DİJİTAL KOHOMOLOJİ GRUPLARI

Transkript

1 ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI 2014-DR-001 DİJİTAL KOHOMOLOJİ GRUPLARI Gülseli BURAK Tez Danışmanı Prof. Dr. Hatice KANDAMAR 2. Tez Danışmanı Prof. Dr. İsmet KARACA AYDIN

2

3 iii ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÜDÜRLÜĞÜNE AYDIN Matematik Anabilim Dalı Doktora Programı öğrencisi Gülseli BURAK tarafından hazırlanan Dijital Kohomoloji Grupları başlıklı tez, tarihinde yapılan savunma sonucunda aşağıda isimleri bulunan jüri üyelerince kabul edilmiştir. Ünvanı Adı Soyadı Kurumu İmzası Başkan : Prof. Dr. Hatice KANDAMAR ADÜ Fen-Ed. Fakültesi Üye : Prof. Dr. Mehmet Ali SARIGÖL PAÜ Fen-Ed. Fakültesi Üye : Prof. Dr. İsmet KARACA EÜ Fen Fakültesi Üye : Doç. Dr. Ali MUTLU CBÜ Fen-Ed. Fakültesi Üye : Doç. Dr. Adnan MELEKOĞLU ADÜ Fen-Ed. Fakültesi Jüri üyeleri tarafından kabul edilen bu Doktora tezi, Enstitü Yönetim Kurulunun sayılı kararıyla... /... /2012 tarihinde onaylanmıştır. Prof. Dr. Cengiz ÖZARSLAN Enstitü Müdürü

4

5 v ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÜDÜRLÜĞÜNE AYDIN Bu tezde sunulan tüm bilgi ve sonuçların, bilimsel yöntemlerle yürütülen gerçek deney ve gözlemler çerçevesinde tarafımdan elde edildiğini, çalışmada bana ait olmayan tüm veri, düşünce, sonuç ve bilgilere bilimsel etik kuralların gereği olarak eksiksiz şekilde uygun atıf yaptığımı ve kaynak göstererek belirttiğimi beyan ederim Gülseli BURAK

6

7 vii ÖZET DİJİTAL KOHOMOLOJİ GRUPLARI Gülseli BURAK Doktora Tezi, Matematik Anabilim Dalı Tez Danışmanı: Prof. Dr. Hatice KANDAMAR 2. Tez Danışmanı: Prof. Dr. İsmet KARACA 2014, 121 sayfa Bu çalışma dijital görüntülerin simpleksler relatif kohomoloji gruplarını tanımlayarak çeşitli uygulamalarını göstermek amacıyla ele alınmıştır. Öncelikle dijital homotopi, homoloji ve kohomoloji gruplarının tanımları ve bunlarla ilgili uygulamalar verilmiştir. Sonra bunların yardımıyla simpleksler relatif kohomoloji grupları tanımlanmış ve bir dijital görüntünün kohomoloji grubu hesaplanmıştır. Daha sonra dijital görüntüler için cup çarpımı tanımlanarak bununla ilgili özellikler ifade edilmiştir. Bunun sonucu olarak dijital kohomoloji üzerinde halka yapısının olduğu belirlenmiştir. Ayrıca dijital görüntülerin kohomoloji halkasının hesaplanması için bir method belirlenmiş ve dijital kohomoloji halkasının belirlenmesiyle ilgili çeşitli örnekler verilmiştir. Anahtar Sözcükler Dijital simpleksler homoloji grupları, dijital simpleksler kohomoloji grupları, dijital cup çarpımı, dijital kohomoloji halkası

8

9 ix ABSTRACT DIGITAL COHOMOLOGY GROUPS Gülseli BURAK Ph.D. Thesis, Department of Mathematics Supervisor: Prof. Hatice KANDAMAR 2nd Supervisor: Prof. İsmet KARACA 2014, 121 pages The goal of this study is to define simplicial relative cohomology groups of digital images and to give some examples. First of all we study the notions of digital homotopy, homology and cohomology and their applications. Then simplicial relative cohomology groups are defined and cohomology groups of some digital images are calculated. Hence simplicial cup product for digital images is defined and their properties are given. As a result of this the ring structure is determined on digital cohomology. Furthermore a method for computing the cohomology ring of digital images is given and some examples concerned determination cohomology ring of digital images are given. Key Words Digital simplicial homology group, digital simplicial cohomology group, digital cup product,digital cohomology ring

10

11 xi ÖNSÖZ Bu çalışmanın gerçekleşmesinde değerli bilgi ve deneyimlerinden yararlandığım, bana her zaman her konuda yardımcı olan danışman hocalarım sayın Prof. Dr. Hatice KANDAMAR a ve Prof. Dr. İsmet KARACA ya; tez izleme komitesi üyeliğini kabul ederek benden yardımlarını hiç esirgemeyen sayın Prof. Dr. Mehmet Ali SARIGÖL ve Doç. Dr. Adnan MELEKOĞLU hocalarıma; tezin yazımında ve biçimlenmesinde emeği geçen değerli bölüm hocalarıma ve bölüm arkadaşlarıma sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Tüm yaşamım boyunca desteklerini yanımda hissettiğim sevgili aileme ve arkadaşlarıma, göstermiş oldukları sabır ve anlayış için yürekten teşekkür ederim. Gülseli BURAK

12

13 xiii İÇİNDEKİLER KABUL ONAY SAYFASI iii BİLİMSEL ETİK BİLDİRİM SAYFASI v ÖZET vii ABSTRACT ix ÖNSÖZ xi SİMGELER DİZİNİ xv ŞEKİLLER DİZİNİ xvii 1. GİRİŞ TEMEL KAVRAMLAR Dijital Homotopi Basit Kapalı Eğriler Dijital Kapalı Yüzey Dijital Kapalı Yollar Dijital Temel Grup DİJİTAL GÖRÜNTÜLERDE HOMOLOJİ GRUPLARI Euler Karakteristik Dijital Görüntülerin Relatif Homoloji Grupları Eilenberg-Steenrod Aksiyomları Dijital Görüntüler İçin Lefschetz Sabit Nokta Teoremi DİJİTAL GÖRÜNTÜLERDE KOHOMOLOJİ GRUPLARI Dijital Görüntülerin Relatif Kohomoloji Grupları Eilenberg-Steenrod Aksiyomları DİJİTAL GÖRÜNTÜLERDE KOHOMOLOJİ GRUPLARI ÜZERİNDE CUP ÇARPIMI Dijital Görüntülerde Kohomoloji Halkası Dijital Görüntülerde Kohomoloji Cebri Sonuç KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ

14

15 xv SİMGELER DİZİNİ κ (X, κ) [a,b] Z (X, x 0 ) N κ (x 0,ε) Int(X) X Y f g f Yakınlık bağıntısı κ-yakınlıklı dijital görüntü Dijital aralık Noktalı dijital görüntü x 0 noktasının ε yarıçaplı κ-komşuluğu X dijital görüntüsünün içi X ve Y dijital görüntülerinin bağlantılı toplamı f ve g dijital κ-yollarının çarpımı f kapalı yolunun aşikar genişlemesi [ f] X X dijital görüntüsünde kapalı yol sınıfı π1 κ(x, x 0) (X, x 0 ) ın κ-temel grubu Cq(X) κ X dijital görüntüsünde q-boyutlu simpleksler zincir grubu q Z κ q(x) B κ q(x) H κ q(x) ϕ { } χ(x, κ) Cq(K,K κ 0 ) Z κ q(k,k 0 ) B κ q(k,k 0 ) H κ q(k,k 0 ) Sınır operatörü Dijital simpleksler q-devirlerin grubu Dijital simpleksler q-sınırların grubu q-boyutlu dijital simpleksler homoloji grubu ϕ dijital simpleksler dönüşümünün zincir dönüşümü Tek elemanlı dijital görüntü (X, κ) nın Euler karakteristiği q-boyutlu simpleksler relatif zincir grubu Dijital simpleksler relatif q-devirlerin grubu Dijital simpleksler relatif q-sınırların grubu q-boyutlu dijital simpleksler relatif homoloji grubu λ( f) f dönüşümünün Lefschetz sayısı tr( f) f dönüşümünün izi C q,κ (X) X dijital görüntüsünde q-boyutlu simpleksler eşzincir grubu δ q q-boyutlu eşsınır operatörü Z q,κ (X) Dijital simpleksler q-eşdevirlerin grubu B q,κ (X) Dijital simpleksler q-eşsınırların grubu H q,κ (X) q-boyutlu dijital simpleksler kohomoloji grubu C q,κ (K,K 0 ) q-boyutlu simpleksler relatif eşzincir grubu Z q,κ (K,K 0 ) Dijital simpleksler relatif q-eşdevirlerin grubu B q,κ (K,K 0 ) Dijital simpleksler relatif q-eşsınırların grubu H q,κ (K,K 0 ) q-boyutlu dijital simpleksler relatif kohomoloji grubu f f dijital simpleksler dönüşümünün eşzincir dönüşümü Cup çarpımı Direkt toplam

16

17 xvii ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil yakın Şekil yakın ve 8-yakın Şekil yakın, 18-yakın ve 26-yakın Şekil 2.4 MSC 4, MSC 8 ve MSC Şekil 2.5 MSC Şekil 2.6 MSS 18 ve MSS Şekil 2.7 MSS 18 MSS Şekil 3.1 (2,0), (2,1), (8,2) ve (26,3)-simpleksler Şekil 3.2 MSC Şekil 3.3 MSS Şekil 3.4 MSS Şekil 3.5 MSS Şekil 3.6 X Şekil 3.7 A ve U Şekil 3.8 X U ve A U Şekil 4.1 MSS 18 MSS Şekil 4.2 MSS 6 MSS Şekil 4.3 X Şekil 4.4 A ve U Şekil 4.5 X U ve A U Şekil 5.1 ω eşdevri, z eşdevri ve α eşdevri Şekil 5.2 β eşdevri, γ eşdevri ve δ eşdevri Şekil 5.3 x eşdevri, y eşdevri ve z eşdevri Şekil 5.4 r eşdevri, ω eşdevri ve k eşdevri Şekil 5.5 l eşdevri, u eşdevri ve v eşdevri Şekil 5.6 S 2 ve S Şekil 5.7 S

