Boole Cebiri ve Temel Geçitler

Transkript

1 oole ebiri ve Temel Geçitler İL 2 Geçit düzeyinde yalınlaştırma (Gate-Level Minimization) Hacettepe Üniversitesi ilgisayar Müh. ölümü oole cebiri (oolean algebra ) oole işlevleri (oolean functions) Temel geçitler (Logic gates) Standard biçimler (Standard forms) Standard çarpımlar toplamı (Sum of minterms) Standard toplamlar çarpımı (Product of maxterms) geçtiğimiz hafta.. 2 irleşimsel Mantık (ombinatorial Logic) ir ya da daha çok giriş sinyali ir ya da daha çok çıkış sinyali Çıkışlar, yalnız giriş değerlerinin o andaki değerlerine bağlı değerlerdir. (yayılma gecikmesi - propagation delays) önümüzdeki hafta.. 3 irleşimsel Mantık (ombinatorial Logic ) irleşimsel devreler belleksiz devrelerdir. Çıkışlar, yalnızca giriş değerlerine bağlıdır. aha önceki olaylar bilinmez. ynı giriş değerleri her zaman aynı çıkış değerlerini verir. izisel devreler (sequential circuit) bellekli devrelerdir. ynı giriş değerleri farklı çıkış değerlerini verebilir. önümüzdeki hafta.. 4

2 Geçit üzeyinde Yalınlaştırma (Gate-Level Minimization) Harita yöntemiyle yalınlaştırma (Karnaugh map minimization) bu hafta.. eyimler ve Mantıksal evreler Her bir deyim bir devre ile gösterilebilir. ir işlev birçok deyimden oluşur. eyim yalın ise, devre de o oranda daha hızlı ve ucuzdur. u nedenle boole işlevlerini yalınlaştırmaya çalışırız. una yalınlaştırma (minimization) denir. * uradaki yansıların büyük bir bölümü Herb Kaufman (UMIH, ) ın yansılarına dayanmaktadır. 5 6 oole İşlevlerinin Yalınlaştırılması (Simplification of oolean Functions) maç, verilen mantıksal bir ifadeye eş başka bir ifade bulmaktır: a) ir deyimde daha az değişken b) aha az deyim c) Gerçekleştirimi daha basit Üç yöntem ebirsel yalınlaştırma Harita yöntemi ile yalınlaştırma (Karnaugh Map) Çizelge yöntemi ile yalınlaştırma (Quine-Mcluskey) ebirsel Yalınlaştırma (lgebraic Minimization) oole cebirinin kuralları, ilkeleri ve teoremleri (laws, postulates, theorems) kullanılarak yalınlaştırmadır. Ne zaman hangi kural uygulanacak? Elde edilen deyim en küçük deyim midir? Hata yapmak kolaydır : örn. tümlerinin alınmasının unutulması, değişkenlerin unutulması,

3 itişikliğe ayalı ebirsel Yalınlaştırma (lgebraic Minimization via djacency) xy + xy = x şağıdaki iki deyim bir değişkenin tümlerinin alınması dışında eşdeğerdir. Örnek: abc d + abcd = abd (x+y) (x+y )=x ir deyim silinir ve kalan deyimlerden bir değişken silinir. Örn: (önce yeni bir abc ekle) ab c + abc +a bc = ab c + abc + abc + a bc = ac + bc 9 Harita Yöntemi ile Yalınlaştırna (Karnaugh Map Minimization) Görsel bir yalınlaştırma yöntemidir. Yakınlık özelliğini kullanır. En küçük deyimi bulur. Kullanımı kolay ve hızlıdır. Problemler: elirli sayıda değişkene uygulanabilir. (4 ~ 8) oğruluk çizelgesinden haritaya geçirirken yanlışlar yapılabilir. Haritadaki hücreler doğru bir şekilde gruplanmayabilir. Son deyim yanlış okunabilir. Harita Yöntemi Harita belli sayıda hücreden oluşan bir 2 boyutlu dizgedir. Her harita bitten oluşan çıktıyı ifade eder. Her bir hücre çıktı işlevinin bir bitini gösterir. Hücrelerin yerleşimi itişik terimlerde sadece değişken değeri farklıdır. örn. m6 () and m7 () oğruluk Çizelgesi ve itişiklik (adjacency) Standart doğruluk çizelgesi Yakınlığı göstermez. minterm m m m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8 m9 m m m2 m3 m4 m5 Gray kodları minterm m m m3 m2 m6 m7 m5 m4 m2 m3 m5 m4 m m m9 m8 2

