SAYISAL DEVRELER. Analog - Sayısal (Dijital) İşaretler:

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "SAYISAL DEVRELER. Analog - Sayısal (Dijital) İşaretler:"

Transkript

1 SYISL DEVRELER Yrd.Doç.Dr. Feza UZLU İstanbul Teknik Üniversitesi ilgisayar Mühendisliği ölümü nalog - Sayısal (Dijital) İşaretler: Gerçek dünyada karşılaştığımız bir çok fiziksel büyüklüğün (akım, gerilim, sıcaklık, ışık şiddeti vb.) değeri sürekli bir aralık içinde değişmektedir. Sınırlar arasındaki her türlü olası değeri alabilen bu tür işaretlere analog işaretler denir. İkili (binary) sayısal işaretler ise belli bir anda sadece olası iki değerden birini alabilirler: -, yüksek alçak, doğru yanlış, açık - kapalı. V V H L t t nalog işaret İkili sayısal işaret.2

2 Sayısal Sistemlerin vantajları: Eskiden analog sistemlerin kullanıldığı bir çok alanda günümüzde daha avantajlı olduğundan sayısal sistemler kullanılmaktadır. Örnekler: Fotoğrafçılık, video, ses kayıtları, otomobil motorları, telefon sistemleri vb. Sayısal Sistemlerin vantajları: ir sayısal sisteme belli bir giriş kümesi defalarca uygulandığında hep aynı çıkış kümesi elde edilir. urada aynı giriş kümesinin uygulanması demek her defasında aynı değer dizisinin aynı sırada uygulanması demektir. nalog sistemler ise çevre koşullarından daha çok etkilenirler. Sayısal tasarım (lojik tasarım) dayandığı matematiksel temeller açısından daha kolaydır. yrıca sayısal sistemleri test etmek ve hatalardan arındırmak da analog sistemlere göre daha kolaydır. Esneklik ve programlanabilirlik. Günümüzde sayısal sistemleri programlanabilir bilgisayarlar şeklinde gerçeklemek mümkündür. u sayede aynı tasarım yeni gereksinimlere göre yeniden programlanarak tekrar kullanılabilmektedir. Sayısal verileri bilgisayar ortamında saklamak ve işlemek mümkündür. Sayısal sistemler daha hızlı çalışmaktadır. Sayısal sistemler küçülmekte ve ucuzlamaktadır. Sayısal sistemler gelişmeye devam ediyor..3 Sayısal Devre Gerçekleme şamaları: Gerilim Sıcaklık kım asınç Hız Görüntü nahtar Gerçek Dünya Fiziksel Dünya Problem Domeni, ve, veya tümleme Matematiksel Dünya HDL Program (Hardware Description Language) Modelleme,soyutlama Tasarım Gerçekleme.4

3 Sayısal Kodlama: Sayısal sistemler ikili sayısal işaretler üzerinde işlemler yaptıklarından sadece iki farklı değeri işleyebilirler. u nedenle sayısal devreler yardımıyla üzerinde işlem yapılacak olan fiziksel büyüklüklere (gerilim, sıcaklık vs.) ve her türlü veriye (harf, sayı, renk, ses) ikili sayılar karşı düşürülür. Örneğin 8 basamaklı (8 bitlik inary digit ) bir ikili sayı kullanarak 2 8 tane (256) farklı şey ifade edebiliriz. unlar 256 farklı renk, 256 sembol, ile 255 arası tamsayılar, ile 256 arası tamsayılar, -28 ile +27 arası tamsayılar olabilir. ir ikili değerin (Örneğin ) ne anlama geldiğine o değeri kullanacak olan sistem (donanım ya da yazılım sistemi olabilir) ya da kişi belirler. u değer bir sayı da olabilir bir renk de. Özellikle sayıların kodlanması büyük önem taşır. u konu mikroişlemci sistemleri dersinde ele alınacaktır. u derste bazı temel kodlama yöntemlerine ilişkin bilgiler verilecektir..5 D (inary oded Decimal) İkili kodlanmış onlu sayılar: -9 arasındaki rakamlara 4 bitlik bir ikili kod karşı düşürülür. Doğal D: Sayı: Kod: : : 2: 3: 4: Sayı: Kod: 5: 6: 7: 8: 9: Örnek: Sayı: 85 Kod: rtıklı kodlamadır. Çünkü 4 bit ile 6 farklı kodlama yapılabilmekte ancak bunlardan sadece tanesi kullanılmaktadır. D sayılar üzerinde işlem yapmak zor olduğundan günümüz bilgisayarlarında sayıları göstermek için bu kodlama kullanılmamaktadır..6

4 ğırlıklı Kodlama: itlerin konumlarına birer ağırlık verilir. Doğal ikili kodlama: Sayıların ağırlıklı kodlama ile 2 tabanında gösterilmesidir. Örneğin: = = 26 Soldaki ilk basamağa yüksek anlamlı bit (Most Significant it MS) Sondaki basmağa düşük anlamlı bit (Least Significant it LS) denir. ilgisayarlarda sayıları göstermek için doğal ikili kodlama kullanılır. Hamming uzaklığı: n uzunluğundaki iki kod sözcüğünün arasındaki Hamming uzaklığı, o sözcüklerdeki aynı sırada olup değerleri farklı olan bileşenlerin sayısıdır. Örneğin: ile arasındaki uzaklık 2 dir. itişik kodlar: ir birini izleyen sayılara karşı gelen kodlar arasındaki uzaklık ise o kodlama bitişiktir. yrıca son sayı ile ilk sayı arasındaki uzaklık da olursa kod çevrimlidir..7 Örnek: Çevrimli bir D kodu (doğal D den farklı) Sayı: Kod: Sayı: Kod: : 5: : 6: 2: 7: 3: 8: 4: 9: Gray Kodu: 2 n elemanlı bir küme için 2 tabanında artıksız ve çevrimli bir kodlama yapılırsa gray kodu elde edilir. Örnek: 2 bitlik bir Gray kodu: Sayı: Kod: : : 2: 3:.8

5 Sayıların ilgisayarda Gösterilimi u derste tamsayıların gösterilimine ilişkin bilgiler verilecektir. Kayan noktalı (floating point) sayıların gösterilimi ilgisayar Mimarisi dersinde ele alınmaktadır (kz. Sayılar kodlanmadan önce işaretsiz ya da işaretli sayılarla çalışılacağı belirlenmelidir. Çünkü işaretsiz ve işaretli sayıların kodlanmasında farklı yöntemler kullanılmaktadır. İşaretsiz (Unsigned) Sayıların Kodlanması: ilgisayarlarda işaretsiz tamsayıların ifade edilmesinde doğal ağırlıklı ikili kodlama kullanılır. Örnek: 25 = ( ) 2 = /2 = 7 kalan (düşük anlamlı bit Least Significant it LS ) son basmak 7/2 = 53 kalan 53/2 = 26 kalan 26/2 = 3 kalan 3/2 = 6 kalan 8 bit ile ifade edilebilecek en büyük işaretsiz sayı: 2 = bit ile ifade edilebilecek en küçük işaretsiz sayı: 6/2 = 3 kalan 2 = 3/2 = kalan /2 = kalan (yüksek anlamlı bit Most Significant it MS ) ilk basamak.9 İşaretli (Signed) Sayıların Kodlanması: Pozitif ve negatif sayıları ayırt etmek için ikili sayının ilk basamaktaki en yüksek anlamlı bitine bakılır. ile başlayan sayıların pozitif, ile başlayan sayıların negatif olduğu kabul edilir. Pozitif sayıların kodlanmasında (işaretsiz sayılarda olduğu gibi) doğal ağırlıklı ikili kodlama kullanılır. Dikkat edilmesi gereken nokta sayının ile başlamasıdır. una göre 8 bit ile temsil edilebilecek pozitif işretli sayılar: ile arasında (yani ile +27 arasında) değişecektir. Negatif sayıların kodlanmasında 2 ye tümleme yöntemi kullanılmaktadır. u yöntemde pozitif bir sayının 2 ye tümleyeni hesaplandığında o sayının negatif gösterilimi elde edilmiş olur. ir sayının 2 ye tümleyenini elde etmek için Önce sayı e tümlenir, yani lar, ler yapılır, e tümlenmiş sayıya eklenir. 2 ye tümleme yöntemi aritmetik işlemlerde kolaylık sağladığı için tercih edilmektedir..

6 Negatif Sayılara Örnekler: 8 bitlik +5 : e tümleme : ekleme : + Sonuç -5 : 4 bitlik +7 : e tümleme : ekleme : + Sonuç -7 : 2 ye tümleme işlemi bir sayının işaretini değiştirmek için kullanılır. ir negatif sayıya 2 ye tümleme işlemi uygulandığında o sayının pozitif değeri elde edilmiş olur. Negatif bir sayının pozitif yapılması: 8 bitlik -5 : e tümleme : ekleme : + Sonuç -5 :. İşaretli sayılar bir grafik üzerinde gösterilebilir. şağıda 4 bitlik sayılar gösterilmiştir. Çıkarma yönü Toplama yönü 4 bit ile ifade edilebilecek mutlak değeri en büyük negatif sayı = -8 Mutlak değeri en küçük negatif sayı = - 8 bit mutlak değeri en büyük negatif sayı = -28 Mutlak değeri en küçük negatif sayı = -.2

7 İkili Sayıların Uzatılması Sayısal istemlerde ikili sayılar için belli uzunlukta yerler (bellek gözleri) ayrılır. azı durumlarda daha az bit ile ifade edilebilen bir sayıyı daha büyük bir yere yazmak ya da daha uzun bir sayı ile işleme sokmak gerekebilir. u durumda kısa olan sayı uzatılır. Örneğin 4 bitten 8 bite veya 8 bitten 6 bite uzatma. Uzatma işleminde sayının işaretsiz ya da işaretli olmasına göre farklı yollar izlenir. İşaretsiz Sayılar: Sayının başına (yüksek anlamlı kısmına) gerektiği kadar sıfır eklenir. Örnek: 4 bitlik 3 : 8 bitlik 3 : Örnek: 4 bitlik 9 : 8 bitlik 9 : İşaretli Sayılar: Sayının başına (yüksek anlamlı kısmına) sayının işareti gerektiği kadar eklenir. una işaret uzatma (sign extension) denir. Örnek: 4 bitlik +3 : 8 bitlik +3 : Örnek: 4 bitlik -7 : 8 bitlik -7 : Örnek: 4 bitlik - : 8 bitlik - :.3 6 Tabanının Kullanılması Decimal inary Hexadecimal Sayısal devrelerin yapıları 2 li sayıların kullanılmasını zorunlu hale getirmiştir. ncak 2 li sayıların yazılması ve okunması uzunlukları nedeniyle zor olmaktadır. u nedenle kağıt üstündeki gösterilimlerde kolaylık sağladığı için 6 tabanında (hexadecimal) sayılar kullanılmaktadır. 2 li 6 lı Dönüşüm: 2 li sayı 4 bitlik gruplar halinde yazılır, Her dörtlüiçin 6 lık karşılığı yazılır. Örnek: 2 = (İkili - inary) = 5 D (Onaltılı - Hexadecimal) tabanına dönüşüm : 5D 6 = (5 x 6) + 3 = 93 Sonuç: 2 = 5D 6 = D 4 E 5 F 6 tabanındaki sayıları göstermek için genellikle $ ve h simgeleri kullanılır. Örnek: $5D veya 5Dh..4

8 Sayısal Sistemlerde Toplama ve Çıkarma İşlemleri ilgisayarlarda tamsayı aritmetik işlemleri ritmetik/lojik irim (L) tarafından yapılır (rithmetic Logic Unit LU). Tamsayı toplama ve çıkarma işlemleri işaretsiz ve işaretli sayılar üzerinde aynı şekilde yapılır. ncak çıkan sonucun yorumlanması işaretsiz ve işaretli sayılarda farklı olmaktadır. Farklı uzunluklarda sayılar ile işlem yaparken kısa sayının uzatılması gerekir. Uzatma işlemi işaretsiz ve işretli sayılarda farklı olur. (kz..3) Toplama: İşaretsiz Tamsayılar: n bitlik iki işaretsiz sayının toplanması sonucu n+ bitlik bir sayı oluşabilir. (n+). bit elde (carry) adını alır. Örnek: 8 bitlik işaretsiz sayıların toplanması : 7 + : 99 : 26 Elde oluşmadı. : : : 256 Elde oluştu. a b Elde Sonuç.5 Toplama: İşaretli Tamsayılar: İşlem işaretsiz sayılarda olduğu gibi yapılır. ncak sonucun yorumlanması farklıdır. n bitlik işaretli iki sayının toplanması sonucu (n+). bit oluşursa bu bit göz ardı edilir. Örnek: 8 bitlik işaretli sayıların toplanması : - + : + : : - + : - : -2 Göz ardı edilir. İşaret (+) Göz ardı edilir. İşaret (-) Dikkat: Eğer n bitlik sayılarla çalışılıyorsa işaret her zaman (sağdan sola doğru sayıldığında) n. bittir (n+. değil)..6

