SAYISAL DEVRELER. Analog - Sayısal (Dijital) İşaretler:

Transkript

1 SYISL DEVRELER Yrd.Doç.Dr. Feza UZLU İstanbul Teknik Üniversitesi ilgisayar Mühendisliği ölümü nalog - Sayısal (Dijital) İşaretler: Gerçek dünyada karşılaştığımız bir çok fiziksel büyüklüğün (akım, gerilim, sıcaklık, ışık şiddeti vb.) değeri sürekli bir aralık içinde değişmektedir. Sınırlar arasındaki her türlü olası değeri alabilen bu tür işaretlere analog işaretler denir. İkili (binary) sayısal işaretler ise belli bir anda sadece olası iki değerden birini alabilirler: -, yüksek alçak, doğru yanlış, açık - kapalı. V V H L t t nalog işaret İkili sayısal işaret.2

2 Sayısal Sistemlerin vantajları: Eskiden analog sistemlerin kullanıldığı bir çok alanda günümüzde daha avantajlı olduğundan sayısal sistemler kullanılmaktadır. Örnekler: Fotoğrafçılık, video, ses kayıtları, otomobil motorları, telefon sistemleri vb. Sayısal Sistemlerin vantajları: ir sayısal sisteme belli bir giriş kümesi defalarca uygulandığında hep aynı çıkış kümesi elde edilir. urada aynı giriş kümesinin uygulanması demek her defasında aynı değer dizisinin aynı sırada uygulanması demektir. nalog sistemler ise çevre koşullarından daha çok etkilenirler. Sayısal tasarım (lojik tasarım) dayandığı matematiksel temeller açısından daha kolaydır. yrıca sayısal sistemleri test etmek ve hatalardan arındırmak da analog sistemlere göre daha kolaydır. Esneklik ve programlanabilirlik. Günümüzde sayısal sistemleri programlanabilir bilgisayarlar şeklinde gerçeklemek mümkündür. u sayede aynı tasarım yeni gereksinimlere göre yeniden programlanarak tekrar kullanılabilmektedir. Sayısal verileri bilgisayar ortamında saklamak ve işlemek mümkündür. Sayısal sistemler daha hızlı çalışmaktadır. Sayısal sistemler küçülmekte ve ucuzlamaktadır. Sayısal sistemler gelişmeye devam ediyor..3 Sayısal Devre Gerçekleme şamaları: Gerilim Sıcaklık kım asınç Hız Görüntü nahtar Gerçek Dünya Fiziksel Dünya Problem Domeni, ve, veya tümleme Matematiksel Dünya HDL Program (Hardware Description Language) Modelleme,soyutlama Tasarım Gerçekleme.4

3 Sayısal Kodlama: Sayısal sistemler ikili sayısal işaretler üzerinde işlemler yaptıklarından sadece iki farklı değeri işleyebilirler. u nedenle sayısal devreler yardımıyla üzerinde işlem yapılacak olan fiziksel büyüklüklere (gerilim, sıcaklık vs.) ve her türlü veriye (harf, sayı, renk, ses) ikili sayılar karşı düşürülür. Örneğin 8 basamaklı (8 bitlik inary digit ) bir ikili sayı kullanarak 2 8 tane (256) farklı şey ifade edebiliriz. unlar 256 farklı renk, 256 sembol, ile 255 arası tamsayılar, ile 256 arası tamsayılar, -28 ile +27 arası tamsayılar olabilir. ir ikili değerin (Örneğin ) ne anlama geldiğine o değeri kullanacak olan sistem (donanım ya da yazılım sistemi olabilir) ya da kişi belirler. u değer bir sayı da olabilir bir renk de. Özellikle sayıların kodlanması büyük önem taşır. u konu mikroişlemci sistemleri dersinde ele alınacaktır. u derste bazı temel kodlama yöntemlerine ilişkin bilgiler verilecektir..5 D (inary oded Decimal) İkili kodlanmış onlu sayılar: -9 arasındaki rakamlara 4 bitlik bir ikili kod karşı düşürülür. Doğal D: Sayı: Kod: : : 2: 3: 4: Sayı: Kod: 5: 6: 7: 8: 9: Örnek: Sayı: 85 Kod: rtıklı kodlamadır. Çünkü 4 bit ile 6 farklı kodlama yapılabilmekte ancak bunlardan sadece tanesi kullanılmaktadır. D sayılar üzerinde işlem yapmak zor olduğundan günümüz bilgisayarlarında sayıları göstermek için bu kodlama kullanılmamaktadır..6

4 ğırlıklı Kodlama: itlerin konumlarına birer ağırlık verilir. Doğal ikili kodlama: Sayıların ağırlıklı kodlama ile 2 tabanında gösterilmesidir. Örneğin: = = 26 Soldaki ilk basamağa yüksek anlamlı bit (Most Significant it MS) Sondaki basmağa düşük anlamlı bit (Least Significant it LS) denir. ilgisayarlarda sayıları göstermek için doğal ikili kodlama kullanılır. Hamming uzaklığı: n uzunluğundaki iki kod sözcüğünün arasındaki Hamming uzaklığı, o sözcüklerdeki aynı sırada olup değerleri farklı olan bileşenlerin sayısıdır. Örneğin: ile arasındaki uzaklık 2 dir. itişik kodlar: ir birini izleyen sayılara karşı gelen kodlar arasındaki uzaklık ise o kodlama bitişiktir. yrıca son sayı ile ilk sayı arasındaki uzaklık da olursa kod çevrimlidir..7 Örnek: Çevrimli bir D kodu (doğal D den farklı) Sayı: Kod: Sayı: Kod: : 5: : 6: 2: 7: 3: 8: 4: 9: Gray Kodu: 2 n elemanlı bir küme için 2 tabanında artıksız ve çevrimli bir kodlama yapılırsa gray kodu elde edilir. Örnek: 2 bitlik bir Gray kodu: Sayı: Kod: : : 2: 3:.8

5 Sayıların ilgisayarda Gösterilimi u derste tamsayıların gösterilimine ilişkin bilgiler verilecektir. Kayan noktalı (floating point) sayıların gösterilimi ilgisayar Mimarisi dersinde ele alınmaktadır (kz. Sayılar kodlanmadan önce işaretsiz ya da işaretli sayılarla çalışılacağı belirlenmelidir. Çünkü işaretsiz ve işaretli sayıların kodlanmasında farklı yöntemler kullanılmaktadır. İşaretsiz (Unsigned) Sayıların Kodlanması: ilgisayarlarda işaretsiz tamsayıların ifade edilmesinde doğal ağırlıklı ikili kodlama kullanılır. Örnek: 25 = ( ) 2 = /2 = 7 kalan (düşük anlamlı bit Least Significant it LS ) son basmak 7/2 = 53 kalan 53/2 = 26 kalan 26/2 = 3 kalan 3/2 = 6 kalan 8 bit ile ifade edilebilecek en büyük işaretsiz sayı: 2 = bit ile ifade edilebilecek en küçük işaretsiz sayı: 6/2 = 3 kalan 2 = 3/2 = kalan /2 = kalan (yüksek anlamlı bit Most Significant it MS ) ilk basamak.9 İşaretli (Signed) Sayıların Kodlanması: Pozitif ve negatif sayıları ayırt etmek için ikili sayının ilk basamaktaki en yüksek anlamlı bitine bakılır. ile başlayan sayıların pozitif, ile başlayan sayıların negatif olduğu kabul edilir. Pozitif sayıların kodlanmasında (işaretsiz sayılarda olduğu gibi) doğal ağırlıklı ikili kodlama kullanılır. Dikkat edilmesi gereken nokta sayının ile başlamasıdır. una göre 8 bit ile temsil edilebilecek pozitif işretli sayılar: ile arasında (yani ile +27 arasında) değişecektir. Negatif sayıların kodlanmasında 2 ye tümleme yöntemi kullanılmaktadır. u yöntemde pozitif bir sayının 2 ye tümleyeni hesaplandığında o sayının negatif gösterilimi elde edilmiş olur. ir sayının 2 ye tümleyenini elde etmek için Önce sayı e tümlenir, yani lar, ler yapılır, e tümlenmiş sayıya eklenir. 2 ye tümleme yöntemi aritmetik işlemlerde kolaylık sağladığı için tercih edilmektedir..

