22. Eleman tipleri ve matrisleri

Transkript

1 . Eeman tper ve matrser. Eeman tper ve matrser Kuvvet metodunda uanıabece eeman tper sınırıdır. Przemnec' ana ayna aınmıştır. Çubu(düzem/uzay afes, çerçeve) ve yüzeyse eemanarın (evha ve pa ) denge, esne, germe matrserne yer verecetr. enge matrser hem yere hem de gene oordnatarda verece, esne matrsernn teor temene nmeyecetr.. üzem afes eeman matrser Yere Yere denge matrs: Şe. de br düzem afes sstemn. eemanı görümetedr. #$, #$ yere oordnatar ve %, % yere uvveterdr. u uvvet brbrnden bağımsız değdr, br dğer cnsnden fade edebr. Eeman dengede oma zorunda oduğundan #$ omaıdır, % + %. unardan br, örneğn %, bağımsız bnmeyen oara seçrse % % our. O hade eemanın tüm uvvetern bnmeyen oara ama geremez. Kuvvet metodunda bağımsız değşener harf e gösterr. u eemanın br bağımsız uvvet oduğundan ucunda % y bağımsız uvvet oara seçem(şe.): %, % our. Matrs notasyonunda Yere ' % ( %! Yere denge (.) ucunda uvvet eemanın bağımsız uvveter oara seçd % ) (.a). veya.a eemanın yere denge oşuu(denge denemer), eemanın bağımsız uvvet(eemanın bnmeyen), %, % se e bağımı yere uç uvveterdr. ) ye eemanın yere denge matrs denr. F Transformasyon ve gene denge matrs: üzem afes eemanın transformasyon matrs 4. de vermşt: * + Δ Δ Δ Δ - (.) Şe. de eemanın yere ve gene uç uvveter göstermştr.,,, uvveter % ve % nn gene esener yönünde beşener dr. 4. ye göre, F ucu tutuu eemanda uvvetnden ouşan reasyon anamındadır + -. den % yerne yazıırsa! gene denge (x, x) ve (x, x) gene oordnatarı geometrden bnr. Δ # #, # # +,, (.4) (.4a) Przemenec, J., S, Theory of matrx structura anayss, McGraw-, 968. Ahmet TOPÇU, Sonu Eemanar Metodu, Esşehr Osmangaz Ünverstes, 5-7, Sayfa 8

2 . Eeman tper ve matrser.4 veya.4a eemanın gene denge oşuu(denge denemer), eemanın bnmeyen(eemanın bağımsız uvvet), bağımı yere uç uvveterdr. ye eemanın gene denge matrs denr. Esne matrs: Eemanın esne bağıntısı.5 de çıarımıştı(basteştrme çn nds uanımayacatır): : Esne matrs 4 L: eemanın boyu! E: Eastste modüü (.5a) 89 A: Kest aanı (.5) Görece yer değştrme: ucu tutuu eemanda bağımsız uvvet ucunda : yer değştrmesne(eemanın boyca değşm) neden our. :, 4, arasında ş : ; 5! 67 < (.6) Görece yer değştrmeer : 4 (.6a) Germe(muavemetten):?! 7 (.7) A (.7a). Uzay afes eeman matrser Yere denge matrs: Şe.4 de br uzay afes sstemn. eemanı görümetedr. #$, #$ yere oordnatar %, % yere uvveterdr. u eemanın br bağımsız uvvet oduğundan ucunda % bağımsız uvvet oara seçmştr. eemanın bnmeyendr(bağımsız uvvet) %, % our. Matrs notasyonunda + -! Yere denge (.8) ˆx ˆx ˆx F ˆx F s s s6 s s 5 s 4 % ) (.8a) Uzay ve düzem afes eemanın yere denge denemer aynıdır. Transformasyon ve gene denge matrs: Uzay afes eemanın transformasyon matrs 4.4 de vermşt: * + Δ Δ - (.9) Şe.4 de eemanın yere ve gene üç uvveter göstermştr.,, gene uvveter % yere uvvetnn gene esener üzernde zdüşümüdür. 4.5 ye göre, Ahmet TOPÇU, Sonu Eemanar Metodu, Esşehr Osmangaz Ünverstes, 5-7, Sayfa 84

