösteriniz..a.b.c.d.e.1.2.3.4.5 kümesi kümesini kapsadığından, kümesine ait tüm elemanlar kümesinede aittir..1.1.5.3.3.5.2.4.2.4 Yukarıda verilen venn şemasına göre ve kümelerini liste biçiminde yazınız. kümesine ait bölge kümesine ait bölge ={1, 2, 3, 4, 5} ve ={2, 3, 4} dir. K L M.a.b.c K L M.a.b.c K L M.a.b.c Yukarıda verilen venn şemasına göre K, L ve M kümelerini liste biçiminde yazınız. K kümesine ait bölge K={a, b, c} L kümesine ait bölge L={a, b} K L M.a.b.c M kümesine ait bölge M={a} 20
soru 1 ={a, b, c} ve ={b, c} olduğuna göre, ve kümelerini venn şeması ile gösterilişi aşağıdakilerden hangisidir?.a.a.b ) ).b.c.c.b.a ).a D).b.c.c.a ).c.b soru 4.1.2.5.3.4 olduğuna göre,, ve kümelerinin liste biçiminde yazılışı aşağıdakilerden hangisidir? ) ={1, 2}, ={3, 4}, ={5} ) ={1, 2}, ={3, 4, 5}, ={5} ) ={1, 2, 3, 4, 5}, ={3, 4, 5}, ={5} D) ={1, 2, 3, 4, 5}, ={3, 4}, ={5} ) ={1, 2, 3, 4, 5}, ={3}, ={4, 5} soru 2 K={1, 2, 3, 4}, M={2, 3, 4} ve N={3} olduğuna göre, K, M ve N kümelerinin venn şeması ile gösterilişi aşağıdakilerden hangisidir? K M ) N.1.4.2.3 K.1 M.2 ) N.3.4 soru 3 K.1 M.2 ) N.3.c.a.d K.1.2 M.3 ) N.4 K.1 M.3 D) N.2 olduğuna göre, ve kümelerinin liste biçiminde gösterilişi aşağıdakilerden hangisidir?.4.b.e.f.4 KRTZYN ĞİTİM YYINLRI soru 5 ={x : 1 < x < 10, x N}, ={x : 1 < x < 7, x N} ve ={x : 1 < x < 4, x N} olduğuna göre,, ve kümelerinin venn şeması ile gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? ).7.8.6.9.4.5.2.3 ).8.9.4.7.5.6.2.3 ).5.6.4 ).7.8.9.4.5.6.2.3 D).6.7.5.8.4.9.2.3.7.8.3.9.2 ) ={a, b, c, d, e}, ={a, b, c} ) ={a, b, c, d}, ={a, b} ) ={c, d, e, f}, ={a, b} D) ={a, b, c, d, e, f}, ={a, b} ) ={a, b, c, d, e, f}, ={c, d, e, f} 1 2 3 D 4 5 21
lt Küme Özellikleri oş Küme her kümenin alt kümesidir. Her küme kendisinin bir alt kümesidir. ve ise dir. ir kümesinin eleman sayısı s() ise kümesinin alt küme sayısı 2 S() tanedir. Küme lt kümeleri Kümenin eleman sayısı lt kümelerinin sayısı ={ } 0 1=2 0 ={a}, {a} 1 2=2 1 ={a, b}, {a}, {b}, {a, b} 2 4=2 2 D={a, b, c}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c} {b, c}, {a, b, c} 3 8=2 3 ={1, 2, s, n} olduğuna göre, kümesinin alt küme sayısını bulunuz. ={1, 2, s, n} olduğundan s()=4 lt küme sayısı=2 s() =2 4 =16 dır. evap: 16 kümesinin alt küme sayısı 64 olduğuna göre, kümesinin eleman sayısı kaçtır bulunuz. 64 2 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 1 64=2 6 ve 2 s() =2 6 olduğundan, s()=6 evap: 6 ={a, b}, ={a, b, c, d, e} olduğuna göre, K şartını sağlayan kaç farklı K kümesi bulunur, araştırınız. K ise {a, b} K {a, b, c, d, e} K kümesinin kümesini kapsayabilmesi için a ve b elemanlarını içermesi lazım. K kümesinin kümesinin alt kümesi olabilmesi için en fazla K={a, b, c, d, e} olması gerekir. K kümesi en az {a, b} K kümesi en fazla {a, b, c, d, e} olduğundan, K kümesi; {a, b}, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, e}, {a, b, c, d}, {a, b, c, e}, {a, b, d, e} ve {a, b, c, d, e} olabilir. Yani 8 farklı küme bulunur. K kümesini kısaca {a,b}, {a, b, c, d, e} 123 en az 3 tane kalıyor 2 3 =8 şeklinde bulabiliriz. evap: 8 22
soru 1 ={1, 2, 3, 4, 5} olduğuna göre, kümesinin alt küme sayısı kaçtır? soru 5 kümesinin alt küme sayısı, kümesinin alt küme sayısından 16 fazla olduğuna göre, kümesinin alt küme sayısı kaçtır? ) 8 ) 16 ) 32 D) 64 ) 128 ) 256 ) 128 ) 64 D) 32 ) 16 soru 2 ={a, b, {a, b}} olduğuna göre, kümesinin alt küme sayısı kaçtır? ) 4 ) 8 ) 12 D) 16 ) 20 soru 6 ir kümenin eleman sayısı 2 artırıldığında alt küme sayısı 24 artmaktadır. una göre, kümenin eleman sayısı kaçtır? ) 2 ) 3 ) 4 D) 5 ) 6 soru 3 KRTZYN ĞİTİM YYINLRI soru 7 ={1, 2} ve ={a, b, c} olduğuna göre, kümesinin alt küme sayısı, kümesinin alt küme sayısından kaç fazladır? {1, 2, 3} K {1, 2, 3, 4, 5} şartını sağlayan kaç farklı K kümesi yazılabilir? ) 4 ) 6 ) 8 D) 10 ) 12 ) 4 ) 8 ) 16 D) 32 ) 64 soru 4 lt küme sayısı 128 olan kümenin eleman sayısı kaçtır? ) 3 ) 4 ) 5 D) 6 ) 7 soru 8 {a, b, c, d} K {a, b, c, d, e, f, g} şartını sağlayan kaç farklı K kümesi yazılabilir? ) 2 ) 4 ) 8 D) 16 ) 32 1 2 3 4 5 D 6 7 8 23
ir kümenin kendisi dışındaki tüm alt kümelerine özalt kümeleri denir. Özalt kümelerinin sayısı alt küme sayısının 1 eksiğidir. ir kümesinin eleman sayısı n ise (s()=n), öz alt küme sayısı : 2 n 1 dir. n n! n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt küme sayısı (n,r ) = = kombinasyon formülü ile bulunabilir. Kombinasyon r (n r )!.r! hesaplamaları aşağıdaki gibi yapılmaktadır. 4 4! 4! 4.3. 2! (4,2) = = = = 2 ( 4 2)!.2! 2!.2! 2!. 2! 5 5! 5! 5.4. 3! = 6 (5,3) = = = = 3 ( 5 3)!.3! 2!.3! 2!. 3! = 10 ={a, b, c} olduğuna göre, kümesinin özalt küme sayısı kaçtır bulunuz. ={a, b, c} ise s()=3 Özalt küme sayısı=2 3 1=8 1=7 evap: 7 Özalt küme sayısı 15 olan bir kümesinin eleman sayısı kaçtır bulunuz. Özalt küme sayısı= 2 s() 1=15 2 s() =16 2 s() =2 4 s()=4 evap: 4 ={1, 2, 3, 4} kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır bulunuz. ={1, 2, 3, 4} ise s()=4=n ve r=3 4 4! 4. 3! (4,3) = = = 3 ( 4 3 )!.3! 1!. 3! = 4 evap: 4 K={a, b, c, d, e} kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır bulunuz. K={a, b, c, d, e} ise s(k)=5=n ve r=2 5 5! 5.4. 3! (5,2) = = = = 10 2 ( 5 2 )!.2! 3!.2! evap: 10 24
