Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download ""

Transkript

1 1. KÜMELER TEORİSİ 1. Giriş. Modern matematiğin en önemli kullanım araçlarından birisi kümeler teorisidir. Kümeler teorisi çalışmaları matematiğin temelinde kullanılışı 20. yüzyılın başlangıcında Frege, Russel ve diğerleri tarafından başlamıştır ve matematiğin yalnız başına kümeler teorisi üzerine kurulabileceği ortaya çıkmıştır. Aslında çoğu matematik bilgilerini ve teorisini kümeler teorisi üzerine kurmak kolaydır, fakat maalesef kümeler teorisi Frege ve Russel in varsaydığı gibi o kadar da kolay değildir. Çünkü çok geçmeden kümeler teorisinin kritik yapılmadan özgürce kullanılmasının çelişkilere neden olacağı ortaya çıkmıştır ve kabaca söyleyecek olursak, kümeden bahsederken kümeyle her şeyi kasdetmeye çalışırsak yani çok geniş bir şekilde kümeleri tanımlarsak çelişki ortaya çıkar. Bu kitapta çelişkileri önlemek için incelemelerimizde verilen belli bir X uzayı ya da kümesini ya da bir X kümesinin elemanları olan kümeleri ya da elemanları X in alt kümeleri olan kümeler sınıfını ya da elemanları X in alt kümelerinin aileleri olan ve benzer şekilde olan kümeleri gözönüne alacağız. İlk bir kaç bölümde de çoğu zaman X reel sayılar kümesini gösterecektir. Bu bölümde kümeler ile ilgili daha sonra kullanılacak kavramları açıklayacağız. Kümeler teorisi ile ilgili zorlayıcı ispatlardan ziyade doğrudan makul daha anlaşılır incelemeyi açıklayıcı olarak vermek amacımız olacaktır. Doğal sayılar (pozitif tamsayılar) bu kitapta önemli rol oynayacaktır. IN ile doğal sayılar kümesini göstereceğiz. Tümevarım prensibinin ve iyi sıralanma prensibininin de sağlandığını bileceğiz. Şimdi bir çoğu daha önceden bildiğiniz, incelememiz için gerekli olan kümeler teorisi ile ilgili bilgileri vereceğiz. Küme (veya cümle) deyince belli özelliğe sahip nesnelerin iyi tanımlı bir topluluğunu kastedeceğiz ve kümeyi meydana getiren nesnelere de kümenin elemanlari diyeceğiz. Kümeleri A, B, C,..., X, V, W, Y, Z gibi büyük harflerle ve elemanları da a, b, c,..., x, v, w, y, z gibi kücük harflerle göstereceğiz. a bir A kümesinin elemanı ise a A ile gosterecek, bir b elemanının bir A kümesine ait olmamasını ise b A şeklinde yazacağız. Kümeler ya elemanlarını kıvrımlı parantez içine yazmak suretiyle, örneğin a, b, c gibi üç elemandan ibaret olan bir kümeyi { a, b, c } şeklinde göstereceğiz. { a, b } ifadesinde sıralama önemli değildir, yani { a, b } ={ b, a } dır. Bu sebepten { a, b } gösterimine sırasız ikili ( sırasız çift) denir. 1

2 Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme adı verilir ve veya { } şeklinde gösterilir. Bir A kümesinin her elemanı bir diğer B kümesinin elemanı oluyorsa A ya B nin bir alt kümesi ( A ya B tarafından kapsanır veya B, A yi kapsar ya da B, A nin üst kümesidir) denir ve bu A B şeklinde gösterilir. Bunu biz x A ise x B dir şeklinde de ifade edebiliriz. Boş küme her kümenin alt kümesidir. Eğer A B ve B A oluyorsa A ile B kümelerine esittir denir ve bu A=B yazılarak gösterilir. Bir A kümesi diğer bir B kümesinin alt kümesi değilse, A B ifadesinde alt küme isaretinin üzerine bir eğik çizgi çizilerek gösterilir. Eğer A B ve B C ise A C olduğu (p q ve q r) ise p r olduğu gerçeğinden görülmektedir. Sıralı çift ya da sıralı ikili de ise elemanların sırası önemlidir, Sıralı çiftleri (a,b) şeklinde göstereceğiz. (a,b)=(c,d) olması için gerek ve yeter koşul a=c ve b=d olmasıdır. Sıralı ikililerde elemanların sırası değişirse sıralı değişir, yani (a,b) (b,a) dır. Benzer şekilde sıralı üçlüleri gözönüne alabiliriz. (a,b,c) sıralı üçlüsünde a, b ve c nin sırası önemlidir. (a,b,c)=(x,y,z) olması için gerek ve yeter koşul a=x, b=y ve c=z olmasıdır. X ile Y iki küme ise X ile Y nin kartezyen çarpımı birinci elemanları X kümesine ait olan ve ikinci elemanları Y kümesine ait olan bütün sıralı ikililerin kümesidir ve XxY ile gösterilir. Benzer şekilde X, Y ve Z kümeler ise bu üç kümenin XxYxZ kartezyen çarpım kümesi de birinci elemanları X kümesine, ikinci elemanları Y kümesine ve üçüncü elemanları da Z kümesine ait olan bütün sıralı üçlülerin kümesi olacaktır. XxX yerine X 2 gösterimi ve XxXxX yerine X 3 gösterimi kullanılacaktır. Alıştırmalar 1) {x : x x}= φ olduğunu gösteriniz. 2) x φ ise x in yeşil gözlü bir aslan olduğunu gösteriniz. 3) Genel olarak Xx(YxZ) kümesi ile (XxY)xZ kümesinin farklı olduğunu ancak bu kümelerin her birisi ile XxYxZ kümesi arasında doğal bir eşlemenin var olduğunu gösteriniz. 4) İyi sıralama prensibinin tümevarım prensibini gerektirdiğini {n IN: P(n) yanlış} kümesini göz önüne alarak ispat ediniz. 5) İyi sıralama prensibini elde etmek için matematiksel tümevarım prensibini kullanınız. [ Elemanları pozitif tamsayı olan IN in bir alt kümesi için n S olduğunda S en küçük elemana sahip olsun önermesine P(n) diyelim]. 2

3 2. Fonksiyonlar Fonksiyon kavramını vermeden önce kartezyen çarpım ve bağıntı tanımlarını ifade edelim: A ve B iki küme olsun. a A, b B olmak üzere bütün (a,b) sıralı ikililerinin kümesine A ile B nin kartezyen çarpımı denir ve AxB ile gösterilir. Buna göre, AxB = { (a,b) : a A ve b B } dir. AxB nin BxA ya eşit olması ancak A=B özel durumunda karşımıza çıkar. Ayrıca Ax = xa= dir. AxB nin her bir alt kümesine A dan B ye bağıntı denir. Eğer β bir bağıntı ve (a,b) β ise aβb yazarak gösterilir. Eger X den Y ye bir f bağıntısı için her x X için (x,y) f olacak sekilde bir y Y varsa ve (x,y) f ve (x,z) f olması y=z olmasını gerektiriyorsa f ye X den Y ye bir fonksiyon denir ve (x,y) f yerine f(x)=y yazılır ve f : X Y gösterimi kullanılır. X kümesine f nin tanım kümesi ve {y Y : en az bir x X için y=f(x) } kümesine f nin görüntü kümesi denir ve f(x) ile gösterilir. Her x 1, x 2 X için f(x 1)=f(x 2) olması x 1=x 2 olmasını gerektiriyorsa f fonksiyonuna birebirdir denir eğer f(x)=y oluyorsa X den Y ye f fonksiyonuna örtendir denir. Buna göre X den Y ye bir f fonksiyonunun birebir olması için gerek ve yeter kosul x 1#x 2 özelliğini saglayan her x 1, x 2 X için f(x 1)#f(x 2) olmasıdır ve örten olması için gerek ve yeter koşul her y Y için f(x)=y olacak sekilde en az bir x X elemanının var olmasıdır. f, X den Y ye bir fonksiyon ise A X için f(a)={ y : y Y ve y=f(x) olacak sekilde en az bir x A vardır } dir ve f(a) ya A nin f altında görüntüsü denir ve B Y olmak üzere { x : f(x) B } kümesine B kümesinin ters görüntüsü denir ve f -1 (B) ile gösterilir. Buna göre f -1 (B) = { x : f(x) B } dir. { (x,f(x)) : x X } kümesine f fonksiyonunun grafiği denir ve G f ile gösterilir. Buna gore G f = { (x,f(x)) : x X } dir. f ve g tanım kümeleri sırasıyla X ve Z olan fonksiyonlar olsun. Eğer X=Z ve her x X için f(x)=g(x) oluyorsa f ile g fonksiyonları eşittir denir ve bu f=g yazılarak gösterilir. 3