6 Negatif Sayılara Örnekler: 8 bitlik +5 : e tümleme : ekleme : + Sonuç -5 : 4 bitlik +7 : e tümleme : ekleme : + Sonuç -7 : 2 ye tümleme işlemi bir sayının işaretini değiştirmek için kullanılır. ir negatif sayıya 2 ye tümleme işlemi uygulandığında o sayının pozitif değeri elde edilmiş olur. Negatif bir sayının pozitif yapılması: 8 bitlik -5 : e tümleme : ekleme : + Sonuç -5 :. İşaretli sayılar bir grafik üzerinde gösterilebilir. şağıda 4 bitlik sayılar gösterilmiştir. Çıkarma yönü Toplama yönü 4 bit ile ifade edilebilecek mutlak değeri en büyük negatif sayı = -8 Mutlak değeri en küçük negatif sayı = - 8 bit mutlak değeri en büyük negatif sayı = -28 Mutlak değeri en küçük negatif sayı = -.2

7 İkili Sayıların Uzatılması Sayısal istemlerde ikili sayılar için belli uzunlukta yerler (bellek gözleri) ayrılır. azı durumlarda daha az bit ile ifade edilebilen bir sayıyı daha büyük bir yere yazmak ya da daha uzun bir sayı ile işleme sokmak gerekebilir. u durumda kısa olan sayı uzatılır. Örneğin 4 bitten 8 bite veya 8 bitten 6 bite uzatma. Uzatma işleminde sayının işaretsiz ya da işaretli olmasına göre farklı yollar izlenir. İşaretsiz Sayılar: Sayının başına (yüksek anlamlı kısmına) gerektiği kadar sıfır eklenir. Örnek: 4 bitlik 3 : 8 bitlik 3 : Örnek: 4 bitlik 9 : 8 bitlik 9 : İşaretli Sayılar: Sayının başına (yüksek anlamlı kısmına) sayının işareti gerektiği kadar eklenir. una işaret uzatma (sign extension) denir. Örnek: 4 bitlik +3 : 8 bitlik +3 : Örnek: 4 bitlik -7 : 8 bitlik -7 : Örnek: 4 bitlik - : 8 bitlik - :.3 6 Tabanının Kullanılması Decimal inary Hexadecimal Sayısal devrelerin yapıları 2 li sayıların kullanılmasını zorunlu hale getirmiştir. ncak 2 li sayıların yazılması ve okunması uzunlukları nedeniyle zor olmaktadır. u nedenle kağıt üstündeki gösterilimlerde kolaylık sağladığı için 6 tabanında (hexadecimal) sayılar kullanılmaktadır. 2 li 6 lı Dönüşüm: 2 li sayı 4 bitlik gruplar halinde yazılır, Her dörtlüiçin 6 lık karşılığı yazılır. Örnek: 2 = (İkili - inary) = 5 D (Onaltılı - Hexadecimal) tabanına dönüşüm : 5D 6 = (5 x 6) + 3 = 93 Sonuç: 2 = 5D 6 = D 4 E 5 F 6 tabanındaki sayıları göstermek için genellikle $ ve h simgeleri kullanılır. Örnek: $5D veya 5Dh..4

8 Sayısal Sistemlerde Toplama ve Çıkarma İşlemleri ilgisayarlarda tamsayı aritmetik işlemleri ritmetik/lojik irim (L) tarafından yapılır (rithmetic Logic Unit LU). Tamsayı toplama ve çıkarma işlemleri işaretsiz ve işaretli sayılar üzerinde aynı şekilde yapılır. ncak çıkan sonucun yorumlanması işaretsiz ve işaretli sayılarda farklı olmaktadır. Farklı uzunluklarda sayılar ile işlem yaparken kısa sayının uzatılması gerekir. Uzatma işlemi işaretsiz ve işretli sayılarda farklı olur. (kz..3) Toplama: İşaretsiz Tamsayılar: n bitlik iki işaretsiz sayının toplanması sonucu n+ bitlik bir sayı oluşabilir. (n+). bit elde (carry) adını alır. Örnek: 8 bitlik işaretsiz sayıların toplanması : 7 + : 99 : 26 Elde oluşmadı. : : : 256 Elde oluştu. a b Elde Sonuç.5 Toplama: İşaretli Tamsayılar: İşlem işaretsiz sayılarda olduğu gibi yapılır. ncak sonucun yorumlanması farklıdır. n bitlik işaretli iki sayının toplanması sonucu (n+). bit oluşursa bu bit göz ardı edilir. Örnek: 8 bitlik işaretli sayıların toplanması : - + : + : : - + : - : -2 Göz ardı edilir. İşaret (+) Göz ardı edilir. İşaret (-) Dikkat: Eğer n bitlik sayılarla çalışılıyorsa işaret her zaman (sağdan sola doğru sayıldığında) n. bittir (n+. değil)..6

9 Taşma (Overflow): İşaretli sayılarda toplama sonucu oluşan değer n bit ile gösterilemeyebilir. Örneğin 8 bit ile gösterilebilecek sayılar -28, +27 arasındadır. Oluşan sonuç bu aralığın dışına çıkıyorsa taşma oluşur. Toplama sonucunda taşma oluştuğu toplanan sayıların ve sonucun işaretinden anlaşılır. Toplamada iki durumda taşma oluşabilir: poz + poz neg ve neg + neg poz Örnek: :+27 + : +2 : Gösterilemiyor İki pozitif sayı toplandı. Sonuç negatif çıktı. Taşma vardır. Not: n+. bit oluşmadı. u bit göz ardı edilir. :-28 + : - :Gösterilemiyor İki negatif sayı toplandı. Sonuç pozitif çıktı. Taşma vardır. Not: n+. bit oluştu. u bit göz ardı edilir..7 Çıkarma: ilgisayarlar, çıkarma işlemi için çıkartılacak olan sayının işaretini değiştirip (2 ye tümleyip) diğer sayı ile toplarlar. öylece tek bir toplama devresi ile hem toplama hem çıkarma yapmak mümkün olur. İşaretsiz Tamsayılar: n bitlik iki işaretsiz sayı arasında 2 ye tümleyen yöntemine göre çıkarma yapıldığında n+. bit oluşursa sonuç geçerlidir, borç (borrow) yoktur. Eğer n+. bit oluşmazsa (sıfırsa) birinci sayı ikinciden küçüktür, borç vardır. Örnek: 8 bitlik işaretsiz sayılar ile çıkarma : 5 - : : - : 5 2 ye tümleme 2 ye tümleme : 5 + :- : 4 Elde oluştu : orç Yok : + :-5 : orç(sonuç negatif) Elde oluşmadı : orç Var.8

10 Çıkarma: İşaretli Tamsayılar: İşaretli tamsayılar arasındaki çıkarma da işaretsizlerde olduğu gibi 2 ye tümleyen yöntemine göre yapılır. Elde biti göz ardı edilir. Toplama da olduğu gibi işaretli sayıların çıkarılmasında da taşma olabilir. Çıkarmada iki durumda taşma oluşabilir: poz - neg neg ve neg - poz poz Örnek: 8 bitlik işaretli sayılar ile çıkarma : 5 - :2 2 ye tümleme : 5 + :-2 : 2 ye tüm.::-7 İşaret sonuç negatif : -3 - : 27 2 ye tümleme Neg poz = poz. Taşma vardır. : -3 + :-27 : İşaret biti, Sonuç pozitif..9 Elde (arry), orç (orrow), Taşma (Overflow) Kavramlarının Özeti Elde: İşaretsiz sayıların toplanmasında oluşabilir. Sonucun n bite sığmadığını (n+). bitin gerekli olduğunu gösterir. orç: İşaretsiz sayıların çıkartılmasında oluşabilir. irinci sayının ikinciden küçük olduğunu, sonucun negatif çıktığını gösterir. 2 ye tümleyen yöntemine göre yapılan çıkarmada n+. bit oluşursa borç yoktur. Taşma: Sadece işaretli sayılar üzerinde yapılan toplama ve çıkarma işlemlerinde oluşur. Sonucun, ayrılan bit sayısı ile ifade edilemediğini gösterir. Taşma olduğu, işleme giren sayıların ve sonucun işareti incelenerek anlaşılır. şağıdaki durumlar oluştuğunda taşma var demektir: poz + poz neg poz neg neg neg + neg poz neg poz poz.2

11 oole ebri ={,} kümesi üzerinde tanımlı İkili işlemler: VEY, VE { +, } irli işlem: Tümleme { ' } ksiyomlar: a b b a a + b b a Tümleme a a'.kapalılık: a + b a b 2.Değişme: a + b = b + a a b = b a 3.irleşme: a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c 4.Etkisiz eleman: a + = a a = a 5.Dağılma: a + (b c) = (a + b) (a + c) a (b + c) = (a b) + (a c) 6.Tümleme: a + a' = a a' =.2 Özellikler ve Teoremler: urada gösterilen tüm özellikler ve teoremler oole cebrinin tanımında yer alan işlemler ve aksiyomlar ile kanıtlanabilirler.. Yutma: a + = a = 2. Dönüşme (Involution): (a')' = a 3. Sabit kuvvet (Idempotency): a+a+a+.+a = a 4. Soğurma (bsorption): a + a b = a a a a a = a a (a+b) = a 5. De Morgan Teoremi: (a + b +...)' = a' b'... (a b...)' = a' + b' +... Genel De Morgan Teoremi: f'(,2,...,n,,,+, ) = f(',2',...,n',,,,+) İkili işlemler arasında ilişki sağlar: ve + arasında.22