18

19 1 1. GİRİŞ Dijital görüntü analizinin önemi teknolojik gelişmelerle birlikte oldukça artmıştır. Görüntü analizinin endüstride, tıpta ve çevre bilimleri gibi pek çok alanda uygulaması vardır. Topolojik invaryantlar, dijital görüntü analizinde ve bilgisayar grafiklerinde son derece kullanışlı olduğundan topoloji metodlarından yararlanarak dijital topoloji inşa edilmiştir. Dijital topoloji, topoloji kavramlarının görüntü dizilerine uygulanması olarak tanımlanabilir. Dijital topoloji kavramı 1960 ların sonlarında, Rosenfeld [25] tarafından ortaya atılmıştır. Başlangıçta dijital topoloji çalışmaları topolojik kavramlardan çok graf teorisi üzerinde ilerlemiştir lerin sonunda V. Kovalevsky, dijital topolojiyi Alexandroff teorisinin bir parçası olarak ele almıştır. Dijital topolojiye üçüncü yaklaşım 1980 lerde Khalimsky tarafından getirilmiştir. Khalimsky topolojisi, aynı dijital görüntü üzerinde farklı yakınlık bağıntılarının kullanılmasına olanak sağlamıştır. Diskret nesneler üzerinde dijital temel grup kavramı Kong [21] tarafından tanımlanmıştır. Boxer klasik cebirsel topoloji metodlarının, dijital temel grubun inşasında kullanılabileceğini göstermiştir. Cebirsel topolojide homotopi gruplarının hesaplanmasında örtülü uzaylar önemli rol oynadığından Boxer [6] dijital örtülü uzay tanımını vermiştir. Han [15] dijital kapalı yüzeylerin bağlantılı toplamlarının dijital temel grubunu ve Euler karakteristiğini hesaplamaya çalışmış ve bu konuyla ilgili önemli örnekler vermiştir. Dijital temel grup çalışmalarının görüntü analizine önemli katkıları olmuştur. Karaca, Arslan ve Öztel [1] digital görüntülerde simpleksler homoloji grubunu inşa ederek, MSS 18 basit kapalı yüzeyinin simpleksler homoloji grubunu hesaplamışlardır. Karaca ve Ege [9] dijital görüntülerin simpleksler kohomoloji gruplarını ve dijital cup çarpımını tanımlayarak dijital simpleksler kohomoloji için Eilenberg-Steenrod aksiyomlarıyla ilgili önemli sonuçlara ulaşmışlardır.

20 2 Karaca ve Ege [20] iki boyutlu dijital görüntülerin simpleksler homoloji gruplarını ele almışlardır. Bu çalışmada boştan farklı ve κ-bağlantılı X Z sınırlı dijital görüntünün bir boyutlu homoloji grubunun aşikar grup olduğunu göstermişlerdir. Ege ve Karaca [10] dijital görüntülerin simpleksler homoloji gruplarının karakteristik özelliklerini ve dijital görüntülerin simpleksler homoloji grupları için Eilenberg-Steenrod aksiyomlarını incelemişlerdir. Lefschetz Sabit Nokta teoremi, farklı topolojik uzaylar için sabit nokta teoremlerini genelleştirdiğinden Ege ve Karaca [11] dijital görüntüler için de Lefschetz Sabit Nokta teoremini ele alarak sabit nokta özellikleriyle ilgili çeşitli örnekler vermişlerdir. Gonzalez-Diaz ve Real [12] kohomoloji halkaları ile ilgili çalışmalar yapmışlardır. 3-boyutlu kübik komplekslerin kohomoloji halkalarının hesaplanmasıyla ilgili formüller Gonzalez-Diaz, Jimenez ve Medrano [13] tarafından geliştirilmiştir. Gonzalez-Diaz, Lamar ve Umble [14] ise kübik komplekslere homeomorfik hücresel kompleksler elde ederek kohomoloji halkalarının hesaplanmasını basitleştirmeye çalışmışlardır. Kaczynski ve Mrozek [19] kübik komplekslerin kohomoloji halka algoritmasını oluşturmak için cup çarpımı hesaplama yöntemi geliştirmişlerdir. Bu yöntem kohomoloji halkalarının inşasında cebirsel hesaplamaları hızlandırmıştır. Demir ve Karaca [8] çeşitli dijital basit kapalı yüzeylerin bağlantılı toplamlarının simpleksler homoloji gruplarını hesaplamışlardır. Biz bu çalışmada simpleksler kohomoloji halkasının hesaplanması için bir method geliştirdik ve MSS 18, MSS 18 ve MSS 6 gibi minimal basit kapalı yüzeylerin dijital kohomoloji grubunu hesaplayarak, MSS 18 ve MSS 18 in dijital kohomoloji halkasını belirledik.

21 3 2. TEMEL KAVRAMLAR Z tamsayılar kümesi olmak üzere Z n, n-boyutlu Euclid uzayında kafes noktalarının kümesidir. Bir dijital görüntü ikilisi, bir yakınlık bağıntısı ile Z n nin sonlu alt kümesinden oluşur. Dijital görüntü araştırmalarında çeşitli yakınlık bağıntıları kullanıldığından yakınlık bağıntısını tanımlayalım. Tanım 2.1 [2] 1 < l < n olmak üzere pozitif l tam sayısı ve p=(p 1,..., p n ), q=(q 1,...,q n ) Z n ayrık iki nokta için aşağıdaki özellikler sağlanıyorsa p ve q ya κ l -yakın denir; p i q i =1 olacak şekilde en çok l tane i indisi vardır. p j q j = 1 olacak şekilde diğer tüm j indisleri için p j = q j. Buna göre κ l, verilen bir p Z n noktasına yakın olan p Z n noktalarının sayısını gösterir. Tanım 2.1 den Z, Z 2 ve Z 3 de yakınlıkları şu şekilde ifade edilebilir: Z de ayrık p ve q noktaları p q = 1 ise bu noktalara 2-yakındır denir. Z 2 de ayrık p ve q noktaları, her bir koordinatında en fazla 1 farklı ise bu noktalara 8-yakındır denir. Z 2 de ayrık p ve q noktaları 8-yakın ve sadece bir koordinatında farklı ise bu noktalara 4-yakındır denir. Z 3 de ayrık p ve q noktaları, her bir koordinatında en fazla 1 farklı ise bu noktalara 26-yakındır denir. Z 3 de p ve q noktaları 26-yakın ve en fazla iki koordinatında farklı ise bu noktalara 18-yakındır denir.

22 4 Z 3 de p ve q noktaları 18-yakın ve sadece bir koordinatında farklı ise bu noktalara 6-yakındır denir. κ {2,4,8,6,18,26} olsun. Bir p latis noktasının κ-komşuluğu p ye κ-yakın olan noktalardan oluşur. p Şekil yakın p p Şekil yakın ve 8-yakın Şekil yakın, 18-yakın ve 26-yakın Tanım 2.2 [2] κ, Z n üzerinde bir yakınlık bağıntısı olsun. X Z n dijital görüntüsünün κ-bağlantılı olması için gerek ve yeter şart her x, y X farklı noktaları için X in noktalarının bir x 0, x 1,..., x r kümesi vardır öyle ki x= x 0, y=x r ve i = 0,1,...,r 1 için x i ve x i+1, κ-komşudur. Bir X dijital görüntüsünün bir κ-bileşeni X in en büyük κ-bağlantılı alt kümesidir.

23 5 Örnek 2.3 X Z 2 kümesi X ={x 0 =(0,0), x 1 =(1,1), x 2 =(2,0), x 3 =(3,1)} olsun. X dijital görüntüsünde i = 0,1,2 için x i ve x i+1, 8-komşu olduğundan X, 8-bağlantılı bir kümedir. Tanım 2.4 a,b Z ve a<bolsun. [a,b] Z ={z Z a z b} kümesine bir dijital aralık denir. Tanım 2.5 [15] p Z n noktasına κ-yakın olan noktaların kümesine p nin κ-komşuluğu denir. (X,κ) Z n dijital görüntüsü ve ε N olsun. x 0 X in ε yarıçaplı κ-komşuluğu, l κ (x 0, x), x 0 dan x e en kısa basit κ-yolunun uzunluğu olmak üzere; N κ (x 0,ε)={x X l κ (x 0, x) ε} {x 0 } şeklinde tanımlanır. Örnek 2.6 X Z 2 kümesi X ={x 0 =(1,1), x 1 =(2,1), x 2 =(3,2), x 3 =(3,0), x 4 =(4,0)} olsun. X dijital görüntüsünde x 1 e 4-yakın olan sadece x 0 olduğundan x 1 in 4-komşuluğunda x 0 vardır. x 1 in 8-komşuluğunda bulunan noktalar ise x 0, x 2 ve x 3 dür. Tanım 2.7 [2] X Z n 0, κ 0 -yakınlıklı ve Y Z n 1, κ 1 -yakınlıklı dijital görüntüler olsun. X in her κ 0 -bağlantılı U alt kümesi için f(u), Y nin κ 1 -bağlantılı alt kümesi ise f : X Y fonksiyonu (κ 0,κ 1 )-süreklidir denir.