9 Taşma (Overflow): İşaretli sayılarda toplama sonucu oluşan değer n bit ile gösterilemeyebilir. Örneğin 8 bit ile gösterilebilecek sayılar -28, +27 arasındadır. Oluşan sonuç bu aralığın dışına çıkıyorsa taşma oluşur. Toplama sonucunda taşma oluştuğu toplanan sayıların ve sonucun işaretinden anlaşılır. Toplamada iki durumda taşma oluşabilir: poz + poz neg ve neg + neg poz Örnek: :+27 + : +2 : Gösterilemiyor İki pozitif sayı toplandı. Sonuç negatif çıktı. Taşma vardır. Not: n+. bit oluşmadı. u bit göz ardı edilir. :-28 + : - :Gösterilemiyor İki negatif sayı toplandı. Sonuç pozitif çıktı. Taşma vardır. Not: n+. bit oluştu. u bit göz ardı edilir..7 Çıkarma: ilgisayarlar, çıkarma işlemi için çıkartılacak olan sayının işaretini değiştirip (2 ye tümleyip) diğer sayı ile toplarlar. öylece tek bir toplama devresi ile hem toplama hem çıkarma yapmak mümkün olur. İşaretsiz Tamsayılar: n bitlik iki işaretsiz sayı arasında 2 ye tümleyen yöntemine göre çıkarma yapıldığında n+. bit oluşursa sonuç geçerlidir, borç (borrow) yoktur. Eğer n+. bit oluşmazsa (sıfırsa) birinci sayı ikinciden küçüktür, borç vardır. Örnek: 8 bitlik işaretsiz sayılar ile çıkarma : 5 - : : - : 5 2 ye tümleme 2 ye tümleme : 5 + :- : 4 Elde oluştu : orç Yok : + :-5 : orç(sonuç negatif) Elde oluşmadı : orç Var.8

10 Çıkarma: İşaretli Tamsayılar: İşaretli tamsayılar arasındaki çıkarma da işaretsizlerde olduğu gibi 2 ye tümleyen yöntemine göre yapılır. Elde biti göz ardı edilir. Toplama da olduğu gibi işaretli sayıların çıkarılmasında da taşma olabilir. Çıkarmada iki durumda taşma oluşabilir: poz - neg neg ve neg - poz poz Örnek: 8 bitlik işaretli sayılar ile çıkarma : 5 - :2 2 ye tümleme : 5 + :-2 : 2 ye tüm.::-7 İşaret sonuç negatif : -3 - : 27 2 ye tümleme Neg poz = poz. Taşma vardır. : -3 + :-27 : İşaret biti, Sonuç pozitif..9 Elde (arry), orç (orrow), Taşma (Overflow) Kavramlarının Özeti Elde: İşaretsiz sayıların toplanmasında oluşabilir. Sonucun n bite sığmadığını (n+). bitin gerekli olduğunu gösterir. orç: İşaretsiz sayıların çıkartılmasında oluşabilir. irinci sayının ikinciden küçük olduğunu, sonucun negatif çıktığını gösterir. 2 ye tümleyen yöntemine göre yapılan çıkarmada n+. bit oluşursa borç yoktur. Taşma: Sadece işaretli sayılar üzerinde yapılan toplama ve çıkarma işlemlerinde oluşur. Sonucun, ayrılan bit sayısı ile ifade edilemediğini gösterir. Taşma olduğu, işleme giren sayıların ve sonucun işareti incelenerek anlaşılır. şağıdaki durumlar oluştuğunda taşma var demektir: poz + poz neg poz neg neg neg + neg poz neg poz poz.2

11 oole ebri ={,} kümesi üzerinde tanımlı İkili işlemler: VEY, VE { +, } irli işlem: Tümleme { ' } ksiyomlar: a b b a a + b b a Tümleme a a'.kapalılık: a + b a b 2.Değişme: a + b = b + a a b = b a 3.irleşme: a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c 4.Etkisiz eleman: a + = a a = a 5.Dağılma: a + (b c) = (a + b) (a + c) a (b + c) = (a b) + (a c) 6.Tümleme: a + a' = a a' =.2 Özellikler ve Teoremler: urada gösterilen tüm özellikler ve teoremler oole cebrinin tanımında yer alan işlemler ve aksiyomlar ile kanıtlanabilirler.. Yutma: a + = a = 2. Dönüşme (Involution): (a')' = a 3. Sabit kuvvet (Idempotency): a+a+a+.+a = a 4. Soğurma (bsorption): a + a b = a a a a a = a a (a+b) = a 5. De Morgan Teoremi: (a + b +...)' = a' b'... (a b...)' = a' + b' +... Genel De Morgan Teoremi: f'(,2,...,n,,,+, ) = f(',2',...,n',,,,+) İkili işlemler arasında ilişki sağlar: ve + arasında.22

12 6.Düalite ir lojik ifadenin düali, yerine +, + yerine, yerine, yerine, koyarak ve değişkenler değiştirilmeden elde edilir. Kanıtlanan her teorem düali için de geçerlidir. a + b +... a b... Genelleştirilmiş düalite: f (,2,...,n,,,+, ) f(,2,...,n,,,,+) De Morgan Teoreminden farklıdır Teoremlerin kanıtları arasında ilişki sağlar Lojik ifadelerin dönüştürülmesini sağlayan bir yöntem değildir..23 İşlemler rası Öncelik: ir lojik ifade değerlendirilirken işlemler arasındaki öncelik yüksekten öncelikten başlayarak şöyledir:. Parantez, 2. Tümleme, 3. VE, 4. VEY Teoremlerin Kanıtlanması: a) ksiyomlar ile Teorem: Y + Y' = Dağılma Y + Y'= (Y + Y') Tümleme (Y + Y') = () Etkisiz () = Teorem: + Y = Etkisiz + Y = + Y Dağılma + Y = ( + Y) Yutma ( + Y) = () Etkisiz () =.24

13 Teoremlerin Kanıtlanması: b) Doğruluk Tablosu De Morgan: ( + Y)' = ' Y' ( Y)' = ' + Y' Y ' Y' ( + Y)' ' Y' Y ' Y' ( Y)' ' + Y'.25 Teoremler lojik ifadelerin sadeleştirilmesinde kullanılabilir. Örnek: Z = ' + ' + ' + = ' + ' + ' + + = ' + + ' + ' + = (' + ) + ' + ' + = () + ' + ' + = + ' + ' + + = + ' + + ' + = + (' + ) + ' + = + () + ' + = + + (' + ) = + + () =

14 Lojik İfadeler (Expressions) Lojik ifade, değişkenlerin, sabitlerin ve işlemlerin kurallara uygun şekilde yazılmış sonlu kombinezonudur. = (x, x 2,... x n ), Her x i {,} olmak üzere E() şeklinde gösterilir. E ve E 2 lojik ifade ise, E ', E 2 ', E + E 2, E E 2 gibi tüm kombinezonlar da birer lojik ifadedir. Lojik İfadelerin Yapıları: Monoform ifadelerde değişkenlerin sadece kendileri ya da sadece tümleyenleri bulunur. iform ifadeler belli bir x değişkenine göre tanımlanırlar. x'e göre biform bir ifadede hem x hem de tümleyeni bulunur. Çarpım ifadeleri, değişkenlerin sadece lojik çarpımlarından oluşurlar. Örnek: ab'cd Çarpım (product) yerine monom sözcüğü de kullanılır. Toplam ifadeleri, değişkenlerin sadece lojik toplamlarından oluşurlar. Örnek: a'+b'+c+d Toplam (sum) yerine monal sözcüğü de kullanılır. Çarpım böleni, bir çarpımdan (monomdan) bir ya da daha fazla değişken kaldırıldığında elde edilen çarpım ifadesidir. Örnek: ab'cd nin bazı bölenleri: a, b',c,d,ab', b'c, acd,b'd.27 İfadelerin yazılma şekilleri: ΣΠ: Lojik çarpımların lojik toplamı ya da monomların veya lanması bc'+ad+a'b gibi ΠΣ: Lojik toplamların lojik çarpımı ya da monalların "ve"lenmesi (a+b+c')(a+d)(a'+b) gibi ir lojik ifadenin değeri: E() ifadesi =(x,... x n ) vektörünün her değeri için ={,} kümesinden bir değer üretir. u değerler ifadenin doğruluk tablosunu oluşturur. Örnek: E() =x x 2 +x 3 ifadesinin doğruluk tablosu x x 2 x 3 E().28

15 Sıra bağıntısı: 'nin elemanları arasında şu sıra bağıntısı tanımlanır: <, 'den "önce gelir" ya da "küçüktür" diye okunur. una göre vektörleri arasında da bir sıra bağıntısı tanımlanabilir. Eğer vektörünün tüm elemanları 2 vektörünün aynı sıradaki elemanlarından yukarıda tanımlandığı anlamda "küçük"se (önce geliyorsa) ya da eşitse 2 sıralaması geçerlidir. Örnek: =, 2 = ise 2 dir. İki vektör arasında sıra bağıntısı olmayabilir. Örneğin, =, 2 = ise ile 2 arasında sıra bağıntısı yoktur..29 İfadeler üzerinde sıra bağıntısı: E () E 2 () yazılışı, 'in tüm kombinezonları için E 'in alacağı değerlerin E 2 'nin alacağı değerlere eşit ya da küçük olduğunu belirtir. Örnek : x x 2 x 3 E () E 2 () E () in değerini aldığı her giriş kombinezonu için E 2 () de değerini alır. Tüm giriş kombinezonları () uzayı E 2 E E 2 () nin değeri ürettiği (örttüğü) kombinezonlar E () nin değeri ürettiği (örttüğü) kombinezonlar E () E 2 () ise E (), E 2 () yi gerektirir, E () E 2 (), E 2 (), E () i örter..3

16 E F E ve F lojik ifadeler olmak üzere, E F E E+F ve E F F E+F eşitsizlikleri her zaman geçerlidir. Yutma özellikleri: E+E F = E ve düali E(E+F) = E Kanıt: E(E+F) = EE+EF = E+EF = E(+F) = E E+E' F = E+F ve düali E(E'+F) = E F Kanıt: E+E'F = (E+E')(E+F) = (E+F) = E+F.3 iform kareler: E ve E 2 içinde x olmayan iki ifade olsun: E (x 2,... x n ) ve E 2 (x 2,... x m ) E=x E +x 'E 2 ve düali E D = (x +E D )(x '+E 2D ) ifadeleri x in biform kareleridir. Örnek: x (x 2 +x 3 ')+x '(x 3 +x 4 ), (x +x 2 +x 3 ')(x '+x 3 +x 4 ) ve (x +x 2 x 3 ')(x '+x 3 x 4 ) x 'in biform karelerine dair örneklerdir. Konsensüs: Çarpımların toplamı şeklinde yazılmış olan xe + x'e 2 biform karesinde E E 2 kesişimine konsensüs adı verilir. Toplamların çarpımı şeklinde yazılmış olan (x+e )(x'+e 2 ) biform karesinde E +E 2 toplamı konsensüstür. Teorem: iform kareler konsensüslerini yutarlar. xe + x'e 2 + E E 2 = xe + x'e 2 (x+e )(x'+e 2 )(E +E 2 ) = (x+e )(x'+e 2 ) Teorem: iform kareler arasında dönüşme özelliği vardır. xe + x'e 2 =(x+e 2 )(x'+e ).32

17 Lojik Fonksiyonlar Lojik fonksiyonlar n kümesi (n elemanlı 2'li kodların kümesi) üzerinde tanımlanırlar ve üçe ayrılırlar: Yalın fonksiyonlar: Çok girişli bir çıkışlı x x 2 x 3 y x x 2 x 3 f y.33 Genel fonksiyonlar: Çok girişli, çok çıkışlı x x 2 x 3 y y 2 x y x 2 f x 3 y 2.34

18 Tümüyle tanımlanmamış fonksiyonlar: azı giriş kombinezonları için fonksiyonun alacağı değer belirsizdir. Örnek D sayıları arttıran fonksiyon: I I2 I4 I8 O O2 O4 O8 u girişler için devrenin (fonksiyonun) çıkışlarının alacağı değer belirsizdir. elirsiz değerleri göstermek için yerine Φ sembolü de kullanılır. I8 I4 I2 I O8 O4 O2 O.35 Yalın Lojik Fonksiyonlar: n ;! y ; y=f() n kümesinden değer alan kombinezonuna f fonksiyonu uygulandığında kümesinden değer alan bir y değeri elde edilir ve bu değer tektir. Yalın lojik fonksiyonlar n kümesinin kombinezonlarını 2 sınıfa ayırırlar: a) Doğru kombinezonlar sınıfı. f() in değeri karşı düşürdüğü kombinezonlardan oluşur. b) Yanlış kombinezonlar sınıfı. f() in değeri karşı düşürdüğü kombinezonlardan oluşur. n girişli 2**(2**n) adet yalın lojik fonksiyon vardır. İki girişli 6 adet yalın lojik fonksiyon vardır: x y f z.36

19 2 girişli 6 adet yalın lojik fonksiyon (F F5) Y F F F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F F F2 F3 F4 F5 VE Y Y Y D Y VEY Y = Y TVEY Y ( VEY Y)' Y' ' TVE Y ( VE Y)'.37 Lojik Fonksiyonların Gösterilişi ynı lojik fonksiyon farklı yöntemler ile gösterilebilir. u fonksiyona ilişkin devre tasarlanırken bu gösterilimlerden uygun olanı kullanılır. Doğruluk Tablosu İle Gösterilim Tüm giriş kombinezonları için çıkışın (veya çıkışların) alacağı değerler tablo halinde yazılır. Sayısal Gösterilim Giriş kombinezonları 2'li sayılarla kodlandığına göre her kombinezona tabanında bir numara verilir. Fonksiyon hangi giriş kombinezonları için lojik "" değeri (ya da lojik "") üretiyorsa o kombinezonların numaraları listelenir..38

