lkö retim Matematik Ö retmen Adaylar n Hacim Ölçmede Birim Kullanmaya Yönelik Kavray lar

Transkript

1 lköretim Matematik Öretmen Adaylarn Hacim Ölçmede Birim Kullanmaya Yönelik Kavraylar Yasemin ESEN a1, Erdinç ÇAKIROLU b a Kocaeli Üniversitesi b Ortadou Teknik Üniversitesi Özet: Bu çalmada öretmen adaylarn hacim ölçmede birim kullanmaya yönelik kavraylar incelenmektedir. Nitel yöntemlerin kullanld bu ararmann örneklem uzay 24 öretmen adayndan olumaktadr. Öretmen adaylarn hacim ölçmede standart olmayan birim kullanmaya yönelik kavramsal yaplar görümeler yoluyla belirlenerek betimlenmeye çallmr. Bu amaçla dikdörtgenler prizmaseklindeki bir cismin standart olmayan ölçme birimi ile ölçülmesi srasnda bir örencinin gelitirebilecei çözümlerden birisi öretmen adaylarna verilmitir. 24 öretmen adayndan senaryoda verilen çözümü incelemeleri, örencinin gelitirdii yaklan doruluunu deerlendirmeleri istenmitir. Bu esnada hacim ölçmeyle ilgili düünceleri ile standart olmayan birimlerle hacim ölçmeye yönelik yaklamlar sorgulanmr. Örenci cevab olarak kurgulanan yanl yaklam retmen adaylarn bazlar tarafndan fark edilmemi ve hatta örenci yaklandaki yanln öretmen adaylar tarafndan da tekrar edildii gözlemlenmitir. Anahtar Kelimeler: Öretmen adaylar, matematik öretimi, hacim ölçme, standart olmayan birim, somut bilgi, lemsel bilgi, kavramsal bilgi retimin niteliindeki en belirleyici unsur öretmenlerdir. Bu nedenle öretmenlerin hangi özelliklerinin öretim sürecine daha fazla katk salad anlamak önem kazanmaktadr l llardan bu yana ararmaclarn ilgisini çeken öretmenlik bilgisi kavram yllar boyunca hem kuramsal açdan hem de ararma yöntemleri açndan çok fazla deiklik geçirmitir. Önceleri öretmenlerin sahip olmalar gereken yeterlilikler teknik ayrntlaryla davranlar olarak ifade edilmitir (TED, 2009). Fakat Shulman (1986) çalmasnda o döneme kadar yaplan çalmalarn öretmenlerin gözlenebilir özellikleri üzerine kurulu olmasna kar çkm ve öretmenlik üzerine yaplan çalmalarn retmenlerin düünme yaplarndan bamsz olmas eletirmitir. Ayn ekilde Leinhardt (1990) retmenlik bilgisini öretmenlerin gözlemlenebilir belli davranlarna, alan bilgisine yönelik navlardan aldklar puanlara veya örencilerinin baar puanlarna göre deerlendirilmesinin hatal sonuçlar üretebileceine vurgu yapmr. Bu dorultuda Shulman, 1987 yndaki çalmasnda retmenlik bilgisini tanmlad ve alt alanlar sflandrd yeni bir model sunmutur. Shulman n çalmalar ile birlikte, öretmenlik bilgisi üzerinde çalan ararmaclarn vardklar ortak sonuç mühendislik, tp doktorluu gibi mesleklere benzer ekilde öretmenlik mesleinin kendine has bilgi alann olduu ve bu bilgi alann her disiplin için farkl özellikler tamas gerektii yönündedir (Ball, Hill ve Bass, 2005; Ball, Lubienski ve Mewborn, 2001; Shulman, 1986 ve 1987). Öretmenlik Bilgisi çok genel anlam ile öretmenlerin konu hakknda bilgi sahibi dier yetikinlerden farkl olarak, sahip olmalar gereken bilgi alanlar ile tanmlanmaya ve srlandlmaya çallmaktadr. Öretmenlik bilgisinin en temel bileenlerinden birisi alan bilgisidir. Shulman (1986) alan bilgisini, ilgili disiplindeki temel dorular, algoritmalar, kavramalarn anlamlar ve birbirleri ile ilikilerini, ksacas ilgili alana dair bilgiler ve bu bilgilerin organizasyon emasn tümü olarak tanmlamr. Matematik öretmenlii için tanmlanan öretmenlik bilgisinin de en temel bileenlerinden birisi matematik alan bilgisidir (Ball, 1988; Ball, Hill ve Bass, 2005) ve matematik öretiminin etkili olabilmesi için öretmenlerin sahip olduklar matematik bilgilerinin hem ilikisel hem de derinlemesine bir yap göstermesi gerektii vurgulanmaktadr (Ball, 1988; Ball ve Bass, 2003; Ball, Lubienski ve Mewborn, 2001; Hill, Rowan ve Ball, 2005; Even, 1993; Ponte ve Chapman, 2006). Matematik öretiminde kilit rol oynayan matematik alan bilgisinin, öretmen adaylar tarafndan nasl anlamlandld gereken önemli 1 letiim: yesen@metu.edu.tr MED Say 1 21

2 konulardandr (Adler, Ball, Krainer, Lin ve Novatna, 2005). Matematik alan bilgisinin temel olarak içeriksel bilgi ve sözdizimsel bilgi yaplarndan olutuu ifade edilmektedir (Rowland ve Turner, 2008). çeriksel Bilgi alana özgü kavramlar, prensipler, kilit noktalar ve genel olarak alandaki bilginin doruluunu açklamaya yarayan bilgilerin tümünü içermekte iken; Sözdizimsel Bilgi kavramlarn doas, yeni bilgilerin nasl olutuu, yeni bilgilerin toplum tarafndan kabul edili süreçlerinin tümünü içermektedir. çeriksel Bilgi kapsamnda öretmenlerden matematik yapmalarn yan sra karlaklar bir bilginin dorulunu test edebilmeleri, bir ilemin altnda yatan matematiksel algoritmay, bir kavramn dier