24 6 Örnek 2.8 X Z ve Y Z 2 kümeleri sırasıyla X ={x 0 = 1, x 1 = 2, x 2 = 3, x 3 = 4}, Y ={y 0 =(0,0),y 1 =(1,1),y 2 =(2,0),y 3 =(3,1)} olsun. f : X Y fonksiyonu i= 0,1,2,3 için f(x i )=y i şeklinde tanımlansın. X in her 2-bağlantılı U alt kümesi için f(u), Y nin 8-bağlantılı alt kümesi olduğundan f : X Y fonksiyonu (2,8)-süreklidir. Önerme 2.9 [3] X Z n 0, κ 0 -yakınlıklı ve Y Z n 1, κ 1 -yakınlıklı dijital görüntüler olsun. f : X Y fonksiyonunun (κ 0,κ 1 )-sürekli olması için gerek ve yeter şart X in her κ 0 -yakın {x 0, x 1 } noktaları için f(x 0 ) = f(x 1 ) veya f(x 0 ) ve f(x 1 ), Y de κ 1 -yakındır. İspat: f : X Y,(κ 0,κ 1 )-sürekli olduğunda X in κ 0 -bağlantılı {x 0, x 1 } alt kümesi için { f(x 0 ), f(x 1 )} Y nin κ 1 -bağlantılı alt kümesidir. Yani f(x 0 ) ile f(x 1 ) Y de κ 1 -yakındır veya f(x 0 )= f(x 1 ) dir. Tersine κ 0 -yakın x 0, x 1 X noktaları için yani X in κ 0 -bağlantılı {x 0, x 1 } alt kümesi için f(x 0 ) = f(x 1 ) veya f(x 0 ) ve f(x 1 ), Y de κ 1 -yakın ise { f(x 0 ), f(x 1 )} Y nin κ 1 -bağlantılı alt kümesidir. Bu durumda f : X Y fonksiyonu (κ 0,κ 1 )-süreklidir. Örneğin, κ, Y dijital görüntüsü üzerinde bir yakınlık bağıntısı olsun. f :[a,b] Z Y fonksiyonunun (2,κ)-sürekli olması için gerek ve yeter şart her c,c+1 [a,b] Z için f(c)= f(c+1) veya f(c) ile f(c+ 1) in Y de κ-yakın olmasıdır. X Z n 0, κ 0 -yakınlıklı ve Y Z n 1, κ 1 -yakınlıklı dijital görüntüler olsun. f : X Y fonksiyonu (κ 0,κ 1 )-sürekli ve bijektif, f 1 : Y X fonksiyonu (κ 1,κ 0 )-sürekli ise f fonksiyonuna (κ 0,κ 1 )-izomorfizm denir [1] ve X (κ0,κ 1 ) Y şeklinde gösterilir.

25 Dijital Homotopi Tanım 2.10 [2] X Z n 0, κ 0 -yakınlıklı, Y Z n 1, κ 1 -yakınlıklı dijital görüntüler ve f, g : X Y fonksiyonu (κ 0,κ 1 )-sürekli fonksiyonlar olsun. Pozitif bir m tamsayısı ve aşağıdaki özellikleri sağlayan H : X [0,m] Z Y fonksiyonu varsa, f ve g fonksiyonlarına Y de dijital (κ 0,κ 1 )-homotopik fonksiyonlar denir. x X için H(x,0)= f(x) ve H(x,m)=g(x), x X için H x :[0,m] Z Y t H x (t)=h(x,t), şeklinde tanımlanan H x indirgenmiş fonksiyonu (2,κ 1 )-süreklidir. t [0,m] Z için H t : X Y x H t (x)= H(x,t), şeklinde tanımlanan H t indirgenmiş fonksiyonu (κ 0,κ 1 )-süreklidir. Burada H fonksiyonuna f ve g arasında dijital (κ 0,κ 1 )-homotopi fonksiyonu denir. f ve g fonksiyonlarının Y de dijital (κ 0,κ 1 )-homotopik olduğunu göstermek için f (κ0,κ 1 ) g notasyonunu kullanılır. X Z n 0, κ 0 -yakınlıklı ve Y Z n 1, κ 1 -yakınlıklı dijital görüntüler olsun. f : X Y (κ 0,κ 1 )-sürekli fonksiyonu için

26 8 g f (κ0,κ 0 ) 1 X ve f g (κ1,κ 1 ) 1 Y olacak şekilde g : Y X, (κ 1,κ 0 )-sürekli fonksiyonu varsa f fonksiyonuna (κ 0,κ 1 )-homotopi denklik denir [4]. X ve Y dijital görüntüleri aynı (κ 0,κ 1 )-homotopi tipine sahiptir ve X ile Y,(κ 0,κ 1 )-homotopi denktir denir [4]. Lemma 2.11 bir denklik bağıntısıdır. [2] Dijital (κ 0,κ 1 )-homotopi, dijital sürekli fonksiyonlar arasında İspat: Dijital homotopinin yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağladığını göstermeliyiz. Her (κ 0,κ 1 )-sürekli f : X Y fonksiyonu ve her pozitif m tamsayısı için, H : X [0,m] Z Y fonksiyonunu her (x,t) X [0,m] Z için H(x,t)= f(x) şeklinde tanımlandığında f den f ye dijital (κ 0,κ 1 )-homotopi olur. O halde dijital homotopi yansıma özelliğini sağlar. H : X [0,m] Z Y fonksiyonu f den g ye dijital (κ 0,κ 1 )-homotopi olsun. G : X [0,m] Z Y fonksiyonunu her (x,t) X [0,m] Z için G(x,t)= H(x,m t) şeklinde tanımlanırsa g den f ye dijital (κ 0,κ 1 )-homotopi olur. Böylece dijital homotopinin simetri özelliğini sağladığı görülür. H : X [0,m] Z Y fonksiyonu f den g ye dijital (κ 0,κ 1 )-homotopi ve G : X [0,m 0 ] Z Y fonksiyonu g den h a dijital (κ 0,κ 1 )-homotopi olsun. F : X [0,m+m 0 ] Z Y fonksiyonu { F(x,t)= H(x,t), G(g(x),t m), (x,t) X [0,m] Z (x,t) X [m,m+m 0 ] Z

27 9 şeklinde tanımlandığında f den h a dijital (κ 0,κ 1 )-homotopi olur. Bu durumda dijital homotopi geçişme özelliğini sağlar. Tanım 2.12 [2] f : X Y dijital sürekli fonksiyonu Y de bir sabit fonksiyona dijital homotopik ise f fonksiyonuna Y de dijital nulhomotopik denir. Tanım 2.13 [2] Bir X dijital görüntüsü için I : X X birim dönüşümü dijital nulhomotopik ise X e dijital büzülebilirdir denir. Örnek 2.14 [2] X Z 2 kümesi X ={(1,0),(0,1),( 1,0),(0, 1)} 8-büzülebilirdir. H : X [0,2] Z X homotopi fonksiyonunu şu şekilde tanımlayalım: Her p X için H(p,0)= p; H((1,0),1)=H((0, 1),1)=(1,0), H((0,1),1)=H(( 1,0),1)=(0,1); Her p X için H(p,2)=(1,0). Tanım 2.15 [3] X dijital görüntüsü ve x 0 X için(x, x 0 ) ikilisine noktalı dijital görüntü denir. f : (X, x 0 ) (Y,y 0 ) dijital sürekli fonksiyonu f(x 0 ) = y 0 şartını sağlıyorsa f fonksiyonuna noktalı dijital sürekli fonksiyon denir. Tanım 2.16 [3] f ve g, (X, x 0 ) dan (Y,y 0 ) a tanımlı noktalı dijital sürekli fonksiyonlar ve H, f ile g arasında dijital (κ 0,κ 1 )-homotopi olsun. Her t [0,m] Z için H(x 0,t)=y 0 ise H a(κ 0,κ 1 )-noktalı dijital homotopi denir. Tanım 2.17 [6] f, g :[0,m 0 ] Z Y,(2,κ)-sürekli fonksiyonları arasında H : [0,m 0 ] Z [0,m 1 ] Z Y, (2,κ)-homotopi fonksiyonu her t [0,m 1 ] Z için H(0,t) = f(0) = g(0) ve H(m 0,t) = f(m 0 ) = g(m 0 ) ise H a uç noktaları sabit tutan homotopi denir.

28 Basit Kapalı Eğriler Tanım 2.18 [3] X Z n, κ-yakınlıklı bir dijital görüntü olsun. Bir m > 3 tamsayısı ve f :[0,m 1] Z X, (2,κ)-sürekli fonksiyonu için f bire-bir ve örten, f(0) ve f(m 1), κ-yakın, Her t [0,m 1] Z için f([0,m 1] Z ) de f(t) nin κ-komşulukları sadece f((t 1)modm) ve f((t+ 1)modm) koşulları sağlanıyorsa X e dijital basit kapalı κ-eğri denir. Örnek 2.19 X Z 2 kümesi X ={(1,0),(0,1),( 1,0),(0, 1)} olsun. f : [0,3] Z X fonksiyonu f(0) = (1,0), f(1) = (0,1), f(2) = ( 1,0), f(3) =(0, 1) şeklinde tanımlansın. Bu fonksiyon(2, 8)-süreklidir ve basit kapalı eğri koşullarını sağlar. Şekil 2.4. MSC 4, MSC 8 ve MSC 8 MSC 4, MSC 8 ve MSC 8, Z 2 de minimal basit kapalı eğrilerdir.

29 11 Tanım 2.20 [15] c = (x 0, x 1,..., x n ), Z 2 de kapalı κ-eğri olsun. c ın Z 2 de tümleyeni olan c nın bir x noktası, c nın sınırlı κ-bağlantılı bileşenine aitse c ın iç noktasıdır denir. Int(c ) ile gösterilir. Bir dijital görüntü ayrık noktalardan oluştuğu için dijital görüntünün kapanışı kendisine eşittir. Yani A dijital görüntüsü için A nın kapanışını A ile gösterilirse A= A dır. MSC4, MSC 8 ve MSC 8 dijital görüntüleri, kapalı κ-yüzeylerin dijital bağlantılı toplamını tanımlarken önemli rol oynayacaktır: MSC 4 = MSC 4 Int(MSC 4 ) MSC 8 = MSC 8 Int(MSC 8 ) MSC 8 = MSC 8 Int(MSC 8 ) (X,κ) Z n bir dijital görüntü olsun. x,y,z X ve y ile z birbirlerine κ-yakın olsun. x noktası sadece y ve z noktalarına κ-yakın ise x noktasına κ-köşe noktası denir [15]. y ve z, κ-köşe noktaları değil ve x noktası y ve z nin her ikisine de κ-yakın olan tek nokta ise x, κ-köşe noktasına basittir denir. X dijital görüntüsünün tüm basit κ-köşeleri çıkarıldığında bir basit kapalı κ-eğri elde ediliyorsa X e genelleştirilmiş basit kapalı κ-eğri denir [15]. Örnek 2.21 MSC 4 basit kapalı 4-eğrisini ele alalım. p 3 p 2 p 1 p 4 p 0 p 5 p 6 p 7 Şekil 2.5. MSC 4