3 + -,.8 yerne yazıırsa E F G G. Eeman tper ve matrser! E J) F G G E F G G Gene denge (x, x, x) ve (x, x, x) gene oordnatarı geometrden bnr. # #, # #, # # + +,,,, (.) (.a) Esne matrs: : Esne matrs L: eemanın boyu (.) 4 5! E: Eastste modüü (.a) 67 A: Kest aanı Uzay ve düzem afes eemanın esne matrs aynıdır. Görece yer değştrme: ucu tutuu eemanda bağımsız uvvet : yer değştrmesne(eemanın boyca değşm) neden our. :, 4, arasında ş : ; 5! 67 < (.) Görece yer değştrmeer : 4 (.a) Germe: > (.) A (.a) Ahmet TOPÇU, Sonu Eemanar Metodu, Esşehr Osmangaz Ünverstes, 5-7, Sayfa 85

4 . üzem çerçeve eeman matrser. Eeman tper ve matrser üzem çerçeve eemanın yere oordnatarda uç uvveter şe.5 de göstermştr. #$ oa esen âğıt(eran) düzemne d ve ouyucuya doğru yönenmştr. er uçta adet oma üzere topam 6 yere uvvet vardır. E FG M% Yere denge matrs: notasında #$ yönünde esene uvvet notasında #$ yönünde esme uvvet notasında #$ etrafında moment notasında #$ yönünde esene uvvet notasında #$ yönünde esme uvvet notasında #$ etrafında moment u atı uvvet #$, #$, U V$W denge oşuarını sağamaıdır. ucundaer (.4), E, F (.5) eemanın bnmeyen uvveter(bağımsız uvveter) oara seçr ve eemanın denges yazıırsa: F F L F F E, A,, L. eeman ucunda uvveter eemanın bağımsız uvveter oara seçd 5 F 6 F 4 F ucu tutuu(anastre) eemanda,, uvveternden ouşan reasyonar anamındadır #$ : + #$ yönü denge #$ yönü denge #$ : + (.6) U V$W : $ + + $ our..5 ve.6 bağıntıarı matrs oara #$ etrafında moment denges ucu Şe.5: üzem çerçeve eeman E FG G M% Yere denge matrs N O Yere denge (.7) % ) (.7a) yazıabr. % yere uvveter, ) yere denge matrs ve bağımsız bnmeyenerdr. Transformasyon ve gene denge matrs: üzem çerçeve eemanın transformasyon matrs 9.4 de vermşt: P +, Q R, 5 Q S 5 oma üzere * G ˆx L ˆx Yere (.8) * T E E F G G FG (.8a) Ahmet TOPÇU, Sonu Eemanar Metodu, Esşehr Osmangaz Ünverstes, 5-7, Sayfa 86

5 . Eeman tper ve matrser.7 yerne yazıırsa N O E F G G G E F G G Gene denge matrs N O Gene denge (.9) (.9a) Görece yer değştrmeer ve esne matrs: ucu tutuu(anastre) eemanda ucunda uvveterden ouşan yer değştrmeer şe.6 da göstermştr. ucu tutuu oduğundan Z$,Z$,Z$ faat :,:,: dır. 9. e göre, yüsüz eemanda yer değştrmeer ve uvveter arasında tutuu(anastre) uç 8[ 68[ 8[ 68[ 68[ 48[ 68[ 8[ Z$ Z$ Z$ : : G 8[ b$ 68[ 8[ 68[ : G cd 68[ 8[ 68[ tutuu(anastre) uç 48[ Yere uvveter G Yere yer değştrmeer ^ Yere rt matrs ^ F F L F û û F û E, A,, L. eeman E, A,, L. eeman 5 F Şe.6:. Ucu tutuu(anastre) düzem çerçeve eeman 6 F v v 4 F v Kuvveter Yer değştrmeer bağıntısı vardır. Z$,Z$,Z$ oduğu date aınara üç oon ve satır snrse N O 89 8[ 68[ : N: O 68[ : 48[ ; G ^ our. u bağıntıdan `) nn ters aınara : hesapanabr: : N: O : ; Görece yer değştrmeer W 5 S 6a W 6a W 5 S 5 6a W 6a W G < Esne matrs N O ağımsız uvveter 4: Esne matrs L: eemanın boyu E: Eastste modüü A: Kest aanı : #$ esen ataet moment (.) : 4 Görece yer değştrmeer (.a) Ahmet TOPÇU, Sonu Eemanar Metodu, Esşehr Osmangaz Ünverstes, 5-7, Sayfa 87