soru 1 K={1, 2, 3, 4} olduğuna göre, K kümesinin özalt küme sayısı kaçtır? soru 5 ={1, 2, 3, 4, 5} olduğuna göre, kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 3 ) 7 ) 15 D) 31 ) 63 ) 5 ) 6 ) 7 D) 8 ) 9 soru 2 s(m)=6 olduğuna göre, M kümesinin özalt küme sayısı kaçtır? soru 6 ={a, b, c, d, e, f} olduğuna göre, kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 15 ) 31 ) 63 D) 127 ) 255 ) 14 ) 16 ) 18 D) 20 ) 22 soru 3 KRTZYN ĞİTİM YYINLRI soru 7 Özalt küme sayısı 127 olan bir kümenin eleman sayısı kaçtır? s()=8 olduğuna göre, kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 6 ) 7 ) 8 D) 9 ) 10 ) 52 ) 56 ) 60 D) 64 ) 70 soru 4 lt küme sayısı ile özalt küme sayısının toplamı 15 olan kümenin eleman sayısı kaçtır? soru 8 10 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 3 ) 4 ) 5 D) 6 ) 7 ) 40 ) 45 ) 50 D) 55 ) 60 1 2 3 4 5 6 D 7 8 25
={a, b, c, d, e, f} kümesinin en çok 2 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır bulunuz. n çok 2 elemanlı olduğundan, s()=6 6 6 6 + + 0 1 2 123 1 elemanlı alt kümelerinin sayısı 123 0 elemanlı alt kümelerinin sayısı 123 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı 6! 6! 6! = + + ( 6 0 )!.0! ( 6 1)!.1! ( 6 2 )!.2! 6! 6.5! 6.5.4! = + + = 1+ 6 + 15 = 22 6!.0! 5!.1! 4!.2! evap: 22 ={a, b, c, d, e, f} kümesinin en az 2 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır bulunuz. n az 2 elemanlı olduğundan, s()=6 6 6 6 6 6 + + + + 2 3 4 5 6 123 123 123 123 123 2 elemanlı 3 elemanlı 4 elemanlı 5 elemanlı 6 elemanlı toplamı ile bulunabilir. veya 6 6 6 2 + = 64 [1+ 6 ] = 64 7 = 57 123 0 1 Tüm alt kümelerinin 123 sayısı istenmeyen durumlar evap: 57 ={1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin; a) lt kümelerinin kaç tanesinde 1 bulunmaz b) lt kümelerinin kaç tanesinde 3 bulunur c) lt kümelerinin kaç tanesinde 2 bulunur, 4 bulunmaz d) lt kümelerinin kaç tanesinde 5 ve 6 bulunur e) lt kümelerinin kaç tanesinde 2 veya 6 bulunur a) ={1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinde 1 hariç 5 tane eleman bulunduğundan 2 5 =32 tanesinde 1 bulunmaz. b) kümesinin alt kümelerinin içinde 3 bulunması gerektiğinden geriye 5 eleman kalır. 2 5 =32 tanesinde 3 bulunur. c) lt kümelerde 2 bulup, 4 bulunmayacağı için geriye 4 eleman kalır. 2 4 =16 tanesinde 2 bulunur, 4 bulunmaz. d) lt kümelerde 5 ve 6 bulunması gerektiğinden geriye 4 eleman kalır. 2 4 =16 tanesinde 5 ve 6 bulunur. e) kümesinin tüm alt küme sayısı=2 6 2 ve 6'nın yer almadığı alt küme sayısı=2 4 2 veya 6'nın bulunduğu alt küme sayısı=2 6 2 4 =64 16=48 26
soru 1 ={a, b, c, d, e} olduğuna göre, kümesinin en çok 1 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? soru 5 ={1, 2, 3, 4, 5} olduğuna göre, kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 2 bulunur? ) 5 ) 6 ) 7 D) 8 ) 9 ) 8 ) 10 ) 12 D) 15 ) 16 soru 2 s()=7 olduğuna göre, kümesinin en çok 2 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? soru 6 F={a, b, c, d, e,f} olduğuna göre, F kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a bulunur, b bulunmaz? ) 26 ) 27 ) 28 D) 29 ) 30 ) 12 ) 14 ) 16 D) 18 ) 20 soru 3 KRTZYN ĞİTİM YYINLRI soru 7 ={1, 2, 3, 4, 5} olduğuna göre, kümesinin en az 2 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? G={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} olduğuna göre, G kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve 2 bulunur? ) 26 ) 27 ) 28 D) 29 ) 30 ) 16 ) 20 ) 24 D) 28 ) 32 soru 4 ={a, b, c, d} olduğuna göre, kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a bulunmaz? soru 8 H={a, b, c, d, e, f, g, h} olduğuna göre, H kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a veya b bulunur? ) 6 ) 8 ) 9 D) 12 ) 16 ) 192 ) 196 ) 198 D) 200 ) 202 1 2 D 3 4 5 6 7 8 27