30 12 {p 1, p 3, p 5, p 7 } MSC 4 kümesinin her bir elemanı basit 8-köşe noktasıdır. Bu noktalar çıkarıldığında MSC 8 basit kapalı 8-eğrisi elde edilir. MSC 4 genelleştirilmiş basit kapalı 8-eğridir Dijital Kapalı Yüzey Tanım 2.22 [16] (X,κ) Z n, n 3için dijital görüntü ve X = Z n X olsun. Aşağıdaki koşullar sağlanıyorsa X e kapalı κ-yüzey denir. 1. (κ,κ) {(κ,2n),(2n,3 n 1)} ve κ = 3 n 2 n 1 için; Her x X için X x = N 26 (x,1) {x} kümesi x e κ-yakın olan bir tane eleman içerir. X x, x e κ-yakın iki tane κ bileşene sahiptir. (Bu bileşenleri C xx ve D xx ile gösterelim.) Her y N κ X için N κ C xx = ve N κ D xx = dir. Ayrıca X kapalı κ-yüzeyi için, X basit κ-noktaya sahip değil ise X e basit kapalı κ-yüzey denir. 2. (κ,κ)=(3 n 2 n 1,2n) için; X, κ-bağlantılıdır. Her x X için X x genelleştirilmiş basit kapalı eğridir. Ayrıca X x basit kapalı κ-eğri ise X e basit kapalı κ-yüzey denir. Örnek 2.23 MSS 18 ve MSS 18 minimal basit kapalı 18-yüzeylerdir. Tanım 2.24 [15] n 0,n 1 3 için S κ0, Z n 0 da kapalı bir κ 0 -yüzey, A κ0 A κ 0 S κ0 ve S κ1, Z n 1 de kapalı bir κ 1 -yüzey olsun. Burada

31 13 Şekil 2.6. MSS 18 ve MSS 18 A κ0 (κ0,8).h MSC 8, A κ 0 (κ0,4).h MSC 4 veya A κ0 (κ0,8).h MSC 8 ve ayrıca, A κ 0 (κ0,8).h Int(MSC 8 ), A κ 0 (κ0,4).h Int(MSC 4 ) veya A κ 0 (κ0,8).h Int(MSC 8 ) dır. f : A κ0 f(a κ0 ) S κ 1 bir (κ 0,κ 1 )-izomorfizm olmak üzere S κ 1 = S κ1 f(a κ 0 ) ve S κ 0 = S κ0 A κ 0 dır. S κ 0 S κ 1 ayrık birleşimi üzerinde, i : A κ0 A κ 0 S κ 0 dönüşümü kapsama dönüşümü olsun. S κ0 dan A κ 0 nün çıkarılmasıyla ve A κ0 A κ 0 ile f(a κ0 A κ 0 ) nün denkliğinden aşağıdaki gibi tanımlanan bir S κ 0 S κ 1 / bölüm uzayı elde edilir: x A κ0 A κ 0 için i(x) f(x)=y S κ 1 denklik sınıflarının kümesine bağlantılı toplam denir ve S κ0 S κ1 ile gösterilir. Örnek 2.25 MSS 18 MSS 18 bağlantılı toplamını ele alalım Dijital Kapalı Yollar Tanım 2.26 [3] Bir X dijital görüntüsünde dijital κ-yol f : [0,m] Z X, (2, κ)-sürekli fonksiyonudur. Ayrıca f(0) = f(m) ise f e dijital κ-kapalı yol (loop) ve f(0) a da f kapalı yolunun baz noktası denir. f sabit fonksiyonsa f dönüşümüne aşikar kapalı yol denir.

32 14 p 2 p 1 c 1 c 2 p 4 p 5 c 5 c 4 p 3 p 8 p 9 p 0 c 0 c 9 c 8 c 3 p 7 p 6 c 6 c 7 c 1 c 2 c 7 c 6 c 5 c13 c12 c 3 c 0 c 11 c 4 c 8 c 9 c 10 Şekil 2.7. MSS 18 MSS 18 Örnek 2.27 K,[0,1] 3 Z birim küpü ve X = K\{(0,0,0),(1,1,1)} olsun. f :[0,6] Z X fonksiyonu f(0)= f(6)=(1,0,0), f(1)=(1,1,0), f(2)=(0,1,0), f(3)=(0,1,1), f(4)=(0,0,1), f(5)=(1,0,1) şeklinde tanımlansın. f bir kapalı yoldur. X de f ve g dijital κ-yolları için f in bittiği yerde g başlasın; yani f :[0,m 1 ] Z X ve g : [0,m 2 ] Z X dijital yolları için f(m 1 ) = g(0) olsun. Bu durumda f ve g nin çarpımı olan ( f g) :[0,m 1 + m 2 ] Z X fonksiyonu { ( f g)(t)= şeklinde tanımlanır [3]. f(t), g(t m 1 ), t [0,m 1 ] Z t [m 1,m 1 + m 2 ] Z Tanım 2.28 [3] m 1 m 2 olmak üzere f : [0,m 1 ] Z X kapalı yolunun aşikar genişlemesi { f f(t), 0 t m1 (t)= f(m 1 ), m 1 t m 2 şeklinde tanımlanan f :[0,m 2 ] Z X fonksiyonudur.

33 15 Tanım 2.29 [6] Aynı p X baz noktalı f 0, f 1 dijital kapalı yollarının aşikar genişlemeleri arasında uç noktaları sabit tutan bir H homotopisi varsa f 0 ve f 1 dijital kapalı yolları aynı [ f] X kapalı yol sınıfına aittir denir. Önerme 2.30 [3] f 1, f 2, g 1, g 2, (X, x 0 ) noktalı dijital görüntüsünde dijital kapalı yollar olsun. f 2 [ f 1 ] X ve g 2 [g 1 ] X ise f 2 g 2 [ f 1 g 1 ] X dir. İspat: f 2 [ f 1 ] X olduğundan f 1 ile f 2 nin sırasıyla f 1, f 2 : [0,m] Z X aşikar genişlemeleri arasında bir noktalı F : [0,m] Z [0, p] Z X homotopisi vardır. Benzer şekilde g 2 [g 1 ] X olduğundan g 1 ile g 2 nin sırasıyla g 1, g 2 :[0,m ] Z X aşikar genişlemeleri arasında bir noktalı G : [0,m ] Z [0,q] Z X homotopisi vardır. H :[0,m+m ] Z [0, p+q] Z X homotopisini f 1 (s), g H(s,t)= 1 (s m), f 2 (s), g 2 (s m), şeklinde tanımlayalım. f 1, g 1, f 2 ve g 2 süreklidir. ve H(s,0)=( f 1 g 1 )(s)= { { H(s, p+q)=( f 2 g 2)(s)= s [0,m] Z, t [0, p] Z s [m,m+m ] Z, t [0, p] Z s [0,m] Z, t [p, p+q] Z s [m,m+m ] Z, t [p, p+q] Z dijital sürekli olduğundan H da dijital f 1 (s), g 1 (s m), f 2 (s), g 2 (s m), s [0,m] Z s [m,m+m ] Z s [0,m] Z s [m,m+m ] Z olduğundan H, f 1 g 1 ile f 2 g 2 arasında bir noktalı homotopidir. Bu durumda f 2 g 2 [ f 1 g 1 ] X dir Dijital Temel Grup Bir X dijital görüntüsünde x 0 baz noktalı [ f] X κ-kapalı yol sınıflarının kümesi Π κ 1 (X, x 0) olsun. Önerme 2.30 dan,

34 16 [ f] X.[g] X =[ f g] X şeklinde tanımlanan çarpma işlemi Π κ 1 (X, x 0) üzerinde iyi tanımlıdır. Lemma 2.31 [3]. çarpma işlemi Π κ 1 (X, x 0) üzerinde birleşmelidir. İspat: f 1, f 2, f 3, (X, x 0 ) noktalı dijital görüntüsünde dijital kapalı yollar olsun. i {1,2,3} için f i :[0,m i ] Z X olsun. Bu durumda( f 1 f 2 ) f 3 ve f 1 (f 2 f 3 ) çarpımlarının her biri f 1 (t), 0 t m 1 F(t)= f 2 (t m 1), m 1 t m 1 + m 2 f 3 (t m 1 m 2 ), m 1 + m 2 t m 1 + m 2 + m 3 şeklinde tanımlanan F :[0,m 1 + m 2 + m 3 ] Z X yoluna eşittir. Böylece ([ f 1 ] X.[ f 2 ] X ).[ f 3 ] X =[ f 1 f 2 ] X.[ f 3 ] X =[( f 1 f 2 ) f 3 ] X =[ f 1 ( f 2 f 3 )] X =[ f 1 ] X.[ f 2 f 3 ] X olur. =[ f 1 ] X.([ f 2 ] X.[ f 3 ] X) Lemma 2.32 [3] (X, x 0 ) noktalı dijital görüntü, x 0 : [0,m] Z X, görüntüsü {x 0 } olan bir aşikar kapalı yol olsun. Bu durumda [x 0 ] X, Π κ 1 (X, x 0) ın birim elemanıdır. İspat: [ f] X Π κ 1 (X, x 0) sınıfından f :[0,m ] Z X dönüşümünü alalım. { f(t), t [0,m ( f x 0 )(t)= ] Z x 0 (t m ), t [m,m + m] Z { f(t), t [0,m = ] Z x 0, t [m,m + m] Z { x0 (t), t [0,m] (x 0 f)(t)= Z f(t m), t [m,m+m ] Z { x = 0, t [0,m] Z f(t m), t [m,m+m ] Z

35 17 f x 0 ve x 0 f, f in aşikar genişlemeleridir. Bu durumda f x 0 ve x 0 f aynı kapalı yol sınıfına aittir. Böylece[x 0 ] X, Π κ 1 (X, x 0) ın birim elemanıdır. Lemma 2.33 [3] f :[0,m] Z X, Π κ 1 (X, x 0) ın bir elemanı ise g(t)= f(m t), t [0,m] Z şeklinde tanımlanan g :[0,m] Z X fonksiyonu Π κ 1 (X, x 0) da[ f] 1 X in elemanıdır. İspat: f g ve g f fonksiyonlarının her birinin görüntüsü {x 0 } olan x 0 : [0,2m] Z X sabit fonksiyonu ile aynı kapalı yol sınıfına ait olduğunu göstermeliyiz. f g :[0,2m] Z X kapalı yolu { ( f g)(t)= { = f(t), g(t m), t [0,m] Z t [m,2m] Z f(t), t [0,m] Z f(2m t), t [m,2m] Z olur. H :[0,2m] Z [0,m] Z X fonksiyonunu { ( f g)(t1 ), 0 t H(t 1,t 2 )= 1 m t 2 veya m+t 2 t 1 2m ( f g)(m t 2 ), diğer durumlarda olarak alalım. Her t 2 [0,m] Z için H(0,t 2 ) = x 0 ve H(2m,t 2 ) = x 0 elde edilir. H, f g ile x 0 arasında bir noktalı dijital homotopidir. Böylece f g [x 0 ] X olur. Benzer şekilde g f [x 0 ] X olduğu da gösterilebilir. Teorem 2.34 [3]. çarpma işlemi altında Π κ 1 (X, x 0) bir gruptur. (Bu gruba (X, x 0 ) ın κ-temel grubu denir.) İspat: Lemma 2.31, Lemma 2.32 ve Lemma 2.33 den ispat elde edilir. Önerme 2.35 [3](X,κ) bir dijital görüntü, x 0 X olsun. X, κ-noktalı büzülebilir ise Π κ 1 (X, x 0) aşikar gruptur. (Π κ 1 (X, x 0) ın tek elemanı [x 0 ] X dir.)

