LİNEER OLMAYAN BAZI MATEMATİKSEL MODELLER İÇİN BİR YÖNTEM. Mustafa EKİCİ DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI

Transkript

1

2 LİNEER OLMAYAN BAZI MATEMATİKSEL MODELLER İÇİN BİR YÖNTEM Mustafa EKİCİ DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ŞUBAT 2016

3 Mustafa EKİCİ tarafından hazırlanan "LİNEER OLMAYAN BAZI MATEMATİKSEL MODELLER İÇİN BİR YÖNTEM adlı tez çalışması aşağıdaki jüri tarafından OY BİRLİĞİ ile Gazi Üniversitesi Matematik Anabilim Dalında DOKTORA TEZİ olarak kabul edilmiştir. Danışman: Prof. Dr. Fatma AYAZ Uygulamalı Matematik, Gazi Üniversitesi Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Doktora Tezi olduğunu onaylıyorum... Başkan: Prof. Dr. Ogün DOĞRU Uygulamalı Matematik, Gazi Üniversitesi Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Doktora Tezi olduğunu onaylıyorum... Üye: Prof. Dr. Fatma TAŞDELEN Uygulamalı Matematik, Ankara Üniversitesi Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Doktora Tezi olduğunu onaylıyorum... Üye: Prof. Dr. Nuri ÖZALP Uygulamalı Matematik, Ankara Üniversitesi Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Doktora Tezi olduğunu onaylıyorum... Üye: Prof.Dr. Yeter ŞAHİNER İlköğretim Matematik Eğitimi, Hacettepe Üniversitesi Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Doktora Tezi olduğunu onaylıyorum... Tez Savunma Tarihi: 09 / 02 / 2016 Jüri tarafından kabul edilen bu tezin Doktora Tezi olması için gerekli şartları yerine getirdiğini onaylıyorum... Prof. Dr. Metin GÜRÜ Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü

4 ETİK BEYAN Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Tez Yazım Kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez çalışmasında; Tez içinde sunduğum verileri, bilgileri ve dokümanları akademik ve etik kurallar çerçevesinde elde ettiğimi, Tüm bilgi, belge, değerlendirme ve sonuçları bilimsel etik ve ahlak kurallarına uygun olarak sunduğumu, Tez çalışmasında yararlandığım eserlerin tümüne uygun atıfta bulunarak kaynak gösterdiğimi, Kullanılan verilerde herhangi bir değişiklik yapmadığımı, Bu tezde sunduğum çalışmanın özgün olduğunu, bildirir, aksi bir durumda aleyhime doğabilecek tüm hak kayıplarını kabullendiğimi beyan ederim. Mustafa EKİCİ

5

6 iv LİNEER OLMAYAN BAZI MATEMATİKSEL MODELLER İÇİN BİR YÖNTEM (Doktora Tezi) Mustafa EKİCİ GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Şubat 2016 ÖZET Fizikte, mühendislikte, biyolojide ve daha birçok alanda lineer olmayan diferensiyel denklemlerin uygulamalarına sıklıkla rastlanmaktadır. Bu tür problemlerin model denklemleri, yapısı itibari ile çoğu zaman analitik çözümleri elde edilemeyen denklemler olduğundan bu alanda pek çok yaklaşık yöntem geliştirilmiştir. Bu yöntemlerden biri de Taylor seri açılımındaki katsayıları türev hesabı yapmadan kolayca hesaplayabilen diferensiyel dönüşüm metodudur (DDM). Bu tezde, diferensiyel dönüşüm metodu (DDM) ve en küçük kareler metodu (EKKM) birleştirilerek Geliştirilmiş Diferensiyel Dönüşüm metodu (GDDM) adını verdiğimiz yeni bir yöntem elde edilmiş ve bu yöntemle lineer olmayan bazı modellerin yaklaşık çözümleri elde edilmiştir. Bu problemler için ayrıca hata hesapları yapılmış ve diğer yöntemlerle elde edilen sonuçlar karşılaştırılarak yöntemin güvenirliliği test edilmiştir. Bilim Kodu : Anahtar Kelimeler : Diferensiyel dönüşüm, En küçük kareler metodu, Mikro elektromekanik sistemler, Nano elektromekanik sistemler, Av-avcı sistemleri Sayfa Adedi : 94 Danışman : Prof. Dr. Fatma AYAZ

7 v A METHOD FOR SOME NONLINEAR MATHEMATICAL MODELS (Ph.D. Thesis) Mustafa EKİCİ GAZİ UNIVERSITY GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES February 2016 ABSTRACT In physics, engineering, biology and in many areas, applications of non-linear equations can often be met. Because of the nature of the model equations, analytical solutions cannot usually be obtained, therefore lots of approximate or numerical methods have been developed so far. One of the methods is called Differential Transform Method (DTM), which evaluates the Taylor series coefficients without using derivatives. In this thesis, a new method has been developed by combining the two methods, Differential Transform (DTM) and Least Square Method (LSM), and a new method which we call Improved Differential Transform Method (IDTM). By this method, the solutions of some non-linear models have been obtained. Moreover, error analysis is made for these problems and the reliability of the method is tested by comparing the results obtained from other methods. Science Code : Key Words : Differential transform method, Least square method, Micro Electromechanical Systems, Nano Electromechanical Systems, Prey-predator systems Page Number : 94 Supervisor : Prof. Dr. Fatma AYAZ

8 vi TEŞEKKÜR Bu çalışmanın ortaya çıkmasını sağlayan gerek ders aşamasında, gerekse tez aşamasında bilgisini ve desteğini benden hiç esirgemeyen, hafta içi veya hafta sonu olsun bana değerli zamanını ayıran sayın Prof. Dr. Fatma AYAZ hocama, maddi desteğinden dolayı TÜBİTAK'a, hayatımın her aşamasında yanımda olduklarını hissettiren, beni hep destekleyen, benden sevgilerini ve ilgilerini hiç esirgemeyen canım aileme, iyi ve kötü her durumda beni yalnız bırakmayan en değerlim Makbule KEHYA 'ya, bilgileriyle ve destekleriyle yanımda olan kardeşim, dostum Fatih SARIKAYA ve Osman PALANCI 'ya teşekkürlerimi bir borç bilirim.

9 vii İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET... ABSTRACT... TEŞEKKÜR... İÇİNDEKİLER... ÇİZELGELERİN LİSTESİ... ŞEKİLLERİN LİSTESİ... SİMGELER VE KISALTMALAR... iv v vi vii ix x xii 1. GİRİŞ TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER DİFERENSİYEL DÖNÜŞÜMÜN YAPISI Tek Boyutlu Diferensiyel Dönüşüm Yöntemi İki Boyutlu Diferensiyel Dönüşüm Yöntemi n Boyutlu Diferensiyel Dönüşüm Yöntemi Kesirli Mertebeden Denklemler için Diferensiyel Dönüşüm Yöntemi Geliştirilmiş Diferensiyel Dönüşüm Yöntemi Padé Yaklaşımı MİKRO VE NANO-ÖLÇEKLİ TETİKLEYİCİLERİN KİRİŞ TİPİ MODELİ Van Der Waals Kuvveti Casimir Kuvveti TAM PASİF DOĞAL KONVEKSİYON Paralel Plakalar Arasındaki Akış Dairesel Boru İçindeki Akış... 56

10 viii Sayfa 6. AV-AVCI İLİŞKİSİ Sabit Besin Oranına Bağlı Av-Avcı Sistemi Kesirli Mertebeden Biyolojik Popülasyon Model SONUÇ VE ÖNERİLER KAYNAKLAR EKLER ÖZGEÇMİŞ... 94

11 ix ÇİZELGELERİN LİSTESİ Çizelge Sayfa Çizelge 3.1. İki boyutlu diferensiyel dönüşümün bazı özellikleri Çizelge 3.2. Padé yaklaşım tablosu Çizelge 3.3. 'in Padé yaklaşım tablosu Çizelge 4.1. Tek bağlantılı Van der Waals kuvveti etkidiğinde aralığındaki maksimum hata miktarları Çizelge 4.2. Çift bağlantılı Casimir kuvveti etkidiğinde aralığındaki maksimum hata miktarları Çizelge 5.1. Farklı m değerleri için aralığında maksimum hata 54 Çizelge 5.2. Farklı m değerleri için aralığında maksimum hata. 60 Çizelge için Selachiansların toplam ortalama yakalama yüzdeleri... 67

12 x ŞEKİLLERİN LİSTESİ Şekil Sayfa Şekil 4.1. Tek bağlantılı nano bir kirişin şematik gösterimi Şekil 4.2. İki bağlantılı nano bir kirişin şematik gösterimi Şekil 4.3. K=3 ve m=8 için DDM ve GDDM çözüm davranışı Şekil 4.4. K=3 ve m=9 için DDM ve GDDM çözüm davranışı Şekil 4.5. K=3 ve m=10 için DDM ve GDDM çözüm davranışı Şekil 4.6. K=3 ve m=7 için DDM ve GDDM hata hesabı Şekil 4.7. K=3 ve m=8 için DDM ve GDDM hata hesabı Şekil 4.8. K=3 ve m=10 için DDM ve GDDM hata hesabı Şekil 4.9. K=4 ve m=6 için DDM ve GDDM hata hesabı Şekil K=4 ve m=7 için DDM ve GDDM hata hesabı Şekil K=4 ve m=8 için DDM ve GDDM hata hesabı Şekil K=4 ve m=9 için DDM ve GDDM hata hesabı Şekil K=4 ve m=6 için DDM ve GDDM çözüm davranışı Şekil K=4 ve m=9 için DDM ve GDDM çözüm davranışı Şekil 5.1. Günlük hayattaki ısı transferi örneği Şekil 5.2. Paralel plakalar arasındaki akış Şekil 5.3. Paralel plakalar m=7 için hata hesabı Şekil 5.4. Paralel plakalar m=8 için hata hesabı Şekil 5.5. Paralel plakalar m=9 için hata hesabı Şekil 5.6. Paralel plakalar m=10 için çözüm davranışı Şekil 5.7. Dairesel borudaki akış Şekil 5.8. Dairesel boru m=6 için hata hesabı Şekil 5.9. Dairesel boru m=7 için hata hesabı... 60

13 xi Şekil Sayfa Şekil Dairesel boru m=8 için hata hesabı Şekil Dairesel boru m=9 için hata hesabı Şekil Dairesel boru m=10 için hata hesabı Şekil Dairesel boru m=8 için çözüm davranışı Şekil 6.1. k=0,75 değeri için Malthusian modelinin çözümünün grafiği Şekil 6.2. a=0,75, k=200 için Verhulst-Pearl Lojistik Modelinin çözümünün grafiği.. 66 Şekil 6.3. Birinci durum için x(t) ve y(t) çözüm fonksiyonlarının davranışı Şekil 6.4. İkinci durum için x(t) ve y(t) çözüm fonksiyonlarının davranışı Şekil 6.5. Üçüncü durum için x(t) ve y(t) çözüm fonksiyonlarının davranışı Şekil 6.6. Dördüncü durum için x(t) ve y(t) çözüm fonksiyonlarının davranışı... 75

14

15 xii SİMGELER VE KISALTMALAR Bu çalışmada kullanılmış simgeler ve kısaltmalar, açıklamaları ile birlikte aşağıda sunulmuştur. Simgeler Açıklamalar C J N nm s Coulomb Joule Newton Nanometre Saniye Kısaltmalar Açıklamalar AAM BDP DDM EKKM GDDM MEMS NEMS SDP VİM Adomian Ayrışım Metodu Başlangıç Değer Problemi Diferensiyel Dönüşüm Metod En Küçük Kareler Metodu Geliştirilmiş Diferensiyel Dönüşüm Metod Mikro Elektromekanik Sistem Nano Elektromekanik Sistem Sınır Değer Problemi Varyasyonel İterasyon Metodu

16

17 1 1. GİRİŞ Fizik, kimya, mühendislik, biyoloji ve ekonomi gibi birçok farklı bilim dalında matematiksel model olarak kullanılan diferensiyel denklemlerle ilgili çalışmalar 17.yüzyılın ikinci yarısında, diferensiyel ve integral hesabın kurucuları olan Newton ve Leibniz le başlamıştır. Bir fizik veya mühendislik probleminin ya da günlük yaşantıda karşılaşılan herhangi bir problemin diferensiyel denklemle tanımlanması ve yapısına uygun olarak verilen şartların da eklenmesiyle bir başlangıç değer ya da sınır değer problemi elde edilir. Matematiksel modelin kurulmasından sonraki aşama ise problemin çözüm aşamasıdır ancak verilen şartlar altında her zaman problemin çözümü olmayabilir veya pek çok çözüm de olabilir. Bu durumun araştırılması yaklaşık yöntemler açısından da oldukça önemli bir konudur ve çözüme geçmeden önce problemin varlık ve tekliği araştırılmalıdır. Günümüzde, teknolojide daha ileriye ulaşma çabaları insanları daha karmaşık problemleri çözmeye yöneltmiştir. Bu karmaşık problemlerin genellikle lineer olmayan yapısı, lineer olmayan denklemleri gerektirir ve bu denklemlerin çözümlerinin analitik biçimde elde edilmesi çoğu zaman oldukça zor veya mümkün olmamaktadır. Bu nedenlerle, son yıllarda yaklaşık çözüm yöntemlerinin geliştirilmesi daha da önemli hale gelmiştir. Yaklaşık yöntemler, teorinin pratikte uygulanabilirliği açısından da çok önemli bir rol oynamaktadır. Hızlı bilgisayarların varlığı, farklı bilim dallarında ortaya çıkan karmaşık problemlerin yaklaşık yöntemlerle daha hızlı ve daha pratik şekilde çözülmesine imkân sağlamaktadır. Tüm bunlara ek olarak, son zamanlarda model problemlerin günlük hayatımızdaki olayları daha da iyi yansıtabilmesi, daha gerçekçi modellerin kurulabilmesi için kesirli mertebeden türev veya integralleri içeren kesirli mertebeden denklemlerin kullanılması gerekliliği üzerinde çalışmalar da oldukça artmıştır. Tarihte klasik analiz kadar eskiye dayanan kesirli analiz; katlı integral ve tamsayı mertebeden türev kavramlarının genişletilmesi ve birleştirilmesiyle oluşturulan herhangi bir reel veya kompleks mertebeli türev ve integralin incelenmesidir te L Hospital in ( ) Leibniz e ( ) sorduğu Bir f fonksiyonun n tamsayılı mertebeden türevini tanımladın peki 1 n olduğunda 2 n d f dx n kavramının bir anlamı var mı? sorusu kesirli analizin başlangıcı olarak kabul edilir. Ancak matematiksel çalışmaların yeni yeni şekillenmesi, kesirli türevlerin uygulanabilir alanlarının kısıtlı ve problem çözümlerinin

18 2 oldukça zor olmasından dolayı 17. yüzyılda bu konuyla ilgili yoğun olarak çalışılamamıştır. Günümüzde kesir mertebeli türev, integral ve bunları içeren denklemler fizik, kimya, elektrik-elektronik, termodinamik, kontrol teorisi gibi pek çok alanda kullanılmaktadır. Bu tür olayların kesirli diferensiyel denklemlerle başarılı bir şekilde ifade edilebildiği yönünde çalışmalar mevcuttur ve buna paralel olarak da kesirli mertebeden denklemler için yeni ve varolan çözüm yöntemleri üzerine çalışmalar da artmıştır. Kesirli diferensiyel denklemlerin çözümlerinde özellikle Laplace ve Fourier dönüşümleri gibi birçok analitik yaklaşımlar ortaya konulmuş fakat bu yöntemler denklemlerin, lineerlik ve sabit katsayılı olup olmadığı gibi sadece özel durumlarının çözümleri için kullanılabilmiştir. Birçok kesirli diferensiyel denklem, lineer veya sabit katsayılı olamayacağı için analitik çözümlerinin de bulunamaması olasıdır. Böyle durumlarda da yine yaklaşık çözümleri aramak kaçınılmaz hale gelmektedir. Bu yaklaşık yöntemlerin bazıları; sonlu fark yöntemleri, Laplace iterasyon yöntemi, Adomian ayrışım yöntemi vb. gibi birçok yöntem lineer olmayan bu tür denklemlerin çözümü için geliştirilmiştir. Uygulamalı matematik, fizik veya mühendislik problemlerinde karşımıza çıkan ve genellikle analitik çözümleri olmayan veya çözümleri oldukça zor ve zaman alıcı olan adi, kısmi veya kesirli türevli diferensiyel denklemlerin çözümleri için, algoritmaya dayalı ve çabuk sonuca götüren yaklaşık yöntemlerin kullanımı artmıştır. Son yıllarda tercih edilen yöntemlerin başında diferensiyel dönüşüm yöntemi gelmektedir. Diferensiyel dönüşüm yöntemi, lineer olmayan veya kesirli mertebeden denklemlerin yaklaşık çözümünü elde etmek için hızlı ve verimli bir yol olarak verilmiştir. Bu tez çalışmasında diferensiyel dönüşüm yöntemi en küçük kareler yöntemi ile birleştirilerek geliştirilmiş olup, kısaca fonksiyonel bir denklemin çözümünü sonlu bir Taylor polinomu olarak düşünmektedir. Diferensiyel dönüşüm yöntemini ilk olarak 1986 yılında Zhou tarafından, lineer veya lineer olmayan, adi türevli ve kısmi türevli diferensiyel denklemlerin çözümü için kullanmıştır. Zhou, çalışmasında ilk olarak bu yöntemi elektrik ve elektrik devre analizinde ortaya çıkan lineer ve lineer olmayan başlangıç değer problemlerine uygulamıştır [1]. Chen ve Ho, 1996 yılındaki çalışmalarında, diferensiyel dönüşüm yöntemini Sturm- Liouville problemine uygulamışlardır. Özdeğer ve özfonksiyonların elde edilmesinde Ritz