İki Kümenin Denkliği ve şitliği leman sayıları eşit olan iki kümeye denk kümeler denir ve ve kümeleri için s()=s() ise " " biçiminde gösterilir. lemanlarının tamamı aynı olan kümelere eşit kümeler denir. ve kümelerinin elemanları aynı ise "=" biçiminde gösterilir. ={a, b, c, d}, ={1, 2, 3}, ={1, 2, 3, 4} ve D={s, H, l} olduğuna göre, birbirine denk olan kümeleri bulunuz. ={a, b, c, d} ve s()=4 ={1, 2, 3} ve s()=3 ={1, 2, 3, 4} ve s()=4 D={s, H, l} ve s(d)=3 s()=s() olduğundan, s()=s(d) olduğundan, D evap: ve D ={x, y, z, t} ve ={x 0 < x < 5, x N} olduğuna göre, ve kümelerinin denkliğini araştırınız. ={x, y, z, t} ve s()=4 ={x 0 < x < 5, x N} ise ={1, 2, 3, 4} ve s()=4 s()=s()=4 olduğundan, dir. evap: ={1, 3, 5, 7, 9}, ={3, 1, 7, 5, 9} ve ={9, 7, 1, 3, 5} olduğuna göre,, ve nin eşitliklerini araştırınız. Uyarı Kümelerde elemanların yerlerinin farklı olmasının bir önemi yoktur. 1, 1, 1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 9, 9, 9,, ve kümelerinin elemanları aynı olduğundan == dir. evap: == ={x : x, 10 dan küçük çift doğal sayılar} ={x : 0 x < 10, x=2k, k N} ={0, 2, 4, 6, 8} ve ={0, 2, 4, 6, 8} olduğundan = dir. evap: = kümelerinin eşitliğini araştırınız. 28
soru 1 ={a, b, c, d, e} olduğuna göre, kümesine denk olan küme aşağıdakilerden hangisidir? ) {x 0 < x < 7, x N} ) {x 0 < x <12, x asal sayı} ) {x 1 < x < 9, x N} D) {x 1 < x 2 < 7, x N} soru 5 K={1, 11, 111, 1111} olduğuna göre, K kümesine eşit olan küme aşağıdakilerden hangisidir? ) {11, 1, 1111} ) {111, 1111, 1, 11} ) {1111, 1, 111} D) {1, 111, 11} ) {1, 11, 111, 1111, 11111} ) {x 0 < x 2 < 10, x N} soru 2 ={1, 2, {1, 2, 3}} olduğuna göre, kümesine denk olan küme aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 ={5, 10, 15, 20} olduğuna göre, kümesine eşit olan küme aşağıdakilerden hangisidir? ) {a, b, c} ) {Haftanın "" harfi ile başlayan günleri} ) {ir yıl içerisindeki ayların sayısı} D) {x x, 10 dan küçük doğal sayılar} ) {x x, negatif tam sayılar} KRTZYN ĞİTİM YYINLRI ) {x : 5 x 20, x N} ) {x : 5 < x < 20, x N} ) {x : 5 x 20, x=5k, k N} D) {x : 0 x 25, x N} ) {x : 5 x < 30, x=5k, k N} soru 3 s()=4 ve olduğuna göre, kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 2 ) 3 ) 4 D) 5 ) 6 soru 7 M={x : 1 < x < 7, x=2k, k N} olduğuna göre, M kümesine eşit olan küme aşağıdakilerden hangisidir? soru 4 ).0.4.6.2.8 ).0.4.2.6 ).2.4.6.8 ve kümesinin alt kümelerinin sayısı ile kümesinin alt kümelerinin sayısının toplamı 16 olduğuna göre, s() kaçtır? ) 7 ) 6 ) 5 D) 4 ) 3 D).2.6.4 ).3.4.5.6.7 1 2 3 4 5 6 7 D 29
Kümelerde irleşim İşlemi irden fazla kümenin tüm elemanlarından oluşan kümeye bu kümelerin birleşimi denir. ve kümelerinin birleşimi biçiminde gösterilir. ={x : x veya x }.a.c.b.d.e.a.b.c.d.e.a.d.e.b.c È ={a, b, c, d, e} È ={a, b, c, d, e} È ={a, b, c, d, e} ={1, 2, 3, 4}, ={3, 4, 5, 6, 7} olduğuna göre, kümesini bulunuz. ={x : x veya x } olduğundan ={1, 2, 3, 4} ={3, 4, 5, 6, 7} ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} (Kümede bir eleman bir defa bulunabilir) evap: ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.1.2.3.6.4.7.5 ={1, 2, 3}, ={3, 4, 5, 6, 7} ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} evap: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Yukarıdaki venn şemasına göre, kümesini bulunuz. ={a, b, c, d, e} ve ={c, d} olduğuna göre, kümesini bulunuz. ={a, b, c, d, e}, ={c, d} ={a, b, c, d, e} evap: ={a, b, c, d, e} ={1, 2, 3, 4} ve ={3, 4} olduğuna göre, kümesinin elemanlarını araştırınız. ={3, 4} ve ={1, 2, 3, 4} olduğundan 1 ve 2 elemanları kesin olarak kümesinden gelmiştir. kümesi, ={1, 2}, ={1, 2, 3}, ={1, 2, 4}, ={1, 2, 3, 4} olabilir. 30
soru 1 soru 5.1.2 K={1, 3, 5, 7}, M={2, 4, 6} ve N={0, 8} olduğuna göre, K M N kümesi aşağıdakilerden hangisidir?.5.3.4 ) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ) {0, 2, 4, 6, 8} ) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} D) {1, 3, 5, 7} Yukarıda verilen venn şemasına göre, kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {0, 1, 3, 5, 7, 8} ) {1, 3, 5} ) {2, 4} ) {1, 2, 4} D) {2, 4, 3, 5} ) {2, 5, 3, 1, 4} soru 2 soru 6.a.b.c.d.e ={0, 2, 4, 6, 8}, ={0, 2, 4} ve ={6, 8} olduğuna göre, kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {0, 2, 4} ) {0, 2, 4, 6} ) {0, 2, 4, 6, 8} D) {2, 4, 6, 8} ) {0, 2, 4, 8} Yukarıda verilen venn şemasına göre, kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {a, b, c, d, e} ) {a} ) {e} D) {b, c, d} ) {a, b, c, d} soru 3 KRTZYN ĞİTİM YYINLRI soru 7.1.2.3.4.5.6.7 ={a, b, c, d, e} ve ={a, b} olduğuna göre, kümesinin eleman sayısı en az kaçtır? ) 2 ) 3 ) 4 D) 5 ) 6 Yukarıda verilen venn şemasına göre, kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {1, 2, 3, 4, 5} ) {3, 4, 5, 6, 7} ) {1, 2, 3, 6, 7} D) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ) {1, 2, 4, 6, 7} soru 4 ={a, b, c, d, e}, ={b, c, d, f} olduğuna göre, kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru 8 ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ve ={1, 2} olduğuna göre, kümesinin eleman sayısı en fazla kaçtır? ) {a, b, c} ) {b, c, d} ) {b, c, d, f} ) 8 ) 7 ) 6 D) 5 ) 4 D) {a, b, c, d, e} ) {a, b, c, d, e, f} 1 2 3 D 4 5 6 7 8 31