36 18 İspat: (X, κ) dijital görüntüsü κ-noktalı büzülebilir ise Her x X için H(x,0)=x; Her x X için H(x,m)=x 0 ; Her t [0,m] Z için H(x 0,t)=x 0 ; olacak şekilde bir H : X [0,m] Z X dijital homotopisi vardır. f :[0,n] Z X dijital kapalı yolu[ f] X in herhangi bir elemanı olsun. Her(s,t) [0,n] Z [0,m] Z için G(s,t)=H( f(s),t) fonksiyonu f ile x 0 arasında noktalı dijital homotopidir. Böylece[ f] X =[x 0 ] X elde edilir. Örnek 2.36 [3] MSC 8 8-büzülebilir olduğundan temel grubu aşikar gruptur. Önerme 2.37 [3](X,κ 0 ), Z n 0 da, (Y,κ 1 ), Z n 1 de dijital görüntüler olsun. h :(X, x 0 ) (Y,y 0 ) dönüşümü(κ 0,κ 1 )-izomorfizm ise h ([ f])=[h f] eşitliğiyle tanımlı h : Π κ 0 1 (X, x 0) Π κ 1 1 (Y,y 0) indirgenmiş dönüşümü dijital temel grup izomorfizmidir. İspat: h, (κ 0,κ 1 )-izomorfizm ise (κ 1,κ 0 )-sürekli g :(Y,y 0 ) (X, x 0 ) dönüşümü için g h (κ0,κ 0 ) 1 X ve h g (κ1,κ 1 ) 1 Y olur. [ f 0 ] Π κ 0 1 (X, x 0), [g 0 ] Π κ 1 1 (Y,y 0) için (g h )([ f 0 ])=[(g h) f 0 ]=[ f 0 ] (h g )([g 0 ])=[(h g) g 0 ]=[g 0 ]

37 19 dır. Bu durumda h ve g ters fonksiyonlardır. h ın homomorfizm olduğunu gösterelim: h ([ f 0. f 1 ])=[(h f 0 ).(h f 1 )]=h ([ f 0 ]) h ([ f 1 ]) Benzer şekilde g da homomorfizmdir. h dönüşümü bir dijital temel grup izomorfizmidir.

38

39 3. DİJİTAL GÖRÜNTÜLERDE HOMOLOJİ GRUPLARI Cebirsel topolojide homoloji gruplarının hesaplanması, yüksek dereceli homotopi gruplarının hesaplanmasından daha kolaydır. Bu nedenle bir dijital görüntünün homoloji grubunun hesaplanması homotopi grubunun hesaplanmasına tercih edilir. Tanım 3.1 olsun. [7] S, (X,κ) (Z n,κ) dijital görüntüsünün boştan farklı alt kümesi s S ve p ile q, s nin ayrık noktaları olmak üzere p ve q, κ-yakın; s Sve = t sise t S; şartları sağlanıyorsa S nin elemanlarına (X, κ) nın dijital simpleksleri denir. Bir S simpleksi m-simplekstir öyle ki S = m + 1 dir. P, bir dijital m-simpleks olsun. P, P nin boştan farklı öz alt kümesi ise P ne P nin bir yüzü denir. Şekil 3.1. (2,0), (2,1), (8,2) ve (26,3)-simpleksler Tanım 3.2 [7] Negatif olmayan d tamsayısı için 0 m dolmak üzere (X,κ), dijital m-simplekslerin sonlu kolleksiyonu olsun. Aşağıdaki şartlar sağlanıyorsa (X, κ) ya sonlu dijital simpleksler kompleksi denir; P, X e aitse P nin her yüzü de X e aittir. P, Q X ise P Q ya boştur ya da P ve Q nun ortak yüzüdür. X dijital simpleksler kompleksinin m tane simpleksi varsa X in boyutu m dir.

40 22 Tanım 3.3 gruptur. [7] C κ q(x), X de her dijital (κ,q)-simpleksi baz olan serbest abel Sonuç 3.4 [1] (X,κ) Z n de m boyutlu bir dijital simpleksler kompleksi olsun. Her q>miçin, C κ q(x) bir aşikar gruptur. İspat: X, m boyutlu bir dijital simpleksler kompleksinde q > m için(κ, q)-simpleks mevcut olmadığından C κ q(x)={0} dır. Tanım 3.5 [7](X,κ) Z n de m boyutlu bir dijital simpleksler kompleksi olsun. p i, p i elemanının simpleksten çıkarılması olmak üzere; q q ( p 0, p 1,..., p q )= ( 1) i p 0, p 1,..., p i,..., p q, m q i=0 0, m<q şeklinde tanımlanan q : Cq(X) C κ q 1 κ (X) homomorfizmine sınır operatörü denir. Örnek 3.6 MSC 8 dijital görüntüsünü ele alalım. p 3 p 0 p 2 p 1 Şekil 3.2. MSC 8 MSC 8 ={p 0 =(1,2), p 1 =(2,1), p 2 =(3,2), p 3 =(2,3)} Z 2 ve p 0 < p 1 < p 3 < p 2 olsun. 0-simpleksler p 0, p 1, p 2, p 3

41 23 ve 1-simpleksler e 0 = p 0 p 3,e 1 = p 3 p 2,e 2 = p 1 p 2,e 3 = p 0 p 1 şeklindedir. 1-simplekslere sınır operatörünü uygularsak 1 (e 0 )= p 3 p 0 1 (e 1 )= p 2 p 3 1 (e 2 )= p 2 p 1 1 (e 3 )= p 1 p 0 ede edilir. Önerme 3.7 [1] Her 1 q miçin q 1 q = 0 dır. İspat: Her p 0, p 1,..., p q C κ q(x) için j i q 1 q ( p 0, p 1,..., p q )= q 1 ( = q 1 j=0 q i=0 ( 1) j ( ( 1) i p 0,..., p i,..., p q ) q i=0 ( 1) i p 0,..., p j,..., p i,..., p q ) = ( 1) i+j ( p 0,..., p i,..., p j,..., p q ) i<j + ( 1) i+j ( p 0,..., p j,..., p i,..., p q ) j i ( 1) i+j ( p 0,..., p j,..., p i,..., p q )= ( 1) k+l+1 ( p 0,..., p k,..., p l,..., p q ) olduğundan k<l q 1 q ( p 0, p 1,..., p q )=0 elde edilir. Sonuç 3.8 [1](X,κ) Z n de m boyutlu dijital simpleksler kompleksi olsun.

42 24 C (X) κ m+1 : 0 Cm(X) κ m Cm 1 κ (X) m C0 κ(x) 0 0 bir zincir komplekstir. İspat: C κ q(x) serbest abel grup, q homomorfizm ve q 1 q = 0 olduğundan C (X) κ m+1 : 0 Cm(X) κ m Cm 1 κ (X) m C0 κ(x) 0 0 bir zincir kompleks olur. Şimdi q-boyutlu dijital homoloji grubunu tanımlayalım; Tanım 3.9 [1] (X, κ), dijital simpleksler kompleksi olsun. Zq(X)=Ker κ q grubuna dijital simpleksler q- devirlerin grubu denir. Bq(X)=Im κ q+1 grubuna dijital simpleksler q- sınırların grubu denir. Hq(X)=Z κ q(x)/b κ q(x) κ bölüm grubuna q. dijital simpleksler homoloji grubu denir. Tanım 3.10 [7] ϕ : (X,κ 0 ) (Y,κ 1 ) dijital görüntüler arasında bir fonksiyon olsun. X de κ 0 -yakınlıklı her P dijital (κ 0,m)-simpleksi için ϕ(p), n m için Y de (κ 1,n)-simpleks ise ϕ ye dijital simpleksler dönüşüm denir. Tanım 3.11 [7] ϕ : (X,κ 0 ) (Y,κ 1 ) dijital simpleksler dönüşüm olsun. q 0 için ϕ : C κ 0 q (X) C κ 1 q (Y) homomorfizmi ϕ ( p 0,..., p q )= ϕ(p 0 ),..., ϕ(p q ) şeklinde tanımlanır.