6 . Eeman tper ve matrser Germeer(muavemetten): S 7 a W ügh Sm S 7 a h W 7 ügh S S h 7 a W G Sm S E 7 a W FG > 7 S A: Kest aanı A : #$ doğrutusunda esme aanı ucu Moment basınç tarafı Çerçeve eeman Moment çeme tarafı ucu ˆx Kest üst σ at σ (.) A (.a).4 Uzay çerçeve eeman matrser Şe.7 de eemanın yere esener ve yere uvveter göstermştr. Yere esen taımının orn notasındadır. Eemanın uzayda onumunun berenmes, transformasyon matrsnn uruabmes çn ve düğümernn ve br yardımcı notasının gene oordnatarının bnmes gerer. #$ yere esen dama çubu esendr. #$ yere esen dama -- notaarının tanımadığı düzem çndedr, yan, notası #$ esennn yönünü berer. notası yardımıya eemanın esen etrafında dönü oara tanımanabmes mümün our. notası, eeman esen üzernde omama aydıya, sstemn herhang br notası veya sstemde omayan herhang br öze nota oabr. Öze br nota oması durumunda notasında serbest dereces yotur. notasının #$ yere esennn yönünü bereme dışında başa br şev yotur. E F n o p q G notasında #$ yönünde esene uvvet notasında #$ yönünde esme uvvet notasında #$ yönünde esme uvvet notasında #$ etrafında buruma moment notasında #$ etrafında eğme moment notasında #$ etrafında eğme moment notasında #$ yönünde esene uvvet notasında #$ yönünde esme uvvet notasında #$ yönünde esme uvvet notasında #$ etrafında buruma moment notasında #$ etrafında eğme moment notasında #$ etrafında eğme moment (.) Yü + (x, x, x ) ˆ F 4 s E, G, A,,, J, L 6 ˆ F s 8 Şe.7: Çerçeve eeman 8 ˆ s F 5 ˆ s F 6 ˆ F s 9 ˆ s 7 F 7 9 ucunda uvveter eemanın bağımsız uvveter oara seçd Yere denge matrs: u uvvet #$, #$, #$, U V$R, U V$S, U V$W denge oşuarını sağamaıdır. ucundaer bnmeyener oara seçr ve denge oşuarı yazıırsa E F n o E p F G q G G b$ Yere denge matrs Yere denge (.) % ) (.a) Ahmet TOPÇU, Sonu Eemanar Metodu, Esşehr Osmangaz Ünverstes, 5-7, Sayfa 88

7 . Eeman tper ve matrser Transformasyon matrs:.-. bağıntıarı e rs#,#,# t, us#,#,# t, `s# v,# v,# v t,, notaarının oordnatarı(geometrden bnyor) # #, # #, # # x # v #, x # v #, x # v # y x x, y x x, y x x z y y, z y y, z y y { { {,, notaarının oordnatarından P + +, Pz +z +z, Py +y +y { N{ { { hesapanan { O (.4) { R,{ 5 S,{ 5 { { { W 5 { R 5 S,{ S 5 S,{ W 5 S { } R 5 W,{ } S 5 W,{ } W 5 W { { * { {G Transformasyon matrs ˆx L ˆx yere Gene denge matrs:. ve.4 bağıntıarıya: { E { * T { F { { n { {G o {G E p F G q G G b$ { { { { { { { { { { { { { { E { { { { { F { { { { { n { { { o { { { E p { { { F G q { { { { { { G { { { G b Gene denge matrs Gene denge (.5) (.5a) Ahmet TOPÇU, Sonu Eemanar Metodu, Esşehr Osmangaz Ünverstes, 5-7, Sayfa 89