Kümelerde Kesişim İşlemi İki veya daha fazla kümenin ortak elemanlarından oluşan kümeye bu kümelerin kesişimi denir. ve kümelerinin kesişimi biçiminde gösterilir. ={x : x ve x }.a.b.c.d.e.a.b.c.d.e.a.d.e.b.c Ç =Æ (Ýki kümenin ortak elemaný yoktur. u tür kümelere ayrýk kümeler denir.) ile ayrýk kümelerdir. Ç Ç ={c} Ç Ç ={d, e} ={1, 2, 3, 4} ve ={2, 3, 5, 7} olduğuna göre, kümesini bulunuz. ={1, 2, 3, 4} ={2, 3, 5, 7} ortak elemanlar ={2, 3} evap: {2, 3} ={a, b, c, d, e}, ={c, f, g}, ={c, k, l, m} olduğuna göre, kümesini bulunuz. ={a, b, c, d, e}, ={c, f, g}, ={c, k, l, m} ={c} evap: {c} ÇÇ Yukarıdaki venn şemasına göre, kümesini şema üzerinde gösteriniz. ={1, 2, 3, 4} ve ={3, 4} olduğuna göre, kümesinin eleman sayısı en az kaçtır. ={3, 4} olduğundan, 3 ve 4 elemanları hem kümesinde hemde kümesinde bulunmalıdır. en az 2 elemanlıdır. evap: 2 32
soru 1 soru 5.a.b.c.d.e.f.g.1.2.7.3.6.8.4.5 Yukarıda verilen venn şemasına göre, kümesi aşağıdakilerden hangisidir?.9.10 ) {a, b} ) {c, d} ) {e, f, g} D) {a, b, c, d} ) {c, d, e, f, g} soru 2 K ve M kümeleri ayrık kümeler olduğuna göre, K M kesişiminin venn şeması ile gösterilişi aşağıdakilerden hangisi olabilir? Yukarıda verilen venn şemasına göre, kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {6} ) {7} ) {8} D) {6, 7} ) {6, 8} soru 6 ) K M ) K M.1.2.4.5.3 K M ) D) K M M K KRTZYN ĞİTİM YYINLRI Yukarıda verilen venn şemasına göre, kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {1, 2, 3, 4, 5} ) {1, 2, 3} ) {1, 2} D) {4, 5} ) {3, 4, 5} ) soru 7 soru 3 ={a, b, c, d}, ={a, c, f, g, k} olduğuna göre, kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {a, b, c, d} ) {a, b, c} ) {a, c} D) {f, g, k} ) {a, c, f, g, k} ={x : 1 < x < 11, x=2k, k N} ={x : 3 < x < 8, x N} olduğuna göre, kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {4, 5, 6, 7} ) {4, 5, 6} ) {4, 6} D) {6, 7} ) {6} soru 4 ={1, 2, 3, 4,5}, ={4, 5, 6, 7} ve ={5, 6, 7, 8} olduğuna göre, kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {1, 2, 3, 4, 5} ) {4, 5, 6, 7} ) {5, 6, 7, 8} soru 8 ={a, b, c, d, e} ve ={c, d, e} olduğuna göre, kümesinin eleman sayısı en az kaçtır? ) 2 ) 3 ) 4 D) 5 ) 6 D) {4, 5} ) {5} 1 2 3 4 5 6 D 7 8 33
Kümelerde Kesişim ve irleşim İşleminin Özellikleri Kesişim İşleminin Özellikleri = (Değişme özelliği vardır.) ( )=( ) (irleşme özelliği vardır.) = = (Tek kuvvet özelliği) ise = irleşim İşleminin Özellikleri = (Değişme özelliği vardır.) ( )=( ) (irleşme özelliği vardır.) = = (Tek kuvvet özelliği) ise = Kesişim ve irleşim İşleminin Özellikleri ( )=( ) ( ) (Kesişim işleminin birleşim işlemi üzerine dağılma özelliği vardır) ( )=( ) ( ) (irleşim işleminin kesişim işlemi üzerine dağılma özelliği vardır) olduğuna göre, ( ) kümesinin eşitini bulunuz. ( )=( ) ( ) (Dağılma özelliği) = (Tek kuvvet) = ( olduğundan) ( ) ( )= = evap: [( ) ] kümesinin eşitini bulunuz. [( ) ] = (oş küme ile her kümenin kesişimi boş kümedir.) evap: ( ) ( )={a, b, c, d} olduğuna göre, ( ) kümesinin elemanlarını bulunuz. ( ) ( )= ( ) olduğundan, ( )={a, b, c, d} dir. evap: {a, b, c, d} 34
soru 1 şağıdaki ifadelerden hangisi ye eşittir? soru 5 K (M ) kümesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) ) ) D) ) ) K (M ) ) K (M ) ) K (M ) D) (K M) (K ) ) (K M) (K ) soru 2 şağıdaki ifadelerden hangisi daima kümesine eşittir? soru 6 ( ) kümesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) ( ) ) ) D) ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) D) ( ) ( ) ) ( ) ( ) soru 3 KRTZYN ĞİTİM YYINLRI soru 7 olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi kümesine eşittir? K (M )={1, 2, 3, 4} olduğuna göre, (K M) (K ) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) ) ) D) ) ) { } ) {1} ) {1, 2} D) {1, 2, 3} ) {1, 2, 3, 4} soru 4 olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi kümesine eşittir? soru 8 ={a, e, f} ve ={a, f} olduğuna göre, ( ) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) ) ) D) ) ) {a, e, f} ) {a, e} ) {a, f} D) {f} ) { } 1 2 3 4 5 D 6 7 8 35
Kümelerin irleşiminin leman Sayısı ve gibi iki kümenin birleşiminin eleman sayısı, s( )=s()+s() s( ) ifadesi ile bulunur. s()=x+y, s( )=y ve s()=y + z x y z s( )=s()+s() s( ) =x+y+y+z y =x+y+z s( È )=x+y+z s()=x+y, s()=x ve s( )=x x y s( )=s()+s() s( ) =x+y+x x =x+y Ì ise = olduğundan, s( )=s() dır. s()=x, s()=y ve s( )=0 x y s( )=s()+s() s( ) =x+y 0 Ç =Æ ( ve ayrýk kümeler) =x+y = ise s( )=s()+s() dir. x m y n k z s( )=s()+s()+s() s( ) s( ) s( )+s( ) =x+y+z+m+n+k+t t ={a, b, c, d, e}, ={b, c, f} olduğuna göre, s( ) kaçtır bulunuz. s( )=12, s()=7 ve s( )=3 olduğuna göre, s() kaçtır bulunuz. ={a, b, c, d, e}, ={b, c, f}, ={b, c} s()=5, s()=3 ve s( )=2 s( ) =s()+s() s( ) =5+3 2=6 s( )=s()+s() s( ) 12=7+s() 3 s()=8 evap: 6 evap: 8 olmak üzere s( )=11, s()=2 olduğuna göre, s() kaçtır bulunuz. s()=10, s()=8, s()=7, s( )=3, s( )=2, s( )=3 ve s( )=1 olduğuna göre, s( ) kaçtır bulunuz. olduğundan = ve s( )=s() dir. s( )=s()=11 evap: 11 s( )=s()+s()+s() s( ) s( ) s( ) + s( ) =10+8+7 3 2 3+1=18 evap: 18 36
