Ali Kocabýyýk

Transkript

1 u kitbýn tmmýnýn y d bir kýsmýnýn, yzrlrýn izni olmksýzýn elektronik, meknik, fotokopi y d herhngi bir kyýt sistemi ile çoðltýlmsý, yyýnlnmsý ysktýr. u kitbýn tüm hklrý yzrlrýn ittir. Kitbýn dý : 9. Sýnýf Geometri Soru nksý Yzrlr : Özkn Güner rhn Nemutlu Trýk Þhin ský : Knyýlmz Mtbsý Temmuz Kpk : Model jns izgi : ynur Srýbüyük ynur_sribuyuk@hotmil.com ISN : ge Yyýncýlýk ðitim Hizmetleri Turizm Ýnþt Sn. ve Tic. Ltd. Þti. Merkez mh. liglip cd. kþioðlu iþhný No : 16/9 Gziosmnpþ / ÝSTNUL Tel : 0 (1) web : Özkn Güner ozknguner@hotmil.com li Kocbýyýk likocbiyik@hotmil.com rhn Nemutlu enemutlu46@hotmil.com

2 SUNUÞ Her þeyi içine ln ve yný zmnd içinde oln Geometri, slýnd son derece zevkli bir derstir. Kiþinin beyin gücünü ve görüþ yeteneðini, estetik ve düzen nlyýþýný geliþtiren bir lndýr. Çocuklr verilecek eðitim, þiir ve geometriden ibret olmlý diyen filozof d yný knti tþýyor ols gerek. Fkt öðrencilerde Geometri dersine it yersiz korku ve endiþe hkimdir. unun temel nedeni de kiþinin bilmediðinin düþmný olmsýndndýr. Ýþte bu kitp, çeþitli okul ve dershnelerde çlýþmýþ eðitimcilerin tecrübe ve bilgi birikimlerinden yrrlnýlrk hzýrlndý. Hedefi ise bu yersiz korku ve endiþeleri, orty koyduðu yeni nlyýþl ortdn kldýrmk, bu dersi koly ve zevkli hle getirmektir. Öncelikli hedefi geometriyi sevdirmek, sonr d geometriyi dým dým öðretmektir. Ýþte bu nedenle "dým dým Serisi (S)"nin 9. Sýnýf Geometri kitbý yzýldý. Sevgili Meslektþýmýz, u kitplrý; Mtemtik kitplrýnd kullndýðýmýz HÜRLM SÝSTMÝ SRÝSÝ (HSS)'nin birz dh geliþtirilmiþi oln IM IM SRÝSÝ (S) dediðimiz yeni bir nlyýþl sunuyoruz. un göre; Konulr bir vey iki stte nltýlbilecek lt bþlýklr bölündü. öylelikle her dersin sonund ödev verip tkibinin ypýlbilmesi mçlndý. u sistemde her öðrencinin bir þeyler öðrendiðini hissetmesini, kendine güveninin ve motivsyonunun rtmsýný sðlybilmek için öðreticilik ön plnd tutuldu. yný tip sorulr kolydn zor doðru lt lt sýrlndý. öylelikle zorluk bsmklrý dh koly çýkýlýr hle getirildi. ÖSS - ÖYS (YGS - LYS) sorulrýnýn benzeri bütün sorulr, testlere konulrk konu bütünlüðünün yklnmsý mçlndý. lýþtýrm Testleri öncesindeki kýs konu bilgileriyle konulrýn dh iyi öðrenilmesi ve öðrenilen konulrýn öðrenciler trfýndn lýþtýrm ve Konu Kvrm Testlerinin çözülerek pekiþtirilmesi hedeflendi. lt bþlýklr yrýlmýþ testler, krm testler ile tkviye edilerek öðrencilerin özelde öðrenilmiþ oln bilgileri genelde de uygulyýp bþrýlý olmlrý mçlndý. Krm Testlerin rksýn ÖSS - ÖYS (YGS - LYS) sorulrý eklenerek öðrencinin kendisini ÖSS - ÖYS (YGS - LYS) sorulrý ile sýnmsý mçlndý. Sevgili Öðrencilerimiz, Geometri müfredtý tmmýyl yeni bir nlyýþl ele lýnmktdýr. un göre, üst sýnýflrd geometri dersi lmyck oln öðrenciler için gerekli oln temel bilgi ve becerileri kzndýrck; 10, 11 ve 1. sýnýflrd Geometri dersi lck öðrenciler için de lt ypý oluþturuck biçimde ypýlndýrýlmýþtýr. Geometri ile ilgili temel kvrmlr sentetik yklþýml verildikten sonr koordint doðrusu ve bun bðlý olrk nlitik düzlem tnýmlnmýþtýr. Noktlrýn koordintlrýndn yrrlnrk d vektör kurgusu ypýlmýþtýr. iz bu ypýlndýrmyý ess lrk elinizdeki eseri hzýrldýk. yný zmnd, sizleri sýkýcý bir çlýþm ortmýndn kurtrýp; günlük, düzenli ve plnlý ders çlýþm ve ödev ypm lýþknlýðý kzndýrmk için hzýrldýk. Özellikle lýþtýrm Testleri Geometriye bkýþýnýzý deðiþtirecek sizi ders çlýþm mssýn oturtmyý bþrcktýr. eðiþen sýnv sistemi YGS - LYS de 9. Sýnýf Geometri dersinden soru sorulmktdýr. yrýc 9. Sýnýf Geometri dersinin 10. Sýnýf Geometri, 11. Sýnýf Geometri ve 1. Sýnýf Geometri derslerinin de temelini oluþturduðunu kýldn çýkrtmmk gerekir. ir nlmd 9. Sýnýf Geometri, Geometri binsýnýn temelini oluþturmktdýr. Üniversiteye giriþ sýnvlrýnd çýkn sorulr krþýsýnd rht olbilmenin yolu; sistemli, düzenli çlýþmnýz ve çok soru çözmenize bðlýdýr. u d öðrencilerin konulrý kvryrk öðrenip; lýþtýrm, Konu Kvrm, Krm ve ÖSYM sorulrý ile pekiþtirmesiyle mümkündür. u kitbýn oluþmsýnd fikirleriyle bizi destekleyen, mddi ve mnevi yrdýmlrýný esirgemeyen li KIYIK' ve kitbýn tshihinde yrdýmcý oln Öðretmen rkdþlrýmýz Kenn KRULUT, umhur NGÝZ e ve deðerli öðrencilerimize teþekkür ediyoruz. Kitbýmýzýn sizlere yrrlý olmsý dileðiyle... YZRLR

3 9. Sýnýf Geometri ersi Öðretim Progrmýnd Yklþýmlr Progrm, üst sýnýflrd geometri dersi lmyck öðrenciler için gerekli oln temel bilgi ve becerileri kzndýrck; 10, 11 ve 1. sýnýflrd geometri dersi lck öðrenciler içinde lt ypý oluþturck biçimde ypýlndýrýlmýþtýr. Geometri ile ilgili temel kvrmlr sentetik yklþýml verildikten sonr koordint doðrusu ve bun bðlý nlitik düzlem tnýmlnmýþtýr. Noktlrýn koordintlrýndn yrrlnrk d vektör kurgusu ypýlmýþtýr. unlr kullnýlrk 9. sýnýf Geometri ersi Öðretim Progrmý;. Kvrmlrýn nlþýlmsýnýn, kullnýlmsý kdr önemli olduðunu, b. Kvrmlrýn oluþmsýndn sonr iþlem becerisinin devreye girmesi ve bunlrýn yrýlmz prçlr olrk devm etmesi gerektiðini, c. Öðrencinin sdece bilgi ve beceri kznmýþ olmsýnýn ynýnd bunlrý nsýl, nerede, ne zmn ve niçin uygulycðýn krr verebilecek durum gelmesini, ç. üzlemde sentetik, vektörel ve nlitik yklþýmlrý kullnmyý, d. Uzyd sdece sentetik yklþýmý kullnmyý, e. Teorem isptlrýndn mümkün olduðunc kçýnmyý, f. Teoremleri ve kvrmlrý günlük hyttki modelleri yrdýmýyl pekiþtirmeyi, g. önüþümlerin sentetik olrk iþlenmesini ve uygulnmsýný, ð. üzlem geometrideki kvrmlrýn özelliklerini sorgulmyý öngörmektedir. GMTRÝY YKLÞIM ÝLÞNLR Geometriye Sentetik Yklþým elli postultlr kullnýlrk ypýln geometriye sentetik (ksiyomtik) yklþým diyoruz. Ýki noktdn bir doðru geçer. d Geometriye Vektörel Yklþým Vektör cebirinden yrrlnrk ypýln geometriye vektörel yklþým diyoruz. Ýki noktdn bir doðru geçer. X X = +λ( ) noktsý koordint sisteminin orijini lýnýrs X = + λ( ) yzýlbilir. ulunn ifde doðrunun vektörel yklþýmýn örnektir. X

4 Geometriye nlitik Yklþým ir koordint sisteminden yrrlnrk ypýln geometriye nlitik yklþým diyoruz. Ýki noktdn bir doðru geçer. = ( 1, ) = (b 1, b ) ve X = (, y) olmk üzere b y = b Y b + by+ c = 0 1 b 1 X ulunn ifde doðrunun nlitik yklþýmýn örnektir. nck vektörel yklþýmd bir koordint sistemi seçilerek verilen noktlrýn koordintlrý X = + λ( ) d yerine yzýlýr ve (, y) = ( 1, ) +λ(b1 1, b ) = 1+λ(b1 1) y= +λ(b ) 1 y = =λ b1 1 b + by+ c = 0 denklemi bulunur. urdn d görüldüðü gibi nlitik yklþým, vektörel yklþýmdn koordint sistemi seçilerek de elde edilebilir.