kavramlarla olan ilikisini açklayabilmeleri beklenmektedir (Ball, 1988). lköretim matematik öretim programnda yer alan ölçme örenme alan doas gerei matematiksel pek çok kavramla kesirler, ondalk kesirler, geometri ve saylarla ilemler vs ilikilidir. Ayrca gerçek hayattaki modellerin birebir gözlenebildii ve bu modeller üzerinde incelemeler yaplabildii için matematiin gerçek hayat ile ilikilendirmesine olanak salamas bakndan önemlidir (Lehrer, 2003). Battista (2007) hacim kavramn öretimi srasnda matematiksel kavramlarn anlamlandlmas, içselletirilmesi ve kavramlarn ilikilendirilmesinin önemine vurgu yapmaktadr. Bu noktada özellikle hacim kavramn dorudan en x boy x yükseklik formülü ile badalmasn renciler için hacmin kavramsallamasn önüne geçtiine dikkat çekmektedir (Battista ve Clements, 1996). Zembat (2010) ilköretim örencilerinin hacim ölçme ile ilgili sadece en x boy x yükseklik formülüne ba kaldklar ve kavramsal olarak hacim hesabnda yanl genellemeler ve hatalar yaptklarna dikkat çekmektedir. Ölçmeyle ilgili kavramlarn içselletirilmesi ve anlaml örenmenin salanmas için birim kavram önemlidir (Wilson ve Rowland, 1993). Birim kavram ölçülecek nesne veya olgu ile ölçüm arasnda dorudan bir köprü kurmaktadr (Hiebert, 1981). Bu anlam ile, birim kavram ölçme kavramn altnda yatan temel düünceyi temsil etmektedir. Hiebert e (1981) göre ölçme kavramn anlaml olarak renilmesi ve içselletirilmesi büyük oranda birim kavramn anlalmas ile ilikilidir. Bu noktadan hareketle çalmamzda öretmen adaylarn hacim kavram ile ilgili yaklamlar ararmaya deer bulunmutur. Bu kapsamda öretmen adaylarn hacim ölçmede standart olmayan birim kullanmaya yönelik kavramsal yaplarn görümeler yoluyla belirlenmesi amaçlanmr ve çalmada adaki sorulara cevap aranmr. YÖNTEM 1) lköretim matematik öretmen adaylarn hacim ölçmede birim kullanmaya yönelik kavraylar nasldr? 2) lköretim matematik öretmen adaylarn hacim ölçme ilemi ile ilgili somut, ilemsel ve kavramsal bilgi düzeyleri nasldr? Yaplan bu çalma esasnda daha kapsaml bir test gelitirme çalmasn alt parças olarak tasarlanmr. Görümelerdeki esas amaç çoktan seçmeli olarak düzenlenmi sorularn nasl çalklar görmek, snav alan kiilerce sorularn nasl anlamlandldklar ortaya çkarmaktr. Bu sürecin bir parças olarak öretmen adaylarna daha önce alm olduklar test tekrar verilmi ve belirli bir süre içinde tekrar gözden geçirmeleri istenmitir. Görümeler srasnda katmclara sorulan sorulardan bir tanesinin detayl analizi bu çalmann kapsam oluturmaktadr. Bu çalmada nitel ararma teknikleri kullanlm, öretmen adaylarn hacim ölçmede standart olmayan birim kullanmaya yönelik kavramsal yaplar görümeler yoluyla belirlenerek betimlenmeye çallmr. 1. Çalma Grubu: Bu çalmaya Eitim Öretim y güz döneminde Ankara da bir devlet üniversitesinde 4. sfa devam eden 24 (8 erkek, 16 kz) ilköretim matematik öretmen aday katlmr. Öretmenlik programn son senesinde olan öretmen adaylar bu ararma için uygun bir çalma grubunu oluturmaktadr, çünkü verilerin topland zamana kadar almalar gereken matematik öretimi ile ilgili derslerini (Özel Öretim Yöntemleri I- II ) tamamlamlar ve bu çalmann yapld dönemde okul deneyimi dersine devam etmekteydiler. Katmclarn genel not ortalamalar 2.03 ve 3.50 arasndadr (Medyan=2.69). Çalmann gerçekletii üniversitede özel öretim yöntemleri dersinde ilköretimde ölçme kavramn öretimiyle ilgili bir ünite ilenmektedir. Bu derste genel olarak çeitli matematik kavramlarnda olas örenci düünü biçimleri ve kavram yanlglar üzerinde durulmaktadr. Dolayyla MED Say 1 22

3 çalma katmclarn özel öretim yöntemleri dersinden edinmi olabilecekleri bilgi birikimlerini kullanma ansna sahip olduklar varsaylmr. 2. Veri Toplama Araçlar: retmen adaylarn hacim ölçme konusundaki birim kullanmaya yönelik kavraylar ortaya karmak amac ile ekil 1 de sunulan örnek durum kullanlmr. ekil 1 de sunulan örnek durumda herhangi bir örencinin standart olmayan ölçme birimi ile hacim ölçümü için gelitirebilecei bir çözüm yakla örneklendirilmitir. Soruda dikdörtgenler prizmas eklindeki bir cismin üç ayr açdan görüntüsü verilmi ve bu cismin ayrtlarn verilen birim cinsinden ölçüleri ekil üzerinde gösterilmitir. Ayn zamanda birim tanmlanrken birimin ayrt uzunluklularn metrik deerleri de belirtilmitir. Birim cm cm 1cm Prizmalarda hacim konusunu ilemekte olan öretmen, boyutlar yukardaki gibi verilen dikdörtgenler prizmasn hacmini sormutur. ftaki bir örenci yukardaki prizmann hacmini 4x2x3=24 birim olarak bulmutur. ekil 1: Görümelerde Kullanlan Örnek Durum Verilen soruda üç ayr yönden görüntüsü verilen cismin hacmi 24 Birim olarak belirtilmitir. Fakat