12 6.Düalite ir lojik ifadenin düali, yerine +, + yerine, yerine, yerine, koyarak ve değişkenler değiştirilmeden elde edilir. Kanıtlanan her teorem düali için de geçerlidir. a + b +... a b... Genelleştirilmiş düalite: f (,2,...,n,,,+, ) f(,2,...,n,,,,+) De Morgan Teoreminden farklıdır Teoremlerin kanıtları arasında ilişki sağlar Lojik ifadelerin dönüştürülmesini sağlayan bir yöntem değildir..23 İşlemler rası Öncelik: ir lojik ifade değerlendirilirken işlemler arasındaki öncelik yüksekten öncelikten başlayarak şöyledir:. Parantez, 2. Tümleme, 3. VE, 4. VEY Teoremlerin Kanıtlanması: a) ksiyomlar ile Teorem: Y + Y' = Dağılma Y + Y'= (Y + Y') Tümleme (Y + Y') = () Etkisiz () = Teorem: + Y = Etkisiz + Y = + Y Dağılma + Y = ( + Y) Yutma ( + Y) = () Etkisiz () =.24

13 Teoremlerin Kanıtlanması: b) Doğruluk Tablosu De Morgan: ( + Y)' = ' Y' ( Y)' = ' + Y' Y ' Y' ( + Y)' ' Y' Y ' Y' ( Y)' ' + Y'.25 Teoremler lojik ifadelerin sadeleştirilmesinde kullanılabilir. Örnek: Z = ' + ' + ' + = ' + ' + ' + + = ' + + ' + ' + = (' + ) + ' + ' + = () + ' + ' + = + ' + ' + + = + ' + + ' + = + (' + ) + ' + = + () + ' + = + + (' + ) = + + () =

14 Lojik İfadeler (Expressions) Lojik ifade, değişkenlerin, sabitlerin ve işlemlerin kurallara uygun şekilde yazılmış sonlu kombinezonudur. = (x, x 2,... x n ), Her x i {,} olmak üzere E() şeklinde gösterilir. E ve E 2 lojik ifade ise, E ', E 2 ', E + E 2, E E 2 gibi tüm kombinezonlar da birer lojik ifadedir. Lojik İfadelerin Yapıları: Monoform ifadelerde değişkenlerin sadece kendileri ya da sadece tümleyenleri bulunur. iform ifadeler belli bir x değişkenine göre tanımlanırlar. x'e göre biform bir ifadede hem x hem de tümleyeni bulunur. Çarpım ifadeleri, değişkenlerin sadece lojik çarpımlarından oluşurlar. Örnek: ab'cd Çarpım (product) yerine monom sözcüğü de kullanılır. Toplam ifadeleri, değişkenlerin sadece lojik toplamlarından oluşurlar. Örnek: a'+b'+c+d Toplam (sum) yerine monal sözcüğü de kullanılır. Çarpım böleni, bir çarpımdan (monomdan) bir ya da daha fazla değişken kaldırıldığında elde edilen çarpım ifadesidir. Örnek: ab'cd nin bazı bölenleri: a, b',c,d,ab', b'c, acd,b'd.27 İfadelerin yazılma şekilleri: ΣΠ: Lojik çarpımların lojik toplamı ya da monomların veya lanması bc'+ad+a'b gibi ΠΣ: Lojik toplamların lojik çarpımı ya da monalların "ve"lenmesi (a+b+c')(a+d)(a'+b) gibi ir lojik ifadenin değeri: E() ifadesi =(x,... x n ) vektörünün her değeri için ={,} kümesinden bir değer üretir. u değerler ifadenin doğruluk tablosunu oluşturur. Örnek: E() =x x 2 +x 3 ifadesinin doğruluk tablosu x x 2 x 3 E().28

15 Sıra bağıntısı: 'nin elemanları arasında şu sıra bağıntısı tanımlanır: <, 'den "önce gelir" ya da "küçüktür" diye okunur. una göre vektörleri arasında da bir sıra bağıntısı tanımlanabilir. Eğer vektörünün tüm elemanları 2 vektörünün aynı sıradaki elemanlarından yukarıda tanımlandığı anlamda "küçük"se (önce geliyorsa) ya da eşitse 2 sıralaması geçerlidir. Örnek: =, 2 = ise 2 dir. İki vektör arasında sıra bağıntısı olmayabilir. Örneğin, =, 2 = ise ile 2 arasında sıra bağıntısı yoktur..29 İfadeler üzerinde sıra bağıntısı: E () E 2 () yazılışı, 'in tüm kombinezonları için E 'in alacağı değerlerin E 2 'nin alacağı değerlere eşit ya da küçük olduğunu belirtir. Örnek : x x 2 x 3 E () E 2 () E () in değerini aldığı her giriş kombinezonu için E 2 () de değerini alır. Tüm giriş kombinezonları () uzayı E 2 E E 2 () nin değeri ürettiği (örttüğü) kombinezonlar E () nin değeri ürettiği (örttüğü) kombinezonlar E () E 2 () ise E (), E 2 () yi gerektirir, E () E 2 (), E 2 (), E () i örter..3

16 E F E ve F lojik ifadeler olmak üzere, E F E E+F ve E F F E+F eşitsizlikleri her zaman geçerlidir. Yutma özellikleri: E+E F = E ve düali E(E+F) = E Kanıt: E(E+F) = EE+EF = E+EF = E(+F) = E E+E' F = E+F ve düali E(E'+F) = E F Kanıt: E+E'F = (E+E')(E+F) = (E+F) = E+F.3 iform kareler: E ve E 2 içinde x olmayan iki ifade olsun: E (x 2,... x n ) ve E 2 (x 2,... x m ) E=x E +x 'E 2 ve düali E D = (x +E D )(x '+E 2D ) ifadeleri x in biform kareleridir. Örnek: x (x 2 +x 3 ')+x '(x 3 +x 4 ), (x +x 2 +x 3 ')(x '+x 3 +x 4 ) ve (x +x 2 x 3 ')(x '+x 3 x 4 ) x 'in biform karelerine dair örneklerdir. Konsensüs: Çarpımların toplamı şeklinde yazılmış olan xe + x'e 2 biform karesinde E E 2 kesişimine konsensüs adı verilir. Toplamların çarpımı şeklinde yazılmış olan (x+e )(x'+e 2 ) biform karesinde E +E 2 toplamı konsensüstür. Teorem: iform kareler konsensüslerini yutarlar. xe + x'e 2 + E E 2 = xe + x'e 2 (x+e )(x'+e 2 )(E +E 2 ) = (x+e )(x'+e 2 ) Teorem: iform kareler arasında dönüşme özelliği vardır. xe + x'e 2 =(x+e 2 )(x'+e ).32

17 Lojik Fonksiyonlar Lojik fonksiyonlar n kümesi (n elemanlı 2'li kodların kümesi) üzerinde tanımlanırlar ve üçe ayrılırlar: Yalın fonksiyonlar: Çok girişli bir çıkışlı x x 2 x 3 y x x 2 x 3 f y.33 Genel fonksiyonlar: Çok girişli, çok çıkışlı x x 2 x 3 y y 2 x y x 2 f x 3 y 2.34

18 Tümüyle tanımlanmamış fonksiyonlar: azı giriş kombinezonları için fonksiyonun alacağı değer belirsizdir. Örnek D sayıları arttıran fonksiyon: I I2 I4 I8 O O2 O4 O8 u girişler için devrenin (fonksiyonun) çıkışlarının alacağı değer belirsizdir. elirsiz değerleri göstermek için yerine Φ sembolü de kullanılır. I8 I4 I2 I O8 O4 O2 O.35 Yalın Lojik Fonksiyonlar: n ;! y ; y=f() n kümesinden değer alan kombinezonuna f fonksiyonu uygulandığında kümesinden değer alan bir y değeri elde edilir ve bu değer tektir. Yalın lojik fonksiyonlar n kümesinin kombinezonlarını 2 sınıfa ayırırlar: a) Doğru kombinezonlar sınıfı. f() in değeri karşı düşürdüğü kombinezonlardan oluşur. b) Yanlış kombinezonlar sınıfı. f() in değeri karşı düşürdüğü kombinezonlardan oluşur. n girişli 2**(2**n) adet yalın lojik fonksiyon vardır. İki girişli 6 adet yalın lojik fonksiyon vardır: x y f z.36

19 2 girişli 6 adet yalın lojik fonksiyon (F F5) Y F F F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F F F2 F3 F4 F5 VE Y Y Y D Y VEY Y = Y TVEY Y ( VEY Y)' Y' ' TVE Y ( VE Y)'.37 Lojik Fonksiyonların Gösterilişi ynı lojik fonksiyon farklı yöntemler ile gösterilebilir. u fonksiyona ilişkin devre tasarlanırken bu gösterilimlerden uygun olanı kullanılır. Doğruluk Tablosu İle Gösterilim Tüm giriş kombinezonları için çıkışın (veya çıkışların) alacağı değerler tablo halinde yazılır. Sayısal Gösterilim Giriş kombinezonları 2'li sayılarla kodlandığına göre her kombinezona tabanında bir numara verilir. Fonksiyon hangi giriş kombinezonları için lojik "" değeri (ya da lojik "") üretiyorsa o kombinezonların numaraları listelenir..38