4 f ve g tanım kümeleri sırasıyla X ve Z olsun. Eğer Z X ve her x Z için g(x)=f(x) oluyorsa g ye f in Z ye kısıtlaması denir ve f /Z ile gösterilir. I : X X fonksiyonu her x X için I(x)=x özelliğini sağlıyorsa I fonksiyonuna özdeşlik fonksiyonu denir ve alışıldığı üzere I ile gösterilir. g : X X ve Z X olmak üzere her x Z için g(x)=x oluyorsa g ye özdeşleyen fonksiyon denir. Z ye f : X Y ve g : Y Z ise f ile g nin gof seklinde gösterilen bileşke fonksiyonu X den gof = {(x,z) : x X ve y Y için (x,y) f ve (y,z) g } biciminde tanımlanan fonksiyondur. gof ile fog nin farklı olduğunu eşitliğin ancak çok özel durumlarda söz konusu olduğunu görüyoruz. Fonksiyonları sıralı ikililer olarak tanımlayabiliyoruz. Sıralı ikilileri de fonksiyon yardımıyla tanımlıyabiliyoruz. Bir sıralı ikili tanım kümesi {1,2} kümesi olan bir fonksiyondur. Benzer şekilde n terimli sonlu bir dizi tanım kümesi {i IN: i n} kümesi olan bir fonksiyondur. Benzer şekilde sonsuz bir dizi tanım kümesi doğal sayılar kümesi olan bir fonksiyondur. Bir dizinin değer kümesi bir X kümesinde ise X de bir dizi ya da X in elemanlarının bir dizisi diyeceğiz. Dizilerle uğraşırken alışılmış fonksiyon notasyonundan farklı olarak fonksiyonun I deki değerini x i olarak göstereceğiz ve bu değere dizinin i-inci elemanı diyeceğiz. Sıralı n-liyi n ( x i ) i= 1 ile ve sonsuz dizileri ( x i ) i =1 ile göstereceğiz. Bir (x i ) dizisinin değer kümesini { x i} i =1 ile göstereceğiz. Böylece sıralı n-li olacaktır. n ( x i ) i= 1 nin değer kümesi n { xi} i = 1 sırasız n-li Bir A kümesi sonlu bir dizinin değer kümesi ise A kümesine sonlu küme denir, eğer bir dizinin değer kümesi ise A kümesine sayılabilir küme denir.( Çoğu yazar sayılabilir kümesinin kullanılışını sonsuz ve sayılabilir kümelere kısıtlarlar ancak bizim tanımımız sonlu kümeleri de sayılabilir kümeler olarak almaktadır. Bir dizi tanımlamanın en yararlı yollarından biri aşağıdaki prensip ile verilmektedir: Ardışık tanımlama prensibi: Bir X kümesinden kendisine bir fonksiyon f olsun ve a da X in bir elemanı olsun. Bu takdirde x 1 =a ve her bir i için x i+1 =f(x i ) olacak şekilde bir tek (x i ) sonsuz dizisi vardır. Böyle bir dizinin varlığı sezgisel olarak açıktır: x 1 =a, x 2 =f(a), x 3 =f(f(a)) ve böyle devam ederek tanımlayalım. Daha formal bir ispat aşağıdaki gibi verilebilir: Önce her bir n doğal sayısı için ( n) n x 1 = a ve 1 i <n için x i+1 = f(x n i ) 4

5 olacak şekilde n x 1, n x 2,, n x n biçiminde bir tek sonlu dizinin var olduğunu n e göre tümevarımla ispat edelim. Teklikten dolayı, 1 n m için ( n) ( m) x i = x i elde edilir. Böylece eğer x n = (n) ( n) x n olarak tanımlarsak, x i = xi gereklerini sağladığını görürüz. elde ederiz ve x i dizisinin prensibimizin Bu prensibin biraz daha geneli aşağıdadır: Her bir n doğal sayısı için f n fonksiyonu X n den X e olsun ve a X olsun. Bu takdirde x 1 =a ve x i+1 =f i (x 1, x 2,,x i ) olacak şekilde X den alınan bir tek (x i ) dizisi vardır. Dizi kavramı ile ilgili önemli bir tanım da alt dizi kavramıdır. IN den IN e bir g fonksiyonu eğer (i>j) (g(i)>g(j) ) oluyorsa monotondur denir. f sonsuz bir dizi olduğunda ( yani, tanım kümesi IN olan bir fonksiyon ise ) eğer h=fog olacak şekilde IN den IN e monoton bir g fonksiyonu varsa h ya f sonsuz bir alt dizisi denir. Eğer f yi (f i ) olarak ve ve g yi (g i ) olarak yazarsak, fog yi de ( f g i ) olarak yazarız. Problemler 6. Boş olmayan bir X uzayından Y içine bir dönüşüm f : X Y olsun. f fonksiyonunun birebir olması için gerek ve yeter koşul gof in X üzerinde özdeşlik dönüşümü olacağı şekilde, yani her x X için g(f(x))=x olacak şekilde bir g : Y X dönüşümünün var olmasıdır. 7. X den Y ye bir dönüşüm f : X Y olsun. Eğer fog fonksiyonu Y üzerinde özdeşlik dönüşümü olacak şekilde yani her y Y için f(g(y))=y olacak şekilde bir g: Y X dönüşümü varsa f in örten olduğunu ispat ediniz( Karşıtı için problem 20 ye bakınız.). 8. Yukarıda konu içinde ifade edilen genelleştirilmiş ardışık tanım prensibini matematiksel tümevarımı kullanarak ispat ediniz. 3. Birleşim, Arakesit ve Tümleyen A nın elemanı olup da B nin elemanı olmayan elemanların kümesine B nin A ya göre tümleyeni denir ve A\B ile gösterilir. Bazen A\B ye A dan B nin farki kümesi de denir. A nin evrensel küme dedigimiz, ilgilendigimiz bütün kümeleri kapsayan en buyuk kümeye göre tümleyeni \A veya A t ile ya da X evrensel küme olmak üzere X\A ile gösterilir. 5

6 Hem A da hem de B de bulunan elemanların kümesine A ile B nin kesişim (veya arakesit) kümesi denir ve A B ile gösterilir. Buna göre, A B = { x : x A ve x B } dir. A da veya B de ( burada veya kelimesi ile hem A da hem B de olan elemanlar ile A da ya da B de bulunan elemanlar kastediliyor) bulunan elemanların kümesine A ile B nin birleşim kümesi denir ve A B ile gösterilir. Bunu A B = { x : x A veya x B } ile gösteririz. Kesişimin birleşim üzerine ve birleşimin kesişim üzerine dağılma özellikleri vardır, yani A (B C) = (A B) (A C) ve A (B C) = (A B) (A C) dir. İki kümenin kesişim ve birleşiminin tümleyenlerine iliskin De Morgan kuralları X\(A B) =(X\A) (X\B) ve X\(A B) = (X\A) (X\B) dir. Kümelerin çok sayıda elemandan oluşması halinde indisler kullanarak { x i : i I } şeklinde ya da kümenin elemanlarının sahip olduğu özelliği belirleyen kuralı yazmak suretiyle gösterilir. Mesela rasyonel sayılar kümesi Q={p/q :p Z ve q N } şeklinde gösterilir. I, herhangi bir küme olmak üzere, { x i : i I } kümesine indislendirilmis küme denir. Örneğin, { 1, 3, 5 } kümesi I={ 1, 2, 3 } olmak üzere x i =2i-1 yazarsak { x i : i I } şeklinde gösterilebilecektir.başka iki örnek olarak, tüm tek doğal sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Herhangi bir I indis kümesi tarafından {G i : i I } ise bu ailenin elemanlarınin birleşimi olan küme { x : en az bir i I için x G i } olup, i I Gi Ayni ailenin kesişimi de { x : her i I için x G i } veya { G i : i I } ya da Gi I olup, i I G i veya {G i : i I } ya da Gi I üzerinden kesişim ve birleşim için aşağıdaki eşitlikleri veriyoruz. indislendirilmis kümelerin herhangi bir ailesi şeklinde yazılarak gösterilir. şeklinde gösterilir. Boş sınıf 6

7 { G i : i } = ve { G i : i } = X. Bir X kümesinin bütün alt kümelerinin oluşturduğu kümeye X in kuvvet kümesi denir ve P(X) ( veya 2 X ) ile gösterilir. Bir kümeler ailesinin birleşim ve kesişiminin tümleyenlerine iliskin De Morgan kurallarını aşağıda veriyoruz: { G i : i I } P(X) olduğuna göre aşağıdakiler sağlanır: (i) X\( { G i : i I }) = { X\G i : i I } (ii) X\( {G i : i I }) = { X\G i : i I } İspat. (i) Eşitliğin doğru olduğunu ispatlamak için eşitliğin iki yanındaki her bir kümenin biribirinin altkümesi olduğunu göstereceğiz. Yani X\( { G i : i I }) { X\G i : i I } ve { X\G i : i I } X\( { G i : i I }) olduğunu ispatlayacağız. Önce X\( { G i : i I }) { X\G i : i I } olduğunu gosterelim. Bunun için herhangi bir x X\( { G i : i I }) alalım. Bu takdirde, x X ve x ( { G i : i I }) dir. Buradan x X ve en az bir i I için x G i dir. Dolayısıyla en az bir i I için x X\G i dir. Boylece x { X\G i : i I } olur. Buradan X\( { G i : i I }) { X\G i : i I } elde edilmis olur. Simdi de { X\G i : i I } X\( { G i : i I }) 7