20 Örnek: Tümüyle tanımlanmış, yalın bir fonksiyonun gösterilimi: No x x 2 y 2 3 y=f(x,x 2 )= (,2) ynı fonksiyon lojik üreten kombinezonlar ile de gösterilebilir. y=f(x,x 2 )= (,3) Örnek: Tümüyle tanımlanmış, genel bir fonksiyonun gösterilimi: Her çıkış için yukarıdaki gösterilim uygulanır. No x x 2 y y y =f(x,x 2 )= (,2) y 2 =f(x,x 2 )= (,) ynı fonksiyon lojik üreten kombinezonlar ile de gösterilebilir. y =f(x,x 2 )= (,3) y 2 =f(x,x 2 )= (2,3).39 Örnek: Tümüyle tanımlanmamış, genel bir fonksiyonun gösterilimi: u durumda sadece lojik "" veya lojik "" üreten çıkışları göstermek yeterli değildir. No x x 2 y y 2 Φ 2 Φ 3 Φ y =f(x,x 2 )= () + (,3) veya y =f(x,x 2 )= () + Φ (2) veya y =f(x,x 2 )= (,3) + Φ (2) y 2 =f(x,x 2 )= () + (2) veya y 2 = f(x,x 2 )= () + Φ (,3) veya y 2 = f(x,x 2 )= (2) + Φ (,3).4

21 Grafik Gösterilim Girişi kombinezonları n kümesinin elemanları olduklarına göre n boyutlu uzaydaki bir hiperküpün köşelerini oluştururlar. Fonksiyonun doğru noktalarını (lojik ) üreten kombinezonlar küp üzerinde işaretlenir. Fonksiyonun giriş sayısı küpün boyutunu belirler. n giriş n boyutlu küp oole Küpleri: -boyutlu Y 2-boyutlu 3-boyutlu Y Z Y Z W 4-boyutlu.4 Örnek: F Örnek: F Giriş sayısı arttıkça çizimin zorlaşması nedeniyle, oole küpleri lojik fonksiyonların gösterilmesi için pratikte kullanılan bir yöntem değildir. Grafik gösterilim lojik fonksiyonların anlaşılması ve bundan sonraki konuların anlatılması açısından yararlıdır..42

22 Karnaugh Diyagramları (Karnaugh Map) oole küplerinin düzlem üzerindeki iz düşümleri olarak düşünülebilir. No F veya 2 3 Tabloların gözleri Gray koduna göre düzenlenir. Yan yana gözlere ait kombinezonların bitişik olması sağlanır girişli bir fonksiyona ilişkin Karnaugh diyagramı: Örnek: D No F

23 ebirsel Gösterilim Çarpımların toplamı (ΣΠ) şeklindeki cebirsel gösterilime doğruluk tablosundan. kanonik açılım ile geçilir. Toplamların çarpımı (ΠΣ) şeklindeki cebirsel gösterilime doğruluk tablosundan 2. kanonik açılım ile geçilir.. Kanonik çılım: Çarpımların Toplamları ΣΠ şeklindeki gösterilim fonksiyonun "doğru" noktalarına ilişkin çarpımların (monomların) toplamından oluşur. u çarpımlara minterim denir. ir minterimde fonksiyonun tüm giriş değişkenleri bulunur ve her minterim sadece bir doğru kombinezona karşı gelir. "Doğru" değer üreten kombinezonlar: F = Minterimlerin Toplamı: F = '' + ' + ' + ' + F F' Fonksiyonun tümleyeni de benzer şekilde "yanlış" noktalardan hareket edilerek yazılır: F' = ''' + '' + ''.45 Minterimlerde her değişkenin ya kendisi ya da tümleyeni yer alır (İkisi aynı anda olamaz). Kanonik açılım fonksiyonun en basit cebirsel ifadesi değildir. Çoğunlukla kanonik açılımlar yalınlaştırılabilir (basitleştirilebilir). minterimler '''m '' m '' m2 ' m3 '' m4 ' m5 ' m6 m7 3 değişkenli minterimlerin simgesel gösterilimi F nin Kanonik açılımı: F(,, ) = Σm(,3,5,6,7) = m + m3 + m5 + m6 + m7 = '' + ' + ' + ' + F = Σ,, (,3,5,6,7) şeklinde de yazılabilir. Kanonik açılımın basitleştirilmesi F(,, ) = '' + ' + ' + + ' = ('' + ' + ' + ) + ' = ((' + )(' + )) + ' = + ' = ' + = +.46

24 2. Kanonik çılım: Toplamların Çarpımı ΠΣ şeklindeki gösterilim fonksiyonun "yanlış" noktalarına ilişkin maksterimlerin çarpımından oluşur. Maksterimler tüm değişkenleri içeren toplamlardır (monallardir). Maksterimler oluşturulurken, giriş kombinezonunda değerine karşı düşen değişkenlerin kendisi, değeri karşı düşenlerin tümleyeni alınır (Minterim oluşturmanın tersi). "Yanlış" değer üreten kombinezonlar: F = Maksterimlerin Çarpımı: F = ( + + ) ( + ' + ) (' + + ) F F' Fonksiyonun tümleyeninin 2.kanonik açılımı benzer şekilde doğru" noktalardan hareket edilerek yazılır: F' = ( + + ') ( + ' + ') (' + + ') (' + ' + ) (' + ' + ').47 Maksterimlerde her değişkenin ya kendisi ya da tümleyeni yer alır (İkisi aynı anda olamaz). Kanonik açılım fonksiyonun en basit cebirsel ifadesi değildir. Çoğunlukla kanonik açılımlar indirgenebilir (basitleştirilebilir). maksterimler ++ M ++' M +'+ M2 +'+' M3 '++ M4 '++' M5 '+'+ M6 '+'+' M7 3 değişkenli maksterimlerin simgesel gösterilimi F nin kanonik açılımı: F(,, ) = ΠM(,2,4) = M M2 M4 = ( + + ) ( + ' + ) (' + + ) F = Π,, (,2,4) şeklinde de yazılabilir. İndirgeme F(,, ) = ( + + ) ( + ' + ) (' + + ) = ( + + ) ( + ' + ) = ( + + ) (' + + ) = ( + ) ( + ).48

25 Kanonik çılımların Dönüştürülmesi Minterim'den maksterime dönüşüm. kanonik açılımda yer almayan minterimlerin indisleri maksterim olarak seçilir F(,,) = Σm(,3,5,6,7) = ΠM(,2,4) Maksterim'den minterime dönüşüm 2. kanonik açılımda yer almayan maksterimlerin indisleri minterim olarak seçilir F(,,) = ΠM(,2,4) = Σm(,3,5,6,7) Mintermier ile tümleyen ifadenin bulunması çılımda yer almayan minterimler seçilir F(,,) = Σm(,3,5,6,7) F'(,,) = Σm(,2,4) Maksterimler ile tümleyen ifadenin bulunması çılımda yer almayan maksterimler seçilir F(,,) = ΠM(,2,4) F'(,,) = ΠM(,3,5,6,7).49 Kanonik çılımlar ve De Morgan Teoremi Çarpımların Toplamı (Fonksiyonun tümleyeni) F' = ''' + '' + '' De Morgan (F')' = (''' + '' + '')' F = ( + + ) ( + ' + ) (' + + ) 2. kanonik açılım elde edildi Toplamların Çarpımı (Fonksiyonun tümleyeni) F' = ( + + ') ( + ' + ') (' + + ') (' + ' + ) (' + ' + ') De Morgan (F')' = ( ( + + ')( + ' + ')(' + + ')(' + ' + )(' + ' + ') )' F = '' + ' + ' + ' +. kanonik açılım elde edildi.5

26 Lojik ağlaçlar (Logic Gates) NSI/IEEE-973 NSI/IEEE-984 SÜRÜÜ (UFFER) Y= Y y Y TÜMLEME (NOT) ' Y y Y VE (ND) Y Y Z & y z Y Z VEY (OR) + Y Y Z y z Y Z 2. TVE (NND) (xy)' Y Z y & z Y Z TVEY (NOR) (x+y)' Y Z y z Y Z Y D (OR) xy'+x'y Y Y Z y = z Y Z EŞDEĞER (NOR) xy+x'y' Y Y Z y = z Y Z 2.2

27 ." Tümdevreler ( Integrated ircuits I ) Lojik bağlaçlar, tümdevrelerin içinde yer alacak şekilde üretilir ve pazarlanırlar. ir tümdevrede, büyüklüğüne ve bağlacın giriş sayısına bağlı olarak birden fazla lojik bağlaç yer alır. Tümdevreler, farklı şekillerde üretilirler. Laboratuvar ortamında en çok karşılaşacağınız tip, dikdörtgen şeklinde olan, bacakları iki sıra halinde kenarlarda yer alan tümdevrelerdir. u tümdevreler dual in-line pin (DIP) olarak adlandırılırlar. Dual in-line Pin (DIP) Tümdevreler pin pin 28 pin pin 4 pin pin 2 pin 8." pin pin 5 (a).".3" (b).3" (c).6" xx Serisi Tümdevrelere Örnekler Tümdevreler ile ilgili bilgiler tümdevre kataloglarında yer alırlar. 2.4

28 Pozitif ve Negatif Lojik Sıfır ve değerini alan girişler ve çıkışlar, genel olarak, fiziksel bir büyüklüğün 2 farklı seviyesine karşı düşer: Gerilim, akım, basınç v.b. Yüksek seviyeye, alçak seviyeye karşı düşürülüyorsa buna pozitif lojik, aksi halde negatif lojik denir. L (Low) düşük seviye, H (High) yüksek seviye olmak üzere, 2 girişli çıkışlı bir kapının giriş-çıkış ilişkisi aşağıda gösterilmiştir. Pozitif lojik kullanıldığı takdirde fiziksel devre bir VE kapısı, negatif lojik kullanıldığı takdirde de bir VEY kapısı gerçeklemektedir. ir lojik devrenin tümünde ya pozitif ya da negatif lojik kullanılır. Fiziksel Devre Girişler: Çıkış: x x2 z L L L L H L H L L H H H Pozitif Lojik Girişler: Çıkış: x x2 z Negatif Lojik Girişler: Çıkış: x x2 z 2.5 Lojik Fonksiyonların ağlaçlar İle Gerçeklenmesi Çarpımların Toplamı VE (ND) kapıları çarpımları gerçekler VEY (OR) kapısı toplamayı gerçekleştirir Toplamların Çarpımı VEY (OR) kapıları toplamaları gerçekler VE (ND) kapısı çarpımı gerçekleştirir 2.6

29 F F' Doğruluk tablosu verilen fonksiyonun lojik bağlaçlar ile gerçeklenmesi F(,, )= Σm(,3,5,6,7). kanonik açılım = '' + ' + ' + ' + = F = + = F2 (sadeleştirilmiş) F(,, )= ΠM(,2,4) 2. kanonik açılım = ( + + ) ( + ' + ) (' + + ) = F3 = ( + ) ( + ) = F4 (sadeleştirilmiş) F = F2 = F3 = F4 F. kanonik açılım (çarpımların topl.) F2 indirgenmiş çarpımların topl. F3 2. kanonik açılım (toplamların çarp.) F4 indirgenmiş toplamların çarp. ir lojik ifade farklı şekillerde lojik bağlaçlar kullanılarak gerçeklenebilir. Örnek: Z = ' ' ( + D) = (' (' ( + D))) D Z 3 girişli kapı D Z '(+D) +D Sadece 2 girişli kapılar Elinizde var olan fiziksel kapılara göre lojik ifadeyi düzenlemek gerekir. 2.8

30 Yetkin İşlemler VE, VEY, TÜMLEME işlemleri ile tüm lojik fonksiyonları gerçeklemek mümkündür (oole cebrinin tanımından). u nedenle bu işlemler yetkin bir işlem kümesi oluştururlar. u işlemelerin dışında TVE (NND) işlemi de tek başına yetkin bir işlemdir. enzer şekilde TVEY (NOR) da yetkin bir işlemdir. VE, VEY, TÜMLEME işlemlerinin her birini sadece TVE veya TVEY kapıları kullanarak gerçekleştirmek mümkündür. simgesi TVE işlemini, / simgesi ise TVEY'yı göstermek için kullanılmıştır. una göre aşağıdaki eşitlikler yazılabilir. x'=x x = (x x)' = x' x'= x/x x x' x x' x y=(x y)' x y=(x' / y') de Morgan x+y=(x' y') de Morgan x+y=(x / y)' 2.9 TVE - TVEY rasındaki İlişki TVE - TVEY Dönüşümleri de Morgan: ( + )'= ' ' ( )' = ' + ' diğer bir yazım şekli: + = (' ')' ( ) = (' + ')' una göre: Girişleri tümlenmiş TVE kapısı, VEY kapısının eşdeğeridir. Girişleri tümlenmiş TVEY kapısı, VE kapısının eşdeğeridir. Girişleri tümlenmiş VEY kapısı, TVE kapısının eşdeğeridir. Girişleri tümlenmiş VE kapısı, TVEY kapısının eşdeğeridir. 2.