19 3 ve Galerkin yöntemlerinde için özdeğerin bulunması çok zor olduğundan Chen ve Ho bu çalışmasında diferensiyel dönüşüm yöntemini kullanarak bazı basit matematiksel işlemlerle özdeğer ve özfonksiyonları kolayca hesaplamıştır [2]. Jang ve Chen in 1997 yılındaki çalışmasında, lineer olmayan sönümlü bir sistemin tepkisinin analizinde diferensiyel dönüşüm yöntemi kullanılmış ve elde edilen sonuçlarla sistemin Runge- Kutta yöntemi ile çözülmesiyle elde edilen sonuçlar karşılaştırılarak hata hesapları yapılmıştır. Sonuç olarak diferensiyel dönüşüm yöntemi ile elde edilen değerlerin daha iyi olduğu görülmüştür [3]. Yu ve Chen 1998 yılındaki çalışmasında üçüncü mertebeden lineer olmayan bir adi diferensiyel denklem olan Blasius diferensiyel denkleminin diferensiyel dönüşüm yöntemi ile çözümünü elde etmişlerdir [4]. Chen ve Liu 'nun 1998 yılındaki çalışmasında, diferensiyel dönüşüm yöntemiyle lineer olmayan ısı iletimi problemlerinin çözümüyle, analitik çözümün spektrumunun elde edilebilmesi için bir yöntem geliştirilmiş ve çözüm bir Taylor serisi olarak ifade edilmiştir [5]. Chen ve Ho 1999 yılındaki ilk çalışmalarında; dönerek bükülmüş Timoshenko kirişinin serbest titreşim problemini çözmek için diferensiyel dönüşüm yöntemini kullanmış ve seri çözümlerini analitik olarak elde edebilmişlerdir [6]. Chen ve Ho 1999 yılında yapmış oldukları diğer bir çalışmada, o dönemde yalnızca adi diferensiyel denklemler için uygulanabileceği düşünülen diferensiyel dönüşüm yöntemini ilk olarak kısmi türevli diferensiyel denklemlere genişletip iki boyutta diferensiyel dönüşümü tanımlamıştır [7]. Jang ve diğerleri 2000 yılında yaptıkları çalışmada, ilk olarak lineer ve lineer olmayan başlangıç değer problemlerini diferensiyel dönüşüm yöntemi kullanarak gridler yardımıyla çözmüşlerdir. Yaklaşık yöntemlerde genellikle gridlerden faydalanılmasına rağmen, ilk olarak böyle bir çalışmada hem gridlerden faydalanılmış hem de daha iyi sonuçlar elde edilmiştir. Ayrıca çözümün global hatası da iyileştirilmiştir [8].

20 4 Hasan Abdel-Halim 2002 yılındaki çalışmasında, diferensiyel dönüşüm yöntemiyle Sturm- Liouville problemleri için özdeğer ve normalleştirilmiş özfonksiyonu elde etmiştir. Bununla birlikte özdeğerlerin yakınsaklığı araştırılmış ve analitik çözüm ile karşılaştırılarak hata analizi yapılmıştır [9]. Hasan Abdel-Halim 2002 yılındaki başka bir çalışmasında ise daha önce bir boyutta yaptığı çalışmasını ikinci ve dördüncü mertebe diferensiyel denklemlerin özdeğer ve normalleştirilmiş özfonksiyonlarının bulunmasına genişletmiştir. Bu çalışmada, iki boyutlu diferensiyel dönüşüm yardımıyla sabit katsayılı birinci ve ikinci mertebeden kısmi diferensiyel denklemlerin çözümleri bulunmuş olup elde edilen sonuçlar aynı problemlerin fark denklemleri yardımıyla bulunan sonuçları ve analitik sonuçları ile karşılaştırılmıştır [10]. Ayaz 2003 yılındaki çalışmasında, iki boyutlu diferensiyel dönüşüm yöntemi geliştirilerek, kısmi türevli diferensiyel denklemler için başlangıç değer problemleri, geliştirilen iki boyutlu diferensiyel dönüşüm yöntemi ile çözülmüştür [11]. Ayaz 2004 yılındaki çalışmasında, üç boyutlu diferensiyel dönüşümü tanımlamış ve bununla ilgili temel teoremler vermiştir. Bu çalışmada verilen yeni teoremler yardımıyla bazı kısmi türevli diferensiyel denklem sistemleri çözülmüş ve bulunan sonuçlar Adomian ayrışım yönteminden elde edilen sonuçlar ile karşılaştırılmıştır [12]. Ayaz 'ın 2004 yılındaki bir diğer çalışmasında ise lineer cebirsel diferensiyel denklemin yaklaşık çözümleri, diferensiyel dönüşüm yöntemi yardımıyla bulunmuştur. Elde edilen sonuçların analitik sonuçlara çok yakın olduğu gösterilmiştir [13]. Hasan Abdel-Halim 2004 yılındaki çalışmasında, yüksek mertebeden başlangıç değer problemlerinin diferensiyel dönüşüm yöntemiyle çözümüne ve uygulamalarına yer vermiştir. Elde edilen çözümler analitik çözümlerle karşılaştırılmıştır [14]. Arıkoğlu ve Özkol 2005 yılındaki çalışmalarında, integral denklemler için diferensiyel dönüşüm yöntemini tanımlayarak, analitik çözümleri zor bulunabilen bu tip denklemler için analitik çözümleri bilinen birkaç lineer ve lineer olmayan integro diferensiyel denklemin çözümleri araştırılmış ve konuya ilişkin yeni teoremler ispatlanmıştır [15].

21 5 Kurnaz ve Oturanç 2005 yılındaki çalışmalarında, diferensiyel dönüşüm yönteminde çözümün incelendiği aralıktaki çözüm fonksiyonunu gridlere bölerek diferensiyel denklem sistemlerine uygulamış ve böylece çözüm fonksiyonu her bir alt aralık için bulunarak çözüme daha iyi yaklaşılmıştır. Ayrıca hata için sisteme girilen üst sınıra bağlı olarak, alınması gereken minimum grid sayısı belirlenmiştir [16]. Kurnaz ve arkadaşlarının 2005 yılında yaptıkları diğer bir çalışmada ise kısmi türevli diferensiyel denklemlerin çözümü için n-boyutlu diferensiyel dönüşüm metodunu tanımlamış yani genelleştirme yapılmıştır. Bazı lineer ve lineer olmayan kısmi diferensiyel denklemler çözülerek hata hesapları yapılmış ve metodun geçerliliği gösterilmiştir [17]. Ertürk ve Momani 2008 yılında yaptıkları çalışmalarında, lineer olmayan salınım problemlerinin çözümünde diferensiyel dönüşüm yöntemini kullanmışlardır. Böylece çözümün periyodik davranışını elde etmedeki zorluğu diferensiyel dönüşüm yöntemi ile kolayca giderebilmişlerdir [18]. Özkan ve Keskin 2005 yılındaki çalışmalarında, integro diferensiyel denklem sistemlerinin bazı sınır şartları altında çözümlerini incelemişlerdir. Yöntemin, integro diferensiyel denklem sistemleri için de iyi sonuçlar verdiği gösterilmiştir [19]. Ertürk ve diğerlerinin 2008 yılındaki çalışmasında, Caputo anlamında keyfi mertebeli lineer ve lineer olmayan kesirli diferensiyel denklemlerin sayısal çözümleri için diferensiyel dönüşüm yönteminin uygulanmasını ve çeşitli örneklerini içermektedir. Aynı zamanda yöntemin bir genelleştirilmesi ve bununla ilgili birkaç uygulamasına yer verilmiştir [20]. Kangalgil ve Ayaz 2009 yılındaki çalışmalarında, KdV ve mkdv dalga denklemlerinin çözümünde iki boyutlu diferensiyel dönüşüm yöntemi kullanmışlardır [21]. Keskin ve Oturanç 2009 yılındaki çalışmalarında, indirgenmiş diferensiyel dönüşüm yöntemini tanımlamış ve bu yöntem sayesinde iki değişkenli diferensiyel denklemleri bir değişkenli diferensiyel denklemlere indirgeyerek çözüme daha kolay ulaşmışlardır [22].

22 6 Özkan ve Cansu 2010 yılındaki çalışmalarında, karışık tip lineer olmayan sınır koşulları olan dalga denklemlerinin çözümünü diferensiyel dönüşüm yöntemiyle elde etmişlerdir. Böylece lineer olmayan sınır koşullarının problemin çözümünde kullanılmasındaki zorluk ortadan kalkmıştır [23]. Zareamoghaddam 2011 yılındaki çalışmasında, bir boyutlu homojen olmayan parabolik tipten denklemleri diferensiyel dönüşüm yöntemiyle çözmüştür [24]. Adomian ayrışım yöntemi ise ilk olarak 1980 li yılların başında Amerikalı bilim adamı George Adomian tarafından ortaya atılmış daha sonra Cherruault ve ekibi tarafından geliştirilmiştir. Yöntem, Taylor seri açılımına dayanır ve probleme doğrudan uygulanarak çözümlerin seri formunda elde edilmesini sağlar. Bu yöntem lineer ve lineer olmayan adi ve kısmi diferensiyel denklemlere kolayca uygulanabilir fakat lineer olmayan denklemlerde ise Adomian polinomlarının hesaplanmasına ihtiyaç duyar. Bu polinomlar denklemde bulunan lineer olmayan terimi ayrıştırarak çözüme ulaşılmasını sağlar. Adomian ayrışım yöntemi pek çok araştırmacının dikkatini çekmiştir. Ayrıca literatürde yöntemin yakınsaklığı ve diğer yöntemlerle karşılaştırılması da mevcuttur. Bellomo ve Sarafyan 1987 yılındaki çalışmalarında, Adomian yöntemi ile Picard ardışık yaklaşım yöntemini karşılaştırmışlar ve Picard yönteminde Adomian yöntemine oranla karmaşıklığın daha hızlı arttığını ve hesaplamaların zor, hatta bazı durumlarda imkânsız olduğunu görmüşlerdir [25]. Adomian ve Rach 1992 yılındaki çalışmalarında, iterasyon sonucu elde edilen ilk iki terimde bulunan eşit fakat zıt işaretli terimleri noise terms olarak tanımlamışlar ve problemin çözümünün bazı durumlarda bu terimler sayesinde yalnız iki iterasyonla elde edilebildiğini göstermişlerdir [26]. Deeba ve Khuri 1996 yılındaki çalışmalarında, lineer ve lineer olmayan Klein-Gordon denklemini ayrıştırma metodu ile çözmüşlerdir [27]. Wazwaz 1998 yılındaki çalışmasında, lineer ve lineer olmayan denklemlerde Taylor seri ve Adomian yöntemlerini kullanmış ve Adomian yönteminin daha kolay uygulandığını ve birkaç iterasyonla güvenilir sonuçlar elde edildiğini göstermiştir [28].

23 7 Wazwaz 2000 yılındaki çalışmasında, herhangi bir formüle gerek kalmadan cebirsel işlemler, trigonometrik özdeşlikler ve Taylor seri açılımından yararlanarak lineer olmayan terimler için Adomian polinomlarını hesaplamıştır [29]. Wazwaz 2002 yılındaki çalışmasında, Adomian yöntemi kullanarak pek çok fiziksel olayı modelleyen lineer ve lineer olmayan diferensiyel denklemlerin çözümünü vermiştir [30]. Abdelwahid 2003 yılındaki çalışmasında, yüksek mertebeden Adomian polinomlarını da kolayca hesaplayabilmek için matematiksel bir model geliştirmiştir [31]. El-Sayed 2003 yılındaki çalışmasında, Klein-Gordon denklemini Adomian yöntemi ile çözmüş ve yöntemle, diğer yöntemlere göre daha az hesaplama ile daha etkili sonuçlar elde edildiğini göstermiştir [32]. Babolian ve arkadaşları 2004 yılındaki çalışmalarında, Adomian yöntemini lineer olmayan denklem sistemlerine uygulamışlardır [33]. İnç ve Cherruault 2005 yılındaki çalışmalarında, Adomian yöntemini KdV denklemine uygulamışlar ve geleneksel yöntemlere oranla çok daha az hesaplama ile çözümlere çok daha hızlı yaklaşıldığını göstermişlerdir [34]. Bu tez çalışmasında, Taylor seri yönteminin katsayılarını türev hesabına gerek kalmadan ardışık olarak hesaplayan ve adına Diferensiyel Dönüşüm Metodu da denilen yöntem ile birtakım biyolojik ve fiziksel modellerin çözümleri araştırılmıştır. Taylor serisinin, serinin açıldığı nokta civarında iyi sonuçlar verdiği ve verilen başlangıç değerinden uzaklaştıkça hata miktarının da arttığı bilinen bir gerçektir. Bu nedenle, yöntemi daha güçlü kılmak için, diferensiyel dönüşüm yöntemi (kesilmiş Taylor polinomu) ile en küçük kareler yöntemi birleştirilmiş ve hata miktarının en aza indirgenmesi hedeflenmiştir. Her iki yöntemle oluşturulan bu yeni yönteme geliştirilmiş diferensiyel dönüşüm yöntemi diyeceğiz. Birçok fiziksel ve biyolojik olayı modellemek için kullanılan lineer olmayan diferensiyel denklemlerin çözümleri, bu yöntemle karşılaştırıldığında literatürdeki diğer bazı yöntemlerden daha başarılı sonuçlar verdiği görülmüştür.

24 8 Bu tezin 1. bölümde literatür özeti, 2. bölümde konunun içeriğiyle ilgili olan tanım ve teoremlere yer verilmiş, 3. bölümde diferensiyel dönüşüm yönteminden bahsedilmiş ve geliştirilmiş diferensiyel dönüşüm yöntemi anlatılmıştır. 4. bölümde mikro elektromekanik sistemler için Van der Waals ve Casimir kuvveti etkidiğinde elde edilen problemler ayrı ayrı çözülmüş ve hata hesaplarına yer verilmiştir. 5. bölümde tam pasif doğal bir konveksiyon için paralel yüzeyler arasındaki ve dikey bir borudaki akış dikkate alınarak momentum ve enerji denklemi çözülmüş ayrıca hata hesapları grafiklerlerle gösterilmiştir. Son bölümde ise av-avcı ilişkisi üzerine literatürde bilinen modellere yer verilmiş olup sabit besin oranına bağlı av-avcı sistemi çözülmüştür. Ayrıca sonuçlar grafiklerle gösterilerek yorumlanmıştır.

25 9 2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER 2.1. Tanım için biçiminde tanımlanan fonksiyona Gamma fonksiyonu denir [39] Teorem olmak üzere olur. İspat: Gamma fonksiyonunun tanımından Eş. 2.2 ifadesine kısmi integrasyon uygulanırsa elde edilir [39] Tanım üstel fonksiyonunun kuvvet serilerinin genelleştirilmesi sonucu elde edilen, fonksiyonu Mittag-Leffler fonksiyonu olarak tanımlanır. için

26 10 elde edilir. İki parametreli Mittag-Leffler fonksiyonu, biçiminde tanımlanır. Örneğin; ve alınırsa, ifadesi elde edilir [40] Teorem ve olmak üzere, f fonksiyonu aralığında (m+1). mertebeye kadar türevlenebilir ise eşitliğini sağlayan en az bir sayısı mevcuttur [35]. İspat: için ispatı yapmak yeterlidir. O halde fonksiyonu tanımlansın. Buradaki M bir sabit ve olduğu düşünülürse Eş.2.9 'dan elde edilir. Ayrıca Eş. 2.9 'da gerekli hesaplamalar yapılırsa

27 11 (2.11) elde edilecektir. Burada olduğundan Rolle teoremine göre, olacak şekilde en az bir vardır. Benzer şekilde olduğundan olacak şekilde en az bir vardır. Bu işlem (m+1) adım için tekrarlanırsa (m+1). adımda olacak şekilde en az bir bulunur ve Eş denklemindeki ifadesinde yerine yazılırsa elde edilir. Burada alınırsa ispat tamamlanmış olur [35] Tanım Tüm mertebeden türevleri olan bir fonksiyonu için ifadesine f fonksiyonunun teriminden oluşan noktası civarındaki Taylor serisi denir. Bu serisinin ilk n ifadesine de n. dereceden Taylor polinomu denir [35]. O halde yazılabilir ve buradaki fonksiyonuna aralığında ifadesi Taylor serisinin kalan terimidir. Taylor serisinin f aralığında yakınsak olduğunu göstermek için olduğunu göstermek yeterlidir Teorem Eğer a noktasını içeren bir I açık aralığı üzerinde sürekli ise olmak üzere

28 12 dir [35]. İspat: İspatı tümevarım ile gösterebiliriz. n=1 için yazılabilir. Burada kısmi integrasyon uygulanırsa, yani, alınırsa ve elde edilir. Böylece bulunur. Böylece n için teorem ispatlanmış olur. Şimdi de n için ifadenin doğruluğunu kabul edelim. Yani olsun. için doğruluğunu yani olduğunu göstermeliyiz. ve için tekrar kısmi integrasyon uygularsak o zaman ve olur.