soru 1 soru 5.a.b.c.d.e.f ve ayrık kümeler olmak üzere, s()=7 ve s()=6 olduğuna göre, s( ) kaçtır? ) 10 ) 11 ) 12 D) 13 ) 15 Yukarıdaki venn şemasına göre, s( ) kaçtır? ) 5 ) 6 ) 7 D) 8 ) 9 soru 2 s()=15, s()=10 ve s( )=6 olduğuna göre, s( ) kaçtır? soru 6 = olmak üzere, s( )=14 ve s()=6 olduğuna göre, s() kaçtır? ) 15 ) 16 ) 17 D) 18 ) 19 KRTZYN ĞİTİM YYINLRI ) 6 ) 8 ) 10 D) 12 ) 14 soru 3 s( )=16, s()=10 ve s()=8 olduğuna göre, s( ) kaçtır? ) 2 ) 3 ) 4 D) 5 ) 6 soru 7 M K olmak üzere, s(m)=6 ve s(m K)=9 olduğuna göre, s(k) kaçtır? ) 6 ) 8 ) 9 D) 10 ) 11 soru 4 s( )=14, s()=6 ve s( )=4 olduğuna göre, s() kaçtır? ) 6 ) 8 ) 10 D) 12 ) 14 soru 8 s()=8, s()=8, s()=6, s( )=4, s( )=3, s( )=2 ve s( )=20 olduğuna göre, s( ) kaçtır? ) 4 ) 5 ) 6 D) 7 ) 8 1 2 3 4 D 5 D 6 7 8 D 37
ve iki küme, s()=7 ve s()=8 olduğuna göre, s( ) en fazla kaçtır bulunuz. s( )=s()+s() s( ) olduğundan, s( ) nin en büyük değerini alması için, s( ) en küçük değerini almalıdır. = yani ve kümelerinin ayrık kümeler olduğunu varsayalım s( ) = 0 s( ) =s()+s() s( ) =7+8 0=15 evap: 15 ve iki küme, s()=10 ve s()=6 olduğuna göre, s( ) en az kaçtır bulunuz. s( )=s()+s() s( ) olduğundan, s( ) nin en küçük değerini alması için, s( ) en büyük değerini alması gerekir. olduğunu varsayalım, s( )=s() dır. s( ) =s()+s() s( ) =10+6 6=10 evap: 10 ve iki küme, olmak üzere, s()=12, s()=10 dur. s( ) nin en büyük değeri kaçtır bulunuz. olduğundan, kümesinin en küçük değerini s( )=1 alalım. s( ) =s()+s() s( ) =12+10 1=21 evap: 21 ve iki küme, olmak üzere, s()=10 ve s()=4 olduğuna göre, s( ) en az kaçtır, bulunuz. olduğundan, s( ) en fazla 3 seçilebilir. s( )=s()+s() s( ) s( )=10+4 3 =11 evap: 11 38
soru 1 ve iki küme olmak üzere, s()=8 ve s()=9 dır. s( ) en fazla kaçtır? ) 14 ) 15 ) 16 D) 17 ) 18 soru 5 ve iki küme, { } olmak üzere, s()=20, s()=16 olduğuna göre, s( ) nin en büyük değeri kaçtır? ) 16 ) 20 ) 35 D) 36 ) 38 soru 2 s( )=20, s()=6 olduğuna göre, s() en az kaçtır? ) 6 ) 8 ) 10 D) 12 ) 14 soru 6 ve iki küme, olmak üzere, s()=12, s()=8 olduğuna göre, s( ) nin en büyük değeri kaçtır? ) 19 ) 20 ) 21 D) 22 ) 23 soru 3 KRTZYN ĞİTİM YYINLRI soru 7 ve iki küme, s()=18 ve s()=10 olduğuna göre, s( ) en az kaçtır? ) 8 ) 10 ) 16 D) 18 ) 20 ve iki küme, olmak üzere, s()=5, s()=9 olduğuna göre, s( ) en az kaçtır? ) 6 ) 9 ) 10 D) 11 ) 12 soru 4 ve iki küme, s( )=15 ve s()=6 olduğuna göre, s() en az kaçtır? ) 2 ) 3 ) 5 D) 6 ) 9 soru 8 ve iki küme, olmak üzere, s( )=20, s()=5 olduğuna göre, s() en fazla kaçtır? ) 16 ) 17 ) 18 D) 19 ) 20 1 D 2 3 D 4 5 6 7 8 D 39
s()=2.s(), s( )=21 ve s( )=3 olduğuna göre, s() kaçtır bulunuz. s()=k ise s()=2k dır. s( )=s()+s() s( ) 21=2k+k 3 24=3k ve k=8 s()=2.8=16 evap: 16 2.s()=3.s(), s( )=16 ve s( )=4 olduğuna göre, s() kaçtır bulunuz. 2.s()=3.s() olduğundan, s()=3k ise s()=2k dır. s( )=s()+s() s( ) 16=3k+2k 4 20=5k ve k=4 s()=2.4=8 evap: 8 s()+3.s()=42, s( )=15 ve s( )=7 olduğuna göre, s() kaçtır bulunuz. s()=k dersek s()+3k=42 ve s()=42 3k s( )=s()+s() s( ) 15=42 3k+k 7 2k=20 ve k=10 s()=42 3.10=12 evap: 12 ={x : 0 < x 30, x=2k, k N} kümesi, 0 ile 30 arasındaki 2 nin katı olan doğal sayılardır. ={x : 0 < x 40, x=3k, k N} olduğuna göre, s( ) kaçtır bulunuz. 30 2 30 15 00 s()=15 kümesi, 0 ile 40 arasındaki 3 ün katı olan doğal sayılardır. 40 3 39 13 1 s()=13 kümesi, ise; 0 < x 30 ve 0 < x 40 aralıklarının kesişimi 0 < x 30 aralığında alınır. 2 nin katı ve 3 ün katı olan sayılar okek(2,3)=6 olduğundan 6 nın katıdır. u yüzden, 30 6 30 5 00 s( )=5 dir. s( ) =s()+s() s( ) =15+13 6 =22 evap: 22 40
soru 1 3.s()=s(), s( )=20 ve s( )=4 olduğuna göre, s() kaçtır? ) 4 ) 8 ) 12 D) 16 ) 18 soru 5 2.s()+s()=13, s( )=8 ve s( )=1 olduğuna göre, s() kaçtır? ) 4 ) 5 ) 6 D) 7 ) 8 soru 2 s()=5.s(), s( )=42 ve s( )=6 olduğuna göre, s() kaçtır? ) 18 ) 24 ) 30 D) 36 ) 40 soru 6 s() s()=3, s( )=10 ve s( )=1 olduğuna göre, s() kaçtır? ) 4 ) 5 ) 6 D) 7 ) 8 soru 3 KRTZYN ĞİTİM YYINLRI soru 7 3.s()=4.s(), s( )=56 ve s( )=7 olduğuna göre, s() kaçtır? ) 36 ) 38 ) 40 D) 42 ) 46 ={x 0 < x 20, x=3k, k N} ={x 0 < x 30, x=4k, k N} olduğuna göre, s( ) kaçtır? ) 8 ) 9 ) 10 D) 11 ) 12 soru 4 s( )=6.s( ) ve s()+s()=35 olduğuna göre, s( ) kaçtır? ) 28 ) 30 ) 32 D) 33 ) 34 soru 8 ={x 0 < x 50, x=3k, k N} ={x 0 < x 60, x=5k, k N} olduğuna göre, s( ) kaçtır? ) 25 ) 26 ) 27 D) 28 ) 29 1 2 3 4 5 6 D 7 8 41