31 Lojik fonksiyonların TVE veya TVEY bağlaçları ile gerçeklenmesi TVE yetkin bir işlem olduğundan tüm lojik fonksiyonlar sadece TVE bağlaçları kullanılarak gerçeklenebilir. ynı durum TVEY bağlaçları için de geçerlidir. Çarpımların toplamı (VElerin VEYsı) şeklindeki fonksiyonların TVE ile gerçeklenmesi: u tür devrelerde tüm VE kapıları ve VEY kapılarının yerine TVE kapıları yerleştirilebilir. u değişiklik devrenin çıkış fonksiyonunu etkilemez. şağıda gösterildiği gibi VE kapılarının çıkışları, VEY kapılarının da girişlerine tümleme elemanı yerleştirilirse TVE kapıları elde edilir. ir hatta peş peşe iki tümleme elemanı yerleştirilmesi herhangi bir değişikliğe neden olmaz. Z Z D D 2. ebirsel olarak sınama: Z Z D D Z = [ ( )' ( D)' ]' = [ (' + ') (' + D') ]' = [ (' + ')' + (' + D')' ] = ( ) + ( D) 2.2

32 VE lerin VEY lanması şeklinde devreler sadece TVEY kullanılarak da gerçekleştirilebilir. u durumda girişlere ve çıkışa tümleme elemanları yerleştirmek gerekir. D Z NOR NOR D NOR Z D NOR NOR Z. dım 2. dım Hatırlatma: Tümleme bağlaçları TVE bağlaçları ile gerçeklenebilir. 2.3 Toplamların çarpımı (VEY ların VE si) şeklindeki fonksiyonların TVEY ile gerçeklenmesi: u tür devrelerde tüm VEY kapıları ve VE kapılarının yerine TVEY kapıları yerleştirilebilir. u değişiklik devrenin çıkış fonksiyonunu etkilemez. şağıda gösterildiği gibi VEY kapılarının çıkışlarına, VE kapılarının da girişlerine tümleme elemanı yerleştirilirse TVEY kapıları elde edilir. ir hatta peş peşe iki tümleme elemanı yerleştirilmesi herhangi bir değişikliğe neden olmaz. Z Z D D Z D 2.4

33 Lojik Fonksiyonların Yalınlaştırılması (İndirgenmesi) ir lojik fonksiyonun birçok cebirsel ifadesi vardır. Yalınlaştırmada amaç, belli bir maliyet kriterine göre bu cebirsel ifadeler içinden en uygun olanını seçmektir. Maliyet kriteri uygulamaya göre değişebilir. Örneğin tasarım aşamasında istenen özellikler şunlar olabilir: İfadenin az sayıda çarpım (ya da toplam) içermesi, her çarpımda az sayıda değişken olması, devrenin aynı tip bağlaçlar (örneğin TVE) ile tasarlanabilmesi, elde var olan bağlaçların kullanılabilmesi gibi. Yalınlaştırma İle İlgili Tanımlar sal Çarpım (Temel İçeren) Prime Implicant : ir fonksiyonun. kanonik açılımını oluşturan çarpımlar (minterimler) bu fonksiyon tarafından örtülürler (içerilirler). uradaki her çarpım sadece bir "doğru" noktaya karşı gelir. u çarpımlardan bazılarının bölenleri de o fonksiyon tarafından örtülürler. una göre. kanonik açılımda yer alan bazı çarpımlar birleştirerek daha az değişken içeren ve birden fazla "doğru" noktaya karşı gelen yeni çarpımlar elde edilebilir. 3. F F(,, )= Σm(,3,5,6,7). kanonik açılım = '' + ' + ' + ' + u çarpımlar, asal çarpım (temel içeren) değildir, çünkü onlardan daha az değişkene sahip olan bölenleri de bu fonksiyonun içinde yer almaktadır. u durum basitleştirme sonucu görülmüştü ve fonksiyon için aşağıdaki ifade elde edilmişti. F= + una göre asal çarpım (temel içeren) kendi bölenleri fonksiyonda yer almayan çarpımlardır. Örneğin yukarıdaki örnekte ' bir asal çarpım değildir, çünkü onun böleni olan de fonksiyon tarafından örtülmektedir. monomu ise bir asal çarpımdır, çünkü onun bölenleri ve fonksiyon tarafından örtülmez (daha fazla üretiyorlar, fonksiyonun ifadesinde yer alamazlar). Yalınlaştırma işlemi 2 aşamadan oluşmaktadır:. Tüm asal çarpımlar kümesinin (Tüm temel içerenlerin) bulunması 2. Fonksiyonun tüm "doğru" noktalarını örtecek şekilde, asal çarpımlardan en uygun olanların seçilmesi. 3.2

34 sal Çarpımların ulunması: Çarpım terimlerini (monomları) birleştirmek için oole cebrinden yararlanılır. u işlemi özellikle büyük fonksiyonlar için elle kağıt üstünde yapmak zor olur. u işlemler bilgisayar programları ile yapılır. Konuyu anlayabilmek için kağıt üzerinde uygulanabilecek bir yöntem ise doğruluk tablosunda "" üreten kombinezonları inceleyerek, bir veya daha fazla değişkenin sabit kaldığı kombinezonları birleştirmektir. Değeri sabit kalan değişkenler çarpımda kalır, değişenler çarpımdan çıkarılır. Örnek: F F = ''+' = ('+)' = ' sabit. Her ikisinde de =. değişkeni yeni çarpımda yer alacak. nın değeri değişiyor. yeni çarpımda olmayacak. = olduğu için yeni çarpım: ' 3.3 Yapılan işlemin oole küpünde gösterilmesi: Yapılan işlemin Karnaugh diyagramında gösterilmesi: F 2 3 oyutu olan iki nokta birleştirilerek boyutu olan bir çizgi elde edildi. u çizgi ='ı yani nin tümleyenini temsil etmektedir. u tür gruplamaları Karnaugh diyagramları ile yapmak daha kolaydır. itişiklilik özelliğinden yararlanılarak komşu noktalar gruplanabilir. Yukarıda gruplamanın yapıldığı sütunda = (sabit), ise değişkendir. u sütun nin tümleyenini temsil etmektedir. 3.4

35 ynı anda birden fazla değişken sabit kalıyorsa gruplama sonucu bu değişkenlerin çarpımı oluşur. Örnek: F =, = ve sabit. ise değişiyor. u gruplama sonucu çarpımı oluşur =, = ve sabit. ise değişiyor. u gruplama sonucu çarpımı oluşur 3.5 Gruplamalarda 2'den daha fazla nokta da birleştirilebilir. Örnek: F(,,) = Σ(4,5,6,7) = ve sabit. ve ise değişiyor. Küpün bu yüzü yı temsil ediyor

36 sal Çarpımların Karnaugh Diyagramları İle ulunması: Karnaugh diyagramlarındaki bitişiklilik ve çevrimlilik özelliği nedeniyle komşu gözler arasındaki geçişlerde sadece değişken (giriş) değer değiştirir, diğerleri sabit kalır. Girişlerin sabit kaldığı komşu gözlerdeki "doğru" noktaları 2'li, 4'lü, 8'li gruplarda toplamak mümkündür. şağıda 3 ve 4 değişkenli Karnaugh diyagramları için girişlerin sabit kaldıkları alanlar gösterilmiştir ynı diyagram, değişkenler farklı şekillerde yerleştirilerek de yandaki gibi oluşturulabilir D D 3.7 Örnek: şağıda verilen fonksiyonun asal çarpımlarının bulunması F(,,,D) = Σ(,2,5,8,9,,,2,3,4,5) F D sal Çarpımlar:, 'D, 'D D sal çarpımlar bulunurken fonksiyonun "doğru" noktaları mümkün olan en büyük gruplara yerleştirilirler. ir grupta yer alan "doğru" nokta daha küçük bir gruba yerleştirilmez. Örneğin ayrı ayrı 4 'lü gruplarda bulunan iki nokta birleştirilerek 2'li yeni bir grup oluşturmaya gerek yoktur. ncak noktalardan biri daha büyük bir gruba ait değilse (yukarıdaki gibi) o nokta gruptaki başka bir nokta ile kümelenebilir. 3.8

37 Tüm sal Çarpımlar Kümesinin (Temel İçeren Tabanının) ulunması: Lojik devre tasarımında yalınlaştırma işlemi o fonksiyonun bütün asal çarpımlarının bulunmasıyla başlar. ütün asal çarpımların oluşturduğu kümeye tüm asal çarpımlar kümesi (tüm temel içeren tabanı) denir. İndirgemenin 2. aşamasında fonksiyonun bütün doğru noktalarını örtecek şekilde, tüm asal çarpımlar kümesinden en uygun asal çarpımlar seçilir. Fonksiyonun bütün doğru noktalarını örten asal çarpımların oluşturduğu kümeye yeterli taban denir. Yeterli tabandan bir asal çarpım kaldırılırsa fonksiyonun tüm doğru noktaları örtülmemiş olur. una göre bir fonksiyonu yalınlaştırma işlemi en uygun (ucuz) yeterli tabanı bulmak demektir. Örnek: şağıdaki fonksiyonun tüm asal çarpımlar kümesini bulunuz. sal Çarpımlar: ', ',',',',' 3.9 ynı fonksiyonun bir çok yeterli tabanı olabilir. F(,,)= ' F(,,)= ' + ' + ' + ' F(,,)= ' + ' + ' + ' + ' Yeterli tabandan bir asal çarpım kaldırıldığında tüm doğru noktalar kapsanmamış olur. F(,,)= ' + ' + ' + '

38 aşlıca Nokta ve Gerekli sal çarpım: azı fonksiyonlarda bazı doğru noktalar sadece bir asal çarpım tarafından örtülürler. u noktalara başlıca nokta denir. u noktaları örten asal çarpımlara da gerekli asal çarpım denir. Gerekli asal çarpımlar fonksiyonun yeterli tabanında mutlaka yer alırlar. Çünkü başlıca noktaların başka asal çarpımlar tarafından örtülmesi mümkün değildir. Örnek: F D D Tüm sal Çarpımlar Kümesi 'D, ', ', D', 'D', 'D aşlıca Noktalar Gerekli çarpımlar 'D 'D' ' D' 'D uradaki gerekli asal çarpımlar fonksiyonun tüm doğru noktalarını örtmektedir. F= 'D + 'D' + ' + D' + 'D 3. Örnek: ir fonksiyonun tüm asal çarpımlar kümesinin, başlıca noktalarının ve gerekli çarpımların bulunması. F D Tüm sal Çarpımlar Kümesi: D,, ',, 'D', D' D aşlıca Noktalar Gerekli çarpımlar 'D' D 3.2

39 Yalınlaştırma: Uygun sal Çarpımların Seçilmesi Tüm asal çarpımlar kümesi bulunduktan sonra, fonksiyonun tüm doğru noktalarını örtecek şekilde en uygun (ucuz) asal çarpımların seçilmesi gerekir. u seçimi yapmak için kullanılan yöntemlerden biri seçenekler tablosu yöntemidir. Seçenekler Tablosu: Fonksiyonun asal çarpımları bulunduktan sonra bu çarpımlara isimler verilir. Örneğin,,,.. gibi. Verilen bir maliyet kriterine göre her asal çarpımın maliyeti hesaplanır. Seçenekler tablosu bir matris şeklinde hazırlanır. Tablonun satırlarında, fonksiyonun asal çarpımlarının isimleri yer alır. Sütunlarda ise o fonksiyonun doğru noktalarının numaraları bulunur. En son sütuna asal çarpımların maliyetleri yazılır. ir asal çarpım bir noktayı örtüyorsa matrisin ilgili gözüne konur. 3.3 Örnek: Verilen fonksiyonun tüm asal çarpımlar kümesini bulunuz ve seçenekler tablosunu oluşturunuz. f(x, x 2, x 3, x 4 )=Σm(2, 4, 6, 8, 9,, 2, 3, 5) Maliyet hesabında her değişken 2 birim, her tümleme işlemi birim maliyete sahip olacaktır. f x x 3 3 x 4 x x 2 x x 2 x 4 Tüm sal Çarpımlar Kümesi: x x 3 ' x 2 x 3 ' x 4 ' x 'x 2 x 4 ' x x 2 x 4 x 'x 3 x 4 ' x 2 'x 3 x 4 ' x x 2 ' x 4 ' Semboller: D E F G Maliyetler: Örttüğü Noktalar:8,9,2,3 4,2 4, 6 3, 5 2, 6 2, 8, 3.4

40 x x 3 ' Tüm sal Çarpımlar Kümesi: x 2 x 3 ' x 4 ' x 'x 2 x 4 ' x x 2 x 4 x 'x 3 x 4 ' x 2 'x 3 x 4 ' x x 2 ' x 4 ' Semboller: D E F G Maliyetler: Örttüğü Noktalar:8,9,2,3 4,2 4, 6 3, 5 2, 6 2, 8, sal Çarpımlar D E F G Fonksiyonun "doğru" noktaları Maliyet Seçenekler Tablosunun İndirgenmesi. aşlıca noktalar belirlenir. ir sütunda sadece bir tane varsa o sütundaki nokta başlıca noktadır. aşlıca noktayı örten asal çarpım (gerekli asal çarpım) mutlaka fonksiyonun ifadesinde yer alacağından seçilir. u asal çarpıma ait satır ve onun örttüğü noktalara ait sütunlar tablodan kaldırılır. 2. Tabloda j. satırın olan her gözünde i. satırda da varsa i. satır, j. satırı örtüyor denir. Yani j. satırın örttüğü bütün noktaları i. satır da örtüyordur. Eğer i. satır j. satırı örtüyorsa ve i. satırdaki maliyet j. satırdaki maliyetten küçükse veya ona eşitse j. satır (örtülen satır) tablodan kaldırılır. 3. ir sütun başka bir sütunu örtüyorsa örten sütun (daha fazla 'e sahip olan) tablodan silinir. u kurallar peş peşe uygulanarak fonksiyonun doğru noktaları toplam maliyet en az olacak şekilde örtülmeye çalışılır. 3.6