20 Örnek: Tümüyle tanımlanmış, yalın bir fonksiyonun gösterilimi: No x x 2 y 2 3 y=f(x,x 2 )= (,2) ynı fonksiyon lojik üreten kombinezonlar ile de gösterilebilir. y=f(x,x 2 )= (,3) Örnek: Tümüyle tanımlanmış, genel bir fonksiyonun gösterilimi: Her çıkış için yukarıdaki gösterilim uygulanır. No x x 2 y y y =f(x,x 2 )= (,2) y 2 =f(x,x 2 )= (,) ynı fonksiyon lojik üreten kombinezonlar ile de gösterilebilir. y =f(x,x 2 )= (,3) y 2 =f(x,x 2 )= (2,3).39 Örnek: Tümüyle tanımlanmamış, genel bir fonksiyonun gösterilimi: u durumda sadece lojik "" veya lojik "" üreten çıkışları göstermek yeterli değildir. No x x 2 y y 2 Φ 2 Φ 3 Φ y =f(x,x 2 )= () + (,3) veya y =f(x,x 2 )= () + Φ (2) veya y =f(x,x 2 )= (,3) + Φ (2) y 2 =f(x,x 2 )= () + (2) veya y 2 = f(x,x 2 )= () + Φ (,3) veya y 2 = f(x,x 2 )= (2) + Φ (,3).4

21 Grafik Gösterilim Girişi kombinezonları n kümesinin elemanları olduklarına göre n boyutlu uzaydaki bir hiperküpün köşelerini oluştururlar. Fonksiyonun doğru noktalarını (lojik ) üreten kombinezonlar küp üzerinde işaretlenir. Fonksiyonun giriş sayısı küpün boyutunu belirler. n giriş n boyutlu küp oole Küpleri: -boyutlu Y 2-boyutlu 3-boyutlu Y Z Y Z W 4-boyutlu.4 Örnek: F Örnek: F Giriş sayısı arttıkça çizimin zorlaşması nedeniyle, oole küpleri lojik fonksiyonların gösterilmesi için pratikte kullanılan bir yöntem değildir. Grafik gösterilim lojik fonksiyonların anlaşılması ve bundan sonraki konuların anlatılması açısından yararlıdır..42

22 Karnaugh Diyagramları (Karnaugh Map) oole küplerinin düzlem üzerindeki iz düşümleri olarak düşünülebilir. No F veya 2 3 Tabloların gözleri Gray koduna göre düzenlenir. Yan yana gözlere ait kombinezonların bitişik olması sağlanır girişli bir fonksiyona ilişkin Karnaugh diyagramı: Örnek: D No F

23 ebirsel Gösterilim Çarpımların toplamı (ΣΠ) şeklindeki cebirsel gösterilime doğruluk tablosundan. kanonik açılım ile geçilir. Toplamların çarpımı (ΠΣ) şeklindeki cebirsel gösterilime doğruluk tablosundan 2. kanonik açılım ile geçilir.. Kanonik çılım: Çarpımların Toplamları ΣΠ şeklindeki gösterilim fonksiyonun "doğru" noktalarına ilişkin çarpımların (monomların) toplamından oluşur. u çarpımlara minterim denir. ir minterimde fonksiyonun tüm giriş değişkenleri bulunur ve her minterim sadece bir doğru kombinezona karşı gelir. "Doğru" değer üreten kombinezonlar: F = Minterimlerin Toplamı: F = '' + ' + ' + ' + F F' Fonksiyonun tümleyeni de benzer şekilde "yanlış" noktalardan hareket edilerek yazılır: F' = ''' + '' + ''.45 Minterimlerde her değişkenin ya kendisi ya da tümleyeni yer alır (İkisi aynı anda olamaz). Kanonik açılım fonksiyonun en basit cebirsel ifadesi değildir. Çoğunlukla kanonik açılımlar yalınlaştırılabilir (basitleştirilebilir). minterimler '''m '' m '' m2 ' m3 '' m4 ' m5 ' m6 m7 3 değişkenli minterimlerin simgesel gösterilimi F nin Kanonik açılımı: F(,, ) = Σm(,3,5,6,7) = m + m3 + m5 + m6 + m7 = '' + ' + ' + ' + F = Σ,, (,3,5,6,7) şeklinde de yazılabilir. Kanonik açılımın basitleştirilmesi F(,, ) = '' + ' + ' + + ' = ('' + ' + ' + ) + ' = ((' + )(' + )) + ' = + ' = ' + = +.46

24 2. Kanonik çılım: Toplamların Çarpımı ΠΣ şeklindeki gösterilim fonksiyonun "yanlış" noktalarına ilişkin maksterimlerin çarpımından oluşur. Maksterimler tüm değişkenleri içeren toplamlardır (monallardir). Maksterimler oluşturulurken, giriş kombinezonunda değerine karşı düşen değişkenlerin kendisi, değeri karşı düşenlerin tümleyeni alınır (Minterim oluşturmanın tersi). "Yanlış" değer üreten kombinezonlar: F = Maksterimlerin Çarpımı: F = ( + + ) ( + ' + ) (' + + ) F F' Fonksiyonun tümleyeninin 2.kanonik açılımı benzer şekilde doğru" noktalardan hareket edilerek yazılır: F' = ( + + ') ( + ' + ') (' + + ') (' + ' + ) (' + ' + ').47 Maksterimlerde her değişkenin ya kendisi ya da tümleyeni yer alır (İkisi aynı anda olamaz). Kanonik açılım fonksiyonun en basit cebirsel ifadesi değildir. Çoğunlukla kanonik açılımlar indirgenebilir (basitleştirilebilir). maksterimler ++ M ++' M +'+ M2 +'+' M3 '++ M4 '++' M5 '+'+ M6 '+'+' M7 3 değişkenli maksterimlerin simgesel gösterilimi F nin kanonik açılımı: F(,, ) = ΠM(,2,4) = M M2 M4 = ( + + ) ( + ' + ) (' + + ) F = Π,, (,2,4) şeklinde de yazılabilir. İndirgeme F(,, ) = ( + + ) ( + ' + ) (' + + ) = ( + + ) ( + ' + ) = ( + + ) (' + + ) = ( + ) ( + ).48

25 Kanonik çılımların Dönüştürülmesi Minterim'den maksterime dönüşüm. kanonik açılımda yer almayan minterimlerin indisleri maksterim olarak seçilir F(,,) = Σm(,3,5,6,7) = ΠM(,2,4) Maksterim'den minterime dönüşüm 2. kanonik açılımda yer almayan maksterimlerin indisleri minterim olarak seçilir F(,,) = ΠM(,2,4) = Σm(,3,5,6,7) Mintermier ile tümleyen ifadenin bulunması çılımda yer almayan minterimler seçilir F(,,) = Σm(,3,5,6,7) F'(,,) = Σm(,2,4) Maksterimler ile tümleyen ifadenin bulunması çılımda yer almayan maksterimler seçilir F(,,) = ΠM(,2,4) F'(,,) = ΠM(,3,5,6,7).49 Kanonik çılımlar ve De Morgan Teoremi Çarpımların Toplamı (Fonksiyonun tümleyeni) F' = ''' + '' + '' De Morgan (F')' = (''' + '' + '')' F = ( + + ) ( + ' + ) (' + + ) 2. kanonik açılım elde edildi Toplamların Çarpımı (Fonksiyonun tümleyeni) F' = ( + + ') ( + ' + ') (' + + ') (' + ' + ) (' + ' + ') De Morgan (F')' = ( ( + + ')( + ' + ')(' + + ')(' + ' + )(' + ' + ') )' F = '' + ' + ' + ' +. kanonik açılım elde edildi.5

26 Lojik ağlaçlar (Logic Gates) NSI/IEEE-973 NSI/IEEE-984 SÜRÜÜ (UFFER) Y= Y y Y TÜMLEME (NOT) ' Y y Y VE (ND) Y Y Z & y z Y Z VEY (OR) + Y Y Z y z Y Z 2. TVE (NND) (xy)' Y Z y & z Y Z TVEY (NOR) (x+y)' Y Z y z Y Z Y D (OR) xy'+x'y Y Y Z y = z Y Z EŞDEĞER (NOR) xy+x'y' Y Y Z y = z Y Z 2.2