29 13 elde edilir Teorem f fonksiyonunun n. mertebeye kadar türevleri için aralığında mevcut ve olacak şekilde sabiti varsa, fonksiyonu 'e yakınsar [35]. İspat: Eş. 2.8 denkleminde Eş ifadesi yerine yazılıp düzenlenirse için olur. Dolayısıyla yani

30 14 elde edilir [35] Teorem, (n+1). mertebeye kadar kısmi türevleri mevcut ve bölgesinde sürekli bir fonksiyon olsun. için ve değerleri bulunabilir, öyleki, sağlanır. Buradan ve şeklindedir. Bu ifadesi ise mertebeden Taylor serisine açılmış olan fonksiyonun mertebeden Lagrange kalanıdır. Ayrıca için şeklinde bir üst sınır bulunabilirse olacaktır. Kalan terim çıkarılırsa geriye kalan polinoma polinomu denir [36]. dereceden iki değişkenli Taylor

31 Teorem fonksiyonu, tüm değişkenlerine göre sonsuz türevlenebilen bir fonksiyon ve için tüm noktaların uzaklıkları R' den küçük olan kapalı bir yuvar olmak üzere, olacak şekilde pozitif M sayısı bulunabilirse, orijin civarında açılmış olan Taylor serisi f fonksiyonuna noktasal olarak yakınsar ve biçiminde yazılır [37]. İspat: fonksiyonu kuralını kullanarak Taylor polinom açılımı yazılırsa olacak şekilde tanımlansın. Zincir bulunur. En genel halde dir. Buradan

32 16 yazılır. Böylece Teorem 2.4 'e göre g fonksiyonunun Taylor seri açılımı yakınsaktır; dolayısıyla f fonksiyonu da yakınsaktır [37] Tanım sürekli ve integrallenebilir bir fonksiyon olmak üzere, f fonksiyonunun basamaktan Riemann-Liouville kesirli integrali için şeklinde tanımlanır [43] Tanım operatörü için Riemann-Liouville kesirli türev biçimindedir. Riemann-Liouville anlamındaki kesirli integralin ve türevin bazı önemli özellikleri aşağıda verilmiştir. (i) ve olsun. Riemann-Liouville kesirli integrali özelliğine sahiptir. (ii) ve dir. Yani Riemann-Liouville kesirli türevi aynı basamaktan kesirli integralin sol tersidir.

33 17 (iii) Eğer fonksiyonunun basamaktan kesirli türevi integrallenebilir ise, dir. Burada dir. (iv) Bir c reel sabitinin Riemann-Liouville kesirli türevi için dir [38] Tanım mertebeden Caputo türev tanımı ve olmak üzere fonksiyonunun şeklinde tanımlanır. Ayrıca üzere Caputo türeviyle ilgili olmak özellikleri verilebilir [38]. Diferensiyel denklemler bazen kesirli basamaktan diferensiyel operatörü içerebilirler. Bu tipteki diferensiyel denklemler, birçok fiziksel olayı modellemede kullanılmıştırlar [46]. Genellikle uygulamalarda durumunun kullanılmasına rağmen, durumu içinde dikkate alınan uygulamalar literatürde mevcuttur. olmak üzere, Riemann-Liouville türev operatörü içeren

34 18 kesirli diferensiyel denkleminin tek bir çözüme sahip olabilmesi için tane başlangıç şartına ihtiyaç duymaktadır. Eş diferensiyel denklemine ait başlangıç şartları için şeklinde olmalıdır. Dikkat edilirse bu başlangıç koşulları kesirli türev içermektedir fakat kesirli türevlerin değerlerini pratik olarak belirlemek mümkün değildir. Aynı zamanda, bu kesirli başlangıç şartlarının fiziksel olarak da ne anlama geldiği tam olarak bilinmemektedir. Bu belirsizlikleri ortadan kaldırmak için 1967 yılında Caputo tarafından bir fikir ortaya atılmıştır. Eş ile verilen kesirli diferensiyel denklem yerine denkleminin alınmasıyla tamsayı basamaktan diferensiyel denklemler için kullanılan teoriye benzer bir yaklaşım kullanmıştır. Buradaki, fonksiyonunun noktası civarındaki dereceden Taylor polinomudur. Bu durumda, başlangıç koşulları, tamsayı mertebeden diferensiyel denklemlerde olduğu gibi için şeklinde ele alınabilir. Kesirli türev kavramı için, Riemann-Liouville tanımının üzerinde bazı değişiklikler yapılarak elde edilen Caputo nun verdiği tanım kullanılmaktadır. Çünkü fiziksel ve biyolojik modeller gibi problemler için Caputo nun verdiği tanım başlangıç koşulları için daha elverişlidir [42] Tanım ekseninin bir alt aralığında tanımlı sürekli fonksiyonlardan oluşan bir fonksiyon ailesi olsun. Eğer her ve için olduğunda

35 19 olacak biçimde bir bulunabiliyorsa, ailesine eş süreklidir denir [44] Lemma Her için üzerinde tanımlı sürekli, başlangıç değer probleminin çözümü olmak üzere, için koşulu sağlanıyorsa, fonksiyon ailesi 0 üzerinde eş-süreklidir [44] Teorem olsun. Bu durumda, için ve üzerinde üzerinde başlangıç değer probleminin en az bir çözümü vardır. Burada dir [44] Teorem ve f, için, üzerinde üzerinde ikinci değişkenine göre Lipschitz koşulunu sağlasın, yani olsun. Bu durumda, üzerinde başlangıç değer probleminin bir tek çözümü vardır. Burada dir [44].

36 20

37 21 3. DİFERENSİYEL DÖNÜŞÜMÜN YAPISI Diferensiyel dönüşüm yöntemi, diferensiyel denklemleri cebirsel denklemlere dönüştürmektedir. Bu yöntem, diferensiyel denklemin içerdiği bağımsız değişken sayısına göre şekillenmektedir. Bu bölümde, diferensiyel dönüşüm metodunun tanımı ve genel özellikleri ifade edilecektir. İlk olarak bir, iki ve boyutlu uzaylar için diferensiyel dönüşüme ait özellikler verilecek daha sonra da kesirli mertebeden diferensiyel dönüşüm yöntemi ve geliştirilmiş diferensiyel dönüşüm yöntemi anlatılacaktır. Teoremlerin ispatları literatürde ayrıntılı bir şekilde verildiğinden ispatlara burada yer verilmeyecektir Tek Boyutlu Diferensiyel Dönüşüm Yöntemi Bu yöntem, ilk olarak tek değişken içeren adi türevli diferensiyel denklemlerin çözümleri için kullanılmıştır. Bu yönteme geçmeden önce diferensiyel operatörün özelliklerini verelim Tanım Tek değişkenli fonksiyonunun diferensiyel dönüşüm fonksiyonu olmak üzere, 'in tek boyutlu diferensiyel dönüşümü şeklindedir. fonksiyonu dönüşüm fonksiyonunun tersi; yani diferensiyel ters dönüşüm

38 22 şeklinde tanımlanır. Eş. 3.1 ve Eş. 3.2 dikkate alınarak aşağıdaki eşitlik elde edilir. Eş. 3.1 ve Eş. 3.2 denklemleri kullanılarak ve temel matematiksel ifadeler yardımıyla tek boyutlu diferensiyel dönüşüm için aşağıdaki teoremleri verebiliriz [45] Teorem Tek değişkenli fonksiyonlarını alalım. Eğer ise sırasıyla fonksiyonları olmak üzere verilen fonksiyonların diferensiyel dönüşüm eşitliği sağlanır [45] Teorem Tek değişkenli fonksiyonlarını alalım. olmak üzere ise sırasıyla olmak üzere verilen fonksiyonların diferensiyel dönüşüm fonksiyonları eşitliği sağlanır [45] Teorem Tek değişkenli fonksiyonlarını alalım. Eğer

39 23 ise sırasıyla olmak üzere verilen fonksiyonların diferensiyel dönüşüm fonksiyonları eşitliği sağlanır [45] Teorem Tek değişkenli fonksiyonlarını alalım. için eğer ise sırasıyla olmak üzere verilen fonksiyonların diferensiyel dönüşüm fonksiyonları eşitliği sağlanır [46] Teorem Tek değişkenli fonksiyonlarını gözönüne alalım. Eğer ise sırasıyla fonksiyonları olmak üzere için verilen fonksiyonların diferensiyel dönüşüm eşitliği sağlanır [45] Teorem Tek değişkenli fonksiyonunu alalım. olmak üzere eğer ise verilen fonksiyonların diferensiyel dönüşüm fonksiyonları olmak üzere

40 24 eşitliği sağlanır [45] Teorem Tek değişkenli fonksiyonlarını alalım. Eğer ise sırasıyla fonksiyonları olmak üzere verilen fonksiyonların diferensiyel dönüşüm eşitliği sağlanır [45] Teorem Tek değişkenli fonksiyonlarını alalım. Eğer şeklinde ifade edilebiliyorsa sırasıyla dönüşüm fonksiyonları olmak üzere verilen fonksiyonların diferensiyel eşitliği sağlanır [46] Teorem Tek değişkenli fonksiyonlarını alalım. Eğer ise sırasıyla olmak üzere verilen fonksiyonların diferensiyel dönüşüm fonksiyonları

41 25 şeklindedir [46] İki Boyutlu Diferensiyel Dönüşüm Yöntemi İki değişkenli fonksiyonunun diferensiyel dönüşüm fonksiyonu olmak üzere, 'nin iki boyutlu diferensiyel dönüşümü dönüşüm fonksiyonunun ters dönüşüm fonksiyonu, şeklinde tanımlanır. Eş ve Eş dikkate alınarak aşağıdaki Eş elde edilir [1]. İki boyutlu diferensiyel dönüşümle ilgili bazı genel özellikler Çizelge 3.1'de verilmiştir [1,7,11]. Çizelge 3.1. İki boyutlu diferensiyel dönüşümün bazı özellikleri Orijinal form Dönüştürülmüş form

42 Boyutlu Diferensiyel Dönüşüm Yöntemi değişkenli vektörü ve değişkenli negatif olmayan tamsayılardan oluşan bir vektörünü alalım. değişkenli fonksiyonunun diferensiyel dönüşüm fonksiyonu olmak üzere, 'nin boyutlu diferensiyel dönüşümü şeklinde tanımlanır. Burada fonksiyonu ise, dönüşüm fonksiyonunun ters dönüşüm şeklindedir. Eş 'da Eş yerine yazıldığında aşağıdaki Eş elde edilir. Eş ve Eş denklemlerini kullanılarak ve temel matematiksel özellikler yardımıyla boyutlu diferensiyel dönüşüm için aşağıdaki teoremleri verebiliriz [17] Teorem değişkenli alalım. Eğer fonksiyonlarını ise sırasıyla diferensiyel dönüşüm fonksiyonları olmak üzere verilen fonksiyonların eşitliği sağlanır [17].

43 Teorem eğer değişkenli fonksiyonlarını alalım. için ise sırasıyla dönüşüm fonksiyonları olmak üzere verilen fonksiyonların diferensiyel eşitliği sağlanır [17] Teorem değişkenli fonksiyonlarını alalım. Eğer ise sırasıyla dönüşüm fonksiyonları ve olmak üzere verilen fonksiyonların diferensiyel eşitliği sağlanır [17] Teorem değişkenli fonksiyonlarını alalım. Eğer ise sırasıyla dönüşüm fonksiyonları olmak üzere verilen fonksiyonların diferensiyel eşitliği sağlanır [17].

44 Teorem değişkenli alalım. Eğer fonksiyonlarını ise sırasıyla diferensiyel dönüşüm fonksiyonları olmak üzere verilen fonksiyonların eşitliği sağlanır [17] Teorem değişkenli fonksiyonunu ele alalım. Eğer ise eşitliği vardır [17] Kesirli Mertebeden Denklemler için Diferensiyel Dönüşüm Yöntemi Kesirli mertebeden türev genelleştirmesiyle ilgili birkaç yaklaşım vardır. Riemann- Liouville anlamında kesirli türev için

45 29 şeklinde tanımlanır. fonksiyonu sürekli ve analitik olmak üzere kesirli kuvvetleri şeklinde seriye açabiliriz. Yani için şeklinde olup burada 'in kesirli diferensiyel dönüşümü 'dır. Bilimin çeşitli dallarında karşılaşılan uygulamalarda kesirli başlangıç şartları anlamsızdır ve fiziksel olarak neyi ifade ettiği açıkça bilinmemektedir. Bu yüzden Eş diferensiyel denklemindeki tanım Caputo anlamında tam sayı mertebeden başlangıç şartları alınarak şeklinde düzenlenebilir. Böylece başlangıç şartları tam sayı mertebeden türevlere uygulanabilir. Başlangıç şartlarının diferensiyel dönüşümü için şeklindedir. Burada kesirli diferensiyel denklemin mertebesidir. Eş Eş denklemleri kullanılarak aşağıdaki dönüşümleri yazabiliriz [41]. i) Eğer ise 'dır. ii) Eğer ise 'dir. iii) Eğer ise 'dir. iv) Eğer ise ' dir ve burada için v) Eğer ise 'dır.

46 30 vi) Kesirli türevin çarpımının en genel formu olmak üzere ve için şeklindedir [47] Geliştirilmiş Diferensiyel Dönüşüm Yöntemi Diferensiyel dönüşüm yöntemiyle çözülen bir problemde, seriye açılan noktadan uzaklaştıkça çözüm fonksiyonunun kötüleştiği bilinmektedir. Hata hesapları yapıldığında da bu daha detaylı bir şekilde görülmektedir. Bu nedenle hata hesabıyla belirlenen belli bir terimden itibaren en küçük kareler yöntemini uygulayarak, çözüm fonksiyonunu daha az hata ile hesaplamak hedeflenmiştir. En küçük kareler yöntemini şeklindeki bir diferensiyel denkleme uyguladığımızı düşünelim. Burada L lineer operatörü, N lineer olmayan operatörü ve F 'de homojen olmayan kısmını göstermektedir. Bu denkleme ilk önce diferensiyel dönüşüm yöntemini uyguladığımızı ve sonucunda çözüm fonksiyonunu elde ettiğimizi düşünelim. terimden sonra hata oranının arttığını kabul edelim ve bundan sonraki terimleri en küçük kareler yöntemiyle hesaplayalım. Bunun için Eş 'e katsayıları eklendiğinde elde edilir. Bu katsayılarını hesaplamak için önce kalan değeri bulunur. Sonra eklediğimiz her bir terim için

47 31 değerleri hesaplanır. Eş denklemleri m tane bilinmeyen m tane denklemden oluşan bir denklem sistemidir. Bu denklem sistemi çözüldüğünde 'ler elde edilir. Bulunan bu değerler Eş 'da yerine yazıldığında çözüm fonksiyonu gerçek çözüm fonksiyonuna çok daha yakın olan bir polinom olarak elde edilir. Elde ettiğimiz bu çözüm fonksiyonu için bir hata hesabı yapılabilir Teorem Geliştirlmiş diferensiyel dönüşüm yöntemiyle elde edilen terimini ele alalım. Yani için fonksiyonu için ilk üç şeklindedir. Burada, komşu iki nokta arasındaki ortalama uzaklıktır. İspat: gerçek çözüm fonksiyonunun Taylor serisinin ilk üç terimi alınırsa hata hesabı şeklinde yazılır ve Taylor serisinin kalan terimi olarak için

48 32 ifadesi alınıp Eş yeniden düzenlenirse elde edilir. İnterpolasyon noktasının problemdeki verilen bölgenin tam orta noktası olduğunu kabul edersek yazılabilir. Bu yöntemin yüksek mertebeden tamlık özelliğinden dolayı yüksek mertebeden bir terim, üçüncü mertebeden bir terimle tam olarak ifade edilebilir. Yani yazılabilir. Peano kalan teorisine göre elde edilir [74] Padé Yaklaşımı Padé yaklaşımı; mühendislik uygulamalarında adi ve kısmi türevli diferensiyel denklemlerin çözümlerinde kullanılmaktadır ve sürekli kesirler teorisiyle ilişkilidir [71].