8 olduğunu ispat edelim. Bunun için herhangi bir x { X\G i : i I } alalım. Bu durumda en az bir i I için x X\G i olur. Buradan x X ve en az bir i I için x G i elde edilir. Dolayısıyla x X ve x { G i : i I } ve dolayısıyla x X\( { G i : i I }) elde edilir. Böylece { X\G i : i I } X\( { G i : i I }) olduğu gösterilmis olur. (i) in sagındaki eşitliğin her iki yani biribirinin alt kümesi olduğundan (i) deki eşitliğin doğru olduğu gosterilmis oldu. Simdi de (ii) nin ispatını verelim. (i) deki eşitligi kullanarak bunu kısaca ispat edebiliriz. (i) deki eşitlikte G i ler yerine X\G i kümelerini alır ve X\(X\A)=A olduğunu kullanırsak, X\( { X\G i : i I }) = { X\(X\G i ) : i I } = { G i : i I }) elde ederiz. Yani { G i : i I }) = X\( { X\G i : i I }) olur. Bu eşitliğin her iki yanının X e göre tümleyeni alınırsa, X\( { G i : i I }) =X\(X\( { X\G i : i I })) = { X\G i : i I } bulunur. Bu da ispatı tamamlar. A\B kümesi ile B\A kümesinin birleşimi kümesine A A B ile gösterilir. Buna göre A B = (A\B) (B\A) ile B nin simetrik farki denir ve dir. Buna göre A B=B A olduğunu görüyoruz. Ayrıca A B nin (A B)\(A B) kümesine esit olduğu kolayca görülür. Yani A B=(A B)\(A B) dir. İki kümenin simetrik farkının tümleyeni ise birinin tümleyeni ile diğerinin simetrik farkına eşittir. Yani (A B) t =A t B=A B t dir. Bu eşitlikten faydalanarak iki kümenin simetrik farkının o kümelerin tümleyenlerinin simetrik farkına eşit olduğu gösterilebilir. İki kümenin simetrik farkının boş olması için gerek ve yeter koşul birbirlerine esit olmasıdır. Simetrik farkın kümelerden birine eşit olması için gerek ve yeter koşul diğerinin boş olmasıdır. Kesişimin simetrik fark üzerine dağılma özelliği vardır, ancak birleşimin simetrik fark üzerine dağılma özelliği yoktur. 8

9 1.1. ALISTIRMALAR ( BİRLEŞİM, ARAKESİT, TÜMLEYEN ) (9) Aşağıdaki eşitliklerin sağlandığını ispatlayınız. (a) t =X (b) X t = (c) A A = A (d) A A = A (e) A =A (f) A = (g) A X=X (h) A X = A (i) A\B=A B t (i) A (B C)=(A B) C (j) A (B C)=(A B) C (k) A (B C) = (A B) (A C) (l) A (B C) = (A B) (A C) (m) (A B)\C = (A\C) (B\C) (n) (A B)\C = (A\C) (B\C) (o) A t \B t =B\A (o) (A\B)\C=A\(B C) (p) A (B\C)=(A B)\(A C) (r) A\(B C)=(A\B) (A\C) (s) P(A B)=P(A) P(B) (10) A ve B herhangi iki küme olsun. Aşağıdakileri ispatlayınız. (a) A B A (b) A B B (c) A A B (d) B A B (e) P(A) P(B) P(A B) (11) A ve B iki küme olsun. A B olmasının aşağıdaki koşullardan herbirine denk olduğunu ispatlayınız. (a) B t A t (b) A B t = (c) A B=A (d) A B=B (e) A (B\A)=B (f) B\(B\A)=A (g) her bir C kümesi için A (B C)=B (C A) dir. (h) en az bir D kümesi için A (B D)=B (D A) dir. (i) P(A) P(B) (12) A B C ise B\A C\A ve C\(B\A)=A (C\B) dir. Ispat ediniz. (13) A, B ve C herhangi kümeler olmak üzere aşağıdaki denklikleri ispatlayınız: (a) A B C olması için gerek ve yeter koşul A\B C olmasıdır. (b) A B C olması için gerek ve yeter koşul A\C B olmasıdır. (14) A ve B herhangi kümeler olmak üzere aşağıdaki esitliklerin sağlandığını gösteriniz: (a) A (B\A) = A B (b) B (A\B) = A B (c) A\(A\B) = = A B 15) A, B ve C herhangi kümeler olduğuna gore aşağıdakilerin sağlandığını gösteriniz: a) A B = B A ve A (B C)=(A B) (A C) dir. b) A B= olması için gerek ve yeter koşul A=B olmasıdır. c) A B=X A=B t 9

10 d) A φ=a ve A X=A t e) A B=A olmasi icin gerek ve yeter koşul B= olmasıdır. f) A B=B olmasi icin gerek ve yeter kosul A= olmasıdır. g) B\(A B) = A B (h) (c) A B =(A B)\(A B) (ı) A B = A t B t (i) (A B) t = A t B (j) B (B A) = A B (k) A (A B) = A B (Yol Gösterme: A B=(A B)\(A B) olduğunu kullanınız.). (l) A (A\B)=A B (m) B (B\A)=A B (n) A\(A B)= A B (o) A (B A t ) = (A B) t (k) B (A B t ) = (A B) t (ö) A B = [A (A B)] [A (A B)] (p) A B = [B (A B)] [B (A B)] (16) f, X den Y ye bir fonksiyon A X ve C Y olsun. Bu takdirde aşağıdakilerin sağlandığını ispat ediniz: (a) A B ise f(a) f(b) dir; (b) C D ise f -1 (C) f -1 (D) dir; (c) A f -1 (f(a)) (d) f(f -1 (C)) C (e) f birebirse f -1 (f(a)) A dir; (f) f örtense C f(f -1 (C)) dir. (17) Bir X kümesinden bir Y kümesine bir f fonksiyonunun birebir olmasi icin gerek ve yeter kosul X in her A alt kümesi icin A=f -1 (f(a)) olmasıdır. İspat ediniz. (18) Aşağıdakileri ispat ediniz. a) f nin birebir olması icin gerek ve yeter koşul X in her A alt kümesi için f(a) f(a t )= olmasıdır. b) f nin örten olmasi icin gerek ve yeter koşul Y nin her B alt kümesi icin f(f -1 (B))=B olmasıdır. c) f nin örten olması için gerek ve yeter koşul X in her A alt kümesi icin Y\f(A) f(x\a) olmasıdır. 4. Küme Cebiri ( Boole Cebiri) Boş olmayan bir X kümesinin alt kümelerinin bir sınıfı α olsun. Eğer aşağıdaki özellikler sağlanıyorsa α ya bir küme cebiri (ya da Boole cebiri) denir. (i) A,B α ise A B α dir, 10

11 (ii) A α ise A t α dir. De Morgan kurallarından aşağıdaki özellik elde edilir. (iii) A,B α ise A B α dir, gerçekten; A B=(A t B t ) t olduğu gerçeği göz önünde bulundurulduğunda, küme cebiri özellikleri kullanılarak, elde edilir. Eğer X in alt kümelerinin bir α sınıfı (ii) ve (iii) özelliklerini sağlıyorsa bu takdirde De Morgan kurallarından (i) özelliğini sağlar dolayısıyla küme cebiri ( Boole cebiri) olur. Sonlu defa birleşim alarak, A 1, A 2,...,A n kümeleri α sınıfının elemanları iseler, A 1 A 2... A n birleşim kümesi de α sınıfının elemanıdır. Benzer şekilde, A 1, A 2,...,A n kümeleri α sınıfının elemanları iseler, A 1 A 2... A n arakesit kümesinin de α sınıfının elemanı olduğu, sonlu defa arakesit alarak, görülür. Örnek 1. Boş olmayan her X kümesi için 2 X bir küme cebiridir. Çünkü; (i) A 2 X ve B 2 X ise A B 2 X ve (ii) A 2 X ise A t 2 X dir. Örnek 2. Boş olmayan her X kümesi için α={φ,x} sınıfı bir küme cebiridir. Çünkü; (i) φ,x α ise φ X α dir ve (ii) φ t =X α ve X t =φ dir. Örnek 3. X=IN aldığımızda, α={φ,in, {1,3,5,...,2n-1,...},{2,4,6,...,2n,...}} sınıfının IN üzerinde bir küme cebiri olduğunu görüyoruz. Küme cebiri ile ilgili birkaç önerme vereceğiz. Bunlardan ilkini aşağıda veriyoruz: 1. Önerme. X in alt kümelerinin herhangi bir sınıfı κ olsun. Bu takdirde κ yı kapsayan en küçük bir α küme cebiri vardır, yani β sınıfı κ yi kapsayan bir küme cebiri olduğunda β sınıfı α sınıfını kapsayacak şekilde κ sınıfını kapsayan bir α küme cebiri vardır. İspat. X in alt kümelerinin κ yi kapsayan bütün küme cebirlerinin ailesi γ olsun. α= {β: β γ} yazalım. Bu takdirde α sınıfı κ nın bir alt sınıfıdır, çünkü, γ deki her β sınıfı α yi kapsar, Hatta α bir küme cebiridir. Çünkü; A ve B kümeleri α nın elemanı ise bu takdirde her bir β γ için A β ve A β dır. β bir küme cebiri olduğundan dolayı A B β dır. Bu her bir β γ için sağlandığından dolayı A B α dır. Benzer şekilde A α ise A t α olduğunu gösterebiliriz. Gerçekten A α ise her bir β γ için A β dır. β küme cebiri olduğundan dolayı A t β dır. Bunu her β γ için yapabildiğimizden A t α dır. α nın tanımından κ yı kapsayan herhangi bir β küme cebiri için β α olur. Bu da ispatı tamamlar. 11