ayrtlar 1cm x 2 cm x 1 cm olan birimin, cisim içindeki konumlandlmas 1. ve 2. durum arasnda tutarl deildir. lk yerletirmeye göre ikinci durumda prizmann küçük yüzüne ayn konumda 4 tane birim yerlemesi beklenirken farkl konumlandlarak 2 tane birimin yerletii görülmektedir. Soruda verilen renci yannda örenci birimlerin bu ekilde bu konumlandlmas dikkate almadan formül kullanma alkanl ile dorudan hesaplama yapmr. ekil 1 de sunulan örnek durum Battista nn (2003) çalmasndan uyarlanmr. Bu çalma kapsamnda öretmen adaylarndan ekil 1 de verilen örnek durum üzerinde düünmeleri, örencinin gelitirdii çözüm yöntemini incelemeleri, örencinin yaklan doruluunu deerlendirmeleri istenmitir. Birebir görümeye balamadan önce örnek durumu anlamalar ve örenci yakla deerlendirmeleri için gerekli süre salanmr. Belirli bir süre içinde daha önceden yantlam olduu soruyu inceleyen adaylar ile yar yaplandlm görüme protokolü çerçevesinde birebir görümeler yaplmr. Görüme protokolü çerçevesinde adaylardan öncelikle örnek durumda verilen örencinin herhangi bir hatas olup olmad sorgulanmr ve yüksek sesli düünmeleri istenmitir. Gelen cevaplarn yönlendirmesi ile hatann varl teyit eden öretmen adaylar ile hatann kapsam ve olas kaynaklar sorgulanmr. Bu sorgulamalar sonucunda ilköretim matematik öretmen adaylarn hacim ölçme konusundaki birim kullanmaya yönelik kavraylarn ortaya çkarlmasna çallmr. Görümeler her bir öretmen aday ile ayn düzen içerisinde yaplmr. 3. Veri Analizi: Yaplan bu çalmada öretmen adaylarn hacim ölçme ile ilgili matematiksel alan bilgilerinin ortaya çkarlmas hedeflenmitir. Daha özelde görümeler srasnda verilen hacim ölçme yaklan doruluunu test etmeleri istenmitir. Hacim ölçme ve hacim ölçme birimlerinin doas, hacim ölçme lemi ve hacim ölçme ile ilgili içeriksel bilgileri betimlenmeye çallmr. Verilerin analizinde Leinhardt n (1990) ortaya koyduu Anlama Teorisi nden faydalanlmr. Leinhardt (1990) Teorisini; sezgisel bilgi, somut bilgi, ilemsel bilgi ve kavramsal bilgi olmak üzere 4 farkl bilgi tan üzerinde kurmaktadr. Çalmann sonuçlar incelenirken öretmen adaylarn ifadeleri bu bilgi tanmlar kapsamnda kodlanmr. Fakat, çalmada yer alan katmclarn üniversite örencileri olmalar nedeniyle sezgisel bilginin ayrlmasna çalma kapsamnda gerek görülmemitir. Sezgisel MED Say 1 23

4 bilgi dndaki kalan somut, ilemsel ve kavramsal bilgi tanmlar veri analizinin genel çerçevesini oluturmaktadr. Somut Bilgi: Leinhardt a (1988) göre bu bilgi matematiksel kavramlarla ilgili görseller dahil somut materyaller yard ile edinilmektedir. Bahsi geçen somut materyaller, birim küpler ya da onluk taban bloklar gibi ders ortamlarnda kullanlan akademik amaçl malzemeler olabilecei gibi küp eker, tula, ya paketleri gibi günlük hayatta karlalan materyaller de olabilmektedir. lemsel Bilgi: lemsel bilgi öretim sürecinde elde edilen formel bilgi alanlarndan birisidir ve matematiksel algoritmalar, ilem becerileri ve formül bilgilerini içermektedir (Leinhardt, 1990). Eksikliinde her ne kadar kavramsal bilgi eksikliine dair çkarmlar yapyor olsa da, bu bilginin varl kavramsal bilginin varl gerektirmemektedir (Leinhardt, 1988). Kavramsal Bilgi: Leinhardt (1990) kavramsal bilgiyi öretilen bir bilgiden çok, kiiye özel ve kiinin kendisinin oluturduu, doru, yanl ya da eksik bilgilerin bütünü olarak tanmlanmaktadr. Leinhardt, bilgi alanlarn hepsinin yapsal olarak hiyerarik bir düzende olmasa bile birbirleri ile yakndan ilikili olduunu ifade etmitir. Daha önce belirtildii üzere yaplan bu çalmann veri analizinde Leinhardt n ortaya koyduu bilgi tanmlar genel çerçeve olarak belirlenmitir. Tablo 1 de bu bilgi alanlar kapsamnda hangilerinin kodland özetlenmektedir. Örnek durum üzerinde yaplan görüme kaytlar deifre edilerek, iki ararmac tarafndan ararma sorularna yönelik olarak fikir birliine varlarak kodlanmr. Bilgi Somut Bilgi lemsel Bilgi Kavramsal Bilgi Tablo 1: Analiz srasnda kodlanan bilgi tanmlar ve içerikleri çerik Hacim ölçümünün birimlerin birbiri ile çakmadan ve birbirleri arasnda boluk kalmadan ardk dizilerek ölçülmesi Birimlerin arasnda boluk kalmadan ve çakmadan yerletirilmesinin hacim ölçmeyle ilikisi Hacmi ölçmede standart ve standart olmayan birimlerin kullan Dikdörtgenler prizmasnda hacim hesaplama formülü (H= e b y) Hacim ölçme birimleri arasndaki iliki Hacim ölçümünün hangi fiziksel özellie kark geldii Standart olmayan birimlerle yaplan ölçümlerde toplam birim sayn anlam Hacim hesaplama formülünün anlam BULGULAR Bu bölümde yaplan çalmann bulgular öretmen adaylaryla yaplan görümelerin kesitleriyle örneklendirilecektir. Bu bölümde verilen