8 . Eeman tper ve matrser Görece yer değştrmeer ve esne matrs: üzem çerçevede yo zenere çıartıır. Görece yer değştrmeer : 4 (.6) 5 67 : 5 W 5 S 6a : W 6a W 5 : W 5S 6a S 6a S : 5 : E ~ : F G 5S 5 E 6a S 6a S F G ; 5 S 5 6a W Görece yer değştrmeer < Esne matrs 6a W G ağımsız uvveter 4: Esne matrs L: eemanın boyu E: Eastste modüü G: Kayma modüü A: Kest aanı : #$ esen ataet moment : #$ esen ataet moment J: uruma ataet moment( ) (.6a) Germeer(muavemetten): 7 a S a W ügh h W m W S m S 7 a S a W 7 S G 7 W > E F G W S A: Kest aanı A : #$ doğrutusunda esme aanı A : #$ doğrutusunda esme aanı : urumadan ouşan germe : uruma muavemet moment ÇİZİM onaca! (.7) A (.7a).5 Üçgen evha eeman matrser- üzem germe Eemanarın sadece düğümerde brbrne bağı oduğu, düğümer arasında orta enararda bağ omadığı varsayımatadır. #, # düzemnde. eeman şe.8 de göstermştr. üğüm numaraarı, --, saat yönündedr. Gene ve yere oordnat sstem brbrne paraedr. Transformasyon matrs brm matrs oduğundan, gene ve yere denge denemer aynı oacatır. E eastste modüü, ƒ: Posson oranı, t: eemanın aınığı, s#,# t: notasının oordnatarı, s#,# t: notasının oordnatarı, s# v,# v t: notasının oordnatarı bnyor varsayımatadır. Kend çnde dengede oan eeman bnmeyener(bağımsız uvveter) F, F, F şede görüdüğü gb seçmştr. unar #, # esener yönünde,,,, E, F uvveter e dengededr. s s 4 s s 6 s 5 s üğüm uvveter Yere x F x F Gene x E F G notasında F, F uvveternn # yönünde zdüşümer topamı notasında F, F uvveternn # yönünde zdüşümer topamı notasında F, F uvveternn # yönünde zdüşümer topamı notasında F, F uvveternn # yönünde zdüşümer topamı notasında F, F uvveternn # yönünde zdüşümer topamı notasında F, F uvveternn # yönünde zdüşümer topamı F ağımsız uvveter F Şe.8: Üçgen eemanın üç uvveter F F Ahmet TOPÇU, Sonu Eemanar Metodu, Esşehr Osmangaz Ünverstes, 5-7, Sayfa 9