4 Gray Kodlarından Haritaya Harita (K-Maps) değişkenli harita 2 = 2. 2 değişkenli harita 2 2 =4 3 değişkenli harita 2 3 = 8 4 değişkenli harita 2 4 = 6 hücreye sahiptir. değişken 2 değişken 3 değişken 4 değişken 3 4 Harita ile Yalınlaştırma Her bir hücre için 4 komşu vardır. (yukarı, aşşağı, sağ yan, sol yan) 2 boyutlu dizge yapısı ile ancak 4 değişkene kadar yakınlık bilgisi kodlanabilir. 4 değişkenli 3 değişkenli En üst ve en alttaki hücreler, en sağ ve en sol hücreler de bitişiktir. 5 oğruluk Çizelgesinden Haritaya oğruluk çizelgesindeki satırların sayısı ile haritanın hücrelerinin sayısı aynı olmalıdır.! F x x x x x x x x x x x x x x x x m m m3 m5 m7 m2 m3 m5 m9 6

5 Harita ile Yalınlaştırma oğruluk çizelgesinden harita gösterimine geçiş F ve sütunlarının yerine dikkat! Gruplama itişiklik ilkesinin uygulanması Đki hücre aynı değere sahip () ve birbirlerine komşu ise, deyimler bitişiktir. Gruplar üst üste gelebilir. Grup sayısı 2 nin katlarıdır. (, 2, 4, 8) ler ve lar gruplandırılabilir. 7 8 Grupların okunması /2 leri /ları gruplama çarpımlar toplamı/toplamlar çarpımı deyimlerini yalınlaştırır. Grupların içindeki değişken değerlerinin nasıl değiştiğine dikkat edin. (şağıdaki tabloya göre deyimler belirlenir.) leri gruplama ları gruplama eğişken değişiyor ahil etme ahil etme eğişken sabit tümleri kendisi eğişken sabit kendisi tümleri Grupların okunması 2/2 Gruptaki değişkenin değeri grup içerisinde değişiyor ise, bu değişkeni deyimden çıkar. Sabit değeri, o değişkenin kendisinin alınacağını (N terimi için) gösterir. Sabit değeri, o değişkenin kendisinin alınacağanı (OR terimi için) gösterir. 9 2

6 Satır F(,) eğişkenli Harita r r Satır, =, = F(,) = + r2 r3 Satır F(,) 2 3 Satır F2(,) eğişkenli Harita F(,) = + F2(,) = eğişkenli Harita Satır F(,,) F(,,) = Σm(,2,6) F (,,) = Σm(,3,4,5,7) F(,,) = πm(,3,4,5,7) F(,,) = + 23 Örn : 3 eğişkenli Harita Eğer bir işlev cebirsel formda ise, onu çarpım terimleri (mintermler) biçiminde açmak gereksizdir. Örnek: F(,,) = + + (in = satır) (in = sütun) 24

7 Örn 2: 3 eğişkenli Harita Harita oole cebirinin temel teoremlerini gösterir. Örnek: XY+X Z+YZ = XY+X Z (onsensus Teoremi) X X YZ YZ YZ (consensus deyimi) X Z XY XY+X Z+YZ XY+X Z 25 Örn 3: 3 eğişkenli Harita ir işlevin birden çok en küçük deyimi var ise, hepsi harita yöntemi ile bulunabilir. Örn: F(a,b,c) = Σm(,,2,5,6,7) a bc F = a b +bc +ac a bc F = a c +bc +ab 26 4 eğişkenli Harita F(,,,) =Σm(,2,5,7,8,9,,,2,3,4,5) = Toplamların Çarpımı olarak Yalınlaştırma /2 F(,,,) = Σ(,,2,5,8,9,) toplamların çarpımı olarak yalınlaştırın. ile işaretlenmiş hücreler F içinde yer almayan çarpım terimlerini gösterir (F aittir). içeren hücreleri birleştirmek Fin tümlerini verir. F = + + F a emorgan kuralını uygularsak F = ( + )( +)( + ) 28