5 ÝÇÝNKÝLR 1. ÜNÝT Temel Geometrik Kvrmlr ve Koordint Geometriye Giriþ lýþtýrm 1,,, Test lýþtýrm 5, Test lýþtýrm 7, Test lýþtýrm Test lýþtýrm Test lýþtýrm Test lýþtýrm 1, Test lýþtýrm 14, Test lýþtýrm 16, Test 9, lýþtýrm Test lýþtýrm 19, Test lýþtýrm Test lýþtýrm Test lýþtýrm, 4, Test lýþtýrm Test Test (Krm) 17, 18, 19, 0, 1, Test (ÖSYM Sorulrý) ÜNÝT Çokgenler ve üzlemde Kplmlr lýþtýrm 7, Test, lýþtýrm Test 4, lýþtýrm Test lýþtýrm Test lýþtýrm, Test lýþtýrm 4, Test lýþtýrm Test lýþtýrm Test lýþtýrm Test lýþtýrm 9, 40, 41, 4, 4, Test lýþtýrm 45, 46, Test lýþtýrm 48, Test lýþtýrm Test lýþtýrm Test Test (ÖSYM Sorulrý) ÜNÝT ik Prizmlr ve Pirmitler lýþtýrm Test lýþtýrm 5, 54, 55, Test lýþtýrm Test 40, 41, 4, Test (ÖSYM Sorulrý) lýþtýrm 58, Test lýþtýrm Test Test (ÖSYM Sorulrý) Kreli ve Ýzometrik Kâðýt zý Ktý isimlerin çýnýmlrý ÜNÝT Çember ve ire lýþtýrm 61, 6, Test lýþtýrm Test Test (ÖSYM Sorulrý) lýþtýrm 65, Test lýþtýrm Test Test (Krm) 50, Test (ÖSYM Sorulrý) ÜNÝT ik iresel Silindir, Koni ve Küre lýþtýrm 68, Test 5, lýþtýrm Test 54, lýþtýrm 71, Test lýþtýrm Test lýþtýrm Test lýþtýrm Test Test (Krm) 60, 61, Test (ÖSYM Sorulrý)

6 . 1. ÜNIT. TML GMTRIK KVRMLR ve.. KRINT GMTRIY.. GIRIS.

7

8 Geometrik Kvrmlr LIÞTIRM : þðýdki boþluklrý doldurunuz.. K N ) oðru yd ynlýþ hüküm bildiren ifdelere. denir. d 1 b) oðruluðu isptsýz kbul edilen önermelere. denir. c) Tnýmlr ve ksiyomlr yrdýmýyl doðruluðu isptlnn önermelere. denir. ç) Nokt, doðru ve düzlem. terimlerdir. d) Herhngi bir büyüklüðü olmyn ve yer belirten ize. denir. e),,, gibi þekiller. modelidir. f) üz ve uzunluðu sürekli iki yöne uztýlbilen, klýnlýðý bulunmyn geometrik terimlere. denir. F Yukrýdki þekle göre, þðýdki boþluklrý doldurunuz. ),, noktlrý doðrusldýr. b),, noktlrý doðrusldýr. c),, doðrulrý yzýlýr. d),, doðru prçlrý yzýlýr. e),, ýþýnlrý yzýlýr. G d d g) d. doðrusu vey. doðrusu þeklinde gösterilir. h),,, gibi þekiller. modelleridir. ý) yný doðru üzerinde oln noktlr. denir. i) Frklý 5 nokt doðrusl ise, bu noktlrdn. det doðru geçer. j) ir doðrunun herhngi bir prçsýn. denir. k) doðru prçsý. þeklinde gösterilir. l) ir doðrunun belirli bir yerinden bþlyýp düz sürekli olrk tek yöne uztýlbilen, uzunluðu sýnýrsýz, klýnlýðý bulunmyn geometrik terime. denir. m) d ge Yyýncýlýk. þðýdki boþluklrý doldurunuz. ) Uzunluðu ve geniþliði, düz sýnýrsýz geniþletilebilen fkt klýnlýðý bulunmyn geometrik terimlere. denir. b) efter yüzeyi, ms yüzeyi, yzý thtsý gibi cisimler. modelidir. c), gibi þekiller. modelidir. ç) yný düzlemde oln noktlr. noktlr denir. d) oðrusl olmyn frklý üç nokt dim. dir. (üzlem belirtir.) e) þlngýç noktsý oln ýþýn. þeklinde gösterilir.. diye okunur. 9

9 4. þðýdki boþluklrý doldurunuz. ) Uzunluðu, geniþliði ve yüksekliði düz sýnýrsýz geniþletilebilen geometrik terimlere. denir. b) in, defter, silgi, kpý, top gibi cisimler. modelidir. c) 6. þðýdkilerden doðru olnlr, ynlýþ olnlr Y yzýnýz. ( ) Noktd; derinlik vrdýr. ( ) oðrud; uzunluk sýnýrsýzdýr. ( ) oðrud; geniþlik sýnýrsýzdýr. ( ) üzlemde; uzunluk ve geniþlik sýnýrsýzdýr. ( ) Uzyd; uzunluk, geniþlik ve derinlik sonsuzdur., 7. T 5. gibi þekiller. modelidir. ç) Nokt. dur. oðru., düzlem., uzy. boyutludur. P ý ý ý ý ge Yyýncýlýk Yukrýdki pirmidin köþeleri þekildeki gibi isimlendirilmiþtir. un göre, þðýdkilerden doðru olnlrýn, ynlýþ olnlrýn Y yzýnýz. ( ),, doðrusldýr. ( ), T, doðrusldýr. ( ),, düzlemseldir. ( ),,, düzlemseldir. Yukrýdki þekilde kibrit kutusunun köþeleri isimlendirilmiþtir. ( ), T, düzlemseldir. un göre, þðýdkilerden doðru olnlrýn, ynlýþ olnlrýn Y yzýnýz. 8. ir yüzeye býrkýln; ize., düz çizgiye., bu yüzeye. denir. ( ) Þekil bir uzy modelidir. ( ),, noktlrý doðrusldýr. ( ),, ý noktlrý düzlemseldir. ( ),, ý, ý noktlrý düzlemseldir. ( ) ý, ý,, noktlrý düzlemseldir. ( ),,, ý noktlrý düzlemseldir. ( ) P uzyý þeklinde isimlendirilir. 9. Sizde frklý þekillerde nokt, doðru, düzlem, uzy modellerini yzýnýz..,.,. nokt.,.,. doðru.,.,. düzlem.,.,. uzy modelleridir. 10

10 Nokt, oðru ve üzlem elirtme Syýlrý LIÞTIRM : 0 * Herhngi üçü doðrusl olmyn n nokt en çok; n! (n, ) = (n )!.! 5. ir düzlemin üzerindeki 5 frklý nokt ile düzlemin dýþýndki frklý noktlrýn birleþtirilmesiyle en çok kç doðru çizilir? : 1 det doðru oluþturur. 1. üzlemde herhngi üçü doðrusl olmyn 6 nokt en çok kç doðru belirtir? : 15 * ir noktlr kümesinin tüm elemnlrý yný düzleme it ise; bu kümeye düzlemsel noktlr kümesi denir. * Herhngi üçü doðrusl olmyn n nokt en çok n! (n, ) = (n )!.!. üzlemde 7 nokt en z ve en çok kç doðru belirtir? frklý düzlem belirtir. : 1 ve 1 ge Yyýncýlýk. eþi d doðrusu üzerinde oln 8 nokt en çok kç doðru belirtir? 6. Herhngi üçü doðrusl olmyn 10 nokt en çok kç düzlem belirtir? : 10 : Þekildeki 7 noktnýn birleþtirilme- siyle en çok kç G doðru çizilir? d F : n çok ikisi doðrusl oln, düzlemsel 7 nokt ve bu noktlr düzleminin dýþýnd bulunn sekizinci nokt ile kç düzlem oluþturulur? : 11

11 8. Herhngi üçü doðrusl olmyn, düzlemsel 6 nokt ile bu düzlemin dýþýnd bulunn iki nokt dh veriliyor. u 8 nokt, en çok kç düzlem belirtir? 11. ir düzlemin içindeki n frklý doðru en çok 8 noktd kesiþtiðine göre, n kçtýr? : 8 : 7 9. Kendi rlrýnd prlel 4 doðru ile kendi rlrýnd prlel doðru kesiþirse, düzlem kç bölgeye yrýlýr? 1. eþi prlel oln 7 doðrunun kesiþmesiyle en çok kç nokt oluþur? : 11 : 0 ge Yyýncýlýk * Frklý iki doðrunun bir ortk noktsý vrs, bu doðrulr kesiþen doðrulr denir. * Frklý n doðru en çok 1. ördü bir noktsýndn geçen 9 doðrunun, ikiþer ikiþer en çok kç kesim noktsý vrdýr? : 1 n! (n, ) = (n )!.! frklý noktd kesiþir. 10. ir düzlem içindeki 10 frklý doðru en çok kç frklý noktd kesiþir? : ü prlel, ü bir noktsýndn geçen 1 doðrunun kesiþmesiyle en çok kç nokt oluþur? : 58 1