12 2. Önerme. α bir küme cebiri ve (A i ) de α nın elemanlarının bir dizisi olsun. Bu takdirde n m için B n B m =φ ve U B i = U i= 1 i= 1 olacak şekilde α nın elemanlarının bir (B i ) dizisi vardır. İspat. (A i ) sonlu olduğu zaman önerme aşikar olduğundan (A i ) yi sonsuz bir dizi olarak kabul edebiliriz. B 1 =A 1 yazalım ve her n>1 doğal sayısı için B n =A n [A 1 A 2... A n-1 ]=A n [ A 1 ] [ A 2 ]... [ A n-1 ] yazalım. α nın elemanlarının arakesitleri ve tümleyenleri yine α da olduğundan her bir n doğal sayısı için B n α dır. Aynı zamanda her n doğal sayısı için B n A n dir. m<n olmak üzere B m ile B n i göz önüne alalım. Bu takdirde B m A m dir ve B m B n A m B n =A m A n... [ A m ]... =(A m [ A m ])... =φ... =φ A i olur. B i A i olduğundan U B i U i= 1 i= 1 A i dir. Herhangi bir U A i i= 1 x alalım. X elemanı A i lerden en az birine ait olmalıdır. x A i olan i değerlerinin en küçüğü n olsun. Bu takdirde x B n dir ve dolayısıyla Buradan U B i U i= 1 i= 1 A i U B n n= 1 x dir. bulunur ki böylece U i = U i= 1 i= 1 B A elde ederiz. i Eğer bir α küme cebirinin elemanlarının her sayılabilir sınıfının birleşimi yine α da bulunuyorsa α ya bir σ-cebiri ya da Borel cismi denir. Yani (A i ) dizisi α nın elemanlarının 12

13 bir dizisi ise U i=1 A birleşimi de α da olmalıdır. σ-cebiri tanımını küme cebiri tanımdan i ayrı olarak aşağıdaki şekilde yazabiliriz. Boş olmayan bir X kümesinin alt kümelerinin bir sınıfı α olsun. Eğer aşağıdaki özellikler sağlanıyorsa α ya σ-cebiri denir. (σ i) Her n IN için A n A ise U A α dir, (σ ii) A α ise A t α dir. n= 1 n De Morgan kurallarından α nın elemanlarının sayılabilir bir sınıfının arakesiti de yine α dadır: (σ iii) Her n IN için A n A ise I A α dir. Gerçekten; n= 1 n I n= 1 n U n= 1 t n A = ( A ) A,B α olduğu gerçeği göz önünde bulundurulduğunda, σ-cebiri özellikleri kullanılarak, elde edilir. Eğer X in alt kümelerinin bir α sınıfı (σii) ve (σiii) özelliklerini sağlıyorsa bu takdirde De Morgan kurallarından (σi) özelliğini sağlar dolayısıyla σ-cebiri olur. Örnek 1. Boş olmayan her X kümesi için 2 X (i) Her n IN için A n 2 X ise A n 2 X (ii) A 2 X ise A t 2 X dir. bir σ-cebiridir. Çünkü; Örnek 2. Boş olmayan her X kümesi için α={φ,x} sınıfı bir σ-cebiridir. Çünkü; (i) φ,x α ise φ X α dir ve (ii) φ t =X α ve X t =φ dir. ve Örnek 3. X=IN aldığımızda, α={φ,in, {1,3,5,...,2n-1,...},{2,4,6,...,2n,...}} sınıfının IN üzerinde bir σ-cebiri olduğunu görüyoruz. Örnek 4. α={φ,in, {1,3,5,...,2n-1,...},{2,4,6,...,2n,...}} yazalım. α sınıfının IN üzerinde bir σ- cebiri olduğunu görüyoruz. Önerme 1 in ispatının biraz değişik şekilde düzenlenmesi bize aşağıdaki önermeyi verir. t 3.Önerme X in alt kümelerinin herhangi bir sınıfı γ olsun. Bu takdirde γ yı kapsayan en küçük bir σ-cebiri vardır. Yani γ yı kapsayan herhangi bir σ-cebiri β ise α β olacak şekilde γ yı kapsayan bir α σ-cebiri vardır. Problem. 13

14 19. Önerme 3 ü ispatlayınız. İspat. X in alt kümelerinin κ yi kapsayan bütün σ-cebirlerinin ailesi γ olsun. α= {β: β γ} yazalım. Bu takdirde α sınıfı κ nın bir alt sınıfıdır, çünkü, γ deki her β sınıfı α yi kapsar, Hatta α bir σ-cebiridir. Çünkü; Her n IN için A n kümeleri α nın elemanı ise bu takdirde her bir β δ için A n β dır. β bir σ-cebiri olduğundan dolayı n A n β dır. Bu her bir β γ için sağlandığından dolayı n A n α dır. Benzer şekilde A α ise A t α olduğunu gösterebiliriz. Gerçekten A α ise her bir β γ için A β dır. β sınıfı σ-cebiri olduğundan dolayı A t β dır. Bunu her β γ için yapabildiğimizden A t α dır. α nın tanımından κ yı kapsayan herhangi bir β σ-cebiri için β α olur. Bu da ispatı tamamlar. 5. Seçme Aksiyomu ve Sonsuz Direkt (Kartezyen) Çarpımlar Kümeler teorisinde önemli bir aksiyom seçme aksiyomu adıyla bilinen aksiyomdur. Bu aksiyom diğer aksiyomlardan bir dereceye kadar daha elementerdir ve diğerlerinden bağımsız olarak bilinir. Çoğu matematikçi seçme aksiyomu ve sonuçlarını kullanma konusunda çok açık olmayı sever, ancak biz bu aksiyomu kullanma konusunda oldukça rahat davranacağız. Aksiyomu aşağıda veriyoruz: Seçme Aksiyomu. Boş olmayan kümelerin herhangi bir sınıfı α olsun. Bu takdirde her bir A α kümesine karşılık A da bir F(A) elemanı karşılık gelecek şekilde α üzerinde tanımlı bir F fonksiyonu vardır. Buradaki F fonksiyonu seçme aksiyomu adını alır ve varlığı α daki A kümelerinin herbiri için A da bir eleman seçmenin sonucu olarak düşünülebilir. α daki kümelerin sayısı sonlu ise bunu yapmada hiçbir zorluk yoktur, fakat α nın sonsuz olması durumunda seçme aksiyomuna ihtiyacımız vardır. Eğer α daki kümeler ayrıksa, seçme aksiyomunu, α daki kümelerin her birinden bir üye alınarak oluşturulan bir temsilci seçmenin olasılığını iddia etmek olarak düşünebiliriz. Bir I indis kümesi ile indislendirilmiş kümelerin bir sınıfı α={x i } olsun. i X i direkt çarpımını, I ile indislendirilmiş bütün {x i } kümelerinin x i X i özelliğine sahip sınıfı olarak tanımlıyoruz. Eğer I={1,2} ise X 1 ve X 2 kümelerinin daha önce verdiğimiz X 1 xx 2 kartezyen çarpımı tanımı karşımıza çıkar. Eğer z={x i } elemanı i X i nin bir elemanı ise x i ye z nin i inci koordinatı denir ve z={x i } yerine z=(x i ) yazılır. 14