41 Örnek: şağıda verilen fonksiyona ait seçenekler tablosunu indirgenmesi. f(x, x 2, x 3, x 4 )=Σm(2, 4, 6, 8, 9,, 2, 3, 5) x x 3 ' x 2 x 3 ' x 4 ' x 'x 2 x 4 ' x x 2 x 4 x 'x 3 x 4 ' x 2 'x 3 x 4 ' x x 2 ' x 4 ' D E F G Fonksiyonun "doğru" noktaları Maliyet dım: u tabloda 9 ve 5 başlıca noktalardır. ve D gerekli çarpımlar oldukları için onlara ait satır ve örttükleri sütunlar tablodan kaldırılır. u çarpımlar daha sonra sonucu oluştururken kullanılmak üzere işaretlenir. 3.7 x 2 x 3 ' x 4 ' x 'x 2 x 4 ' x 'x 3 x 4 ' x 2 'x 3 x 4 ' x x 2 ' x 4 ' Maliyet x 8 x x 8 E x x 8 F x x 8 G x 8 2. dım: u tabloda, 'yi örter. Maliyetleri aynı olduğu için örtülen satır() tablodan silinir. enzer şekilde F, G'yi örter ve maliyetleri aynıdır. u nedenle G satırı tablodan silinir. u çarpımlar sonuç ifadede yer almayacaktır Maliyet x 'x 2 x 4 ' x x 8 x 'x 3 x 4 ' E x x 8 x 2 'x 3 x 4 ' F x x 8 3. dım: u tabloda 4 ve başlıca noktalardır. u nedenle ve F çarpımlarını almak gerekir. u iki asal çarpım seçildiğinde tüm noktalar örtülmüş olur. 3.8

42 Sonuç: İşaretlenmiş olan asal çarpımlar fonksiyonun en ucuz ifadesini oluştururlar. Seçilen asal çarpımlar: + D + + F Toplam Maliyet= = 27 f(x, x 2, x 3, x 4 ) = x x 3 ' + x x 2 x 4 + x 'x 2 x 4 ' + x 2 'x 3 x 4 ' Karnaugh diyagramı ile hangi asal çarpımların seçildiğini görebiliriz. f x 3 x 4 x x 2 x 3 x x 4 x 2 u seçimde tüm ler örtülmeli ve bir fazlalık olmamalı. Seçilmiş olan asal çarpımlar bir yeterli taban oluşturmalı. Yani çarpımlardan biri kaldırıldığında tüm noktalar örtülememeli. x x 3 ' x 'x 2 x 4 ' x x 2 x 4 x 2 'x 3 x 4 ' 3.9 Tümüyle Tanımlanmamış Fonksiyonların Yalınlaştırılması Hatırlatma:Tümüyle tanımlanmamış fonksiyonlarda, bazı giriş kombinezonları için fonksiyonun alacağı değer belirsizdir (önemli değildir). Çünkü bu giriş kombinezonları ilgili devrede fiziksel olarak oluşamazlar ya da tasarımcı tarafından yasaklanmışlardır. Örnek D sayıları arttıran devre: I8 I4 I2 I O8 O4 O2 O I O I2 O2 I4 O4 I8 O8 u girişler için devrenin (fonksiyonun) çıkışlarının alacağı değer belirsizdir. elirsiz değerleri göstermek için yerine Φ sembolü de kullanılır. 3.2

43 Yalınlaştırma işleminde, belirsiz değerler (Φ) en ucuz ifadeyi elde edecek şekilde gerektiğinde lojik gerektiğinde lojik olarak seçilebilirler. Tüm asal çarpımlar kümesi bulunurken daha basit çarpımlar elde etmek için (Karnaugh diyagramında daha büyük gruplamalar yapabilmek için) Φ ler olarak seçilir. Seçenekler tablosunda kapsanması gereken noktalar yazılırken Φ ler olarak seçilir. Çünkü bu noktaların çarpımlar tarafından örtülmesine gerek yoktur. Örnek: şağıda verilen tümüyle tanımlanmamış fonksiyonu en düşük maliyetle tasarlayınız. f(x, x 2, x 3, x 4 )=Σ m (2, 4, 8, 9, 3, 5 ) + Σ Φ (6,,2) (Not: f(x, x 2, x 3, x 4 )= (2, 4, 8, 9, 3, 5 ) + Φ (6,,2) şeklinde de yazılabilir.) Maliyet hesabında her değişken 2 birim, her tümleme işlemi birim maliyete sahip olacaktır. 3.2 f x 3 x 4 x x 2 x x 3 Φ Φ Φ x 4 x 2 sal çarpımlar bulunurken Φ ler olarak seçilir. Tüm sal Çarpımlar Kümesi: x x 3 ' x 2 x 3 ' x 4 ' x 'x 2 x 4 ' x x 2 x 4 x 'x 3 x 4 ' x 2 'x 3 x 4 ' x x 2 ' x 4 ' Semboller: D E F G Maliyetler: Örttüğü Noktalar: 8,9, ,

44 x x 3 ' Tüm sal Çarpımlar Kümesi: x 2 x 3 ' x 4 ' x 'x 2 x 4 ' x x 2 x 4 x 'x 3 x 4 ' x 2 'x 3 x 4 ' x x 2 ' x 4 ' Semboller: D E F G Maliyetler: Örttüğü Noktalar: 8,9, , sal Çarpımlar Fonksiyonun "doğru" noktaları Maliyet D 6 E 8 F 8 G 8 Tablo oluşturulurken Φ ler olarak seçilir. u noktaların örtülmesine gerek olmadığından Φ ler seçenekler tablosunda yer almazlar sal Çarpımlar Fonksiyonun "doğru" noktaları Maliyet D 6 E 8 F 8 G 8. dım: u tabloda 9 ve 5 başlıca noktalardır. ve D gerekli çarpımlar oldukları için onlara ait satır ve örttükleri sütunlar tablodan kaldırılır. u çarpımlar daha sonra sonucu oluştururken kullanılmak üzere işaretlenir. 3.24

45 x 2 x 3 ' x 4 ' x 'x 2 x 4 ' x 'x 3 x 4 ' x 2 'x 3 x 4 ' 2 4 Maliyet x 8 x 8 E x 8 F x 8 2. dım: ve aynı noktaları örtmektedir ve maliyetleri eşittir. u nedenle bu iki çarpım arasında bir seçim yapmak mümkün değildir. Verilen maliyet kriterine göre herhangi biri seçilebilir. ynı durum E ve F çarpımları için de geçerlidir. una göre fonksiyon aşağıdaki ifadelerden herhangi biri kullanılarak gerçeklenebilir: f= + D + + E = x x 3 '+ x x 2 x 4 + x 2 x 3 ' x 4 '+ x 'x 3 x 4 ' f= + D + + F = x x 3 '+ x x 2 x 4 + x 2 x 3 ' x 4 '+ x 2 'x 3 x 4 ' f= + D + + E = x x 3 '+ x x 2 x 4 + x 'x 2 x 4 '+ x 'x 3 x 4 ' f= + D + + F = x x 3 '+ x x 2 x 4 + x 'x 2 x 4 '+ x 2 'x 3 x 4 ' Tüm tasarımların maliyeti eşittir (27) Genel Fonksiyonların Yalınlaştırılması Hatırlatma: Genel fonksiyonların birden fazla çıkışı vardır. x x 2 x 3 y y 2 Φ Φ Φ Φ x y x 2 f x 3 y = f (x,x 2,x 3 ) y 2 = f 2 (x,x 2,x 3 ) y 2 Genel fonksiyonlar yalınlaştırılırken her çıkışa ait fonksiyon için ayrı ayrı tüm asal çarpımlar kümesi bulunur ve bunların içinden seçim yapılır. urada dikkat edilmesi gereken nokta her iki çıkış için ortak çarpımların kullanılmaya çalışılmasıdır. 3.26

46 Tüm sal Çarpımlar Kümesinin Tablo Yöntemiyle (uine-mcluskey) ulunması Karnaugh diyagramları görsel özellikleri nedeniyle az değişkenli fonksiyonlarla ilgili çalışmalarda kolaylık sağlarlar. ncak değişken sayısı 5 ve daha fazla olduğunda Karnaugh diyagramlarını çizmek ve bitişiklilik özelliğini kullanmak zorlaşır. Tablo yöntemi (uine-mcluskey) ise sistematik bazı işlemlerin peş peşe tekrarlanmasından oluşmaktadır. u işlemleri elle yapmak fazla zaman alabilir, ancak söz konusu işlemleri bilgisayar programı ile gerçekleştirmek kolaydır. Tablo Yöntemi: Hatırlanacağı gibi, asal çarpımları bulmak için değeri üreten ve bitişik olan giriş kombinezonları (minterimler) gruplanmaya çalışılıyordu. Sadece bir değişkenin değiştiği (bitişik) olan kombinezonlar aynı gruba alınıyordu. Tablo yönteminde değeri olan her kombinezon (minterim) diğer minterimler ile karşılaştırılır. Eğer iki kombinezon arasında sadece bir giriş (değişken) farklıysa o iki kombinezon gruplanır. Farklı olan değişken silinerek yeni terim elde edilir. u durum hiç gruplama yapılamayana kadar devam eder. Hiç bir gruba girmeyen terimler asal çarpımlardır Yöntem: Karşılaştırma kolaylığı sağlamak için içindeki 'lerin sayısına göre kombinezonları kümeleyin. Komşu kümlerdeki kombinezonları karşılaştırın. Tek girişin farklı olduğu kombinezonları gruplayıp yeni kombinezonlar oluşturun. Yeni kombinezonlarda değeri değişen giriş yer almayacaktır. ir gruba girmiş olan kombinezonları işaretleyin. Yeni oluşan kombinezonlar üzerinde de aynı gruplama işlemlerini yeni gruplar oluşmayıncaya kadar sürdürün. Hiç bir gruba girmemiş olan kombinezonlar (işaretsizler) tüm asal çarpımlar kümesini oluştururlar. uine-mcluskey yöntemi sadece tüm asal çarpımlar kümesini (tüm temel içeren tabanını) bulmamızı sağlar. Yalınlaştırma işlemi için yine seçenekler tablosunu kullanmamız gerekecektir. 3.28

47 Örnek: şağıda verilen fonksiyonun tüm asal çarpımlar kümesini uine-mcluskey yöntemiyle bulunuz. f(x, x 2, x 3, x 4 )= Σ m (,, 2, 8,,, 4, 5 ) K.No x x 2 x 3 x K.No x x 2 x 3 x 4, -,2 -,8-2, - 8, -, -,4 -,5-4,5 - K.No x x 2 x 3 x 4,2,8, - -,8,2, - -,,4,5 - -,,4,5 - - ynı olanları yazmaya gerek yok Tüm asal çarpımlar kümesi (İşaretsiz olanlar): x ' x 2 ' x 3 ', x 2 ' x 4 ', x x 3 En ucuz çözümü elde etmek için bu aşamadan sonra seçenekler tablosu oluşturulur ve en ucuz yeterli taban bulunur. 3.29

48 Tümleştirilmiş Kombinezonsal Devre Elemanları Sayısal sistemlerin gerçekleştirilmesinde çokça kullanılan lojik devreler, klasik bağlaçların bir araya getirilmesiyle tümleştirilmiş devre olarak üretilirler ve satılırlar. ağlaçlar yerine bu devrelerin kullanılması tasarımları kolaylaştırır. Tümdevreler içerdikleri kapı sayısına göre çeşitli gruplara ayrılırlar. Tümleştirme düzeylerine göre gruplama: Küçük Ölçekli Tümleştirme (Small-Scale Integration SSI): u gruptaki tümdevreler taneden az lojik kapı içerirler. Örneğin 74 4 adet TVE kapısı içerir. Orta Ölçekli Tümleştirme (Medium-Scale Integration MSI): u gruptaki tümdevreler ile tane arasında lojik kapı içerirler. Toplayıcı, veri seçici, kod çözücü elemanlar bu gruba girer. üyük Ölçekli Tümleştirme (Large-Scale Integration LSI): u gruptaki tümdevreler binler mertebesinde lojik kapı içerirler. Mikroişlemciler, bellekler bu grupta yer alırlar. Çok üyük Ölçekli Tümleştirme (Veri Large-Scale Integration VLSI): u gruptaki tümdevreler yüzbinlerce ve daha fazla sayıda lojik kapı içerirler. Örnek: Gelişmiş mikroişlemciler ve büyük bellek tümdevreleri. 4. Yarım Toplayıcı (Half dder): İki adet birer bitlik sayıyı toplayan bir devredir. a b Yarım Toplayıcı s c a: irinci Sayı b: İkinci Sayı s: Sonuç c: Elde Çıkışı a b c s Doğruluk tablosundan devrenin ifadesi elde edilir. s= ab' + a'b c= ab a b a b a b s c u devre yanda gösterildiği gibi Y D (DRVEY) bağlacı kullanılarak da gerçeklenebilir. s= a b c= ab a b c s 4.2

49 Tam Toplayıcı (Full dder):: İki adet birer bitlik sayıyı eldeli olarak toplayan devredir. a b c i s bc i a a Tam Toplayıcı b c i s c o a: irinci Sayı b: İkinci Sayı c i : Elde Girişi s: Sonuç c o : Elde Çıkışı c o a bc i a a b c i c o s b s= a'b'c i + a'bc i '+ ab'c i '+ abc i c i s= a (b c i ) c o = ac i + bc i + ab s= a b c i 4.3 İki adet yarım toplayıcı ve bir adet VEY kapısı kullanarak bir tam toplayıcı gerçeklenebilir: a b a s Yarım b Toplayıcı c a 2 s 2 Yarım b 2 Toplayıcı c 2 2 c i c s a b a Yarım Toplayıcı s b a 2 b 2 c Yarım Toplayıcı 2 s 2 c2 s c o s= (a b) c i s= a b c i c o = (a b)c i + ab c o = (ab' + a'b)c i + ab c o = ab'c i + a'bc i + ab c o = ac i + bc i + ab c i 4.4