12 Koordint oðrusu ve Mutlk eðer LIÞTIRM : 0 ir doðru üzerinde bir bþlngýç noktsý ve bir yön seçilip bütün reel syýlrýn konumlrý belirlenerek oluþturuln doðruy syý doðrusu, bþlngýç noktsýn orjin denir. þlngýç noktsýnýn sol trfý negtif yön, sð trfý pozitif yöndür. Herhngi bir nokty krþýlýk gelen gerçek (reel) syýy bu noktnýn koordintý denir. gerçek syýsýnýn, koordint doðrusu üzerinde eþlendiði noktnýn bþlngýç noktsýn oln uzklýðýn syýsýnýn mutlk deðeri denir ve ile gösterilir., y R olmk üzere, ) dim 0 olur. b) 0 ise; = 0 d < 0 ise; = c) y = y dir. 1. ( ), (), (0), (-4) noktlrýný syý doðrusu üzerinde gösteriniz. iþleminin sonucu kçtýr? : 8. K(), L, M(ò10) noktlrýný syý doðrusu üzerinde gösteriniz. ge Yyýncýlýk 5. ñ + 1 ñ toplmýnýn sonucu kçtýr? : 1 6. Mutlk deðerce eþit ve bþlngýç noktsýn uzklýklrý çrpýmý 16 oln syýlrýn frklrýnýn mutlk deðeri kçtýr? : 8 7. > 0 olmk üzere. ( + ñ5), ( ñ), (1 ñ7) noktlrýný syý doðrusu üzerinde gösteriniz. + iþleminin sonucu kçtýr? : 1

13 8. < 0 < y olmk üzere + y y + iþleminin sonucu kçtýr? :, b R ve c R olmk üzere + b = c denkleminin çözümü + b = c vey + b = c denklemlerinin çözümüdür. NT : c negtif reel syý olurs çözüm kümesi boþ küme olur. 9. = olmk üzere 1. = 5 denklemini sðlyn deðerleri toplmý kçtýr? : 6 + iþleminin sonucu kçtýr? : 1. 1 = 5 denklemini sðlyn deðerleri çrpýmý kçtýr? : < b < c olmk üzere c b + b c b c iþleminin sonucu kçtýr? ge Yyýncýlýk = 1 olduðun göre, deðerleri çrpýmý kçtýr? : 9 : 15. ( 1), () ve () noktlrýn göre, + toplmýnýn en küçük deðeri kçtýr? : 11. < < y olmk üzere + y y iþleminin sonucu kçtýr? ile 1 rsýnd bir syýnýn 5 e uzklýðý ile 1 e uzklýklrý toplmý kçtýr? (Yni toplmýnýn deðeri) : 1 : 8 14

14 Koordint oðrusund Ýki Nokt rsý Uzklýk LIÞTIRM : 04 * ir syý doðrusu üzerindeki () ve (y) noktlrý rsýndki uzklýk; þeklinde yzýlýr. y d(, ) = y = y. Meteorolojinin verilerine göre, rzurum un kýþýnki sýcklýk ortlmsý 8, yzýnki sýcklýk ortlmsý 18 dir. un göre rzurum un yz kýþ sýcklýk frký kç derecedir? : 6 Uzunluðu eþit oln doðru prçlrýn eþ doðru prçlrý denir. [] = ~ [] yni [] ve [] eþ doðru prçlrý ise d(, ) = d(, ) vey = þeklinde yzýlýr , 4 4 noktlrý rsýndki uzklýk kç birimdir? 1. Syý doðrusu üzerinde verilen ( ) ve (5) noktlrý rsýndki uzklýk kç birimdir? : 4 : 7 ge Yyýncýlýk 5. M(ñ + 1), N(ñ ) noktlrý rsýndki uzklýk kç birimdir? : F G 4 þðýdki tbloyu yukrýdki koordint doðrusun göre doldurunuz. oðru Prçsý Uzunluk (br) F G () ve ( + 4) noktlrý rsýndki uzklýk 5 olduðun göre, deðerleri kçtýr? : vey 7 15

15 7. Syý doðrusu üzerinde K noktsýnýn koordintý tür. KM = 8 br olduðun göre, M noktsýnýn koordintlrý toplmý kçtýr? : 6 * Yukrýdki (), (y), (z) noktlrý için noktsý ile noktlrý rsýnd ise; sýrlmsý vrdýr. y < y < z z * Yukrýdki eþitsizliði þeklinde de gösterebiliriz. + = 8. Syý doðrusu üzerinde verilen ( 1) ve ( + 7) noktlrý rsýndki uzklýk 1 birim olduðun göre, in negtif deðeri kçtýr? : 11. Koordint doðrusund K(4 1) ve L( + ) noktlrý rsýndki uzklýk 5 br dir. ( Z + ) M( + 4) olduðun göre KM kç br dir? : 1 9. Syý doðrusu üzerinde ( 8), (), (6) ve () noktlrý veriliyor. ge Yyýncýlýk = olduðun göre, in lbileceði deðerler toplmý kçtýr? : 1 1. Syý doðrusu üzerinde lýnn ( + ) noktsý ( 1) noktsýndn küçük olduðun göre, in en büyük tm syý deðeri kçtýr? : (), ( 4), (k + 1) ve ( ) noktlrý veriliyor. [] = ~ [] olduðun göre, k kçtýr? : 10 vey 1. Koordint doðrusu üzerinde lýnn K( 1) noktsý L( 4) ve M() noktlrýnýn rsýnddýr. Î Z olduðun göre, KL KM frký kçtýr? : 0 16

16 Geometrik Kvrmlr - Koordint oðrusu TST : þðýdkilerden hngisi ynlýþtýr? ) yný doðru üzerinde bulunn noktlr doðrusl noktlrdýr. ) ýþýný [] þeklinde gösterilir. 5. = 7 eþitliðini sðlyn deðerleri toplmý kçtýr? ) 4 ) 6 ) 7 ) 10 ) 11 ) Güneþten çýkn ýþýk demetinin elemnlrý ýþýn modelidir. ) Uzunluðu, geniþliði ve yüksekliði sýnýrsýz oln terimlere uzy denir. ) Ýki noktnýn koordintlrý frkýnýn mutlk deðeri, bu iki nokt rsýndki uzklýktýr. 6. (), (8) ve P() noktlrý veriliyor. un göre,. F G H K P + P Yukrýdki doðru üzerinde noktlr verilmiþtir. þðýdkilerden hngisi [G] Ç [F] kesiþimine eþittir? ifdesinin en büyük deðeri kçtýr? ) 1 ) ) ) 4 ) 5 ) [] ) [G] ) [G] ) [F] ) [FG] ge Yyýncýlýk. < 0 olmk üzere, + iþleminin sonucu nedir? ) + ) ) ) ) 7. (5), (14) noktlrý rsýndki uzklýk kç birimdir? ) 4 ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 4. < 0 < b olmk üzere, + b b b iþleminin sonucu nedir? ) 0 ) b ) ) ) 1 8. Syý doðrusu üzerindeki ( + ) ve (7 + ) noktlrý rsýndki uzklýk kç birimdir? ) ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 17

17 9. Syý doðrusu üzerinde () noktsýn 5 birim uzklýktki noktlrýn koordintlrý toplmý kçtýr? ) 10 ) 8 ) 6 ) 4 ) 1. (), ( 7), ( 1) ve () noktlrý veriliyor. [] [] olduðun göre, deðerleri toplmý kçtýr? ) 16 ) 15 ) 10 ) 6 ) Syý doðrusu üzerinde verilen () ve (1) noktlrý rsýndki uzklýk 5 birim olduðun göre, in lbileceði deðerler toplmý kçtýr? ) 0 ) ) 4 ) 6 ) Syý doðrusu üzerinde frklý ( 6), ( 4) ve (10) noktlrý veriliyor. + = olduðun göre, kç tmsyý deðeri lýr? ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ge Yyýncýlýk 11. Syý doðrusund ( ) ve ( 1) noktlrý rsýndki uzklýk 7 birim olduðun göre, in lbileceði deðerler toplmý kçtýr? ) ) 1 ) 1 ) ) 15. Syý doðrusu üzerinde lýnn (k 1) noktsý ( 1) ve (4) noktlrýnýn rsýnd olduðun göre, k kç tmsyý deðeri lýr? ) 8 ) 7 ) 6 ) 5 ) 4 1. Syý doðrusund ( 4), (), (6) ve () noktlrý veriliyor. = olduðun göre, in lbileceði deðerler toplmý kçtýr? ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 ) (4), ( 1) ve ( + 7) noktlrý veriliyor. noktsý ve noktlrý rsýnd olduðun göre, kç tmsyý deðeri lýr? ) 1 ) ) ) 4 )