49 33 Verilen herhangi bir fonksiyonun daha uygun şekilde bir rasyonel fonksiyon haline getirilmesi işlemine Padé yaklaşımı denmektedir. Padé yaklaşımı; yakınsak olmayan Taylor serilerindeki kısmi toplamlar serisine göre daha iyi sonuç vermekte olup yakınsaklık aralığını da genişleterek daha geniş aralıklarda çözümlerin daha az hatayla hesaplanmasına olanak sağlamaktadır [72]. Genel olarak bilgisayar programı kullanılarak yapılan hesaplamalarda kullanılır. Yaklaşım hakkında daha iyi bir fikir edinilmesi açısından bu bölümde bir değişkenli Padé yaklaşımına değinilecektir. Tek değişkenli f fonksiyonunu için; şeklinde bir kuvvet serisiyle temsil edilsin. Bu durumda bu kuvvet serisinin Padé yaklaşımı şeklinde bir rasyonel fonksiyondur. Burada payın derecesi L, paydanın derecesi de M 'dir. Eş 'da payın (L+1) tane katsayısı ve paydanın da (M+1) tane katsayısı vardır. Ayrıca Eş ifadesinin tanımsız olmaması için alınmalıdır. Bu durumu da dikkate aldığımızda Eş daki kesrin payının (L+1) tane bağımsız katsayısı ve paydasının da M tane bağımsız katsayısı olur. Tüm durum dikkate alındığında tane bilinmeyen katsayı vardır. ifadesi Eş deki kuvvet serisinin ilk terimine karşılık gelir [73]. Eş deki L dereceli kuvvet serisine karşılık gelen Padé yaklaşımı şeklinde yazılabilir. Eş 'de içler dışlar çarpımı yapılırsa elde edilir. Eş 'deki 'lerin katsayılarının eşitliğinden

50 34 denklem sistemi elde edilir. oluşur. Yani; olduğundan Eş sistemi n tane lineer denklemden yazılır. Buradan herhangi bir lineer denklem sisteminin çözüm yöntemlerinden biri ile katsayıları bulunur. Diğer yandan Eş denkleminden, payın katsayıları olan katsayıları terimlerin katsayılarının eşitliğinden olarak elde edilir. Böylece Eş ve Eş denklemleri Padé yaklaşımının pay ve paydası olarak tanımlanır. Dolayısıyla bu denklemlere Padé denklemleri denir. O halde genel anlamda bir fonksiyonunun Padé yaklaşımını şeklinde değişik formlarda gösterebiliriz [72,73]. Yaklaşımlara ait tablo sistematik olarak Henri Eugéne Padé tarafından verildiği için onun anısına hem yaklaşıma, hem de tabloya Padé ismi verilmiştir. Genel anlamda bir fonksiyona ait Padé tablosu aşağıdaki gibidir. Padé tablosu

51 35 Çizelge 3.2. Padé yaklaşım tablosu M\L Yukarıdaki Çizelge 3.2. formatına uygun bir şekilde yaklaşımlarını gösteren Padé değerleri Çizelge 3.3 'deki gibidir. fonksiyonunun Padé Çizelge 3.3. 'in Pade yaklaşım tablosu M\L x 2 3 Yukarıdaki Çizelge 3.3 ' de görüldüğü gibi Padé tablosunda birinci sütun fonksiyonuna ait serinin kısmi toplamlarını vermektedir. İlk satır ise fonksiyonunun kısmi toplamlarının terslerini gösterir.

52 36

53 37 4. MİKRO VE NANO-ÖLÇEKLİ TETİKLEYİCİLERİN KİRİŞ TİPİ MODELİ Kiriş tipli elektrostatik tetikleyiciler mikro elektromekanik sistemlerde (MEMS) çok geniş kullanım alanlarına sahiptir. Bir kiriş tipi tetikleyicisi iletken yüzey üzerine asılı bir iletken elektrottan yapılmıştır. İki elektrot arasındaki voltaj farkı elektrotun yukarıya veya aşağıya hareket etmesine neden olur. Kritik bir voltaj değerinde elektrotun hareketi kararsız olur. İki yüzey arasındaki kuvvet 20nm 'nin altındaysa moleküler arası Van der Waals çekimi olarak bilinir ve aranan fonksiyonun küpünün tersiyle orantılıdır. Eğer iki yüzey arasındaki kuvvet 20nm 'nin üzerinde ise kuantum Casimir etkisi olarak bilinir ve aranan fonksiyonun dördüncü kuvvetinin tersiyle orantılıdır [48-51]. Nanoteknolojideki son gelişmelerle birlikte çoğu araştırmacılar moleküller arası kuvvet etkisinin araştırılması üzerine odaklanmışlardır. Şekil 4.1. Tek bağlantılı nano bir kirişin şematik gösterimi Şekil 4.1 ve Şekil 4.2 'de görüldüğü gibi, kiriş tipli nano elektromekanik sistemlerdeki (NEMS) tetikleyiciler w genişliğinde, H inceliğinde ve L uzunluğunda düzgün bir dikdörtgen kesit kiriş olarak modellenmiştir [76]. Yalıtkan destek yapısının tasarımına göre tek bağlantılı ve çift bağlantılı NEMS olarak ikiye ayrılır. Dağılmış parametreli modeli için hareket denklemi Euler-Bernoulli kiriş teorisi dikkate alınarak

54 38 şeklinde yazılabilir. Burada Y kirişin sapması, X sabitlenmiş ucundan ölçüldüğünde kiriş pozisyonu, I profil kesitinin eylemsizlik momenti ve E 'de bir katsayıdır. Bu etkili katsayısı; dar kirişlerde basit olarak Young' un katsayısı olan E olur ve geniş kirişler için v Poisson oranı olmak üzere plaka modülüdür. Eş.4.1 denkleminin sağ tarafı dikkate alınırsa ve kuvvetleri sırasıyla, kirişin birim uzunluk başına düşen elektrostatik kuvvet ve moleküler arası ya da kuantum kuvvetidir. Bu çalışmada ve arasında kalan ve 20nm 'ye karşılık gelen kuvvet gözardı edilmiştir. Şekil 4.2. İki bağlantılı nano bir kirişin şematik gösterimi Kirişin birim uzunluk başına düşen elektrostatik kuvveti şeklinde olup burada vakum geçirgenliği, V uygulanan voltaj ve g 'de sapma olmadığı durumda iki elektrot arasındaki orijinal boşluktur. Kirişin birim uzunluk başına düşen Van der Waals kuvveti olup buradaki A 'da Hamaker sabitidir [48-50,55]. Kirişin birim uzunluk başına düşen Casimir kuvveti ise

55 39 yazılır [52-55]. Burada değeri Plank 'ın sabitine indirgenmiştir ve değeri de ışığın hızıdır. Eş. 4.2, Eş. 4.3 ve Eş. 4.4 değerlerini Eş. 4.1 'de yerine yazıp ve boyutsuz değişkenleştirme işlemi yapılırsa hareket denklemini boyutsuz forma dönüştürmüş oluruz. Boyutsuz formdaki hareket denklemi şeklinde yazılabilir. olduğunda olaya Van der Waals kuvveti ve olduğunda ise Casimir kuvveti etki eder. Boyutsuzlaştırma işleminden sonra elde ettiğimiz Eş. 4.5 denklemindeki parametreler şeklindedir. Eğer kiriş tek bağlantılı ise sınır şartları şeklindedir. Eğer kiriş çift bağlantılı ise şeklinde sınır şartları alınmalıdır. olduğunda Eş. 4.5 denklemi MEMS durumuna dönüşür, yani moleküler arası kuvvet veya kuantum kuvveti ihmal edilir. NEMS sınır değer problemleri önceki çalışmalarda Adomian Ayrışım yöntemiyle çözülmüştür [56]. Bu bölümde hedeflenen; daha iyi bir yöntem kullanarak ve daha az hatayla bu türden problemleri çözmektir. Bu nedenle Bölüm 3 'de tanımlanan Taylor serisine dayalı Diferensiyel Dönüşüm ve En Küçük Kareler metodlarının birleşimi olan Geliştirilmiş Diferensiyel dönüşüm metodu bu problemlere uygulanacaktır Van Der Waals Kuvveti Lineer olmayan tek bağlantılı NEMS sınır değer problemine 1 yapılırsa 0 için dönüşümü

56 40 elde edilir. Problemi çözebilmek için öncelikle Eş. 4.9 denkleminin her iki tarafı ile çarpılırsa, şeklindedir. Şimdi Eş denklemine diferensiyel dönüşüm uygulanırsa, yazılır. Ayrıca yazılabilir. Eş 'deki ilk iki katsayı 1. ve 2. sınır şartından elde edilir. ve sonrası katsayıların hesaplanabilmesi için ayrıca katsayıların da bilinmesi gereklidir. Bu katsayıları sırasıyla 'ye eşitlendiğinde serinin diğer katsayıları bu bilinmeyenler cinsinden elde edilir. Kesilmiş Taylor polinomu çözümü diferensiyel dönüşüm yardımıyla hesaplandıktan sonra bu bilinmeyen katsayılar ise verilen diğer iki sınır şartından elde edilebilmektedir. Böylece serinin diğer terimleri de hesaplanarak ve olarak alındığında çözümü elde edilir. Şimdi de en küçük kareler yöntemini uygulayarak çözüme daha iyi yaklaşımı bulmaya çalışalım. Yani

57 41 denklemini alıp bu fonksiyona en küçük kareler yöntemi uygulanırsa hesaplanır. Böylece çözüm fonksiyonu olarak değerleri elde edilir. Verilen yeni yöntem yukarıda 6 terim DDM, 3 terim EKKM alınarak hesaplanmıştır. Problemin analitik çözümü bilinmediğinden dolayı Adomian ayrışım yöntemi, diferensiyel dönüşüm ve geliştirilmiş diferensiyel dönüşüm yöntemi karşılaştırılmıştır. Elde edilen çözümler için hata hesapları Çizelge 4.1 'de verilmiştir. Farklı m değerleri için GDDM hesabında farklı terimler ele alınmıştır. Mesela; 6 terim için 5 terim DDM, 1 terim EKKM, 7 terim için 6 terim DDM, 1 terim EKKM alınmıştır ve Çizelge 4.1 'de parantez içinde gösterilmiştir. Çizelge 4.1. Tek bağlantılı Van der Waals kuvveti etkidiğinde aralığındaki maksimum hata miktarları m 6 (5+1) 7 (6+1) 8 (7+1) 9 (7+2) 10 (7+3) 11(9+2) 13(9+4) 14(9+5) DDM 0, , , , ,224 1, , AAM 0, , , , , , , , GDDM 0, , , , , , , , Van der Waals kuvveti (K=3) etkidiğinde tek bağlantılı NEMS sınır değer problemi için yöntem kesilmiş Taylor polinomu formunda olduğundan terim sayısı artarken Şekil 4.3 ve Şekil 4.4 'de görüldüğü gibi DDM ve GDDM çözümleri birbirine çok yakın çıkarken, Şekil 4.5 'de DDM çözümü kötüleşmiştir fakat GDDM ise çözüm fonksiyonunu temsil etmeye devam etmektedir. Bu iki yöntemi karşılaştırırsak, Şekil Şekil 4.9 'da görüldüğü gibi terim eklediğimizde DDM sonucu elde edilen kalan değerler sıfırdan uzaklaşırken GDDM sonucu elde edilen kalan değerleri değeri sıfıra yaklaşmaktadır. Yani daha çok terim aldığımızda GDDM 'nin doğruluğu daha da artmaktadır.

58 42 Şekil 4.3. K=3 ve m=8 için DDM ve GDDM çözüm davranışı Şekil 4.4. K=3 ve m=9 için DDM ve GDDM çözüm davranışı Şekil 4.5. K=3 ve m=10 için DDM ve GDDM çözüm davranışı

59 43 Şekil 4.6. K=3 ve m=7 için DDM ve GDDM hata hesabı Şekil 4.7. K=3 ve m=8 için DDM ve GDDM hata hesabı Şekil 4.8. K=3 ve m=10 için DDM ve GDDM hata hesabı

60 Casimir Kuvveti Lineer olmayan çift bağlantılı NEMS sınır değer problemi 0 için olup sınır şartları da şeklindedir. Öncelikle Eş 4.17 'nin her tarafını ile çarparsak elde edilir. Eş denklemine diferensiyel dönüşüm uygularsak olur. Ayrıca dönüşüm sonucu sınır şartlarından elde edilen değerlerdir. Burada katsayılarını diğer şartlardan elde edeceğiz. Bilinen değerler yardımıyla diğer bilinmeyen değerler hesaplandığında ve alındığında elde edilir. Şimdi de en küçük kareler yöntemini uygulayarak daha iyi bir yaklaşımı elde etmeyi amaçlıyoruz. Yani

61 45 denklemini alıp en küçük kareler yöntemi uygulanırsa Buradan da çözüm fonksiyonu değerleri hesaplanır. elde edilir. Bu yeni yöntemde 6 terim DDM, 3 terim EKKM alınarak hesaplanmıştır. Problemin analitik çözümü bilinmediğinden dolayı diferensiyel dönüşüm ve geliştirilmiş diferensiyel dönüşüm yöntemleri karşılaştırılmıştır. Bulunan çözümler için hata hesapları Çizelge 4.2 'de verilmiştir. Çizelge 4.2. Çift bağlantılı Casimir kuvveti etkidiğinde maksimum hata miktarları aralığındaki m 6 (5+1) 7 (5+2) 8 (7+1) 9 (7+2) DDM 0, , , ,7 GDDM 0, , , , Casimir kuvveti(k=4) etkidiğinde çift bağlantılı NEMS sınır değer problemi için yöntem kesilmiş Taylor polinomu formunda olduğundan terim sayısı artarken Şekil 4.14 'de görüldüğü gibi DDM ve GDDM çözümleri birbirine çok yakın iken, Şekil 4.15 'de DDM çözümü kötüleşmiştir. Bu iki yöntem karşılaştırılırsa; Şekil Şekil 4.13 'de görüldüğü gibi terim eklediğimizde DDM hata değeri artarken, GDDM 'nin hata değerleri azalmıştır. Şekil 4.9. K=4 ve m=6 için DDM ve GDDM hata hesabı

62 46 Şekil K=4 ve m=7 için DDM ve GDDM hata hesabı Şekil K=4 ve m=8 için DDM ve GDDM hataları Şekil K=4 ve m=9 için DDM ve GDDM hataları

63 47 Şekil K=4 ve m=6 için DDM ve GDDM çözüm davranışı Şekil K=4 ve m=9 için DDM ve GDDM çözüm davranışı

64 48

65 49 5. TAM PASİF DOĞAL KONVEKSİYON Konveksiyon; katı yüzey ile akışkan arasında gerçekleşen ısı transferinin bir çeşididir. Şekil 5.1 ' de görüldüğü gibi akışkan içindeki moleküller vasıtası ile ısı transfer edilir. Isı transferi, iletim veya difüzyon da denilen sıvı veya gaz akışlarını içerir ve genel olarak ikiye ayrılır. Doğal konveksiyon; akışkan içinde var olan sıcaklık farkları sebebi ile akışkanın hareket etmesi ile ortaya çıkan taşınımdır. Zorlanmış konveksiyon ise akışkan hareketi dıştan gelen bir etki olduğunda oluşan harekettir. Kenarlarından ısıtılmış dikey bir borudaki doğal ve zorlayıcı konveksiyonla ilgili birçok sayısal çalışma yapılmıştır. Bu çalışmaların çoğunda akış hareketine gradient, basınç veya duvarlarından ısıtılan akış etkisi dikkate alınmıştır[57-59]. Dikey bir boruda düzgün serbest akış hareketi birçok mühendislik uygulamasında kullanılmıştır. Bunlara örnek olarak; akışkanlar mekaniğinde, pasif sistemlerin havalandırılması gibi birçok alanda da karşılaşılan bir durumdur. Ayrıca modern elektronik cihazlarda ısı üreten dikey devre panoları da buradaki durum dikkate alınarak yeniden modellenebilir. Diğer uygulamaları ise radyatörlerin bazı tipleri, yağla çalışan küçük taşınabilir ısıtıcılar, elektrik transformatörlerinin dış yüzeyleridir. Dolayısıyla bunların hepsi doğal akışın araştırmaları için büyük bir merak uyandırmıştır. Bu bölümdeki çalışmanın amacı; dikey bir boruda, hiçbir baskı olmadan ve ortam sıcaklığıyla aynı sıcaklıkta duvarları olan tamamen doğal pasif bir konveksiyonu araştırmaktır [60]. Fakat dikey bir boruda düzgün doğal bir akışın analitik çözümünün eksikliği yaklaşık ya da sayısal çözümlere yöneltmiştir. Bu problemin yaklaşık çözümü, tezin 3. ve 4. bölümlerinde de bahsedilen GDDM ile bulunmuştur. Şekil 5.1. Günlük hayattaki ısı transferi örneği