27 ." Tümdevreler ( Integrated ircuits I ) Lojik bağlaçlar, tümdevrelerin içinde yer alacak şekilde üretilir ve pazarlanırlar. ir tümdevrede, büyüklüğüne ve bağlacın giriş sayısına bağlı olarak birden fazla lojik bağlaç yer alır. Tümdevreler, farklı şekillerde üretilirler. Laboratuvar ortamında en çok karşılaşacağınız tip, dikdörtgen şeklinde olan, bacakları iki sıra halinde kenarlarda yer alan tümdevrelerdir. u tümdevreler dual in-line pin (DIP) olarak adlandırılırlar. Dual in-line Pin (DIP) Tümdevreler pin pin 28 pin pin 4 pin pin 2 pin 8." pin pin 5 (a).".3" (b).3" (c).6" xx Serisi Tümdevrelere Örnekler Tümdevreler ile ilgili bilgiler tümdevre kataloglarında yer alırlar. 2.4

28 Pozitif ve Negatif Lojik Sıfır ve değerini alan girişler ve çıkışlar, genel olarak, fiziksel bir büyüklüğün 2 farklı seviyesine karşı düşer: Gerilim, akım, basınç v.b. Yüksek seviyeye, alçak seviyeye karşı düşürülüyorsa buna pozitif lojik, aksi halde negatif lojik denir. L (Low) düşük seviye, H (High) yüksek seviye olmak üzere, 2 girişli çıkışlı bir kapının giriş-çıkış ilişkisi aşağıda gösterilmiştir. Pozitif lojik kullanıldığı takdirde fiziksel devre bir VE kapısı, negatif lojik kullanıldığı takdirde de bir VEY kapısı gerçeklemektedir. ir lojik devrenin tümünde ya pozitif ya da negatif lojik kullanılır. Fiziksel Devre Girişler: Çıkış: x x2 z L L L L H L H L L H H H Pozitif Lojik Girişler: Çıkış: x x2 z Negatif Lojik Girişler: Çıkış: x x2 z 2.5 Lojik Fonksiyonların ağlaçlar İle Gerçeklenmesi Çarpımların Toplamı VE (ND) kapıları çarpımları gerçekler VEY (OR) kapısı toplamayı gerçekleştirir Toplamların Çarpımı VEY (OR) kapıları toplamaları gerçekler VE (ND) kapısı çarpımı gerçekleştirir 2.6

29 F F' Doğruluk tablosu verilen fonksiyonun lojik bağlaçlar ile gerçeklenmesi F(,, )= Σm(,3,5,6,7). kanonik açılım = '' + ' + ' + ' + = F = + = F2 (sadeleştirilmiş) F(,, )= ΠM(,2,4) 2. kanonik açılım = ( + + ) ( + ' + ) (' + + ) = F3 = ( + ) ( + ) = F4 (sadeleştirilmiş) F = F2 = F3 = F4 F. kanonik açılım (çarpımların topl.) F2 indirgenmiş çarpımların topl. F3 2. kanonik açılım (toplamların çarp.) F4 indirgenmiş toplamların çarp. ir lojik ifade farklı şekillerde lojik bağlaçlar kullanılarak gerçeklenebilir. Örnek: Z = ' ' ( + D) = (' (' ( + D))) D Z 3 girişli kapı D Z '(+D) +D Sadece 2 girişli kapılar Elinizde var olan fiziksel kapılara göre lojik ifadeyi düzenlemek gerekir. 2.8

30 Yetkin İşlemler VE, VEY, TÜMLEME işlemleri ile tüm lojik fonksiyonları gerçeklemek mümkündür (oole cebrinin tanımından). u nedenle bu işlemler yetkin bir işlem kümesi oluştururlar. u işlemelerin dışında TVE (NND) işlemi de tek başına yetkin bir işlemdir. enzer şekilde TVEY (NOR) da yetkin bir işlemdir. VE, VEY, TÜMLEME işlemlerinin her birini sadece TVE veya TVEY kapıları kullanarak gerçekleştirmek mümkündür. simgesi TVE işlemini, / simgesi ise TVEY'yı göstermek için kullanılmıştır. una göre aşağıdaki eşitlikler yazılabilir. x'=x x = (x x)' = x' x'= x/x x x' x x' x y=(x y)' x y=(x' / y') de Morgan x+y=(x' y') de Morgan x+y=(x / y)' 2.9 TVE - TVEY rasındaki İlişki TVE - TVEY Dönüşümleri de Morgan: ( + )'= ' ' ( )' = ' + ' diğer bir yazım şekli: + = (' ')' ( ) = (' + ')' una göre: Girişleri tümlenmiş TVE kapısı, VEY kapısının eşdeğeridir. Girişleri tümlenmiş TVEY kapısı, VE kapısının eşdeğeridir. Girişleri tümlenmiş VEY kapısı, TVE kapısının eşdeğeridir. Girişleri tümlenmiş VE kapısı, TVEY kapısının eşdeğeridir. 2.

31 Lojik fonksiyonların TVE veya TVEY bağlaçları ile gerçeklenmesi TVE yetkin bir işlem olduğundan tüm lojik fonksiyonlar sadece TVE bağlaçları kullanılarak gerçeklenebilir. ynı durum TVEY bağlaçları için de geçerlidir. Çarpımların toplamı (VElerin VEYsı) şeklindeki fonksiyonların TVE ile gerçeklenmesi: u tür devrelerde tüm VE kapıları ve VEY kapılarının yerine TVE kapıları yerleştirilebilir. u değişiklik devrenin çıkış fonksiyonunu etkilemez. şağıda gösterildiği gibi VE kapılarının çıkışları, VEY kapılarının da girişlerine tümleme elemanı yerleştirilirse TVE kapıları elde edilir. ir hatta peş peşe iki tümleme elemanı yerleştirilmesi herhangi bir değişikliğe neden olmaz. Z Z D D 2. ebirsel olarak sınama: Z Z D D Z = [ ( )' ( D)' ]' = [ (' + ') (' + D') ]' = [ (' + ')' + (' + D')' ] = ( ) + ( D) 2.2

32 VE lerin VEY lanması şeklinde devreler sadece TVEY kullanılarak da gerçekleştirilebilir. u durumda girişlere ve çıkışa tümleme elemanları yerleştirmek gerekir. D Z NOR NOR D NOR Z D NOR NOR Z. dım 2. dım Hatırlatma: Tümleme bağlaçları TVE bağlaçları ile gerçeklenebilir. 2.3 Toplamların çarpımı (VEY ların VE si) şeklindeki fonksiyonların TVEY ile gerçeklenmesi: u tür devrelerde tüm VEY kapıları ve VE kapılarının yerine TVEY kapıları yerleştirilebilir. u değişiklik devrenin çıkış fonksiyonunu etkilemez. şağıda gösterildiği gibi VEY kapılarının çıkışlarına, VE kapılarının da girişlerine tümleme elemanı yerleştirilirse TVEY kapıları elde edilir. ir hatta peş peşe iki tümleme elemanı yerleştirilmesi herhangi bir değişikliğe neden olmaz. Z Z D D Z D 2.4

33 Lojik Fonksiyonların Yalınlaştırılması (İndirgenmesi) ir lojik fonksiyonun birçok cebirsel ifadesi vardır. Yalınlaştırmada amaç, belli bir maliyet kriterine göre bu cebirsel ifadeler içinden en uygun olanını seçmektir. Maliyet kriteri uygulamaya göre değişebilir. Örneğin tasarım aşamasında istenen özellikler şunlar olabilir: İfadenin az sayıda çarpım (ya da toplam) içermesi, her çarpımda az sayıda değişken olması, devrenin aynı tip bağlaçlar (örneğin TVE) ile tasarlanabilmesi, elde var olan bağlaçların kullanılabilmesi gibi. Yalınlaştırma İle İlgili Tanımlar sal Çarpım (Temel İçeren) Prime Implicant : ir fonksiyonun. kanonik açılımını oluşturan çarpımlar (minterimler) bu fonksiyon tarafından örtülürler (içerilirler). uradaki her çarpım sadece bir "doğru" noktaya karşı gelir. u çarpımlardan bazılarının bölenleri de o fonksiyon tarafından örtülürler. una göre. kanonik açılımda yer alan bazı çarpımlar birleştirerek daha az değişken içeren ve birden fazla "doğru" noktaya karşı gelen yeni çarpımlar elde edilebilir. 3. F F(,, )= Σm(,3,5,6,7). kanonik açılım = '' + ' + ' + ' + u çarpımlar, asal çarpım (temel içeren) değildir, çünkü onlardan daha az değişkene sahip olan bölenleri de bu fonksiyonun içinde yer almaktadır. u durum basitleştirme sonucu görülmüştü ve fonksiyon için aşağıdaki ifade elde edilmişti. F= + una göre asal çarpım (temel içeren) kendi bölenleri fonksiyonda yer almayan çarpımlardır. Örneğin yukarıdaki örnekte ' bir asal çarpım değildir, çünkü onun böleni olan de fonksiyon tarafından örtülmektedir. monomu ise bir asal çarpımdır, çünkü onun bölenleri ve fonksiyon tarafından örtülmez (daha fazla üretiyorlar, fonksiyonun ifadesinde yer alamazlar). Yalınlaştırma işlemi 2 aşamadan oluşmaktadır:. Tüm asal çarpımlar kümesinin (Tüm temel içerenlerin) bulunması 2. Fonksiyonun tüm "doğru" noktalarını örtecek şekilde, asal çarpımlardan en uygun olanların seçilmesi. 3.2