isimler katmclarn gerçek isimleri deildir, cinsiyet bilgisi gözetilerek katmclar farkl isimlerle belirtilmitir. Yaplan bu çalmann sonucunda örenci cevab olarak kurgulanan yanl yaklam, öretmen adaylarn bazlar tarafndan fark edilmemi ve örenci yaklandaki yanln bu katmclar tarafndan tekrar edildii gözlenmitir. Görüme yaplan 24 öretmen aday arasnda örnek durumda verilen örenci hatas tespit edebilen öretmen aday say sadece 7 dir. Verilen örenci durumundaki hatay tespit edebilen öretmen adaylarn sadece 2 tanesi hatann kayna hakknda geçerli bir yorum yapabilmitir. retmen adaylarna hacim ölçme ilemi ile ilgili ekil 1 deki durum yöneltildiinde 24 adayn yardan fazlas ada görüme kesiti verilen Aye ile benzer ekilde ayrt uzunluklar gösteren birim saylar çarparak sonuca ulamak istedikleri gözlemlenmitir. Dier bir deyile, öretmen adaylar ayrt uzunluklar gösterir birim saylar çarparak, sonucun 4 2 3=24 birim olarak bulunabileceini düünmektedir. MED Say 1 24

5 Aye:. eer ben birimi bu ekilde kabul ediyorsam sonuç doru. Birimimiz her zaman birim küplerden olumak zorunda deil. Yani dikdörtgenler prizmas da olabilir ama bulduum sonucu birim cinsinden ifade etmem gerekiyor...[ verilen örnek durumdaki hacim bulma ilemini yapyor] 4, 8 ; 8 kere 3, 24..[sonucu bu ekilde] bulabilirim.. Aye örneinde olduu gibi hacim bulmaya ilem odakl yaklaan adaylarn hemen hepsi hatann kaynan hacim ölçümünde kullanlan birim ile sonucun ifade edilmesinde kullanlan birim arasndaki tutarszlkta olabileceini belirtmitir. Tuba nn ifade ettii gibi ilemsel yaklaan adaylarn tümü sonucu belirten birimle, ölçüm yaplan birim arasnda tutarlk olmas gerektiini vurgulamlardr. Buna ba olarak ekil 1 deki örenci yaklanda var olan hali ile hata olmad, eer bir hata var ise muhtemel hata kaynan bu tutarszlk olabileceini ifade etmilerdir. Tuba: Sonuçta [kullanlan birim ile sonucu ifade eden birim] arasnda tutarlk olmas gerekir. Mesela sonucu 24 bulup sen cm 3 dediysen çok yanl bir ey yapm olursun ama birim 3 dedii için yaptey doru bunu birim küp kabul ederek yapm olabilir, ama soru kökünde eer ki cm 3 [olarak] istediyse tabi ki de sonucu cm 3 olarak bulmak gerekir. Soruyu ilemsel açdan inceleyen öretmen adaylarndan 2 tanesi örnek durumdaki örenci sonucunda bir hata olduunu fark etmelerine ramen hata kayna belirleme noktasnda güçlük yaamlardr. Bu ekilde düünen öretmen adaylarndan Gül ün yakla ada bir kesit olarak verilmitir. Gül örencinin birim saylar çarparak bulmu olduu sonuç ile kendisinin cismin metrik ölçüleri ile hesaplad sonuç arasnda bir tutarszlk olduunu fark etmitir. Fakat örencinin sonucu ile kendi sonucu arasndaki tutarszln kayna belirlemek için srarl davranmasna ramen belirleyememitir. Gül: 24 birim 3. Yani birim küp olarak doru ama yani cm 3 olarak yani nasl diyeyim. Yani cm 3 olarak hesaplaynca yanl çyor. te mesela [ayrt uzunluklar cm cinsine çeviriyor ve ilem yapyor] 96 [cm 3 ] çyor. u 24 birim demi ya, unu mesela birim de buymu. Yani, mesela, cm olarak sorsayd, yani bunun hacmi ne olurdu?[kullanlan birimin hacmini iaret ediyor] ki [cm 3 ] olurdu... Yani iki çarp 24 dersen 48 [cm 3 ] çkar ama hacmi 96 cm 3.. ey diyecektim örenci cevabi birim küp olarak bulduu sonuç dorudur diyecektim ama sonra böyle hesaplaynca 48 [cm 3 ] çyor... Sonra yanlr dedim. Yani bundan ikilemde kaldm. Ararmac: Peki sence neden yanl yapm? Gül: te bunu bilemiyorum. Doru mu? lk bata, doru diye düünmütüm ama... te birim küp cinsinden burada tek tek hesaplam bunlar ama. imdi u an dorudur dediime yanlr diyorum. te mesela 24 birim küp dedi. Bir tane birim küpün hacmi nedir, 2 [cm 3 ] çyor buradan. O zaman ben 2 ile 24 ü çarparsam 48 [cm 3 ] çyor. Yani böyle mi olmal? Normalde 96 cm 3 çkmas lazm hacminin. Gül standart olmayan birimlerle hacim ölçülebileceini ve cismin ayrt uzunluklar gösteren birim saylar ile hacim bulma ilemi yaplabileceini düünmesine ramen, hacim ölçme kavramna lemsel bir yaklam kullandndan hatann kayna görüme srasnda belirleyememitir. Benzer ekilde katmclarn büyük bir çounluu verilen örnek duruma formül temelli yaklalar ve ayrt uzunluklarn gösterimindeki hatay gözden kaçrmlardr. Öte yandan çalmaya katlan 24 öretmen adayndan sadece 2 tanesi verilen örnek duruma kavramsal yaklar. Bu yakla gösteren öretmen adaylarndan Didem hacim ölçmeye birimlerin tekrarl toplanmaseklinde bir yaklam sergilemitir. Didem: 4 tane burada var, 2 tane burada var, 3 tane de burada var... taneden 4 aldna göre burada 4 ra olacak.. 3 srada yukar doru alacak.. 