66 Paralel Plakalar Arasındaki Akış Şekil 5.2 'deki 2L uzunluğundaki, dikey paralel iki levha arasındaki akış hareketini göz önüne alalım. İyi tanımlanmış Boussinesq yaklaşımı altında momentum ve enerji denklemini şeklinde yazabiliriz. Burada bilinmeyen katsayılar akışın viskozitesi, yoğunluğu, yerçekim ivmesi, termal genleşme katsayısı, yayılma sıcaklığı, sıcaklık, 'da duvarlar üzerindeki sıcaklıktır. Ayrıca yanal koordinat olup L uzunluğu kadar simetrik konumlandırılmıştır. 'de hız eksenini göstermektedir. Şekil 5.2. Paralel plakalar arasındaki akış normalleştirilmiş bir sıcaklık olarak tanımlanabilir. Dolayısıyla Eş. 5.1 ve Eş. 5.2 denklemleri yeniden düzenlenerek

67 51 yazılabilir. Bu son denklemde de 'lar yok edilerek nonlineer denklemi elde edilir. ve 'lar duvar üzerinde sıfırdır. Yani simetriklikten sınır değerleri yazılır [60,61]. Eş. 5.6 probleminin ş â çözümü vardır. Fakat bunun anlamı akış yoktur. Bizim amacımız aşikâr olmayan bir çözüm bulmaktır. Dolayısıyla Eş Eş. 5.8 denklemlerine GDDM uygulayarak tek bir aşikâr olmayan çözüme ulaşılabilir. Denklemin yaklaşık çözümü formunda olup denkleme diferensiyel dönüşüm uygulanırsa için eşitliği elde edilir. Eş. 5.8 sınır şartlarından dır. Eğer alınırsa diğer tüm değerleri de sıfır olacaktır dolayısıyla aşikâr çözüme ulaşılacaktır. Bu yüzden seçelim ve bu sınır şartlarını kullanarak diferensiyel dönüşüm yöntemini uygularsak,

68 52 şeklinde olup,, şeklindedir. Şimdi de Eş. 5.7 sınır şartından ikinci türevini alıp sıfıra eşitlersek bu eşitlik sadece bir tane reel değeri için sağlanır. Bu değer dir. Bu değeri de Eş. 5.7 'de yerine yazarak Dolayısıyla çözüm fonksiyonu değeri elde edilir. şeklinde elde edilmiş olur. Başlangıç değerlerinden uzaklaştığımızda hatanın da artması kaçınılmaz olacaktır. Bunu önlemek ve daha iyi bir yaklaşım elde etmek için Eş denklemine en küçük kareler yöntemini uygulayalım. Böylece çözüm fonksiyonu olarak alalım. Buradaki ve değerleri en küçük kareler yöntemiyle hesaplanacak katsayılardır. Yöntemi uyguladığımızda daha iyi bir yaklaşım olarak elde edilir. Genişlik başına düşen toplam akış hızı da değeridir. Çözümün tekliğini ispatlamak için ise Eş. 5.6 'nın çözüm fonksiyonu

69 53 olarak alalım. Buradaki değerleri rekürans bağıntısını sağlar. için olur ve olarak alınırsa için şeklinde tanımlanabilir ve çözüm fonksiyonu yeniden düzenlenirse elde edilir ve buradan da ve için bağıntısı elde edilir. Eş. 5.7 'den olup burada şeklindedir. Tekliğini ispatlamak için Eş denklemindeki 'nın sadece bir tane reel kökünün olduğunun gösterilmesi gerekir. Bunu yapmak için her değeri için olduğunu göstermek yeterlidir. Eş denklemi her eşitsizliğini sağlar. O halde sadece için olduğunu göstermemiz yeterlidir. için olsun. Buradan Eş denklemi dikkate alınırsa

70 54 olup türev alınırsa elde edilir. Eş kullanılarak yazılabilir ve buradan da yazılır. Sonuç olarak da elde edilir. Buradan da her için olup aşikâr olmayan çözüm tektir [61]. m terim sayısı olmak üzere DDM ve GDDM çözüm fonksiyonlarının davranışı Şekil 5.6 'da verilmiştir. Ayrıca verilen aralıktaki maksimum hata hesaplanmış ve hata bilgileri Çizelge 5.1 'de verilmiştir. Çizelge 5.1. Farklı m değerleri için aralığında maksimum hata m DDM 0, , , ,85 3,625 GDDM 0, , , ,65 1,794 Şekil 5.3 ve Şekil 5.4 'de görüldüğü gibi çözümler başlangıçta aynı gibi davranırken, başlangıç değerinden uzaklaştıkça DDM kötüleşmektedir. Hatta Şekil 5.5 'de hata miktarı

71 kabul edilemez düzeydedir. GDDM 'ye baktığımızda ise terim sayısı arttıkça sonuçlarda gittikçe düzelmiştir. 55 Şekil 5.3. Paralel plakalar m=7 için hata hesabı Şekil 5.4. Paralel plakalar m=8 için hata hesabı

72 56 Şekil 5.5. Paralel plakalar m=9 için hata hesabı Şekil 5.6. Paralel plakalar m=10 için çözüm davranışı 5.2. Dairesel Boru İçindeki Akış Dairesel bir borudaki serbest akış denklemi silindirik koordinatlar için benzer bir normalleştirme işlemiyle şeklinde olup sınır şartları da

73 57 olarak verilmiştir. Problemin daha iyi anlaşılması için dairesel bir borudaki akış Şekil 5.7 'de verilmiştir. Şekil 5.7. Dairesel bir borudaki akış Eş Eş sınır değer probleminin ş çözümü vardır. Bu da yine akışın olmaması demektir. Eş. 5.6 problemindeki gibi amaç sıfırdan farklı bir çözüm bulmaktır [61]. Burada dönüşümü yapılır ve diferensiyel dönüşüm yöntemi uygulanırsa tek bir aşikâr olmayan çözüme ulaşılır. Yaklaşık çözüm: formunda olup Eş ile verilen denkleme DDM uygulanırsa için

74 58 eşitliği elde edilir. Eş sınır şartlarından yazılır. Eğer alınırsa diğer tüm değerleri de sıfır olacaktır dolayısıyla aşikâr çözüme ulaşılacaktır. Bu yüzden seçelim ve bu şartlara göre diğer bilinmeyen katsayılar şeklinde olup,, elde edilir. Eş.5.31 sınır şartından, Eş sadece bir tane reel değeri için sağlanır. Bu değer şeklindedir. Bunu da Eş 'de yerine yazarsak edilir. Dolayısıyla çözüm fonksiyonu değeri elde elde edilmiş olur. Daha iyi bir yaklaşım elde etmek için en küçük kareler yöntemini uygulayalım. Benzer şekilde üç terim ekleyerek daha iyi bir yaklaşım elde edilebilir. GDDM uygulanırsa,

75 59 çözüm fonksiyonu elde edilir. Genişlik başına düşen toplam akış hızı değeridir. Çözümün tekliğini ispatlamak için ise Eş 'un çözüm fonksiyonu olarak alalım. Buradaki değerleri için şeklinde bağıntısıyla yazılabilir. Eş sınır şartlarından elde edilir ve için olduğunda Eş 'den olur. alınırsa Eş 'den tüm n 'ler için olacaktır. Bunun da anlamı akışın olmamasıdır yani aşikâr çözümdür. O halde olarak seçilirse ve değerleri yine Eş 'deki gibi tanımlanırsa elde edilir ve buradan da için eşitliğini sağlar. Eş 'den yazılır. Tekliğini göstermek için, her ç olduğunu göstermek yeterlidir. Burada olarak alınırsa

76 60 elde edilir ve böylece ç olup tektir [61]. m terim sayısı olmak üzere DDM ve GDDM çözüm fonksiyonlarının davranışı Şekil 5.13 'de verilmiştir. Ayrıca verilen aralıktaki maksimum hata bilgileri Çizelge 5.2 'de verilmiştir. Çizelge 5.2. Farklı m değerleri için aralığında maksimum hata m DDM 9, , , , , GDDM 0, , , ,422 1,307 Şekil Şekil 5.10 'da görüldüğü gibi çözümler başlangıçta aynı gibi davranırken, başlangıç noktasından uzaklaştıkça DDM kötüleşmektedir. Şekil 5.11 ve Şekil 5.12 'de ise GDDM için hata değeri sıfıra yaklaşır. Grafiklerden de anlaşılacağı gibi GDDM çözümü aralığın her noktasında daha iyi sonuçlar vermiştir. Şekil 5.8. Dairesel boru m=6 için hata hesabı Şekil 5.9. Dairesel boru m=7 için hata hesabı

77 61 Şekil Dairesel boru m=8 için hata hesabı Şekil Dairesel boru m=9 için hata hesabı

78 62 Şekil Dairesel boru m=10 için hata hesabı Şekil Silindirik koordinatlar m=8 için çözüm davranışı

79 63 6. AV-AVCI İLİŞKİSİ Doğal vahşi yaşamın popülasyonları derinlemesine incelendiğinde, dünya çapında tehlike altında olan 1000 'den fazla hayvan türüne rastlanılmaktadır. İnsan nüfusu arttıkça doğal yaşamda, av-avcı toplulukları da dâhil olmak üzere vahşi yaşam çevresel değişikliklerden ve yıkımlardan etkilenmektedir. Av-avcı popülasyonunun yerel ortamlarda ilerlemesini anlamak için av-avcı etkileşimi ve nüfus dinamikleri gibi pek çok sorunları da iyi anlamak gerekir. Birçok türün arasında oluşan doğal av-avcı etkileşimleriyle ilgili pek çok çalışma yapılmıştır[62-70]. Bu çalışmalarda, karmaşık ilişkileri gözlemlemek için mümkün olduğunca insan eli değmemiş yerleri incelemek hedeflenmiştir. Av-avcı ilişkilerini etkileyen dış etkenlere rağmen, bazı baskın davranışlar tipik etkileşim türlerinin kümeleri arasında da bulunmaktadır. Av türleri tarafından geliştirilen birincil davranış, avlanma tehlikesinin azaltılması için başka bir alana göç etmektir. Örneğin, bazı türler daha güvenli bir ortam elde etmek için iyi bir beslenme alanını terk edebilir. Ancak, avcılar da genellikle hayatta kalma şansını artırmak için av davranışlarındaki bu değişime ayak uydurur. Sonuç olarak, av-avcı etkileşimi bir davranış oyunu gibi ortaya çıkabilir. Bu davranışsal oyun modeli birçok matematikçi tarafından incelenmiştir. Davranış ekolojisti Larouche beyaz köpekbalıkları ile Güney Afrika kürklü foklar arasındaki etkileşimi inceleyerek davranışsal oyun modelinin bir örneğini ortaya koymuştur [62]. Bu çalışmada, erişkin fokların köpekbalıklarından kurtulmak için davranışsal stratejiler geliştirdikleri gözlenmiştir. Buna karşılık, köpekbalığı davranışları da fok yavrularının yerini bulmaları sayesinde değişmiştir. Ayrıca, deniz biyoloğu Bjorndal Avustralya'da kaplan köpekbalıkları ile ilgili bir çalışmasında tehdit oluşturduğundan dolayı yeşil deniz kaplumbağalarının yaşam alanının seçimini değiştirmek zorunda olduğunu göstermiştir [63]. Deniz kaplumbağaları avlanma riskini azaltmak için, besin açısından daha az kaliteli olan bir alana taşınmak zorunda kalmıştır. Bu örnekler av-avcı popülasyonları arasındaki oluşabilecek davranışsal oyun etkileşimlerinin bazılarını yansıtmaktadır. Büyüme veya tek bir nüfusun azalmasına ilişkin nüfus dinamikleri incelenirken, bu tür çevrenin doğal büyüme oranı, taşıma kapasitesi veya sınırlayıcı miktarlar gibi faktörler göz önüne alınmalıdır. Matematiksel ekoloji, popülasyonlar arasındaki etkileşim çalışmasını gerektirdiğinden her nüfus, diğer büyüme ve ölüm oranlarından etkilenmektedir.

80 64 Tahmin, tanımlar ve bir türdeki nüfus değişikliklerini açıklamak amacıyla matematiksel modeller geliştirilmiş, incelenmiş ve iyileştirilmiştir. Bu tür modeller birçok durumda gelecekteki olayları tahmin yeteneğine sahip olacağı öngörülmektedir. Bilim ve teknolojideki gelişmeler, doğal nüfus değişimlerinin öngörülebilirliğini artırmaktadır. Birçok matematikçi ve bilim adamı, farklı diferensiyel denklemlerle, çeşitli av-avcı gruplarının durumlarını modellemiştir. Bu modeller farklı av-avcı gruplarındaki bir dizi davranışlar hakkında tahminler yapmak için ipuçları sağlayabilir. Bu nedenle popülasyonları analiz ve tahmin etmek, nesli yok etmemek için oldukça önemli hale gelmektedir. Avlanma modelleri; Bazykin'in çalışması, Volterra'nın Adriyatik balık veri analizi, Holling'in böcekler ile ilgili çalışmaları, Tanner in çeşitli av-avcı araştırmaları da dâhil olmak üzere, ekolojinin eskilerindendirler [75]. Aşağıda av-avcı ile ilgili literatürdeki birkaç modelden bahsedilmiştir ve Bölüm 6.1 'de sabit besin oranına bağlı av-avcı sistemi burada yeniden çalışılmış ve sistemin çözümü geliştirilmiş diferensiyel dönüşüm yöntemi ile çözülerek metodun güvenilirliği test edilmiştir. Bölüm 6.2 'de de kesirli mertebeden popülasyon modeli çözülmüştür. Malthusian Modeli Thomas Malthus'un 1798 yılındaki çalışması, nüfus dinamikleri için ilk kesin teorik çözüm olarak kabul edilir [62]. Doğal olarak, genellikle nüfus artışını tahmin etmek için ortaya atılan ve Malthusian modeli olarak bilinen ilk modeldir. Bu modelde popülasyondaki değişim hızı nüfus ile doğru orantılıdır. Yani şeklinde olup burada ve k oran sabitidir. Bu değişkenlerine ayrılabilir diferensiyel denklemdir ve şeklinde kolaylıkla çözülür. Hem av hemde avcı nüfusuna temsili bir çözüm bulabilmek için A ve k sabitlerini bilmemiz gerekir. Ancak bu model Şekil 6.1 'de görüldüğü gibi üstel olarak arttığından ve çoğu popülasyon kaynakları sınırlı olduğundan vahşi doğal hayatı tam olarak temsil etmez.

81 65 Şekil 6.1. k=0,75 değeri için Malthusian modelinin çözümünün grafiği Verhulst-Pearl Modeli Verhulst denklemi, bazı nedenlerden dolayı boyutu sınırlandırılmış nüfus dinamiklerini içeren popülasyon modeli olarak bilinmektedir. Bu modeli tanımlayan ve Lojistik denklemi olarak da bilinen denklem ilk olarak şeklinde verilmiştir [62]. Burada k ve a sırasıyla, uygun kaynaklarla belirlenebilen popülasyon yoğunluğunun taşıma kapasitesi ve küçük bir popülasyondaki üstel olarak nüfus artış oranıdır. Pearl 1927 yılına kadar unutulmuş olan bu çalışmayı yeniden ortaya atmıştır. Bu model başlangıçta Malthusian modeli gibi üstel olarak büyür ve büyüme oranının maksimum olduğu noktaya erişir fakat Şekil 6.2 'de gösterildiği gibi büyüme hızı düşmeye başlar ve bir noktada sabitleşir. Eğer popülasyonun taşıma kapasitesinin nüfusu aştığı bir durum söz konusu ise, yani yeni yavrular doğmuş veya insanlar bu bölgeye dışarıdan hayvan taşımışlarsa, bu durumda sınırlı kaynaklardan dolayı nüfus azalacak ve taşıma kapasitesine erişecektir. Bununla birilikte bu model, kaynaklar için rekabet veya avcının doyum noktasına ulaşması gibi, av ve avcı arasında birçok etkileşimleri karşılamaz. İki türden bahsedilirken, matematiksel açıdan bakıldığında tek denklem tam etkileşim ve tüm dinamiklerin modelini ifade edemez. Bu yüzden birden fazla denklemle av-avcı popülasyon modellerine yaklaşımın daha uygun olacağı düşünülmüştür.