43 25 Teorem 3.12 [1] f :(X,κ 0 ) (Y,κ 1 ) bir dijital (κ 0,κ 1 )-izomorfizm ise H κ 0 q (X) = H κ 1 q (Y) dir. İspat: f : (X,κ 0 ) (Y,κ 1 ) bir dijital (κ 0,κ 1 )-izomorfizm olsun. Bu durumda f sürekli olduğundan "x 1, x 2 X, x 1 ve x 2, κ 0 -yakındır f(x 1 ) ve f(x 2 ), κ 1 -yakın veya f(x 1 )= f(x 2 ) dir" koşulunu sağlar. m q 0olsun. f : C κ 0 q (X) C κ 1 q (Y) p 0, p 1,..., p q f ( p 0, p 1,..., p q )= f(p 0 ), f(p 1 ),..., f(p q ) şeklinde tanımlanır. f dönüşümü f nin tanımından dolayı iyi tanımlı ve bijeksiyondur. Böylece C κ 0 q (X) = C κ 1 q (Y) elde edilir. Sonuç olarak H κ 0 q (X) = H κ 1 q (Y) olur. Teorem 3.13 [1] (X, κ) tek noktalı dijital görüntü ise H κ q(x)= { Z, q=0 0, q>0 dır. İspat: X={x 0 } olsun. m q> 0 için X in içerdiği dijital (κ,q)-simpleks mevcut olmadığından C κ q(x)=0 dır. Böylece, tüm m q>0için H κ q(x)=0dır. q=0olsun. C0 κ (X), dijital(κ,0)-simpleks bazlı serbest değişmeli grup olduğundan C κ 0 (X) = Z dir. 1 0 C0 κ(x) 0 0

44 26 kısa dizisinde Im 1 = 0 ve Ker 0 = Z dir. Böylece H κ 0 (X) = Z dir. Teorem 3.14 [1] X dijital basit kapalı κ-eğri ise H κ q(x)= { Z, q=0,1 0, q = 0,1 dır. İspat: X = {x 0, x 1,..., x q } Z 2 bir dijital basit kapalı κ-eğri olsun. Bu durumda, x i ve x j, κ-yakındır i = j± 1(modq) dur. C κ 0 (X)={ x 0, x 1,..., x q } = Z q+1 C κ 1 (X)={ x 0, x 1, x 1, x 2,..., x q, x 0 } = Z q+1 dir. m>q>1için C κ q(x)=0olduğundan H κ q(x)=0dır. 2 0 C1 κ(x) 1 Cκ 0 (X) 0 0 kısa dizisinden Im 2 = 0 ve Ker 0 = Z q+1 bulunur. Diğer taraftan 1 (n 0 x 0, x 1 +n 1 x 1, x 2 + +n q x q, x 0 )= n 0 (x 1 x 0 )+n 1 (x 2 x 1 )+ +n q (x 0 x q ) eşitliğinden Im 1 = Z q dur. 1 (n 0 x 0, x 1 +n 1 x 1, x 2 + +n q x q, x 0 )=0 n 0 (x 1 x 0 )+n 1 (x 2 x 1 )+ + n q (x 0 x q )=0 (n q n 0 )x 0 +(n 0 n 1 )x 1 + +(n q 1 n q )x q = 0 eşitliği çözüldüğünde n 0 = n 1 = =n q = n olur. Buradan Ker 1 = Z dir. Sonuç olarak H1 κ(x)= Z= Hκ 0 (X) elde edilir.

45 27 Teorem 3.15 dir. [1] (X,κ) Z n dijital görüntüsü κ-yol bağlantılı ise H κ 0 (X) = Z İspat: X in 0-simplekslerinin p 0, p 1,..., p n olduğunu kabul edelim C1 κ(x) 1 Cκ 0 (X) 0 0 dizisi elde edilir. 0 sıfır homomorfizmi olduğundan Z κ 0 (X)=Ker 0 = C κ 0 (X) olur. C κ 0 (X) in elemanları n i=0k i p i, k i Z şeklindedir. İddia ediyoruz ki B κ 0 (X)={ n i=0k i p i C κ 0 (X) k i = 0} ( ) dır. İddiamız doğruysa, ϕ : Z κ 0 (X) Z k i p i k i dönüşümü örtendir ve çekirdeği B0 κ (X) dir. Birinci İzomorfizm Teoreminden H0 κ(x) = Z olur. ( ) eşitliğini göstermek için çift taraflı kapsamayı gösterelim. γ= n i=0 k i p i C κ 0 (X) ve k i = 0 olsun. Herhangi bir p X seçersek X, κ-yol bağlantılı olduğundan her p i X için p den p i ye bir κ-yol vardır. σ i : p den p i ye olan κ-yolu oluşturan dijital 1-simplekslerin kümesi olsun. 1 (σ i )= p i p olduğu açıktır. k i σ i C1 κ (X) dir ve 1 ( k i σ i )= k i 1 (σ i )= k i (p i p)= k i p i ( k i )p

46 28 olur. k i = 0 olduğundan γ= n i=0 k i p i = 1 ( k i σ i ) B κ 0 (X) dır. Tersine, γ B κ 0 (X) ise γ = 1( k i e i ), e i C κ 1 (X) yani e i, 1-simplekstir ve e i = p ri p si şeklindedir. Böylece γ= k i 1 (e i )= k i 1 ( p ri p si )= k i (p si p ri )= k i p si k i p ri olur. k i iki kez ve zıt işaretli olarak tekrarladığından k i = 0 dır. Böylece H κ 0 (X)=Zκ 0 (X)/Bκ 0 (X) = Z elde edilir. Örnek 3.16 X, Y ye dijital homotopi denk iken H κ 0 q (X) ve H κ 1 q (Y) izomorf olmayabilir. MSC 8 ={(1,0),(0,1),( 1,0),(0, 1)} dijital görüntüsünü ele alalım. MSC 8 dijital basit kapalı 8-eğri ve 8-büzülebilir bir eğridir. Bu nedenle tek noktalı uzaya dijital (8, 8)-homotopi denktir. Teorem 3.13 ve 3.14 den H 8 1 (MSC 8 )=Z ve H8 1 ({ })=0 dır. Sonuç olarak MSC 8 (8,8) { } iken H1 8(MSC 8 ) ve H8 1 ({ }) izomorf değildir. Teorem 3.17 [1] (K, κ), m boyutlu dijital simpleksler kompleksi olsun. 1. Her q 0için H κ q(k) sonlu üretilen gruptur. 2. Tüm q>miçin H κ q(k)=0 dır. 3. H κ m(k) serbest abel gruptur.

47 29 İspat: 1. Cq(K) κ sonlu üretilen bir gruptur. Dolayısıyla alt grubu Zq(K) κ da sonlu üretilen olup bölüm grubu Hq(K) κ da sonlu üretilen gruptur. 2. Sonuç 3.4 den her q>miçin Hq(K)=0 κ dır. 3. Cm+1 κ (K)=0 olduğundan Bκ m(k)=0dır. Bu durumda H κ m(k)= Z κ m(k) elde edilir. Serbest abel grubun alt grubu da serbest abel grup olduğundan H κ m(k) serbest abel gruptur. Teorem 3.18 [7] Her bir q 0 için H κ q, simpleksler kompleksler ve simpleksler dönüşümler kategorisinden abel gruplar kategorisine bir kovaryant funktordur. İspat: H κ 0 q (X), dijital simpleksler kompleks olan X objesi üzerinde tanımlanmıştır. ϕ :(X,κ 0 ) (Y,κ 1 ) bir dijital simpleksler dönüşüm ise ϕ : H κ 0 q (X) H κ 1 q (Y) dönüşümü z Z κ 0 q (X) olmak üzere ϕ (z+ B κ 0 q (X))= ϕ (z)+b κ 1 q (Y) şeklinde tanımlanır. 1 (X,κ0 ) :(X,κ 0 ) (X,κ 0 ) birim dönüşümü için (1 (X,κ0 )) : H κ 0 q (X) H κ 0 q (X) dönüşümünde z Z κ 0 q (X) için (1 (X,κ0 )) (z+ B κ 0 q (X))=(1 (X,κ0 )) (z)+ B κ 0 q (X)=z+B κ 0 q (X)

48 30 olur. Bu durumda (1 (X,κ0 )) = 1 κ H 0 q (X) bulunur. ϕ :(X,κ 0) (Y,κ 1 ) ve ψ :(Y,κ 1 ) (W,κ 2 ) dijital simpleksler dönüşümleri için ϕ : H κ 0 q (X) H κ 1 q (Y) ve ψ : H κ 1 q (Y) H κ 2 q (W) dönüşümlerinde z Z κ 0 q (X) olmak üzere (ψ ϕ )(z+ B κ 0 q (X))=ψ (ϕ (z+ B κ 0 q (X))) = ψ (ϕ (z)+ B κ 1 q (Y)) = ψ (ϕ (z))+ B κ 2 q (W) =(ψ ϕ )(z)+ B κ 2 q (W) =(ψ ϕ) (z)+b κ 2 q (W) =(ψ ϕ) (z+b κ 0 q (X)) olur. Buradan (ϕ ψ) = ϕ ψ elde edilir. Örnek 3.19 [7] X={p 0 =(0,0), p 1 =(1,0), p 2 =(1,1)} Z 2, 8-yakınlıklı bir dijital görüntü olsun. X in dijital simpleksler homoloji grubu H 8 q(x)= { Z, q=0 0, q = 0 dır. X in noktalarının p 0 < p 1 < p 2 şeklinde sıralandığını kabul edelim. X, iki boyutlu dijital bir görüntü olduğundan q > 2 için H 8 q(x)={0} dır. C0 8(X), C8 1 (X) ve C8 2 (X) serbest abel grupların bazları sırasıyla { p 0, p 1, p 2 }, { p 0 p 1, p 1 p 2, p 0 p 2 }, { p 0 p 1 p 2 }

49 31 dir. Böylece 3 0 C2 8(X) 2 C8 1 (X) 1 C8 0 (X) 0 0 kısa dizisini elde ederiz. Im 3 = B2 8 (X)={0} olduğunu görebiliriz. 2 (a p 0 p 1 p 2 )=a( p 1 p 2 p 0 p 2 + p 0 p 1 ) 2 (a p 0 p 1 p 2 )=0 a( p 1 p 2 p 0 p 2 + p 0 p 1 )=0 a=0 olur. Bu durumda Ker 2 = Z2 8 (X)={0} dır. Böylece H 8 2 (X)=Z8 2 (X)/B8 2 (X)={0} elde edilir. B 8 1 (X)=Im 2 ={a( p 0 p 1 + p 1 p 2 p 0 p 2 ) a Z} dir. Ayrıca 1 (a p 0 p 1 +b p 0 p 2 +c p 1 p 2 )= a 1 ( p 0 p 1 )+b 1 ( p 0 p 2 )+c 1 ( p 1 p 2 ) = a( p 1 p 0 )+b( p 2 p 0 )+c( p 2 p 1 ) =( a b) p 0 +(a c) p 1 +(b+c) p 2 =0 Böylece a = b = c elde edilir. Buradan Z 8 1 (X)=Ker 1 ={a( p 0 p 1 + p 1 p 2 p 0 p 2 ) a Z}=B 8 1 (X) olur. Böylece H 8 1 (X)=Z8 1 (X)/B8 1 (X)={0} elde edilir. B={a p 0 +b p 1 +c p 2 {a,b,c} Z, a+b+c=0} = Z 2