16 çarp 3; 48 [birim] tane alr. [Görümede kullanlan örnek durumdaki sonuçla kendi bulmu olduu sonuç arasndaki çeliki yüzünden ksa bir süre bekledi. ]... Aaa eyler farkl.. birim olarak alsa bile hani bu bir birim.. u dier tabandaki birimle ayn deil.. aynym gibi düünüyor burada birimleri... yani u iki cm olan ksm burada bir birim alyor... [birimlerin farkl yönlerde yerletirildiini iaret ediyor.] Didem hacim hesaplamas birim dizilerinin tekrarl toplamas eklinde yakla için örnek durumdaki örenci yaklandaki hatay tespit edip, hatann kayna belirleyebilmiledir. Genel olarak öretmen adaylar hacim ölçerken standart olmayan birimler de kullanlabileceini ifade ederek kavramsal bir yaklam sergilemelerine ramen, hacim bulmay arlkl olarak ilem temelli yapmay tercih etmilerdir. Yaplan görümelerde öretmen adaylarn hacim ölçme birimlerinin doas MED Say 1 25

6 hakknda farkl kavraylarn olduu gözlemlenmitir. Neredeyse bütün adaylarn somut materyal kullanarak hacim ölçümü yaparken sorun yaamadklar gözlenmitir. Katmclar hacim ölçerken farkl somut materyallerin kullanlabilecei konusunda hemfikirdir. Fakat öretmen adaylarn bir ksm ölçümün ifade edilmesiyle ilgili farkl görüler dile getirmilerdir. Örnein Esra, hacim ölçümünün cm 3 eklinde ifade edilmesi gerektiini düünmektedir. Esra: Evet... birim küp deyince onun çevrilmesi gerektiini düünüyorum ben hemen Aslnda simdi u da mantkl geldi... Çocuk birim küp cinsinden bulduu için sonuç doru... unu [örnek durumda referans gösterilen birimi iaret ediyor] referans alarak yapm. Sonuç doru. Prizmalarn hacimlerini verilen birim küp cinsinden de bulabiliriz ama cm verildiyse cm 3 cinsiden bulmak daha mantkl. Esra ile yaplan görümede standart olmayan birimler kullanarak hacim bulmaya yönelik bir nt gözlemlenmemitir. Fakat adayn hacim ölçümünün ifade edilmesi ile ilgili standart ölçme birimlerine doru bir eilim göstermesi dikkate deer bir noktadr. Esra ile benzer ekilde düünen retmen adaylar soruda kullanlan birimin metrik deerleri verildii için cismin hacminin metrik deerler cinsinden bulunmas gerektiini ifade etmilerdir. Örnein Merve, örenci yaklandaki hatay standart ölçü birimleri yerine sonucun birim cinsinden ifade edilmesine balamr. Merve: [örenci] 4 çarp 2 çarp 3 hepsini birbiri ile çarpyor 24 birim küp olarak buluyor. Ama burada[birim üzerindeki metrik deerleri göstererek] birimler verilmi sonucu cm 3 olarak bulmalyd. Ararmac: Hacmi soruyor ama 24 birim buluyor çocuk. [Sence yanl m?] Merve: Ama sadece cm 3 bulmas gerekiyor ite. Ararmac: Hacim sadece cm 3 mi ölçülür? Merve: Evet... Deil mi? Bu çalmada gözlenen ilginç bulgulardan bir tanesi de, say az olmakla birlikte, baz katmclarn hacim ölçme kavram ile cismin içine slabilen toplam birim say farkl ele almalarr. Örnein, Ali ve Zehra ekil 1 de sunulan cismin içine 24 tane birim yerletirilebileceini ifade etmekte, fakat elde edilen bu say hacim kavram ile ilikilendirmede güçlük çekmektedirler. Hatta Ali nin hacim hesaplamas sadece standart ölçme birimleriyle ilikilendirdii adaki ifadelerinden anlalmaktadr. Ali: [birim ayrtlarn uzunluklar] cm cinsinden verdii için, öretmen hacmi de herhalde cm 3 cinsinden ister. Çünkü ona göre cevap vermesi lazm. Ararmac: Peki [hacmi] 24 birim bulmas yanl m? Ali: Aslnda yanl sonuç deil. Yani 24 birimden olutuunu buluyor sadece eksik olan ey hacim sorduu zaman kaç cm 3 olduunu sorduu için, yani 24 le birde eyi çarpacaktr yani normal u cismin [birimin] hacmini çarpacaktr. Ararmac: Çocuun hacmi 24 birim bulmas yanl mr? Zehra: 24 birim yanl deil. Hacmini doldurmas için 24 birime ihtiyacz var ama Hacim ölçü birimi var sonuçta [standart birimleri kastediyor] onu kullanmas gerekiyor. Hem Ali hem de Zehra cismin kapasitesinin 24 birim olduunu teyit etmelerine ramen hacim ölçümünün cm 3 birimi kullanlarak ifade edilmesi gerektiini belirtmitir. Yaplan bu çalmada gözlenen bulgulardan bir dieri ise öretmen adaylarn hacim ölçme rasnda kullanlan birimlere yönelik görüleridir. Örnein öretmen adaylarndan birisi hacim ölçümü rasnda kullanlacak birimin boyutuna dikkat çekmektedir. Mustafa görüme srasnda birim kavramn kullanna yönelik endiesini dile getirmitir. Katmcya göre ölçüm ifade edilirken saylarn sonuna konulan birim ifadesi genel olarak tek boyutlu özellikleri, örnein uzunluklar, ifade etmede kullanlmaktadr. Buna ba olarak hacim ölçme birimlerinin üç boyutlu olacak biçimde ifade edilmesi, yani birim küp biçimden belirtilmesi gerekir.. Mustafa: Prizmann hacmini birim olarak bulursa yanl olur. Ararmac: Neden? MED Say 1 26