18 Koordint oðrusund Vektör LIÞTIRM : 05 Yönlü oðru Prçsý : Uç noktlrýndn biri bþlngýç noktsý, diðeri bitim noktsý olrk belirlenen doðru prçsýn yönlü doðru prçsý denir. þlngýç noktsý, bitim noktsý oln yönlü doðru prçsý biçiminde gösterilir. þeklinde ifde edilir. d ir yönlü doðru prçsýnýn üzerinde bulunduðu doðruy o yönlü doðru prçsýnýn tþýyýcýsý yd doðrultusu (doðrultmn doðrusu) denir. nin tþýyýcýsý d doðrusudur. d,,. þðýdki ifdelerin doðru y d ynlýþ olduðunu belirleyiniz. ( ) ve noktlrý rsýndki uzklýð nýn uzunluðu denir. ( ) = 1. ( ) Tþýyýcýlrý yný vey prlel oln yönlü doðru prçlrýn, prlel yönlü doðru prçlrý denir. ( ) yönlü doðru prçsýnýn yönü ve doðrultusu belirlidir. d 1 d þlngýç ve bitim noktsý yný noktsý oln yönlü doðru prçsý biçiminde gösterilir. Yukrýdki doðru prçsý için; þlngýç noktsý... itim noktsý... oðrultusu... d nýn tþýyýcýsý d 1, d, d... doðrulrý olbilir. undn dolyý nýn tþýyýcýsý ve yönü belli deðildir. = ile gösterilir. ge Yyýncýlýk 4. Tþýyýcýsý... K L M N ir yönlü doðru prçsýnýn bþlngýç ve bitim noktlrý rsýndki uzklýð yönlü doðru prçsýnýn uzunluðu (büyüklüðü) y d normu denir ve vey þeklinde gösterilir. = 0 dýr. 5. Yukrýdki þekil için; ve doðru prçlrýn... denir. F K L ) yönlü doðru prçsýnd... noktsý,... noktsýdýr. b) yönlü doðru prçsýnd... noktsý,... noktsýdýr. c) doðrusun,, yönlü doðru prçlrýnýn... denir. doðrusu üzerindeki noktlr göre, þðýdki boþluklrý doldurunuz. þlngýç Noktsý itim Noktsý Gösterimi Uzunluðu (br) F F K

19 Uyrý : Yönlü doðru prçsýnýn eþliði; uzunluklrý sýfýrdn frklý oln ve yönlü doðru prçlrý için þðýdki önermelerin ikisi de doðru ise ve yönlü doðru prçlrý eþtir, denir. þeklinde gösterilir. i) ii) = ve yný yönlüdür. irim Vektör: Uzunluðu 1 br oln vektörlere birim vektör denir. () ve (b) noktlrý için birim vektör ise; b = 1 dir. 7. Koordint doðrusu üzerinde () ve (b) noktlrý veriliyor. birim vektördür. (, b Z + ) 6. d 1 + b = 8 olduðun göre,. b çrpýmý kçtýr? : 6 K L M N P d Þekilde d 1 // d ve = = MN = birim = KL = NP = 1 birim Verilenlere göre; þ yönlü doðru prçlrý... Zýt yönlü doðru prçlrý... Tným: Koordint doðrusu üzerinde eþ yönlü doðru prçlrýnýn kümesine vektör denir. Sýfýr Vektörü: Uzunluðu sýfýr oln yönlü doðru prçlrýnýn oluþturduðu denklik sýnýfýn sýfýr vektörü denir. 0 ile gösterilir. sýfýr vektörüdür. = 0, = 0 dýr. Ters (zýt) vektörler: ve ters vektörlerdir. = dýr. d d,, ge Yyýncýlýk 0 8. Koordint doðrusu üzerinde () ve (y) noktlrý veriliyor. (, y Z + ) ve noktlrýnýn belirttiði vektör birim vektör ve y = 7 olduðun göre, kçtýr? : 5 9. þðýdki ifdelerin doðru y d ynlýþ olduðunu belirleyiniz. ( ) þlngýç ve bitim noktsý yný oln vektörlere birim vektör denir. ( ) vektörünün normu vey ile gösterilir. ( ) oðrultulrý yný, yönleri zýt oln vektörlere eþ vektörler denir. ( ) ve noktlrý için vektörü birim vektör ise, vektörüde birim vektördür.

20 ir oðruyu ölen Nokt LIÞTIRM : 06 Koordint doðrusu üzerindeki bþlngýç noktsý orjinde oln ne noktsýnýn yer vektörü denir. vektörü. () ( 4) 0 þeklinde gösterilir. (), (b), (c) olmk üzere [] ný k, = (k > 0, k 1) olck biçimde; Ýçten bölen noktsýnýn koordintý + k.b = 1+ k ýþtn bölen noktsýnýn koordintý k.b = dýr. 1 k 4. (8) köþesinden köþesine yem götüren krýnc noktsýndn geçecektir. 4 = olduðun göre, kçtýr? : 1 K() L(7) M(m) NT : Yukrýdki vektörel bölmelerle bulunn sonuçlr orntý yoluyl d bulunbilir. ge Yyýncýlýk üz bir yol üzerinde K, L, M noktlrý veriliyor. LM = KL olduðun göre m kçtýr? : Syý doðrusu üzerinde lýnn ( 14) ve (10) noktlrýný 1 = ornýnd bölen Î [] noktsýnýn koordintý kçtýr? : 6 5. (), (6) ve () noktlrý veriliyor. ve = olduðun göre, in deðerleri toplmý kçtýr? : 1. ( 4), (7) ve () noktlrý veriliyor. [ ] ve = olduðun göre, kçtýr? 6. K(), M() ve N( 8) noktlrý veriliyor. M KM 9 MN 4 [ KN ] ve = olduðun göre, deðeri kçtýr? : 5 : 16 1

21 7. () ( ) ( ) (9) 9. () ve (8) noktlrýndn oluþn doðru prçsýnýn ort noktsýný bulunuz. : 5 d 1 d Yukrýdki þekilde,,,, noktlrý için = ve = eþitlikleri veriliyor. un göre, noktsýnýn koordintý () kçtýr? : Uç noktlrý K( ) ve M(5) noktlrý oln KM doðru prçsýnýn ort noktsý kçtýr? : 1 8. ( ) G( 1) (1) F() (5) ge Yyýncýlýk 11. (4), (), ( ) ve (7) Yukrýdki doðrulr üzerinde noktlr verilmiþtir. FG = ve = = F 4 olduðun göre kçtýr? noktlrý veriliyor. [] ve [] doðru prçlrýnýn ort noktlrý rsýndki uzklýk kçtýr? : 1 : 5 b *, ile nin ort noktsý olmk üzere + b = ise = yzýlýr. 1. ( + ) ile ( 1) noktlrýnýn oluþturduðu doðru prçsýnýn ort noktsý ( + 5) olduðun göre, kçtýr? : 9

22 Vektörler - ir oðruyu ölen Nokt TST : 0 1. þðýdkilerden hngisi ynlýþtýr? ) yönlü doðru prçsýnd bþlngýç, bitim noktsýdýr. ) = 0 ) þlngýç ve bitim noktsý yný oln vektörlere sýfýr vektörü denir. ) birim vektör ise, = 1 dir. ) vektörünün uzunluðu þeklinde gösterilir. 4. K M Koordint doðrusu üzerinde K, M, N noktlrý veriliyor. MN = KM olduðun göre, kçtýr? ) 6 ) 5 ) 4 ) ) N F G K 4 doðrusu üzerindeki noktlr göre, þðýdki boþluklrý doldurunuz. þlngýç Noktsý itim Noktsý Gösterimi Uzunluðu (br) F F K F G ge Yyýncýlýk 5. ( 11), (14) ve () noktlrý veriliyor. II 5 [] ve = II olduðun göre, kçtýr? ) ) 1 ) 1 ) ) 5. Koordint doðrusu üzerinde () ve (y) noktlrý veriliyor. birim vektördür. (, y Z ) y = 7 olduðun göre, + y kçtýr? ) ) ) 5 ) 6 ) Uç noktlrý ( 5) ve (9) oln doðru prçsýnýn ort noktsý kçtýr? 1 ) 1 ) ) 0 ) 1 )

23 7., ve noktlrý doðrusldýr. noktsý ile nin rsýnddýr. = 4 cm dir. [] nin ort noktsý K olduðun göre, [K] kç cm dir? ) 1 ) 10 ) 9 ) 8 ) () () ( 5) (8),,,, noktlrý için = ve = olduðun göre, kçtýr? ) 5 ) 0 ) 18 ) 15 ) ( ) () 8. 9 Küthy ilecik Ýstnbul () (7) Küthy - ilecik 110 km ilecik - Ýstnbul 50 km dir. u illerimizi syý doðrusu üzerinde yukrýdki gibi yerleþtirirsek Ýstnbul un olduðu noktsý kçtýr? ) 5 ) 8 ) 0 ) ) 4 ge Yyýncýlýk,,,, noktlrý için II II = = II II olduðun göre kçtýr? 1 ) ) 1 ) ) ) 1 1. G(10) F() ( 1) () (6) 9. ( ), (4) ve () noktlrý veriliyor. II [] ve = II olduðun göre, kçtýr? ) 10 ) 11 ) 1 ) 14 ) 16 Yukrýdki þekilde noktlr ve koordintlrý verilmiþtir. =, = G IFI 4 = II olduðun göre, kçtýr? ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 )