82 66 Şekil 6.2. a=0,75, k=200 için Verhulst-Pearl Lojistik Modelinin çözümünün grafiği Bazykin Modeli Ekolojinin matematik uygulamaları asırlardır matematikçiler için bir merak kaynağı olmuştur. Matematikçiler, popülasyonları tanımlamak için modeller önermekte ve hala özel durumlar için farklı modeller geliştirmektedir. Örneğin Bazykin, Lotka Volterra Modeli ve Holling Modeli gibi birçok lineer olmayan modeller üzerinde çalışmıştır. Türler arasındaki etkileşimler ekolojide üç ana grupta değerlendirilmektedir. Bu etkileşimler: mutualizm veya simbiyoz, ortak bir kaynak için karşılıklı rekabet baskılanması ve av-avcı ya da parazit-konak ilişkileridir [62]. Bazykin bu etkileşimleri modellemek için aşağıdaki diferensiyel denklem sistemini geliştirmiştir. burada avcının yokluğunda avın artış oranı, avın yokluğunda avcının ölüm oranı, avlanma oranı, 'de avcının yeniden üreme oranıdır. Bazykin modelinde, bazı dengeleyici faktörler sistemi kararlılık noktasına doğru iterken, diğer istikrarı bozan etmenler de sistemi denge noktasından sonsuza doğru saptırmaktadır. Bazykin'in dengeleyici faktörleri, av popülasyon yoğunluğu azaldığında besleyici fonksiyonundaki nonlineerlik, av ya da diğer kaynaklar için av-avcı arasındaki rekabettir. İstikrarsızlaştırıcı faktörleri ise küçük yoğunluklarda av popülasyonları, avcı doygunluğu

83 67 ve avcının lineer olmayan üremesi olarak sayabiliriz. İki ya da daha fazla dengeleyici faktör veya iki ya da daha fazla denge bozucu faktör aynı anda yeni gözlemlere yol açmaz. Bunun için, dengeleyici ve denge bozucu faktörlerin bileşimleri, yeni dengeler üretmek veya diğer sonuçların kararlılığı veya kararsızlığı için ayrıca incelenmelidir. Berryman gibi diğer matematikçiler[63] de, şimdiye kadar değişik av-avcı nüfus öngörüleri ile ilişkili çeşitli modeller önermişlerdir. Böyle modeller nüfus düzeyleri hakkında geri bildirim sağlama yeteneğine sahiptirler. Lotka-Volterra Modeli Bir İtalyan biyolog olan Umberto D'Ancona, I. Dünya Savaşı sırasında Akdeniz'deki balık türlerinin, etkileşimli nüfus yoğunluğu değişikliklerini incelemiştir. Onun verileri Çizelge 6.1 de gösterildiği gibi yılları arasında selachians (köpekbalıkları, vatoz, vb) toplam ortalama yakalama yüzdelerini vermektedir [64]. Çizelge için Selachiansların toplam ortalama yakalama yüzdeleri Yıllar Selachiansların yakalama yüzdeleri %11,9 %21,4 %22,1 %21,2 %36,4 %27,3 %16 %15,9 %14,8 %10,7 Veriler, balıkların yakalanma oranlarının yılları arasında büyük bir artış olduğunu göstermektedir. D'Ancona, savaş esnasında balıkçılık faaliyetleri azaltıldığından dolayı bu anormalliğin ortaya çıktığını düşünmektedir. Bu muhakeme, balık popülasyonlarının balıkçı yoğunluğundan etkilendiğini göstermektedir. Bu durumun göz önünde bulundurulması, balıkçılık sektöründe önemli bir gelişmeye sebep olmuştur. D'Ancona, besin-balık nüfusu arttığında avlanmanın azaldığını gözlemlemiş ve dolayısıyla selachian nüfusu da artmıştır. Ancak, bu teori besin-balık nüfusundan farklı olan köpekbalığı avlanmasının niçin azaldığını açıklayamamıştır. D'Ancona bu durumu Vito Volterra ile birlikte sonuçlandırmıştır. Vito Volterra, eşzamanlı etkileşim, göç ve çeşitli türlerin etkileri de dahil olmak üzere ekolojik sorunları geniş bir yelpazede araştırmıştır ve D'Ancona da balık çalışmalarını açıklamaya yardımcı olması için bir av-avcı modeli geliştirmiştir. Alfred Lotka ilk olarak bir av-avcı modeli önermiş sonra da bir bitki ve otobur kullanarak modeli organik sistemlere genişletmiş ve bu denklemler av-avcı etkileşimini analiz etmekte oldukça kullanışlı denklemler olarak kabul görmüştür. İki türü

84 68 açıklayan daha sonraki modeli de av-avcı ve rekabet modelleri olarak bilinir. Modeli geliştirenlerden biyolog ve matematikçinin onuruna bu modele Lotka-Volterra modeli adı verilmiştir. Denklem lineer olmayan birinci mertebeden bir denklem sistemi olup şeklindedir. Burada x av sayısı, a av nüfusunun büyüme oranı, b avcının saldırma oranı, y avcıların sayısı, c avın yokluğunda avcının yok olma oranı, d avlanmak için avcı nüfusunun büyüme oranıdır. Lotka-Volterra modeli, çevre ve av-avcı oluşumu hakkında bir çok kabuller yapar. Bu kabuller içinde; av nüfusunun her zaman bol yiyecek bulduğu dolayısıyla avcı nüfusunun gıda tedariğinin tamamen av popülasyonlarına bağlı olduğu, öyleki avcı nüfusunun değişim miktarının nüfus ile orantılı olduğu, süreç boyunca çevrenin bir türün lehine değişmediği ve genetik adaptasyon yavaş olduğu sayılabilir [64]. Balıkçılık İçin Düzenlenmiş Lotka-Volterra Modeli D'Ancona, I. Dünya Savaşı sırasında, balıkçılık faaliyetlerindeki kapsamlı değişikliklerin selachiansların yakalama oranındaki artış yüzdesinde değişimlere neden olduğu sonucuna varmıştır. Balıkçılığın etkilerini ortaya koymak için de denklemini, aklındaki pek çok düşünceyi kullanarak yeniden uyarlamıştır. İlk olarak balıkçılık faaliyetlerinin balıkyiyecek populasyonunu, olmak üzere oranında azalttığını ve bunun da balıkçılık faaliyetlerinin yoğunluğunu tanımladığını göstermiştir. İkinci olarak, balıkçılık faaliyetlerinin selachians popülasyonunu oranında azalttığını göstermiştir. Bunları dikkate alarak denklemleri; şeklinde düzenlemiştir. [64]. olduğu sürece model yapısı bir önceki modele benzerdir

85 69 Holling Lojistik Modeli C.S.Holling, lojistik denklemiyle birlikte Lotka-Volterra sistemini şeklinde düzenlemiştir ve burada r pozitif bir sabit, k 'da popülasyon yoğunluğunun taşıma kapasitesidir ve bu denklemin tek av popülasyon modellerinden daha iyi olduğu sonucuna varmıştır. x küçüldükçe, kaynaklar için türler arası rekabet çok azdır yani değeri 1 'e yaklaşır ve değeri r 'ye yaklaşır. artarken türler arasında rekabet azalır yani değeri 0 'a yaklaşır ve birey başına üreme oranı 0 'a yaklaşır. Av popülasyonu için model olarak bu lojistik model kullanılırsa ve avcı popülasyon modeli de dikkate alınırsa b, c, d pozitif birer katsayı olmak üzere sistemi elde edilir [65]. Holling-Tanner Modeli Holling ve diğerlerinin çalışmalarında, sınır kapasitesine ulaşana kadar av yoğunluğunun artmasıyla birlikte avcılığın da arttığı görülmüştür. Çok fazla av olduğunda avcılar daha fazla av öldürmeyeceğinden dolayı fonksiyonuyla av oranı temsil edilmektedir [65]. James Tanner bu düzenlemeleri dikkate alarak çalışmalarını genişletmiştir [66]. Burada w ve r sabitleri avın az olması durumunda avcının avlanma ihtiyacının ne kadar hızlı arttığının belirlenmesi için kullanılan değerlerdir. r avcının av arama süresi, w ise maksimum avlanma oranı olarak ifade edilir (yani x sonsuza gittiğinde avlanma limiti).

86 70 Avlanma için bu yeni model ile birlikte sistem yeniden düzenlenirse a, c, d pozitif birer katsayı olmak üzere şeklinde olur Sabit Besin Oranına Bağlı Av-Avcı Sistemi Bu başlık altında amacımız, sabit besinle birlikte oran-bağımlı av-avcı sistemini, geliştirilmiş diferensiyel dönüşüm yöntemiyle daha hızlı ve güvenilir olarak çözmektir. Bu yöntem ile birlikte Padé yaklaşım tekniği de kullanarak serinin ıraksaklığı giderilmiştir. Modelin asıl amacı karşılıklı olarak iki neslin de devam etmesidir. İnsan ihtiyaçları açısından bakıldığında, biyolojik kaynakların kötüye kullanımı ve nüfusun artması, yaygın olarak balıkçılık faaliyetleri, ormancılık gibi faktörler yaban hayatı yönetimini etkilemektedir. Balıkçılık ve ormancılık gibi yenilenebilir kaynakların, bilimsel yönetimini anlayabilmek için biyoekonomik modellerin kullanımına olan ilgi artmıştır. Bu ilgi yenilenebilir kaynakların optimal yönetimi ile ilgilidir. Yukarıdaki nedenler de dikkate alındığında, sabit besin oranına bağlı av-avcı modelini incelemek daha mantıklıdır. Bu çalışmadaki modelde avcının ticari bir öneme sahip olmadığı düşünülmektedir. Bir acenteden satın alınarak ölçülebilen r, avın bir parametresidir. Av nüfusu için basit bir lojistik büyümeyi sırasıyla, avcı ölüm oranı, yakalama oranı ve dönüşüm oranı olarak alınırsa, bu problemi şeklinde formüle edebiliriz. Burada ve ifadeleri t zamanında av ve avcı nüfus yoğunluklarını temsil eder. Eş ve Eş denklemleri ve olduğunda biyolojik olarak anlamlı olduğundan çözülebilirdir. Eş ve Eş denklemleri tarafından tarif edilen sistem, uzun dönemli davranışlar incelenerek elde edildiğinden dolayı sağlıklı sonuçlar ortaya koyacaktır. Bu sistemin sonuçlarını üç kategoriye

87 71 ayırabiliriz: karşılıklı yok olmaları, avcının yok olması ve her iki tarafın varlıklarını devam ettirmesidir [68]. Hem av hemde avcı, parametrelerin bazı değerleri için kaybolmaya başladığında durumu yani çözüm asimtotik olarak dengeye yaklaşması demektir. denge noktasında hesaplanan Jacobian matrisin özdeğerleri, başlangıç yoğunluklarına bakılmaksızın şartını sağlayan sabit bir noktada asimtotik olarak karşılıklı yok olma eğilimindedirler. Bu açıkça gösteriyor ki av nüfusunun aşırı tüketilmesi yani yüksek av oranının oluşmasından dolayı, karşılıklı yok olmaya yol açacaktır. Sadece avcı nüfusu yok olmaya başladığında, çözüm asimtotik olarak formun dengesine yaklaşır. denge noktasında hesaplanan Jacobian matrisin özdeğerleri, iken avcı ölüm oranı daha fazla olup avcının yok olması kararlılığını gösterecektir. Bir başka uzun vadeli ihtimal de av-avcı bir arada yaşama dengesidir. Buna da dengesi denir. de hesaplanan Jacobian matrisinin özdeğeri şeklinde olup eşitsizliklerini sağlar [69]. Eş denkleminden eğer her iki tür de varlıklarını devam ettiriyorsa durumu ortaya çıkacaktır. Eş ve Eş problemi farklı başlangıç şartları ve farklı katsayılar alarak GDDM ile çözülebilir ve sonuçları da Padé serisine açılarak gerçek çözüme daha yakın bir çözüm elde edilir. Eş ve Eş denklemlerinin her iki tarafı ile çarpılırsa denklemleri elde edilir. Eş ve Eş denklemleri düzenlenirse

88 72 yazılır. Diferensiyel dönüşüm uygulanırsa bağıntıları elde edilir. Buradan da yine hata miktarının arttığı terime kadar DDM ile hesapladıktan sonra EKKM uygulanarak diğer bilinmeyen katsayılar daha az hata ile elde edilmiştir. 1.Durum:,,,,, değerleri alınırsa Eş ve Eş sisteminin çözümü elde edilir ve Şekil 6.3 'ten de görüldüğü gibi durumu, yani her iki tür karşılıklı yok olma eğiliminde olduğu görülür. Bu çözüm fonksiyonlarını da Padé [3,3] serisine açarak daha iyi bir yaklaşım elde edilmiştir.

89 73 Şekil 6.3. Birinci durum için x(t) ve y(t) çözüm fonksiyonlarının davranışı 2.Durum:,,,,, değerleri alınırsa Eş ve Eş sisteminin çözümü şeklinde olup Şekil 6.4 'de görüldüğü gibi, durumu yani avcının yok olması kararlılığını gösterir. Bu çözüm fonksiyonlarını da Padé [3,3] serisine açarak daha iyi sonuçlar elde edilmiştir. Şekil 6.4. İkinci durum için x(t) ve y(t) çözüm fonksiyonlarının davranışı

90 74 3.Durum:,,,,, değerleri alınırsa Eş ve Eş sisteminin çözümü olup Şekil 6.5 'de görüldüğü gibi durumu olacaktır yani her iki türün de varlıklarının devam etmesidir. Bu çözüm fonksiyonlarını Padé [3,3] serisine açarak daha iyi bir yaklaşım elde edilmiştir. Şekil 6.5. Üçüncü durum için x(t) ve y(t) çözüm fonksiyonlarının davranışı 4.Durum:,,,,, değerleri alınırsa Eş ve Eş sisteminin çözümü olup Burada yine Şekil 6.6 'dan görüldüğü gibi durumu yani her iki türün de varlıklarının devam etmesi durumudur. Bulduğumuz bu çözüm fonksiyonlarını Padé [3,3] serisine açarak iyi sonuçlar elde edilmiştir.

91 75 Şekil 6.6. Dördüncü durum için x(t) ve y(t) çözüm fonksiyonlarının davranışı 6.2. Kesirli Mertebeden Biyolojik Popülasyon Model İnsan nüfus artışı ile birlikte çevre kirliliği sorunları ve yaşamsal doğal kaynakların tükenmesi gibi birbiriyle ilişkili olan ciddi sorunlar giderek daha da belirgin hale gelmektedir. Bugünkü ekolojiyi bilinen geleneksel yöntemlerle karakterize etmek mümkün değildir. Yeni ve daha komplike kavramlar, ekolojinin tüm seviyelerindeki insan-çevre ilişkilerinin özüne araştırmak için gereklidir. İlgili değişkenler genellikle zaman ve konum açısından verilir fakat bunlarla bağlantılı başka değişkenler de dikkate alınırsa matematiksel ve istatiksel analiz teknikleri tahmin ve öngörü için daha fazla gerçek hayatı temsil edecektir. Ekoloji, fizik biliminin aksine herhangi bir belirtilen kanun veya kuralları yoktur. Ekoloji; bitkiler, hayvanlar ve çevreleri arasındaki ilişkileri tek birim eylem olarak kabul eder. Bu durum fizikteki Newton' un yasaları gibi basitleştirilmiş, evrensel olarak kabul edilen kanunların aksine teorik karmaşıklığı oluşturur. Ekolojik süreçlerin sayısal modellemesi yeni olmasa da, son yıllarda çok ilgi görmüştür. Biyolojik popülasyon, lineer olmayan ve kesirli mertebeden diferensiyel denklemlerle daha anlamlı bir şekilde modellenebilir. Bu problemlerin de çok az bir kısmı analitik olarak çözülübelir. Bu yüzden daha fazla yaklaşık yöntemler geliştirilmiştir. Genelleştirilmiş biyolojik popülasyon modeli denklemi için olup başlangıç şartı da şeklindedir [70]. Bu başlık altındaki çalışmamızın amacı lineer olmayan kesirli mertebeden biyolojik popülasyon modelini

92 76 diferensiyel dönüşüm yöntemiyle çözmektir. Zaman değişkenli kesirli mertebeden biyolojik popülasyon modeli şeklinde olup Eş denklemine üç boyutlu kesirli diferensiyeldönüşüm uygulanırsa elde edilir. Başlangıç değerleri de şeklindedir. Diğer bilinmeyen katsayılar da

93 77 şeklinde olup çözüm fonksiyonu seri formundadır. fonksiyonunu değerlerini Eş 'da yerine yazarsak çözüm şeklinde elde edilir. Buradan analitik çözüm şeklinde olup Mittag-Leffler fonksiyonudur. Bu değer de olduğunu biliyoruz. Eğer alınırsa standart popülasyon modelinin analitik çözümü elde edilir.