vrensel Küme ve ir Kümenin Tümleyeni Kümelerle yapılan bir işlemde, işlem içerisindeki tüm elemanları kapsayan kümeye evrensel küme denir ve harfi ile gösterilir. Örneğin ve birer küme olmak üzere Ì ve Ì dir. vrensel küme içerisinde herhangi bir kümesi verilmiş olsun. vrensel kümenin elemanı olup kümesinin elemanı olmayan elemanların oluşturduğu kümeye kümesinin tümleyeni denir ve ı veya õ ile gösterilir. ý =={x x Î ve x Ï } ={x : x, 10 dan küçük doğal sayılar} ={x : x, 10 dan küçük çift doğal sayılar} olduğuna göre, ı kümesini bulunuz. ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ={0, 2, 4, 6, 8} ve ı ={x : x ve x } olduğundan ı ={1, 3, 5, 7, 9} evap: {1, 3, 5, 7, 9}.1.3.4.5.1.3.4.5.2.6.2.6 Yukarıda verilen venn şemasına göre, ı kümesini bulunuz. Yukarıda gösterilen taralı alan ı dir. ı ={4, 5, 6} evap: {4, 5, 6}.e.f.e.f.a.b.c.d.g.a.b.c.d.g Yukarıda verilen venn şemasına göre, ( ) ı kümesini bulunuz. Yukarıda gösterilen taralı alan ( ) ı dir. ( ) ı ={e, f, g} evap: {e, f, g} 42
soru 1 ={x : 0 < x < 11, x N} ={x : 0 < x < 11, x=3k, k N} olduğuna göre, ı kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {1, 2, 3, 4, 5, 7, 10} ) {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} soru 5 ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, ={1, 2, 3, 5} ve ={3,4} olduğuna göre, ı ı kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {4, 6, 7, 8} ) {1, 2, 5, 6, 7, 8} ) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} D) {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8} ) {1, 3, 5, 7, 9} D) {2, 4, 6, 8, 10} ) {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} soru 6 ) {3} soru 2 ={x : x, bir haftadaki günler} ={x : x, bir haftadaki "P" harfi ile başlayan günler} olduğuna göre, ı kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {Salı, Çarşamba, uma, umartesi} ) {Pazartesi, Perşembe, Pazar} ) {Çarşamba, Perşembe, uma, umartesi} D) {Salı, Çarşamba, Perşembe, uma} ) {Salı, Çarşamba, Perşembe, umartesi} Yukarıda verilen venn şemasına göre, ı kümesi aşağıdaki taralı bölgelerden hangisidir? ) ) soru 3.1.2.3.4.6.7.5.8 Yukarıda verilen venn şemasına göre, ı aşağıdakilerden hangisidir? KRTZYN ĞİTİM YYINLRI ) soru 7 ) D) ) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ) {4, 5, 6} ) {1, 2, 3, 7, 8} D) {1, 2} soru 4 ) {4, 5} Yukarıda verilen venn şemasına göre, ı ı kümesi aşağıdaki taralı bölgelerden hangisidir?.a.b.c.e.f.g.d Yukarıda verilen venn şemasına göre, ( ) ı aşağıdakilerden hangisidir? ) {a, b} ) {c, d} ) {e, f} ) ) ) ) D) D) {a, b, c,d} ) {a, b, c, d, g} 1 2 3 4 5 D 6 D 7 43
Tümleme işleminin özelliklerini ve De Morgan Kuralları ve, vrensel kümenin iki alt kümesi olmak üzere, ( ı ) ı = (ir kümenin tümleyeninin tümleyeni kendisidir) ı = (oş kümenin tümleyeni vrensel kümedir) ı = (vrensel kümenin tümleyeni boş kümedir) ı = ı = s()+s( ı )=s() De Morgan Kuralları ( ) ı = ı ı ( ) ı = ı ı ( ) ı ifadesinin eşitini bulunuz. ( ) ı =( ) ı = ( ı )= = 123 evap: ( ) ( ı ) kümesinin eşitini bulunuz. ( ) ( ı )= ( ı ) (Dağılma özelliğinden) ( ı )= = 123 evap: s()+s( ı )=12 s( ı )+s()=6 olduğuna göre, s() kaçtır bulunuz. s()+s( ı )=s() ve s()+s( ı )=s() olduğundan, s()+s( ı )=12 + s( ı )+s()=6 s()+s( ı )+s()+s( ı )=18 14243 14243 s() s() 2.s()=18 s()=9 evap: 9 ( ı ) ı ( ı ) ı kümesinin eşitini bulunuz. ( ı ) ı = ı ( ı ) ı = ı (De morgan) ( ı ) ı =( ı ) ı ı = ı (De morgan) ( ı ) ( ı ) ( ı ) ( ı )= = 123 123 evap: 44
soru 1 I) = II) ı = III) ı = IV) (K ı ) ı =K V) ı = Yukarıda verilen eşitliklerden kaç tanesi doğrudur? ) 1 ) 2 ) 3 D) 4 ) 5 soru 4 ve, evrensel kümesinin iki alt kümesi olmak üzere, ( ı ) ı kümesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) ) ) D) ) soru 5 soru 2 kümesi evrensel kümesinin bir alt kümesi olmak üzere, aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? ve, evrensel kümesinin iki alt kümesi olmak üzere, ( ı ı ) ( ) kümesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) ) ) D) ) ) = ) = ) ı = D) ı = ) ı = soru 3 KRTZYN ĞİTİM YYINLRI soru 6 ve, evrensel kümesinin iki alt kümesi olmak üzere, [ ( ) ı ] kümesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) ) ) D) ) soru 7 Yukarıda verilen venn şemasına göre, ı ı kümesi aşağıdaki taralı bölgelerden hangisidir? s()=24, s( ı )=14 olduğuna göre, s() kaçtır? ) 8 ) 10 ) 12 D) 14 ) 18 ) ) ) D) soru 8 ) ve, evrensel kümesinin iki alt kümesi olmak üzere, s()+s( ı )=16 ve s()=9 olduğuna göre, s( ı ) kaçtır? ) 5 ) 6 ) 7 D) 8 ) 9 1 D 2 3 4 5 6 7 8 45
Konu Kavrama Çalışması ý È ( È ) ý È ( È ) ý Ç ( Ç ) ý È È ( È È ) ý Ç Ç ( Ç Ç ) ý 46
soru 1 soru 3 Yukarıda verilen venn şemasına göre, ı kümesi aşağıdaki taralı bölgelerden hangisidir? Yukarıda verilen venn şemasına göre, ı kümesi aşağıdaki taralı bölgelerden hangisidir? ) ) ) ) ) D) ) D) ) ) soru 2 Yukarıda verilen venn şemasına göre, ( ) ı kümesi aşağıdaki taralı bölgelerden hangisidir? KRTZYN ĞİTİM YYINLRI soru 4 ) ) Yukarıda verilen venn şemasına göre, ( ) ı kümesi aşağıdaki taralı bölgelerden hangisidir? ) ) ) D) ) ) D) ) 1 2 3 4 D 47
