CC g SEMI-RIEMANN METRİKLİ DOUBLE TANJANT DEMETİN DİFERENSİYEL GEOMETRİSİ. P.A.Ü., Eğitim Fakültesi, Fen Bilgisi Öğretmenliği A.B.D.

Transkript

1 SDÜ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ FEN DERGİSİ (E-DERGİ ( SEMI-RIEMANN METRİKLİ DOUBLE TANJANT DEMETİN DİFERENSİYEL GEOMETRİSİ İsmet AYHAN * A. Cean ÇÖKEN ** * P.A.Ü. Eğtm Faütes Fen Bs Öğretmenğ A.B.D. Denz Türe ** S.D.Ü. Fen-Edebat Faütes Matemat Böümü Isparta Türe e-ma: aan@pau.edu.tr cean@fef.sdu.edu.tr Aınış: 10 Maıs 2007 Kabu: 24 Em 2007 Özet: Bu çaışmada dferenseenebr br manfod üzernde br sem-remann metrğn nc mertebeden tam üsetmes e ede eden nn br sem-remann metrğ oduğu österd ve bu metrğn Lev-Cvta onesonu beşener cnsnden esapandı. Anatar emeer: Sem-Remann metr Doube tanant demet Lev-Cvta onesonu Le Parantez operatörü THE DIFFERENTIAL GEOMETRY OF DOUBLE TANGENT BUNDLE WITH SEMI-RIEMANNIAN METRIC Abstract: In ts paper t s sown tat wc s obtaned n term of te second order te compete ft of a sem-remannan metrc on a dfferentabe manfod s a sem-remannan metrc and t s cacuated te connecton coeffcents of te Lev- Cvta connecton of te ts metrc. Ke words: Sem-Remannan metrc Te doube tanent bunde Lev-Cvta connecton Le bracet operator Matematcs Subect Casfcatons (2000: 53C07 53C50 1. GİRİŞ Br Remann manfodunun tanant demet üzernde metrer onusunda çaışmaar 1950 ıarın sonarında başadı. (YANO & ISHIHARA 1970 M manfodu üzernde br Remann ve sem-remann metrğn üsetmeerne bağı oara TM manfodu üzernde metrer tanımadı ve bu metrer ardımıa TM manfodunun dferense eometrsn nceed. (OPROIU & PAPAGHIUC 1988 TM üzernde C Yano ve Isara nın tanımadığından farı br non-neer oneson uanara sem-remann metr TM manfodunun dferense eometrsn nceed. (ESİN & CİVELEK 1989 dferenseenebr br manfod üzernde fonson vetör aanı ve 1-form b teme tensör aanarının doube tanant demet üzerne tam üsetmşn ede ett. (AYHAN vd dferenseenebr br manfodun tanant demet üzernde tanımı fonson vetör aanı ve 1-formun ata üsetmşern ede ett.

2 229 İ. AYHAN A. C. ÇÖKEN (AYHAN 1997 ve (AYHAN 2006 (02 tpnden br tensör aanının nc mertebeden de ve tam üsetmeern nceed. Bu çaışmada doube tanant demetn uaranmış oa baz vetör aanarının Le parantez operatörü atında değerer esapandı. Daa sonra dferenseenebr br manfod üzernde br sem-remann metrğn nc mertebeden tam üsetmese ede eden nn br sem-remann metr oduğu österd ve bu metrğe bağı Lev-Cvta onesonu beşener cnsnden esapandı. Çaışma bounca tüm dferense eometr obeern C sınıftan dferenseenebr oduğu ve terar eden ndser üzernden topam aındığı abu edmştr. 2. TTM MANİFOLDU ÜZERİNDEKİ DİFERENSİYEL GEOMETRİK OBJELER M n-boutu br sem-remann manfod TM onun tanant demet oma üzere p M nn U açı omşuuğu üzernde artaa bağı oara M çn br oa oordnat 1 n sstem ( x = { x... x } osun. O zaman τ ( p eştğn sağaan τ : TM M M Z p = 1 / 1 anon zdüşüm oma üzere τ M ( U = U TM de τ M ({ p} notasının br açı / omşuuğudur. Böece Z p U notası çn 1 n 1 n ( x ( Z p = ( x ( p... x ( p Z p[ x ]... Z p[ x ] (1 / şende tanımı (x dönüşümü U üzernde oa br arta oup ( x ;1 n sstem TM çn ndrenmş oa oordnat sstemdr. Arıca τ TM ( A Z = Z eştğn 1 / // sağaan τ TM : TTM TM anon zdüşüm oma üzere τ TM ( U = U TTM de 1 // τ TM ({ Z} notasının br açı omşuuğudur. Böece A Z U TTM notası çn ( x z t( AZ = ( x( p ( Z z( AZ t( AZ (1 n (2 our. (xzt dönüşümünün oa oordnat fonsonarı x( p = x ( p ( Z = Z z( A Z p = A [ x ] = Z [ x ] = z ( Z ( A Z t( AZ = AZ [ ] = t ( AZ (1 n // şende tanımı oup (xzt U çn br artadır ve ( x z t ;1 n sstem TTM çn ndrenmş oa oordnat sstemdr (CİVELEK TM nn tanant demet TTM TM üzernde de dağıım oara adandırıan VTM = Çe( τ M * nteraeneben atvetör demetne saptr. TM üzernde br nonneer oneson HTM dağıımı e tanımı oup VTM nn tamamaıcısıdır. Bu dağııma TM üzernde ata dağıım denr. Böece TTM = VTM HTM (4 { ;1 n dr. Bu dret topam arışımına uaranmış TM de oa çatı δ } dr. Burada H δ δ = = = N N = (5 x δx x M (3