94 78

95 79 7. SONUÇ VE ÖNERİLER Biyoloji, fizik ve mühendislik gibi alanlarda birçok problemin lineer ve lineer olmayan diferensiyel denklemlerle ifade edilmesi ve bu denklemlerin analitik çözümlerinin karmaşık olması veya her zaman elde edilememesi durumunda sayısal ya da yaklaşık yöntemler geliştirilmiştir. Bu tezde de yaklaşık bir yöntem olan diferensiyel dönüşüm yöntemi geliştirilerek farklı fiziksel ve biyolojik modellere uygulanmış ve metodun uygulanabilirliği ve geçerliliği test edilmiştir. Geliştirilmiş diferensiyel dönüşüm yöntemi adını verdiğimiz bu yöntem; Taylor seri yönteminin katsayılarını türev hesabı yapmadan cebirsel olarak bulan ve en küçük kareler yöntemi ile birleştiren bir yöntemdir. Diğer yaklaşık yöntemlerde olduğu gibi bu yöntemde de daha iyi bir yaklaşık çözüm elde etmek için serinin kesme sınırını belirlemek çok önemlidir. Yöntemimizde; serinin ilk N terimi belirlenirken hata miktarları ölçülerek en uygun N değeri belirlenmiş ve sonra en küçük kareler yöntemi uygulanarak Taylor serisinin çözümden uzaklaşan terimlerine düzeltme yapılmıştır. Sonuç olarak; yöntemin farklı uygulama alanlarında çalışılarak tutarlılığı ve kolay uygulanabilirliği test edilmiş ve daha iyi sonuçlar elde edildiği gözlemlenmiştir. Yöntem her türden başlangıç veya sınır değer problemlerine kolayca uygulanabilmekte, diğer sayısal yöntemlerde olduğu gibi ayrıştırma veya lineerleştirme gibi ek işlemlere ihtiyaç duyulmamaktadır. İlk olarak geliştirilen bu yöntem ile, verilen aralıktaki en büyük hata değerlerine bakıldığında Diferensiyel dönüşüm yöntemi(bkz. Çizelge 4.2, Bkz. Çizelge 5.1, Bkz. Çizelge 5.2) ve Adomian ayrışım yöntemine(bkz. Çizelge 4.1) göre daha iyi sonuçlar verdiği gösterilmiştir. Geliştirilen bu yöntem sayesinde, araştırdığımız modeller için elde edilen çözümün gerçek çözüme çok yakın olduğu yapılan hata hesapları grafiklerinde görülmektedir. Geliştirilen bu yöntem iki ve daha fazla boyutlu diferensiyel denklemlere veya sistemlere ya da kesirli mertebeden denklemlere de kolayca uygulanabilir.

96 80

97 81 KAYNAKLAR 1. Zhou, J. K. (1986). Differential Transformation and Its Applications for Electrical Circuits, China: Huazhong University Press. 2. Chen, C. K., Ho, S. H. (1996). Application of differential transformation to eigenvalue problems, Applied Mathematics and Computation, 79, Jang, M. J., Chen, C. L. (1997). Analysis of the response of strongly non-linear damped system using differential transformation technique, Applied Mathematics and Computation, 88, Yu, L. T., Chen, C. K. (1998). The solution of the Blasius equation by the differential transformation method, Mathematical and Computer Modelling, 28, Chen, C. L., Liu, Y. C. (1998). Differential transformation technique for steady nonlinear heat conduction problem, Applied Mathematics and Computation, 95, Chen, C. K., Ho, S. H. (1999). Transverse vibration of a rotating twisted Timoshenko beams under axial loading using differential transform, International Journal of Mechanical Sciences, 41, Chen, C. K., Ho, S. H. (1999). Solving partial differential equation by twodimensional differential transform method, Applied Mathematics and Computation, 106, Jang, M. J., Chen, C. L., Liy, Y. C. (2000). On solving the initial-value problems using the differential transform method, Applied Mathematics and Computation, 115, Hasan, I. H. A. H. (2002). On solving some eigenvalue problems by using a differential transformation, Applied Mathematics and Computation, 127, Hasan, I. H. A. H. (2002). Different applications for the differential transformation in the differential equations, Applied Mathematics and Computation, 129, Ayaz, F. (2003). On the two-dimensional differential transform method, Applied Mathematics and Computation, 143, Ayaz, F. (2004). Solutions of the system of differential equations by differential transform method, Applied Mathematics and Computation, 147, Ayaz, F. (2004). Applications of differential transform method to differentialalgebraic equations, Applied Mathematics and Computation, 152, Hasan, I. H. A. H. (2004). Differential transformation technique for solving higherorder initial value problems, Applied Mathematics and Computation, 154,

98 Arikoglu, A., Ozkol, I. (2005). Solution of boundary value problems for integrodifferential equations by using differential transform method, Applied Mathematics and Computation, 168, Kurnaz, A., Oturanc, G. (2005). The differential transform approximation for the system of ordinary differential equations, International Journal of Computer Mathematics, 82(6), Kurnaz, A., Oturanc, G., Kiris, M. E. (2005). n-dimensional differential transformation method for solving PDEs, International Journal of Computer Mathematics, 82(3), Erturk, V. S., Momani, S. (2008). Solutions of non-linear oscillators by the modified differential transform method, Computers and Mathematics with Applications, 55, Özkan, O. and Keskin, Y. (2005). Application of the differential transformation method to the boundary value problems of integro-differential equations systems, Selcuk Journal of Applied Mathematics, 6, Erturk, V. S., Momani, S., Odibat, Z. (2008). Generalized differential transform method: Application to differential equations of fractional order, Applied Mathematics and Computation, 197, Kangalgil, F., Ayaz, F. (2009). Solitary wave solutions for the KdV and mkdv equations by differential transform method, Chaos, Solitons and Fractals, 41(1), Keskin, Y., Oturanc, G. (2009). Reduced differential transform method for partial differential equations, International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, 10(6), Ozkan, O., Cansu, U. (2010). Differential Transform Solution of Some Linear Wave Equations with Mixed Nonlinear Boundary Conditions and its Blow up, Applied Mathematical Sciences, 10(4), Zareamoghaddam, H. (2011). Differential Transform Method for Solving One Dimensional Non-homogeneous Parabolic Problems, Middle-East Journal of Scientific Research, 8(2), Bellomo, N., Sarafyan, D. (1987). On Adornian s Decomposition Method and Some Comparisons with Picard s iterative Scheme, Journal Of Mathematical Analysis And Applications, 123, Adomian, G., Rach, R. (1992). Noise Terms in Decomposition Solution Series, Computers and Mathematics with Applications, 11(24), Deeba, E. Y., Khuri, S. A. (1996). A Decomposition Method for Solving the Nonlinear Klein Gordon Equation, Journal Of Computational Physics, 124,

99 28. Wazwaz, A. (1998). A comparison between Adomian decomposition method and Taylor series method in the series solutions, Applied Mathematics and Computation, 97, Wazwaz A. (1998). A new algorithm for calculating adomian polynomials for nonlinear operators, Applied Mathematics and Computation, 111, Wazwaz, A. (2002). A new method for solving singular initial value problems in the second-order ordinary differential equations, Applied Mathematics and Computation, 128, Abdelwahid, F. (2003). A mathematical model of Adomian polynomials, Applied Mathematics and Computation, 141, El-Sayed, S. M. (2003). The decomposition method for studying the Klein-Gordon equation, Chaos, Solitons and Fractals, 18, Babolian, E., Biazar, J., Islam, R. (2004). Solution of the system of ordinary differential equations by Adomian decomposition method, Applied Mathematics and Computation, 147, Inc, M., Cherruault, Y., Bektas, M. (2005). Geometrical interpretation and approximate solution of non-linear KdV equation, Kybernetes, 34, Simon, L. (2008). An Introduction to Multivariable Mathematics, Morgan and Claypool publishers, ABD: Stanford University Press, Burden, R. L., Faires, J. D. (2001). Numerical Analysis, USA: Brook Cole, Edwards, C. H. (1973). Advanced calculus of several variables, New York: Academic press, Podlubny, I. (1999). Fractional Differential Equations, San Diego: Academic Press, Bell, W. W. (1968), Special Functions For Scientists and Engineers, Toronto: D. Van Nostrand Company, Benghorbal, M. M. (2004), Power Series Solutions of Fractional Differential Equations and Symbolic Derivatives and İntegrals (Ph. D. Thesis), Faculty of Graduate Studies,The University of Western Ontario, Canada 41. Odibat, Z., Momani, S., Ertürk, V. S. (2008), Generalized differential transform method: Application to differential equations of fractional order, Applied Mathematics and computation, 197, Keskin, Y., Kurnaz, A., Kiris, M. E., Oturanc, G. (2007). Approximate solutions of Generalized Pantograph Equations by the Differential Transform Method, International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation, 8(2),

100 Miller, K. S., Ross, B. (1993). An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, Hardcover: Wiley-Interscience Press, Lakshmikantham, V., Vatsala A. S. (2007). Theory Of Fractional Differential Inequalities And Applications, Communications in Applied Analysis, 11, Chen, C., Ho, S. (1996). Application of differential Transformation to Eigenvalue problem, Applied Mathematics and Computation, 79, Jang, M., Chen, C. (1997). Analysis of the Response of a Strongly Nonlinear Damped System using a Differential Transformation Technique, Applied Mathematics and Computation, 88, Arikoglu, A., Ozkol, I. (2007). Solution of fractional differential equations by using differential transform method, Chaos, Solitons and Fractals, 34, Israelachvili, J. N. (1992). Intermolecular and Surface Forces, Academic, London. 49. Koochi, A., Abadyan, M. (2012). Efficiency of modified Adomian decomposition for simulating the instability of nano-electromechanical switches:comparison with the conventional decomposition method, Trends in Applied Science Research, 7, Ramezani, A., Alasty, A., Akbari, J. (2007). Closed-form solutions of the pull-in instability in nano-cantilevers under electrostatic and intermolecular surface forces, International Journal of Solids and Structures, 44, Mostepanenko, V. M., Trunov, N. N. (1997). The Casimir Effect and its Applications, New York: Clarenden Press, Koochi, A., Kazemi, A. S., Beni, Y. T., Yekrangi, A., Abadyan, M. (2010). Theoretical study of the effect Casimir attraction on teh pull-in behavior of beam-type NEMS using modified Adomian method, Physica E, 43, Lin, W. H., Zhao, Y. P. (2005). Nonlinear behavior for nanoscale electrostatic actuators with Casimir force, Chaos, Solitons and Fractals, 23, Lamoreaux, S. K. (2005). The Casimir force: background, experiments and applications, Reports on Progress in Physics, 68, Abadyana, M. R., Beni, Y. T., Noghrehabadi, A. (2011). Investigation of elastic boundary condition on the pull-in instability of beam-type NEMS under van der waals attraction, Procedia Engineering, 10, Duan, J., Rach, R., Wazwaz, A. (2013). Solution of the model of beam-type microand nano-scale electrostatic actuators by a new modified Adomian decomposition method for nonlinear boundary value problems, International Journal of Non-Linear Mechanic, 49, Gebhart, B. (1962). Effects of viscous dissipation in natural convection, Journal of Fluid Mechanics,14,

101 Rokerya, M. S., Iqbal, M. (1971). Effects of viscous dissipation on combined free and forced convection through vertical concentric annuli, International Journal of Heat and Mass Transfer, 14, Barletta A. (1999). Combined forced and free convection with viscous dissipation in a vertical circular duct, International Journal of Heat and Mass Transfer, 42, White, F. M. (2006). Viscous Fluid Flow(Third Edition), Boston: Tata Mcgraw-Hill Press, Miklavcic, M., Wang, C. Y. (2011). Completely passive natural convection, Journal of Applied Mathematics and Mechanic, 91, Bazykin A.,D., Khibnik A.,I., Krauskopf B. (1998). Nonlinear Dynamics of Interacting Populations, World Scientific. 63. Berryman A.,A. (1992). The Origins and Evolution of Predator-Prey Theory, Ecology, 73(5), Braun M. (1993). Differential Equations and Their Applications(Fourth Edition), Pasadena: Springer, Holling C.,S. (1965). The Functional Response of Predators to Prey Density and Its Role in Mimicry and Population Regulation, Memoirsof the Entomological Society of Canada, 45, Tanner J., T. (1975). The Stability and The Intrinsic Growth Rates of Prey and Predator Populations, Ecology, 56, May R., M. (1973). On Relationships Among Various Types of Populations Model, The American Naturalist, 107, Arrowsmith D.,K., Place C.,M. (1982). Ordinary Differential Equations, Chapman and Hall. 69. Makinde O., D. (2007). Solving Ratio-Dependent Predator-Prey System With Constant Effort Harvesting Using Adomian Decomposition Method, Applied Mathematics and Computation, 186, El-Sayed A., M., A., Rida S., Z., Arafa A., A., M. (2009). Exact Solutions Of Fractional-Order Biological Population Model, Communications in Theoretical Physics, 52(6), Çelik, E., Bayram, M. (2003). Arbitrary Order Numerical Method for Solving Differential Algebraic Equation by Pade Series, Applied Mathematics and Computation, 137,

102 Pozzi, A. (1994). Applications of Pade approximation Theory in Fluid Dynamics, Singapore: World Scientific Publishing, Baker, G. A., Graves-Morris, P. (1996). Padé Approximants, Cambridge: Cambridge University Press, Yan, F., Lv, J., Feng, X., Pan, P. (2015). A new hybrid boundary node method based on Taylor expansion and the Shepard interpolation method, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 102, Larouche, R. K., Alison A. K., Lawrence M D., Oosthuizen. W. H. (2008). Running the gauntlet: a predatoreprey game between shark and two age classes of seals, Animal Behaviour, 76, Ghalambaz, M., Noghrehabadi, A., Abadyan, M., Beni, Y. T., Abadi, A. R. N., Abadi, M. N. (2011). A new power series solution on the electrostatic pull-in instability of nano cantilever actuators, Engineering Procedia, 10,

103 EKLER 87

104 88 88 EK-1. Tek bağlantılı NEMS model K=3 ve m=6+3 için GDDM hesabı program kodu > restart; top1:=0;top2:=0;top3:=0; Y:=array(0..100);Y[0]:=1;Y[1]:=0;Y[2]:=c1;Y[3]:=c2; > for k from 0 to 4 do > delta(k):=eval(piecewise(k=0,1,k<>0,0)); > top1:=sum(sum(sum((k-r-i-s+1)*(k-r-s-i+2)*(k-r-i-s+3)*(k-r-i-s+4)*y[k-r-is+4]*y[i]*y[r]*y[s],s=0..(k-i-r)),r=0..(k-i)),i=0..k); > top2:=sum(y[l]*y[k-l],l=0..k): > top3:=-alpha*delta(k)-beta*y[k]-gamma*top2; od; > Y[4]:=(-alpha-beta-gamma)/24; > Y[5]:=0/120; > Y[6]:=-(1/360)*((beta+2*gamma+72*Y[4])*c1); > Y[7]:=-(1/840)*((beta+2*gamma+72*Y[4])*c2); >Y[8]:=(1/1680)*((beta*Y[4]+gamma*(c1)^2+2*gamma*Y[4])+72*(c1)^2*Y[4]+1080*c1*Y[6]+ 360*c2*Y[5]+72*(Y[4])^2); > Y[9]:=- (1/3024)*((beta*Y[5]+2*gamma*c1*c2+2*gamma*Y[5])+360*(c1)^2*Y[5]+144*c1*c2*Y[4]+25 20*c1*Y[7]+1080*c2*Y[6]+432*Y[4]*Y[5]); > Y[10]:=(- 1/5040)*(beta*Y[6]+gamma*2*c1*Y[4]+gamma*c2^2+2*gamma*Y[6]+24*c1^3*Y[4]+1080*c1 ^2*Y[6]+720*c1*c2*Y[5]+144*c1*Y[4]^2+72*c2^2*Y[4]+5040*c1*Y[8]+2520*c2*Y[7]+1152* Y[4]*Y[6]+360*Y[5]^2); > cozum:=y[0]+y[1]*x+y[2]*x^2+y[3]*x^3+y[4]*x^4; > coz:=diff(cozum,x,x); > coz1:=subs(x=1,alpha=(1/5),beta=(1/2),gamma=(1/4),coz); > coz2:=diff(cozum,x,x,x); > coz3:=subs(x=1,alpha=(1/5),beta=(1/2),gamma=(1/4),coz2); > coz4:=evalf(solve([coz1,coz3],[c1,c2])); > coz5:=subs(c1= ,c2= ,alpha=(1/5),gamma=(1/4),beta=(1/2),cozum+k1*x^5+k2*x^6+k3*x^7); > coz6:=diff(coz5,x,x,x,x); > coz7:=expand((coz5^3)*coz6+beta*(coz5)+gamma*(coz5^2)+alpha); > coz8:=subs(alpha=(1/5),beta=(1/2),gamma=(1/4),coz7); > coz9:=expand(diff(int(coz8^2,x=0..1),k1)); > coz10:=expand(diff(int(coz8^2,x=0..1),k2)); > coz11:=expand(diff(int(coz8^2,x=0..1),k3)); > coz12:=fsolve({coz9,coz10,coz11},{k1,k2,k3}); > coz13:=subs(k1= ,k2= ,k3= ,coz8); > coz14:=subs(x=1,coz13); > coz15:=subs(k1= ,k2= ,k3= ,coz5); > plot(coz15,x=0..1); > plot(coz13,x=0..1);