9 . Eeman tper ve matrser Yere ve gene denge matrs: # #, # #, # v #, # v #, E # # v, F # # v P +, v P +, v E + F (.8) R 5 ˆ, S 5 ˆ, v W 5ˆŠ, v 5ˆŠ, v Œ 5 Š, v 5 Š oma üzere ve arasında denge bağıntısı v v v v N O E F G v v b v vg Yere ve gene denge matrs Yere ve gene denge (.9) (.9a) Görece yer değştrmeer ve esne matrs: : 4 (.) Z s + v + v t/, Sn 5 ˆ5 Š, Sn 5 ˆ5ˆŠ, Sn v os Görece yer değştrmeer PZsZ tsz v tsz v t 5ˆŠ 5 Š 5 S ˆ 5 S S Š m5ˆš, os 5 5 S ˆ 5ˆŠ S S m5 Š, os ˆ5 Š 5 5ˆŠ S 5 S S Š m5 ˆ ˆ5ˆŠ 5ˆŠ 5 Š ot š gœ, ot M œ š gœˆ, ot M v š gœ Š œˆ M œ Š ve.8 bağıntıarı e esne matrs M œ Š žÿ M œ M žÿ{ r žÿ žÿ{ r œˆ 4 M œ žÿ žÿ{ r žÿ 6 h M œˆm œ v žÿ{ v r v Š M œˆ žÿ žÿ{ r žÿ v žÿ{ v r v G M œ Š M œ Esne matrs (.a) Germeer: 9 v üçgenn aanının atı h 7 ˆŠ 5ˆŠ, h 7 ˆŠ 5 Š, h v 7 ˆŠ 5 ˆ üçgenn yüseer ve.8 bağıntıarı e germeer N O > h ˆ S S ˆŠ Š Š ˆ ˆ S S S ˆŠ Š Š ˆ ˆ ˆ ˆŠ ˆŠ Š Š Š ˆ S Eeman çnde germeer sabt N O Asa germeer: V «RR «SS + + «RRm«SS + + (.b) φ9 * ª A (.c) h h Ahmet TOPÇU, Sonu Eemanar Metodu, Esşehr Osmangaz Ünverstes, 5-7, Sayfa 9

10 . Eeman tper ve matrser.6 örtgen evha eeman matrser- üzem germe Eemanarın sadece düğümerde brbrne bağı oduğu, düğümer arasında orta enararda bağ omadığı varsayımatadır. #, # düzemnde. eeman şe.9 da göstermştr. üğüm numaraarı, ---, saat yönündedr. Gene ve yere oordnat sstem brbrne paraedr. Transformasyon matrs brm matrs oduğundan, gene ve yere denge denemer aynı oacatır. E eastste modüü, ƒ: Posson oranı, t: eemanın aınığı, s#,# t: notasının oordnatarı, s#,# t: notasının oordnatarı, s# v,# v t: s#,# t: notasının oordnatarı bnyor varsayımatadır. Kend çnde dengede oan eeman bnmeyener(bağımsız uvveter) F, F, F, F 4,F 5 şede görüdüğü gb seçmştr. unar #$, #$ yere esener yönünde,,,, E, F, n, o uvveter e dengededrer. E F n o G notasında F, F 4, F 5 uvveternn #$ yönünde zdüşümer topamı notasında F, F 4, F 5 uvveternn #$ yönünde zdüşümer topamı notasında F, F uvveternn #$ yönünde zdüşümer topamı notasında F, F uvveternn #$ yönünde zdüşümer topamı notasında F, F, F 5 uvveternn #$ yönünde zdüşümer topamı notasında F, F, F 5 uvveternn #$ yönünde zdüşümer topamı notasında F, F 4 uvveternn #$ yönünde zdüşümer topamı notasında F, F 4 uvveternn #$ yönünde zdüşümer topamı F F F 8 7 Yere uvveter F 5 F F 4 x ağımsız uvveter s 6 x Gene x s 8 s F 4 F 5 F F α Yere a s 4 s 5 s 7 Yere,,,, E, F, n, o uvveter #, # gene esener yönünde gene uvveterdr. s s a Gene uvveter Yere ve gene denge matrs: Şe.9: örtgen evha uç uvveter Eemanın gene oordnatarından hesapanan Ps# # t +s# # t, s# # t +s# # t, +, x r V S mv S, žÿ V R mv R, r y, žÿ y ± ± (.) g r y žÿ žÿ y r, žÿ y žÿ +r y r sabter aşağıda matrserde uanıacatır. r y žÿ y E r y F žÿ y n E G o G G b$ Yere denge (.a) ) Yere denge matrs (.b) r žÿ g žÿ r r žÿ E žÿ r žÿ r g F r žÿ n r žÿ E G o G žÿ r G b (.c) Gene denge matrs Gene denge (.d) Ahmet TOPÇU, Sonu Eemanar Metodu, Esşehr Osmangaz Ünverstes, 5-7, Sayfa 9