24 nlitik üzlemde Vektör LIÞTIRM : 07 nlitik üzlem: ir düzlem üzerinde dik kesiþen iki syý doðrusunun oluþturduðu sisteme dik koordint sistemi, koordint sisteminin üzerinde bulunduðu düzleme de nlitik düzlem vey koordint düzlemi denir.. m Z olmk üzere, (m +, m) noktsý düzlemin 4. bölgesinde olduðun göre, (m, m 1) noktsý hngi bölgededir? : y (ordint) b (, b) (0, 0) e yty eksen, psis vey o ekseni, y ye düþey eksen, ordint vey oy ekseni, bu eksenlerin kesiþtikleri nokty ise bþlngýç noktsý (orjin) denir. Koordint sistemini olusturn eksenler nlitik düzlemi 4 bölgeye yýrýr. (psis) 4. ( 1, + 6) þeklindeki noktsýnýn. bölgede olmsý için in lbileceði tm syýlrý bulunuz? : {,..., } y II. bölge < 0 y > 0 < 0 y < 0 III. bölge I. bölge > 0 y > 0 > 0 y < 0 IV. bölge ge Yyýncýlýk 5. ( 8, + 9) noktsýnýn ll. bölgede olmsý için frklý tmsyýlrýnýn toplmý kçtýr? : 1. (1, 4), (, ), (, 4), (, 1) noktlrýný düzlemde gösterelim (, ) ve ( +, ) noktlrý nlitik düzlemde yný bölgede olduðun göre, nýn deðeri nedir? : < < (, b) noktsý nlitik düzlemin. bölgesinde olduðun göre, (, 4b) hngi bölgededir? : 1 7., b, c, d R olmk üzere (, b) noktsý nlitik düzlemde. bölgede (c, d) noktsý ise 4. bölgededir. un göre, (c, b + d) noktsý nlitik düzlemde hngi bölgededir? : 4 5

25 8., b R olmk üzere, (, + ) noktsý ekseni üzerinde ve (b 7, ) noktsý y ekseni üzerinde bulunduðun göre, + b kçtýr? : Yukrýdki nlitik düzlemde verilenlere göre þðýdki tbloyu doldurunuz. Vektör Á Áb Ác Ád Áe ileþenler (, ) (, 1) 9. y 11. þðýdki tbloyu yukrýdki verilenlere göre doldurunuz. Vektör Áf ileþenler (1, ) (, ) ( 4, )(, 1) (, ) 1. Þekil eþ krelerden oluþmuþtur. G nlitik düzlemdeki (, 4), ( 4, ) ve (, ) noktlrý için ÿ nin lný kç birim kredir? : 0 ge Yyýncýlýk K R L P Y V H T F M N Z 10. ve 11. sorulrýn cevplrýný þðýdki nlitik düzlemdeki verilere göre bulunuz. ) ~ ~ F b) KL ~ MN c) PR ~ TV d) GH ~ YZ ifdelerinin doðruluklrýný irdeleyiniz. Ák 6 Áb 5 Ác 4 1 Áf Á Áe Ád 1. prlelkenrýnd, eþ vektörler... zýt vektörler... olrk yzýlýr. 6

26 Vektör - ir Noktyý ölen oðru LIÞTIRM : 08 ik koordint düzleminde eksenindeki 1 br uzunluðundki vektöre e 1, y eksenindeki 1 br uzunluðundki vektöre e denir. 1 y 1 1 e e 1 1 un göre koordint sistemi {0, e 1, e } ile gösterilir. e 1 ve e temel vektörleri i ve j temel vektörleri þeklinde de gösterilebilir. noktsý [] nýn elemný ise, yni bir doðru prçsýný belli ornd içten bölen noktnýn koordintlrýný bullým. y y y 0 y ( 1, y 1 ) ve (, y ) ve k = için, içten bölen noktsýnýn koordintlrý + = 1 k 0 1+ k y + ve = 1 ky y 0 1+ k ( 0, y 0 ) bulunur. Not : Yukrýdki vektörel bölmelerle bulunn sonuçlr benzerlik vey orntý yoluyl bulunbilir. 1. þðýdki tbloyu ve nlitik düzlemi eþleþtirerek doldurunuz. dý Nokt Vektör e 1 ve e eþleþtirmesi (, 0) e e 1 + 4e F F(, ) ge Yyýncýlýk. (4, 1) ve (, 8) ve (, y) noktlrý veriliyor. [] doðru prçsýný bölen noktsýný bulunuz. = 5 ornýnd içten : (, ) y (, ) ve (4, 6) noktlrý ve [] veriliyor. = olduðun göre, noktsýnýn koordintlrýný bulunuz. : (, 5) 7

27 4. (0, ) ve (6, 1) noktlrý veriliyor. [] olup, = olduðun göre, noktsýnýn koordintlrýný bulunuz. : 9, rt Nokt: ir [] doðru prçsý verilmiþ olsun, [] olck þekilde = eþitliði vrs noktsýn [] nin ort noktsý denir. y y (,y ) y 0 ( 1,y 1 ) ( 0,y 0 ) y 1 5. (, 4) (, 7) (, y) 1 0 Þekilde verilenlere göre, 5 = olduðun göre, noktsýnýn koordintlrý toplmý kçtýr? : 7 Uç noktlrý ( 1, y 1 ), (, y ) oln [] nin ort noktsý ( 0, y 0 ) ve = olduðun göre, 1 + y1 + y 0 =, y0 = dir. 1 + y1 + y ( 0, y 0) =, dir. 6. (, 4), (7, 9) ve (, y) noktlrý veriliyor. [] ve = koordintlrý nedir? olduðun göre, noktsýnýn : (1, 6) ge Yyýncýlýk 8. Uç noktlrý (6, 4), (8, ) oln [] nin ort noktsýnýn koordintlrýný bulunuz. : (7, ) 9. Uç noktlrý (5, ), ( 1, 6) oln [] nin ort noktsýnýn koordintlrýný bulunuz. : (, 4) 7. (1, 6), (7, 0) noktlrý veriliyor. [] üzerinde bir (, y) noktsý lýnýyor. 1 = noktsýnýn koordintlrý nedir? olduðun göre, : (, 4) 10. (, 5) ve (1, 4) noktlrý veriliyor. [] nin ort noktsý olduðun göre, noktsýný bulunuz. : (4, ) 8

28 nlitik üzlem - Vektör TST : 0 1. (, y) noktsý koordint düzleminde. bölgede bulunduðun göre, (, y) iliþkisi þðýdkilerden hngisi olbilir? ) (1, ) ) (, 1) ) (0, ) ) (, ) ) (, 4) m 4., n m noktsý koordint düzleminin. böl- n gesinde olduðun göre, (n, m) noktsý hngi bölgesidir? ) l ) ll ) lll ) lv ) rjinde. ( 4, + ) noktsýnýn. bölgede olmsý için frklý tmsyýlrýnýn toplmý kçtýr? ) ) ) 4 ) 5 ) 6 ge Yyýncýlýk 5. nlitik düzlemde (, + ) noktsý 4. bölgede olduðun göre, (, 1 ) noktsý hngi bölgedir? ) 1. bölge ). bölge ). bölge ) 4. bölge ) o ekseni üzerinde. (, y) noktsý nlitik düzlemin. bölgesinde olduðun göre, ( + y, y) noktsý nlitik düzlemin kçýncý bölgesindedir? ) l ) ll ) lll ) lv ) y ekseninde 9 6. R olmk üzere, K(, 16) noktsý, ekseni üzerinde bulunduðun göre, nýn lbileceði deðerler toplmý kçtýr? ) 16 ) 8 ) 0 ) 8 ) 16

29 7. ( +, 5) noktsý y ekseni üzerinde bulunduðun göre, nýn lbileceði deðerlerden biri þðýdkilerden hngisidir? 8. ) ) 1 ) 0 ) ) y 10. þðýdki tblo ve nlitik düzleme göre, b, c, d, e hrflerinin sýrlnýþý hngi þýkt doðru verilmiþtir? dý Nokt Vektör (, ) b c e e 1 ve e eþleþtirmesi e 1 + e d y e c d nlitik düzlemdeki (, ), ( 4, ) ve (, 1) noktlrý için ÿ nin lný kç birim kredir? ) 18 ) 19 ) 0 ) 1 ) ge Yyýncýlýk ) b ( 1, ) ) e ( 1, ) ) c (, ) ) d e 1 e ) 9. y 11. Uç noktlrýnýn koordintlrý (7, 4), (, 6) oln doðru prçsýnýn ort noktsýnýn koordintlrý nedir? ) (5, 1) ) (1, 4) ) (, 5) ) (4, ) ) (5, ) 1. nlitik düzlemde iki kenrý Áu = (4, ) ve Áv = (, ) oln prlelkenrýn lný kç br dir? ) 0 ) 18 ) 16 ) 14 ) 1 ( 4, 6) ve (, ) olduðun göre, noktsýnýn koordintlrý toplmý kçtýr? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 )

30 ir oðruyu ölen Nokt LIÞTIRM : (, ) ve (y, 5) noktlrýnýn ort noktsý (, ) olduðun göre,. y çrpýmý kçtýr? : 9 NT : [] verilsin. ( 0, y 0 ) noktsý [] ný = k ornýnd dýþtn bölerse, ( 1, y 1 ) (, y ) ( 0, y 0 ) = 1 k. 0 1 k ve y = 1 k. y y 0 1 k bulunur.. (, ) ve (, b + 1) noktlrý veriliyor. [] nin ort noktsý (, 1) noktsý olduðun göre, + b kçtýr? : 1 5. (9, ) ve (, 4) noktlrý veriliyor. [] doðru prçsýný 5 = bölen ( 0,y 0 ) noktsýný bulunuz. ornýnd dýþtn : ( 1, 8). Uç noktlrý (4, m 1) ve (6, m + ) oln doðru prçsýnýn ort noktsý ekseni üzerinde olduðun göre, m kçtýr? : 1 ge Yyýncýlýk 6. (, 5) ve (4, 7) noktlrý veriliyor. doðrusunu 1 = noktsýnýn koordintlrýný bulunuz. ornýnd dýþtn bölen : ( 5, 4) 4. (, ), (b, 4) noktlrýnýn ort noktsý c, 1 ise, + b + c toplmý kçtýr? : 8 7. (10, ) ve (1, 8) noktlrý ve [] veriliyor.,, doðrusl olup, 4 = olduðun göre, noktsýnýn koordintlrýný bulunuz. : (, 10) vey (, 6) 1