15 Eğer X i lerin bir tanesi boş kümeyse i X i kartezyen çarpım kümesi de boştur. Seçme aksiyomu aşağıdaki karşıt ifadeye eşdeğerdir: Eğer X i lerin hiç biri boş değilse, bu takdirde i X i kartezyen çarpım kümesi de boş değildir. Bu sebepten dolayı Bertrand Russell seçme aksiyomu yerine çarpımsal aksiyom demeyi tercih etmiştir. Problem 20. f : X Y dönüşümü Y üzerine olsun. Bu takdirde fog bileşkesi Y üzerinde özdeşlik fonksiyonu olacak şekilde bir g:y X dönüşümü vardır. [{ A : A=f -1 [{y}] olacak şekilde en az bir y Y vardır.} sınıfına seçme aksiyomunu uygulayınız. ]. 6 Sayılabilir Kümeler Daha önce bir kümenin bir dizinin değerler kümesi olduğunda sayılabilir küme olduğunu belirtmiştik. Sonlu bir dizinin değer kümesi oluyorsa sonlu küme deriz, ancak sonsuz bir dizinin değer kümesi de sonlu olabilir. Aslında boş olmayan her sonlu küme sonsuz bir dizinin değer kümesidir. Örneğin; {x 1, x 2,..., x n } kümesi 1 i n için x i =x i ve i>n için x i =x n olarak tanımlanan (x i ) dizisinin değer kümesidir. Eğer sonlu terimi biribirinden farklı dizinin değil de sonsuz terimi biribirinden farklı bir dizinin değer kümesi oluyorsa kümeye sayılabilir sonsuz küme denir. Doğal sayılar kümesi IN sayılabilir sonsuz kümeye bir örnektir. Konumuzda daha fazla ilerlemeden boş küme ile ilgili düşünelim. Boş küme hiçbir dizinin değer kümesi değildir. Bununla beraber, boş kümeyi sonlu ve dolayısıyla sayılabilir olacak şekilde sonlu ve sayılabilir kümeleri tanımlamak uygun olacaktır. Tanım Boş küme ya da sonlu bir dizinin değer kümesi olan kümeye sonlu küme denir. Boş küme ya da bir dizinin değer kümesi olan kümeye sayılabilir (numaralanabilir) küme denir. Hemen görülebileceği gibi sayılabilir bir kümenin görüntüsü de sayılabilirdir, yani sayılabilir tanım kümesine sahip her fonksiyonun değer kümesi sayılabilirdir ve benzer bir durum sonlu kümeler için de vardır. Biraz farklı fakat denk bir tanım olan birebir eşleme kavramına dayalı tanımı vermek matematikte yaygın olarak yapılır. Önce sonlu bir küme ile birebir eşleme yapılabilen her kümenin sonlu olması gerektiğine ve sayılabilir bir küme ile birebir eşleme yapılabilen her kümenin 15

16 sayılabilir olması gerektiğine dikkat ediyoruz. Doğal sayılar kümesi IN sayılabilir fakat sonlu olmadığından doğal sayılar kümesi IN ile birebir eşleme yapılabilen her küme sayılabilir sonsuzdur. Bizim burada verdiğimiz tanımın alışılmış geleneksel kullanımına denk olduğunu göstermek için eğer bir sonsuz E kümesi bir (x n ) dizisinin değer kümesi ise bu takdirde E nin doğal sayılar kümesi IN ile birebir eşleme yapılabildiğini göstememiz gerekir.. Bunu yapmak için IN den IN e aşağıdaki şekilde ardışık olarak bir ϕ fonksiyonu tanımlayalım: ϕ(1)=1 olsun ve ϕ(n+1) değerini i ϕ(n) özelliğini sağlayan bütün i ler için x m x i olacak şekildeki en küçük m değeri olarak tanımlayalım. E sonsuz olduğundan böyle bir m sayısı daima mevcuttur ve IN için iyi sıralama prensibinden dolayı daima böyle bir en küçük m vardır. n x ϕ(n) eşlemesi IN ile E arasında birebir bir eşlemedir. Böylece bir kümenin sayılabilir sonsuz olması için gerek ve yeter koşulun IN ile birebir eşlenebilmesi olduğunu göstermiş olduk. Şimdi sayılabilir kümeler ile ilgili bazı basit önermeler verecek duruma geldik: 4. Önerme Sayılabilir bir kümenin her alt kümesi de sayılabilirdir. İspat. E={x n } kümesi sayılabilir herhangi bir küme olsun ve A da E nin herhangi bir alt kümesi olsun. A boş ise tanımdan sayılabilirdir. Eğer A boş değilse A dan bir x seçelim. x n A ise y n =x n ve x n A ise y n =x yazarak yeni bir (y n ) dizisi tanımlayalım. Bu takdirde A kümesi (y n ) dizisinin değer kümesidir dolayısıyla sayılabilirdir. 5. Önerme A sayılabilir bir küme olsun. Bu takdirde terimleri A dan alınan bütün sonlu dizilerin kümesi de sayılabilirdir. İspat. A kümesi sayılabilir olduğundan dolayı doğal sayılar kümesi IN in bir alt kümesi ile birebir eşleme yapılabilir. Dolayısıyla, bütün doğal sayı dizilerinin S kümesinin sayılabilir olduğunu ispatlamak yeterlidir. (2,3,5,7,11,,p k,,) dizisi asal sayılar dizisi olsun. Bu takdirde x1 x1 x k IN nin her bir n elemanı x i IN o =IN {0} ve x k >0 olmak üzere n = p k şeklinde bir tek çarpım olarak yazılabilir. IN üzerinde tanımlı f fonksiyonu n doğal sayısını terimleri N o dan alınan (x 1,x 2,,x k ) sonlu dizisine karşılık getiren fonksiyon olsun. Bu takdirde S kümesi f fonksiyonunun değer kümesinin bir alt kümesidir. Bu takdirde S kümesi Önerme 4 den dolayı sayılabilirdir. 6.Önerme Rasyonel sayılar kümesi sayılabilirdir. 7.Önerme Sayılabilir kümelerin sayılabilir birleşimi sayılabilirdir. İspat. Sayılabilir kümelerin sayılabilir bir sınıfı α olsun. Eğer α daki kümelerin hepsi boş küme ise birleşimi boş olacak ve dolayısıyla sayılabilir olacaktır. Böylece α nın boş olmayan 16

17 kümeler içerdiğini ve boş kümenin α nın birleşimine hiç bir şey katmayacağından α daki kümelerin boş olmayan kümeler olduğunu kabul edebiliriz. Böylece her bir A n kümesi ( x nm ) m =1 sonsuz dizisinin değer kümesi olmak üzere α sınıfı sonsuz bir ( A n ) n =1 dizisinin değer kümesidir. (n,m) den x nm e tanımlanan dönüşüm doğal sayıların sıralı çiftlerinin kümesinden α nın elemanlarının birleşimi üzerine bir fonksiyondur. Doğal sayıların sıralı ikililerinin kümesi sayılabilir olduğundan, α sınıfının birleşimi de sayılabilir olmalıdır. Problemler 21. Sonlu bir kümenin her alt kümesi de sonludur. 22. Önerme 4 ve 5 i kullanarak Önerme 6 yı ispat ediniz.[yol Gösterme: (p,q,1) p/q (p,q,2) -p/q (1,1,3) 0 şeklinde tanımlanan fonksiyon tanım kümesi IN in elemanlarının sonlu dizilerinin kümesinin bir alt kümesi ve değer kümesi rasyonel sayılar kümesi olan bir fonksiyondur.]. 23. Terimleri {0,1} kümesinden alınan sonsuz dizilerin E kümesinin sayılamaz olduğunu ispat ediniz. [ Yol Gösterme: IN den E ye bir fonksiyon E olsun. Bu takdirde f(v) bir ( a vn ) n =1 dizisidir. b v =1-a vv yazalım. Bu takdirde (b v ) dizisi de terimleri {0,1} in elemanlarından oluşan bir dizidir ve her bir v IN için (b n ) (a vn ) dir. Bu ispat yöntemi Cantor diagonal işlemi olarak bilinir.]. 24. Bir X kümesinden X in bütün alt kümelerinin p(x) sınıfına bir fonksiyon f olsun. Bu takdirde f in değer kümesinde olmayan bir E X kümesi vardır. (E={x: x f(x) } alınız.). 25. Seçme aksiyomunu ve genelleştirilmiş ardışık tanımını her sonsuz X kümesininn sayılabilir sonsuz bir alt küme kapsadığını göstermek için kullanınız. 7. Bağıntılar ve Denklikler Verilen x ve y biribirine x=y, x y, x y ifadelerinde olduğu gibi ya da sayılar için x<y ifadesinde olduğu gibi çok şekillerde bağlı, bağıntılı olabilir. Genel olarak, eğer x ve y verilmişse x R bağıntısına göre y ye bağlı olur ( xry yazılır) ya da x R bağıntısına göre y ye bağlı olmaz. Eğer xry olması x X ve y X olmasını gerektiriyorsa R bağıntısına X üzerinde bir bağıntıdır denir. Eğer X kümesi üzerinde bir bağıntı R ise R nin grafiğini {(x,y): xry } olarak tanımlarız. Eğer (xry) (xsy) oluyorsa R ve S bağıntılarını aynı olarak 17