105 89 EK-2. Çift bağlantılı NEMS model K=4 ve m=(7+3) için GDDM hesabı program kodu > restart; top1:=0;top2:=0;top3:=0;top4:=0; Y:=array(0..100);Y[0]:=1;Y[1]:=0;Y[2]:=c1;Y[3]:=c2; > for k from 0 to 5 do; > delta(k):=eval(piecewise(k=0,1,k<>0,0)); > top1:=sum(sum(sum(sum((k-r-i-s-m+1)*(k-r-s-i-m+2)*(k-r-i-s-m+3)*(k-r-i-s-m+4)*y[k-r-i-sm+4]*y[i]*y[r]*y[s]*y[m],m=0..(k-i-r-s)),s=0..(k-i-r)),r=0..(k-i)),i=0..k); > top2:=sum(y[l]*y[k-l],l=0..k); > top3:=sum(sum(y[t]*y[n]*y[k-t-n],n=0..(k-t)),t=0..k); > top1=-alpha*delta(k)-beta*top2-gamma*top3; od; > Y[4]:=(-alpha-beta-gamma)/24; > Y[5]:=0/120; > Y[6]:=-(1/360)*((2*beta+3*gamma+96*Y[4])*c1); > Y[7]:=-(1/840)*((2*beta+3*gamma+96*Y[4])*c2); > Y[8]:=- (1/1680)*((2*beta*Y[4]+beta*(c1)^2+3*gamma*(c1)^2+3*gamma*Y[4])+144*(c1)^2*Y[4]+1440 *c1*y[6]+480*c2*y[5]+96*(y[4])^2); > Y[9]:=- (1/3024)*((2*beta*Y[5]+2*c1*c2*beta+6*gamma*c1*c2+3*gamma*Y[5])+720*(c1)^2*Y[5]+28 8*c1*c2*Y[4]+3360*c1*Y[7]+1440*c2*Y[6]+576*Y[4]*Y[5]); > cozum:=y[0]+y[1]*x+y[2]*x^2+y[3]*x^3+y[4]*x^4+y[5]*x^5+y[6]*x^6+y[7]*x^7; > coz:=diff(cozum,x,x); > coz1:=subs(x=1,alpha=(1),beta=(3/2),gamma=(1/2),coz); > coz2:=diff(cozum,x,x,x); > coz3:=subs(x=1,alpha=(1),beta=(3/2),gamma=(1/2),coz2); > coz4:=evalf(solve([coz1,coz3],[c1,c2])); > coz5:=subs(c1= ,c2= ,alpha=(1),gamma=(1/2),beta=(3/2),cozum+k1*x^8); > coz6:=diff(coz5,x,x,x,x); > coz7:=expand((coz5^4)*coz6+beta*(coz5^2)+gamma*(coz5^3)+alpha); > coz8:=subs(alpha=(1),beta=(3/2),gamma=(1/2),coz7); > coz9:=expand(diff(int(coz8^2,x=0..1),k1)); > coz10:=expand(diff(int(coz8^2,x=0..1),k2)); > coz11:=expand(diff(int(coz8^2,x=0..1),k3)); > coz12:=fsolve({coz9},{k1}); > coz13:=subs(k1= ,coz8); > coz14:=subs(x=1,coz13); > coz15:=subs(k1= ,coz5+k2*x^9); > coz16:=diff(coz15,x,x,x,x); > coz17:=expand((coz15^4)*coz16+beta*(coz15^2)+gamma*(coz15^3)+alpha); > coz18:=subs(alpha=(1),beta=(3/2),gamma=(1/2),coz17); > coz19:=expand(diff(int(coz18^2,x=0..1),k2)); > coz22:=fsolve({coz19},{k2}); > coz23:=subs(k2= ,coz18); > coz25:=subs(k2= ,coz15+k3*x^10); > plot(coz23,x=0..1); > coz26:=diff(coz25,x,x,x,x); > coz27:=expand((coz25^4)*coz26+beta*(coz25^2)+gamma*(coz25^3)+alpha); > coz28:=subs(alpha=(1),beta=(3/2),gamma=(1/2),coz27); > coz29:=expand(diff(int(coz28^2,x=0..1),k3)); > coz32:=fsolve({coz29},{k3}); > coz33:=subs(k3= ,coz28); > coz34:=subs(x=1,coz33); > coz35:=subs(k3= ,coz25); > plot(coz33,x=0..1);

106 90 90 EK-3. Paralel plakalar m=(6+4) terim için GDDM hesabı program kodu > restart; top:=0; W:=array(0..100);W[1]:=0;W[2]:=s/2;W[3]:=0; > for k from 0 to 70 do > top:=0; > for i from 0 to k do > top:=top+(i+1)*(k-i+1)*w[i+1]*w[k-i+1] od; > W[k+4]:=(1/((k+1)*(k+2)*(k+3)*(k+4)))*top; od; > solution:=w0+w[2]*y^2+w[6]*y^6+w[10]*y^10+w[14]*y^14+w[18]*y^18; > sol:=diff(solution,y,y); > sol1:=subs(y=1,sol); > sol2:=simplify((sol1)/s); > sol3:=evalf(fsolve(sol2,s)); > initial:=-(w[2]*y^2+w[6]*y^6+w[10]*y^10+w[14]*y^14+w[18]*y^18); > w0:=subs(s= ,y=1,initial); > last:=subs(w0= ,s= ,solution); > int(last,y=-1..1); > rezidu1:=expand(diff(last,y,y,y,y)-(diff(last,y))^2); > son:=subs(y=1,rezidu1); > last2:=subs(w0= ,s= ,solution+k1*y^22+k2*y^26+k3*y^30+k4*y^34); > rezidu:=expand(diff(last2,y,y,y,y)-(diff(last2,y))^2); > kare1:=expand(diff(int(rezidu^2,y=0..1),k1)); > kare2:=expand(diff(int(rezidu^2,y=0..1),k2)); > kare3:=expand(diff(int(rezidu^2,y=0..1),k3)); > kare4:=expand(diff(int(rezidu^2,y=0..1),k4)); > denklem:=fsolve({kare1,kare2,kare3,kare4},{k1,k2,k3,k4}); > cozum:=subs(k1= ,k2= ,k3= ,k4= ,last2); > hata1:=expand(diff(cozum,y,y,y,y)-(diff(cozum,y))^2); > sonhata:=subs(y=1,hata1); > plot(hata1,y=0..1);

107 91 EK-4. Dik dairesel boru m=(6+3) terim için GDDM ve hata hesabı program kodu > restart:reduced:problem2:restart:w:=array(0..55);w[0]:=0;w[1]:=s/2;son:=array(0..55); > toplam1:=0;toplam2:=0;toplam3:=0;toplam4:=0;toplam5:=0; > for k from 2 to 33 do > delta(r-2):=eval(piecewise(r=2,1,r<>2,0));delta(r-3):=eval(piecewise(r=3,1,r<>3,0)); > delta(r-1):=eval(piecewise(r=1,1,r<>1,0));k:=k; > toplam1:=sum(delta(r-3)*(k-r+1)*(k-r+2)*(k-r+3)*w[k-r+3],r=0..k); > toplam2:=sum(delta(r-2)*(k-r+1)*(k-r+2)*w[k-r+2],r=0..k);toplam3:=sum(delta(r-1)*(kr+1)*w[k-r+1],r=0..k); > toplam5:=sum(sum(delta(r-3)*w[k1-r]*w[k- k1],r=0..k1),k1=0..k);toplam4:=w[k];son[k+2]:=toplam1+2*toplam2-toplam3+toplam4- toplam5;end do; > W[2]:=0; > W[3]:=0; > W[4]:=0; > W[5]:=s^2/384; > W[6]:=0; > W[7]:=0; > W[8]:=0; > W[9]:=s*W[5]/640; > W[10]:=0; > W[11]:=0; > W[12]:=0; > W[13]:=(s*W[9]+W[5]^2)/2016; > W[14]:=0; > W[15]:=0; > W[16]:=0; > W[17]:=(s*W[13]+2*W[5]*W[9])/4608; > W[18]:=0; > W[19]:=0; > W[20]:=0; > W[21]:=(W[9]^2+2*W[5]*W[13]+s*W[17])/8800; > W[22]:=0; > W[23]:=0; > W[24]:=0; > W[25]:=(2*W[9]*W[13]+2*W[5]*W[17]+5*W[21])/14976; >W[29]:=(s*W[25]+2*W[2]*W[24]+2*W[3]*W[23]+2*W[4]*W[22]+2*W[5]*W[21]+2*W[6]* W[20]+2*W[7]*W[19]+2*W[8]*W[18]+2*W[9]*W[17]+2*W[10]*W[16]+2*W[11]*W[15]+2* W[12]*W[14]+W[13]^2)/23520; >W[33]:=(s*W[29]+2*W[2]*W[28]+2*W[3]*W[27]+2*W[4]*W[26]+2*W[5]*W[25]+2*W[6]* W[24]+2*W[7]*W[23]+2*W[8]*W[22]+2*W[9]*W[21]+2*W[10]*W[20]+2*W[11]*W[19]+2* W[12]*W[18]+2*W[13]*W[17]+2*W[14]*W[16]+W[15]^2)/34816; > ss:=expand(w[0]+w[1]*r+w[5]*r^5+w[9]*r^9+w[13]*r^13+w[17]*r^17); > cozum:=int(ss,r); > Y[0]:=subs(r=1,cozum); > t1:=diff(cozum,r); > t2:=diff(cozum,r,r); > sson:=expand(t2+(1/r)*t1); > sson1:=subs(r=1,sson); > evalf(fsolve(sson1,s)); > subs(s= ,-y[0]); > son:=subs(s= ,cozum-y[0]); > plot(son/ ,r=0..1);

108 92 92 EK-4.(devam) Dik dairesel boru m=(6+3) terim için GDDM ve hata hesabı program kodu > ilkhata:=expand((r^3)*diff(son,r,r,r,r)+(2*r^2)*diff(son,r,r,r)-r*diff(son,r,r)+diff(son,r)- (r^3)*(diff(son,r))^2); > plot(ilkhata,r=0..1); > subs(r=1,ilkhata); > ek:=subs(s= ,cozum-y[0]+k1*r^18+k2*r^22+k3*r^26); > rezidu:=expand((r^3)*diff(ek,r,r,r,r)+(2*r^2)*diff(ek,r,r,r)-r*diff(ek,r,r)+diff(ek,r)- (r^3)*(diff(ek,r))^2); > kare1:=expand(diff(int(rezidu^2,r=0..1),k1)); > kare2:=expand(diff(int(rezidu^2,r=0..1),k2)); > kare3:=expand(diff(int(rezidu^2,r=0..1),k3)); > kare4:=expand(diff(int(rezidu^2,r=0..1),k4)); > denklem:=fsolve({kare1,kare2,kare3,kare4},{k1,k2,k3,k4}); > soncozum:=subs(k1= ,k2= ,k3= ,k4= ,ek); > sonhata:=expand((r^3)*diff(soncozum,r,r,r,r)+(2*r^2)*diff(soncozum,r,r,r)- r*diff(soncozum,r,r)+diff(soncozum,r)-(r^3)*(diff(soncozum,r))^2); > plot(sonhata,r=0..1); > subs(r=1,sonhata); > sonhata1:= *r^ *r^ *r^ *r^ *r^ *r^ *r^ *r^9; > plot([ilkhata,sonhata1],r=0..1);

109 93 EK-5. Av-avcı sistemi 1.durum GDDM hesabı ve hata analizi program kodu > restart; top1:=0;top2:=0;top3:=0;top4:=0;top5:=0;top6:=0;top7:=0;top8:=0; top9:=0;top10:=0;top11:=0;y:=array(0..100);x[0]:=0.5;y[0]:=0.3;r:=0.9;e:=0.5;c:=0.2;b:=0.8; > for k from 0 to 3 do > top1:=sum((k-l+1)*x[l]*x[k-l+1],l=0..k): > top2:=sum((k-l+1)*y[l]*x[k-l+1],l=0..k): > top3:=sum(x[l]*x[k-l],l=0..k): > top4:=sum(sum(x[k-l-s]*x[s]*x[l],s=0..(k-l)),l=0..k); > top5:=sum(x[l]*y[k-l],l=0..k): > top6:=sum(sum(x[k-l-s]*x[s]*y[l],s=0..(k-l)),l=0..k); > top7:=sum((k-l+1)*x[l]*y[k-l+1],l=0..k): > top8:=sum((k-l+1)*y[l]*y[k-l+1],l=0..k): > top9:=sum(y[l]*y[k-l],l=0..k): > top10:=top1+top2+(r-1)*top3+top4+(b+r-1)*top5+top6; > top11:=top7+top8+(e-c)*top5+e*top9; od; > X[1]:=-0.28/0.8; > Y[1]:=-(0.09)/0.8; > X[2]:=-(X[1]^2+Y[1]*X[1]+(1.16)*X[1]+(0.6)*Y[1])/1.6; > Y[2]:=-(Y[1]*X[1]+Y[1]^2+(0.45)*Y[1]+(0.09)*X[1])/1.6; > X[3]:=- (3*X[1]*X[2]+2*Y[1]*X[2]+Y[2]*X[1]+(1.16)*X[2]+(1.7)*X[1]^2+(0.6)*Y[2]+(1.7)*Y[1]*X[1] )/2.4; > Y[3]:=- (2*Y[2]*X[1]+Y[1]*X[2]+3*Y[1]*Y[2]+(0.45)*Y[2]+(0.3)*Y[1]*X[1]+(0.09)*X[2]+(0.5)*(Y[1] ^2))/2.4; > X[4]:=- (4*X[1]*X[3]+2*X[2]^2+3*Y[1]*X[3]+2*Y[2]*X[2]+Y[3]*X[1]+(1.16)*X[3]+(3.4)*X[1]*X[2]+ X[1]^3+(0.6)*Y[3]+(1.7)*Y[2]*X[1]+X[1]^2*Y[1]+(1.7)*Y[1]*X[2])/3.2; > Y[4]:=- (3*Y[3]*X[1]+2*Y[2]*X[2]+Y[1]*X[3]+4*Y[1]*Y[3]+2*Y[2]^2+(0.45)*Y[3]+(0.3)*Y[2]*X[1]+ (0.3)*Y[1]*X[2]+(0.09)*X[3]+Y[1]*Y[2])/3.2; > cozum1:=x[0]+x[1]*t+x[2]*t^2+x[3]*t^3+x[4]*t^4+k1*t^5; > cozum2:=y[0]+y[1]*t+y[2]*t^2+y[3]*t^3+y[4]*t^4+k2*t^5+k3*t^6+k4*t^7; > cozum3:=diff(cozum1,t); > cozum4:=diff(cozum2,t); > rezidu1:=expand(cozum3*(cozum1)+cozum3*(cozum2)-cozum1^2+cozum1^3- cozum1*cozum2+cozum2*(cozum1)^2+b*cozum1*cozum2+r*(cozum1)^2+r*cozum1*cozum2); > rezidu2:=expand(cozum4*(cozum1)+cozum4*(cozum2)- c*cozum1*cozum2+e*(cozum2)^2+e*cozum1*cozum2); > cozum5:=expand((1/2)*diff(int(rezidu1^2,t=0..1),k1)); > cozum6:=expand((1/2)*diff(int(rezidu2^2,t=0..1),k2)); > cozum7:=expand((1/2)*diff(int(rezidu2^2,t=0..1),k3)); > cozum8:=expand((1/2)*diff(int(rezidu2^2,t=0..1),k4)); > cozum9:=fsolve({cozum5,cozum6,cozum7,cozum8},{k1,k2,k3,k4}); > cozum10:=subs(k1= ,k2= ,k3= ,k4= ,cozum1); > cozum11:=subs(k1= ,k2= ,k3= ,k4= ,cozum2); > cozum12:=subs(k1= ,k2= ,k3= ,k4= ,rezidu1); > cozum13:=subs(k1= ,k2= ,k3= ,k4= ,rezidu2); > plot(cozum12,t=0..1); > plot(cozum13,t=0..1);

110 94 94 ÖZGEÇMİŞ Kişisel Bilgiler Soyadı, adı : EKİCİ, Mustafa Uyruğu : T.C. Doğum tarihi ve yeri : , Tortum Medeni hali : Bekâr mustafa.ekici@usak.edu.tr Tel : Eğitim Derece Yüksek lisans Eğitim Birimi Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Mezuniyet tarihi Lisans Atatürk Üniversitesi Matematik Lise Akçaabat Lisesi İş Deneyimi Yıl Yer Görev 2011-Halen Uşak Üniversitesi Öğretim Görevlisi Yabancı Dil İngilizce Yayınlar - Hobiler Yüzme, Futbol, Tenis

111 GAZİ GELECEKTİR...