31 8. nlitik düzlemde, (, 4), (6, 8) noktlrý veriliyor. [] ve = 4 olduðun göre, noktsýnýn koordintlrý nedir? : (1, 11) Prlelkenrýn Köþe Noktlrýnýn Koordintlrý Köþegenleri birbirini ortlyn dörtgenlerde (kre, dikdörtgen, prlelkenr, eþkenr dörtgen) krþýlýklý köþelerin koordintlrý toplmý birbirine eþittir. prlelkenr olduðundn, [] nin ve [] nin ort noktsý ( 0, y 0 ) dýr. ( 4, y 4 ) (, y ) 9. (, ) (b, 8) ( 0, y 0 ) (, ) ( 1, y 1 ) (, y ) Þekildeki = olduðun göre, + b toplmý kçtýr? : 6 Prlelkenrd = ve = eþitlikleri vrdýr. rt nokt formülünden 1 + = + 4 ve y1 + y = y + y4 bulunur. 10. (7, 4) Þekilde; = ( 1, ) (1, 0) = olduðun göre, noktsýnýn koordintlrýný bulunuz. : (1, 5) ge Yyýncýlýk 1. Köþelerinin koordintlrý (, ), (5, 5), (, y) ve (, 1) oln prlelkenrýnýn köþesinin koordintlrýný bulunuz. 1. y (0, 4) : (6, ) ( 6, 0) (, 0) (, y) 11. (, 9) Yukrýdki þekilde dikdörtgeninin köþesinin koordintlrýný bulunuz. : (, 4) ( 1, ) (, b) (7, 6) Þekilde = ve noktsý [] nin ort noktsýdýr. un göre, noktsýnýn koordintlrýný bulunuz. : (, 6) 14. nlitik düzlemde verilen dikdörtgeninin ðýrlýk merkezinin koordintlrý (1, ) olduðun göre,,,, noktlrýnýn koordintlrý toplmýný bulunuz. : 16

32 Vektör - ir Noktyý ölen Nokt TST : Uç noktlrý ( m, 4) ve (m +, 8) oln doðru prçsýnýn ort noktsý y ekseni üzerinde olduðun göre, m kçtýr? ) 8 ) 7 ) 6 ) 5 ) 4 4. (, ) (6, 9) Þekildeki [] doðru prçsýnýn üzerinde bir P noktsý lýnýyor. P = P olduðun göre, P noktsýnýn koordintlrýný bulunuz. ) (1, ) ) (, ) ) (, ) ) (4, ) ) (, 0) 5. (, 4), (1, 10) noktlrýný birleþtiren doðru prçsýný = ornýnd içten bölen noktsýnýn koordintlr toplmý kçtýr?. Uç noktlrý (, b +), ( + 5, 7 b) oln [] nýn ort noktsýnýn koordintlrý toplmý kçtýr? ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 ) 6 ) 8 ) 9 ) 10 ) 1 ge Yyýncýlýk. d y 6. (5, 4) ve (1, 4) noktlrý ile verilen doðru prçsý üzerinde bir noktsý veriliyor. = olduðun göre, noktsýnýn koordintlrý nedir? ) (1, ) ) (, 1) ) (, ) ) (, ) ) (, ) 4 Þekildeki koordint sisteminde =10 br olduðun göre, noktsýnýn koordintlrý þðýdkilerden hngisidir? ) ( 5, ) ) ( 4, 4) ) ( 5, ) ) ( 6, 4) ) ( 6, ) 7. (, 5) ve (6, ) doðru prçsýnýn uç noktlrýdýr. [] olup = 4 ise noktsýnýn koordintlrý þðýdkilerden hngisidir? ) (, ) ) (4, 1) ) ( 1, 4) ) (4, 0) ) (, 4)

33 8. (9, ) ve (4, ) noktlrý veriliyor. [] olup = ornýnd bölen (, y) noktsýnýn koordintlrý nedir? ) ( 6, 5) ) ( 6, ) ) (, 5) 11. prlelkenrýnýn köþe noktlrýnýn koordintlrý (5, ), (6, 4), (, 4) ve (, y) olduðun göre, + y kçtýr? ) 0 ) ) ) 4 ) 5 ) ( 4, 1) ) (, 6) 1. ( 1, ), (, ), (,6) ve (, y) noktlrý bir krenin köþeleri olduðun göre, + y kçtýr? 9. (, 7) üçgeninde [] kenrorty ) 5 ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 G = G = G (, ) (4, 5) olduðun göre, G noktsýnýn koordintlrý toplmý kçtýr? ) 6 ) 5 ) 4 ) ) ge Yyýncýlýk 1. (, y) (4, ) ( 1, ) (, 4) prlelkenrýnd. = olduðun göre, noktsýnýn koordintlrý nedir? ) (1, ) ) (, ) ) (, 7) 10. (4, 4) ) (, 1) ) ( 1, 4) (, ) (, y) (4, 0) Þekilde = ve noktsý [] nin ort noktsýdýr. un göre, noktsýnýn koordintlrý nedir? ) (, 4) ) (1, ) ) (5, ) ) (1, 5) ) (, ) 14. (8, ) ve (, 9) noktlrý veriliyor. [] ve,, noktlrý doðrusldýr. = olduðun göre, noktsýnýn koordintlrý toplmý þðýdkilerden hngisidir? ) 6 ) 8 ) 9 ) 11 )

34 Konum Vektörü - Uzunluðu - þitliði LIÞTIRM : nlitik düzlemde verilen vektörlerin konum nlitik düzlemde bþlngýç noktsý (0,0) oln (yer) vektörlerini çiziniz. vektörlere konum (yer) vektörü denir. y y (, y ) Á P(, b) Áb ( 1, y 1 ) Ác Ád üzlemde ( 1, y 1 ) ve (, y ) noktlrý verilsin. vektörü; vektörüne eþit ve bþlngýç noktsý orjinde oln P konum vektörü hline getirilebilir. = = P dir. = (, y y ) = P 1 1 = 1, b = y y 1 P = (, b) vektörü bulunur. ir Vektörün Uzunluðu : y ÁP(, b) Áe 1. ( 1, ) ve (, 1) noktlrý veriliyor. konum vektörünü bulunuz. : (, ) ge Yyýncýlýk P = (,b) PH dik üçgeninde P = H + PH P = + b P = + b bulunur. H b. (4, ) ve (, 6) noktlrý veriliyor. konum vektörünü bulunuz. : (1, 8) 5. = (6, 8) vektörünün uzunluðunu bulunuz. : 10. (4, + b) ve (, b 1) noktlrý veriliyor. konum vektörünü bulunuz. : ( 6, 4) 6. = ( 5,10) vektörünün uzunluðu kçtýr? : 5ñ5 5

35 Ýki Vektörün þitliði : 7. (4, 1) ve (1, ) noktlrý veriliyor. konum vektörünün uzunluðu kçtýr? = (,b) ve = (, y) vektörleri verilsin. : 5 = = ve b = y dir. (,b) = (,y) 8. (, 1) ve (k, 11) noktlrý veriliyor. = 1 birim ise k kçtýr? : 8 ve 10. = (4,), = (y, ) vektörleri birbirine eþit olduðun göre, + y toplmý kçtýr? : 1 9. y ge Yyýncýlýk 11. = (, 6), = (,y + 1) vektörleri birbirine eþit olduðun göre,. y çrpýmý kçtýr? : 5 Á Ác Áf Áe Áb Ád 1. = ( + y, 1), = (4,0) vektörleri birbirine eþit olduðun göre,. y nin deðeri kçtýr? : þðýdki tbloyu yukrýdki nlitik düzlemdeki verilere göre doldurunuz. Vektör Á Áb Ác Ád Áe Áf Uzunluðu (br) 1. (, 1) ve (, y ) noktlrý veriliyor. = (,5) olduðun göre, + y toplmý kçtýr? : 6 6

36 Konum Vektörü - Vektörün Uzunluðu TST : (, 5) ve ( 4, ) ise, nün konum (yer) vektörü þðýdkilerden hngisidir? ) ( 7, 7) ) ( 6, ) ) ( 7, ) ) (1, ) ) (7, ) 5. = ( + y 4,6), = (8, y + 9) ve = olduðun göre,. y kçtýr? ) 1 ) 18 ) 0 ) ) 5. = ( y, 1), = (, + y) noktlrý verilsin. konum vektörü = (4, ) ise, (, y) ikilisini bulunuz. ) (1, ) ) (0, ) ) (, 0) ) (0, 1) ) (1, 0) 6. y 1 + = (,8), = (7, ) ve = olduðun göre, + y toplmý kçtýr? ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 ) 8. (, ) ve ( 6, 1) ise, nün konum vektörü þðýdkilerden hngisidir? ) (, ) ) (9, ) ) (, 9) ) ( 9, ) ) (, 6) ge Yyýncýlýk 7. (5, ), (, 4), (1, ) ve (, y) noktlrý veriliyor. = olduðun göre, + y toplmý kçtýr? ) 7 ) 5 ) ) ) 6 4. = ( +,7), = (8,b + ) ve = olduðun göre, + b kçtýr? ) 8 ) 10 ) 11 ) 1 ) (, 5) ve = (8, 6) olmsýný sðlyn noktsýnýn koordintlrý nedir? ) (1, 5) ) (, 4) ) (5, ) ) ( 4, 4) ) (5, 1) 7