3 SDÜ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ FEN DERGİSİ (E-DERGİ ( HTM de oa çatı ve V = = x (6 VTM de oa çatıdır. Arıca { δ dx ;1 n} oa 1-formarının sstem δ = d + N dx N = (7 oma üzere { δ ;1 n} çatısının oa dua çatısıdır (OPROIU & PAPAGHIUC TTM nn tanant demet TTTM TTM üzernde de dağıım oara adandırıan VTTM = Çe( τ TM * nteraeneben atvetör demetne saptr. TTM üzernde br nonneer oneson H TTM dağıımı e tanımı oup V TTM nn tamamaıcısıdır. Bu dağııma TTM üzernde ata dağıım denr. Böece TTTM = VTTM HTTM dr. (4 eştğnden TTTM = TM TM TM TM (8 dr. Bu dret topam arışımına uaranmış TTM de oa çatı { δ δ ;1 n} (9 dr. Burada V VTM H VTM V VTM de oa çatı de oa çatı de oa çatı ve δ δ = x = = x t (10 δ = = z (11 x δ = x H HTM de oa çatıdır. Arıca = x = z z t t { t z ( dx = ( dx δz = ( dx t = ( dx ;1 } + z ( (12 } t { dx = δ δ n (14 oa 1-formarının sstem δ δz δt = d = dz + + z dx dx = { t + z ( } dx { δ ;1 n + z d + dz + dt oma üzere δ } çatısının uaranmış oa dua çatısıdır (AYHAN vd Teorem 2.1 TTM manfodunun oa baz vetör aanarı e uaranmış oa dua baz 1-formarı arasında 1 n çn (13 (15

4 231 δt ( = δ δ ( δ = δz ( δ = v dx ( = δ δ δ İ. AYHAN A. C. ÇÖKEN oup dua baz 1-formarın dğer tüm oa baz vetör aanarı üzernde adıarı değer sıfırdır. İspat: Doğrudan esapamaar ardımıa dx ( = d ( = dz ( = 0 oduğundan t t t δ t ( = = t ( δt = { t + z ( } dx + z d + dz + dt ( δ dr. ( de verener ve dx ( = 0 eştğnden ( d dx + z δ δ ( δ = = t ede edr. (( de verener ve dx ( = 0 oduğundan z δ z ( δ = ( dz + z dx = δ z t buunur. v ((ve ( de verenerden dx ( dx ( = z { t + z ( } = δ x z t ede edr. TTM nn dua baz 1-formarının dğer oa baz vetör aanarı üzernde değerer sıfırdır. Teorem 2.2 M fat sem-remann manfodu ve Crstoffe semboer oma üzere TTM manfodu üzernde uaranmış oa baz vetör aanarının Le parantez operatörü atında sıfırdan farı değerer dr. [ δ ] = δ [ δ ] = δ [ ] = İspat: TTM manfodu üzernde non-neer oneson atsaıarı N = Z = z T = t osun. (12 ve (13 eşternden (16 (17

5 SDÜ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ FEN DERGİSİ (E-DERGİ ( [ δ ] = [ x N Z z { T + z ( ( N N ( Z = + N x t t z z ( z ( T ( + N z t t = + z t t R δ ( } t ( + M fat sem-remann manfodu oduğu çn Remann eğr tensörü üzden [ δ ] = δ our. (11 ve (13 eşternden [ δ ] = [ N Z x z = δ + z R = δ our. (10 ve (13 eşternden [ ] = [ x N = Z { T R z + z = 0 { T ( + z ( } t z R } t N ] t sıfırdır. Bu Z ] t buunur. Benzer esapamaar ardımıa dğer baz vetör aanarının farı ruparının Le parantez operatörü atında amış oduarı değerern sıfır oduğu örüebr. 3. TTM ÜZERİNDE SEMI-RIEMANN METRİĞİ Bu böümde (M fat sem-remann manfodunun doube tanant demet üzernde ede eden nn bazı şartar atında e eşt oduğu österd ve TTM nn uaranmış çatısına öre beşener cnsnden fade edd. Arıca nn TTM üzernde br sem-remann metr oduğu österd. Son oara (TTM sem- Remann manfodunun Lev-Cvta onesonu beşener cnsnden esapandı. Teorem 3.1 M de br sem-remann metr ve sırasıa M de ve TM de Lev- Cvta onesonarı se = dır. İspat: M de (02 tpnde br metr tensörünün TM e ata üsetmş H C = γ ( (18 oup onesonun metre bağdaşabme özeğnden H C = (19 dr (YANO & ISHIHARA (19 eştğnden t ]