7 Mustafa: Hacim u kadar birim yani burada birimden [ne] kastettiini ey yapmas gerekiyor. Yani 24 tane bu küçük tulacklardandr diyorsa, doru olur. Ama birim olarak düündüümüz [ey] uzunluk birimi ise yanl olur. [Say örneinden yola çkarak birim kullanndaki boyut kavram ile ilgili düüncesini açklamaya çalyor, ] sayn banda + yoksa say pozitiftir, yani birim dediyse uzunluk [tek boyutlu] olarak düünülür genelde... Bu kayg her ne kadar Mustafa açk bir ekilde ifade etmi olsa da, adaylarn pek çounun benzer ekilde bir düünüyor olmas muhtemeldir. Çünkü görüme yaplan hemen hemen bütün öretmen adaylarekil 1 de hacim ölçme birimi birim olarak verilmesine ramen yukarda kesitleri verilen örn, Esra, Merve, Tuba katmclar görümeler srasnda sürekli birim küp ifadesini kullanmlardr. Hacim ölçme birimlerinin doasna yönelik bir dier dikkat çekici bulgu ise bir adayn hacim ölçme birimlerinin tamam birim küp olarak alglamasr. Ada görüme kesiti verilen Zeynep, birim küp ifadesini hacim ölçme birimlerine verilen genel bir isim olarak alglamakta, fakat birim küp ifadesinin ayrt uzunluklar birbirine eit üç boyutlu bir ekle kark geleceini göz ard etmektedir. Zeynep: Çocuk der ki; 2 cm 3 benim için bir birim küptür diyebilir. Sonra der ki, 12 tane syor bunun içine 12 birim küptür. Onu da çevirmek istersek 2 ile çarparz 24 cm 3 tür deriz. Ararmac: Birim küp ne demek? Zeynep: Yani hacim olarak u cismin[sorudaki birimi gösteriyor] hacmi. Verilen o cismin hacmi olarak alyorum. Ararmac: Peki, cm 3 ne demek? Zeynep: cm 3, 3 tane cm nin çarp [demek].. Genilik, en ve yüksekliin çarp [demek]... Ararmac: Birim küp ne demek o zaman? Zeynep: Birim küp de bir hacim demek aslnda.. Ararmac: Nasl? Zeynep: Birim küp de aslnda hacim yani öyle söyleyeyim hocam. Birbirine dönütürülebiliyor yani. Dedim ya birim küpü, cm 3 e çevirebilirsin [ayrt uzunluklar verildii zaman..] Ararmac: Mesela boyutlar olan bir birim küp olur mu? Zeynep: Olur. Yani der ki, benim birim küpümün boyutlar olan bir eydir. Atyorum kare prizmadr.. Ya da ne bileyim dikdörtgenler prizmasr der.. Ve ben bunu çarp 60, 60 cm 3 olarak alyorum der mesela. Ararmac: Birim ile birim küp arasnda nasl bir fark var? Zeynep: Birim tek boyutlu mesela.. Birim küp hacim olarak veriyor yani üç boyutlu bir ey... Ararmac: Birim küp deyince ayrtlar farkl uzunlukta olabilir o zaman? Zeynep: Tabi yani. Zeynep de yukarda Mustafa nn belirtmi olduu kayg dile getirmektedir. Birim tek boyutlu bir kavramdr ve hacim ölçmek için üç boyutlu olan birim küp kavramna ihtiyaç olduunu ifade etmektedirler. Son olarak çalmadaki ilgi çeken bir dier bulgu ise, bir öretmen aday dier 23 adayn aksine hacim ölçme birimi olarak kullanlacak materyallerin mutlaka küp eklinde olmas gerektiini ifade etmitir. Hatta örnek durumda verilen örenci yaklandaki muhtemel hatann kaynan da 1 cm 1 cm 2 cm olarak verilen kare prizmann hacim ölçme birimi olarak kullanlmak istenmesine balamr. Ömer: Ha birim cm düünmemi burada. Birim olarak alm. Bu mantksz. Birim olarak bakt yerin bir kenar 2 cm bir kenar 1 cm. Ararmac: Kare prizma eklindeki birimler kullanarak hacim bulabilir miyim? Ömer: Birim olarak bulunmaz. Ararmac: Neden? MED Say 1 27

8 Ömer: Eer küp konsayd her kenar ayn olan.. O zaman birim olarak, [ o zaman hacim] bulunabilirdi. Sonuçta sen ona dersin ki, bir birim 2 cm ise gerçek hayatta cm 3 cinsinden de bulabilirsin. Ararmac: Küp[ekli] dnda baka[ekildeki] bir birimlerle hacim bulamaz mz? Ömer: [Hayr] Sonuçta ayn kenarlara [ayrt uzunluklarna] ihtiyacz var öyle deil mi? Ömer e birimin ekline dair ifade ettii düüncelerinden sonra ekil 1 de verilen birimin ayrt uzunluklarn metrik ölçüleri cinsinden deerlerinin olduu hatrlatp, bu ekilde hacim ölçme birimi olarak kullanp kullanlamayaca sorulduunda; hacim ölçme birimi olarak küp eklindeki birimlerin kullanlmas gerektiinde srar ettii gözlemlenmitir. Ararmac: Birimin boyutlar da 2 cm 1 cm 1cm olarak vermi. Peki, bunlar verildii zaman kare prizma eklindeki birimlerle hacim bulunabilir mi? Ömer: Neden böyle bir ey yapalm ki? Ne gerek var küp varken. Küpü koyalm hemen bulalm. rencilerin kafas çok karr bence böyle. Ararmac: [ekil 1 deki cisimden farkl olarak baka bir cisim çizildi ve o ekil üzerinde konumaya devam edildi, birim küpün ayrt uzunluklar 2 cm alnd. Yeni çizilen durumda ekil 1 e benzer ekilde ayr 2 cm olan birim küpler, farkl yönlerden görünümleri 4 x2 X3 olarak ekilde seçildi.] 2 cm 2 cm 2 cm bunlar buraya 4 buraya 2 buraya da 3 küp gelseydi. Sonucu benzer ekilde 24 [birim] buldum. Hacmi 24 birim midir? Ömer: 24 birim...doru... Ararmac: Tamam, kare prizma olsayd, hacmi bulabilir miydim? Ömer: Yo gene ayni ey olurdu kare prizma ile... Olmazd... Küp [Hacim] küple bulunur sadece bence. SONUÇLAR Elde edilen bulgular özetlemek gerekirse, bu çalmada öretmen adaylarn hacmi ölçme, hacim ölçme kavram ve hacim birimlerinin doas ile ilgili içeriksel bilgileri ele alnmr, hacim ölçme ile ilgili matematiksel alan bilgilerinin ortaya çkarlmas hedeflenmitir. Öretmen adaylar ile yaplan görümelerin analizleri Leinhardt n (1988) yapm olduu somut, ilemsel ve kavramsal bilgi tanmlar dikkate alnarak yaplmr. 