11 . Eeman tper ve matrser Görece yer değştrmeer ve esne matrs: Görece yer değştrmeer : 4 (.) 4x ƒ x ƒ xžÿy ƒr y ƒ 4/x ƒ /x ƒx r y ² 4 x ƒ 4x ƒ xžÿy ƒr y 6 h ƒ /x ƒ 4/x ƒx r y ² xžÿy ƒr y ƒx r y xžÿy ƒr y ² ƒx r y +x ² ² G Esne matrs (.a) Germeer: N O > + V$ S V$ S r y xs V$ R t xs +V$ R t ² S r y ² r y G E G Norma germeer doğrusa, ayma germes sabt (.) A (.a) Asa germeer: V «RR «SS + «RRm«SS (.b) φ9 * ª Ahmet TOPÇU, Sonu Eemanar Metodu, Esşehr Osmangaz Ünverstes, 5-7, Sayfa 9

12 . Eeman tper ve matrser.7 örtgen pa eeman matrser Şe. da ddörtgen br pa eemanın düğüm uvveter görümetedr. üğüm serbest dereces, eemanın serbest dereces dr. Yere ve gene oordnatar brbrne paraedr(transformasyon matrsbrm matrs). Notaar saat yönünde numaraanmıştır. r notasında tanımı,, te uvveter, sırasıya, # yönünde uvvet, # etrafında moment ve # etrafında momenttr. Eeman çn sadece denge oşuu( #, #, U VW t vardır. uvvetn 9 tanes,,,, p bağımsız uvvettr(eemanın bnmeyener). Przemnec'den aınan ve end çnde dengede oan bu uvveter Şe. da görümetedr. E F n o p q G E F n o p G İfadeer basteştrme çn eemanara at büyüüerde nds uanımayacatır. E: eastste modüü, ƒ: Posson oranı, t:eeman aınığı, s#,# t: notasının, s#,# t: notasının, s# v,# v t: notasının, s#,# t: notasının gene oordnatarı, yüer ve mesnet oşuarı bnyor varsayımatadır. a ve b enararı notaarın gene oordnatarından hesapanır: # m #, µ# m # µ. Yere ve gene denge matrs: / / E / / F n / / E o F p n q / / o p G G G b Görece yer değştrmeer ve esne matrs: x e Yere ve gene denge (.4) (.4a) 4x ƒ ƒ r { r` ² ƒ ƒ ² ² ƒ ƒ ² s + ƒt G 4 x ƒ ƒ 4x 6 h W x ƒ ƒ x ƒ ƒ ƒ ƒ ² ƒ ƒ ² Esne matrs (.5) Görece yer değştrmeer : 4 (.5a) u eemanın tüm bağıntıarı Przemenec, J., S, Theory of matrx structura anayss, McGraw-, 968 den aınmıştır. Kas pa teorsnde esme uvvet ve momenter brm genş çn tanımanır, brmer, örneğn, N/m ve Nm/m dr. urada tanımanan düğüm uvveter tedr, brmer, örneğn, N ve Nm dr. r dğer dat edmes gereen far da şudur. Kas pa teorsnde momenter genee x doğrutusunda M x, y doğrutusunda M y e gösterr. Şe. da momenter se esener etrafında momenterdr, örneğn, moment # esen, moment se # esen etrafında momenttr. Ahmet TOPÇU, Sonu Eemanar Metodu, Esşehr Osmangaz Ünverstes, 5-7, Sayfa 94

13 . Eeman tper ve matrser Germeer: V R, V S oma üzere s + t s + ts t s t s ts + t N O F h S s t s ts t s + t s + ts + t E (.6) > F o p G A (.6a) Asa germeer: V «RR «SS + «RRm«SS (.7b) φ9 * ª Ahmet TOPÇU, Sonu Eemanar Metodu, Esşehr Osmangaz Ünverstes, 5-7, Sayfa 95

14 . Eeman tper ve matrser Ahmet TOPÇU, Sonu Eemanar Metodu, Esşehr Osmangaz Ünverstes, 5-7, Sayfa 96