6 233 İ. AYHAN A. C. ÇÖKEN CH = (20 C metrğnn TTM e ata üsetmş CH C dır. TM de (02 tpnde = = γ ( C oup nın metrğ e bağdaşabme özeğnden C = 0 dır. Bu nedene = dır. Teorem 3.2 M de br sem-remann metr ve sırasıa M de ve TM de Lev-Cvta onesonarı oma üzere nn nc mertebeden ata üsetmş nn TTM nn uaranmış çatısına öre beşener cnsnden fades = 2 ( δz δ + 2( dx δt (21 dr. İspat: : M manfodu üzernde P Q tensör çarpımının ata üsetmş H V H H V ( P Q = P Q + P Q (22 ve M de Lev-Cvta onesonu oma üzere f fonsonun ata üsetmş H f = 0 (23 dır (YANO & ISHIHARA (22 eştğnden araranara ( P Q = P Q + P Q + P Q + P Q (24 buunur. (23 den f = f = 0 (25 dr. Arıca f = 0 (26 dır (AYHAN vd (14 (24 (25 ve (26 eşternden = = 2 ( δz δ + 2( dx δt ede edr. Teorem 3.3 (M sem-remann manfodu se (TM sem-remann manfodudur. İspat: TTM C manfodu üzernde vetör aanarının cümes χ (TTM ve ree değer C fonsonarın aası C ( TTM R oma üzere : χ ( TTM χ( TTM C ( TTM R (27 dönüşümü (16 da eşter öz önüne aınırsa ( X Y = ( X Y = ( ( X Y (28 ( X Y = ( X Y = ( ( X Y oup dğer vetör aanarı üzernde değerer sıfır oaca şede tanımıdır. (TM nn sem-remann manfodu oması çn nn aşağıda şartarı sağaması erer. 2-Lneer: X Y Z χ( M vetör aanarının nc mertebeden üsetmşer X Y Z χ(ttm osun. α β R çn α X + β Y vetör aanın (8 de dret topam arışımı cnsnden fades

7 SDÜ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ FEN DERGİSİ (E-DERGİ ( α X + βy = ( αx + βy + ( αx + βy + ( αx + βy + ( αx + βy oup (28 den ( αx βy ( αx βy ( αx βy Z = Z Z Z ( αx + βy + ( αx + βy = α ( X Z + β ( Y Z 1. ere öre neerdr. Benzer şemer ardımıa 2. ere öre de neer oduğu örüebr. Smetr : X Y (8 de dret topam arışımı uanıara ( X Y = ( Y X oduğundan metrğ smetrtr. Non-deenere : X χ ( TTM ve Y = Y çn ( X Y = ( X + X + X + X Y = ( X Y = ( ( X Y = 0 eştğnden Y = 0 ede edr. Benzer şemer ardımıa Y Y Y vetör aanarı çn de sıfır sonucu ede edr. Böece X χ ( TTM çn ( X Y = 0 en Y = 0 oduğundan metrğ non-deeneredr. Buna öre (TTM br sem-remann manfodudur. + Z Teorem 3.4 (M fat sem-remann manfodu ve (TTM sem-remann manfodunun Lev-Cvta onesonu se nn uaranmış oa bazara öre beşener cnsnden fades = δ = δ = δ oup dğer tüm beşener sıfırdır. δ = δ = İspat: 1 n çn n+ 2n+ 3n+ = n+ + n+ + n+ + n+ 3 3 δ 3 δ 3 osun. Kozsu formüünden 2 ( ( ( ( = ( [ ] + ( [ ] + ( [ ] our. (16 (17 (21 ve (28 eşternden

8 our. sıfırdır. Böece 2 3n+ ( 3n+ 3n+ 2 3n+ 3n+ 3n+ = 3n+ 3n+ δ ve δ = İ. AYHAN A. C. ÇÖKEN = = = { + } e Kozsu formüünde şeme souduğunda sonuç oduğu örüür. beşener de benzer esapamaar ardımıa ede edebr. Lev-Cvta onesonunun dğer KAYNAKLAR AYHAN İ Dervasonar ve tensör aanarının nc mertebeden fter Yüse Lsans Tez PAÜ Fen Bmer Ensttüsü Denz 67s AYHAN İ. ÇÖKEN A. C. CİVELEK Ş Tanant demet üzernde orzonta fter III. Geometr Sempozumu Osmanaz Ünverstes 4-6 Temmuz 2005 Esşer AYHAN İ Sem-Remann manfodarın tanant ve otanant demeternn eometrs üzerne Dotora Tez S.D.Ü Fen Bmer Ensttüsü Isparta 142s ESİN E. CİVELEK Ş Te fts on te second order tanent bundes Jour. Matematcs and Stattcs Facut of Arts and Scence. Gaz Unverst Vo OPROIU V. PAPAGHIUC N On te eometr of tanent bunde of a (pseudo-remannan manfod Annae Stnt. Unverst A. I. Cuza Ias Ser. Noua Mat. 36 No YANO K. ISHIHARA S Tanent and Cotanent Bundes Marce Decer. Inc. New Yor 392p