ve, evrensel kümesinin iki alt kümesi olmak üzere, s()=30, s( )=7 olduğuna göre, s( ı ı ) kaçtır bulunuz. ı ı =( ) ı s( )+s(( ) ı )=s() olduğundan 7+ s(( ) ı )=30 s(( ) ı )=23 evap: 23 ve, evrensel kümesinin iki alt kümesi ve = olmak üzere, s()=18, s( )=12 olduğuna göre, s( ı ı ) kaçtır bulunuz. ı ı =( ) ı = olduğundan s( )=s()+s()=12 s( ı ı )=s(( ) ı )=s() [s()+s()] =18 12=6 evap: 6 olmak üzere, s()=3.s(), s( ı )=10 ve s()=40 olduğuna göre, s() kaçtır bulunuz. s()=k ise s()=3k dır. 2k k 10 ý s()=k+2k+10=40 3k+10=40 3k=30 ve k=10 s()=10 evap: 10 ve, evrensel kümesinin iki alt kümesi ve olmak üzere, s(( ) ı )=7, s( ı )=12 ve s[( ı ı ) ı ]=4 olduğuna göre, s() kaçtır bulunuz. 7 ( È ) ý x 7 ý olduğundan, x+7=12 x=5 7 5 ( ı ı ) ı = ve s( )=4 7 4 5 s()=4+5=9 evap: 9 48
soru 1 ve, evrensel kümesinin iki alt kümesi olmak üzere, s()=24, s( ı )=16 olduğuna göre, s( ı ) kaçtır? ) 6 ) 8 ) 10 D) 12 ) 14 soru 5 olmak üzere, s()=2.s(), s( ı )=15, s()=20 olduğuna göre, s() kaçtır? ) 2 ) 3 ) 4 D) 5 ) 6 soru 2 ve, evrensel kümesinin iki alt kümesi olmak üzere, s()=32, s( ı )=12 olduğuna göre, s( ı ) kaçtır? ) 12 ) 18 ) 20 D) 22 ) 24 soru 6 olmak üzere, s()=4.s(), s[( ) ı ]=16 ve s()=18 olduğuna göre, s( ı ) kaçtır? ) 10 ) 12 ) 14 D) 15 ) 16 soru 3 KRTZYN ĞİTİM YYINLRI soru 7 ve, evrensel kümesinin iki alt kümesi olmak üzere, s()=20, s()=10, s()=8 ve s( )=4 olduğuna göre, s( ı ı ) kaçtır? ) 6 ) 7 ) 8 D) 9 ) 10 ve, evrensel kümesinin iki alt kümesi olmak üzere, s()=42, s()=16, s()=8 ve 4.s( )=s[( ) ı ] olduğuna göre, s( ) kaçtır? ) 4 ) 5 ) 6 D) 7 ) 8 soru 4 ve, evrensel kümesinin iki alt kümesi olmak üzere, s()=26, s( ı )=14 ve s()=8, s( )=3 olduğuna göre, s[( ) ı ] kaçtır? ) 5 ) 6 ) 7 D) 8 ) 9 soru 8 s(( ) ı )=28 ve s( ı )=15 olduğuna göre, s() kaçtır? ) 10 ) 13 ) 15 D) 17 ) 18 1 2 3 4 5 D 6 7 8 49
İki Kümenin Farkı ve, evrensel kümesinin iki alt kümesi olmak üzere, kümesinde olup, kümesinde olmayan elemanların oluşturduğu kümeye kümesinin kümesinden farkı denir ve veya \ biçiminde gösterilir. ={x : x Î ve x Ï } ={x : x Ï ve x Î } Konu Kavrama Çalışması Kümeler Ýstenen Kendisinden Çýkarýlan ölge Çýkan ölge Ýstenen (Kalan bölge) ( Ç ) Ç ( Ç ) ( È ) ( Ç ) È Ç ( È ) ( Ç ) È ( È ) È ( È ) 50
soru 1 soru 3 Yukarıda verilen venn şemasına göre, ( ) kümesi aşağıdaki taralı bölgelerden hangisidir? Yukarıda verilen venn şemasına göre, ( ) kümesi aşağıdaki taralı bölgelerden hangisidir? ) ) ) ) ) D) ) D) ) ) soru 2 Yukarıdaki venn şemasına göre, ( ) kümesi aşağıdaki taralı bölgelerden hangisidir? ) ) KRTZYN ĞİTİM YYINLRI soru 4 Yukarıdaki venn şemasına göre, ( ) kümesi aşağıdaki taralı bölgelerden hangisidir? ) ) ) D) ) ) D) ) 1 D 2 3 4 51
={a, b, c, d, e} ve ={a, c, d, f} olduğuna göre, kümesini bulunuz. ={a, b, c, d, e} ve ={a, c, d, f}.b.e.a.c.d.f ={b, e} evap: {b, e} ={1, 2, 3, 4, 5}, ={3, 4, 6, 7} ve ={1, 3, 8, 9} olduğuna göre, ( ) kümesini bulunuz. ={1, 2, 3, 4, 5}, ={3, 4, 6, 7} ve ={1, 3, 8, 9} ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ve ={1, 3, 8, 9} ( ) ={2, 4, 5, 6, 7} evap: {2, 4, 5, 6, 7} ={x : 0 < x 10, x N} ={x : 0 < x < 12, x=2k, k N} olduğuna göre, kümesini bulunuz. ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ={2, 4, 6, 8, 10} ={1, 3, 5, 7, 9} evap: {1, 3, 5, 7, 9} ={x : 0 < x < 15, x N} ={x : 4 < x < 12, x N} olduğuna göre, kümesini bulunuz. ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14} ={5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} ={1, 2, 3, 4, 12, 13, 14} evap: {1, 2, 3, 4, 12, 13, 14} 52
soru 1 ={1, 2, 3, 5, 7, 9} ve ={2, 3, 6, 9} olduğuna göre, kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru 5 ={a, b, c, d, e}, ={d, e, f} ve ={e, f, g, h} olduğuna göre, ( ) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {1, 5, 7} ) {1, 5, 7, 9} ) {1, 3, 5, 7} D) {1, 5, 9} ) {1, 6} ) {a, b, c} ) {a, b, c, d} ) {a, b, c, d, e} D) {a, b, c, d, e, f} ) {a, b, c, d, e, f, g} soru 2 K={a, e, f, g, h} ve M={e, g, k, l, m} olduğuna göre, K M kümesi aşağıdakilerden hangisidir? soru 6 ={1, 2, 3, 4}, ={2, 3, 5, 7} ve ={1, 4, 7} olduğuna göre, ( ) ( ) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {a, f, g, h} ) {a, e, g, h} ) {a, f, h} D) {a, f} ) ) ) {1, 2} ) {3, 4} D) {1, 2, 3, 4} ) {1, 2, 3, 4, 5} soru 3 ={x : x, 10'dan küçük doğal sayılar} ={x : x, 10'dan küçük 3 ün katı doğal sayılar} olduğuna göre, kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {3, 6, 9} ) {0, 3, 6, 9} ) {1, 2, 7, 8} KRTZYN ĞİTİM YYINLRI soru 7 ={3, 5, 7, 9, 11}, ={1, 3, 7, 11, 17} olduğuna göre, ( ) ( ) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {1, 5, 9, 17} ) {1, 3, 5, 9, 17} ) {3, 5, 9, 17} D) {5, 9, 17} ) {7, 11} D) {1, 2, 5, 8} ) {1, 2, 4, 5, 7, 8} soru 4 ={x : 1 < x < 12, x N} ={x : 1 < x 11, x=2n 1, n N} olduğuna göre, kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {1, 3, 5, 7, 9} ) {2, 4, 6, 8, 10} ) {1, 2, 4, 6, 8, 10} D) {6, 8, 10} ) {3, 5, 7, 9} soru 8 evrensel küme olmak üzere, ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, ={1, 3, 5, 7, 8} ve ={2, 4, 6, 8, 10} olmak üzere, ı kümesi aşağıdakilerden hangisidir? ) {10} ) {8, 10} ) {8} D) {2, 4, 6} ) {4, 8, 10} 1 2 3 4 5 6 D 7 8 53