8 Toplamların Çarpımı olarak Yalınlaştırma 2/2 İçerikler(Implicants) ve sal İçerikler (Prime Implicants) sal içerikler Đçerikler aha büyük bir grubun parçası olan tek bir hücre ya da bir grup hücreye içerikdenir. En büyük gruba asal içerik denir. (başka bir deyimle bir değişkeni elimine etmek için birleşmez) Tek bir hücre de asal içerik olabilir İçerikler ve En Küçük eyimler Tüm değerleri (ler) içeren içeriklerin herhangi istenilen işlevi gösterir. Tüm değeleri (ler) içeren asal içeriklerin en küçük kümesi, işlevin en küçük deyim ile gösterimini verir. irden fazla en küçük küme olabilir. sıl sal İçerikler ir asıl asal içerik ile gösterilen bir hücreye sahip ve bu hücre başka bir asal içerik tarafından kapsanmaz ise, bu bir asıl asal içerik (essential prime implicant) tir. iğer asal içeriklere ise ikincil asal içerik secondary prime implicant denir. En küçük deyim, asıl asal içeriklerin hepsini ve diğer değerlerini örten minimum sayıdaki ikincil asal içeriği içerir. 3 32

9 Harita Yöntemi ile Yalınlaştırma ) Tüm asal içerikleri bul. ) En küçük asal içerik kümesini bul. ) Tüm asıl asal içerikleri bul. 2) Đkincil asal içeriklerin en küçük kümesini bul. Ortaya çıkan deyim, en küçük deyimdir. 33 Harita Yöntemi ile Yalınlaştırma F = + + m2 sadece ile kapsanır asıl asal içeriktir m4 sadece ile kapsanıs asıl asal içerik m5 sadece ile kapsanır asıl asal içerik asıl asal içerik değildir, çünkü her bir başka bir asal içerik ile kapsanabilir. Tüm asıl asal içerikler en küçük deyimde olmalıdır. Kalan ler ikincil asal içerikler ile kapsanır. 34 Önemsiz irleşimler (on t ares) Önemsiz irleşimler ile Yalınlaştırma Đşlevlerin yalınlaştırılması için, önemsiz birleşimler ( x ya da - ) ya da ile ifade edilebilir. ebirsel yalınlaştırmada kullanılması zordur zira tüm olası kombinasyonların incelenmesini gerektirir. Harita yöntemi ile kolay bir şekilde incelenebilir. Harita yöntemi uygulanırken önemsiz birleşimler daha büyük grupların elde edilmesine yardımcı olabilirler. * * x * x x x x x ve X içeren hücreleri çevreleyebiliriz. F =

10 = 5 eğişkenli Harita E E = = E E = ƒ(,,,,e) = m(2,5,7,8,, 3,5,7,9,2,23,24,29 3) = E + ' E + ' ' E' + ' ' E' EF = EF = EF = EF = eğişkenli Harita ƒ(,,,,e,f) = m(2,8,,8,24, 26,34,37,42,45,5, 53,58,6) = ' E F' + E' F + ' ' F' EF = EF = EF = EF = NN ve NOR NN N, OR ve NOT, birleşimsel devreleri boole cebiri ile ifade edebilmek için kullanılan temel işlemlerdir. iğer iki temel mantık işlem kümeleri: sadece NN sadece NOR NN Geçidi NN and NOR evrensel NOR geçitler Geçidi olarak anılır! a b (ab) a b (a + b) a b NN a' + b a b NOR a'b 4

11 N-OR dan NN-NN e Geçiş Örn. : N-OR dan NN-NN e Geçiş Tüm N geçitlerini NN (N-invert) geçitlerine çevir. Tüm OR geçitlerini NN (invert-or) geçitlerine çevir. Şemadaki tüm yuvarlakları kontrol et. Herbir yuvarlak sembol için- başka bir geçit ile tümlenmeyen- girişli NN geçiti kullan ya da tümlerini al Örn. 2: N-OR dan NN-NN e Geçiş NOR F(,,,) = Σ(,2,3,4,5,7) fonksiyonunu sadece NN kapıları kullanarak yalınlaştırın

12 N-OR dan NOR-NOR a Geçiş iğer 2 düzeyli gerçekleştirmeler N-OR-INVERT OR-N-INVERT Okuma ödevi: Mano-iletti (bölüm 3.4) Exclusive-OR (XOR) ile gösterilir. Sayısal devrelerde çokça kullanılır a b = a b + a b işlemini gerçekleştirir. Yer değiştirme (commutativity) özelliği a b = b a irleşme (associativity) özelliği: a (b c) = (a b) c = a b c 47