18 gözönüne aldığımızdan, X üzerindeki her bağıntı grafiği tarafından bir tek olarak tespit edilebilir ve karşıt olarak, XxX in her bir alt kümesi X üzerindeki bir bağıntının grafiğidir. Böylece istersek, X üzerindeki bir bağıntıyı onun grafiği ile aynı alabiliriz ve bağıntı tanımını XxX in bir alt kümesi olarak verebiliriz. Kümeler teorisi ile ilgili çoğu çalışmada bağıntı genel olarak basitçe sıralı ikililerin bir kümesi olarak verilir. Eğer X deki her x,y,z için xry ve yrz olması xrz olmasını gerektiriyorsa R bağıntısına X kümesi üzerinde geçişmelidir denir. Buna göre = ve < ler reel sayılar kümesi üzerinde geçişmeli bağıntılardır. Eğer X deki her x ve y için xry olması yrx olmasını gerektiriyorsa R bağıntısına X üzerinde simetriktir denir. Eğer her x X için xrx oluyorsa R ye X üzerinde yansımalıdır denir. X üzerinde geçişmeli, yansımalı ve simetrik olan bir bağıntıya X üzerinde bir denklik bağıntısıdır denir ya da basitçe X üzerinde bir denkliktir denir. nın bir X kümesi üzerinde bir denklik bağıntısı olduğunu kabul edelim. Verilen bir x X için E x kümesi x e denk olan elemanların kümesi olsun, yani E x ={y: y x } olsun. Eğer y ve z nin her ikisi de E x de ise bu takdirde y x ve z x dir ve simetri ile geçişme özelliklerinden z y elde ederiz. O halde E x in herhangi iki elemanı denktir. Eğer y E x ve z y ise bu takdirde z y ve y x dir ki buradan z x ve böylece z E x olur. Böylece E x in bir elemanına denk olan X in her elemanı E x in bir elemanıdır.sonuç olarak, X in herhangi x ve y elemanları için E x ve E y kümeleri ya eşittir (x y ise) ya da ayrıktır (eğer x y ise). {E x : x X} sınıfındaki kümeler altında X in denklik kümeleri ya da X in denklik sınıfları adını alır. O halde X kümesi altındaki denklik sınıflarının ayrık bir birleşimidir. x E x ve hiç bir denklik sınıfının boş olmadığına dikkat ediniz. Bir denklik sınıfına göre denklik sınıflarının topluluğu X in bağıntısına göre bölümü adını alır ve bazen X / ile gösterilir. x E x dönüşümüne X den X / üzerine doğal dönüşüm adı verilir. XxX den X e bir dönüşüme X kümesi üzerinde bir ikili işlem denir. Eğer x x ve y y olması x+y x +y olmasını gerektiriyorsa, denklik bağıntısına + ikili işlemi ile uyumludur denir. Bu durumda + işlemi q=x / bölümü üzerinde aşağıdaki şekilde bir işlem tanımlar: Eğer E ve F nin ikisi de q ya aitse x E, y F seçelim ve E+F yi E x+y olarak tanımlayalım. bir denklik bağıntısı olduğundan E+F nin x ile y nin seçimine bağlı değil yalnız E ve F ye bağlı olduğu görülmektedir. Daha çok ayrıntı için okuyucu Birkoff ve Maclane [2] de sayfa 145 e bakabilir. Problemler 26 Yukarıda tanımlanan F+G nin yalnız F ve G ye bağlı olduğunu ispatlayınız. 18

19 27 + işlemine göre bir abelian grup X olsun. Bu takdirde işleminin + ile uyumlu olması için gerek ve yeter koşul x x olmasının x+y=x +y olmasını gerektirmesidir. Elde edilen işlem bölüm uzayını grup yapar. 8. Kısmi Sıralamalar ve Maksimal Prensibi X deki her x, y için xry ve yrx olması x=y olmasını gerektiriyorsa R bağıntısına X kümesi üzerinde antisimetriktir denir. Eğer bir < bağıntısı X üzerinde geçişmeli ve antisimetrik ise kısmi sıralama denir. Buna göre bağıntısı reel sayılar kümesi üzerinde bir kısmi sıralama bağıntısıdır ve de p(x) üzerinde bir kısmi sıralama bağıntısıdır. Eğer X in x ve y elemanları için ya x<y ya da y<x oluyorsa X üzerindeki < kısmi sıralama bağıntısına bir lineer sıralama ( ya da sadece sıralama) denir. Buna gore bağıntısı IR reel sayılar kümesi üzerinde bir lineer sıralamadır ancak bağıntısı p(x)=2 X üzerinde bir lineer sıralama değildir. Eğer X üzerinde bir kısmi sıralama < ise ve a<b ise çoğu zaman a b den önce gelir ya da b, a yı takip eder (izler) deriz. Bazen a, b den küçüktür, ya da b, a dan büyüktür deriz. Eğer E X ise ve eğer x E ve x a olduğunda a<x oluyorsa bir a E elemanı E de ilk elemandır ya da E de en küçük elemandır deriz. Benzer şekilde son ( ya da en büyük) elemanlar için tanım verilebilir. Eğer x a ve x<a olacak şekilde hiç bir x E yoksa a E elemanına E nin bir minimal elemanıdır denir, ve benzer şekilde maksimal elemanlar için tanım verilebilir. Eğer bir küme en küçük elemana sahipse bu takdirde a elemanı minimal eleman olduğuna dikkat edilmelidir. Eğer < bir lineer sıralama ise, bir minimal eleman bir en küçük elemandır, fakat genel olarak en küçük eleman olmayan minimal elemanları bulmak da mümkündür. Bizim kısmi sıralama tanımımız x<x olmasının gerekliliği ya da olasılığı hakkında hiç bir kabul içermez. Eğer bütün x ler için x<x oluyorsa < ya yansımalı bir kısmi sıralama denir. Eğer hiç bir zaman x<x olmuyorsa < ya kesin kısmi sıralama denir. Böylece < reel sayılar için bir kesin kısmi sıralamadır ve de yansımalı bir kısmi sıralamadır. Her (x,y) için < ile uyumlu olan bir tek yansımalı kısmi sıralam ve bir tek kesin kısmi sıralama karşılık gelir. Eğer < herhangi bir kısmi sıralama ise karşılık gelen yansımalı kısmi sıralama için yı kullanırız. Aşağıdaki prensip seçme aksiyomuna eşdeğerdir ve çoğu zaman uygulama için daha uygundur. Bu denkliğin ispatı için ve ilgili prensiplerin bir incelemesi için Suppes [23], Bölüm 8, ya da Kelley [14] de sf ya bakınız. Hausdorff Maksimal Prensibi. Bir X kümesi üzerinde bir kısmi sıralama < olsun. Bu takdirde 19

20 X in bir maksimal lineer sıralı S alt kümesi vardır; yani < tarafından lineer sıralı ve S T X ve T sıralaması < tarafından lineer sıralı olduğunda S=T olması özelliğini sağlayan X in bir S alt kümesi vardır. Problemler 28. X üzerinde bir kısmi sıralama < olsun. Bu takdirde x y için x<y x<y x y olacak şekilde bir tek yansımalı kısmi sıralaması vardır. Ve bir tek kesin kısmi < sıralaması vardır. 29. Bir tek minimal elemanı olan fakat en küçük elemanı olmayan bir kısmi sıralama örneği veriniz. 9. İyi Sıralama ve Sayılabilir Ordinaller Eğer X in boş olmayan her alt kümesi bir ilk elemana sahipse, X üzerindeki bir < kesin lineer sıralamasına X iyi sıralar denir ya da X için bir iyi sıralamadır denir. Böylece eğer X=IN alırsak ve < ile den küçük olmasını kastedersek bu takdirde IN kümesi < ile iyi sıralı olur. Diğer taraftan, bütün reel sayılar kümesi IR de küçük bağıntısı ile iyi sıralı değildir. Aşağıdaki prensibin seçme aksiyomunu gerektirdiği açıktır ve ona eşdeğer olduğu gösterilebilir. ( Suppes [23], Bölüm 8, ya da Kelley [14], sf İyi Sıralama Prensibi: Her X kümesi iyi sıralanabilir, yani X i iyi sıralayan bir < bağıntısı vardır. 8. Önerme: Aşağıdaki şekilde bir < bağıntısı tarafından iyi sıralanmış sayılamayan bir X kümesi vardır: i. X de bir Ω en son elemanı vardır., ii. Eğer x X ve x Ω ise bu takdirde { y X: y<x } kümesi sayılabilirdir. İspat. Sayılamayan herhangi bir küme Y olsun. Diyelim ki Problem 23 de verilen gibi bir sayılamayan bir küme verilsin. İyi sıralama prensibinden, y için bir < iyi sıralaması vardır. Eğer Y bir en son elemana sahip değilse bir α Y elemanı alalım. Y nın yerine Y {α} kümesini alalım, ve < sıralamasını her y Y için y<α ile tanımlayarak < sıralamasını genişletelim. Bu yeni Y kümesi en küçük elemana sahiptir ve < ile iyi sıralıdır. Y deki {x Y: x<y} kümesi sayılamaz olacak biçimdeki y lerin kümesi boş olmayan bir kümedir, çünkü Y nin en son elemanını içerir. Ω elemanı bu kümedeki en küçük eleman olsun ve X={x Y: x<ω ya da x=ω} olsun. Bu takdirde X aranan kümedir. 20