34 sal Çarpımların ulunması: Çarpım terimlerini (monomları) birleştirmek için oole cebrinden yararlanılır. u işlemi özellikle büyük fonksiyonlar için elle kağıt üstünde yapmak zor olur. u işlemler bilgisayar programları ile yapılır. Konuyu anlayabilmek için kağıt üzerinde uygulanabilecek bir yöntem ise doğruluk tablosunda "" üreten kombinezonları inceleyerek, bir veya daha fazla değişkenin sabit kaldığı kombinezonları birleştirmektir. Değeri sabit kalan değişkenler çarpımda kalır, değişenler çarpımdan çıkarılır. Örnek: F F = ''+' = ('+)' = ' sabit. Her ikisinde de =. değişkeni yeni çarpımda yer alacak. nın değeri değişiyor. yeni çarpımda olmayacak. = olduğu için yeni çarpım: ' 3.3 Yapılan işlemin oole küpünde gösterilmesi: Yapılan işlemin Karnaugh diyagramında gösterilmesi: F 2 3 oyutu olan iki nokta birleştirilerek boyutu olan bir çizgi elde edildi. u çizgi ='ı yani nin tümleyenini temsil etmektedir. u tür gruplamaları Karnaugh diyagramları ile yapmak daha kolaydır. itişiklilik özelliğinden yararlanılarak komşu noktalar gruplanabilir. Yukarıda gruplamanın yapıldığı sütunda = (sabit), ise değişkendir. u sütun nin tümleyenini temsil etmektedir. 3.4

35 ynı anda birden fazla değişken sabit kalıyorsa gruplama sonucu bu değişkenlerin çarpımı oluşur. Örnek: F =, = ve sabit. ise değişiyor. u gruplama sonucu çarpımı oluşur =, = ve sabit. ise değişiyor. u gruplama sonucu çarpımı oluşur 3.5 Gruplamalarda 2'den daha fazla nokta da birleştirilebilir. Örnek: F(,,) = Σ(4,5,6,7) = ve sabit. ve ise değişiyor. Küpün bu yüzü yı temsil ediyor

36 sal Çarpımların Karnaugh Diyagramları İle ulunması: Karnaugh diyagramlarındaki bitişiklilik ve çevrimlilik özelliği nedeniyle komşu gözler arasındaki geçişlerde sadece değişken (giriş) değer değiştirir, diğerleri sabit kalır. Girişlerin sabit kaldığı komşu gözlerdeki "doğru" noktaları 2'li, 4'lü, 8'li gruplarda toplamak mümkündür. şağıda 3 ve 4 değişkenli Karnaugh diyagramları için girişlerin sabit kaldıkları alanlar gösterilmiştir ynı diyagram, değişkenler farklı şekillerde yerleştirilerek de yandaki gibi oluşturulabilir D D 3.7 Örnek: şağıda verilen fonksiyonun asal çarpımlarının bulunması F(,,,D) = Σ(,2,5,8,9,,,2,3,4,5) F D sal Çarpımlar:, 'D, 'D D sal çarpımlar bulunurken fonksiyonun "doğru" noktaları mümkün olan en büyük gruplara yerleştirilirler. ir grupta yer alan "doğru" nokta daha küçük bir gruba yerleştirilmez. Örneğin ayrı ayrı 4 'lü gruplarda bulunan iki nokta birleştirilerek 2'li yeni bir grup oluşturmaya gerek yoktur. ncak noktalardan biri daha büyük bir gruba ait değilse (yukarıdaki gibi) o nokta gruptaki başka bir nokta ile kümelenebilir. 3.8

37 Tüm sal Çarpımlar Kümesinin (Temel İçeren Tabanının) ulunması: Lojik devre tasarımında yalınlaştırma işlemi o fonksiyonun bütün asal çarpımlarının bulunmasıyla başlar. ütün asal çarpımların oluşturduğu kümeye tüm asal çarpımlar kümesi (tüm temel içeren tabanı) denir. İndirgemenin 2. aşamasında fonksiyonun bütün doğru noktalarını örtecek şekilde, tüm asal çarpımlar kümesinden en uygun asal çarpımlar seçilir. Fonksiyonun bütün doğru noktalarını örten asal çarpımların oluşturduğu kümeye yeterli taban denir. Yeterli tabandan bir asal çarpım kaldırılırsa fonksiyonun tüm doğru noktaları örtülmemiş olur. una göre bir fonksiyonu yalınlaştırma işlemi en uygun (ucuz) yeterli tabanı bulmak demektir. Örnek: şağıdaki fonksiyonun tüm asal çarpımlar kümesini bulunuz. sal Çarpımlar: ', ',',',',' 3.9 ynı fonksiyonun bir çok yeterli tabanı olabilir. F(,,)= ' F(,,)= ' + ' + ' + ' F(,,)= ' + ' + ' + ' + ' Yeterli tabandan bir asal çarpım kaldırıldığında tüm doğru noktalar kapsanmamış olur. F(,,)= ' + ' + ' + '

38 aşlıca Nokta ve Gerekli sal çarpım: azı fonksiyonlarda bazı doğru noktalar sadece bir asal çarpım tarafından örtülürler. u noktalara başlıca nokta denir. u noktaları örten asal çarpımlara da gerekli asal çarpım denir. Gerekli asal çarpımlar fonksiyonun yeterli tabanında mutlaka yer alırlar. Çünkü başlıca noktaların başka asal çarpımlar tarafından örtülmesi mümkün değildir. Örnek: F D D Tüm sal Çarpımlar Kümesi 'D, ', ', D', 'D', 'D aşlıca Noktalar Gerekli çarpımlar 'D 'D' ' D' 'D uradaki gerekli asal çarpımlar fonksiyonun tüm doğru noktalarını örtmektedir. F= 'D + 'D' + ' + D' + 'D 3. Örnek: ir fonksiyonun tüm asal çarpımlar kümesinin, başlıca noktalarının ve gerekli çarpımların bulunması. F D Tüm sal Çarpımlar Kümesi: D,, ',, 'D', D' D aşlıca Noktalar Gerekli çarpımlar 'D' D 3.2

39 Yalınlaştırma: Uygun sal Çarpımların Seçilmesi Tüm asal çarpımlar kümesi bulunduktan sonra, fonksiyonun tüm doğru noktalarını örtecek şekilde en uygun (ucuz) asal çarpımların seçilmesi gerekir. u seçimi yapmak için kullanılan yöntemlerden biri seçenekler tablosu yöntemidir. Seçenekler Tablosu: Fonksiyonun asal çarpımları bulunduktan sonra bu çarpımlara isimler verilir. Örneğin,,,.. gibi. Verilen bir maliyet kriterine göre her asal çarpımın maliyeti hesaplanır. Seçenekler tablosu bir matris şeklinde hazırlanır. Tablonun satırlarında, fonksiyonun asal çarpımlarının isimleri yer alır. Sütunlarda ise o fonksiyonun doğru noktalarının numaraları bulunur. En son sütuna asal çarpımların maliyetleri yazılır. ir asal çarpım bir noktayı örtüyorsa matrisin ilgili gözüne konur. 3.3 Örnek: Verilen fonksiyonun tüm asal çarpımlar kümesini bulunuz ve seçenekler tablosunu oluşturunuz. f(x, x 2, x 3, x 4 )=Σm(2, 4, 6, 8, 9,, 2, 3, 5) Maliyet hesabında her değişken 2 birim, her tümleme işlemi birim maliyete sahip olacaktır. f x x 3 3 x 4 x x 2 x x 2 x 4 Tüm sal Çarpımlar Kümesi: x x 3 ' x 2 x 3 ' x 4 ' x 'x 2 x 4 ' x x 2 x 4 x 'x 3 x 4 ' x 2 'x 3 x 4 ' x x 2 ' x 4 ' Semboller: D E F G Maliyetler: Örttüğü Noktalar:8,9,2,3 4,2 4, 6 3, 5 2, 6 2, 8, 3.4