50 n-itlik İkili Paralel Toplayıcı: İki adet n bitlik 2 li sayıyı toplayan devredir. Toplanmak istenen sayıların basamak sayısına bağlı olarak bir bitlik tam toplayıcılar peş peşe bağlanarak ikili paralel toplayıcılar gerçeklenebilir. şağıda 4 bitlik bir ikili toplayıcı gösterilmiştir c o b a b a b a b a c c c TT 3 TT 2 TT c TT c i c c c o o c i o c o c i i s s s s c 4 S 3 S 2 S S. Sayı: Sayı: 3 2 Sonuç: S 3 S 2 S S Elde Girişi: c Elde Çıkışı: c 4 Örnek:. Sayı: 2.Sayı: Sonuç: Elde : 7483 tümdevresi 4 bitlik bir ikili toplayıcıdır. u tümdevre MSI tipindedir. 4.5 Veri Seçiciler (Multiplexer): 2 n adet veri girişi, n adet seçme (denetim) girişi, adet çıkışı vardır. Seçme girişlerine gelen değere göre, veri girişlerinden birindeki değer çıkışa aktarılır. Seçme girişlerindeki n bitlik ikili sayı hangi veri girişinin seçileceğini belirler. Veri seçiciler giriş sayılarına göre m: olarak adlandırılır. urada m veri girişlerinin sayısını gösterir. Örnek: 2: Veri seçici ( İkiye bir veri seçici olarak okunur) I I 2: VS s Z İşlev Tablosu: s Z I I Lojik ifade: Z = s' I + s I Doğruluk Tablosu: I I s Z 4.6

51 I I I2 I3 Diğer Veri Seçici (MU) Örnekleri: 4: mux s s Z Lojik İfadeler: İşlev Tablosu: s s Z I I I 2 I 3 2: mux: Z = s' I + s I 4: mux: Z = s ' s ' I + s ' s I + s s ' I2 + s s I3 8: mux: Z = s 2 's 's ' I + s 2 's 's I + s 2 's s ' I2 + s 2 's s I3 + s 2 s 's ' I4 + s 2 s 's I5 + s 2 s s ' I6 + s 2 s s I7 I I I2 I3 I4 I5 I6 I7 8: mux s 2 s s İşlev Tablosu: s 2 s s Z I Z I I 2 I 3 I 4 I 5 I 6 I 7 Genel İfade (k: Mux): Z k = ( mi j j) j= k=2 n, m j = j. minterim 4.7 Veri Seçiciler lojik bağlaçlar kullanılarak aşağıdaki gibi gerçeklenebilirler. 2: mux I s I I s I s s s s I I 4: mux I I 2 I I 2 I 3 I 3 4.8

MANTIK DEVRELERİ HALL, 2002) (SAYISAL TASARIM, ÇEVİRİ, LITERATUR YAYINCILIK) DIGITAL DESIGN PRICIPLES & PRACTICES (3. EDITION, PRENTICE HALL, 2001)

MANTIK DEVRELERİ HALL, 2002) (SAYISAL TASARIM, ÇEVİRİ, LITERATUR YAYINCILIK) DIGITAL DESIGN PRICIPLES & PRACTICES (3. EDITION, PRENTICE HALL, 2001) MANTIK DEVRELERİ DERSİN AMACI: SAYISAL LOJİK DEVRELERE İLİŞKİN KAPSAMLI BİLGİ SUNMAK. DERSİ ALAN ÖĞRENCİLER KOMBİNASYONEL DEVRE, ARDIŞIL DEVRE VE ALGORİTMİK DURUM MAKİNALARI TASARLAYACAK VE ÇÖZÜMLEMESİNİ

Detaylı

İKİLİ SAYILAR VE ARİTMETİK İŞLEMLER

İKİLİ SAYILAR VE ARİTMETİK İŞLEMLER İKİLİ SAYILAR VE ARİTMETİK İŞLEMLER DENEY 3 GİRİŞ Bu deneyde kurulacak devreler ile işaretsiz ve işaretli ikili sayılar üzerinde aritmetik işlemler yapılacak; işaret, elde, borç, taşma kavramları incelenecektir.

Detaylı

Ders Notlarının Creative Commons lisansı Feza BUZLUCA ya aittir. Lisans: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/

Ders Notlarının Creative Commons lisansı Feza BUZLUCA ya aittir. Lisans: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/ Eşzamanlı (Senkron) Ardışıl Devrelerin Tasarlanması (Design) Bir ardışıl devrenin tasarlanması, çözülecek olan problemin sözle anlatımıyla (senaryo) başlar. Bundan sonra aşağıda açıklanan aşamalardan geçilerek

Detaylı

25. Aşağıdaki çıkarma işlemlerini doğrudan çıkarma yöntemi ile yapınız.

25. Aşağıdaki çıkarma işlemlerini doğrudan çıkarma yöntemi ile yapınız. BÖLÜM. Büyüklüklerin genel özellikleri nelerdir? 2. Analog büyüklük, analog işaret, analog sistem ve analog gösterge terimlerini açıklayınız. 3. Analog sisteme etrafınızdaki veya günlük hayatta kullandığınız

Detaylı

Giriş MİKROİŞLEMCİ SİSTEMLERİ. Elektronik Öncesi Kuşak. Bilgisayar Tarihi. Elektronik Kuşak. Elektronik Kuşak. Bilgisayar teknolojisindeki gelişme

Giriş MİKROİŞLEMCİ SİSTEMLERİ. Elektronik Öncesi Kuşak. Bilgisayar Tarihi. Elektronik Kuşak. Elektronik Kuşak. Bilgisayar teknolojisindeki gelişme Giriş MİKROİŞLEMCİ SİSTEMLERİ Bilgisayar teknolojisindeki gelişme Elektronik öncesi kuşak Elektronik kuşak Mikroişlemci kuşağı Yrd. Doç. Dr. Şule Gündüz Öğüdücü 1 Bilgisayar Tarihi Elektronik Öncesi Kuşak

Detaylı

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. 2. BÖLÜM Boole Cebri ve Mantık

Detaylı

Sayı sistemleri iki ana gruba ayrılır. 1. Sabit Noktalı Sayı Sistemleri. 2. Kayan Noktalı Sayı Sistemleri

Sayı sistemleri iki ana gruba ayrılır. 1. Sabit Noktalı Sayı Sistemleri. 2. Kayan Noktalı Sayı Sistemleri 2. SAYI SİSTEMLERİ VE KODLAR Sayı sistemleri iki ana gruba ayrılır. 1. Sabit Noktalı Sayı Sistemleri 2. Kayan Noktalı Sayı Sistemleri 2.1. Sabit Noktalı Sayı Sistemleri 2.1.1. Ondalık Sayı Sistemi Günlük

Detaylı

5. LOJİK KAPILAR (LOGIC GATES)

5. LOJİK KAPILAR (LOGIC GATES) 5. LOJİK KPILR (LOGIC GTES) Dijital (Sayısal) devrelerin tasarımında kullanılan temel devre elemanlarına Lojik kapılar adı verilmektedir. Her lojik kapının bir çıkışı, bir veya birden fazla girişi vardır.

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

BSE 207 Mantık Devreleri Lojik Kapılar ve Lojik Devreler (Logic Gates And Logic Circuits)

BSE 207 Mantık Devreleri Lojik Kapılar ve Lojik Devreler (Logic Gates And Logic Circuits) SE 207 Mantık Devreleri Lojik Kapılar ve Lojik Devreler (Logic Gates nd Logic Circuits) Sakarya Üniversitesi Lojik Kapılar - maçlar Lojik kapıları ve lojik devreleri tanıtmak Temel işlemler olarak VE,

Detaylı

Elektronik sistemlerde dört farklı sayı sistemi kullanılır. Bunlar;

Elektronik sistemlerde dört farklı sayı sistemi kullanılır. Bunlar; I. SAYI SİSTEMLERİ Elektronik sistemlerde dört farklı sayı sistemi kullanılır. Bunlar; i) İkili(Binary) Sayı Sistemi ii) Onlu(Decimal) Sayı Sistemi iii) Onaltılı(Heksadecimal) Sayı Sistemi iv) Sekizli(Oktal)

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

MİNTERİM VE MAXİTERİM

MİNTERİM VE MAXİTERİM MİNTERİM VE MAXİTERİM İkili bir değişken Boolean ifadesi olarak değişkenin kendisi (A) veya değişkenin değili ( A ) şeklinde gösterilebilir. VE kapısına uygulanan A ve B değişkenlerinin iki şekilde Boolean

Detaylı

LOJİK İFADENİN VE-DEĞİL VEYA VEYA-DEĞİL LOJİK DİYAGRAMLARINA DÖNÜŞTÜRÜLMESİ

LOJİK İFADENİN VE-DEĞİL VEYA VEYA-DEĞİL LOJİK DİYAGRAMLARINA DÖNÜŞTÜRÜLMESİ LOJİK İFADENİN VE-DEĞİL VEYA VEYA-DEĞİL LOJİK DİYAGRAMLARINA DÖNÜŞTÜRÜLMESİ Sayısal tasarımcılar tasarladıkları devrelerde çoğu zaman VE-Değil yada VEYA-Değil kapılarını, VE yada VEYA kapılarından daha

Detaylı

BİLGİSAYAR MİMARİSİ. İkili Kodlama ve Mantık Devreleri. Özer Çelik Matematik-Bilgisayar Bölümü

BİLGİSAYAR MİMARİSİ. İkili Kodlama ve Mantık Devreleri. Özer Çelik Matematik-Bilgisayar Bölümü BİLGİSAYAR MİMARİSİ İkili Kodlama ve Mantık Devreleri Özer Çelik Matematik-Bilgisayar Bölümü Kodlama Kodlama, iki küme elemanları arasında karşılıklığı kesin olarak belirtilen kurallar bütünüdür diye tanımlanabilir.

Detaylı

3.3. İki Tabanlı Sayı Sisteminde Dört İşlem

3.3. İki Tabanlı Sayı Sisteminde Dört İşlem 3.3. İki Tabanlı Sayı Sisteminde Dört İşlem A + B = 2 0 2 1 (Elde) A * B = Sonuç A B = 2 0 2 1 (Borç) A / B = Sonuç 0 + 0 = 0 0 0 * 0 = 0 0 0 = 0 0 0 / 0 = 0 0 + 1 = 1 0 0 * 1 = 0 0 1 = 1 1 0 / 1 = 0 1

Detaylı

Bir işaretli büyüklük sayısında en soldaki basamak bir işaret içerir. Diğer basamaklarda ise sayısal değerin büyüklüğü (mutlak değeri) gösterilir.

Bir işaretli büyüklük sayısında en soldaki basamak bir işaret içerir. Diğer basamaklarda ise sayısal değerin büyüklüğü (mutlak değeri) gösterilir. İşaretli Tamsayı Gösterimi 1. İşaretli Büyüklük Bir işaretli büyüklük sayısında en soldaki basamak bir işaret içerir. Diğer basamaklarda ise sayısal değerin büyüklüğü (mutlak değeri) gösterilir. Örnek

Detaylı

BİL 201 Boole Cebiri ve Temel Geçitler (Boolean Algebra & Logic Gates) Bilgisayar Mühendisligi Bölümü Hacettepe Üniversitesi

BİL 201 Boole Cebiri ve Temel Geçitler (Boolean Algebra & Logic Gates) Bilgisayar Mühendisligi Bölümü Hacettepe Üniversitesi BİL 201 Boole Cebiri ve Temel Geçitler (Boolean Algebra & Logic Gates) Bilgisayar Mühendisligi Bölümü Hacettepe Üniversitesi Temel Tanımlar Kapalılık (closure) Birleşme özelliği (associative law) Yer değiştirme

Detaylı

2. SAYI SİSTEMLERİ VE KODLAR

2. SAYI SİSTEMLERİ VE KODLAR 2. SAYI SİSTEMLERİ VE KODLAR 2.1. Sabit Noktalı Sayı Sistemleri 2.1.1. Ondalık Sayı Sistemi Günlük yaşantımızda kullandığımız sayı sistemi ondalık (decimal) sayı sistemidir. Ayrıca 10 tabanlı sistem olarak

Detaylı

DENEY 3-1 Kodlayıcı Devreler

DENEY 3-1 Kodlayıcı Devreler DENEY 3-1 Kodlayıcı Devreler DENEYİN AMACI 1. Kodlayıcı devrelerin çalışma prensibini anlamak. GENEL BİLGİLER Kodlayıcı, bir ya da daha fazla girişi alıp, belirli bir çıkış kodu üreten kombinasyonel bir

Detaylı

KODLAMA VE HATA BULMA TEKNİKLERİ

KODLAMA VE HATA BULMA TEKNİKLERİ Karadeniz Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Sayısal Tasarım Laboratuvarı KODLAMA VE HATA BULMA TEKNİKLERİ Kodlama eleketronik dünyasında çok sık kullanılan, hatta

Detaylı

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Chapter 3 Boole Fonksiyon Sadeleştirmesi

Detaylı

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. SAYISAL DEVRE TASARIMI EEM Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI SAYISAL TASARIM 5. Baskı Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Birleşik Mantık Tanımı X{x, x, x, x n,}}

Detaylı

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. SAYISAL DEVRE TASARIMI EEM122 Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI SAYISAL TASARIM 4. Baskı Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. SAYISAL DEVRE NEDİR? Mühendisler, elektronik

Detaylı

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol:

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol: EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (Ebob) İki veya daha fazla pozitif tamsayıyı aynı anda bölen pozitif tamsayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve kısaca Ebob ile gösterilir. Örneğin,

Detaylı

Yrd.Doç.Dr. Celal Murat KANDEMİR. Kodlama (Coding) : Bir nesneler kümesinin bir dizgi (bit dizisi) kümesi ile temsil edilmesidir.