50 32 a+b+c=0 c= a b 1 in tanımından Im 1 = B0 8(X) B olur. Şimdi B B8 0 (X) olduğunu gösterelim: a p 0 +b p 1 (a+b) p 2 B için a p 0 +b p 1 (a+b) p 2 = 1 ( a p 0 p 2 b p 1 p 2 ) B 8 0 (X) olduğundan B B 8 0 (X) dir. Buradan B= B8 0 (X) = Z 2 elde edilir. Ker 0 = Z 8 0 (X)={a 0 p 0 +a 1 p 1 +a 2 p 2 a i Z, i = 0,1,2} = Z 3 bulunur. Bu durumda H 8 0 (X)=Z8 0 (X)/B8 0 (X) = Z olur. Böylece elde edilir. H 8 q(x)= { Z, q=0 0, q = 0 Teorem 3.20 [7] MSC 8 ={( 1,0),(0, 1),(0,1),(1,0)} nün simpleksler homoloji grubu dır. H 8 q(msc 8)= { Z, q=0,1 0, q = 0,1 İspat: MSC 8 nün noktalarını{p 0=( 1,0), p 1 =(0, 1), p 2 =(0,1), p 3 =(1,0)} olarak gösterelim ve bu noktaların p 0 < p 1 < p 2 < p 3 şeklinde sıralandığını kabul edelim. MSC 8 iki boyutlu dijital bir görüntü olduğundan q>2 için H 8 q(msc 8 )={0} dır. C0 8(MSC 8 ) ve C8 1 (MSC 8 ) serbest abel grupların bazları sırasıyla

51 33 { p 0, p 1, p 2 }, p 3 }, { p 0 p 1, p 1 p 2, p 0 p 3, p 2 p 3 }, dür. Böylece 2 0 C1 8(MSC 8 ) 1 C8 0 (MSC 8 ) 0 0 kısa dizisi bulunur. Im 2 = B1 8(MSC 8 )={0} dır. Ayrıca 1 (a p 0 p 1 +b p 1 p 2 +c p 0 p 3 +d p 2 p 3 )=a 1 ( p 0 p 1 )+b 1 ( p 1 p 2 )+c 1 ( p 0 p 3 ) dır. a=b= c=delde edilir. Buradan +d 1 ( p 2 p 3 ) = a( p 1 p 0 )+b( p 2 p 1 ) +c( p 3 p 0 )+d( p 3 p 2 ) =( a c) p 0 +(a b) p 1 +(b d) p 2 = 0 +(c+d) p 3 Z 8 1 (MSC 8 )=Ker 1 ={a( p 0 p 1 + p 1 p 2 p 0 p 3 + p 2 p 3 ) a Z} = Z olur. H 8 1 (MSC 8 )=Z8 1 (X)/B8 1 (X) = Z elde edilir. B0 8(MSC 8 )={t 0 p 0 +t 1 p 1 +t 2 p 2 +( t 0 t 1 t 2 ) p 3 i= 0,1,2, p i Z} =Z 3 ve Z0 8(MSC 8 )={k 0 p 0 +k 1 p 1 +k 2 p 2 +k 3 p 3 i = 0,1,2,3 k i Z} = Z 4 olduğundan H 8 0 (MSC 8 )=Z8 0 (X)/B8 0 (X) = Z

52 34 bulunur. Böylece elde edilir. H 8 q(msc 8)= { Z, q=0,1 0, q = 0,1 Teorem 3.21 dır. [7] MSS 18 nün dijital simpleksler homoloji grupları { q (MSS 18 Z, q=0,2 )= 0, q = 0,2 H 18 p 5 p 3 p 0 p 2 p 1 p 4 Şekil 3.3. MSS 18 İspat: MSS 18 nün noktalarını { p 0 = (1,1,0), p 1 = (0,2,0), p 2 = ( 1,1,0), p 3 =(0,0,0), p 4 =(0,1, 1), p 5 =(0,1,1)} Z 3 olarak gösterelim ve bu noktaların p 2 < p 3 < p 4 < p 5 < p 1 < p 0 şeklinde sıralandığını kabul edelim. MSS 18 dijital görüntüsünde q>3için H 18 q (MSS 18 )={0} dır. C0 18(MSS 18 ), C18 1 (MSS 18 ) ve C18 2 (MSS 18 ) bazları sırasıyla 0-simpleksler p 0, p 1, p 2, p 3, p 4, p 5 1-simpleksler e 0 = p 2 p 1,e 1 = p 2 p 3,e 2 = p 2 p 4,e 3 = p 2 p 5,e 4 = p 4 p 1, e 5 = p 3 p 4,e 6 = p 4 p 0,e 7 = p 5 p 1,e 8 = p 3 p 5,e 9 = p 5 p 0, e 10 = p 1 p 0,e 11 = p 3 p 0 2-simpleksler σ 0 = p 2 p 4 p 1,σ 1 = p 4 p 1 p 0,σ 2 = p 3 p 4 p 0,σ 3 = p 2 p 3 p 4, σ 4 = p 2 p 5 p 1,σ 5 = p 2 p 3 p 5,σ 6 = p 5 p 1 p 0,σ 7 = p 3 p 5 p 0 olan serbest abel gruplardır. Böylece

53 C2 18(MSS 18 ) 2 C18 1 (MSS 18 ) 1 C18 0 (MSS 18 ) 0 0 kısa dizisi elde edilir. Im 3 = B2 18(MSS 18 )={0} dır. Ayrıca 2 ( 7 i=0 n i σ i )=n 0 2 (σ 0 )+n 1 2 (σ 1 )+n 2 2 (σ 2 )+n 3 2 (σ 3 )+n 4 2 (σ 4 ) olur. Buradan +n 5 2 (σ 5 )+n 6 2 (σ 6 )+n 7 2 (σ 7 ) = n 0 (e 4 e 0 + e 2 )+n 1 (e 10 e 6 + e 4 )+n 2 (e 6 e 11 + e 5 ) +n 3 (e 5 e 2 + e 1 )+n 4 (e 7 e 0 + e 3 )+n 5 (e 8 e 3 + e 1 ) +n 6 (e 10 e 9 + e 7 )+n 7 (e 9 e 11 + e 8 ) = e 0 ( n 0 n 4 )+e 1 (n 3 + n 5 )+e 2 (n 0 n 3 )+e 3 (n 4 n 5 ) +e 4 (n 0 + n 1 )+e 5 (n 2 + n 3 )+e 6 ( n 1 + n 2 )+e 7 (n 4 + n 6 ) +e 8 (n 5 + n 7 )+ e 9 ( n 6 + n 7 )+e 10 (n 1 + n 6 )+e 11 ( n 2 n 7 ) e 0 ( n 0 n 4 )+e 1 (n 3 + n 5 )+e 2 (n 0 n 3 )+e 3 (n 4 n 5 )+e 4 (n 0 + n 1 ) +e 5 (n 2 + n 3 )+e 6 ( n 1 + n 2 )+e 7 (n 4 + n 6 )+e 8 (n 5 + n 7 )+e 9 ( n 6 + n 7 ) +e 10 (n 1 + n 6 )+e 11 ( n 2 n 7 )=0 denklemi çözülürse bulunur. Bu durumda n 0 = n 1 = n 2 = n 3 = n 4 = n 5 = n 6 = n 7 = n Z 18 2 (MSS 18 )=Ker 2={n( σ 0 + σ 1 + σ 2 σ 3 + σ 4 + σ 5 σ 6 σ 7 ) n Z} = Z elde edilir. Böylece olur. 1 ( 11 i=0 H 18 2 (MSS 18 )=Z18 2 (MSS 18 )/B18 2 (MSS 18 ) = Z k i e i )=k 0 1 (e 0 )+k 1 1 (e 1 )+k 2 1 (e 2 )+k 3 1 (e 3 )+k 4 1 (e 4 )+k 5 1 (e 5 )

54 36 +k 6 1 (e 6 )+k 7 1 (e 7 )+k 8 1 (e 8 )+k 9 1 (e 9 )+k 10 1 (e 10 )+k 11 1 (e 11 ) = k 0 (p 1 p 2 )+k 1 (p 3 p 2 )+k 2 (p 4 p 2 )+k 3 (p 5 p 2 ) +k 4 (p 1 p 4 )+k 5 (p 4 p 3 )+k 6 (p 0 p 4 )+k 7 (p 1 p 5 ) +k 8 (p 5 p 3 )+k 9 (p 0 p 5 )+k 10 (p 0 p 1 )+k 11 (p 0 p 3 ) = p 0 (k 6 + k 9 + k 10 + k 11 )+ p 1 (k 0 + k 4 + k 7 k 10 ) +p 2 ( k 0 k 1 k 2 k 3 )+ p 3 (k 1 k 5 k 8 k 11 ) +p 4 (k 2 k 4 + k 5 k 6 )+ p 5 (k 3 k 7 + k 8 k 9 ) elde edilir. Buradan p 0 (k 6 + k 9 + k 10 + k 11 )+ p 1 (k 0 + k 4 + k 7 k 10 )+ p 2 ( k 0 k 1 k 2 k 3 ) +p 3 (k 1 k 5 k 8 k 11 )+ p 4 (k 2 k 4 + k 5 k 6 )+ p 5 (k 3 k 7 + k 8 k 9 )=0 denklemi çözülürse k 3 = k 0 k 1 k 2 k 6 = k 2 k 4 + k 5 k 9 = k 0 k 1 k 2 k 7 + k 8 k 10 = k 0 + k 4 + k 7 olur. Bu durumda k 11 = k 1 k 5 k 8 Z 8 1 (MSS 18 )=Ker 1 ={k 0 e 0 + k 1 e 1 + k 2 e 2 +( k 0 k 1 k 2 )e 3 + k 4 e 4 + k 5 e 5 +(k 2 k 4 + k 5 )e 6 + k 7 e 7 + k 8 e 8 +( k 0 k 1 k 2 k 7 + k 8 )e 9 +(k 0 +k 4 +k 7 )e 10 +(k 1 k 5 k 8 )e 11 k i Z,i = 0,1,2,4,5,7,8} = Z 7 bulunur. Ayrıca B 18 1 (MSS 18 )=Im 2 ={t 0 e 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2 +( t 0 t 1 t 2 )e 3 + t 3 e 4 + t 4 e 5