1. Adaylarn Hacim Ölçme Kavramna Yönelik Somut Bilgileri Görümelerde tartlan örnek durumda hacim ölçme ilemi srasnda ayrtlar 1 cm, 1 cm ve 2 cm olan bir kare prizma kullanlmr. Öretmen adaylarna standart olmayan bu birimin hacim ölçmede kullanp kullanlamayaca sorulmutur. Görümeler sonucunda öretmen adaylarn standart olmayan somut modeller ile hacmi ölçmede sorun yaamadklar gözlemlenmitir. Fakat iki öretmen adayn ifadeleri somut modellerle cismin içini boluk kalmadan ve çakmadan doldurma eylemi ile cismin hacmini ölçme eylemini ilikilendirmekte güçlük çektiklerine iaret etmektedir. Bir aday ise hacim ölçme lemi için mutlaka küp eklindeki somut modellerin kullanlabileceini iddia etmitir. 2. Adaylarn Hacim Ölçme Kavramna Yönelik lemsel Bilgileri Görümelerde tartlan örnek durumda hacim ölçme ilemi srasnda ayrt uzunluklar ifade eden birim saylar çarplarak hacim bulma ilemi yaplmr. Öretmen adaylarndan hacim bulma ileminin doruluunu test etmeleri istenmitir. Görümeler sonucunda öretmen adaylarn hacim formülünün kullanna dair herhangi bir sorun yaamadklar gözlemlenmitir. Öretmen adaylarn hepsi hacim formülünü doru ekilde hatrlamakta ve kullanmaktadr. retmen adaylarn ilemsel bilgileri ile ilgili bir dier gözlem ise, arlkl olarak formül temelli bir yaklam sergilemeleri, hatta hacim kavram ilemsel bir sonuç olarak alglamalarr. Bu yaklan örnek durumda verilen örencinin hatas fark etmelerini güçletirdii, baz katmclar için hatay belirleyebilmelerine ramen kayna hakknda kabul edilebilir yorum yapmalarn önüne geçtii gözlenmitir. Hatta say az olmakla birlikte öretmen adaylarn bir cismin içini seçilen birim ile doldurma eyleminin, hacim ölçme ilemiyle ilgili olmad yönünde bir alg gelitirmelerine neden olduu tespit edilmitir. 3. Adaylarn Hacim Ölçme Kavramna Yönelik Kavramsal Bilgileri MED Say 1 28

9 Kavramsal olarak, öretmen adaylarn hemen hepsi elde edilen 24 sayn cismin hacmine eit olduunu ifade etmi, hacim kavramn ölçülmesi ile nesnelerin hangi özelliklerinin ölçüldüünün farknda olduklar gözlemlenmitir. Hacim ölçme ilemine daha kavramsal yaklaan öretmen adaylar örenci yaklandaki hatay fark edebilmilerdir. Onun dnda adaylar hacim bulmaya arlkl olarak ilemsel yaklamay tercih etmilerdir. Fakat bu yaklam örnek durumdaki örenci hatas fark etmelerinin önüne geçmitir. Hatta renci cevab olarak kurgulanan yanl yaklan öretmen adaylarn bazlar tarafndan tekrar edildii gözlemlenmitir. Bu noktada hacim ölçme kavramna daha kavramsal yaklaan ve tekrarl toplama yaparak hacim hesaplayan adaylarn yanl yakla fark etmeleri ve doru sonuca ulamalar çok daha kolay olmutur. Zaten Battista (1996) çalmasnda hacim ölçme kavramnda sadece formül kullanmann ezber yakla ön plana çkard, kavramsal yaklan önüne geçmesi halinde hacim kavram ile ilgili zorluklar yaanabileceine dikkat çekmitir. Yine öretmen adaylarnda formüle ba kalmann getirdii bir dier zorluk ise hacim hesaplamada birimlerin ayrt uzunluklar ile ilgili düünceleridir. Kare prizma ya da dikdörtgenler prizmas eklinde birimlerin kullanlamayacana dair düüncelerini formülü kullanamama ile gerekçelendirmilerdir. Bunun dnda hacim ölçme noktasnda formül kullann ön planda olmas öretmen adaylarn birim kavram daha önceden hiç sorgulamadklar ortaya çkarmr. Ayrca öretmen adaylar hacmin metrik ölçülerle ölçülmesi gerektiini düünmektedirler. Bunun da hacim ölçmeyi kavramsal açdan ele almamaktan kaynaklanan bir yarg olduu söylenebilir. Öte yandan, saylar az da olsa baz adaylarn somut modellerle cismin içini seçilen bir birimle boluk kalmadan ve çakmadan doldurma eylemi ile cismin hacmini ölçme eylemini farkl alglamas, bu adaylarn hacim kavram içselletirmede sorun yaadklarna iaret etmektedir. Sonuç olarak birim kavramn kullan ve hacim ölçme birimlerinin doasna yönelik katmclar farkl kavraylar ifade etmilerdir. Katmclarn birim kavram tek boyutlu varsaymas, buna ba olarak hacim ölçme birimlerini ifade ederken birim küp ifadesinin kullanlmas gerektiine vurgu yapmalar, hacim ölçme birimlerinin mutlaka küp eklinde olmas gerektiini ifade etmeleri, özellikle hacim ölçme kavramn daha özelde hacim ölçme birimlerinin öretimi srasnda dikkate alnmas gereken unsurlardan birisidir. TARTIMA ve ÖNERLER Milli Eitim Bakanl matematik öretim programlarn tamamnda matematik öretiminin