Yrd.Doç.Dr. Celal Murat KANDEMİR. Kodlama (Coding) : Bir nesneler kümesinin bir dizgi (bit dizisi) kümesi ile temsil edilmesidir. Bilgisayar Mimarisi İkilik Kodlama ve Mantık Devreleri Yrd.Doç.Dr. Celal Murat KANDEMİR ESOGÜ Eğitim Fakültesi - BÖTE twitter.com/cmkandemir Kodlama Kodlama (Coding) : Bir nesneler kümesinin bir dizgi

Detaylı

SAYI SİSTEMLERİ. 1. Sayı Sistemleri. Sayı Sistemlerinde Rakamlar

SAYI SİSTEMLERİ. 1. Sayı Sistemleri. Sayı Sistemlerinde Rakamlar SAYI SİSTEMLERİ 1. Sayı Sistemleri Sayı sistemleri; saymak, ölçmek gibi genel anlamda büyüklüklerin ifade edilmesi amacıyla kullanılan sistemler olarak tanımlanmaktadır. Temel olarak 4 sayı sistemi mevcuttur:

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

Algoritma Geliştirme ve Veri Yapıları 3 Veri Yapıları. Mustafa Kemal Üniversitesi

Algoritma Geliştirme ve Veri Yapıları 3 Veri Yapıları. Mustafa Kemal Üniversitesi Algoritma Geliştirme ve Veri Yapıları 3 Veri Yapıları Veri yapısı, bilginin anlamlı sırada bellekte veya disk, çubuk bellek gibi saklama birimlerinde tutulması veya saklanması şeklini gösterir. Bilgisayar

Detaylı

VE DEVRELER LOJİK KAPILAR

VE DEVRELER LOJİK KAPILAR ÖLÜM 3 VE DEVELEI LOJIK KPIL VE DEVELE LOJİK KPIL Sayısal devrelerin tasarımında kullanılan temel devre elemanlarına Lojik kapılar adı verilir. ir lojik kapı bir çıkış, bir veya birden fazla giriş hattına

Detaylı

İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ LOJİK DEVRELERİ LABORATUVARI DENEY RAPORU : İKİLİ SAYILAR VE ARİTMETİK İŞLEMLER

İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ LOJİK DEVRELERİ LABORATUVARI DENEY RAPORU : İKİLİ SAYILAR VE ARİTMETİK İŞLEMLER İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ LOJİK DEVRELERİ LABORATUVARI DENEY RAPORU DENEYİN ADI : İKİLİ SAYILAR VE ARİTMETİK İŞLEMLER RAPORU HAZIRLAYAN : BEYCAN KAHRAMAN Toplam yedi (

Detaylı

6. Fiziksel gerçeklemede elde edilen sonuç fonksiyonlara ilişkin lojik devre şeması çizilir.

6. Fiziksel gerçeklemede elde edilen sonuç fonksiyonlara ilişkin lojik devre şeması çizilir. 5. KOMBİNEZONSAL LOJİK DEVRE TASARIMI 5.1. Kombinezonsal Devre Tasarımı 1. Problem sözle tanıtılır, 2. Giriş ve çıkış değişkenlerinin sayısı belirlenir ve adlandırılır, 3. Probleme ilişkin doğruluk tablosu

Detaylı

(Boolean Algebra and Logic Simplification) Amaçlar Lojik sistemlerin temeli olarak Booleron Matematiğini tanıtmak

(Boolean Algebra and Logic Simplification) Amaçlar Lojik sistemlerin temeli olarak Booleron Matematiğini tanıtmak Boolean Kuralları ve Lojik İfadelerin Sadeleştirilmesi BÖLÜM 4 (Boolean lgebra and Logic Simplification) maçlar Lojik sistemlerin temeli olarak Booleron Matematiğini tanıtmak Başlıklar Booleron Kurallarını

Detaylı

Yarım Toplayıcı (Half Adder): İki adet birer bitlik sayıyı toplayan bir devredir. a: Birinci Sayı a b c s. a b. s c.

Yarım Toplayıcı (Half Adder): İki adet birer bitlik sayıyı toplayan bir devredir. a: Birinci Sayı a b c s. a b. s c. Syıl Devreler (Lojik Devreleri) Tümleştirilmiş Kominezonl Devre Elemnlrı Syıl itemlerin gerçekleştirilmeinde çokç kullnıln lojik devreler, klik ğlçlrın ir ry getirilmeiyle tümleştirilmiş devre olrk üretilirler

Detaylı

Mikrobilgisayarda Aritmetik

Mikrobilgisayarda Aritmetik 14 Mikrobilgisayarda Aritmetik SAYITLAMA DİZGELERİ Sayıları göstermek (temsil etmek) için tarih boyunca türlü simgeler kullanılmıştır. Konumuz bu tarihi gelişimi incelemek değildir. Kullanılan sayıtlama

Detaylı

Bölüm 4 Ardışıl Lojik Devre Deneyleri

Bölüm 4 Ardışıl Lojik Devre Deneyleri Bölüm 4 Ardışıl Lojik Devre Deneyleri DENEY 4-1 Flip-Floplar DENEYİN AMACI 1. Kombinasyonel ve ardışıl lojik devreler arasındaki farkları ve çeşitli bellek birimi uygulamalarını anlamak. 2. Çeşitli flip-flop

Detaylı

2. SAYI SİSTEMLERİ. M.İLKUÇAR - imuammer@yahoo.com

2. SAYI SİSTEMLERİ. M.İLKUÇAR - imuammer@yahoo.com Sayı Sistemleri İşlemci elektrik sinyalleri ile çalışır, bu elektrik sinyallerini 1/0 şeklinde yorumlayarak işlemcide olup bitenler anlaşılabilir hale getirilir. Böylece gerçek hayattaki bilgileri 1/0

Detaylı

Minterm'e Karşı Maxterm Çözümü

Minterm'e Karşı Maxterm Çözümü Minterm'e Karşı Maxterm Çözümü Şimdiye kadar mantık sadeleştirme problemlerine Çarpımlar-ın-Toplamı (SOP) çözümlerini bulduk. Her bir SOP çözümü için aynı zamanda Toplamlar-ın-Çarpımı (POS) çözümü de vardır,

Detaylı

DENEY 4: TOPLAYICILAR, ÇIKARICILAR VE KARŞILAŞTIRICILAR

DENEY 4: TOPLAYICILAR, ÇIKARICILAR VE KARŞILAŞTIRICILAR DENEY 4: TOPLAYICILAR, ÇIKARICILAR VE KARŞILAŞTIRICILAR 1 Amaç Toplayıcı ve çıkarıcı devreleri kurmak ve denemek. Büyüklük karşılaştırıcı devreleri kurmak ve denemek. 2 Kullanılan Malzemeler 7404 Altılı

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

Excel' de formüller yazılırken iki farklı uygulama kullanılır. Bunlardan;

Excel' de formüller yazılırken iki farklı uygulama kullanılır. Bunlardan; 7. FORMÜLLER SEKMESİ Excel in en çok kullanılan yönü hesaplama yönüdür. Hesaplamalar Formüller aracılığıyla yapılır. Formüller sekmesi anlatılırken sık kullanılan formüller ve formül yazımı da anlatılacaktır.

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

ENTEGRELER (Integrated Circuits, IC) Entegre nedir, nerelerde kullanılır?...

ENTEGRELER (Integrated Circuits, IC) Entegre nedir, nerelerde kullanılır?... ENTEGRELER (Integrated Circuits, IC) Entegre nedir, nerelerde kullanılır?... İçerik Düzeni Entegre Tanımı Entegre Seviyeleri Lojik Aileler Datasheet Okuma ENTEGRE TANIMI Entegreler(IC) chip adı da verilen,

Detaylı

EXCEL 2007 ELEKTRONİK ÇİZELGE

EXCEL 2007 ELEKTRONİK ÇİZELGE EXCEL 2007 ELEKTRONİK ÇİZELGE Excel, Microsoft Office paketinde yer alan ve iş hayatında en sık kullanılan programlardandır. Bir hesap tablosu programıdır. Excel, her türlü veriyi (özellikle sayısal verileri)

Detaylı

Kafes Yapıları. Hatırlatma

Kafes Yapıları. Hatırlatma Kafes Yapıları Ders 7 8-1 Hatırlatma Daha önce anlatılan sıra bağıntısını hatırlayalım. A kümesinde bir R bağıntsı verilmiş olsun. R bağıntısı; a. Yansıma (Tüm a A için, sadece ve sadece ara ise yansıyandır(reflexive)).

Detaylı

Bölüm 4 Ardışıl Lojik Devre Deneyleri

Bölüm 4 Ardışıl Lojik Devre Deneyleri Bölüm 4 Ardışıl Lojik Devre Deneyleri DENEY 4-1 Flip-Floplar DENEYİN AMACI 1. Kombinasyonel ve ardışıl lojik devreler arasındaki farkları ve çeşitli bellek birimi uygulamalarını anlamak. 2. Çeşitli flip-flop

Detaylı

mustafacosar@hitit.edu.tr http://web.hitit.edu.tr/mustafacosar

mustafacosar@hitit.edu.tr http://web.hitit.edu.tr/mustafacosar Algoritma ve Programlamaya Giriş mustafacosar@hitit.edu.tr http://web.hitit.edu.tr/mustafacosar İçerik Algoritma Akış Diyagramları Programlamada İşlemler o o o Matematiksel Karşılaştırma Mantıksal Programlama

Detaylı

Algoritma ve Akış Diyagramları

Algoritma ve Akış Diyagramları Algoritma ve Akış Diyagramları Bir problemin çözümüne ulaşabilmek için izlenecek ardışık mantık ve işlem dizisine ALGORİTMA, algoritmanın çizimsel gösterimine ise AKIŞ DİYAGRAMI adı verilir 1 Akış diyagramları

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan

Detaylı

Bilgisayar Mühendisligi Bölümü Hacettepe Üniversitesi

Bilgisayar Mühendisligi Bölümü Hacettepe Üniversitesi Bu derste... BİL 201 Birleşimsel Mantık (Combinational Logic) Bilgisayar Mühendisligi Bölümü Hacettepe Üniversitesi Birleşimsel Devreler - Çözümlenmesi - Tasarımı Birleşimsel Devre Örnekleri - Yarım Toplayıcı

Detaylı

15. Bağıntılara Devam:

15. Bağıntılara Devam: 15. Bağıntılara Devam: Yerel Bağıntılardan Örnekler: Doğal sayılar kümesi üzerinde bir küçüğüdür (< 1 ) bağıntısı: < 1 {(x, x+1) x N} {(0,1), (1, 2), } a< 1 b yazıldığında, a doğal sayılarda bir küçüktür

Detaylı

BÖLÜM 2 SAYI SĐSTEMLERĐ (NUMBER SYSTEMS)

BÖLÜM 2 SAYI SĐSTEMLERĐ (NUMBER SYSTEMS) ÖLÜM ĐÇĐNDEKĐLER -sayı sistemleri 2-kodlama ve kodlar 3-boolean kuralları 4-lojik kapılar,lojik devreler 5-karnaugh haritaları 6-sayısal entereler 7-birleşik mantık devreleri 8-multi vibratörler ve flip-floplar

Detaylı

Sayıtlama Dizgeleri. (a n a n-1 a n1 a n0. b 1 b 2 b m )r. simgesi şu sayıyı temsil eder.