Fark İşleminin Özellikleri = = = ı = Ç ý ý Ç ý Ç ý = s( )=s( )+s( )+s( ) Ç olmak üzere, ( ) kümesinin eşitini bulunuz. ( alt küme olduğundan) = ( ) = = evap: ( ) ı kümesinin eşitini bulunuz. Uyarı u tarzdaki soruları venn şeması çizerekte çözebilirsiniz. = ı olduğundan, ( ) ı =( ı ) ı = ı ( ) ı =( ı ) =( ı ) ı =( ı ı ) ( ı )=( ı ı ) = ı ı =( ) ı evap: ( ) ı ( ) ( ) ı kümesinin eşitini bulunuz. = ı olduğundan, ( ) ( ) ı =( ) (( ) ı ) ı =( ) ( )= evap: s( )=7, s( ı )=8 ve s( )=3 olduğuna göre, s( ) kaçtır bulunuz. s( ı )=s( )=8 s( )=s( )+s( )+s( ) =7+8+3=18 evap: 18 54
soru 1 ve, evrensel kümesinin iki alt kümesi olmak üzere, I) = ı II) = III) = ı IV) = V) = ı soru 5 ( ) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) ) ) D) ) yukarıdaki ifadelerden kaç tanesi doğrudur? ) 1 ) 2 ) 3 D) 4 ) 5 soru 2 şağıdaki ifadelerden hangisi den farklıdır? soru 6 ( ) ı ı ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) ı ) ) ı D) ) ı ) ) ) D) ) soru 3 KRTZYN ĞİTİM YYINLRI soru 7 ( ı ) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) ( ) ı ) ( ) ı ) ı D) ) s( )=17, s( )=12, s( )=2 olduğuna göre, s( ) kaçtır? ) 1 ) 2 ) 3 D) 4 ) 5 soru 4 ( ) ( ) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? soru 8 s( )=2.s( ), s( )=18 ve s( )=6 olduğuna göre, s( ) kaçtır? ) ) ) D) ) ) 4 ) 5 ) 6 D) 7 ) 8 1 D 2 3 4 5 6 7 8 55
Yukarıda verilen venn şemasındaki taralı bölgenin eşitini bulunuz. Ç ( Ç ) evap: ( ) Yukarıda verilen venn şemasındaki taralı bölgenin eşitini bulunuz. È ( È ) evap: ( ) Yukarıda verilen venn şemasındaki taralı bölgenin eşitini bulunuz. Ç ( ) È ( Ç ) evap: ( ) ( ) Yukarıda verilen venn şemasındaki taralı bölgenin eşitini bulunuz. ( ) Ç ( ) evap: ( ) ( ) 56
soru 1 soru 5 Yukarıda verilen venn şemasındaki taralı bölgenin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) ( ) ) ( ) ) ( ) ( ) Yukarıda verilen venn şemasındaki taralı bölgenin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( ) D) ( ) ) ( ) ( ) soru 2 D) ( ) ı ) ( ) ı soru 6 Yukarıda verilen venn şemasındaki taralı bölgenin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) ( ) ) ( ) ) ( ) D) ( ) ) ( ) soru 3 KRTZYN ĞİTİM YYINLRI Yukarıda verilen venn şemasındaki taralı bölgenin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) ( ) ) ( ) ) ( ) D) ( ) ) ( ) soru 7 Yukarıda verilen venn şemasındaki taralı bölgenin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) ( ) ) ( ) ) ( ) D) ( ) ) ( ) soru 4 Yukarıda verilen venn şemasındaki taralı bölgenin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) ( ) ) ( ) ) ( ) D) ( ) ( ) ) ( ) ( ) soru 8 Yukarıda verilen venn şemasındaki taralı bölgenin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) ( ) ) ( ) ) ( ) D) ( ) ) ( ) Yukarıda verilen venn şemasındaki taralı bölgenin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? ) ( ) ) ( ) ) ( ) D) ( ) ) ( ) ( ) 1 2 3 4 D 5 6 7 8 57
, ve olduğuna göre, s( )=7 ve s( )=15 olduğuna göre, s() kaçtır bulunuz. x 2 x+5 s( )=s()+s( ) 15=s()+7 s()=15 7 s()=8 evap: 8, ve olduğuna göre, s( )=3x 1 s()=x 3x 1 x+3 s(( ) ı )=x+3 ve s()=22 olduğuna göre, s() kaçtır bulunuz. s()=s( )+s()+s(( ) ı ) 22=3x 1+x+x+3 22=5x+2 x=4 s()=4 evap: 4 s()=2x+3 s()=x+7 s( )=x 3 ve olduğuna göre, s( ) en az kaçtır bulunuz. s( )=s()+s() s( ) s( ) =2x+3+x+7 (x 3) =3x+10 x+3 =2x+13 olduğundan s( )>0 olmalı x 3>0 ise x>3 ve x=4 s( )=2x+13 x=4 için s( )=2.4+13=21 evap: 21 ( È ) Yukarıdaki venn şemasına göre, s()=x s(( ) )=4x+1 ve s( )=26 olduğuna göre, s() kaçtır bulunuz. s( )=s()+s(( ) ) 26=x+4x+1 25=5x ise x=5 s()=5 evap: 5 58
soru 1 s()=5x 1 s()=2x+4 s( )=7x 12 olduğuna göre, s( ) kaçtır? soru 5 olmak üzere, s()=7 x s( )=x+2 olduğuna göre, s() kaçtır? ) 13 ) 14 ) 15 D) 16 ) 17 ) 8 ) 9 ) 10 D) 11 ) 12 soru 2 s()=x+6 s()=x+5 s( )=x+7 s( )=3x 2 olduğuna göre, s() kaçtır? ) 5 ) 6 ) 7 D) 8 ) 9 soru 6 olmak üzere, s( )=12 4x s( )=3x 1 s()=x 4 olduğuna göre, s() kaçtır? ) 7 ) 8 ) 9 D) 10 ) 11 soru 3 s( )=2x+1 s( )=4x 3 s( )=10 6x olduğuna göre, s( ) kaçtır? KRTZYN ĞİTİM YYINLRI soru 7 olmak üzere, s( )=2x+3 s( )=2x+1 s( )=x 1 ) 8 ) 9 ) 10 D) 11 ) 12 olduğuna göre, s( ) en az kaçtır? ) 9 ) 10 ) 11 D) 12 ) 13 soru 4 soru 8 s( )=x+6 s( )=5 x s( )=x 1 s( )=2x+1 olduğuna göre, s() kaçtır? ) 11 ) 12 ) 13 D) 14 ) 15 Yukarıdaki venn şemasına göre, s( )=3x+4, s( )=x+1 ve s( )=37 olduğuna göre, x kaçtır? ) 6 ) 7 ) 8 D) 9 ) 10 1 2 D 3 4 5 6 7 8 59
KÜM PROLMLRİ