40 x x 3 ' Tüm sal Çarpımlar Kümesi: x 2 x 3 ' x 4 ' x 'x 2 x 4 ' x x 2 x 4 x 'x 3 x 4 ' x 2 'x 3 x 4 ' x x 2 ' x 4 ' Semboller: D E F G Maliyetler: Örttüğü Noktalar:8,9,2,3 4,2 4, 6 3, 5 2, 6 2, 8, sal Çarpımlar D E F G Fonksiyonun "doğru" noktaları Maliyet Seçenekler Tablosunun İndirgenmesi. aşlıca noktalar belirlenir. ir sütunda sadece bir tane varsa o sütundaki nokta başlıca noktadır. aşlıca noktayı örten asal çarpım (gerekli asal çarpım) mutlaka fonksiyonun ifadesinde yer alacağından seçilir. u asal çarpıma ait satır ve onun örttüğü noktalara ait sütunlar tablodan kaldırılır. 2. Tabloda j. satırın olan her gözünde i. satırda da varsa i. satır, j. satırı örtüyor denir. Yani j. satırın örttüğü bütün noktaları i. satır da örtüyordur. Eğer i. satır j. satırı örtüyorsa ve i. satırdaki maliyet j. satırdaki maliyetten küçükse veya ona eşitse j. satır (örtülen satır) tablodan kaldırılır. 3. ir sütun başka bir sütunu örtüyorsa örten sütun (daha fazla 'e sahip olan) tablodan silinir. u kurallar peş peşe uygulanarak fonksiyonun doğru noktaları toplam maliyet en az olacak şekilde örtülmeye çalışılır. 3.6

41 Örnek: şağıda verilen fonksiyona ait seçenekler tablosunu indirgenmesi. f(x, x 2, x 3, x 4 )=Σm(2, 4, 6, 8, 9,, 2, 3, 5) x x 3 ' x 2 x 3 ' x 4 ' x 'x 2 x 4 ' x x 2 x 4 x 'x 3 x 4 ' x 2 'x 3 x 4 ' x x 2 ' x 4 ' D E F G Fonksiyonun "doğru" noktaları Maliyet dım: u tabloda 9 ve 5 başlıca noktalardır. ve D gerekli çarpımlar oldukları için onlara ait satır ve örttükleri sütunlar tablodan kaldırılır. u çarpımlar daha sonra sonucu oluştururken kullanılmak üzere işaretlenir. 3.7 x 2 x 3 ' x 4 ' x 'x 2 x 4 ' x 'x 3 x 4 ' x 2 'x 3 x 4 ' x x 2 ' x 4 ' Maliyet x 8 x x 8 E x x 8 F x x 8 G x 8 2. dım: u tabloda, 'yi örter. Maliyetleri aynı olduğu için örtülen satır() tablodan silinir. enzer şekilde F, G'yi örter ve maliyetleri aynıdır. u nedenle G satırı tablodan silinir. u çarpımlar sonuç ifadede yer almayacaktır Maliyet x 'x 2 x 4 ' x x 8 x 'x 3 x 4 ' E x x 8 x 2 'x 3 x 4 ' F x x 8 3. dım: u tabloda 4 ve başlıca noktalardır. u nedenle ve F çarpımlarını almak gerekir. u iki asal çarpım seçildiğinde tüm noktalar örtülmüş olur. 3.8

42 Sonuç: İşaretlenmiş olan asal çarpımlar fonksiyonun en ucuz ifadesini oluştururlar. Seçilen asal çarpımlar: + D + + F Toplam Maliyet= = 27 f(x, x 2, x 3, x 4 ) = x x 3 ' + x x 2 x 4 + x 'x 2 x 4 ' + x 2 'x 3 x 4 ' Karnaugh diyagramı ile hangi asal çarpımların seçildiğini görebiliriz. f x 3 x 4 x x 2 x 3 x x 4 x 2 u seçimde tüm ler örtülmeli ve bir fazlalık olmamalı. Seçilmiş olan asal çarpımlar bir yeterli taban oluşturmalı. Yani çarpımlardan biri kaldırıldığında tüm noktalar örtülememeli. x x 3 ' x 'x 2 x 4 ' x x 2 x 4 x 2 'x 3 x 4 ' 3.9 Tümüyle Tanımlanmamış Fonksiyonların Yalınlaştırılması Hatırlatma:Tümüyle tanımlanmamış fonksiyonlarda, bazı giriş kombinezonları için fonksiyonun alacağı değer belirsizdir (önemli değildir). Çünkü bu giriş kombinezonları ilgili devrede fiziksel olarak oluşamazlar ya da tasarımcı tarafından yasaklanmışlardır. Örnek D sayıları arttıran devre: I8 I4 I2 I O8 O4 O2 O I O I2 O2 I4 O4 I8 O8 u girişler için devrenin (fonksiyonun) çıkışlarının alacağı değer belirsizdir. elirsiz değerleri göstermek için yerine Φ sembolü de kullanılır. 3.2

43 Yalınlaştırma işleminde, belirsiz değerler (Φ) en ucuz ifadeyi elde edecek şekilde gerektiğinde lojik gerektiğinde lojik olarak seçilebilirler. Tüm asal çarpımlar kümesi bulunurken daha basit çarpımlar elde etmek için (Karnaugh diyagramında daha büyük gruplamalar yapabilmek için) Φ ler olarak seçilir. Seçenekler tablosunda kapsanması gereken noktalar yazılırken Φ ler olarak seçilir. Çünkü bu noktaların çarpımlar tarafından örtülmesine gerek yoktur. Örnek: şağıda verilen tümüyle tanımlanmamış fonksiyonu en düşük maliyetle tasarlayınız. f(x, x 2, x 3, x 4 )=Σ m (2, 4, 8, 9, 3, 5 ) + Σ Φ (6,,2) (Not: f(x, x 2, x 3, x 4 )= (2, 4, 8, 9, 3, 5 ) + Φ (6,,2) şeklinde de yazılabilir.) Maliyet hesabında her değişken 2 birim, her tümleme işlemi birim maliyete sahip olacaktır. 3.2 f x 3 x 4 x x 2 x x 3 Φ Φ Φ x 4 x 2 sal çarpımlar bulunurken Φ ler olarak seçilir. Tüm sal Çarpımlar Kümesi: x x 3 ' x 2 x 3 ' x 4 ' x 'x 2 x 4 ' x x 2 x 4 x 'x 3 x 4 ' x 2 'x 3 x 4 ' x x 2 ' x 4 ' Semboller: D E F G Maliyetler: Örttüğü Noktalar: 8,9, ,

44 x x 3 ' Tüm sal Çarpımlar Kümesi: x 2 x 3 ' x 4 ' x 'x 2 x 4 ' x x 2 x 4 x 'x 3 x 4 ' x 2 'x 3 x 4 ' x x 2 ' x 4 ' Semboller: D E F G Maliyetler: Örttüğü Noktalar: 8,9, , sal Çarpımlar Fonksiyonun "doğru" noktaları Maliyet D 6 E 8 F 8 G 8 Tablo oluşturulurken Φ ler olarak seçilir. u noktaların örtülmesine gerek olmadığından Φ ler seçenekler tablosunda yer almazlar sal Çarpımlar Fonksiyonun "doğru" noktaları Maliyet D 6 E 8 F 8 G 8. dım: u tabloda 9 ve 5 başlıca noktalardır. ve D gerekli çarpımlar oldukları için onlara ait satır ve örttükleri sütunlar tablodan kaldırılır. u çarpımlar daha sonra sonucu oluştururken kullanılmak üzere işaretlenir. 3.24

45 x 2 x 3 ' x 4 ' x 'x 2 x 4 ' x 'x 3 x 4 ' x 2 'x 3 x 4 ' 2 4 Maliyet x 8 x 8 E x 8 F x 8 2. dım: ve aynı noktaları örtmektedir ve maliyetleri eşittir. u nedenle bu iki çarpım arasında bir seçim yapmak mümkün değildir. Verilen maliyet kriterine göre herhangi biri seçilebilir. ynı durum E ve F çarpımları için de geçerlidir. una göre fonksiyon aşağıdaki ifadelerden herhangi biri kullanılarak gerçeklenebilir: f= + D + + E = x x 3 '+ x x 2 x 4 + x 2 x 3 ' x 4 '+ x 'x 3 x 4 ' f= + D + + F = x x 3 '+ x x 2 x 4 + x 2 x 3 ' x 4 '+ x 2 'x 3 x 4 ' f= + D + + E = x x 3 '+ x x 2 x 4 + x 'x 2 x 4 '+ x 'x 3 x 4 ' f= + D + + F = x x 3 '+ x x 2 x 4 + x 'x 2 x 4 '+ x 2 'x 3 x 4 ' Tüm tasarımların maliyeti eşittir (27) Genel Fonksiyonların Yalınlaştırılması Hatırlatma: Genel fonksiyonların birden fazla çıkışı vardır. x x 2 x 3 y y 2 Φ Φ Φ Φ x y x 2 f x 3 y = f (x,x 2,x 3 ) y 2 = f 2 (x,x 2,x 3 ) y 2 Genel fonksiyonlar yalınlaştırılırken her çıkışa ait fonksiyon için ayrı ayrı tüm asal çarpımlar kümesi bulunur ve bunların içinden seçim yapılır. urada dikkat edilmesi gereken nokta her iki çıkış için ortak çarpımların kullanılmaya çalışılmasıdır. 3.26