Sayıtlama Dizgeleri. (a n a n-1 a n1 a n0. b 1 b 2 b m )r. simgesi şu sayıyı temsil eder. 1 Sayıtlama Dizgeleri Hint-Arap Sayıtlama Dizgesi Sayıları göstermek (temsil etmek) için tarih boyunca türlü simgeler kullanılmıştır. Sümerlerin, Mısırlıların, Romalıların ve diğer uygarlıkların kullandıkları

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

n. basamak... 4. basamak 3. basamak 2. basamak 1. basamak Üstel değer 10 n-1... 10 3 10 2 10 1 10 0 Ağırlık 10 n-1...

n. basamak... 4. basamak 3. basamak 2. basamak 1. basamak Üstel değer 10 n-1... 10 3 10 2 10 1 10 0 Ağırlık 10 n-1... KAYNAK : http://osmanemrekandemir.wordpress.com/ SAYI SISTEMLERI Decimal(Onlu) Sayı sistemi günlük hayatta kullandığım ız 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 rakamlarından oluşur. Decimal(Onlu) Sayı sisteminde her sayı

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 İçindekiler 1. ÜNİTE Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8 Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18 Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 Bölüm 4 :- Çarpanlar ve Katlar, Bölünebilme... 40 Bölüm 5 : Asal Sayılar, Ortak Bölenler,

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

Programlama Dilleri. C Dili. Programlama Dilleri-ders02/ 1

Programlama Dilleri. C Dili. Programlama Dilleri-ders02/ 1 Programlama Dilleri C Dili Programlama Dilleri-ders02/ 1 Değişkenler, Sabitler ve Operatörler Değişkenler (variables) bellekte bilginin saklandığı gözlere verilen simgesel isimlerdir. Sabitler (constants)

Detaylı

BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ

BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ ARİTMETİK DEVRELER Ankara, 2013 Bu modül, mesleki ve teknik eğitim okul/kurumlarında uygulanan Çerçeve Öğretim Programlarında yer alan yeterlikleri kazandırmaya

Detaylı

BÖLÜM 9 (COUNTERS) SAYICILAR SAYISAL ELEKTRONİK. Bu bölümde aşağıdaki konular anlatılacaktır

BÖLÜM 9 (COUNTERS) SAYICILAR SAYISAL ELEKTRONİK. Bu bölümde aşağıdaki konular anlatılacaktır SYISL ELETRONİ ÖLÜM 9 (OUNTERS) SYIILR u bölümde aşağıdaki konular anlatılacaktır Sayıcılarda Mod kavramı senkron sayıcılar senkron yukarı sayıcı (Up counter) senkron aşağı sayıcı (Down counter) senkron

Detaylı

27.10.2011 HAFTA 1 KALICI OLMAYAN HAFIZA RAM SRAM DRAM DDRAM KALICI HAFIZA ROM PROM EPROM EEPROM FLASH HARDDISK

27.10.2011 HAFTA 1 KALICI OLMAYAN HAFIZA RAM SRAM DRAM DDRAM KALICI HAFIZA ROM PROM EPROM EEPROM FLASH HARDDISK Mikroişlemci HAFTA 1 HAFIZA BİRİMLERİ Program Kodları ve verinin saklandığı bölüm Kalıcı Hafıza ROM PROM EPROM EEPROM FLASH UÇUCU SRAM DRAM DRRAM... ALU Saklayıcılar Kod Çözücüler... GİRİŞ/ÇIKIŞ G/Ç I/O

Detaylı

BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ

BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ ARİTMETİK DEVRELER 523EO0025 Ankara, 2011 Bu modül, mesleki ve teknik eğitim okul/kurumlarında uygulanan Çerçeve Öğretim Programlarında yer alan yeterlikleri

Detaylı

C PROGRAMLAMA YRD.DOÇ.DR. BUKET DOĞAN PROGRAM - ALGORİTMA AKIŞ ŞEMASI

C PROGRAMLAMA YRD.DOÇ.DR. BUKET DOĞAN PROGRAM - ALGORİTMA AKIŞ ŞEMASI C PROGRAMLAMA DİLİ YRD.DOÇ.DR. BUKET DOĞAN 1 PROGRAM - ALGORİTMA AKIŞ ŞEMASI Program : Belirli bir problemi çözmek için bir bilgisayar dili kullanılarak yazılmış deyimler dizisi. Algoritma bir sorunun

Detaylı

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler 9. SINIF SONUÇ YYINLRI 9. Sınıf Kümeler Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması,

Detaylı

4- ALGORİTMA (ALGORITHM)

4- ALGORİTMA (ALGORITHM) (ALGORITHM) Algoritma: Bir Problemin çözümünün, günlük konuşma diliyle adım adım yazılmasıdır. Algoritma sözcüğü Ebu Abdullah Muhammed İbn Musa el Harezmi adındaki Türkistan'lı alimden kaynaklanır. Bu

Detaylı

Algoritmalar ve Programlama. Algoritma

Algoritmalar ve Programlama. Algoritma Algoritmalar ve Programlama Algoritma Algoritma Bir sorunu / problemi çözmek veya belirli bir amaca ulaşmak için gerekli olan sıralı mantıksal adımların tümüne algoritma denir. Algoritma bir sorunun çözümü

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

B.Ç. / E.B. MİKROİŞLEMCİLER

B.Ç. / E.B. MİKROİŞLEMCİLER 1 MİKROİŞLEMCİLER RESET Girişi ve DEVRESİ Program herhangi bir nedenle kilitlenirse ya da program yeniden (baştan) çalıştırılmak istenirse dışarıdan PIC i reset yapmak gerekir. Aslında PIC in içinde besleme

Detaylı

Mantık Devreleri Laboratuarı

Mantık Devreleri Laboratuarı 2013 2014 Mantık Devreleri Laboratuarı Ders Sorumlusu: Prof. Dr. Mehmet AKBABA Laboratuar Sorumlusu: Emrullah SONUÇ İÇİNDEKİLER Deney 1: 'DEĞİL', 'VE', 'VEYA', 'VE DEĞİL', 'VEYA DEĞİL' KAPILARI... 3 1.0.

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

Algoritmanın Hazırlanması

Algoritmanın Hazırlanması Algoritmanın Hazırlanması Algoritma, herhangi bir sorunun çözümü için izlenecek yol anlamına gelmektedir. Çözüm için yapılması gereken işlemler hiçbir alternatif yoruma izin vermeksizin sözel olarak ifade

Detaylı

Lojik Kapılar ve Lojik Devreler (Logic Gates And Logic Circuits)

Lojik Kapılar ve Lojik Devreler (Logic Gates And Logic Circuits) Lojik Kapılar ve Lojik Devreler (Logic Gates nd Logic Circuits) ÖLÜM 5 maçlar Lojik kapıları ve lojik devreleri tanıtmak Temel işlemler olarak VE, VEY ve DEĞİL işlemlerini tanıtıp, temel işlemleri gerçekleştirmek

Detaylı

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri ölüm 3: Vektörler Kavrama Soruları 1- Neden vektörlere ihtiyaç duyarız? - Vektör ve skaler arasındaki fark nedir? 3- Neden vektörel bölme işlemi yapılamaz? 4- π sayısı vektörel mi yoksa skaler bir nicelik

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi

Detaylı

Mikroişlemcilerde Aritmetik

Mikroişlemcilerde Aritmetik Mikroişlemcilerde Aritmetik Mikroişlemcide Matematiksel Modelleme Mikroişlemcilerde aritmetik işlemler (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) bu iş için tasarlanmış bütünleşik devrelerle yapılır. Bilindiği

Detaylı

Excel Nedir? Microsoft Excell. Excel de Çalışma sayfası-tablo

Excel Nedir? Microsoft Excell. Excel de Çalışma sayfası-tablo Microsoft Excell Excel Nedir? Excel programı; veriler üzerinde hesap yapabilme, verileri tabloya dönüştürebilme, verileri karşılaştırıp sonuç üretebilme, grafik oluşturma, veri yönetimi yapabilir. http://mf.dpu.edu.tr/~eyup

Detaylı

EEM122SAYISAL MANTIK SAYICILAR. Elektrik Elektronik Mühendisliği Yrd. Doç. Dr. Hüseyin Sağkol

EEM122SAYISAL MANTIK SAYICILAR. Elektrik Elektronik Mühendisliği Yrd. Doç. Dr. Hüseyin Sağkol EEM122SAYISAL MANTIK BÖLÜM 6: KAYDEDİCİLER VE SAYICILAR Elektrik Elektronik Mühendisliği Yrd. Doç. Dr. Hüseyin Sağkol KAYDEDİCİLER VE SAYICILAR Flip-flopkullanan devreler fonksiyonlarına göre iki guruba

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

Microsoft Office Excel 2007

Microsoft Office Excel 2007 2014 Microsoft Office Excel 2007 Öğr. Gör. Serkan KORKMAZ Harran Üniversitesi Birecik Meslek Yüksekokulu İçindekiler MİCROSOFT OFFİCE EXCEL 2007... 4 EXCEL ORTAMINDA ÇALIŞMAK... 4 EXCEL ÇALIŞMA SAYFASI...

Detaylı

(Random-Access Memory)

(Random-Access Memory) BELLEK (Memory) Ardışıl devreler bellek elemanının varlığı üzerine kuruludur Bir flip-flop sadece bir bitlik bir bilgi tutabilir Bir saklayıcı (register) bir sözcük (word) tutabilir (genellikle 32-64 bit)

Detaylı

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI SIGNAL FLOW GRAPH İŞARET AKIŞ DİYAGRAMLARI İşaret akış diyagramları blok diyagramlara bir alternatiftir. Fonksiyonel bloklar, işaretler, toplama noktaları

Detaylı

SAYISAL UYGULAMALARI DEVRE. Prof. Dr. Hüseyin EKİZ Doç. Dr. Özdemir ÇETİN Arş. Gör. Ziya EKŞİ

SAYISAL UYGULAMALARI DEVRE. Prof. Dr. Hüseyin EKİZ Doç. Dr. Özdemir ÇETİN Arş. Gör. Ziya EKŞİ SAYISAL DEVRE UYGULAMALARI Prof. Dr. Hüseyin EKİZ Doç. Dr. Özdemir ÇETİN Arş. Gör. Ziya EKŞİ İÇİNDEKİLER ŞEKİLLER TABLOSU... vi MALZEME LİSTESİ... viii ENTEGRELER... ix 1. Direnç ve Diyotlarla Yapılan

Detaylı

Excel de Pivot Tablolar Tasarım ve Kullanımı

Excel de Pivot Tablolar Tasarım ve Kullanımı FARUK ÇUBUKÇU EXCEL AKADEMİ Excel de Pivot Tablolar Tasarım ve Kullanımı Pivot tablolar; satışlar, siparişler gibi verileri gruplamayı, alt toplamlarını almayı ve filtreleme işlemleri yapmayı sağlayan

Detaylı

VHDL. Ece Olcay Güneş & S. Berna Örs

VHDL. Ece Olcay Güneş & S. Berna Örs VHDL Ece Olcay Güneş & S. Berna Örs Giriş VHDL VHSIC Hardware Description Language in kısaltmasıdır. VHSIC Very High Speed Integrated Circuit in kısaltmasıdır. VHDL dışında da pekçok donanım tasarlama

Detaylı

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI ASAL SAYILAR Asal sayılar, 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan 1' den büyük tamsayılardır. En küçük asal sayı, 2' dir. 2 asal sayısı dışında çift asal sayı yoktur. Yani, 2 sayısı dışındaki

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR Test -1

TEMEL KAVRAMLAR Test -1 TEMEL KAVRAMLAR Test -1 1. 6 ( ) 4 A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 5. 4 [1 ( 3). ( 8)] A) 4 B) C) 0 D) E) 4. 48: 8 5 A) 1 B) 6 C) 8 D) 1 E) 16 6. 4 7 36:9 18 : 3 A) 1 B) 8 C) D) 4 E) 8 3. (4: 3 + 1):4 A) 3 B) 5

Detaylı

2012 YGS MATEMATİK Soruları

2012 YGS MATEMATİK Soruları 01 YGS MATEMATİK Soruları 1. 10, 1, 0, 0, işleminin sonucu kaçtır? A) B), C) 6 D) 6, E) 7. + ABC 4 x 864 Yukarıda verilenlere göre, çarpma işleminin sonucu kaçtır? A) 8974 B) 907 C) 9164 D) 94 E) 98. 6

Detaylı

FORMAT (a1,a2,a3,...) : format deyiminin satır numarasıdır READ, WRITE deyimleri ile verilir. : alan bildirim deyimleridir.

<fn> FORMAT (a1,a2,a3,...) : format deyiminin satır numarasıdır READ, WRITE deyimleri ile verilir. : alan bildirim deyimleridir. FORMAT deyimi Değişkenlere ait bilgilerin yazılması veya değişkenlere değer okunması sırasında, gerekli tür ve uzunlukların belirtildiği yani giriş ve çıkış işlemlerinin hangi düzende olması gerektiğini

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

KÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez.

KÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez. MTEMTĐK ĐM YILLR 00 00 004 005 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - - - - 1 1 1/1 /LYS KÜMELER TNIM: in tam bir tanımı yoksa da matematikçiler kümeyi; iyi tanımlanmış nesneler topluluğu olarak kabul

Detaylı

MATEMATÝK TEMEL SEVÝYE DEVLET OLGUNLUK SINAVI. Testin Çözme Süresi: 180 dakika ADAY ÝÇÝN AÇIKLAMALAR - YÖNERGE DEVLET SINAV MERKEZÝ ADAYIN ÞÝFRESÝ

MATEMATÝK TEMEL SEVÝYE DEVLET OLGUNLUK SINAVI. Testin Çözme Süresi: 180 dakika ADAY ÝÇÝN AÇIKLAMALAR - YÖNERGE DEVLET SINAV MERKEZÝ ADAYIN ÞÝFRESÝ ADAYIN ÞÝFRESÝ BURAYA YAPIÞTIR DEVLET OLGUNLUK SINAVI DEVLET SINAV MERKEZÝ MATEMATÝK - TEMEL SEVÝYE MATEMATÝK TEMEL SEVÝYE Testin Çözme Süresi: 180 dakika Haziran, 2009 yýlý BÝRÝNCÝ deðerlendiricinin þifresi

Detaylı

Algoritma Geliştirme ve Veri Yapıları 9 Ağaç Veri Modeli ve Uygulaması. Mustafa Kemal Üniversitesi

Algoritma Geliştirme ve Veri Yapıları 9 Ağaç Veri Modeli ve Uygulaması. Mustafa Kemal Üniversitesi Algoritma Geliştirme ve Veri Yapıları 9 Ağaç Veri Modeli ve Uygulaması Ağaç, verilerin birbirine sanki bir ağaç yapısı oluşturuyormuş gibi sanal olarak bağlanmasıyla elde edilen hiyararşik yapıya sahip

Detaylı

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr

ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr ASAL SAYILAR ve kendisinden aşka pozitif öleni olmayan den üyük doğal sayılara asal sayı denir.,, 5, 7,,, 7, 9, sayıları irer asal sayıdır. En küçük asal sayı dir. den aşka çift asal sayı yoktur. den aşka

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS. Mantık Devreleri EEE307 5 3+0 3 3

Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS. Mantık Devreleri EEE307 5 3+0 3 3 DERS BİLGİLERİ Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS Mantık Devreleri EEE307 5 3+0 3 3 Ön Koşul Dersleri Dersin Dili Dersin Seviyesi Dersin Türü İngilizce Lisans Zorunlu / Yüz Yüze Dersin

Detaylı