kavramsal ekilde olmas gerektiine ve kavramsal öretimin anlaml örenmedeki önemine vurgu yapmaktadr. Öretmen adaylar ile yaplm olan bu çalmada öretmen adaylarn çok büyük bir çounluunun hacim kavram en boy yükseklik formülü ile badarm olmas, hacmin metrik ölçü birimleri ile ölçülmesinde srar etmelerinin temelinde yer almaktadr. Bunun dnda öretmen adaylarn birim kavram daha önceden sorgulamam olmalar hacim kavram kavramsal açdan ele almalarna engel oluturmaktadr. Matematik öretmenlerinin sahip olduklar matematik bilgilerinin hem ilikisel hem de derinlemesine bir yapda olmas gerektiini vurgulayan çalmalar öretmenin sahip olduu bilginin niteliine dikkat çekmektedir (Ball, 1988, Ball ve dier. 2001, Ball ve dier, 2005). Bu nitelii ortaya koyabilmek adna öretmen ve öretmen adaylar ile düünme yaplarn incelendii çalmalara ihtiyaç duyulmaktadr. Bu çalmada öretmen adaylarn ifade ettikleri düüncelerinin ders anlatmlar nasl etkilediine dair bir çalmaya yer verilmemitir. Ancak öretmenlerin sahip olduklar bilgilerin retmenlik becerileni etkileyen temel faktörlerden biri olduu düünülürse öretmen ve öretmen adaylar ile temel kavramlar üzerine yaplacak çalmalarn önemi bir kez daha ortaya çkmaktadr. KAYNAKÇA MED Say 1 29

10 Adler, J., Ball, D., Krainer, K., Lin, F., & Novotna, J. (2005). Reflections on an emerging field: Researching mathematics teacher education. Educational Studies in Mathematics, 60, Ball, D. L. (1988). Knowledge and Reasoning in Mathematical Pedagogy: Examining What Prospective Teachers Bring to Teacher Education. Yaynlanmam doktora tezi. Michigan State University, East Lansing. Ball, D. L., & Bass, H. (2003). Making mathematics reasonable in school. J. Kilpatrick, W. G. Martin, & D. Schifter (Ed.), A Research Companion to Principles and Standards for School Mathematics içinde (s ). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Ball, D.L., Hill, H.H., & Bass, H. (2005). Knowing mathematics for teaching: Who knows mathematics well enough to teach third grade, and how can we decide? American Educator, 29, Ball, D. L., Lubienski, S., & Mewborn, D. (2001). Research on teaching mathematics: The unsolved problem of teachers' mathematical knowledge. V. Richardson (Ed.), Handbook of research on teaching (4th ed.) içinde (s ) New York: Macmillan. Battista, M. T., & Clements, D. H. (1996). Students understanding of three-dimensional rectangular arrays of cubes. Journal for Research in Mathematics Education, 27(3), Battista, M. T. (2003). Understanding students thinking about area and volume measurement. D. H. Clements & G. Bright (Ed.), Learning and teaching measurement içinde (s ). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Battista, M. T. (2007). The development of geometric and spatial thinking. F. K. Lester, Jr. (Ed.) Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning içinde (s ), Charlotte, NC: Information Age Publishing. Even, R. (1993). Subject-matter knowledge and pedagogical content knowledge: prospective secondary teachers and the function concept. Journal for Research in Mathematics Education, 24(2), Hill, H. C., Rowan, B., & Ball, D. L. (2005). Effects of mathematical knowledge for teaching on student achievement. American Educational Research Journal, 42(2), Kaput, J. J. (1987). Representation systems and mathematics. C. Janvier (ed.), Problems of representation in the teaching and learning of mathematics içinde (s ), Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum. Leinhardt, G. (1988). Getting to know: Tracing students' mathematical knowledge from intuition to competence, Educational Psychologist, 23(2), Leinhardt, G. (1990). Capturing craft knowledge in teaching. Educational Researcher, 19(2), Shulman, L. S. (1986). Those who understand: Knowledge growth in teaching. Educational Researcher, 15(2), Shulman, L. S. (1987). Knowledge and teaching: Foundations of the new reform. Harward Educational Review, 57(1), Ponte, J. P., & Chapman, O. (2008). Preservice mathematics teachers' knowledge and development. L. English (Ed.), Handbook of international research in mathematics education (2 nd ed) içinde (s ). New York, NY: Routledge. Wilson, P. S., & Rowland, R. (1993) Teaching measurement. R. Jensen (Ed ), Research ideas for the classroom: Early childhood mathematics (NCTM Research Innovation Project) içinde (s ). New York: Macmillan. Zembat,. Ö. (2010) Ölçme Temel Bileenleri ve Sk Karlalan Kavram Yanlglar. Bingölbali, E., & Özmantar, M.,F.(Ed.)lköretimde Karlalan Matematiksel Zorluklar ve Çözüm Önerileri içinde (s ). Ankara: Pegem Akademi Yaynck. MED Say 1 30