37 1. (4, ) ve (6, 7) 9. = (8, 5), = (, b) ve = (,6) ise, vektörünün uzunluðu kçtýr? olduðun göre, + b toplmý kçtýr? ) 5 ) 9 ) 11 ) 1 ) 16 ) 4 ) ñ5 ) ñ ) 5 ) ñ7 10. = (,4) vektörünün uzunluðu kçtýr? 9 11 ) 4 ) ) 5 ) ) (, ), (5, 4) ve = 10 olduðun göre, in lbileceði deðerler toplmý kçtýr? ) ) 4 ) 6 ) 8 ) 1 ge Yyýncýlýk 11. = (9,1) vektörünün normu kçtýr? ) 1 ) 15 ) 16 ) 18 ) (4, 5), ( 4, ) ve = 17 olduðun göre, in pozitif deðeri kçtýr? ) 10 ) 1 ) 15 ) 18 ) 0 1. (, 7) ve (1, ) ise, vektörünün uzunluðu kçtýr? ) ) 4 ) 5 ) 6 ) (, ), (, ) dir. vektörünün boyu 5ñ olduðun göre, in pozitif deðeri kçtýr? ) 8 ) 6 ) 5 ) )

38 Vektörlerde Ýþlemler LIÞTIRM : 11 y Ýki Vektörün Toplmý ve Frký : 4. nlitik düzlemde = (,b), = (,y) vektörleri verilsin. + = ( +, b + y) = (, b y) dir. 1. = (,1) ve = (,5) vektörleri verilsin. un göre, + vektörünü bulunuz. : (5, 6). þðýdki boþluklrý uygun þekilde doldurunuz. Nehrin kýþ doðrultusu, yönüve hýzý Á = (, ) vektörü ile temsil edilen nehrin kýyýsýnd durn Kyýk (6, 6) noktsýnddýr. Kyýðýn hreketinin doðrultusu, yönü ve hýzý Áb = (, ) olduðun göre, kyýk krþý kýyýy vrdýðýnd hngi noktddýr? : (5, 0). ) ir vektörün yer vektörünün bþlngýç noktsý. noktsýdýr. b) Vektörlerde toplm iþleminin.,.,. özellikleri vrdýr. c) Vektörlerde toplm iþleminin birim elemný. vektörüdür. d) ÁU + ÁV = 0 verilsin. ÁU, ÁV nün toplmy göre. vektörüdür. y ge Yyýncýlýk ir Vektörün ir Reel Syý Ýle Çrpýmý : = (,b) ve k R olmk üzere; k = k(,b) = (k,kb) þeklinde tnýmlnýyor. * k 0 ise vektörü ile k. vektörünün doðrultulrý ynýdýr. * k = 0 ise orijin noktsýdýr. (k. = (0,0)) * k > 0 ise vektörü ile k. vektörü yný yönlüdür. * k < 0 ise vektörü ile k. vektörü zýt (ters) yönlüdür. (4, 4) noktsýndki bir motorlunun doðrultusu, hýzý ve yönü ÁV = (, ) dir. kýntýnýn doðrultusu, yönü ve hýzý ÁU = (, ) olduðun göre, motorun son durumd bulunduðu nokt nedir? : (, 5) 5. = (, ) vektörü veriliyor. vektörü nedir? : (9, 6) 6. = (,5) vektörü veriliyor. 4 vektörü nedir? : (1, 0) 9

39 7. (, 1) ve (6, 4) noktlrý veriliyor. vektörü nedir? : (9, 15) 11. (, ), ( 1, ), (, ) ve (, 1) noktlrý veriliyor. un göre, + vektörü nedir? : (0, 5) 8. = (,) ve = ( 1,4) vektörleri verildiðine göre vektörünü bulunuz. : (7, 6) 1. (0, ), (, 4), (1, ), (, 4) noktlrý veriliyor. un göre,. iþleminin sonucunu bulunuz. : (8, 8) ge Yyýncýlýk 1. = (,5) ve = ( 6, ) vektörleri veriliyor. = eþitliðini doðrulyn vektörü 9. U(, 1) ve V(, 5) noktlrý, K = (1,4) vektörü veriliyor. UV + K vektörünü bulunuz. : ( 4, 8) nedir? : (, 19) 10. (, ) ve ( 4, 1) noktlrý ile = ( 4,) vektörü veriliyor. + vektörünü bulunuz. : (, 8) 14. = (1, ), = (,), = ( 5, 14) vektörleri verilsin. ise, ve y reel syýlrýný bulunuz. + y = : = 4 y = 40

40 Vektörlerde Ýþlemler TST : = (,5), b = (,7) olduðun göre, + b toplmý nedir? ) (5, ) ) (5, ) ) (1, ) ) (1, 1) ) ( 5, ) 4. = (,4) vektörünün ktý þðýdkilerden hngisidir? ) = (,) ) = (1,6) ) = (6,1) ) = (1,1) ) = (,). y. (, 0) noksýndki rcýn doðrultusu, yönü ve hýzý ÁV = (6, 0) dýr. Rüzgrýn doðrultusu, yönü ve hýzý Áu = (1, 0) olduðun göre, rcýn durduðu yerdeki noktsýnýn koordintlrý nedir? ) (7, ) ) (7, 0) ) (8, 0) y ) (9, 0) ) (10, 0) ge Yyýncýlýk 5. (, ) ve ( 4, ) noktlrý veriliyor. vektörü nedir? 6. ) (8, 0) ) (4, 0) ) (8, 4) vektörünün ktý. b kçtýr? ) (4, 4) ) (4, 8) = (, + ) = (b + 1,b 1) 4 olduðun göre, ) 4 ) 5 ) 0 ) 5 ) 4 (, 7) noktsýndki kyýðýn hýzý ÁV = (, 4) ve kýntýnýn doðrultusu, yönü ve hýzý Áu = (, ) dir. Kyýk krþý kýyýy geçtiðinde bulunduðu noktnýn koordintlrý kçtýr? ) (5, 8) ) (4, 8) ) (8, 5) ) (5, 6) ) (8, 6) 7. = (,4) ve = (1,) vektörleri için vektörü nedir? ) (0, 1) ) (1, 0) ) (0, ) ) (, 0) ) (1, ) 41

41 1. (, 8. = (6, 1) ve = ( 4,5) ise + toplmý 4), (, 1), (, 4) noktlrý veriliyor. + toplm vektörünün bileþenleri nedir? nedir? ) (4, 5) ) (, 5) ) ( 5, 4) ) (, 1) ) (, 7) ) ( 1, 9) ) (0, 5) ) ( 5, 0) ) (1, 7) ) (, 9) 9. = (,4) ve = (1,) vektörleri veriliyor. un göre, + toplmý nedir? ) ( 1, 14) ) ( 1, 10) ) (0, 1) ) (0, 14) ) (1, 14) 1. = (,4), = ( 4, ), = (, 6) vektörleri veriliyor. =. + y. olduðun göre, + y kçtýr? ) 6 ) 4 ) 0 ) ) = (,0) ve = (, ) vektörleri için, + toplmý nedir? ) (10, 4) ) (9, 6) ) (1, ) ge Yyýncýlýk 14. = ( 4,), = (,), = (0,) vektörleri verili- yor. = k. + m. olduðun göre, k. m çrpýmý kçtýr? ) 8 ) 6 ) 4 ) ) 1 ) (1, 6) ) ( 6, 1) 11. = (k, 4), b = (,n + 4) vektörleri veriliyor. b = (4, ) olduðun göre, k + n kçtýr? ) ) ) 7 ) 1 ) olduðun göre, = (6,9) + = (, 1) vektörü nedir? ) (, ) ) (, 1) ) (, 1) ) (, ) ) (, 1)

42 irim Çember ve Yönlü çýlr LIÞTIRM : 1 üzlemde sbit bir noktdn eþit uzklýkt bulunn noktlrýn geometrik yerine çember denir. üzlemde sbit bir noktdn 1 br uzklýktki noktlrýn geometrik yerine birim çember denir. y r M(, b) y 1 r Çemberin merkezi M(, b) ve yrýçpý r dir. (0, 0) ve r = 1 br 1. þðýd merkezleri ve yrýçplrý verilen çemberleri nlitik düzlemde çiziniz. M 1 (, 4) ve r 1 = br M ( 4, ) ve r = 1 br M (, ) ve r = br M 4 (4, 1) ve r 4 = br M 5 (0, ) ve r 5 = br M 6 ( 1, 0) ve r 6 = 4 br y ge Yyýncýlýk üzlemde uç noktlrý ortk oln iki ýþýnýn birleþimine çý denir. çýyý oluþturn ýþýnlrdn herbirine çýnýn kenrlrý denir. Iþýnlrýn ortk noktsýn d çýnýn köþesi denir. Þekildeki çý é, é vey ë þeklinde gösterilir. ir çýnýn kendisi ile iç bölgesinin birleþim kümesine çýsl bölge denir. çýsýnýn çýsl bölgeleri (é) þeklinde gösterilir. Ölçüleri eþit oln çýlr eþit çýlr denir Yndki þekilde verilenlere göre, é Ç d kümesi K nedir? L d : {K, L} 4