46 Tüm sal Çarpımlar Kümesinin Tablo Yöntemiyle (uine-mcluskey) ulunması Karnaugh diyagramları görsel özellikleri nedeniyle az değişkenli fonksiyonlarla ilgili çalışmalarda kolaylık sağlarlar. ncak değişken sayısı 5 ve daha fazla olduğunda Karnaugh diyagramlarını çizmek ve bitişiklilik özelliğini kullanmak zorlaşır. Tablo yöntemi (uine-mcluskey) ise sistematik bazı işlemlerin peş peşe tekrarlanmasından oluşmaktadır. u işlemleri elle yapmak fazla zaman alabilir, ancak söz konusu işlemleri bilgisayar programı ile gerçekleştirmek kolaydır. Tablo Yöntemi: Hatırlanacağı gibi, asal çarpımları bulmak için değeri üreten ve bitişik olan giriş kombinezonları (minterimler) gruplanmaya çalışılıyordu. Sadece bir değişkenin değiştiği (bitişik) olan kombinezonlar aynı gruba alınıyordu. Tablo yönteminde değeri olan her kombinezon (minterim) diğer minterimler ile karşılaştırılır. Eğer iki kombinezon arasında sadece bir giriş (değişken) farklıysa o iki kombinezon gruplanır. Farklı olan değişken silinerek yeni terim elde edilir. u durum hiç gruplama yapılamayana kadar devam eder. Hiç bir gruba girmeyen terimler asal çarpımlardır Yöntem: Karşılaştırma kolaylığı sağlamak için içindeki 'lerin sayısına göre kombinezonları kümeleyin. Komşu kümlerdeki kombinezonları karşılaştırın. Tek girişin farklı olduğu kombinezonları gruplayıp yeni kombinezonlar oluşturun. Yeni kombinezonlarda değeri değişen giriş yer almayacaktır. ir gruba girmiş olan kombinezonları işaretleyin. Yeni oluşan kombinezonlar üzerinde de aynı gruplama işlemlerini yeni gruplar oluşmayıncaya kadar sürdürün. Hiç bir gruba girmemiş olan kombinezonlar (işaretsizler) tüm asal çarpımlar kümesini oluştururlar. uine-mcluskey yöntemi sadece tüm asal çarpımlar kümesini (tüm temel içeren tabanını) bulmamızı sağlar. Yalınlaştırma işlemi için yine seçenekler tablosunu kullanmamız gerekecektir. 3.28

47 Örnek: şağıda verilen fonksiyonun tüm asal çarpımlar kümesini uine-mcluskey yöntemiyle bulunuz. f(x, x 2, x 3, x 4 )= Σ m (,, 2, 8,,, 4, 5 ) K.No x x 2 x 3 x K.No x x 2 x 3 x 4, -,2 -,8-2, - 8, -, -,4 -,5-4,5 - K.No x x 2 x 3 x 4,2,8, - -,8,2, - -,,4,5 - -,,4,5 - - ynı olanları yazmaya gerek yok Tüm asal çarpımlar kümesi (İşaretsiz olanlar): x ' x 2 ' x 3 ', x 2 ' x 4 ', x x 3 En ucuz çözümü elde etmek için bu aşamadan sonra seçenekler tablosu oluşturulur ve en ucuz yeterli taban bulunur. 3.29

48 Tümleştirilmiş Kombinezonsal Devre Elemanları Sayısal sistemlerin gerçekleştirilmesinde çokça kullanılan lojik devreler, klasik bağlaçların bir araya getirilmesiyle tümleştirilmiş devre olarak üretilirler ve satılırlar. ağlaçlar yerine bu devrelerin kullanılması tasarımları kolaylaştırır. Tümdevreler içerdikleri kapı sayısına göre çeşitli gruplara ayrılırlar. Tümleştirme düzeylerine göre gruplama: Küçük Ölçekli Tümleştirme (Small-Scale Integration SSI): u gruptaki tümdevreler taneden az lojik kapı içerirler. Örneğin 74 4 adet TVE kapısı içerir. Orta Ölçekli Tümleştirme (Medium-Scale Integration MSI): u gruptaki tümdevreler ile tane arasında lojik kapı içerirler. Toplayıcı, veri seçici, kod çözücü elemanlar bu gruba girer. üyük Ölçekli Tümleştirme (Large-Scale Integration LSI): u gruptaki tümdevreler binler mertebesinde lojik kapı içerirler. Mikroişlemciler, bellekler bu grupta yer alırlar. Çok üyük Ölçekli Tümleştirme (Veri Large-Scale Integration VLSI): u gruptaki tümdevreler yüzbinlerce ve daha fazla sayıda lojik kapı içerirler. Örnek: Gelişmiş mikroişlemciler ve büyük bellek tümdevreleri. 4. Yarım Toplayıcı (Half dder): İki adet birer bitlik sayıyı toplayan bir devredir. a b Yarım Toplayıcı s c a: irinci Sayı b: İkinci Sayı s: Sonuç c: Elde Çıkışı a b c s Doğruluk tablosundan devrenin ifadesi elde edilir. s= ab' + a'b c= ab a b a b a b s c u devre yanda gösterildiği gibi Y D (DRVEY) bağlacı kullanılarak da gerçeklenebilir. s= a b c= ab a b c s 4.2

49 Tam Toplayıcı (Full dder):: İki adet birer bitlik sayıyı eldeli olarak toplayan devredir. a b c i s bc i a a Tam Toplayıcı b c i s c o a: irinci Sayı b: İkinci Sayı c i : Elde Girişi s: Sonuç c o : Elde Çıkışı c o a bc i a a b c i c o s b s= a'b'c i + a'bc i '+ ab'c i '+ abc i c i s= a (b c i ) c o = ac i + bc i + ab s= a b c i 4.3 İki adet yarım toplayıcı ve bir adet VEY kapısı kullanarak bir tam toplayıcı gerçeklenebilir: a b a s Yarım b Toplayıcı c a 2 s 2 Yarım b 2 Toplayıcı c 2 2 c i c s a b a Yarım Toplayıcı s b a 2 b 2 c Yarım Toplayıcı 2 s 2 c2 s c o s= (a b) c i s= a b c i c o = (a b)c i + ab c o = (ab' + a'b)c i + ab c o = ab'c i + a'bc i + ab c o = ac i + bc i + ab c i 4.4

50 n-itlik İkili Paralel Toplayıcı: İki adet n bitlik 2 li sayıyı toplayan devredir. Toplanmak istenen sayıların basamak sayısına bağlı olarak bir bitlik tam toplayıcılar peş peşe bağlanarak ikili paralel toplayıcılar gerçeklenebilir. şağıda 4 bitlik bir ikili toplayıcı gösterilmiştir c o b a b a b a b a c c c TT 3 TT 2 TT c TT c i c c c o o c i o c o c i i s s s s c 4 S 3 S 2 S S. Sayı: Sayı: 3 2 Sonuç: S 3 S 2 S S Elde Girişi: c Elde Çıkışı: c 4 Örnek:. Sayı: 2.Sayı: Sonuç: Elde : 7483 tümdevresi 4 bitlik bir ikili toplayıcıdır. u tümdevre MSI tipindedir. 4.5 Veri Seçiciler (Multiplexer): 2 n adet veri girişi, n adet seçme (denetim) girişi, adet çıkışı vardır. Seçme girişlerine gelen değere göre, veri girişlerinden birindeki değer çıkışa aktarılır. Seçme girişlerindeki n bitlik ikili sayı hangi veri girişinin seçileceğini belirler. Veri seçiciler giriş sayılarına göre m: olarak adlandırılır. urada m veri girişlerinin sayısını gösterir. Örnek: 2: Veri seçici ( İkiye bir veri seçici olarak okunur) I I 2: VS s Z İşlev Tablosu: s Z I I Lojik ifade: Z = s' I + s I Doğruluk Tablosu: I I s Z 4.6

51 I I I2 I3 Diğer Veri Seçici (MU) Örnekleri: 4: mux s s Z Lojik İfadeler: İşlev Tablosu: s s Z I I I 2 I 3 2: mux: Z = s' I + s I 4: mux: Z = s ' s ' I + s ' s I + s s ' I2 + s s I3 8: mux: Z = s 2 's 's ' I + s 2 's 's I + s 2 's s ' I2 + s 2 's s I3 + s 2 s 's ' I4 + s 2 s 's I5 + s 2 s s ' I6 + s 2 s s I7 I I I2 I3 I4 I5 I6 I7 8: mux s 2 s s İşlev Tablosu: s 2 s s Z I Z I I 2 I 3 I 4 I 5 I 6 I 7 Genel İfade (k: Mux): Z k = ( mi j j) j= k=2 n, m j = j. minterim 4.7 Veri Seçiciler lojik bağlaçlar kullanılarak aşağıdaki gibi gerçeklenebilirler. 2: mux I s I I s I s s s s I I 4: mux I I 2 I I 2 I 3 I 3 4.8