55 37 olur. Böylece elde edilir. +(t 2 t 3 + t 4 )e 6 + t 5 e 7 + t 6 e 8 +( t 0 t 1 t 2 t 5 + t 6 )e 9 +(t 0 + t 3 + t 5 )e 10 +( t 1 + t 4 + t 6 )e 11 t i Z,i= 0,1,2,3,4,5,6} = Z 7 H 18 1 (MSS 18 )=Z18 1 (MSS 18 )/B18 1 (MSS 18 ) ={0} B 18 0 (MSS 18 )=Im 1 ={h 0 p 0 +h 1 p 1 +h 2 p 2 +h 3 p 3 +h 4 p 4 ve +( h 0 h 1 h 2 h 3 h 4 ) p 5 i=0,1,2,3,4 h i Z} = Z 5 Z 18 0 (MSS 18)={n 0 p 0 +n 1 p 1 +n 2 p 2 +n 3 p 3 +n 4 p 4 +n 5 p 5 olduğundan i = 0,1,2,3,4,5 n i Z} = Z 6 bulunur. Böylece elde edilir. H 18 0 (MSS 18 )=Z18 0 (MSS 18 )/B18 0 (MSS 18 ) = Z { q (MSS 18 Z, q=0,2 )= 0, q = 0,2 H 18 Teorem 3.22 dır. [7] MSS 18 in dijital simpleksler homoloji grupları H 18 q (MSS 18 )= Z, q=0 Z 3, q=1 0, q = 0,1 İspat: MSS 18 in noktalarını {p 0 =(0,0,1), p 1 =(1,1,1), p 2 =(1,2,1), p 3 =(0,3,1), p 4 =( 1,2,1), p 5 =( 1,1,1), p 6 =(0,1,0), p 7 =(0,2,0), p 8 =(0,2,2), p 9 =(0,1,2)} Z 3 olarak gösterelim ve bu noktaların p 5 < p 4 < p 0 < p 6 < p 9 < p 7 < p 8 < p 3 < p 1 < p 2 şeklinde sıralandığını kabul edelim. MSS 18 dijital görüntüsünde q>3için

56 38 p 9 p 8 p 0 p 5 p 4 1 p 2 p 3 p 6 p 7 Şekil 3.4. MSS 18 H 18 q (MSS 18 )={0} dır. C 18 0 (MSS 18), C 18 1 (MSS 18) ve C 18 2 (MSS 18) serbest abel gruplarının bazları sırasıyla 0-simpleksler p 0, p 1, p 2, p 3, p 4, p 5, p 6, p 7, p 8, p 9 1-simpleksler e 0 = p 0 p 1,e 1 = p 0 p 9,e 2 = p 5 p 0,e 3 = p 0 p 6,e 4 = p 9 p 8, e 5 = p 9 p 1,e 6 = p 5 p 9,e 7 = p 6 p 1,e 8 = p 1 p 2,e 9 = p 5 p 6, e 10 = p 6 p 7,e 11 = p 5 p 4,e 12 = p 8 p 2,e 13 = p 4 p 8,e 14 = p 8 p 3, e 15 = p 4 p 3,e 16 = p 4 p 7,e 17 = p 3 p 2,e 18 = p 7 p 2,e 19 = p 7 p 3 2-simpleksler σ 0 = p 0 p 9 p 1,σ 1 = p 0 p 6 p 1,σ 2 = p 5 p 0 p 6,σ 3 = p 5 p 0 p 9, dir. Böylece σ 4 = p 4 p 8 p 3,σ 5 = p 4 p 7 p 3,σ 6 = p 8 p 3 p 2,σ 7 = p 7 p 3 p C2 18(MSS 2 18) C1 18(MSS 1 18) C0 18(MSS 0 18) 0 kısa dizisi elde edilir. Im 3 = B2 18(MSS 18)={0} dır. Ayrıca 2 ( 7 i=0 n i σ i )=n 0 2 (σ 0 )+n 1 2 (σ 1 )+n 2 2 (σ 2 )+n 3 2 (σ 3 )+n 4 2 (σ 4 ) +n 5 2 (σ 5 )+n 6 2 (σ 6 )+n 7 2 (σ 7 ) = n 0 (e 5 e 0 + e 1 )+n 1 (e 7 e 0 + e 3 )+n 2 (e 3 e 9 + e 2 ) +n 3 (e 1 e 6 + e 2 )+n 4 (e 14 e 15 + e 13 )+n 5 (e 19 e 15 + e 16 )

57 39 elde edilir. Buradan +n 6 (e 17 e 12 + e 14 )+n 7 (e 17 e 18 + e 19 ) = e 0 ( n 0 n 1 )+e 1 (n 0 + n 3 )+e 2 (n 2 + n 3 )+e 3 (n 1 + n 2 ) +e 5 (n 0 )+e 6 ( n 3 )+e 7 (n 1 )+e 9 ( n 2 )+e 12 ( n 6 )+e 13 (n 4 ) +e 14 (n 4 + n 6 )+e 15 ( n 4 n 5 )+e 16 (n 5 )+e 17 (n 6 + n 7 ) +e 18 ( n 7 )+e 19 (n 5 + n 7 ) e 0 ( n 0 n 1 )+e 1 (n 0 + n 3 )+e 2 (n 2 + n 3 )+e 3 (n 1 + n 2 )+e 5 (n 0 )+e 6 ( n 3 ) +e 7 (n 1 )+e 9 ( n 2 )+e 12 ( n 6 )+e 13 (n 4 )+e 14 (n 4 + n 6 )+e 15 ( n 4 n 5 ) +e 16 (n 5 )+e 17 (n 6 + n 7 )+e 18 ( n 7 )+e 19 (n 5 + n 7 )=0 denklemi çözülürse n 0 = n 1 = n 2 = n 3 = n 4 = n 5 = n 6 = n 7 = 0 bulunur. Bu durumda Z 18 2 (MSS 18)=Ker 2 ={0} dır. Böylece elde edilir. Ayrıca 1 ( 19 i=0 H 18 2 (MSS 18)=Z 18 2 (MSS 18)/B 18 2 (MSS 18) ={0} k i e i )=k 0 1 (e 0 )+k 1 1 (e 1 )+k 2 1 (e 2 )+k 3 1 (e 3 )+k 4 1 (e 4 )+k 5 1 (e 5 ) +k 6 1 (e 6 )+k 7 1 (e 7 )+k 8 1 (e 8 )+k 9 1 (e 9 )+k 10 1 (e 10 )+k 11 1 (e 11 ) +k 12 1 (e 12 )+k 13 1 (e 13 )+k 14 1 (e 14 )+k 15 1 (e 15 )+k 16 1 (e 16 ) +k 17 1 (e 17 )+k 18 1 (e 18 )+k 19 1 (e 19 ) = k 0 (p 1 p 0 )+k 1 (p 9 p 0 )+k 2 (p 0 p 5 )+k 3 (p 6 p 0 ) +k 4 (p 8 p 9 )+k 5 (p 1 p 9 )+k 6 (p 9 p 5 )+k 7 (p 1 p 6 ) +k 8 (p 2 p 1 )+k 9 (p 6 p 5 )+k 10 (p 7 p 6 )+k 11 (p 4 p 5 ) +k 12 (p 2 p 8 )+k 13 (p 8 p 4 )+k 14 (p 3 p 8 )+k 15 (p 3 p 4 ) +k 16 (p 7 p 4 )+k 17 (p 2 p 3 )+k 18 (p 2 p 7 )+k 19 (p 3 p 7 )

58 40 = p 0 ( k 0 k 1 + k 2 k 3 )+ p 1 (k 0 + k 5 + k 7 k 8 ) +p 2 (k 8 + k 12 + k 17 + k 18 )+ p 3 (k 14 + k 15 k 17 + k 19 ) +p 4 (k 11 k 13 k 15 k 16 )+ p 5 ( k 2 k 6 k 9 k 11 ) +p 6 (k 3 k 7 + k 9 k 10 )+ p 7 (k 10 + k 16 k 18 k 19 ) +p 8 (k 4 k 12 + k 13 k 14 )+ p 9 (k 1 k 4 k 5 + k 6 ) olur. Buradan p 0 ( k 0 k 1 + k 2 k 3 )+ p 1 (k 0 + k 5 + k 7 k 8 )+ p 2 (k 8 + k 12 + k 17 + k 18 ) +p 3 (k 14 + k 15 k 17 + k 19 )+ p 4 (k 11 k 13 k 15 k 16 ) +p 5 ( k 2 k 6 k 9 k 11 )+ p 6 (k 3 k 7 + k 9 k 10 )+ p 7 (k 10 + k 16 k 18 k 19 ) +p 8 (k 4 k 12 + k 13 k 14 )+ p 9 (k 1 k 4 k 5 + k 6 )=0 denklemi çözülürse Z1 8(MSS 18)=Ker 1 ={k 0 p 0 + k 1 p 1 + k 2 p 2 +( k 0 k 1 + k 2 )p 3 + k 4 p 4 + k 5 p 5 +( k 1 + k 4 + k 5 )p 6 + k 7 p 7 +(k 0 + k 5 + k 7 )p 8 + k 9 p 9 +( k 0 k 1 + k 2 k 7 + k 9 )p 10 +( k 2 k 9 + k 1 k 4 k 5 )p 11 +k 12 p 12 +k 13 p 13 +(k 4 k 12 +k 13 )p 14 +(k 1 k 2 k 4 k 5 k 9 k 13 k 16 )p 15 +k 16 p 16 + k 17 p 17 +( k 0 k 5 k 7 k 12 k 17 )p 18 +( k 1 + k 2 + k 5 + k 9 + k 12 + k 16 + k 17 )p 19 a Z} = Z 11 bulunur. Ker 2 ={0} olduğundan 2 dönüşümü birebirdir. Dolayısıyla olur. Bu durumda B 18 1 (MSS 18) = C 18 2 (MSS 18) = Z 8 elde edilir. H 18 1 (MSS 18)=Z 18 1 (MSS 18)/B 18 1 (MSS 18) = Z 3 B 18 0 (MSS 18)={t 0 p 0 +t 1 p 1 +t 2 p 2 +t 3 p 3 +t 4 p 4 +t 5 p 5 +t 6 p 6 +t 7 p 7 +t 8 p 8 +( t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 ) p 9