43 . Yndki þekilde verilenlere göre, (é) Ç d kümesi K nedir? L þlngýç kenrýndn itibren st istikmetinin tersi yönündeki çýlr pozitif yönlü çýlr ve st istikmeti yönündeki çýlr ise negtif yönlü çýlr denir. K : [KL] L M ë Pozitif yönlüdür. KëLM Negtif yönlüdür. 4. K Yndki þekilde verilenlere göre, L M (MéKL) Ç [] kümesi nedir? 7. þðýdki yönlü çýlrýn sembolleri hngisinde doðrudur? l. ll. : [] 5. Yndki þekilde verilenlere göre, K P L R é Ç KéLM kümesi nedir? ge Yyýncýlýk l Yön ll Yön ) ë + ë + ) ë + ë ) ë ë + ) ë ë ) ë + ë : M : {P, R} 8. y y b Yndki þekilde verilenlere K göre, L M (é) Ç (KéLM) kümesi nedir? Þekil - l Þekil - ll Yukrýdki þekillerde verilen çýlrýn deðerleri þðýdki (, b) sýrlý ikilisinden hngisi olbilir? ) (50, 60 ) ) (70, 110 ) ) (80, 50 ) ) (75, 10 ) ) (95, 40 ) : (élm) : 44

44 çý Ölçü Çeþitleri LIÞTIRM : 1 r=1 1 irim çemberin çevre uzunluðunu 60 eþ prçy yýrrk her bir prçyý gören merkez çýsýnýn ölçüsüne 1 derece denir ve 1 þeklinde gösterilir. ir çýnýn, derece cinsinden ölçüsü, rdyn cinsinden ölçüsü R olmk üzere, orntýsý yzýlýr. R 180 = π 1. Yrýçpý r = 4 cm oln bir 60 çemberin 60 lik çýsýn krþýlýk gelen ù yy uzunluðunun ölçüsü kç rdyndýr? r=4. 10 nin rdyn cinsinden deðeri nedir? : π : 4π 4. π rdynlýk çýnýn derece cisninden deðeri r=1 1 br Köþesi birim çemberin merkezinde oln çýnýn, çember üzerinde 1 br uzunluðund yýrdýðý yy 1 rdyn denir. ge Yyýncýlýk þðýdkilerden hngisidir? : 70 1 br lik ï yyýnýn uzunluðun çýnýn rdyn cinsinden ölçüsü denir. 5. þðýdki boþluklrý derece - rdyn olrk doldurunuz. 150 p 90 p 4. Yrýçpý r = cm oln yndki þekildeki çemberde çýsýnýn rdyn cinsinden ölçüsü π r= olduðun göre, ù nýn uzunluðunu bulunuz. : π p 5 p p

45 6. Yndki þekilde verilenlere göre, çýsý sniyedir? '' lik çý kç derece, kç dkik, kç 5p 9 p kç derecedir? 6 : 1 7' 45" : m(ë) = 4 4' 7'' m(ë) = 6 9' 46'' çýsýnýn rdyn cinsinden deðeri nedir? : 8π 9 olduðun göre, m(ë) + m(ë) toplmý nedir? : 97 ' " ge Yyýncýlýk 1 derece 60 dkiky, 1 dkik 60 sniyeye eþittir. Yni; 1 = 60 ve 1 = m(ë) = 17 8' 4'' olduðun göre,.m(ë) çýsý nedir? : 5 56' 9" vey 1 = 60' = 600'' dir ' '' lik çý kç sniyedir? : 594" 1. m(ë) = 76 4' m(ë) = 19 56' 5'' olduðun göre, m(ë) m(ë) frký nedir? : 56 45' 5" 46

46 çý ve Ölçü Çeþitleri TST : Þekilde verilenlere göre, þðýdkilerden hngisi vey hngileri doðrudur? F 4. π rdyn kç derecedir? ) 60 ) 90 ) 100 ) 10 ) 150 l. é, pozitif yönlüdür. ll. lll. ùf, pozitif yönlüdür. ù, negtif yönlüdür. ) l, ll ) ll, lll ) l, lll ) Ylnýz ll ) Ylnýz lll. þðýdki yönlü çýlr göre hngisi doðru olbilir? l. ll. ge Yyýncýlýk 5. 0 kç rdyndýr? 5π 7π π 11π ) ) ) ) ) π 8 l ll ) ) ) ) ) nin rdyn cinsinden deðeri nedir? π π π ) ) ) π ) ) π 6. þðýd rdyn cinsinden ölçüsü verilen yylrdn hngisinin birim çember üzerindeki bitim noktsý (0, 1) dir? π π ) π ) ) π ) ) 4π 47

47 7. Toplmlrý 10 oln iki çýdn biri 7π olduðun göre, diðer çý kç derecedir? ) 1000 ) 900 ) 800 ) 700 ) K = 14 ' 4'' L = 5 54' 18'' olduðun göre, K + L toplmý þðýdkilerden hngisidir? ) 167 6' 4'' ) 168 0' 4'' ) 168 8' 4'' ) 168 6' 40'' ) 168 6' 4'' 8. Yrýçpý 4 cm oln yndki þekildeki çemberde ù r = 4 nýn uzunluðu göre, çýsýnýn ölçüsü kç rdyndýr? 8π olduðun π π 5π π ) ) ) ) ) 6 1 π 1. α = 51 47' 4'' β = 6 ' 1'' olduðun göre, + b çýsý nedir? ) 10 7' 1'' ) 10 7' '' ) 11 7' 1'' ) 10 8' 1'' ) 11 8' 1'' ge Yyýncýlýk ' 18'' çýsýnýn sniye olrk eþiti þðýdkilerden hngisidir? ) 14518'' ) 14508'' ) 14418'' ) 14408'' ) '' 1. m(ë) = 1 ' 19'' m(ë) = 18 45' 7'' olduðun göre,m(ë) m(ë) frký nedir? ) 48 46' 4'' ) 8 46' 40'' ) 8 46' 4'' ) 9 46' 4'' ) 9 47' 4'' 14. α = 17 1' '' 10. = 1 46' 5'' çýsýnýn 5 ktý þðýdkilerden hngisidir? ) 60 54' 5'' ) 6 54' 5'' ) 6 45' 5'' ) 6 45' 45'' ) 6 45' 5'' β = 15 ' 4'' olduðun göre, b çýsý nedir? ) 00' 00'' ) 59' 10'' ) 1 00' 10'' ) 00' 10'' ) 0 59' 10''

48 çý ve Özellikleri LIÞTIRM : 14 Köþeleri ve birer kenrlrý ortk oln, fkt hiç ortk iç noktlrý olmyn iki çýy komþu çýlr denir. Komþu iki çýnýn, ortk olmyn kenrlrý zýt ýþýnlr ise bu çýlr doðru çý denir. oðru çý : Ölçüsü 180 oln çýy denir. Tm çý ik çý : Ölçüsü 60 oln çýy denir. : Ölçüsü 90 oln çýy denir. 4.,, doðrusl ve F [ ve [F çýortydýr. 70 m(ë) = 70 olduðun göre, F çýsýnýn ölçüsü kç derecedir? : 15 r çý denir. : Ölçüsü 0 ile 90 rsýnd oln çýy Geniþ çý : Ölçüsü 90 ile 180 rsýnd oln çýy denir Þekilde verilenlere göre, çýsý kç derecedir? 5 80 : 56 Þekilde verilenlere göre, çýsý kç derecedir? : 8 ge Yyýncýlýk. 4 Þekilde verilenlere göre, çýsý kç derecedir? : 0 6. m(ë) = m(ë) [ [ olduðun göre, çýsýnýn ölçüsü kç derecedir? : m(ë) = m(ë) = 4m(ë) m(ë) = 5 40 [ [ olduðun göre, çýsýnýn ölçüsü kç derecedir? F m(ëf) = + 0 Verilenlere göre, çýsýnýn ölçüsü kç derecedir? : 7 : 60 49

49 8. [ [ 1. çýsý bir dr çý olduðun göre, çýsýnýn en büyük tmsyý deðeri nedir? m(ë) = 7 7 m(ë) = + 0 olduðun göre, çýsý kç derecedir? : 19 : 9 9. [ [ 7 ' 4'' m(ë) = 7 ' 4'' olduðun göre, m(ë) = çýsý nedir? : 6 7' 17'' 1. çýsý bir dr çý olduðun göre, çýsýnýn lbileceði kç frklý tmsyý deðeri vrdýr? 5-0 : 17 ge Yyýncýlýk 10. [ [ [ ve [ çýorty olmk üzere, çýsýnýn ölçüsü kç derecedir? : çýsý bir geniþ çý olduðun göre, çýsýnýn en küçük tmsyý deðeri kçtýr? : [ [ z y m(ë) = 56 m(ë) = 6 olduðun göre, m(ë) = y çýsý kç derecedir? : çýsý bir geniþ çý olduðun göre, çýsýnýn rlýðý nedir? - 1 : 4 < α < 64 50