21 Yukarıdaki önermede verilen iyi sıralanmış X kümesi örnekler oluşturmak için çok faydalıdır. Eğer Y aynı özelliklere sahip diğer bir iyi sıralı küme ise bu takdirde X ile Y arasında sıralamayı koruyan birebir bir eşleme olması anlamında önermedeki X kümesi bir tektir. X deki en son elemana ilk sayılamaz ordinal ve X e ilk sayılamayan ordinale eşit ya da küçük ordinallerin kümesi denir. X<Ω elemanlarına sayılabilir ordinaller denir. Eğer {y: y<x } sonlu ise x e sonlu ordinal deriz. Eğer w sonlu olmayan ilk ordinalse bu takdirde {x: x<w} kümesi sonlu ordinaller kümesidir ve sıralı küme olarak pozitif tamsayılar kümesi IN e eşdeğerdir. Problemler 30. a) İyi sıralı bir kümenin her alt kümesi de iyi sıralıdır. b) X in boş olmayan her alt kümesi en küçük elemana sahip olması özelliğine sahip bir X kümesi üzerinde bir kısmi sıralama < ise bu takdirde < bir lineer sıralamadır ve sonuç olarak bir iyi sıralamadır. 31. İlk sayılamayan ordinalden küçük olan ordinallerin kümesi Y olsun, yani Y={x X : x<ω} olsun. Y nin her sayılabilir alt kümesinin Y de bir üst sınıra sahip olduğunu ve dolayısıyla en küçük üst sınıra sahip olduğunu gösteriniz. ( her bir x E için x b ise b elemanı E için bir üst sınırdır. Eğer her b* üst sınırı için b b* oluyorsa en küçük üst sınırdır.). 32. Bir y X için S={x X : x<y } ise ya da S=X ise iyi sıralı X kümesinin S alt kümesine doğru parçası (segment) denir. Segmentlerin birleşiminin de segment olduğunu gösteriniz. 33. X ile Y iyi sıralı iki küme olsun. Eğer her bir x X için f(x) elemanı ilk eleman oluyorsa fakat f[z:z<x] kümesinde bulunmuyorsa, X den Y ye olan f fonksiyonuna ardışıklığı koruyan denir. (a) X den Y en fazla bir tane ardışıklığı koruyan dönüşüm vardır. (b) Ardışıklığı koruyan bir dönüşümün değer kümesi bir segmenttir. (c) Eğer f fonksiyonu ardışıklığı koruyorsa bu takdirde f fonksiyonu sıralamayı koruyan birebir bir dönüşümdür ve aynı zamanda f -1 fonksiyonu da sıramayı koruyan bir dönüşümdür. (d) Eğer f fonksiyonu X den Y içine ardışıklığı koruyan bir dönüşümse bu takdirde f in bir segmente kısıtlaması da ardışıklığı korur. (e) Eğer X ile Y iyi sıralı kümelerse bu takdirde bunların birinden diğerinin bir segmentine ardışıklığı koruyan bir dönüşüm vardır; yani ya X den Y nin bir segmentine ardışıklığı koruyan bir dönüşüm ya da Y den X in bir segmentine ardışıklığı koruyan bir segment vardır. [ Yol Gösterme: Üzerinde Y ye ardışıklığı koruyan dönüşüm var olan bütün 21

22 segmentlerin sınıfını gözönüne alınız. Bu sınıfın S birleşiminden Y içine olan ve S=X ya da f[s]=y olan bir ardışıklığı koruyan f dönüşümünün var olduğunu ispat ediniz.] (f) Önerme 8 deki iyi sıralı X kümesinin izomorfizm açısından bir tek olduğunu gösteriniz. 22

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

KARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR

KARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR KARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR 2012-2013 Karakter Dizgisi Karakter Dizgisi Üzerine İşlemler Altdizgi Tanım 3.1.1: Bir X kümesi üzerinde bir karakter dizgisi (string)

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Kümeler Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Kümeler Kümeler Ayrık Matematiğin en temel konularından biridir Sayma problemleri için önemli Programlama dillerinin

Detaylı

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011

Leyla Bugay Doktora Nisan, 2011 ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Doktora 2010913070 Nisan, 2011 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup teorisi cebirin en temel dallarından biridir. Yarıgrup terimi ilk olarak 1904

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c 0. Küme Cebri Bu bölümde verilen keyfikümeler üzerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen,...gibi özellikleri sağlayan eşitliklerle ilgilenceğiz. İlk olarak De Morgan kurallarıdiye bilinen bir Teoremi ifade

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 İyi Sıralama 5 Bibliography 13 1 İyi Sıralama Well Ordering İyi sıralama kavramı, doğal sayıların

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1 1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48 İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı 1.8.Reel Sayılar Kümesinin Tamlık Özelliği Rasyonel sayılar kümesi ile rasyonel olmayan sayıların kümesi olan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. Buna

Detaylı

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: KARDİNAL SAYILAR ÖĞRETİM GÖREVLİLERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR: DİRENCAN DAĞDEVİREN ELFİYE ESEN

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR

1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR 1 BAĞINTILAR VE FONKSİYONLAR Bu bölümde ilk olarak Matematikte çok önemli bir yere sahip olan Bağıntı kavramnı verip daha sonra ise Fonksiyon tanımı verip genel özelliklerini inceleyeceğiz. Tanım 1 A B

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

10. DİREKT ÇARPIMLAR

10. DİREKT ÇARPIMLAR 10. DİREKT ÇARPIMLAR Teorem 10.1. H 1,H 2,, H n bir G grubunun alt gruplarının bir ailesi ve H = H 1 H 2 H n olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir. a ) dönüşümü altında dır. b) ve olmak üzere her yi tek türlü

Detaylı

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK YGS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI CEVAP ANAHTARI RASYONEL SAYILAR ONDALIK SAYILAR ÖRNEKLER (Sayfa -) 6 ) ) ) 6) ; ; ) 0) ) ; 8 ) ) ) 0 ) 6 0 0 8) 0 ) 0) 6 ) 8 ) 8 8) ) ; 6

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 Operatörler 5 Bibliography 19 Index 23 1 Operatörler İşlemler 1.1 Operatör Nedir? İlkokulden

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir.

Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir. BÖLÜM 1 KÜMELER CEBİRİ Küme, iyi tanımlanmış ve farklı olan nesneler topluluğudur. Yani küme, belli bir kurala göre verilmiş nesnelerin listesidir. Nesneler reel veya kavramsal olabilir. Kümede bulunan

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

( a, b ) BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ :

( a, b ) BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ : BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ : a ve b elemanlarının belirttiği ( a, b ) şeklindeki ikiliye sıralı ikili denir. Sıralı ikili denilmesindeki sebep bileşenlerin yeri değiştiğinde ikilinin değişmesindendir.

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Mantık Kurallarının Elektrik Devrelerine Uygulanması... 14

İÇİNDEKİLER. Mantık Kurallarının Elektrik Devrelerine Uygulanması... 14 İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM MANTIK Giriş... 1 Genel Olarak Mantık... 1 Mantığın Tarihçesi ve Modern Mantığın Doğuşu... 1 Mantık Öğretimin Önemi ve Amacı... 2 Önerme... 3 VE İşlemi (Birlikte Evetleme, Mantıksal

Detaylı

Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz.

Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz. 1 BİR İŞLEMLİ SİSTEMLER Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz. 1.1 İŞLEMLER Bir kümeden kendisine tanımlı olan her fonksiyona birli işlem denir. Örneğin Z

Detaylı

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve düzlem Geçen ders doğrusal cebir aracılığıyla izdüşümsel geometri için bir model kurduk. Şimdi bu modeli daha somut bir şekle sokalım, F = R durumunda kurduğumuz

Detaylı

ÖABT Soyut Matematik KONU TESTİ Önermeler ve İspat Yöntemleri

ÖABT Soyut Matematik KONU TESTİ Önermeler ve İspat Yöntemleri ÖABT Soyut Matematik KONU TESTİ Önermeler ve İspat Yöntemleri ÇÖZÜMLER p q r q q p r q q. p r q q p r 5. p q q r r r, p q q r, r p, q q r q, q p q. p q p q p q p q p q q p p 6. p p q p p q p q p p p q

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84 N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

7. BAZI MATEMATİKSEL TEMELLER:

7. BAZI MATEMATİKSEL TEMELLER: 7. BAZI MATEMATİKSEL TEMELLER: Bilindiği üzere, matematikte ortaya konan her yeni kavram, kendinden önceki tanımlanmış kavramlar cinsinden, herhangi bir tereddüt veya muğlâklığa mahal bırakmayacak resmî

Detaylı

SORU 1: X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin. A := {B P (X) : B sonlu} SORU 2: X sayılamayan bir küme

SORU 1: X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin. A := {B P (X) : B sonlu} SORU 2: X sayılamayan bir küme 2. ÖLÇÜLER 2.1 BazıKüme Sınıfları SORU 1: X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin bir sınıfıolsun. A sınıfıx üzerinde bir σ cebir midir? ÇÖZÜM 1: A := {B P (X) : B sonlu} X / A

Detaylı

Boole Cebri. (Boolean Algebra)

Boole Cebri. (Boolean Algebra) Boole Cebri (Boolean Algebra) 3 temel işlem bulunmaktadır: Boole Cebri İşlemleri İşlem: VE (AND) VEYA (OR) TÜMLEME (NOT) İfadesi: xy, x y x + y x Doğruluk tablosu: x y xy 0 0 0 x y x+y 0 0 0 x x 0 1 0

Detaylı

14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir.

14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 14.Konu Reel sayılarının topolojisi 1.Teorem: cismi tamdır. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 2.Tanım: ve verilsin. nın her komşuluğunda

Detaylı

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. 2. BÖLÜM Boole Cebri ve Mantık

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod

Detaylı

Kafes Yapıları. Hatırlatma

Kafes Yapıları. Hatırlatma Kafes Yapıları Ders 7 8-1 Hatırlatma Daha önce anlatılan sıra bağıntısını hatırlayalım. A kümesinde bir R bağıntsı verilmiş olsun. R bağıntısı; a. Yansıma (Tüm a A için, sadece ve sadece ara ise yansıyandır(reflexive)).

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek: SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=

Detaylı

DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI

DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI T.C ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI ÖĞRETİM ÜYELERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR:

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

KÜMELER. İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Bir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. Bu nesneler somut veya soyut olabilir.

KÜMELER. İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Bir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. Bu nesneler somut veya soyut olabilir. 1 KÜMELER İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. ir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. u nesneler somut veya soyut olabilir. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine eleman(öğe) denir.

Detaylı

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER MANTIK MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER İçerisinde değişken olan ve değişkenin değerlerine göre doğru ya da yanlış olabilen önermelere açık önerme denir. Açık önermeler değişkenine göre P( x), Q( a)

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

BAĞINTI - FONKSİYON Test -1

BAĞINTI - FONKSİYON Test -1 BAĞINTI - FONKSİYON Test -. A,,,4,5 B,, olduğuna göre, AB kümesinin eleman saısı A) 8 B) C) D) 4 E) 5 5. A ve B herhangi iki küme AB,a,,a,,a,,b,,b,,b olduğuna göre, s(a) + s(b) toplamı A) B) 4 C) 5 D)

Detaylı

AYRIK YAPILAR. ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FıRAT ÜNIVERSITESI TEKNOLOJI FAKÜLTESI YAZıLıM MÜHENDISLIĞI BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR. ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FıRAT ÜNIVERSITESI TEKNOLOJI FAKÜLTESI YAZıLıM MÜHENDISLIĞI BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50 Modül Teori Modüller Prof. Dr. Neşet AYDIN ÇOMÜ - Matematik Bölümü [01/07] Mart 2012 Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart 2012 1 / 50 Giriş M bir toplamsal değişmeli

Detaylı

Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin

Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri. Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin Çözümlü Yüksek Matematik Problemleri Yrd. Doç. Dr. Erhan Pişkin 1 Yrd. Doç. Dr. Erhan PİŞKİN ÇÖZÜMLÜ YÜKSEK MATEMATİK PROBLEMLERİ 1 ISBN 978-605-318-249-8 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarına aittir.

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 Denklik Bağıntıları 5 Bibliography 13 1 Denklik Bağıntıları 1 1denklik 1.1 Eşitlik Günlük

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Bibliography 11 CONTENTS 5 0.1 Kartezyen Çarpım 0.2 Sıralı İkililer Şimdiye kadar sıra ya da

Detaylı

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları 4.Ders Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n : R n X, X,,X n X, X,,X n olmak üzere, her a, a,,a n R n için : X i a i, i,, 3,,n U özelliği sağlanıyor

Detaylı

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : MANTIK 1. p: Bir yıl 265 gün 6 saattir. w w w. m a t b a z. c o m ÖNERMELER- BİLEŞİK ÖNERMELER

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : MANTIK 1. p: Bir yıl 265 gün 6 saattir. w w w. m a t b a z. c o m ÖNERMELER- BİLEŞİK ÖNERMELER Terim: Bir bilim dalı içerisinde konuşma dilinden farklı anlamı olan sözcüklerden her birine o bilim dalının bir terimi denir. Önermeler belirtilirler. p,q,r,s gibi harflerle Örneğin açı bir geometri terimi,

Detaylı

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler

Detaylı

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon İçindekiler Cebir 1. Fonksiyonlar....... 1.1 Fonksiyonların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi...... 1.1.1 Fonksiyon.. 1.1. Görüntü Kümesi... 1.1.3 Eşit Fonksiyonlar. 1.1.4 Fonksiyonun Gösterimi. 1.1.4.1 Liste

Detaylı

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Fonksiyonlar Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Fonksiyonlar Tanım: A ve B boş olmayan kümeler. A dan B ye bir f fonksiyonu f: A B ile gösterilir ve A nın her

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI 0 KULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 0 SINIFLAR SRULARI (5xy) dört basamaklı sayıdır 5 x y 6 - a 3 Yukarıdaki bölme işlemine göre y nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 4 m pozitif bir tamsayı olmak üzere;

Detaylı

Kümeler ve Küme İşlemleri

Kümeler ve Küme İşlemleri Kümeler ve Küme İşlemleri ÜNİTE 2 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; küme kavramını, küme işlemlerini, küme işlemlerinin özelliklerini ve kullanılan simgeleri tanıyacaksınız. küme ailelerini, kümelerin

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

KÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez.

KÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez. MTEMTĐK ĐM YILLR 00 00 004 005 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - - - - 1 1 1/1 /LYS KÜMELER TNIM: in tam bir tanımı yoksa da matematikçiler kümeyi; iyi tanımlanmış nesneler topluluğu olarak kabul

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar

Detaylı

( 2x+1, 3y 1. Örnek...4 : A = {1, 2, 3} ve B = {a, b} kümeleri için, AxB ve BxA kümelerini liste biçimde yazınız.

( 2x+1, 3y 1. Örnek...4 : A = {1, 2, 3} ve B = {a, b} kümeleri için, AxB ve BxA kümelerini liste biçimde yazınız. SIRALI İKİLİ a ve b'nin (a,b) biçiminde tek bir eleman olarak yazılmasına sıralı ikili ya da kısaca ikili denir. Burada a' ya ikilinin birinci bileşeni, b' ye ise ikinci bileşeni denir. Örneğin ; (4, 3)

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur

Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur Kümeler Kümeler ve küme işlemleri olasılığın temellerini oluşturmak için çok önemlidir Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur Sonlu sayıda, sonsuz sayıda, kesikli

Detaylı

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10.

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10. MAT-1 EK SORULAR-2 1. 6. A)7 B)8 C)15.D)56 E)64 Olduğuna göre x.a)1 B)2 C)3 D)4 E)6 7. 2. Birbirinden farklı x ve y gerçek A)5.B)6 C)7 D)8 E)9 sayıları için; x 2 +2009y=y 2 +2009x eşitliği sağlandığına

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 4.KONU Latisler, Boole Cebri 1. Kısmi sıralı kümeler 2. Hasse Diyagramı 3. Infimum, Supremum 4. Latis (Kafes Lattice) 5. Latis (Kafes) Yapıları ve Özellikleri

Detaylı

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde 1. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz küme belirtir? A) A = { x 4 < x < 36,x N} B) B = { x 19 < x,x asal sayı} C) C = { x x = 5k,0 < x < 100,k Z} D) D = { x x = 5, x Z} E) E = { x x < 19,x N}. A, B ve

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

DERS 2 : BULANIK KÜMELER

DERS 2 : BULANIK KÜMELER DERS 2 : BULNIK KÜMELER 2.1 Gİriş Klasik bir küme, kesin sınırlamalarla verilen bir kümedir. Örneğin, klasik bir küme aşağıdaki gibi belirtilebilir: = { x x > 6 }, Kapalı sınır noktası burada 6 dır.burada

Detaylı

Küme Temel Kavramları

Küme Temel Kavramları Kümeler Kümeler Küme, matematiksel anlamda tanımsız bir kavramdır. Bu kavram "nesneler topluluğu veya yığını" olarak yorumlanabilir. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir; fakat her ne olursa

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı